Самосогласованная двухзонная модель свободноконвективного турбулентного пограничного слоя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Суслов Яков Александрович

• Суслов Яков Александрович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Суслов Яков Александрович

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ОБЗОР МОДЕЛЕЙ СВОБОДНОКОНВЕКТИВНОГО ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

1.1 Асимптотическая теория пограничного слоя С.С. Кутателадзе и ее развитие

1.2 Теория пограничного слоя Джорджа - Кэппа на основе анализа размерностей и ее развитие

1.3 Интегральный метод исследования структуры

свободноконвективного турбулентного пограничного слоя

1.4 Анализ современных экспериментальных исследований свободноконвективного турбулентного пограничного слоя

1.5 Краткий обзор результатов прямого численного моделирования применительно к свободноконвективному турбулентному пограничному слою

Выводы по главе

Глава 2. ДВУХЗОННАЯ САМОСОГЛАСОВАННАЯ МОДЕЛЬ СВОБОДНОКОНВЕКТИВНОГО ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

2.1 Применение модели турбулентности к — со для описания течения в пристеночной области

2.2 Условия сопряжения пристеночной области с основной частью пограничного слоя и оценка влияния температурной стратификации на внешней границе пограничного слоя на формулировки граничных условий

2.3 Модель турбулентности при преобладании термогравитационных механизмов генерации кинетической энергии пульсаций и ее применение для описания течения в основной части пограничного слоя

2.4 Анализ полученных результатов и сопоставление с экспериментальными данными

Выводы по главе

Глава 3. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА СВОБОДНОКОНВЕКТИВНОГО ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В РАМКАХ ДВУХЗОННОЙ САМОСОГЛАСОВАННОЙ МОДЕЛИ

3.1 Выбор профилирующих функций для вертикальной скорости и избыточной температуры

3.2 Структура приближения в основной части пограничного слоя и в пристеночной области

3.3 Применение приближенного метода для расчета свободноконвективного турбулентного пограничного слоя при больших числах Грасгофа

3.4 Анализ полученных результатов и сопоставление с экспериментальными данными

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Список обозначений

ВВЕДЕНИЕ

Объектом исследования является свободноконвективный турбулентный пограничный слой вблизи вертикальной нагретой пластины.

Актуальность задачи. В конце XX века и в начале XXI века исследователи значительно продвинулись в понимании природы турбулентности и в создании ее моделей. Последние гипотезы и экспериментальные исследование привели к созданию модели турбулентности при преобладании термогравитационных механизмов генерации кинетической энергии турбулентности, которую стало возможным применять для основной части свободноконвективного турбулентного пограничного слоя.

В результате современных экспериментальных исследований структуры свободноконвективного турбулентного пограничного слоя получил подтверждение, теоретически предсказанный закон «-1/3» для зависимости температуры от расстояния до стенки внутри основной части пограничного слоя. Однако, в отличие от результатов работы [18], для скорости аналогичный закон оказался несправедливым, что говорит о вероятно более сложной форме зависимости скорости от расстояния до стенки.

Другой важный результат, вытекающий из современных экспериментальных работ, заключается в построении зависимости от расстояния турбулентных напряжений трения в пристеночной области свободноконвективного турбулентного пограничного слоя. Благодаря повышению точности измерений удалось показать, что соответствующая функциональная зависимость для напряжения трения имеет точку перегиба вблизи границы пристеночной области, а интенсивность пульсаций скоростей и избыточной температуры здесь достигает своего максимума.

Следует заметить, что к настоящему времени в результате исследований характеристик теплообмена свободноконвективных турбулентных пограничных слоев накопилось большое количество эмпирических формул, выражающих связь между числами Нуссельдта и Грасгофа, а также между плотностью теплового потока и температурой на твердой границе с учетом физических свойств жидкости. Значительная часть этих соотношений до сих пор не получила теоретического объяснения.

Один из возможных путей решения накопившихся проблем состоит в построении замкнутой самосогласованной модели свободноконвективного турбулентного слоя с использованием последних достижений в теории турбулентности и привлечением современных экспериментальных данных для проверки полученных результатов.

В работах российских ученых С.С. Кутателадзе, А.Г. Кирдяшкина, В.П Ивакина и др. была предложена модель [1-8], суть которой заключается в двухзонном представлении свободноконвективного турбулентного пограничного слоя. Эти идеи в конце 70-х и начале 80-х годов двадцатого века получили развитие в теоретических работах С. Кэппа и В. Джорджа [16] и [18-20]. Данными авторами, с использованием теории размерности было получено качественное описание основных характеристик течения в пристеночной области (закон стенки), на внешней границе пограничного слоя (закон дефекта скорости) и в динамическом слое выталкивающей силы (закон «-1/3»). Тем не менее для количественного описания свободноконвективного турбулентного пограничного слоя полученные результаты подходили плохо, из-за пренебрежения вкладом турбулентных пульсаций в пристеночной области и использования большого количества упрощающих предположений. Данный подход был обусловлен отсутствием достаточно точных моделей турбулентности, применимых для описания свободной конвекции. В течение последних лет были предложены соответствующие модели турбулентности, обеспечивающие приемлемую точность описания пульсационных процессов, в том числе в динамическом слое выталкивающей силы, где преобладает термогравитационный механизм возникновения турбулентности.

В работе [61] показано, что модель турбулентности для вторых моментов пульсаций скорости и температуры при больших числах Ричардсона в алгебраическом приближении хорошо объясняет экспериментальные данные и применима для описания вклада турбулентных составляющих в свободноконвективных течениях при больших значениях числа Грасгофа. В отличие от традиционных моделей, в данной работе было корректно учтено влияние конвективных сил на генерацию кинетической энергии турбулентности. В рамках данного подхода была объяснена полученная экспериментально степенная зависимость числа Нуссельдта от числа Грасгофа при показателе степени 1/3 для представления с использованием избыточной температуры пограничного слоя и степени 1/4 для представления с использованием плотности теплового потока на стенке.

Важнейшей проблемой построения теоретической модели свободноконвективного турбулентного пограничного слоя является корректное описание его свойств в пристеночной области и замыкание уравнений основной части пограничного слоя с уравнениями, действующими в пристеночной области. Суть данной проблемы состоит в том, что в основной части пограничного слоя и в пристеночной области действуют различные механизмы возникновения турбулентности.

Для качественного описания пристеночной области в современной теории свободноконвективного турбулентного пограничного слоя используется гипотеза квазиламинарного вязкого подслоя, в рамках которой отбрасываются пульсационные составляющие и субстанциональные производные в уравнениях движения и переноса энергии. Однако, применение данного подхода приводит к ряду несоответствий с экспериментальными данными [38-49], согласно которым максимум интенсивности турбулентных пульсаций находится вблизи внешней границы пристеночной области, а внутри пристеночной области интенсивность турбулентных пульсаций имеет тот же порядок величины, что и в динамическом слое выталкивающей силы, где пульсационные составляющие считаются основными.

Развитие современной теории свободноконвективного турбулентного слоя требует применения новых методов решения уравнений Навье - Стокса в основной части пограничного слоя вместо использования приближенных уравнений на основе теории размерностей. Одним из таких методов может стать использование теории возмущений вместе с применением модели турбулентности, справедливой при преобладании термогравитационных механизмов генерации кинетической энергии турбулентности. В [18] показано, что поля скорости и температуры зависят от малого параметра, который представляет собой обратное отношение толщин пограничного слоя и его пристеночной области.

В практических задачах наибольшую трудность составляет определение полей скорости и температуры внутри свободноконвективного турбулентного пограничного слоя, а также коэффициента теплообмена между стенкой и жидкостью в условиях развитой турбулентности. Существует несколько подходов к решению данной задачи - прямое численное моделирование уравнений Навье -Стокса, решение осредненных уравнений Навье - Стокса с использованием специальных моделей турбулентности для определения вклада пульсаций в осредненное движение и интегральные методы расчета, основанные на использовании приближенных данных о форме профилей вертикальной скорости и избыточной температуры.

При использовании прямого численного моделирования достигается наибольшая точность расчета [57], однако, чтобы корректно проводить расчеты этим способом, требуется использовать очень маленькие шаги по времени и пространству, что сильно повышает требования к вычислительным мощностям и затрудняет использование прямого численного моделирования в практических задачах.

Для использования осредненных уравнений необходимо иметь аналитические выражения для членов, характеризующих вклад турбулентных

пульсаций в средние характеристики течения. Для расчета вклада турбулентных пульсаций используют специальные модели турбулентности, которые позволяют в явном виде задать пульсации и вычислить их вклады в трение и плотность теплового потока. Наибольшую сложность при данном подходе представляет подбор правильной модели турбулентности применительно к свободной конвекции. Данный подход также требователен к вычислительным ресурсам и чувствителен к выбору конечно-разностной аппроксимации, ввиду того, что существует проблема выполнения законов сохранения при подобном способе расчета.

При всей своей простоте, использование интегральных методов сопряжено со значительным снижением точности, по сравнению с прямым численным моделированием или решением осредненных уравнений с использованием моделей турбулентности. Это связано с точностью определения профилирующих функций поля вертикальной скорости и избыточной температуры, а также с использованием моделей турбулентности для определения трения и плотности теплового потока на стенке. С другой стороны, при достаточно точном подборе профилирующих функций, при корректном определении трения и плотности теплового потока на стенке, погрешность интегральных методов сильно снижается, при этом их точность может приближаться к результатам прямого численного моделирования, как например, это происходит при расчете ламинарных пограничных слоев.

Таким образом, для применения интегральных методов становится актуальной задача о нахождении профилей вертикальной скорости и избыточной температуры. Применительно к свободноконвективному турбулентному пограничному слою, решению данной задачи способствует представление вертикальной скорости и избыточной температуры через профилирующие функции, аналогично работе [18]. С учетом зависимости данных функций от малого параметра, становится возможным использовать для нахождения решения аппарат теории возмущений. Другим подходом к отысканию профилирующих функций является изучение асимптотик вертикальной скорости и избыточной температуры в различных областях пограничного слоя.

