Законы подобия для турбулентного пограничного слоя на пластине со вдувом и отсосом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Вигдорович, Игорь Ивлианович

• Вигдорович, Игорь Ивлианович
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Вигдорович, Игорь Ивлианович

Введение

1. Постановка задачи.

2. Пристеночная область пограничного слоя

2.1. Обобщение логарифмического закона для случаев вдува и отсоса. Правила подобия для компонент тензора Рейнольдса

2.2. Структура профиля скорости при больших и малых значениях

3. Пограничный слой при умеренных вдуве и отсосе. Универсальный закон дефекта скорости v.

3.1. Внешняя область пограничного слоя при умеренных вдуве и отсосе.—.

3.2. Сращивание решений для внешней и пристеночной областей

3.3. Универсальный закон дефекта скорости.

3.4. Закон трения для непроницаемой пластины

3.5. Переход от режима умеренного к режиму сильного вдува или отсоса.

4. Сильный вдув. Универсальный закон трения при вдуве.

4.1. Внешняя область пограничного слоя при сильном вдуве

4.2. Сращивание решений для внешней и пристеночной областей

4.3. Подобие при сильном вдуве. Универсальный закон трения

5. Сильный отсос. Универсальный закон трения при отсосе.

5.1. Внешняя область пограничного слоя при сильном отсосе.

5.2. Сращивание решений для внешней и пристеночной областей

5.3. Подобие при сильном отсосе.

5.4. Асимптотический турбулентный пограничный слой с отсосом

5.5. Универсальный закон трения при отсосе. Единый закон трения при вдуве и отсосе.

6. Асимптотическая структура пограничного слоя

6.1. Составные разложения для профилей скорости и рейнольд-совых напряжений

6.2. Асимптотическая структура профиля скорости

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Законы подобия для турбулентного пограничного слоя на пластине со вдувом и отсосом»

Вдув и отсос газа через проницаемые участки на обтекаемой поверхности используется во многих технических приложениях. Вдув является одним из наиболее перспективных способов защиты элементов конструкции силовой установки и планера летательного аппарата в условиях, когда эти элементы подвергаются высоким тепловым нагрузкам или работают в химически активных средах. Так транспирационное охлаждение, т. е. распределенный вдув в пограничный слой газообразного охладителя, проходящего через пористый материал, применяется для теплозащиты лопаток турбомашин и стенок камеры сгорания ЖРД. Отсос представляет собой эффективное средство воздействия на газодинамическую структуру течения и может использоваться для улучшения аэродинамических характеристик летательного аппарата или управления потоком в тракте двигателя. Кроме того, многие процессы физико-химических превращений на обтекаемой поверхности (абляция, испарение, конденсация, сублимация и т. д.) с гидродинамической точки зрения аналогичны вдуву или отсосу.

Поэтому несомненный научный и практический интерес представляет изучение наиболее общих закономерностей, которым подчиняются турбулентные течения при наличии потока массы на стенке. Настоящая работа посвящена исследованию законов подобия для несжимаемого турбулентного пограничного слоя со вдувом и отсосом на пластине при нулевом градиенте давления. Внимание сосредоточено на поиске универсальных зависимостей для основных гидродинамических параметров: осредненной скорости, рейнольдсовых напряжений, трения на стенке.

Особенностью турбулентных пристенных течений является наличие двух сильно различающихся характерных поперечных масштабов длины, один из которых связан с внешней областью пограничного слоя, а другой с вязким подслоем. Этот основополагающий факт используется при классическом анализе пристенной турбулентности методами теории размерности, результатами которого являются известные соотношения подобия (см., например, [25]). Такого рода исследования были начаты [13, 58] и наиболее полное развитие получили в работах [14, 15].

Согласно классической теории в тонкой пристеночной области пограничного слоя, поперечный масштаб которой определяется по кинематической вязкости жидкости и трению на поверхности, распределение скорости подчиняется закону стенки Прандтля. Во внешней области, занимающей почти всю толщину пограничного слоя, при безградиентном течении справедлив закон дефекта скорости Кармана. Два соотношения подобия имеют область перекрытия, где выполняется логарифмический закон для профиля скорости 1.

Основанный только на соображениях размерности метод [58], очевидно, имеет существенные ограничения на число определяющих параметров задачи и при ненулевой поперечной скорости на стенке не дает каких-либо содержательных выводов.

Другой, также весьма общий подход к аналитическому исследованию турбулентного пограничного слоя, учитывающий существование двух различных характерных масштабов или малого параметра в задаче, основан на применении к уравнениям пограничного слоя или Рейнольдса метода сращиваемых асимптотических разложений.

В работах этого направления [42, 43, 44, 34, 68] для замыкания задачи использовались конкретные алгебраические и дифференциальные модели. В [86, 35, 27, 31, 28, 32, 33, 29, 30, 62] изучались незамкнутые уравнения движения, что позволило получить ряд интересных качественных результатов общего характера 2. В [86, 30] установлено, что для турбулентного погра

1В работе [41] для течения в круглой трубе в качестве альтернативы логарифмическому закону предлагается степенная зависимость. Однако она получена из гораздо менее ясных и физически обоснованных предположений, содержит больше эмпирических констант и в то же время не дает лучшего, чем логарифмический закон, описания экспериментальных данных.

2 Сходный анализ проведен [19, 20] на основе модифицированной гипотезы Прандтля длины пути перемешивания без формального введения малого параметра. ничного слоя основным малым параметром является величина, обратная логарифму характерного числа Рейнольдса.

В рамках общего подхода, не использующего конкретных гипотез замыкания, значительное внимание уделялось асимптотической структуре пристенного течения и высшим приближениям искомых величин. В [27, 32, 33, 34, 30] для описания профиля скорости в канале и пограничном слое при нулевом градиенте давления вместо классической двухслойной предлагается трехслойная схема течения. Причем для масштаба промежуточной зоны в [32, 33, 34] и [30] даны разные оценки.

Как известно, пространственная структура турбулентного потока в непосредственной близости от стенки имеет весьма сложный характер. Согласно теоретическим результатам [76, 63], которые подтверждаются данными измерений, компоненты тензора Рейнольдса, связанные с пульсациями скорости в направлениях, параллельных стенке, имеют логарифмическую особенность при малом значении поперечной координаты 3. Поэтому асимптотический анализ поведения этих функций, действительно, должен основываться, по крайней мере, на трехслойной схеме, кроме внешней и пристеночной включающей еще одну промежуточную характерную область. Вопрос о масштабе такой промежуточной зоны и характере изменения в ней исследуемых величин в настоящее время не решен.

При исследовании полей осредненной скорости, касательного напряжения, а также компоненты тензора Рейнольдса, связанной с поперечной пульсацией скорости, которая, согласно теоретическим представлениям [76, 63] и данным измерений, ведет себя вблизи стенки без особенностей, достаточно рассматривать две характерные области течения.

В любом случае асимптотическая структура потока или вид высших приближений для исследуемых функций не могут быть установлены только из незамкнутых уравнений Рейнольдса. Для этого необходимо привлечение

3Кроме того, по данным [59] (см. также [52]) распределение среднеквадратичной продольной пульсации скорости при достаточно больших числах Рейнольдса имеет вблизи стенки два локальных максимума. дополнительных физических соображений. Таким образом, для описания полей осредненной скорости, напряжения сдвига и среднеквадратичной поперечной пульсации в пограничном слое без градиента давления классическая двухслойная схема течения и логарифмический закон представляются наиболее рациональными и положены в основу настоящей работы 4.

