Реконструкция неоднородных свойств балок при анализе изгибных и изгибно-крутильных колебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Осипов, Алексей Владимирович

• Осипов, Алексей Владимирович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Осипов, Алексей Владимирович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ О КОЛЕБАНИЯХ

НЕОДНОРОДНЫХ БАЛОК

1.1 Постановка прямой задачи об изгибных колебаниях 24 консольно закрепленной балки с переменным модулем Юнга.

1.2 Постановка прямой задачи об изгибных колебаниях 26 консольно закрепленной балки переменного сечения.

1.3 Постановка прямой задачи об изгибно-крутильных 29 колебаниях консольно закрепленной балки с неоднородными характеристиками.

1.4 Постановка прямой задачи об изгибных колебаниях 31 консольно закрепленной балки с дефектом в виде симметричного тонкого надреза с нагрузкой на свободном конце.

1.5 Постановка прямых задач для модели Тимошенко

1.6 Постановки обратных задач

1.6.1 Постановка обратной задачи о восстановлении 36 переменного модуля Юнга при анализе изгибных колебаний балки.

1.6.2 Постановка обратной задачи о восстановлении 37 характеристик переменного сечения консольно закрепленной балки при анализе изгибных колебаний.

1.6.3 Постановка обратной задачи о восстановлении 38 переменных модуля Юнга и модуля сдвига консольно закрепленной балки при анализе изгибно крутильных колебаний.

1.6.4 Постановка обратной задачи о восстановлении 38 параметров симметричного тонкого надреза.

1.6.5 Постановка обратной задачи о восстановлении

переменных характеристик для модели Тимошенко. 1.6.6 Постановка обратной задачи о восстановлении параметров симметричного тонкого надреза

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ

2.1 Решение задач об изгибных колебаниях неоднородных балок 40 методом сведения к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода.

2.2 Решение прямых задач об изгибных колебаниях 56 неоднородной балки методом пристрелки.

2.3 Решение прямой задачи об изгибно-крутильных колебаниях 62 методом пристрелки.

2.4 Аналитическое исследование прямой задачи о колебания 67 балки с симметричным тонким надрезом.

2.5 Определение поправок к резонансным частотам при наличии 73 дефекта.

2.6 Решение прямых задач для модели Тимошенко. 79 ГЛАВА 3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ

3.1 Регуляризация некорректных задач методом сплайн- 86 функций.

3.2 Решение обратной задачи о восстановлении переменного 88 модуля Юнга при анализе изгибных колебаний балки.

3.3 Решение обратных задач о восстановлении характеристик 92 переменного поперечного сечения при анализе изгибных колебаний балки.

3.4 Реконструкция переменных свойств балки при анализе 96 изгибно-крутильных колебаний.

3.5 Обратная задача о восстановлении параметров 99 симметричного тонкого надреза.

3.6 Реконструкция переменных свойств балки модели 103 Тимошенко.

3.7 Обратная задача о восстановлении параметров 105 симметричного тонкого надреза для модели Тимошенко.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Реконструкция неоднородных свойств балок при анализе изгибных и изгибно-крутильных колебаний»

Введение

Балочные конструкции являются широко распространенными элементами авиационных, строительных конструкций, технических устройств. Часто элементы машин, механизмов и сооружений, относящиеся к классу стержневых систем, имеют неоднородные характеристики, в том числе переменную жесткость. Неоднородности в таких балочных элементах могут возникать как на этапе изготовления, так и в процессе эксплуатации. В случае использования балок переменной жесткости удается обеспечить необходимые эксплуатационные показатели всей конструкции более эффективно по сравнению с элементами с постоянными параметрами, что характерно для проблем оптимизации за счет использования переменного сечения. Переменная жесткость в балках может возникать в результате наличия переменных геометрических характеристик или в силу переменного модуля Юнга. Балки с переменными геометрическими характеристиками являются элементами несущих частей различных строительных конструкций, широко применяются в мостостроении. Переменность свойств возникает также и на этапе эксплуатации в сложных условиях, под действием агрессивной среды, радиационного облучения и.т.д. В связи с необходимостью мониторинга изменений, протекающих в таких конструкциях, возникает потребность в идентификации неоднородных свойств балочных систем, входящих в такие конструкции. Идентификация неоднородных свойств балок позволяет проанализировать изменения в балках, возникающие в процессе эксплуатации, отследить на ранних этапах дефекты, появляющиеся в балках, спрогнозировать возможность дальнейшей эксплуатации данных конструкций. Одним из примеров балки с переменным модулем Юнга может служить палка для горных лыж. Реконструкция переменного модуля Юнга позволяет на начальном этапе отделять соответствующие стандартам изделия от бракованных.

