Асимптотическая устойчивость решений линейных и нелинейных гиперболических уравнений в частных производных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Копылова, Елена Андреевна

• Копылова, Елена Андреевна
• доктор физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Копылова, Елена Андреевна

Оглавление

0 Введение

0.1 Мотивировка исследования

0.2 Обозначения и определения

0.3 Основные результаты

0.4 Обзор литературы

0.5 О методах исследования

I Дисперсионное убывание

1 Уравнение Шредингера

1 Свободное уравнение Шредингера

1.1 Принцип предельного поглощения

1.2 Поведение резольвенты при С —» 0

1.3 Убывание резольвенты при С —> оо

2 Уравнение Шредингера с потенциалом

2.1 Поведение резольвенты при С —» 0

2.2 Убывание резольвенты при С —► оо

2.3 Долговременная асимптотика

2.4 Асимптотическая полнота

2 Уравнение Клейна-Гордона

3 Спектральные свойства

3.1 Свободное уравнения

3.2 Возмущенное уравнение

4 Долговременная асимптотика

4.1 Свободное уравнение

4.2 Возмущенное уравнение

4.3 Асимптотическая полнота

5 Приложение А. Доказательство леммы 4.2

6 Приложение В. Доказательство леммы 4.5

3 Модифицированное уравнение Клейна-Гордона

7 Введение

8 Свободное уравнение

8.1 Спектральные свойства

8.2 Долговременное убывание

8.3 Доказательство предложения 8.4

9 Уравнение с потенциалом

9.1 Возмущенная резольвента

9.2 Принцип предельного поглощения

9.3 Убывание резольвенты при и) —> оо

9.4 Поведение резольвенты при и) —> 0

9.5 Долговременная асимптотика

10 Приложение С. Доказательство леммы 8.6

II Асимптотическая устойчивость кинков

4 Бегущие кинки

11 Формулировка главного результата

12 Симплектическая проекция

12.1 Симплектическая структура и гамильтонова форма

12.2 Симплектическая проекция на солитонное многообразие

13 Линеаризация на солитонном многообразии

13.1 Гамильтонова структура и спектр

13.2 Убывание трансверсальной линеаризованной динамики

13.3 Оценки нелинейного члена

14 Симплектическое разбиение динамики

15 Модуляционные уравнения

16 Убывание трансверсальной динамики

16.1 Замороженная трансверсальная динамика

16.2 Интегральные неравенства

16.3 Симплектическая ортогональность

16.4 Убывание трансверсальной компоненты

17 Солитонная асимптотика

5 Стоячий кинк

18 Формулировка главного результата

19 Линеаризация на кинке

19.1 Убывание линеаризованной динамики

20 Асимптотическое разложение динамических уравнений

20.1 Асимптотическое разложение i

20.2 Асимптотическое разложение /

21 Нормальные формы Пуанкаре

21.1 Нормальная форма для /

21.2 Нормальная форма для г

21.3 Сводка нормальных форм

22 Мажоранты

22.1 Начальные условия и оценка для д

22.2 Система мажорант

22.3 Оценки остаточных членов

22.4 Оценки для мажорант

22.5 Равномерные оценки для мажорант

23 Долговременные асимптотики

23.1 Долговременное поведение

23.2 Солитонная асимптотика

24 Приложение Б. Доказательство

предложения 19.1

6 Примеры нелинейных потенциалов

25 Кусочно-параболические потенциалы

25.1 Линеаризованное уравнение

25.2 Нечетные собственные функции

25.3 Четные собственные функции

25.4 Спектральные условия

26 Гладкие аппроксимации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическая устойчивость решений линейных и нелинейных гиперболических уравнений в частных производных»

О Введение

0.1 Мотивировка исследования

1. Дисперсионное убывание волновых процессов известно давно из повседневного опыта со звуковыми волнами и волнами на воде. Для волновых уравнений с постоянными коэффициентами математическое понимание строгого принципа Гюйгенса основывается на формуле Кирхгофа. Для общих гиперболических уравнений в частных производных теория дисперсионного убывания возникла в 1960-х годах в работах Б. Вайнберга, Р. Лакса, К. Моравец и Р. Филипса по теории рассеяния, где рассматривались начальные данные с компактными носителями, и убывание решений доказывалось на фиксированных компактах. Однако такие результаты оказались недостаточными для теории асимптотической устойчивости решений нелинейных гиперболических уравнений. А именно, потребовалось доказательство убывания решений в весовых соболевских нормах для начальных данных с носителем во всем пространстве. Такое убывание интенсивно использовалось в последние 20 лет в работах по асимптотической устойчивости для уравнений Шредингера. Тем не менее для релятивистских уравнений подобные результаты оставались неизвестными. Наши исследования [4,41, 38, 39, 40], [47]-[53] заполняют этот пробел для волновых уравнений, уравнений Клейна-Гордона и уравнения Дирака, а также для дискретных моделей [5, 42, 45]. В первой части диссертации мы приводим результаты исследований для уравнения Клейна-Гордона в размерностях 1, 2 и 3.

II. Солитонным решениям принадлежит особая роль при изучении эволюционных уравнений ввиду того, что зачастую они довольно легко находятся численно и, кроме того, возникают, как правило, при изучении долговременного поведения задачи Коши. А именно, численные эксперименты [36] показывают, что решения общих нелинейных гиперболических уравнений с начальными данными конечной энергии при больших временах распадаются на суперпозицию слабо взаимодействующих солитонов и убывающих дисперсионных волн.

Теория асимптотической устойчивости солитонов для нелинейных уравнений Шредингера возникла в работах Соффера-Вайнштейна (1985-1992) и Бус-лаева-Перельман-Сулем (1991-2003). Однако обобщение на уравнение Клейна-Гордона оставалось открытой проблемой вплоть до 2010 года из-за отсутствия соответствующей теории дисперсионного убывания для линеаризованных уравнений Клейна-Гордона. Необходимость такого обобщения связана с проблемами релятивистской теории поля, поставленными в программных работах Гей-зенберга [28, 2], посвященных квантовополевой теории элементарных частиц в контексте нелинейных гиперболических уравнений в частных производных. В таком контексте элементарные частицы интерпретируются как солитоны, и проблема их устойчивости превращается в проблему асимптотической устойчивости солитонов. Именно эта проблема решается впервые в предложенной диссертации для релятивистских уравнений.

