Идентификация неоднородных характеристик термоупругих тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Нестеров, Сергей Анатольевич

• Нестеров, Сергей Анатольевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Нестеров, Сергей Анатольевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКИ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ТЕЛ С НЕОДНОРОДНЫМИ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

1.1 Общая постановка коэффициентной обратной задачи термоупругости для неоднородных тел

1.2 Постановки обратных задач для неоднородного термоупругого стержня при тепловом нагружении

1.3 Постановки обратных задач для неоднородного термоупругого стержня при механическом нагружении

1.4 Постановки задач об одновременной реконструкции двух термомеханических характеристик неоднородного стержня

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ

2.1 Сведение задачи о колебаниях неоднородного термоупругого стержня к системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода в трансформантах по Лапласу

2.2 Методы обращения преобразования Лапласа

2.3 Исследование полей смещений и температуры

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ

3.1 Формулировка операторных соотношений на основе слабой постановки задачи термоупругости в пространстве трансформант по Лапласу

3.2 Формулировка операторных соотношений на основе обобщенной теоремы взаимности в трансформантах для термоупругих тел

3.3 Итерационная схема решения одномерных коэффициентных обратных задач термоупругости

3.4 Интегральные уравнения для одновременной реконструкция двух термомеханических характеристик

3.5 Метод линеаризации на основе принципа ортогональности

3.6 Реализация метода Тихонова А.Н

ГЛАВА 4. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

4.1 Результат восстановления коэффициента теплопроводности неоднородного термоупругого стержня

4.2 Результат реконструкции удельной объемной теплоемкости неоднородного термоупругого стержня

4.3 Идентификация коэффициента температурного напряжения неоднородного тнрмоупругого стержня

4.4 Идентификация плотности неоднородного термоупругого стержня

4.5 Определение модуля Юнга неоднородного термоупругого стержня

4.6 Одновременная реконструкция удельной объемной теплоемкости и коэффициента теплопроводности

4.7 Одновременная реконструкция модуля Юнга и плотности

4.8 Итоговый анализ вычислительных экспериментов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Идентификация неоднородных характеристик термоупругих тел»

ВВЕДЕНИЕ

Во многих областях техники часто приходится решать задачи, связанные с нахождением температурных напряжений. Знание термонапряженного состояния тел необходимо для анализа прочности и правильного функционирования элементов конструкций. Расчет температурных напряжений обычно проводят на основе уравнений термоупругости.

Термоупругость - раздел механики деформируемого твердого тела, который начал развиваться в 50-е годы прошлого века. Опираясь на термодинамику необратимых процессов, теория термоупругости связывает две дисциплины - теорию теплопроводности и теорию упругости. Термоупругость - это вполне сформировавшаяся теория: выведены дифференциальные уравнения, получены определяющие соотношения, разработаны методы решения. На начальном этапе своего развития задачи термоупругости решались в рамках теории температурных напряжений, на основе модели Дюгамеля-Неймана. Duhamel J.M. предполагал [11, 49], что полная деформация складывается из упругой деформации и деформации, возникающей из-за теплового расширения. Большой вклад в применение законов термодинамики к изучению термоупругого деформирования внес Biot M.А. [87]. В случае модели связанной термоупругости в уравнениях движения учитывались инерционные члены и слагаемые, пропорциональные градиенту температур, а в уравнениях теплопроводности появлялись слагаемые деформационного нагрева, которые отражали факт перераспределения тепла при изменении объема.

Исследование динамических задач термоупругости берет свое начало в работе Даниловской В.И. [39]. Она в рамках теории температурных напряжений исследовала задачу о тепловом ударе на поверхности полупространства. Muki R. [110] исследовал влияние эффекта связанности полей деформаций и температуры на тепловой удар. Большой вклад в решение динамических связанных задач термоупругости внесли: Гайдук С.И. [37],

Коваленко А.Д. [49], Купрадзе В.Д. [51], Михайлов М.Д. [58], Новацкий В. [73], Сеницкий Ю.А. [80], Brull [88], Hertnarski R.B. [99], Wilms E.V. [116] и др. В [49, 73] выяснено, что для большинства материалов, влияние эффекта связанности на распределение тепловых напряжений незначительно, но для ряда полимеров, обладающих большим параметром связанности, это влияние необходимо учитывать. Упругие волны из-за влияния тепловых эффектов подвергаются дисперсии и затуханию.