Так как современная теория свободноконвективного турбулентного пограничного слоя основана на двухзонном представлении, то в настоящей работе данное представление развивается с использованием модели турбулентности, справедливой при преобладании термогравитационных механизмов генерации кинетической энергии турбулентности и методов теории возмущений. В основе лежит двухзонная модель свободноконвективного турбулентного пограничного слоя, описанная в работах [18] и [19], а также модель турбулентности для вторых моментов пульсаций скорости и температуры при преобладании термогравитационных механизмов генерации кинетической

'ЛТТШЛти ГТТ Т ТТТ Г» О ТТТХТТ Т» О ТТГ,а^Г\ОТ1ТЮЛТ/А» Г ТТГЧТ!^ ттпму/атттттт ЛТТТ1Л О ТТТТ О ГТ Т"» по^лта ГА

пристеночной областью и в построении приближенного метода расчета данных пограничных слоев. Для достижения указанных целей были поставлены следующие задачи:

1. Проанализировать современные теоретические исследования и экспериментальные данные, связанные с изучением свойств и внутренней структуры свободноконвективных турбулентных пограничных слоев около вертикальной нагретой пластины.

2. Построить физико-математическую модель свободноконвективного турбулентного пограничного слоя, учитывающую особенности течения в основной части пограничного слоя и в пристеночной области. При построении теории учесть влияние характеристик пристеночной области на свойства течения внутри основной части пограничного слоя в том числе посредством тепло-массобмена и вязкого трения.

3. Разработать приближенный метод расчета основных параметров и характеристик свободноконвективного турбулентного пограничного слоя для использования при решении прикладных задач. Особое внимание уделить случаю больших поперечных чисел Грасгофа —> со).

4. Проверить полученную теорию и приближенные расчетные методы на предельных переходах в область действия известных моделей других авторов и с помощью расчетов свойств и характеристик свободноконвективного турбулентного пограничного слоя в условиях известных экспериментов с помощью приближенного метода.

Фактический материал и методы исследования.

При построении двухзонной теории свободноконвективного турбулентного пограничного слоя были использованы идеи, высказанные ранее в научных трудах большого числа российских и зарубежных ученых. Впервые двухзонная модель турбулентного свободноконвективного пограничного слоя с квазиламинарным вязким подслоем и внешней турбулентной частью была предложена С. С. Кутателадзе [1-7]. В дальнейшем под руководством С. С. Кутателадзе в Институте Теплофизики СО АН А. Г. Кирдяшкиным в 1965 - 1974 годах выполнен цикл экспериментальных и теоретических исследований турбулентной свободной конвекции. Особое внимание было уделено исследованию осреднённых полей скорости и температуры, одноточечных и двухточечных моментов второго порядка [7, 8]. Кроме того, активные исследования свободной конвекции проводились в ИТМО в Минске, результаты

которых были опубликованы в работе [9]. Среди зарубежных исследователей эти идеи были выдвинуты впервые С. Джорджем и В. Кэппом в 1977-1979 годах [1620]. В отличие от работ С.С. Кутателадзе, в работах Джорджа и Кэппа получены формулы для профилей вертикальной скорости и избыточной температуры внутри пограничного слоя, а также закон стенки и закон дефекта скорости.

Среди экспериментальных работ зарубежных автором особенно стоит отметить исследования Влита и Лайю [32], которые измеряли параметры свободноконвективного турбулентного пограничного слоя в воде с различными значениями однородных тепловых потоков на стенке и исследования Гебхарта и др. [36] которые также проводились на воде. Также большую важность имеют исследования Чизрайта [37, 42], проводившиеся на воздухе. Эти и другие экспериментальные работы были использованы для проверки полученных в данной диссертации результатов.

В настоящее время аналогичные работы продолжаются в Санкт Петербургском политехническом институте Ю.С. Чумаковым. [47-51]. Эти исследования проводились преимущественно на воздухе, около пластины с постоянной температурой. Результаты, полученные Ю.С. Чумаковым и др., также были использованы для проверки двухзонной теории и физико-математических моделей на ее основе.

При разработке методов расчета физических параметров свободно конвективного турбулентного пограничного слоя были использованы идеи Эккерта и Джексона об интегральном подходе [21] и идеи, высказанные Черкасовым С.Г. при расчете свободной конвекции внутри замкнутого сосуда, где область конвекции делилась на ядро и пограничный слой [28]. Полученные методы расчета проверялись на упомянутых выше экспериментальных данных.

Научные результаты, выносимые на защиту.

1. Рассмотрены особенности свободноконвективного турбулентного слоя вблизи твердой границы и в основной части. Путем анализа критериев подобия впервые показано, что вблизи стенки существует область, где преобладают вязкие силы, в то время как в основной части доминируют конвективные силы. На основе анализа критериев подобия получена формула для оценки толщины области, в которой преобладают вязкие силы.

2. Путем применения двух различных моделей турбулентности для пристеночной области и основной части свободноконвективного

турбулентного пограничного слоя построена двухзонная самосогласованная модель. Осуществлен вывод уравнений для профилирующих функций вертикальной скорости и избыточной температуры в пристеночной области и основной части пограничного слоя с учетом температурной стратификации на внешней границе. Выведены условия их сопряжения.

3. На основе анализа уравнений для профилирующих функций вертикальной скорости и избыточной температуры получена их асимптотическая структура, как в пристеночной области, так и в основной части пограничного слоя. На основе данных асимптотик предложен приближенный метод расчета полей скорости и температуры, в рамках которого получено аналитическое решение соответствующей системы уравнений для случая однородного теплового потока на твердой границе при больших числах Грасгофа.

4. Путем применения приближенного метода показано, что при больших числах Грасгофа наблюдается эквивалентность задания однородных граничных условий первого и второго рода на твердой границе, а также получена аналитическая формула, связывающая температуру стенки и плотность теплового потока. На основе найденного аналитического решения, предложены формулы, выражающие зависимость вертикальной компоненты скорости и избыточной температуры от поперечной и продольной координат, которые обобщают и уточняют ряд известных результатов.

Научная новизна представленных результатов.

Научная новизна результатов работы определяется тем, что в ней:

• Исследована структура течения в пристеночной области с использованием анализа критериев подобия и показано, что в пристеночной области осредненные уравнения эквивалентны уравнениям для случая вынужденного пограничного слоя с использованием модели турбулентности - ■-■■-■

• Выведены условия сопряжения на границе основной части пограничного слоя и пристеночной области, а также исследовано влияние температурной стратификации на внешней границе на течение в основной части пограничного слоя.

• Для основной части пограничного слоя, с помощью применения модели турбулентности для вторых моментов пульсаций при больших числах Ричардсона были получены уравнения, описывающие профилирующие функции для вертикальной скорости и температуры.

• С помощью теории возмущений проведено исследование уравнений, описывающих пристеночную область и основную часть пограничного слоя, в результате чего получены асимптотические решения для полей скорости и температуры

• Предложен приближенный метод расчета полей скорости и температуры внутри свободноконвективного турбулентного пограничного слоя с помощью использования асимптотик профилирующих функций вертикальной скорости и температуры, а также условий сопряжения пристеночной области с основной частью пограничного слоя.

Достоверность полученных результатов основывается на применении математических методов современной теории турбулентности, статистической физики, гидродинамики, теории дифференциальных уравнений, теории возмущений и математической физики. Полученные уравнения проверены с помощью предельных переходов и сопоставления с экспериментальными данными. Достоверность результатов подтверждается совпадениями с выводами современной теории турбулентности и свободной конвекции о поведении и структуре полей скорости и температуры внутри пограничного слоя.

Теоретическая и практическая ценность

Теоретическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты позволяют уточнить внутреннюю структуру свободноконвективного турбулентного пограничного слоя и получить в явном виде профилирующие функции для вертикальной скорости и температуры во всей толщине пограничного слоя, существование которых было впервые доказано в работах [6-8]. Применение модели турбулентности для вторых моментов пульсаций при больших числах Ричардсона позволило получить аналитические выражения для турбулентных напряжений трения и плотности теплового потока в пристеночной области и на самой стенке, что в свою очередь позволяет решить задачу о корректной постановке граничных условий на стенке при турбулентной свободной конвекции. Найденные условия сопряжения основной части пограничного слоя с пристеночной областью позволяют уточнить механизмы взаимовлияния пристеночной области и динамического слоя выталкивающей силы. Результаты анализа влияния температурной стратификации на внешней границе на течение

внутри пограничного слоя могут быть использованы для решения полной задачи турбулентной свободной конвекции в замкнутом объеме, где пограничный слой сопрягается с основной областью, в которой турбулентность менее развита, либо отсутствует за счет существенно меньших местных перепадов (градиентов) температуры, чем в пограничном слое.

Практическая ценность работы состоит в том, что ее результаты могут быть использованы в высших учебных заведениях и научных центрах, занимающихся научными исследованиями турбулентности при свободной конвекции. В рамках данной работы был реализован приближенный метод расчета полей скорости и температуры, позволяющий свести общую задачу о свободноконвективном турбулентном пограничном слое к задаче об изменении условий сопряжения на границе пристеночной области и основной части пограничного слоя при изменении вертикальной координаты, что в большинстве практических расчетов сводится к нахождению решения системы нелинейных ОДУ второго порядка. Также научно-методические идеи работы могут быть использованы при разработке научно-образовательных курсов, для подготовки кадров высшей квалификации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Самосогласованная двухзонная модель свободноконвективного турбулентного пограничного слоя»

Апробация работы

Результаты диссертационной работы были представлены на следующих конференциях:

• Шестая Российская Национальная конференция по тепло-массообмену (РНКТ-6), секция «Свободная конвекция», НИЦ Московский Энергетический Институт, Москва, 2014.

• 50 Всероссийская конференция по проблемам динамики, физике частиц, физики плазмы и оптоэлектроники, секция «Теоретическая физика» Российский университет дружбы народов, г. Москва, 2014

• 51 Всероссийская конференция по проблемам динамики, физике частиц, физики плазмы и оптоэлектроники, секция «Теоретическая физика» Российский университет дружбы народов, г. Москва, 2015

Также результаты работы были отражены в отчётах по проекту 13-08-00277 «Теоретическое исследование влияния естественной конвекции на нестационарные температурные поля в замкнутых объемах при комбинированном подводе тепла» под эгидой РФФИ.

Публикации

Основные результаты диссертационной работы были опубликованы в 6 работах, 3 из которых опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК РФ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 63 наименования. Объем диссертации - 81 страница текста, набранного в формате PDF.