0.2 Обозначения и определения

В первой части мы рассматриваем уравнения Шредингера

гф = Нф(х, t) := (-А + У(х))ф(х, t), хе Шп, (0.1)

и уравнение Клейна-Гордона

ф(х, t) = (Д - m2 - V(x)) -ф(х, ¿), xeRn, m > 0, (0.2)

где п = 1,2,3. Все производные здесь и ниже понимаются в смысле распределений. Запишем уравнение (0.2) в матричной форме:

№(t)=HV(t), (0.3)

где

Кроме того мы будем рассматривать "модифицированное"уравнение Клейна-Гордона, соответствующее системе координат движущейся со скоростью v:

№(t) = /СФ (i), (0.5)

где

Г - ( uV i \

^ ~ \ г{А - m2 - V) vV )'

Именно модифицированное уравнение соответствует линеаризованному уравнению на солитоне, рассматриваемому во второй части работы. Будем предполагать, что V(x) является вещественной функцией и

\V(x)\ + |VK(x)| < С{ 1 + \х\)~Р, х Е М", (0.6)

где (3 > 3 при п = 3 и (3 > 5 при п = 1,2. Мы рассматриваем "регулярный случай" в терминологии [29] (или "несингулярный случай" в терминологии [61]), когда усеченная резольвента оператора Шредингера H = — А + V(x) ограничена в концевой точке Л = 0 непрерывного спектра. Другими словами, точка Л = 0 не является ни собственным значением, ни резонансом для оператора H. Это условие выполняется для потенциала общего положения.

Определим пространства, в которых мы будем работать. Для произвольных s,cr е R обозначим через Hsa = #*(Rn) весовые пространства Соболева, введенные Агмоном [13], с конечными нормами

Ш\н- = Il {xYWn» < 00, (х) = (1 + М2)1'2, (0.7)

где L2 = L2(Rn). Будем обозначать L2a = Н°.

Заметим, что умножение на V(x) является ограниченным оператором из Н] в Н]+р для любого s € M. Введем фазовое пространство для задачи (0.3):

Определение 0.1 Еа - комплексное гильбертово пространство векторных

функций Ф = (ф, 7г) с конечными нормами

1|ф|к = 1Жк + 1М1яз<оо. (0.8)

Обозначим Е = Е0. Обозначим далее через \¥к, к = 0,1,2... - соболевское пространство функций с конечными нормами

к г=0

Определение 0.2 Ж - гильбертово пространство \¥2@У/1 векторных функций Ф = (ф, 7г) с конечными нормами

Цф|к = Ми* + N1^ < оо.

Во второй части мы рассматриваем одномерное нелинейное волновое уравнение

•ф(х,г) = ф"(х,г) + р('ф(х,г)), хе1, (0.9)

где F(V0 = -и'(ф).

Мы предполагаем, что потенциал и(ф) удовлетворяет следующим условиям: ТЛ Потенциал и (ф) является гладкой четной функцией, такой что

1/(ф) >0 при ф фа. (0.10)

U2 В окрестности точек ±а потенциал U(ф) является параболой:

2

TTL

и(ф) = —(фта)2, \ф^а\<д (0.11)

с некоторыми 0 < 5 < а/2 ит> 0.

Примерный график потенциала изображен на рисунке 1.

Соответствующее стационарное уравнение имеет вид:

s"(x) - U'(s(x)) = 0, (0.12)

Это уравнение имеет постоянные решения ф(х) = 0 и ф(х) = ±а. Непостоянные решения найдем при помощи "интеграла энергии":

Л2

- U(s) = С,

где С - произвольная постоянная. На рисунке 2 изображен фазовый портрет данного уравнения.

s' с>о

\ ✓ ____ х ч / С=0

У s

/ \ с<0

Рис. 2: Фазовый портрет

Мы видим, что при С = 0 существует так называемый кинк - непостоянное решение в(х) стационарного уравнения (0.12), обладающее конечной энергией и удовлетворяющее условию

з(х) —» ±а, х ±оо.

(См. рисунок 3). Кроме того, из условия (0.21) следует, что

(¿(ж) а)" ~ т2{з(х) Та), х —> ±оо.

9

Поэтому

|5(ж) т а\ ~ Се~тМ, х ±оо, (0.13)

т.е. кинк приближается к своим асимптотам ±а с экспоненциальной скоростью.

Так как уравнение (0.9) является релятивистски инвариантным, то движущиеся со скоростью |v|<l солитоны (или кинки)

SqtV(x,t) = s(j(x - vt - q)), geR

также являются решениями уравнения (0.9). Здесь 7 = 1/Vl — v2 - лоренцево сокращение. Далее будем обозначать

фу(х) = s( ух), 7Tv(x) = -Vlf/v(x).

Подставляя разложение ip(x,t) = s(x) + (¡)(x,t) в уравнение (0.9), формально получим

ф{х, t) = -Нф{х, t) + 0(\ф(х, t)I2), (0.14)

где Н := — ^ + т2 + V(x) - оператор Шредингера с потенциалом

V{x) = -F'{s{x)) -т2 = U"(s(x)) - т2. (0.15)

Легко проверить, что оператор Н обладает следующими свойствами:

HI. Непрерывный спектр оператора Н совпадает с интервалом [т2, оо).

Н2. Точка Ао = 0 является точкой дискретного спектра с собственной функцией s'(x).

НЗ. Так как ¿(х) > 0, то Ло = 0 является основным состоянием, а все остальные точки дискретного спектра, если они существуют, содержатся в интервале (0,ш2].

Будем предполагать, что

Е Концевая точка А = т2 непрерывного спектра оператора Н не является ни собственным значением, ни резонансом. Кроме того, мы будем предполагать два разных условиях на дискретный спектр:

Дискретный спектр оператора Н состоит ровно из одной точки Ло = 0. Ю 2 Дискретный спектр оператора Н состоит из двух точек: Ло = 0 и Ах 6 (0,т2), причем

4Лх > т2. (0.16)

Во втором случае ( условие Т>2) будем также предполагать условие невырожденности, или так называемое золотое правило Ферми, означающее эффективное взаимодействие нелинейного члена с непрерывным спектром. Это взаимодействие обеспечивает рассеяние энергии в бесконечность (см. условие (10.0.11) в [23] или условие (1.11) в [55]). Для уравнения (0.9) золотое правило Ферми имеет вид:

(¥) I щХ1(х)Г"(з(хЫ^х ф 0,

(0.17)

где у?А1 - собственная функция, соответствующая собственному значению А\, а (¿?4А1 - нечетная собственная функция непрерывного спектра, соответствующая точке 4Лх е (ш2,оо).

