Моделирование и идентификация предварительных напряжений в деформируемых телах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Недин Ростислав Дмитриевич

• Недин Ростислав Дмитриевич
• доктор наук
• 2025

Оглавление диссертации доктор наук Недин Ростислав Дмитриевич

Введение

Глава 1. Общие подходы к моделированию ПН в деформируемых телах , ,

1.1 Лииеаризациохшые подходы к описанию ПН в упругом теле

1.2 Описание ПНС в метрике начальной деформированной конфигурации

1.2.1 Линеаризованная постановка задачи о колебаниях ПН тола

1.2.2 Связь различных форм модели ПНС

1.3 Описание ПНС в метрике естественной педоформироваппой конфигурации

1.3.1 Линеаризованная постановка задачи дня ПН тела с явным учетом начальных деформаций

1.3.2 Принцип виртуальных работ

1.3.3 Представление определяющих соотношений через эффективные модули

1.4 Модель установившихся колебаний ПН дня исследования

1.5 Развитие моделей ПН в механике связанных полой

1.5.1 Модель электроупругого тела с учетом ПН и ПД

1.5.2 Другие модели связанных полой дня тел с ПН

Глава 2. Обратные задачи об идентификации ПН

2.1 Общие постановки 03 дня линеаризованной модели ПН тела

2.2 03 I типа

2.2.1 Подход А

2.2.2 Подход Б

2.2.3 Частные случаи постановок 03 I тина

2.3 03 II типа

2.3.1 Метод итерационной регуляризации

2.3.2 Анализ чувствительности половых характеристик тел к ПН

2.3.3 Частные случаи постановок 03 II тина

2.4 03 III типа

2.4.1 Частотное соотношение

2.4.2 Частные случаи постановок 03 III тина

Глава 3. Исследование задач для ПН стержней

3.1 Колебания стержня с учетом упруго-пластического ПНС

3.2 Сравнительный анализ моделей ПНС на примерах колебаний балок

3.2.1 Предварительное напряженно-деформированное состояние

3.2.2 Постановки краевых задач о колебаниях стержней в условиях ПНС

3.2.3 Сравнение моделей Бернулли-Эйлера и Тимошенко

3.2.4 Сравнение моделей ПНС дня изгибных колебаний стержня

3.2.5 Сравнение моделей ПНС дня продольных колебаний стержня

Стр.

3,2,6 Сравнение с экспериментальными данными

3.3 Колебания пьезоэлектрического ПН стержня

3.4 Анализ чувствительности при продольных и изгибпых колебаниях стержней ,

Глава 4. Задачи для ПН цилиндрических тел

4.1 Колебания полого ПН цилиндра

4.1.1 Исследование колебаний ПН цилиндра с осесимметричным полом ПН ,

4.1.2 Колебания цилиндра в условиях ПНС, задаваемого 4 компонентами , ,

4.2 Радиальные колебания изотропной упругой трубы в условиях ПНС

4.3 Колебания ПН цилиндрической оболочки

4.4 Образование ПНС в восстановленной трубе с дефектом

Глава 5. Задачи для ПН пластин

5.1 Колебания пластин в условиях плоского ПНС произвольного вида

5.2 Колебания ПН неоднородных пластин с отверстиями и включениями

5.2.1 Плапарные колебания ПН прямоугольной пластины с одним или

двумя отверстиями или включениями

5.2.2 03 дня ПН прямоугольной пластины при наличии отверстия или включения

5.3 Колебания пластин сложной геометрии и физической структуры

5.3.1 Общая постановка задачи о колебаниях неоднородной ПН пластинки ,

5.3.2 Колебания ПН функционально-градиентной но толщине перфорированной пластины с отверстиями

5.3.3 Колебания пластины с неоднородным ФГ ПН покрытием

5.3.4 Колебания трехслойной ПН сэндвич-пластины

5.3.5 Колебания ПН пластины с круговыми включениями

5.3.6 К расчету колебаний перфорированных ПН пластин с большим

числом отверстий

5.3.7 Колебания решетчатой пластины склеры глаза при наличии ноля ПН ,

5.3.8 Радиальные колебания тонкого ПН неоднородного пьезоэлектрического кольцевого диска

5.3.9 Колебания неоднородной ПН крупной пластинки

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Приложение А. Построение соотношений для моделей ПНС

А.1 Общепринятые системы тензорных обозначений

Стр.

A,2 Вывод линеаризованной постановки краевой задачи дня электроунругого ПН тела

Приложение Б. К теории обратных задач

Б.1 Метод регуляризации А. Н, Тихонова для решения некорректных задач , , , ,

Б.2 Построение соотношений для анализа чувствительности

Приложение В. К задачам для ПН стержней

B.1 Вывод постановки краевой задачи дня банки Тимошенко

В,2 ПНС растяжения/сжатия в стержне

В.З Постановки задач дня ПН стержней

Приложение Г. Общие соотношения для ПН тел в цилиндрической

системе координат

Приложение Д. Некоторые построения для задачи о цилиндрической ПН

оболочке

Д.1 Вывод уравнений движения и граничных условий в общем виде

Д.2 Слабая постановка

Д.З Каноническая система уравнений

Д.4 Частная постановка 03 дня цилиндрической оболочки

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и идентификация предварительных напряжений в деформируемых телах»

Введение

Предварительными напряжениями (ПН) называются напряжения, которые существуют в теле при отсутствии внешних или видимых воздействий различного рода, включая механические, В литературе также встречаются и другие названия - начальные, остаточные, внутренние напряжения, В обзоре монографии |1| приведены этапы формирования этого понятия, начиная от термина механического напряжения в упругом теле; в хронологическом порядке кратко выделены важные труды выдающихся ученых, послужившие развитию понятия ПН,

Предварительное напряженное состояние (ПНС) часто образуется в элементах конструкций на разных стадиях производственных процессов, технологической обработки и эксплуатации. Например, характерные распределения ПН появляются в объектах в результате различных термических воздействий, сварки, .питья, прокатки, прессовки, дробеструйного наклона, вследствие неоднородной пластической деформации и других процессов |2—5|, Следует отметить, что, в зависимости от характера и структуры, ПНС может оказывать как благотворное, так и негативное влияние на прочность и деформирование элементов конструкций. С учетом важности задач предотвращения и снижения дефоктообразования, износа, усталости, охрунчивания и прочих негативных факторов в элементах конструкций, существенный интерес представляет развитие новых подходов к построению уточненных моделей ПН, а также к их идентификации |6|, Отметим, что изучение этого вопроса исследователями разных стран продолжается с начала XX века, и до сих нор актуальными фундаментальными вопросами остаются построение адекватных теоретических моделей ПНС дня различных материалов, а также создание методов, позволяющих с достаточной степенью точности восстанавливать неоднородные распределения ПН в элементах конструкций в рамках нераз-рутающих подходов.

Обычно различают ПН трех уровней масштаба измерения в терминах условной характеристической длины £[;]. К макронапряжениям относят ПН, для которых параметр £ равен масштабу самой структуры; при этом используются классические модели механики сплошных сред, игнорируются поликриеталличеекая или многофазная природа материала. Такие ноля ПН часто рассчитываются численно, например, с помощью МКЭ |9—111. Для таких напряжений допустимо использование гипотезы изотропности. Например, при исследовании стандартных задач теории упругости классические напряжения, возникающие в результате действия внешних нагрузок, относят к макропанряжепиям. К микропанряжепиям относят ПН, которые уравновешиваются в продолах нескольких кристаллических зерен. Из наличие связано с материальной анизотропией, ориентацией кристаллографических плоскостей, наличием различных фаз |12| (например, внутрифазовые тейповые ПН в композитных материалах). К третьему тину относят ПН, которые уравновешиваются внутри одного зерна (примерами причин образования таких ПН служат точечные дефекты, дислокации).

Линеаризованные подходы к моделированию ПН

Современные методы численного моделирования ПН, включая МКЭ, основаны на выборе подходящей теоретической модели ПН дня решения конкретной практической проблемы.

С начала XX века разрабатываются различные модели ПНС дня деформируемых твёрдых тол. Существуют разные подходы к моделированию ПН с точки зрения механики сплошных сред, однако, в мировой литературе мало обзорных работ, где сравниваются распространённые модели ПН и выявляются наиболее подходящие дня конкретных материалов. Определение наиболее подходящих моделей дня описания ПН в толах представляет собой важную задачу механики деформируемого твёрдого тона.

Часто при решении задач анализа ПН в рамках неразрушающих подходов применяют гипотезу однородности ПНС, что приводит к рассмотрению упрощенных постановок задач при постоянных компонентах тензора начальных напряжений. Метод акустического зондирования оказался достаточно эффективным дня получения информации о нолях ПН в твердых тонах и решения обратных задач о реконструкции однородного ПНС. С другой стороны, наиболее актуальными на сегодняшний день являются модели ПНС, позволяющие учитывать характер неоднородных распределений ПН и формулировать постановки обратных задач, направленных на идентификацию неоднородного ПНС при наличии дополнительной информации о половых характеристиках, заданных па части границы тона 113—151.

Модели ПН, основанные па линеаризации нелинейных соотношений механики сплошных сред па основе аппарата наложения малых деформаций па конечные, берут свое начало в работах Р. В. Саусвелла, К. В. Бицоно и X. Генки |16; 17|, Развитие этих теорий можно встретить в трудах Е. Треффтца |18|, X. Нейбера |19|, М.А. Био |20|, В. В. Новожилова |21|, К. Трусдолла |22|, Ж. Можепа |23|, 3. Бажапта |24|, А. И. Лурье |25|, Л. М. Зубова |26|, посвященных дальнейшему развитию линеаризованных моделей ПН, формулировке энергетических принципов и построению связей между различными способами описания равновесия и движения ПН тол. А. Н. Гузем |27| была предложена и описана модель ПНС, учитывающая в явном виде компоненты тензора предварительной деформации в уравнениях движения и определяющих соотношениях, изучен ряд частных постановок задач о распространении волн в упругих ПН тонах. С точки зрения применения моделей ПН к исследованию задач идентификации ПНС стоит отметить работы Ч.-С. Maua |28|, А. Хогер |29| и Л. Ро-бертсопа |30|, 0.3. Кравчишипа, В. Ф. Чекурипа |31| и др.