Система уравнений связанной термоупругости не может быть отнесена ни к гиперболическому, ни к параболическому типу, что вызывает определенные трудности при исследовании начально-краевых задач. В статье [26] предложено обезразмеривание и построены фундаментальные решения задачи связанной термоэлектроупругости. В настоящий момент для решения задач механики связанных полей интенсивно развиваются численные методы решения, основанные на идеологии методов конечных разностей [12] и конечных элементов [10, 38, 44, 111, 112].

Многие годы слоистые композиты находили широкое применение в качестве покрытий элементов конструкций, работающих в областях с быстрым изменением температуры (обшивка воздушных и космических кораблей, лопастей газовых турбин, режущих инструментов станков, имплантатов в биомедицинской промышленности и т.д.), т.к. обеспечивали необходимые механические и теплофизические свойства конструкции. Например, в качестве теплозащитного покрытия металлической подложки использовался слой керамики [107]. Однако скачки термомеханических характеристик через поверхность раздела между материалами могут привести к большой концентрации напряжений и возникновению пластической деформации или растрескивания. В качестве альтернативы слоистым композитам в последние годы выступают функционально-градиентные материалы [85 , 115].

Функционально-градиентные материалы - класс относительно новых и перспективных материалов, которые изготавливают из-за необходимости

оптимизировать термомеханические свойства конструкций [85, 107]. По сравнению со слоистыми конструкциями в функционально-градиентных материалах нет скачков материальных свойств через поверхность раздела, т.к. они имеют непрерывное изменение материальных свойств [115]. При этом термомеханические характеристики являются не константами, а некоторыми функциями пространственных координат, т.е. материал приобретает пространственную неоднородность.

Неоднородную структуру материалы могут получить не только в процессе изготовления, но и при эксплуатации, под воздействием облучения, сильных магнитных полей, больших перепадов температуры. При этом практически невозможно заранее прогнозировать изменения в структуре материалов, вызванные внешними воздействиями.

В связи с широким внедрением в различные области техники неоднородных материалов, представляющих большой практический интерес, необходимо исследовать начально-креавые задачи механики неоднородных тел. В этой связи отметим монографии, посвященные теории упругости [50, 57, 78] и термоупругости [75] неоднородных тел.

Эффективность практического применения термоупругих неоднородных материалов зависит от знания точных законов неоднородности. Для однородных тел термомеханические характеристики определялись из простых макроэкспериментов и для многих материалов были составлены обширные таблицы. В случае неоднородных тел прямые измерения термомеханических характеристик невозможны, т.к. они представляют собой некоторые функции координат. В этом случае сначала находят значения характеристик, протекающих в теле процессов, например, температуру и перемещения на части границы тела, а затем вычисляют термомеханические характеристики путем решения коэффициентной обратной задачи термоупругости.

Все задачи математической физики можно разделить на два класса: прямые задачи и обратные задачи. Для прямых задач необходимо по известным

причинам найти следствия. К прямым задачам, например, относятся задачи на расчет различных физических полей для сред, свойства которых хорошо известны. В обратных задачах по известным следствиям требуется найти причины. Типы обратных задач зависят от характера причин, в качестве которых могут быть начальные или граничные условия, геометрия области, коэффициенты дифференциальных операторов.

Первая обратная задача была рассмотрена в 1905 г. немецкими учеными Герглотцем Г. и Вихертом Е. [98] в связи с проблемами геофизики и состояла в нахождении скоростей продольных и поперечных волн вдоль радиуса Земли по картине сейсмических волн на поверхности Земли. Благодаря решению этой задачи мы имеем некоторое представление о глубинном строении Земли.

С точки зрения математики обратные задачи обладают рядом особенностей [16]: 1) нелинейностью; 2) неединственностью решения; 3) неустойчивостью по отношению к малым изменениям входной информации.

Исследование единственности является актуальным при решении обратных задач, поскольку дает ответ на вопрос о достаточности данных для однозначного нахождения характеристик. Формулировке и доказательству теорем единственности при решении коэффициентных обратных задач для дифференциальных операторов различных типов посвящено большое количество работ [2, 53, 60, 77, 104 и др.].

