Идентификация неоднородных свойств стержней и пластин при изгибных колебаниях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Аникина, Татьяна Александровна

• Аникина, Татьяна Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Аникина, Татьяна Александровна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ТЕЛ С НЕОДНОРОДНЫМИ МЕХАНИЧЕСКИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

1.1 Общие постановки, использование вариационных трактовок для решения коэффициентных обратных задач

1.2 Постановки обратных задач для упругой балки переменной жесткости при изгибных колебаниях

1.3 Постановки обратных задач для неоднородной вязкоупругой балки при изгибных колебаниях

1.4 Постановка обратной задачи для изгиба упругой пластины переменной жесткости

1.5 Постановка обратной задачи для изгиба вязкоупругой пластины переменной жесткости

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ

2.1 Сведение задачи о колебаниях упругой неоднородной балки к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода

2.2 Сведение задачи о колебаниях неоднородной вязкоупругой балки к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода

2.3 Решение осесимметричной задачи о колебаниях упругой круглой неоднородной пластинки

2.4 Решение осесимметричной задачи о колебаниях вязкоупругой круглой неоднородной пластинки

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ 4-ГО ПОРЯДКА

3.1 Метод линеаризации

3.2 Вариационный подход

3.3 Обратная задача для упругой пластины переменной жесткости

3.4 Обратная задача для вязкоупругой пластины переменной жесткости

ГЛАВА 4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ

4.1 Результат восстановления модуля Юнга и плотности неоднородной упругой балки

4.2 Восстановление комплексного модуля неоднородной вязкоупругой балки

4.3 Идентификация цилиндрической жесткости упругой круглой пластины

4.4 Идентификация цилиндрической жесткости вязкоупругой круглой пластины

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Идентификация неоднородных свойств стержней и пластин при изгибных колебаниях»

ВВЕДЕНИЕ

Модели механики деформируемого твердого тела с постоянными коэффициентами достаточно апробированы и являются важным инструментом при исследовании практически важных задач на прочность, устойчивость и колебания. Эти модели формировались на протяжении более чем двух столетий, начиная с классических моделей теории упругости. Практическое использование простейшего варианта - (линейно-упругое изотропное однородное тело) базируется на определении двух упругих постоянных -модуля Юнга и коэффициента Пуассона на основе стандартных макроэкспериментов (опыты на растяжение и кручение стержней). Эта модель стала эффективным средством анализа многих научно-технических задач не только в механике деформируемого твердого тела, но и в смежных областях (машиностроение, геофизика, строительство). Для нее сформулированы строгие математические постановки краевых задач, доказаны теоремы существования решений, разработаны эффективные методы построения численных решений. В то же время отметим, что при исследовании ряда проблем эта модель оказывается недостаточно адекватной для описания динамического поведения деформируемых твердых тел и усложнение этой модели приводит к отказу либо от гипотезы однородности, либо от гипотезы изотропии. Отказ от гипотезы однородности приводит к тому, что деформирование даже для простейших объектов (стержни, пластины) описывается дифференциальными операторами с переменными коэффициентами. Теория упругости неоднородных тел начала развиваться относительно недавно. Основное внимание при анализе моделей неоднородной теории упругости уделялось как общим вопросам существования решений, разработке эффективных численных схем (в основном на базе конечноэлементных технологий), так и способам построения усредненных моделей с постоянными коэффициентами для описания деформирования в средах с быстро меняющимися коэффициентами. Такие подходы оказались

весьма важными с точки зрения механики композитов. Тем не менее, с практической точки зрения в последние годы значительный интерес представляет более детальное исследование механических свойств материалов со сложной неоднородностью [1-5]: полимеркомпозитов, функционально-градиентных материалов, геологических пород, биологических тканей. Их структура и механические свойства стали объектом широких научных исследований. Прямые экспериментальные оценки механических свойств таких материалов, обладающих сложной реологией и неоднородностью, требуют больших временных и материальных затрат.

Отметим, что для практического использования простейшей модели неоднородного тела - неоднородной изотропной теории упругости -необходимо знать три функции (модули Ламе и плотность среды), которые должны быть заданы при помощи некоторых функциональных зависимостей, предварительно определяемых из некоторых экспериментов или наблюдений. Наиболее часто такие зависимости предполагаются одномерными и исследование возможных проблем, возникающих при анализе таких задач, естественно начать с простых задач для стержней и пластин. Наиболее распространенный способ нахождения искомых характеристик - анализ отклика исследуемого объекта в виде амплитудно-частотных зависимостей некоторых граничных точек. При этом задача определения одной из функций при известных других приводит к исследованию довольно сложных нелинейных обратных задач для дифференциальных операторов второго и четвертого порядков. К настоящему времени задача об определении характеристик неоднородных упругих стержней подробно исследована в ряде работ.

Отметим, что существует путь, существенно упрощающий сформулированную задачу отыскания неизвестных характеристик. Он опирается на довольно часто принимаемый кусочно-постоянный характер изменения искомых характеристик. Для некоторых задач в заданном диапазоне

изменения параметров такой подход оправдан, поскольку это предположение существенно сужает область поиска неизвестных характеристик и значительно упрощает исследование обратных задач. В то же время отметим, что такое сужение поиска может привести к значительному искажению результатов идентификации.

Поэтому требуется разработка эффективных методов идентификации неоднородных характеристик деформируемых твердых тел, описывающих их свойства (например, на основе концепции динамических модулей в рамках простейших неоднородных моделей вязкоупругости).

