Методы расчета колебаний неоднородных твердых тел и идентификация их свойств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Богачев, Иван Викторович

• Богачев, Иван Викторович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Богачев, Иван Викторович

Содержание

Введение

Глава 1. Постановка прямых и обратных задач о колебаниях неоднородных тел

1.1. Вязкоупругие тела. Общая постановка задачи о колебаниях вяз-коупругих тел на основе принципа соответствия

1.2. Постановка задач об изгибных колебаниях вязкоупругих стержней

1.3. Постановка задачи о колебаниях неоднородного по толщине вяз-коупругого слоя

1.4. Постановка задач о колебаниях электроупругого прямоугольника

1.5. Постановка обратных задач

1.6. Постановка задачи об идентификации свойств многослойных биологических тканей

Глава 2. Исследование прямых задач для неоднородных тел на основе

сведения к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода

2.1. Изгибные колебания вязкоупругих стержней

2.2. Колебания вязкоупругого слоя

2.3. Колебания электроупругого прямоугольника

Глава 3. Методы исследования обратных коэффициентных задач

3.1. Некоторые сведения об обратных и некорректных задачах

3.2. Общая схема построения итерационных процессов

3.3. Специальный метод выбора начального приближения

3.4. Исследование обратной задачи об идентификации неоднородных свойств вязкоупругих стержней

3.5. Исследование обратной задачи об идентификации неоднородных свойств вязкоупругого слоя

3.6.

Исследование обратной задачи об идентификации неоднородных свойств электроупругого прямоугольника

Глава 4. Вычислительные эксперименты

4.1. Методы, используемые при численной реализации решений

4.2. Вычислительные эксперименты для прямых и обратных задач об изгибных колебаниях стержней

4.3. Вычислительные эксперименты для прямых и обратных задач о колебаниях слоя

4.4. Вычислительные эксперименты по идентификации неоднородных свойств кожного покрова

4.5. Вычислительные эксперименты по идентификации свойств электроупругого прямоугольника

Заключение

Литература

104

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы расчета колебаний неоднородных твердых тел и идентификация их свойств»

Введение

Исследование характеристик материалов со сложными неоднородными свойствами [1], [2], таких как полимеркомпозиты, функционально-градиентные материалы, пьезокерамики, геологические породы, биологические ткани, в настоящее время является одним из важнейших направлений механики сплошной среды. Вследствие сложности прямых экспериментальных оценок механических свойств таких материалов со сложной реологией важна разработка новых методов идентификации неоднородных характеристик, основанных на различных моделях вязкоупругости [3], [4]. Кроме того, в связи со спецификой самих материалов (например, биологических тканей) интерес представляют неинвазивные методы [5]. Одним из способов воздействия является акустическое зондирование, при специальной обработке результатов которого [6], [7] удается восстанавливать неизвестные функции по информации об амплитудно-частотных характеристиках, измеренных в некоторых точках исследуемого объекта [8]. Отметим, что исследование установившихся колебаний тел в рамках линейной вязкоупругости для модели стандартного вязкоупругого тела приводит к краевым задачам с переменными характеристиками для диссипативных операторов. Соответственно, решение обратных задач [9], [10] об определении функций координат, характеризующих неоднородность, приводит к некоторым обобщениям методов, использовавшихся ранее для положительных операторов.

В случаях, когда свойства материалов однородны или кусочно-однородны, пространство поиска параметров конечномерно, при этом вычислительные схемы их идентификации на основе анализа отклика на динамическое возмущение достаточно просты и сводятся к процедуре минимизации функционалов невязки. Подобная задача рассмотрена в работе [11], в которой предложена схема восстановления коэффициента Пуассона и модуля сдвига однородного изотропного материала по информации о граничных полях смещений, измеренных либо на части границы, либо на всей поверхности исследуемой области. Задача

идентификации сведена к процедуре минимизации функционала невязки на основе метода граничных элементов. В работах [12], [13] представлены алгоритмы определения упруго-пластических характеристик слоистых композитов, где восстанавливаются кусочно-постоянные характеристики материала. Отметим, что к настоящему моменту достаточно подробно исследованы задачи определения вяз-коупругих свойств однородных материалов для тел конечных размеров [14],[15], решения которых строятся на основании минимизации функционалов невязки.

На начальных этапах исследования задач идентификации свойств материалов с учетом неоднородных свойств в зарубежной литературе была широко распространена постановка, в которой известны физические поля внутри исследуемого объекта [16], [17], [18], [19]. Задача в таком случае оказывается линейной и сводится к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных [20] или к интегральному уравнению Фредгольма первого рода, которое решалось с помощью метода минимизации расширенного лагранжиана [16], регуляризованных методов обращения разностных схем [17], [18] и др. Также распространение получили задачи восстановления коэффициентов вязкоупругих моделей и неоднородных характеристик тела при возбуждении колебаний в нем [21], [22], либо воздействии на него индентором [23], [24]. В статье [23] производится оценка параметров вязкоупругой модели в многослойных структурах (например, коже). Материал полагался однородным и задача решена методом конечных элементов. В ходе экспериментов сделан вывод о негативном влиянии граничного условия типа жесткого защемления на процедуру идентификации. В исследовании [24] приведены результаты использования различных видов экспериментов для идентификации коэффициентов той или иной модели. Рассмотрены вопросы идентификации классических моделей Максвелла, Кельвина, модели стандартного вязкоупругого тела, для которых приведены результаты восстановления параметров. Также произведен эксперимент с отрезком аорты, свойства которого исследовались при растяжении и кручении. В работе [25] исследованы математические аспекты ультразвукового сканирования