При решении обратных задач используется входная информация, которая известна приближенно, потому что все измерительные приборы обладают некоторой погрешностью. Поэтому актуальным в настоящее время является проблема построения численных методов решения обратных задач, обладающих устойчивостью к малым изменениям входной информации.

Обратные задачи, как правило, некорректны. Основателем современной теории некорректных задач является академик Тихонов А.Н. [81, 82], который впервые ввел понятие условно-корректной задачи и регуляризации как способа решения некорректных задач. В дальнейшем методы решения некорректных

задач разрабатывали Бухгейм JI.A. [13], Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. [5], Кабанихин С.И. [45], Лаврентьев М.М. [53, 55], Морозов В.А. [59], Романов В.Г. [76] и др.

При решении обратных задач широко используют два типа постановки задачи. Для первого типа постановки информация о физических полях известна внутри области в какой-либо момент времени. Так, например, в [109] исследуется задача о реконструкции коэффициентов Ламе в биологических тканях, при этом входной информацией является вектор перемещения внутри среды. При такой постановке обратная задача линейна и ее решение сводится к исследованию задач Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка. Однако большинство обратных задач решается на основе второй постановки. При такой постановке информация о физических полях известна лишь на части границе на некотором временном интервале. В этом случае обратная задача существенно нелинейна.

Очень часто на практике исследование обратных задач сводят к решению соответствующих экстремальных задач [2, 47, 74, 96]. Для этого вводится неквадратичный функционал невязки, который минимизируется в конечномерном подпространстве при помощи градиентных методов, а для нахождения градиента функционала используется аппарат сопряженных уравнений. При этом в качестве метода регуляризации используется метод итеративной регуляризации. Известно, что итерационные методы градиентного типа имеют некоторую устойчивость к погрешности входной информации. Первые итерации дают хорошее приближение к точному решению. Однако с ростом числа итераций возникают колебания в решении, которые могут его разрушить. Лаврентьевым М.М. [53] была выдвинута идея прерывать итерационный процесс на некотором номере итерации, согласованном с погрешностью входной информации. Для градиентных методов минимизации имеется обширное теоретическое обоснование [2, 74, 96]. К основным недостаткам таких методов относятся сильное влияние выбора начального

приближения на сходимость итерационного процесса, наличие требований к целевой функции.

Обратные задачи механики связанных полей для неоднородных тел, в т.ч. задачи связанной термоупрутости - малоизученная область механики; имеется небольшое количество публикаций по обратным задачам электроупругости [2325], термоупругости [4, 7, 29-33, 43, 56, 79, 108], пороупругости [42]. В то же время, обратные задачи о нахождении переменных коэффициентов дифференциальных уравнений теплопроводности и теории упругости в отдельности изучены достаточно хорошо.

Приведем некоторые сведения об истории исследования коэффициентных обратных задач теплопроводности, теории упругости и термоупругости.

Первые типы коэффициентных обратных задач теплопроводности были связаны с идентификацией теплофизических характеристик материалов, зависящих от температуры. Дело в том, что при быстром изменении температуры в широком диапазоне тепловые характеристики материалов существенно зависят от температуры. В настоящее время этот вопрос хорошо изучен [2, 13, 41, 60], доказаны теоремы единственности об одновременном определении коэффициентов теплопроводности и теплоемкости нелинейного параболического уравнения [41], проведены вычислительные и натурные эксперименты.

Задачу о реконструкции коэффициента теплопроводности для неоднородных тел исследовали как отечественные, так и зарубежные ученые: Денисов А. М. [40], Кабанихин С.И., Гасанов А., Пененко A.B. [47], Победря Б.Е., Кравчук A.C., Аризпе П.А. [74], Chavent G. [90], Gabriel D. [95], Hao D. [96], Isakov V. [100, 101], Kravaris C., Seinfeld J.H. [105], Xu M.H., Cheng J.C., Chang S.Y [117] и др. При реконструкции коэффициента теплопроводности многими исследователями широко применяется метод оптимизации, основанный на представлении искомого коэффициента комбинацией линейно независимых функций.

В [117] для реконструкции коэффициента теплопроводности неоднородного слоя применен ньютоновский итерационный алгоритм. Для нахождения поправок реконструируемой функции на каждой итерации решается интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода. Неоднородный слой разбивается на горизонтальные однородные слои и прямая задача решается с помощью конечно-разностного метода.