Обзорное изложение основных результатов экспериментальных и расчетных исследований турбулентных пристенных течений со вдувом и отсосом дано [18, 54, 12]. Непосредственное отношение к теме диссертации имеют предельный закон [16], связывающий трение на проницаемой и непроницаемой стенке, а также обобщение логарифмического распределения скорости в пограничном слое с транспирацией, данное Т. Стивенсоном [72, 74] (см. также [54, 45]) на основе формулы Прандтля для длины пути перемешивания. В [77, 14] (см. также [54]) предлагались другие зависимости, однако, именно формула Стивенсона, как будет показано в главе 2, дает правильное в главном члене представление профиля скорости во внешней части пристеночной области. В [73] как полуэмпирическая зависимость предложен закон дефекта скорости для внешней области пограничного слоя со вдувом и отсосом. Строгий вывод этого важного соотношения подобия дан в главе 6.

Систематическое численное исследование турбулентного пограничного слоя со вдувом и отсосом на основе модельных уравнений турбулентности проводилось [21, 22, 23, 24].

В диссертации исследуется течение несжимаемой жидкости в турбулентном пограничном слое на плоской гладкой пластине, обтекаемой равномерным потоком с постоянной скоростью на внешней границе слоя. Скорость вдува или отсоса направлена по нормали к поверхности и в общем случае может быть переменной по длине пластины.

4При сильном неблагоприятном градиенте давления, как известно (см., например, [15]), в пограничном слое формируются три характерные зоны, причем во внешней профиль скорости подчиняется «закону квадратного корня». Однако вопросы, связанные с влиянием продольного градиента давления, в работе не рассматриваются.

В первой главе формулируется гипотеза замыкания общего вида, согласно которой касательное напряжение в данной точке пограничного слоя зависит от расстояния до стенки, частных производных от продольной составляющей осредненной скорости по поперечной координате до порядка N -f 1 включительно (N — любое), а также толщины пограничного слоя А и физических констант жидкости. Гипотеза основана на общей концепции определяющих соотношений для турбулентных потоков (см., например, [56]), которая предполагает наличие операторной связи между компонентами тензора Рейнольдса и полем осредненной скорости. В данном случае профиль продольной составляющей вектора скорости приближенно задан с помощью конечного числа частных производных, и для «равновесного» пограничного слоя на пластине при постоянном давлении изменение поля скорости в направлении течения не учитывается.

Аналогичная гипотеза принимается для компоненты тензора Рейнольдса, связанной с поперечной пульсацией скорости.

С помощью П-теоремы каждая компонента тензора рейнольдсовых напряжений представлена в виде функции многих переменных, которая предполагается дифференцируемой в области определения, а безразмерные аргументы выбраны так, чтобы впоследствии решение в частном случае нулевой поперечной скорости на стенке имело оговоренные выше двухслойную асимптотическую структуру и логарифмический профиль скорости. Это означает, что указанные свойства пограничного слоя на непроницаемой пластине фактически задаются, и на этой основе изучается поведение решения общей задачи.

Гипотеза замыкания формулируется в общем виде, поэтому окончательные результаты будут содержать неизвестные числовые коэффициенты и функции, значения которых должны определяться по результатам обработки экспериментальных данных. При этом оказывается, что в целом ряде принципиально важных случаев достаточно использовать только данные, известные для непроницаемой пластины.

В рассматриваемой задаче функция тока осредненного течения удовлетворяет уравнению пограничного слоя при постоянном давлении и граничным условиям, соответствующим ненулевой поперечной скорости на стенке. Сделана специальная замена переменных. В качестве независимых переменных выбраны £ — логарифм числа Рейнольдса, образованного по толщине пограничного слоя, и rj — относительное расстояние до стенки. Искомыми величинами являются безразмерная функция тока rj) и Л(£) — скорость продольного изменения толщины слоя. Вторая неизвестная функция возникает как результат введения в уравнение поперечного масштаба А. Такое преобразование предложено [3, 4].

Цель работы — исследование асимптотики решения при £ —>• оо, т. е. при больших значениях логарифма числа Рейнольдса, образованного по толщине пограничного слоя. В качестве малого параметра задачи е выбрана величина, обратная логарифму числа Рейнольдса, образованного по характерному поперечному масштабу течения. Поэтому можно принять £ = £/£, где ( — независимая переменная порядка единицы. Предполагается, что В = 0(е2), где В — скорость вдува или отсоса, отнесенная к скорости на внешней границе пограничного слоя.

Асимптотические разложения решения по малому параметру е имеют различный вид для различных характерных областей течения. Поперек пограничного слоя рассматриваются две такие области: внешняя, в которой характерным масштабом является толщина слоя, а молекулярной вязкостью в уравнении пограничного слоя можно пренебречь, и пристеночная, характерный масштаб которой определяется из условия равенства по порядку величин турбулентных и вязких напряжений.

Во второй главе рассматривается пристеночная область. Течение в этой относительно тонкой части пограничного слоя не зависит от внешних факторов (общей геометрии потока, продольного градиента давления и т. д.), а определяется исключительно внутренними параметрами воздействия, к числу которых относится поперечная скорость на стенке.

В § 2.1 получены обобщение логарифмического закона для случаев вдува и отсоса и связанные с ним правила подобия для компонент тензора Рейнольдса.

Используются переменные стенки (масштабы длины и скорости вычисляются по коэффициенту вязкости и трению на поверхности), и продольная составляющая осредненной скорости U+ в первом приближении удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению (порядка N + 1 согласно принятой гипотезе замыкания), описывающему изменение касательного напряжения по нормали к поверхности. Уравнение содержит параметр — безразмерную величину поперечной скорости на стенке. При вдуве г>+ может принимать любые положительные значения, при отсосе — есть малая отрицательная величина.

В пристеночной области рассматриваются две подобласти: вязкий подслой, в котором турбулентные и вязкие напряжения одного порядка, и внешняя часть пристеночной области, где молекулярной вязкостью можно пренебречь.

Показано, что в частном случае непроницаемой пластины (v^ = 0) профиль скорости во внешней подобласти подчиняется логарифмическому закону. Численные значения постоянной Кармана >с и второй константы Со в логарифмическом законе берутся из экспериментальных данных.

Для общего случая ф 0 исследование асимптотики решения уравнения при у+ —у оо дает представление профиля скорости во внешней подобласти, которое в главном члене совпадает с формулой Стивенсона [72, 74], но отличается двумя дополнительными слагаемым более высокого порядка. Эти члены асимптотики возникают в результате использования более общего, чем гипотеза пути перемешивания, условия замыкания. Полученное соотношение кроме постоянной Кармана содержит вторую универсальную константу w, связанную с дополнительным логарифмическим членом асимптотики, и функцию С(г>+), для которой С(0) = Cq.

Из асимптотического представления профиля скорости следуют соотношения для компонент тензора Рейнольдса, согласно которым корень из касательного напряжения и среднеквадратичная поперечная пульсация скорости имеют логарифмическое распределение во внешней подобласти. Правило подобия для среднеквадратичной пульсации скорости содержит две дополнительные универсальные постоянные сг2 и Ш2, причем первая — известна из экспериментальных данных для непроницаемой пластины.

