Вырожденные задачи оптимального управления и оценивания в робототехнике, навигации и аэрогравиметрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, доктор физико-математических наук Болотин, Юрий Владимирович

• Болотин, Юрий Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Болотин, Юрий Владимирович

Введение

1 Инвариантная стабилизация статически неуправляемых систем

1.1 Реализация движения с заданной синергией.

1.1.1 Определение статической управляемости.

1.1.2 Определение синергии.

1.1.3 Алгоритм реализации синергии.

1.1.4 Требование инвариантности условий устойчивости

1.1.5 Примеры условий инвариантности.

1.1.6 Инвариантный алгоритм реализации синергии.

1.2 Стабилизация статически неустойчивых походок шагающих роботов методом заданной синергии.

1.2.1 Уравнения движения.

1.2.2 Индекс статической неуправляемости походки.

1.2.3 Походки с индексом статической неуправляемости, равным единице.

1.2.4 Определение синергии по программной траектории

1.2.5 Условия геометрической устойчивости синергии.

1.2.6 Примеры геометрически устойчивых походок.

1.2.7 Построение периодической походки с заданной синергией

1.2.8 Реализация движения с заданной синергией.

1.3 Обсуждение результатов.

2 Оптимальная стабилизация статически управляемых систем

2.1 Задача инвариантной оптимальной стабилизации статически управляемых систем с переменными связями

2.1.1 Постановка задачи инвариантной стабилизации.

2.1.2 Условия оптимальности распределения усилий.

2.1.3 Условия инвариантности.

2.1.4 Условия асимптотически оптимальной инвариантной стабилизации: случай быстрого выхода на синергию.

2.1.5 Условия асимптотически оптимальной инвариантной стабилизации: случай медленного выхода на синергию.

2.1.6 Замечания.

2.2 Задача управления многоногим шагающим аппаратом.

2.2.1 Общий критерий оптимального распределения усилий

2.2.2 Минимизация квадратичного критерия качества распределения опорных реакций.

2.2.3 Минимизация максимального значения опорных реакций

2.2.4 Реализация условий непроскальзывания Кулона в точках опоры.

2.3 Гипотеза инвариантности Фельдмана в биомеханике.

2.3.1 Постановка задачи оптимального инвариантного распределения усилий.

2.3.2 Решение задачи оптимального распределения усилий

2.3.3 Стретч-функция Фельдмана.

2.4 Обсуждение результатов.

3 Оптимизация робототехнических систем по критерию минимума биомеханической работы

3.1 Общие свойства задачи минимизации энергозатрат.

3.1.1 Определение функционала биомеханической работы.

3.1.2 Оценки энергозатрат снизу.

3.1.3 Энергетически оптимальные траектории статически управляемых систем.

3.2 Оптимизация конструкции и траекторий движения манипулятора

3.2.1 Задача минимизации энергозатрат при перемещении грузов

3.2.2 Оптимальные траектории движения манипулятора

3.2.3 Условия оптимальности конструкции манипулятора

3.2.4 О корректности предельного перехода к модели манипулятора с невесомыми звеньями.

3.2.5 Оптимизация конструкции манипулятора с невесомыми звеньями

3.3 Энергетически оптимальное управление двуногой ходьбой

3.3.1 Постановка задачи оптимизации ходьбы и бега.

3.3.2 Необходимые условия экстремума.

3.3.3 Классификация участков траекторий.ИЗ

3.3.4 Случай жестких траекторий.

3.3.5 Классификация типов походок.

3.3.6 Результаты численных расчетов.

3.4 Модельные оценки энергетики двуногой ходьбы и бега.

3.4.1 Энергетика бега.

3.4.2 Энергетика ходьбы с заданной высотой центра масс.

3.4.3 Маятниковый способ ходьбы.

3.4.4 Сравнение энергетики ходьбы и бега.

3.4.5 Учет энергетики переносимой ноги.

3.4.6 Некоторые численные оценки.

3.4.7 О точности построенной оценки энергозатрат.

3.4.8 Об учете ударных эффектов.

3.5 Обсуждение результатов.

4 Статистические критерии и алгоритмы оценивания по угловым измерениям

4.1 Сравнение некоторых подходов.

4.1.1 Анализ наблюдаемости цели по угловым измерениям.

4.1.2 Методы оценивания по угловым измерениям.

4.2 Систематические ошибки оценивания координат по данным угловых измерений.

4.2.1 Модель измерений при наличии погрешностей.

4.2.2 Оценивание в декартовых координатах.

4.2.3 Оценивание в угловых переменных.

4.3 Алгоритмы решения вырожденных задач оценивания по угловым измерениям.

4.3.1 Уравнения динамики и измерений.

4.3.2 Анализ наблюдаемости.

4.3.3 Оценивание траекторий.

4.3.4 Редуцированная задача оценивания.

4.3.5 Результаты моделирования.

4.4 Обсуждение результатов.

5 Условия вырожденности задачи оценивания по угловым измерениям

5.1 Наблюдаемость механических систем по угловым измерениям

5.1.1 Проективная наблюдаемость механических систем.

5.1.2 Условия проективной наблюдаемости обш,ей линейной системы.

5.1.3 Обобпдение на случай нескольких проективных измерений

5.2 Сферическая наблюдаемость и гладкость границы области достижимости

5.2.1 Связь геометрии области достижимости и сферической наблюдаемости.

5.2.2 Связь сферической и проективной наблюдаемости.

5.2.3 Структура оптимального управления.

5.3 Обсуждение результатов.

6 Методы решения задачи авиационной гравиметрии

6.1 Задача аэрогравиметрии.

6.1.1 Современное состояние аэрогравиметрии.

6.1.2 Описание задачи аэрогравиметрии.

6.2 Модели гравитационного поля.

6.2.1 Определение гравитационной аномалии.

6.2.2 Задача редукции аномалии.

6.3 Стохастическое оценивание аномалии.

6.3.1 Стохастическая модель аномалий.

6.3.2 Стохастическая редукция аномалии.

6.4 Задача оценивания аномалии на галсе полета.

6.4.1 Спектральная плотность аномалии на галсе.

6.4.2 Идеализированное уравнение измерений.

6.4.3 Покомпонентное оценивание поля.

6.4.4 Совместное оценивание компонент поля.

6.5 Некоторые стохастические модели аномалии.

6.5.1 Гауссова модель.

6.5.2 Модель Шварца.

6.5.3 Многослойная массовая модель.

6.5.4 Марковская модель.

6.6 Основное уравнение аэрогравиметрии.

6.6.1 Вывод основного уравнения аэрогравиметрии.

6.6.2 Основное уравнение скалярной аэрогравимерии.

6.6.3 Решение основного уравнения аэрогравиметрии.

6.7 Идентификация динамической модели гравиметра.

6.7.1 Задача определения механических параметров.

6.7.2 Алгоритм адаптивной идентификации.

6.7.3 Передаточная функция гравиметра.

6.8 Построение карт аномалий.

6.8.1 Построение карт аномалий в частотной области.

6.8.2 Согласование галсов в пространственной области.

6.8.3 Построение карт аномалий в пространственной области

6.9 Обсуждение результатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вырожденные задачи оптимального управления и оценивания в робототехнике, навигации и аэрогравиметрии»

в диссертации изучаются вырожденные задачи оптимального управления и оценивания траекторий движения механических систем, возникающие в робототехнике, навигации и аэрогравиметрии. Под вырожденностью здесь понимается свойство либо неединственности решения, либо его плохой обусловленности (высокой чувствительности к изменению параметров или начальных условий). Вырожденные задачи называются также некорректно поставленными. Вырожденные задачи естественно возникают в различных приложениях теории управления, в частности в робототехнике, где естественно формулируемые критерии оптимальности оставляют свободу при проектировании алгоритмов управления. Вырожденные задачи оценивания часто называются не(вполне) наблюдаемыми. Среди вырожденных задач оценивания можно упомянуть, например, различные задачи оценивания сил по движению, включающие операцию дифференцирования. Одной из таких задач является задача авиационной гравиметрии. Многие задачи инерциальной и корректируемой навигации также являются не вполне наблюдаемыми.

Для решения вырожденных задач не применимы стандартные методы оптимального управления и оценивания, и само понятие решения нуждается в уточнении. Обычно при решении вырожденных (некорректно поставленных) задач используют методы, основанные на теории регуляризации задач А.Н. Тихонова, то есть возмущения функционала качества и приближенного приведения задачи к невырожденной. При этом построенное решение определяется вводимым возмущением, что не всегда удобно. Математически близким к методу регуляризации подходом является постановка задачи минимизация на области неединственности решения некоторого дополнительного критерия качества. Если последний критерий не является атрибутом задачи, его минимизация может привести к построению решения с нежелательными свойствами. Поэтому актуальной является проблема разработки методов решения вырожденных задач, не связанных с изменением критерия качества.

Вырожденные задачи оптимального управления и оценивания рассматривались многими авторами. Упомянем в этой связи имена А.Н. Тихонова, H.A. Па-русникова, Е.А. Мудрецовой, K.P. Schwarz, A.N. Payne.

Как и всякие системы с особенностями, вырожденные системы трудно поддаются обобщению. В диссертации выделено и исследовано несколько достаточно общих классов вырожденных задач, относящихся к робототехнике, навигации и аэрогравиметрии.

К числу рассмотренных практических задач относятся задача стабилизации статически неустойчивых локомоционных роботов, задача обеспечения непроскальзывания в точках контакта конечностей робота с опорой, задача энергетической оптимизации конструкции и траекторий движения манипулятора с гидроприводом, задача оценивания траекторий движущихся объектов по угловым измерениям, задача определения аномального гравитационного поля Земли по измерениям удельной силы с борта летательного аппарата.

Методы решения вырожденных задач, предлагаемые в диссертации, основаны на включении задачи в некоторое семейство задач, и поиске алгоритма управления, оптимальность которого обеспечивается одновременно для всех задач семейства. Указанные алгоритмы называются в диссертации инвариантными. Достоинства инвариантных алгоритмов проявляются как в расширении области их применимости в сравнении с алгоритмами, оптимальными для одной задачи. В качестве параметризации семейства задач могут рассматриваться, например, параметры системы, начальные условия, или внешние возмущения.

Понятие вырожденной задачи оптимального управления можно ввести формально как задачи f{u) -4 min, и EU с неединственным решением. Инвариантным оптимальным алгоритмом управления является алгоритм, обеспечивающего оптимальность для всех задач из некоторого семейства. А именно, предлагается вместо вырожденной задачи решать задачу поиска такого ад* € W, что луЕУ: f{u,,y) = min f{u,y) (1)

Множество У выбирается настолько большим, чтобы сформулированная задача имела единственное решение.