Отметим несколько примеров использования подобных линеаризованных моделей ПН при исследовании конкретных прикладных задач. Наличие полой ПН в топких покрытиях и пленках часто приводит к расслоению и растрескиванию композиционных конструкций. В работе |5| была предложена формула, позволяющая производить оценку ПН в топких пленках, испытывающих изгибпую деформацию, с учетом набора физических и геометрических параметров подножки и покрытия. Существуют модели, различающиеся числом используемых параметров, характеризующих ПНС и материальные свойства, в зависимости от структуры материала и природы ПН. В работе |32| использована модель, позволяющая описать рас-

проеграпепие ультразвуковых воли в гиперупругом материале при наличии ПН в терминах несимметричного тензора напряжений Пиолы; исследована обратная задача (03) об идентификации ПН дня изотропных и ортотронпых материалов па основе сведения к системе нелинейных уравнений, В работах 133; 34| приводится построение моделей ПН дня анизотропных тел. Отмечается, что дня того, чтобы материал можно было считать изотропным в результате действия ПН, необходимо рассмотрение условия малости начальных деформаций; в ином случае необходимо использовать соотношения дня анизотропного материала, и помимо ПН также определять характеристики начальной анизотропии. Подобные вопросы исследовались также в работах Ч.-С, Mana |28|, Еще один подход к анализу ПН основан па методе собственных деформаций, развитие которого можно встретить в работах А, Кор-супского; идентификация пластических остаточных деформаций основана па использовании вариационной постановки в терминах собственных деформаций и минимизации функционала невязки |35; 36|,

Наиболее распространенная модель упругого ПН тола основана па теоретическом описании равновесия или движения тона в метрике начального деформированного состояния, предложенном впервые Е, Треффтцем |18|, В этой модели уравнения выписаны в терминах линеаризованного тензора Пиолы, в состав которого входят тензоры начальных и добавочных напряжений. При этом в определяющие соотношения в явном виде не входят компоненты ПН и начальных деформаций, С использованием этой модели изучают различные задачи об определении однородного и неоднородного ПНС, чаще всего рассматривая упрощенный вариант, в котором в эффективных материальных модулях не учитывают факторы ПНС,

Актуальные приложения теории ПН. Новые материалы неоднородной структуры с полями ПН

ПН часто возникают в технических изделиях в процессе производства, когда материал подвергается пластическим деформациям, термообработке, неравномерному охлаждению, наклону и другим факторам, В некоторых случаях компоненты ПН могут достигать высоких значений и могут вызвать разрушение конструкции при нагрузках ниже допустимых. Одной из основных задач технологов является снижение уровня ПН при оптимизации производственных процессов, однако, определить фактический уровень ПН в конструкции чаще всего не представляется возможным. Учёт ПН позволяет более точно моделировать деформацию и прочность элементов конструкций, а также адекватно описывать их поведение в условиях эксплуатации при динамических нагрузках. Однако в некоторых случаях наличие определённых типов ПН может повысить надёжность и прочность конструкции. Поэтому иногда па этапе производства изделие специально подвергают начальным воздействиям, которые приводят к образованию ПН, Примером служит ПН бетон, в котором после внедрения

в раствор предварительно растянутой железной арматуры образуется сжимающие напряжения, в результате чего такая композитная конструкция лучше работает на растяжение.

Практические исследования ПН начались в XIX веке благодаря работам В, И, Родмана и И, А, Умова |37|. Н.В, Канакуцкий в 1887 году предложил методику расчёта ПН, За рубежом первые шаги в этой области сделал Гейи |38|, Систематическое изучение ПН началось только в 30-е годы XX века. Исследования активизировались но двум причинам: появились методы расчёта и измерения ПН, разработанные H, Н, Давиденковым |39| и Г, Заксом; всё чаще стали происходить случаи коробления и разрушения конструкций из-за неучтенных ПН, Это касалось строительных и инженерных сооружений, мостов, фюзеляжей самолетов и других объектов. Отметим также имена ученых, привнесших существенный вклад в изучение ПНС в элементах металлических конструкций: А, И, Голодной, А, Г, Григорьяиц, В, С, Игнатьева, К, П, Большаков, В, А, Винокуров, A.A. Казимиров, Е. О. Патои, B.C. Касаткин, Л. М. Лобанов, Г. А. Николаев, Н. О. Окерблом |40—451.

В последнее время в различных отраслях промышленности все чаще применяются новые материалы сложной неоднородной структуры, в том число слоистые композиты и материалы с непрерывным градиентным переходом от одной фазы к другой - функционально-градиентные материалы (ФГМ), При производстве ФГМ применяют различные технологии, включая ЗБ-иечать, термическую обработку, послойную наплавку, спекание |46; 47|, Поело остывания в образцах сохраняются ПН, которые необходимо учитывать при моделировании деформирования конструкций из таких материалов. При изготовлении элементов промышленных конструкций и деталей, содержащих жесткие вставки из другого материала, вырезы и перфорацию, также часто образуются ноля ПН с высокой концентрацией в окрестности этих зон. Такие неучтенные ноля могут приводит к образованию дефектов, растрескиванию, деламииации, что снижает работоспособность и прочностные характеристики деталей |48|, Моделирование таких материалов необходимо осуществлять с учетом неоднородности физических и механических свойств, сложной геометрии, а также наличия ПНС. Дня объектов, изготовленных из таких материалов, требуется создание уточненных эффективных методик идентификации характера распределения и уровней ПНС в рамках неразрушающого подхода. Для моделирования законов материальной неоднородности ФГМ часто используется правило смеси Мори — Таиака |49|,

В литературе широко представлен класс задач механики деформируемого твердого тола о деформировании и колебаниях пластин с неоднородной структурой и неканонической геометрии, в том число при наличии жестких вставок и отверстий. Такие исследования имеют важные прикладное значение в строительство, медицине и инженерии. Особенно актуальным является направление исследований пластиночных структур, дня которых физико-механические свойства и ПНС зависят от координат. Ряд современных работ посвящен вопросам моделирования таких неоднородных пластин, особенно функционально-градиентных (ФГ). В работах |50—521 изучены задачи деформирования и колебаний различных ФГ пластин; рассмотрен вопрос динамической устойчивости. Приведен обзор подходов к определению параметров ФГМ при использовании различных типы смесей исходных фаз. Приведены ре-

зультаты вычислительных экспериментов но конечноэлементному (КЭ) моделированию и влиянию на динамические характеристики ФГ пластин законов изменения неоднородности механи ческих свойств,

Многие исследования посвящены анализу ПН, которые возникают в пластинах в процессе сварки, В работах |53—57| представлены различные подходы к изучению ПН в сварных швах неоднородных пластиночных структур, в частности, которые используются при изготовлении компонентов авиадвигателей. Эти работы демонстрируют разнообразие методов изучения ПН в сварных швах различного вида, включая использование искусственного интеллекта, методов нечёткой логики, МКЭ, Результаты исследований могут быть использованы дня оптимизации процессов сварки и повышения прочности сварных соединений. Обнаружено, что в более толстых пластинах формируется значительно более высокий уровень остаточных напряжений. Также приведен обзор использованных практических методов измерения остаточных напряжений, В работах |58—60| предложены различные неразрушаю-щие подходы к измерению и идентификации распределений ПН на основе ультразвукового метода, применения нейронных сетей и генетических алгоритмов, аппарата задач нелинейной оптимизации. Представлены результаты прогнозирования ПН дня различных образцов, включая фрагменты рельсов, тонкостенных авиационных рам, алюминиевых пластин.

В сфере прикладной механики большое внимание уделяется разработке моделей пластин, содержащих отверстия и включения. В работа |61; 621 изучены задачи оптимизации коэффициентов концентрации ПН и параметров материальной неоднородности ФГ пластин различной геометрии - сплошных, с отверстием, армированного кольца. Модели перфорированных пластин, аналогичные описанным, находят применение в медицинской практике, в частности, в развитии технологий накостного остеосинтеза. Эта техника предполагает соединение и фиксацию фрагментов сломанной кости с использованием титановых пластин со специальными отверстиями но всей длине. Такие пластины обеспечивают компрессию, необходимую дня успешного сращения иерелома|63; 64|,

Другое важное направление связано с исследованием цилиндрических структур при наличии полой ПН, Работы |65—67| содержат результаты исследований задач нелинейной механики сплошных сред о распространении воли в полых высокоэластнчиых ПН цилиндрах с использованием модели деформации Муни — Ривлина и линеаризованного подхода к построению уравнений движения. Получены иолуаналитические и численные решения рассмотренных задач с использованием метода Фробениуса, вариационного подхода; проанализировано влияние неоднородных распределений ПН на дисперсионные кривые.

Ввиду сложности математического аппарата и проблем с построением численных решений некорректных задач, в научной литературе мало исследований, посвященных идентификации неоднородных факторов ПНС, В исследованиях однородного ПНС часто применяется подход, основанный на предположении, что остаточные напряжения возникли из-за действия некоторой механической нагрузки, которая недоступна дня визуального наблюдения. С помощью этого подхода решаются задачи о восстановлении однородного ноля остаточных напряжений в различных конструкциях. Так, в работе |68| авторы исследуют рас-

проеграпепие волн в двойных цилиндрических стержнях при наличии ПН, Взаимодействие между двумя стержнями моделируется в рамках контактной задачи Герца иод действием статической нагрузки; впоследствии это состояние трактуется как начальное напряженное и используется далее при рассмотрении анализа распространения волн в двойной цилии-дрической структуре,

В |69| предлагается многомасштабная модель дня исследования полых цилиндров с произвольным функциональным градиентом, с волокнами, частицами или армирующими элементами в форме диска, подвергающихся гармоническим нагрузкам. Анализ напряжений выполняется путем разделения цилиндров на несколько слосчз, каждый с однородными свойствами, которые функционально различаются но толщине структур с различными микроструктурными деталями. Дня описания эффективных свойств каждого слоя, армированного волокнами, частицами или дискообразными включениями, используется осреднение в рамках подхода Мори — Таиака,

Модели неоднородных ПН цилиндрических тол нашли свое применение в биомеханических приложениях, например, при проектировании и изготовлении зубных имилаитов с пористой ФГ структурой. Такие конструкции обладают рядом преимуществ но сравнению с однородными аналогами, включая низкий вес, высокую термостойкость и поглощение энергии, и способны перераспределять нагрузку на окружающие ткани, что обеспечивает их долгосрочную стабильность. Эти материалы вызывают большой интерес среди исследователей благодаря своей лёгкости, отличной способности поглощать энергию и высокой термостойкости 1701.

Следует отметить, что применяемые на практике подходы к определению однородного ПНС и однородных параметров материала в большинство ситуаций являются неприменимыми к современным композиционным и ФГ материалам, в которых образуется ПНС с явно неоднородной структурой. Дня исследования цилиндров и пластин, изготовленных из подобных материалов, необходимо применять полноценные двумерные и трехмерные модели с переменными механическими характеристиками и факторами ПНС. В свою очередь, дня исследования соответствующих 03 реконструкции требуются новые методы, позволяющие дать качественную оценку не только уровня, но и характера распределения половых характеристик, зависящих от трех переменных. В настоящее время можно встретить немало работ, посвященных развитию методов алгебраизации, включая проекционные методы, направленных на решение многомерных прямых и обратных задач дня упругих тол при наличии связанности полой.

Также отметим важность применения вариационных подходов и слабых формулировок дня построения операторных уравнений обратных задач и эффективного численного решения. В статье |71| предлагается новый численный метод дня решения задач линейной теории упругости, который объединяет метод Ганёркина и МКЭ, Метод строится на основе использования слабых формулировок дня соответствующих дифференциальных операторов.

В литературе широко представлен класс задач о колебаниях многослойных цилиндрических тол |72—74|, в том число дня физически нелинейных материалов при наличии ПН,

с использованием классического подхода механики сплошных сред на основе наложения малых деформаций на конечные с цолыо описания распространения воли |22; 75|,

Особый практический интерес представляет область исследования динамического поведения тонкостенных ПН конструкций, выполненных из новых материалов сложной структуры |76—78|; множество работ посвящено исследованию деформирования углеродных наиотрубок при наличии остаточных деформаций и напряжений |79; 80|. Подобные исследования начались с работы |81|, где в рамках оболочечпой модели Лява и Купера — Нахди изучалось распространения воли в многослойных углеродных папотрубках. Также отметим актуальность подобных задач дня цилиндрических тонкостенных ФГ конструкций с учетом температурных эффектов |82|, В работе |83| экспериментально исследованы особенности эксплуатации ПН оболочек с учетом влияния температурного нагруження, В |84| изучена задача потери устойчивости цилиндрической оболочки, проведены натурные испытания па потерю устойчивости цилиндрических металлических оболочек при сложном локализованном осевом сжатии.