Они опираются на акустические методы зондирования и аппарат обратных коэффициентных задач в механике деформируемого твердого тела [6-18], позволяющий восстанавливать неизвестные функции по информации об амплитудно-частотных характеристиках, измеренных в некоторых точках исследуемого объекта [19]. В настоящее время обратные коэффициентные задачи — бурно развивающаяся часть современной математической физики, в которой рассматриваются новые постановки, разрабатываются экономичные эффективные алгоритмы, строятся итерационные схемы. Все большая часть математических моделей приобретает стройность и достоверность как раз благодаря достижениям теории обратных задач.

Процедура решения таких задач, состоящих в обращении причинно-следственных связей, связана с преодолением серьезных математических трудностей. Успех ее сильно зависит как от качества и количества полученной из эксперимента информации, так и от способа ее обработки. Решение таких задач проводится в рамках некоторой математической модели исследуемого объекта или процесса и состоит в определении параметров математической модели по имеющейся экспериментальной информации.

Обратные задачи обладают рядом неприятных с математической точки зрения особенностей. Во-первых, они, как правило, нелинейны, то есть неизвестная функция или неизвестный параметр входит в операторное или

функциональное уравнение, связывающее искомые и заданные функции, нелинейным образом. Во-вторых, решения обратных задач обычно не единственны. Для обеспечения единственности часто необходимо требовать избыточности экспериментальной информации, например при определении формы полости в теле при помощи регистрации отраженных волн необходимо знание отраженного поля в некотором диапазоне изменения частоты. В-третьих, обратные задачи являются некорректными.

Основы теории условно-корректных задач, или некорректных задач, были заложены академиком А. Н. Тихоновым. В дальнейшем в рамках этого направления сформировалось несколько научных школ. К середине 60-х годов наука обогатилась публикациями А. Н. Тихонова и других отечественных ученых по некорректным задачам [20-35]. Все предложенные им методы имеют эффективную численную реализацию. Созданная А. Н. Тихоновым общая теория регуляризации некорректных, в частности, обратных задач использует сложный аппарат функционального анализа. Метод регуляризации был использован А. Н. Тихоновым для решения вырожденных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, линейных и нелинейных интегральных уравнений первого рода, задач математического программирования, оптимального управления, устойчивого суммирования рядов Фурье и многих других.

Представим небольшой обзор решенных задач для стержневых и пластинчатых структур, которые являются наиболее простыми и распространенными конструктивными элементами.

В работе [36] рассмотрена обратная задача о деформации для неоднородных колонн, суть которой заключается в нахождении распределения модуля упругости для неоднородной колонны постоянного поперечного сечения по ранее определенным деформациям, заданным многочленами. Обезразмеренная функция смещений и жесткость представлены в виде многочленов от некоторого безразмерного параметра; при этом коэффициенты

разложения жесткости считаются неизвестными. При подстановке этих функций в уравнение колебаний и с помощью приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях безразмерного параметра получена система линейных уравнений для определения коэффициентов разложения жесткости. Приведены результаты вычислений для различных граничных условий.

В статье [37] приведены некоторые новые классы обратных задач в нелинейной механике. Рассмотрены три класса задач: первая - об определении упругопластических свойств стержня из экспериментов на кручение; вторая -об определении упругопластических свойств 3-х мерного тела из экспериментов по сферическому вдавливанию; третья - об определении неизвестного модуля упругости из уравнения изгиба. Получены слабые решения всех прямых задач в соответствующих Соболевских пространствах. Доказано существование квазирешений всех сформулированных задач. Представлены некоторые численные результаты.

В [38] предложена новая аналитическая модель для анализа колебаний и идентификации параметров композитной балки переменной жесткости. Она основана на аппроксимации исходной балки другой балкой, имеющей кусочно-постоянные свойства. Показано, что жесткость каждой составляющей балки может быть восстановлена по спектральным данным. Для каждой однородной балки рассмотрены уравнения колебаний и удовлетворены условия сопряжения. Общая жесткость конструкции получена осреднением. Приведены результаты вычислительных экспериментов.

В работе [39] рассмотрена задача идентификации коэффициентов уравнения балки при граничных измерениях смещений. Изучены крутильные колебания консольно-защемленного на одном конце стержня. В качестве входных данных для решения задачи идентификации использованы смещение и угловая скорость на свободном конце стержня. Показано, что плотность и изгибная жесткость стержня могут быть единственным образом определены в

классе непрерывных функций, если входные данные известны на бесконечном промежутке времени.

Статья [40] посвящена идентификации кусочно-постоянных коэффициентов, входящих в уравнение изгибных колебаний балки. С помощью разложения в ряды авторы сводят динамическую задачу к спектральной. Неизвестный коэффициент восстанавливают через заданное отображение Дирихле-Неймана. При этом в спектральной задаче считаются заданными собственные функции.

В работе [41] для идентификации механических свойств металлических материалов предложен анализ, основанный на данных экспериментальных результатов, полученных из испытаний индентирования. Входной информацией для идентификации считается кривая сила-внедрение. Отмечена необходимость дополнительного измерения максимальной глубины внедрения. Отмечена практическая применимость предложенного подхода в силу простоты испытания. Процедура решения состоит частично из детерминированного подхода и обычных алгоритмов оптимизации, использующихся для минимизации функционала невязки. Представленные результаты свидетельствуют об особых преимуществах предложенной методики в идентификации модуля упругости, основанной на минимальном количестве входной информации, собранной из экспериментальных данных. Метод апробирован на идентификации материальных свойств сплава А1 2024.

