Реконструкция неоднородного предварительного напряженного состояния в твердых телах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Дударев, Владимир Владимирович

• Дударев, Владимир Владимирович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Дударев, Владимир Владимирович

Содержание

Введение

Глава 1 Постановка задач о колебаниях предварительно напряженных тел

§ 1.1 Развитие теории предварительного напряженного состояния

§ 1.2 Постановка краевой задачи

§1.3 Слабая постановка задачи

§ 1.4 Постановка задачи об изгибных колебаниях стержня

§ 1.5 Постановка задачи для кольцевой области

§ 1.6 Постановка задачи о толщинных колебаниях ортотропного слоя

Глава 2 Построение решений прямых задач

§ 2.1 Изгибные колебания стержня

§ 2.2 Радиальные колебания кольцевой области

§ 2.3 Толщинные колебания ортотропного слоя

Глава 3 Исследование обратных задач

§ 3.1 Методы решения обратных задач

§ 3.2 Определение ПНС при изгибных колебаниях стержня

§ 3.3 Определение ПНС при радиальных колебаниях кольцевой области

§ 3.4 Определение ПНС при толщинных колебаниях слоя

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Реконструкция неоднородного предварительного напряженного состояния в твердых телах»

Введение

Предварительными (внутренними, собственными, первоначальными) напряжениями (ПН) называются напряжения, которые существуют в теле при отсутствии внешних воздействий (силовых или температурных) [1,2]. В живой природе ПН присутствуют в костной ткани, стенках кровеносных сосудов и особенно ярко проявляют себя при формировании новых тканей. Современные исследования механических свойств костей с учетом подобных напряжений приводятся в работах И.Ф. Образцова, С. Ямады (S. Yamada) [3], А. Ахмеда (А. Ahmed), Б. Маккормака (В. McCormack) и других. При этом установлено, что остаточные напряжения в трубчатых костях человека и животных могут достигать нескольких МПа [3,4]. В работах [5,6] приводятся некоторые результаты теоретических исследований распределения напряжений и деформаций в артериальных сосудах. Следует отметить, что обычно при моделировании напряженного состояния в артериях применяют гипотезу об однородности остаточных напряжений (например, [7]). Другое направление в области биомеханики посвящено изучению механических свойств различных типов кровеносных сосудов. Соответствующие теоретические и экспериментальные подходы представлены в работах С. Коуина (S. Cowin), Дж. Хамфри (J. Humphrey), Г. Хольцапфеля (G. Holzapfel), Р. Огдена (R. Ogden) и других.

В технологических изделиях ПН обычно возникают в результате различных производственных процессов, вызывающих пластические деформации и неоднородное охлаждение. Наибольшая концентрация таких напряжений наблюдается в окрестности дефектов (полости, трещины, включения и т.п.). По масштабам изменения остаточные напряжения можно условно разделить на микронапряжения и макронапряжения. Если в пределах размера зерна материала напряжения изменяются несущественно и условие равновесия сил выполняется для большого числа кристаллов, то такие напряжения могут быть отнесены к числу макронапряжений. Для них

допустимо использование гипотезы изотропности. Например, обычные напряжения от внешних нагрузок относятся к макронапряжениям. Микронапряжения претерпевают резкие изменения в пределах размера одного зерна, при этом условие равновесия сил выполняется только для отдельного зерна. Наличие микронапряжений связано с анизотропией кристаллов, наличием различных фаз, ориентацией кристаллографических плоскостей и т.д. [8].

В силу своей природы остаточные напряжения могут играть решающую роль при наложении на них больших эксплуатационных нагрузок, поэтому их учет чрезвычайно важен в прогнозировании критических ситуаций. Отличительной чертой остаточных напряжений также является то, что их присутствие никак не проявляется до тех пор, пока не происходит сбой или разрушение. Поэтому в настоящее время разработка и усовершенствование методов идентификации ПН является актуальной задачей механики деформируемого твердого тела. По виду диагностики в механике различают три типа методов: разрушающие, полуразрушающие и неразрушающие. При выборе того или иного метода следует в первую очередь установить какую именно информацию о ПН необходимо получить (уровень, распределение, область концентрации и т.п.). Во-вторых, следует учитывать размеры, расположение и доступность объекта исследования к всестороннему экспериментальному анализу. В-третьих, принимать во внимание проблему о сочетании точности измерений, оперативности осуществления идентификации и финансовые ресурсы проекта [9].

На сегодняшний день наиболее развитыми и распространенными методами определения ПН являются разрушающие и полуразрушающие методы. Особенностью таких методов является то, что объектом исследования являются не сами остаточные напряжения, а соответствующие им деформации. Такие методы дают количественную оценку ПН в исследуемой области.

Наиболее популярным полуразрушающим методом является тензометрический метод сверления луночек. В США этот подход стандартизирован и имеет спецификацию ASTM Standard Method Е 387. Процедура измерения таким методом включает в себя несколько этапов: установка тензометрической трех- (или шести-) элементной кольцевой розетки, сборка структурной электромеханической цепи, освобождение остаточных напряжений путем просверливания небольшой луночки в центре розетки, численная обработка полученных данных для определения главных напряжений и их угловой ориентации [9,10]. Основным преимуществом этого метода являются относительно простая процедура измерения остаточных напряжений, мобильность, оперативность, широкий выбор измерительных установок. В качестве недостатков следует отметить довольно небольшую измерительную глубину (от 0,8 - 4,8 мм), локальность измерений, высокие требования к гладкости поверхности, неприменимость метода к легкоплавким и мягким материалам (пластмассы, алюминиевые сплавы и т.п.).

