Асимптотический анализ свободноконвективного течения на вертикальной поверхности в пористой среде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Плаксина, Ирина Владимировна

• Плаксина, Ирина Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Плаксина, Ирина Владимировна

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава1. Построение модели свободноконвективного течения в пористой среде при граничных условиях третьего рода

1.1. Обзор существующих моделей пористой среды

1.1.1. Пористость, коэффициент проницаемости

1.1.2. Скорость фильтрации

1.1.3. Моделирование структуры пористой среды

1.2. Уравнения свободноконвективного течения на вертикальной поверхности в пористой среде

1.2.1. Линейный и нелинейный закон фильтрации

1.2.2. Метод локального усреднения по объему

1.2.3. Законы сохранения

1.2.4. Приближение Буссинеска

1.2.5. Граничные условия

1.3. Приведение основных уравнений свободноконвективного течения в пористой среде к безразмерному виду

1.3.1. Безразмерные переменные

1.3.2. Анализ размерностей

Глава 2. Анализ свободноконвективного пограничного слоя на вертикальной поверхности в пористой среде при граничных условиях третьего рода с помощью метода асимптотических разложений

2.1. Метод асимптотических разложений в задаче свободноконвективного течения на вертикальной поверхности в пористой среде

2.1.1. Основные понятия теории возмущений

2.1.2. Особенности течения при свободной конвекции и применимость методов возмущений

2.2. Асимптотические разложения. Приближение пограничного слоя

2.2.1. Решение для малых значений продольной координаты

2.2.2. Решение для больших значений продольной координаты

2.3. Собственные решения

Глава 3. Численное решение системы уравнений пограничного слоя, определяющей свободноконвективное течение на вертикальной поверхности в пористой среде

3.1. Метод непрерывных преобразований переменных

3.2. Разностная схема уравнений пограничного слоя

3.3. Результаты численного моделирования

Глава 4. Исследование влияния параметра Дарси на характеристики свободноконвективного пограничного слоя на вертикальной поверхности в пористой среде

4.1. Асимптотический анализ структуры пограничного слоя

4.2. Аналитические решения для скорости и температуры в пограничном слое

4.3. Собственные решения

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотический анализ свободноконвективного течения на вертикальной поверхности в пористой среде»

Введение

Внимание к задачам свободной конвекции в пористой среде обусловлено широким распространением термически управляемых потоков в современных промышленных процессах и агрегатах, встречающихся в различных областях техники: пищевой и химической промышленности, геотермических системах, охлаждении электронных систем, угольных камерах сгорания, на транспорте.

Фильтрационные процессы - просачивание жидкостей и газов через пористые среды под действием внешних массовых сил, широко распространены и встречаются как в повседневной жизни (очистка водопроводной воды бытовыми фильтрами, очистка воздуха в системах вентиляции и кондиционирования), так и в явлениях, влияющих на благосостояние целых государств (передвижение нефти и природного газа в подземных пластах, миграция влаги в плодородных почвах, мелиорация, водоснабжение, строительство гидротехнических сооружений, работа технологических устройств химических предприятий). Как правило, внутренняя поверхность порового пространства имеет случайную структуру и не бывает точно известна, поэтому прямое описание движения жидкости по сложной системе разветвленных каналов, сообщающихся между собой во всех подробностях оказывается невозможным.

Первый эмпирический закон, описывающий ламинарный поток однородной жидкости в однородной пористой среде был сформулирован французским гидравликом А. Дарси в 1856 г. Он задает связь между потоком жидкости в пористой среде и градиентом давления, что позволяет получить замкнутую систему уравнений для решения различных задач о течении жидкости. Закон Дарси (линейный закон фильтрации) оказался справедлив при определенных условиях для различных жидкостей и газов, протекающих через различные пористые среды.

Большой вклад в развитие теории фильтрации и применении ее в

нефтяной и газовой промышленности, гидроэнергетики внесли такие ученые

4

как Павловский Н.Н., Жуковский Н.Е. [16], Христианович С.А. [53], П.Я. Полубаринова-Кочина, И.А. Чарный, М.Д. Миллионщиков и др.

