Робастные методы в задачах гравиметрии и навигации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Невидомский, Алексей Юрьевич

• Невидомский, Алексей Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Невидомский, Алексей Юрьевич

Введение

Структура работы

Гравиметрия.

Задачи топопривязки и точной навигации.

Робастные методы в задачах гравиметрии и топопривязки

Обзор предшествующих работ.

1. Задача авиационной гравиметрии

1.1. Гравитационные аномалии

1.2. Средства авиационной гравиметрии.

1.3. Постановка задачи авиационной гравиметрии.

1.4. Методы, используемые при решении задачи авиационной гравиметрии

1.4.1. Методы оконного сглаживания.

1.4.2. Фильтр Калмана , Я : ; V: . \

1.4.3. Сглаживающие сплайны

2. Робастные методы

2.1. О существующих методах, порождающих 1± и сходные оценки.

2.1.1. Метод наименьших модулей

2.1.2. Статистические свойства выборочной медианы

2.1.3. Метод наименьших модулей и линейное программирование

2.1.4. Алгоритм Барродейла-Робертса.

2.1.5. Взвешенные квадратичные приближения

2.1.6. 1\ - оценка как предельный случай оценки Хьюбера

2.1.7. 1\-сплайны.

2.2. Робастная коррекция квадратичной оценки

2.3. Нелокальные сплайны и калмановское сглаживание

2.4. К вопросу о свойствах сглаживающего сплайна

3. Задача авиационной гравиметрии

3.1. Моделирование.

3.1.1. Модель гравитационной аномалии.

3.1.2. Недифференцирукяцая обработка гравиметрической информации

3.1.3. Сглаживающие робастные сплайны

3/2. Анализ целесообразности применения робастных методов в реальной задаче авиационной гравиметрии

3.2.1. Статистический анализ данных авиационной гравиметрии

3.2.2. Сравнение результатов применения различных алгоритмов.

4. Задачи топопривязки и точной навигации

4.1. Задача об использовании видеоизображений для навигации

4.1.1. Постановка задачи.

4.1.2. Уравнения изображения.

4.1.3. Задача о навигации зависшего вертолёта

4.2. Робастные методы в задаче о навигации вертолёта

5. БИНС

5.1. Задача об избыточной БИНС.

5.2. Анализ работы лазерных ДУС.

5.3. Обработка данных БИНС при избыточной системе датчиков.

5.3.1. БИНС с 4-мя ДУС.

5.3.2. БИНС с 5-ю и более ДУС.

5.4. Оценка вычислительной сложности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Робастные методы в задачах гравиметрии и навигации»

Структура работы

Настоящая работа выполнена автором под научным руководством профессора Н.А.Парусникова на базе и с использованием материалов научно-исследовательских работ по авиационной гравиметрии, ведущихся в Лаборатории Навигации и Управления Механико-Математического Факультета Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова. В частности, для проведения сравнительного анализа работы различных алгоритмов были использованы алгоритмы, любезно предоставленные автору В.В.Тихомировым, а также данные реальных авиагравиметрических измерений.

Целью работы являлись практическое получение робастных оценок (прежде всего, /х-оценок) и оценка целесообразности применения подобных оценок и алгоритмов в задачах авиационной гравиметрии и навигации.

Работа состоит из пяти глав, введения, заключения и двух приложений.

• «Введение», является кратким введением в историю возникновения, терминологию, проблематику и современное состояние рассматриваемых в работе задач. Также в этой главе расположен обзор имеющихся в работе библиографических ссылок.

• Первая глава содержит математическую постановку задачи авиационной гравиметрии, краткий обзор используемых в ней аппаратных средств, а также обзор математических методов, традиционно используемых для обработки результатов авиагравиметрических измерений: методов оконного сглаживания, сглаживающих сплайнов, а также оптимальных фильтрации и сглаживания по Калману.

• Вторая глава посвящена методам робас.тного оценивания, прежде всего, методам оценивания в норме 1\ и методам которые могут быть реализованы сходным с ними образом. Изложены основные статистические результаты, касающиеся оценок, минимизирующих норму В главе содержатся подробные алгоритмические описания методов, необходимые для практического вычисления таких оценок: алгоритм Барродейла-Робертса, позволяющий сократить вдвое размерность системы уравнений при точном решении задачи ¿х-оптимизации методом линейного программирования. алгоритм взвешенных квадратичных приближений, позволяющий с помошью квадратичных методов эффективно получать приближения решения задачи 1\.