Другим широко распространенным полуразрушающим тензометрическим методом является метод последовательного растяжения щели (надреза). Отличительной особенностью этого метода является более высокая пространственная разрешающая способность по глубине объекта. Очень подробные теоретические обоснования, практические примеры, сравнительные таблицы и историческое развитие этого подхода описаны в работе [11], библиографический список которой охватывает более 70 источников. Главным ограничением при исследовании напряженного состояния тензометрическими методами является физические возможности установки тензодатчиков вблизи области вызываемых деформаций.

В нашей стране наибольшее практическое распространение наряду с методом луночек получили статические методы H.H. Давиденкова и Г. Закса для оценки предварительного напряженного состояния (ПНС). Теоретическая основа этих методов и практические рекомендации по их

осуществлению представлены в книге [2], а их использование для древесных материалов были специализированы в межгосударственном стандарте ГОСТ 11603-73. Идея этих подходов заключается в последовательной процедуре снятия достаточно тонких слоев с поверхности исследуемого объекта и проведением опытов по определению значений модуля Юнга.

С развитием технологий и вычислительных мощностей современных ЭВМ все больший интерес вызывают неразрушающие методы диагностики ПНС в объектах ответственного назначения. К таким методам относят метод рентгеновской и нейтронной дифракции, голографический метод [11], акустический метод, магнитошумовой и другие. Следует отметить, что существующие на настоящий момент неразрушающие методы дают преимущественно качественную оценку уровня остаточных напряжений. Например, метод фотоупругих покрытий позволяет осуществлять диагностику и предоставляет наглядную картину областей с высоким уровнем исследуемых напряжений. Эта технология эффективна преимущественно для плоских элементов конструкций и поэтому некоторые аэрокосмические компании используют этот метод для первоначальной диагностики массивных элементов, таких как шасси и крылья с целью определения опасных участков [12,13]. Методы рентгеновской и нейтронной дифракции признаны наиболее точными методами для измерения около поверхностных макро- и микронапряжений [13-16]. Но они имеют несколько существенных ограничений: сильная восприимчивость к анизотропии зерен, неприменимость к материалам с некристаллическим строением, сложность измерения напряжений в неровных поверхностях, существенные временные затраты для получения окончательных результатов (от нескольких дней до недели), высокая стоимость и малое число лабораторий, обладающих необходимым оборудованием [11].

В последнее время внимание как отечественных, так и зарубежных ученых обращено к совершенствованию акустического метода [17,18], теоретическое обоснование которого началось с середины прошлого

века [17,19]. Главным преимуществом этого подхода является мобильность, экономичность, возможность применения к различным материалам и оперативность проведения всего цикла исследования. В настоящее время непосредственное сравнение диаграмм распределения напряженного состояния на поверхности сплава титана показало, что точность метода сравнима с точностью дорогостоящего метода рентгеновской дифракции [20]. Одни из последних разработок ультразвукового метода отражены в работе Карабутова A.A. и др. [21]. Здесь по серии экспериментов производится реконструкция ПНС в области сварного шва тонкой пластины (8 мм) по значениям главных напряжений. В основе теоретического обоснования работы лежит вывод, полученный ранее в [20], о том, что для изотропного тела относительное отклонение скорости продольной ультразвуковой волны пропорционально сумме главных напряжений. При этом необходимые коэффициенты пропорциональности определяются только механическими свойствами материала. Несмотря на довольно развитую техническую сторону этого метода, следует отметить, что основной целью подхода остается задача идентификации существенно неоднородного ПНС в упругих телах и развитие более сложной теории.

Сегодня наравне с экспериментальными методами и технологиями идентификации остаточных напряжений продолжается разработка аналитических и конечноэлементных моделей поведения тел при наличии ПНС [9,19,22,23]. Целью конечноэлементного моделирования является разработка наиболее адекватных моделей ПНС в различных элементах на основе статистических экспериментальных данных, полученных в результате разрушающей или полуразрушающей диагностики. Разработка теорий, описывающих ПНС, позволяет рассматривать основной вопрос о единственности решения задачи его идентификации и анализировать влияние остаточных напряжений на различные процессы (ростовые, деформационные и т.п.) [23,24]. Также практический интерес вызывают статьи, посвященные

разработке моделей, предсказывающих (прогнозирующих) ПНС в изделиях широкого потребления после технологической обработки.

В работе [25] для случая плоских полей напряжений выведены интегральные соотношения акустоупругости, связывающие параметры зондирующего импульса с распределением начальных деформаций (напряжений) вдоль направления его распространения в деформированном теле. Представлен пример использования сформулированных интегральных соотношений в обратной задаче акустической диагностики остаточных напряжений в полосе. Известны примеры практического применения полученных акустических соотношений с целью неразрушающих измерений однородного напряженно деформированного состояния объектов [26].

Цель диссертационной работы заключается в решении задач идентификации неоднородного ПНС в твердых телах (стержня, слоя и кольца).

