Исследование уравнения Шредингера с нелокальным потенциалом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Сметанина, Мария Сергеевна

• Сметанина, Мария Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сметанина, Мария Сергеевна

Введение

1. Исследование оператора Шредингера с нелокальным потенциалом вида V = ^г{'-,Фг)Фг

1.1 Вспомогательные результаты.

1.2 Изучение уровней оператора Шредингера с потенциалом V = Х(-,фо)фо.

1.3 Уровни в случае потенциала вида = Е иЧ;Фг)Ф1.

2. Уровни оператора Шредингера с нелокальным потенциалом V = е\¥(х) + -М'> Фг)Фг

2.1 Уровни в случае потенциала V — еЦ/'{х) + Л(-, фо)фо.

2.2 Случай потенциала вида

V = е\¥(х) + Л1(., ф^фг + Л2(-, Ф2)Ф2.

2.3 Уровни трехмерного оператора Шредингера для кристаллической пленки с потенциалом вида У = е\¥(х) + Х(-,Фо)Фо.

3. Задача рассеяния для оператора Шредингера с нелокальным потенциалом

3.1 Уравнение Липпмана-Швингера с нелокальным потенциалом.

3.2 Задача рассеяния для кристаллической пленки.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование уравнения Шредингера с нелокальным потенциалом»

Актуальность темы. Начиная с 60-70-х годов прошлого столетия, резко возрастает количество математических работ, посвященных уравнению Шредингера, что, отчасти, связано с развитием квантовой теории твердого тела (как известно, оператор Шредингера может рассматриваться как оператор энергии (гамильтониан) электрона в атоме и кристалле см., например, монографию [1] и статьи [2], [3]).

Дадим краткий обзор математических работ, наиболее близких к содержанию диссертации. Почти во всех упоминаемых ниже статьях потенциалы являются локальными (в физике под локальными потенциалами понимают« потенциалы, представляющие собой операторы умножения на функцию); если потенциал нелокальный, это особо отмечается.

В 1977 г. Е. Дэвис (E.Davies) в работе [4] подробно описывает разложение трехмерного "пленочного"оператора Шредингера (потенциал V(x) является периодическим по переменным х^ и убывающим при х-к\ —» сю) в прямом интеграле пространств и доказывает некоторые свойства волновых операторов. Позднее в [5] Е.Дэвисом и Б.Саймоном (Е. Davies, В. Simon) изучено поведение решений одномерного нестационарного уравнения Шредингера для V = W(x), если х > 0, и V = 0, если х < 0, где W(x) -периодическая функция. Продолжая исследование "пленочного" уравнения Шредингера, Й. Херчински (Y. Herczynski) в 1981 г. в публикации [6] доказывает, что существенный спектр пленочного оператора Шредингера с потенциалом, являющимся непрерывной функцией, совпадает с [А^, со), где Щ - плоский квазиимпульс.

В случае пространства L2(Rn),ro = 1,2 в [7] доказано существование собственного значения оператора Шредингера для малых потенциалов тотическое поведение. (Если п > 2, то для достаточно малых потенодномерном случае изучено его асимпциалов собственных значений не существует). Случай трехмерного оператора Шредингера с локальным потенциалом, отвечающим кристаллической пленке и удовлетворяющим условию / У{х)с1х < 0, где - ячейка (см. ниже), изучен Ю.П. Чубуриным в работе [8], им доказано существование собственного значения и получена его асимптотика. Исследование асимптотики решений уравнения Шредингера для полуограниченного кристалла проведено Ю.П. Чубуриным [9].

Позднее, в 1994 г., этот лее автор в работе [10] сравнивает спектр и решения уравнения Шредингера для полубесконечного кристалла и пленки. Им, в частности, доказано, что спектр оператора для полубесконечного кристалла можно аппроксимировать спектром "пленочного"оператора с достаточно большим числом слоев. В 1997 г., в статье [11] Ю.П. Чубурин исследует малые возмущения оператора Шредингера с периодическим потенциалом. В этом же году в [12] рассмотрена аппроксимация "пленочного" оператора Шредингера "кристаллическим". В статье [13] исследуется оператор Шредингера с малым потенциалом типа возмущенной ступеньки.

