Многоточечная нелокальная спектральная задача для уравнения Штурма-Лиувилля на полуоси тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Каримов, Миндиахмет Галимжанович

• Каримов, Миндиахмет Галимжанович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Каримов, Миндиахмет Галимжанович

Введение.

Глава 1. Спектральные свойства невозмущенных операторов м° и l0.

§1. Оператор М° и ее резольвента

§2. Особенности резольвенты оператора М°

§3. Разложение резольвенты оператора М°

§4. Спектральные свойства вспомогательного оператора L

§5. Разложение по спектру оператора Ь°

Глава 2. Спектральные свойства оператора L

§6. Определение возмущенного оператора L

§7. Асимптотика дискретного спектра оператора L

§8. Анализ множеств &d{L) и as(L).

§9. Асимптотическое поведение отрицательного спектра.

§10. О спектральных проекторах оператора L

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многоточечная нелокальная спектральная задача для уравнения Штурма-Лиувилля на полуоси»

В диссертации изучаются многоточечная и двухточечная нелокальная спектральная задача для уравнения Штурма-Лиувилля на неотрицательной полуоси.

При моделировании различных процессов физики, химии, экологии, биологии часто возникают задачи, когда вместо классических краевых условий задана определенная связь значений искомой функции на границе области и внутри ее. Задачи такого типа называют нелокальными задачами.

В настоящее время особый интерес к нелокальным задачам обусловлен, с одной стороны, значительными теоретическими достижениями в данном направлении и, с другой стороны, важными приложениями, возникающими в таких областях, как: теория плазмы [1, 58], биофизика, теория диффузионных процессов [73, 74], теория многослойных пластин и оболочек [52, 70], физики полупроводников и гидромеханики

4].

В одномерном случае нелокальные задачи изучали еще A.Sommerfeld [69], Я.Д.Тамаркин [62], M.Picone [72], A.M. Кг all [67] и др.

В работе Аллана М.Кралла изучается оператор L, порожденный в ,£2(0, оо) дифференциальным выражением £(у) — — у" 4- д(х)у и граничным условием вида оо K{x)y{x)dx - Ру{0) + ш/(0) = 0, о где К{х) G ,£2(0,оо), \а\2 + \/3\2 > 0. Если К{х), q{x) € ^(О.оо) и а 0, то строение спектра такое же, как в случае краевого условия у(0) =0. В частности, собственные значения образуют не более чем счетное ограниченное множество с предельными точками только на полуоси (заполненной непрерывным спектром) А > 0.

В двумерном случае, по-видимому, одна из первых работ, посвященных нелокальным задачам, принадлежит T.Carleman [68]. В его работе ищется гармоническая в области G функции, удовлетворяющей следующему нелокальному условию на границе Т области: значение неизвестной функции в точке у е Т связано со значением в точке ш(у), где и : Т —> Т — преобразование границы, удовлетворяющее требованию и(и(у)) = у, у 6 Т. С такой постановкой задачи связаны дальнейшие исследования нелокальных эллиптических задач со сдвигами, отображающими границу области на себя, и абстрактных эллиптических задач [6, 65, 66].

В 1969 году А.В.Бицадзе и А.А.Самарский [1] рассмотрели возникающую в теории плазмы математическую модель нелокальной задачи следующего вида: ищется гармоническая в прямоугольнике G — {у £ 1R2 : — 1<г/1<1, 0<2/2<1} и непрерывная на G функция и(У1)У2)? удовлетворяющая условиям и(уи0) = gi{yi), u(yi,l) = g2(yi), -1<уг<1, Ц-1,У2)=0зЫ, w(l,y2) = и(0,у2), 0<г/2<1, где gi,g2,9z — заданные непрерывные функции. Данная задача решена в работе [1] сведением к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и применением принципа максимума. В случае произвольной • области и общих нелокальных условий задача была сформулирована как нерешенная (см. также [58, 67]). Впоследствии, сформулированная задача в [1], была названа задачей Бицадзе-Самарского, и были предложены методы решения задач указанного типа для достаточно общих эллиптических уравнений. В теории упрогости и теории оболочек граничные условия, схожие с условиями Бицадзе-Самарского, были рассмотрены в [9], где достаточно ограниченных условиях доказана единственность решения нелокальной задачи в случае трехмерных уравнений теории упругости, а в случае круговых пластин поставленная нелокальная задача решена эффективно.