В первой главе диссертации представлены постановки прямых задач о колебаниях предварительно напряженных тел в рамках акустического метода. В параграфе 1.1 приведен краткий исторический обзор по проблеме формирования понятия ПНС. Представлены основные современные математические модели механики сплошной среды, описывающие поведение тела при наличии неоднородного поля ПН. В параграфе 1.2 сформулирована общая постановка краевой задачи о колебаниях тела в терминах несимметричного тензора Пиолы при наличии ПНС на основе модели, развитой А.Н. Гузем. В параграфе 1.3 на основе общей постановки задачи выведена слабая постановка задачи. В представленной форме компоненты тензора ПН и упругих модули в общем случае могут быть заданы как функции пространственных координат. С помощью этой постановки можно производить расчеты прямых задач в конечноэлементном пакете РгееБет-Н-для тел с различной геометрией и законов изменения ПНС. В параграфе 1.4 представлена постановка задачи об установившихся изгибных колебаниях предварительно напряженного стержня согласно гипотезам Бернулли-

Эйлера. Получены уточненные граничные условия. В параграфе 1.5 сформулирована общая постановка задачи для кольцевой области в рамках плоской деформации. Представлена задача о радиальных колебаниях кольца в случае, когда поле ПН зависит только от радиальной координаты. В параграфе 1.6 сформулирована постановка задачи о толщинных колебаниях ортотропного слоя при наличии поля ПН, зависящих от поперечной координаты. Колебания вызываются нагрузкой, приложенной на верхней границе слоя. При выводе уравнений движения и граничных условий использовано преобразование Фурье по продольной координате.

Во второй главе изложены методы построения решений прямых задач для изучаемых проблем. В дальнейшем эти решения используются в качестве входной информации при исследовании обратных задач об идентификации неоднородного ПНС. В параграфе 2.1 для задачи об изгибных колебаниях стержня проведена процедура обезразмеривания, решение сведено к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно специально введенной функции. Решение этого интегрального уравнения осуществлено численно с помощью метода коллокаций с использованием квадратурной формулы Симпсона. Для задачи о реконструкции неоднородного ПНС был проведен численный анализ влияния уровня ПН на амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) и исследована зависимость значений собственных частот от величины ПН. В параграфе 2.2 осуществлено численное решение прямой задачи для кольцевой области на основе метода пристрелки в пакете Maple. Для анализа точности численного решения получено аналитическое решение в случае постоянного ПНС. Аналитическое решение построено через функции Бесселя первого и второго рода. Проведен анализ влияния уровня ПНС, соответствующего решению классической задачи Ламе, на АЧХ. Выявлены зоны наибольшей чувствительности. В параграфе 2.3 прямая задача об определении значений осредненной характеристики смещения сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Интегральное уравнение решено численно на

основе метода коллокаций аналогично задаче для стержня. Проведен анализ влияния уровня ПНС на АЧХ. Отмечена зависимость значений частот толщинных резонансов от величины ПН.

В третьей главе рассмотрены коэффициентные обратные задачи для предварительно напряженных упругих тел. В параграфе 3.1 представлен обзор методов и подходов к решению обратных задач. Обозначены основные преимущества и недостатки каждого из них. Описаны способы формулировки операторных уравнений, связывающих неизвестные и заданные функции. Поскольку в явном виде это осуществить невозможно, в работе сформулирована общая итерационная схема, при этом на каждом шаге необходимо находить решение прямой задачи и вычислять поправки на основе данных, полученных на предыдущем шаге. Неизвестные поправки находятся с помощью регуляризованной схемы решения интегральных (в задаче для стержня и слоя) или интегро-дифференциального (в задаче для кольца) уравнений. Как известно, для реализации любого итерационного процесса необходимо знать начальное приближение восстанавливаемой функции. В настоящей работе для конкретной рассматриваемой обратной задачи такое начальное приближение выбиралось в классе линейных функций, коэффициенты которых находились из условия минимума функционалов невязки на построенных компактных множествах, исходя из априорной информации об ограниченности значения ПНС. На основе общей постановки задачи выведено общее линейное операторное уравнение для отыскания поправок компонент тензора ПНС.

В параграфе 3.2 представлена задача об определении ПНС при изгибных колебаниях стержня по данным об АЧХ нагруженного конца. Решение обратной задачи предлагается строить с помощью описанного итерационного процесса. Изложен метод линеаризации для формулировки операторного соотношения, связывающего искомую характеристику (функцию изменения одноосного ПНС) упругой балки с заданными функциями (прогибом балки в точке приложения силы для фиксированной

частоты). Полученное соотношение представляет собой интегральное уравнение Фредгольма первого рода. Уравнение представлено в безразмерном виде. Показана важность сохранения величины ПН при старшей производной функции смещения в уравнении движения при выводе этого уравнения. На каждом шаге итерационного процесса из решения прямой задачи, находились новые узловые значения функции смещения. На основе этих значений вычислялась правая часть интегрального уравнения Фредгольма первого рода и его ядра. Решение этого уравнения осуществлено численно с помощью метода регуляризации А.Н. Тихонова. Представлены результаты вычислительных экспериментов по реконструкции неоднородного ПНС, соответствующего монотонным и немонотонным законам распределения. Проведен анализ точности реконструкции. Даны практические рекомендации по выбору частотного диапазона.