Третья глава состоит из двух частей, содержащих результаты применения робастных алгоритмов, соответственно, в модельной и реальной задачах авиационной гравиметрии.

Для модельной задачи строится модель гравитационной аномалии, на которой испытываются различные варианты сглаживания предлагаемыми робастными нелокальными сплайнами.

Для реальных данных приводятся результаты статистического анализа работы струнного гравиметра и результаты применения /х-алгоритма при решении задачи гравиметрии локально-полиномиальным приближением в бегущем окне.

В четвёртой главе рассматривается задача о точной навигации висящего вертолёта по данным ведущейся с его борта видеосъёмки. Автоматизированная компьютерная обработка видеоизображений служит хорошим примером задачи с неизвестными статистическими свойствами ошибок измерения, что приводит к большим преимуществам применения робаст-ного ¿1 -метода. В главе приведены результаты компьютерного моделирования, подтвердившие существенное превосходство алгоритма /1 над аналогичным алгоритмом 12 с точки зрения надёжности.

В пятой главе рассматривается задача обработки данных, снимаемых с бесплатформенной инерциальной навигационной системы (БИНС), имеющей избыточную систему датчиков угловой скорости. Предлагается построение робастной оценки вектора мгновенной угловой скорости по избыточным данным путём решения переопределённой системы уравнений измерений в смысле наименьших модулей либо Хьюбера относительно проекций мгновенной угловой скорости на оси приборной системы координат. Оценивается сложность численной реализации метода для случаев использования методов линейного программирования и итерационного квадратичного.

• «Заключение», обобщает результаты применения автором алгоритмов робастного оценивания в рассмотренных задачах и содержит вывод о целесообразности их применения в реальных задачах гравиметрии и топопривязки.

• В приложении А содержатся некоторые детали численного интегрирования, применяемого в разделе 3.1.2

• В приложении В приведены результаты дополнительных исследований, проведённых автором по теме главы 4 с целью подтверждения возможности создания описываемой системы.

Гравиметрия

Задача разведки полезных ископаемых является столь же необходимой сколь и дорогостоящей операцией. Бурение пробной нефтяной скважины обходится в миллионы долларов, которые могут быть потрачены впустую в случае неудачи. При этом большинство доступных территорий хорошо изучены с точки зрения геологии, в том числе и с применением самых сложных и современных средств. В настоящее время поиск новых месторождений вынужденно ведётся в местах, где геологические исследования естественным образом затруднены: в труднодоступных местностях, районах крайнего севера, местах возможного залегания под морским дном - последнее относится прежде всего к прибрежным шельфам.

Одним из немногих методов разведки, который может быть применён в подобных случаях является гравиметрический, суть которого состоит в обнаружении гравитационных возмущений у поверхности Земли, вызываемых присутствием под поверхностью больших объемов, отличающихся по плотности от окружающих их пород. Прежде всего, так могут быть обнаружены залежи нефти и газа, имеющие характерные проявления на гравитационных картах.

До недавнего времени гравиметрические измерения проводились исключительно наземным способом, позволяющим непосредственно измерять значение силы тяжести в выбранной точке. Появившиеся не столь давно средства точной навигации, и в первую очередь средства спутниковой навигации, позволили поставить задачу о гравиметрических измерениях на подвижном основании. Первой была решена задача морской гравиметрии. Несмотря на достаточную точность для задач разведки (0.1 мГал), построение карт морским способом остаётся всё же весьма дорогостоящим и не удовлетворяет всем потребностям, что и заставило искать более дешевые способы. Одной из альтернатив стало проведение гравиметрических измерений с борта летательного аппарата.

Авиационная гравиметрия может стать одним из наиболее дешевых и практичных способов построения гравитационных карт. Однако для решения задачи авиационной гравиметрии необходимо преодолеть целый ряд трудностей, как технологических, так и методических. Траекторные перегрузки, возникающие при движении самолётов и вертолётов, имеют порядок сотен Гал (при проведении гравиметрических измерений их удаётся снизить до ста, в лучшем случае, до нескольких десятков Гал), точность же определения аномалии должна составлять менее 1 мГал. Единственной фирмой, преодолевшей все названные трудности и создавшей коммерческую авиагравиметрическую систему на базе вертолёта с точностью 1 мГал, является фирма Carson; на момент написания работы в нескольких местах ведутся интенсивные разработки с целью создания аналогичных и более точных систем. В Лаборатории Навигации и Управления Механико-Математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова разрабатываются алгоритмы обработки авиагравиметрических измерений, позволившие получить точность 0.7 мГал для измерений, ведущихся с борта самолёта.