Различные варианты и обобщения моделей нелокальных задач, которые содержат преобразования переменных, отображающие границу внутрь замыкания области, рассматривали Н.В.Житарашу и С.Д.Эй-дельман [12], Я.А.Ройтберг и З.Г.Шефтель [57], В.А.Ильин и Е.И.Моисеев [15] и др.; при этом особое внимание уделялось разрешимости соответствующих моделей нелокальных задач.

В работах В.А.Ильина [16], Е.И.Моисеева [38, 39] исследовались спектральные свойства математических моделей нелокальных задач: проблемы базисности систем собственных и присоединенных функций, проблема сходимости спектральных разложений по этим системам, а также методы их решения; в работах А.А.Шкаликова [64], И.И.Ионкина [20] изучалась задача теплопроводности с интегральным нелокальным условием; в трудах Р.Ю.Чегиса, М.П.Сапаговаса, В.В.Буда [4] — задачи физики полупроводников и гидромеханики. Впоследствии эта проблематика получила развитие в работах ряда авторов и в настоящее время ведутся активные исследования. Отметим, что в данных работах изучаются либо одномерный или двумерный случай, либо уравнение второго порядка, либо накладываются достаточно жесткие условия на геометрию носителя нелокальных членов.

В данной диссертации изучаются свойства спектральных проекторов и резольвенты, густота и оценка собственных значений, асимптотика дискретного спектра многоточечной нелокальной спектральной задачи на полуоси для оператора Штурма-Лиувилля. Актуальность этой проблемы естественным образом обусловлено тем, что многие технические и физические процессы требуют решения задач на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений. Например, одной из центральных задач определения собственных значений оператора энергии в области квантовой механики, является стационарное уравнение Шредингера на полуоси. Следует отметить, что квантовая механика находит широкое применение практически во всех областях физики, в частности, в современном направлении построения квантовых компьютеров. С развитием квантовой механики, проблема исследования собственных значений и собственных функций сингулярных операторов стала весьма актуальной. При изучении нелокальной спектральной задачи для оператора Штурма-Лиувилля мы опираемся на известные результаты М.А.Наймарка [49, 50], В.А.Ильина, Е.И.Моисеева[14,15,16,17,18], В.А.Марченко [37], Х.Х.Муртазина [48, 41], Я.Т.Султанаева[60] и других [8, 29, 30, 31, 35].

Данная.работа состоит из двух глав. Первая глава содержит §§1-5, вторая - §§6-10.

В первой главе изучаются спектральные свойства оператора, действующего в пространстве £2( JR +), заданного дифференциальным выражением £[и] = —и"(х) и многоточечным нелокальным условием т Аки(ка) = 0, (1) fc=0 где постоянные А^ и а удовлетворяют следующим условиям: Aq ф 0, а > 0. Без ограничения общности будем считать, что Ат — 1.

При некоторых дополнительных ограничениях на А& изучаются свойства спектральных проекторов и резольвенты, разложение по спектру, спектральные особенности.

В отличие от ограниченной области, где спектр расположен на параболе, в случае неограниченной областей помимо спектра, расположенного на параболе, появляются еще непрерывный спектр, совпадающий с положительной полуосью и спектральные особенности, лежащие на непрерывном спектре.

Изложим более подробно содержание первой главы. Первый параграф носит вспомогательный характер. В нем изучаются спектральные свойства оператора М° действующего в пространстве £2( М +), порожденного дифференциальным выражением £[и] — —и" с областью определения Т>(М°), состоящей из функций и 6 М +) и удовлетворяющей условию (1). Справедлива следующая

Теорема 1.1. Ядро R°(x,t,z) оператора (М° — допускает представление

R°(x, t, z) = G°v(x, t, z) - r°{x, t, z), (1.3) где

G°v{x,t,z)

1 | sin y/zt t<x, sin y/zx е1у/*1, t > x, iy/zx

L4)

Im yfz > 0 при z^, [0, oo), d°(A) = p{eiXa), если = E Aktk, k=0 m i sin Jzt Q^ka t < ka,

Ф(M^E^-U v ' (1-5)

1 V^ ^ sin y/zka e^, t > ka.

Из доказанной теоремы 1.1. следует, что при всех не принадлежащих полуоси (0, со) и не совпадающих с нулями функции d°(y/z), резольвента оператора М° существует и является мероморфной функцией параметра г, полюсы которой совпадают с нулями d°{y/z). В частности, отсюда следует, что оператор М° есть замкнутый оператор, причем легко проверить, пользуясь (1.3) и (1.4), что непрерывный спектр (см. например, [11]) совпадает с полуосью (0, со), а собственными значениями вне непрерывного спектра являются нули функции

В §2 изучаются особенности резольвенты оператора М°. Основным результатом этого параграфа является следующая V

Теорема 2.1. Пусть - простой нуль многочлена p(t) ----- П (t— fc=i

LOk)mk, такой, что \и>к\ < 1. Тогда соответствующий собственный проектор

-p°«k) = J- j R°(z) dz (2.5) m\z-zfk\=e e > 0— достаточно мало) имеет ядро

V°f\x,t)=eiX°^lk(t), (2.6) где

1 771 , , lk(t) = тг l. .МП, Е^аМ.