Здесь следует отметить, что понятие инвариантного алгоритма управления было введено в середине 20 века Б.И. Петровым в связи с задачей построения систем управления летательными аппаратами, как закона обратной связи, приводящего управляемую систему к системе, определенные свойства которой не зависят от действующих на систему возмущений, и в таком понимании в дальнейшем изучалось (и изучается) многими авторами. Это направление также рассматривается в диссертации.

Целесообразность предлагаемой постановки задачи связана с наличием естественного семейства задач, на котором существует инвариантный оптимальный алгоритм управления. В диссертации показано, что такие семейства существуют для ряда важных вырожденных прикладных задач управления. В качестве приложений рассмотрены задачи стабилизации статически неустойчивых локомо-ционных роботов, оптимального распределения усилий роботов - манипуляторов, локомоционных роботов и мышц биомеханических систем, оптимизации энергозатрат биомеханических систем.

Вырожденные задачи оптимального оценивания в теории навигации называются также ненаблюдаемыми. В диссертации показано, что в некоторых вырожденных задачах оптимального оценивания, в которых траектория определяется по измерениям неоднозначно, целесообразно рассматривать задачу описания всего множества траекторий с имеющимся набором измерений. Подобное описание несет больше информации, чем выделение единственной оптимальной траектории.

Заметим, что в теории оценивания известны методы, основанные на декомпозиции - явном выделении переменных, по которым задача регулярна, и решение задачи в этих переменных. К таким методам относятся, например, методы декомпозиции линейных задач оценивания на наблюдаемую и ненаблюдаемую подсистемы по мерам оцениваемости, разработанные H.A. Парусниковым. Результаты диссертации, посвяш;енные вырожденной задаче оценивания по угловым измерениям, сводятся к постановке (1) и распостраняют результаты H.A. Парусникова на специальный нелинейный случай.

В диссертации рассмотрена также задача аэрогравиметрии, то есть оценивания аномалии гравитационного поля Земли по измерениям ускорения летательного аппарата. Эта задача является вырожденной. Специфика задачи состоит в том, что она имеет бесконечное число степеней свободы. Задача решена методом регуляризации А.Н. Тихонова, в его стохастической интерпретации.

В полученных результатах автор опирался на работы следующих авторов.

В области теории жесткого управления: А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, И.В. Новожилов, Ю.Г. Мартыненко, А.И. Кобрин, Е.С. Пятницкий.

В области робототехники: H.A. Бернштейн, Д.Е. Охоцимский, А.К. Платонов, И.В. Новожилов, В.В. Белецкий, В.В. Лапшин, A.M. Формальский, Д.Е. Девянин, A.B. Ленский.

В области теории оценивания: H.A. Парусников, А.И. Овсиевич, В. De Moor, S. Van Haffel, V.J. Aidala, A.N. Payne, F.D. Gorecki, J.L. Speyer.

В области аэрогравиметрии: А.Ю. Ишлинский, H.A. Парусников, Е.А. Мудре-цова, K.P. Schwarz, М.Е. Halliday, В. Торге.

Диссертация состоит из шести глав и двух приложений.

В первых трех главах рассматривается задача управления механическими системами

Здесь X — п-мерный вектор координат, Ь{х, х) = Т{х, x) — U{x) — функция Лагран-жа, Т{х,х) — квадратичная по скоростям кинетическая энергия, U{x) — потенциальная энергия (включающая энергию пассивных управляющих сил), Qi,., Qm — активные управляющие силы, qi(x),.,qmiA) " координаты управляющих приводов.

В первой главе рассматриваются т.н. статически неуправляемые системы, для которых число т' = rank (dq/dx) независимых управлений меньше числа и степеней свободы (в противном случае система называется статически управляемой). Для статически неуправляемых систем не всякое программное движение является реализуемым. Поэтому задача построения программного движения, удовлетворяющего заданным условиям периодичности или выхода на требуемое терминальное многообразие, включает в себя решение краевой задачи. Для систем, функционирующих в изменяющихся внешних условиях (например, для мобильных роботов), это приводит к необходимости решать краевые задачи в режиме реального времени, что не всегда осуществимо на практике. Предлагаемый в первой главе подход к решению подобных задач основан на асимптотической декомпозиции системы (2) на статически управляемую и неуправляемую подсистемы.

Данный подход основан на понятии синергии, введенном H.A. Бернштейном применительно к биомеханике человека понятии синергии как некоторый класдЬдЬ dtdx дх ллdqi, л А ' д х

А А са движений. Бернштейн предположил, что множество движений человека представляет собой некую иерархическую структуру, где различные классы движений являются подмножествами некоторых более широких классов.

Математический аппарат управления, позволяющий реализовать движение с заданной синергией, предложен И.В.Новожиловым. Аппарат основан на методах жесткого управления, введенных И.В.Новожиловым применительно к управлению гироскопическими системами, и основанных на теории сингулярно возмущенных задач А.Н.Тихонова и А.Б. Васильевой. Этот аппарат получил название метод заданной синергии. Дальнейшее развитие методы жесткого управления и заданной синергии получил в работах И.В. Новожилова, Ю.Г. Мартыненко, А.И. Кобрина, В.В. Калинина, СМ. Геращенко и др.

В первой главе ставится и решается задача построения т.н. инвариантных алгоритмов реализации синергии. Инвариантность здесь означает применимость алгоритма к задаче реализации любой наперед заданной синергии из определенного класса.

Движение рассматривается в ограниченной области В конфигурационного пространства. Вводится определение синергии как многообразия Q размерности I > п — т' в В, по которому предписано (и возможно) движение. Алгоритм управления строится в виде жесткой нелинейной обратной связи по отклонениям от синергии. Установлены достаточные условия на характер обратной связи, при которых алгоритм асимптотически обеспечивает реализацию заданной синергии. Эти условия доказаны методами теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений А.Н. Тихонова и А.Б. Васильевой. Формулировка и доказательство указанных результатов потребовало анализа движения в трех разных масштабах фазовых переменных, что является новым подходом в теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений.

Далее рассмотрен вопрос о том, когда существует инвариантный алгоритм реализации синергии, для которого указанные условия выполнены независимо от выбора синергии. Показано, что для существования инвариантного алгоритма необходимо наличие в системе так называемых инвариантных координат Si{x),.,si{x), удовлетворяющих дифференциальному уравнению dsi{x) т -1 г dq

4 О, i = 1,.,1 (3) дх дхА дх

Кроме того, необходима возможность параметризации синергии О инвариантными координатами, то есть задания синергии уравнением д{х) = qd{s{x)), где qd{s) -некоторые гладкие функции переменных з{х) = {з1{х),., 31{х)). Функции §¿(5) называются программными значениями координат приводов. Заметим, что эта параметризация является избыточной.

Использование термина "инвариантные координаты" связано с тем, что при выполнении условий (3) производные функций 8г{х) в силу системы (2) не зависит явно от управлений. Показано, что условия существования инвариантных координат определяются условиями интегрируемости Фробениуса специальной дифференциальной формы на фазовом пространстве. Приведены примеры задач робототехники, для которых эти условия выполнены.

Инвариантный алгоритм реализации синергии построен в виде градиента некоторой строго выпуклой по 9 Е К"* силовой функции Ш{9, х) в = -1л-' Ых){д - д,) + Г2{х){д - q,) (4)

Здесь Ti{x), Г2{х) - весовые функции, - "большой" коэффициент жесткости управления. Предполагается, что функция W{9,x) для некоторых констант X > 1, Со > О удовлетворяет при fj, О асимптотическому соотношению \^'^+'^W{iJ,~'^9,x) - Woo{9,x)\\ < Co//''+S где Woo{9,x) - непрерывно дифференцируемая строго выпуклая функция, однородная по 9 степени х+1.

Теорема 1 Пусть W(9, х), Woo{9, х) - непрерывно дифференцируемые строго выпуклые функции 9, и пусть для некоторых констант Ci > О, С2 > О в области Б выполнены неравенства Ti{x) > с\, Г2{х) > С2. Тогда алгоритм (4) является инвариантным алгоритмом реализации синергии, то есть обеспечивает для любой синергии экспоненциальный выход на многообразие Q с характерным временем cA/ci и с точностью порядка ¡1.

Результаты теоремы 1 справедливы и в случае, если в (4) добавить непотенциальные силы, ограниченные вместе со своими вторыми производными.

В результате декомпозиции, проведенной описанным способом, система (4) сводится к системе меньшей размерности, описывающей движение вдоль синергии, и к задаче стабилизации этой системы. Указанная задача рассмотрена в диссертации в применении к задаче управления статически неустойчивыми походками шагающих аппаратов. В этом случае синергия задается как кусочно - гладкая кривая или поверхность Q = (JpAp? где поверхность Qp соответствует движению в фиксированной опорной фазе. Показано, что при использовании инвариантного алгоритма реализации синергии Qp при смене опорной фазы в системе возникают переходные процессы, заканчивающиеся выходом системы на новую синергию Ap+i. В асимптотическом при О приближении переход с многообразия Qp на многообразие QpjAi описывается методом точечных отображений как динамическая система в дискретном времени р = 1,2,— Введено понятие геометрической устойчивости синергии ходьбы, как требования устойчивости соответствующего смене опорной фазы точечного отображения. При выполнении условия устойчивости синергии движение шагающего аппарата вдоль синергии стремится к периодическому.

В случае так называемых походок с индексом статической неуправляемости I = п — т\ равным единице (ходьба двуногих роботов, рысь, иноходь четырех-ногогих роботов), получены необходимые и достаточные условия геометрической устойчивости синергии. Показано, что ходьба человека удовлетворяет этим условиям. Заметим, что условия устойчивости ходьбы, близкие к установленным в диссертации, получены также A.M. Формальским при исследовании некоторых специальных систем с ударами.

В приложении АЛ рассмотрены результаты численного моделирования электромеханического двуногого шагающего аппарата с электродвигателями постоянного тока, сконструированного в Институте механики МГУ, и алгоритмом управления, основанном на описанной методике. И

Во второй главе рассматривается задача оптимального распределения усилий при движении статически управляемых систем. Эта задача возникает при управлении роботами-манипуляторами с пальцевыми схватами, многоногими и1агаюш;ими аппаратами. Интерес к этой задаче связан также с применениями в биомеханике.

Задача распределения усилий применительно к роботам-манипуляторам рассматривалась в работах F. Pheiffer, Y. Chen, М. Raibert, Д.М. Гориневского, А.Ю. Шнейдера и др. Применительно к управлению движением шагающих аппаратов эта задача рассматривалась в работах Е.А. Девянина, A.B. Ленского, Ю.Ф. Голубева, И.Г. Колпаковой, Д.Е. Охоцимского, А.К. Платонова, В.В. Лапшина.