В работе Р. Гадылыиина [14] рассматривается одномерный оператор Шредингера с потенциалом, являющимся малым по норме оператором весьма общего вида. Асимптотическая формула (1.13), полученная ниже для одномерного нелокального потенциала, в случае фо с компактным носителем и вещественного Е, вытекает из результатов [15]. Однако, автор данной работы не исследует резонансы и асимптотику решений уравнения Шредингера. В 2005 г. Н.И. Плетникова исследует уровни оператора Шредингера с возмущенным нелокальным ступенчатым потенциалом [16].

Операторы Шредингера для потенциалов нулевого радиуса действия, отвечающих кристаллической пленке или цепочке атомов, изучались в работах [17], [18], [19].

Задача о рассеянии для локального потенциала в случае кристаллической пленки как в стационарном, так и в нестационарном случае была рассмотрена

Ю.П.Чубуриным в работе [20]. A.A. Арсеньев в статье [21] исследует коэффициент прохождения частицы вблизи резонанса. В частности показано, что коэффициент прохождения испытывает скачок вблизи действительной части резонанса.

Хотя в физической литературе по соображениям простоты вычислений и исследования обычно используются локальные потенциалы, тем не менее в методе Хартри - Фока [22] или в методике исевдопотенциала [23] строятся потенциалы, не являющиеся локальными. Кроме того, достаточно часто в физике рассматриваются потенциалы, изначально являющиеся конечномерными операторами (см., например, [24]). Вместе с тем, математические исследования операторов Шредингера с нелокальными потенциалами проводились лишь эпизодически. Помимо упомянутой статьи Р. Гадыльшина, можно отметить в связи с этим монографию [25].

Из сказанного вытекает актуальность задачи математического исследования уравнений Шредингера и Липпмана - Швингера с нелокальным потенциалом.

Объект исследования. В диссертационной работе рассматривается одномерное интегро-дифференциальное уравнение Шредингера

-d2iJ;/dx2 + Vi)^ETp (0.1) с нелокальным потенциалом вида п

V = eW{x) + Y,4-Ai)<i>i- (0.2) г=1

Здесь W(x) - вещественная функция ("локальный потенциал"), удовлетворяющая оценке вида | W(x) |< Се~а\х\ где С - некоторая константа, а > 0 (в дальнейшем функции, удовлетворяющие таким неравенствам, будем называть экспоненциально убывающими), ф{(х) - линейно независимые и экспоненциально убывающие функции: | фг{х) |< Cje-"1^, где = const, a* > 0, a e, A* € R - некоторые параметры (г = 1,2,n). Конечномерный оператор > Фг)Фг представляет собой интегральный оператор с вырожденным ядром, такие потенциалы часто используются в квантовой теории и называются сепарабельными (см., например, [26]). Рассматривается также аналогичное трехмерное уравнение в ячейке с "пленочным"потенциалом W(x) (см. ниже точные определения).

Уравнение Шредингера вида (0.1) называется стационарным. Как известно, (см. [1], [22]), его решения описывают состояния электрона с заданной энергией Е: находящегося в потенциальном поле У. Физически интересными являются решения уравнения (0.1) не только класса L2(R), описывающие так называемые локализованные состояния, соответствующие собственным значениям Е £ R, но и решения из L°°{R), отвечающие рассеивающимся состояниям, а также экспоненциально возрастающие решения, описывающие квазистационарпые (распадающиеся) состояния и соответствующие комплексным значениям Е (резонансам), определяемым ниже. Как известно (см., например, [21], [24]), резонансы играют большую роль в рассеянии частиц, в частности они могут привести к увеличению коэффициента прохождения вблизи вещественной части Е.

Рассеяние микрочастиц на атоме, кристаллической поверхности и т.д. описывается уравнением Липпмана - Швингера, в одномерном случае имеющим вид [22] ф(х) = eikx - [ G0(x, у, k2)Vip(y)dy. (0.3)

J R

Здесь к = л/Д функция Go(x, у, к2) представляет собой ядро резольвенты (функцию Грина) оператора Hq = —d2/dx2, продолженное по параметру к в точки С \ {0}, что отвечает продолжению по спектральному параметру Е на двулистную риманову поверхность. Решения уравнения Липпмана - Швингера (0.3) являются в то же время ограниченными решениями уравнения Шредингера (0.1) (см. главу 3), но не наоборот (см. ниже более точные утверждения).