С точки зрения механики задача авиационной гравиметрии представляет собой пример некорректной задачи определения сил, действующих на тело, по дискретным измерениям его траектории. Неоднозначность решения преодолевается явным или неявным заданием математической модели действующих сил, в результате чего задача становится задачей оценивания. Другой её особенностью является необходимость выделения малого сигнала на фоне больших шумов, в связи с чем становится весьма важным вопрос об оптимальной обработке данных с точки зрения статистики. Поскольку большинство методов, используемых на практике в задачах оценивания ориенировано на нормальное распределение ошибок измерений, возникает интерес к методам, предполагающим другие распределения ошибок, или, по крайней мере, нечувствительным к отклонениям от нормального их распределения.

Задачи топопривязки и точной навигации

С появлением спутниковых навигационных систем, в идеале позволяющих получить координаты антенны с точностью до миллиметров, несколько уменьшился спрос на другие методы топопривязки. Тем не менее, некоторые недостатки систем GPS, а именно: присущие GPS сбои, чувствительность к помехам и блокаде спутниковых сигналов, пока еще имеющее место загрубление точности в военных целях могут заставить использовать дублирующие средства навигации, особенно в системах с повышенными требованиями к безопасности.

В работе приведён алгоритм, позволяющий реализовать давно предложенную идею визуальной навигации, т.е. использования в навигационных целях видеосъёмки, ведущейся с подвижного объекта.

Проведение любых измерений на реальных фото- и видеоизображениях сопряжено со значительными трудностями прежде всего потому, что имеет, как правило, малую степень автоматизации. Как показало моделирование, использование рассматриваемых в работе робастных методов может позволить добиться устойчиво точной работы в полевых условиях и реальном времени алгоритмов, использующих в качестве измерений видеосъёмку.

Несмотря на то, что сама идея не является новой, автору не удалось найти сообщений о реализации подобных алгоритмов.

Применение робастных методов обработки статистической информации в задачах гравиметрии и топопривязки

Современные требования к точности решения навигационных и смежных с ними задач, в частности, задачи гравиметрии, крайне высоки, что приводит к необходимости использовать аппаратуру на пределе её возможностей. При этом стандартной задачей становится выделение полезных сигналов на фоне больших шумов.

Проблема зашумлённости измерений возникает при решении многих задач, связанных с обработкой данных. На практике для оценки динамических систем используются обычно два подхода -частотный подход и подход на основе модели. Первый приводит к различным разновидностям фильтрации, в частности, к методам оконного сглаживания. Второй, как правило, основывается на использовании метода наименьших квадратов и содержит в себе явное или неявное предположение об ошибках как реализации нормально распределенной случайной величины. К методам, так или иначе минимизирующим ¿2-норму можно отнести как упомянутое уже оконное сглаживание, так и разнообразные сплайны. Эффективно применяемый на практике для оценивания и сглаживания фильтр Калмана также базируется на методе наименьших квадратов и также предполагает нормальное распределение ошибок измерений и оценки. Непременным условием использования таких алгоритмов на практике является обязательная предварительная обработка измерений, направленная на удаления сбоев и прочих «странных» участков измерений, т.е. на приведение статистических свойств входных данных в минимальное соответствие с нормальным распределением, требующимся для работы квадратичных алгоритмов.

В настоящее время разработаны и существуют робастные методы оценки, при построении которых используются самые общие предположения о статистических свойствах обрабатываемых данных. Одними из наиболее устойчивых к статистическому загрязнению являются методы минимизирующие не квадраты, а модули невязок (так называемые методы ¿1-оценивания), наиболее работоспособные при измерениях, заведомо не распределённых по нормальному закону, какими являются и сбойные.

Прямое получение /1-оценок для больших объёмов измерений сопряжено с необходимостью решения задач линейного программирования большой размерности. В то же время в ряде работ показано, что приближения таких оценок могут быть получены, например, в результате итерационного процесса на основании последовательности ¿2-оценок (напр. см. [32]).