Исследование процесса охлаждения разрушенного в результате аварии энергоблока Чернобыльской АЭС расширило область применения теории фильтрации. Результаты исследований большой группы ученых в области математического моделирования охлаждения разрушенного энергоблока Чернобыльской АЭС легли в основу работы В.П. Маслова, В.П. Мясникова, В.Г. Данилова [33]. В работе основное внимание уделено исследованию стационарного режима охлаждения аварийного реактора. Исследования режимов охлаждения пористого саморазогревающегося элемента было продолжено В.П. Масловым [34]. Процесс движения газа через твердую пористую среду, в которой происходит тепловыделение был рассмотрен В. А. Левиным, Н.А. Луценко [21, 22, 28, 29].

Если пористая среда насыщена жидкостью или газом, то при наличии разности температур возникает конвективное движение (конвективная фильтрация). Изучение закономерностей свободноконвективного теплообмена является необходимым шагом в построении общей теории тепло- и массообмена [31, 32, 51].

Свободноконвективное течение, вызываемое разностью температур

между поверхностью и окружающей средой в пористой среде, является

одним из самых распространенных явлений в технических, промышленных и

геофизических приложениях [11, 17, 27, 54]. Свободная конвекция в

насыщенной жидкостью пористой среде исследовалась как

экспериментально [46, 47, 89], так и теоретически [57, 60]. Математическое

моделирование свободноконвективного течения в пористой среде при

различных граничных условиях рассматривается в работах по исследованию

свободноконвективного пограничного слоя около горизонтальной

поверхности для различных моделей пористой среды [58, 61, 67, 79, 90],

около горизонтального или вертикального цилиндра, наполненного

насыщенной жидкостью пористой средой, - работы [66, 65, 83, 91] и при

5

других геометрических конфигурациях [3, 8, 10, 13, 43, 44, 45, 49, 50, 68, 76, 92].

Модель Дарси-Бринкмана, учитывающая влияние сил вязкости, в случае заданной постоянной температуры на горизонтальной поверхности рассматривается в работе [91], а в случае свободноконвективного течения в прямоугольной области - в работе [76]. Анализ размерности представленных уравнений приводит к возможности определения набора безразмерных критериев, два из которых — это числа Рэлея и Дарси. Исследование инерционных эффектов твердой матрицы (фильтрация по закону Форхгеймера) проводилось, например, в работах [3, 66, 67, 90, 94]. Известно, что инерционные эффекты, порожденные равномерно нагретой горизонтальной поверхностью слабо влияют на процесс свободноконвективного течения в пористой среде. В случае, когда инерционные эффекты достаточно велики [67], происходит увеличение толщины пограничного слоя, в окрестности переднего края пластины происходит преобладание сил инерции, но далее по течению поток подчиняется закону Дарси. Если на поверхности задается степенной закон распределения температуры [67], то влияние сил инерции в первую очередь зависит от показателя степени. Сираев Р.Р., Якушин В.И. исследовали структуры конвективных движений для модели пористой среды Дарси [49], Форхгеймера [50] и характер теплопередачи в горизонтальном цилиндрическом слое, что позволило обнаружить новые асимметрические решения конвективной фильтрации. Исследованы их возникновение, области существования и устойчивость.

В последнюю декаду интерес к изучению конвективных течений в пористых средах при различных геометрических конфигурациях возрос в связи с растущими возможностями вычислительной техники. Следует отметить, например, работы таких исследователей как Рамазанов М.М. [43 -45], Любимов Д.В.[8, 13], Любимова Т.П. [8], Тарунин Е.Л. [10].

Одной из всесторонне изученных задач свободной конвекции в пористой среде является свободная конвекция на вертикальной поверхности, характеристики которой существенным образом зависят от тепловых граничных условий на поверхности [56, 59, 63, 64, 70, 71, 77, 80, 82, 84, 103,105]. В основном, рассматриваются четыре общих процесса подвода тепла, определяющих распределение температуры от стенки к жидкости:

- постоянная температура или степенной закон распределения температуры стенки вдоль поверхности пластины;

- заданное распределение теплового потока;

- тепловые граничные условия третьего рода, в частности, когда скорость теплоотдачи от поверхности с конечной теплоемкостью пропорциональна локальной поверхностной температуре.