IT(wfc-we)m' T=i вфк штк (e~iX°kt - eiA°fc<) , t <ra, wa7t - ul) £ > та. серил = v^zfcj £ Ж ) — собственные значения оператора М°, являющиеся простым полюсом резольвенты R°(z).

В §3 получена разложение резольвенты по непрерывному и дискретным спектрам оператора М°. Сформулируем основной результат параграфа.

Теорема 3.1. При каждом z ^ а(М°) ядро R°(x,t,z) резолъвенты R(z) = (М° — zl)~l представляется в виде суммы

R°(x, t, z) = R°ac(x, t, z) + R°d(x, t,z), cr(L°), (3.1) где a{L°) = R+ U<rd(L°), ad{L°) = {zfk}f=I e Z, k0 - число серий собственных значений при \шк\ < 1, = / z^li^l dAj t,z) -EE E

0 Л ~ z k= 1 i=1 г=-оо — 2 J

3.2)

Ф(я, t, A) = —^ £, A + г0) - t, А - г0)],

27гг

0(г/г) L I v-i ро/ причем интеграл и ряд в (3.2) равномерно сходятся по (х, t) € IR + х JR+.

В §4 изучается двухточечная нелокальная спектральная задача для уравнения Штурма-Лиувилля на полуоси.

Рассмотрим оператор L°, действующего в пространстве £2{TR+), порожденном дифференциальным выражением £[и] — —и" с областью определения V{L°), состоящей из функций и 6 wf (IR+) и удовлетворяющей условию Аи(о)—и(а), где А — постоянная, Аф 0 и а > 0 — фиксированное число.

Основным результатом этого параграфа является доказательство следующего утверждения. оо оо .

Теорема 4.1. Пусть bk{h) = f Vk(t)h(t)dt, dk(h) = / e^htydt, h E L2( IR +), |A| < 1. Тогда существуют постоянные c\ >0, C2 >

О такие, что для всех М С 2Z и h € £2( М +) выполнены неравенства

Е |ВД|2<С1|Н|2, Е < с2||/г||2. кем кем

Доказательство теоремы основывается на использовании неравенств

Бесселя и Коши-Буняковского.

В пятом параграфе получено разложение по дискретному и непрерывному спектрам оператора L0. Сингулярные точки оператора L0 совпадают с нулями функции d(z) = А — ег^а\ непрерывный спектр оператора L0 совпадает с полуосью [0, оо), а особенностями резольвенты являются числа z°t = (А£)2; arg Аке Если < ^ то простое собственное значение оператора L°\ если \А\ = 1, то имеем спектральные особенности на верхнем и нижнем берегах разреза [0,оо); если |А| > 1, тонули d(z) лежат на втором листе римоно-вой поверхности и спектр абсолютно непрерывен.

Основным результатом этого параграфа является доказательство того, что любая функция и Е £2( М +) допускает разложение по собственным функциям абсолютно непрерывного и дискретного спектров оператора Lа именно справедлива

Теорема 5.1. Пусть |Л| < 1 . Тогда любая функция из £2( М +) допускает представление оо 00 и= Е V°ku+[$xud\, (5.8) где V^ - вычеты, определенные в ( 4-5), а ядро Фд имеет вид Фл = ^[Я0(А + гО)-Д0(А-гО)], причем сумма и интеграл сходятся в £2{ JR +).

Доказательство основывается на использовании свойств синус и косинус преобразований Фурье и равенства Парсеваля (см., например, [26]).