Одним из ключевых направлений применения задач анализа неоднородных полой ПНС в толах является биомеханика. Особенно стоит отметить актуальность задач пеипвазивпого мониторинга состояния человеческих тканей. Почти все структуры человеческого организма па микро- и макроуровнях, включая клетки, кожный покров, костную и мышечную ткань, испытывают воздействие остаточных напряжений. Методы анализа ПНС в биологических объектах могут стать основой дня развития методов мониторинга различных патологий, включая дефекты в костях, кровеносных сосудах и др. Множество научных работ посвящено исследованию ПН в костной ткани. И, Ф, Образцов, А, Ахмед, Б, Маккормак, С, Ямада внесли значительный вклад в изучение механических свойств костной ткани с учётом ПН 185: 861 и ростовых деформаций |87; 881, Нельзя не отметить исследования, посвященные изучению папряжеппо-деформироваппого состояния кровеносных сосудов, артерий. Различные аспекты этой тематики, включая построение теоретических моделей и сравнение с экспериментальными данными, можно найти в трудах С, Коуипа, Дж, Хамфри, Р, Огдена и других учёных |89—92|. Дня моделирования таких структур чаще всего используются модели гинерупругих материалов в рамках аппарата нелинейной теории упругости |90; 93|, Одно из важнейших открытий в биомеханике сосудов показано, что даже если фрагмент артериального сосуда не испытывает внешних нагрузок, он всё равно находится под действием внутренних напряжений |94|, Отметим, что ПНС в мелких и крупных сосудах влияет па общую деформационную картину, а также па толщину стенок. Наиболее часто такие процессы описывают в рамках гипотезы однородности полой ПН |95; 96|, В работе |97| авторы изучили механику отеков в сердечно-сосудистых тканях в связи последующим образованием ПН в тканях сосудов; в некоторых ситуациях такие ноля ПН могут приводить к гипертрофии миокарда |98|, Таким образом, при моделировании деформирования сердечно-сосудистой системы необходимо учитывать роль ПНС с точки зрения механического воздействия.

В работах |99; 1001 рассмотрены задачи о колебаниях неоднородных вязкоунругих ПН тол с использованием принципа соответствия и теории комплексных модулей на базе модели стандартного вязкоунругого тона. Исследованы модельные задачи дня неоднородных вязкоунругих ПН стержней и цилиндров; представлена методика реконструкции механических характеристик кожного покрова и уровня одноосного ПНС, показавшая эффективность при восстановлении ПН в диапазоне, соответствующем значениям релаксации напряжений в кожном покрове поело операций но лифтингу.

Отметим, что также образование ПН в живых тканях тесно связано с процессом роста, что можно наблюдать, например, при росте растений и деревьев.

Также модели ПНС представляют большой интерес дня горной механики и геофизики. При проведении горных работ важно точно описать механические характеристики горного массива. Учет ПНС позволяет более точно рассчитать прочность подземных сооружений и трубопроводов, в том число при наличии полостей от проходки горных выработок или извлечения образцов из скважин. Также наличие ПН в модели позволяет уточнять и развивать методы диагностики этих объектов па основе вибросейсморазведки. В работах |101; 1021 изучены причины появления ПНС в горных массивах на основе истории формирования напряженно-деформированного состояния. Различные аспекты формирования и анализа ПНС в горных породах исследованы в работах 1103—109|.

Наиболее распространены два подхода к моделированию необратимых процессов деформирования горных пород (пластическое деформирование, разрушение) 1110—1131. Первый подход основан на критерии максимального касательного напряжения, формирование которого было заножено в работах Треска, Сен-Вонана, Прандтля и Мизеса, и часто применяется к задачам механики горных пород. Второй подход основан на критерии максимальной интенсивности сдвиговых напряжений, предложенной Губером и Мизесом и впоследствии обобщенной Шлейхером на геоматериалы 1113: 114|,

Идентификация ПН

ПН в различных деталях и элементах конструкций, а также в биологических структурах, могут стать определяющими при высоких нагрузках, поэтому их учёт критически важен дня прогнозирования возможных проблем. Особенность ПН заключается в том, что они незаметны до тех нор, пока не произойдёт отказ или разрушение объекта. Поэтому развитие и улучшение методов обнаружения ПН является важной задачей дня неразрушающого контроля.

По виду диагностики в механике различают три группы методов: разрушающие, ио.ну-разрушающие и неразрушающио |2; 7; 8|. При выборе метода идентификации ПН на практике необходимо специфицировать вид информации, которую требуется получить о напряжешь

ях - уровень, распределение, область концентрации; размеры и местоположение объекта для анализа; также необходимо принимать во внимание проблему сочетания точности измерений, финансовых и временных затрат, необходимых дня осуществления процедуры идентификации 11151.

Разрушающие и полуразрушающие методы. Изначально с целью диагностики ПН использовались разрушающие методы, которые основаны на измерении деформаций и смещений после полного разрушения объекта. Эти методы применяются и но сей день дня мониторинга качества простой продукции в серийном производстве. Однако разрушающие методы имеют ограничения, так как позволяют получить данные о распределении ПН только в плоскости разрушения, учитывая деформации и напряжения самого процесса разрушения, В настоящее время активно исследуются методы идентификации полой ПН, основанные на локализованном разрушении объекта, а также на различных вариантах процедуры инден-тирования, К таким методам относятся различные варианты метода отверстий, например, тензометрический метод сверления луночек, метод последовательного растяжения надреза в образце, 1115—1191, Основные недостатки но.нуразрушающих методов связаны с частичным повреждением объекта исследования в месте внедрения индентора, надреза или сверления луночки. Существуют жёсткие ограничения, накладываемые на форму и материал объекта, что делает некоторые методы неприменимыми к определённым материалам, например, метод сверления луночек не подходит дня пластиков. Физические возможности установки тензодатчиков или инденторов в окрестности вызываемых деформаций также ограничены,

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Недин Ростислав Дмитриевич, 2025 год

Список литературы

1, Ватулъян А. О. Предварительные напряжения: моделирование и идентификация : монография / Ватульян А, О,, Дударей В, В., Недин Р. Д. — Роетов-на-Дону : Издательство Южного федерального университета, 2014, — 205 с,

2, Recent progress of residual stress measurement methods: A review / J, Guo [et al,] // Chinese Journal of Aeronautics, — 2021, — Vol, 34, no, 2, — P. 54—78,

3, Биргер И. А. Остаточные напряжения / Биргер И, А, — М,: МАШГИЗ, 1963, — 232 с,

4, Чернышев Г. Н., Попов А. Л., Козинцев В. М, Пономарев И. И. Остаточные напряжения в деформируемых твердых телах / Чернышев Г, И,, Попов А, Л,, Козинцев В.М, Пономарев И, И, — М,: Наука, 1996, — 356 с,

5, Withers, P. J. Residual stress. Part 2 - Nature and origins / P. J, Withers, H, K, D, H, Bhadeshia // Materials Science and Technology, — 2001, — Vol, 17, — P. 366—375.

6, Vaara, J. Literature review of fatigue assessment methods in residual stressed state / J. Vaara, A. Kunnari, T. Frondelius // Engineering Failure Analysis. — 2020. — Vol. 110. — P. 104379.

7, Rossini, N. S. Methods of measuring residual stresses in components / N. S. Rossini, M. Das-sisti, et al. // Materials and Design. — 2012. — Vol. 35. — P. 572—588.

8, Withers, P. J. Residual stress. Part 1 - Measurement techniques / P. J. Withers, H. K. D. H. Bhadeshia // Materials Science and Technology. — 2001. — Vol. 17. — P. 355—365.

9, О. Зенкевич. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. — М,: Мир, 1975. — 320 с.

10. Greco, A. A new methodology for measuring residual stress using a modified Berkovich nano-indenter / A. Greco, E. Sgambitterra, F. Furgiuele // International Journal of Mechanical Sciences. — 2021. — Vol. 207. — P. 106662.

11. M. В. Голуб. Метод конечных элементов высокой степени точности в задачах математической физики / М. В. Голуб, С. И. Фоменко, А. И. Шпак. — Краснодар: Кубанский государственный университет, 2015. — 75 с.

12. Samant, A. Multilevel residual stress evaluation in laser surface modified alumina ceramic / A. Samant, N. Dahotre // Applied Physics A: Materials Science & Processing. — 2008. — Vol. 90, no. 3. — P. 493—499.

13. Ватулъян А. О. Проблемы идентификации неоднородных свойств твердых тел / Ватульян А. О. // Вестник Самарского государственного университета. — 2007. — Т. 54, № 4. - С. 93-103.

14. Ватулъян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела / Ватульян А. О. — М,: Физматлит, 2007. — 223 с.

15. Ватульян А. О. К теории обратных коэффициентных задач в линейной механике деформируемого тела / Ватульян А, О, // Прикладная математика и механика, — 2010, — Т. 74, № 6. - С. 911-918.

16. Southwell, R. V. On the General Theory of Elastic Stability / E. V. Southwell // Philosophical Transactions of the Royal Society, Series A. — 1914. — Vol. 213. — P. 187—244.

17. Biezeno, С. B. On a General Theory of Elastic Stability / С. B. Biezeno, H. Henekv // Konin Mijke Akademie van Wettenschappen te Amsterdam, Proceedings of the Section of Sciences. — 1928. — Vol. 31. — P. 569—592.

18. Trefftz, E. Zur Theorie der Stabilität des elastischen Gleichgewichts / E. Trefft z // ZAMM — Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. — 1933. — Vol. 12, no. 2. — P. 160—165.

19. Neuber, ff. Die Grundgleichungen der elastischen Stabilität in allgemeinen Koordinaten und ihre Integration / H. Neuber // ZAMM — Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. — 1943. — Vol. 23. — P. 321—330.

20. Biot, M. Л. Nonlinear Theory of Elasticity and the Linearized Case for a Body Under Initial Stress / M. A. Biot // Philosophical Magazine, Series 7. — 1939. — Vol. 27. — P. 468—489.

21. Новожилов B.B. Основы нелинейной теории упругости / Новожилов В. В. — Ленинград, М.: ОГИЗ, 1948. - 432 с.

22. Truesdell, С. A. A first course in rational continuum mechanics / C. A. Truesdell. — Baltimore. Maryland: The John Hopkins University, 1972. — 417 p.

23. Maugin, G. A. Continuum mechanics of electromagnetic solids / G. A. Maugin. — Amsterdam: North Holland, 1988. — 598 p.

24. Bazant, Z. P. A correlation study of formulations of incremental deformation and stability of continuous bodies / Z. P. Bazant // J. Appl. Mech. — 1971. — Vol. 38. — P. 919—928.

25. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости / Лурье А. И. — М,: Наука, 1980. — 512 с.

26. Зубов Л. М. Теория малых деформаций предварительно напряженных тонких оболочек / Зубов Л. М. // Прикладная математика и механика. — 1976. — Т. 40, .V" 1.

С. 85-95.

27. Си::. А. N. Elastic waves in bodies with initial (residual) stresses / A. N. Guz // Int. Appl. Mech. — 2002. — Vol. 38, no. 1. — P. 23—59.

28. Man, C.-S. Hartig's law and linear elasticity with initial stress / C.-S. Man // Inverse Problems. — 1998. — Vol. 14. — P. 313—319.

29. Hoger, A. On the determination of residual stress in an elastic body / A. Hoger // Journal of Elasticity. — 1986. — Vol. 16. — P. 303—324.

30. Robertson, R. L. Determining Residual Stress from Boundary. Measurements: A Linearized Approach / R. L. Robertson // Journal of Elasticity. — 1998. — Vol. 52. — P. 63—73.

31. Кравчишин О. 3., Чекурин В. Ф. Модель акуетоупругоети неоднородно деформированных тел / Кравчишин О, 3,, Чекурин В, Ф, // Механика твердого тела, — 2009, — № 5. - С. 150-163.

32. Dorfi, H. Acoustoelasticity: Ultrasonic Stress Field Reconstruction / H. Dorfi, H. Busby, M. Janssen // Experimental Mechanics. — 1996. — Vol. 36, no. 4. — P. 325—332.

33. Новокшанов P. С. О построении эволюционных определяющих соотношений для конечных деформаций / Новокшанов P.C., Роговой А. А. // Известия РАН. Механика твердого тела. — 2002. — № 4. — С. 77—95.

34. Rogovoy, A. A. Differentiation of Scalar and Tensor Functions of Tensor Argument / A. A. Rogovoy // IOSR Journal of Mathematics. — 2019. — Vol. 15, no. 2. — P. 1—20.