Целью работы является исследование спектральных свойств и рассеяния для оператора Шредингера с нелокальным потенциалом вида V = б И

Отрешаемые в диссертации задачи. В работе для уравнения (0.1) исследованы вопросы существования и поведения уровней, то есть собственных значений и резонансов, вблизи границы непрерывного спектра. Изучена асимптотика при —> оо решений уравнения (0.1). На основе исследования решений уравнения Липпмана-Швингера (0.3) изучаются коэффициенты отражения и прохождения. Ряд результатов переносится на трехмерный случай для нелокального потенциала, отвечающего кристаллической пленке.

Методы исследования. При исследовании используются методы функционального анализа, в частности, спектральной теории операторов, а также теории функций нескольких комплексных переменных.

На защиту выносится:

1)Теоремы о существовании вблизи границы существенного спектра и поведении в зависимости от малых констант связи собственных значений и резонансов оператора Шредингера с потенциалом, представляющим собой сумму убывающей на бесконечности функции и оператора конечного ранга.

2)Теоремы существования и единственности решений уравнения Липп-мана-Швингера для потенциалов указанного вида.

3)Теоремы об асимптотическом поведении решений уравнения Липпмана-Швингера на бесконечности, а также в зависимости от малых констант связи.

Научная новизна. В работе впервые систематически исследуется оператор Шредингера с нелокальным потенциалом, представляющим собой сумму оператора умножения на функцию и конечномерного оператора. Описаны общие спектральные свойства данного оператора. Получены условия существов: собственных значений и резонансов, описано их асимптотическое поведение для малых потенциалов. Доказаны существование и полнота волновых операторов. Устанавливается связь уравнения Шредингера и Липпмана-Швингера для различных функций Грина. Доказывается существование и единственность решения уравнения Липпмана-Швингера. Получена асимптотш решения уравнения Липпмана-Швингера на бесконечности, найдены коэффици ты прохождения и отражения частицы.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в теории интегро-дифференциальных уравнений, а также в квантовой теории твердого тела.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на: ХЬ Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", г. Новосибирск, 2002 г., 31-й Итоговой студенческой научной конференции, г. Ижевск, 2003 г., Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы", г. Воронеж, 2003 г., Международной конференции "Колмогоров и современная математика", г. Москва, 2003 г., Шестой Российской университетско -академической научно - практической конференции, г. Ижевск, 2004 г., семинаре но дифференциальным уравнениям и теории оптимального управлени под руководством профессора Е. Л. Тонкова, г. Ижевск, 2007 г., семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям по руководством профессора А. П. Солдатова, г. Белгород, 2009.

Для того, чтобы описать результаты работы, введем некоторые понятия и обозначения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Через п

0.4) г=1 будем обозначать самосопряженный оператор конечного ранга (сепара-бельный потенциал).

Под функцией Грина оператора будем понимать ядро его резольвенты, вообще говоря, продолженное по параметру Е на соответствующую рима-нову поверхность.

Спектр оператора А будем обозначать через (т{Л). Существенным спектром оператора А (cress(A)) называют его спектр за вычетом собственных значений конечной кратности.

Через (ф, ф) будет обозначаться не только скалярное произведение функций ф,ф Е L2(R), но и, в случае, когда фф Е L1(R), вообще интеграл fB ф(х)ф(х)йх.

Введем, далее, обозначения Щ = —d2/dx2, Hs = Hq + Vs и Н = Н0 + eW(x) + V8.

Обозначим через Rq(E) = (Н0~Е)~\ RS(E) = (Нд-Е)'1, R(E) = (#-E)~l резольвенты операторов Hq, HS} и H соответственно. Как известно (см. [27]), ядро Rq(E) имеет вид G0(x, у, k2) = -(2ik)-1eik^x-y^ где к = л/Ё (разрез выбираем вдоль полуоси [0, оо)).