Если же |А| = 1, то дискретного спектра нет, но появляется бесконечное число спектральных особенностей, расположенных на верхнем и нижнем берегах разреза [0, оо). Для данного случая решена задача регуляризации спектрального разложения оператора L° , которая позволяет любую функцию и Е £2( Ш +) разложить по собственным функциям абсолютно непрерывного спектра. Справедлива следующая

Теорема 5.2. Пусть А = ±1 . Тогда для любой функции и(х) G

2{ М +) справедлива разложение . Iе)? ^.smybx 1 °r cosл/zx . и(х) = — / u\(z)--=—az + v.p.— / U2[z)-—az, yfz ttI y/z

5.9) где

Mz) = \ u2(z) 1

J u(t) sin y/ztdt + sin \fza J u(t) cos y/ztdt о 'a

1 fzQ, °°

- sin2 —— / u(t) sin y/ztdt,

2 2 I fza a 00 ctg——— I u(t) sin л/ztdt + sin \/za j u(t) sin y/ztdt о о

1 + cos Jza) f , . r- , +--—^—>- j u(t) cos y/ztdt, второй интеграл в правой части (5.9) понимается в смысле главного значения Коши.

Отметим, что особая роль, принадлежащая спектральным особенностям, была впервые обнаружена в работе Наймарка М.А. [50]. Сам термин "спектральная особенность" был введен позже в работе Дж. Шварца [11]. Они играют важную роль в анализе оператора L0. Детальному исследованию операторов со спектральными особенностями посвящены работы Лянце В.Э. [30]- [34], Павлова B.C. [53]- [55], Гасы-мова М.Г. [8].

В главе 2 изучаются спектральные свойства несамосопряженного оператора L порожденного дифференциальным выражением 1[и] — —и"(х) + q(x)u(x) действующего в пространстве £2( М +) с условием у4и(0) = и(а), где а > О, А — постоянная, А 0, q(x) — измеримая функция, удовлетворяющая определенным дополнительным условиям. Изучаются асимптотика дискретного спектра, густота собственных значений, свойства спектральных проекторов.

Перейдем к более подробному описанию результатов по параграфам.

В §6 описывается область определения замкнутого оператора L .

Если q(x) удовлетворяет условию: ж+1 q{x) е £lc{ я +), sup / \q(t)\2dt < оо, (6.1) ж>о i то, согласно теореме Като - Реллиха, оператор L — L° + q будет замкнутым в области D(L) = D(L°). Если дополнительно известно, что ж+1

Jim / \q(t)\2dt — 0, (6.2) ж то оператор q компактен относительно L°, и сге(1/) = cre(L°) , а (7d(L) не имеет точек накопления вне ae(L) . Иначе говоря, возмущения, удовлетворяющие условиям (6.1) - (6.2), сохраняют непрерывный спектр. Однако уже кулоновский потенциал q{x) — сж-7, 0 < 7 < 2, при 7> 1/2 не удовлетворяет условию q{x) Е <£'2[0,1]. Поэтому возникает необходимость описания области определения замкнутого оператора L = — + <?, для которого потенциал q имеет особенность в нуле, а при этом сте(Ь) — [0, оо) . Имеет место следующая

Теорема 6.1. Пусть q(x) — комплекснозначная измеримая функция, такая, что при некотором 7 > 0 выполняются условия: 7

• fx\q(x)\dx < 00;

• q{x)e£Lb, 00); 0

Тогда оператор Lu — —+ <? замкнут в области D{L), состоящей из функций /(ж), удовлетворяющих условиям:

1. При каждом £ > 0 / G Ф( М +)Пw2[e,00).

В. Л/(0) = /(а).

3. lim xf'(x) = 0.

При этом ae(L) = [0, с»).

Доказательство теоремы разбито на ряд лемм (леммы 6.1- 6.2). Вначале определяется банохово пространство В ограниченных непрерывных функций, суммируемых квадратом на JR + . Норма в В определяется равенством

11/11!= SUP |/(Ж)| + Ц/Ц, а;>0 где || • || - норма в пространстве £2{ Ж +) .

В §7 получена асимптотика дискретного спектра оператора L.

Пусть q(x) подчинен условиям:

1 00

Jx\q(x)\dx < оо, J \q(x)\dx < оо, (7.1) о 1 тогда ядро R(x,t,z) резольвенты R(z) = (L — z)~1 можно задать по аналогии с R°(x, t, z)

Для этого введем вспомогательный оператор

Lvu(x) = -и"(х) + q(x)u(x), u(0) = 0 £2( R +).