Новая константа построенной теории со и функция C(v+) определяются путем сопоставления с результатами измерений в пограничном слое со вдувом и отсосом [38] и данными прямого численного моделирования течения Пуазейля (напорного течения в плоском канале) с поперечным потоком масы [75, 26]. Соответствующие разным числа^ Рейнольдса и значениям параметра v+ экспериментальные и расчетные профили скорости и касательного напряжения в переменных подобия имеют достаточно протяженный участок постоянного наклона 1/х, поэтому константу и> можно принять равной 0.

Единственными достаточно точными данными для проверки соотношения подобия для среднеквадратичной поперечной пульсации скорости являются результаты прямого численного моделирования асимптотического турбулентного пограничного слоя с отсосом, выполненного [57, 40] при одном значении г>+ = —0.0601. Несмотря на низкое число Рейнольдса, при котором проводилось моделирование, профиль исследуемой величины в переменных подобия действительно имеет выраженный логарифмический участок, хотя его наклон приблизительно на 20% выше, чем 1/х. Анализ расчетных данных [57, 40] показывает, что константу и2, вероятно, также можно положить равной 0.

В § 2.2 исследуется поведение профиля скорости при малых и больших значениях параметра подобия для пристеночной области Малые значения соответствуют отсосу и умеренному вдуву. В этом случае распределение скорости во всей пристеночной области можно выразить через профиль, известный для непроницаемой пластины.

При —» +оо в вязком подслое образуются две характерные подобласти. В первой, расположенной непосредственно у стенки, турбулентным касательным напряжением можно пренебречь, и решение в главном члене такое же, как для чисто ламинарного течения. Во второй — существенны обе составляющие касательного напряжения. Толщина вязкого подслоя, измеренная в единицах пристеночного масштаба, при —> оо стремится к нулю как In

Функция C(v*) имеет немонотонный характер: убывает при малых значениях аргумента, а при —>• оо растет как In .

Качественное поведение решения всей задачи зависит от соотношения между касательным напряжением на стенке и во внешней области пограничного слоя. Можно выделить три характерных режима течения: умеренные вдув и отсос, когда касательное напряжение имеет один порядок величины во всем пограничном слое; сильный вдув, при котором напряжение трения на стенке много меньше, чем во внешней области; и, наконец, сильный отсос, при котором трение на стенке, наоборот, много больше, чем во внешней области пограничного слоя. В последующих главах дан анализ каждого из трех перечисленных режимов.

В третьей главе рассматриваются умеренные вдув и отсос. В § 3.1 исследуется внешняя область пограничного слоя, где 1/rj = 0(1). Функция Л(£), задающая скорость роста толщины слоя, есть малая величина. Как следует из уравнения для функции тока, возмущение продольной скорости во внешней области пропорционально Л(£). Поэтому решение ищется в виде г)) = + г] + Л(£)/(С, у) + 0(е2), где - значение функции тока на стенке. Функция /((,??) удовлетворяет каевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения (т. е. не зависит от Q и имеет универсальный характер, поскольку условия на обтекаемой поверхности не входят в формулировку краевой задачи. На стенке /'(?/) имеет логарифмическую асимтотику.

В § 3.2 Л(£) и коэффициент трения на пластине с/(£) определяются в результате асимптотического сращивания решений, справедливых во внешней и пристеночной областях. При сращивании, с одной стороны, используется полученная в § 3.1 асимптотика решения для внешней области на стенке, с другой — соотношение, задающее асимптотику пристеночного профиля скорости, которое дано в § 2.1. В рассматриваемом случае = 0(e), и для С(г>+) достаточно использовать оценку C(v+) = + 0(e).

В результате искомые функции получены в виде асимптотических рядов по малому параметру, содержащих степени е и In е. Для Л(£) выписано 2, а для коэффициента трения — 5 членов асимптотики. Количество найденных членов определяется порядком точности, который имеет исходное приближение пограничного слоя, а для получения следующих членов разложения необходимо использовать полные уравнения Рейнольдса. Поэтому построенное решение есть также асимптотическое решение уравнений Рейнольдса, имеющее при £ -л оо ту же точность, что и уравнения пограничного слоя.

Независимая переменная С связана с поперечным масштабом Д, который не фиксирован и может варьироваться. Это задает определенные групповые свойства полученного решения, использование которых позволяет найти замену переменных, приводящую разложения для Л(£) и с/({) к простому одночленному виду.

Параграф 3.3 посвящен окончательной формулировке полученных результатов. Установлен универсальный закон дефекта скорости, обобщающий на случай вдува и отсоса известное соотношение для непроницаемой пластины. Во внешней области профили скорости описываются единой универсальной кривой, не зависящей от числа Рейнольдса и условий на стенке.

Обобщено также выражение Клаузера [46] для поперечного масштаба А, что позволяет представить эту величину через надежно измеряемую толщину вытеснения.

Опытные данные для пограничного слоя на пластине со вдувом [38] подтверждают справедливость универсального закона дефекта скорости — во внешней области все точки лежат на одной кривой, соответствующей профилю скорости на непроницаемой пластине. В то же время, интервал, в котором выполняется предложенное соотношение подобия, существенно зависит от параметра вдува. В случае непроницаемой пластины универсальная кривая описывает распределение скорости по всей толщине пограничного слоя кроме вязкого подслоя непосредственно у стенки. По мере роста скорости вдува область применимости закона сокращается и при максимальном в серии экспериментов [38] значении В = 0.008 составляет приблизительно 80% толщины слоя.

Универсальный закон дефекта скорости дает критерий оценки точности измерений. Построенные в переменных подобия экспериментальные данные [69] для пограничного слоя на пластине со вдувом и отсосом хуже, чем результаты [38], следуют универсальной кривой во внешней области пограничного слоя. Примечательно, что низкая точность полученных авторами [69] значений скорости, связанная с менее совершенной, чем в [38], методикой измерений, отмечалась в работе [39].

Следствием закона дефекта скорости являются соотношения подобия для интегральных параметров пограничного слоя, которые выражены через формпараметр Клаузера G — постоянную, известную для пограничного слоя на непроницаемой пластине [46].

Сформулированы правила подобия для всех компонент тензора рейнольдсовых напряжений. Во внешней области эти величины описываются универсальными кривыми, не зависящими от числа Рейнольдса и условий на стенке. Имеется хорошее соответствие с результатам измерений касательного [38] и нормальных напряжений Рейнольдса [36] в пограничном слое со вдувом (при этом снова удается оценить качество экспериментальных данных). Однако, как и для профилей скорости, при увеличении параметра вдува область применимости соотношений подобия сокращается.

Установлена зависимость трения на стенке от числа Рейнольдса и параметра вдува или отсоса В, которая содержит три постоянных х, Со, Аа (второй коэффициент в логарифмической асимптотике универсальной функции, задающей профиль скорости во внешней области), известных по данным для пограничного слоя на непроницаемой пластине, и константу и), значение которой, как сказано выше, принято равным 0.