В работе [42] представлена обратная задача идентификации реологических параметров на основе конечно-элементной модели. Решение прямой задачи, моделирующее напряженно-деформированное состояние в процессе временных испытаний на ползучесть, основывалось на конечно-элементной модели объекта. Сформулирована обратная задача, цель которой состоит в том, чтобы определить вектор параметров, описывающий реологию. Способ его определения состоит в стандартной процедуре минимизации целевой функции с помощью метода наименьших квадратов , представляющей

собой сумму квадратов разностей между экспериментальными и числовыми данными в некотором наборе точек.

В статье [43] рассматривается идентификация механических свойств слоистых полимерных композитов, основанная на экспериментальных данных. Предложен метод, основная идея которого заключается в определении параметров простых математических моделей по отклику структуры в контрольных точках расчета, полученных из экспериментов. Отмечено, что по сравнению с обычными методами минимизации квадратичных функционалов, возникает существенное сокращение числа вычислений минимизируемого функционала. Приведены результаты вычислительных экспериментов.

Следующие несколько работ посвящены идентификации механических характеристик пластин переменной жесткости.

В работе [44] рассмотрена задача об идентификации упругопластических механических свойств биметаллических листов гибридно-обратным способом. Для идентификации предложен подход, основанный на регистрации отклика. Сущность метода состоит в объединении экспериментального подхода, использующегося для получения исходных данных, числового моделирования и обратного метода поиска непосредственно для идентификации параметров. Приведен пример численной реализации представленного подхода на примере листа из нержавеющей стали, обшитой медью.

В работе [45] рассматривается задача идентификации упругих механических слоистых композитных пластин на основе данных

вибрационных измерений. Представлена методика неразрушающего контроля, использующая данные вибрационной диагностики. Для аппроксимации смещений пластины использован метод Релея-Ритца, причем в качестве координатных функций использованы многочлены Лежандра. Определены собственные частоты. Приведены результаты экспериментальных исследований и показана эффективность предложенного подхода.

В статье [46] представлен теоретико-экспериментальный подход для идентификации упругих модулей композитной пластины. Подход основан на многоуровневом моделировании и двухступенчатой процедуре идентификации. На первом шаге модули Юнга и сдвига определяются на основе генетического алгоритма, а на втором - они уточняются с помощью минимизации интеграла вероятности ошибки.

Работы [47-48] посвящены методу активной резонансной вибродиагностики, основанному на анализе амплитудно-частотной характеристики, представляющей собой отклик механической системы на гармоническое возбуждение в некоторой точке тела. В работах [49,50] данный подход был применен к исследованию резонансных свойств болыиеберцовой кости. Вибрационный мониторинг рассматривался как неинвазивный метод контроля жесткости костной мозоли в процессе сращения. Представлены результаты серии клинических вибрационных измерений пациентов с переломами болыпеберцовой кости.

В работе [51] рассмотрены вопросы динамического моделирования биомеханических систем, состоящих из болыпеберцовой кости человека и устройств внешней фиксации в виде простейшей рамной конструкции и аппарата Илизарова. Моделирование проведено на основе метода конечных элементов. Проведен численный вибрационный анализ в различных точках на поверхности кости и фиксатора, позволивший определить основные низшие резонансные частоты, формы колебаний системы, а также и амплитудно-частотные характеристики системы. Для математического моделирования срастания кости были рассмотрены различные варианты механических параметров регенерирующей костной ткани в зоне перелома. Значения резонансных частот и формы колебаний, полученные в результате вибрационного анализа неповрежденной кости и кости в аппарате внешней фиксации, могут служить теоретическим фундаментом для разработки

вибрационных резонансных методов диагностики состояния костной мозоли после перелома и проведенной хирургической операции.

В работах [52-53] рассмотрен ряд одномерных обратных задач об установившихся продольных и изгибных колебаниях прямолинейного упругого неоднородного стержня под действием периодической во времени силы. Для решения поставленной обратной задачи использован метод линеаризации. Прямая задача сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода. В случае двух неизвестных функций составлена система интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода. Интегральное уравнение решается численно на основе метода коллокаций. Исследован вопрос единственности решения. Обратная задача сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с суммируемым ядром, которое порождает вполне непрерывный оператор в пространстве суммируемых с квадратом функций (в случае двух неизвестных функций составлена система интегральных уравнений). На основе аппарата интегральных уравнений Фредгольма построен итерационный процесс. Приведены результаты вычислительных экспериментов. Необходимо отметить, что в рассмотренной постановке (консольная заделка) одновременно удается однозначно восстановить две неизвестные механические характеристики из двух независимых экспериментов.

В работе [54] рассмотрены прямая и обратная задачи об установившихся поперечных колебаниях цилиндрического стержня с дефектом в форме полости малого относительного размера. Предложен подход к определению местоположения и объема полости произвольной формы. Представлены результаты вычислительных экспериментов, проведен их анализ.

В статьях [55-56] рассмотрен общий подход к проблеме реконструкции неоднородного предварительно напряженного состояния в упругом теле по амплитудно-частотным характеристикам, измеренным на части его границы. Последовательность линейных некорректных задач, позволяющих осуществлять процедуру уточнения компонент тензора предварительных

напряжений, построена на основе сформулированного ранее обобщенного соотношения взаимности. В качестве примера рассмотрена задача для предварительно напряженного стержня при изгибных колебаниях, для которой представлены операторные уравнения и серия вычислительных экспериментов по восстановлению монотонных функций распределения предварительного напряженного состояния.