0.3 Основные результаты

В первой части работы (главы 1-Ш) излагаются результаты и методы линейной теории рассеяния для уравнений Шредингера и Клейна-Гордона, полученные автором.

Глава I. Эта глава посвящена дисперсионному убыванию для уравнения Шредингера. В параграфах 1 и 2 мы излагаем классические результаты, полученные в работах [13, 29, 61] для этого уравнения, при помощи которых в параграфе 2.4 выводится асимптотическая полнота в задаче рассеяния. Как уже отмечалось выше, мы ограничиваемся рассмотрением "регулярного" случая, наиболее важного для приложений из-за "хорошего" долговременного убывания, в то время как в основополагающих работах [29, 32, 61] рассмотрены все возможные спектральные случаи, что приводит к довольно громоздким доказательствам. Мы даем полные доказательства некоторых ключевых оценок, которые отсутствуют в оригинальных статьях. Кроме того, мы приводим адаптированные доказательства практически всех результатов для наиболее важного "регулярного" случая. Основным результатом первой главы является следующая теорема

Теорема 0.3 В "регулярном случае" справедливы следующие долговременные асимптотики для решений уравнения Шредингера (0.1) : при сг > 5/2

( 0( |Г3/2), п = 1,3

\\Рст\\ь\ = < г ±оо (0.18)

{0(\Ц-Чоё-2Щ), п = 2

для начальных данных чро = ф(0) Е Здесь через Рс обозначен проектор Рисса на непрерывный спектр оператора Н.

Глава II. Во второй главе излагаются обобщения результатов первой главы на уравнения Клейна-Гордона, полученные в работе автора [4] и совместных работах [41, 38, 39, 40]. Эти обобщения являются нетривиальными из-за разного характера распространения волн для релятивистских и нерелятивистских уравнений и требуют новых методов и подходов. Главным результатом второй

(О

л

__8

/ X

/ Що)

•Ф+Ю

+

г = -оо

Рис. 4: Операторы рассеяния

главы является следующая теорема

Теорема 0.4 В "регулярном случае" справедливы следующие долговременные асимптотики для решений уравнения Клейна-Гордона (0.3) : при сг > Ъ/2

( <Э{Щ-*/% п= 1,3

(0.19)

I <Э{Щ-Чо£-2Щ), п = 2

для начальных датьых Фо = £ Здесь через Рс обозначен проектор Рисса на непрерывный спектр оператора П..

Убывание (0.18) - (0.19) позволяет построить оператор рассеяние при помощи стандартного метода Кука. Так как У(х)ф(х, t) стремится к нулю при t —> ±00, то естественно ожидать, что решение t) сходится при больших временах к решению свободного уравнения:

Ф(ж, t) ~ Ф±(ж, t), t -> ±00.

(см. Рис. 4). Отображение S : Ф_(-,оо) —> Ф+(-,оо) называется оператором рассеяния. Из убывания (0.18) - (0.19) вытекает асимптотическая полнота рассеяния, означающая, что оператор S является унитарным оператором на PCL2.

Глава III. В этой главе рассматривается одномерное "модифицированное"урав-нение Клейна-Гордона (0.5) Для него устанавливается теорема, аналогичная теореме 0.4, полученная в работе автора [53]. Доказательство отличается от теоремы 0.4 некоторыми техническими трудностями.

Во второй части работы (главы IV-VI) излагаются результаты и методы нелинейной теории рассеяния для релятивистского уравнения Гинзбурга -Ландау, полученные автором.

Глава IV. В четвертой главе доказывается асимптотическая устойчивость движущихся кинков, или всего солитонного многообразия, в случае выполнения условия D1, т. е. при отсутствии дополнительного дискретного спектра. В параграфе 11 даются необходимые определения и формулируется главный результат. Параграф 12 посвящен симилектической структуре солитонного многообразия, а параграф 13 - линеаризации решения на кинке и свойствам линеаризованного уравнения. В параграфе 14 мы разделяем динамику на две компоненты: вдоль солитонного многообразия и в трансверсальном направлении. В параграфе 15 изучаются модуляционные уравнения для параметров солитона. Доказательство долговременного убывания трансверсальной компоненты проводится в параграфе 16. В параграфе 17 мы получаем солитонную асимптотику (0.20).

Главным результатом четвертой главы являются следующая теорема

Теорема 0.5 Пусть выполнены условия Ul, U2, Е и D1 и пусть Y(t) = (ф(€),ф(Ь)) - решение задачи Коши (0.9) с начальными данными Yq = (^>(0),^(0)) близкими к некоторому кинку Sq0tV0(х) = (фРо(х — <70),7i\,0(.-r — q0):

Уо — Sq0,v0 + d0 •= \\XQ\\EßciW 1, где ß > 5/2. Тогда при достаточно маленьких do справедлива асимптотика:

Y(x, t) = (фу±(х - v±t - q±), 7Tv±(x - v±t - q±)) + WQ{t)^± + r±(x, t), t —> ±00

(0.20)

с некоторыми постоянными v± и q±. Здесь Wo(t) - динамическая группа свободного уравнения Клейна-Гордона, Ф± Е Е - асимптотическое состояние рассеяния. Кроме того, остаток r±(t) стремится к нулю как £-1/2 в глобальной энергетической норме пространства Е.

Заметим, что слагаемые \¥<$(£)Ф± представляют собой дисперсионные волны, уносящие энергию в бесконечность.

Замечание 0.6 i) Асимптотическая устойчивость солитонного многообразия S обусловлена излучением энергии в бесконечность, которая проявляется как убывание в весовых энергетических нормах трансверсальной компоненты, и) Асимптотика (0.20) может быть интерпретирована как взаимодействие входящего солитона с траекторией v-t + и входящей дисперсионной волны И^о^Ф-, в результате которого рождается исходящий солитон с новой траекторией v+t + q+ и новая исходящая дисперсионная волна Wo(i)^+- Это взаимодействие определяет (нелинейный) оператор рассеяния

S: (г;_,д_,Ф_) н-> (y+,q+,<S>+).

Однако описание области определения этого оператора остается открытой проблемой, так же и его асимптотическая полнота (т.е. область значений).