биологических тканей и реконструкции их свойств, в частности модуля сдвига, при этом в качестве регуляризующего алгоритма при нахождении градиентов полей использован метод В-сплайнов. Запатентованный метод активной резонансной вибрационной диагностики (РВД) был разработан для анализа механических повреждений сухожилий и костей голени человека, и представлен в работах [26], [27]. Авторами был разработан экспериментальный стенд для физического моделирования диагностики процесса остеосинтеза болыпеберцовой кости аппаратом внешней фиксации в виде плоской рамной конструкции, проведена серия экспериментов на четырех образцах кости с фиксатором и получены амплитудно-частотные характеристики, целой и разрезанной кости и биомеханической системы "кость-фиксатор".

В работе [28] рассмотрены вопросы динамического моделирования биомеханических систем, состоящих из болыпеберцовой кости человека и устройств внешней фиксации в виде простейшей рамной конструкции и аппарата Илиза-рова. В исследовании с использованием программного кода МесИатсзРЕ реализован метод конечных элементов на основе 20-узловых изопараметрических элементов. Численный вибрационный анализ позволил определить как основные низшие резонансные частоты и формы колебаний системы, так и амплитудно-частотные характеристики системы в различных точках на поверхности кости и фиксатора.

Если в задаче информацию о физических полях можно получить только на границе тела, то обратная задача существенно нелинейна [29]. В последнее время исследования связаны с более сложной постановкой, в которой известны (измерены) граничные поля в некотором диапазоне изменения спектрального параметра (частоты колебаний зондирующего возмущения). Она сводится к нелинейным операторным уравнениям, которые содержат промежуточные переменные - компоненты физических полей. Задачи в такой постановке могут быть исследованы лишь на основе некоторых итеративных процедур, основные принципы построения которых опираются на слабую постановку и метод лине-

аризации. В случае, когда требуется определение нескольких функций, задача сводится к исследованию нетривиальных нелинейных обратных задач, которые стали исследоваться совсем недавно [30], [31], [32].

Для более сложных областей - слоистых сред, полуплоскости, полупространства - прямые и обратные коэффициентные задачи об определении характеристик среды исследованы в работах [33], [34], [35], [36], [37], [38]. Так, например, в статье [33] рассмотрена обратная задача об определении кусочно-постоянной скорости волн в полуплоскости в случае, когда скорость распространения зависит только от глубины. Искомые величины определяются по информации о волновом поле, измеренном на части границы полуплоскости. В [34] рассматривается такая же задача для слоя. В [35] аналогичными методами исследуется задача электромагнитного зондирования дорожного полотна.

В биомеханике моделирование тканей и органов, проведение ортопедических операций на основе замещающих искусственных фрагментов, описание биологических процессов роста, регенерации требует знания механических характеристик тканей. Биологические ткани в настоящее время исследуются различными способами, причем в связи со спецификой приложений наибольший интерес представляют методы, не повреждающие и не разрушающие ткань. Для исследования свойств биологических тканей в настоящее время применяются акустические методы анализа и модели, созданные для упругих, вязкоупрутих, пороупругих материалов, в том числе и неоднородных. В литературе представлен широкий спектр работ, связанных с задачами идентификации характеристик мягких биологических тканей на основе моделей вязкоупругости. В работе [39] был проведен анализ экспериментальных данных для определения действительной и мнимой части комплексного модуля. Эксперимент основывался на распространении сдвиговой волны через кожу, моделируемую изотропным вязкоупру-гим монослоем.

Для медицины значительный интерес представляют задачи, связанные с проведением пластических операций. Например, в [40] рассмотрены задачи на-

тяжения кожи при проведении операции по лифтингу, приведен анализ наиболее распространенных моделей и сделан вывод о том что наиболее адекватно поведение реальной кожи описывают модель Кельвина и пятипараметрическая модель Бранкова, однако для моделирования выбрана модель Кельвина ввиду меньшего количества параметров. Сформулированы условия оптимального натяжения кожи и найден оптимальный режим релаксации напряжений. Эксперименты ставились на растяжение с постоянной скоростью нагружения с последующей релаксацией и на ползучесть. Из анализа результатов экспериментов определены параметры выбранной модели.

В работе [41] на первом этапе кожа моделировалась как несжимаемый упругий изотропный материал. Удельная потенциальная энергия деформации на первом этапе исследования задана в форме двухконстантного потенциала Му-ни. На втором - с помощью вязкоупругого аналога неогуковского тела. Идентификация модуля сдвига производилась на основе минимизации специального функционала, построенного с использованием интегрального оператора для ядра Колтунова. В исследовании [42] рассмотрена проблема оценки характеристик эластомеров биологического происхождения на примере кожи человека. Приведены диаграммы растяжения и релаксации образцов кожи из области живота. Представлена разработанная авторами математическая модель нелинейного вязкоупругого деформирования кожи, основанная на использовании упругого потенциала и экспоненциального ядра релаксации, в которой использован потенциал Огдена, обеспечивающий более точные расчетные оценки напряжений в образце. Предложена методика идентификации параметров разработанной модели.