В большинстве работ по задаче распределения усилий задача решается или с использованием датчиков усилий в точках контакта, или вычислительными методами, при использовании которых качество работы алгоритма во многом зависит от быстродействия управляющего компьютера.

Предлагаемый в данной главе подход к задаче оптимального распределения усилий основан на требовании инвариантности алгоритма оптимального распределения усилий к изменению условий контакта с внешними телами и выбору программного движения. Существование такого алгоритма доказано в асимптотическом смысле, при стремлении параметра жесткости управления к бесконечности.

Математической основой подхода является принцип двойственности выпуклых задач оптимизации. Показано, что вместо решения задачи минимизации функционала качества распределения усилий можно сформировать управляющие воздействия как градиент специальной силовой функции. Тогда оптимальное распределение усилий обеспечивается автоматически, за счет свойств уравнений Лагранжа, описывающих движение.

Рассматривается движение статически управляемых (в смысле определения из главы 1) механических систем (4) при движении в некоторой ограниченной области В конфигурационного пространства. Предполагается, что на систему наложены голономные связи ri{x) = 0,.,rk{x) = 0. Функции г{х) = (ri(a;),., гл(ж)) произвольны в ограниченном подмножестве TZ пространства дважды непрерывно дифференцируемых функций х. Предполагается, что задано семейство синергии движения, определяемых соотношениями ri{x,t) = О,. ,г„й(Ж,л) = О, to <t < ti. Функции T{x,t) = (ri(x,t),. .r„fc(a;,t)) произвольны в ограниченном подмножестве V пространства дважды непрерывно дифференцируемых функций X, t. Предполагается также, что синергии согласованы со связями, то есть для любой связи г(-) е 1Z и синергии Г(-) 6 V система уравнений r{x,t) = О, г{х) = О однозначно разрешима относительно х.

Уравнения синергии записываются в виде системы уравнений х — X(i{x,t) = О, где величины Xd{x,t) называются программными значениями координат. Заметим, что уравнения последней системы функционально зависимы.

Ставится задача построения алгоритма реализации синергии из V, явно не зависящего от наложенной на систему связи из 7?. и для любой такой связи обеспечивающего при движении x{t) оптимальное распределение усилий приводов по заданному выпуклому по Q критерию F{Q,x):

F{Q{t),x{t)) = min F{Q,x{t)), to<t<ti

Такой закон управления называется инвариантным (к наложенной связи и выбору программного режима) оптимальным алгоритмом стабилизации. Задача решена методами выпуклого анализа и теории сингулярно возмуш,енных систем. При этом используются результаты, доказанные в главе 1 (теорема 1). Показано, что инвариантный алгоритм стабилизации суш;ествует в асимптотическом смысле (при большой жесткости управления) и может быть сформирован в виде

Здесь А1 = /х~''(д — qd), С2 = А*~А(9 — Qd) ~ рассогласования координат и скоростей приводов, qd = q{xd{x,t)) - программные значения координат приводов, У(9,х)

- функция сопряженных к Q = {Qi,., Qm) переменных в = (А1,. •., 9т), двойственная по Лежандру к по Q: У(9,х) = maxg - V > О -параметр, характеризующий скорость выхода на программное движение, Т2{х) > О

- скалярная функция, к > О- скалярный множитель. Рассмотрены случаи и — 1,2. При и = 1 основной результат формируется следующим образом.

Теорема 2 Пусть функция F{Q, х) выпукла по Q; функция У(9, х) непрерывно дифференцируема и строго выпукла по 9 на подпространстве существуют такие константы С > 0,С2 > О, что Т2{х) > а, к{х) > С2 при X е В. Пусть, кроме того, для каждой связи из Т2 и синергии из V существует хотя бы один закон управления, обеспечивающий движение вдоль синергии, при котором критерий качества F конечен для всех to < t < П. Тогда формулы (5) при малых определяют в В асимптотически оптимальный инвариантный алгоритм стабилизации.

Построенный алгоритм обладает свойствами децентрализованности, то есть если критерий качества представим в виде F{Q,x) = Fi{Qi,х)-\-F'{Q2, • • • ^т,х), то управление приводами qi и q2,. т может осуществляться независимо.

Приведены применения к задаче управления статически устойчивыми походками шагающих аппаратов (в частности, для предотвращения проскальзывания конечностей при кулоновом трении). Заметим, что другой подход к задаче распределения усилий в условиях кулонова трения, основанный на сведении задачи к задаче линейного программирования, рассмотрен Ю.Ф. Голубевым.

В приложении А.2 приведена интерпретация гипотезы А.Г. Фельдмана и И.В. Новожилова, описывающей систему управления мышцами человека, как алгоритма оптимального инвариантного распределения усилий по некоторому специальному критерию.

В третьей главе для системы (2) рассматривается задача минимизации т.н. биомеханического функционала

Q = %,

А = А

6+Т2(х)6)

5) Ч

У = 1 W{t)dt, W(t) т

О^Шг)

6)

1о i=l

Здесь a{w) — кусочно-гладкая функция, определенная формулами a{w) = a+w,w > 0; a{w) = a-w,w < 0. Предполагается, что функция a{w) выпукла, т.е. а+ > О, 0;+ > о;. Величина W{t) называется биомеханической мощностью. На максимальную мощность наложены ограничения <W{t) < W+, где W < W+

- некоторые константы.

Функционал (6) приближенно описывает энергозатраты как человека и животных (R. Alexander), так и робототехнических систем с объемно - дроссельным гидроприводом (Э. Льюис).

Задача минимизации функционала биомеханических энергозатрат была поставлена биомеханиками (СЮ. Алешинский, В.М. Зациорский, R. Alexander). Как задача теоретической механики, задача была впервые поставлена в работах В.В.Белецкого. В дальнейшем задача исследовалась применительно к двуногим и многоногим шагающим аппаратам многими авторами (В.В. Белецкий, В.Е. Бер-бюк, В.А. Самсонов, Д.Е. Охоцимский, А.К. Платонов, В.В. Лапшин). Отметим, что в работах указанных авторов использовался метод численной параметрической оптимизации. Причина - трудность рассматриваемой задачи, связанная с негладкостью и невыпуклостью функционала биомеханических энергозатрат.

В данной главе проводится теоретическое исследование задачи минимизации функционала биомеханических энергозатрат. Показано, что этот функционал обладает рядом интересных свойств вырожденности, позволяющих, в частности, поставить и решить задачу оптимизации конструкции для целого класса программных движений. Приводятся применения к задаче управления роботом - манипулятором и при управлении динамическими походками шагающих механизмов.

Подинтегральная функция в (6) является нелинейной, негладкой в точках, где QiQi = О, и невыпуклой, так что задача оптимизации (6) является весьма нетривиальной даже для простейших механических систем. Первые результаты по оптимизации этого функционала (в случае о; = -« + ) получены В.В. Белецким методом параметрической численной оптимизации.

В диссертации впервые найдено теоретическое решение задачи. Для этого наряду с задачей минимизации функционала (6) рассматривается задача минимизации вспомогательного функционала

JN= a{N{t))dt, N = J2QiQi при ограничениях W- < a{N{t)) < Траектории, минимизирующие J', названы квазиоптимальными.

Введено следующее определение. Траекториями наибыстрейшего разгона и торможения называются траектории, состоящие из трех участков: разгона /+, где a{N{t)) = W+, движения Р, где N{t) = О, и торможения где a{N{t)) = WA. Траекториям, состоящим из указанных участков, сопоставлена символическая последовательность . IAPI" ., называемая типом траектории.

Полное решение задачи получено для случая статически управляемых систем, в которых число т независимых приводов не меньше числа п степеней свободы. Показано, для таких систем квазиоптимальная траектория является или траекторией наибыстрейшего разгона и торможения типов Z+P/", I~PIA, или неединственной. В последнем случае функционал JN обладает свойством вырожденности - его величина локально не зависит от траектории движения.

Следующее утверждение устанавливает связь квазиоптимальных траекторий с траекториями экстремального быстродействия для статически управляемых систем. Пусть Л'Л*(А) - зависимость мощности от времени на квазиоптимальной траектории.

Теорема 3 Если максимум и минимум энергии на квазиоптимальной траектории достигается во внутренней точке отрезка №< I < й, то траектория является траекторией наибыстрейшего разгона - торможения типа ГАР1~ или 1-р1+А причем управляюище силы на ней определяются формулами ди дх' г = 1'.' т (7)

На участке движения с постоянной энергией квазиоптимальная траектория совпадает с отрезком брахистохроны. Если же этот участок полностью отсутствует, то квазиоптимальная траектория совпадает с траекторией максимального быстродействия с ограничениями < а{Ы) < ИА+.

Затем исследуется задача энергетической оптимизации конструкции приводов и траекторий движения гидравлического манипулятора, для которого число степеней свободы и совпадает с числом управляющих приводов т. Под конструкцией приводов при этом понимается зависимость координат приводов (ж),., {х) от обобщенных координат х. Возможность решения поставленной задачи напрямую связана со свойством вырожденности биомеханического функционала, благодаря которому одна и та же конструкция оказывается оптимальна для многих траекторий.

Теорема 4 Энергетически оптимальными траекториями движения манипулятора являются траектории наибыстрейшего разгона и торможения 1АР 1~, а оптимальными схемами подключения приводов - такие схемы, что на траектории наибыстрейшего разгона и торможения в каждый момент времени механические мощности приводов Qiqul < г < п имеют одинаковые знаки.

Рассмотрена задача оптимизации траекторий и конструкции сборочного манипулятора, переносящего различные предметы внутри некоторой рабочей зоны В из начальной точки гг+ в конечную точку ж. Таким образом, семейство задач 3А представляет собой множество пар точек рабочей зоны В. Используя свойство вырожденности функционала энергозатрат, показано, что в определенных предположениях задача оптимизации конструкции имеет решение, общее для всех пар точек {х-,х+) е В.

Заметим, что одно из найденных условий оптимальности конструкции манипулятора - активность при движениях лишь части приводов - для биомеханических систем согласуется с предложенным И.В. Новожиловым описанием кинематики мышц человека в рамках так называемой глобальной сгибательной синергии. в качестве примера решены задачи оптимизации конструкции манипулятора, действуюш;его в невесомости, и с малоинерционными звеньями. Описан предельный переход при стремлении массы звеньев к нулю. Приведена полная классификация конструкций манипуляторов с малоинерционными звеньями.