35. Jun, T.-S. Evaluation of residual stresses and strains using the Eigenstrain Reconstruction Method / T.-S. Jun, A. M. Korsunskv // International Journal of Solids and Structures. — 2010. — Vol. 47. — P. 1678—1686.

36. Korsunsky, A. M. Variational eigenstrain analysis of residual stresses in a welded plate / A. M. Korsunsky, G. M. Regino, D. Nowell // International Journal of Solids and Structures. — 2006. — Vol. 44. — P. 4574—4591.

37. Фридман Я. Б. Механические свойства металлов. Часть 1. Деформация и разрушение / Фридман Я. Б. — М,: Машиностроение, 1972. — 472 с.

38. Неуп, Е. Einige weitere Mitteilungen uber Eigenspannungen und damit zusammenangende Fragen / E. Hevn // Stahl und Eisen. — 1917. — Vol. 37. — P. 442—448.

39. Давиденков H. H. Избранные труды. В 2-х т. Т.2. Механические свойства материалов и методы измерения деформаций / Давиденков H. Н. — Киев: Наукова Думка. 1981. — 704 с.

40. Патон Е. О. Железные мосты: В 4-х т. / Патон Е. О. — М,; Киев, 1902.

41. Окерблом О. Н., Демянцевич В. П., Байкова И. П. Проектирование и технология изготовления сварных конструкций / Окерблом О. П.. Демянцевич В. П., Байкова И. П. — Л.: Судпромгиз, 1963. — 602 с.

42. К. Дж. Холл, X. Кихара, В. Зут и др. Хрупкие разрушения сварных конструкций / К. Дж. Холл, X. Кихара, В. Зут и др. — М,: Машиностроение, 1974. — 320 с.

43. Лобанов Л. М. , Махненко В. И., Труфяков В. И. Основы проектирование конструкций. Т. 1 / Лобанов Л. М. , Махненко В. И., Труфяков В. И. — Киев: Наукова думка, 1993. — 416 с.

44. Винокуров В. А. Сварочные деформации и напряжения / Винокуров В. А. — М,: Машиностроение, 1967. — 170 с.

45. Николаев Г. А., Куркин С. А., Винокуров В. А. Сварные конструкции (в двух томах) / Николаев Г. А., Куркин С. А., Винокуров В. А. — М,: Высшая школа, 1983.

46. Carpinteri, A. Thermal loading in multi-layer and/or functionally graded materials: Residual stress field, delamination, fatigue and related size effects / A. Carpinteri, N. Pugno // International Journal of Solids and Structures. — 2006. — T. 43. — C. 828—841.

47. Kieback, B. Processing techniques for functionally graded materials / B, Kieback, A, Neubrand, H, Eiedel // Materials Science and Engineering, — 2003, — P. 81—105,

48. Schajer, G. S. Practical Residual Stress Measurement Methods / G, S, Schajer, — Wiley, 2013. — 328 p.

49. Bui, T. Dynamic analysis of sandwich beams with functionally graded core using a truly meshfree radial point interpolation method / T. Bui, A. Khosravifard, Ch. Zhang, M. R. Hemativan, M. V. Golub // Engineering Structures. — 2013. — Vol. 47. — P. 90—104. — Special Issue in honour of Herbert Mang's 70th birthday: Selected papers from the Third International Symposium on Computational Mechanics in conjunction with the Second Symposium on Computational Structural Engineering (ISCM III - CSE II).

50. Loja, M. In-plane functionally graded plates: A study on the free vibration and dynamic instability behaviours / M. Loja, J. Barbosa // Composite Structures. — 2020. — Vol. 237. — P. 111905.

51. Deepak, S. Static and free vibration analysis of functionally graded rectangular plates using ANSYS / S. Deepak, R. A. Shelly // Materials Today: Proceedings. — 2021. — Vol. 45. — P. 415—419. — 4th International Conference on Advanced Research in Mechanical, Materials and Manufacturing Engineering-2020,

52. Van Vinh, P. Finite element analysis of functionally graded sandwich plates with porosity via a new hyperbolic shear deformation theory / P. Van Vinh, L. Q. Huv // Defence Technology. — 2022. — Vol. 18, no. 3. — P. 490—508.

53. Uzu/n, F. The use of eigenstrain theory and fuzzy techniques for intelligent modeling of residual stress and creep relaxation in welded superallovs / F. Uzun, A. M. Korsunskv // Materials Today: Proceedings. — 2020. — Vol. 33. — P. 1880—1883. — 10th International Conference on Key Engineering Materials 2020.

54. Study on Residual Stress of Welded Hoop Structure / W. Ma [et al,] // Applied Sciences. — 2020. — Apr. — Vol. 10. — P. 2838.

55. Experimental investigation on residual stress distribution in zirconium/titanium/steel tri-metal explosively welded composite plate after cutting and welding of a cover plate / N. Li [et al.] // Journal of Manufacturing Processes. — 2021. — Vol. 64. — P. 455—463.

56. Evaluation of residual stresses in isothermal friction stir welded 304L stainless steel plates / M. Bhattaeharyva [et al.] // Materials Science and Engineering: A. — 2021. — Vol. 826. — P. 141982.

57. Experimental research on global deformation and through-thickness residual stress in laser peen formed aluminum plates / Z. Zhang [et al.] // Surfaces and Interfaces. — 2021. — Vol. 25. — P. 101241.

58. Experimental Measurement of Residual Stress Distribution in Rail Specimens Using Ultrasonic LCR Waves / Y.-I. Hwang [et al.] // Applied Sciences. — 2021. — Oct. — Vol. 11. — P. 9306.

59. Experimental Analysis and Prediction Model of Milling-Induced Residual Stress of Aeronautical Aluminum Alloys / S, Yi |et al,| // Applied Sciences, — 2021, — June, — Vol, 11, 13:5881.

60. Huang, C. Residual stress identification in thin plates based on modal data and sensitivity analysis / C. Huang, L. Wang, K. Wang // International Journal of Solids and Structures. — 2022. — Vol. 236/237. — P. 111350.

61. Enab, T. A. Stress concentration analysis in functionally graded plates with elliptic holes under biaxial loadings / T. A. Enab // Ain Shams Engineering Journal. — 2014. — Vol. 5, no. 3. — P. 839—850.

62. Out-of-Plane Bending of Functionally Graded Thin Plates with a Circular Hole / Q. Yang |et al,| // Applied Sciences. — 2020. — Mar. — Vol. 10, no. 2231.

63. Биомеханика оетеоеиптеза пакостными пластинами четырехфрагментарного перелома плечевой кости / Лишшк, С. А. |и др,| // Российский журнал биомеханики. — 2011. — Т. 15, 1(51). - С. 52-64.

64. Конечно-э.иементный анализ напряженно-деформированного состояния эндопротеза / Маелов, Л. Б. |и др,| // Российский журнал биомеханики. — 2021. — Т. 25, JY2 4. — С. 414-433.

65. Engin, Н. Torsional oscillations of an infinite cylindrical elastic tube under large internal and external pressure / H. Engin, E. S. §uhubi // International Journal of Engineering Science. — 1978. — Vol. 16, no. 6. — P. 387—396.

66. Torsional wave propagation in a pre-stressed hyperelastie annular circular cylinder / T. Shearer |et al,| // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. — 2013. — Oct. — Vol. 66, no. 4. — P. 465—487.

67. On propagation of axisymmetrie waves in pressurized functionally graded elastomerie hollow cylinders / B. Wu |et al.|. — 2021. — arXiv: 2107.11121 [cond-mat.soft].

68. Investigation of wave propagation in double cylindrical rods considering the effect of prostress / C. Li |et al,| // Journal of Sound and Vibration. — 2015. — Vol. 353. — P. 164—180.

69. Wang, G. Direct and inverse multi-scale analyses of arbitrarily functionally graded layered hollow cylinders (discs), with different shaped reinforcements, under harmonic loads / G. Wang, L. Dong, S. X. Atluri // Composite Structures. — 2018. — Vol. 188. — P. 425—437.

70. Jazdze.wska, M. Xanotubular Oxide Layer Formed on Helix Surfaces of Dental Screw Implants / M. Jazdzewska, M. Bartmanski // Coatings. — 2021. — Jan. — Vol. 11. — P. 115.

71. A locking-free weak Galerkin finite element method for elasticity problems in the primal formulation / C, Wang [et al,] // Journal of Computational and Applied Mathematics, — 2016, — Vol, 307, — P. 346—366, — 1st Annual Meeting of SIAM Central States Section, April 11-12, 2015.

72. Akbarov, S. Dynamics of Pre-Strained Bi-Material Elastic Systems: Linearized Three-Dimensional Approach / S. Akbarov. — Berlin — New York: Springer, 2015. — 1004 p.

73. Ozturk, A. Propagation of torsional waves in a prestretched compound hollow circular cylinder / A. Ozturk, S. Akbarov // Mechanics of Composite Materials. — 2008. — Jan. — Vol. 44. — P. 77—86.

74. Sahu, S. Analysis of Torsional Waves in a Prestressed Composite Structure with Loosely Bonded and Corrugated Boundaries / S. Sahu, M. Singh, K. Pankaj // Mechanics of Composite Materials. — 2018. — July. — Vol. 54. — P. 321—332.

75. I'¡/-lb A. H. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях / Гузь А. Н. — Киев: Наукова Думка, 1973. — 271 с.

76. Bisheh, Я. Wave propagation characteristics in a piezoelectric coupled laminated composite cylindrical shell by considering transverse shear effects and rotary inertia / H. Bisheh, N. Wu // Composite Structures. — 2018. — Vol. 191. — P. 123—144.

77. Talebitooti, II. Wave propagation across double-walled laminated composite cylindrical shells along with air-gap using three-dimensional theory / E. Talebitooti, A. Choudari Khameneh // Composite Structures. — 2017. — Vol. 165. — P. 44—64.

78. Liang, C. Wave propagation in three-dimensional graphene aerogel cylindrical shells resting on Winkler-Pasternak elastic foundation / C. Liang, Y. Wang // Journal of Mechanics of Materials and Structures. — 2020. — Aug. — Vol. 15. — P. 435—455.

79. Bisheh, H. Wave propagation in smart laminated composite cylindrical shells reinforced with carbon nanotubes in hvgrothermal environments / H. Bisheh, N. Wu // Composites Part B: Engineering. — 2019. — Apr. — Vol. 162. — P. 219—241.

80. Wang, Q. Application of nonlocal elastic shell theory in wave propagation analysis of carbon nanotubes / Q. Wang, V. K. Varadan // Smart Materials and Structures. — 2007. — Vol. 16. — P. 178—190.

81. Liew, K. Analysis of wave propagation in carbon nanotubes via elastic shell theories / K. Liew, Q. Wang // International Journal of Engineering Science. — 2007. — Vol. 45, no. 2. — P. 227—241.

82. Liang, C. Thermal strain energy induced wave propagation for imperfect FGM sandwich cylindrical shells / C. Liang, Z, Yaw, C. Lim // Composite Structures. — 2023. — Vol. 303. — P. 116295.

83. Experimental research of the stress-strain state of prestressed cylindrical shells taking into account temperature effects / N. Zhangabay [et al.] // Case Studies in Construction Materials. — 2023. — Vol. 18. — e01776—e01776.

84. Buckling analyses of thin-walled cylindrical shells subjected to multi-region localized axial compression: Experimental and numerical study / H, Ma [et al,] // Thin-Walled Structures. — 2023. — Vol. 183. — P. 110330.

85. Yamada, S. Residual stress distribution in rabbit limb bones / S. Yamada, S. Tadano, K. Fujisaki // Journal of Biomechanics. — 2011. — Vol. 44, no. 7. — P. 1285—1290.