- условия сопряжения, когда тепловой поток подводится через граничную поверхность конечной толщины и конечной теплоемкости; в этом случае поверхностная температура неизвестна, но зависит от внутренних свойств системы, таких как теплопроводности жидкости и твердой матрицы;

Впервые автомодельные решения уравнений пограничного слоя на вертикальной поверхности в пористой среде при граничных условиях первого и второго рода были получены в работе P. Cheng и W.J. Minkowycz [59], при этом в- качестве модели пористой среды использовалась модель Дарси. Граничные условия нагрева поверхности по закону Ньютона только недавно начали использоваться при рассмотрении задач свободноконвективного переноса. Первым автором, рассмотревшим задачу свободной конвекции в однородной жидкости при таких тепловых условиях, был Merkin [84]. Исследование свободной конвекции проводилось на основе уравнений пограничного слоя с использованием соответствующих данным граничным условиям координатных преобразований. Впервые были введены безразмерные переменные, соответствующие такому типу граничных условий. Построены разложения для функций тока и температуры в области

передней кромки пластины и для больших значений продольной координаты.

7

Подобного рода исследование свободноконвективного течения на вертикальной поверхности в пористой среде на основе закона Дарси было проведено Lesnic D., Ingham D.B., Pop I. [77], а на горизонтальной поверхности - в работе [78]. Закон Дарси является простейшей моделью пористой среды, которая не позволяет учесть влияния вязких сил и удовлетворить однородным граничным условиям на поверхности. Отклонение от закона Дарси рассмотрено в работах [7, 65, 76, 87, 88, 92, 94].

Детальное описание свободной конвекции, обеспечивающее хорошее количественное совпадение с результатами экспериментов, возможно только на основе полных уравнений движения вязкой жидкости в пористой среде и энергии. Выход за рамки теории пограничного слоя приводит к использованию методов сингулярных возмущений, достоинством которых являются общность подхода к различным аспектам решаемых задач и ясность физического смысла получаемых результатов. Мощным методом решения сингулярных дифференциальных уравнений является метод сращиваемых асимптотических разложений [9, 20, 37]. Систематическое применение современных асимптотических методов позволило рассмотреть широкий круг задач, которые не поддаются описанию в рамках классической теории пограничного слоя: теория отрыва и присоединения пограничного слоя, различные течения с сильным локальным или глобальным взаимодействием пограничного слоя с внешним сверхзвуковым потоком, что позволило детально изучить структуру течений, сформулировать новые приближенные законы подобия [18, 26, 38]. В применении к задачам маловязких жидкостей этот метод развит в работах [5, 6, 72, 81, 82, 93].

В данной диссертационной работе рассматривается асимптотический анализ на полубесконечной вертикальной поверхности в пористой среде при теплоотдаче с поверхности по закону Ньютона. В отличие от работы [77] проводится анализ полной системы уравнений сохранения количества движения и энергии с учетом вязких, конвективных и инерционных членов уравнений.

Первая глава посвящена построению модели свободноконвективного течения на непроницаемой полубесконечной вертикальной поверхности, помещенной в насыщенную жидкостью пористую среду при граничных условиях третьего рода. В первом параграфе рассматриваются основные параметры пористой среды, такие как проницаемость, пористость, скорость фильтрации. Во втором параграфе приводятся уравнения свободноконвективного течения на вертикальной поверхности в пористой среде при граничных условиях третьего рода: линейный (закон Дарси) и нелинейный (приближение Форхгеймера) закон фильтрации; система уравнений, состоящая из уравнения сохранения количества движения и энергии. В третьем параграфе производится обезразмеривание рассматриваемой системы уравнений, выводятся основные безразмерные критерии задачи - пористость, число Прандтля, Дарси, Грасгофа.