Далее в третьей главе рассмотрена модельная задача оптимизации биомеханического функционала для статически неуправляемых и статически неустойчивых систем при построении энергетически оптимальных одноопорных походок двуногого шагаюп1,его аппарата с точечными стопами. Задача решена с использованием методов принципа максимума Л.С. Понтрягина при наличии фазовых ограничений, разработанных А.Я. Дубовицким и A.A. Милютиным. Из-за особенности по-динтегральной функции в точках, где qi = О, применение этих методов потребовало разбиения траектории на отрезки, где qi сохраняют знак для всех 1 < г < т, и исследования условий оптимальности отдельно на этих отрезках и в точках стыка этих отрезков. Доказано, что для шагаюш;его аппарата, в отличие от манипулятора, помимо участков типов /+,/"", Р, возможен еш;е участок типа S - движения на выпрямленной опорной конечности (по фазовому ограничению). Получена сле-дуюп];ая классификация оптимальных одноопорных походок (участки траектории нумеруются от середины к концу опорной фазы)

Теорема 5 Возможны следующие типы энергетически оптимальных походок

5/+ — ходьба

5/ + Р — медленный бег

SPI^P, SPI-I^P, PI^P — медленный бег с разгрузкой 1ЛР — быстрый бег

Тем самым подтверждена гипотеза В.В. Белецкого, что "естественные" походки человека являются энергетически оптимальными. Технически громоздкая часть доказательства теоремы вынесена в приложение А.З.

Приведенная теорема сводит задачу оптимизации энергетики ходьбы к задаче минимизации функции четырех переменных. Методом численной минимизации показано, что один из типов походок, приведенных в теореме, а именно SPI~I'AP — является неоптимальным. Описана бифуркация при переходе от одного типа походок к другому с увеличением средней скорости движения. Эта бифуркация относится к типу сборки Уитни. Методом численного моделирования построена зависимость энергозатрат от параметров движения — скорости и длины шага.

С учетом полученной классификации оптимальных походок предложена методика приближенной оценки энергозатрат и выбора типа оптимальной походки, основанные на анализе безразмерных характеристик движения - числа Фруда V/y/Lg iy - средняя скорость движения, L - длина шага) и относительной массы конечностей. Проведено сравнение величины энергозатрат для походок, рассмотренных разными авторами. Последний результат получен совместно с В.В. Белецким.

В четвертой и пятой главах рассмотрены задачи оценивания траекторий по угловым измерениям.

Необходимость оценивания параметров движения объекта по результатам угловых измерений возникает в различных областях астрономии и навигации. Угловые измерения широко применяются в задачах самонаведения. Они имеют два важных преимуш;ества - простота аппаратной реализации и пассивность, позволяюш;ая осуществлять скрытое наблюдение. Кроме того, многие эффективные алгоритмы самонаведения, например пропорциональная навигация, естественно формулируются как линейная обратная связь по данным угловых измерений (R. Stansfield, R. Singer). Начиная с 1960-х годов, разнообразные задачи оценивания по угловым измерениям возникли в связи со спутниковой навигацией.

Оценивание по угловым измерениям сталкивается с трудностями, обусловленными нелинейностью, а также плохой наблюдаемостью ряда практически важных задач. Причем часто ненаблюдаемость является скрытой, т.е. может быть выявлена только после тщательного анализа структуры системы. Теории оценивания по угловым измерениям посвящена обширная литература (J. Speyer, А. Payne, F. Gorocki, V. Aidala).

В диссертации задача оценивания по угловым измерениям рассматривается как вырожденная задача оптимального оценивания. Для этого проводится строгий анализ наблюдаемости задачи, выделяется наблюдаемое подпространство, а затем проводится оценивание в наблюдаемом подпространстве. Этот подход отличается от наиболее распостраненного подхода, основанного на модификациях расширенного фильтра Калмана (J. Speyer, V. Aidala), при котором делается попытка оценить составляющие движения вне наблюдаемого подпространства. Последняя задача является математически некорректной, и приводит к высокой чувствительности алгоритмов к ошибкам измерений. Алгоритмы, предлагаемые в диссертации, лишены указанного недостатка.

В четвертой главе исследуется задача оценивания траекторий ^(t) G движущихся объектов в трехмерном пространстве по угловым измерениям с борта наблюдателя, движущегося по траектории Vo{t) . Угловые измерения обычно записываются в следующем виде (J. Speyer)

Здесь Г1,Г2,Гз — компоненты вектора г = Гг, — Го относительных координат, tp ной особенностью угловых измерений является их существенная нелинейность и особенность при г = 0.

Приведен обзор различных известных подходов к задаче. Получены асимптотические формулы, позволяющие оценить смещение и дисперсию ошибки оценки для широкого класса рекурсивных алгоритмов оценивания. Показано, в ситуации вырождения, то есть в ненаблюдаемых и плохо наблюдаемых случаях, традиционные алгоритмы оценивания, в частности основанные на расширенном фильтре Калмана, оказываются неработоспособными.

Проведен анализ наблюдаемости задачи. В известных в литературе критериях наблюдаемости (A.N. Payne, F.D. Gorecki) предполагается, что наблюдаемый объект движется по инерции или с постоянным ускорением. В диссертации рассмотрен более общий случай, когда траектории движения объекта и наблюдателя описываются общими уравнениями авторегрессии. При этом предполагается, что азимут цели, — ее возвышение, 5(р, ошибки измерений. Отличитель измерения проводятся в дискретные моменты времени.

Поясним используемую модель движения и ее связь с моделями движения A.N. Payne, F.D. Gorecki. Движение объекта с постоянной скоростью или ускорением описывается дифференциальным уравнением JprrA, = О, где п = 2,3. В дискретном времени t = ¿1, ¿2, • • •, *лг, в котором проводятся наблюдения с постоянным интервалом дискретизации tk+i - 4 = At, это дифференциальное уравнение можно записать в виде специального уравнения авторегрессии вида (1 — qYvy{tk) = 0. Здесь q - оператор "сдвига назад", действующий по закону qrAitk) = rA(ifc-i)- В диссертации предполагается, что движение объекта и наблюдателя описывается общим уравнением авторегрессии вида a(gK(tfc) = u(4), a(g)r,(ffc) = О, k = l,.,N (9)

Здесь a{q) — -\-aiq-\-1- a„f" - полином n-го порядка со скалярными коэффициентами относительно оператора "сдвига назад" с, а u(t) - известное управление наблюдателя. Это обобщение позволяет применять полученные результаты к задаче оценивания траекторий маневрирующей цели.

Угловые измерения записываются в эквивалентном (8) виде oc{t) = n(t) - 6cc{t), n(t) = P UII (10)

Здесь n G Sa - единичный вектор направления на объект, 5cx{t) - погрешность измерений.

Следуя R.G. Stansfield, S.C. Nardone, модель угловых измерений (10) изменяется следующим образом: не различаются измерения, отличающиеся знаком ос. Такие измерения называются модифицированными угловыми измерениями.

Чтобы сформулировать полученные в диссертации условия наблюдаемости, запишем систему в пространстве состояния. Состояние объекта определяется последовательностью п относительных координат R{tk) = (r(4+i),. ,r(tfe+„)). Множество траекторий объекта отождествляется с Зп-мерным пространством начальных условий R{ti). Пусть F,H,G - соответствующая авторегрессии переходная матрица от R{tk) к R{tk+i), матрица при управлении и матрица при измерении соответственно. Тогда относительное движение объекта и наблюдателя описывается формулами r{tk) = GR{tk), R{tk+i) = FR{tk) - Hu{tk).

Определение 1 Матрица псевдонаблюдаемости Ф размера 3N х Зп есть Ф = (Фь. ,Фаа), где блок размера 3 х Зп определен формулой фАА(А1) = n(tfc) х GF'AAAR(ti), к = 1,.,N. Сингулярные числа фг > • • • > фзп матрицы Ф (т.е. квадратные корни из собственных чисел матрицы ФФаа называются мерами наблюдаемости траектории объекта. Ненаблюдаемым подпространством Г2д называется ядро матрицы Ф.

Траектория объекта ненаблюдаема, если и только если столбцы Ф линейно зависимы. Размерность Од совпадает с числом нулевых мер наблюдаемости.

Теорема 6 Траектория объекта ненаблюдаема по модифицированным угловым измерениям, если и только если его относительные координаты в движении могут быть записаны в виде r{tk) = SkGF"~"-(S 0 0)~AR(ti), где Sk, к = 1,. .,N — произвольная скалярная последовательность, 5 = (si,. s„) — ее начальная серия, а матрица О определена формулой = (G • • • Размерность ненаблюдаемого подпространства удовлетворяет неравенству О < dim Од < п.

Здесь символ © обозначает тензорное (Кронекеровское) произведение матриц. Траектории, принадлежащие ненаблюдаемому подпространству и отличные от истинной траектории, называются псевдорешениями задачи оценивания.

Далее рассмотрена задача оптимального оценивания траекторий при наличии погрешностей угловых измерений 5а по методу максимума правдоподобия (ММП) в предположении нормальности и равноточности ошибок измерений, то есть задача максимизации плотности распределения ошибок p(5ai(ti),., 5ос(1м)) при ограничениях (10), (9). Показано, что если траектория объекта ненаблюдаема по угловым измерениям, то функция плотности имеет вырожденный максимум. Степень вырождения совпадает с размерностью ненаблюдаемого подпространства QR. В плохо наблюдаемом случае, когда наименьшие меры наблюдаемости малы, свойства решений задачи ММП зависят от интенсивности шума а. При малых О' фзп функция р(5а) имеет единственный максимум вблизи истинной траектории. При увеличении а происходит бифуркация, и максимум смещается в сторону псевдорешения (ложного локального максимума). Чем хуже наблюдаемость, тем быстрее скачок от истинного решения к псевдорешению. Отсюда видно, что применение для решения задачи ММП прямых численных методов оптимизации градиентного или ньютоновского типа, таких как фильтр Калмана, вызывает определенные трудности, поскольку в процессе оптимизации возникают трудно прогнозируемые скачки от решения к псевдорешению.

Основываясь на приведенных результатах, предложен новый алгоритм оценивания, сохраняющий работоспособность в ненаблюдаемых случаях. Показано, что задача ММП эквивалентна задаче обобщенных расширенных наименьших квадратов (ОРНК) вида

AX + B + CAd('^=0, А A j - А m i n (11) относительно SiVn-Mepnoro вектора X = (R(ti),., R(tN)) и специальной 2,N х 3-мерной матрицы А. Здесь матрицы А, В, С, D формируются по известным матрицам F, G, Н.

Задача (И) общего вида впервые решена в работах S. Van Haffel и В. DeMoor. Задача называется невырожденной, если ее решение X, А существует и единственно. Для вырожденной задачи размерность пространства решений X называется степенью вырождения. В случае, когда С имеет максимальный ранг по строкам, а D — по столбцам, проблема сводится к обычной задаче расширенных наименьших квадратов (Van Loan).