В § 3.4 расчет по полученной формуле сравнивается с результатами измерений для частного случая непроницаемой пластины. Для сопоставления отобраны наиболее достоверные данные [67, 84, 38, 85, 65, 64, 60], представляющие максимально широкий диапазон чисел Рейнольдса и различные методы измерений. Положение теоретической кривой по отношению к опытным данным подтверждает асимптотический характер полученной зависимости. По мере роста числа Рейнольдса все экспериментальные точки приближаются к расчетной кривой, и при умеренных и больших числах Рейнольдса совпадение является очень хорошим. Фактически, от расчетных значений заметно отличаются только данные, соответствующие неразвитому турбулентному течению, в котором еще не сформировался логарифмический профиль скорости.

В заключительном § 3.5 третьей главы анализируются границы применимости полученного решения. Продольный градиент скорости вдува или отсоса должен быть малой величиной. При достаточно быстро изменяющихся условиях на стенке, например, при степенном вдуве или отсосе, который задавался в экспериментах [69, 38], построенная теория не применима.

В случае равномерного отсоса при некотором значении переменной ( первый член разложения для Л(£) обращается в 0, т. е. происходит вырождение профиля продольной скорости, а касательное напряжение на стенке по порядку величины становится много больше, чем во внешней области пограничного слоя. В окрестности этой точки, которая для полученного решения является особой, имеет место сильный отсос. Аналогично в случае вдува, когда переменная £ достигает определенного критического значения, коэффициент трения в главном члене разложения обращается в 0, и касательное напряжение на стенке становится много меньше, чем во внешней области пограничного слоя. Окрестность этой особой точки есть область сильного вдува.

Для исследования режимов сильного вдува и отсоса в малой окрестности особых значений ( вводится новая независимая переменная s порядка единицы. Эти режимы рассматриваются при постоянной поперечной скорости на стенке.

Сильному вдуву посвящена четвертая глава диссертации. Разложения для искомых величин строятся с учетом их поведения при умеренном вдуве вблизи особой точки. Поскольку область сильного вдува лежит в малой окрестности особого значения ( (в физических переменных она при этом может занимать большую часть пластины), частными производными по переменной s здесь пренебречь нельзя, и функции g(s, rj) (аналог функции тока) и Л (5) (первый коэффициент разложения Л(£)) удовлетворяют при 1/г/ = O(l) краевой задаче для уравнения в частных производных. Начальные условия дает сращивание с решением, соответствующим режиму умеренного вдува. Профиль скорости во внешней области имеет логарифмическую асимптотику на стенке. Эти результаты получены в § 4.1.

Асимптотическое сращивание решений для внешней и пристеночной областей выполнено в § 4.2. Получены условия, замыкающие краевую задачу для функций g(s, ??) и A(.s), и уравнение для главного члена разложения коэффициента трения на пластине. Поскольку при сильном вдуве l/v+ = O(l), в это уравнение входит функция C(v+).

Из полной формулировки краевой задачи теперь следует, что она имеет только тривиальное решение. Во внешней области течение описывается функциями, полученными для умеренного вдува, и установленный в главе 3 универсальный закон дефекта скорости справедлив при всех скоростях вдува вплоть до критической, вызывающей оттеснение потока. Этот теоретический вывод подтверждается данными измерений [69, 38].

Локальная переменная s фактически является параметром подобия для области сильного вдува. Ее можно представить через величину В и числа Рейнольдса, образованные по толщине вытеснения или расстоянию от передней кромки.

Уравнение, полученное для трения на пластине, выражает правило подобия, согласно которому распределения этой величины, соответствующие разной поперечной скорости на стенке, в режиме сильного вдува в переменных подобия можно описать одной кривой. Данные измерений [69, 38, 49] подтверждают установленный универсальный характер распределений трения и толщины вытеснения при сильном вдуве.

Для умеренного вдува и в частном случае непроницаемой пластины справедлива другая зависимость, данная в главе 3. В § 4.3 два соотношения объединены в универсальный закон трения, который охватывает весь диапазон скоростей вдува от нулевой до критической. Закон очень хорошо согласуется с данными измерений и, более того, дает возможность проанализировать качество имеющихся экспериментальных данных. Из рассмотрения экспериментальных точек, построенных в переменных подобия, можно сделать вывод о более высокой точности измерений [49] по сравнению с [69, 38].

Согласно выводам теории функция с одной стороны, задает универсальное распределение трения на пластине, с другой — определяет профили скорости, касательного напряжения и среднеквадратичной поперечной пульсации скорости в логарифмической области пограничного слоя. В главе 2 она построена по результатам обработки профилей скорости. Сопоставление показывает, что две экспериментальные кривые для C(v^) достаточно близки.

Сильный отсос анализируется в пятой главе. Функция Л(£) имеет более высокий по сравнению со случаем умеренного отсоса порядок малости. В § 5.1 получено уравнение в частных производных, которому во внешней области пограничного слоя удовлетворяют g(s, rj) и A(s) (локальная независимая переменная, функция тока и главный член разложения для Л(£) обозначаются так же, как в главе 4). Начальные условия следуют из условия сращивания с решением в режиме умеренного отсоса. Главный член асимптотики профиля скорости на стенке в отличие от случая умеренного отсоса имеет порядок In2 г].

Проведенное в § 5.2 сращивание решений для внешней и пристеночной областей дает условие, замыкающее краевую задачу для функций g(s, rf) и A(s), и представление трения на пластине через решение этой краевой задачи.

В § 5.3 введены переменные подобия для режима сильного отсоса: локальная переменная 5 выражена через параметр В и числа Рейнольдса, образованные по толщине вытеснения или расстоянию от передней кромки.

Распределения трения и толщины вытеснения в переменных подобия при сильном отсосе имеют универсальный характер, который подтверждается данными измерений [69, 49].

Даны правила подобия для распределения компонент тензора рейнольдсовых напряжений во внешней области и соотношения для интегральных параметров пограничного слоя.

В § 5.4 исследуется одномерное течение (асимптотический пограничный слой с отсосом), которое в случае постоянной поперечной скорости на стенке всегда достигается в пределе далеко вниз по потоку. Число Рейнольдса, образованное по толщине вытеснения асимптотического слоя, зависит только от параметра отсоса В. Формула содержит один эмпирический коэффициент, который определен по данным прямого численного моделирования [57, 40]. Результаты измерений [81] в целом удовлетворительно соответствуют полученной зависимости.

Анализируются условия существования турбулентного и ламинарного режимов в асимптотическом пограничном слое в зависимости от величины параметра В. Предложен критерий перехода от турбулентного к ламинарному типу течения.

В результате объединения соотношений, полученных для режимов сильного и умеренного отсоса, в § 5.5 сформулирован универсальный закон трения. Закон справедлив во всем диапазоне параметров в развитом турбулентном пограничном слое, когда поперечная скорость на стенке меняется от нуля до другой предельной величины, соответствующей асимптотическому пограничному слою. Данные измерений [69, 49] хорошо соответствуют установленному закону подобия.

Итог исследования универсальных соотношений для распределения трения на проницаемой пластине подводит единая зависимость, которая включает в себя оба полученных закона трения. В нее входят постоянные гипотезы замыкания х и ш, константы Со и Ао, которые известны для пограничного слоя на непроницаемой пластине, и эмпирическая функция, зависящая от одной переменной подобия. Эта универсальная функция описывает экспериментальные данные во всем возможном диапазоне изменения параметров в пограничном слое со вдувом и отсосом.

Аналогичная универсальная зависимость предложена для формпара-метра пограничного слоя.