Глава V. В данной главе рассмотрен случай, когда оператор Н, определенный в (0.14) - (0.15), имеет дополнительный дискретный спектр, удовлетворяющий условию D2 (в главе IV этот спектр отсутствовал). Для простоты изложения мы рассматриваем только нечетные решения и доказываем асимптотическую устойчивость стоячего кинка, соответствующего v = q = 0. В параграфе 19 приводятся свойства линеаризованного уравнения. В параграфе 20 мы выводим динамические уравнения для дискретной и непрерывной компонент решения, а в параграфе 21 находим нормальные формы Пуанкаре для этих уравнений. Параграф 22 посвящен мажорантам и их оценкам. В параграфе 23 выводится солитонная асимптотика. Главным результатом главы V является следующая теорема

Теорема 0.7 Пусть выполнены условия Ul, U2, Е, D2 и F, и пусть Y(t) является решением задачи Коши (0.9) с нечетными начальными данными Yq, достаточно близкими к кинку:

Y0 = (six), 0) + Х0, d0 := HXolkfW < 1,

где Р > 5/2. Тогда справедлива асимптотика

Y{x, t) = (s(x), 0) + \¥0(Ь)Ф± + r±(x, t), t ±oo,

где Ф± £ E - асимптотические состояния рассеяния, Wq (t) - динамическая группа свободного уравнения Клейна-Гордона. Кроме того,

\Ы1)\\е = 0{\t\-V% ¿->±оо.

Заметим, что асимптотическая устойчивость движущихся кинков при наличии дополнительного дискретного спектра может быть получена объединением

методов обеих глав.

Глава VI. В этой главе строятся примеры нелинейных потенциалов, удовлетворяющих предполагаемым в теоремах 0.5 и 0.7 спектральным условиям. Отметим, что в большинстве работ, посвященных асимптотической устойчивости солитонов, накладывается ряд условий на спектральные свойства соответствующей линеаризованной динамики. В нашей работе - это условия Е, Ю1, Т>2 и Р. Однако практически во всех работах эти спектральные свойства только постулируются, и примеры нелинейностей, для которых они справедливы, в большинстве случаев неизвестны.

Мы показываем, как построить примеры потенциалов, для которых можно проверить все нужные спектральные условия линеаризованной динамики: свойства дискретного спектра, отсутствие резонанса и золотое правило Ферми. Все эти вычисления возможны благодаря простой структуре этих потенциалов, представляющих собой гладкую аппроксимацию кусочно-параболических функций.

В параграфе 25 третьей главы строятся примеры кусочно-параболических потенциалов, а в параграфе 26 - их гладкие аппроксимации.

Отметим, что в работе [55] построен другой класс примеров нелинейных потенциалов, представляющих собой малые возмущения потенциала Гинзбурга - Ландау.

0.4 Обзор литературы

1. Дисперсионное убывание

Убывание локальной энергии было впервые установлено для линейного уравнения Шредингера в теории рассеяния, развивавшейся с 50-х годов Бирманом, Като, Саймоном и другими.

Для свободного 3-х мерного уравнения Клейна-Гордона убывание порядка ~ £_3//2 в норме Ь°° было впервые доказано в работе Моравец и Штра-усса [60]. Убывание локальной энергии было установлено Вайнбергом [1, 78] для волнового уравнения и широкого класса гиперболических уравнений и систем с начальными данными, имеющими компактный носитель. Вайнбергом также получено убывание локальной энергии ~ ¿~3/2 для уравнения Клейна-Гордона с магнитным потенциалом [79]. Убывание решений в нормах 1Р для волнового уравнения и уравнения Клейна-Гордона рассматривалось в работах [16, 17, 27, 35, 59, 82, 83].

Однако, для доказательства асимптотической устойчивости решений нелинейных уравнений требуются более точные характеристики убывания решений соответствующих линеаризованных уравнений в весовых нормах (см. например, работы [21, 22, 23, 24, 73, 55, 54]).

Для трехмерного уравнения Шредингера убывание в весовых нормах впервые было получено в работе Йенсена и Като [29]. Этот результат был распространен на другие размерности Йенсеном и Ненсиу [30, 31, 32], а также Мюратой

[61] для более общих уравнений Шредингеровского типа.

Для свободного волнового уравнения некоторые оценки в весовых ЬР нормах были доказаны в [26]. Весовые оценки Стрихарца для возмущенного уравнения Клейна-Гордона были установлены в [56].

Для свободного трехмерного уравнения Клейна-Гордона дисперсионное убывание вида (0.19) в весовых энергетических нормах было доказано в [33, лемма 18.2]. Однако для релятивистских уравнений с потенциалом подобное убывание до последнего времени не было известно. Это обусловлено тем, что подход Йен-сена и Като непосредственно неприменим к релятивистским уравнениям ввиду различного характера распространения особенностей для релятивистских и нерелятивистских уравнений.

Нам удалось преодолеть эту трудность с помощью дополнительных методов для уравнения Клейна-Гордона [4, 41, 38, 53, 39, 40], для волнового уравнения [47, 49, 50], для уравнений Шредингера и Клейна-Гордона с магнитным потенциалом [7], для уравнения Дирака [52], а также для дискретных уравнений Шредингера и Клейна-Гордона [5, 42, 45].

Асимптотическая устойчивость солитонов

Теории асимптотической устойчивости солитонов посвящено большое количество работ. Первоначально асимптотическая устойчивость солитонов была доказана Соффером и Вайнштейном [71, 72] (см. также [66]) для нелинейного и(1)-инвариантного уравнения Шредингера с потенциалом для маленьких начальных данных и маленьким коэффициентом при нелинейном члене.

Позднее в работах Буслаева и Перельман [21, 22] этот результат был установлен для трансляционно инвариантного, II(1)-инвариантного нелинейного одномерного уравнения Шредингера в случае, когда линеаризованная на солитоне динамика имеет только нулевой дискретный спектр. Авторы применили новую технику, основанную на разделении динамики вдоль солитонного многообразия и в трансверсальном направлении, и доказательстве убывания трансверсальной динамики. В работах [21, 22] также широко используются методы симплекти-ческой геометрии для гамильтоновых систем в гильбертовом пространстве и спектральная теория несамосопряженных операторов.

Техника, аналогичная [21, 22] была применена Миллером, Пего и Вайнштейном для одномерных модифицированных Кс1У и И.1Л¥ уравнений, [62, 64].

Одномерное нелинейное уравнение Шредингера с более сложным дискретным спектром линеаризованной динамики было рассмотрено Буслаевым и Су-лем [23], см. также [77]. Другие размерности рассмотрены в работах [24, 34, 68, 76].