86. Hizal, A. Inducing residual stress in bone using abrasive air-jet surface treatment / A. Hizal, B. Sadasivam, D. Arola // Proc. ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition. — Seattle, USA, 2007.

87. González-Torres, L. A. Evaluation of residual stresses due to bone callus growth: A computational study / L. A. González-Torres, M.J.Gómez-Benito, J.M.Garcia-Aznar //J. Biomechanics. — 2011. — No. 44. — P. 1782—1787.

88. Lennon, A. B. Residual stress due to curing can initiate damage in porous bone cement: experimental and theoretical evidence / A. B. Lennon, P. J. Prendergast //J. Biomechanics. — 2002. — No. 35. — P. 311—321.

89. Guillou, A. Growth in soft biological tissue and residual stress development / A. Guillou, R. W. Ogden // Mechanics of Biological Tissue / ed. by G. A. Holzapfel, R. W. Ogden. — Springer-Verlag, Berlin, 2006. — P. 47—62.

90. Holzapfel, G. A. Computational Biomechanics of Soft Biological Tissue. Encyclopedia of Computational Mechanics. Volume 2: Solids and Structures / G. A. Holzapfel. — John Wiley & Sons, 2004.

91. Rachev, A. Residual strains in conduit arteries / A. Rachev, S. E. Greenwald // J. Biomechanics. — 2003. — No. 36. — P. 661—670.

92. Chaudhry, H. R. Residual stresses in oscillating thoracic arteries reduce circumferential stresses and stress gradients / H. R. Chaudhry, B. Bukiet, et al. //J. Biomechanics. — 1997. — Vol. 30, no. 1. — P. 57—62.

93. Humphrey, J. D. Continuum biomechanics of soft biological tissues / J. D. Humphrey // Proc. R. Soc. Lond. A. — 2003. — Vol. 459. — P. 3—46.

94. Vaishnav, R. N. Estimation of residual strains in aortic segments / R. N. Vaishnav, J. Vos-soughi // Biomedical Engineering II: Recent Developments / ed. by C. W. Hall. — New York: Pergamon Press, 1983. — P. 330—333.

95. Takamizawa, K. Strain energy density function and uniform strain hypothesis for arterial mechanics / K. Takamizawa, K. Havashi //J. Biomech. — 1987. — Vol. 20. — P. 7—17.

96. Humphrey, J. D. Cardiovascular Solid Mechanics. Cells, Tissues,and Organs / J. D. Humphrey. — New York: Springer-Verlag, 2002. — 482 p.

97. Lanird, Y. Osmotic swelling and residual stress in cardiovascular tissues / Y. Lanird //J. Biomechanics. — 2012. — No. 45. — P. 780—789.

98. Omens, J. H. Stress and strain as regulators of myocardial growth / J. H. Omens // Prog. Biophvs. Mol. Biol. — 1998. — No. 69. — P. 559—572.

99,

100,

101,

102,

103,

104,

105,

106,

107,

108,

109,

110,

111,

112,

113,

Богачев И. В. Исследование влияния предварительного состояния на механические свойства вязкоупругих тел / Богачев И, В., Ватульян А, О,, Дударей В, В., Недин Р. Д. // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2019. - Т. 2. - С. 15-24.

Богачев И. В. Идентификация характеристик предварительно напряженного кожного покрова / Богачев И. В., Недин Р. Д. // Российский журнал Биомеханики. — 2021. — Т. 25, № 3. - С. 331-342.

Репников Л. Н. Совершенствование средств мониторинга дефектов в практике обследований зданий и сооружений / Репников Л. П.. Мороз А. И., Аникин А. А. // Труды института «НИИОСП им. Н. М. Герееванова - 70 лет». — М,: НИИОСП, 2001. Мороз А. И. Изменение напряженно-деформированного состояния несвязного грунта после разгрузки / Мороз А. И. // Сб. научных трудов НИИОСП им. Н. М. Герееванова. Вып. 99. - М.: Изд-во «ЭСТ», 2008.

Узкое В. А. Саморазрушение пород вокруг подземных выработок / Узков В. А. // Горный журнал. — 2000. — JVS 10. — С. 16.

Николин В. И., Подкопаем С. В., Колесников В. Т. О новой теории горного давления в угольных шахтах / Николин В. И., Подкопаев С. В., Колесников В. Т. // Безопасность труда в промышленности. — 2002. — 11.

Репников Л. Н., Аникин А. А., Ковальчук С. Л., Мороз А. П., Четыркин Н. С. Способ обработки сигналов акустической эмиссии при разрушении каменных материалов / Репников Л. И., Аникин A.A., Ковальчук С. Л., Мороз А. И., Четыркин И. С. // A.C. № 1762287 СССР. - 1992. - № 34.

Мороз А.И. К вопросу об определении коэффициента Пуассона осадочных горных пород / Мороз А.И. // ФТПРПИ. - 2006. - № 4. - С. 59-68.

Трофимов В. Т. Грунтоведение / Трофимов В. Т., Королев В. А., Вознесенский Е. А. и др. Под ред. Трофимова В. Т. — М,: Изд-во МГУ, 2005. — 1024 с.

Болдырев Г. Г. Методы определения механических свойств грунтов. Состояние вопроса / Болдырев Г. Г. - Пенза: ПГУАС, 2008. - 696 с.

Мороз А.И. Самонапряженное состояние горных пород / Мороз А.И. — М,: Изд-во Московского государственного горного университета, 2004. — 288 с. Рассказов И. Ю., Мирошников В. И. Прогнозирование опасных проявлений горного давления на основе трехетадийной модели горных пород / Рассказов II. К).. Мирошников В. И. // Горный информационно-аналитический бюллетень. — 2007. — JVS 4. — С. 234-240.

Коврижных А. М. О жесткопластической модели деформирования и разрушения горных пород / Коврижных А. М. // Физико-технические проблемы полезных ископаемых. - 2003. - № 2. - С. 15-29.

Николаевский В. П. Механика пористых и трещиноватых сред / Николаевский В, И, М.: Недра, 1984. - 232 с.

Мирошников В. П., Рассказов И. Ю. О деформационном критерии прочности горных пород / Мирошников В. И., Рассказов И. Ю. // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2009. - № 7. - С. 246-253.

114

115,

116,

117,

118,

119,

120,

121,

122,

123,

124,

125,

126,

127,

Райе Дж. Механика очага землятрееения / Райе Дж, — М,: Мир, 1982, — 217 е,

Moharami, R. Experimental and numerical study of measuring high welding residual stresses by using the blind-hole-drilling technique / E, Moharami, I, Sattari-Far //J. Strain Analysis. — 2008. — Vol. 43. — P. 141—148.

Finite-element inverse analysis of residual stress for laser welding based on a contour method / Z. Lei [et al] // Optics & Laser Technology. — 2020. — Vol. 129. — P. 106289.

Svaficek, K. Residual Stress Evaluation by The Hole-Drilling Method with Eccentric Hole / K. Svaficek, M. Vlk // Engineering Mechanics. — 2007. — Vol. 14, no. 1. — P. 191—197.

Pee, H.-T. The study of EDM hole-drilling method for measuring residual stress in SKD11 tool steel / H.-T. Lee, W, P. Eehbach, et al. // Journal of Materials Processing Technology. — 2004. — Vol. 149. — P. 88—93.

Prime., M. B. Residual stress measurement by successive extension of a slot: the crack compliance method / M. B. Prime // Applied Mechanics Reviews. — 1999. — Vol. 52, no. 2. — P. 75—96.

Suresh, S. A new method for estimating residual stresses by instrumented sharp indentation / S. Suresh, A. Giannakopoulos // Acta Materialia. — 1998. — Vol. 46, no. 16. — P. 5755—5767.

Baldi, A. Full field methods and residual stress analysis in orthotropic material. II: Nonlinear approach / A. Baldi // International Journal of Solids and Structures. — 2007. — No. 44. — P. 8244—8258.

Larsson, C. X-ray diffraction determination of residual stresses in functionally graded WC-Co composites / C. Larsson, M. Oden // International Journal of Refractory Metals & Hard Materials. — 2004. — Vol. 22. — P. 177—184.

Takali, F. X-ray diffraction measurement of residual stress in epitaxial Zn0/alpha-A1203 thin film / F. Takali, A. Njeh, et al. // Proc. Roy. Soc. A. — 2011. — Vol. 38, no. 3. — P. 186—191.

Shiro, A. Residual stress estimation of Ti casting alloy by X-ray single crystal measurement method / A. Shiro, M. Nishida, T. Jing // Neutron and X-ray Scattering in Materials Science and Biology, International Conference on Neutron and X-ray Scattering. — 2008. — P. 96—100.

Withers, P. Mapping residual and internal stress in materials by neutron diffraction / P. Withers // Comptes Rendus Physique. — 2007. — Vol. 8, no. 7/8. — P. 806—820.

Aben, H. Integrated photoelastieitv for nondestructive residual stress measurement in glass / H. Aben, L. Ainola, J. Anton // Optics and Lasers in Engineering. — 2000. — No. 33. — P. 49—64.

Товстик П. E. Колебания и устойчивость предварительно напряженной пластины, лежащей на упругом основании / Товстик П. Е. // Прикладная математика и механика. — 2009. - № 6. - С. 106-120.

128. He, L. E. Acoustoelastic Determination of Residual Stress with Laser Doppler Velocimetry / L, E, He, S, Kobavashi // Experimental Mechanics, — 2001, — Vol, 41, no, 2, — P. 190—194.

129. Guz, A. N. On foundations of the ultrasonic nondestructive method for determination of stresses in near-surface layers of solid bodies / A. N. Guz // International Applied Mechanics. — 2005. — Vol. 41, no. 8. — P. 944—955.

130. Sathish, S. Residual stress measurement with focused acoustic waves and direct comparison with X-ray diffraction stress measurements / S. Sathish, T. J. Morana, et al. // Materials Science and Engineering A. — 2005. — Vol. 399. — P. 84—91.

131. Liu, M. Experimental study of nonlinear Ravleigh wave propagation in shot-peened aluminum plates-Feasibility of measuring residual stress / M. Liu, J.-Y. Kim, et al. // NDT & E International. — 2011. — Vol. 44, no. 1. — P. 67—74.

132. Laser ultrasonic diagnostics of residual stress / A. Karabutov [et al.] // Ultrasonics. — 2008. — Vol. 48. — P. 631—635.

133. Vangi, D. Stress Evaluation by Pulse-echo Ultrasonic Longitudinal Wave / D. Vangi // Experimental Mechanics. — 2001. — Vol. 41, no. 3. — P. 277—281.

134. Sanderson, R. M. Measurement of residual stress using laser-generated ultrasound / R. M. Sanderson, Y. C. Shen // International Journal of Pressure Vessels and Piping. — 2010. — Vol. 87. — P. 762—765.

135. Uzun, F. Immersion ultrasonic technique for investigation of total welding residual stress / F. Uzun, A. N. Bilge // Original Research Article Procedia Engineering. — 2011. — Vol. 10. — P. 3098—3103.

136. Identification of inhomogeneous residual stress state in elastic cylinder within the framework of plane strain / I. Bogaehev [et al.] // Advanced Materials Research. — 2014. — Vol. 996. — P. 404—408.

137. Dudarev, V. V. On restoring of the pre-stressed state in elastic bodies / V. V. Dudarev, A. O. Vatulvan // ZAMM — Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitsehrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. — 2011. — Vol. 91, no. 6. — P. 485—492.

138. Farrahi, G. H. A New Analytical Approach to Reconstruct Residual Stresses Due to Turning Process / G. H. Farrahi, S. A. Faghidian, D. J. Smith // World Academy of Science, Engineering and Technology. — 2009. — Vol. 55. — P. 453—457.

139. O'Sullivan, D. Magneto-acoustic emission for the characterisation of ferritic stainless steel microstructural state / D. O'Sullivan, M. Cotterell, et al. // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2004. — Vol. 271. — P. 381—389.