Предложение 1 В рассматриваемом случае задача (11) всегда имеет, по крайней мере, одно решение. Если траектория объекта наблюдаема по угловым измерениям, то при сг —=• О решение задачи (11) дает состоятельные и эффективные оценки траектории. Если траектория объекта ненаблюдаема, то задача ММП имеет вырожденный максимум, а задача (11) вырождена. Степень вырождения совпадает с размерностью ненаблюдаемого подпространства Од.

Здесь под состоятельностью понимается стремление ошибок оценки к нулю при а —> 0. Эффективность понимается в смысле Крамера - Pao, как стремление дисперсии ошибки оценки к ее теоретической нижней границе.

В ненаблюдаемом случае в диссертации ставится задача оценивания всего ненаблюдаемого подпространства Од. Формулируется модифицированная задача ОРНК степени d как задача определении возмущения А минимальной нормы, для которого уравнения (11) имеют d +1 линейно независимых решений.

Теорема 7 Если размерность ненаблюдаемого подпространства Од равна d, то решение модифицированной задачи ОРНК степени d при а ->• О дает состоятельные оценки ненаблюдаемого подпространства Од.

Таким образом, в случае ненаблюдаемости траектории решение модифицированной задачи обобщенных расширенных наименьших квадратов позволяет корректно определить то, что наблюдаемо, а именно ненаблюдаемое подпространство.

Размерность рассмотренной задачи ОРНК в приложениях очень велика. В диссертации введена также редуцированная задача ОРНК, где размерность вектора X снижена до Зп. Эта задача также дает состоятельные (но не эффективные) оценки. Рассмотрен алгоритм решения редуцированной задачи ОРНК, основанный на методе обобщенного сингулярного разложения матриц с ограничениями, принадлежащем В. DeMoor, и требующий умеренного объема вычислений.

Приведен пример оценивания траектории баллистической ракеты на активном участке. Численными расчетами показано, что в определенных условиях эффективность редуцированного алгоритма сравнима с нижней границей Крамера - Pao.

В пятой главе задача оценивания по угловым измерениям обобщается на случай общих линейных систем с непрерывным временем и наблюдениями вида х = Ах, г = Сх (12)

Здесь вектор состояния х принадлежит тг-мерному векторному пространству, вектор измерений г принадлежит т-мерному векторному пространству. Изложенные в пятой главе результаты получены совместно с С.Н. Моргуновой. Эти результаты обобщают результаты А.И. Овсиевича [77]. Понятие угловых измерений и наблюдаемости по угловым измерениям обобщается для случая системы (12) следующим образом.

Определение 2 Измерения г'{Ь), г{Ь), О <Ь <tl, называются проективно (сферически) эквивалентными, если г'(1) = X(t)z(t) для некоторой ненулевой (положительной) функции А(А). Траектория x(t) называется проективно (сферически) наблюдаемой, если для любой траектории х'{1) с проективно (сферически) эквивалентными измерениями выполняется равенство х'{1) = 1л,{1)х[1) для некоторой ненулевой (положительной) функции Система (12) называется проективно (сферически) наблюдаемой, если у нее нет проективно (сферически) ненаблюдаемых траекторий.

Можно считать, что сферические измерения принадлежат сфере 8"*""А а проективные измерения принадлежат проективному пространству ¥а'а. Из сферической ненаблюдаемости следует проективная. Из проективной ненаблюдаемости следует сферическая ненаблюдаемость при достаточно малых ¿1 > 0. Заметим также, что имеет смысл также понятие комплексной проективной наблюдаемости, где Л(А) принимают комплексные значения. Вещественная и комплексная проективная наблюдаемость не всегда эквивалентны.

Пусть X, 2 - пространства кососимметрических матриц размера п х п, т х т соответственно. Введем линейную систему с вектором состояния Г2 е X и вектором измерения Ф е а, заданную формулами й = АП, Ф = (70 (13)

Здесь операторы А, С на пространстве кососимметрических матриц заданы формулами ЛО = АО-ьОЛА, (70 = СО,СА. Система (12) называется Л - наблюдаемой, если система (13) является линейно вполне наблюдаемой. Если система (12) является Л - наблюдаемой, то она проективно наблюдаема.

В диссертации исследуется более сложная проблема нахождения необходимых условий проективной наблюдаемости (невырожденности) задачи. Показано, что эти условия тесно связаны с наличием у системы механической (гамильтоновой) структуры.

Сначала рассматривается частный случай консервативной механической системы с фазовыми переменными х = {д, 4), где д = (Ах,. ,дк) € К*а, к = п/2 -обобщенные координаты, и А;-мерным вектором измерений г = д д + 2Тд+ Кд = 0, г л д (14)

Здесь Г - кососимметрическая матрица гироскопических сил, г. К - симметрическая матрица жесткостей. Показано, что для механических систем критерий Л -наблюдаемости не работает: любая механическая система вида (14) Л - ненаблю-даема.

Теорема 8 Механическая система (Ц) проективно ненаблюдаема, если и только если существует собственное подпространство матрицы К — Г"А, на котором все собственные значения указанной матрицы совпадают (и равны некоторому я Е С), инвариантное относительно группы ортогональных преобразований ехр(ГА).

Изложенные выше результаты справедливы как в вещественном, так и в комплексном случае. Следующее определение ограничивает рассмотрения комплексным случаем. Две системы вида (12) называются проективно эквивалентными, если одна получается из другой заменой переменных х' = /х(А)а:, где ¡л{0 = ехр(—гАА), а, и — комплексная константа.

Теорема 9 Если система (12) является Л - ненаблюдаемой, то существует такая система координат дА,. ,дк,Р1,. •. АРкАЩ, • • *Ап-2к в пространстве X, что подпространство V = {wi = 0,1<г<п — 2к} инвариантно относительно системы (12), причем на V эта система проективпо эквивалентна гамилъто-новой системе дН . дН

Теорема показывает, что в комплексном случае в определенном смысле вопрос о проективной наблюдаемости общих линейных систем сводится к вопросу о проективной наблюдаемости гамильтоновых систем.

Приведен ряд примеров, относящихся к задачам самонаведения и орбитальной навигации. Приведены также некоторые обобщения результатов на случай, когда в системе имеется несколько угловых измерений:

X - Ах, zi = Cix,. ,ZL = CLX (15)

Здесь Zi принадлежит Шг-мерному векторному пространству. Для системы (15) в определении 2 проективной или сферической наблюдаемости функция A(t) заменяется на набор функций Ai(t),., Ai(t).

Далее исследуется связь вещественной проективной и сферической наблюдаемости системы (15) и геометрии множества достижимости в сопряженной задаче управления у = -Алу + Cjui, щ е (16) г=1

Здесь fij - замкнутые строго выпуклые множества в Ж'"' с гладкой границей. Для заданного интервала движения О < t < ti областью достижимости системы (16) называется множество точек, достижимых из хо при G на этом интервале [47].

Теорема 10 В условиях нормальности задачи оптимального управления (по Л. С. Понтрягину) граница области достижимости дТ>т гладкая, если и только если система (15) сферически наблюдаема на отрезке О <t <Т.

В шестой главе рассмотрена задача аэрогравиметрии, то есть определения аномального гравитационного поля Земли по съемкам с борта летательного аппарата (ЛА). Исследования по аэрогравиметрии проводились в рамках работ Лаборатории управления и навигации МГУ под руководством H.A. Парусникова. Излагаемые в шестой главе результаты принадлежат в основном автору. Часть результатов получены совместно с В.В. Тихомировым и М.Ю. Попеленским.

Задача аэрогравиметрии является сравнительно новой (первые положительные результаты получены в 1990-х годах). В основе аппаратного решения задачи аэрогравиметрии лежит установленная на борту летательного аппарата (ЛА) аэрогравиметрическая система, в рассматриваемом в диссертации случае состоящая из горизонтируемой гироплатформы с установленным на ней высокоточным акселерометром - гравиметром. Система использует дополнительную позиционную информацию, получаемую от приемников спутниковой навигационной системы (СНС), работающих в фазовом дифференциальном режиме. Информация ги-роплатформы, гравиметра и СНС записывается на борту летательного аппарата для последующей постобработки с целью определения аномального гравитационного поля.

Задача аэрогравиметрии относится к классу задач обратных задач механики - оценивания силы по траектории движения. Эта задача является математически некорректной (вырожденной) — малые ошибки измерений могут привести к сколь угодно большим ошибкам определения аномалии. Причем вырожденность задачи проявляется дважды - при дифференцировании и редукции поля на поверхность геоида. Вырожденность задачи в терминах теории оценивания эквивалентна ненаблюдаемости. Теоретическим и практическим вопросам аэрогравиметрии посвящена обширная литература (К.Р Schwarz, O.S. Salychev, Y. Hammada, В. Торге).

Обычно задача аэрогравиметрии решается чисто информационными методами, в рамках теории фильтрации шумов (К.Р Schwarz). В диссертации задача рассмотрена с точки зрения теории оценивания траекторий механических систем. Показано, что вырожденность задачи в терминах теории оценивания эквивалентна ненаблюдаемости. Рассмотрены как математическое содержание задачи аэрогравиметрии, так и практические методы и алгоритмы обработки информации. Для выделения наблюдаемых переменных используются методы регуляризации при решении некорректных задач, основанные на стохастической гипотезе и ММП. С практической точки зрения новым является интегральный подход, основанный на сквозной оптимизации решения, начиная от задачи определения аномалии на галсе полета и заканчивая задачей построения карт аномалий, и потенциально позволяющий повысить точность.

Новым также является подход к задаче определения аномалии на галсе, основанный на идентификации параметров системы в полете и определении возмущений с учетом нелинейных, мультипликативных моделей погрешностей. Показано, что основное уравнение аэрогравиметрии на галсе в проекции на географическую вертикаль может быть записано в виде v{t) = fit) + fE{t)+X''c{t)+Go{t) + Ag{t) v' = v + Sv, rf + f = f + 6f с' = c + 6c (17)

Здесь Ад - искомая аномалия, / — вертикальная удельная сила, действующая на чувствительный элемент гравиметра, — известные инерциальные поправки, связанные с кривизной референц - геоида и вращением Земли, Gq — нормальное значение ускорения силы тяжести, г; - вертикальная составляющая скорости гравиметра, с — возмущающие факторы, X — вектор неизвестных коэффициенты влияния возмущающих факторов, г — постоянная времени гравиметра. Штрихом обозначены измеряемые величины, символом 5 — ошибки измерений.