Несколько параграфов данной работы посвящены трехмерному оператору Шредингера для кристаллической пленки. Такого рода оператор в случае локального потенциала имеет вид [8]:

Я = -Д + У(я), (0.5) где Д - оператор Лапласа, х = (х\,х2, х3) Е R3, потенциал V(x) предполагается вещественным, периодическим по переменным Х\,Х2, с периодом единица и убывающим при |хз| сю. Операторы подобного рода возникают в квантовой теории твердого тела [28]. Как известно (см. [29], [30]), изучение оператора Н с периодическим по переменным Х±,Х2 потенциалом сводится к изучению семейства операторов Н(Щ) = —А + V{x) (здесь и далее употребляются обозначения вида Щ — (^1,^2)), определенных на достаточно гладких) блоховских по переменным Х\,Х2 (см. ниже, раздел 1.1) функциях из Ь2(Гг), где ^ = [О, I]2 х Я - ячейка, Щ = [—7г, тг)2 -квазиимпульс. Более точно, семейство операторов {//(йу)};^^* образует разложение оператора Н в прямом интеграле пространств (см. [4], [29], а также ниже, стр. 19-21) Ь2(р)(1Ц ~ Ь2(П х п*).

В дальнейшем будем использовать для случая трехмерной кристаллической пленки следующие обозначения: #о(^||) = — А, — + Уа для операторов Шредингера и Яо(к\\,Е) = (Н0(Ц) — Е)~г, Яа(к\\,Е) — (Н3(к\\) — Е)"1 для их резольвент.

Как известно, ядро резольвенты оператора Но(к\\) имеет вид (см. [31]) у^ ехр(г((/сц + 2тгпц, у/Е - (Ц\ + тгпц)2), (жц - т/у, [ - Уз 1)))

2г^/Е — (А;ц + 2ттщ)2 где х = (хц, х3), у = (у\\,уз) е О, 1гпу/£ - (/су + 2тг7гц)2 > 0. Согласно [20] оно пред ставимо в виде ехр (г((% ЛЁ- А;2), (жц - уь \ х3 - у3 |))) вй(х,у,кьЕ) =---

21, Е — к?.

01(х-у,кьЕ), (0.6) где С\(х, /Ьц, Е) представляет собой аналитическую Ь2(£1) - значную функцию параметра Е в комплексной окрестности точки /су. Заметим, что отсюда и из утверждения об относительно компактных возмущениях [29] легко следует, что сгеаа(Н(к\\)) = сгеаа(На(Щ\)) = ст(Я0(&ц)) = [Щ, оо) (см. теорему 1.3 для одномерного случая).

Будем в дальнейшем пользоваться обозначениями вида Со(.т, у, к) вместо С0(х,у,Щ,Е), где к = (&ц,/сз), к3 = Функция Грина <20 оператора Ло(^ц) имеет ветвление второго порядка по Е в комплексной окрестности точки Щ] по параметру к% функция мероморфна в комплексной окрестности нуля. В то время, когда пробегает окрестность нуля, Е пробегает двулистную риманову поверхность (на втором "нефизическом" листе располагаются резонансы - см. ниже определение).

Из (0.6) получаем:

Со{х<у'к) =--Щ---ш3-+ " у>к) = еЩ,х\ГУ\\) Щ~+ ^ где обладает тем свойством, что у/Ик)у/]¥(у) (а также С^1\х,у,к)]¥(у) и С^1\х,у, к)у/Ш(у)) представляет собой Ь2(£1 х (]) -значную функцию параметра в окрестности нуля (существование производной нетрудно доказать, применяя теорему Лебега о предельном переходе к конечно-разностному отношению, а затем используя векторнозначный вариант теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящемся ряде, составленном из аналитических функций - см. подробное доказательство для аналогичного случая в статье [32], а также ниже, в разделе 2.1). Сказанное, очевидно, справедливо также для функции 0\{х,у,к).