Во введении дается общая характеристика работы, указывается ее цель, обосновывается актуальность решаемых проблем, дается описание современной теории свободноконвективного турбулентного пограничного слоя, а также кратко излагается содержание диссертации.

Первая глава диссертации носит в основном обзорный характер и состоит из пяти параграфов. В первом параграфе рассматривается асимптотическая теория свободноконвективного турбулентного пограничного слоя С.С. Кутателадзе и ее развитие. Затем рассматривается теория свободноконвективного турбулентного пограничного слоя С. Джорджа и В. Кэппа и проводится их анализ. В третьем параграфе был дан обзор интегрального подхода к исследованию свободноконвективного турбулентного пограничного слоя и были детально рассмотрены его достоинства и недостатки. В четвертом параграфе проводится анализ современных экспериментальных данных. В пятом параграфе приводится краткий обзор современных результатов прямого численного моделирования.

Вторая глава состоит из четырех параграфов и посвящена двузонной самосогласованной модели свободноконвективного турбулентного пограничного слоя. В рассматриваемой модели пограничный слой представляется в виде пристеночной области и основной части, между которыми существует взаимовлияние. Пристеночная область характеризуется преобладанием вязких сил над конвективными и генерацией кинетической энергии турбулентности за счет сдвига средней скорости. Основная часть пограничного слоя характерна преобладание термогравитационных сил над вязкими и основной вклад в генерацию кинетической энергии турбулентности происходит за счет работы силы плавучести.

Для получения уравнений, описывающих поля скорости и температуры в пристеночной области, могут быть использованы различные подходы. Одним из таких подходов является применение модели турбулентности для

нахождения турбулентных напряжений трения.

При выводе уравнений, описывающих поля скорости и температуры в основной части пограничного слоя, применялась модель турбулентности для вторых моментов пульсаций при больших числах Ричардсона, описанная в статье [61] благодаря чему было корректно учтено влияние силы плавучести на генерацию кинетической энергии турбулентности.

В первом параграфе второй главы с помощью применения модели турбулентности к - ■■. с членом смешения Ментера, выводятся уравнения для

полей скорости и температуры в пристеночной области с учетом ее особенностей. Во втором параграфе второй главы выводятся условия сопряжения пристеночной области и основной части пограничного слоя, проводится оценка их взаимовлияния и исследуется влияние температурной стратификации на внешней границе пограничного слоя на поля скорости и температуры в основной части.

В третьем параграфе второй главы, с помощью применения модели турбулентности для вторых моментов пульсаций при преобладании термогравитационных механизмов генерации турбулентных пульсаций над сдвиговыми, были получены уравнения, описывающие поля скорости и температуры в основной части пограничного слоя. С помощью применения теории возмущений проводится анализ уравнений и асимптотик профилирующих функций для вертикальной скорости и поля температуры. В четвёртом параграфе второй главы приводится анализ полученных во второй главе результатов и их сопоставление с экспериментальными данными.

Третья глава состоит из четырех параграфов и посвящена реализации приближенного метода расчета полей скорости и температуры в свободноконвективном турбулентном пограничном слое в рамках двухзонной самосогласованной модели.

В первом параграфе третьей главы описывается выбор приближенных профилирующих функций для вертикальной скорости и избыточной температуры внутри пограничного слоя помощью результатов исследования асимптотик данных функций во второй главе. Во втором параграфе третьей главы описывается структура приближения в основной части пограничного слоя и в пристеночной области.

В третьем параграфе третьей главы описано применения приближенного метода расчета полей скорости и температуры для свободноконвективного турбулентного пограничного слоя с большим числом Грасгофа и однородным тепловым потоком на стенке. Показано, что при стремлении числа Грасгофа к бесконечности случай с однородным тепловым потоком на стенке эквивалентен случаю с однородной температурой стенки. В четвертом параграфе третьей главы проведено сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными.

В заключении сформулирован основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

Глава 1. ОБЗОР МОДЕЛЕЙ СВОБОДНОКОНВЕКТИВНОГО ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

1.1 Асимптотическая теория пограничного слоя С.С. Кутателадзе и ее

Свободноконвективный турбулентный пограничный слой обладает сложной внутренней структурой, которая главным образом зависит от того, что в различных областях пограничного слоя доминируют различные массовые силы, что в свою очередь оказывает сильное влияние на поле скорости и температуры внутри пограничного слоя.

Одним из первых ученых, кто исследовал структуру свободно конвективного турбулентного пограничного слоя, был советский физик С. С. Кутателадзе. В 1935 году он предложил асимптотическую двухзонную теорию [1], в основе этой теории лежало представление о квазиламинарном пристеночном течении, с постоянным собственным значением числа Рейнольдса. Дальнейшие экспериментальные исследования подтвердили, что вблизи обтекаемой вертикальной пластины возникает вязкий подслой с линейным изменением профиля температуры [2]. Идеи, предложенные С. С. Кутателадзе, развивались в Институте теплофизики СО АН А. Г. Кирдяшкиным и др., в результате чего был выполнен цикл экспериментальных и теоретических исследований свободноконвективного турбулентного пограничного слоя по данному направлению [3-10]. В рамках рассматриваемой теории было предложено внутри свободноконвективного турбулентного пограничного слоя рассматривать две характерные зоны - вязкий квазиламинарный подслой вблизи стенки и внешнюю часть пограничного слоя. Пренебрегая пульсационными составляющими и левыми частями уравнений пограничного слоя, было предложено использовать в вязком квазиламинарном подслое следующую систему уравнений:

развитие

(111)

(1.1.2)

Здесь ДГ = Т — . В качестве граничных условий используются следующие соотношения:

A^Ijf^-l = — T-_.

(1.1.4)

(1.1.5)

(1.1.6)

Здесь х1 координата внешней границы квазиламинарного вязкого подслоя. Система (1.1.1) - (1.1.2) с граничными условиями (1.1.3) - (1.1.6) имеет решение в виде:

A'T" _ Т _ Т __^03

'iv '(В

X

(1.1.7)

w

_ fw ГроЗдс^ __jjpv'vt-1 'co-* -j, apvi дки (118)

W-l 2u 6u / ( .. )

2v

Согласно экспериментальным данным А.Г. Кирдяшкина, В.П. Ивакина и Чизрайта [11-13] средняя толщина вязкого квазиламинарного подслоя рассчитывается по формуле:

(1.1.9)

Во внешней части пограничного слоя, то есть при х > хт, где хш -поперечная координата, в которой достигается максимум вертикальной скорости, течение имеет общие черты с затопленными турбулентными струями. Это сходство выражается в следующих соотношениях:

9w дх

dS dz

const

const

(1.1.10) (1.1.11)

Согласно [6] имеется линейная зависимость толщины пограничного слоя от продольной координаты. На основе экспериментальных данных А.Г. Кирдяшкина, В.П. Ивакина и Чизрайта [3, 4, 7, 37] профили вертикальной скорости и температуры аффинно-подобны во внешней части пограничного слоя.

(1.1.12)

Координатах! определяется по формулам:

(1.1.14)

(1.1.15)

Здесь - координата начала турбулентного пограничного слоя, ал -

коэффициент теплоотдачи ламинарной свободной конвекции и оц, коэффициент теплоотдачи турбулентной свободной конвекции.

В области х > хт интегральные балансы энергии и импульса можно записать в виде:

(

дп2 дг

ат-т.

К)

)

р

^-Г -С»+

= 0

(1.1.16) (1.1.17)

В рамках рассматриваемой теории делается предположение, что величины Тт — Тгг,, тт и дт можно приближенно записать в следующем виде:

Тт ~ Г» ад О -

1ТП

т

(1.1.18)

(1.1.19)

(1.1.20) (1.1.21)

Дополнительно принимается, что координата максимума скорости не зависит от г, то есть справедлива формула:

(1.1.22)

С учетом выражений (1.1.18) - (1.1.22) из формул (1.1.16) и (1.1.17) следует, что т = — п = ~, к = т и если пренебречь напряжениями трения то получатся

следующие формулы для скорости и температуры в точке х = хт:

дРЧуг О-г0)\а

2

(1.1.24)

Константы К1 и К2 определялись из экспериментальных данных А.Г. Кирдяшкина и В.П. Ивакина [8], в результате чего были получены значения:

Основными недостатками изложенной теории является снижение точности с ростом разности температур Тш — Тт ввиду увеличения важности турбулентных членов в уравнениях пограничного слоя, которые не учитывались в данной модели, отсутствие описания для области 1] < х < хт и пренебрежение вкладом пульсационных составляющих при рассмотрении вязкого подслоя.

1.2 Теория пограничного слоя Джорджа - Кэппа на основе анализа

размерностей и ее развитие

В 1977 - 1979 годах году американские ученые В. Джордж и С. Кэпп опубликовали [16-20] серию аналитических исследований критериев подобия и экспериментальных работ, которые представляют собой теорию свободноконвективного турбулентного пограничного слоя.

В своей работе Джордж и Кэпп разделили пограничный слой на три характерные области - теплопроводный подслой, область с постоянным тепловым потоком и внешнее течение [16]. В пристеночной области используется следующая система уравнений:

(1.1.25)

(1.1.26)

(1.2.1)

(1.2.2)

Как и в асимптотической теории С.С. Кутателадзе, здесь отбрасываются левые части соответствующих уравнений, однако вклад пульсационных составляющих

уже присутствует. В результате интегрирования (1.2.1) и (1.2.2) получатся следующие выражения:

-и'ю' + у^+^дрАГйх' = ^

ШТ + =

дх рСр

(1.2.3)

(1.2.4)

Из формулы (1.2.3) следует, что трение внутри теплопроводного подслоя не постоянно благодаря влиянию интеграла выталкивающей силы. В случае вынужденного течения трение на стенке определяется влиянием внешнего течения на внутреннее через граничные условия. В данном случае трение на стенке не является фундаментальной величиной для вязкого подслоя, так как оно зависит как от внешних, так и от внутренних параметров.

Из формулы (1.2.4) следует, что полный тепловой поток через теплопроводный подслой постоянен в том смысле, что его полная величина не зависит от толщины. Также тепловой поток является фундаментальной величиной не только для вязкого подслоя, но и для внешней части пограничного слоя.