Вторая глава посвящена применению метода сращиваемых асимптотических разложений в задаче свободноконвективного течения на вертикальной поверхности в пористой среде. В первом параграфе рассматриваются основные положения теории возмущений. Во втором параграфе строятся внешнее и внутреннее асимптотические разложения для функции тока и температуры; записываются уравнения свободноконвективного течения в приближении пограничного слоя. Полученная система уравнений при помощи автомодельной замены сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решается числено при различных значениях определяющих критериев. Решение задачи в приближении пограничного слоя рассматривается в двух областях: в окрестности передней кромки пластины, что соответствует малым значениям продольной координаты и далеко вниз по потоку - большие значения продольной координаты. Для каждого из представленных случаев решение строится в виде координатных разложений. В третьем параграфе рассматриваются собственные решения, удовлетворяющие однородным граничным условиям.

Третья глава посвящена построению численного решения системы уравнений пограничного слоя, определяющей свободноконвективное течение на вертикальной поверхности при граничных условиях третьего рода. В первом параграфе рассматривается применение метода непрерывных преобразований, справедливого для всей области течения. Во втором параграфе приводится конечно-разностная схема, которая может применяться при решении задач свободноконвективного течения на вертикальной поверхности в пористой среде. В третьем параграфе рассматриваются основные, полученные в результате численного счета, характеристики процесса.

В четвертой главе рассматривается исследование влияния параметра Дарси на процесс свободноконвективного течения на вертикальной поверхности в пористой среде при граничных условиях третьего рода. В первом параграфе проводится асимптотический анализ системы уравнений в приближении пограничного слоя, строятся асимптотические разложения для функции тока и температуры. Полученные в результате системы уравнений решаются числено. Во втором параграфе строятся аналитические решения внешней и внутренней задач, составные решения для функции тока и температуры, проводится сравнение результатов численного счета и построенных аналитических решений. Также приведена зависимость характеристик процесса от числа Дарси и пористости среды. В третьем параграфе построенное внешнее разложение дополняется собственными решениями, удовлетворяющими однородным граничным условиям.

В заключении содержится краткий обзор основных результатов, полученных в диссертационной работе.

В диссертации принята двойная нумерация формул и рисунков. Первая цифра в номере формулы соответствует номеру главы, вторая - порядковому номеру формулы в главе. Первая цифра в номере рисунка обозначает номер главы, на протяжении каждой главы нумерация рисунков сквозная.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Плаксина, Ирина Владимировна, 2012 год

Литература

1. Бабаев И.Ю., Башкин В.А., Егоров И.В. Численное решение уравнений Навье-Стокса с использованием итерационных методов вариационного типа //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1993. Т. 34. № 11. С. 1693-1703.

2. Бабенко К.И., Рахманов А.И. Численное исследование двумерной конвекции. Препринт // ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша. 1988. № 118.26 с.

3. Бежан, Тъен Свободная конвекция в горизонтальной пористой среде при наличии разности температур между концами участка // Теплопередача. 1978. №2. С. 18.

4. Беляев А.Ю. Усреднение в задачах фильтрации. М.: Наука. 2004. 200 с.

5. Березовский A.A., Соковишин Ю.А. Метод сингулярных возмущений в задаче свободной конвекции с постоянным потоком тапла на вертикальной поверхности // Изв. АН СССР МЖГ. 1977. № 2. С. 129136.

6. Березовский A.A., Соковишин Ю.А. Влияние передней кромки на свободноконвективный теплообмен // ИФЖ. 1977. Т. 33. № 3. С. 501504.

7. Биверз, Спэрроу Течение через волокнистые пористые среды, не подчиняющиеся закону Дарси // Прикладная механика. 1969. № 4. С. 59.

8. Буссе Ф., Любимов Д.В., Любимова Т.П., Седельников Г.А. Трехмерные режимы конвекции в кубической полости // Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 1. С. 3-11.

9. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир. 1967. 310 с.

10.Гакашев А.И., Тарунин Е.Л. Интенсивность тепловой конвекции в ульях // Вычисл. мех. сплош. сред. 2008. Т.1. № 2. С. 16-26.

11. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемых жидкостей. М.: Наука. 1972. 392 с.

\2.Говорухин В.Н., Шевченко И.В. Численное решение задачи плоской конвекции Дарси на компьютере с распределенной памятью // Вычислительные технологии 2001. Т. 6. №1. С. 3-12.