Определение. Будем говорить, что к £ С (в трехмерном случае кз £ С) или соответствующее Е = к2, (в трехмерном случае Е = к2 = = Щ + к2) является резонансом оператора Н) если существует ненулевое экспоненциально возрастающее решение интегрального уравнения ф(х) = - [ С0{х:у:к2)Уф(у)с1у (0.8) в трехмерном случае уравнение имеет вид ф(х) = — /п С?о(ж, у, к)Уф(у)с1у). Заметим, что резонансы отвечают к (или кз) с 1тк < 0 (1т&з < 0) или второму листу римановой поверхности для функции л/Е. Заметим также, что данное определение эквивалентно для локальных потенциалов обычному определению резонанса [24] как полюса резольвенты К{Е) = (Н—Е)-1; это следует из леммы 1 [33] и аналитической теоремы Фредголь-ма (см. также ниже раздел 1.1). Экспоненциально возрастающему решению уравнения Шредингера с отсутствующей "налетающей волной", т.е. решению однородного уравнения Липпмана - Швингера с Е на втором листе отвечает в математических работах резонансное состояние (см. об этом [12], [34]), в физической литературе - " квазистационарное" (метаста-бильное) состояние (см. [35], [36]).

Уровнем оператора Н в дальнейшем будем называть его собственное значение или резонанс.

Перейдем теперь к описанию содержания работы.

В первой главе диссертации исследуется наиболее простой случай одномерного уравнения Шредингера с оператором У$ в качестве потенциала.

Первый раздел главы имеет вспомогательный характер. В нем приведены формулировки нескольких известных теорем, получены, для полноты изложения, формулы для резольвенты оператора Н3 = —<12/<1х2+ + Фг)Фг и исследована асимптотика интеграла $-^е?к\х~у\ф(у)<1у.

В этом разделе также рассмотрено разложение оператора Н для кристаллической пленки в прямой интеграл пространств. Результаты раздела используются в последующем изложении.

Второй раздел первой главы посвящен изучению одномерного оператора Шредингера с сепарабельным потенциалом вида У = А(-, фо)фо- В частности, доказаны существование и единственность уровня в некоторой окрестности точки к = 0 где А достаточно мало, исследована его асимптотика. Получен простой критерий того, когда уровень является собственным значением (резонансом).

В третьем разделе исследуются уровни оператора Шредингера с потенциалом вида V = Vs — X^ILi 5 где параметры Aj аналитически зависят от малого е. В случае п = 2 доказано существование ровно двух уровней в некоторой окрестности нуля, для которых получена асимптотическая формула. В общем случае доказана следующая теорема.

Т с о р е м а 1.4. Существует ровно п уровней оператора Шредингера Н, которые представляют собой аналитические функции от аргумента б в окрестности нуля, за исключением, возможно, конечного числа точек, в которых уровни сливаются. Вблизи нуля эти функции моэ/сно разложить в сходящиеся ряды Пюизо.

Вторая глава работы посвящена изучению уровней оператора Шредингера с потенциалом, являющимся суммой локального и сепарабельного.

В первых двух разделах рассматривается одномерное уравнение Шредингера. В первом разделе исследованы условия существования уровней оператора Н с потенциалом V = eW(x) + \(-,фо)фо. Доказано, что при фиксированном А ф 0 и всех достаточно малых б данный оператор Шредингера уровней не имеет.

Пусть f(z) - аналитическая функция, определенная в комплексной окрестности нуля, переводящая некоторую вещественную окрестность нуля в себя. Предполагаем, что параметры А и б связаны друг с другом соотношением А = /(еа°), где а0 > 0. Пусть также / ф. 0, /(0) = 0. Тогда, разлагая / в ряд Тейлора, получаем А = Кеа + о(еа), где К = const ф 0, а > 0. Предполагаем, что выполнены следующие условия: W(x)dx Ф 0, [ W{x)dx + K | [ J R J R J R фо(х)с1,х ф 0.

В этом случае доказано, что в некоторой окрестности точки к = 0 для всех достаточно малых е существует ровно два различных уровня, для которых получена асимптотическая формула при е —^ 0. L

Во втором разделе изучается оператор Шредингера с потенциалом V = 6W(a;)+Ai(-, 0i)^>i+A2(-, 4>2)Ф2■ Здесь предполагаем, что е достаточно мало, a Ai, А2 - некоторые постоянные. При определенных условиях доказано существование и единственность уровня в окрестности нуля и исследована его асимптотика.