Известно (см., например, [49]), что ядро Gv{%,t,z) оператора G{z)— (L-d — z)~l представляется в виде 1 y{t, y/z), t<x,

Gv(x,t,z) = (7.2)

VzeWz) [ e(t,y/z) y(x,y/z), t > x, где Im y/z > 0 при z ^ [0, oo), e(A) = e(0,A), e(x, A), y(x, A)— решения интегральных уравнений e(x, A) = е'аж + A)dt,. (7.3) у{х, А) = sin Хх + / SmA(\X—-q(t)y(t, A)dt. (7.4) о Л

Тогда R(x, t, 2;) представляется в виде

2г) = Gv(x, t, z) + r(x, t, 2) = Gv(x, t, 2:) + \ ' y*Gv{a, t, z), d(y/z)

7.5) где d(A) = Ле(0,А)-e(a,A). (7.6)

Поскольку e(£, А) (см., н-р, [36]) аналитичнав верхней полуплоскости Im А > 0 и А) — целая функция параметра то R(x, t, А) меромофная функция в комплексной 2; -плоскости с разрезом [0,оо) . Полюсы R(x,t,z) совпадают с точками дискретного спектр сг^(Ь), то есть с нулями функции d(^) при £^[0,оо). В (7.5) (?£>(ж, t, z) также мероморфная функция, полюсы которой совпадают с точками дискретного спектра UdiLv) оператора Ьт>, то есть с нулями функции e(v/i) при 0,00). Нули d{yfz) и е(л/5) совпадают только тогда, когда е(а,л/г) ='0, то есть когда г точка спектра cr(L$) оператора = — ^ + q задачи Дирихле на отрезке [0,а]. Так как множество crd(I/£>) ограничено, то множество <Jd(L) П aci(Lx>) конечно. Поэтому, если 0, е(л/5о) = 0 , в (7.5) ядро R(x,t,z) не имеет особенностей в точке zq 0 [0,00), (в этом можно убедится непосредственно, пользуясь представлением Gx>(x,t,z) в окрестности zq ). Далее, кроме точек дискретного спектра, резольвента R{z) может иметь особенности на верхнем и нижнем берегах разреза [0,оо), которым отвечают соответственно положительные и отрицательные нули функции d(А). При больших |Л| для нулей d(А) справедлива следующая Теорема 7.1. Пусть q(x) е £(М+). Тогда при \А\ < 1 функция d(А) е верхней полуплоскости имеет нули вида А*= А*+ dv? /+ ° Ш' |А;| >> h (7-7) с Q где Х% - - ip = arg'Л, /с G Ж определен в (44).

Если же q(x) Е £( М +), q'(x) е £(Ш +), то

At =+ i^Jq{t)dt-+ '9(0)1+0Ш> '*> >>L

7.8)

Если |А\ > 1, то d(А) не имеет нулей при |А| 1. Доказательство основывается на известной асимптотике функции е(х,А) ( [36], гл.З, §1]) и равенстве (4.4).

В §8 изучается густота собственных значений оператора L. Совокупность вещественных нулей функции d(А) обозначим через множество crs(L), а совокупность вещественных нулей функции е(А) через множество crs(Lx>). Справедлива следующая

Теорема 8.1 Пусть А = A, q(x) — q(x), q(x) € £(JR+). Тогда:

1. Множество crd(L) при \А\ < 1 не имеет точек накопления, отличных от нуля и бесконечности.

2. При \А\ > 1 множество crci(L) ограничено и не имеет точек накопления, отличных от нуля.

3. При ф 1 множество as{L) конечно.

4. При А — ±1 множество crs(L) не имеет конечных точек накопления.

5. Если А = ±1 и дополнительно известно, что q'(x) G L{ JR +) и д(а) ф то множество &S(L) конечно.

Доказательство основывается на свойствах функций е(х, Л), е(0, Л) и асимптотики функции d(А).

В дальнейшем используется решение уравнения [40] оо ф, А) + / g°(x, t, X2)g{t)(p(t, A)dt = Im A > 0. (8.5) о

Если Л ф 0, Im Л > 0 Л2 ^ <Jd{Lv) или если, Л ф 0, Im Л = 0 Л 0 <ta.(Z/£>), то при условии q(x) G £'( jR +) уравнение имеет единственное решение в классе ограниченных непрерывных функций. При этом <р(х, A) G £2(lR+)i если Im Л > 0, следовательно, <р(х,Л) = В(А)е(х,Л), Im Л > 0, А2 0 o-d(Lp), где Б(А) -постоянная. Для функции у?(а;, Л) справедлива следующая

Лемма 8.2. Допустим, что q{x) G £( JR +). Пусть либо Im А0 > 0, A2 G ad{Lv), либо \0 ф 0, Im А0 = 0, А0 G as(Lv), a f(x) - решение однородного уравнения оо f(x) + J G°(xXX20)q(t)f(t) = 0 (8.8) о в классе ограниченных непрерывных функций. Тогда, при каждом х >

0, f(x) 0 имеет место lim \tp{x, Л)| = +00. (8.9)

А—>Ао

Основной результат этого параграфа.