\Ъ Дементьев О.Н., Любимов Д. В. Возникновение конвекции в горизонтальном плоском слое пористой среды // Вестник Челябинского государственного университета. 2008. №6. С. 130-135.

ХАДжалурияЙ. Естественная конвекция М.: Мир. 1983. 400 с.

15Дмитриев Н.М. Просветность и проницаемость пористых сред с периодической микроструктурой // Изв. РАН. МЖГ. 1995. № 1. С. 7985.

16.Жуковский Н.Е. Просачивание воды через плотины // Собр. соч., т. 7. М.: Гостехиздат, 1950. С. 297-332.

17.Ид. А. Дж. Свободная конвекция // Сб. «Успехи теплопередачи». М.: Мир. 1970. С. 9-80.

18.Карабалаев А.Х., Липатов И.И. Нелинейное развитие возмущений в осесимметричных пограничных слоях // Ученные записки ЦАГИ. 1999. Т. XXX. № 3-4. С. 28-52.

19 .Кондауров В.И. Механика и термодинамика насыщенной пористой среды. М.: МФТИ. 2007. 310 с.

20.Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир. 1972. 274 с.

21..Левин В.А., Луценко Н.А. Стационарный режим фильтрационного охлаждения пористого тепловыделяющего элемента // Институт автоматики и процессов управления. Юбилейный сборник: К тридцатилетию ИАПУ ДВО РАН. - Владивосток: ИАПУ ДВО РАН. 2001.С. 151-159.

22.Левин В.А., Луъ^енко H.A. Фильтрационное охлаждение пористого тепловыделяющего элемента // V Минский международный форум по тепло- и массообмену. Тезисы докладов и сообщений. 2004. Т. 2. С. 219-220.

23.Левин В.А., Луценко H.A. Возникновение неустойчивых режимов охлаждения пористого тепловыделяющего элемента при докритических краевых условиях // Горение и плазмохимия. 2005. Т.З. №2. С. 81-92.

24.Левин В.А., Луценко H.A. Численное моделирование двумерных нестационарных течений газа через пористые тепловыделяющие элементы // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11. № 6. С. 44-58.

25.Леонтьев НЕ. Основы фильтрации. М.: Механико-математический факультет МГУ. 2009. 88 с.

26.Липатов И.И. Возмущенное течение в пограничном слое при локальном нестационарном нагреве поверхности // Изв. РАН. МЖГ. 2006. № 5. С. 53-66.

27.Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Физматгиз. 1962. 479 с.

28.Луценко H.A. Одномерный стационарный режим фильтрации газа через слой неподвижного тепловыделяющего конденсированного материала // Дальневосточный мат. журнал. 2002. Т.З. № 1. С. 123-130.

29 .Луценко H.A. Нестационарные режимы охлаждения пористого тепловыделяющего элемента // Мат. моделирование. 2005. Т. 17. № 3. С. 120-128.

30.Мажорова О.С., Попов Ю.П. Матричный метод решения двумерных уравнений Навье-Стокса // ДАН СССР. 1981.Т. 259. № 3.

31 .Мартыненко О.Г., Соковишин Ю.А. Теплообмен смешанной конвекции. Мн.: Наука и техника. 1975. 256 с.

32 .Мартыненко ОТ., Березовский A.A., Соковишин Ю.А. Асимптотические методы в теории свободноконвективного теплообмена. Мн.: Наука и техника. 1979. 168 с.

ЗЗ.Маслов В.П., Мясников В.П., Данилов В.Г. Математическое моделирование аварийного блока Чернобыльской АЭС. М.: Наука. 1987. 144 с.

ЗА.Маслов В.П. Эффекты перегрева в фильтрационных средах // ДАН. 1992. Т. 326. № 2. С. 246-250.

35 .Мелентъев А.Б., Тарунин E.JI. Асимметричные модуляции ускорения свободного падения в задаче о свободной конвекции в замкнутой полости // Вестник Пермского Университета. 2011. 1(5). С. 71-75.