Мультипликативные погрешности возникают из-за включения погрешностей 5с в модель измерения возмущающих факторов (17). При традиционном подходе (K.P. Schwarz, O.e. Салычев) эти погрешности либо не учитываются, и задача решается обычным методом наименьших квадратов, либо коэффициенты X определяются путем калибровки в лабораторных условиях. Определение X методом наименьших квадратов приводит к смещенности в оценке X, и, как следствие, к смещенности оценки АЛ. Лабораторная калибровка в условиях базирование ЛА -носителя не всегда возможна. в диссертации задача оптимального оценивания аномалии ставится с учетом погрешностей 5с по методу максимума правдоподобия р{Ад, 5с, 5v, 5f, X\f, v', с') -> max

Показано, что в предположении, что искомая аномалия и погрешности измерений являются стационарными гауссовскими случайными процессами, задача ММП сводится к последовательному решению задачи обобщенных расширенных наименьших квадратов типа (И) по определению X и задачи наименьших квадратов по определению аномалии Ад. Рассмотрены как оптимальные алгоритмы решения задачи, так и субоптимальные алгоритмы, основанные на сглаживании Калмана, обладающие свойством несмещенности.

Рассмотрен также более общий случай, когда X является не постоянным вектором, а описывается неизвестными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. В этом случае задача определения X решается методами теории идентификации в пространстве состояний.

После того, как оптимальная несмещенная оценка аномалии на галсе получена, задачи согласования галсов и построения карт аномалий в редукции Фая (т.н. редукция в свободном воздухе, т.е. без учета топографических поправок) решаются итерационным (по номеру добавляемого галса) методом наименьших квадратов.

Решение задачи построения карты определено следующим образом. Пусть г"(1),., г"(п) - координаты узлов карты, г(1),., r(m) - координаты точек, в которых получена оценка аномалии на галсе. Пусть А А А = {Ад{г{1)),. ,Ад{г{т))) - неизвестные истинные значения аномалии на галсе, Ад" = {Ад{г"{!)),.,Ад{т"{п))) - неизвестные истинные значения аномалии в узлах карты. Предполагается известной оценка аномалии на галсе Ад = {Ад{г{1),. ,Ад{г(т))). Ставится задача оценка значений аномалии в узлах карты Д/ = (АЬ (Г "(1)),., А ?(Г"(П))).

Показано, что добавление галса к набору данных аэрогравиметрии приводит к следующему изменению оптимальной в среднеквадратичном карты Ад :

А99 ~ HDgiigiiH -Ь PsgSg + Р(9Х9±

Щ'д" ~ ^9"9" ~ ОдЧдчН'лРлНВдПдП

Адл = Ад + Dg.,g.HAPrMAg - НАд )

Н - РР99"Рд"]"А Р9Х9± = ~ *Р9"9"ЛЛ

Здесь - ковариационная матрица оценок значений аномалии в точках галса, Н - матрица оператора стохастической проекции истинных значениям аномалии в узлах карты на значения аномалии в точках оценки аномалии на галсе, Р -матрица оператора сглаживания на галсе, Рлдлд - ковариационная матрица ошибок оценки аномалии на галсе. Матрица И определена формулой Я = ррддпр~}л„. Матрица Рдлдл есть ковариационная матрица невязки указанного оператора проекции Я, определенная формулой Рдлдл = Рдд — НРдЧдпН'л.

Ковариационная матрица РдЦд» значений аномалии в узлах карты и ковариационная матрица Рдд значений аномалии в точках галса определяется по известной априорной спектральной плотности аномалии.

Заметим, что новизна этого утверждения связана с тем, что в нем через матрицу Р явно учтены характеристики метода сглаживания, использованного при оценке аномалии на галсе полета. В традиционных методах построения карт, ориентированных на задачи наземной и морской гравиметрии, влияние методов сглаживания на галсе мало и не учитывается (Е.А. Мудрецова).

В приложении В приведены примеры применения разработанных методов решения задачи аэрогравиметрии при обработке результатов летных испытаний нескольких аэрогравиметрических систем. Оценка точности определения аномалии проводилась как по сравнению с известными наземными данными, так и по повторяемости при линейной съемке и расхождению в точках пересечения галсов при плогцадной съемке.

В диссертации используются следуюш;ие обозначения. Жирными буквами обозначаются векторы в трехмерном пространстве. Длина ||г(| вектора г обозначается г. Знак X обозначает векторное произведение, знак • - скалярное произведение векторов. Знак обозначает операцию транспонирования вектора или матрицы. Знак © обозначает покомпонентное (кронекеровское) умножение матриц. Символ / обозначает единичную матрицу.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Болотин, Юрий Владимирович

Основные результаты главы состоят в следующем.

Обсуждены математические проблемы и вопросы информационного обеспечения задачи авиационной гравиметрии. Итогом проделанной работы является следующее:

1. Исследованы основные уравнения авиационной гравиметрии. Разработаны оптимальные методы фильтрации, минимизирующие погрешность построения карт аномалий в свободном воздухе, и основанные на систематическом использовании стохастического метода регуляризации некорректных задач.

2. Создан программно-математический комплекс, решающий задачу аэрогравиметрии. Этот комплекс использовался при обработке нескольких серий летных испытаний и показал высокую работоспособность.

3. Определены пути дальнейшего развития этого комплекса, повышающие его точность. Накоплен большой опыт, позволяющий, при необходимости, решать задачи оценивания аномального гравитационного поля для различных гравиметрических систем.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Болотин, Юрий Владимирович, 2002 год

1. Александров B.B, Злочевский СИ, Лемак С.С, Парусников H.A. Краткий курс по механике управляемых систем. М: МГУ, 1991.

2. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С, Парусников H.A., Тихомиров В.М. Оптимизация динамики управляемых систем. М.: Изд-во МГУ, 2000.

3. Алексеев A.M., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

4. Алешинский С.Ю., Зациорский В.М. Механико математические модели движений человека. - Биомеханика физических упражнений, вып. 1, Рига, 1974.

5. Альберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.:Наука, 1977.

6. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968.

7. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1978.

8. Артоболевский И.И., Левитский Н.И., Черкутдинов CA. Синтез плоских механизмов. М.: Физматгиз, 1959.

9. Белецкий В.В., Кирсанова ТС, Лавровский Э.К. Комфортабельная ходьба двуногого шагающего аппарата. Изв. АН СССР, МТТ, 1979, N 3. систем. М,: Наука, 1981.

10. Белецкий В.В., Кирсанова Т.С., Лавровский Э.К. Исследование комфортабельных режимов движения двуногого аппарата. В кн.: Исследование ро-бототехнических систем. М.: Наука, 1981.

11. Белецкий В.В., Кирсанова Т С , Чудинов П.С. Управление ходьбой и динамика двуногих систем. Тр. 4 Международной конференции по искусственному интеллекту.М.: 1975, N 9.

12. Белецкий В.В., Бербюк В.Е., Самсонов В.А. Параметрическая оптимизация движений двуногого шагающего аппарата. Изв. АН СССР, МТТ, 1982, N 1.

13. Белецкий В.В., Болотин Ю.В. Энергетика пространственной двуногой ходьбы. Препринт Ин-та прикл. матем. АН СССР, 1981, N 118. 28 с.

14. Белецкий В.В., Болотин Ю.В., Голубицкая М.Д. Модельная задача двуногой ходьбы с вертикальной некомфортабельностью. Вестник МГУ. Серия матем., мех. 1981, N 3.

15. Белецкий В.В, Болотин Ю.В. Модельная оценка энергетики двуногой ходьбы и бега. Изв. АН СССР, МТТ, 1983, N 4. стр. 89 94.

16. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. М.:Мир, 1989.

17. Бержицкий В.П., Болотин Ю.В., Голован A.A., Ильин В.П., Парусников H.A., Смоллер Ю.Л., Юрист С.Ш. Инерциально гравиметрический комплекс МАГ-1. Результаты летных испытаний. М: мех-мат МГУ, 2001. 48 стр.

18. Бернштейн H.A. Физиология движений и активности. М.: Наука, 1990.

19. Богданов В.А., Гурфинкель B.C. Биомеханика локомоций человека. В кн,: Физиология движений. Л.: Наука, 1976.

20. Болотин Ю.В., Новожилов И.В. Управление походкой двуногого шагающего аппарата. Изв. АН СССР, МТТ, 1977, N 3.

21. Болотин Ю.В. Разделение движений в задаче стабилизации двуногой ходьбы. Изв. АН СССР, МТТ, 1979, N 4, стр. 48 53.

22. Болотин Ю.В. О разделении движений в задаче управления механическими системами с одностороннми связями. Вестник МГУ. Серия Матем., мех. 1979, п 4, стр. 73 - 76.

23. Болотин Ю.В. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико математических наук. Москва. МГУ, 1981. 153 с.

24. Болотин Ю.В. Качественные закономерности энергетически оптимальной двуногой ходьбы и бега. Информ. и управл. системы роботов: Сб. статей. Москва, Ин-т прикл. матем. АН СССР, 1982. стр. 20 - 27.

25. Болотин Ю.В. Энергетически оптимальные походки в модельной задаче управления двуногим шагающим аппаратом. Препринт Ин-та прикл. матем. АН СССР, М., 1982, N 202.

26. Болотин Ю.В. Динамическая стабилизация статически неустойчивых походок шагающего аппарата. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1983, п 63.

27. Болотин Ю.В. Энергетическая оптимизация конструкции гидравлического манипулятора. Препринт Ин-та прикл. математики АН СССР. М., 1984, N 24. 28 с.

28. Болотин Ю.В. Энергетически оптимальные походки двуногого шагающего аппарата. Изв. АН СССР, МТТ, 1984, N 6, с. 48 - 55.

29. Болотин Ю.В. Моделирование статически неустойчивых походок двуногого шагающего аппарата. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1985, п 197.

30. Болотин Ю.В. Оптимизация конструкции и траекторий движения гидравлического манипулятора. Изв. АН СССР, МТТ, 1985, N 5, с. 31 - 38.

31. Болотин Ю.В. Математическое моделирование управления движением электромеханического двуногого шагающего аппарата. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1986, п 2.

32. Болотин Ю.В. Построение программного режима в задаче управления статически неустойчивыми походками двуногого шагающего аппарата. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1986, п 95.

33. Болотин Ю.В. Оптимальная стабилизация движения шагающего аппарата по критерию качества распределения опорных реакций. Препринт Ин-та прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР. 1987, N 6.

34. Болотин Ю.В. Двойственность в задаче оптимального распределения усилий при управлении механическими системами. Препринт Ин-та прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР. 1987, N 74.

35. Болотин Ю.В. Двойственность в задаче оптимальной стабилизации механических систем со связями. Изв. АН СССР, Техн. Кибернетика, 1988, п. 4, стр. 190-194.

36. Болотин Ю.В. Алгоритм стабилизации движения шагающего аппарата, обеспечивающий оптимальное распределение опорных реакций. Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1988, п. 1, стр. 82 - 88.

37. Болотин Ю.В. Управление статически неустойчивыми походками шагающих аппаратов. Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1989, п 3, стр. 24 -29.

