Динамические задачи для пороупругих сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Ляпин, Александр Александрович

• Ляпин, Александр Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ляпин, Александр Александрович

Содержание

Введение

Глава 1. Постановки задач о колебаниях пороупругой среды

и особенности динамического поведения

1.1. Модель пороупругого тела в первой постановке

1.2. Колебания ограниченного пороупругого тела в первой постановке

1.3. Постановка задачи о колебаниях пороупругой полуплоскости с полостью в первой постановке

1.4. Модель пороупругого тела во второй постановке

1.5. Постановка задачи о колебаниях пороупругой полуплоскости с полостью во второй постановке

1.6. Динамическое соотношение взаимности для пороупругих сред

1.7. Вариационная постановка задач пороупругости и ее применение для исследования задач о колебаниях одномерных пороупругих тел

1.8. Некоторые особенности нестационарного воздействия на по-роупругую среду

Глава 2. Метод ГИУ в задачах пороупругости в случае установившихся колебаний

2.1. Фундаментальные решения для пороупругой плоскости в первой постановке

2.2. Фундаментальные решения для пороупругой плоскости во второй постановке

2.3. Построение фундаментальных решений для полуплоскости

и слоя

2.4. Граничные интегральные уравнения для пороупругих сред

Глава 3. Обратные задачи для пороупругих тел

3.1. Постановка обратных коэффициентных задач для неоднородных пороупругих тел

3.2. Применение вариационного принципа для изучения продольных и поперечных колебаний стержней

3.3. Анализ влияния параметра связанности среды на динамическое поведение пористоупругих тел

3.4. Формулировка интегральных соотношений

3.5. Обратная задача по восстановлению переменных модуля упругости и модуля Био пороупругого слоя в режиме толщинных колебаний

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамические задачи для пороупругих сред»

Введение

Пороупругость - это теория, которая исследует связанные поля между деформациями упругого скелета и течением поровой жидкости сквозь него. Впервые данная теория была предложена М.А. Био [54], [55] как теоретическое расширение теории консолидации грунта, разработанной для вычисления осадки структур, расположенных на поропругой, насыщенной жидкостью среде. Теория пороупругости работает с механикой пористых упругих материалов, насыщенных жидкостью. В своей классической форме пороупругость использует закон Гука для упругого поведения пористого скелета и закон Дарси для описания движения жидкости сквозь поры скелета. Эта теория была эффективно применена для исследования множества различных динамических процессов, встречающихся в широком наборе задач для естественных и синтетических материалов, включая геомеханику и биомеханику [94], [88], [133], [134], [86], [111], [138], [62], [63], [143], [49]. Теория Био позволяет смоделировать поведение костной ткани, насыщенной жидкостью, которая имеет широкий спектр функций. Эта жидкость переносит питательные вещества и забирает отходы жизнедеятельности от клеток кости, составляющих костную матрицу. Последние исследования показали, что жидкость играет регулирующую роль в механосенсор-ной системе. Глубокий анализ использования модели пороупругой среды в изучении поведения костной ткани проведен в работе [91]. Естественным расширением классической теории является введение таких понятий, как упруго-пластичность для учета необратимых последствий в поведении пористого скелета. Такие расширения, однако, не совсем точно моделируют материалы, которые сохраняют свой пороупругий характер, но приводят к изменениям в упругом поведении и поведении жидкости в результате микромеханических процессов, приводящих к образованию микротрещин и микропустот в пористых тканях. Исторический очерк развития данной

теории описан в работе Боэра [61].

В основе любой модели механики деформированного твердого тела лежат определяющие соотношения. Определяющие соотношения для поро-упругой среды обобщают известный закон Гука. Исследования показывают, что эти соотношения в самом простейшем варианте содержат четыре независимых материальных константы для изотропного пороупругого тел, причем физический смысл этих констант остается неясным. Этот недостаток физического понимания совместно с недостаточностью лабораторных измерений могли привести к недостаточному применению теории пороупру-гости в геомеханике или биомеханике, однако было выполнено множество работ по преодолению данной проблемы. Так в работах [59], [98], [121], [128], [85] проведен подробный анализ и дано разъяснение физических процессов, происходящих в пороупругой среде. Были описаны связи между упругими, микромеханическими и массовыми константами. Глубокий анализ теории пороупругости в изотропном случае проведен в работе [94]. Хорошо известно, что геоматериалы и многие биометериалы в основном анизотропны. Существующие аналитические [46] и численные [93] результаты демонстрируют, что моделирование анизотропных тел при помощи изотропных моделей может привести к противоречивым результатам. Для практического применения очень важным является не только рассматривать анизотропную модель движения среды, но разработать и провести соответствующие тесты для проведения измерений различных материальных параметров. Расширение изотропной теории на анизотропную впервые было проведено Био в 1955 г. [56] на основе обобщенной формулировки закона Гука. В результате было введено 28 независимых констант в сравнении с 21-й в упругом случае. В 1979 г. Кэрролл в работе [84], а также Томпсон и Уиллис в работе [139] представили микромеханический анализ пороупругой среды. Среди многих результатов - введение тензора коэффициентов Био вместо одного параметра Био. Несмотря на это, применение анизотропной теории

пороупругости мало распространено в силу отсутствия лабораторных испытаний для измерения всех параметров среды. В дальнейшем в работе [47] были приведены измерения наборов различных констант для транс-версально-изотропного глинистого сланца в недренированом состоянии.

Важным аспектом анализа поведения среды в различных ситуациях является анализ ее динамического поведения. Динамический анализ насыщенных жидкостью пористых сред является объектом многих приложений различных отраслей наук, включая геофизику, сейсмологию, биомехнику и многие другие. Квазистатический аспект данной теории, который в основном известен в геомеханике, как консолидация, исследовался учеными многие годы. В квазистатическом анализе эффекты инерции не учитываются. Таким образом, в дополнение к новым приложениям общего анализа, активно развивается анализ динамического поведения пороупругих сред. В своих работах [58], [60] Био описал структуру представления потенциальной энергии пороупругой среды, а также вывел уравнения Лагранжа для описания движения поропругой среды в виде совместного движения твердой и жидкой фракций. Согласно данной теории, динамическое поведение порождает две продольных и одну поперечную волны в среде. Экспериментальное подтверждение существования данных волн подтверждено в работе [101]. В дополнение ко всему Био проанализировал и описал динамическое поведение пороупругой среды в различных частотных диапазонах. На низких частотах медленная волна приобретает диффузионный характер в связи с эффектами вязкости в жидкой фазе, которые доминируют над инерционными эффектами. На высоких частотах инерционные эффекты становятся более весомыми, и медленная волна вносит значительный вклад. Основная причина затухания в пористой среде - это наличие потока жидкости, вызванного волновым движением, который возникает на различных уровнях - макроскопическом, мезоскопическом и микроскопическом [125]. Механизм затухания, описанный теорией Био, функционирует

на макроскопическом уровне. Проявления этого механизма зависят от длины волны и возникают в определенном частотном диапазоне. В диапазоне сейсмических волн сильный вклад вносит механизм потерь, возникающий на мезоскопическом уровне. Так, в насыщенном жидкостью песчанике диффузия поровой жидкости между различными частями рассеивает энергию в медленном режиме колебаний. Уайт [146] был первым, кто ввел механизм потерь в теории Био. На микроскопическом уровне возникает так называемый механизм струи [125], при помощи которого поток из контактной зоны между зернами среды протекает в поровое пространство и обратно.