В работе [57] представлена задача об идентификации неоднородного предварительного напряженного состояния по данным акустического зондирования. Рассмотрена слабая формулировка. Прямая задача решена на основе метода конечных элементов на примере стержня прямоугольного поперечного сечения. Проведен анализ влияния уровня предварительных напряжений на амплитудно-частотные. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода с непрерывным ядром относительно поправок функции предварительных напряжений сформулировано на основе идеологии метода Ньютона для решения нелинейных обратных задач. Предложена схема восстановления закона изменения предварительных напряжений, основанная на построении итерационного процесса; проведена серия вычислительных экспериментов по восстановлению гладких законов при различных способах нагружения. Представлены обоснованные рекомендации по выбору наиболее эффективных способов нагружения и частотных диапазонов

В статье [58] рассмотрена задача о восстановлении неоднородных вязкоупругих характеристик стержня при анализе крутильных колебаний. Сформулировано обобщенное соотношение взаимности, предложен итерационный алгоритм, основанный на решении интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода с гладкими ядрами на основе метода А.Н. Тихонова. Представлены результаты вычислительных экспериментов по восстановлению искомых неоднородных функций по амплитудно-частотной характеристике.

Проведенный по теме диссертационного исследования анализ литературы свидетельствует о том, что изучение задач идентификации неоднородных

механических свойств материалов для стержней и пластин и построение эффективных методов их решения является актуальной проблемой механики деформируемого твердого тела.

Цель диссертационной работы заключается в решении задач идентификации неоднородных механических характеристик стержней и пластин (упругих и вязкоупругих) при изгибных колебаниях. При этом важное значение имеет вывод операторных соотношений, связывающих искомые и заданные функции, подтверждение идентификационной и диагностической значимости собственных частот и собственных форм колебаний в задачах идентификации механических характеристик. Кроме того, важным аспектом решения обратных задач является разработка эффективных численных методов, направленных на преодоление их некорректности и разработку устойчивых к погрешностям входной информации алгоритмов.

Одной из проблем, возникающих при решении исследуемого в диссертации класса задач является то обстоятельство, что решение прямых задач об определении амплитудно-частотных зависимостей для операторов с переменными коэффициентами требует прямого численного анализа. При этом возможно как использование конечно-разностных аппроксимаций, как это осуществлено в [54], либо предварительное сведение краевой задачи к интегральному уравнению. В настоящей работе использован последний подход. Прямая задача для стержня сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода ( для упругого стержня) и к системе интегральных уравнений (для вязкоупругого стержня). Интегральные уравнения решались численно на основе метода коллокаций. Получены амплитудно-частотные характеристики и собственные частоты колебаний. Обратная задача для неоднородных упругих и вязкоупругих стержней сведена к некоторому итерационному процессу, причем на каждом его шаге требуется решение прямой задачи и определение поправок из решения системы интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода с гладкими ядрами. Система интегральных

уравнений решена на основе метода регуляризации А. Н. Тихонова [20]. Приведены результаты вычислительных экспериментов для различных законов распределения неоднородных характеристик.

Прямая задача для неоднородных упругих и вязкоупругих пластин решена с помощью метода Ритца. Обратная задача для пластин переменной жесткости решена с помощью проекционного метода Галеркина. Численная реализация предложенных алгоритмов осуществлена в пакете Maple. Проведено сравнение результатов с известными аналитическими решениями для пластин с однородными свойствами, а также с результатами, полученными методом пристрелки [59]. Приведены результаты вычислительных экспериментов для различных законов распределения жесткости и различных граничных условий. Обсуждена практическая применимость предложенных подходов.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе диссертации изложены общие постановки обратных задач и использование вариационных трактовок для их решения. Кроме того, также сформулированы постановки обратных задач, рассмотренных в диссертации.

В п. 1.1 сформулированы общие постановки задач теории упругости и вязкоупругости в случае установившихся колебаний, обратных коэффициентных задач. Представлен обзор вязкоупругих моделей и изложен принцип построения операторных соотношений для вязкоупругой среды. Представлены вариационные трактовки, удобные для формулировки и построения итерационных процессов при решении обратных задач. Представлен вывод уравнений колебаний упругого стержня и пластины переменной жесткости на основе вариационного принципа Лагранжа.

В п. 1.2 сформулирована постановка обратной задачи для упругой балки переменной жесткости при изгибных колебаниях. В рамках данной постановки

представлена также практически важная задача о диагностике степени консолидации костных отломков в месте перелома болыпеберцовой кости.

В п. 1.3 на основе принципа соответствия сформулирована постановка обратных задач для вязкоупругой балки переменной жесткости при изгибных колебаниях. В этом случае упругие характеристики заменены на комплексные функции частоты колебаний специального вида, задача приобретает комплексную структуру.

В п. 1.4 сформулирована постановка обратной задачи по определению переменной жесткости упругой пластины при изгибных колебаниях. В качестве заданной информации считается известным смещение пластины в наборе точек на фиксированной частоте.

В п. 1.5 на основе принципа соответствия сформулирована постановка обратной задачи об изгибных колебаниях вязкоупругой пластины переменной жесткости. В этом случае упругие характеристики заменены на комплексные функции частоты колебаний в рамках принципа соответствия.

Во второй главе изложены методы решения прямых задач для неоднородных тел, результаты решения которых используются в качестве входной информации для решения обратных задач - идентификации неоднородных свойств.

В п.2.1 исходная краевая задача обезразмерена и сведена к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода. Интегральное уравнение решено численно на основе метода коллокаций. Для задачи о диагностике переломов болыпеберцовой кости представлена серия расчетов, позволяющих дать количественную оценку влияния степени регенерации костной ткани на строение АЧХ и на основе этого прогнозировать ее стадию. Исследована зависимость собственных значений от модуля упругости на различных стадиях консолидации костных отломков.