В работе [43] представлена методика идентификации параметров определяющих соотношений, заключающаяся в сравнении результатов, полученных по введенной гиперупругой модели с экспериментальными данными для исследуемой ткани. Представленный подход, основанный на комбинированных методах "отжига"и Нелдера-Мида, учитывающий историю нагружения, которая получе-

на из механических испытании, позволяет находить параметры модели, при которых расхождение теоретической и экспериментальной кривых минимально. Показано, что предложенная схема является надежной и эффективной при исследовании сложного механического поведения тканей, и учитывает анизотропию свойств, слабую сжимаемость, нелинейный упругий отклик и геометрическую нелинейность. Представлены аналитические модели для описания поведения тканей пищевода и периодонта.

Задачи о колебаниях электроупругих однородных тел (в том числе и задачи идентификации свойств для однородных моделей) изучены достаточно подробно [44], [45]. Модели неоднородной электроупругости на начальном этапе исследования базировались на слоистых моделях [46], однако неоднородность поляризации или располяризации, часто встречающаяся у реальных пьезоэлементов, требует как разработки методов исследования, так совершенствования определения неоднородностей различного типа [47], [48], [49]. Отметим ряд работ, посвященных решению обратных задач об определении пъезомодуля, который является наиболее изменяемой характеристикой при неоднородной поляризации (располяризации) образца. Теоретические основы решения обратных задач и способы их построения для пьезоэлектрических стержней при продольной поляризации описаны рядом авторов (см. например, [50], [51], [52]). Были представлены [51], [52], [53] способы решения обратных задач о восстановлении пьезоэлектрической характеристики неоднородного стержня по информации об амплитудно-частотных характеристиках тока в цепи или смещению торца стержня. Кроме того, отметим работы, в которых рассмотрены важные обратные задачи об определении граничных условий и выявлении повреждений в электроупругих телах. Так, был предложен [54] численно-аналитический метод определения осесим-метричной ударной нагрузки для пьезокерамического преобразователя в форме диска. В цикле работ [55], [56], [57] представлены разные аспекты разработки методов обнаружения повреждений в пьезоэлектрических пластинах на основе стандартной процедуры минимизации целевого функционала.

Цель работы заключается в построении методов расчета колебаний для идентификации неоднородных свойств тел сложной структуры на основе применения акустических методов и использование их при решении одномерных обратных коэффициентных задач для вязкоупругих и электроупругих тел типа балки, слоя, прямоугольника.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе представлены постановки прямых и обратных задач о колебаниях тел, рассмотренных в работе, которые сформулированы для размерных характеристик, затем проведена процедура обезразмеривания. В параграфе 1.1 приведено краткое описание моделей вязкоупругих тел, в частности модели стандартного вязкоупругого тела, использованной в работе, и принципа соответствия, на основании которого сформулированы постановки задач о колебаниях вязкоупругих тел. В параграфе 1.2 рассмотрены две постановки задачи об изгиб-ных колебаниях неоднородного вязкоупругого стержня - при нагружении силой и моментом. В параграфе 1.3 приведена формулировка задачи о плоских и антиплоских колебаниях неоднородного по толщине вязкоупругого слоя. С помощью операции осреднения на основе преобразования Фурье двумерная задача сведена к двум несвязанным однотипным одномерным задачам. В параграфе 1.4 рассмотрена постановка задачи о колебаниях неоднородного электроупругого прямоугольника для различных видов нагружения. Рассмотрены два типа нагружения - механическое и электрическое, что позволило, проведя осреднение по продольной координате, сформулировать три более простых задачи. В параграфе 1.5. для каждой из сформулированных в параграфах 1.2-1.4 прямых задач ставятся обратные задачи об идентификации неизвестных неоднородных характеристик. В параграфе 1.6 рассмотрена постановка задачи о восстановлении свойств неоднородного по толщине вязкоупругого слоя (моделирующего кожный покров), в свою очередь состоящего из трех слоев, моделирующих подкожный жир, дерму и эпидермис. К данной задаче также применена операция

и

осреднения, с помощью которой задачу удается привести к виду вспомогательной задачи из параграфа 1.3.

Вторая глава посвящена сведению прямых задач, сформулированных в первой главе, к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода. Пользуясь общими соображениями, в параграфах 2.1, 2.2 и 2.3 выведены уравнения Фредгольма 2-го рода для задач о колебаниях вязкоупругих стержня, слоя (в том числе и для слоя, моделирующего кожный покров) и электроупругого прямоугольника соответственно. Полученные уравнения затем используются в третьей главе при построении итерационных процессов. Численные эксперименты по решению этих прямых задач представлены в четвертой главе.

В третьей главе описаны подходы, применяемые для решения обратных задач, сформулированных в параграфах 1.5 и 1.6. В параграфе 3.1 даны некоторые сведения о типах обратных задач и их области применения. Также ввиду того, что обратные задачи в большинстве случаев являются некорректными, приведены наиболее распространенные способы решения таких задач и преодоления некорректности в них. В параграфе 3.2 представлено построение общего итерационного подхода к решению обратных задач на основе слабой постановки. В параграфе 3.3 рассмотрен вопрос выбора начального приближения в итерационных процессах при решении обратных задач. Построен процесс, позволяющий решать исходную задачу в классе дробно-линейных функций, которая используется затем в качестве начального приближения в основной задаче. В параграфах 3.4 и 3.5 выведены операторные соотношения для обратных задач об идентификации неоднородных свойств соответственно вязкоупругого стержня и слоя в виде интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода относительно поправок к восстанавливаемым функциям на основе метода линеаризации. Также построены итерационные процессы для решения этих задач, на каждом шаге которых сочетается решение интегральных уравнений Фредгольма 1-го и 2-го родов, сформулированных ранее. В параграфе 3.6 сформулированные обратные задачи о колебаниях электроупругого прямоугольника решаются с использованием ана-

логичного подхода. Для каждой из задач выведены интегральные уравнения относительно поправок к восстанавливаемым функциям (двум упругим модулям, пьезоэлектрической характеристике, диэлектрической проницаемости), построены схожие итерационные процессы идентификации для каждой из полученных трех обратных задач.