В третьем разделе второй главы изучается трехмерный оператор Шредингера в L2(Q) с нелокальным потенциалом (возникающим, например, в теории псевдопотенциала [23]), соответствующим кристаллической пленке, вида

Н(к ц) = -А + eW(x) + XVi. (0.9)

Здесь И^(ж)-вещественная функция, удовлетворяющая оценке | W(x) |< Се~~аIх'3!, где С, а = const, причем а > 0 (функции, удовлетворяющие неравенству такого вида будем называть экспоненциально убывающими по переменной хз), V\ = \(-,фо)фо ~ одномерный оператор; здесь ф0 -блоховская по Х\,Х2 и экспоненциально убывающая по хз функция; па-конец, б, А - вещественные параметры. В данном разделе предполагаем, что фо удовлетворяет условию e~i{-k^^0(x)dx ф 0,

Jn а решение ф ищется в классе функций, удовлетворяющих условиям y/Wif; е Ь2(П) и фф0 G L\tt).

Предполагаем в данном разделе, что параметры А и б связаны друг с другом соотношением А = /(ба°), где а0 > 0 (функция / определена выше.)

Рассмотрим вначале случай / ф 0, /(0) = 0. Тогда А = Кеа + о(ба), где К — const ф 0, а > 0 (см. выше).

Получено следующее утверждение.

Теорема 2.4. Пусть а в соотношении А = Кеа целое. Тогда в некоторой окрестности точки = 0 для всех достаточно малых е существует только два, возможно, сливающихся уровня, которые можно разложить в ряды Тейлора по степеням е или л/е.

Пусть, кроме того, выполнены следующие условия. W(x)dx ф 0, [ W(x)dx + К | [ е-^^фо^х |:2ф 0.

J 9. J О JQ

Доказано, что для всех достаточно малых е в некоторой окрестности точки = 0 существует ровно два различных уровня, для которых получена асимптотическая формула.

Рассмотрен случай /(0) Ф 0. Доказано, что существует такая окрестность точки = 0, в которой для всех достаточно малых е уровней нет.

Рассмотрен также случай, когда е = 0, Л - константа. Доказано, что существует такая окрестность точки b¿ — 0, что для всех достаточно малых Л в этой окрестности имеется ровно один уровень = &з(А); кроме того, исследовано его асимптотическое поведение.

В заключительной, третьей главе диссертационной работы исследуется задача рассеяния для нелокального потенциала вида V = eW(x)+A(-, фо) х фо. В первом разделе изучается одномерная задача рассеяния. Доказывается существование и полнота волновых операторов Q±(H,Hq) (см. общую теорию рассеяния в нестационарном подходе в монографиях [37], [38]); для "пленочного"оператора Шредингера с локальным потенциалом волновые операторы исследовались в статье [1-4]). На основе стационарного подхода получена асимпотика решений уравнения Липнмана-Швингера (0.3) при х —> ±оо, при достаточно малых е и А = Кеа + о(еа), где К — const, а £ (0,+сю). Исследованы амплитуды прохождения и отражения частицы. (О связи упомянутых стационарного и нестационарного подходов см. замечание после теоремы 3.2).

Во втором разделе исследуется вопрос о конечности числа собственных значений оператора Шредингера для кристаллической пленки, доказывается существование решения уравнения Липпмана - Швингера - одного из основных инструментов изучения рассеяния, а также устанавливается связь уравнения Липпмана - Швингера и аналогичного уравнения, возникающего при использовании функции Грина оператора Н(к\\) вместо функции Грина оператора Но(к^).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15], [32], [39]-[42].

Автор выражает огромную благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, ведущему научному сотруднику Ю.П. Чубурину за постановку задачи, внимательное и чуткое руководство.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сметанина, Мария Сергеевна, 2009 год

1. Ландау, Л.Д. Квантовая механика (нерелятивистская теория) / Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Физматгиз, 1963.

2. Вольф, Г.В. Особенность рассеяния низкоэнергетических электронов тонкими пленками кубических кристаллов / Г.В. Вольф, Ю.П. Чубурин // Физика твердого тела. 2005. - Т. 46. - Вып. 6. - С. 1015-1018.

3. Цише, П. Достижения электронной теории металлов. Т.2. / П. Цише, Г. Леманн. М.: Мир, 1984.