Для нахождения младшего коэффициента параболического уравнения обратную задачу обычно сводят к интегральному уравнению Вольтерра 1-го рода с использованием функции Грина прямой задачи [114].

Динамическую обратную задачу теории упругости впервые рассмотрел Алексеев A.C. [1]. Он исследовал вопрос о единственности нахождения двух характеристик Ламе и плотности как функции глубины полупространства. Затем Романов В.Г. [76 77], Благовещенский A.C. [8], Яхно В.Г. [83, 84] продолжили исследования Алексеева A.C. Они занимались исследованием вопросов единственности, устойчивости решения обратных задач для различных постановок и численной реализацией методов решения.

В дальнейшем задачу реконструкции модулей упругости исследовали как отечественные, так и зарубежные ученые: Аниконов А.Ю. [3], Белишев М.И. [8], Бухгейм А.Л. [13], Кабанихин С.И. [45, 46], Лаврентьев М.М. [54], Chang J-D. [89], Cheng Т.С. [91], Chen G. [92], Jadamba В. [102], Rakesh S. [ИЗ] и др.

Широко применяемым методом решения обратных задач теории упругости является метод операторов Вольтерра [76, 83]. Суть этого метода состоит в том, что, используя некоторые операторные преобразования, выделяют из оператора прямой задачи главный оператор с постоянными коэффициентами и обращают его. При этом исходная задача приводится к интегральному уравнению или системе уравнений с переменными пределами интегрирования. При построении обратного оператора используются фундаментальные решения оператора гиперболического типа с постоянными коэффициентами.

Другим распространенным методом решения обратных задач теории упругости является метод обращения разностной схемы, предложенный Алексеевым A.C. в 1976 г. В дальнейшем метод получил свое развитие в работах Кабанихина A.C. [46]. Суть этого метода состоит в аппроксимации дифференциального оператора разностным. При этом за приближенное решение обратной задачи принимается решение полученной системы нелинейных алгебраических уравнений. Недостатком этого метода является слабая устойчивость к погрешностям входных данных.

При решении нелинейных обратных задач всех типов очень часто используется также метод линеаризации, описанный в работах Алексеева A.C. [1]. Этот метод основан на представлении неизвестных коэффициентов в виде суммы двух функций, одна из которых известна, а другая неизвестна.

В последнее время при решении обратных задач для уравнений гиперболического типа широко используется также метод граничного управления [8].

Для ряда новых материалов необходимо учитывать связанность тепловых и механических полей и решать обратные задачи термоупругости.

Первоначально рассматривались обратные задачи термоупругости для слоистых тел [106, 108], что обусловлено их многочисленными приложениями. В [108] определяются материальные характеристики и толщина трехслойной пластины путем сведения обратной задачи термоупругости к экстремальной и применении градиентного метода минимизации функционала невязки.

В монографии [56] исследования в области обратных задач термоупругости ограничиваются только слабо неоднородными материалами, в которых характеристики изменяются в пределах порядка 10%. В этой работе предложен метод стационарных базовых процессов. Суть этого метода состоит в использовании специальных видов нагружений, которые вызывают в базовых средах процессы стационарного вида. При этом задача диагностики разбивается на две подзадачи: 1) нахождение характеристик термоупругих процессов; 2)

восстановление характеристик среды. Цель диагностики - уточнение термомеханических характеристик. Для этого проводится сравнение термоупругого процесса в неоднородной среде с процессом, протекающим в однородной среде с известными характеристиками.

В [43] найдены специальные режимы, когда обратные задачи об определении термоупругих характеристик, зависящих от времени и пространственных переменных, допускают явные решения.

Статьи [4, 79] посвящены исследованию задач о нахождении термомеханических характеристик неоднородного полупространства, таких как коэффициент теплового расширения, плотность, параметры Ламе. В [4] исследуется задача реконструкции коэффициента теплового расширения, являющегося функцией температуры. В качестве входной информации выступает третья компонента вектора перемещения, известная на конечном временном интервале в определенной точке границы среды, которая возникает в результате теплового удара. При решении прямых задач исходят из модели несвязанной термоупругости. Поэтому в [79] сначала определяется температура из решения задачи теплопроводности. Полученное поле температуры определяет массовые силы в уравнениях движения. Восстанавливается только одна характеристика при известных остальных. В качестве примеров реконструкции были взяты различные модельные функции: линейная, квадратичная, ступенчатая. Прямая и обратная задачи решались конечно-разностным методом.

