Метод ι1-аппроксимации в навигационных задачах оценивания тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Акимов, Павел Александрович

• Акимов, Павел Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Акимов, Павел Александрович

Введение

1 Уровни неоптимальности для итерационных алгоритмов в методе наименьших модулей

1.1 Введение к первой главе

1.2 Метод наименьших модулей.

1.2.1 Постановка задачи.

1.2.2 Метод Вейсфельда.

1.3 Анализ вариационных задач.

1.3.1 Формулировки основных экстремальных задач.

1.3.2 Двойственные задачи.

1.3.3 Решение задач гладкой оптимизации.

1.4 Оценки сверху для уровня неоптимальности.

1.4.1 Подход, основанный на задаче взвешенного метода наименьших квадратов.

1.4.2 Подход, основанный на свойствах задачи метода наименьших модулей.

1.5 Метод наименьших модулей в спутниковой навигации.

1.5.1 Доплеровские измерения спутниковой навигационной системы

1.5.2 Численное решение задачи метода наименьших модулей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод ι1-аппроксимации в навигационных задачах оценивания»

2.2 Математическая модель БИНС .28

2.2.1 Уравнения ошибок БИНС .28

2.2.2 Особенности уравнений ошибок при стендовых испытаниях.31

2.2.3 Модели погрешностей чувствительных элементов.33

2.2.4 Особенности начальной выставки.35

2.2.5 Уравнения формирующего фильтра.38

2.2.6 Динамическая система в непрерывном времени.40

2.3 Структура задачи оценивания.40

2.3.1 Дискретизация динамической системы.40

2.3.2 Структура измерений в задаче оценивания.42

2.3.3 Эксперимент с угловой и азимутальной информацией. Декомпозиция динамической системы .49

2.3.4 Моделирование массива измерений.51

2.3.5 Анализ точности приближенных моделей .55

2.3.6 Эксперимент с полной угловой информацией.

Второй вариант декомпозиции системы.59

2.3.7 Масштабирование и переход к безразмерным переменным.62

2.4 Вариационные проблемы.66

2.4.1 Оценивание состояний динамической системы.66

2.4.2 Сведение к проблеме линейного программирования.69

2.4.3 Переход к проблеме безусловной минимизации.75

2.5 Заключение ко второй главе.80

3 Решение и численный анализ задач оценивания 81

3.1 Введение к третьей главе.81

3.2 Структурные элементы программной реализации.81

3.3 Оценивание скачков в инерциальных датчиках при наличии скоростной и азимутальной информации.83

3.3.1 Входные параметры вычислительной процедуры.83

3.3.2 Оценивание скачков в показаниях акселерометров.86

3.3.3 Варьирование весовых коэффициентов.92

3.3.4 Сравнение с методом наименьших квадратов.95

3.3.5 Оценивание скачков в показаниях гироскопов.100

3.4 Оценивание скачков в инерциальных датчиках при наличии полной угловой информации.105

3.4.1 Особенности вариационных проблем и их решений.105

3.4.2 Границы применимости метода ¿х-аппроксимации.108

3.5 Алгоритмические особенности /^аппроксимации .111

3.5.1 Методы, основанные на линейном программировании.111

3.5.2 Уровни неоптимальности в проблемах /х-аппроксимации для динамических систем.114

3.5.3 Оконное ¿х-сглаживание для больших массивов измерений .121

3.6 Заключение к третьей главе.128

Основные результаты диссертации 129

Список литературы 130

ВВЕДЕНИЕ

В задачах прикладной математики и механики часто появляется необходимость оценить значения некоторых неизвестных параметров по произведенным измерениям. Так возникают проблемы оценивания. Среди методов их решения помимо статистических и частотных подходов можно выделить методы, в которых оценки неизвестных параметров ищутся как решения вариационных проблем; таков, например, широко известный метод наименьших квадратов. В данной работе речь пойдет о методе ^-аппроксимации, также называемом методом наименьших модулей (МНМ). В качестве его приложений будут рассматриваться задачи обработки навигационной информации, в частности, задача выявления сбоев в показаниях инерциальных датчиков [14].

Известно [13, 31, 46, 47, 50], что по сравнению со многими другими методами оценивания ¿1-а1шроксимация обладает большей устойчивостью по отношению к аномально большим ошибкам в измерениях. Поэтому метод наименьших модулей оказывается полезным при обработке реальных данных, которые, как показывает практика, могут содержать погрешности, существенно превосходящие средний уровень шумов.