В п.2.2 в рамках принципа соответствия изложено разделение исходной краевой задачи на вещественную и мнимую части. Задача о колебаниях

вязкоупругой неоднородной балки сведена к системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода относительно вещественной и мнимой частей прогиба балки. Отмечено, что ядра интегральных операторов представляют собой непрерывные функции независимо от того, являются ли жесткостные характеристики непрерывными или разрывными функциями координат.

В п.2.3 представлена вариационная постановка задачи для пластины. Краевая задача сведена к задаче об отыскании стационарного значения квадратичного функционала Лагранжа, которая решена с помощью метода Ритца. В качестве координатных функций выбраны степенные функции. Задача сведена к системе линейных алгебраических уравнений небольшой размерности, которая исследована численно.

В п.2.4 представлено решение прямой задачи о колебаниях вязкоупругой пластины переменной жесткости с помощью метода Ритца, основанного на нахождении стационарной точки квадратичного функционала Гамильтона-Остроградского; описаны особенности численной реализации предложенного подхода, связанные с комплексной структурой рассматриваемой задачи.

Третья глава диссертации посвящена методам решения коэффициентных обратных задач для изгиба стержней и пластин. Представлены способы получения операторных соотношений, связывающих искомые и заданные функции. В силу того, что дифференциальные операторы имеют переменные коэффициенты, в общем случае такие соотношения не могут быть получены аналитически. В то же время возможно сформировать итерационные схемы, позволяющие преодолеть эту сложность. На каждом шаге необходимо решать прямую задачу и вычислять поправки с помощью регуляризованной схемы решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода. Представлены численные способы преодоления некорректности сформулированных задач на основе процедуры регуляризации А.Н. Тихонова.

В п.3.1 изложен метод линеаризации для формулировки операторных соотношений, связывающих искомые характеристики (модуль Юнга и

плотность) упругой балки с заданными функциями (прогибом балки в фиксированной точке). Для решения сформулированной задачи, с целью преодоления некорректности, использован регуляризуюгций метод Тихонова, на основе которого построена итерационная схема.

В п.3.2 операторные соотношения, связывающие искомые вязкоупругие характеристики балки (комплексный модуль) с заданными функциями прогиба, построены с помощью слабой формулировки задачи и вариационного подхода. В задаче выделены вещественная и мнимая части и с использованием метода Тихонова построен итерационный процесс для решения системы интегральных уравнений Фредгольма 1 -го рода.

В п.3.3 предложены два подхода для решения обратной задачи об определении функции цилиндрической жесткости пластины по известной информации о прогибе пластины на некоторой фиксированной частоте. Освещены особенности их реализации.

В п.3.4 предложено решение обратной задачи об определении функции цилиндрической жесткости круглой вязкоупругой пластины на основе проекционного метода Галеркина при различных граничных условиях.

В четвертой главе представлены результаты вычислительных экспериментов для всех сформулированных задач. Приведены расчеты для различных граничных условий и законов распределения неоднородных характеристик. Обсуждены точность и границы применимости предложенного подхода.

Основное содержание диссертации опубликовано в 14 работах [59-72], из них [61], [70], [71] в журналах из перечня ВАК РФ. Работа [61] выполнена в соавторстве с научным руководителем - А.О. Ватульяном, в которой А.О. Ватульяну принадлежит постановка задачи, основные идеи по методам исследования, обсуждение результатов. Т.А. Аникиной принадлежит формулировка и построение решений краевых задач, вывод уравнений, их исследование и численная реализация. Работа [62] выполнена в соавторстве с

научным руководителем - А.О. Ватульяном и О. В. Бочаровой В них А.О. Ватульяну принадлежит постановка задачи, О. В. Бочаровой - методика решения обратной задачи при изгибных колебаниях, а Т.А. Аникиной вывод основных уравнений колебаний и численные расчеты для различных законов изменения неоднородных свойств. Работы [65-66] выполнены в соавторстве с научным руководителем - А.О. Ватульяном и М.С. Шевцовой В них А.О. Ватульяну принадлежит формулировка целей и задач исследования, основные идеи по построению решений, а Т.А. Аникиной и М.С. Шевцовой в равной степени принадлежит вывод основных уравнений, проведение серии расчетов и анализ полученных результатов. Работы [68- 71] выполнены в соавторстве с научным руководителем - А.О. Ватульяном и И.В.Богачевым В них А.О. Ватульяну принадлежит постановка задачи, основные идеи по методам исследования, обсуждение результатов, а Т.А. Аникиной и И. В. Богачеву в равной степени принадлежит построение основных соотношений, их исследование, численная реализация предложенных алгоритмов и анализ результатов для различных граничных условий и видов неоднородностей. Работа [59] выполнена в соавторстве с П.С. Угличем, в которой Т.А. Аникиной принадлежит вывод основных уравнений и проведение серии вычислительных экспериментов одним из рассматриваемых методов (методом Галеркина), а П.С. Угличу - численная реализация альтернативного численного метода решения и сравнительный анализ результатов для различных законов изменения неоднородных свойств.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 05-01-00734, № 10-01-00194-а), ФЦП " Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009 - 2013 годы (госконтракт П596).

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Аникина, Татьяна Александровна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработаны методы решения задач об изгибных колебаниях неоднородных упругих и вязкоупругих стержней и пластин

2. Представлены способы построения операторных соотношений и итерационных процессов в новых обратных задачах по реконструкции неоднородных свойств упругих и вязкоупругих стержней и пластин

3. Проведены вычислительные эксперименты по определению неоднородных характеристик (монотонных, немонотонных) стержней и пластин при изгибных колебаниях

4. Получено решение задачи об определении характеристик болыпеберцовой кости в месте перелома по данным акустического зондирования

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Аникина, Татьяна Александровна, 2012 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1974. 338 с.