Исследованию динамических процессов, протекающих в пороупругой среде, уделено множество работ как отечественных, так и зарубежных ученых. Данная проблематика включает в себя огромное число теоретических и практических задач. Анализу фундаментальных решений для пороупру-гих сред посвящены работы зарубежных и отечественных ученых, в частности в работах Нижегородской школы механиков [1], [2], [7], [3], [25], [26] , где проанализированы фундаментальные решения для изотропной среды Био в нестационарном режиме, сформулированы системы ГИУ и получены численные результаты для ряда практически важных задач.

Вопросам распространения волн в поропругой среде посвящены работы Ростовских ученых. Исследование волновых процессов в слоистой среде и полупространстве проведено в [40],[41], многие аспекты контактных задача и проблемы наличия трещин в среде изучены в [27], [131], [132].

В рамках геомеханики существуют подходы, позволяющие моделировать распространение волн внутрь грунта [99], [23], [24], [38], [39], [45], [44], [64], [109]. Объектом исследований геомеханики является изучение сейсмограмм, которые записываются наборами сенсоров. При моделировании используются различные уравнения, описывающие динамику, для решения которых существует множество методов, которые можно классифицировать по трем основным группам: прямые методы, методы интегральных

уравнений, методы рассеивания. Для решения уравнений прямыми методами области разбиваются некоторой сеткой, состоящей из конечного числа узловых точек. Множество работ посвящено использованию методов переотражений для решения задач пороупругости. Данные методы к примеру применены для решения задач со слоистыми областями [135], [142] и для цилиндрических структур [129]. Отметим, что многие вычислительные алгоритмы могут быть эффективно использованы, как средства исследования и практического применения, где использование аналитических методов крайне затруднительно. Детальный обзор различных прямых методов может быть найден в работах [73], [74], [82], [80], [83], [75], [76], [78], [81] , [72], [79], [77], где авторы описывают методы интегрирования по времени, аппроксимации частных производных и физических граничных условий, а также множество других тонкостей численного анализа начально-краевых задач.

Важным фактором является определение рабочего диапазона параметров, в котором влияние пороупругих эффектов присутствует и вносит весомый вклад в динамическое поведение, либо незначительно. Вообще говоря, отражения от одиночных интерфейсов и распространение волн в однородной среде может быть смоделировано при помощи эквивалентных упругих либо вязкоупругих моделей [102]. В случае, когда длина интерфейсных волн с учетом гетерогенности на соответствующих уровнях меньше длины волны возбуждающего сигнала, пороупругие эффекты вносят значительные изменения в картину динамического поведения среды.

Анализ пороупругих сред традиционно сконцентрирован на выяснении взаимоотношений между параметрами ненасыщенной среды, которые обычно известны, и насыщенной жидкостью среды, которые подразумеваются неизвестными. Тем не менее, существует множество приложений в данной области исследований, для которых основные измерения могут быть проведены только для насыщенной среды и затем остается неизвест-

ным, какие эффекты вносит наличие жидкости в среде. Исследование влияния пороупругих модулей, измеренных для ненасыщенного образца и влияние поровой жидкости на поведение всей системы часто носят различные названия и имеют различные значения в литературе. Множество достаточно подробных исследований по данным вопросам можно найти в [58], [57], [136], [70], [50], [ИЗ],[104], [51], [52], [105], [53]. Однако же обратная задача об определении констант ненасыщенной среды через характеристики насыщенной редко описывается и некоторые аспекты могут быть найдены, например, в работах [149] [150]. Как бы то ни было, данный важный вопрос возникает в различных прикладных задачах довольно часто. Например, в задачах океанологии прибрежной зоны [145] или же задачах насыщения грунта при землетрясениях [107], [144], во многих задачах биомеханики таких, как ремоделирование костной ткани или моделирования остеопороза [92], [147].

Более современные теории сплошных сред такие, как теория смесей [141], [68] описывают движение пороупругой среды с по существу подобными характеристиками [97], [106], [124], [69], [48]. Фундаментальные решения, которые позволяют описать отклик в среде от воздействия сосредоточенного усилия, необходимы для исследования различных динамических процессов. Фундаментальные решения применительно к квазистатической теории были получены в работе [87] и в дальнейшем значительно скорректированы в [130]. В динамическом случае реакция среды от действия сил на границе полупространства была исследована в [123], [103].

Отдельной ветвью исследования теории пороупругости является применение данной теории к изучению свойств биологической ткани. Исследованию процессов, протекающих в костной ткани при помощи моделей пороупругости [91], посвящено значительное количество работ. Многие фундаментальные проблемы и важные данные по параметрам сред приведены в монографии Л.Б. Маслова [37]. В этой монографии освещены многие во-

просы, связанные с моделями движения среды, переход к эффективным модулям материала, а также различные результаты моделирования задач биомеханики кости. Различные аспекты решения задач, связанных с биомеханикой костной ткани, подробно представлены в работах [33], [6], [5], [36], [34], [35].

Многие исследуемые среды в своей структуре могут содержать какие-либо неоднородности, полости или же дефекты типа расслоения или трещин. Для учета такого вида объектов необходимо использовать соответствующие методы анализа такого вида геометрии объектов. Одним из эффективных методов анализа динамического поведения пороупругих сред с неоднородностями описанного вида является метод граничных интегральных уравнений и основанный на нем метод граничного элемента [8]. В основе метода граничных интегральных уравнений лежит представление решений в виде некоторых интегралов по границе области. Для построения таких интегральных представлений необходимо знать фундаментальные решения для пороупругой среды. Первая попытка получить динамические фундаментальные решения в неограниченной пороупругой среде была предпринята в работе [71], где в дополнении к прочему представлена общая процедура построения решений, используемая в методах для седловых точек и для построения полей смещений в дальней зоне от действия точечного источника. Альтернативную формулировку решений представили в своих работах Боннэ [65] и Боутин [67]. Они использовали подход, полученный из обобщенной теории с применением метода В.Д. Купрадзе [110] для аналогичных уравнений обобщенной термоупругости. Необходимо отметить, что хотя Био и разработал термоупругую аналогию для квазистатического случая, он никогда не использовал эту аналогию для динамического нестационарного случая.

