Исследование волновых процессов в поперечно-неоднородных волноводах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Юров Виктор Олегович

• Юров Виктор Олегович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Юров Виктор Олегович

на границе

1.4 Волны в неоднородном волноводе при наличии затухания

1.5 Волны в волноводе с отслоением

1.6 Обратные задачи о реконструкции свойств

Глава 2. Анализ дисперсионных свойств, построение решений

2.1 Задачи о свободных колебаниях

2.2 Вынужденные колебания. Расчет волновых полей на поверхности волновода

2.3 Вычисление вычетов

2.4 Численные результаты

Глава 3. Задача для волновода с отслоением

3.1 Формулировки вспомогательных задач Коши

3.2 Сведение задачи к системе гиперсингулярных интегральных уравнений

3.3 Построение решений на основе метода граничных элементов

3.4 Асимптотический анализ задачи для малой ширины отслоения

Глава 4. Обратные задачи об определении переменных фи-

зических характеристик волновода

4.1 Метод линеаризации

4.2 Построение итерационного процесса

4.3 Идентификация переменного модуля сдвига

4.4 Идентификация переменных модуля сдвига и плотности

4.5 Результаты вычислительных экспериментов, примеры реконструкции монотонных и немонотонных функций

Заключение

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование волновых процессов в поперечно-неоднородных волноводах»

Введение

Первые исследования в области распространения упругих волн проведены для однородных сред (однородной полосы, полуплоскости, сплошного и полого цилиндрического волновода и т.д.), причем для цилиндрического волновода с круговым поперечным сечением первые исследования дисперсионного множества на основе аналитического решения, построенного через функции Бесселя, выполнены в работах [1,2]. В [3] приводится исторический обзор по изучению дисперсионных характеристик нормальных мод для слоя и цилиндра за 125 летний период. Освещены ключевые темы 125-летней истории проблемы и ее современное отражение в глобальном информационном пространстве.

Отметим большой вклад в развитие теории волновых движений в полуограниченных упругих телах - волноводах следующих отечественных и зарубежных ученых Pochhammer L., Chree C., Rayleigh L., Lamb H., Love A. E. H., Stoneley R., Bancroft D., Hudson G.E., Onoe M., Mindlin R.D., Мандельштам Л.И., Tolstoy I., Clay C., Usdin E., Oliver J., Бреховских Л.М., Коненков Ю.К., Ворович И.И., Бабешко В.А., Achenbach J.D., Гринчен-ко В.Т., Улитко А.Ф., Мелешко В.В., Викторов И.А., Бобровницкий Ю.И., Зильберглейт А.С., Устинов Ю.А., Гетман И.П., Белоконь А.В., Калинчук В.В., Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Бострём А., Ерофеев В.И., Ватульян А.О., Наседкин А.В., Пряхина О.Д., Вильде М.В., Голуб М.В., Белянкова Т.И.

Монография [4] посвящена различным аспектам распространению волн в неоднородных средах, анализу способов возбуждения колебаний, изучению свойств волновых полей в неоднородном по вертикальной координате

полупространстве и слое. Отметим, что математические аспекты распространения волн в неоднородных волноводах требуют изучения операторных пучков с двумя спектральными параметрами. Этим вопросам посвящены многочисленные работы. Так, в монографии [5] с единых позиций изучаются полиномиальные операторные пучки, эти результаты могут быть использованы для анализа соответствующих пучков, порожденных краевыми задачами для операторов теории упругости. Если для однородных волноводов с канонической формой поперечного сечения возможно построение дисперсионных соотношений в аналитическом виде, то для операторов с переменными свойствами возможно осуществить лишь асимптотический или численный анализ.

Актуальность исследований волновых полей для неоднородных волноводов с кольцевым или круговым поперечным сечением обусловлена широкими практическими приложениями; здесь упомянем упругие трубопроводы с многослойными покрытиями, пьезоволноводы, цилиндрические трубы, погруженные в грунт, волноводы при наличии полимер-композиционных покрытий. Волновые поля в неоднородных волноводах исследуются различными методами. В статье [6] выполнен анализ изотропного, плоскослоистого волновода, содержащего неоднородное ядро, заключённое между двумя однородными слоями, образуя включение, где применяется метод степенных рядов по спектральному параметру. Часто для учета неоднородности функционально-градиентного волновода используется слоистая модель, где неоднородность заменяется набором идеально соединенных однородных слоев с разными упругими модулями. Таким образом, например, в [7] решена задача для толстого неоднородного в радиальном направлении цилиндра. В [8] изучены колебания цилиндра, неоднородного в окружном и радиальном направлении. В работе [9] представлен численный метод расчёта распространения волны в бесконечном слоистом цилиндре.

Акустический мониторинг трубопроводов, погруженных в грунт или жидкость, порождает задачи о погруженных волноводах. В работе [10] рассмотрены особенности осесимметричных волновых движений в заполнен-

ном жидкостью упругом цилиндре, окружённом флюидной средой. Предложена методика определения вещественных и комплексных корней дисперсионного уравнения. Для вложенных/погруженных упругих волноводов окружающая среда моделируется с использованием идеально подобранного слоя (РМЬ) [11].

В монографии [12] изучены различные аспекты строения дисперсионного множества, собственные и вынужденные колебания в поперечно-неоднородном анизотропном слое в плоском случае. Осуществлено сравнение различных принципов отбора единственного решения.

Изучению волн в нерегулярных волноводах посвящена монография [13]. В ней на основе метода однородных решений изучаются процессы распространения и отражения волн в продольно неоднородных волноводах с произвольным поперечным сечением. Производится стыковка решений для цилиндрических волноводов различного диаметра, а также волноводов, в которых образующая имеет излом. На основе метода возмущений и решений Сен-Венана исследована структура низших мод дисперсионного множества; особое внимание уделено волноводам с круговым поперечным сечением.

Распространён случай, когда для изучения волновых процессов в тонкостенных цилиндрах применяется теория оболочек. В [14] представлен низкочастотный анализ распространяющихся мод в ортотропной цилиндрической оболочке. Приводится укороченное дисперсионное уравнение, обеспечивающее хорошее приближение к точному дисперсионному уравнению для низших трёх ветвей.