В параграфе 3.3 представлена обратная задача об определении ПНС при радиальных колебаниях кольцевой области. Предложено 2 подхода для определения функции, описывающей изменение радиальной компоненты тензора ПНС, по известной информации о смещении кольца при заданной частоте. В рамках первого подхода решение обратной задачи сведено к дифференциальному уравнению 1-го порядка с переменными коэффициентами относительно неизвестной функции. При этом в качестве дополнительной информации считаются заданными значения функции смещения в конечном наборе точек кольцевой области, соответствующие некоторой фиксированной частоте. Результаты вычислительных экспериментов по реконструкции закона, соответствующего ПНС задачи Ламе, показали, что такой подход реализуем в частотной области до первого резонанса. Дальнейший анализ показал, что нельзя осуществить восстановление исходной функции с приемлемой точностью в иной частотной области в силу обращения в некоторых точках в ноль коэффициента при старшей производной неизвестной функции. Представлены примеры восстановления различных законов. Отмечено, что

точность реконструкции определяется главным образом точностью аппроксимирования первой и второй производной функции смещения. При втором подходе в качестве дополнительной информации считается известной АЧХ на внешнем радиусе в заданном частотном диапазоне. В этом случае построение численного решения, как и для задачи о стержне, реализовано с помощью предложенного итерационного метода. На основе метода линеаризации выведено необходимое операторное соотношение, связывающее искомую функцию поправки радиальной компоненты ПНС с измеряемой функцией смещения на внешнем радиусе. Представленное соотношение представляет собой интегро-дифференциальное уравнение. Вычисление правой части и ядра этого уравнения на каждом шаге осуществлено на основе решения прямой задачи для кольца и входных данных об АЧХ. Представлены примеры реконструкции различных законов изменения. Обсуждены границы применимости предложенного подхода. Также в работе выведена формула, связывающая значения собственных частот при наличии и отсутствии ПНС. На основе этой формулы при известном законе изменения ПНС (например, в рамках задачи Ламе) достаточно просто определить его уровень. В параграфе 3.4 решение обратной задачи для слоя предлагается строить с помощью итерационного метода. На основе метода линеаризации выведено соотношение, связывающее значения неизвестной функции поправки и известной функции трансформанты смещения на верхней границе слоя при заданной частоте. Это соотношение также представляет собой интегральное уравнение Фредгольма первого рода. Особенностью этого уравнения является свойство его ядра, которое для некоторых частот колебаний может обращаться в ноль. Вычисление правой части и ядра этого уравнения реализовано на основе решения прямой задачи. Представлены результаты вычислительных экспериментов по реконструкции неоднородного поля ПНС, соответствующего монотонным и немонотонным законам распределения. Также проведены эксперименты по реконструкции монотонного закона при

наличии различного уровня погрешности входных данных. Представлен анализ полученных результатов, даны практические рекомендации по осуществлению наиболее успешной реконструкции.

В заключении приведены основные результаты, выносимые на защиту.

Основное содержание диссертации отражено в работах [27-46]. Четыре статьи [27-30] представлены в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

В работах [27,28,30] Ватульяну А.О. принадлежит общая формулировка задач и выбор методов их исследования, Дудареву В.В. -постановка краевых задач, вывод общих соотношений и интегральных уравнений для решения рассматриваемых задач, проведение вычислительных экспериментов. В работах [29,44,46] Недину Р.Д. принадлежат методы решения прямых (определение компонент вектора перемещения) и обратных задач (определение плоского ПНС) для двухмерных областей на основе метода конечных элементов (РгееРет++).

Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (госконтракт от 18.05.2010 г. №П596, соглашения № 14.132.21.1358, 14.132.21.1360) и грантов Российского фонда фундаментальных исследований (10-0Ь00194-а, 13-01 -00196-а, 12-01-31501 мол а).

Глава 1 Постановка задач о колебаниях предварительно напряженных тел

§ 1.1 Развитие теории предварительного напряженного состояния

Современное понятие ПНС непосредственно опирается на общее определение напряжений в теле. В свою очередь стоит отметить, что процесс формирования термина «напряжение» в научной литературе имеет достаточно долгую и сложную историю. В хронологическом порядке можно кратко выделить важные труды выдающихся ученых, послужившие развитию этого процесса [47]:

• Архимед «7repi xcov ôxoujiévcov» («О плавающих телах», 250 г. До н. э.) - первое упоминание о понятии «сила» при формулировке аксиомы о взаимодействии двух жидкостей [48,49];

• Симон Стевин в работе «De Beghinselen des Waterwichts» («Гидростатика», 1586 г.) выдвинул принцип затвердевания жидкости, на основе которого обосновал закон сообщающихся сосудов и получил правильную формулу для расчета давления на боковые стенки и дно сосуда произвольной формы [49];

• Блез Паскаль в сочинении «Traités de l'équilibre des liqueurs» («Трактат о равновесии жидкостей», 1663 г.), исходя из принципа Стевина, сформулировал более общий закон гидростатики о независимости давления жидкости на некоторую площадку от ее ориентации в данной точке [50];

• Галилео Галилей полагал, что разрыв при растяжении происходит в том случае, когда достигается определенная величина усилия, приходящегося на единицу площади [51] («Discorsi е dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze» («Беседы и математические доказательства двух новых наук», 1638 г.));

• Пардис Игнатий Гастон в сочинении «Description et explication de deux machines propres à faire des cadrans avec une grande facilité» (1673 г.) в отличие