В основной части пограничного слоя в рамках данной теории предполагается,

виг

дАТ

что V— « и'IV', а~~ « и'АТ' и используется следующая система уравнений:

Зи'

(1.2.5)

(1.2.6) (1.2.7)

Джордж и Кэпп ввели безразмерный комплекс Н, который вместе с числом Прандтля, в рамках данной модели, оказывает определяющее влияние на процессы в основном пограничном слое:

щ =

рСра3

(1.2.8)

С помощью Н*, согласно пи-теореме можно записать профиль вертикальной скорости и температуры внутри основной части пограничного слоя в общем виде:

(1.2.8)

В рамках данной теории была сформулировано утверждение, что профили температуры и скорости зависят от характерных масштабов, то есть течение для каждого сечения по г находится в локальном равновесии. Тогда формулы (1.2.8) -(1.2.9) упростятся до следующих выражений:

(1.2.10) (1.2.11)

Здесь величинам/ определена следующим образом:

V

\ рСра3 )

8НГ

(1.2.12)

Таким образом, при - -* «> величина Н£ -> и параметр Н играет роль

аналога числа Рейнольдса в вынужденных турбулентных пограничных слоях [17], [18]. Физический смысл параметра длины 7] - характерный масштаб теплопроводного подслоя.

В области вблизи внешней границы пограничного слоя х^д величина - —► 1,

при этом ^ *», таким образом, формулы (1.2.10) - (1.2.11) принимают вид:

М? =

>А о&Рг)

(1.2.12) (1.2.13)

Было сделано предположение, что в данной области параметры течения

зависят только от теплового потока — и коэффициента д{3, поэтому из

рср

соображений размерности, Джорж и Кэпп в статье [16], выбирают функции и Т; - в следующем виде:

(1.2.14)

= Н

(1.2.15)

Формулы (1.2.14) - (1.2.15) имеют схожую структуру с формулами (1.1.23) -(1.2.34) и определяют закон дефекта скорости и температуры для свободноконвективного турбулентного пограничного слоя, по аналогии с вынужденными течениями [19].

В пристеночной области, где х « <5, формулы (1.2.10) - (1.2.11) удобно записать в следующем виде:

Если предположить, что г/ « <5, в области х^т] величина

™. Таким образом, по аналогии с (1.2.14) - (1.2.15), из формул (1.2.16) -

(1.2.16) (1.2.17)

, при этом

(1.2.17) пропадает зависимость от - и они принимают вид:

(1.2.16) (1.2.17)

Сделав предположения, аналогичные предположениям для области вблизи внешней границы, видим, что в пристеночной области характеристики течения

зависят от теплового потока —, д(3, Я и у. Из соображений размерности,

рср

аналогично (1.2.14) - (1.2.15) Джоржем и Кэппом в [16] предложены следующие выражения:

(1.2.18)

\рСр/

(дра)

(1.2.19)

Формулы (1.2.18) - (1.2.19) определяют закон стенки [20] для свободноконвективного турбулентного пограничного слоя, по аналогии с вынужденными течениями.

В области с постоянным тепловым потоком, то есть при 7] «х « 6, в рамках

данной модели, сделано предположение, что можно пренебречь вязкими и

теплопроводными эффектами и на свойства течения влияют следующие

параметры - — и др. Поперечный градиент вертикальной скорости в этой рср

области зависит от др и расстояния до стенки х. Из соображений размерностей получаются следующие уравнения:

(1.2.20)

(1.2.21)

В результате интегрирования этих выражений получаются следующие зависимости:

(1.2.22)

(1.2.23)

Здесь постоянные К1 и К2 представляют собой константы, характеризующие параметры течения для свободной конвекции, а постоянные А и В связаны с теплофизическими и вязкими свойствами самой жидкости.

Область, в которой справедливы уравнения (1.2.20) - (1.2.21), Джордж и Кэпп назвали динамическим подслоем выталкивающей силы, по аналогии с логарифмическим участком в вынужденном турбулентном пограничном слое.

Используя условие непротекания в пристеночной области х < г/, х « 5,

можно приближенно положить и'АТ' = 0. Тогда для профиля температуры, согласно (1.2.4) справедливо следующее уравнение:

¿.ат

сЬс

1\У

арСр

(1.2.24)

В безразмерном виде решение уравнения (1.2.24) запишется в следующем виде:

(1.2.25)

Для определения профиля скорости в пристеночной области делается предположение, что и'иг' = 0. Тогда, с учетом формул (1.2.1) и (1.2.25), профиль скорости будет иметь следующий вид:

Результаты данной теории были проверены экспериментально [19-20] и показали хорошую точность при конвекции около пластины с постоянным тепловым потоком и постоянной температурой.

К недостаткам данной теории стоит отнести большое количество коэффициентов, которые определяются экспериментально, пренебрежение турбулентными эффектами в пристеночной области, отсутствие учета взаимовлияния между зонами, приближенный характер зависимостей, обусловленный использованием теории размерностей, и неопределённый характер профилирующих функций.

1.3 Интегральный метод исследования структуры

свободноконвективного турбулентного пограничного слоя

Одним из наиболее простых и эффективных методов исследования свободноконвективного турбулентного пограничного слоя является интегральный подход. Данный метод был впервые разработан Карманом и впервые применен Сквайером [15] для исследования ламинарного свободноконвективного пограничного слоя вблизи нагретой вертикальной изотермической пластины.

Суть интегрального подхода заключается в разделении полей вертикальной скорости и температуры на профилирующие функции и вертикальные составляющие. После подстановки получившихся выражений в уравнения пограничного слоя производится интегрирование в пределах от 0 до 5 и уравнения пограничного слоя сводятся к системе интегро - дифференциальных или обыкновенных дифференциальных уравнений, которые, чаще всего, более

простые, чем исходная система. Уравнения свободноконвективного пограничного слоя в приближении Буссинеска [13] имеют вид:

й(мДТ) Э(т+ДГ)

1 дц

дх

дх

р Ср дх

1 дт

дх дг р дх

(1.3.1)

(1.3.2)

(1.3.3)

Если принять толщины динамического и теплового пограничного слоя одинаковыми, а также пренебречь трением и температурной стратификацией на внешней границе пограничного слоя, то получится следующая [11] система уравнений:

й

([* п^х) = д? АТс1х

р

(¡*УГА тах) =

р<т>

(1.3.3) (1.3.5)

В качестве примера применения интегрального подхода можно рассмотреть ламинарный свободноконвективный пограничный слой вблизи вертикальной нагретой пластины. Для профилирующих функций, согласно асимптотике вертикальной скорости и температуры, а также граничным условиям, принимаются следующие [11, 15] выражения:

А Т = А Тш (1 -

(1.3.6)

(1.3.7)

В результате подстановки (1.3.6) - (1.3.7) в (1.3.3) - (1.3.5) получается следующая система ОДУ:

(1.3.8)

(1.3.9)

Для замыкания данной системы требуется найти функциональную связь величин т^, и qw с вертикальной скоростью, избыточной температурой пластины и толщиной пограничного слоя. Для ламинарного режима течения эта связь

находится путем дифференцирования выражения (1.3.6) и (1.3.7) на твердой границе пограничного слоя:

(1.3.10)

(1.3.11)

В случае изотермической пластины, с нулевыми граничными условиями в начале пограничного слоя, система (1.3.8) - (1.3.9) имеет аналитическое решение в виде:

IV = 5.17- (Рг + —) £>2 (-)з

Ь ^ 2Г А ч/

(1.3.12)

5 = 3.9ЗЬ(Рг + —)*6гг

" 2 1 Ь Ч/

(1.3.13)

Здесь СтТ2 = - число Грасгофа, взятое по длине пластины. Формулы

(1.3.12) - (1.3.13) с высокой точностью [12] совпадают с аналитическим автомодельным решением уравнений свободноконвективного ламинарного пограничного слоя с аналогичными граничными условиями.

Основным недостатком интегрального подхода является сложность нахождения правильных профилирующих функций для подстановки в исходные уравнения перед процедурой интегрирования, а также задания соотношений для напряжений трения и теплового потока на стенке. Особенно остро данная проблема стоит в случае развитой турбулентности. В общем случае, систему (1.3.3) - (1.3.5) необходимо дополнять уравнениями для нахождения соответствующих профилирующих функций и формулами для соответствующих величин на стенке.

Чтобы получить уравнения профилирующих функций, вертикальную скорость и избыточную температуру необходимо представить в следующем виде:

(1.3.14)

(1.3.15)

После подстановки (1.3.14) и (1.3.15) в (1.3.1) и (1.3.2) с учетом (1.3.3) получится следующая система:

(1.3.16)

(1.3.18)

Если далее предположить, что / ий зависят только х и <5, а Также что режим течения ламинарный, то система (1.3.16) - (1.3.18) примет следующий вид:

1 дд

1 Эх } " Лг 1

Рср

Эле

(1.3.19)

(1.3.20)

(1.3.21)

Данный подход был впервые применен Като в работе [22]. Система (1.3.3) -(1.3.5), в общем случае, решается совместно с (1.3.14), (1.3.14) и (1.3.16) - (1.3.18), однако в ряде задач, на основе анализа асимптотик полей скорости и температуры, удается значительно упростить данную систему, путем сокращения параметров, от которых зависят функции / и к или замены этих зависимостей на другие, где используются переменные системы (1.3.3) - (1.3.5).

Применительно к свободноконвективному турбулентному пограничному слою интегральный подход впервые был применен Эккертом и Джексоном [21]. В своей работе они предложили задавать профили вертикальной скорости и температуры следующими функциями:

к = 1

(1.3.22)

(1.3.23)

Для напряжений трения и теплового потока на стенке использовались следующие формулы:

(1.3.24)

(1.3.25)

В результате интегрирования уравнений (1.3.3) - (1.3.5) с использованием (1.3.22) - (1.3.25) в случае однородного теплового потока были получены

следующие соотношения для функции IV, толщины пограничного слоя и числа Нуссельдта:

(1.3.26)

(1.3.27)

= 0.024/(1 - 0.494??■■:) (1.3.28)

А?т = /01С07(1_ 04(1 _ = 0.036 - соответствующие интегралы от

профилирующих функций, Г =

X

.

Формула (1.3.28) имеет хорошую точность для жидкостей, но в случае газов погрешность возрастает. Несмотря на это, формулы (1.3.26) и (1.3.27) вместе с формулами (1.3.22) и (1.3.23) имеют очень высокую погрешность - толщина пограничного слоя занижается примерно в три раза, а максимальная скорость завышается примерно в два раза.