36.Нейланд В.Я., Сычев В.В. Асимптотические решения уравнения Навье-Стокса в областях с большими локальными возмущениями // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. № 4. С. 43-49.

37.Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир. 1984. 535 с.

38.Нейланд В. Я., Боголепов В. В., Дудин Г. Н., Липатов И. И. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа. М.: Физматлит. 2003. 456 с.

39.Палымский И.Б. Метод численного моделирования конвективных течений // Вычисл. технологии. 2000. Т. 5. № 6. С. 53-61.

40 .Пасконов В. М., Полежаев, В. И., Чудов Л. А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.:Наука, 1984. С. 288. с.

41.Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат. 1984. 150 с.

42 .Пономарев В.М., Чхетиани О.Г., Шестакова Л.В. Численное моделирование развитой горизонтальной циркуляции в атмосферном пограничном слое // Вычисл. мех. сплош. сред. 2009. Т.2. № 1. С. 68-80.

43 .Рамазаное М.М. Конвекция жидкости в тонком пористом кольце эллиптической формы при наклонном подогреве // Изв. РАН. МЖГ. 2000. №6. С. 134-141. АА.Рамазаное М.М. Свободная конвекция жидкости в замкнутом контуре в теплопроводном полупространстве // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 4. С. 127-137.

А5.Рамазаное М.М. Конвекция совершенного газа в пористой среде между двумя коаксиальными цилиндрами большой среды // Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 2. С. 84-96. Ав.Реда Д. С. Эксперименты по естественной конвекции в насыщенной жидкостью пористой среде между вертикальными коаксиальными цилиндрами // Теплопередача. 1983. № 4. С. 113. Al.Peda Д.С. Экспериментальное исследование свободной конвекции в стратифицированной влагонасыщенной пористой среде // Теплопередача. 1986. № 3. С. 155. AS.Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1977. 656 с. 49 .Сираев P.P., Якушин В.И. Конвекция в горизонтальном цилиндрическом слое насыщенной пористой среды Дарси// Гидродинамика. Пермь: Изд-во ПГУ. 2004. Вып. 14. С. 228-238. 50.Сираев P.P., Якушин В.И. Исследование конвекции в горизонтальном цилиндрическом слое насыщенной пористой среды // Изв. РАН. МЖГ. 2008. №2. С. 83-91. 51 .Сокоеишин Ю.А., Мартыненко О.Г. Введение в теорию свободноконвективного теплообмена. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1982. 224 с.

52. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир. 1988.352 с.

53.Христиан овин С. А. Избранные работы. Речная гидравлика. Теория фильтрации. Аэродинамика и газовая динамика. Горное дело. Теория

пластичности. Энергетика. М.: Издательство МФТИ. 2000. 272 с.

92

ЪА.ШлихтингГ. Теория пограничного слоя. М.: Наука. 1974. 712 с.

55 .Brodowicz К. on analysis of laminar free convection around isothermal vertical plate // Int. J. Heat Mass Transfer. 1968. vol. 11. № 2. P.201-209.

56.Chaudhary R.C., Preeti J. An exact solution to the unsteady free-convection boundary-layer flow Past an impulsively started vertical surface with Newtonian heating // J. of Engineering Physics and Thermophysics. 2007. 80(5). P. 954-960.

51 .Cheng P. Heat transfer in geothermal systems I I Advances in Heat Transfer. 1978. Vol. 14. P. 1-105.

58.Cheng P., Chang I.-D. Buoyancy induced flows in a saturated porous medium adjacent to impermeable horizontal surfaces // Int. J. Heat Mass Transfer. 1976. vol. 19, P.1269-1272.

59.Cheng P., Minkowycz W. J. Free convection about a vertical flat plate imbedded in a porous medium with application to heat transfer from a dike // J. Geophys. Res., 1977. Vol. 82. P. 2040-2044.

60.Combarnous M.A., Bories S.A. Hydrothermal convection in saturated porous media// Advances in Hydroscience. 1975. Vol. 10. P. 231-307.

61.Donald A. Nield, Adrian Bejan Convection in Porous Media. New York: Springer, 1999. 640 p.