4. Davies, Е.В. Skattering from infinite sheets / E.B. Davies // Cambr. Philos. Soc. 1977. - V. 82. - P. 327-334.

5. Davies, E.B. Scattering theory for systems with different spatial asymp-totics on the left and right / E.B. Davies, B. Simon // Commun. Math. Phys. 63. 1978. - P. 277-301.

6. Herczynski, J. On the spectrum of the Schrodinger operator / J. Herczyn-ski // Bull de LAcad. Pol. des Sciences. Ser. des sci.-math. 1981. - V. 29. -No. 1-2. - P. 73-77.

7. Simon, B. The bound state of weakly coupled Schrodinger operators in one and two dimensions / B. Simon // Ann. Phys. 97. 1976. - P. 279-288.

8. Чубурин, Ю.П. Об операторе Шредингера с малым потенциалом в случае кристаллической пленки / Ю.П. Чубурин // Матем. заметки. -1992. Т. 52. - Вып. 2. - С. 138-143.

9. Чубурин, Ю.П. Асимптотическое представление Флоке решений уравнения Шредингера в случае полуограниченного кристалла /Ю.П. Чубурин // Теор. и матем. физика. 1988. - Т. 77. - № 3. - С. 472-478.

10. Чубурин, Ю.П. О решениях уравнения Шредингера в случае иолу-ограничепиого кристалла / Ю.П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -1994. Т. 98. - № 1. - С. 38-47.

11. Чубурин, Ю.П. О малых возмущениях оператора Шредингера спериодическим потенциалом / Чубурин Ю.П. // Теор. и матем. физика. -1997. Т. 110. - № 3. - С. 443-453.

12. Чубурин Ю.П. Об аппроксимации "пленочного"оператора Шредин-гера "кристаллическим"/ Ю.П. Чубурин // Матем. заметки. 1997. - Т. 62. - Вып. 5. - С. 773-781.

13. Чубурин, Ю.П. Об операторе Шредингера с малым потенциалом типа возмущенной ступеньки / Ю.П. Чубурин // Теор. и матем. физика.- 1999. Т. 120. - jY° 2. - С. 277-290.

14. Гадыльшин, P.P. О локальных возмущениях оператора Шредингера па оси / P.P. Гадыльшин // Теор. и матем. физика. 2002. - Т. 132. - № 1.- С. 97-104.

15. Сметанина, М.С. Об уравнении Шредингера для кристаллической пленки с нелокальным потенциалом /М.С. Смстаиипа, Ю.П. Чубурин // Вестник УдГУ. Сер. Математика. 2003. - № 1. - С. 19-31.

16. Плотникова, Н.И. Об уровнях оператора Шредингера с возмущенным ступенчатым потенциалом / Н.И. Плетникова // Вестник УдГУ. Сер. Математика. 2005. - № 1. - С. 155-166.

17. Карпешина, Ю.Е. Спектр и собственные функции оператора Шредингера с точечным потенциалом типа однородной решетки в трехмерном пространстве / Ю.Е. Карпешина // Теор. и матем. физика. 1983. - Т. 57.- № 2. С. 304-313.

18. Карпешина, Ю.Е. Спектр и собственные функции оператора Шредингера в трехмерном пространстве с точечным потенциалом типа однородной двумерной решетки / Ю.Е. Карпешина // Теор. и матем. физика.- 1983. Т. 57. - № 3. - С. 414-423.

19. Карпешина, Ю. Е. Теорема разложения по собственным функциям задачи рассеяния на однородных периодических носителях типа цепочки в трехмерном пространстве / Ю.Е. Карпешина // Проблемы математической физики. Вып. 10. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1983. - С. 137-163.

20. Чубурин, Ю.П. О рассеянии для оператора Шредингера в случае кристаллической пленки / Ю.П. Чубурин // Тсор. и матем. физика. 1987.- Т. 72. № 1. - С. 120-131.

21. Арсеньев, A.A. Резонансное рассеяние на бесконечных листах / A.A. Арсеньев // Теор. и матем. физика. 2001. - Т.127. - № 1. - С.21-33.

22. Фаддеев, Л.Д. Лекции по квантовой механике для студентов- математика Л.Д. Фаддеев, O.A. Якубовский. Л.: ЛГУ, 1980.