Многие искусственные либо же природные среды по своей структуре являются неоднородными. Если в первом варианте пространственное

распределение характеристик в некоторых случаях может быть задано на этапе производства, то во втором информация о структуре неоднородности неизвестна, а в случае биологических тканей еще и вносит весьма значительные трудности в определение неоднородности. В этом случае одним из эффективных методов является реконструкция неоднородных характеристик на основе методов акустического сканирования, опирающихся на аппарат обратных коэффициентных задач. В случае неизвестной границы тела либо же полости или дефекта эффективным методом решения прямой задачи является метод граничного элемента.

Другим типом обратных задач являются коэффициентные обратные задачи где требуется восстановить распределение некоторой характеристики среды, входящей в систему дифференциальных уравнений, зная некоторую априорную информацию на границе среды. Изучением таких задач активно занимаются в ростовской школе механиков под руководством А.О. Ватульяна. Значительное число работ опубликовано в различных всероссийских и зарубежных авторитетных изданиях совместно с его учениками за продолжительный период времени. Среди последних работ многие посвящены обратным задачам по восстановлению параметров вязко-упругих сред [4], [11], электроупругих сред [9] , термоупругих сред в нестационарном случае [12], а также восстановлению предварительного напряженного состояния одномерного и двумерного характера в упругих телах [13], [14], [15], [16].

Актуальность темы исследования.

Исследованием пороупругих сред ученые начали заниматься с середины XX века, основываясь на фундаментальных работах М.А. Био. На сегодняшний день проведено множество теоретических и практических исследований в этом разделе механики деформируемого твердого тела. Растет количество областей знания, где возможно применить модели поро-упругой насыщенной среды для анализа динамических процессов. Многие

волновые процессы, протекающие в грунте, могут быть эффективно описаны данными моделями, а наличие в среде полостей либо неоднородностей требует разработки соответствующих методов решения таких задач. Некоторые биологические ткани такие, как костная ткань, по своей природе также обладают пористой структурой и насыщены биологической жидкостью. В этом направлении изучение моделей пороупругих сред также актуально для исследования задач биомеханики, что может помочь в различных областях практической ортопедии. Более того, большинство биологических тканей являются неоднородными по своему строению и требуют соответствующего учета неоднородности. Описание же распределения неоднородных характеристик пороупругой насыщенной жидкостью среды по данным акустического зондирования является новой и актуальной задачей.

Цели и задачи диссертационной работы:

Основной целью представляемой диссертационной работы является исследование динамических процессов, протекающих в пороупругих насыщенных жидкостью средах, анализ учета влияния параметра связанности среды на ее динамическое поведение, а также разработка метода реконструкции неоднородных пороупругих характеристик.

Научная новизна.

В настоящей работе построены фундаментальные решения для транс-версалыю-изотропной пороупругой среды в режиме установившихся колебаний, а также осуществлен вывод граничных интегральных уравнений для сред с полостями в режиме установившихся колебаний, что является новым результатом.

Учет неоднородности среды является необходимым требованием для исследования задач о динамическом поведении таких объектов, как костная ткань. Так в задачах о ремоделировании костной ткани требуется заранее знать функции распределения неоднородных характеристик для правильной оценки состояния костного регенерата в зоне перелома. В случае

биологических объектов такая информация неизвестна и требует соответствующего анализа и механизма определения. Метод акустического зондирования заключается в том, что исследуемый объект подвергается осциллирующему во времени механическому воздействию на определенной частоте и по снятой информации о перемещениях или ускорениях на некотором участке границы решается обратная задача, и делается вывод о распределении той или иной характеристики. Изучению таких задач для пороупругих сред посвящено крайне мало работ. Более того, построенное в рамках представляемой диссертационной работы обобщенное соотношение взаимности для пороупругой насыщенной жидкостью среды является совершенно новым результатом, позволяющим формулировать итерационные процессы и интегральные уравнения для определения соответствующих характеристик неоднородной пороупругой среды.

Положения, выносимые на защиту:

1. Сформулировано обобщенное соотношение взаимности для неоднородных пороупругих тел

2. Сформулирован вариационный принцип для задач пороупругости

3. Построены фундаментальные решения для пороупругой среды в случае установившихся колебаний и исследованы их свойства

4. Сформулированы системы ГИУ для исследования колебаний пороупругой полоуплоскости с полостью

5. Разработан метод идентификации одномерных пороупругих неоднородных характеристик на основе акустического зондирования

6. Проведены вычислительные эксперименты в задачах реконструкции

Достоверность и апробация результатов.

Достоверность представленных результатов основана на строгом аналитическом аппарате математической теории пороупругости, применении известных эффективных методов решения дифференциальных и интегральных уравнений, сравнении полученных результатов с известными классическими решениями, а также проведением достаточного числа вычислительных экспериментов по реконструкции неоднородных характеристик поро-упругих тел.

Результаты диссертационной работы были представлены в ряде всероссийских и международных конференциях, среди которых:

1. "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете", VI всероссийская школа-семинар, п. Дивноморское, 2011 г.

2. "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете", VII всероссийская школа-семинар, п. Дивноморское, 2012 г.

3. XV международная конференция "Современные проблемы механики сплошной среды", г. Ростов-на-Дону, 2011 г.

4. XVI международная конференция "Современные проблемы механики сплошной среды", г. Ростов-на-Дону, 2012 г.

5. Международная научно-практическая конференция "Строительство-2011", г. Ростов-на-Дону, 2011 г.

6. Международная научно-практическая конференция "Строительство-2012", г. Ростов-на-Дону, 2012 г.

7. "Обратные и некорректные задачи математической физики", международная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения

академика M.M. Лаврентьева, Новосибирск, 2012 г.

8. "Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках": XXII международная научная школа им. С.А. Христиановича. - Симферополь: Таврический национальный университет, 2012 г.

Публикации.

По теме диссертационного исследования опубликовано 10 работ [17], [18],[19], [20], [21], [28], [29], [30], [31], [32], из которых [17], [18], [19] - статьи представлены в журналах из "Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук", утвержденного ВАК РФ.

Личный вклад автора. Ряд работ выполнен в соавторстве. В работе [18] Ватульяну А.О. принадлежит подход, связанный с выводом динамических соотношений взаимности, а Ляпину A.A. реализация предложенных идей и анализ полученных результатов. В работе [19] Ватульяном А.О. предложен способ вывода аналога функционала Лагранжа для пороупру-гой среды, Ляпину A.A. принадлежит реализация описанного подхода, а также вывод на основе полученного вариационного принципа моделей движения среды и соответствующих граничных условий для одномерных колебаний пороупругого стержня. Ватульяну А.О. принадлежит предложенная в работе [17] методика формулировки интегральных уравнений на основе соотношения взаимности, также использованных в работах [20],[21], Ляпи-ным A.A. данный подход реализован и апробирован на примере задач о восстановлении упругого модуля и модуля Био пороупругого слоя в режиме толщинных колебаний, а также пороупругого стержня и колонны в работах [28], [29]. В работах [28], [29] Козину C.B. принадлежит программная реализация итерационного процесса решения обратной задачи о восстановлении

характеристик пороуиругого стержня, Ляпину A.A. принадлежит решение прямой задачи и проведение численных экспериментов по восстановлении характеристик. Во всех приведенных работах Ляпину A.A. принадлежит реализация численных методов решения соответствующих уравнений, программная реализация математических методов в различных компьютерных средах и проведение численных экспериментов.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Глава 1 посвящена обзору моделей движения пороупругой среды, а также некоторым важным вопросам ее динамического поведения. В параграфах 1.1-1.5 рассматриваются две различных постановки модели движения пороупругого континуума, которые чаще всего встречаются в литературе. Представлен анализ приведенных моделей, а также рассмотрены постановки задач о колебаниях ограниченного пороупругого тела для обеих моделей.