Идея использования метода наименьших модулей в прикладных задачах не нова. У истоков данного направления стояли П.С. Лаплас [53] и Р. Боскович [49]. Среди современных исследований в этой области необходимо упомянуть работы И.Б. Челпанова [13], В.И. Мудрова и В.Л. Кушко [31], П. Блумфилда [46]. Важное место ¿1-аппроксимация занимает и в работах С. Бойда [47, 52] и Б.Т. Поляка [35], посвященных теории оптимизационных задач. Однако этот метод непрост с вычислительной точки зрения, что затрудняет его использование в случае большого количества измерений и неизвестных параметров. Поэтому, как правило, он находил свое применение в статических задачах оценивания, где необходимые объемы вычислений были сравнительно невелики. В данной работе представлен новый взгляд на использование ¿х-аппроксимации: ее предлагается применить в том числе и в динамических задачах оценивания, возникающих в навигации. Это влечет за собой необходимость обработки больших массивов данных, поэтому значительный интерес вызывают алгоритмы численного решения, позволяющие выполнять такую обработку за ограниченное время и с приемлемой точностью. Примером такого алгоритма может служить метод вариационно-взвешенных квадратических приближений (алгоритм Вейсфельда) [55, 56, 31], дающий возможность найти приближенное решение задачи МНМ. В первой главе данной работы предлагается усовершенствование этого алгоритма: на основе теории двойственности выпуклых вариационных задач [7] получены оценки уровней неоптимальности, позволяющие контролировать качество приближенных решений указанной оптимизационной проблемы. Ранее оценки уровней неоптимальности строились для приближенных решений задач гарантирующего оценивания и линейного программирования [9, 25, 26, 54, 47], а применительно к методу Вейсфельда этот результат является новым. Кроме того, в первой главе показано, как алгоритм Вейсфельда может быть использован в важной с прикладной точки зрения задаче обработки сигналов спутниковых навигационных систем.

Значительное внимание в диссертации уделено применению ^-аппроксимации для обработки результатов стендовых испытаний бесплатформенных инерциальных навигационных систем. Решается задача, состоящая в определении моментов и величин скачков в показаниях чувствительных элементов БИНС. Особый интерес к данному направлению исследований возник в рамках сотрудничества лаборатории управления и навигации МГУ с Московским институтом электромеханики и автоматики, имеющим полувековой опыт разработки инерциальных навигационных систем.

Основы современной теории навигационных задач оценивания заложены в работах А.Ю. Ишлинского [21, 22], В.Д. Андреева [8], Г.О. Фридлендера [38], Е.А. Девянина [16, 17] PI H.A. Парусникова [34]. Большой практический опыт в этой области накоплен в лаборатории управления и навигации МГУ им. М.В. Ломоносова [14, 15, 18]. Так, эффективные алгоритмы численного решения навигационных задач оценивания разработаны Ю.В. Болотиным, Н.Б. Вавиловой, A.A. Голованом и В.В. Тихомировым [37].

Отметим, что часть современных исследований посвящена в том числе и обработке информации с аномально большими ошибками. Так, большое распространение получили робастные статистические методы, детально изученные, например, в монографии Дж. П. Хьюбера [41]. Также необходимо отметить диссертацию А.Ю. Невидомского [32], в которой применительно к навигации и гравиметрии рассмотрено использование робаст-ных методов оценивания, в том числе и метода наименьших модулей. Еще один способ оценивания в случае скачков в обрабатываемых сигналах основан на так называемом банке фильтров Калмана. Одним из первых методику использования данного подхода описал Д.Г. Лайниотис [24]. Существенное развитие его результатов предложено в работах С.П. Дмитриева, O.A. Степанова и Д.А. Кошаева [19, 23], посвященных методу многоальтернатинной фильтрации в навигационных задачах оценивания.

Как правило, подходы к обработке навигационной информации основаны на кал-мановской теории оценивания (см., например, [6, 51]). В этом смысле, предлагаемый в данной работе метод ^-аппроксимации принципиально отличается от них как с точки зрения свойств получаемых решений, так и с точки зрения алгоритмической реализации. Основным математическим моделям навигационных задач оценивания и формулировкам соответствующих вариационных проблем посвящена вторая глава диссертации. В третьей главе исследуются численные особенности ¿i-апнроксимации в динамических задачах оценивания. Для анализа точности приближенных решений используются оценки уровней неоптимальности, полученные в первой главе.