Бейли [33] в своей работе показал, что формула (1.3.23) неверна и имеет сильное расхождение с экспериментальными данными. В ряде последующих

работ [16-20] было показано, что функция к должна зависеть от Применительно к интегральным методам данная зависимость была впервые использована в работах [23-24], где функция к задавалась формулой:

(1.3.29)

Здесь параметр а = 4.753x10 4 задается на основе экспериментальных данных. Вместо формул (1.3.24) и (1.3.25) использовались следующие формулы:

Т =

0.02 2ВКрш1

(1.3.30)

Тем самым предлагалось использовать поправочный коэффициент к формуле Блазиуса для определения напряжений трения на стенке. Данный коэффициент обозначен в формуле (1.3.30) через К = 16.08 и задавался на основе анализа экспериментальных данных. Для определения теплового потока на стенке использовалась формула Влита - Росса, так как функция Т± с учётом (1.3.29) имеет физический смысл избыточной температуры стенки:

(1.3.31)

Использование соотношений (1.3.29) - (1.3.31) вместо (1.3.23) - (1.3.25) позволило существенно повысить точность расчетов по сравнению с методом Эккерта - Джексона [23], однако точность все еще оставалась низкой и погрешность метода достигала 30%, однако данная точность позволяла пользоваться интегральным методом в ряде практических приложений.

Из этих данных можно сделать вывод, что точность уравнений, полученных с помощью интегрального подхода критически зависит от точности задания формы профилирующих функций и уравнений связи для теплового потока и трения на стенке.

1.4 Анализ современных экспериментальных исследований свободноконвективного турбулентного пограничного слоя

Экспериментальные исследования свободноконвективного турбулентного пограничного слоя ведутся уже долгое время. Одними из первых работ, в которых исследовались свойства свободной конвекции около вертикальной нагретой пластины, были исследования Гриффитса, Дэвиса и Саундерса [30, 31], которые исследовали свободную конвекцию при больших числах Рэлея (Яа>1010). В результате этих исследований была получена формула:

.Ун.. = 0.17£:Л (1.4.1)

В работах Влита и Лайю [32], которые были опубликованные в 1969 году были описаны результаты экспериментов, проведенных на воде в широком диапазоне разностей температур стенки и жидкости. Аналогичную серию экспериментов провел Б. Гебхарт и др. [34-36]. Основными результатами данных

работ является получение формулы для числа Нуссельдта, которая обобщает (1.4.1), а также профилей вертикальной скорости и температуры:

= 0.568/г^22

(1.4.2)

(1.4.3)

(1.4.3)

В дальнейшем Р. Чизрайт, Е. Ирикипиотукс и др., [37] провели серию экспериментов на воздухе, которые получили следующую формулу для воздушной среды:

(1.4.4)

С 1982 по 1994 годы, Миямото и др., [43] опубликовали результаты серии экспериментальных исследований турбулентной свободной конвекции около вертикальной нагретой пластины. Аналогичные исследования в то же время проводили Р. Смит [38], Т. Тсуи и И. Нагано [39-41]. Данные исследований указанных авторов практически совпадают. Основным результатом данных исследований являются экспериментальные зависимости интенсивностей пульсаций от поперечной координаты для избыточной температуры и вертикальной скорости. Было получено, что максимум пульсаций температуры достигается на расстоянии приблизительно 4 мм от стенки. Из этих результатов следует, что пульсационные составляющие играют огромную роль в динамике пристеночной области. В связи с этим встает вопрос о корректности пренебрежения турбулентными составляющими в уравнениях (1.1.1) - (112) и (1.2.1) - (1.2.2). В 1982 году М. Миямото и др. [43-44] опубликовали исследования пульсаций вертикальной скорости в свободно конвективном турбулентном пограничном слое. Согласно этим данным максимум пульсаций скорости находился на большом расстоянии от стенки, однако последующие [49] эксперименты показали, что максимум пульсаций скорости также находится вблизи стенки на расстоянии примерно 5 мм. Таким образом, пульсационная составляющая напряжений трения в пристеночной области играет важную роль в соответствующих уравнениях.

В работах [41] и [45-46] исследуются профили турбулентных напряжений трения и турбулентного теплового потока поперек пограничного слоя. Из

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Суслов Яков Александрович, 2017 год

— v -

!-(-:':. В этом случае

должны выполняться соотношения 1 ± ^ & 1 и

профилирующие функции (3.1.6) и (3.1.8) принимают вид:

(3.2.10)

Система (3.2.7) - (3.2.9), с использованием формул (3.2.10) принимает следующий вид:

(3.2.11) (3.2.11)

(3.2.12)

(3.2.13)

(3.2.14)

Для дальнейшего интегрирования системы (3.2.12) - (3.2.14) требуется вычислить следующие интегралы:

(3.2.15)

(3.2.16)

(3.2.17)

(3.2.18)

Данные интегралы вычисляются аналитически путем замены -

5

результате интегрирования получаются следующие выражения:

= г. В

А„т ад 0.1725

(3.2.19)

А ад

"итг

0.05235

Ат

- 6

(3.2.20)

(3.2.21)

А ад

0.1475

(3.2.22)

После подстановки выражений (3.2.19) - (3.2.22) в уравнения (3.2.12) -(3.2.14) получается следующая система:

(3.2.23)

(3.2.25)

Система (3.2.23) - (3.2.25) вместе с формулой (2.1.3) представляет собой замкнутую нелинейную систему из двух ОДУ первого порядка и двух алгебраических уравнений, которая в то же время, интегрируется значительно проще системы (3.2.7) - (3.2.9). Вместе с граничными условиями (2.2.14) и (2.2.15) данная система может использоваться для приближенного расчета полей скорости и температуры внутри свободноконвективного турбулентного пограничного слоя около вертикальной нагретой пластины.

Используя приближенные профилирующие функции, можно также получить уравнения для вычисления напряжений трения и плотности теплового потока внутри пограничного слоя. Из уравнений (2.3.1) - (2.3.3) с учетом формул (3.2.10) - (3.2.11) следуют следующие выражения:

(3.2.26)

Эт _ у^ (х\7 Л _ яЛ4 { — — + Г-У — -\3 (— — дх \г]/ \ 5/ \7х 8-х \г]/ V &) Уск 7ц ¿г

7г] 5—х ¿г /

(3.2.27)

(3.2.28)

Граничные условия для т, д и и в выбранном приближении имеют вид:

Г,=, = 0.0022^;:- (—г (3.2.29)

Ч ::= ■: = -{■■.■ (3.2.30)

Д'= Г]

77} <Ш 9 ¿¿я

(3.2.31)

Для нахождения турбулентного теплового потока и напряжения трения с помощью системы (3.2.22) - (3.2.24) вместе с граничными условиями (3.2.25) -(3.2.27) необходимо использовать решение системы (3.2.19) - (3.2.21).

3.3 Применение приближенного метода для расчета свободноконвективного турбулентного пограничного слоя при больших числах Грасгофа.

При больших перепадах температуры между внутренней и внешней границами пограничного слоя, а также при малой вязкости жидкости, на удалении от начала появляется особая асимптотика течения. Поэтому становится актуальной задача об исследовании поведения течения, внутри пограничного слоя, при больших числах Грасгофа, то есть при -> оо и ти, —► 0. Асимптотика эквивалентна тому, что вся основная часть пограничного слоя становится динамическим подслоем выталкивающей силы. Приближение Сг^ —°о означает, согласно формулам (1.1.9), (1.2.12) и (2.2.22) что можно пренебречь толщиной вязкого подслоя по сравнению с общей толщиной пограничного слоя, то есть 7]¡8 ^ 0. В этом случае, профилирующие функции кг и согласно формулам (3.2.10) и (3.2.11) принимают вид:

(3.3.2)

Система (3.2.19) - (3.2.21) значительно упрощается и вместе с формулой (2.1.3) принимает вид:

0.172^ (\Vsfi ) ад ^т-^ (3.3.3)

(3.3.4)

(3.3.5)

(3.3.6)

В силу формулы (3.3.5) граничное условие, при котором плотность теплового потока на стенке однородна, в рамках сделанных предположений, эквивалентно граничному условию, при котором задана однородная температура стенки. Следует заметить, что в силу уравнений (3.3.5) и (3.3.6), должна быть справедлива

формула N11^К(Рт)Ка^. Данная формула была получена экспериментально в

середине 20 века и известна как формула Сауандерса, формула Влита - Росса и др., в зависимости от значения К(Рт} [15, 30, 32]. Эти формулы весьма широко используются при практических расчетах, однако до настоящего времени они не имели теоретического объяснения. В рамках рассматриваемой теории зависимость

вида N11.^К(Рг)Ка^ является прямым следствием уравнений пограничного слоя в приближении Сг^ оо в форме (3.3.3) - (3.3.6).

Рассмотрим случай с нулевыми граничными условиями (1У0 = 50 = Т0 = т]0 = 0) в начале пограничного слоя. Физически данные граничные условия справедливы для пограничного слоя около длинной нагретой пластины с большим тепловым потоком, ламинарный участок которого намного меньше турбулентного.

Система (3.3.3) - (3.3.6), для выбранных граничных условий, имеет аналитическое решение в виде:

0.0 523 ¿(V2 ад

щ

IV = Аг"

(3.3.7)

(3.3.8)

(3.3.9)

Здесь А, В и С - константы, определяемые из коэффициентов соответствующих уравнений системы (3.3.3) - (3.3.6). В результате подстановки (3.3.7) - (3.3.10) в уравнения (3.3.3) - (3.3.6) находятся соответствующие степени при вертикальной координате т.

(3.3.10)

(3.3.11)

(3.3.12)

Формулы (3.3.7) - (3.3.14) показывают, что в турбулентном пограничном слое с большим поперечным числом Грасгофа при постоянном тепловом потоке на стенке быстро растет вертикальная скорость течения, при этом толщина пограничного слоя и избыточная температура стенки растут медленно.

Следует заметить, что формула (3.3.11) находится в согласии с предположениями С.С. Кутателадзе о линейной зависимости толщины пограничного слоя от вертикальной координаты.