В параграфе 1.6 демонстрируется вывод обобщенного соотношения взаимности для неоднородных пороупругих сред, позволяющего формулировать интегральные уравнения для задач реконструкции различных характеристик среды, а также применять его для формулировки интегральных представлений решений в задачах, когда исследуемая среда содержит полость.

Важным результатом, описанным в параграфе 1.7, является аналог вариационного принципа Лагранжа для пороупругой среды в случае установившихся колебаний. Данный принцип был получен на основе введения кинематически возможных полей смещений и порового давления и дальнейшего преобразования исходной системы. Полученный аналог функционала Лагранжа позволяет из условия его стационарности вывести системы уравнений и граничные условия для различных упрощенных моделей пу-

тем введения соответствующих гипотез.

Параграф 1.8 посвящен некоторым особенностям нестационарного возмущения пороупругой среды. В рамках исследования был рассмотрен аналог задачи Даниловской о внезапном воздействии волны порового давления на пороупругое полупространство. Важной частью анализа нестационарных процессов является построение передаточной функции. Для поставленной задачи такой функцией является отношение функции смещений на границе полупространства к функции давления, возбуждаемого на этой границе. Передаточная функция была построена аналитически и для различных явных значений функции давления получены аналитические представления неизвестных смещений на границе полупространства.

Глава 2 диссертационного исследования посвящена методу граничных интегральных уравнений в задачах пороупругости. В параграфе 2.1 построены явные представления фундаментальных решений для пороупругой полуплоскости в рамках первой модели.

Параграф 2.2 посвящен построению фундаментальных решений для трансверсально-изотропной пороупругой плоскости в рамках второй модели. Данные решения представлены в виде однократных интегралов по бесконечному или конечному промежуткам. Проанализированы корни характеристического уравнения для конкретного вида решений. Полученные значения корней сравнены с известными значениями для упругой среды при помощи предельного перехода от модели пороупругости к упругой модели. Аналогичным образом показана разница и предельный переход между фундаментальными решениями для пороупругой плоскости.

В параграфе 2.3 представлен способ построения фундаментальных решений для пороупругой полуплоскости, слоя, а также многослойной среды.

Параграф 2.4 посвящен выводу граничных интегральных уравнений в задачах пороупругости на примере задачи об установившихся колебаниях трансверсально-изотропной пороупругой полуплоскости с полостью, огра-

ниченной произвольным гладким контуром. Продемонстрирован вывод интегральных представлений решений в среде при помощи динамического соотношения взаимности, полученного в первой главе диссертации. Проанализированы предельные значения соответствующих граничных интегральных операторов на основе специальной техники, разработанной ранее [10], а также представлена методика применения метода граничного элемента для решения граничных интегральных уравнений.

В главе 3 основное внимание уделено вопросам обратных задач для пороупругих сред. В параграфе 3.1 представлена общая формулировка обратных задач для ограниченного пороупругого тела.

В качестве примера решения прямой задачи в параграфе 3.2 смоделированы и проанализированы стационарные задачи о продольных и изгиб-ных колебаниях пороупругого стержня. Уравнения движения и граничные условия для описанных задач выведены при помощи вариационного принципа, полученного в первой главе диссертации.

Другим важным результатом, описанным в параграфе 3.3, является анализ влияния коэффициента связанности среды на ее динамическое поведение. Данный анализ проводился на примере задачи о продольных колебаниях пороупругого стержня, уравнения и граничные условия для которой были выведены при помощи описанного в предыдущих параграфах вариационного принципа. Для решения поставленной задачи неизвестные функции были представлены в виде разложения в ряд по степеням параметра связанности. В результате был получен ряд задач при различных степенях модуля Био. Система уравнений при нулевой степени параметра отвечала несвязанной задаче, для последующих же коэффициентов разложения приходится решать неоднородные системы уравнений, но с однородными граничными условиями. Полученная последовательность задач была решена численно, и на каждой итерации был проанализирован вклад соответствующего слагаемого в общее решение задачи. В результате было получено,

что при малых величинах параметра Био, как и предполагалось, влияние связанности мало, однако при увеличении этого параметра до величины некоторых реальных констант влияние становилось значительным.

Параграф 3.4 посвящен формулировке интегральных соотношений на основе обобщенного соотношения взаимности, полученного в первой главе диссертационного исследования. Для восстановления различных параметров среды представлены соответствующие интегральные уравнения.

В параграфе 3.5 представлена задача о восстановлении упругого модуля и модуля Био для неоднородного пороупругого слоя в режиме толщин-ных колебаний. Разработан итерационный алгоритм на основе решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода и метода регуляризации Тихонова, позволяющий решить поставленную задачу. Проведен ряд численных экспериментов по восстановлению описанных характеристик, представлены результаты реконструкции.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта: №10-01-00194-а, Я213-01-0019б-а), а также ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России 2009 - 2013" (коды проектов: П596, №14.132.21.1358, №14.132.21.1360)

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Ляпин, Александр Александрович

Заключение

В работе получены следующие результаты.

1. Рассмотрены и сравнены различные модели для описания движения пороупругой насыщенной жидкостью среды.

2. Для двух моделей пороупругости построены фундаментальные решения для изотропной и трансверсально-изотропной пороупругой плоскости.

3. Получено обобщенное соотношение взаимности, на основе которого и принципа линеаризации сформулированы итерационные процессы и интегральные уравнения для определения некоторых коэффициентов модели движения пороупругой среды.

4. Построен аналог функционала Лагранжа для пороупругой среды и на его основе сформулирована вариационная постановка задач поро-упругости. На примере задач о продольных и поперечных колебаниях сформулированы уравнения движения и соответствующие граничные условия.

5. Сформулирована система ГИУ в пороупругости в случае установившихся колебаний для задачи о колебаниях пороупругой полуплоскости с полостью с заданными силовыми воздействиями на границе.

6. Сформулированы и исследованы обратные задачи о восстановлении законов изменения упругого модуля и модуля Био в задаче о толщин-ных колебаниях неоднородного пороупругого слоя. Проведена серия вычислительных экспериментов по реконструкции, продемонстрировавшая свою работоспособность для различных законов неоднородности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ляпин, Александр Александрович, 2013 год

Литература

1. Аменицкий A.B., Игумнов JI.A., Карелин И.С. Развитие метода граничных элементов для решения проблемы распространения волн в пористых средах // Проблемы прочности и пластичности. 2008. 70. -С. 71-78.