2. Жаркан М. Упругие константы трехмерного тела трансверсально-армированного слоистого композиционного материала // Вопросы проектирования и производства конструкций летательных аппаратов: сб.науч.тр. Нац.аэрокосм. Ун-та им. Н.Е. Жуковского «ХАИ»: В.2 (58), Х.2009, С. 16-24.

3. Бардзокас Д.И., Злобин А.И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры. Едиториал УРСС, 2003. 376 с.

4. Kim S., Kreider K.L. Parameter identification for nonlinear elastic and viscoelastic plates // Applied Numerical Mathematics. 2006. № 56. P. 1538-1554.

5. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров. М., Мир, 1963. 473 с.

6. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 261с.

7. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений.— Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1973. 252 с.

8. Романов В. Г. О регуляризирующем алгоритме решения обратной задачи для гиперболического уравнения // Докл. РАН, 1996. Т.346. № 3. С.303-306.

9. Романов В.Г. К теоремам единственности одного класса обратных задач // Докл. АН СССР. 1972. Т. 104, № 5. С. 1075-1076.

10. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2007. 224 с.

11. Ватульян А. О. Математические модели и обратные задачи.// Соросовский образовательный журнал. 1998. №11. С. 143-148.

12. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. - Новосибирск: Наука (Сиб.отд.), 1978. 118 с.

13. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. 457 с.

14. Бухгейм A.JI. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск.: Наука, 1988. 184 с.

15. Bui H.D. Inverse Problems in the Mechanic of Materials: An Introduction. -CRC Press, Boca Raton, FL, 1994. 224p.

16. Isakov V. Inverse problem for PDE. Springer - Veriag. 2005.

17. Яхно В.Г. Обратные коэффициентные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск: Наука, 1990. 304 с.

18. Яхно В.Г. Устойчивость решения одномерных обратных задач упругости//Докл.АН СССР. 1986.Т.286. №6 . С. 1369-1372.

19. Folkow P.D., Kreider K.L. Direct and inverse problems on nonlinear rods // Math. Comput. Simulation. 1997. № 50. P. 577-595.

20. Тихонов A.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.Наука, 1979. 288 с.

21. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Доклады АН СССР. 1963. В. 153. №1. С. 49-52.

22. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Доклады АН СССР. 1963. В. 151. №3. С. 501-504.

23. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1987. 240 с.

24. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во Московск. ун-та, 1987. 217 с.

25. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмический аспект. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1992. 320 с.

26. Лаврентьев М. М. К вопросу об обратной задаче потенциала // Докл. АН СССР, 1956. Т. 106. № 3. С. 389-390.

27. Лаврентьев М.М. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск.: Изд. ин-та математики. 1999. 702 с.

28. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во Новосибирского ун-та, 1973. 71 с.

29. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1982. 88 с.

30. Лаврентьев М. М., Романов В. Г. О трех линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР, 1966. Т. 171. № 6. С.1279-1281.

31. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Васильев В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1969. 67 с.

32. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.; Наука, 1980. 286 с.

33. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.Наука, 1988 г. 288 с.

34. Кабанихин С.И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск. Наука, 1988. 168 с.

35. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во Московск. ун-та, 1989. 198 с.

36. Elishakff I. Inverse buckling problem for inhomogeneous columns // International Journal of Solids and Structures. 2001. № 38. P. 457-464.

37. Hasanov A. Some new classes of inverse coefficient problems in nonlinear mechanics and computational material science // International Journal of NonLinear Mechanics. 2011. № 46. P. 667-684.

38. Vikram Singh K., Li G., Pang S-S. Free vibration and physical parameter identification of non-uniform composite beams // Composite Structures. 2006. № 74. P. 37-50.

39. Chang J-D., Guo B-Z. Identification of variable special coefficients for a beam equation from boundary measurements // Automatica. 2007. № 43. P. 732 -737.

40. Avdonin S.A., Medhin N.G., Sheronova T.L. Identification of a piecewise constant coefficient in the beam equation // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000. № 114. P. 11-21.

41. Moy C.K.S., Bocciarelli M., Ringer S. P., Ranzi G. Identification of the material properties of A1 2024 alloy by means of inverse analysis and indentation tests // Materials Science and Engineering: A. 2011. V. 529. P. 119-130.

42. Gavrus A., Massoni E., Chenot J.L. An inverse analysis using a finite element model for identification of rheological parameters // Journal of Materials Processing Technology. 1996. V. 60.1. 1-4. P. 447-454.

43. Rikards P., Chate A. Identification of mechanical properties of composites based on design of experiments // Mechanics of Composite Materials. 1998.V. 34. No. 1. P. 1-11.

44. Zhang H., Lin X., Wang Y., Zhang Q., Kang Y. Identification of elastic-plastic mechanical properties for bimetallic sheets by hybrid-inverse approach // Acta Mechanica Solida Sinica. 2010.V. 23.1. 1. P. 29-35.

45. Lee C.R., Kam T.Y. Identification of mechanical properties of elastically restrained laminated composite plates using vibration data // Journal of Sound and Vibration. 2006. V. 295.1. 3-5. P. 999-1016.

46. Diveyev В., Butiter I., Shcherbina N. Identifying the elastic modules of composite plates by using high-order theories. 2. Theoretical-experimental approach //Mechanics of Composite Materials. 2008. V. 44, No. 2. P. 139-144.

47. Кораблев С.С., Шапин В.И., Филатов Ю.Е. Вибрацтоииая диагностика в машиностроении. Иваново, 1985. 135 с.