В низкочастотном диапазоне цилиндрический волновод может моделироваться стержнем, для которого в однородном линейно-упругом случае дисперсионные зависимости имеют простую аналитическую структуру. Волны в стержнях с учетом вязкоупругости и нелинейности различной природы изучаются в монографии [15]. Отметим наличие взаимодействия колебаний различных типов в таких задачах. Монография [16] посвящена изучению волн в твердых телах с микроструктурой. Исследования проводятся для различных нелинейно-упругих сред. В статье [17] изучаются

волны продольной деформации в нелинейно упругой среде с моментными напряжениями.

Для проведения технических экспериментов требуются упрощённые модели. В монографии [18] изучаются ультразвуковые волны в волноводах применительно к задачам неразрушающего контроля и мониторинга структурной целостности элементов конструкций.

Использование новых материалов влечет за собой активное развитие методов неразрушающего контроля для изготовленных из них конструктивных элементов. В этом процессе свою нишу занимает исследование распространения волн в неоднородных волноводах. При том, что однородные волноводы исследованы достаточно подробно [19] на основе аналитических методов, исследование волновых процессов в функционально-градиентных и кусочно-неоднородных волноводах осуществляется в основном численно. Для успешного решения обратной задачи по идентификации скрытых (внутренних) дефектов требуется развитие методик решения прямых задач о распространении волн в неоднородных волноводах с дефектами. Для исследования волновых процессов в однородных структурах с дефектами в основном используются методы, базирующиеся на закономерностях распространения волн Лэмба [20]. В [21] осуществляется идентификация размеров и глубины отслоения по изменению резонансных частот. Дальнейшее продвижение в исследовании волновых процессов в неоднородных структурах осуществляется обычно путем разбиения на кусочно-однородные области, либо путем построения решений для неоднородностей простого вида. Экспоненциальный закон использован в [22] для описания деформирования неоднородной плоскости с разрезом. В работе [23] найден способ построения приближенного решения задачи о дискообразной трещине в функционально-градиентном пространстве путем рассмотрения задачи, в которой произвольный закон неоднородности заменяется аппроксимацией некоторой системой функций.

Математический аппарат для решения задач о волнах в протяженных объектах с дефектами обычно основывается на применении метода граничных интегральных уравнений (ГИУ) [24, 25] или применении метода

конечных элементов (МКЭ) [26, 27], дополненного неотражающими граничными условиями. ГИУ возникают при решении задач с раскрытыми трещинами, причем интегральные уравнения формируются относительно скачков перемещений и являются гиперсингулярными. При использовании МКЭ основной проблемой является корректный переход от неограниченной структуры к ограниченной и выявление структуры решения в окрестности вершин трещин.

В рамках первого подхода можно выделить различные способы решения задачи. Так в [24] методом разложения в ряд по параметру решена задача о трещине на границе полосы и полуплоскости; решение зависит от соотношения упругих модулей на границе раздела сред. Составлена и решена на основе метода "больших Л" система интегральных уравнений с гиперсингулярными ядрами. Другой способ нахождения решения основан на построении интерполяционных многочленов для функций раскрытия и сведении задачи к решению алгебраической системы. Таким методом в статье [28] решена задача для полосы с трещиной, заполненной клеевым составом. В [29] решена задача о полосовой трещине на границе двух полупространств. Для решения возникающего гиперсингулярного ГИУ применялся метод Бубнова-Галеркина с разложением по ортогональным полиномам Чебышева второго рода. Построены асимптотики ядер интегральных уравнений, предложена формула, уточняющая квазистатическое приближение. В работе [30] исследовано явление блокирования волн в полуплоскости и в слое с продольной трещиной. Для полуплоскости решение строится аналогично работе [29], а для полосы осуществляется разложение решения ГИУ по нормальным модам, и задача сведена к бесконечной алгебраической системе.

В рамках второго подхода возможно моделирование волновода практически любой формы, содержащего дефекты любой природы в ограниченной области. В работе [26] решение задачи строится путем сопряжения численного решения в конечной неоднородной области с аналитическими решениями в полубесконечных областях. В [27] для расчета полей в неограниченном теле с дефектом применен МКЭ совместно с масштабирующими

граничными условиями (разновидность граничных условий неотражающего типа).

В последние годы функционально-градиентные материалы и изделия из них становятся весьма популярными в различных областях. Их создание требует реализации технологических процессов, дополненных возможностью контроля получаемой продукции, в частности законов изменения модулей упругости и плотности. Эту функцию могут взять на себя тесты, основанные на акустическом зондировании (вибрационные испытания). В основе тестов-испытаний должны лежать алгоритмы решения коэффициентных обратных задач (КОЗ). В рамках моделей КОЗ решаются задачи об отыскании функций, характеризующих неоднородность, для стержней, конечных тел и волноводов.

Отметим ряд работ, направленных на создание эффективных алгоритмов по реконструкции переменных свойств конструкций и численную их реализацию [31-39]. Восстановлению постоянных свойств посвящено существенно большее количество работ. Для примера укажем несколько работ, которые посвящены нахождению упругих параметров анизотропных сред [40-42]. Отметим, что восстановление материальных функций обычно осуществляется итерационными алгоритмами. Их применение обуславливается в основном нелинейностью обратной задачи; также сам способ регуляризации может быть итерационным. Например, в [37] при нахождении изгибной жесткости композитной балки на каждой итерации происходит «настройка» лишь по нескольким переменным. В [31,34-36,38,39] на каждой итерации осуществляется линеаризация задачи и решается интегральное уравнение Фредгольма (ИУФ) первого рода (либо их система). В [34,39] дополнительная сложность связана с построением ядер ИУФ; требуется применение обратного интегрального преобразования Фурье. Так, в [39] сформирован основной итерационный процесс, порожденный линеаризацией нелинейной обратной задачи в окрестности некоторого приближения, и есть вспомогательный итерационный алгоритм, осуществляющий автоматический выбор параметра регуляризации по методу обобщенной невязки. В [32] итерационная схема применяется в той ситуации, когда исходная

прямая задача существенно нелинейна. Итерационные алгоритмы решения применены также в [43-46].