Обзор предшествующих работ

Несмотря на то, что первые гравиметрические исследования проводились еще в восемнадцатом веке, гравиметрия на подвижном основании начала своё существование лишь в начале двадцатого, когда и были осуществлены первые достаточно точные измерения силы тяжести с морских судов и подводных лодок. В 50-60 годы в различных странах на смену маятниковым были созданы гравиметры статического типа, позволившие проводить подобные измерения более просто и эффективно; с 60-х годов во всем мире проводятся систематические морские гравиметрические измерения.

Учебное пособие А.Г.Гайнанова и В.Л.Пантелеева [1] по морской гравиметрии, созданное её авторами на основе опыта гравиметрических работ и на базе лекций, читаемых студентам геологического и физического факультетов МГУ, содержит основы теории измерения силы тяжести на подвижном основании, теорию построения гравиметров, методики проведения морских гравиметрических исследований, обработки и интерпретации их результатов. Справочник [2] под редакцией А.Е.Мудрецовой и К.Е.Веселова создан в виде сборника статей различных авторов и также отражает наиболее современные представления о гравиметрии.

Вопреки ожиданиям проведение гравиметрических исследований с борта самолёта или вертолёта оказалось задачей гораздо более сложной для осуществления. Временные рамки, накладываемые движением летательных аппаратов оказались слишком жесткими и потребовали применения новых технологий и методов обработки. Первые не экспериментальные измерения стали проводиться только с конца 80-х годов и не приобрели еще массового характера. Тем не менее, в этой области ведётся интенсивная исследовательская работа, часть результатов которой становится известна. В списке литературы присутствуют три статьи, опубликованные в сборнике «Международного Симпозиума по Кинематическим системам в Геодезии, Геоматике и Навигации» . Две из них, [6] и [7], содержат интересный анализ эффективности и других аспектов применения частотных методов и методов оптимального оценивания динамических систем в задаче авиационной гравиметрии. Статья [8] близка к теме настоящей работы и содержит предложения по применению робастных алгоритмов в задаче оценивания динамических систем применительно к обработке данных спутниковых навигационных систем.

Собственно теоретические основы применяемых в гравиметрии методов и подходов представлены следующими работами:

• С номера [9] по [19] расположены ссылки, относящиеся к навигации, оптимальному оцениванию динамических систем, фильтру Калмана и его численным реализациям. Среди них находится ссылка [10] на книгу Л.Льюнга, ставшую признанным справочным пособием в своей области.

• В работе [21] содержится систематизация методов статистической обработки измерений, прежде всего различных видов сглаживания.

• Работа [22] содержит теорию и анализ оконного сглаживания.

• Работы с [23] по [31] относятся к теории сплайнов и соответствующим вычислительным методам. Среди них следует отметить основополагающую работу [31] по сглаживающим сплайнам, а также работы [29] и [30], в которых показана связь между сглаживающими сплайнами и алгоритмами оптимального сглаживания стохастических процессов типа фильтра Калмана.

Практическая обработка больших объёмов зашумлённых данных, пусть даже производимая в рамках теории оценивания, неизбежно приводит к использованию методов математической статистики (представлены в библиографии книгой [49]). Одним из насущнейших вопросов является вопрос о точности получаемых результатов и приемлемости в связи с этим применения тех или иных подходов. Любые статистические оценки неразрывно связаны с представлениями о статистических параметрах случайных величин, участвующих в данных измерений; при этом сведений о таких распределениях, как правило, нет, а при обработке они полагаются нормальными.

В 1964 году П.Хьюбером была опубликована работа, содержавшая теоретическое обоснование нового класса статистических оценок, названных робастными оценками. Созданный им подход базируется на предположении о том, что действительное распределение интересующей величины принадлежит лишь некоторому классу распределений - это позволяет строить оценки, оптимальные на целом классе распределений. На практике это означает появление алгоритмов, устойчивых, например, к отдельным выбросам в исходных данных. Соответствующая теория изложена в [45] (см. также [48]). Хьюбером рассматривается несколько классов оценок, обладающих свойством робастности, среди них для класса загрязнённых нормальных измерений могут быть построены ^ оценка и оценка с минимизируемой функцией специального вида (такую оценку принято связывать с именем самого Хьюбера); в книге присутствует и указание по способу возможного практического построения последней итерационным методом на основе метода наименьших квадратов.