23. Хейне, В. Теория псевдопотенциала / В. Хейне, М. Коэн, Д. Уэйр.- М.: Мир, 1973.

24. Альбевсрио, С. Решаемые модели в квантовой механике / С. Альбеверио, Ф. Гестези, Р. Хеэг-Крон, X. Хольден. М.: Мир, 1991.

25. Шадан, К. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния / К. Шадан, П. Сабатье. М.: Мир., 1980.

26. Демков, Ю.Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике / Ю.Н. Демков, В.Н. Островский. Л.: ЛГУ, 1975.

27. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров- М.: Наука, 1976.

28. Займан, Дж. Принципы теории твердого тела / Дж. Займан. М.: Мир, 1974.

29. Рид, М. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов / М. Рид, Б. Саймон. М.: Мир, 1982.

30. Скриганов, М.М. Геометрические и арифметические методы в спектральной теории многомерных периодических операторов /М.М. Скриганов // Тр. МИАН им. В.А. Стеклова. 1985. - Т. 171. - С. 1-124.

31. Чубурин, Ю.П. О рассеянии на кристаллической пленке / Ю.П. Чубурин // ФТИ УНЦ АН СССР. Свердловск, 1985. - 44 с.

32. Смстанина, М.С. Об уравнении Шредингера с нелокальным потенциалом / М.С. Сметанипа // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. -2002. Вып. 3 (26). - С. 99-114.

33. Чубурин, Ю.П. О попадании собственного значения (резонанса) оператора Шредингера на границу зоны / Ю.П. Чубурин // Теор. и матем. физика. 2001. - Т. 126. - № 2. - С. 196-205.

34. Гатаулин, Т.М. О возмущении квазиуровней оператора Шредингера с комплексным потенциалом / Т.М. Гатаулин, М.В. Карасев // Теор. и матем. физика. 1971. - Т. 9. - № 2. - С. 252-263.

35. Базь, А.И. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / А.И. Базь, Я.Б. Зельдович, A.M. Переломов. М.: Наука, 1966.

36. Тейлор, Дж. Теория рассеяния. Квантовая теория нсрелятивистских столкновений / Дж.Тейлор. М.: Мир, 1975.

37. Березин, ФА. Уравнение Шредингера / Ф.А. Березин, М.А. Шубин. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.

38. Рид, М. Методы современной математической физики. Т.З. Теория рассеяния / М. Рид, Б. Саймон. М.: Мир, 1982.

39. Сметанина, М.С. Об уровнях оператора Шредингера для кристаллическо. пленки с нелокальным потенциалом / М.С. Сметанина, Ю.П. Чубурин // Теор. и матем. физика. 2004. - Т. 140. - № 2. - С. 297-302.

40. Сметанина, М.С. О рассеянии для оператора Шредингера с нелокальным потенциалом /М.С. Сметанина // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. 2004. - Вып. 1 (29). - С. 109-124.

41. Сметанина, М.С. Асимптотика уровней одномерного оператора Шредингера с нелокальным потенциалом / М.С. Сметанина // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. 2005. - Вып. 1 (31). - С. 99-106.

42. Сметанина, М.С. Об уровнях оператора Шредингера с возмущенным нелокальным потенциалом / М.С. Сметанина // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ 2006. - Вып. 1 (35). С. 98-104.

43. Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.II. Функции нескольких переменных / Б.В. Шабат. М.: Наука, 1976.

44. Шефер, X. Топологические векторные пространства / Х.Шефер.М.: Мир, 1971.

45. Эдварде, Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде. М.: Мир, 1969.

46. Ганнинг, Р. Аналитические функции многих комплексных переменных / Р. Ганнинг, X. Росси. М.: Мир, 1969.

47. Рихтмайер, Р. Принципы современной математической физики / Р. Рихтмайер. М.: Мир, 1982.

48. Чубурин, Ю.П. Возмущение резонансов и собственных значений на непрерывном спектре оператора Шредингера для кристаллической пленки / Ю.П. Чубурин // Теор. и матем. физика. 2005. - Т. 143. - № 3. - С. 417430.

49. Рид, М. Методы современной математической физики. Т 1. Функционалы анализ / М. Рид, Б. Саймон. М.: Мир, 1977.