от Стевина сформулировал принцип затвердевания для теории твердых деформируемых тел, относящийся уже к гибким нитям (подвесными мостам, цепным линиям и т.д.) [52];

• Якоб Бернулли при исследовании поведения гибких нитей произвольной толщины и балок под действием произвольно распределенной нагрузки (1691-1704) применял принцип затвердевания Пардиса. Он в явной форме ввел напряжение (firmitas) и в 1691 г. вывел общие уравнения равновесия плоской гибкой нити при действии произвольной распределенной нагрузки [53];

• Паран продолжил работу Якоба Бернулли в «Recherches de mathématique et de physique» («Исследования по математике и физике», 1713 г.), при изучении нагруженной балки он заметил, что для выполнения введенных им условий равновесия также необходимы силы, касательные к поперечному сечению [50,53,54];

• Леонард Эйлер в статьях по гидродинамике (1750-1766 гг.) и мемуарах «Principes généraux du mouvement des fluides» («Общие принципы движения жидкостей», 1755 г.) ввел понятие внутреннего гидродинамического давления в обобщении для любой жидкости и при любых условиях, представил уравнение движения для жидкости в векторной форме [55];

• Шарль Огюстен де Кулон в своих мемуарах [56], представленных в Парижскую академию наук в 1773 г., пересмотрел и уточнил рассуждения Парана. Он выписал в проинтегрированном виде все уравнения равновесия для поперечного сечения и пришел к выводу, что площадь, ограниченная кривой давлений, должна быть равна площади, ограниченной кривой натяжений, рассчитал результирующие напряжения сдвига в зависимости от нагрузки [54,57];

• Современная общая теория напряжений была создана Огюстеном Луи Коши в 1822 г. [58]. Его принцип напряжений можно сформулировать следующим образом: представим себе внутри непрерывного тела

произвольную замкнутую поверхность; тогда действие материала, находящегося вне этой поверхности, на материал, находящийся внутри нее, равносильно некоторому полю векторов напряжений, определенному на поверхности. Комбинируя этот принцип с уравнениями Эйлера, выражающими баланс количества движения и момента количества движения в произвольном теле [47,54], Коши получил основополагающие выражения для тензора напряжений.

• Луи Марин Анри Навье один из первых применил строгое математическое описание напряженного состояния тела в практических целях [51,59]. Им были исследованы различные напряженные состояния для призматических стержней (растяжение, сжатие и изгиб), оболочек, арок, подпорных стен, ферм и мостов. Навье отметил важность выявления упругой зоны в поведении материала и определения значения модуля упругости при расчете предела прочности конструкции [51].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дударев, Владимир Владимирович, 2013 год

Список литературы

1. Чернышев Г.Н., Попов А.Л., Козинцев В.М., Пономарев И.И. Остаточные напряжения в деформируемых твердых телах. М.: Наука, 1996. 240 с.

2. Биргер И.А. Остаточные напряжения. М: МАШГИЗ, 1963. 232 с.

3. Satoshi Yamada, Shigeru Tadano, Kazuhiro Fujisaki. Residual stress distribution in rabbit limb bones // Journal of Biomechanics. 2011. V. 44, N 7. P. 1285-1290.

4. A. Hizal and B. Sadasivam and D. Arola. Inducing residual stress in bone using abrasive air-jet surface treatment // Proceedings of ASME International Mechanical Enggineering Congress & Exposition. 2007. V. 13. P. 257-260.

5. J.D. Humphrey. Continuum biomechanics of soft biological tissues // Philosophical transactions of the royal society of London. Series A: Mathematical and physical sciences. 2003. V. 459. P. 3^6.

6. Gerhard A. Holzapfel. Computational Biomechanics of Soft Biological Tissue // Encyclopedia of Computational Mechanics. Volume 2: Solids and Structures. 2004. P. 605-635.

7. K. Takamizawa and K. Hayash. Strain energy density function and uniform strain hypothesis for arterial mechanics // Journal of Biomechanics. 1987. V. 20. P. 7-17.

8. Samant A.N., Dahotre N.B. Multilevel residual stress evaluation in laser surface modified alumina ceramic // Applied Physics A: Materials Science & Processing. 2008. V. 90, N 3. P. 493-499.

9. Moharami R., Sattari-Far I. Experimental and numerical study of measuring high welding residual stresses by using the blind-hole-drilling technique // J. Strain Analysis. 2008. V. 43. P. 141-148.

10. ASTM Designation: E837-01 (1999). Standard Test Method for Determining Residual Stresses by the Hole-Drilling Strain Gage Method, American Society for Testing and Materials.

11. Prime M. В. Residual stress measurement by successive extension of a slot: the crack compliance method // Applied Mechanics Reviews. 1999. V. 52. N 2. P. 75-96.

12. Чернышев Г.Н., Попов A.JI. Козинцев B.M. Полезные и опасные остаточные напряжения // Природа. 2002. № 10. С. 17-24.

13. Walker D. Residual stress measurement techniques // Advanced Materials & Processes. 2001. V. 159, N 8. P. 30-33.

14. Shiro A., Nishida M., Jing T. Residual stress estimation of Ti casting alloy by X-ray single crystal measurement method // Neutron and X-ray Scattering in Materials Science and Biology, International Conference on Neutron and X-ray Scattering 2007. 2008. P. 96-100.