Асимптотическая устойчивость солитонов для нерелятивистского трехмерного нелинейного уравнения Клейна-Гордона с потенциалом была доказана в работе [73], и для трансляционно инвариантной уравнения Клейна-Гордона, взаимодействующего с частицей, - в работе Имайкина, Комеча и Вайнберга [33].

В работе Куканьи [25] получена асимптотическая устойчивость волнового фронта для трехмерного релятивистского волнового уравнения. Волновым

фронтом называется решение, зависящее только от одной пространственной переменной. Такое решение не является солитоном, т.к. оно имеет бесконечную энергию.

Асимптотическая устойчивость стоячих солитонов для уравнения Дирака с потенциалом в трехмерном случае была установлена Буссаидом [18], и для уравнения Дирака без потенциала - Буссаидом и Куканьей в [19]. Одномерный случае рассмотрен Пелиновским и Стефановым [65].

В наших работах [54, 55] доказана асимптотическая устойчивость кинков для нелинейного волнового уравнения (0.9) в немного более общем случае, чем в данной работе. А именно, вместо условия и2 в [54, 55] предполагается выполнение следующего условия

ЩФ) = ^ т а)2 + т ф - ±а (а21)

с некоторым К > 13. При этом доказательство асимптотической устойчивости кинков отличается только небольшими техническими деталями.

Асимптотической устойчивости солитонов посвящены также работы автора [48, 51] и совместные работы [20, 37, 43, 44].

0.5 О методах исследования

1. Дисперсионное убывание

Подход Йенсена и Като [29] основан на спектральном представлении Фурье-Лапласа

Рсф{Ь) = т^г^ е_^[я(а; + гО)-Л(а;-гО)]^о^, г е К, (0.22)

где через 7?(С) обозначена резольвента оператора Шредингера Н = —А + V:

Д(С) = (Я-СГ\ С е С \ [0,оо).

Представление следует из теоремы Коши и основано на принципе предельного поглощения, гладкости резольвенты в нуле и убывании при больших значениях Убывание вида (0.19) для уравнения Шредингера получается при помощи интегрирования по частям, так как предельные значения резольвенты Я(о;±г'0) являются достаточно гладкими функциями, а их производные ± г'0) при

больших к хорошо убывают в весовых нормах при |о;| —» со. В случае уравнения Клейна-Гордона, гладкость резольвенты также следует из результатов [29]. Однако, производные резольвенты вообще не убывают.

Проиллюстрируем это на примере трехмерных свободных уравнений (п = 3): ¡) резольвента свободного уравнения Шредингера представляет из себя интегральный оператор с ядром

е1у/й\х-у\

11) резольвента свободного уравнения Клейна-Гордона является интегральным оператором с ядром

( 0 П Л еЫи>2-тп2\х-у\ / • \

Дко^, X - у) = ( _ у) ° ) + ( Л2 • ) (0.23)

и область интегрирования в формуле (0.22) нужно заменить на \из\ > т. Главные сингулярности для обеих резольвент в концевых точках непрерывного спектра имеют одинаковый характер: у/из при из —> 0 для и у/из га при из —> ±.т для Я-кс- Следовательно, вклад низких частот в интеграл (0.22) убывает как £~3/2 в обоих случаях.

Рассмотрим теперь вклад высоких частот в интеграл (0.22). В случае уравнения Шредингера, этот вклад убывает как ~ ¿-ЛГ с любым N > 0. Это получается при помощи интегрирования по частям, так как производные дкИ$(из, х—у) убывают как при из —» оо. С другой стороны, функция х — у) не

убывает при больших из, и дифференцирование по из не улучшает ее убывание (см. оценки (3.9) и (3.15)). Следовательно, для уравнения Клейна-Гордона интегрирование по частям ничего не дает.

Это различие не только методическое. Оно означает, что умножение на при больших N улучшает гладкость решений уравнения Шредингера, но не улучшает гладкость решений уравнения Клейна-Гордона. Это соответствует различному характеру распространения волн для релятивистских и нерелятивистских уравнений:

1) для решения уравнения Шредингера, главная сингулярность сосредоточена в точке £ = 0 и исчезает на бесконечности при £ ^ 0 из-за бесконечной скорости распространения.

и) для решения уравнения Клейна-Гордона, сингулярности движутся с конечной скоростью, поэтому они сохраняются при всех временах.

Следовательно, техника Йенсена и Като для доказательства убывания высокочастотной компоненты требует существенной модификации. Наш подход [40] к решению данной задачи основан на "ослабленной"версии строгого принципа Гюйгенса, борновских разложениях и их представлениях в виде сверток. А именно, для резольвенты Л(из) уравнения Клейна-Гордона с потенциалом справедливо следующее борновское разложение

П{из) =Ко(из)~ Ко(из)УКо(из) + Ко(ш)Шо(и)\?П(и) (0.24)

Здесь через Т^о(^) обозначена свободная резольвента, соответствующая V = 0 с интегральным ядром (0.23), и V = ^ Ц ^. Применив обратное преобразование Фурье-Лапласа, мы получаем соответствующее представление динамической группы Ы(Ь) оператора Клейна-Гордона в виде свертки:

и{Ь) = щг) +I1 Ко(г - в^Ко^в - ¿^ [По{ш)Шо(ш)Ш(ш)] (0.25)

где через Ко(Ь) обозначена свободная динамическая группа, соответствующая V = 0. Иначе данное разложение получается методом последовательных приближений, если потенциал рассматривать как возмущение.

Далее мы рассматриваем отдельно каждое слагаемое в правой части (0.25):

I. Как уже говорилось ранее, для первого слагаемого Ы^ (¿) мы не можем получить долговременное убывание при помощи спектрального представления вида (0.22). Это убывание получено в [33, лемма 18.2] для трехмерного уравнения Клейна-Гордона при помощи "ослабленной"версии строгого принципа Гюйгенса, обобщающей метод Вайнберга , примененный в [1] для волнового уравнения.

II. Для второго слагаемого мы также не можем получить долговременное убывание при помощи спектрального представления. Однако мы можем теперь получить это убывание из стандартных оценок для свертки. При этом мы используем ранее полученное убывание первого слагаемого и условие (0.6) для потенциала.

III. Наконец, долговременное убывание для последнего слагаемого получается из спектрального представления вида (0.22) при помощи техники Йенсена и Като, так как

\\УПо(иЩ\ ~ Н-2 при Н оо.