Исследованные в настоящей диссертации задачи о колебаниях балок могут быть также использованы для моделирования колебаний лопаток

турбин. Современные газотурбинные двигатели магистральной гражданской авиации работают при максимальной температуре газа перед турбиной до 1640 - 1940 К. Повышение эффективности двигателя связано с повышением максимальной температуры газа. Успех разработки такого высокотемпературного двигателя определяется возможностью создания более высокотемпературной рабочей охлаждаемой лопатки турбины высокого давления, обладающей требуемым ресурсом и высокой надежностью при приемлемом расходе охлаждающего воздуха. Можно без преувеличения сказать, что рабочая лопатка турбины высокого давления является деталью, в значительной мере определяющей уровень авиационного двигателестроения. Создание рабочей лопатки высокотемпературной турбины - сложная комплексная проблема, успешное разрешение которой зависит от решения большого количества материаловедческих, технологических и конструкторских задач. Наряду с газодинамическими требованиями к рабочим лопаткам турбины предъявляются жесткие требования по сопротивлению ползучести, статическому, мало- и многоцикловому разрушению, стойкости к высокотемпературному окислению. Применяемые при создании рабочих лопаток высокотемпературных турбин конструктивные решения во многом определяются свойствами современных материалов с необходимым уровнем характеристик конструкционной прочности и технологическими возможностями производства лопаток. В соответствии с требованиями нормативных документов разрушение рабочей лопатки турбины не должно приводить к отказу с опасными последствиями (нелокализованному разрушению или пожару). Однако в отдельных случаях, несмотря на положительные результаты сертификационных проверок, вторичные последствия при разрушении рабочих лопаток приводили к опасным отказам. Кроме того, разрушение лопаток в эксплуатации обычно приводит к выключению двигателя в полете, что может явиться предпосылкой летного происшествия. Разрушение лопатки обычно вызывает значительные повреждения, что влечет за собой дорогостоящий ремонт

двигателя. Назначенный ресурс лопаток турбин современных двигателей, как правило, не ограничивается. Эксплуатация осуществляется или с фиксированным временем между разборками горячей части двигателя, или по техническому состоянию с контролем лопаток [1 - 2]. Задачи, исследованные в настоящей работе, могут быть использованы как для осуществления контроля состояния лопаток, выявления изменений их неоднородных свойств, так и как вспомогательные задачи, возникающие при проектировке рабочих лопаток высокотемпературных турбин. Так, например, лопатка высокотемпературной турбины может рассматриваться как балка с переменным модулем Юнга, неоднородность которого возникает в связи с наличием неоднородного температурного поля. Зависимости изменения модуля Юнга в лопатках турбин от температуры представлены в работе [3].

В наклонно направленных нефтедобывающих скважинах основным элементом, ограничивающим надежность и работоспособность установки, является штанговая колонна (Рис. 0.1). Одно из первых мест среди причин, приводящих к отказам штанговой колонны, занимают отвороты штанг. Принято считать, что отвороты штанг, являются эксплуатационным отказом, вызванным недостаточным свинчиванием штанг и муфт. Однако для отворота штанг должен присутствовать крутящий момент. Таким фактором, возможно, являются крутящие моменты в штанговой колонне, возникающие ввиду пространственного профиля ствола скважины. Изменение зенитных и азимутальных углов в определенном интервале приводит к появлению изгибающих и локальных крутящих моментов, способствующих отвороту штанговых соединений. Наибольшее число отказов штанговых колонн вызвано обрывами штанг. Предполагается, что обрыву штанги предшествует появление участка с меньшей площадью поперечного сечения. Внутренние дефекты металла не являются причиной зарождения трещины [4]. Следовательно, причины обрывов следует искать в методике подбора штанговых колонн по части оценок максимальных и минимальных нагрузок на штанги и допускаемых напряжений. Повышение надежности штанговых

колонн возможно на основе разработки и внедрения мероприятий, направленных на своевременную идентификацию дефекта в штанге и прогнозирование возможности продолжения эксплуатации штанги с дефектом. Методы, описанные в настоящей диссертации, позволяют идентифицировать дефект - оценить его расположение, размеры в вертикальной штанговой колонне на ранней стадии и оценить последствия его появления.

Рис. 0.1 Скважинный штанговый насос На рисунке 0.1 используются следующие обозначения: 1 продуктивный пласт, 2 - канал для подачи разбавителя, 3 - пакер, 4

смеситель, 5 - штанговый глубинный насос, 6 - затрубное пространство, 7 -обсадная колонна, 8 - насосно-компрессорные трубы, 9 - штанговая колонна.

Таким образом, исследование задач о колебаниях балок переменной жесткости весьма актуально как с точки зрения оценки влияния неоднородностей различного типа на амплитудно-частотные характеристики, резонансные частоты, так и с точки зрения идентификации неоднородностей, как распределенных, так и локализованных.