Наибольшие сложности при решении коэффициентных обратных задач возникают при использовании экспериментальных данных или при зашум-лении входной информации. В ряде работ, посвящённых решению обратных задач [32,37,43,44,47-49], анализируется влияние зашумления, уровень которого обычно располагался в диапазоне 1-2%.

Среди КОЗ для упругих моделей выделим задачи для балок [32,33,37, 50,51], где ставятся задачи по восстановлению изгибной жесткости, модуля сдвига, типа граничных условий и определения зоны неполного контакта в композитных балках. Часто в КОЗ возникает необходимость решения ИУФ первого рода с гладкими ядрами [31,34,35,52]. Отметим, что в [52] решение интегрального уравнения осуществляется однократно, а в остальных работах является лишь частью итерационного алгоритма, подобного операторному методу Ньютона, с помощью которого строится последовательность приближений, сходящаяся к восстанавливаемым функциям. Использование различных способов регуляризации при анализе широкого класса некорректных задач обсуждено в работах ( [43,44, 48, 52, 53] - граничные обратные задачи, [45,48,53-55] - задачи для связанных полей).

Существуют различные способы решения обратных и плохо обусловленных задач. Методам решения плохо обусловленных задач посвящены книги [56,57] и статьи [48,49,58-61]. Наиболее распространенными методами можно считать метод регуляризации Тихонова [31,34,38,41,43,48,51,53,55,59, 62-65] и метод усеченных сингулярных разложений (ТБУЭ) [52,53,66-69]. В [53,70] содержится их сравнение. Отметим особо работу [58], где приведены основные алгоритмы решения плохо обусловленных задач.

Метод регуляризации Тихонова усовершенствуется в работах [44,71,72]. В [71] предлагается использовать итерационный метод регуляризации Тихонова, где параметр регуляризации связан с номером итерации. В [44] предлагается итерационный метод решения ОЗ с модифицированным функционалом невязки. Работа [72] связана с предобуславливателем и модификацией матрицы в методе регуляризации Тихонова.

Важным вопросом при применении метода регуляризации Тихонова является вопрос выбора параметра регуляризации. Эта проблема тесно связана с выбором количества сохраняемых сингулярных значений в методе ТБУЭ. Часто в литературе можно увидеть критерий выбора Ь-кривой [48,53,65,73]. Критерий удобен своей наглядностью, но имеет ограниченное применение, об этом сообщается в [70]. Также используются следующие критерии выбора параметра регуляризации: принцип невязки Морозова, принцип перекрестной проверки, принцип обобщенной невязки.

Актуальность темы исследования. С целью улучшения эксплуатационных качеств трубных конструкций происходит усложнение их свойств; структуры становятся слоистыми, предварительно напряжёнными, функционально-градиентными в радиальном направлении. Комбинирование различных материалов преследует цели создания конструкций с высокими характеристиками по целому перечню свойств. Так, например способность выдерживать высокое давление и обладать устойчивостью к агрессивному воздействию внешней среды достигается использованием бесшовных металлических труб с полимерными покрытиями. Устойчивость к истиранию достигается применением различных керамических покрытий, а с уменьшением теплопотерь эффективно справляются пористые материалы с низкой плотностью и теплопроводностью.

Существует ряд факторов, препятствующих комбинированию материалов с разными механическими свойствами. Границы раздела сред наиболее часто являются концентраторами напряжений; на границах раздела наиболее вероятно возникновение трещин. Этих недостатков лишены конструкции из функционально-градиентных материалов, в которых изменение свойств происходит непрерывным образом. Процесс изготовления конструкций из функционально-градиентных материалов требует контроля получаемой продукции, который может быть обеспечен методами акустического мониторинга.

Исследование волн в волноводах имеет практическое применение в областях неразрушающего контроля. Математические модели, используемые для однородных и слоистых сред, становятся неадекватными при моде-

лировании элементов конструкций с быстрым изменением механических свойств, что мотивирует к разработке модели волновода с произвольным изменением механических свойств в радиальном направлении с учётом возможных предварительных напряжений (ПН), затухания в среде, при наличии тонких покрытий и областей с отслоением. Решение задач об исследовании волновых процессов в таких структурах обеспечивает математическую базу для мониторинга неоднородных сред, а решение обратных задач о реконструкции законов неоднородности позволяет оценить неоднородные свойства волновода, выявить основные проблемы и заложить теоретический фундамент акустического мониторинга конструкций с неоднородными свойствами, предложить наиболее информативные схемы.

Результаты, входящие в диссертационную работу, получены при поддержке грантов РФФИ (13-01-00196, 16-01-00354, 19-31-90017), РНФ (1811-00069, 18-71-10045) и гранта Правительства РФ (№ 075-15-2019-1928).

Целью настоящей работы является исследование волновых процессов в поперечно-неоднородных цилиндрических волноводах и определение законов неоднородности по некоторой дополнительной информации.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи.

1. Исследовать свободные колебания неоднородного цилиндрического волновода с кольцевым поперечным сечением для произвольных законов неоднородности физических характеристик по радиальной координате при учете полей неоднородных предварительных напряжений, граничных условий пружинного типа и затухания.

2. Исследовать волновые процессы в неоднородном цилиндрическом волноводе под действием внешней периодической во времени нагрузки.

3. Исследовать волны в неоднородном цилиндрическом волноводе с отслоением.

4. Построить решение обратных задач по восстановлению одной, двух и трех материальных функций, характеризующих неоднородность, при различных способах задания дополнительной информации о поле смещений на внешней границе волновода.

Научную новизну работы составляют следующие научные результаты.

1. Изучение структуры дисперсионного множества неоднородного по радиальной координате волновода на основе сочетания численных и асимптотических методов.

2. Разработка метода построения волновых полей на внешней границе и вещественных кривых дисперсионного множества неоднородного цилиндрического волновода при наличии неоднородного поля предварительных напряжений.

3. Анализ структуры дисперсионного множества и разработка метода построения волновых полей для неоднородного цилиндрического волновода с пружинными граничными условиями на внешней границе.

4. Разработка метода построения дисперсионных кривых и волновых полей для неоднородного цилиндрического волновода с учетом вязкоупру-гих свойств.