140. Yelbay, H. I. Non-destructive determination of residual stress state in steel weldments by Magnetic Barkhausen Noise technique / H. I. Yelbay, I. Cam, C. H. Gur // NDT & E International. — 2010. — Vol. 43, no. 1. — P. 29—33.

141. Cao, Y. P. An Inverse Approach for Constructing the Residual Stress Field Induced by Welding / Y, P. Cao, N. Hu, et al, // Journal of Strain Analysis for Engineering Design, —

2002. — Vol. 37, no. 4. — P. 345—359.

142. Hornbach, D. J. Development of nondestructive residual stress profile measurement methods - the integral method / D. J. Hornbach, P. S. Prevev, M, Blodgett // Proceedings of the Review of progress in Quantitative Nondestructive Evaluation. — 2004. — Vol. 24.

143. Zhu, L. Measurement of residual stress in quenched 1045 steel by the nanoindentation method / L. Zhu, B. Xu, et al. // Materials Characterization. — 2010. — Vol. 61, no. 12. — P. 1359—1362.

144. Dean, J. Use of nanoindentation to measure residual stresses in surface layers / J. Dean, G. Aldrich-Smith, T. W. Clvne // Acta Materialia. — 2011. — Vol. 59, no. 7. — P. 2749—2761.

145. Schajer, G. S. Use of inverse solutions for residual stress measurement / G. S. Schajer, M. B. Prime // Journal of Engineering Materials and Technology. — 2006. — Vol. 128, no. 3. — P. 375—382.

146. Isakov, V. Uniqueness and stability in the Cauchv problem for the elasticity system with residual stress / V. Isakov, G. Nakamura, J.-N. Wang // Contemp. Math., AMS. —

2003. — Vol. 333. — P. 99—113.

147. Xiong, J. J. An analytical model to predict residual thermal stress in 2D orthogonal plain weave fabric composites / J. J. Xiong, R. A. Shenoi, J. Gao // International Journal of Solids and Structures. — 2009. — Vol. 46. — P. 1872—1883.

148. Измерение неоднородных полей деформаций встроенными в полимерный композиционный материал волоконно-оптическими датчиками / А. И. Аношкин [и др.] // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. — 2016. — JV2 5. — С. 42—51.

149. Ударно-волновой метод контроля процесса устранения трещин в железобетонных конструкциях / А. А. Быков [и др.] // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. — 2017. — JV2 4. — С. 35—41.

150. Ватулъян А. О. К реконструкции малых полостей в упругом слое / Ватульян А. О., Беляк О. А. // Дефектоскопия. — 2006. — JV2 10. — С. 33—39.

151. Ватулъян А. О. О различных способах реконструкции полости в ортотропном слое / Ватульян А. О., Беляк О. А. // Прикладная механика и техническая физика. — 2009. — Т. 50, 3(295). - С. 181-189.

152. Ватулъян А. О. Асимптотический подход к расчету волновых полей в слое с дефектом малого характерного размера / Ватульян А. О., Беляк О. А. // Акустический журнал. - 2020. - Т. 66, № 3. - С. 235-241.

153. Eremin, A. Identification of delamination based on the Lamb wave scattering resonance frequencies / A. Eremin, M. Golub, E. Glushkov, N. Glushkova // NDT & E International. — 2019. - T. 103. - C. 145-153.

154,

155,

156,

157,

158,

159,

160,

161,

162,

163,

164,

165,

166,

167,

Glushkov, E. An analytically based computer model for surface measurements in ultrasonic crack detection / E, Glushkov, N. Glushkova, A. Ekhlakov, E, Shapar // Wave Motion, — 2006. - T. 43, № 6. - C. 458-473.

Glushkov, E. Natural resonance frequencies, wave blocking, and energy localization in an elastic half-space and waveguide with a crack / E. Glushkov, N. Glushkova, M. Golub, A. Bostrom // Journal of the Acoustical Society of America. — 2006. — T. 119, № 6. — C. 3589-3598.

Никитина H. E. Акуетоупругоеть, Опыт практического применения / Никитина Н. Е. - Н. Новгород: ТАЛ AM, 2005. - 208 с.

Углов А. Л., Ерофеев В. И., Смирнов А. Н. Акустический контроль оборудования при изготовлении и эксплуатации / Углов А. Л., Ерофеев В. И., Смирнов А. Н. — М,: Наука, 2009. - 279 с.

Ultrasonic evaluation of residual stresses in flat glass tempering by an original double inter-ferometric detection / D. Devos [et al,] // Ultrasonics. — 2006. — Vol. 44. — P. 923—927.

Lammi, C. J. Numerical predictions and experimental measurements of residual stresses in fatigue crack growth specimens / C. J. Lammi, D. A. Lados // Engineering Fracture Mechanics. — 2011. — Vol. 78, no. 6. — P. 1114—1124.

Ihara, R. Prediction of residual stress distributions due to surface machining and welding and crack growth simulation under residual stress distribution / E. Ihara, J. Katsuvama, et al. // Nuclear Engineering and Design. — 2011. — Vol. 241, no. 5. — P. 1335—1344.

Lee, C.-H. Prediction of residual stresses in high strength carbon steel pipe weld considering solid-state phase transformation effects / C.-H. Lee, K.-H. Chang // Computers & Structures. — 2011. — Vol. 89, no. 1. — P. 256—265.

Mylonas, G. I. Numerical modelling of shot peening process and corresponding products: Residual stress, surface roughness and cold work prediction / G. I. Mylonas, G. Labeas // Surface and Coatings Technology. — 2011. — Vol. 205, no. 19. — P. 4480—4494.

Brockman, R. A. Prediction and characterization of residual stresses from laser shock peening / E. A. Brockman, W. E. Braisted, et al. // International Journal of Fatigue. — 2012. — Vol. 36. — P. 96—108.

Gardner., L. Modeling of residual stresses in structural stainless steel sections / L. Gardner, E. Cruise // Journal of Structural Engineering. — 2009. — Vol. 135, no. 1. — P. 42—53.

Ricci, A. A new finite element approach for studying the effect of surface stress on microstructures / A. Eicci, C. Eicciardi // Sensors and Actuators A. — 2010. — Vol. 159. — P. 141—148.

Гузь .1. II.. Махорт Ф. Г., Гуща О. И. Введение в акуетоупругоеть / Гузь А. Н,, Махорт Ф. Г., Гуща О. И. — Киев: Наукова Думка, 1977. — 162 с.

Калинчук В. В., Велянкова Т. И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных тел / Калинчук В. В., Велянкова Т.Н. — М,: Физматлит, 2002. — 240 с.

168. Калинчук В. В., Белянкова Т. И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных электроупругих сред / Калинчук В, В., Белянкова T. II. — М,: Физматлит, 2006. — 272 с.

169. В. П. Матвеенко. Термо механика полимерных материалов в условиях релаксационного перехода / В. П. Матвеенко, О. Ю. Сметанников, Н. А. Труфанов, И, Н. Шардаков. — М,: Физматлит, 2009. — 175 с.

170. Ватулъян А. О. Коэффициентные обратные задачи механики / Ватульян А. О. — М,: Физматлит, 2019. — 272 с.

171. Ватулъян А. О. Обратные и некорректные задачи / Ватульян А. О., Беляк О. А., Сухов Д. К).. Явруян О. В. — Ростов-на-Дону: Южный федеральный университет, 2011. — 231 с.

172. Ватулъян А. О. О задаче Коши в теории коэффициентных обратных задач для упругих тел / Ватульян А. О., Гукасян Л. С., I le шн Р. Д. // Владикавказский математический журнал. — 2016. — Т. 18, JV2 2. — С. 31—40.

173. Ватулъян А. О. Об одном подходе к восстановлению неоднородных свойств упругого основания под распределенной нагрузкой / Ватульян А. О., Гукасян Л. С., I le шн Р. Д. // Вестник РГУПС. - 2016. - Т. 4. - С. 130-136.

174. Богачев И. В. Идентификация свойств неоднородной пластины в рамках модели Тимошенко / Богачев И. В., Ватульян А. О., Дударей В. В., Лапина П. А., Недин Р. Д. // Изв. Сарат. ун-та. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2017. — Т. 17, № 4. - С. 419-430.

175. Bogachev, I. V Identification of inhomogeneous elastic properties of isotropic cylinder / I. V. Bogachev, E. D. Nedin, A. O. Vatulvan, O.V. Yavruvan // ZAMM — Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. — 2017. — Vol. 97, no. 3. — P. 358—364.

176. Dudarev, V V On the determination of the Biot modulus of poroelastic cylinder / V. V. Du-darev, E. M. Mnukhin, A. O. Vatulvan, E. D. Nedin, D. V. Gusakov // ZAMM — Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. — 2019. — Vol. 99, no. 3. — e201800137.

177. Vatulyan, A. O. Identification of the Lamé parameters of an inhomogeneous pipe based on the displacement field data / A. O. Vatulyan, V. V. Dudarev, E. M. Mnukhin, E. D. Nedin // European Journal of Mechanics - A/Solids. — 2020. — Vol. 81. — P. 103939.

178. Dudarev, V V Concerning an approach to identifying the Lamé parameters of an elastic functionally graded cylinder / V. V. Dudarev, A. O. Vatulyan, E. M. Mnukhin, E. D. Nedin // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2020. — Vol. 43, no. 11. — P. 6861—6870.

179. Vatulyan, A. Wave propagation in immersed waveguide with radial inhomogeneitv / A. Vatulyan, V. Yurov, E. Nedin, V. Dudarev // Ultrasonics. — 2020. — Vol. 108. — P. 106173.

180. Dudarev, V. V. Effect of material inhomogeneity on characteristics of a functionally graded hollow cylinder / V, V, Dudarev, E, M, Mnukhin, E, D, Nedin, A, O, Vatulvan // Applied Mathematics and Computation, — 2020, — Vol, 382, — P. 125333,

181. Nedin, R. On an inverse problem for inhomogeneous thermoelastic rod / E, Nedin, S, Nes-terov, A, Vatulvan // International Journal of Solids and Structures, — 2014, — No, 51, — P. 767—773.

182. Nedin, R. On reconstruction of thermalphvsie characteristics of functionally graded hollow cylinder / E. Nedin, S. Nesterov, A. Vatulvan // Applied Mathematical Modelling. — 2016. — Vol. 40, no. 4. — P. 2711—2719.

183. Nedin, R. Identification of thermal conductivity coefficient and volumetric heat capacity of functionally graded materials / E. Nedin, S. Nesterov, A. Vatulvan // Int J Heat and Mass Transfer. — 2016. — Vol. 102. — P. 213—218.

184. Vatulyan, A. Some features of solving an inverse problem on identification of material properties of functionally graded pyroeleetries / A. Vatulyan, S. Nesterov, E. Nedin // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2019. — Vol. 128. — P. 1157—1167.

185. Nedin, R. D. Concerning Identification of Two Thermomechanical Characteristics of Functionally Graded Pipe / E. D. Nedin, S. A. Nesterov, A. O. Vatulyan // Solid Mechanics, Theory of Elasticity and Creep / ed. by H. Altenbach [et al.]. — Cham : Springer International Publishing, 2023. — P. 247—263.

186. Nedin, R. D. Variable properties reconstruction for functionally graded thermoeleetroelastie cylinder / E. D. Nedin, S. A. Nesterov, A. O. Vatulyan // Continuum Mechanics and Thermodynamics. — 2024. — Vol. 36, no. 4. — P. 745—762.

187. Ватулъян А. О. К идентификации неоднородных предварительных напряжений / Ватульян А. О., Недин Р. Д. // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. — 2011. — Т. 1. — С. 38—44.

188. Ватулъян А. О. Сравнительный анализ предварительного состояния в неоднородных балках / Ватульян А. О., Недин Р. Д. // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. — 2016. — Т. 3, JV2 1. — С. 110—119.