Цель работы заключается в решении задач идентификации неоднородностей в балках при анализе изгибных и изгибно-крутильных колебаний. Важным этапом решения поставленных задач является получение корректных уравнений и граничных условий, описывающих колебания балок с различными видами неоднородностей при различных видах нагружения. Особое внимание уделяется получению операторных соотношений, связывающих входные данные задач с неизвестными функциями. Также важной частью работы является проверка полученных решений путем проведения ряда вычислительных экспериментов или путем сравнения полученных результатов с известными экспериментальными данными.

Для изучения обозначенных выше технических проблем требуется разработка эффективных методов идентификации неоднородных характеристик балочных систем. Они опираются на акустические методы зондирования и аппарат обратных коэффициентных задач в механике деформируемого твердого тела [5 - 18].

В настоящее время обратные коэффициентные задачи механики — интенсивно развивающаяся область знания, находящаяся на стыке экспериментальной механики и акустики, вычислительной математики, в которой рассматриваются новые постановки, разрабатываются экономичные эффективные алгоритмы, строятся итерационные схемы. Все большая часть математических моделей и способов проведения эксперимента приобретает достоверность, устойчивость по отношению к различным случайным

факторам, имеет значительные практические приложения как раз благодаря достижениям теории коэффициентных обратных задач.

Процедура решения таких задач, состоящих в обращении причинно-следственных связей, связана с преодолением серьезных математических трудностей. Успех решения задачи реконструкции неоднородностей зависит не только способа нагружения конструкции, от качества и количества полученной из эксперимента информации, но и от правильного регуляризованного способа ее обработки. Решение таких задач проводится в рамках некоторой математической модели исследуемого объекта. В рассматриваемом случае это различные модели изгибных и изгибно-крутильных колебаний балок переменной жесткости и задача состоит в определении параметров или функций, входящих в описание математической модели по имеющейся экспериментальной информации, в качестве которой используется информация о смещениях или ускорениях точек внутри балки на некоторой частоте колебаний или информация о резонансных частотах.

Обратные задачи обладают рядом неприятных с вычислительной точки зрения особенностей. Во-первых, они, как правило, нелинейны, то есть неизвестная функция или неизвестный параметр входит в операторное или функциональное уравнение, связывающее искомые и заданные функции, нелинейным образом. Во-вторых, решения обратных задач обычно не единственны. Для обеспечения единственности часто необходимо требовать избыточности экспериментальной информации. В-третьих, обратные задачи являются неустойчивыми по отношению к входной информации, которая задается как результат показаний датчиков, которые имеют некоторую погрешность. Таким образом, рассматриваемые задачи являются некорректными задачами с точки зрения Ж. Адамара, сформулировавшего понятие корректной задачи.

Основы теории условно-корректных задач, или некорректных задач, были заложены академиком А. Н. Тихоновым. В дальнейшем в рамках этого направления сформировалось несколько научных школ. К середине 60-х

годов наука обогатилась публикациями А. Н. Тихонова и других отечественных ученых по некорректным задачам [19 - 34]. Все предложенные им методы имеют эффективную численную реализацию. Созданная А. Н. Тихоновым общая теория регуляризации некорректных, в частности, обратных задач использует сложный аппарат функционального анализа. Метод регуляризации был использован А. Н. Тихоновым для решения вырожденных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, линейных и нелинейных интегральных уравнений первого рода, задач математического программирования, оптимального управления, устойчивого суммирования рядов Фурье и многих других.

Научная новизна данной работы заключается в исследовании новых постановок обратных задач для балочных конструкций переменной жесткости, разработке методов решения обратных задач в таких постановках. В рамках моделей Бернулли и Тимошенко разработаны методы определения переменной жесткости, идентификации дефекта в балках, получены формулы и предложены методы для идентификации симметричного тонкого надреза.

Методика исследования прямых задач о построении динамических характеристик для неоднородных балок заключается в сведении исходных краевых задач к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Численное решение прямых задач для неоднородных балок получено при использовании метода коллокаций. Также для решения прямых задач для балок с переменными характеристиками использован метод пристрелки. Для решения прямой задачи для балки с симметричным тонким надрезом предложена модель трехэлементной балки, на каждом участке которой жесткость постоянна. Обратные задачи для неоднородных балок решены путем сведения исходной краевой задачи к задаче Коши и получения соответствующих операторных уравнений. Для регуляризации некорректной процедуры дифференцирования функции, заданной в наборе точек,

использован метод аппроксимации сплайнами. Предложены методы идентификации параметров симметричного тонкого надреза, заключающиеся в получении на основе предложенных поправок к резонансным частотам трансцендентного уравнения относительно координаты центра надреза и последующем восстановлении остальных характеристик надреза.

Достоверность результатов, полученных в настоящей работе, основана на получении корректных уравнений и граничных условий для изучаемых моделей и корректном сведении этих соответствующих краевых задач к интегральному уравнению Фредгольма второго рода или к системе задач Коши, используемых при решении методом пристрелки. Показателем достоверности являются также сравнение результатов, полученных в настоящей с работе, с известными экспериментальными данными, приведенными, например, в [35], а также с точными аналитическими решениями для частных случаев, некоторые из которых приведены в [36].