5. Формулировка системы гиперсингулярных интегральных уравнений относительно функций раскрытия для неоднородного цилиндрического волновода при наличии кольцевого отслоения, асимптотический и численный анализ ядер интегральных уравнений, разработка метода их решения на основе метода граничных элементов, сравнение результатов с асимптотическим подходом в случае малой ширины отслоения, анализ волновых полей на внешней границе волновода.

6. Разработка итерационного алгоритма решения обратной задачи по идентификации нескольких функций радиальной неоднородности, формулировка операторных соотношений для нахождения поправок, разработка алгоритмов численного решения систем интегральных уравнений Фред-гольма первого рода с гладкими ядрами на основе модифицированного метода регуляризации А.Н. Тихонова, проведение вычислительных экспериментов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и приложения. Полный объём диссертации составляет 135 страниц, в работе содержится 33 рисунка и 5 таблиц. Список ли-

тературы содержит 132 наименования.

В первой главе представлены постановки задач для цилиндрических волноводов со сложными свойствами.

В первом параграфе первой главы приводятся постановки задач, включающие уравнения движения и определяющие соотношения неоднородной изотропной упругой среды для произвольной и цилиндрической систем координат, дополненные граничными условиями нескольких видов. Второй параграф содержит постановки задач (уравнения движения, определяющие соотношения и граничные условия) для предварительно напряжённого полого цилиндрического волновода со свободными границами или находящегося под действием периодической во времени внешней нагрузки. Для описания поля предварительных напряжений вводятся в рассмотрение три функции радиальной координаты (три ненулевых компоненты тензора ПН). В третьем параграфе приведена постановка задачи для неоднородного цилиндрического волновода с пружинными граничными условиями, содержащими два неотрицательных параметра и моделирующими наличие внешней среды. Четвёртый параграф содержит модель стандартного вязкоупругого тела, которая используется в рамках концепции комплексных модулей для моделирования реологии неоднородного цилиндрического волновода. В пятом параграфе выполнена постановка задачи о распространении волн в неоднородном цилиндрическом волноводе с кольцевым отслоением. Последний параграф первой главы содержит три варианта постановки обратной задачи об идентификации функций неоднородности (два параметра Ламе и плотность в зависимости от координаты).

Глава 2 посвящена исследованию общих вопросов и закономерностей для задач о свободных и вынужденных колебаниях.

В первом параграфе второй главы изучаются свободные колебания волновода в различных постановках (см. главу 1). Выполняется формулировка операторных пучков и анализ их решений. Численно и асимптотически исследуются свойства дисперсионных множеств. Следующий параграф по-свящён случаю вынужденных колебаний. Выполнен анализ пучков в пространстве трансформант Фурье. В третьем параграфе приводится алго-

ритмы построения волновых полей на основе теории вычетов. В четвертом параграфе приведены результаты вычислительных экспериментов.

В третьей главе исследована задача о распространении волн в неоднородном волноводе с кольцевым отслоением.

В первом параграфе главы 3 вводятся вспомогательные задачи Коши для конструирования решения задачи в пространстве трансформант Фурье. Во втором параграфе предложен способ сведения задачи о нахождении неизвестных скачков перемещений на отслоении к системе гиперсингулярных интегральных уравнений. В третьем параграфе применён метод граничных элементов для решения системы и осуществлен переход к оригиналам для построения волновых полей на внешней поверхности волновода. В четвертом параграфе предлагается альтернативный метод анализа системы в случае малой ширины отслоения. На основе асимптотического решения системы и теоремы о вычетах получена формула для волновых полей на поверхности для волновода с отслоением малой ширины.

Заключительная четвертая глава посвящена исследованию обратных задач об определении переменных физических характеристик волновода.

В первом параграфе четвертой главы выполнена формулировка операторных соотношений. В пространстве преобразования Фурье применён метод линеаризации. На основе сведений первого параграфа и идей операторного метода Ньютона во втором параграфе выполнено построение итерационного процесса. На каждой итерации выполняется формулировка системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода с гладкими ядрами и ее решение методом регуляризации А.Н. Тихонова. Далее рассмотрены частные случаи: В третьем параграфе выполняется идентификация переменного модуля сдвига, а в четвёртом переменных модуля сдвига и плотности. В последнем параграфе приводятся результаты вычислительных экспериментов: примеры реконструкции монотонных и немонотонных функций.

Практическая значимость проведённых исследований определяется использованием моделей динамического мониторинга для протяженных конструкций из радиально неоднородных материалов типа трубопроводов

и скважин.

Методология и методы исследования. Исследование волновых процессов в поперечно-неоднородных волноводах основано на применении интегрального преобразования Фурье, построении канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в пространстве трансформант и ее решение методом пристрелки. Для численного исследования дисперсионных множеств рассматриваемых задач применяется метод продолжения по параметру и численный анализ вспомогательных задач Коши на основе методов Рунге-Кутты 4-5 порядков. Для асимптотического исследования дисперсионных множеств используются методы возмущений. На основе методов, применяемых при построении дисперсионного множества, осуществлен поиск полюсов подынтегральных функций в интегралах Фурье в задачах о вынужденных колебаниях. При построении решения используется прямое численное интегрирование по квадратурным формулам и теория вычетов. Для подсчёта вычетов использованы явные формулы, требующие решения вспомогательных задач Коши. В задаче о колебании волновода, ослабленного кольцевой трещиной, сформулирована система гиперсингулярных интегральных уравнений, которая решается с помощью метода граничных элементов. Использованы методы асимптотического анализа системы, построены приближенные решения. При решении обратных задач по восстановлению функций неоднородности использована итерационная схема типа абстрактного метода Ньютона, на каждом шаге которого решается прямая задача с известными законами неоднородности и находятся поправки из решения систем интегральных уравнений Фред-гольма с гладкими ядрами с помощью метода регуляризации А.Н. Тихонова.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Юров Виктор Олегович, 2021 год

Литература

1. Pochhammer L. Über die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner Schwingungen in einem unbegrenzten isotropen Kreiscylinder // J. Reine angew. Math. 1876. № 81. С. 324-336.

2. Chree C. Longitudinal vibrations of a circular bar //J. Quart. Pure Appl. Math. 1886. № 21. С. 287-298.

3. Meleshko V. V., Bondarenko A. A., Dovgiy S. A. Elastic waveguides: History and the state of the art. I // J Math Sci. 2009. no. 162. P. 99-120.