38. Болотин Ю.В. Систематические ошибки оценивания координат движущегося объекта по данным угловых измерений. Труды МЭИ, 1991. Выпуск 655.

39. Болотин Ю.В. Обобщенный метод наименьших квадратов в задаче оценивания по угловым измерениям. Автоматика и Телемеханика, 1997, н 2.

40. Болотин Ю.В. Метрические критерии изоляции возмущений при управлении механическими системами. Вестник МГУ. Серия Математика, механика. 1998, N 2.

41. Болотин Ю.В., Голован A.A., Кручинин П.А., Парусников H.A., Тихимиров В.В., Трубников CA. Задача авиационной гравиметрии. Некоторые результаты испытаний. Вестн. Моск. Ун-та. Сер.1, Математика. Механика. 1999. N2. с.36-41.

42. Болотин Ю.В., Моргунова С.Н. О наблюдаемости механических систем по угловым измерениям. Вестник МГУ. Серия матем., мех. 2000, N 3.

43. Болотин Ю.В., Моргунова С.Н. Сферическая наблюдаемость и гладкость границы области достижимости. Труды 9 международного семинара "Современные технологии в задачах управления,автоматики и обработки информации". Алушта, 2001.

44. Болотин Ю.В., Голован A.A., Парусников H.A. Оптимальные методы решения задачи авиационной гравиметрии. 8 Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь, 2001.

45. Болотин Ю.В., Голован A.A., Парусников H.A. Уравнения аэрогравиметрии. Алгоритмы и результаты испытаний. М.:мех-мат МГУ, 2002. 120 стр.

46. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. Пер. с англ. М.: Мир, 1972.

47. Геращенко Е.И., Геращенко СМ. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем. М.: Наука, 1975.

48. Голубев Ю.Ф. Распределение реакций при движении шагающего аппарата. Препринт Ин-та прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР, 1979, п 123.

49. Голубев Ю.Ф., Колпакова И.Г. Численный метод распределения реакций при движении шагающего аппарата. Препринт Ин-та прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР, 1984, п 9.

50. Гориневский Д.М., Шнейдер А.Ю. Управление опорными реакциями шагающего аппарата при движении по грунтам с различными несущими свойствами. Препринт Ин-та проблем передачи информации АН СССР. 1986, п 31.

51. Девянин Е.А., Ленский A.B., Самсонов В.А., Штильман Л.Г. Отработка макета шагающего аппарата и его системы управления. В кн.: Управление в пространстве, т. 2. М.: Наука, 1975.

52. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений. Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1965, т. 5, N 3, с. 395 -453.

53. Жуков А.И. Метод Фурье в вычислительной математике. М.:Наука, 1982.

54. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука, 1976.

55. Калинин В.В. О выборе походки четырехногого шагающего аппарата. Изв. АН СССР, МТТ, 1980, N 2.

56. Карташев В.А., Ленский A.B., Шнейдер А.Ю. Силовая обратная связь в системе управления шагающего аппарата. В сб. Исследование робототехни-ческих систем. М.: Наука, 1982.

57. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988.

58. Кобрин А.И., Мартыненко Ю.Г., Новожилов И.В. О прецессионных уравнениях гироскопических систем. Изв. АН СССР. ПММ. 1976, том 40, N 2.

59. Кобринский A.A. К теории манипуляционных систем. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1980, N 3, с. 42-50.

60. Крамер Г. Математические методы статистики. Пер. с англ. М.: Мир, 1975.

61. Меркин Д.В. Гироскопические системы. Москва, ГИТЛ, 1956.

62. Миронов B.C. Курс гравиразведки. Л., "Недра", 1972, 512 с.

63. Мудрецова Е.А., Веселов К.Е. (ред). Справочник геофизика. М.: Недра, 1990 607 с.

64. Лапшин В.В. Математическое моделирование управления движением четы-рехногого аппарата, перемещающегося рысью, иноходью и галопом. Препринт Ин-та прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР. 1985, N 69.

65. Лапшин В.В. Модельные оценки энергозатрат шагающего аппарата. Препринт Ин-та прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР. 1990, N 27.

66. Ли Э., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

67. Льюис Э., Стерн X. Гидравлические системы управления. М.: Мир, 1966.

68. Новожилов И.В. Прецессионные уравнения гироскопических систем с жестким управлением по части переменных. Изв. АН СССР, МТТ, 1971, N 1.

69. Новожилов И.В. Управление ногой шагающего аппарата в фазе опоры. В сб. Виомеханика, Рига, 1975, вып. 13.

70. Новожилов И.В. Управление пространственным движением двуногого шагающего аппарата. Изв. АН СССР. МТТ, 1984, N4.

71. Новожилов И.В. Фракционный анализ. Москва, Издательство МГУ, 1991.

72. Овсеевич А.И. Особенности границ области достижимости и задачи наблюдаемости. Тезисы 5 Всероссийской школы "Математические методы навигации". М.: МГУ, 1994.

73. Охоцимский Д.Е., Платонов А.К., Лапшин В.В. Исследование энергетики движения шестиногого шагающего аппарата. Препринт Ин-та прикл. матем. АН СССР, 1981, N 96.

74. Охоцимский Д.Е., Платонов А.К., Кугушев Е.И., Ярошевский B.C. Расчет динамических параметров движения шагающего аппарата на ЭВМ. В кн.: Исследование робототехнических систем. М.: Наука, 1982, с. 72 - 77.

75. Охоцимский Д.Е., Платонов А.К., Лапшин В.В. Энергетика движения ше-стиногого шагающего аппарата. В кн.: Информационные и управляющие системы роботов. М.: Изд-е Ин-та прикл. матем. АН СССР, 1982, с. 8 - 19.

76. Охоцимский Д.Е., Громов В.В., Грушин В.П., Кудрявцев М.В., Лапшин В.В., Платонов А.К. Математическое моделирование движения шагающего аппарата с учетом деформации грунта. Препринт Ин-та прикл. матем. АН СССР, 1985, N 152.

77. Параметры Земли 1990 года (ПЗ-90). Координационный научно информационный центр. М., 1998 г.

78. Парусников H.A., Горицкий А.Ю., Голован A.A., Тихомиров В.В. Алгоритмы корректируемых инерциальных навигационных систем, решающих задачу топопривязки. М.: Изд-во МГУ, Механике- математический факультет. Препринт 2, 1994.

79. Петров В.Н. Принцип инвариантности и условия его применения при расчете линейных и нелинейных систем. Тр. 1 Междунар. конгр. ИФАК. Т.1. М.: Изд-во АН СССР, 1961. с 259 275.

80. Попов Е.Г., Верещагин А.Ф., Зенкевич СЛ. Манипуляционные роботы. М.: Наука, 1978.

81. Салычев О.С. Инерциальная гравиметрия: Теория. Проблемы. Решения. Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, М., 1995

82. Торге Б. Гравиметрия: Пер. с англ. М.,Мир, 1999. - 429с.

83. Фельдман А.Г. Центральные и рефлекторные механизмы управления движениями. Москва, Наука, 1979.

84. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974.

85. Формальский A.M. Перемеп1;ение антропоморфных механизмов. М.: Наука, 1982.

86. Хардле В. Прикладная непараметрическая регрессия. М.: Изд-во Мир, 1993.

87. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.

88. Aidala V.J. Kaiman Filter Behaviour in Bearing-Only Tracking Applications. -IEEE Transaction on Aerospace and electronic systems, 1979, v. 15, N. 1, pp. 29 39.

89. Aidala V.J., Nardone S.C. Biased Estimation Properties of the Pseudolinear Tracking Filter.- IEEE Transaction on Aerospace and electronic systems, 1982, V.18, N. 4, pp. 432 441.

90. Aidala V.J., Hammel S.E. Utilisation of Modified Polar Coordinates for Bearings-Only Tracking.- IEEE Transaction on Automatic Control, 1983,v.28, N 3, pp. 283 294.

91. Balakrishnan S.N. A Dual Control Homing Guidance Law.- Proceedings AI A A Guidance and Control conference, 1987, v. 2, pp. 836 841.

92. Benedict T.R., Bordner C.W. Synthesis of Optimal Set of Radar Track-Whole-Scan-Smoothing equations.- IRE Transaction on Automatic Control, 1962,v. 7,N 1, pp. 27 32.

93. Bernstein D.S., Haddad W.M. Robust stability and performance analysis for state space systems via quadratic Lyapunov bounds. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 11 (1990), pp. 239 271.

94. Bogler P.L. Tracking a Maneuvering Targets Using Input Estimation.- IEEE Transaction on Aerospace and electronic systems, 1987, v.23, N. 3, pp. 298 310.

95. Bolotin Yu.V. A TLS approach to angle-only trajectory estimation. IEEE Workshop on real time computing, Prague, 1994.

96. Bolotin Yu.V., Morgunova S.N. On bearing only observability in TLS setting. Proceedings of the 2 International Conference on Informatics and Control, St. Petersburg, Russia, 1997.

97. Bolotin Yu.V., Morgunova S.N. Projective observabiHty of mechanical systems. Proceedings of the 2 International Conference on Informatics and Control, St. Petersburg, Russia, 1997.

98. Bolotin Yu.V., Golovan A.A., Parusnikov N.A. An Experience in Design and Testing of Airborne Gravimetry Systems. Proceedings of VIII International Conference on Integrated Navigation Systems. St. Petersburg, Russia, May 2001.

99. Brozena J.M. The Greenland Airphysics Project: Year 1. Proc. ION 48th mtg, Vashington, D.C., June 1992.

100. Chen Y. An analysis of squeezing and twisting for multifmgered grasping. IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, Atlanta, May 1993.

101. Chan Y.T., Plant J.B., Bottomley J.R.T. A Kalman Tracker With a Simple Input Estimator.- IEEE Transaction on Aerospace and electronic systems, 1982, V. 18, N. 2, pp. 235 240.

102. Chung C.B. Ballistic Trajectory Estimation with Angle-Only Measurements. -IEEE Transaction on Automatic Control, 1980,v.25,N 3, pp. 474 480.

103. Chung C.B., Tabaczinski J.A. Application to State Estimation to Target Tracking.-IEEE Transaction on Automatic Control, 1984, v. 29, N2, pp. 98 -109.

104. Chung R. C., Bélanger P.R. Minimum sensitivity Filter for Linear Time-Invariant Stochastic Systems with Uncertain Parameters.- IEEE Transaction on Automatic Control, 1976, V. 21, N2, pp. 98 100.

105. Cortina E., Otero D., D'Attellis C. Maneuvering Target Tracking Using Extended Kalman Filter. IEEE Transaction on Aerospace and Electronic Systems, 1991, v. 27, N. 1.