В главах 4 и 5 универсальные законы трения формулируются как составные разложения [2], объединяющие асимптотические представления, справедливые в различных характерных диапазонах изменения скорости вдува или отсоса. Аналогичная процедура применена в главе 6 для построения равномерно пригодных распределений скорости и компонент рей-нольдсовых напряжений путем объединения асимптотических представлений для внешней и пристеночной областей пограничного слоя.

В § 6.1 построено составное разложение для профиля скорости, объединяющее два соотношения подобия: закон дефекта скорости для внешней области пограничного слоя и обобщение логарифмического закона на случай наличия потока массы на стенке, справедливое во внешней части пристеночной области. В результате установлено универсальное распределение скорости, которое выполняется при умеренном отсосе и любом вдуве всюду вне вязкого подслоя. Полученный результат является строгим обоснованием известной полуэмпирической зависимости [73].

Найдено уточненное выражение для поперечного масштаба А, в которое входит формпараметр Клаузера G (определенный для пограничного слоя на непроницаемой пластине).

Построенные в переменных подобия экспериментальные значения скорости [38] следуют теперь одной кривой по всей толщине пограничного слоя. От универсального распределения отклоняются только точки, принадлежащие вязкому подслою.

Аналогичное представление профиля скорости указано для всего диапазона изменения поперечной скорости на стенке. В общем случае семейство кривых зависит от одного параметра подобия q = В/y/,i/2Cf + В. При вдуве и умеренном отсосе можно принять q = 0. Другой предельный случай достигается при q = — оо в асимптотическом пограничном слое с отсосом.

Указаны однопараметрические соотношения подобия для распределения касательного напряжения и среднеквадратичной поперечной пульсации скорости, которые выполняются всюду вне вязкого подслоя и охватывают весь возможный диапазон изменения поперечной скорости на стенке. В случае вдува и умеренного отсоса, когда параметр подобия q есть малая величина, справедливы двучленные разложения, коэффициенты которых определены только через функции, задающие профили скорости и среднеквадратичной поперечной пульсации во внешней области пограничного слоя на непроницаемой пластине.

Двучленная формула для касательного напряжения теперь хорошо описывает данные [38] по всей толщине пограничного слоя на пластине со вду-вом.

Профили исследуемых величин, полученные при прямом численном моделировании асимптотического турбулентного пограничного слоя с отсосом [57, 40], также хорошо соответствуют установленным правилам подобия.

В § 6.2 путем комбинации представлений, записанных во внешних переменных и переменных стенки, построены составные разложения для полного профиля скорости в пограничном слое. На этой основе дан качественный анализ изменения полного профиля скорости на пластине со вдувом или отсосом при движении от передней кромки вниз по потоку.

Основные результаты диссертации опубликованы в [3, 4, 5, 6, 78, 79, 7, 8, 9, 80, 10, И].

1. Постановка задачи

Рассмотрим течение несжимаемой жидкости в турбулентном пограничном слое на плоской гладкой пластине, обтекаемой равномерным потоком с постоянной по длине пластины скоростью на внешней границе пограничного слоя. Скорость вдува или отсоса, направленную по нормали к поверхности, будем считать в общем случае переменной по длине пластины, заданной по закону v = vw(x), где х — декартова координата, отсчитываемая от передней кромки.

В общей теории определяющих соотношений для турбулентных пристенных течений (см., например, [56]) предполагается, что касательное напряжение и другие компоненты тензора Рейнольдса могут быть вычислены по заданному полю вектора осредненной скорости, физическим константам жидкости и, возможно, ряду других параметров, связанных с положением твердой границы и турбулентными пульсациями в набегающем потоке. В стационарном случае поле осредненной скорости в окрестности рассматриваемой точки с достаточной степенью точности может быть задано посредством некоторого набора значений частных производных от компонент вектора скорости по пространственным координатам. Для течения в пограничном слое, в котором поперечная составляющая скорости много меньше продольной, а поперечный градиент поля скорости много больше продольного, наиболее существенную роль играют только частные производные от продольной составляющей осредненной скорости по поперечной координате 1.

С учетом этих соображений для случая двумерного пограничного слоя на плоской пластине, когда уровень пульсаций в набегающем потоке прене

1Иными словами, предполагается «равновесный» характер пограничного слоя, когда предыстория развития течения не существенна. брежимо мал, примем следующую гипотезу замыкания. Напряжение сдвига —p(u'v'} в данной точке пограничного слоя зависит от плотности р и вязкости v жидкости, расстояния от стенки у, частных производных от продольной составляющей осредненной скорости и по поперечной коордирактерной для данного сечения толщины Д (толщины пограничного слоя), задающей глобальный масштаб турбулентного течения. Тогда из соображений размерности

Здесь локальное число Рейнольдса R\ есть отношение характерных значений турбулентной и молекулярной вязкости. Выражение для касательного напряжения (1.1) представляет собой аналитическую формулировку принятой гипотезы замыкания. Дальнейшее исследование будет проведено в обшем виде для любой функции Т, удовлетворяющей условию Т(0,., 0) 0, непрерывной в области определения и имеющей частные производные по всем аргументам.

В рамках принятой гипотезы замыкания асимптотическая структура течения вблизи стенки определяется характером зависимости функции Т от своих аргументов. Условия гладкости, а точнее требование непрерывности функции Т по первым двум переменным — локальному числу Рейнольдса и относительной поперечной координате — фактически постулируют классическую двухслойную структуру течения в пограничном слое.

Компонента тензора Рейнольдса (г>'2), связанная с поперечными пульсациями скорости, ведет себя аналогично касательному напряжению. Для нее примем нате до порядка N + 1 включительно (N — любое), а также некоторой ха2

1.1)

1 < п < N.

1.2) где Т2 удовлетворяет тем же условиям, что и функция Т в соотношении (1.1).

Компоненты (и,2}, (у/2), связанные с пульсациями скорости в направлениях, параллельных стенке, подробно рассматриваться не будут. Их поведение вблизи обтекаемой поверхности имеет более сложный характер (см., например, [63, 52, 59]) и недостаточно полно изучено даже в случае непроницаемой пластины.

В рассматриваемой задаче функция тока осредненного течения ф(х, у) удовлетворяет уравнению пограничного слоя с нулевым градиентом давления дф д ф дф д ф d(u'v') д ф ду дхду дх ду2 ду дуъ' дф{х, 0) дф{х, 0) дф(х, оо)

X > V) . — и, — VWl — ие. оу ох ду

Здесь Ue — скорость невозмущенного набегающего потока.

Будем рассматривать толщину пограничного слоя Д как некоторую изменяющуюся по длине пластины величину, характеризующую поперечный масштаб турбулентного пристенного течения. Перейдем в (1.3) к новым переменным по формулам ф = иеАЩЬг1), = £ = 1п Дд, *7 = -|, (1.4)

D xUe AUP.

Ux - -, Лд = и V

В качестве независимых переменных £ и г/ выбраны логарифм числа Рейнольдса, образованного по толщине пограничного слоя, и относительное расстояние до стенки. Кроме безразмерной функции тока 77) введена вторая неизвестная функция Л(£), имеющая физический смысл скорости продольного изменения поперечного масштаба Д. Такое преобразование допустимо, когда функция Д(ж) строго монотонна, т. е. Л(£) ф 0. Для rj) и Л(£) получим уравнение

Гдф дЧ дЧ /

Л----- Ф н-дг) д^дч] drj2 \ di; д дч] г92Ф\2 а2*

6 -— drj2

1.5) 1 = 0: ^ = 0, л(Ф + -)=-Б;

9Ф = »: ^ = 1. (1.6)

Здесь Б = vw/Ue — параметр вдува или отсоса. Соотношения (1.6) задают граничные условия на пластине и внешней границе пограничного слоя.