15. Larsson C., Oden M. X-ray diffraction determination of residual stresses in functionally graded WC-Co composites // International Journal of Refractory Metals & Hard Materials. 2004. V. 22, N 4-5. P. 177-184.

16. Withers P.J. Mapping residual and internal stress in materials by neutron diffraction // Comptes Rendus Physique. 2007. V. 8, N 7-8. P. 806-820.

17. Никитина H.E. Акустоупругость. Опыт практического применения. Н. Новгород: TAJIAM, 2005. 208 с.

18. Углов А.Д., Ерофеев В.И., Смирнов А.Н. Акустический контроль оборудования при изготовлении и эксплуатации. М.: Наука, 2009. 279 с.

19. Devos D., Duquennoy М., Romero Е., Jenot F., D. Lochegnies, Ouaftouh M., Ourak M. Ultrasonic evaluation of residual stresses in flat glass tempering by an original double interferometric detection // Ultrasonics. 2006. V. 44. P. 923-927.

20. Sathish S., Moran T.J., Martin R.W., Reibel R. Residual stress measurement with focused acoustic waves and direct comparison with X-ray diffraction stress measurements // Materials Science and Engineering: A. 2005. V. 399, N1-2. P. 84-91.

21. Karabutov A., Devichensky A., Ivochkin A., Lyamshev M., Pelivanov I., Upendra R., Solomatin V., Subudhi M. Laser ultrasonic diagnostics of residual stress // Ultrasonics. 2008. V. 48, N 6-7. P. 631-635.

22. Gardner L., Cruise R.B. Modeling of residual stresses in structural stainless steel sections // Journal of Structural Engineering. 2009. V. 135, N 1. P. 42-53.

23. Robertson R.L. Determining residual stress from boundary measurements: a linearized approach // Journal of Elasticity. 1998. V. 52, N 1. P. 63-73.

24. Guillou A., Ogden R.W. Growth in soft biological tissue and residual stress development // Continuum Mechanics and Thermodynamics. 2007. V. 19, N. 5. P. 47-62.

25. Кравчишин O.3., Чекурин В.Ф. Модель акустоупругости неоднородно деформированных тел // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2009. № 5. С. 150-163.

26. Dorfi H.R., Busby Н., Janssen М. Acoustoelasticity: Ultrasonic stress field reconstruction // Experim. mech. 1996. V. 36, N 4. P. 325-332.

27. Ватульян A.O., Дударев В.В. О реконструкции неоднородного предварительно напряженного состояния в стержне // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2009. № 3. С. 18-23.

28. Ватульян А.О., Дударев В.В. О некоторых проблемах реконструкции неоднородного предварительного напряженного состояния в упругих телах // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9, вып. 4, ч. 2. С. 25-32.

29. Дударев В.В., Недин Р.Д. О реконструкции остаточных напряжений в твердых телах // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4(4). С. 1473-1475.

30. V.V. Dudarev, А.О. Vatulyan. On restoring of the pre-stressed state in elastic bodies // ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2011. V. 91, N 6. P. 485-492.

31. Дударев В.В. Об определении плоского предварительного напряженного состояния // Математический форум. Т. 4. Исследования по математическому анализу, дифференциальным уравнениям и их приложениям. (Итоги науки. Юг России). Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-Д, 2010. С. 232-237.

32. Дударев В.В. К оценке неоднородного предварительного напряженного состояния (плоский случай) // Тр. аспирантов и соискателей Южного федерального университета. Т. XV. Ростов-на-Дону: ИПО ПИ ЮФУ, 2010. С. 28-31.

33. Дударев В.В., Недин Р.Д. Реконструкция неоднородного предварительного напряженного состояния в упругих телах // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики СО РАН. Новосибирск, 2012. Вып. 127: Механика структурно-неоднородных сред. С. 38-40.

34. Дударев В.В. Поперечные колебания предварительно напряженного стержня // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика: Тр. VI Шк.-сем., Ростов-на-Дону, 17-20 декабря 2007. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2008. С. 90-92.

35. Дударев В.В. Об уточненной модели изгибных колебаний предварительно напряженной балки // Современные проблемы механики сплошной среды: Тр. XII Межд. конф., Ростов-на-Дону, 1-5 декабря 2008. Т. II. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2008. С. 56-59.

36. Дударев В.В. Об уточненной модели предварительно напряженного стержня // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика: Тр. VII Шк.-сем., Ростов-на-Дону, 1-5 декабря 2008. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2009. С. 77-79.

37. Ватульян А.О., Дударев В.В. Об операторных уравнениях для предварительно напряженного слоя // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела: Мат. VI Межд. научной конф., Донецк, 8-11 июня 2010. С. 119-122.

38. Дударев В.В. Об антиплоских колебаниях слоя при наличии неоднородного поля предварительных напряжений // III Межд. науч.-практ. конф. «Молодые ученые в решении актуальных проблем науки»: Сборник работ молодых ученых. Ч. 2. Владикавказ. 2012. С. 34-38.

39. Дударев В.В. Плоские колебания предварительно напряженного анизотропного слоя // Современные проблемы механики сплошной среды: Тр. XVI Межд. конф., Ростов-на-Дону, 16-19 октября 2012. Т. I. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ. 2012. С. 80-83.