Практическая ценность результатов исследования заключается в рекомендации выбора силового воздействия на консольную балку, обеспечивающего однозначную разрешимость задачи, в предложении новых методов идентификации локализованных неоднородностей в балках, а также в исследовании частных случаев, в которых предложенные методы работают недостаточно эффективно, и в предложении способов идентификации в рамках этих частных случаев.

Представим обзор решенных задач по реконструкции различных типов неоднородностей стержневых систем.

В работах [37 - 38] рассмотрен ряд одномерных обратных задач об установившихся продольных и изгибных колебаниях прямолинейного упругого неоднородного стержня под действием периодической во времени силы. Для решения поставленной нелинейной обратной задачи использован метод линеаризации. Прямая задача сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода. В случае двух неизвестных функций составлена система интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода.

Интегральное уравнение решается численно на основе метода коллокаций. Исследован вопрос единственности решения. Обратная задача сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с суммируемым ядром, которое порождает вполне непрерывный оператор в пространстве суммируемых с квадратом функций (в случае двух неизвестных функций составлена система интегральных уравнений). На основе аппарата интегральных уравнений Фредгольма построен итерационный процесс. Приведены результаты вычислительных экспериментов. Необходимо отметить, что в рассмотренной постановке (консольная заделка) одновременно удается однозначно восстановить две неизвестные механические характеристики из двух независимых экспериментов.

В [39] рассмотрена задача об идентификации неоднородных характеристик вязкоупругих стержней при анализе изгибных колебаний для различных условий нагружения. Представлен метод построения операторных соотношений, связывающих искомые и заданные функции. Решение построено с помощью итерационного процесса, сочетающего на каждом шаге решение прямой задачи и определение поправок на основе решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с гладким ядром. Приведены результаты вычислительных экспериментов по восстановлению неоднородных характеристик вязкоупругих стержней.

В [40] рассмотрена обратная задача о деформации для неоднородных колонн, суть которой заключается в нахождении распределения модуля упругости для неоднородной колонны постоянного поперечного сечения по ранее определенным деформациям, заданным многочленами. Обезразмеренная функция смещений и жесткость представлены в виде многочленов от некоторого безразмерного параметра; при этом коэффициенты разложения жесткости считаются неизвестными. При подстановке этих функций в уравнение колебаний и с помощью приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях безразмерного параметра получена система линейных уравнений для определения

коэффициентов разложения жесткости. Приведены результаты вычислений для различных граничных условий.

В [41] предложена новая аналитическая модель для анализа колебаний и идентификации параметров композитной балки переменной жесткости. Она основана на аппроксимации исходной балки другой балкой, имеющей кусочно-постоянные свойства. Показано, что жесткость каждой составляющей балки может быть восстановлена по спектральным данным. Для каждой однородной балки рассмотрены уравнения колебаний и удовлетворены условия сопряжения. Общая жесткость конструкции получена осреднением. Приведены результаты вычислительных экспериментов.

В работе [42] рассмотрена задача идентификации коэффициентов уравнения колебаний балки при граничных измерениях смещений. Изучены крутильные колебания консольно-защемленного на одном конце стержня. В качестве входных данных для решения задачи идентификации использованы смещение и угловая скорость на свободном конце стержня. Показано, что плотность и изгибная жесткость стержня могут быть единственным образом определены в классе непрерывных функций, если входные данные известны на бесконечном промежутке времени.

В работе [43] рассмотрены прямая и обратная задачи об установившихся поперечных колебаниях цилиндрического стержня с дефектом в форме полости малого относительного размера. Предложен подход к определению местоположения и объема полости произвольной формы. Представлены результаты вычислительных экспериментов, проведен их анализ.

В [44] представлены результаты численного конечно-элементного анализа и натурного эксперимента форм колебаний консольного упругого стержня с надрезом. Предложено использование координаты излома и угла между касательными на графиках собственных форм при переходе через

точку повреждения в качестве комплексного диагностического признака местоположения и степени поврежденности стержней.

В [45] представлено решение задачи идентификации повреждений в кантилевере, основанное на минимизации специального функционала невязки между решением (собственные частоты и моды колебаний), полученным аналитически на базе модифицированного балочного уравнения (модель Тимошенко) и иным путем, в частности, методом конечных элементов (МКЭ). Результаты численных расчетов местоположения и глубины надреза в кантилевере сравнены с данными натурного эксперимента, что подтвердило высокую степень их достоверности. Показано преимущество предложенной модели по сравнению с МКЭ и известной моделью A.D. Dimoragonas [46 - 47], заключающееся в более высокой производительности вычислений и достоверности восстановления форм различных мод колебаний поврежденной конструкции. Благодаря этим преимуществам модель может быть использована в алгоритмах оптимизации, а также применена для обучения нейтронной сети. Установлена связь эффективности идентификации повреждений с расположением точек приложения возбуждающей нагрузки на тестируемой конструкции. Предложенный метод идентификации повреждений может быть использован для систем диагностики авиационных и строительных конструкций.