189. Недин Р. Д. Моделирование и частотный анализ предварительно напряженных функционально-градиентных пластин с отверстиями / Недин Р. Д. // Вычислительная механика сплошных сред. — 2019. — Т. 12, № 2. — С. 192—201.

190. Ватулъян А. О. К восстановлению характеристик плоского начального напряженного состояния / Ватульян А. О., Недин Р. Д. // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. — 2020. — JV2 5. — С. 27—37.

191. Ватулъян А. О. О чувствительности и реконструкции двумерного начального напряженного состояния тонкой пластины / Ватульян А. О., Недин Р. Д. // Вычислительная механика сплошных сред. — 2023. — Т. 16, .V" Р С. 61—77.

192. Богачев И. В. Идентификация двумерных полей предварительных напряжений в неоднородных пластинах / Богачев И, В., Недин Р. Д. // Известия Саратовского университета, Новая серия. Серия: Математика, Механика, Информатика, — 2023, — Т. 23, № 4. - С. 456-471.

193. Ватулъян А. О. Моделирование и анализ начального напряженного состояния в тонкостенном цилиндре с переменными характеристиками / Ватульян А. О., Недин Р. Д., Юров В. О. // Проблемы прочности и пластичности. — 2023. — Т. 85, JV2 2. — С. 189—205.

194. Богачев И. В. Моделирование сплошных и имеющих отверстия и включения неоднородных предварительно напряженных пластин / Богачев И. В., Недин Р. Д. // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2023. - № 3. - С. 15-29.

195. Недин Р. Д. О реконструкции полей предварительных напряжений в полом цилиндре / Недин Р. Д., Юров В. О. // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. — 2023. .V" 1. С. 75—89.

196. Ватулъян А. О. Об одной задаче оптимизации для преднапряженной пластины с переменной жесткостью / Ватульян А. О., Недин Р. Д. // Проблемы прочности и пластичности. - 2024. - Т. 86, № 2. - С. 202-214.

197. Nedin, R. Inverse problem of non-homogeneous residual stress identification in thin plates / E. Nedin, A. Vatulyan // International Journal of Solids and Structures. — 2013. — Vol. 50, no. 13. — P. 2107—2114.

198. Nedin, R. Concerning one approach to the reconstruction of heterogeneous residual stress in plate / E. Nedin, A. Vatulyan // ZAMM — Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. — 2014. — Vol. 94, no. 1/2. — P. 142—149.

199. Nedin, R. Some aspects of modeling and identification of inhomogeneous residual stress / E. Nedin, V. Dudarev, A. Vatulyan // Engineering Structures. — 2017. — Vol. 151. — P. 391—405.

200. Nedin, R. D. Direct and inverse problems for prestressed functionally graded plates in the framework of the Timoshenko model / E. D. Nedin, A. O. Vatulyan, I. V. Bogachev // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2018. — Vol. 41, no. 4. — P. 1600—1618.

201. Nedin, R. Detection of nonuniform residual strain in a pipe / E. Nedin, A. Vatulyan, V. Dudarev, I. Bogachev // International Journal of Solids and Structures. — 2018. — Vol. 139/140. — P. 121—128.

202. Nedin, R. Vibrations of inhomogeneous piezoelectric bodies in conditions of residual stress-strain state / E. Nedin, V. Dudarev, A. Vatulyan // Applied Mathematical Modelling. — 2018. — Vol. 63. — P. 219—242.

203. Yurov, V. Oscillations of a non-uniform finite hollow cylinder under conditions of complex prestressed state / V. Yurov, E. Nedin, A. Vatulyan // Engineering Structures. — 2020. — Vol. 221. — P. 111019.

204. Nedin, R. D. On the Reconstruction of Inhomogeneous Initial Stresses in Plates / E, D, Nedin, A, O, Vatulyan // Advanced Structured Materials, Shell-like Structures: Non-classical Theories and Applications, Vol, 15 / ed, by H, Altenbach, V, A, Eremevev, — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2011, — P. 165—182,

205. Dudarev, V. Nondestructive identification of inhomogeneous residual stress state in de-formable bodies on the basis of the acoustic sounding method / V, Dudarev, E, Nedin, A. Vatulyan // Advanced Materials Eesearch. — 2014. — Vol. 996. — P. 409—414.

206. Dudarev, V. On Modeling and Method of Nondestructive Eeconstruction of Eesidual Stress-Strain State in a Eod / V. Dudarev, E. Nedin, A. Vatulyan // AIP Conference Proceedings. — 2016. — Vol. 1785. — P. 040013.

207. Nedin, R. Evaluation of Stress-Strain State and In-service Eepair of a Damaged Pipeline / E. Nedin // AIP Conference Proceedings. — 2016. — Vol. 1785. — P. 040042.

208. Chebakov, M. I. Stress Assessment for a Pipeline Segment with Volumetric Surface Defects Eepaired Using Composite Materials / M. I. Chebakov, G. Zecheru, A. Dumitrescu, E.

D. Nedin // Advanced Materials. Springer Proceedings in Physics. Vol. 193 / ed. by I. A. Parinov, S.-H. Chang, M. A. Jani. — Cham : Springer International Publishing, 2017. — P. 361—372.

209. Chebakov, M. I. Finite-Element Modeling of a Eepaired Pipeline Containing Two Volumetric Surface Defects / M. I. Chebakov, E. D. Nedin, A. A. Lvapin // Engineering Materials. Non-destructive Testing and Eepair of Pipelines / ed. by E. N. Barkanov, A. Dumitrescu, I. A. Parinov. — Cham : Springer International Publishing, 2018. — P. 311—320.

210. Vatulyan, A. Modelling and analysis of prestress field in a thin plate with a non-uniform coating / A. Vatulyan, E. Nedin, V. Dudarev // Journal of Physics: Conference Series. — 2019. — Vol. 1203, no. 1. — P. 012027.

211. Nedin, R. Analysis of non-uniform residual stress state in plates with in-plane and transverse heterogeneities / E. Nedin // Journal of Physics: Conference Series. — 2020. — Vol. 1479, no. 1. — P. 012119.

212. Nedin, R. D. Advances in Modeling and Identification of Prestresses in Modern Materials /

E. D. Nedin, A. O. Vatulyan // Advanced Structured Materials. Advanced Materials Modelling for Mechanical, Medical and Biological Applications. Vol. 155 / ed. by H. Altenbach [et al.]. — Cham : Springer International Publishing, 2022. — P. 357—374.

213. Nedin, R. D. On Estimating Prestress State in an Elastic Cylinder / E. D. Nedin, A. O. Vatulyan, V. O. Yurov // Advanced Structured Materials. Advances in Solid and Fracture Mechanics: A Liber Amicorum to Celebrate the Birthday of Nikita Morozov, Vol. 180 / ed. by H, Altenbach [et al,], — Cham : Springer International Publishing, 2022, — P. 195—210.

214

215,

216,

217,

218,

219,

220,

221,

222,

223,

224,

225,

226,

227,

Vatulyan, A. О. Sensitivity Analysis for Inhomogeneous and Prestressed Elastic Bodies /

A. O, Vatulyan, E, D, Nedin, V, O, Yurov // Advanced Structured Materials, Advances in Linear and Nonlinear Continuum and Structural Mechanics, Vol, 198 / ed, by H, Altenbach, V, Eremevev, — Cham : Springer Nature Switzerland, 2023, — P. 545—558,

Дударев В. В. О реконструкции остаточных напряжений в твердых телах / Дударей

B, В., Недин Р. Д. // Вестник Нижегородского университета им, Н, И, Лобачевского, — 2011. - № 4-4. - С. 1473-1475.

Guz, А. N. Three-dimensional theory of elastic stability under finite subcritical deformations / A. N. Guz //J. Appl. Mech. — 1972. — Vol. 8, no. 12. — P. 25—44.

Washizu, K. Variational methods in elasticity and plasticity / K. Washizu, — 3rd. — New York: Pergamon Press, 1982, — 424 p,

Truesdell, C. The Nonlinear Theories of Mechanics / C. Truesdell, W, Noll // Encyclopedia of Physics / ed, by S, Flugge, — Springer, Berlin, 2006, — P. 68—70,

Zubov, L. M. Instability of a hollow elastic cylinder under tension, torsion, and inflation / L. M. Zubov, D. N. Sheidakov //J. Appl. Mech. — 2008. — Vol. 75. — P. 8—13. Дикалов А. И. К теории малых деформаций упругого тела, наложенных на состояние одноосного сжатия / Дикалов А. И., Зубов Л.М. // Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы. — 1973. — JV2 4. — С. 30—34.

Kuang, Z.-B. Theory of Electroelasticitv / Z.-B. Kuang. — Springer: Heidelberg, New York,

2014. - 431 c.

Su, J. Love wave in Zn0/Si02/Si structure with initial stresses / J. Su, H. Liu, Z.-B. Kuang //J Sound Vib. — 1985. — Vol. 286. — P. 981—999.

Dispersion relations of elastic waves in three-dimensional cubical piezoelectric phononic crystal with initial stresses and mechanically and dieleetrieallv imperfect interfaces / X. Guo [et al] // Appl. Math. Modelling. — 2019. — Vol. 69. — P. 405—424.

Yang, J. Mechanics of electroelastic bodies under biasing fields / J. Yang, Y. Hu // Applied Mechanics Eeviews, — 2004. — June. — Vol. 57, no. 3. — P. 173—189.

Propagation of Love waves in prestressed piezoelectric layered structures loaded with viscous liquid / J, Du [et al,] // Acta Mechanica Solida Sinica, — 2009, — Jan, — Vol, 21,

Guo, X. Dispersion relations of elastic waves in one-dimensional piezoelectric phononic crystal with initial stresses / X. Guo, P. Wei // International Journal of Mechanical Sciences. —

2015. — Dec. — Vol. 106. — P. 231—244.

Akbarov, S. On the total electro-mechanical potential energy and energy release rate at the interface crack tips in an initially stressed sandwich plate-strip with piezoelectric face and elastic core layers / S. Akbarov, N. Yahnioglu // International Journal of Solids and Structures. — 2016. — Vol. 88/89. — P. 119—130.

228,

229,

230,

231,

232,

233,

234,

235,

236,

237,

238,

239,

240,

241,

Abd-alla, A. N. Effect of initial stresses on dispersion relation of transverse waves in a piezoelectric layered cylinder / A. N. Abd-alla, F, Al-Sheikh, A. Y, Al-Hossain // Materials Science and Engineering: B, — 2009, — Vol, 162, no, 3, — P. 147—154,

Tier-sten, H. F. On the nonlinear equations of thermoelectroelasticitv / H, F, Tiersten // Int. J. Eng. Sci. — 1971. — Vol. 9. — P. 587—604.

Eringen, A. C. Electrodynamics of Continua, Vol. I / A. C. Eringen, G. A. Maugin. — Springer, New York, 1990.

Biot, M. A. Mechanics of incremental deformations / M. A. Biot. — John Wiley & Sons, 1965. — 504 p.

Vatul'yan, A. O. Certain aspects of identification of the inhomogeneous prestressed state in thermoelastic bodies / A. O. VatuPyan, S. A. Nesterov // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 2017. — Vol. 81. — P. 71—76.

Vatulyan, A. O. On some features of identification of inhomogeneous prestressed state of thermoelastic hollow cylinder with coating / A. O. Vatulyan, S. A. Nesterov // Materials Physics and Mechanics. — 2019. — Vol. 42. — P. 54—64.

Ватулъян А. О. Идентификация неоднородных характеристик преднапряженных пи-роматериапов / Ватульян А. О., Нестеров С. А. // Чебышевекий сборник. — 2018. — Т. 19, № 2. - С. 183-198.