Таким образом, главная цель данной работы состоит в том, чтобы на основе теории выпуклых вариационных задач разработать методику применения /i-аппроксимации для решения навигационных проблем оценивания (в том числе, динамических).

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Акимов, Павел Александрович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

Цель диссертации состоит в том, чтобы разработать методику применения /^аппроксимации для ряда навигационных задач оценивания. Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Для алгоритма Вейсфельда, используемого для решения задачи метода наименьших модулей, построены две оценки уровней пеоптимальности приближенных решений. Тем самым, предложен эффективный механизм контроля точности вычислений.

2. Задача идентификации скачков в показаниях чувствительных элементов бесплатформенных инерциальных навигационных систем сведена к проблеме /х-аппрокси-мации для дискретной динамической системы.

3. Описаны подходы к решению проблемы /^аппроксимации, основанные на сведении ее к линейному программированию или к задаче безусловной минимизации, соответствующей классическому методу наименьших модулей.

4. В результате численных экспериментов, проведенных при помощи разработанного автором комплекса программ, установлено, что предложенные алгоритмы дают возможность с необходимой точностью решать задачи /х-аппроксимации в случае большого количества измерений и неизвестных параметров. Показано, что данная методика позволяет определять скачки в показаниях как акселерометров, так и гироскопов бесплатформенных инерциальных навигационных систем, а также устранять влияние сбоев в измерениях спутниковых навигационных систем.

Таким образом, разработаны математическая формализация и новые алгоритмы решения статических и динамических навигационных задач оценивания. Эти алгоритмы обладают высокой эффективностью для систем с аномально большими измерительными ошибками и скачками в оцениваемых параметрах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Акимов, Павел Александрович, 2011 год

1. Акимов П.А., Матасов А.И. Оценка смещений в показаниях инерциальных датчиков БИНС посредством ¿i-аппроксимации // Автоматика и телемеханика, №2, 2011. С. 9-24.

2. Акимов П.А., Матасов А.И. Уровни неоптимальности алгоритма Вейсфельда в методе наименьших модулей // Автоматика и телемеханика, №2, 2010. С. 4-16.

3. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. —-М.: Наука, 1977.

4. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников H.A., Тихомиров В.М. Оптимизация динамики управляемых систем.—М.: Изд-во МГУ, 2000.

5. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление.—М.: Физ-матлит, 2005.

6. Андреев В.Д. Теория инерциалъной навигации (корректируемые системы).—М.: Наука, 1967.

7. Белоусов Л.Ю. О многоцелевом планировании в рамках модели ошибок измерений с произвольной корреляцией // Космические иследования, Т. 18, № 5, 1980. С. 790-799.

8. Васильев Ф.П., Р1ваницкий А.Ю. Линейное программирование. — М.: Факториал, 1998.

9. Гильбо Е.П., Челпанов И.Б. Обработка сигналов на основе упорядоченного выбора. — М.: Сов. радио, 1975.

10. Голован A.A., Парусников H.A. Математические основы навигационных систем. Часть I. Мателштические модели инерциалъной навигации.— М.: Изд-во МГУ, 2010.

11. Голован A.A., Парусников H.A. Математические основы навигационных систем. Часть II. Приложения методов оптимального оценивания к задачам иавигау,ии.— М.: Изд-во МГУ, 2008.

12. Девянин Е.А., Ишлинский А.Ю., Климов Д.М. Механика гироскопических и навигационных систем // Механика в СССР за 50 лет. Обитая и прикладная механика, т.1. М.: Наука, 1968. С. 245-264.

13. Дмитриев С.П., Степанов O.A. Многоальтернативная фильтрация в задачах обработки навигационной информации //Радиотехника, №7, 2004.

14. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. — М.: Наука, 1974.

15. Ишлинский А.Ю. Механика гироскопических систем. —М.: Изд-во АН СССР, 1963.

16. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. —М.: Наука, 1976.

17. Кошаев Д.А. Многоальтернативный метод обнаружения и оценки нарушений на основе расширенного фильтра Калмана // Автоматика и телемеханика, №5, 2010. С. 70-83.

18. Лайниотис Д.Г. Разделение единый метод построения адаптивных систем // Труды ин-та инженеров по электротехнике и радиоэлектронике, Т. 64, № 8, 1976. С. 8-27.

19. Лидов М.Л. Математическая аналогия между некоторыми оптимальными задачами коррекции траекторий и выбора состава измерений и алгоритмы их решения // Космические иследоваиия, Т. 9, JV2 5, 1971. С. 687-694.