Применив формулы (3.3.7) - (3.3.12) к отношению 7]/6 и поперечному числу Грасгофа, можно получить следующие зависимости:

СтГг

(3.3.14)

(3.3.15)

Таким образом, для свободноконвективного турбулентного пограничного слоя вблизи вертикальной поверхности с постоянным тепловым потоком, приближение Ст5 —* °о актуально с ростом длины пластины, и наоборот на вертикальных пластинах небольшой длины следует отказаться от данного приближения.

Также следует заметить, что в рамках рассматриваемых приближенных уравнений существует прямое соответствие Сг£ и Сг2, то есть Ст5 = А'(Рг) X Ст2, где К - постоянная, зависящая от числа Прандтля.

Из формул (3.3.11) - (3.3.14) следует, что наибольший рост по вертикальной координате получает толщина пограничного слоя.

С учетом формулы (3.3.6) константу С можно найти из уравнения (3.3.5):

(3.3.16)

Таким образом, поле температур внутри пограничного слоя в приближении имеет вид:

(3.3.17)

Формула (3.2.19), как видно из ее структуры, является частным случаем формулы (1.2.19), в котором функция [21 имеет следующий вид:

(3.3.18)

Константы А и В определяются из уравнений (3.3.3) - (3.3.6) с учетом формулы (3.3.16):

(3.3.19)

(3.3.20)

0.0523А2£?г

2 \ Лу* /

В результате решения данной системы, можно получить следующие значения констант:

(3.3.21)

(3.3.22)

Отсюда следует, что скорость внутри пограничного слоя в приближении Су6 — со с учетом формул (3.3.6), (3.3.7), (3.3.8) и (3.3.22) задается формулой:

(3.3.23)

Выражение (3.3.23) является частным случаем формул (1.2.16) и (1.2.18), где функция [±1 задается выражением:

Формулу (3.3.24) с учетом (3.3.8), (3.3.11) и (3.3.24) можно также записать в виде:

В области 7] «х«5 решение уравнений пограничного слоя для вертикальной скорости в виде (3.3.23) отличается от предложенной на основе теории размерностей формулы (1.2.22), однако если ввести новую координату х

по формуле х = Ух2г4, то характер зависимости от х будет аналогичен формуле (1.2.22):

Следует заметить, что зависимость поля вертикальной скорости в виде (3.3.26) не представляется возможным получить из соображений теории размерностей. Формула (3.3.26) показывает также существенную неавтомодельность профиля вертикальной скорости ввиду изменения х в зависимости от вертикальной координаты 2. Для поля избыточной температуры решение уравнений пограничного слоя в виде (3.3.19) аналогично формуле (1.2.23) и является ее прямым обобщением.

Вблизи внешней границы пограничного слоя формулы (3.3.17) и (3.3.23) можно записать в форме (1.2.12) - (1.2.14). В результате получатся следующие выражения:

Формулы (3.3.27) и (3.3.28) являются аналогами формул (1.2.12) - (1.2.14), где профилирующие функции /10 и /2С1 задаются следующими

выражениями:

л.

(3.3.29)

(3.3.30)

Легко показать, формулы (3.3.17) и (3.3.23) показывают аналогичную формулам (1.1.23) и (1.1.24) зависимость от вертикальной координаты г в точке хт. С учетом формулы (3.3.1), координата хт задается выражением:

29

(3.3.31)

Отсюда, с учетом формул (3.3.8), (3.3.11) и (3.3.22) следует, что вертикальная скорость и температура при значении нормальной координаты х = хт, задаются в следующем виде:

(3.3.32)

(3.3.33)

Данные выражения полностью аналогичны формулам (1.1.23) и (1.1.24), однако постоянные К± и К2 здесь заданы в аналитическом виде.

Анализ решения системы уравнений (3.3.3) - (3.3.6), показывает, что оно обобщает основные результаты работ [16-20]. Из решений уравнений (3.3.3) -(3.3.6) следует закон стенки и закон дефекта скорости для свободноконвективного турбулентного пограничного слоя, асимптотика профилей скорости и избыточной температуры в области 7] «х « 6 и характер зависимости максимальной скорости от вертикальной координаты. Анализ решений системы (3.3.3) - (3.3.6) позволил обобщить выводы [1-8] путем нахождения аналитической зависимости Кг и К2 для течения во внешней части пограничного слоя. Из решения системы (3.3.3) - (3.3.6) для вертикальной скорости следует существенное уточнение характера асимптотики профиля скорости в области г] «х « 3, в том числе внутри динамического подслоя выталкивающей силы. Из анализа структуры

решения системы (3.3.3) - (3.3.6) следует, что местное число Грасгофа задающее отношение толщины пограничного слоя к толщине вынужденного вязкого подслоя, является фундаментальным безразмерным комплексом для свободноконвективного турбулентного пограничного слоя.

В выбранном приближении т]/5 ад 0, что физически означает пренебрежение зависимостями напряжений трения и теплового потока в пристеночной области, так как ее толщина становится пренебрежимо мала по сравнению с общей толщиной пограничного слоя.

Уравнения (3.2.26) - (3.2.28) в рамках сделанных допущений примут следующий вид:

(3.3.36)

(3.3.37)

(3.3.38)

Данная система решается численно, с привлечением граничных условий (3.2.25) - (3.2.27) и с учетом следующих выражений:

(3.3.39)

ЗРГ:

а

( Яу? V

\РСр/

(драУ

(3.3.40)

Уравнение (3.3.37) показывает, что в основной части пограничного слоя величина т имеет несколько локальных экстремумов, один из которых лежит вблизи

точки

в которой вертикальная компонента скорости принимает

максимальное значение. Если пренебречь членами, которые пропорциональны

^б^Я) Л Л г

то т будет иметь три локальных экстремума на отрезке от 0 до о.

с1г

3.4 Анализ полученных результатов и сопоставление с экспериментальными данными

Для проверки полученных результатов были проведены расчеты в условиях ряда экспериментов [32, 36, 49], в которых измерялись поля скорости и температуры внутри свободноконвективного турбулентного пограничного слоя при различных числах Грасгофа, Прандтля. В работах [32] и [36] исследовался свободноконвективный турбулентный пограничный слой в воде при Тс,:, -25 — 30°С.

Числа Грасгофа в данных экспериментах имели порядок 1013 — 1015 В работе [32] наиболее полно представлены эксперименты У5 и У9. В эксперименте У5 плотность теплового потока на пластине составляла 19497 Вт/м2, в эксперименте У9 - 28661 Вт/м2. Из статьи [9] для сравнения с результатами расчета был взят эксперимент с тепловым потоком 4488 Вт/м2, как наилучшим образом описывающий область развитой турбулентности. В работе [49] проводились исследования свободной конвекции около вертикальной нагретой пластины с однородной температурой на воздухе, при этом числа Грасгофа достигали величин Ю10 — 1011 Температура на внешней границе пограничного слоя была однородной 25 °С.

Для сопоставления с результатами экспериментов У5 и У9 использовались расчетные профили вертикальной скорости и температуры, а также избыточная температура стенки. На рис. 3.3.1 - 3.3.3 приведены результаты экспериментов У5 и У9, а также результаты расчетов, проведенных для условий этого эксперимента. Как видно из графиков, расчетные данные в высоко точностью совпадают с результатами экспериментов. Средняя погрешность составляет не более 10%. Для расчета течения использовалась система уравнений (3.2.19) - (3.2.21).

Рис. 3.3.1

Профиль скорости и избыточной температуры поперек пограничного слоя для условий опыта У5. На данном рисунке: 1 - экспериментальные значения скорости, 2 - экспериментальные значения температуры, 3 - расчетные значения скорости и 4 -расчётные значения температуры.

Рис. 3.3.2

Профиль скорости и избыточной температуры поперек пограничного слоя для условий опыта У9. На данном рисунке: 1 - экспериментальные значения скорости, 2 - экспериментальные значения температуры, 3 - расчетные значения скорости и 4 - расчётные значения температуры.

Рис. 3.3.3

Избыточная температура стенки для условий опыта У5 (слева) и У9 (справа). На данном рисунке: 1 — экспериментальные значения температуры, 2 - расчётные значения температуры.

Для сопоставления с экспериментальными данными Гебхарта - Куреши [36] использовались данные по профилю температуры внутри пограничного слоя и зависимость местного числа Нуссельдта от местного числа Рэлея. На рис. 3.3.3 -3.3.5 приведены соответствующие данные. Как видно из данных графиков, погрешность расчета не превышает 10%. Для расчета поля температуры использовалась система уравнений (3.2.19) - (3.2.21). Для расчета зависимости местного числа Нуссельдта от местного числа Рэлея использовалась формула (3.3.5).

Рис. 3.3.3

Профиль избыточной температуры поперек пограничного слоя в условиях экспериментов [36], с плотностью теплового потока на стенке 4488 [Вт/м2]. На данном рисунке: 1 — экспериментальные значения температуры, 2 - расчётные значения температуры.

Рис. 3.3.5

Зависимость числа Нуссельдта от числа Рэлея в условиях экспериментов [36] с плотность теплового потока на стенке 4488 [Вт/м2]. На данном рисунке: 1 - расчетное значение числа Нуссельдта, 2 -экспериментальное значение числа Нуссельдта

Для сопоставления с результатами экспериментов [49] использовались профили вертикальной скорости и избыточной температуры внутри пограничного слоя. На рис. 3.3.6 - 3.3.7 приведены результаты экспериментов [49] и результаты расчетов, проведенных для условий этого эксперимента. При расчете профилей вертикальной скорости и температуры использовалась система уравнений (3.2.19) - (3.2.21). Как видно из графиков, результаты расчетов с высокой точностью совпадают с экспериментальными данными, погрешность не превышает 10%. При сопоставлении использовались обозначения:

- № л, 1

- Г л \

р А \ * X п

1-1-1-1-1 1 1 1

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00

Рис. 3.3.6

Профиль вертикальной скорости поперек пограничного слоя в условиях экспериментов [49] при значении числа Грасгофа 4.3 X Ю10. На данном рисунке: 1 -- экспериментальные значения 11б, 2 - расчётные значения 115.

Рис. 3.3.7

Профиль вертикальной скорости поперек пограничного слоя в условиях экспериментов [49] при значении числа Грасгофа 4.3 X Ю10. На данном рисунке: 1 -- экспериментальные значения Тб, 2 - расчётные значения Тб.