48. Korablev S.S., Shapin V.I., Vibrational diagnostics of machines based on an automated experiment // Proc. 7th World Congress on the Teory of Machines and Mechanisms. Sevilla. Spain. 1987. P. 875-879.

49. Christensen A.B., Ammitzboll F., Dyrbye C. Resonance of human tibia -assessment to fracture heling // American Society of Mechanical Engineer, Biomechanics Symposium. A.S.M.E. New York. 1983.№56. P. 205-208

50. Christensen A.B., Tougaard L., Dyrbye C., Vibe-Hansen Resonance of human tibia. Method, reproducibility and effect of transection // Acta Orthop. Scand. 1982.№53. P. 857-874.

51. Маслов Л.Б. Резонансные свойства болыдеберцовой кости в неповрежденном состоянии и с устройствами внешней фиксации // Российский журнал биомеханики. 2003. Т. 7. № 2. С. 20-34.

52. Бочарова О.В., Ватульян А.О. Обратные задачи для упругого неоднородного стержня // Известия высших учебных заведений. Северокавказский регион, Серия : Естественные науки. 2008. № 3. С. 33-37.

53. Бочарова О.В., Ватульян А.О. О реконструкции плотности и модуля Юнга для неоднородного стержня // Акустический журнал. 2009. Т. 55. № 3. С. 275-282.

54. Ватульян А.О., Солуянов И.О. Идентификация полости в упругом стержне при анализе поперечных колебаний // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49. № 6. С. 1015-1020.

55. Ватульян А.О., Дударев В.В. О реконструкции неоднородного предварительно напряженного состояния в стержне // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 3. С. 18-23.

56. Ватульян А.О., Дударев В.В. О некоторых проблемах реконструкции неоднородного предварительно напряженного состояния в упругих телах // Известия Саратовского университета Серия: Математика, механика, информатика.. 2009. Т.9. В. 4. 4.2. С. 25-32.

57. Ватульян А.О., Недин Р.Д. К идентификации неоднородных предварительных напряжений // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. 2011. № 1. С. 38-44.

58. Ватульян А.О., Шевцова М.С. Об идентификации свойств неоднородных вязкоупругих материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. 2009. Т. 15. № 4. С. 475-485.

59. Аникина Т.А., Углич П.С. Обратная задача об определении переменной жесткости пластины при изгибных колебаниях // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XV Международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 4 декабря- 7 декабря 2011 г. Т.1; Южный Федеральный Университет. Ростов-на-Дону, Издательство Южного Федерального Университета. 2011. С. 16-20.

60. Морусова Т.А. Моделирование диагностики сращивания бедренной кости // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды III Всероссийской школы-семинара. Дивноморское, 28 мая- 1 июня 2007 г. Ростов-на-Дону. Терра Принт. 2007. С. 58-59.

61. Аникина Т.А., Ватульян А.О. Акустические методы контроля регенерации костной ткани // Экологический вестник Черноморского экономического сотрудничества. 2007. №3. С.10-17.

62. Аникина Т.А., Бочарова О.В, Ватульян А.О. К идентификации сращивания костной ткани // БИОМЕХАНИКА-2008. IX Всероссийская конференция по биомеханике. Тезисы докладов. Нижний Новгород: ИПФ РАН. 2008. С. 94-95.

63. Аникина Т.А. Моделирование процесса регенерации костной ткани // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды IV Всероссийской школы-семинара. Дивноморское, 2- 6 июня 2008 г. Ростов-на-Дону. Терра Принт. 2008. С. 11-12.

64. Аникина Т.А., Идентификация реологических свойств при изгибных колебаниях // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды V Всероссийской школы-семинара. Дивноморское, 1 -5 июня 2009 г., Ростов-на-Дону. Терра Принт. 2009. С. 11-12.

65. Аникина Т.А., Ватульян А.О., Шевцова М.С. Об идентификации локализованных и распределенных неоднородностей в упругих и вязкоупругих телах // "Консонанс 2009". Тезисы докладов Акустического симпозиума. Киев 29.09.2009-1.10.2009. Киев: Институт гидромеханики HAH Украины. С. 15-16.

66. Аникина Т.А., Ватульян А.О., Шевцова М.С. Об идентификации локализованных и распределенных неоднородностей в упругих и вязкоупругих телах // Сборник трудов Акустического симпозиума "Консонанс 2009". Киев 29.09.2009-1.10.2009. Киев: Институт гидромеханики HAH Украины. С. 115121.

67. Аникина Т.А. Методы идентификации реологических свойств вязкоупругих материалов // Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета. Ростов-на-Дону. 2010. Т. XV. С.7-11.

68. Аникина Т.А., Богачёв И.В, Ватульян А.О. Об идентификации характеристик костной ткани на основе акустических методов // БИОМЕХАНИКА-2010. X Всероссийская конференция по биомеханике. Тезисы докладов. Саратов. Издательство Саратовского университета. 2010. С.24-25.

69. Аникина Т.А., Богачёв И.В., Ватульян А.О. Некоторые задачи идентификации неоднородных реологических свойств материалов // «Инновация, экология и ресурсосберегающие технологии на предприятиях машиностроения, авиастроения, транспорта и сельского хозяйства» Труды IX Международной научно-технической конференции, г. Ростов-на-Дону: ИЦ ДГТУ. 2010. С. 1149-1152.

70. Аникина Т.А., Богачёв И.В., Ватульян А.О. Об определении неоднородных реологических свойств балок // Вестник Донского Государственного Технического Университета. 2010. Т. 10. № 7. С. 1016-1023.

71. Аникина Т.А., Богачёв И.В., Ватульян А.О. Об идентификации неоднородных характеристик вязкоупругих стержней при изгибных колебаниях

// Механика композиционных материалов и конструкций. 2011. Т. 17. №1. С. 107-115.