62.Eshghy S. Free convection layers at large Prandtl numbers // ZAMP. 1971. Vol. 22. № 2. 275-292.

63 .Helmy K.A., Irdiss H.F., Rassem S.E. MHD free convection flow of a micropolar fluid past a vertical porous plate // Can. J. Phys. 2002. 80. P. 1661-1673.

64.Hieber. C.A. Natural convection around a semi-infinity vertical plate: higher-order effects // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1974. Vol. 17. № 7. P. 785-791.

65.Hong J. Т., Yamada Y., Tien C.L. Влияние отклонений от закона Дарси и неоднородной пористости на свободную конвекцию вблизи

вертикальной пластины в пористой среде // Теплопередача. 1988. № 1. С. 76-83.

66.Hossain М. А., Rees D. A. S. Non-Darcy free convection along a horizontal heated surface // Transport Porous Media. 1997. vol. 29. P. 309-321.

67. Ingham D. B. The non-Darcy free convection boundary layer on axisymmetric and two-dimensional bodies of arbitrary shape // Int. J. Heat Mass Transfer. 1986. vol. 29. P. 1759-1763.

68.Ingham D. В., Pop I. Transport Phenomena in Porous Media. Oxford: Pergamon, 1998. 448 p.

69.Kadambi V. Singular perturbation in free convection // Warmeund and Stoffubertragung. 1969. Vol. 2. № 25. P. 99-104.

1 Q.Kim S.J., Vafai К Analysis of natural convection about a vertical plate embedded in a porous medium // Int. J. Heat Mass Transfer. 1988. 32(4). P. 665-677.

ll.Koleshko S.B., Lapin Yu. V., Chumakov Yu.S. Turbulent free convection boundary layer on a vertical heated plate: regularities of the temperature layer // High Temperature. 2005. Vol 43. № 3. P. 421-441.

ll.Kuiken H.K. Boundary layer condition on free convection // J. Eng. Math. 1968. Vol. 2. №1. P. 95-105.

73 .Kuiken H.K. An asymptotic solution for large Prandtl number free convection // J. Eng. Math. 1968. Vol. 2. № 4. P. 355-371.

lA.Kuiken H.K. Free convection at low Prandtl numbers // J. Fluid Mech. 1969. Vol. 37. № 4. P. 785-798.

7 5 .Largestorm P.A., Casten R.G. Basic concepts underling singular perturbation techniques // SIAM Review. 1972. Vol 14. № 1. P. 63-120.

16.Lauriat G., Prasad V. Свободная конвекция в вертикальной пористой полости: численное исследование по модели Дарси-Бринкмана // Теплопередача. 1988. №2. С.124-134.

ll.Lesnic D., Ingham D.B., Pop I, Storr C. Free convection boundary-layer flow along a vertical surface in a porous medium with Newtonian heating // International Journal of Heat and Mass Transfer. V.42. 1999. P. 2621-2627.

lü.Lesnic D., Ingham D.B., Pop I., Storr C. Free convection boundary-layer flow above a nearly horizontal surface in a porous medium with Newtonian heating // International Journal of Heat and Mass Transfer. V. 40. 2004. P. 665-672.

19.Magyari E., Pop I., Keller B. New similarity solutions for boundary-layer flow on a horizontal surface in a porous medium // Transport in porous media. 2003. 51. P. 123-140.

80.Magyari E., Keller B. Effect of viscous dissipation on a quasi-parallel free convection boundary-layer flow over a vertical flat plate in a porous medium // Transport in Porous Media. 2003. 51. P. 231-236.

%\.Mahajan R.L. Gebhart B. High order approximations to the natural convection flow over a uniform flux vertical surface // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1978. Vol. 21. № 5. P. 549-556.

%2.Martynenko O.G., Berezovsky A.A., Sokovishin Yu.A. Laminar free convection from a vertical plate // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1984. Vol. 27. № 6. P. 869-882.

83 .Merkin J. H. Free convection from a vertical cylinder embedded in a porous medium // Acta Mech. 1986. vol. 62, P. 19-28.

84 .Merkin J. H. Natural convection boundary-layer flow on a vertical surface with Newtonian heating // International Journal of Heat Fluid Flow. 15. 1994. P. 392-398.