Теорема 8.2. Пусть xq(x) G £(М+),~ и выполнено одно из следующих условий:

1. уравнение (8.8) имеет нетривиальное решение при А = 0. Функция q(x) вещественна на [0,а].

3. Оператор не имеет нулевого собственного значения.

Тогда точка нуль не является точкой накопления множеств ad(L) и as(L).

При доказательстве использована идея, предложенная в работе [40] и результаты лемм 8.2 и 8.4.

Замечание 8.2 В условиях теоремы 2 работы [40] функция <р(а, Л) допускает аналитическое продолжение в некоторые углы, содержащие положительную и отрицательную полуоси как мероморф-ная функция параметра Л. Поэтому в этом случае справедливы утверждения теоремы 8.1 для комплекснозначного потенциала.

В §9 изучаются оценка отрицательного спектра оператора L при вещественных ,q(x).

Справедливы следующие утверждения

Теорема 9.1. Пусть q(x) = q(x), q(x) € £(]R+), оператор Lx> имеет собственные значения Mi < № < ••• < Mn < 0, a> оператор не имеет отрицательного спектра. Тогда на интервалах (—oo,/^i), (/^1,^2);., (Мп-1>существуют собственные значения оператора L. Если при этом уравнение (8.8) имеет нетривиальное решение, то на интервале 0) также есть собственное значение оператора L.

При доказательстве используется асимптотическое представление формулы (8.5) и результаты леммы 8.2.

Теорема 9.2. Пусть число А ф 0 - вещественно, и х+1 q{x) = q(x), q(x) € £2loc{ M +), Jm^ / q2(t)dt = 0, X оператор Lp имеет бесконечный отрицательный спектр. Тогда оператор L также имеет бесконечный отрицательный спектр, причем собственные значения L расположены меоюду собственными значениями оператора Lv. Если А > 0, то существует собственное значение оператора L левее первого собственного значения оператора Lp.

Замечание 9.2. Ограничение на оператор (ограничение на а), использованное в теоремах 9.1 и 9.2 не имеет принципиального характера. Эти теоремы легко переформулируются на случай произвольного а .

Теорема 9.3. Пусть q(x) £ (D{1R+), q(x) —> +00 при х —» оо, А — А ф 0. Тогда оператор L имеет бесконечный вещественный дискретный спектр, причем собственные значения оператора L расположены между собственными значениями оператора Lp.

В §10 изучается вопрос о разложении по собственным функциям дискретного и непрерывного спектров оператора L. Эти вопросы можно изучать по традиционной схеме, характерной для несамосопряженных операторов (см., н-р, [50]- [8]). Не останавливаясь на общем случае, мы здесь изучаем лишь вопрос о сходимости разложения по собственным функциям оператора L, соответствующим собственным значениям оператора L0.

Пусть V — произвольный ограниченный линейный оператор в £2(Ш +), оператор L = L° + V. Так как \zk+i — Zk\ —»■ оо при \к\ —> оо, то по теории возмущений [25] при \к\ >>1 оператор L имеет простые собственные значения Zk, такие, что \zk~z%\ < c0||F||. Пусть Vk — соответствующие им проекторы на собственные подпространства, соответствующие собственным значениям z£ . Имеет место

Теорема 10.1. Существует к0 € IN , такое, что ряд Е Vmh m\>k0 сходится в £2{ 1R +), причем для любого h € £2{ JR +) выполняется оценка №Ж < с\щ\. (юл) m\>k0

При доказательстве используется метод, предложенный в работе Х.Х.Муртазина [41].

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах проф. Сабитова К.Б. (Стерлитамакская государственная педагогическая академия, 2005 г.), акад.РАН Садовничего В.А. (Московский государственный университет, кафедра математического анализа механико-математического факультета, 2004 г.), акад.РАН Моисеева Е.И. и проф. Ломова И,С. (Московский государственный университет, кафедра общей математики факультета ВМиК, 2004 г.), проф. Каменского Г.А. и Скубачевского А.Л.(Московский авиационный институт, 2003 г.), проф. Муртазина Х.Х. (Башкирский государственный университет, кафедра математического анализа), проф. Султанаева Я.Т. (Башкирский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений). Отдельные рузультаты были доложены на международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения" (г.Уфа, 1996 г.), на международной конференции "Комплексноный анализ и смежные вопросы" (г.Нижний Новгород, 1997 г.), на III международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения." (г.Саранск. 1998 г.), на международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы" (г.Стерлитамак, 1998 г.), на IX Всероссийском школе-коллоквиуме по стахостическим методам и III Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г.Ростов-на-Дону, 2002 г.).