В [48] приводится аналитический обзор теорий типа Тимошенко применительно к тонкостенным стержням открытого профиля. В качестве анализа используется теория разрывов, основанная на условиях совместности на поверхностях сильного или слабого разрывов (нестационарных волн), которые могут распространяться в исследуемых балках. На основе этого метода можно установить тип определяющей системы уравнений и ее корректность для описания динамического поведения тонкостенных стержней открытого профиля. Делается вывод о том, что на данный момент не существует теорий типа Тимошенко для тонкостенных балок открытого

профиля, полностью удовлетворяющих требованиям инженерной практики расчета и экспериментальным данным.

В [49] по трем собственным частотам продольных колебаний определяются место и размеры поперечного надреза в вертикальной штанге на упругой подвеске, растянутой под действием собственного веса.

В [50] предложены условия сопряжения, моделирующие поперечный надрез в балке. С использованием этих условий решена задача об определении местоположения и размеров надреза. Проведена идентификация надреза в статическом случае по значениям прогибов балки в нескольких точках и в динамическом случае по ее первым собственным частотам колебаний. Получены зависимости первых собственных частот от характерных параметров задачи. Изучено влияние относительной погрешности измерения частот на относительную погрешность вычисления параметров надреза. Показано, что использование первых собственных частот изгибных колебаний балки относительно различных осей позволяет получить более точные результаты идентификации, чем использование собственных частот изгибных колебаний относительно одной оси. Поскольку локальное повреждение типа вмятины, местной коррозии, раскрытой трещины допускается моделировать надрезом, полученные результаты могут быть использованы также для диагностирования соответствующих дефектов.

В [51] представлен модельный подход для определения расположения и размера открытых трещин в ФГМ - стержнях. Для определения параметров трещины по характеристикам поперечных колебаний стержня используется р-версия метода конечных элементов. Выполнено сравнение результатов предложенного метода с известными аналитическими результатами. Исследовано влияние расположения и размеров трещины на собственные частоты ФГМ - стержня.

В [52] описан способ идентификации расположения и размеров трещины в стержне при анализе свободных и вынужденных колебаний. Балочная теория Тимошенко используется для моделирования поперечных

колебаний балки. Метод конечных элементов используется для анализа свободных и вынужденных колебаний. Для определения расположения и размеров трещин предложен итерационный процесс. Метод проиллюстрирован численными примерами. Рассмотрены случаи наличия ошибки измерения и зашумления.

В [53] рассмотрены различные варианты повреждения при анализе свободных и вынужденных колебаний консольных ФГМ - стерженей. Проведен частотных анализ для различных случаев повреждения при учете воздействия тепловых нагрузок.

В [54] исследованы колебания консольно закрепленной балки с дефектом в виде трещины с нагрузкой на свободном конце. Для анализа колебаний балки используется модель Тимошенко. Балка с трещиной моделируется как комбинация двух балок, построенных на основе полного лагранжиана для балки Тимошенко. Нелинейная задача решается на основе метода конечных элементов при использовании метода Ньютона - Рафсона.

В работах [55 - 58] также исследованы колебания балок с трещинами. Предложены методы идентификации параметров дефекта на основе метода конечных элементов.

В [59] исследованы колебания микростержней, изготовленных из функционально-градиентных материалов, на основе балочной теории Тимошенко. Свойства материала исследуются поэтапно в зависимости от изменения толщины балки на основе схемы Мори - Танака. При использовании принципа Гамильтона получены уравнения колебания и соответствующие граничные условия. Выполнено сравнение различных моделей колебаний балок.

В [60] исследуются повреждения, возникающие при извлечении вертикальных штанг из жидкости, предложены методы уменьшения повреждений.

В [61] исследована потеря устойчивости в ФГМ - стержнях с трещинами. Проведено сравнение модели Бернулли-Эйлера и модели Тимошенко.

В [62] получены значения собственных частот в балках модели Тимошенко с учетом поверхностных напряжений.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе изложены постановки прямых задач для неоднородных балок, при использовании вариационных методов получены корректные уравнения и граничные условия, описывающие различные типы колебаний балок. Описаны различные постановки обратных задач, сформулированы новые постановки обратных задач, рассмотренные в настоящей диссертации.

В п. 1.1 сформулирована постановка прямой задачи об изгибных колебаниях балки с переменным модулем Юнга, выполнено обезразмеривание задачи. Рассмотрены задачи для различных видов нагрузки: сосредоточенная сила на незакрепленном конце, сосредоточенный момент на незакрепленном конце.