Это оказалось возможным благодаря удачной структуре матрицы У7^о(а;) V (см. (3.21)).

В одномерном и двумерном случаях появляются дополнительные сложности в виду того, что для свободных одномерных и двумерных уравнений Клейна-Гордона, соответствующих V = 0 долговременное убывание типа (0.19) отсутствует. А именно, решение одномерного уравнения убывает как ~ ¿_1//2, а решение двумерного уравнения убывает как ~ ¿-1. Следовательно убывание (0.19) для уравнений с потенциалами не может быть получено посредством теории возмущений из соответствующих оценок для свободных уравнений. Эта хорошо известная проблема препятствовала доказательству асимптотической устойчивости решений для многих важных нелинейных одномерных и двумерных задач. Такое медленное убывание обусловлено наличием "резонанса" для свободного оператора Шредингера в концевой точке Л = 0 непрерывного спектра. Основная идея нашего метода для одномерной (соответственно двумерной) задачи заключается в спектральном анализе "плохого" члена, со слабым убыванием ~ ¿-1/2 (соответственно ~ ¿-1). А именно, мы показываем, что "плохой" член не влияет на убывание высокочастотной компоненты, поскольку его спектр сосредоточен в концевой точке непрерывного спектра. Следовательно, "хорошее" убывание высокочастотной компоненты доказывается аналогично трехмерному случаю. С другой стороны, в "регулярном случае" убывание вида (0.19) для низкочастотной компоненты получается при помощи надлежащего уточнения методов [29, 61].

Асимптотическая устойчивость солитонов

Для доказательства асимптотической устойчивости солитонов в работах [21, 22,

1

т

23, 24, 25, 33, 73] и других используется общая стратегия, характерная для большинства работ в данном направлении: симплектическая проекция на солитон-ное многообразие и симплектически ортогональные направления, разделение динамики вдоль многообразия и в поперечном направлении, модуляционные уравнения для солитонных параметров, убывание для трансверсальной линеаризованной динамики, нормальные формы Пуанкаре, метод мажорант и т.д. Отметим, что симплектическая проекция позволяет исключить неустойчивые направления, соответствующие нулевому дискретному спектру линеаризованной динамики.

Эта стратегия применима и для релятивистских уравнений. Однако, несмотря на общую схему, реализация данной стратегии для релятивистского случая столкнулась с рядом трудностей, что препятствовало развитию теории в течение двадцати лет. В частности, многие утверждения и их доказательства существенно отличаются в связи со спецификой релятивистских уравнений, а некоторые являются абсолютно новыми. Новыми, в частности являются

I. Убывание ~ для линеаризованной трансверсальной динамики, основанное на о дисперсионном убывании в весовых энергетических нормах для решения одномерного уравнения Клейна-Гордона.

II. Новые оценки (см. [54, Приложение А]), характеризующие скорость роста моментов решений для нелинейного уравнения Клейна-Гордона, являющиеся релятивистской версией оценок [23, (1.2.5)] используемых в [23] для нелинейного уравнения Шредингера.

III. Мы получили также релятивистскую версию (13.29) оценок решений в Ь1-Ь°° нормах.

Оценки 1-Ш играют важную роль в получении соответствующих неравенств для мажорант.

IV. Кроме того, мы приводим полное доказательство солитонной асимптотики (0.20), тогда как для уравнения Шредингера в работе [23] дан лишь набросок доказательства.

Отметим, что известный потенциал Гинзбурга-Ландау

иСь(Ф) = (Ф2 - а2)2/(4а2)

удовлетворяет условию (0.10), условию (0.21) с т2 = 2 и К = 3, а также условиям Т>2 и Г. Однако концевая точка спектра Л = 2 является резонансом для соответствующего линеаризованного оператора. Этот факт является основной причиной того, что асимптотическая устойчивость кинков для уравнения с потенциалом 11оь до сих пор не доказана. Но даже в более простых спектральных

ситуациях асимптотическая устойчивость кинков для релятивистских уравнений не была установлена в течение долгого времени. Одна из причин заключается в том, что не было получено достаточно быстрое убывание решений

одномерного линейного уравнения Клейна-Гордона с потенциалом, а хорошо известное убывание ~ ¿-1/2, справедливое для решений свободного уравнения, недостаточно для применяемых методов (см. дискуссию во введении [25]).

Поэтому первым нашим результатом в этом направлении было доказательство быстрого убывания ~ £~3//2 в весовых энергетических нормах для решений одномерного линейного уравнения Клейна-Гордона с потенциалом при условии отсутствия собственных значений и резонансов в концевых точках непрерывного спектра.

Часть I

Дисперсионное убывание

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Копылова, Елена Андреевна, 2013 год

Литература

[1] Б.Р. Вайнберг, Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982. -294 с.

[2] В. Гейзенберг, Введение в единую полевую теорию элементарных частиц. М.: Мир, 1968. -239 с.

[3] И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965. -448 с.

[4] Е. Копылова, Дисперсионные оценки для уравнений Шредингера и Клейна-Гордона, Успехи матем. наук 65 (2010), №1, 95-144. (Имеется английский перевод : Е. Kopylova, Dispersion estimâtes for Schrôdinger and Klein-Gordon équation, Russian Math. Survey 65 (2010), no. 1, 95-142.)

[5] E. Копылова, Дисперсионные оценки для дискретных уравнений Шредингера и Клейна-Гордона, Алгебра и анализ 21 (2009), №5, 87-113. (Имеется английский перевод : E. Kopylova, Dispersion estimâtes for discrète 3D Schrôdinger and Klein-Gordon équations, St. Petersburg Math. J. 21 (2010), no. 5, 743-760.)

[6] E. Копылова, Об убывании резольвенты оператора Шредингера, Труды Математического института им. В.А. Стеклова 270 (2010), Дифференциальные уравнения и динамические системы, 170-176. (Имеется английский перевод : E. Kopylova, On the decay of the résolvent of the Schrôdinger operator, Proc. Steklov Inst. Math. 270 (2010), no. 1, 165-171.

[7] E. Копылова, On long-time decay for magnetic Schrôdinger and Klein-Gordon équations, Труды Математического института им. В.А. Стеклова 278 (2012), 1-9. (Proc. Steklov Inst. Math. 278 (2012), 121-129.)