2. Аменицкий A.B., Белов A.A., Игумнов JI.A., Карелин И.С. Гранчиные интегральные уравнения для решения задач трехмерной теории поро-упругости // Проблемы прочности и пластичности. 2009. 71. -С. 164-171.

3. Аменицкий A.B., Белов A.A., Игумнов JI.A. Гранично-элементный анализ динамической осадки пороупругой колонны // Проблемы прочности и пластичности. 2010. 72. -С. 154-158.

4. Аникина Т.А., Богачев И.В., Ватульян А.О. Идентификация неоднородных характеристик вязкоупругих стержней при изгибных колебаниях // Механика композиционных материалов и конструкций. 2011. 1. -С. 107-115.

5. Арсеньев Д.Г., Зинковский A.B., Маслов Л.Б. Математическое моделирование вынужденных колебаний длинных трубчатых костей голени человека методами механики гетерогенных сред // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2008. 54. -С. 273-279.

6. Арсеньев Д.Г., Зинковский A.B., Маслов Л.Б. Эффективные упругие характеристики анизотропной модели пористого биологического материала, насыщенного жидкостью // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2008. 2, -Вып. 54. -С. 273-280.

7. Белов A.A., Игумнов Л.А., Карелин И.С., Литвинчук С.Ю. Примене-

ние метода ГИУ для решения краевых задач трехмерных динамических теорий вязко- и пороупругости // Труды МАИ. 2010. -№ 40. -С. 5.

8. Бенерджи П., Батерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных задачах. -Мир. 1984. -494 с.

9. Богачёв И.В., Ватульян А.О., Дударев В.В., Явруян О.В. Об определении свойств неоднородных электроупругих тел // Теоретическая и прикладная механика. 2012. 4. -Вып. 50. -С. 46-52.

10. Ватульян А.О., Кирютенко А.Ю., Наседкин A.B. Плоские волны и фундаментальные решения в линейной термоэлектроупругости // Прикладная механика и техническая физика. 1996. -Т.37. 5, -С. 135 — 142.

11. Ватульян А.О., Лапина П.А. Об асимптотическом анализе задачи о реконструкции трещины в вязкоупругом слое // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2011. -№3. -С.21-29.

12. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Коэффициентные обратные задачи термоупругости для неоднородных тел // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2009. -№3. -С.24-30

13. Ватульян А. О. К теории обратных коэффициентных задач в линейной механике деформируемого тела // Прикладная математика и механика, РАН. 2010. 6. -С. 911-918

14. Ватульян А.О., Дударев В. В. О некоторых проблемах реконструкции неоднородного предварительно напряженного состояния в упругих телах // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. -Т. 9. -Вып. 4. -Ч. 2. -С.25-32

15. Ватульян А.О., Дударев В. В. О реконструкции неоднородного предварительно напряженного состояния в стержне // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2009. -№3. -С. 18-23

16. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. Физматлит. 2007. 224 с.

17. Ватульян А.О., Ляпин A.A., Об обратных коэффициентных задачах пороупругости // Изв. РАН. МТТ. 2013. 2. -С. 114-121.

18. Ватульян А.О., Ляпин A.A., Динамическая теорема взаимности и фундаментальные решения для пороупругих сред // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2010. -№4. -С. 14-20.

19. Ватульян А.О., Ляпин A.A., О вариационной постановке задач пороупругости в случае установившихся колебаний // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2011. -№4. -С. 20-23

20. Ватульян А.О., Ляпин A.A., О моделях пороупругости и их приложениях к изучению свойств биологических тканей // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VI Всероссийской школы-семинара, пос. Дивноморское. 2011. -С.34

21. Ватульян А.О., Ляпин A.A. Об идентификации характеристик неоднородной пороупругой колонны // Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках: Материалы XXII Междун. научн. школы. Симферополь. 2012. -С. 46-49

22. Ватульян А. О., Явруян О. В., Богачев И. В. Идентификация упругих характеристик неоднородного по толщине слоя// Акустический журнал. 2011. -Т. 57. 6. -С. 723-730.

23. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Лапина О.Н., Фоменко С.И. Распространение волн в пористых водонасыщенных и скважинных структурах // Труды III Всероссийского школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». -2007. -С. 29.

24. Губайдуллин A.A., Болдырева О.Ю. Распространение волн вдоль границы насыщенной пористой среды и жидкости // Акустический журнал. - 2006. - Т.52 - №2. - С. 201-211

25. Игумнов JI.A., Карелин И.С., Петров А.Н. Гранично-элементное исследование влияния коэффициента проницаемости на динамический отлик в составном пороупругом теле // Проблемы прочности и пластичности. 2011. 73. -С. 97-103.

26. Игумнов JI.A., Карелин И.С., Метрикин A.B., Петров А.Н., Банаев М.С., Численное моделирование третьей волны в трехмерном пористо-упругом теле // Проблемы прочности и пластичности. 2012. 74. -С. 146-153.

27. Иоване Дж., Сумбатян М.А. Периодическая система коллинеарных трещин в упругой пористой среде // Известия РАН, МТТ, -2009, 3, -С. 79-88

28. Козин C.B., Ляпин A.A., Индентификация упругих свойств пороупру-гого стержня // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара. 2011. -С.38

29. Козин C.B., Ляпин A.A., Об идентификации характеристик неоднородной пороупругой колонны / / Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XVI международной конференции, г. Ростов-на-Дону. 2012. -С.134-136.

30. Ляпин A.A. Фундаментальны решения трансверсально-изотропной по-роупругой плоскости // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XV международной конференции, г. Ростов-на-Дону. 2011. -С.159-163.

31. Ляпин A.A. Построение фундаментальных решений для пороупру-гих сред // «Строительство-2011» Материалы международной научно-практической конференции, г. Ростов-на-Дону. 2011. -С. 130-131

32. Ляпин A.A. Об установившихся колебаниях пороупругой неоднородной колонны // «Строительство-2012» Материалы международной научно-практической конференции, г. Ростов-на-Дону. 2012. -С. 92-93

33. Маслов Л.Б., Шапин В.И., Смирнов Д.С., Львов С.Е., Блескин Е.В., Применение вибрационных неразрушающих методов диагностики в ортопедии // Российский журнал биомеханики. 2006. -Т. 10. 1. -С. 15-29.

34. Маслов Л.Б., Пороупругая модель колебаний твердых биологических тканей при гармоническом воздействии // Вестник Ивановского государственного энергетического университета. 2009. 3. -С. 51-53.

35. Маслов Л.Б., Арсеньев Д.Г., Зинковский A.B., Численное моделирование вибрационных потоков жидкости в системе пор болыпеберцовой кости // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. 2009. 3. -С. 119-126.