20. Лидов М.Л. Минимаксные методы оценивания. — М.: ИПМ РАН им. М.В. Келдыша, 2010.

21. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. —М.: Наука, 1986.

22. Марпл С.К. Цифровой спектральный анализ и его приложения.—М.: Мир, 1990.

23. Матасов А.И. Метод гарантирующего оценивания— М.: Изд-во МГУ, 2009.

24. Мудров В.И., Кушко В.Л. Метод наименьших модулей.— М.: Знание, 1971.

25. Мудров В.И., Кушко В.Л. Методы обработки измерений: квазиправдоподобные оценки.— М.: Радио и связь, 1983.

26. Невидомский А.Ю. Робастные методы в задачах гравильетрии и навигации.— Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук. Мех.-мат. ф-т МГУ, 1999.

27. Новожилов И.В. Фракционный анализ— М.: Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 1995.

28. Парусников H.A., Морозов В.М., Борзов В.И. Задача коррекции в инерциалъной навигации.—М.: Изд-во МГУ, 1982.

29. Поляк Б.Т. Методы ¿i-оптимизации в управлении и фильтрации // Материалы пленарных докладов III мультиконференции по проблемам управления. СПб., ОАО "Концерн ЦНИИ "Электроприбор", 2010.

30. Степанов O.A. Применение теории нелинейной фильтрации в задах обработки навигационной информации.—СПб., ОАО "Концерн ЦНИИ "Электроприбор", 2003.

31. Тихомиров В.В. Оценка дрейфов БИНС на неподвижном стенде. — Отчет лаборатории управления и навигации мех.-мат. ф-та МГУ, 2008.

32. Фридлендер Г.О. Инерциальные системы навгшщии. — М.: Физматгиз, 1961.

33. Хардле В. Прикладная непараметрическая регрессия. — М.: Мир, 1993.

34. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. — М.: Сов. радио, 1980.

35. Хьюбер Дж.П. Робастностъ в статистике. — М.: Мир, 1984.

36. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. — М.: Мир, 1979.

37. Akimov P.A., Matasov A.I. Nonoptimality levels in numerical implementation of the least absolute deviations method // 4th International Scientific Conference on Physics and Control. Catania, Italy, 2009.

38. Akimov P.A., Matasov A.I. State estimation via ¿i-norm approximation: application to inertial navigation // 18th World Congress of the International Federation of Automatic Control. Milan, Italy, 2011 (принята к публикации).

39. Barrodale I., Roberts F.D.K. An improved algorithm for discrete h linear approximation // SIAM Journal, vol. 10, № 5, 1973, pp. 839-848.

40. Bloomfield P., Steiger W.L. Least Absolute Deviations: Theory, Applications, and Algorithms. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhauser, 1983.

41. Boyd S., Vandenberghe L. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004.

42. Carlson N.A. Fast triangular formulation of the square root filter // AIAA Journal, vol. 11, №, 1973, pp. 1259-1265.

43. Eisenhart C. Boscovitch and the Combination of Observations / L.L. Whyte, (Ed.), Roger Joseph Boscovitch. New York: Fordham University Press, 1961.

44. Huber J.P. Robust Smoothing / Launer R.L., Wilkinson G.N. (Ed.), Robustness in Statistics. New York: Academic Press, 1979.

45. Kailath T., Sayed A.H., Hassibi B. Linear Estimation. New Jersey, Prentice Hall, 2000.

46. Kim S.J., Koh K., Boyd S, Gorinevski D. h trend filtering //SIAM Review, vol. 51, № 2, 2009, pp. 339-360.

47. Laplace P.S. Sur Quelques du Système du Monde. Mémories de l'Académie Royale des Science de Paris (1789). Paris, Gauthier-Villars, 1895.

48. Matasov A.I. Estimators for Uncertain Dynamic Systems. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1999.

49. Weiszfeld E. Sur le point par lequel la somme des distances de n points donnés est minimum // Tôhoku Mathematics, vol. 43, J. 1937, pp. 355-386.

50. Weiszfeld E., Plastria F. On the point for which the sum of the distances to n given points is minimum //Annals of Operations Research, vol. 167, № 1, 2008, pp. 7-41.

51. Wright M.H. The interior-point revolution in optimization: history, recent developments, and lasting consequences // Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 42, № 1, 2005, pp. 39-56.