В четвертой главе представлены результаты экспериментов по решению прямых и обратных задач на основании операторных соотношений и вычислительных схем, построенных в главах 2 и 3, и анализ полученных результатов. Реализация построенных алгоритмов производилась в среде Maple. В параграфе 4.1 приведены теоретические основы методов, используемых при численном решении интегральных уравнений: метода коллокаций и метода Тихонова. В параграфах 4.2 и 4.3 представлены результаты вычислительных экспериментов по решению прямых и обратных задач о колебаниях соответственно вязкоупруго-го стержня и слоя. Точность вычислительных алгоритмов проверена на задачах для однородных и неоднородных характеристик в упругом случае. Построены графики амплитудно-частотных характеристик при решении прямых задач для различных законов изменения безразмерных характеристик. Также приведены результаты решения обратных задач по идентификации неизвестных характеристик (мгновенных и длительных модулей) для различного характера монотонности. В параграфе 4.4 представлены результаты вычислительных экспериментов по восстановлению кусочно-непрерывных функций, характеризующих безразмерные мгновенный и длительный модули неоднородного по толщине вязко-упругого слоя, моделирующего кожный покров. Дополнительно проведен анализ влияния параметров каждого из составных слоев на амплитудно-частотные характеристики и качество восстановления. В параграфе 4.5 приведены результаты численных экспериментов по восстановлению двух безразмерных характеристик электроупругой прямоугольной области - упругого модуля и пьезоэлектрической характеристики. Диэлектрическая проницаемость при этом полагалась известной.

Результаты восстановления характеристик в вычислительных экспериментах в четвертой главе свидетельствуют о достаточной эффективности построенных в работе подходов к решению обратных задач.

В заключении сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Основное содержание диссертации отражено в работах в журналах, рекомендованных ВАК: [58-65], а также в сборниках трудов, тезисов конференций и других публикациях: [66-75].

В работе [66] Ватульяну А.О. принадлежит постановка задачи, Аникиной Т.А. выбор методов исследования, Богачеву И.В. реализация численных экспериментов и численный анализ задачи. В работах [58] и [59] Ватульяну А.О. принадлежит постановка задачи, основные идеи по методам исследования, обсуждение результатов, а Аникиной Т.А. и Богачеву И.В. в равной степени принадлежит построение основных соотношений, их исследование, построение итерационных схем нахождения решений, численная реализация предложенных алгоритмов и анализ результатов для различных граничных условий и видов неоднородностей.

В работе [60] Ватульяну А.О. принадлежит общая формулировка задач и выбор метода исследования, Явруян О.В. - разделение задачи на две более простые, вывод для них интегральных уравнений, Богачеву И.В. разработка итерационного подхода к решению обратных задач, проведение серии вычислительных экспериментов. В работе [64] Ватульяну А.О. принадлежит постановка задачи, общий подход к исследованию, Явруян О.В. - вывод операторных соотношений для задач, Богачеву И.В. - построение алгоритма решения задачи на основе серии итерационных процессов, его реализация и проведение численных экспериментов с последующим анализом результатов. В работах [67] и [70] Ватульяну А.О. принадлежат формулировки задач и выбор моделей, описывающих рассматриваемые биологические ткани. В работах [68] и [62] Ватульяну А.О. принадлежат постановки задач и формулировка некоторых свойств полученных операторов, Богачеву И.В. - доказательство этих свойств, построение решений

прямых и обратных задач и проработка их численной реализации. Результаты работ [61], [69] и [74] принадлежат авторам в равной степени.

В работах [63] и [72] Ватульяну А.О. принадлежит формулировка задач и выбор метода исследования, Явруян О.В. - разделение общей задачи на этапы и формулировка для них соотношений, Богачеву И.В. - построение итерационного процесса и его программная реализация, проведение вычислительных экспериментов и анализ их результатов. В работе [65] Ватульяну А.О. принадлежит постановка задачи и выбор модели, Богачеву И.В. - реализация итерационного подхода к решению с учетом разрывности исследуемых функций, построение решения, проведение вычислительных экспериментов, Дудареву В.В. и Богачеву И.В. в равной степени принадлежит дополнительный анализ влияния характеристик исследуемого объекта на процедуру реконструкции.

Автор благодарит А.О. Ватульяна, под руководством которого была выполнена эта работа.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования РФ (соглашения 14.132.21.1358 и 14.132.21.1360), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (госконтракт № П596), грантов РФФИ (10-01-00194-а, 13-01-00196-а, 12-01-31501 мол-а, 14-01-31393 мол-а), Южным федеральным университетом (НИР 213.01-24/2013-74).

15

Глава 1

Постановка прямых и обратных задач о колебаниях

неоднородных тел

1.1. Вязкоупругие тела. Общая постановка задачи о колебаниях вязкоупругих тел на основе принципа соответствия

Вязкоупругие материалы - материалы, обладающие одновременно свойствами упругого тела и вязкой жидкости, способные одновременно накапливать механическую энергию и частично рассеивать ее [4]. Приложение к этим материалам нагружения, постоянного во времени, вызывает у таких материалов мгновенную деформацию, за которой следует ограниченный во времени процесс роста деформаций. Такое явление называется ползучестью. С другой стороны, для таких материалов характерно явление релаксации: если такому материалу сообщить постоянную деформацию, напряжение в нем с течением времени будет постепенно затухать до определенной величины. Также, при снятии нагрузки, действующей на материал, произойдет уменьшение деформации на величину мгновенной деформации, после чего будет наблюдаться постепенное затухание деформации до нуля [76] (явление разгрузки).