72. Аникина Т.А. Об определении переменной жесткости круглой пластины // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VI Всероссийской школы-семинара. Дивноморское, 30 мая- 2 июня 2011 г. Ростов-на-Дону, Издательство Южного Федерального Университета. 2011. С. 12-13.

73. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 635 с.

74. Новацкий В. Теория упругости. М.Мир, 1975. 872 с.

75. Ляв А. Математическая теория упругости. М.- Л., 1935. 674 с.

76. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 415 с.

77. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.

78. Колчин Г.Б. Плоские задачи теории упругости неоднородных тел. Кишинев: Штиинца, 1977. 119 с.

79. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ, 1976. 367 с.

80. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984. 472 с.

81. Устинов Ю. А. Математическая теория поперечно-неоднородных плит. Ростов-на-Дону. Изд ЦВВР, 2006. 258 с.

82. Ватульян А.О. О некоторых постановках обратных коэффициентных задач для линейных операторов // Известия вузов, Сев. кавк. per. Сер Естеств науки 2009, спецвыпуск «Актуальные проблемы механики». С. 50-54.

83. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П., Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. 288с.

84. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. 635 с.

85. Бленд Д. Р. Теория линейной вязкоупругости. М.: Мир, 1965. 390 с.

86. Фрейденталь А., Гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды. М. Физматгиз. 1962. 432 с.

87. Адамов A.A., Матвеенко В.П., Труфанов H.A., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2003. 411 с.

88. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 711с.

89. Ватульян А.О. Проблемы идентификации неоднородных свойств твердых тел // Вестн. Самар. ун-та. Естеств. науки. 2007. № 4 (54). С. 93-104.

90. Ватульян А.О. К теории обратных задач в линейной механике деформируемого тела // ПММ. 2010. Т. 74. В.6. С. 909-916.

91. Herglotz G. Über die Elastizität der Erde bei Berücksichtigung ihrer Variablen Dichte // Z. Math, und Phys. 1905. Bd. 52. № 3. S. 275-299.

92. Jiménez R.D., Santos L.C., Kühl N.M., Egana J.C., Soto R.L. An inverse eigenvalue procedure for damage detection in rods // J. Comp, and Math. Appl. 2004. V. 47. № 4-5. P. 643-657.

93. Олейник O.A., Иосифьян Г.А., Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990. 311 с.

94. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970. 736 с.

95. Маслов Л.Б., Шапин В.И., Смирнов Д.С., Львов С.Е., Блескин Е.В. Применение вибрационных неразрушающих методов диагностики в ортопедии // Российский журнал биомеханики. 2006. Т. 10. №1. С. 15-29.

96. Pfafrod C.S., Vitinesh V.M., Laizans Y.B. Principies of great strain theory for mechanical behaviour description of bone regenerate in second fracture healing // Int. Conf. "Trends in human biomechanics research and applications in medicine and surgery". Riga. 1986. P. 579-583.

97. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука, 1980. 448 с.

98. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

99. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. 632 с.

100. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

101. Бабаков И. М. Теория колебаний. М.: Наука, 1965. 560 с.

102. Ватульян А.О., Явруян О.В. Методические указания к практическим заданиям по с/к «Обратные задачи механики». Г.Ростов-на-Дону, УПЛ РГУ

2005. 26 с.

103. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994. 208 с.

104. Ватульян А. О., Соловьев А. Н. Об итерационном подходе в обратных задачах теории упругости // Экологический вестник научных центров ЧЭС

2006. №1. С. 23-29.

105. Ватульян А.О. Интегральные уравнения в обратных задачах определения коэффициентов дифференциальных операторов теории упругости //Доклады Российской АН. 2005. Т.405 (3). С. 343-345.

106. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Изд-во МГУ, 1970. 512 с.

107. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 230 с.

108. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: ГИФМЛ, 1959. 468 с.

109. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988.352 с.

Амплитудно-частотные характеристики для вязкоупругого стержня при изгибных колебаниях.

Рисунок А. 1 - Амплитудно-частотные характеристики для законов

g(x) = 2 + 2х2, /?(х) = 1 + соз((х +1.5)к),

Рисунок А.2- Амплитудно-частотные характеристики для законов

g(x) = 1 + зт(Зх), /г(х) = 1 + Зх2,

Графики погрешностей восстановления неоднородных вязкоупругих характеристик стержня в зависимости от выбора частотного диапазона.

Рисунок Б. 1 - Погрешность восстановления §-(х)при 5 точках разбиения

70 60 50 40 30 20 10

А

—- —« ( ч 4

\ V 1

к ^ г \ 1 / ^ / ....... Л.

\ \ / г / \

\ _____________1 / / \ \

\ ______ Ц* ± . \ \

Д / \ / 1 ( \ ¿Г „ 1 ________ . ^Г .....

г м У

.....112 ' ' ' '0.4' ' ' 0.6 ' 0.8 '

Рисунок Б.2 Погрешность восстановления Н(х) при 5 точках разбиения

<5,% ж

Рисунок Б.З Погрешность восстановления §(х)при 10 точках разбиения

Графики цилиндрической

зависимости максимальной погрешности жёсткости пластины от частоты, с учетом влияния

идентификации вязкости.

6,% 35

30

25

20

15

10

5

0

А

| 1 /

1 1

Г 1 1

/ Л /!/

/ / /Л / / У/

\ ц ч 1 .

Л \ : , /7 1 1 -1-

10

20

30 40 50 60 к Рисунок В.1- Погрешность восстановления для случая шарнирного опирания при В(г) = 1 + соз(г)