Выводы по главе 3

1. Получено аналитическое решение приближенных уравнений свободноконвективного турбулентного пограничного слоя около пластины с однородным тепловым потоком в случае -»■ 0 и

2. Показано, что случай ги, —» 0 и Стг6 °о описывает область действия

теорий С.С. Кутателадзе и Джорджа - Кэппа.

3. Из анализа решения приближенных уравнений свободноконвективного турбулентного пограничного слоя около пластины с однородным тепловым потоком получены в явном виде соответствующие профилирующие функции для вертикальной скорости и температуры.

4. Показано, что эмпирические формулы Влита - Росса, Саундерса и др. напрямую следуют из приближенных уравнений пограничного слоя, полученных в рамках данной работы.

5. Найдены аналитические выражения, позволяющие определить эмпирические константы для формул максимальной скорости и температуры в точке, где скорость достигает максимума из теории С.С. Кутателадзе.

6. Получены приближенные уравнения для нахождения турбулентных напряжений трения и теплового потока внутри свободноконвективного турбулентного пограничного слоя.

7. Проведена проверка приближенных уравнений свободноконвективного турбулентного пограничного слоя, полученных в рамках данной работы, на экспериментальных данных

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследования, выполненные в рамках диссертационной работы, посвящены определению структуры и свойств течения в свободноконвективном турбулентном пограничном слое. Решение этих задач актуально, в первую очередь, для расчета охлаждения криогенных жидкостей при хранении. Во время данного процесса между стенкой и жидкостью возникает сильный перепад температур, который характеризуется большими числами Грасгофа (101л — 1016). При данных значениях числа Грасгофа течение в емкости является развитым турбулентным. Классические методики, в том числе прямое численное моделирование и интегральный метод Эккерта - Джексона при таких значениях числа Грасгофа использовать затруднительно. Точность прямого численного моделирования при постоянных вычислительных мощностях падает с ростом числа Грасгофа и для рассматриваемой задачи, особенно в емкости большого объема, проблема вычислительных мощностей становится трудно преодолимой. Использование классических интегральных методов, таких как метод Эккерта - Джексона сопряжен с неудовлетворительной точностью расчета полей скорости и температуры в пограничном слое. Поэтому для решения данного класса задач необходимы новые расчетные методы, которые могут эффективно работать при больших числах Грасгофа. Для создания подобных методов и предлагается использовать результаты данной работы.

Помимо актуальности для практических задач результаты данной работы представляются актуальными в научном плане. Интегральная двухзонная теория свободноконвективного турбулентного пограничного слоя имеет значительно большую область действия чем сделанные ранее теории и обобщает их результаты. В рамках данной работы были найдены аналитические выражения для величин и профилирующих функций, которые ранее вычислялись из экспериментальных данных. Все это позволило убрать значительную часть пробелов и неточностей, которые имелись в теоретическом описании свободноконвективного турбулентного пограничного слоя.

Одним из важных результатов данной работы является нахождение приближенных профилирующих функций, которые удовлетворят всем известным асимптотикам и граничным условиям. Стоит отметить, что в отличии от более ранних попыток найти подобные функции, результаты данной работы не содержат произвольных констант, которые нужно

определять из эксперимента. Полученные профилирующие функции позволили кардинально повысить точность расчетов с помощью интегрального подхода. В то время как ранее погрешность в определении максимального значения вертикальной компоненты скорости и толщины пограничного слоя могла в несколько раз превосходить экспериментальные значения, использование найденных профилирующих функций снизило эту погрешность до 5-10%. Данный результат сравним по точности с аналогичным расчетом для ламинарных свободноконвективных пограничных слоев. Благодаря данным результатам интегральный подход может составить конкуренцию значительно более ресурсоемким методам расчета свободноконвективного турбулентного пограничного слоя с использованием прямого численного моделирования или путем численного решения осредненных уравнений с использованием моделей турбулентности.

С другой стороны, приближенные профилирующие функции, вместе с уравнениями для значений температуры и вертикальной скорости на границе с пристеночной областью позволяют вычислить турбулентные напряжения трения и тепловой поток во всем пограничном слое. Данный результат можно в дальнейшем использовать для уточнения профилирующих функций методом последовательных приближений.

Основные результаты диссертационной работы:

1. Рассмотрены особенности свободноконвективного турбулентного слоя вблизи твердой границы и в основной части. Путем анализа критериев подобия впервые показано, что вблизи стенки существует область, где преобладают вязкие силы, в то время как в основной части доминируют конвективные силы. На основе анализа критериев подобия получена формула для оценки толщины области, в которой преобладают вязкие силы.

2. Путем применения двух различных моделей турбулентности для пристеночной области и основной части свободноконвективного турбулентного пограничного слоя построена двухзонная самосогласованная модель. Осуществлен вывод уравнений для профилирующих функций вертикальной скорости и избыточной температуры в пристеночной области и основной части пограничного слоя с учетом температурной стратификации на внешней границе. Выведены условия их сопряжения.

3. На основе анализа уравнений для профилирующих функций вертикальной скорости и избыточной температуры получена их асимптотическая структура, как в пристеночной области, так и в основной части пограничного слоя. На основе данных асимптотик предложен приближенный метод расчета полей скорости и температуры, в рамках которого получено аналитическое решение соответствующей системы уравнений для случая однородного теплового потока на твердой границе при больших числах Грасгофа.

4. Путем применения приближенного метода показано, что при больших числах Грасгофа наблюдается эквивалентность задания однородных граничных условий первого и второго рода на твердой границе, а также получена аналитическая формула, связывающая температуру стенки и плотность теплового потока. На основе найденного аналитического решения, предложены формулы, выражающие зависимость вертикальной компоненты скорости и избыточной температуры от поперечной и продольной координат, которые обобщают и уточняют ряд известных результатов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кутателадзе С.С. Турбулентная естественная конвекция в вертикальном слое / С. С. Кутателадзе, В. П. Ивакин, А. Г. Кирдяшкин, А. Н. Кекалов // ТВТ, 15:3 (1977), 545-553

2. Кутателадзе С.С. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое / Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. - М.: Энергия, 1972. - 342 с.

3. Кутателадзе С.С. Тепловая гравитационная конвекция в вертикальном слое при турбулентном режиме течения / Кутателадзе С.С., Ивакин В.П., Кирдяшкин А.Г., Кекалов А.Н. // Тепломассообмен-V: материалы V всесоюз. конф. по тепломассобмену (Минск, 1976). - Минск, 1976. - Т.1: Конвективный тепломассообмен. Ч.2. - С.197-206.

4. Кутателадзе С.С. Экспериментальное исследование пристенных турбулентных течений / Кутателадзе С.С., Миронов Б.П., Накоряков В.Е., Хабахпашев Е.М.; Акад. наук СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т теплофизики. -Новосибирск: Наука, 1975. - 168 с.

5. Кутателадзе С.С. Экспериментальное исследование структуры пристенной турбулентности и вязкого подслоя: сб. науч. трудов. - Новосибирск, 1976.

- С.8-9.

6. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена - изд. 5е перераб. и доп. / С.С. Кутателадзе // М.: Атомиздат, 1979, 416 с.

7. Кутателадзе С.С. Экспериментальное исследование структуры пристенной турбулентности и вязкого подслоя / Кутателадзе С.С., Хабахпашева Е.М., Орлов В.В., Перепелица Б.П., Михайлова Е.С. // в кн. "Турбулентные сдвиговые течения", т.1, М., Машиностроение, 1982.

8. Кирдяшкин А.Г. Структура тепловых гравитационных течений вблизи поверхности теплообмена / А.Г. Кирдяшкин // Дисс. . докт. техп. наук, Новосибирск: 1975. 297с.

9. Мартыненко О. Г. Свободно-конвективный теплообмен : справочник / О. Г. Мартыненко, Ю. А. Соковишин ; под ред. Р. И. Солоухина. - Минск // Наука и техника, 1982. - 400 с. : ил.

10.Эккерт Э.Р. Теория тепло- и массообмена : монография / Э. Р. Эккерт, Р. М. Дрейк ; пер. с англ. Э. М. Фурмановой, Г. Р. Малявской, Л. Б. Шашковой ; под ред. А. В. Лыкова. // 2-е изд., перераб. - М. ; Л. : Госэнергоиздат, 1961. - 680 с. : ил., табл. ; 21 см. - Библиогр.: с. 640-677. -Предм. указ.: с. 678-680. - 2.89 р.

11. Джалурия Й. Естественная конвекция. / Й. Джалурия // М.: Мир. 1983. 400 с.

12. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг // М.: Наука, 1974

13. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Т. 6. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц //

Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

14. Седов Л.И. Механика сплошной среды / Л.И. Седов // том 2, М.: Наука, 1970г., 568 стр

15. Гебхарт Б. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. / Б .Гебхарт, Й. Джалурия, Р. Махаджан, Б. Саммакия // М.: Мир. 1991. 678 с.

16.George W.K. An analysis of turbulent natural convection along a constant temperature vertical surface. / W. K. George and S. P. Capp // Bull. Am. Phys. Soc. 21(10). 1229 (1976).

17. Smith R.R. Characteristics of turbulence in free convection flow past a vertical plate / R.R. Smith // Ph.D. Thesis, Queen Mary College, Univ. of London, 1972.

18.George W.K. A theory for natural convection turbulent boundary layers next to heated vertical surfaces / William K. George, Steven P. Capp // Int. J. Heat Mass Transform. 1979. Vol. 22. P. 813-826.

19. George W.K. Natural convection turbulent boundary layers next to heated vertical surfaces / William K. George, Steven P. Capp // ASME Paper No. 77-WA/HT-32 (1977).

20.George W.K. Jr., Outline of a unified similarity theory for turbulent convection next to vertical surface / W. K. George // Proceedings of the 6th International Heat Transfer Conference Toronto, pp. 1-6 (1978).

21. Eckert E. R. G. Analysis of turbulent free-convection boundary layer on a f]a, plate / E. R. G. Eckert, T. W. Jackson // NACA TN 1015 (1950).

22. Kato H. On the turbulent heat transfer by free convection from a vertical plate / H. Kato, N. Nishiwaki, M. Hirata // Int. J. Heat Mass Transfer, 11, 1117 (1968)

23. Суслов Я. А. Двухпараметрический интегральный метод расчета турбулентного свободно-конвективного пограничного слоя / С.Г. Черкасов, Я.А. Суслов // Тепловые процессы в технике. 2014. Т.6, № 8. С. 338-342.