36. Маслов Л.Б., Белов И.А., Лебедева A.A., Исследование резонансных свойств биологических объектов в нормальных физиологический условиях // Вестник Ивановского государственного энергетического университета. 2009. 3. -С. 32-34.

37. Маслов JI.Б. Математическое моделирование колебаний пороупругих систем: монография. - Иваново: ПресСто. 2010. - 264 с.

38. Молотков Л.А. Исследование распространения волн в пористых и трещиноватых средах на основе эффективных моделей Био и слоистых сред. С.Пб. : Наука. 2001. - 248 с.

39. Сеймов В.М., Трофимчук А.Н., Савицкий O.A. Колебания и волны в слоистых средах. Киев: Наука, думка.- 1990. -224 с.

40. Суворова Т.В., Беляк O.A., Усошин С.А. Волновое поле, генерируемое в слоистом пористоупругом полупространстве движущейся осциллирующей нагрузкой // Экологический вестник научных центров ЧЭС, -2008,

1, -С, 53-61

41. Суворова Т.В., Усошина Е.А. Колебания составного гетерогенного слоя // Экологический вестник научных центров ЧЭС, -2010, 2, -С, 74-79

42. Градштейн И. С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (4-е изд.). М.: Наука. -1963. -1100 с.

43. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1986. - 287с.

44. Фоменко С.И., Глушков Е.В. Численно-аналитическое моделирование волновых полей в пористо-упругих слоистых средах. Краснодар: Кубанский гос. университет, 2006. № 3. 43 с.

45. Фоменко С.И. Волновые поля, возбуждаемые поверхностными источниками в пористых водонасыщенных средах // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2007. - № 1. - С. 65-70.

46. Abousleiman Y., Cheng А. Н. D., Cui L., Detournay Е., Roegiers J.-C. Mandel's problem revisited // Geotechnique. 1996. -V. 46. -P. 187-195

47. Aoki T., Tan C. P. and Bamford W. E. Effects of deromation and strength anisotropy on borehole failures in saturated rocks // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. and Geomech. Abstr. 1993. -V. 30. -P. 1031-1034

48. Auriault J.L. Dynamic behaviour of a porous medium saturated by a newtonian fluid //J. Engng Sci. 1980. -V. 18, -P. 775-785.

49. Auriault, J.-L., Geindreau, C., Royer, P., Bloch, J.-F., Boutin, C., Lewandowska, J. (Eds.). Poromechanics II. 2002. 972 p.

50. Berryman, J. G. Confirmation of Biot's theory // Appl. Phys. Lett. 1980. -V. 37, -P. 382-384.

51. Berryman J. G. Transversely isotropic elasticity and poroelasticity aris-ing from thin isotropic layers // Theoretical and Computational Acoustics, edited by Y.-C. Teng, E.-C. Shang, Y.-H. Pao, M. H. Schultz, and A. D. Pierce. World Scientific. Newark, NJ. 1997. -P. 457-474.

52. Berryman J. G. Origin of Gassmann's equations // Geophysics. 1999. -V. 64. -P. 1627-1629.

53. Berryman J. G. Seismic waves in rocks with fluids and fractures // Geo-phys. J. Int. 2007. -V. 40. -P. 608-616

54. Biot, M.A. Le proble'me de la consolidation des matie'res ar-gileuses sous une charge // Annales de la Societe Scientifique de Bruxelles. -V. 55. -P. 110-113

55. Biot, M.A. General theory of three-dimensional consolidation // Journal of Applied Physics. 1941. -V. 12. -P. 155-164

56. Biot M. A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid // J. Appl. Phys. 1955. -V. 26. -P. 182-185.

57. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. II. Higher frequency range //J. Acoust. Soc. Am. 1956. -V. 28. -P. 179-191.

58. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. I. Low-frequency range //J. Acoust. Soc. Am. 1956. -V. 28. -P. 168-178.

59. Biot M. A., Willis D. G. The elastic coefficients of the theory of consolidation // J. Appl. Mech. 1957. -V. 24. -P. 594-601.

60. Biot M.A. Stress-dependent seismic dispersion in fluid-saturated granular media // Journal of Applyed physics. 1962. -V. 33. -P. 1482-1498.

61. de Boer R. Highlights in the historical development of the porous media theory: toward a consistent macroscopic theory // Ap-plied Mechanics Reviews. 1996. -V. 49. -P. 201-262

62. de Boer R. Porous Media: Theory and Experiments // Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands. -1999. -342 pp.

63. de Boer R. Theory of Porous Media // Springer Verlag, Berlin. -2000. -618 pp.

64. Bokov P.M. Stonely wave by an external seismic point source in an infinite fluid-filled borehole embedded in a transversely isotropic formation // Acoust. Phys. 2004. - V. 50 - №2. - P. 126-133.

65. Bonnet G. Basic singular solutions for a poroelastic medium in the dynamic range // J. Acoust. Sot. Am. 1987. -V. 82. -P. 1758-1762.

66. Bonnet R. BIE and material dierentiation applied to the formulation of obstacle inverse problems // Engrg. Anal. Boundary Elements. 1995. -V. 15. -P. 121-136

67. Boutin C., Bonnet G.,Bard P. Y. Green functions and associated sources in infinite and stratified poroelastic media // Geophys. J. R. Astr. Sot. 1987. -V. 90. -P. 521-550.

68. Bowen R. M. Continuum Physics (Edited by A. C. Eringen). Vol. III. Academic Press. New York. 1976. -P. 1-127

69. Bowen R. M. Compressible porous media models by use of the theory of mixtures // J. Engin. Sci. 1982. -P. 697-735.

70. Brown R. J. S., Korringa J. On the dependence of the elastic prop-erties of a porous rock on the compressiblity of the pore flui. Geophysics. 1975. -V. 40. -P. 608-616.

71. Burridge R., Vargas C. A. The fundamental solution in dynamic poroelasticity // Geophys. J. R. Astr. Sot. 1979. -V. 58, -P. 61-90.

72. Carcione, J. M., Quiroga-Goode G. Some aspects of the physics and numerical modeling of Biot compressional waves // Journal of Computational Acoustics. 1995. -V. 3. -P. 261-280.

73. Carcione, J. M. Wave propagation in anisotropic, saturated porous media: Plane wave theory and numerical simulation // Journal of the Acous-tical Society of America. 1996. -V. 99. -P. 2655-2666.

74. Carcione, J. M. Viscoelastic effective rheologies for modeling wave propagation in porous media // Geophysical Prospecting. 1998. -V. 46. -P. 249-270.

75. Carcione, J. M., Helle H. B. Numerical solution of the porovis-coelastic wave equation on a staggered mesh // Journal of Computational Physics. 1998. -V. 154. -P. 520-527.

76. Carcione, J. M., Helle, H. B., Pham, N. H. White's model for wave

propagation in partially saturated rocks: Comparison with poroelastic numerical experiments // Geophysics. 2000. -V. 68. -P. 1389-1398.