Из краевой задачи (1.3) для одной неизвестной функции с помощью преобразования (1.4) получены уравнение (1.5) и граничные условия (1.6), содержащие две искомые функции Ф иЛ. Дополнительным соотношением служит конкретное определение толщины пограничного слоя А, которое фактически входит в формулировку гипотезы замыкания (1.1) и поэтому можно считать заданным, если задана функция Т. Кроме того, в полную формулировку краевой задачи должны входить начальные условия, поставленные в некотором сечении пограничного слоя вблизи передней кромки пластины. Всюду в дальнейшем рассматривается асимптотическое поведение решения на достаточно большом расстоянии от передней кромки, для которого эти начальные условия не существенны.

Будем искать асимптотическое представление решения задачи (1.5), (1.6) при £ —у оо, т. е. при больших значениях логарифма числа Рейнольдса, образованного по толщине пограничного слоя. Введем малый параметр е и новую независимую переменную ( = 1/( = 0(1). Таким образом, малый параметр в настоящей задаче есть величина, обратная характерному значению логарифма числа Рейнольдса, образованного по толщине пограничного слоя.

Скорость вдува или отсоса на стенке зададим в виде

В = Л(С), 6(С) = 0(1), ^ = 0(1). (1.7)

Согласно (1.7), предполагается определенный порядок малости величины поперечной скорости на стенке, а также достаточно медленное ее изменение по длине пластины.

Асимптотические разложения решения по малому параметру е будут иметь различный вид для различных характерных областей течения. Поперек пограничного слоя необходимо рассмотреть две такие области: внешнюю область, в которой характерным масштабом является толщина слоя, а молекулярной вязкостью в уравнении пограничного слоя можно пренебречь, и пристеночную область, характерный масштаб которой определяется из условия равенства по порядку величин турбулентных и вязких напряжений.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Вигдорович, Игорь Ивлианович

Заключение

1. Для течения несжимаемой жидкости в турбулентном пограничном слое на плоской проницаемой пластине с распределенным вдувом или отсосом построена асимптотическая теория, основанная на гипотезе замыкания, постулирующей связь общего вида между компонентами тензора рейнольд-совых напряжений и профилем осредненной скорости, специальной замене переменных в уравнениях пограничного слоя и применении метода сращиваемых асимптотических разложений при больших значениях логарифма числа Рейнольдса, образованного по характерному поперечному масштабу течения.

В результате для распределения осредненной скорости, компонент тензора Рейнольдса, трения на стенке и интегральных параметров установлен ряд новых законов подобия.

2. Получены обобщение логарифмического закона для профиля скорости на случай наличия потока массы на стенке и правила подобия для распределения касательного напряжения и среднеквадратичной поперечной пульсации скорости в промежуточной области, расположенной вблизи стенки вне вязкого подслоя. В переменных подобия все три величины имеют одно логарифмическое распределение, которое зависит только от безразмерной скорости вдува или отсоса

При вдуве с ростом параметра v+ толщина вязкого подслоя, измеренная в единицах пристеночного масштаба, стремится к нулю как 1пг>+/г>+. Соответственно область применимости правил подобия начинается непосредственно у стенки.

3. Роль параметра подобия для внешней области играет величина q = = В/\fi/2Cf + В. Всюду вне вязкого подслоя профили скорости в переменных подобия описываются однопараметрическим семейством кривых. Это семейство объединяет все поперечные распределения скорости в развитом турбулентном пограничном слое на проницаемой пластине, от предотрыв-ного, возникающего при околокритическом вдуве, до предельного распределения, которое реализуется в асимптотическом слое с отсосом.

Вдуву и умеренному отсосу отвечает малая величина д. В этом случае все значения скорости лежат на одной универсальной кривой, которая известна по данным для непроницаемой пластины.

4. При вдуве и умеренном отсосе компоненты тензора Рейнольдса в переменных подобия во внешней области имеют универсальные распределения.

Для касательного напряжения и среднеквадратичной поперечной пульсации скорости указаны однопараметрические правила подобия, справедливые в более широкой области — всюду вне вязкого подслоя — и охватывающие весь диапазон параметров в развитом турбулентном пограничном слое.

В случае вдува и умеренного отсоса, когда параметр подобия q есть малая величина, справедливы двучленные разложения, коэффициенты которых определены только через функции, задающие профили скорости и среднеквадратичной поперечной пульсации во внешней области пограничного слоя на непроницаемой пластине.

5. Установлены универсальные законы трения, позволяющие представить распределения касательного напряжения на стенке при вдуве и отсосе универсальными кривыми, не зависящими от условий на обтекаемой поверхности и чисел Рейнольдса. Имеется одна эмпирическая функция, которая в переменных подобия описывает распределение трения на пластине для всех чисел Рейнольдса и значений скорости на стенке, как при отсосе, так и при вдуве. Универсальный закон трения справедлив во всем диапазоне параметров в развитом турбулентном пограничном слое, начиная от скоростей отсоса, соответствующих асимптотическому пограничному слою, до скоростей вдува, вызывающих оттеснение пограничного слоя.

Аналогичное универсальное соотношение выполняется для формпара-метра пограничного слоя.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Вигдорович, Игорь Ивлианович, 2002 год

1. Бейкер, мл. Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М.: Мир, 1986. 502 с.

2. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. Мир. М.: 1967. 310 с.

3. Вигдорович И. И. Турбулентный пограничный слой на проницаемой пластине. Асимптотика при больших числах Рейнольдса и законы подобия // Седьмой Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. М: 1991. С. 81.

4. Вигдорович И. И. Асимптотическое исследование при больших числах Рейнольдса турбулентного пограничного слоя на плоской пластине // Изв. Академии наук. МЖГ. 1993. № 4. С. 106-117.

5. Вигдорович И. И. Универсальный закон дефекта скорости для турбулентного пограничного слоя на пластине со вдувом и отсосом // Докл. Академии наук. 1993. Т. 331. № 4. С. 443-448.

6. Вигдорович И. И. Универсальный закон трения для турбулентного пограничного слоя на пластине со вдувом // Докл. Академии наук. 1994. Т. 337. № 1. С. 39-43.

7. Вигдорович И. И. Универсальный закон трения для турбулентного пограничного слоя на пластине с отсосом // Докл. Академии наук. 1997. Т. 356. № 1. С. 42-46.

8. Вигдорович И. И. Асимптотическое исследование при больших числах Рейнольдса турбулентного пограничного слоя на пластине с интенсивным отсосом. Препринт ЦИАМ № 28. М: 1997. 24 с.

9. Вигдорович И. И. Турбулентный пограничный слой на пластине с интенсивным отсосом // Изв. Академии наук. МЖГ. 1999. № 3. С. 61-76.

10. Вигдорович И. И. Законы подобия для турбулентного пограничного слоя со вдувом и отсосом // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. С. 152-153.