4. Бабешко В. А., Глушков Е. В., Зинченко Ж. Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. Москва : Наука, 1989. 344 с.

5. Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. Кишинев: Штиинца, 1986. 260 с.

6. Figueroa V. B., Kravchenko V. V., Rabinovich V. S. Spectral parameter power series analysis of isotropic planarly layered waveguides // Applicable Analysis. 2014. Vol. 93, no. 4. P. 729-755.

7. Hasheminejad S. M., Ahamdi-Savadkoohi A. Vibro-acoustic behavior of a hollow FGM cylinder excited by on-surface mechanical drives // Composite Structures. 2010. Vol. 92, no. 1. P. 86-96.

8. El-Raheb M. Transient waves in an inhomogeneous hollow infinite cylinder // International Journal of Solids and Structures. 2005. Vol. 42, no. 20. P. 5356-5376.

9. Guided waves in radially graded cylinders: a polynomial approach / L. Elmaimouni, J. E. Lefebvre, V. Zhang et al. // NDT&E international. 2005. Vol. 38, no. 5. P. 344-353.

10. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Свойства нормальных волн композитного упруго-жидкостного волновода, помещенного в жидкость // Акуст. вюн. 2006. Т. 9, № 4. С. 17-34.

11. Kalkowski M. K., Muggleton J. M., Rustighi E. Axisymmetric semi-analytical finite elements for modelling waves in buried/submerged fluid-filled waveguides // Computers & Structures. 2018. Vol. 196. P. 327-340.

12. Ворович И. И., Бабешко В. А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

13. Гетман И. П., Устинов Ю. А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на-Дону: Изд-во Рост. ун-та, 1993. 144 с.

14. Kaplunov J., Nobili A. A robust approach for analysing dispersion of elastic waves in an orthotropic cylindrical shell // Journal of Sound and Vibration. 2017. Vol. 401. P. 23-35.

15. Ерофеев В. И., Кажаев В. В., Семерикова Н. П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность. М.: Физматлит, 2002. 208 с.

16. Ерофеев В. И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993. 328 с.

17. Erofeyev V. I., Potapov A. I. Longitudinal strain waves in non-linearly-elastic media with couple stresses // International Journal of Non-Linear Mechanics. 1993. Vol. 28, no. 4. P. 483-488.

18. Rose J. L. Ultrasonic guided waves in solid media. Cambridge: Cambridge University Press, 2014. 512 p.

19. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. М.: Наука, 1981. 282 с.

20. Su Z., Ye L., Lu Y. Guided Lamb waves for identification of damage in composite structures: A review // Journal of Sound and Vibration. 2006. Vol. 295, no. 3-5. P. 753-780.

21. Identification of delamination based on the Lamb wave scattering resonance frequencies / A. A. Eremin, M. V. Golub, E. V. Glushkov et al. // NDT & E Int. 2019. Vol. 103. P. 145-153.

22. Scattering of the harmonic anti-plane shear waves by a crack in functionally graded piezoelectric materials / L. Ma, L. Wu, Z. Zhou et al. // Composite Structures. 2005. Vol. 69, no. 4. P. 436-441.

23. Аналитическое решение задачи о дискообразной трещине в функционально-градиентном пространстве / Айзикович С.М., Александров В.М., Трубчик И.С. [и др.] // Доклады РАН. 2009. Т. 424, № 2. С. 185-189.

24. Александров В. М., Пожарский Д. А. К задаче о трещине на границе раздела упругих полосы и полуплоскости // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 1. С. 86-93.

25. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО Янус, 1995. 520 с.

26. Евдокимов А. А., Глушкова Н. В., Глушков Е. В. Гибридная численно-аналитическая схема для расчета дифракции упругих волн в локально неоднородных волноводах // Акуст. журн. 2018. Т. 64, № 1. С. 3-12.

27. Gravenkamp H. Efficient simulation of elastic guided waves interacting with notches, adhesive joints, delaminations and inclined edges in plate structures // Ultrasonics. 2018. Vol. 82. P. 101-113.

28. Антоненко Н. Н. Задача о продольной трещине с наполнителем в полосе // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, № 3. С. 315-322.

29. Дорошенко О. В., Кириллова Е. В., Фоменко С. И. Асимптотическое решение гиперсингулярного граничного интегрального уравнения, моделирующего рассеяние плоских волн на интерфейсной полосовой трещине // Вестник ПНИПУ. Механика. 2019. № 2. С. 86-99.

30. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Голуб М. В. Блокирование бегущих волн и локализация энергии упругих колебаний при дифракции на трещине // Акуст. журн. 2006. Т. 52, № 3. С. 314-325.

31. Ватульян А. О., Сатуновский П. С. Об определении упругих модулей при анализе колебаний неоднородного слоя // Доклады РАН. 2007. Т. 414, № 1. С. 36-38.

32. Hasanov A., Tatar S. An inversion method for identification of elastoplastic properties of a beam from torsional experiment // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2010. Vol. 45, no. 5. P. 562-571.

33. Marinov T. T., Marinova R. S. An inverse problem for estimation of bending stiffness in Kirchhoff-Love plates // Computers & Mathematics with Applications. 2013. Vol. 65, no. 3. P. 512-519.

34. Ватульян А. О., Углич П. С. Реконструкция неоднородных характеристик поперечно-неоднородного слоя при антиплоских колебаниях // Прикладная механика и техническая физика. 2014. Т. 55, № 3. С. 146153.

35. Vatulyan A. O., Yavruyan O. V., Bogachev I. V. Reconstruction of inhomogeneous properties of orthotropic viscoelastic layer // International Journal of Solids and Structures. 2014. Vol. 51, no. 11-12. P. 2238-2243.

36. Identification of inhomogeneous elastic properties of isotropic cylinder / I. V. Bogachev, R. D. Nedin, A. O. Vatulyan et al. // ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift Für Angewandte Mathematik Und Mechanik. 2016. Vol. 97, no. 3. P. 358-364.

37. Liu C.-S. Identifying a rigidity function distributed in static composite beam by the boundary functional method // Composite Structures. 2017. Vol. 176. P. 996-1004.