При построении моделей вязкоупругих материалов важно учитывать, что они должны корректно описывать свойства, речь о которых шла выше. Среди моделей вязкоупругости можно выделить модели в интегральной форме, с использованием ядер релаксации и ползучести [4], модели в дифференциальной форме [77]. Операторные уравнения в дифференциальной форме соответствуют уравнениям в интегральной форме в случае, если функции ползучести и релаксации являются суммами экспонент.

Наиболее просты и адекватны реальным свойствам вязкоупругих тел две линейные модели [3], [78], [79], представленные на рисунке 1.1.1.

Л

Рис. 1.1.1. Модели Зинера

Лг

Ниже представлены определяющие соотношения, связывающие напряжение и деформацию для первого (1.1.1) и второго варианта (1.1.2) соединения соответственно:

ds der

щ{Е\ + Еоо)— + EiE^s = 771— + Е](т. (1.1.1)

dt dt

_ ds _ _ der

Г}2Ео-Г + E0E2S = TJ2— + (Eo + £2)cr. dt dt

(1.1.2)

Отметим, что оба определяющих соотношения представляют собой одну и ту же модель, называемую моделью стандартного вязкоупругого тела (модель Зинера) [80], которая является трехпараметрической. В число параметров этой модели входят длительный модуль Н, мгновенный модуль Е (Е > Н > 0) и время релаксации п > 0:

d£ dcr

Еп—+ Не = п—+ ст. (1.1.3)

dt dt у

Если рассматривать установившийся режим е(г) = £ое1а)\ сг(/) = сгоеш1, то из соотношений (1.1.3) можно получить комплексный модуль

Етсо + Н

G(icû) =

nia) + 1

(1.1.4)

который определяет связь амплитуд напряжений и деформаций в виде сг0 = 0{ш) • во.

Комплексный модуль в такой форме используется для описания свойств вязкоупругих материалов при растяжении, сдвиге, объемном деформировании.

Используя принцип соответствия Вольтерра [4], [76], [77], [81], при помощи замены упругих модулей преобразованиями Лапласа соответствующих вязкоупругих функций релаксации, умноженными на параметр преобразования, можно получить преобразования Лапласа решений задач вязкоупругости из решений задач теории упругости. Если колебания носят установившийся характер, решения можно получить с использованием преобразования Фурье. Таким образом, на основании решений соответствующих задач теории упругости можно построить решения задач теории вязкоупругости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Богачев, Иван Викторович, 2014 год

Литература

1. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. — Москва : Мир, 1974.— 336 с.

2. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. — Москва : Мир, 1984.-472 с.

3. Адамов A.A., Матвеенко В.П., Труфанов H.A. Методы прикладной вязко-упругости. — Екатеринбург : УрО РАН, 2003. — 412 с.

4. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. — Москва : Мир, 1974. — 228 с.

5. Gladwell G. M. L. Inverse problems in vibration. — Waterloo : Kluwer Аса" demie Publishers, 2004. — 427 p.

6. Ватульян A.O. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. — Москва : Физматлит, 2007. — 223 с.

7. Ватульян А.О. О вариационном подходе при исследовании обратных коэффициентных задач в теории упругости // Владикавказский математический журнал. - 2009. - Т. 11, № 1. - С. 6-8.

8. Kim S., Kreider К. L. Parameter identification for nonlinear elastic and vis" coelastic plates // Applied Numerical Mathematics.— 2006.— Vol. 56.— P. 1538-1554.

9. Бухгейм А. П. Введение в теорию обратных задач. — Новосибирск : Наука, 1988.- 181 с.

10. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. — Москва : Изд-во МГУ, 1994.-207 с.

11. Martin L., Elliott L., Ingham D. B., Lesnic D. Parameter identification in isotropic linear elasticity using the boundary element method // Engineering analysis with boundary elements. — 2004. — Vol. 28. — P. 221-233.

12. Zhang H., Lin X., Wang Y., Zhang Q., Kang Y. Identification of elastic-plastic mechanical properties for bimetallic sheets by hybrid-inverse approach // Acta mechanica solida sinica. — 2010. — Vol. 23, no. 1. — P. 29-35.

13. Yoshida F., Urabe R., Hino R., Toropov V.V. Inverse approach to identification of material parameters of cyclic elasto-plasticity for component layers of a bimetallic sheet // International Journal of Plasticity. — 2003.— Vol. 19.— P. 2149-2170.

14. Dietrich L., Lekszycki T., Turski K. Problems of identification of mechanical characteristics of viscoelastic composites // Acta Mechanica.— 1998.— Vol. 126.-P. 153-167.

15. Elkhaldi I., Charpentier I., Daya M. A gradient method for viscoelastic behaviour identification of damped sandwich structures // Comptes Rendus Mecanique. — 2012. — Vol. 340. — P. 619-623.

16. Chen Z., Zou J. An augmented lagrangian method for identifying discontin" uous parameters in ellipticsystems // J. Control and Optimization.— 1999.— Vol. 37.-P. 892-910.