11. Вигдорович И. И. Законы подобия для распределения скорости и компонент тензора Рейнольдса в пристеночной области турбулентного пограничного слоя со вдувом и отсосом // Изв. Академии наук. МЖГ. 2002. № 4.

12. Ерошенко В. М., Зайчик Л. И. Гидродинамика и теплообмен на проницаемых поверхностях. М: Наука. 1984. 274 с.

13. Изаксон А. А. О формуле распределения скоростей вблизи стенки // ЖЭТФ. 1937. Т. 7. Вып. 7. С. 919-924.

14. Кадер Б. А., Яглом А. М. Законы подобия для пристенных турбулентных течений // Итоги науки и техн. Сер. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1980. Т. 15. С. 81-155.

15. Кадер Б. А., Яглом А. М. Влияние шероховатости и продольного градиента давления на турбулентные пограничные слои // Итоги науки и техн. Сер. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1984. Т. 18. С. 3-111.

16. Кутателадзе С. СЛеонтьев А. И. Теплообмен и трение в турбулентном пограничном слое. Изд. 2-е. М.: Энергоатомиздат, 1985. 319 с.

17. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. Изд. 3-е. М: Наука. 1986. 736 с.

18. Лапин Ю. В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. М: Наука. 1970. 343 с.

19. Лойцянский JI. Г. Метод обобщенного подобия в расчетах внутренней подобласти турбулентного пограничного слоя // Изв. АН СССР. МЖГ. 1990. № 5. С. 25-34.

20. Лойцянский Л. Г. Применение метода обобщенного подобия к расчету турбулентного пограничного слоя // Изв. Академии наук. МЖГ. 1993. № 5. С. 78-88.

21. Лущик В. Г., Павелъев А. А., Якубенко А. Е. Управление турбулентными пограничными слоями: результаты экспериментов и расчетные модели // Механика и научно-технический прогресс. Т. 2. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1987. С. 67-89.

22. Лущик В. Г., Павелъев А. А., Якубенко А. Е. Уравнение переноса для характеристики турбулентности: модели и результаты расчетов // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ. 1988. Т. 22. С. 3-61.

23. Лущик В. Г., Павелъев А. А., Якубенко А. Е. Турбулентные течения. Модели и численные исследования // Изв. Академии наук. МЖГ. 1994. № 4. С. 4-27.

24. Лущик В. Г., Павелъев А. А., Решмин А. П., Якубенко А. Е. Влияние граничных условий на переход к турбулентности в пограничном слое на пластине при большом уровне внешних возмущений // Изв. Академии наук. МЖГ. 1999. № 6. С. 111-119.

25. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Т. 1. Изд. 2-е. СПб: Гидрометеоиздат, 1992. 694 с.

26. Никитин Н. ВПавелъев А. А. Турбулентные течения в канале с проницаемыми стенками. Результаты прямого численного моделирования и трехпараметрической модели // Изв. Академии наук. МЖГ. 1998. № 6. С. 18-26.

27. Пономарев В. И. Асимптотический анализ турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости // Учен. зап. ЦАГИ. 1975. Т. 6. Вып. 3. С. 42-52.

28. Сычев В. В., Сычев Вик. В. О турбулентном отрыве // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1980. Т. 20. № 6. С. 1500-1512.

29. Сычев Вик. В. К теории самоиндуцированного отрыва турбулентного пограничного слоя // Изв. АН СССР. МЖГ. 1987. № 3. С. 51-60.

30. Сычев В. В., Сычев Вик. В. О структуре турбулентного пограничного слоя // ПММ. 1987. Т. 51. Вып. 4. С. 593-599.

31. Afzal N. Millikan's argument at moderately large Reynolds number // Phys. Fluids. 1976. V. 19. № 4. P. 600-602.

32. Afzal N. A sub-boundary layer within a two dimensional turbulent boundary layer: an intermediate layer // J. de Mecanique theorique et appliquee. 1982. V. 1. № 6. P. 963-973.

33. Afzal N. Fully developed turbulent flow in a pipe: An intermediate layer // Ingenieur-Archiv. 1982. V. 52. № 6. P. 355-377.

34. Afzal N., Bush W. B. A three-layer asymptotic analysis of turbulent channel flow // Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.). 1985. V. 94. № 2, 3. P. 135-148.

35. Afzal N., Yajnik K. Analysis of turbulent pipe and channel flows at moderately large Reynolds number // J. Fluid Mech. 1973. V. 61. Pt 1. P. 23-31.

36. Alp E. Measurements on a transpired turbulent boundary layer and a mixing length model employing near-wall characteristic time scales. PhD Thesis. Canada: Univ. Waterloo, 1978. 198 p.

37. Alp E., Strong А. В. Measurements of characteristic time scales of the turbulent boundary layer with mass transfer // Intern. J. Heat and Mass Transfer. 1981. V. 24. № 3. P. 521-531.

38. Andersen P. SKays W. M., Moffat R. J. The turbulent boundary layer on a porous plate: An experimental study of the fluid mechanics for adverse free-stream pressure gradient. Rep. HMT-15. 1972. Stanford Univ. 194 p.

39. Andersen P. S., Kays W. M., Moffat R. J. Experimental results for the transpired turbulent boundary layer in an adverse pressure gradient //J. Fluid Mech. 1975. V. 69. Pt 2. P. 353-375.

40. Antonia R. A., Spalart P. R.; Mariani P. Effect of suction on the near-wall anisotropy of a turbulent boundary layer // Phys. Fluids. 1994. V. 6. № 1. P. 430-432.

41. Barenblatt G. I., Chorin A J., Prostokishin V. M. Scaling laws for fully developed turbulent flow in pipes // Appl. Mech. Rev. 1997. V. 50. 7. P. 413-428.

42. Bush W. В., Fendell F. E. Asymptotic analysis of turbulent channel and boundary-layer flow // J. Fluid Mech. 1972. V. 56. Pt 4. P. 657-681.

43. Bush W. В., Fendel F. E. Asymptotic analysis of turbulent channel flow for mean turbulent energy closures // Phys. Fluids. 1973. V. 16. W- 8. P. 1189-1197.

44. Bush W. В., Fendel F. E. Asymptotic analysis of turbulent channel flow for mixing length theory // SIAM J. Appl. Math. 1974. V. 26. № 2. P. 413427.

45. Cebeci TSmith A. M. 0. Analysis of turbulent boundary layers. N. Y.: Acad. Press, 1974. 404 p.

46. Clauser F. H. The turbulent boundary layer // Advan. Appl. Mech. V. 4. N. Y.: Acad. Press. 1956. P. 1-51. (русс. пер. Клаузер Ф. Турбулентный пограничный слой //С. 297-340. В сб. Проблемы механики. Под ред. Драйдена X., Кармана Т. Вып. 2. 1959. 340 с.)

47. Coles D. The law of the wake in the turbulent boundary layer //J. Fluid Mech. 1956. V. 1. Pt 2. P. 191-226.

48. Coles D., Hirst E. A. Memorandum on data selection // Computation of turbulent boundary layers. AFORS-IFP-Stanford Conf. Proc. 1968. Stanford: Univ. Press, 1969. V. 2. P 47-54.

49. Depooter K. The measurement of wall shear stress on a porous plate with mass transfer using a floating element technique and the investigation of various indirect measuring methods. PhD Thesis. Canada: Univ. Waterloo, 1973. 159 p.