38. Identification of the Lame parameters of an inhomogeneous pipe based on the displacement field data / A. O. Vatulyan, V. V. Dudarev, R. M. Mnukhin et al. // European Journal of Mechanics - A/Solids. 2020. Vol. 81. p. 103939.

39. Ватульян А. О., Юров В. О. Об оценке законов радиальной неоднородности в цилиндрическом волноводе // Акуст. журн. 2020. Т. 66, № 2. С. 119-127.

40. Evaluation of effective elastic properties of layered composite fiber-reinforced plastic plates by piezoelectrically induced guided waves and laser Doppler vibrometry / A. Eremin, E. Glushkov, N. Glushkova et al. // Composite Structures. 2015. Vol. 125. P. 449-458.

41. Hematiyan M. R., Khosravifard A., Shiah Y. C. A new stable inverse method for identification of the elastic constants of a three-dimensional generally anisotropic solid // International Journal of Solids and Structures. 2017. Vol. 106-107. P. 240-250.

42. Guided ultrasonic waves for determining effective orthotropic material parameters of continuous-fiber reinforced thermoplastic plates / M. Webersen, S. Johannesmann, J. Diichting et al. // Ultrasonics. 2018. Vol. 84. P. 53-62.

43. Marin L., Johansson B. T. Relaxation procedures for an iterative MFS algorithm for the stable reconstruction of elastic fields from Cauchy data in two-dimensional isotropic linear elasticity // International Journal of Solids and Structures. 2010. Vol. 47, no. 25. P. 3462-3479.

44. Marin L., Delvare F., Cimetiere A. Fading regularization MFS algorithm for inverse boundary value problems in two-dimensional linear elasticity // International Journal of Solids and Structures. 2016. Vol. 78-79. P. 9-20.

45. de Buhan M., Darbas M. Numerical resolution of an electromagnetic inverse medium problem at fixed frequency // Computers & Mathematics with Applications. 2017. Vol. 74, no. 12. P. 3111-3128.

46. Goncharsky A. V., Romanov S. Y. A method of solving the coefficient inverse problems of wave tomography // Computers & Mathematics with Applications. 2019. Vol. 77, no. 4. P. 967-980.

47. El-Morabie K. M. Identification of an object in an elastic layer of constant thickness: the antiplane problem // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2012. Vol. 76, no. 6. P. 732-737.

48. Wang F., Chen W., Gu Y. Boundary element analysis of inverse heat conduction problems in 2D thin-walled structures // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2015. Vol. 91. P. 1001-1009.

49. Suliman M. A., Ballal T., Al-Naffouri T. Y. Perturbation-based regularization for signal estimation in linear discrete ill-posed problems // Signal Processing. 2018. Vol. 152. P. 35-46.

50. Aitbayeva A. A., Akhtyamov A. M. Uniqueness of determination of the type of the boundary conditions at one end of a beam from three natural frequencies of its vibrations // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2016. Vol. 80, no. 3. P. 273-277.

51. Perkowski Z., Czabak M. Description of behaviour of timber-concrete composite beams including interlayer slip, uplift, and long-term effects: Formulation of the model and coefficient inverse problem // Engineering Structures. 2019. Vol. 194. P. 230-250.

52. Galybin A. N. An inverse problem of elastostatics in mechanics of composites // Composites Science and Technology. 2008. Vol. 68, no. 5. P. 1188-1197.

53. A meshless singular boundary method for three-dimensional inverse heat conduction problems in general anisotropic media / Y. Gu, W. Chen,

C. Zhang et al. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2015. Vol. 84. P. 91-102.

54. Zhuo L., Yi F., Meng S. An inverse method for the estimation of a long-duration surface heat flux on a finite solid, International Journal of Heat and Mass Transfer // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2017. Vol. 106. P. 1087-1096.

55. Numerical solution of a coefficient inverse problem with multi-frequency experimental raw data by a globally convergent algorithm / D.-L. Nguyen, M. V. Klibanov, L. H. Nguyen et al. // Journal of Computational Physics. 2017. Vol. 345. P. 17-32.

56. Численные методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов [и др.]. М.: Наука, 1990. 232 с.

57. Ватульян А. О. Коэффициентные обратные задачи механики. М.: Физ-матлит, 2019. 271 с.

58. Hansen P. C. REGULARIZATION TOOLS: A Matlab package for analysis and solution of discrete ill-posed problems // Numer Algor. 1994. Vol. 6. P. 1-35.

59. Johnston P. R., Kilpatrick D. The inverse problem of electrocardiology: The performance of inversion techniques as a function of patient anatomy // Mathematical Biosciences. 1995. Vol. 126, no. 2. P. 125145.

60. Golub G. H., Hansen P. C., O'Leary D. P. Tikhonov Regularization and Total Least Squares // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 1999. Vol. 21, no. 1. P. 185-194.

61. Ватульян А. О. К теории обратных задач в линейной механике деформируемого тела // ПММ. 2010. Т. 74, № 6. С. 909-916.

62. Hussein S. O., Lesnic D., Yamamoto M. Reconstruction of space-dependent potential and/or damping coefficients in the wave equation // Computers & Mathematics with Applications. 2017. Vol. 74, no. 6. P. 1435-1454.

63. Bonifasi-Lista C., Cherkaev E. Analytical relations between effective material properties and microporosity: Application to bone mechanics // International Journal of Engineering Science. 2008. Vol. 46, no. 12. P. 1239-1252.

64. Luo J., Li X. D. An inverse aeroacoustic problem on rotor wake/stator interaction // Journal of Sound and Vibration. 2002. Vol. 254, no. 2. P. 219-229.

65. Chiang Y.-W., Borbat P. P., Freed J. H. The determination of pair distance distributions by pulsed ESR using Tikhonov regularization // Journal of Magnetic Resonance. 2005. Vol. 172, no. 2. P. 279-295.

66. Kabanichin S. I. Inverse and Ill-Posed Problems: Theory and Applications. Berlin, Boston: De Gruyter, 2011. 459 p.

67. Vemuri V., Chen F.-P. An initial value method for solving Fredholm integral equation of the first kind // Journal of the Franklin Institute. 1974. Vol. 297, no. 3. P. 187-200.

68. Marin L., Lesnic D. Boundary element solution for the Cauchy problem in linear elasticity using singular value decomposition // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2002. Vol. 191, no. 29. P. 32573270.