40. Дударев В.В. О численном решении обратной задачи определения предварительных напряжений в слое // Мат. 2-й науч.-практ. шк.-сем. молодых ученых, Тольятти, 18-21 декабря 2012. Тольятти: ТГУ, 2012. С. 47-51.

41. Дударев В.В. Об определении неоднородного предварительного напряженного состояния для стержней // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. V Всерос. шк.-сем., Дивноморское, 1-5 июня 2009. Ростов-на-Дону: Издательство «Терра Принт», 2009. С. 37-38.

42. Дударев В.В. Об уточненной модели колебаний предварительно напряженного стержня // Неделя науки 2009: Сб. тез. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2009. С. 78-82.

43. Дударев В.В., Недин Р.Д. Идентификация неоднородного предварительного напряженного состояния в плоских упругих областях при установившихся колебаниях // VI Ежегодная научная конференция студентов и аспирантов базовых кафедр Южного научного центра РАН: Тез. докл., Ростов-на-Дону, 19-30 апреля 2010. Ростов-на-Дону: Издательство ЮНЦ РАН, 2010. С. 216-217.

44. Ватульян А.О., Дударев В.В., Недин Р.Д. Реконструкция неоднородного предварительного напряженного состояния в упругих телах // Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и

конструкций: Тез. докл. II Всерос. конф., Новосибирск, 10-14 октября 2011. Новосибирск: Изд. НГТУ С. 21.

45. Дударев В.В. Антиплоские колебания предварительно напряженного слоя // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. VII Всерос. шк.-сем., Дивноморское, 28 мая - 1 июня 2012. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2012. С. 48.

46. Дударев В.В., Недин Р.Д. Задача о радиальных колебаниях кольцевой области при наличии предварительного напряженного состояния // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. VIII Всерос. шк.-сем., Дивноморское, 27 мая - 31 мая 2013. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2013. С. 52.

47. К. Трусделл. Этапы развития понятия напряжения // Проблемы механики сплошной среды. К 70-летию академика Н. И. Мусхелишвили. М.: Издательство Академии наук СССР, 1961. С. 439-447.

48. Григорьян А.Т. Механика от античности до наших дней. М.: Наука, 1971. 482 с.

49. Григорьян А.Т. Популярные беседы о механике. М.: Наука, 1965.

192 с.

50. Тюлина И.А. История и методология механики. М.: Издательство МГУ, 1979. 285 с.

51. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов с краткими сведениями из теории упругости и теории сооружений. М.: Гостехиздат, 1957. 536 с.

52. Жилин П.А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики. СПб: изд-во СПбГПУ, 2003. 340 с.

53. Жилин П.А. Прикладная механика. Основы теории оболочек. СПб: изд-во СПбГПУ. 2006. 167 с.

54. К. Трусделл. Очерки по истории механики. М.-Ижевск: ин-т компьютер, исслед., 2002. 315 с.

55. Яковлев А.Я. Леонард Эйлер. М.: Просвещение, 1983. 79 с.

56. Coulomb С. A. Essai sur une application des regies de maximis et minimis a quelques problèmes de statique relatifs a l'architecture // Mémoires de Mathématique et de Physique, présentes a l'Academie des Sciences par divers savants. Paris: 1776. V. VIII. P. 343-382.

57. Филонович C.P. Шарль Кулон. M.: Просвещение, 1988. 111 c.

58. Cauchy O. L. Recherches sur l'équilibré et le mouvement intérieur des corps solides ou fluides, élastiques ou non élastiques // Bulletin de sciences par la Société Philomatique. 1823. P. 9-13.

59. Navier C. L. M. H. Resume des leçons donnees a l'ecole des ponts et chaussees sur l'appliquation de la mecanique a l'établissement des constructions et des machines. Premiere Partie. Paris, 1826. 288 p.

60. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. Часть 1. Деформация и разрушение. М.: Машиностроение, 1972. 472 с.

61. Иванов А.П., Иванова И.А. Методика определения напряженно-деформированного состояния в прокатных швеллерах после локальных термических воздействий. Алчевск: Изд-во «Ладо», 2009. 385 с.

62. Давиденков H.H. Избранные труды. В 2-х т. Т.2. Механические свойства материалов и методы измерения деформаций. Киев: Наукова Думка, 1981.704 с.

63. R.V. Southwell. On the general theory of elastic stability // Philosophical transactions of the royal society of London. Series A: Mathematical and physical sciences. 1913. V.213. P. 187-244.

64. C.B. Biezeno and H. Hencky. On the general theory of elastic stability // KoninMijke Akademie van Wettenschappen te Amsterdam, Proceedings of the Section of Sciences. 1928. V 31. P. 569-592.

65. E. Trefftz. Zur theorie der stabilitat des elastischen gleichgewichts // ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1933. V. 12, N 2. P. 160-165.

66. M. A. Biot. Nonlinear theory of elasticity and the linearized case for a body under initial stress // Philosophical Magazine, Series 7. 1939. V. 27. P. 468489.

67. Новожилов B.B. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948. 212 с.

68. А.Е. Green, R.S. Rivlin, R.T. Shield. General theory of small elastic deformations superposed on finite elastic deformations // Philosophical transactions of the royal society of London. Series A: Mathematical and physical sciences. 1952. V. 211,N 1104. P. 128-154.

69. К. Трусделл. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.