Ватулъян А. О. К формулировке интегральных уравнений в проблеме идентификации предварительного напряженного состояния / Ватульян А. О. // Экологический вестник научных центров ЧЭС. — 2006. — JV2 2. — С. 23—25.

Головатенко, М. Е. К определению уровня предварительных напряжений в упругих телах / М. Е. Головатенко, В. В. Дударев // Вычислительная механика сплошных сред. - 2023. - Т. 16, № 2. - С. 232-241.

Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Малинин И. Н. — М,: Машиностроение, 1975, — 117 с.

On the flexural vibration of cylinders under axial loads: Numerical and experimental study / A, Bavon [et al,] // Journal of Sound and Vibration, — 2012, — Vol, 331, no, 10, — P. 2315—2333.

Tullini, N. Dynamic identification of beam axial loads using one flexural mode shape / N. Tullini, F. Laudiero // Journal of Sound and Vibration. — 2008. — Vol. 318, no. 1. — P. 131—147.

Estimation of tensile force in tie-rods using a frequency-based identification method / M. Amabili [et al.] // Journal of Sound and Vibration. — 2010. — Vol. 329, no. 11. — P. 2057—2067.

Livingston, T. Estimation of axial load in prismatic members using flexural vibrations / T. Livingston, J. Beliveau, D. Huston // Journal of Sound and Vibration. — 1995. — Vol. 179, no. 5. — P. 899—908.

242,

243,

244,

245,

246,

247,

248,

249,

250,

251,

252,

253,

254,

255,

Bokaian, A. Natural frequencies of beams under compressive axial loads / A. Bokaian // Journal of Sound and Vibration, — 1988, — Vol, 126, no, 1, — P. 49—65,

Lend, S. Natural Frequencies And Internal Resonance Of Beams With Arbitrarily Distributed Axial Loads / S, Lend, F, Clementi // Journal of Applied and Computational Mechanics. — 2020. — Aug. — No. 7. — P. 1009—1019.

Партон В. 3. Электромагнитоупругоеть пьезоэлектрических и электропроводных тел / Партон В.З., Кудрявцев Б. А. — М,: Наука, 1988. — 470 с.

Ватулъян А. О. Прямые и обратные задачи для однородных и неоднородных упругих и электроупругих тел / Ватульян А. О., Соловьев А. Н. — Ростов-на-Дону: Южный федеральный университет, 2008. — 175 с.

Hutson, V. Applications of Functional Analysis and Operator Theory / V. Hutson, J. Pvm, M. Cloud. — Elsevier Science, 2005. — 432 p.

Тихонов A. H. Методы решения некорректных задач / Тихонов А. Н., Арсенин В, Я, М.: Наука, 1979. - 288 с.

A review of the analysis of sandwich FGM structures / A. Garg [et al,] // Composite Structures. — 2021. — Vol. 258. — P. 113427.

Liang, C. Thermal strain energy induced wave propagation for imperfect FGM sandwich cylindrical shells / C. Liang, Z, Yaw, C. Lim // Composite Structures. — 2023. — Vol. 303. — P. 116295.

Bending and free vibration analysis of sandwich plates with functionally graded soft core, using the new refined higher-order analysis model / E. Ye [et al.] // Journal of Sandwich Structures & Materials. — 2021. — Vol. 23, no. 2. — P. 680—710.

Dubyk, Y. A new simple method for shell vibration analysis with initial stress accounting / Y. Dubyk, O. Ishchenko, M. Kryshehuk // Procedia Structural Integrity. — 2020. — Vol. 26. — P. 422—429. — 1st Mediterranean Conference on Fracture and Structural Integrity, MedFraetl,

Биргер И. А. Стержни, пластинки, оболочки / Биргер И. А. — М,: Физматлит, 1992. — 392 с.

Li, Q. Three-dimensional vibration analysis of functionally graded material sandwich plates / Q. Li, V. Iu, K. Kou // Journal of Sound and Vibration. — 2008. — Vol. 311, no. 1. — P. 498—515.

Nguyen, T.-K. A new higher-order shear deformation theory for static, buckling and free vibration analysis of functionally graded sandwich beams / T.-K. Nguyen, B.-D. Nguyen // Journal of Sandwich Structures & Materials. — 2015. — Vol. 17, no. 6. — P. 613—631.

Fazzolari, F. A. Stability analysis of FGM sandwich plates by using variable-kinematics Eitz models / F. A. Fazzolari // Mechanics of Advanced Materials and Structures. — 2016. — Vol. 23, no. 9. — P. 1104—1113.

256. Jadamba, В. Inverse problems of parameter identification in partial differential equations / B, Jadamba, A, A, Khan, M, Sama // Mathematics in science and technology, — 2011, — P. 228—258.

257. Иомдина, E. H. Биомеханика глаза: теоретические аспекты и клинические приложения / под ред. В.В. Нероева / Иомдина Е. И., Бауэр С. М,, Котляр К. Е. — М,: Реал Тайм, 2015. - 208 с.

258. Bauer, S. М. On the deformation of the lamina cribrosa under intraocular pressure / S. M. Bauer, E. B. Voronkova // Russian Journal of Biomechanics. — 2001. — Vol. 5, no. 1. — P. 73—82.

259. Золотухина Л. А. О деформации многослойной решетчатой пластинки диска зрительного нерва / Золотухина Л. А. // Российский журнал биомеханики. — 2008. — Т. 4, № 12. - С. 40-46.

260. Ватулъян А. О., Потетюнко О. А. К оценке деформативноети решетчатой пластинки глаза / Ватульян А. О., Потетюнко О. А. // Российский журнал биомеханики. — 2017. — Т. 21, № 1. - С. 8-17.

261. Wang, Y. X. Optic nerve head anatomy in myopia and glaucoma, including parapapillarv zones alpha, beta, gamma and delta: Histology and clinical features / Y. X. Wang, S. Panda-Jonas, J. B. Jonas // Prog Eetin Eye Res. — 2021. — Vol. 83. — P. 100933.

262. Краковская E. В. Об изменении деформации решетчатой пластинки диска зрительного нерва после декомпрессиопиых операций / Краковская Е. В. // Российский журнал биомеханики. - 2008. - Т. 12, № 2. - С. 55-59.

263. Ватулъян А. О. Определение уровня неоднородного предварительного напряженно-деформированного состояния в пьезоэлектрическом диске / Ватульян А. О., Дударей В. В., Мнухин P.M. // Прикладная механика и техническая физика. — 2018. — Т. 4, 3(349). - С. 181-190.

264. Олъхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций. Вопросы вибрации и потери устойчивости. Вып. 27, Серия: Механика. Новое в зарубежной науке / Ольхофф Н. — М.: Мир, 1981. - 281 с.

265. Ваничук Н. В. Оптимизация форм упругих тел / Ванн чу к И. В. — М,: Наука, 1980. — 256 с.

266. Ваничук Н.В. Введение в оптимизацию конструкций / Баничук И. В. — М,: Наука, 1986. - 304 с.

267. Rammerstorfer, F. G. On the optimal distribution of the Young's modulus of a vibrating pre-stressed beam / F. G. Rammerstorfer // International Journal of Sound and Vibration. — 1974. — Vol. 37. — P. 140—145.

268. Niordson, F. Optimal disks in vibration / F. Niordson // International Journal of Solids and Structures. — 1997. — Vol. 34, no. 23. — P. 2957—2968.

269,

270,

271,

272,

273,

274,

275,

276,

277,

278,

279,

280,

281,

282,

283,

Niordson, F. Optimal design of elastic plates with a constraint on the slope of the thickness function / F, Niordson // International Journal of Solids and Structures, — 1983, — Vol. 19, no. 2. — P. 141—151.

Аристов M. В. Упругая кольцевая пластина минимального веса / Аристов М, В., Троицкий В. А. // Известия РАН, Механика твердого тела, — 1975, — Т. 3. — С. 172—176. Гура Н. М. Оптимальная круглая пластинка при ограничениях по жесткости и частоте собственных колебаний / Гура II. \ I.. Сейранян А. П. // Известия РАН. Механика твердого тела. — 1977. — Т. 1. — С. 138—145.

Traff, Е. A. Topology optimization of ultra high resolution shell structures / E. A. Traff, O. Sigmund, N. Aage // Thin-Walled Structures. — 2021. — Vol. 160. — P. 107349.

An explicit approach for simultaneous shape and topology optimization of shell structures / X. Jiang [et al.] // Applied Mathematical Modelling. — 2023. — Vol. 113. — P. 613—639.

Density-based topology optimization of thin plate structure with geometric nonlinearitv using a three-dimensional corotational triangle element formulation / T. Otani [et al.] // Structural and Multidiseiplinarv Optimization. — 2022. — Sept. — Vol. 65, no. 282.

Wang, Y. A level set method for shape and topology optimization of coated structures / Y. Wang, Z, Kang // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2018. — Vol. 329. — P. 553—574.

Topology optimization with wall thickness and piecewise developabilitv constraints for foldable shape-changing structures / Y. Zhou [et al.] // Structural and Multidiseiplinarv Optimization. — 2022. — Vol. 65, no. 118.

Computational Design of Rubber Balloons / M. Skouras [et al.] // Computer Graphics Forum. — 2012. — Vol. 31, 2pt4. — P. 835—844.

Simulation and optimization of magnetoelastic thin shells / X. Chen [et al.] // ACM Trans. Graph. — 2022. — Vol. 41, no. 8. — P. 1—18.

Bendsoe, M. P. Topology optimization: theory, methods, and applications / M. P. Bendsoe, O. Sigmund. — Springer Science & Business Media, 2013.

Muc, A. Optimal design of composite multilavered plated and shell structures / A. Muc // Thin-Walled Structures. — 2007. — Vol. 45, no. 10. — P. 816—820.

Koide, R. M. An ant colony algorithm applied to lay-up optimization of laminated composite plates / E. M. Koide, G. v. Z. d. Franca, M. A. Luersen // Latin American Journal of Solids and Structures. — 2013. — Vol. 10, no. 3. — P. 491—504.

Ghashochi-BarghH. PSO algorithm for fundamental frequency optimization of fiber metal laminated panels / Ghashochi-BarghH., SadrM.H. // Structural Engineering and Mechanics. — 2013. — Vol. 47, no. 5. — P. 713—727.

Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем / Филиппов А. П. — М,: Машиностроение, 1970. — 734 с.

284. Rammerstorfer, F. G. Increase of the First Natural Frequency and Buckling Load of Plates by Optimal Fields of Initial Stresses / F, G, Rammerstorfer // Acta Mechanica, — 1977, — Vol. 27. — P. 217—238.

285. Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки / Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. — М,: Наука, 1966. — 636 с.

286. Truesdell, С. The Non-Linear Field Theories of Mechanics / C. Truesdell, W. Noll. — Springer, Berlin, 1965. — 602 c.

287. Mase, G. E. Continuum Mechanics / G. E. Mase. — McGraw-Hill Professional, 1970. — 221 p.

288. Ogden, R. W. Nonlinear elastic deformations / R. W. Ogden. — Ellis Horwood/Halsted Press, Chichester/New York, 1984. — 532 c.

289. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи / Кабанихин С. И. — Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. — 457 с.

290. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения / Латтес Р., Лионе Ж.-Л. - М.: Мир, 1970. - 336 с.

291. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач / Тихонов А. Н. // Доклады Академии наук СССР. — 1963. — Т. 153, JV2 1. — С. 49—52.

Приложение А Построение соотношений для моделей ПН С

А.1 Общепринятые системы тензорных обозначений

Опишем две наиболее распространенные в литературе системы написания и обозначений основных понятий механики сплошных сред и тензорного анализа. Начало этих систем обозначений было положено в трудах отечественных (А. И. Лурье, Л. М, Зубова и др.) и зарубежных ученых (К. Труеделла, В. Но.л.ла, Дж. Мейза и др.) |286; 287|; далее будем нумеровать эти системы обозначений цифрами 1 и 2, соответственно.