69. Brittes R., Franca F. H. R. A hybrid inverse method for the thermal design of radiative heating systems // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2013. Vol. 57, no. 1. P. 48-57.

70. Hansen P. C. The truncated SVD as a method for regularization // BIT. 1987. Vol. 27. P. 534-553.

71. Hanke M., Groetsch C. W. Nonstationary Iterated Tikhonov Regularization // Journal of Optimization Theory and Applications. 1998. Vol. 98, no. 1. P. 37-53.

72. A special modified Tikhonov regularization matrix for discrete ill-posed problems / J. Cui, G. Peng, Q. Lu et al. // Applied Mathematics and Computation. 2020. Vol. 377. p. 125165.

73. Li P., Chen Z., Zhu J. An operator marching method for inverse problems in range-dependent waveguides // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2008. Vol. 197. P. 4077-4091.

74. Ватульян А. О., Юров В. О. О дисперсионных соотношениях для полого цилиндра в поле неоднородных предварительных напряжений // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2015. № 2. С. 22-29.

75. Ватульян А. О., Юров В. О. О свойствах дисперсионного множества для неоднородного цилиндрического волновода // Владикавк. мат. журн. 2018. Т. 20, № 1. С. 50-60.

76. Ватульян А. О., Юров В. О. Волновые процессы в полом цилиндре в поле неоднородных предварительных напряжений // ПМТФ. 2016. Т. 57, № 4. С. 182-191.

77. Ватульян А. О., Юров В. О. О дисперсионных соотношениях для неоднородного волновода при наличии затухания // Изв. РАН МТТ. 2016. № 5. С. 85-93.

78. Ватульян А. О., Юров В. О. Исследование дисперсионных свойств неоднородного пьезоэлектрического волновода при наличии затухания // Акуст. журн. 2017. Т. 63, № 4. С. 339-348.

79. Ватульян А. О., Юров В. О. Анализ вынужденных колебаний в функционально-градиентном цилиндрическом волноводе // Акуст. журн. 2018. Т. 64, № 6. С. 649-656.

80. Ватульян А. О., Юров В. О. Численное и асимптотическое решение задачи о колебаниях неоднородного волновода с кольцевой трещиной конечной ширины // Акуст. журн. 2020. Т. 66, № 5. С. 467-474.

81. Vatulyan A. O., Yurov V. O. On the reconstruction of material properties of a radially inhomogeneous cylindrical waveguide // Math. Meth. Appl. Sci. 2021. P. 1-14.

82. Vatulyan A. O., Yurov V. O. On waves processes in transversally-inhomogeneous waveguides // Modern Methods in Operator Theory and Harmonic Analysis / под ред. Alexey Karapetyants, Vladislav Kravchenko, Elijah Liflyand. Т. 291. Cham: Springer International Publishing, 2019. С. 427-449.

83. Ватульян А. О., Васильев Л. В., Юров В. О. Восстановление параметров в граничных условиях для неоднородного цилиндрического волновода // Владикавк. мат. журн. 2018. Т. 20, № 2. С. 29-37.

84. Wave propagation in immersed waveguide with radial inhomogeneity / A. Vatulyan, V. Yurov, R. Nedin et al. // Ultrasonics. 2020. Vol. 108. p. 106173.

85. Vatulyan A., Yurov V., Nedin R. Oscillations of a non-uniform finite hollow cylinder under conditions of complex prestressed state // Engineering Structures. 2020. Vol. 221. p. 111019.

86. Юров В. О. Волны в вязкоупругом предварительно напряженном цилиндрическом волноводе // Тезисы докладов XI всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». пос. Дивноморское: ЮФУ, 2016. с. 144.

87. Ватульян А. О., Юров В. О. Исследование дисперсионных свойств неоднородного пьезоэлектрического волновода при наличии затухания // Тезисы докладов XI всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». пос. Дивноморское: ЮФУ, 2016. с. 19.

88. Ватульян А. О., Юров В. О. О структуре дисперсионных множеств для неоднородных волноводов с диссипацией // Тезисы конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения - VI». Ростов-на-Дону: ООО «Фонд науки и образования», 2016. с. 85.

89. Юров В. О. Об особенностях волновых процессов в полом цилиндре в поле неоднородных предварительных напряжений // Тезисы докладов X всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». пос. Дивноморское: ЮФУ, 2015. с. 136.

90. Юров В. О. О влиянии неоднородных предварительных напряжений на волновые процессы в полом цилиндре // Тезисы докладов IX всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». пос. Дивноморское: ЮФУ, 2014. с. 120.

91. Исследование предварительного напряженного состояния в трубопроводах / А. О. Ватульян, В. В. Дударев, В. О. Юров [и др.] // Тезисы VIII Российской научно-технической конференции «Механика ресурс и диагностика материалов и конструкций». Екатеринбург: ИМАШ УрО РАН, 2014. с. 49.

92. Ватульян А. О., Юров В. О. Волны в предварительно напряженном цилиндрическом волноводе // Тезисы докладов всероссийской научной конференции «Проблемы деформирования и разрушения материалов и конструкций». Пермь: Изд-во Пермского нац. исслед. политехнического ун-та, 2015. с. 117.

93. Ватульян А. О., Моргунова А. В., Юров В. О. Исследование спектральных характеристик неоднородных цилиндрических волноводов // Тезисы конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения - V». Ростов-на-Дону: ДГТУ, 2015. С. 98-99.

94. Юров В. О. Дисперсионные соотношения для цилиндра с модифицированными граничными условиями // Тезисы докладов XII всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». пос. Дивноморское: ЮФУ, 2017. с. 165.

95. Dudarev V. V., Vatulyan A. O., Yurov V. O. On vibrations of inhomogeneous pre-stressed piezoelectric layer // Тезисы в книге: Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications (PHENMA 2018) Abstracts & Schedule. Busan, Republic of Korea: Korea Maritime and Ocean University, 2018. С. 113-114.

96. Ватульян А. О., Юров В. О. Исследование волновых процессов в неоднородных цилиндрических волноводах // Тезисы XV международной научной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования». Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2019. С. 17-18.