17. Jadamba B., Khan A. A., Raciti F. On the inverse problem of identifying lame coefficients in linear elasticity // Computers and Mathematics with Applica" tions.- 2008.- Vol. 56. — P. 431-^43.

18. McLaughlin J., Yoon J. R. Unique identifiability of elastic parameters from time-dependent interior displacement measurement // Inverse Problems.— 2004.-Vol. 2.-P. 25-45.

19. Gockenbach M. S., Khan A. A. Identification of lame parameters in linear elasticity: A fixed point approach // J. Indust. Manag. Optim. — 2005.— Vol. l.-P. 487-497.

20. Степанов B.B. Курс дифференциальных уравнений. — Москва : ГИФМЛ, 1959.-468 с.

21. Ara'ujo A. L., Mota Soares С. М., Mota Soares С. A., Herskovits J. Inverse es" timation of elastic, viscoelastic and piezoelectric properties of anisotropic sand" wich adaptive structures // 7th EUROMECH Solid Mechanics Conference.— 2009.-Vol. 20.-P. 25-45.

22. Polansky J., Boiron O., Novacek V. Identification of viscoelastic properties of artificial materials simulating vascular wall // Computer Methods in Biome" chanics and Biomedical Engineering. — 2005. — Vol. 8. — P. 10-41.

23. Jager A., Lackner R., Eberhardsteiner J. Identification of viscoelastic proper" ties by means of nanoindentation taking the real tip geometry into account // Meccanica. - 2007. - Vol. 42. - P. 293-306.

24. Al-Khourya R., Scarpasa A., Kasbergena C., Blaauwendraada J. Forward and inverse models for parameter identification of layered media // International Journal of Geomechanics. — 2001. — Vol. 1, no. 4. — P. 441-458.

25. J. M., Ji L. Recovery of the lame parameter ¡i in biological tissues // Inverse Problems. - 2004. — Vol. 20. — P. 1-24.

26. Малышев И.В., Ноздрин M.A., Шапин В.И., Щавелев B.JI. Стенд для вибродиагностики ахиллова сухожилия, патент рф 2077266 // Inverse Problems. - 1997. - Т. 1. - С. 77-79.

27. Maslov L. В., Shapin V. I. Vibromechanical diagnostic criteria for the achilles

tendon acute tears // Russian J. Biomechanics.— 2000.— Vol. 4, no. 1.— P. 62-70.

28. Маслов Л.Б. Резонансные свойства болынеберцовой кости в неповрежденном состоянии и с устройствами внешней фиксации // Российский журнал биомеханики. - 2003. — Т. 7, № 2. - С. 20-34.

29. Ватульян А.О., Ворович И.И., Соловьев А.Н. Об одном классе задач в динамической теории упругости // Прикладная математика и механика. — 2000. - Т. 64, № 3. - С. 373-380.

30. Яхно В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости. — Новосибирск : Наука, 1990. — 304 с.

31. Bui Н. Inverse Problems in the Mechanic of Materials: An Introduction.— Boca Raton, FL : CRC Press, 1994. — 224 p.

32. Isakov V. Inverse problems for PDE.— Springer-Verlag, 2005.— 284 p.

33. Романов В.Г. О задаче определения структуры упругой слоистой среды и импульсного источника // Сибирский математический журнал.— 2008.— Т. 49, №5.-С. 1158-1183.

34. Romanov V. G., Weng С. I., Chen Т. С. An inverse problem for a layered elastic plate // Appl. Math. Comput. — 2003. — Vol. 137, no. 2-3. — P. 349-369.

35. Гончарский A.B., Овчинников С.Л., Романов С.Ю. Обратная задача волновой диагностики железнодорожного полотна // Вычислительные методы и программирование. — 2013. — № 3. — С. 21-25.

36. Жэн Б.-К., Лу Л.-Ю. Нормальные волны в упругом слоистом полупространстве // Акустический журнал. — 2003. — Т. 137, № 49. — С. 501-513.

37. Жэн Б.-К., Jly Л.-Ю. Нахождение слоя с малой скоростью сдвиговых волн рэлеевской волной с помощью генетического алгоритма // Акустический журнал. - 2007. - Т. 52, № 6. - С. 811-824.

38. Ватульян А.О., Сатуновский П.С. Об определении упругих модулей при анализе колебаний неоднородного слоя // Доклады РАН. — 2007.— Т. 414, № 1. — С. 36-38.

39. Pereira J. M., Mansour J. M., Davis В. R. The effects of layer properties on shear disturbance propagation in skin // J. Biomechanical Eng.— 1991.— Vol. 113.-P. 3-35.

40. Федоров A.E., Лохов B.A. О применении теории вязкоупругости в эстетической хирургии // Российский журнал биомеханики. — 2007. — Т. 7, № 3. — С. 32-43.

41. Федоров А.Е., Адамов A.A. Моделирование поведения кожи человека при больших деформациях // Российский журнал биомеханики. — 2007. — Т. 11, № 13.-С. 8-84.

42. Анфиногенов С.Б., Курек М.Ф., Шилько C.B., Черноус Д.А. Механические и фрикционные свойства биоэластомеров. Часть 1: Описание релаксационных зависимостей кожи человека при растяжении // Российский журнал биомеханики. - 2008. - Т. 12, № 3. — С. 44-51.

43. Натали А.Н., Форестиеро А., Карниель Э.Л. Идентификация параметрово-пределяющих соотношений, описывающих механическое поведение мягких тканей // Российский журнал биомеханики.— 2009.— Т. 13, № 4.— С. 31-41.

44. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. — Москва : Наука, 1988. — 472 с.

45. Акопьян В.А., Соловьев А.Н., Шевцов С.Н. Методы и алгоритм определения полного набора совместимых материальных констант пьезокерамиче-ских материалов. — Ростов-на-Дону : Изд. ЮФУ, 2009. — 144 с.

46. Гетман И.П., Устинов Ю.А. К теории неоднородных электроупругих плит // Прикладная математика и механика. — 1979. — Т. 43, № 5. — С. 923-932.

47. Liu G. R., Tani J. Characteristics of wave propagation in functionally gra" dient piezoelectric material plates and its response analysis, part 1: theory, part 2: calculation results // Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers. - 1991. —Vol. 57, no. 541. —P. 2122-2133.

48. Zhong Z., Shang E. T. Three-dimensional exact analysis of a simply supported functionally gradient piezoelectric plate // International Journal of Solids and Structures. — 2003. — Vol. 40, no. 20. — P. 5335-5352.

49. Du J., Jin X., Wang J., Xian K. Love wave propagation in functionally graded piezoelectric material layer // Ultrasonics. — 2007. — Vol. 46, no. 1. — P. 13-22.

50. Яхно В.Г., Мержанов И.З. Некоторые прямые задачи и одномерная обратная задача электроупругости для медленных волн // Математические труды. — 1999.-Т. 2, №2.-С. 148-213.

51. Ватульян А.О., Домброва О.М., Жиров В.Е. Обратные задачи для неоднородно поляризованных пьезоэлектрических стержней // Прикладная математика и механика. — 2007. — № 1. — С. 93-101.

52. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Прямые и обратные задачи для однородных и неоднородных упругих и электроупругих тел. — Ростов-на-Дону : Изд-во ЮФУ, 2008,- 176 с.

53. Ватульян А.О., Половодова А.А. Определение неоднородной поляризации

пьезокерамического стержня по данным акустического зондирования // Известия вузов. Сев-кавк. регион. Естеств. науки. — 2013. — № 3. — С. 21-25.

54. Babev А. Е., Yanchevskii I. V. Identification of the shock load on an elec" troelastic bimorph disk // International Applied Mechanics. — 2011.— Vol. 47, no. 5. —P. 560-566.

55. Palma R., Rus G., Gallego R. Probabilistic inverse problem and system un" certainties for damage detection in piezoelectrics // Mechanics of Materials. — 2009.-Vol. 41. —P. 1000-1016.

56. Palma R., Rus G., Perez-Aparicio J. L. Damage identification inverse problem for a piezoelectric material // Third European Workshop on Structural Health Monitoring. 5-7 July. 2006. Granada (Spain). — 2006. — P. 563-570.

57. Palma R., Rus G., Perez-Aparicio J. L. Optimal measurement setup for damage detection in piezoelectric plates // Int. J. Eng. Sci. — 2009. — Vol. 47, no. 4. — P. 554-572.

58. Аникина T.A., Богачев И.В., Ватульян A.O. Об идентификации неоднородных характеристик вязкоупругих стержней при изгибных колебаниях // Механика композиционных материалов и конструкций. — 2011. — Т. 17, № 1. — С. 1016-1023.

59. Аникина Т.А., Богачев И.В., Ватульян А.О. Об определении неоднородных реологических свойств балок // Вестник ДГТУ. — 2011.— Т. 10, № 7.— С. 107-111.

60. Богачев И.В., Ватульян А.О., Явруян О.В. Идентификация упругих характеристик неоднородного по толщине слоя // Акустический журнал. — 2011. — Т. 57, №6.-С. 723-730.

61. Богачев И.В., Явруян О.В. Об одном подходе к идентификации свойств неоднородного слоя // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского.- 2011. - Т. 4, № 4.- С. 158-163.

62. Богачев И.В., Ватульян А.О. Обратные коэффициентные задачи для дисси-пативных операторов и идентификация свойств вязкоупругих материалов // Владикавказский математический журнал. — 2012. — Т. 14, № 3. — С. 31-44.

63. Богачев И.В., Ватульян А.О., Явруян О.В. Идентификация свойств неоднородной электроупругой среды // Прикладная математика и механика.— 2012. - Т. 76, № 5. - С. 860-866.

64. Богачев И.В., Ватульян А.О., Явруян О.В. Идентификация неоднородных свойств ортотропного упругого слоя // Акустический журнал.— 2013.— Т. 9, №6.-С. 752-758.

65. Богачев И.В., Ватульян А.О., Дударев В.В. Об одном методе идентификации свойств многослойных мягких биологических тканей // Российский журнал биомеханики. — 2013. — Т. 13, № 3. — С. 37-48.

66. Аникина Т.А., Богачев И.В., Ватульян А.О. Об идентификации характеристик костной ткани на основе акустических методов // БИОМЕХА-НИКА-2010. X Всероссийская конференция по биомеханике. Тезисы докладов. - 2010. - С. 24-25.

67. Богачев И.В., Ватульян А.О. Идентификация вязкоупругих свойств мягких биологических тканей // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VI Всероссийской школы-семинара, пос. Дивноморское, 20 мая - 2 июня 2011г. — 2011. — С. 19-20.

68. Богачев И.В., Ватульян А.О. Идентификация вязкоупругих характеристик неоднородного по толщине слоя // Мат. форум. Исследования по мат. ана-

лизу и диф. уравнениям. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А (Итоги науки. Юг России). - 2011. - Т. 5. - С. 185-189.