24. Суслов Я.А. Полуэмпирический интегральный метод расчета свободноконвективного турбулентного пограничного слоя / С.Г. Черкасов,

Я.А. Суслов // Шестая Российская Национальная Конференция по тепломассобмену, тезисы докладов. 2014. Т. 1, Секция 2. С. 242.

25. Протопопов М.В. Особенности свободно-конвективного пограничного слоя в стратифицированной по температуре среде / М.В. Протопопов, С.Г. Черкасов // Изв. РАН. МЖГ, 1993, № 1, 27-34

26. Черкасов С.Г. Режим локальной автомодельности для свободноконвективного пограничного слоя в стратифицированной по температуре среде / С.Г. Черкасов // Теплофизика высоких температур. 1995. Т. 33. № 1. С. 44-48.

27. Черкасов С.Г. Теория режима локальной автомодельности для ламинарного свободноконвективного пограничного слоя около вертикальной стенки / Д.Е. Мельников, С.Г. Черкасов // Изв. РАН. МЖГ. 1997. № 6. С. 16-24.

28. Черкасов С. Г. Теоретическое исследование смешанной конвекции и температурного расслоения в вертикальной цилиндрической емкости. / Д.Е. Мельников, С.Г. Черкасов // РНКТ-2, 1998, т. 3, с. 104-107.

29. Черкасов С.Г. Анизотропное влияние естественной конвекции на температурное поле в емкости при наличии устойчивой стратификации / А. В. АНАНЬЕВ, В. В. МИРОНОВ, Л. А. МОИСЕЕВА, С. Г. ЧЕРКАСОВ // Изв. РАН. МЖГ. 2015. № 5. С. 97-106.

30. Saunders O. A. Natural convection in liquids / O. A. Saunders // Proc R. Soc. A 172,55-71 (1939).

31. Davis A.H. The Transmission of Heat by Radiation and Convection, DSIR Special Report №9 / E. Griffiths, A.H. Davis // British Food Investigation Board, London 1922.

32. Влит Ж. К. Экспериментальное исследование турбулентных пограничных слоев в условиях естественной конвекции / Ж. К. Влит, К. К. Лайю // Теплопередача. 1969. Серия С. Часть 91. Ноябрь, №4 С. 73-95.

33. Bayley F. J. An analysis of turbulent free-convection heat transfer / F. J. Bayley // Proc. Inst. MetXEhgrs 169(20), 361 (1955).

34. Gebhart B. On transition mechanisms in vertical natural convection flow / Y. Jaluria and B. Gebhart // J. Fluid Mech. 66(2), 309-337 (1974).

35. Gebhart B. An experimental study of the transition of natural convection flow adjacent to a vertical surface / F. Godaux and B. Gebhart // Int. J. Heat Mass Transfer 17, 93-107

36. Gebhart B. Transition and transport in a buoyancy driven flow in water adjacent to a vertical uniform flux surface / Z. H. Qureshi and B. Gebhart // Int. J. Heat Mass Transform. 1978. Vol. 21. P. 1467-1479.

37. Cheesewright R. Velocity measurements in a natural convection boundary layer / R. Cheesewright, E.G. Ierokipiotis // Proc. 7th Int. Heat Transfer Conf., Munich, FRG, 1982, V.2, NC31, p.305-309

38.Smith R.R. Characteristics of turbulence in free convection flow past a vertical plate / R.R. Smith // Ph.D. Thesis, Queen Mary College, Univ. of London, 1972

39. Tsuji T., Nagano Y. Characteristics of a turbulent natural convection boundary layer along a vertical flat plate // Int. J. Heat Mass Transfer, 1988, V.31, № 8, p.1723-1734.

40. Tsuji T. Turbulence measurements in a natural convection boundary layer along a vertical flat plate / T. Tsuji, Y. Nagano // Int. J. Heat Mass Transfer, 1988, V.31, № 10, p.2101-2111

41. Tsuji T. Experiment on spatio-temporal turbulent structures of a natural convection boundary layer / T. Tsuji, Y. Nagano, M. Tagawa // Trans. ASME, J. Heat Transfer, 1992, V.114, № 4, p.901-908.

42. Cheesewright R. Space-time correlation measurements in a turbulent natural convection boundary layer / R. Cheesewright, K.S. Doan // Int. J. Heat Mass Transfer, 1978, V.21, № 7, p.911-921.

43. Takanami I. Development of turbulence characteristics in a vertical free convection boundary layer / M. Miyamoto, H. Kajino, J. Kurima, I. Takanami // Proc. 7th Int. Heat Transfer Conf., Munich, FRG, 1982, V.2, NC31, p.323-328.

44. Miyamoto M. An experimental study of turbulent free convection boundary layer in air along a vertical plate using LDV / M. Miyamoto, M. Okayama // Bull. JSME, 1982, V.25, *209,p.1729-1736.

45. Coutanceau J. Structure d'un ecoulement de convection naturelle-transition et turbulence etablie / K.S. Doan, J. Coutanceau // Acta Astronautica, 1981, V.8, p.123-160.

46. Kaneko I. Turbulent boundary layer of natural convection along a vertical flat plate / M. Hishida, Y. Nagano, T. Tsuji, I. Kaneko // Trans. JSME, Ser.B, 1981, V.47, № 419

47. Чумаков Ю. С. Структура температурного поля в свободно-конвективном пограничном слое около вертикальной изотермической поверхности / О. А. Кузьмицкий, Ю. С. Чумаков // ТВТ, 28:6 (1990), 1142-1148

48.Чумаков Ю.С. Экспериментальное исследование пульсационного

движения в свободноконвективном пограничном слое / С.Б. Никольская, Ю.С. Чумаков // ТВТ, 2000, т.38, № 2, с. 249-256

49. Чумаков Ю. С. Проблемы турбулентности и вычислительная

гидродинамика (к 70-летию кафедры «Гидродинамика») / Ю. С. Чумаков // Научно-технические ведомости №2, 2004 С. 1-27.

50. Чумаков Ю.С. Турбулентный свободноконвективный пограничный слой на вертикальной нагретой пластине: закономерности температурного слоя / С. Б. Колешко, Ю. В. Лапин, Ю. С. // ТВТ, 43:3 (2005), 431-441

51. Чумаков Ю. С. Моделирование турбулентного теплообмена применительно к пристенному свободно конвективному течению. / С. Б. Колешко, Ю. С. Чумаков // ТВТ, 45:3 (2007), 392-399

52. Смирнов Е.М. Численное моделирование турбулентной конвекции воздуха в подогреваемой сбоку полости квадратного сечения / А. Г. Абрамов, Е. М. Смирнов // ТВТ, 44:1 (2006), 90-97

53. Полежаев В. И. Численное исследование нестационарной тепловой конвекции в цилиндрическом сосуде при боковом подводе тепла,- В кн.: Некоторые применения метода сеток в газовой динамике / В.И. Полежаев, Ю. В. Вальциферов // Вып. 3. М.: Изд-во МГУ, 1971, с. 137-174.

54. Черкасов С. Г. Естественная конвекция в вертикальном цилиндрическом сосуде при подводе тепла к боковой и свободной поверхностям / С.Г. Черкасов // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984, №6, с. 51-56.

55. Полежаев В. И. Свободная конвекция: обзор моделей, методов и приложений / В.И. Полежаев // РНКТ-1. 1994, т. 2, с. 3-10.

56. Смирнов Е.М. Метод конечных объемов в приложении к задачам гидрогазодинамики и теплообмена в областях сложной геометрии / Е.М. Смирнов, Д.К. Зайцев // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2004. №2(36). C. 70-81.

57. Смирнов Е.М. Прямое численное моделирование турбулентной свободной конвекции, развивающейся во времени у нагретой вертикальной стенки / А.Г. Абрамов, В.Д. Горячев, Е.М. Смирнов //Международная научная конференция "Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2011): труды международной научной конференции

(Москва, 28 марта - 1 апреля 2011 г.)", ISBN 978-5-696-04090-5, Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2011, с. 374-380

58. Смирнов Е.М. Опыт прямого численного моделирования переходной и турбулентной свободной конвекции воздуха у нагретой вертикальной пластины / Е.М. Смирнов, А.Г. Абрамов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 1114-1116

59. Taguchi Y. Characteristics of freeconvection boundary layer in transition region along vertical plate / M. Miyamoto, Y. Katoh, J. Kurima, Y. Taguchi //Trans. JSME, Ser.B, 1994, V.60, № 571, p.971-976.

60. Menter F.R. Zonal two Equation k -ю Turbulence Models for Aerodynamic Flows. / F.R. Menter // AIAA 93-2906. 1993.

61. Зайчик Л.И. Турбулентная свободная конвекция на наклонной поверхности при больших числах Рэлея / Л. И. Зайчик, В. М. Алипченков // ТВТ, 2000, том 38, выпуск 3, 445- 451

62.Gibson M.M. Ground effects on pressure fluctuations in the atmospheric boundary layer. / M.M. Gibson, B.E. Launder // J. Fluid Mech. (1978), vol. 86, part 3, pp. 491-511

63. Роди В. Модели турбулентности окружающей среды. В кн.: Методы расчета турбулентных течений. / В. Роди // М.: Мир, 1984. 464 с.

Список обозначений

V - нормальная координата по отношению к стенке (горизонтальная координата)

z - касательная координата по отношению к стенке (вертикальная координата)

w - вертикальная компонента скорости (z - компонента) и - горизонтальная компонента скорости (x - компонента) v;' - пульсационная составляющая вертикальной скорости

' - пульсационная составляющая горизонтальной скорости о - толщина пограничного слоя С;... - плотность теплового потока на стенке

- величина трения на стенке Т.,. - температура на внешней границе пограничного слоя

- избыточная температура пограничного слоя

- избыточная температура стенки

- пульсационная составляющая избыточной температуры

- число Грасгофа

Grz =

gpATz

Л-и"2-

модифицированное местное число Грасгофа

ог;

- модифицированное число Грасгофа

= - число Нуссельдта

^ ЛАТ

На. = С г. х - число Рэлея

Т0 - избыточная температура стенки согласно экспериментальным данным

У0 - максимальное значение вертикальной составляющей скорости в пограничном слое согласно экспериментальным даннымF