97. Ватульян А. О., Юров В. О. О распространении волн в цилиндрическом волноводе с кольцевым отслоением // Тезисы докладов XIV всероссийской школы «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». пос. Дивноморское: ЮФУ, 2019. с. 25.

98. Недин Р. Д., Юров В. О. О влиянии уровня предварительных напряжений сложной структуры на установившиеся колебания конечного полого цилиндра // Тезисы докладов XIV всероссийской школы «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». пос. Дивноморское: ЮФУ, 2019. с. 106.

99. Ватульян А. О., Юров В. О. О волновых процессах в неоднородных цилиндрических волноводах и оценке уровня предварительных напряжений в них // Сборник тезисов конференции «XXI Зимняя школа по механике сплошных сред». Пермь: Институт механики сплошных сред Уральского отделения РАН, 2019. с. 70.

100. Юров В. О. Колебания неоднородного волновода с отслоением в кольцевой области // Тезисы докладов XV Владикавказской молодежной математической школы. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2020. с. 67.

101. Юров В. О. Колебания функционально-градиентного цилиндрического волновода с отслоением // Тезисы XX Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2020. с. 190.

102. Ватульян А. О., Юров В. О. Асимптотические и численные методы исследования дисперсионных свойств неоднородных волноводов // Материалы докладов международной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения - VII». Ростов-на-Дону: ДГТУ, 2017. С. 82-83.

103. Юров В. О. Дисперсионные соотношения для пьезоэлектрического неоднородного волновода // Труды XVIII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2016. С. 260-264.

104. Ватульян А. О., Юров В. О. О моделировании волновых процессов в составном пьезоэлектрическом слое // Сборник трудов Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики». Воронеж: Научно-исследовательские публикации, 2017. С. 1015-1018.

105. Юров В. О. Математическое моделирование распространения волн в пьезослое // Труды участника VII Международной молодежной научно-практической конференции «Математическое моделирование процессов и систем». Уфа: Стерлитамакский фил. БашГУ, 2017. С. 423-426.

106. Ватульян А. О., Юров В. О. О волнах в преднапряженном функционально-градиентном цилиндрическом волноводе // Труды

XIX Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2018. С. 64-68.

107. Ватульян А. О., Юров В. О. Анализ вынужденных волновых колебаний в волноводах с переменными свойствами // Материалы докладов международной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения - VIII». Ростов-на-Дону: Рост. отд. РИА, 2018. С. 78-79.

108. Ватульян А. О., Юров В. О. Распространение волн в цилиндрическом волноводе с кольцевым отслоением // Сборник: Актуальные проблемы механики сплошной среды Материалы VI международной конференции. Ереван: Национальный университет архитектуры и строительства Армении, 2019. С. 99-102.

109. Ватульян А. О., Юров В. О. Идентификация неоднородных свойств цилиндрических волноводов // Материалы докладов международной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения - IX». Ростов-на-Дону: Рост. отд. РИА, 2019. с. 100.

110. Недин Р. Д., Юров В. О. Установившиеся колебания стесненного в продольном направлении преднапряжённого полого цилиндра // Материалы докладов международной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения - IX». Ростов-на-Дону: Рост. отд. РИА, 2019. с. 101.

111. Ватульян А. О., Юров В. О. О восстановлении законов изменения характеристик функционально-градиентного цилиндрического волновода // Труды XX Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2020. С. 58-62.

112. Trefftz E. Zur theorie der stabilit at des elastischen gleichgewichts // ZAMM. 1933. Vol. 12, no. 2. P. 160-165.

113. Гузь А. Н., Махорт Ф. Г., Гуща О. И. Введение в акустоупругость. Киев: Наукова думка, 1977. 162 с.

114. Ватульян А. О., Дударев В. В., Недин Р. Д. Предварительные напряжения: моделирование и идентификация. Ростов-на-Дону : Изд-во Южного федерального ун-та, 2014. 205 с.

115. Bazant Z. P. A correlation study of formulations of incremental deformation and stability of continuous bodies //J. Appl. Mech. 1971. Vol. 38. P. 919-928.

116. Зубов Л. М. Теория малых деформаций предварительно напряженных тонких оболочек // ПММ. 1976. Т. 40, № 1. С. 85-95.

117. Калинчук В. В., Белянкова Т. И. Динамика поверхности неоднородных сред. М.: Физматлит, 2009. 312 с.

118. Перельмутер М. Н. Исследование напряженно-деформированного состояния стоматологических имплантов методом граничных интегральных уравнений // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2018. № 2. С. 83-95.

119. Bostrom A., Golub M. V. Elastic SH wave propagation in a layered anisotropic plate with interface damage modelled by spring boundary condition // Q.J. Mech. Appl. Math. 2009. Vol. 62. P. 39-52.

120. Golub M. V., Bostrom A. Interface damage modelled by spring boundary conditions for in-plane elastic waves // Wave Motion. 2011. Vol. 48, no. 2. P. 105-115.

121. Анофрикова Н. С., Сергеева Н. В. Исследование гармонических волн в наследственно-упругом слое // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, № 3. С. 321-328.

122. Вильде М. В., Сергеева Н. В. Развитие асимптотических методов анализа дисперсионных соотношений для наследственно-упругого сплош-

ного цилиндра // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, № 2. С. 183-195.

123. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М. : Наука, 1966. 752 с.

124. Кристенсен Р. М. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974. 338 с.

125. Карнаухов В. Г. Связанные задачи термовязкоупругости. Киев: Нау-кова думка, 1982. 224 с.

126. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

127. Глушков Е. В., Глушкова Н. В. Интегральные преобразования и волновые процессы. Краснодар: Кубанский государственный университет, 2017. 201 с.

128. Gusakov D. V., Vatul'yan A. O. Dispersion properties of inhomogeneous poroelastic layer // ZAMM Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. 2018. no. 4. P. 532-541.

129. Ватульян А. О., Явруян О. В. Асимптотический подход в задачах идентификации трещин // Прикладная математика и механика. 2006. Т. 70, № 4. С. 714-725.

130. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1978. 518 с.

131. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. М.: Наука, 1985. 253 с.

132. Onoe M., McNiven H., Mindlin R. Dispersion of axially symmetric waves in elastic rods // ASME. J. Appl. Mech. 1962. Vol. 29. P. 729-734.