69. Богачев И.В., Явруян О.В. Об одном подходе к идентификации свойств неоднородного слоя // Современные методы механики. X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Вторая Всероссийская школа молодых ученых-механиков. Тезисы докладов (Нижний Новгород, 24-30 августа 2011г.). — 2011. — С. 219.

70. Богачев И.В., Ватульян А.О. Модели кожи и методы идентификации ее свойств // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара, пос. Дивноморское, 28 мая — 1 июня 2012 г. — 2012. — С. 20.

71. Богачев И.В., Ватульян А.О., Явруян О.В. Об идентификации неоднородных свойств ортотропной упругой полосы // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XVI международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 16-19 октября 2012 г. - 2012. — С. 45-49.

72. Bogachev I.V., Vatulyan А.О., Yavruyan O.V. Properties identification of the inhomogeneous electroelastic medium // Abstracts Russian-Taiwanese Sympo" sium "Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications". Ros" tov-on-Don, Russia, June 4- 6, 2012. — 2012. — P. 219.

73. Богачев И.В. Идентификация свойств кожи на основе трехслойной вяз-коупругой модели // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XVI международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 16-19 октября 2012 г.-2012.-С. 30-34.

74. Аникина Т.А., Богачев И.В. Обратные задачи определения переменной жесткости вязкоупругих стержней // Динамика сплошной среды. Сборник научных трудов.Доклады II Всероссийской конференции "Деформирова-

ние и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций", Новосибирск 10-14 октября 2011г. — 2012. — С. 5-8.

75. Богачев И.В. О моделировании диагностики сращивания костной ткани // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VIII Всероссийской школы-семинара, пос. Дивномор-ское, 27- 31 мая 2013г. - 2013. - С. 23.

76. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. — Москва : Стройиздат, 1968.— 419 с.

77. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций,— Москва : Наука, 1966.-752 с.

78. Матвеенко В.П., Сметанников О.Ю., Труфанов H.A., Шардаков H.H. Термомеханика полимерных материалов в условиях релаксационного перехода. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 176 с.

79. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров.— Москва : Мир, 1963. — 473 с.

80. Бленд Д.Р. Теория линейной вязкоупругости. — Москва : Мир, 1965. — 390 с.

81. Арутюнян Н.Х., Зевин A.A. Расчет строительных конструкций с учетом ползучести. — Москва : Стройиздат, 1988. — 249 с.

82. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — Москва : Наука, 1966. — 708 с.

83. Бабаков И.М. Теория колебаний. — Москва : Наука, 1965. — 560 с.

84. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. — Москва : Машиностроение, 1970.— 736 с.

85. Ватульян А.О., Бочарова O.B. О реконструкции плотности и модуля юнга для неоднородного стержня // Акустический журнал. — 2009. — Т. 55, № 3. — С. 281-288.

86. Балабанов Е.И. Аналитический обзор, кожа человека, механические свойства, теплопередача // Медицинская техника. — 2005. — Т. 3. — С. 15-20.

87. Тимофеев Г.А. Методы аппаратного исследования кожи человека // Косметика и медицина. — 2005. — № 4. — С. 28-38.

88. Сомкин П.Б. Обзор аппаратных методов исследования кожного покрова человека и его механических свойств // Сб. науч. тр. СевКавГТУ. Сер. «Естественнонаучная». Ставрополь: СевКавГТУ. — 2007. — Т. 3. — С. 214-225.

89. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. — Москва : Наука, 1965.- 120 с.

90. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа, — Москва : Наука, 1976.— 544 с.

91. Ватульян А.О., Беляк O.A., Сухов Д.Ю., Явруян О.В. Обратные и некорректные задачи. — Ростов-на-Дону : Изд-во ЮФУ, 2011. — 27 с.

92. Ватульян А.О. Математические модели и обратные задачи // Соросовский образовательный журнал. — 1998. — № 11. — С. 143-148.

93. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. — Москва : Наука, 1984.-261 с.

94. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. — Москва : Наука, 1990. — 230 с.

95. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. — Москва : Наука, 1980. — 286 с.

96. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. — Москва : Изд-во Московск. ун-та, 1989.— 198 с.

97. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения.— Москва : Мир, 1970. — 336 с.

98. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.— Москва : Наука, 1979. — 284 с.

99. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. — Новосибирск : Сибирское научное издательство, 2009. — 457 с.

100. Ватульян А.О. К теории обратных коэффициентных задач в линейной механике деформируемого тела // Прикладная математика и механика. — 2010. — №6.- С. 911-918.

101. Олейник O.A., Иосифьян Г.А., Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. — Москва : Изд. МГУ, 1990. — 312 с.

102. Ватульян А.О., Шевцова М.С. Об идентификации свойств неоднородных вязкоупругих материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2009. - Т. 15, № 4. - С. 475-485.

103. Хатсон В., Пим. Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. — Москва : Мир, 1983. — 432 с.

104. Ватульян А.О. Проблемы идентификации неоднородных свойств твердых тел // Вестник Самарского госуниверситета, естественные науки. — 2007. — №4.-С. 93-103.

105. Ватульян А.О. Интегральные уравнения в обратных задачах определения коэффициентов дифференциальных операторов теории упругости // Доклады РАН. - 2005. - Т. 405, № 3. _ с. 343-345.

106. Бахвалов Н.С. Численные методы. — Москва : Лаборатория базовых знаний, 2002. — 632 с.

107. Калиткин H.H. Численные методы. — Москва : Наука, 1978. — 512 с.