В п. 1.2 сформулирована постановка прямой задачи об изгибных колебаниях консольно закрепленной балки переменного поперечного сечения при различных видах нагружения на конце, выполнено обезразмеривание задачи. Рассмотрены следующие варианты поперечного сечения: поперечное сечение в виде прямоугольника с переменной высотой, поперечное сечение в виде круга с переменным радиусом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Осипов, Алексей Владимирович, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Быков Ю.А., Гнесин В.И. Численное моделирование термоупругих колебаний лопаток турбомашин // Вестник национального технического университета "ХПИ". Тематический выпуск "Новые решения в современных технологиях ". № 33. 2011. С. 43 - 47.

2. Быков Ю.А., Гнесин В.И. Численное моделирование связанных аэротермоупругих колебаний турбинной лопатки // Восточно - Европейский журнал передовых технологий. Т. 5. № 7. 2011. С. 4 - 6.

3. Ножницкий Ю.А., Голубовский Е.Р. Монокристаллические рабочие лопатки высокотемпературных турбин перспективных ГТД // Авиационно - космическая техника и технология. №9. 2006. С. 117 - 123

4. Ишмурзин A.A., Хоанг Т.Н. Способы повышения надежности штанговых колонн в пространственных искривленных скважинах // Нефтегазовое дело. Электронный научный журнал. Выпуск 1. 2006.

5. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.-261 с.

6. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1973. - 252 с.

7. Романов В. Г. О регуляризирующем алгоритме решения обратной задачи для гиперболического уравнения // Докл. РАН, 1996. Т.346. № 3. С. 303-306.

8. Романов В.Г. К теоремам единственности одного класса обратных задач // Докл. АН СССР. 1972. Т. 104, № 5. С. 1075-1076.

9. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2007. 224 с.

10. Ватульян А. О. Математические модели и обратные задачи // Соросовский образовательный журнал. 1998. №11. С. 143-148.

11. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука (Сиб.отд.), 1978. 118 с.

12. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. 457 с.

13. Бухгейм A.JL Введение в теорию обратных задач. Новосибирск.: Наука, 1988. 184 с.

14. Bui H.D. Inverse Problems in the Mechanic of Materials: An Introduction. - CRC Press, Boca Raton, FL, 1994. 224p.

15. Isakov V. Inverse problem for PDE. Springer - Veriag. 2005.

16. Яхно В.Г. Обратные коэффициентные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск: Наука, 1990. 304 с.

17. Яхно В.Г. Устойчивость решения одномерных обратных задач упругости //Докл.АН СССР.1986.Т.286. №6 . С. 1369-1372.

18. Gladwell G. M. L. Inverse problems in vibration. - Dordrecht, Boston, London: Klüver Academic Publishers, 2004. 608 с.

19. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.Наука, 1979. 288 с.

20. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Доклады АН СССР. 1963. В. 153. №1. С. 49-52.

21. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Доклады АН СССР. 1963. В. 151. №3. с. 501-504.

22. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1987.240 с.

23. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во Московск. ун-та, 1987. 217 с.

24. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмический аспект. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1992. 320 с.

25. Лаврентьев M. M. К вопросу об обратной задаче потенциала // Докл. АН СССР, 1956. Т.106. № 3. С. 389-390.

26. Лаврентьев М.М. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск.: Изд. ин-та математики. 1999. 702 с.

27. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во Новосибирского ун-та, 1973. 71 с.

28. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1982. 88 с.

29. Лаврентьев M. М., Романов В. Г. О трех линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР, 1966. Т. 171. № 6. С.1279-1281.

30. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Васильев В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1969. 67 с.

31. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.; Наука, 1980. 286 с.

32. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.Наука, 1988. 288 с.

33. Кабанихин С.И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск. Наука, 1988. 168 с.

34. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во Московск. ун-та, 1989. 198 с.

35. Ильгамов М.А., Хакимов А.Г. Диагностика повреждений консольной балки с надрезом// Дефектоскопия. 2009. № 6. С. 83-89.

36. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.Машиностроение. 1970. 736 с.

37. Бочарова О.В., Ватульян А.О. Обратные задачи для упругого неоднородного стержня // Известия высших учебных заведений. Северокавказский регион, Серия : Естественные науки. 2008. № 3. С. 33-37.

38. Бочарова О.В., Ватульян А.О. О реконструкции плотности и модуля Юнга для неоднородного стержня // Акустический журнал. 2009. Т. 55. № 3. С. 275-282.

39. Аникина Т.А., Богачёв И.В., Ватульян А.О. Об идентификации неоднородных характеристик вязкоупругих стержней при изгибных колебаниях // Механика композиционных материалов и конструкций. 2011. Т.17. №1. С. 107-115.

40. Hasanov A. Some new classes of inverse coefficient problems in nonlinear mechanics and computational material science // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2011. № 46. P. 667-684.