77. Carcione, J. M., Seriani, G. Wave simulation in frozen porous me-dia: Journal of Computational Physics // 2001. -V. 170. -P. 676-695.

78. Carcione, J. M., Herman, G., ten Kroode, F. P. E. Seismic modeling // Geophysics. 2002. -V. 67. -P. 1304-1325.

79. Carcione, J. M., Santos, J. E., Ravazzoli, C. L., Helle, H. B. Wave simulation in partially frozen porous media with fractal freezing condi-tions // Journal of Applied Physics. 2003. -V. 94. -P. 7839-7847.

80. Carcione, J. M., Cavallini, F., Santos, J. E., Ravazzoli, C. L., Gauzel-lino, P. M. Wave propagation in partially-saturated porous media: Simula-tion of a second slow wave // Wave Motion. 2004. -V. 39. -P. 227-240.

81. Carcione, J. M., Picotti, S., Gei, D., Rossi, G. Physics and seismic modeling for monitoring C02 storage // Pure and Applied Geophysics. 2006. -V. 163. -P. 175-207.

82. Carcione, J. M. Wave fields in real media: Theory and numerical simulation of wave propagation in anisotropic, anelastic, porous and electromagnetic media, 2nd ed. // Elsevier Scientific Publ. Co., Inc. 2007

83. Carcione, J. M., Gei, D. Theory and numerical simulation of fluid-pressure diffusion in anisotropic porous media // Geophysics. 2009. -V. 5. -P. 31-39.

84. Carroll M. M. An effective stress law for anisotropic elastic deformation // J. Geophys. Res. 1979. -V. 84. -P. 7510-7512.

85. Carroll M. M. Mechanical response of fluid-saturated porous materials // In Theoretical and Applied Mechanics, 15th Int. Cong. Theoretical and

Appl. Mech. Toronto (edited by Rimrott F. J. P. and Tabarrok B.). 1980. -P. 251-262.

86. Cheng, A.H.-D., Detournay, E., Abousleiman, Y. (Eds.). Poroelasticity // Maurice A. Biot Memorial Issue Int. J. Solids Struct. 1998. -V. 35. -P. 4513-5031.

87. Cleary, M. P. Fundamental solutions for a fluid-saturated porous solid // Solids Struct. 1977. -P. 785-806.

88. Coussy, O. Mechanics of Porous Media. John Wiley, New York. 1995.

89. Cowin, S.C., Goodman, M.A. A Variational Principle for Granular Materials // ZAMP. 1976. -V. 56. -P. 281.

90. Cowin, S.C., Nunziato, J.W. Linear elastic materials with voids // Journal of Elasticity. 1983. -V. 13. -P. 125-147.

91. Cowin, S.C. Bone poroelasticity // Journal of Biomechanics. 1999. -V. 32. -P. 217-238.

92. Cowin, S.C. The significance of bone microstructure in mechanotrans-duction //J. Biomech. 2007. -V. 40. -P. 105-109.

93. Cui L., Cheng A. H. D., Kaliakin V., Abousleiman Y., Roegiers J. C. Finite element analysis of anisotropic poroelasticity: A generalized Mandel's problem and an inclined borehole problem // Int. J. Numer. Anal. Meth. Geomech. 1996. -V. 20. -P. 381-401.

94. Detournay, E., Cheng, A.H.-D. Fundamentals of poroelasticity // In: Fairhurst, C. (Ed.), Comprehensive Rock Engineering Principles, Practice and Projects Vol. II, Analysis and Design Methods. Pergamon Press. Oxford. 1993. -P. 113-171

95. Durbin, F. Numerical inversion of Laplace transforms: an efficient improvement to Dubner and Abate's method // The Computer Journal. -1974. - V.17, - P. 371-376.

96. Eshelby, J.D. The Force on an Elastic Singularity // Phil. Trans. Roy. Soc. 1951. -V. 244. -P. 87-112.

97. Garg, S. K. Wave propagation effects in a fluid-saturated porous solid // J. Geophys. Res. 1971. -V. 76. -P. 7947-7962.

98. Geertsma J. The effect of fluid pressure decline on volumetric changes of porous rocks // Petroleum Trans: AIME. 1957. -V. 210. -P. 331-340.

99. Glushkov E., Glushkova N., Golub M., Eremin A. Resonance blocking and passing effects in two-dimensional elastic waveguides with obstacles // Journal of the Acoustical Society of America. 2011. -V. 130. -N. 1. -P. 113-121.

100. Goodman, M.A., Cowin, S.C. A Continuum Theory for Granular Materials // Arch. Rational Mech. Anal. 1972. -V. 44. -P. 249.

101. Van Der Grintin, J. G. M., Van Dongen, M. E. H., Van Der Kogel, H. Strain and pore pressure propagation in a watersaturated porous medium // J. Journal of Applyed physics. 1987. -V. 62. -P. 4682-4687.

102. Gurevich, B. Wave propagation in heterogeneous, porous media: A velocity-stress, finite difference method // Geophysics. 1996. -V. 61. -P. 327-340

103. Halpern, M., Christiano, P. Response of poroelastic halfspace to steady-state harmonic surface tractions // Znt. J. Numer. Anal. Mech. Geomech. 1986. -V. 10. -P. 609-632.

104. Hart D. J., Wang, H. F. Laboratory measurements of a complete set of poroelastic moduli for Berea sandstone and Indiana limestone // J. Geo-phys. Res.100. 1955. -R 17741-17751.

105. Hefner B. T., Williams, K. L. Sound speed and attenuation measure-ments in unconsolidated glass-bead sediments saturated with viscous pore fluids // J. Acoust. Soc. Am. 120. 2006. -P. 2538-2549.

106. Hsieh, L., Yew, C. Wave Motions in a Fluid Saturated Porous Medium // J. Appl. Mech. ASME. 1973. -V. 40. -P. 873-878.

107. Ishibashi, I., Capar, O. F. Anisotropy and its relation to liquefaction resistance of granular material // Soils Found. 2003. -V. 43. -P. 149-159.

108. Kolsky, H. Stress Waves in Solids // Clarendon Press, Oxford. 1953; Dover Press, New York. 1963.

109. Krauklis P.V. New guided wave in a poroacoustic layer Proceedings // International Seminar, Day on Diffraction. 1999. - P. 113-117.

110. Kupradze, V. D. Three Dimensional Problems of the Mathematical Theory of Elasticity and Thermoelasticity // North-Holland, Amsterdam. 1979. -929 pp.

111. Lewis, R.W., Schrefler, B.A. The Finite Element Method in the Static and Dynamic Deformation and Consolidation of Porous Media // John Wiley. New York. 1998. -672 pp.

112. Love, A.E.H., A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity // Cambridge. 1927. -674 pp.

113. Mavko, G., Jizba, D. Estimating grain-scale fluid effects on velocity dispersion in rocks // Geophysics. 1991. -V. 56. -P. 1940-1949.