Обозначение, использованные в диссертации, стандартны. Через £(R+) обозначим совокупность всех измеримых в неотрицательной полуоси функций, квадрат модуля которых интегрируем. Символом a{L) обозначается спектр оператора L. Для обозначения положительных постоянных, конкретные значения которых безразличны, используется символ с, снабженный иногда для удобства индексами.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [42]-[47].

В заключение считаю своим долгом выразить благодарность профессору Х.Х.Муртазину, который с большим вниманием осуществлял научное руководство исследованиями по тематике работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Каримов, Миндиахмет Галимжанович, 2005 год

1. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщенных линейных эллиптических краевых задачах// ДАН СССР. 1969. Т.185. № 4. С.739-740.

2. Бицадзе А.В К теории нелокальных краевых задач//ДАН СССР. 1984. Т.277. № 1. С.17-19.

3. Бицадзе А.В Об одном классе условно разрешимых нелокальных задач для гармонических задач// ДАН СССР. 1984. Т.280. № 3. С.521-524.

4. Буда В.В., Сапаговас М.П., Чегис Р.Ю. Математическое и машинное моделирование в микроэлектронике. Вильнюс. 1985. С.36-43.

5. Божинов Н.С. О теоремах единственности и полноте для разложения по собственным и присоединенным функциям нелокального оператора Штурма Лиувилля на конечном интервале// Дифференциальные уравнения. 1990. Т.26. № 5. С.741-753.

6. Вишик М.И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений// Труды ММО. 1952. Т. 1. С. 187-246.

7. Воронина С.К. Необходимые условия базисности в £2(0\ 1) системы собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального уравнения// Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. № 3. С.407-417.

8. Гасымов. Спектральный анализ одного класса несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка// Функциональный анализ и приложение. 1980. Т.14. Вып.1.С.14-19.

9. Гордезиаии Д. Г. О методах решения одного класса нелокальных задач. Тбилиси. Тбилгосунивериздат, 1981. С.345.

10. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М. 1965. С.324.

11. И Дан,форд, Дж.Шварц. Линейные операторы. Спектральная теория. Т.2. М.,1966. С.1063.

12. Житарашу Н.В., Эйделъман С.Д. О нелокальных граничных задачах для эллиптических уравнений// Математические исслед. 1971. Т. 6. Вып. 2(20). С. 63-73.

13. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача первого рода для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках// Дифференциальные уравнения. 1987. Т.23. № 7. С.534-539.

14. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля// Дифференциальные уравнения. 1987. Т.23. № 8. С.1422-1431.

15. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Априорная оценка решения задачи, сопряженной к нелокальной краевой задаче первого рода// Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24. № 5. С. 795-804.

16. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка// Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22. № 12. С. 20592071.

17. Ильин В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора II порядка// ДАН СССР. 1983. Т.273. № 5. С. 10481053.

18. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов II порядка// Дифференциальные уравнения. 1983. Т.22. № 12. С.2059-2071.

19. Ионкии Н.И. О нахождении численного решения одной неклассической задачи// Вест. Моск. ун-та. Выч. мат. и кибернетика. 1979. № 1. С.64-68.

20. Ионкин И. И. Решение одной краевой задачи теории теплопровод-ф ности с неклассическим краевым условием// Дифференциальныеуравнения. 1977. Т.13. № 2. С.294-304.

21. Ионкин И.И. О собственных значениях и собственных функциях одной неклассической краевой задачи// Математическое мадели-рование. 1996. Т.8. № 1. С.53-63.

22. Карим,ов М.Г. О задаче регуляризации одного несамосопряженного оператора/'/ Тезисы докладов международной конференции по комплексному анализу и смежным вопросам . ННГУ. Нижний Новгород. 1997. С.31.

23. Каримов М.Г. О регуляризации одной нелокальной задачи на по® луоси// Сборник научных статей Сибайского института БГУ. Сибай. 1999. С.4-11.

24. Каримов М.Г О неклассической задаче дифференциального уравнения II порядка// Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т9. Вып.1. С.203-204.

25. Т.Като. Теория возмущений линейных операторов. М.,1972. С.740.

26. Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., '1968. С.981.

27. Коддингтюн Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифферен-Ф циальных уравнений. М.:1958. С.475.

28. Лаврентьев М.А.,Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. С.584.

29. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. М.,1950. С.356.

30. Лянце В.Э. Разложение по главным функциям оператора со спектральными особенностями. I// Rev.Roumaine Math. Pures Appl. I. 1966. T.ll. № 8. С.921-950.