41. Vikram Singh K., Li G., Pang S-S. Free vibration and physical parameter identification of non-uniform composite beams // Composite Structures. 2006. № 74. P. 37-50.

42. Chang J-D., Guo B-Z. Identification of variable special coefficients for a beam equation from boundary measurements // Automatica. 2007. № 43. P. 732 -737.

43. Ватульян A.O., Солуянов H.O. Идентификация полости в упругом стержне при анализе поперечных колебаний // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49. № 6. С. 1015-1020.

44. Черпаков А.В., Акопьян В.А., Соловьев А.Н., Рожков Е.В., Шевцов С.Н. Идентификация параметров повреждений в упругом стержне с использованием конечно-элементного и экспериментального анализа мод колебаний // Вестник ДГТУ. 2011. Т. 11, № 3(54). С. 312 - 318

45. Шевцов С.Н., Акопьян В.А., Рожков Е.В. Решение задачи идентификации повреждений в упругом стержне на основе модели балки Тимошенко // Дефектоскопия. 2011. № 7. С. 65 - 78

46. A.D. Dimarogonas. Vibration of cracked structures: a state of the art review // Engineering Fracture Mechanics. 55 (1996) 831 - 857.

47. T.G. Chondros, A.D. Dimarogonas, J. Yao. Vibration of a beam with a breathing crack. Journal of Sound and Vibration. 239 (1) (2001) 57-67.

48. Россихин Ю.А., Шитикова M.B. Аналитический обзор теорий типа Тимошенко для тонкостенных балок открытого профиля // Промышленное и гражданское строительство. 2010. № 9. С. 15-19.

49. Хакимов А.Г. Диагностика повреждений вертикальной штанги на упругой подвеске // Электронный научный журнал «Нефтегазовое дело». 2010. № 1.С. 34.

50. Ахтямов А.М, Ильгамов М.А. Модель изгиба балки с надрезом: прямая и обратная задачи // Прикладная механика и техническая физика. 2013. Т. 54. №1. С. 152- 162.

51. Z. Yu, F. Chu. Identification of crack in functionally graded material beams using the p-version of finite element method // Journal of Sound and Vibrations. 305 (2009) 69 - 84.

52. M. Karthikeyan, R. Tiwari, S. Talukdar. Crack Localization and Sizing in a Beam Based on the Free and Forced Response Measurements // Mechanical Systems and Signal Processing 21 (2007) 1362-1385.

53. L.W. Byrd, V. Birman. Vibrations of damaged functionally graded cantilever beams // Multiscale and Functionally Graded Materials Conference. 2006 (M&FGM2006), Honolulu, 2006.

54. S.M. Mah, O. Sok. Geometrically Nonlinear Static Analysis of Edge Cracked Timoshenko Beams Composed of Functionally Graded Material // Mathematical Problems in Engineering. Volume 2013 (2013), Article ID 871815, 14 pages

55. J. Yang, Y. Chen. Free vibration and buckling analyses of functionally graded beams with edge cracks // Composite Structures. 83 (2008) 48-60.

56. J. Yang, Y. Chen, Y. Xiang, X.L. Jia. Free and forced vibration of cracked inhomogeneous beams under anaxial force and a moving load // Journal of Sound and Vibration. 312 (2008)166-181.

57. D.Y. Zheng, N.J. Kessissoglou. Free vibration analysis of a cracked beam by finite element method // Journal of Sound and Vibration. 273 (2004)457-475.

58. M. Kisa, J. Brandon, M. Topcu. Free vibration analysis of cracked beams by a combination of finite elements and component mode synthesis methods // Computers & Structures. 67 (1998)215-223.

59. R. Ansari, R. Gholami, S. Sahmani. Free vibration analysis of size-dependent functionally graded microbeams based on the strain gradient Timoshenko beam theory // Composite Structures. 94 (2011) 221-228

60. J. Su, N.J. Nigro. Behavior of liquid menisci formed during the extraction of a vertical rod from the free surface of a liquid contained in a finite basin // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 65 (2011) 1011 — 1025.

61. D. Wei, Y. Liu. Buckling of functionally graded Euler-Bernoulli and Timoshenko beams with edge cracks // Fuhe Cailiao Xuebao / Acta Materiae Compositae Sinica. 27 (2010) 124 - 130.

62. A. Saeed, R. Ahmad, A. Reza, F. Anoushiravan. Free vibration of microscaled Timoshenko beams // Applied Physics Letters. 95 (2009) 122 - 143.

63. Ватульян A.O., Бурьян А.Ю., Осипов A.B. Об идентификации переменной жесткости при анализе поперечных колебаний балки // Вестник ДГТУ. Т. 10. №6 (49). С. 825 - 833.. С. 825 - 833.

64. Осипов А.В. Об обратных задачах при изгибных колебаниях балок // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VI Всероссийской школы-семинара, п. Дивноморское. 2011. С. 75.