Вопросы практического применения подобных оценок рассматриваются в книге [32], где приводится доказательство сходимости итерационной схемы и приведены некоторые численные результаты её применения. В книге [37], где была собрана информация обо всех существующих методах получения 1\-оценок, выделяется два класса таких методов: основанные на линейном программировании и итерационные, относительно последних заявлено, что сходимость их в окрестности решения может быть крайне медленной, а вычислительная сложность вполне сопоставима с методами линейного программирования, приведены ссылки на сравнительные работы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Невидомский, Алексей Юрьевич

Результаты работы алгоритма соответствуют ожидаемым:

• Применение метода квадратичных ^-приближений в случае нормально распределённых данных приводит к ухудшению точности (в 1.5-2 раза по сравнению с квадратичными методами)

• Благодаря устойчивости 1х алгоритмов к сбойным измерениям одиночные сбои в определении координат точек на кадре не приводят к ошибкам в результирующих значениях.

На двух приведённых графиках (22 и 23) отчётливо наблюдаются взаимные преимущества и недостатки двух методов. В таблице же 2 приведено сравнение реакции на одиночный сбой трёх алгоритмов: ^ ^ и реализованного с помощью квадратичных приближений алгоритма Хьюбера.

Рис. 22. Ошибка определения высоты по видеоизображению со сбойными данными. Квадратичный алгоритм.

Рис. 23. Ошибка определения высоты по видеоизображению со сбойными данными. Алгоритм 1\

Алгоритм 12 Алгоритм 1х Итерац.алгоритм Хьюбер

Точность, нормальный режим работы 4.1 см 7.3 см 4.8 см.

Выброс, сбой 1% 5.3 см.

Выброс, сбой 10% 11 см.

Выброс, сбой 100% 1.1 м. -

Заключение

В работе собраны методы, основанные на методе наименьших квадратов (¿2 методы), используемые при решении задач гравиметрии и навигации. Приведены основные теоретические результаты относительно 1\ методов, минимизирующих сумму модулей невязок, а также два основных способа получения /гоценок: с помощью линейного программирования и метода взвешенных ква-дратических приближений.

Рассмотрены и решены три задачи:

• об обработке данных авиационной гравиметрии нефифферен-цирующим образом при помощи нелокального сглаживающего сплайна

• о точной навигации зависшего вертолёта по данным видеосъемки, ведущейся с его борта

• об обработке избыточных данных бесплатформенной инер-циальной навигационной системы

При решении этих задач построены и применены алгоритмы, позволяющие получить оценку в норме /1 и использовать на практике её свойство робастности.

Построенные алгоритмы итерационного вида сформулированы в терминах стандартного квадратичного оценивателя - фильтра Калмана и могут быть простым образом встроены в большинство существующих навигационых алгоритмов, наделяя их свойством робастности и позволяя получать не только но и сходные с ними и обладающие гораздо лучшими практическими свойствами оценки Хьюбера.

Для всех задач проведено численное моделирование, которое

• подтвердило сходимость итерационного приближения к точному решению метода наименьших модулей в случае использования алгоритма типа калмановского сглаживателя на задачах большой размерности (было получено также и точное решение для таких задач, сходимость двух решений косвенно подтверждает правильность обоих)

• показало реальность использования ¿г и подобных ему методов в практических задачах

• позволило провести сравнение точности, вычислительной и практической точностной эффективности рассматриваемых методов со стандартными алгоритмами класса ¿2, в частности, продемонстрировало ухудшение получаемой точности решения на регулярных данных и выигрыш при обработке данных со сбоями.

Алгоритм ^-оценивания был также успешно испытан при обработке реальных данных авиационной гравиметрии. Будучи без особых затруднений проинтегрирован в существующее математическое обеспечение, он сумел продемонстрировать сравнимые с методом ¿2 результаты по косвенным оценкам точности.

Совокупностью приведённых результатов в работе продемонстрирована возможность практического использования 1\-методик в реальных задачах оценивания. В частности, наилучшим образом свойства ^-оценивателей проявляются в задачах, требующих повышенной надежности результатов или использующих данные с большой долей сбоев. Для задачи гравиметрии целесообразно использование оценок типа Хьюбера.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Невидомский, Алексей Юрьевич, 1999 год

1. V.Alexandrov, M.Ovchinnikov, D.Bugrov, S.Lemak, A.Nevidomsky Computer based system for satellite orientation quality testing. Second 1.ternational Aerospace Congress IAC-97, Moscow, Aug.31-Sep.5 1997

2. Ядерные методы и сглаживание.