70. Зубов JI.M. Теория малых деформаций предварительно напряженных тонких оболочек // Прикладная математика и механика. 1976. Т. 40. Вып. 1. С. 85-95.

71. A. Hoger. On the determination of residual stress in an elastic body // Journal of Elasticity. 1986. V. 16. P. 303-324.

72. Гузь A.H., Махорт Ф.Г., Гуща О.И. Введение в акустоупругость. Киев: Наукова думка, 1977. 162 с.

73. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 544 с.

74. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

75. Зубов Л.М. Уравнения совместности, функции напряжений и вариационные принципы в теории предварительно напряженных оболочек // Прикладная математика и механика. 1985. Т. 49, вып. 1. С. 120-129.

76. Зубов Л.М., Попов А.В. Устойчивость кольца с предварительным натягом // Изв. Вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2008. № 1. С. 32-36.

77. Товстик П.Е. Колебания и устойчивость предварительно напряженной пластины, лежащей на упругом основании // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73, вып. 1. С. 106-120.

78. Ватульян А.О. К формулировке интегральных уравнений в проблеме идентификации предварительного напряженного состояния // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2006. № 2. С. 23-25.

79. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Прямые и обратные задачи для однородных и неоднородных упругих и электроупругих тел. Ростов-н/Д: Изд-во Южного федерального университета. 2008. 176 с.

80. Калинчук В.В., Белянкова Т.П. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных тел. М.: ФИЗМАТ ЛИТ 2002, 240 с.

81. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных электроупругих сред. М.: ФИЗМАТЛИТ 2006,272 с.

82. Белянкова Т.И., Калинчук В.В. Динамика массивного тела, взаимодействующего с предварительно напряженным слоем // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 1998. № 2. С. 89-101.

83. Гузь А.Н. Упругие волны в сжимаемых материалах с начальными напряжениями и неразрушающий ультразвуковой метод определения двухслойных остаточных напряжений // Прикладная механика. 1994. Т. 30, № 1.С. 3-17.

84. Ватульян А.О. Проблемы идентификации неоднородных свойств твердых тел // Вестник Самарского госуниверситета. 2007. Вып. 54, № 4. С. 93-103.

85. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т.2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ. М.: Физматлит, 2002. 424 с.

86. Ватульян А.О. К теории обратных коэффициентных задач в линейной механике деформируемого тела // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74, № 6. С. 909-916.

87. R. Nedin, A. Vatulyan. Inverse problem of non-homogeneous residual stress identification in thin plates // International Journal of Solids and Structures. 2013. №50. P. 2107-2114.

88. Устинов Ю.А. О теории стержней: учебное пособие. Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2012. 33 с.

89. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970. 734 с.

90. Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник в 3 томах. Т. 1. М.: Машиностроение, 1968. 831 с.

91. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.

92. Дж. Мейз. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир, 1974.319 с.

93. Г.Н. Ватсон. Теория Бесселевых функций. Часть первая. М: Изд.Иностр.Лит., 1949. 798 с.

94. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. 545 с.

95. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2003. 632 с.

96. Манжиров A.B., Полянин А.Д. Методы решения интегральных уравнений: Справочник. М.: Факториал, 1999. 272 с.

97. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2007. 223 с.

98. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гос. издательство технико-теоретической литературы, 1950. 473 с.

99. Хан X. Теория упругости: основы линейной теории и ее применения. М.: Мир, 1988. 344 с.

100. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009.457.

101. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986.188 с.

102. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.

103. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.:МГУ, 1989. 199 с.

104. Бухгейм A.JI. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988,184 с.

105. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.:МГУ, 1994.

206 с.

106. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.

107. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970. 336 с.

108. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. 239 с.

109. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 261 с.

110. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обрантыз задач математической физики. М.: Едиториал УРСС, 2004. 478 с.

Ш.Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с.

112. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Доклады АН СССР. 1963. Т. 153, № 1. С. 49-52.

113. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 230 с.

114. Bui H.D. Inverse Problems in the Mechanic of Materials: An Introduction. Boca Raton. FL: CRC Press, 1994. 204 p.

115. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. 2nd ed. Applied Mathematical Sciences 127. New York: Springer, 2008. 346 p.

116. Tarantola A. Inverse Problem Theory and Methods for Model Parameter Estimation. Philadelphia: SIAM, 2005. 352 p.

117. Ватульян A.O., Денина O.B. Обратные коэффициентные задачи для стержней. Методы определения неоднородных свойств упругих

стержней на основе акустического зондирования. LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2011. 104 с.

118. Ватульян A.O., Бочарова O.B. О реконструкции плотности и модуля Юнга для неоднородного стержня // Акустический журнал. 2009. Т. 55, №3. С. 281-288.

119. Ватульян А.О., Бочарова О.В. О методах идентификации неоднородных свойств упругих стержней // Теоретическая и прикладная механика. 2007. Вып. 43. С. 168-175.

120. Аникина Т.А., Богачев И.В., Ватульян А.О. Об идентификации неоднородных характеристик вязкоупругих стержней при изгибных колебаниях // Механика композиционных материалов и конструкций. 2011. Т. 17, № 1.С. 1016-1023.

121. Богачев И.В., Ватульян А.О., Явруян О.В. Идентификация упругих характеристик неоднородного по толщине слоя // Акустический журнал. 2011. Т. 57, № 6. С. 723-730.