50. Depooter K., Brundrett E., Strong A. B. The calibration of Preston tubes in transpired turbulent boundary layers // Trans. ASME. J. Fluids Eng. 1978. V. 100. № 1. P. 10-16.

51. Fernholz H. H., Krause E., Nockemann M., Schober M. Comparative measurements in the canonical boundary layer at Res2 < 6 x 104 on the wall of the German-Dutch wind tunnel // Phys. Fluids. 1995. V. 7. JY2 6. P. 1275-1281.

52. Fernholz H. H., Finley P. J. The incompressible zero-pressure-gradient turbulent boundary layer: An assessment of the data // Prog. Aerospase Sci. 1996. V. 32. P. 245-311.

53. Hites M., Nagib H., Wark C. Velocity and wall shear-stress measurements in high-Reynolds-number turbulent boundary layers // AIAA Paper. 1997. № 97-1873. 14 p.

54. Jeromin L. 0. F. The status of research in turbulent boundary layers with fluid injection. P. 65-189 // Prog. Aeronaut. Sci. 1970. V. 10. 527 p.

55. Klebanoff P. S. Characteristics of turbulence in a boundary layer with zero pressure gradient // NACA Rep. 1954. № 1247. 19 p.

56. Lumley J. L. Toward a turbulent constitutive relation // J. Fluid Mech. 1970. V. 41. Pt 2. P. 413-434.

57. Mariani P., Spalart P., Kollmann W. Direct simulation of a turbulent boundary layer with suction // Proc. Int. Conf. Near-Wall Turbulent Flows / Ed. R. M. C. So et al. Amsterdam: Elsevier, 1993. P. 347-356.

58. Millikan С. B. A critical discussion of turbulent flows in channels and circular tubes// Proc. 5th Intern. Congr. Appl. Mech. N. Y.: Wiley. 1939. P. 386-392.

59. Nockemann M., Schober M., Bruns J., Abstiens R., Eckert D. W. Vermessung der Wandgrenzschicht im Deutsch-Niederlandischen Windkanal bei hohen Reynoldszahlen // Abhin. Aerodynamisches Institut RWTH Aachen Heft 32. 1994.

60. Osterlund J. M., Johansson. A. J. High Reynolds number turbulent boundary-layer experiments // Advances in Turbulence VIII. Proc. 8th European Turbulence Conf. / Ed. C. Doparo et al. Barcelona: CIMNE, 2000. P. 395-398.

61. Panton R. L. Scaling turbulent wall layers // J. Engineer. 1990. V. 112. P. 425-432.

62. Perry A. E, Henbest S., Chong M. S. A theoretical and experimental study of wall turbulence // J. Fluid Mech. 1986. V. 165. P. 163-199.

63. Petrie H. L., Fontaine A. A., Sommer S. Т., Brungart T. A. Large flat plate turbulent boundary evaluation // Penn State Applied Research Laboratory Technical Memo. File № 89-207. 1990.

64. Purtell L. PKlebanoff P. S., Buckley F. T. Turbulent boundary layer at low Reynolds number // Phys. Fluids. V. 24. № 5. 1981. P 802-811.

65. Rotta J. C. Uber die Theorie der turbulenten Grenzschichten // Max Planck Inst. Stromungsforsch. Gottingen. № 1. 1950; NACA TM № 1344. 1953.

66. Schultz-Grunow F. Neues Reibungswiderstandsgesetz fur glatte Platten // Luftfahrtforschung. 1940. Band 17. Lfg. 8. P. 239-246.

67. Silva-Freire A. P. An asymptotic solution for transpired incompressible turbulent boundary layers // Intern. J. Heat and Mass Transfer. 1988. V. 31. № 5. P. 1011-1021.

68. Simpson R. L., Moffat R. J., Kays W. M. The turbulent boundary layer on a porous plate: an experimental study of the fluid dynamics with injection and suction. Rep. HMT-2. 1967. Stanford Univ. 173 p.

69. Simpson R. L., Moffat R. J., Kays W. M. The turbulent boundary layer on a porous plate: experimental skin friction with variable injection and suction // Intern. J. Heat and Mass Transfer. 1969. V. 12. № 7. P. 771-789.

70. Spalart P. R. Direct simulation of a turbulent boundary layer up to Reg — 1410 11 J. Fluid Mech. 1988. V. 187. P. 61-98.

71. Stevenson T. N. A law of the wall for turbulent boundary layers with suction or injection // CoA Rept. Aero. 1963. JY2 166; J. Roy. Aeronaut. Soc. 1964. V. 68. № 642. P. 431.

72. Stevenson Т. N. Turbulent boundary layers with transpiration // AIAA Journal. 1964. V. 2. № 8. P. 1500-1502.

73. Stevenson T. N. Inner region of transpired turbulent boundary layers // AIAA Journal. 1968. Vol. 6. № 3. P. 553-554.

74. Sumitani Y., Kasagi N. Direct numerical simulation of turbulent transport with uniform wall injection and suction // AIAA Journal. 1995. V. 33. JY2 7. P. 1220-1228.

75. Townsend A. A. The Structure of Turbulent Shear Flow. 2-end ed. Cambridge: Univ. Press, 1976.

76. Tennekes H. Similarity laws for turbulent boundary layers with suction or injection //J. Fluid Mech. 1965. V. 21. Pt. 4. P. 689-703.

77. Vigdorovich I. I. Similitudes for the turbulent boundary layer flow at a plate with injection and suction // Int. Conf. Methods Aerophysical Research. Proc. Pt I. Novosibirsk: 1994. P. 190-198.

78. Vigdorovich I. I. A universal friction law for the turbulent boundary layer on a plate with suction // Int. Conf. Methods Aerophysical Research. Proc. Pt I. Novosibirsk: 1996. P. 217-223.

79. Vigdorovich I. I. Similitudes in turbulent near-wall flows with injection and suction // Advances in Turbulence VIII. Proc. 8th Europ. Turbulence Conf. / Ed. C. Dopazo et al. Barcelona: CIMNE. 2000. P. 467-470.

80. Watts К. C., Brundrett E., Ntcoll W. В., Strong A. B. Design and construction of a wind tunnel for mass transfer studies in incompressible boundary layers // Trans. ASME. J. Fluids Eng. 1974. V. 96. № 4. P. 311316.

81. Watts К. C., Brundrett E. Turbulence and momentum properties of zero pressure gradient boundary layers with suction on a flat plate // Turbulent

82. Boundary Layers. Joint ASME-CSME Conference. Niagara Falls. N. Y., 1979. P. 145-151.

83. Watts К. C., Brundrett E. Experimental and predicted properties of suction induced asymptotic boundary layers // Turbulent Boundary Layers. Joint ASME-CSME Conference. Niagara Falls. N. Y., 1979. P. 159-164.

84. Winter K. G., Gaudet L. Turbulent boundary-layer studies at high Reynolds numbers between Mach M,^ = 0.2 and MQ0 = 2.8 // Aeronaut. Research Council R+M 3712. 1973.

85. Yajnik K. S. Asymptotic theory of turbulent shear flows //J. Fluid Mech. 1970. V. 42. Pt. 2. P. 411-427.

86. Zagarola M. V., Smits A. J., Orszag S. A., Yakhot V. Experiments in high Reynolds number turbulent pipe flow // AIAA Paper. 1996. N2 96-0654. 8 p.