65. Осипов A.B. Об одной модели балки с тонким разрезом // Современные проблемы механики сплошной среды. Сборник трудов XV международной конференции, г. Ростов-на-Дону. 2011. С. 190- 193.

66. Осипов A.B. Об идентификации дефектов в балках // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара, п. Дивноморское. 2012. С. 97.

67. Осипов A.B. Об изгибно-крутильных колебаниях стержней переменной жесткости // Современные проблемы механики сплошной среды. Сборник трудов XVII международной конференции, г. Ростов-на-Дону.

2012. С. 188- 192.

68. Ватульян А.О., Осипов A.B. Поперечные колебания балки с локализованными неоднородностями // Вестник ДГТУ. 2012. № 8. С. 34 - 40.

69. Ватульян А.О., Осипов A.B. Об определении характеристик тонкого надреза при анализе изгибных колебаний балки // Экологический вестник ЧЭС. 2013. № 2. С. 27 - 34.

70. Осипов A.B. Реконструкция слабой неоднородности в балке // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VIII Всероссийской школы-семинара, п. Дивноморское. 2013. С. 91.

71. Ватульян А.О, Осипов A.B. К идентификации малых дефектов в балках // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела. Труды VII Международной конференции, Донецк - Мелекино, Украина.

2013. т1.С. 80-83

72. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. — 542 с.

73. Прочность, устойчивость, колебания - Справочник в трех томах. Том 1. Под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко - Москва, издательство "Машиностроение", 821 с.

74. Григолюк А.И, Селезов И.Т. Механика деформируемых твердых тел. Т. 5. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. М.: ВИНИТИ, 1973,272 с.

75. Cowper G.R. The Shear Coefficient in Timoshenko's Beam Theorie. Trans. ASME, 1966, E33, № 2, 335 - 340 - РЖМех, 1967, 2B217.

76. Ватульян A.О. Проблемы идентификации неоднородных свойств твердых тел // Вестн. Самар. ун-та. Естеств. науки. 2007. № 4 (54). С. 93-104.

77. Ватульян А.О. К теории обратных задач в линейной механике деформируемого тела// ПММ. 2010. Т. 74. В.6. С. 909-916.

78. Краснов M. JI. Интегральные уравнения (введение в теорию)./ М. Л. Краснов. - М.: Наука. 1975. - 303 с.

79. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений./ И. С. Березин, Н. П. Жидков. - Государственное издательство физико-математической литературы. 1959. - 620 с.

80. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Обратные задачи теории трещин в твердых телах// Известия высших учебных заведений, Сев.-Кавк. рег. 2004.Спецвыпуск «Математика и механика сплошной среды». С.74-80

81. Ватульян А.О., Солуянов Н.О. Об определении местоположения и размера полости в упругом стержне // Дефектоскопия. 2005. №9. С. 44-56.

82. Ахтямов А.М., Аюпова А.Р. О решении задачи диагностирования дефектов в виде малой полости в стержне. // Журнал Средневолжского математического общества. 2010. Т. 12. № 3. С. 37-42.

83. Ахтямов А.М., Каримов А.Р. Диагностирование местоположения трещины в стержне по собственным частотам продольных колебаний. // Техническая акустика. 2010. Т. 10. № 3.

84. Акуленко Л. Д, Костин Г. В. Метод возмущений в задачах динамики неоднородных упругих стержней // ПММ.1992.Т.56,в.З.С. 452-464.

85. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений./ И. С. Березин, Н. П. Жидков. - Государственное издательство физико-математической литературы. 1959. - 620 с.

86. Timoshenko S. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bar./ Phil. Mag., 1921, Ser. 6. 41, № 245, 744 - 746; Timoshenko S.P. The collected papers. New York - Toronto - London, Mc-Graw - Hill Book Co., 1953, 329 - 333.

87. Timoshenko S. Vibration problems in engineering. 3 ed. Van Nostrand, 1955 - РЖМех, 1958, № 10 11488K; Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М., Физматгиз, 1959 - РЖМех, 1960, №2, 241 ОК.

88. Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш. Теория сплайнов и ее приложения. М. - Мир, 1972, 318 с.

89. Ватульян А.О., Беляк O.A., Сухов Д.В., Явруян О.В. Обратные и некорректные задачи. Ростов-на-Дону - Издательство ЮФУ, 2011, 232 с.

90. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн-функций. М. - Наука, 1980, 353 с.

91. Морозов В.А., Регулярные метода решения некорректных задач. М,-Наука, 1987, 240 с.

92. Ватульян А.О., Осипов A.B. К идентификации малых дефектов в балках на основе модели Тимошенко // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 90-летию со дня рождения JI.A. Толоконникова. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 195-200.

93. Осипов A.B. Идентификация параметров тонкого надреза для различных моделей балок // Труды VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. г. Ростов-на-Дону, 2013. С. 133 - 137.