3. В.Хардле Прикладная непараметрическая регрессия. Москва, Мир, 1993, 323-344

4. Cheng P.E. and Lin P.E. Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitsteorie und verwandte Gebiete. 57, 1981, 223-2331. Сплайны.

5. Лоусон Ч. Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. М., Наука, 1986, 230

6. Э.М. Галеев В.М. Тихомиров Краткий Курс теории экстремальных задач. Издательство Московского Университета, 1989, 200

7. B.C. Рябенький Введение в вычислительную математику. М.,изд. фирма "Физико-Математическая литература" , 1994, 333

8. Бахвалов Н.С. Жидков Н.П. Кобельков Г.М. Численные методы. М., Наука, 1987

9. Reinsch Н. Smoothing by spline functions. Numerische Mathematik, 1967, 10, 177-183

10. Wahba G. Improper priors, spline smoothing and the problem of guarding against model errors in regression, J. Roy. Statist. Soc., Ser.B, 1978, 40, 364-372

11. Kohn R. Ansley C. F. A new algorithm for spline smoothing based on smoothing a stochastic process. SIAM J. Sei. Stat. Comput. 1987, v.8, n.l, 33-48

12. Weinert H.L. Byrd R.H. Sihdu G.S. A stochastic framework for recursive computation of spline functions, Part II, Smoothing splines, J. Optim. Theory Appl., 1980, 30, 255-268

13. Schoenberg I.J. Contribution to the Problem of Approximation of Equidistant Data by Analytic Functions. Part A. Quart, of Appl. Math., Providence, 1946, vol. IV, No. 1, pp.45-1111. Методы и lp.

14. Мудров В.И Кушко В.JI. Метод наименьших модулей, М.:Знание 1971, 60

15. Мудров В.И Кушко В.Л. Методы обработки измерений. М.:Радио и Связь, 1983, 304

16. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. Пер. с фр., Москва, Наука, 1990, 488 стр.

17. R.Gonin, А.Н. Money A review of computational methods for solving the nonlinear ¿i-norm estimation problem, in Statistical Data Analysis Based on the ¿i-Norm and Related Methods, Y.Dodge (Editor), Elsevier Science Publishers B.V. (North-Holland), 1987

18. H. Ekblom The ¿i-Estimate as Limiting Case of an Lp- or Huber-Estimate. in Statistical Data Analysis Based on the ¿i-Norm and Related Methods, Y.Dodge (Editor), Elsevier Science Publishers B.V. (North-Holland), 1987

19. Bloomfield, Peter Least absolute deviations. Theory and algorithms. in Progress in probability and statistics, v.6 n.6 1983, 349

20. Armstrong R.D. Frome E.L. A Comparison of Two Algorithms for Absolute Deviation Curve Fitting. J. Amer. Statist. Assoc. 1976, 71, 328-330

21. Barrodale I. Roberts F.D.K. An Improved Algorithm for Discrete h Linear Approximation. SIAM J. Numer. Anal. 1973,10, 839-848

22. Barrodale I. Roberts F.D.K. Algorithm 748: Solution of an Overdetermined System of Equations in the l\ Norm. С ACM, 1974, 14, 319-320

23. Fair R.C. Peck J.K. A Note on an Iterative Technique for Absolute Deviations Curve Fitting. Technical Report, Department of Economics, Yale University, 1974

24. Gallant A.R. Gerig T.M. Comments on Computing Minimum Absolute Deviations Regression by Iterative Least Squares Regression and by Linear Programming Techniques

25. Dutter R. Robust Regression: Different Approaches to Numerical Solutions ang Algorithms. Technical Report 6, Fachgruppe f. Statist., Federal Institute of Technology, 19751. БИНС.

26. Панов А.П. Математические основы теории инерциальной навигации. Киев, Наукова Думка, 1995, 280

27. Робастные методы в статистике.

28. Хьюбер Дж.П. Робастность в статистике: Пер. с англ. М.Мир 1984 304 стр.

29. Хампель Ф., Рончетти Э., Рауссеу П., Штаэль В. Робастность в статистике. Подход на основе функций влияния. Москва, Мир, 1989, 512 стр.

30. Huber P.J. Robust Smoothing, in Launer R.L., Wilkinson G.N. (eds.) Robustness in Statistics, N.Y., Academic Press, 1979

31. Huber P.J. Robust Statistics. N.Y., John Wiley, 1981

32. Математические методы статистики 2-е изд., Москва, 1975