85.Messietr A.F. Boundary-layer flow near the trailing edge of a flat plate // SIAM J. Appl. Math., 1970. Vol. 18. № 1. P. 241-257.

%6.Messiter A.F. Linan A.A. The vertical plate in laminar free convection: effects of leading edges and discontinuous temperature // ZAMP. 1976. Vol. 27. №5. P. 633-651.

87.Muralidhar К., Kulacki F.A. Свободная конвекция в насыщенной пористой среде, заполняющей горизонтальный кольцевой канал, в условиях отклонения от закона Дарси // Теплопередача. 1988. № 4. С. 112-119.

88.Myrthy P. V.S.N., Singh P. Heat and mass transfer by natural convection in a non-Darcy Porous media // Acta Mech. 1999. 138. P. 243-254.

89.Prasad V., Kulacki F.A., Keyhani M. Natural convection in porous media // J. Fluid Mechanics. 1985. Vol. 150. P. 89-119.

90.Rees D. A. S. The effect of inertia on free convection from a horizontal surface embedded in porous medium // Int. J. HeatMass Transfer. 1996. vol. 39, P. 3425-3430.

91 .Rees D.A.S., Vafai K. Darcy-Brinkman free convection from a heated horizontal surface // Numerical Heat Transfer Part A - Applications. 1999. 35(2). P. 191-204.

92.Rees D. A. S., Hossain M.A. Combined effect of inertia and a spanwise pressure gradient on free convection from a vertical surface in porous media // Numerical Heat Transfer Part A - Applications.1999. 36. P. 725-726.

93.Riley D.S., Drake D.G. Higher approximations to the free convection flow from a heated vertical plate // Appl. Sci. Res. 1975. Vol. 30. № 3. P. 193207.

94 .Rochette D., Stephane C. Numerical simulation of Darcy and Forchheimen force distribution in a HBS fuse // Transport in porous media. 2003. 53. P. 25-37.

95.Roys S. High-Prandtl-number free convection for uniform surface heat flux // J.H.T. Trans. ASME, ser. C. 1973. Vol. 95. № 1. P. 135-137.

96.Salleh M. Z., Nazar R., Arifin N. M., Pop I.,-Merkin J. H. Forced-convection heat transfer over a circular cylinder with Newtonian heating // Journal of Engineering Mathematics. 2010. Vol. 69. № 1. P. 101-110.

91.Salleh M. Z., Nazar R, Pop /.-Modeling of free convection boundary layer flow on a solid sphere with Newtonian heating // Acta Applicandae Mathematicae .2010. Vol. 112, № 3. P. 263-274.

98.Scherberg M. Natural convection near and above thermal leading edges on a vertical plate // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1962. Vol. 5. № 10. P. 10011010.

99.Stewartson K On the flow near the trailing edge of a flat plate // Mathematica. 1969. Vol. 16. № 1. P. 106-121.

100. Stewartson K, Jones L.T. The heated vertical plate at high Prandtl number // J. Aerinaut. Sei. 1957. Vol. 24. № 5. P. 379-380.

101. Takhar H.S. Whitelaw M.H. Non-isothermal free convection at high Prandtl number // Theor. Appl. Mech., Bulg. Academy of Sei. 1976. Vol. 7. № 3. P. 27-37.

102. Vafai K., Tien C.L. Boundary and inertia effects on flow and heat transfer in porous media //Int. J. Heat and Mass Transfer. 1981. Vol. 24. P. 195-203.

103. Vaszai A.Z., Elliot L., Ingham D.B. Conjugate free convection from vertical fins embedded in a porous media // Numerical Heat Transfer Part A - Applications.2003. 44. P. 743-770.

104. Yang K.-T. Laminar free convection wake above a heated vertical plate // J. Appl. Mech. Trans. ASME, ser. E. 1964. Vol 31. № 1. P. 155-163.

105. Yang K.-T., Jerger E.W. First-order perturbation of laminar free-convection boundary layers on a vertical plate // J.H.T. Trans. ASME, ser. C. 1964. Vol. 86. №1.P. 107-115.