114. Mellings, S.C., Aliabadi, M.H. Dual boundary element formulation for inverse potential problems in crack identification // Engrg. Anal. Boundary Elements. 1993. -V. 12. -P. 275-281.

115. Mindlin, R.D. Microstructure in Linear Elasticity // Arch. Rational Mech. Anal. 1964. -V. 16. -P. 51.

116. Nishimura, N., Kobayashi, S. A boundary integral equation method for an inverse problem related to crack detection // Int. J. Numer. Methods Engr. 1991. -V. 32. -P. 1371-1387.

117. Nishimura, N., Kobayashi, S. Determination of cracks having arbitrary shapes with the boundary integral equation method // Engrg. Anal. Boundary Elements. 1994. -V. 15. -P. 189-195

118. Nishimura, N. Cracks determination problems. In: Yagawa, G., Miki, C. (Eds.) // Theoretical and Applied Mechanics. 1997. -V. 46. -P. 39-57.

119. Nunziato, J.W., Cowin, S.C. A Nonlinear Theory of Elastic Materials with Voids // Arch. Rational Mech. Anal. 1979. -V. 72. -P. 175.

120. Nunziato, J.W., Walsh, E.K. On Ideal Multiphase Mixtures with Chemical Reactions and Diffusion // Arch. Rational Mech. Anal. 1980. -V. 73. -P. 285.

121. Nur, A., Byerlee, J. D. An exact effective stress law for elastic deformation of rock with fluids // J. Geophys. Res. 1971. -V. 76. -P. 6414-6419

122. Passman, S.L. Mixtures of Granular Materials // Int. J. Engrg. Sci. 1977. -V. 15. -P. 117.

123. Paul, Geophysical methods in geology // Appl. Geophys. 1976. -V. 14. -P. 615-627.

124. Prevost, J. H. Mechanics of continuous porous media // Int. J. Engng Sci. 1980. -P. 787-800.

125. Pride, S. R., Berryman, J. G., Harris, J. M. Seismic attenuation due to wave-induced flow // Journal of Geophysical Research. 2004. -V. 109. -P. 1-19

126. Puri, P. Plane waves in thermoelasticity and magnetothermoelasticity // Int. J. Engng. Sci. 1972. -V. 10. -P. 467.

127. Puri, P., Cowin, S.C. Plane waves in linear elastic materials with voids // Journal of Elasticity. 1985. -V. 15. -P. 167-183.

128. Rice, J. R., Cleary, M. P. Some basic stress diffusion solutions for fluid saturated elastic porous media with compressible constituents // Ref. Geophys. Space Phys. 1976. -V. 14. -P. 227-241.

129. Rosenbaum, J. H. Synthetic microseismograms: Logging in porous formations // Geophysics. 1974. -V. 39. -P. 14-32.

130. Rudnicki, J. W. On fundamental solutions for a fluid-saturated porous solid by M. P. Cleary // J. Solids Struct. 1981. -V. 17. -P. 855-857

131. Scalia A., Sumbatyan M.A. On the properties of integral equations arising in contact problems for porous elastic strip // European journal of mechanics - A/Solids, -2003, 3, -V. 22, P. 489-496

132. Scalia A., Sumbatyan M.A. Contact problem for porous elastic half-plane // Journal of elasticity, -2000, 32, -V. 60, -P. 91-102

133. Selvadurai, A.P.S. (Ed.) Mechanics of Poroelastic Media // Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands. 1996. -398 pp.

134. Selvadurai, A.P.S. On some recent developments in poroelasticity. In: Desai, C.S. et al. (Eds.)// I AC MAG 2001, Proc. 10th Int. Conf. on

Comp. Meth. Adv. Geomech., Tucson, Arizona, vol. 2. A.A. Balkema, The Netherlands. 2001. -P. 1761-1769

135. Stern, M., Bedford, A., Millwater, H. R. Wave reflection from a sediment layer with depth-dependent properties // Journal of the Acoustical Society of America. 1985. -V. 77, -P. 1781-1788

136. Stoll, R. D. Acoustic waves in saturated sediments // Physics of Sound in Marine Sediments, edited by L. Hampton Plenum, New York. 1974. -P. 19-39.

137. Tanaka, M., Masuda, Y. Boundary element method applied to some inverse problems // Engineering Analysis. 1989. -V. 3. -P. 138-143.

138. Thimus, J.-F., Abousleiman, Y., Cheng, A.H.-D., Coussy, O., Detournay, E. Poromechanics. A Tribute to Maurice A. Biot // Proc. Biot Conference on Poromechanics, Louvain-La-Neuve, Belgium. A.A. Balkema, Rotterdam. 1998. -648 pp.

139. Thompson M. and Willis J. R. A reformulation of the equations of anisotropic poroelasticity //J. Appl. Mech. ASME. 1991. -V. 58. -P. 612-616.

140. Toupin, R.A. Theories of Elasticity with Couple Stress // Arch. Rational Mech. Anal. 1964. -V. 17. -P. 85.

141. Truesdell, C., Toupin, R. A., Handbuch der Physik (Edited by S. Flugge), Vol. III/l. // Springer. Berlin. 1960.

142. Turgut, A., Yamamoto, T. Synthetic seismograms for marine sedi-ments and determination of porosity and permeability // Geophysics. 1988. -V. 53. -P. 1056-1067.

143. Wang, H.F. Theory of Linear Poroelasticity with Applications to Geomechanics and Hydrogeology // Princeton University Press. Princeton. NJ. 2000.

144. Wang, C.-Y, Dreger, D. S., Wang, C.-H., Mayeri, Berryman, J. G. Field relations among coseismic ground motion, water level change and liquefaction for the 1999 Chi-Chi earthquake // Geophys. Res. Lett. 2003. -V. 30. -P. 1-4.

145. Williams, K. L., Jackson, D. R., Thorsos, E. I., Tang, D., Schock, S. G. Comparison of sound speed and attenuation measured in a sandy sedi-ment to predictions based on the Biot theory of porous media // IEEE J. Ocean. Eng. 2002. -V. 27. -P. 413-428.

146. White, J. E. Computed seismic speeds and attenuation in rocks withpartial gas saturation // Geophysics. 1975. -V. 40. -P. 224-232.

147. Yoon, Y. J., Cowin, S. C. An estimate of anisotropic poroelastic con-stants of an osteon // Biomech. Model. Mechanobiol. 2008. -V.7. -P. 1-11.

148. Zeng, X., Saigal, S. An inverse formulation with boundary elements. Journal of Applied Mechanics. 1992. -V. 59. -P. 835-840.

149. Zhu, X., McMechan G. A. Direct estimation of the bulk modulus of the frame in a fluid-saturated elastic medium by Biot theory // Proceedings of the 60th International Meeting, Society of Exploration Geophysicists, Expanded Abstracts. 1990. -P. 787-790.

150. Zhu, X., McMechan, G. A. Numerical simulation of seismic responses of poroelastic reservoirs using Biot theory // Geophysics. 1991. -V. 56. -P. 328-339.