31. Лянце В.Э. Разложение по главным функциям оператора со спектральными особенностями. II// Rev.Roumaine Math. Pures Appl. II. 1966. Т.Н. № 10. С.1187-1224.

32. Лянце В.Э. О дифференциальном операторе со спектральными особенностями. I// Матем.сборник. 1964. вып.64(106). № 4.С.521-561.

33. Лянце В.Э. О дифференциальном операторе со спектральными особенностями. II// Матем.сборник. 1964. вып.65(107). № 1.С.47-103.

34. Лянце В.Э. О несамосопряженном дифференциальном операторе второго порядка на полуоси// ДАН СССР. 1964. Т.154. № 5. С.1030-1033.

35. Маркус А.С., Мацаев B.C. О сходимости по собственным векторам оператора, близкого к самосопряженному// В сб. "Линейные операторы и интегральные уравнения."Кишинев, 1981 с.104 129.

36. Марченко В.А. Операторы Штурма Лиувилля и их приложения. М.,1977. С.324.

37. Марченко В.А. Разложение по собственным функциям несамосопряженных сингулярных операторов второго порядка// Матем. сборник. Т.52(94):2. С.739-788.

38. Моисеев Е.И. О спектральных характеристиках одной нелокальной краевой задачи// Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 5. С. 864-872.

39. Моисеев Е.И. Об отсутствии свойства базисности у системы корневых функций одной нелокальной краевой задачи// Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 12. С. 2082-2093.

40. Муртазин Х.Х. О свойствах резольвенты дифференциального оператора с комплексными коэффициентами// Матем.заметки. 1982. Т.31. № 2. С.231-244.

41. Муртазин Х.Х. О базисности корневых подпространств одного класса операторов// В сб."Исследования по теории аппроксимации функций". Уфа. 1981. С.51-56.

42. Муртазин Х.Х., Каримов М.Г. О базисности корневых функций дифференциальных операторов// Вестник БашГУ. 1997. № 2(1). С.4-9.

43. Муртазин Х.Х., Каримов М.Г. О несамосопряженного операторе второго порядка на полуоси// Вестник БашГУ. 1998. № 2(1). С.8-12.

44. Муртазин Х.Х., Каримов М.Г. О спектре оператора IV порядка нелокальной задачи// Тезисы докладов III международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Саранск. 1998. С.198.

45. Муртазин Х.Х., Каримов М.Г. Об одной нелокальной спектральной задаче на полуоси// Сборник научных трудов международной научной конференции по спектральной теории и смежным вопросам, посвященной 70-летию В.А.Ильина. Стерлитамак. 1998. 4.1. С.16-19.

46. Муртазин Х.Х., Каримов М.Г. Об одной нелокальной спектральной задаче для уравнения Штурма-Лиувилля на полуоси// Дифференциальные уравнения. 2001. №1. С.27-35.

47. Мустафин М.А. О базисе Рисса одной системы синусов// Дифференциальные уравнения. 1989. Т.25. №10. С.1832-1833.л 1

48. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные уравнения. М., 1969. . С.550.

49. Наймарк М.А. Исследование спектра и разложение по собственным функциям несамосопряженного дифференциального оператора 2-го порядка на полуоси// Труды Моск. матем. общества. 1954. № 3. С.181-270.

50. Наймарк М.А. О разложение по собственным функциям несамосопряженных сингулярных дифференциальных операторов второго порядка// ДАН СССР. 1953. Т.89. № 2.С.213-216.

51. Онанов Г.Г., Скубачевский А.Л. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами в стационарных задачах механикиШ деформируемого тела// Прикладная механика. 1979. Т. 15. № 5.С. 39-47.

52. Павлов B.C. О несамосопряженном операторе —у" + р(х)у на полуоси// ДАН СССР. 1961. Т.141. № 4. С.807-810.

53. Павлов Б. С. К спектральнной теории несамосопряженных дифференциальных операторов// ДАН СССР. 1962. Т.146. № 2. С.1267-1270.

54. Павлов Б. С. О несамосопряженном операторе Шредингера. // Спектр.теория и волновые процессы. Изд-во ЛГУ. 1966. С.124. С.102-132.

55. М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики.Гармонический анализ. Т.2. М., 1982. С.358.

56. Ройтберг Я.А., Шефтелъ З.Г. Нелокальные задачи для эллиптических уравнений и систем// Сиб. матем. журн. 1972. Т. 13, № 1. Р. 165-181.

57. Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. №11. С. 1925-1935.60