[8] Е. Копылова, Асимптотическая устойчивость солитонов для нелинейных гиперболических уравнений, Успехи матем. наук 68 (2013), №2, 91-144.

[9] А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров, Специальные функции математической физики, Москва, Наука, 1984. -344 с.

[10] М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, III, Москва, Мир, 1982. -443 с.

[11] М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, IV, Москва, Мир, 1982. -427 с.

[12] М. Шубин, Псевдодифференциальные орераторы и спектральная теория, Москва, Наука, 2005. -304 с.

[13] S. Agmon, Spectral properties of Schrodinger operator and scattering theory, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Ser. IV 2 (1975), 151-218.

[14] F. Bjorn, Geometry, Particles, and Fields, Springer, NY, 1998. -672 c.

[15] P.M. Bleher, On operators depending meromorphically on a parameter, Moscow Univ. Math. Bull. 24 (1972), 21-26.

[16] P. Brenner, On the existence of global smooth solutions of certain semi-linear hyperbolic equations, Math. Z. 167 (1979), 99-135.

[17] P. Brenner, On scattering and everywhere defined scattering operators for nonlinear Klein-Gordon equations, J. Differ. Equations 56 (1985), 310-344.

[18] N. Boussaid, Stable directions for small nonlinear Dirac standing waves, Comm. Math. Phys. 268 (2006), no. 3, 757-817.

[19] N. Boussaid, S. Cuccagna, On stability of standing waves of nonlinear Dirac equations, Comm. Partial Diff. Eqns. 37 (2012), no. 4-6, 10001-1056.

[20] V. Buslaev, A. Komech, E. Kopylova, D. Stuart, On asymptotic stability of solitary waves in nonlinear Schrodinger equation, Comm. Partial Diff. Eqns. 33 (2008), no. 4, 669-705.

[21] V.S. Buslaev, G. Perelman, Scattering for the nonlinear Schrodinger equations: states close to a soliton, St. Petersburg Math. J. 4 (1993), no. 6, 1111-1142.

[22] V.S. Buslaev, G. Perelman, On the stability of solitary waves for nonlinear Schrodinger equations, Amer. Math. Soc. Trans. (2) 164 (1995), 75-98.

[23] V.S. Buslaev, C. Sulem, On asymptotic stability of solitary waves for nonlinear Schrodinger equations, Ann. Inst. Henri Poincare, Anal. Non Lineaire 20 (2003), no. 3, 419-475.

[24] S. Cuccagna, Stabilization of solutions to nonlinear Schrodinger equations, Comm. Pure Appl. Math. 54 (2001), 1110-1145.

[25] S. Cuccagna, On asymptotic stability in 3D of kinks for the фА model, Transactions of AMS 360 (2008), no. 5, 2581-2614.

[26] P. D'Ancona, V. Georgiev, H. Kubo, Weighted decay estimates for the wave equation, J. Differ. Equations 177 (2001), no. 1, 1464208.

[27] J.-M. Delort, Global existence and asymptotics for the quasilinear Klein-Gordon equation with small data in one space dimension. [French], Ann. Sci. Norm. Sup. (4) 34 (2001), no. 1, 1-61.

[28] W. Heisenberg, Der derzeitige Stand der nichtlinearen Spinortheorie der Elementarteilchen, Acta Phys. Austriaca 14 (1961), 328-339.

[29] A. Jensen, T. Kato, Spectral properties of Schrodinger operators and time-decay of the wave functions, Duke Math. J. 46 (1979), 583-611.

[30] A. Jensen, Spectral properties of Schrodinger operators and time-decay of the wave function. Results in L2(Rm), m > 5, Duke Math. J. 47 (1980), 57-80.

[31] A. Jensen, Spectral properties of Schrodinger operators and time-decay of the wave function. Results in L2(R4), J. Math. Anal. Appl. 101 (1984), 491-513.

[32] A. Jensen, G. Nenciu, A unified approach to resolvent expansions at thresholds, Reviews in Math. Phys. 13 (2001), no. 6, 717-754.

[33] V. Imaikin, A.I. Komech, B. Vainberg, On scattering of solitons for the KleinGordon equation coupled to a particle, Comm. Math. Phys. 268 (2006), no. 2, 321-367.

[34] E. Kirr, A. Zarnesku, On the asymptotic stability of bound states in 2D cubic Schro"dinger equation, Comm. Math. Phys. 272 (2007), no. 2, 443-468.

[35] S. Klainerman, Remark on the asymptotic behavior of the Klein-Gordon equation in Rn+1, Comm. Pure Appl. Math. 46 (1993), no. 2, 137-144.

[36] A. Komech, N.J. Mauser, A. Vinnichenko, On attraction to solitons in relativists nonlinear wave equations, Russ. J. Math. Phys. 11 (2004), no. 3, 289-307.

[37] A. Komech, E. Kopylova, Scattering of solitons for Schrodinger equation coupled to a particle, Russian J. Math. Phys. 13 (2006), no. 2, 158-187.

[38] A. Komech, E. Kopylova, Weighted energy decay for ID Klein-Gordon equation, Comm. PDE 35 (2010) , no. 2, 353-374.

[39] A. Komech, E. Kopylova, Long time decay for 2D Klein-Gordon equation, J. Func. Anal. 259 (2010), no. 2, 477-502.

[40] A. Komech, E. Kopylova, Weighted energy decay for 3D Klein-Gordon equation, J. Differ. Equations 248 (2010), no. 3, 501-520.

[41] A. Komech, E. Kopylova, Dispersion decay and scattering theory. John Willey and Sons, Hoboken, New Jersey, 2012. -175 c.

[42] A. Komech, E. Kopylova, M. Kunze, Dispersion estimates for ID discrete Schrodinger and Klein-Gordon equations, Applicable Analysis 85 (2006), no. 12, 1487-1508.

[43] A. Komech, E. Kopylova, D. Stuart, On asymptotic stability of solitons in a nonlinear Schrodinger equation, Comm. Pure and Applied Analysis 11 (2012), no. 3, 1063-1079.

[44] A. Komech, E. Kopylova, H. Spohn, Scattering of solitons for Dirac equation coupled to a particle, J. Math. Anal. Appl. 383 (2011), 265-290.

[45] A. Komech, E. Kopylova, B. Vainberg, On Dispersion properties of discrete 2D Schrodinger and Klein-Gordon equations, J. Func. Anal. 254 (2008), 2227-2254.