106. De Moor B., Golub G. The restricted singular values decomposition: properties and applications. Siam J. Matrix Anal. Appl. V. 12. N 3. 1991. pp. 401 425.

107. De Moor B. Total least squares for affinely structured matrices and the noisy reaUzation problem. IEEE Transactions on Signal Processsing, vol. 42, no. 11, 1994, pp. 3104 3113.

108. Demirbas K. Maneuvering Target Tracking with Hypothesis Testing.- IEEE Transaction on Aerospace and electronic systems, 1987, v. 23, N. 6, pp. 757 -766.

109. Ekeland I., Temam R. Convex analysis and variational problems. North-Holland PubHshing Company, Amsterdam, 1976.

110. Gavish M., Weiss A.J. Performance analysis of bearing only target location algorithms. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic systems. V. 28. N 3. 1992. pp. 817 - 827.

111. Forsberg R.S., Kanion S. Downward Continuation of Airborne Gravity Data. Proceeding of the lAG Symposium on Airborne Gravity Field Determination, lUGG XXI General Assembly. Calgary, August 1995.

112. Gholson N.H., Moose R.L. Maneuvering Target Tracking Using Adaptive State Estimation. IEEE Transaction on Aerospace and electronic systems, 1977, v. 13, N. 3, pp. 310 - 317.

113. Glennie C.L., Schwartz K.P, Bruton A.M., Forsberg R., Olesen A. V., Keller K. A comparison of stable platform and strapdown airborne gravity. J. of Geodesy, no. 74, 2000. pp. 383-389.

114. Gorocki F.D., Daniels P.D., Hardtla J.W. Angle Only State Estimation of Powered Spacecraft.- Proceedings AIAA Guidance and Control conference, 1984, pp. 116 123.

115. Gorocki F.D. Angle-Only Track, Observability and Information Theory. -Proceedings AIAA Guidance and Control conference, 1989.

116. Hein G. Progress in Airborne Gravimetry: Solved, Open And Critical Problems. Proceedings of the lAG Symposium on Airborne Gravity Field Determination. Calgary, August, 1995.

117. Hepner S., Geering H. On the Observabihty of Target Maneuvers via Bearing-Only and Bearing-Rate-Only Measurements. Proceedings AIAA Guidance and Control Conference, 1987.

118. Hepner S., Geering H. Target Acceleration Estimation in Plane Intercept Scenarios. Proceedings AIAA Guidance and Control Conference, 1988.

119. Hepner S., Geering H. Observability Analysis for Target Maneuver Estimation via Bearing-Only and Bearing-Rate-Only Measurements. AIAA Journal of Guidance and Control, 1990, v.l3, N 6.

120. Hepner S., Geering H. Adaptive Two-Time-Scale Tracking Filter for Target Acceleration Estimation. AIAA Journal of Guidance and Control, 1991, v. 14, N 3.

121. Jazwinski A.H. Stochastic Process and Filtering Theory. New York, Académie, 1970.

122. Johnson B.A., Maybeck P.S. Stochastic Adaptive Tracker Based on Noise Corupted Space Time Measurement Process.- NAECON, 1988, pp. 352 359.

123. Jones P.C., Johnson A.C. Airborne Gravity Survey in Southern Palmer Land, Antarctica. Proceeding of the TAG Symposium on Airborne Gravity Field Determination,IUGG XXI General Assembly. Calgary, August 1995.

124. Kalata P.R., Konstanzer G.C., Birnbaum D. Adaptive Target Tracking. -American Control Conference, 1986, v. 2, pp. 1149 1150.

125. Keller W. Harmonic Downward Continuation Using a Haar Wavelet Frame. Proceeding of the I AG Symposium on Airborne Gravity Field Determination, lUGGXXI General Assembly. Calgary, August 1995.

126. Khngele E.E., Halliday M.E. Airborne Gravity Survey of Switzerland. Proceeding of the lAG Symposium on Airborne Gravity Field Determination,IUGG XXI General Assembly. Calgary, August 1995.

127. Lin C.F., Stafroth M.W. A Comparative Evaluation of Some Maneuvering Target Tracking Algorithms.- AIAA Guidance and Control Conference, 1983, pp. 39 -56.

128. Lindgren A.G., Gong K.F. Position and Velocity Estimation Via Bearing Observations.- IEEE Transaction on Aerospace and electronic systems, 1978, V. 14, N. 4, pp. 564 577.

129. Maybeck P.S., Jensen R.L., Harnly D.A. An Adaptive Extended Kalman Filter for Target Image Tracking.- IEEE Transaction on Aerospace and electronic systems, 1981, v. 17, N. 2, pp. 173 180.

130. Maybeck P.S., Suizu R.I. Adaptive Tracker Field-of-View Variation Via Multiple Model Filtering.- IEEE Transaction on Aerospace and electronic systems, 1985, V. 21, N. 4, pp. 529 539.

131. Mehra R.K. A Comparison of Several Nonlinear Filters for Reentry Vechicle Tracking.- IEEE Transaction on Automatic Control, 1971, v. 16, N 4, pp. 307 -319.

132. Moose R.L. An Adaptive Estimation Solution to the Maneuvering Target Problem. IEEE Transaction on Automatic Control, 1975, v. 20, N 5, pp. 359 -362.

133. Moose R.L. Vanlandingham H.F., McCabe D.H. Modelling and Estimation for Tracking Maneuvering Targets.- IEEE Transaction on Aerospace and electronic systems, 1979, v. 15, N. 3, pp. 448 456.

134. Nardone S.C., Aidala V.J. Observability Criteria for Bearings-Only Target Motion Analysis.- IEEE Transaction on Aerospace and electronic systems, 1981, V. 17, N. 2, pp. 162 166.

135. Nesline F.W., Zarchan P. Comparison of Kalman and Finite Memory Filtring For Gun Fire Control Applications. Proceedings of the 1978 IEEE Conference on Decision and Control, 1979, pp. 95 - 96.

136. Overschee P., De Moor B. Subspace algorithms for the identification of combined deterministic stochastic systems. Automática, vol. 30, no. 1, pp. 75 - 93, 1994.

137. Payne A.N. Observability problem for bearing only tracking. Int. J. Control, 1989, Vol. 49, No. 3, pp 761 - 768.

138. Pfeiffer F. Grasping with Hydraulic Fingers an example of mechatronics. IEEE Transactions on Mechatronics, vol.1, no. 2, 1996.

139. Pfeiffer F. Robots with unilateral constraints. Annual reports in control, n. 22, 1998.

140. Proceedings of the lAG Symposium on Airborne Gravity Field Determination. Calgary, August, 1995.

141. KIS 97, Banff, Canada. Proceedings of the International Symposium on Kinematic Systems in Geodesy, Geomatic and Navigation. Calgary, June 3-6, 1997.

142. Raibert M., Craig J. Hybrid position/force control of manipulators. Trans. ASME, J. Dynamic systems, measurement and control, vol. 102, June 1981.

143. Salychev O.S., Schwarz K.P., Hammada Y. An Analysis ofthe Wave Approach to state Vector Estimation. Proceeding of the lAG Symposium on Airborne Gravity Field Determination, lUGGXXI General Assembly. Calgary, August 1995.

144. Song T.L., Speyer J.L. A stochastic analysis of a modified gain extended Kalman filter with applications to estimation with bearing only measurements. IEEE Transactions on Automatic Control. V. AC-3 0. N 10. 1985. P. 940 949.

145. Schwartz L., Stear E.B. A Computational Comparison of Several Nonlinear Filters.- IEEE Transaction on Automatic Control, 1968, v. 13, N 1, pp. 83 -86.

146. Singer R.A. Estimating Optimal Tracking Filter Performance for Manned Maneuvering Targets.- IEEE Transaction on Aerospace and electronic systems, 1970, V. 6, N. 4, pp. 473 483.

147. Song T.L.,Speyer J.L. The Modified Gain Extended Kalman Filter and Parameter Identification in Linear Systems.- American Control Conference, 1984, V. 2, pp. 1077 1084.

148. Song T.L.,Speyer J.L. A Stochastic Analysis of a Modified Gain Extended Kalman Filter with Applicatios to Estimation with Bearing-Only Measurements.-IEEE Transaction on Automatic Control, 1985, v. 30, N 10.

149. Speyer J.L. A Stochastic Differential Game with Controllable Statistical Parameters.- IEEE Transaction on Systems and Cybernetics, 1967, v.3, N 1, pp. 17 20.

150. Speyer J.L., Deyst J., Jacobson D.H. Optimisation of Stochastic Linear Systems with Additive Measurement and Process Noise Using Exponential Performance Criteria.- IEEE Transaction on Automatic Control, 1974, v. 19, N 4, pp. 358 -366.

151. Speyer J.L., Hull D.J., Bernard W.P. Performance ofthe Modified Gain Extended Kaiman Filter Along an Enhanced Information Path of a Homing Missile.- AI A A Guidance, Navigation and Control conference, 1986, pp. 897 904.

152. Stallard D.V. Process-Noise-Adaptive Kaiman Filters for Tracking. Proceedings AIAA Guidance and Control conference, 1982, pp. 57 - 65.

153. Stallard D.V. An Angle-Only Tracking Filter in Modified Spherical Coordinates.-AIAA Guidance and Control conference, 1987.

154. Stansfield R.G. Statistical theory of DF fixing. Journal of lEE, 14, Pt III A, 15, 1947, pp. 762 770.

155. Singer R.A. Estimating optimal tracking filter performance for manned maneuvering target. IEEE Transactions on Aerospace and Electronics Systems, AES 6, 1970, pp. 473 -483.

156. Tarn T.J., Zaborszky J. A Practical Nondiverging Filter AIAA Journal, 1970, V. 8, N 6, pp. 1127- 1133.

157. Van Haffel S., Vande Walle J. Analysis and solution of the nongeneric total least squares problem. Matrix Anal. Appl. V. 9. N 3. 1991. pp. 360 372.

158. Van Haffel S., Zha.H. The restricted total least squares problem: formulation, algorithm and properties. Matrix Anal. Appl. Vol.12, No.3, 1991, pp.292-309.

159. Watanabe K., Tzafestas S. New computationally efficient formula for backward pass fixed - interval smoother and its UD factorization algorothm. lEE Proceedings, Vol. 136, Pt.D, No. 2, 1989.

160. Wei M., Schwarz K.P. Analysis of GPS-derived Acceleration from Airborne Tests. Proceeding of the lAG Symposium on Airborne Gravity Field Determination, lUGG XXI General Assembly. Calgary, August 1995.

161. Wishner R.P., Tabaczinski J.A., Äthans M. A Comparison of Three Nonlinear Filters.- Automática, 1969, v.5, N 4, pp.487 496.