[46] E. Kopylova, Existence of solitary waves for the discrete Schrodinger equation coupled to nonlinear oscillator, Russian J. Math. Phys. 15 (2008), no. 4, 486-491.

[47] E. Kopylova, Weighted energy decay for 3D wave equation, Asymptotic Anal. 65 (2009), no. 1-2, 1-16.

[48] E. Kopylova, On asymptotic stability of solitary waves in discrete Schrodinger equation coupled to nonlinear oscillator, Nonlinear Analysis Series A: Theory, Methods and Applications 71 (2009), no. 7-8, 3031-3046.

[49] E. Kopylova, Weighted energy decay for ID wave equation, J. Math. Analysis and Applications 366 (2010), no. 2, 494-505.

[50] E. Kopylova, Long-time decay for 2D wave equation, Russian J. Math. Phys. 17 (2010), no. 2, 226-239.

[51] E. Kopylova, On asymptotic stability of solitary waves in discrete Klein-Gordon equation coupled to nonlinear oscillator, Applicable Analysis 89 (2010), no. 9, 1467-1493.

[52] E. Kopylova, Weighted energy decay for ID Dirac equation, Dynamics of PDE 8 (2011), no. 2, 113-125.

[53] E. Kopylova, On long-time decay for modified Klein-Gordon equation. Comm. Math. Analysis, Conference 03 (2011), 137-152.

[54] E. Kopylova, A. Komech, On asymptotic stability of moving kink for relativistic Ginzburg-Landau equation, Comm. Math. Phys. 302 (2011), no. 1, 225-252.

[55] E. Kopylova, A. Komech, On asymptotic stability of kink for relativistic Ginzburg-Landau equation, Arch. Rat. Mech. and Analysis 202 (2011), no. 2, 213-245.

[56] H. Kubo, S. Lucente, Note on weighted Strichartz estimates for Klein-Gordon equations with potential, Tsukuba J. Math. 31 (2007), no. 1, 143-173.

[57] J.L. Lions, "Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites non Linéaires", Paris, Dunod, 1969. -554 c.

[58] L.-E. Lundberg, Spectral and scattering theory for the Klein-Gordon equation, Comm. Math. Phys. 31 (1973), no. 3, 243-257.

[59] B. Marshall, W. Strauss, S. Wainger, LP — Lq estimates for the Klein-Gordon equation, J. Math. Pures Appl. 59 (1980), 417-440.

[60] C.S. Morawetz, W.A. Strauss, Decay and scattering of solutions of a nonlinear relativistic wave equation, Comm. Pure Appl. Math. 25 (1972), 1-31.

[61] M. Murata, Asymptotic expansions in time for solutions of Schrôdinger-type equations, J. Fund. Anal. 49 (1982), 10-56 .

[62] J. Miller, M. Weinstein, Asymptotic stability of solitary waves for the regularized long-wave equation, Comm. Pure Appl. Math. 49 (1996), no. 4, 399-441.

[63] Pego R.L., Weinstein M.I., On asymptotic stability of solitary waves, Phys. Lett. A 162 (1992), 263-268.

[64] R.L. Pego, M.I. Weinstein, Asymptotic stability of solitary waves, Commun. Math. Phys. 164 (1994), 305-349.

[65] D. Pelinovsky, A. Stefanov, Asymptotic stability of small gap solitons in the nonlinear Dirac equations. ArXiv: 1008.4514 .

[66] C.A. Pillet, C.E. Wayne, Invariant manifolds for a class of dispersive, Hamiltonian, partial differential equations, J. Differ. Equations 141 (1997), no. 2, 310-326.

[67] M. Reed, "Abstract Non-Linear Wave Equations", Lecture Notes in Mathematics 507 , Springer, Berlin, 1976. -128 c.

[68] I. Rodnianski, W. Schlag, A. Soffer, Dispersive analysis of charge transfer models, Commun. Pure Appl. Math. 58 (2005), no. 2, 149-216.

[69] M. Schechter, The Klein-Gordon equation and scattering theory, Ann. Phys. 101 (1976), 601-609.

[70] I.M. Sigal, Nonlinear wave and Schrôdinger equations. I: Instability of periodic and quasiperiodic solutions, Comm. Math. Phys. 153 (1993), no. 2, 297-320.

[71] A. Soffer, M.I. Weinstein, Multichannel nonlinear scattering for nonintegrable equations, Comm. Math. Phys. 133 (1990), 119-146.

[72] A. Soffer, M.I. Weinstein, Multichannel nonlinear scattering for nonintegrable equations. II. The case of anisotropic potentials and data, J. Differential Equations 98 (1992), no. 2, 376-390.

[73] A. Soffer, M.I. Weinstein, Resonances, radiation damping and instability in Hamiltonian nonlinear wave equations, Invent. Math. 136 (1999), 9-74.

[74] A. Soffer, M.I. Weinstein, Selection of the ground states for NLS equations, Rev. Math. Phys. 16 (2004), no. 8, 977-1071.

[75] W.A. Strauss, Nonlinear invariant wave equations, Lecture Notes in Physics 73 (1978), 197-249.

[76] T.P. Tsai, H.T. Yau, Asymptotic dynamics of nonlinear Schrodinger equations: resonance-dominated and dispersion-dominated solutions, Commun. Pure Appl. Math. 55 (2002), no. 2, 153-216.

[77] T.P. Tsai, Asymptotic dynamics of nonlinear Schrodinger equations with many bound states, J. Diff. Equations 192 (2003), no. 1, 225-282.

[78] B.R. Vainberg, On short-wave asymptotic behaviour of solutions of steady-state problems and the asymptotic behaviour as t —> oo of solutions of time-dependent problems, Russian Math.Surveys 30 (1975), no. 2, 1-58.

[79] B.R. Vainberg, Behaviour for large time of solutions of the Klein-Gordon equation, Trans. Mosc. Math. Soc. 30 (1976), 139-158.

[80] M. Weinstein, Modulational stability of ground states of nonlinear Schrodinger equations, SI AM J. Math. Anal. 16 (1985), no. 3, 472-491.

[81] Weder R.A., Scattering theory for the Klein-Gordon equation, J. Funct. Anal. 27 (1978), 100-117.

[82] Weder R.A., The IP-IP' estimate for the Schrodinger equation on the half-line, J. Math. Anal. Appl 281 (2003), no.l, 233-243.

[83] K. Yajima, The Wk* -continuity of wave operators for Schrodinger operators. J. Math. Soc. Japan 47 (1995), no. 3, 551-581.