Часто функциональные зависимости термомеханических характеристик предполагаются одномерными, поэтому исследование обратных задач естественно начать с задач для стержней, являющимися самыми распространенными элементами конструкций. К этому моменту времени проблема реконструкции тепловых и механических характеристик стержня исследована в ряде работ.

В работе [94] приводится решение обратной задачи о реконструкции жесткости неоднородной колонны по деформациям. Функция жесткости представлена в виде многочлена. Для нахождения коэффициентов разложения жесткости получена система алгебраических уравнений.

Идентификации кусочно-постоянных характеристик балки посвящена статья [86]. Динамическая обратная задача сводится к спектральной с помощью разложения в ряды, а реконструкция неизвестного коэффициента происходит через отображение Дирихле-Неймана.

Решению задачи идентификации плотности и изгибной жесткости неоднородной балки при анализе ее крутильных колебаний посвящена статья [89]. Входной информацией является смещение и угловая скорость на свободном конце стержня.

В работах [14, 15] представлен альтернативный подход к идентификации неоднородных характеристик упругого стержня при анализе его установившихся продольных, изгибных и крутильных колебаний. Сначала восстанавливался один коэффициент, при известных остальных. Решение нелинейных обратных задач о реконструкции модуля Юнга и плотности строилось на основе итерационного процесса, на каждом этапе которого решалась линейная задача. При этом линеаризация осуществлялась либо на применении условия ортогональности [14], либо на формулировке обобщенного соотношения взаимности [15]. Прямая задача была сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода. Проведены вычислительные эксперименты. В [15] построено решение об одновременной реконструкции двух механических характеристик из анализа двух независимых экспериментов.

В [23, 24] рассмотрена обратная задача электроупругости об определении закона изменения пьезомодуля по известной информации о смещения торца стержня как функции времени. Прямая и обратная задачи рассматриваются в пространстве изображений по Лапласу, минуя процедуру обращения. Это

приводит к интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода с простыми ядрами.

В [25] приведено решение коэффициентной обратной задачи электроупругости. На основе применения слабой постановки прямой задачи электроупругости получены операторные соотношения, связывающие искомые и заданные функции. Проведены вычислительные эксперименты по реконструкции неоднородного модуля податливости электроупругого стержня.

Проведенный анализ литературы по коэффициентным обратным задачам свидетельствует об актуальности дальнейшей разработки методов идентификации неоднородных характеристик термоупругих тел конечных размеров.

Целью диссертационной работы является решение задач об определении неоднородных характеристик термоупругого стержня при его продольных колебаниях. Для этого построены операторные уравнения, связывающие искомые и заданные функции, проведены вычислительные эксперименты по реконструкции термомеханических характеристик. Обезразмеренная прямая задача о продольных колебаниях неоднородного термоупругого стержня сведена к системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода в изображениях по Лапласу, которая решалась численно на основе метода коллокаций с применением квадратурной формулы трапеций. Полученные решения в трансформантах обращались двумя способами: на основе теории вычетов и с использованием метода Дурбина [93]. Изучено влияние на поля безразмерных температуры и смещений параметра связанности, типа нагружения и различных законов неоднородности. Приведены постановки обратных задач об идентификации термомеханических характеристик неоднородного стержня как в пространстве трансформант, так и в оригиналах. При этом реконструкция одной характеристики по известным остальным происходила по результатам одного эксперимента, а процедура одновременной реконструкции двух термомеханических характеристик опиралась на анализ

результатов двух независимых экспериментов. Для нахождения поправок реконструируемых функций построен итерационный процесс, на каждом шаге которого необходимо решать интегральное уравнение или систему уравнений Фредгольма 1-го рода. В качестве метода регуляризации при решении интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода применялся метод Тихонова А.Н. [81]. Приведены результаты вычислительных экспериментов для различных законов неоднородности. Численная реализация предложенных алгоритмов осуществлена в пакете Maple.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе диссертации рассмотрена общая постановка многомерной коэффициентной обратной задачи термоупругости для неоднородных тел и постановки коэффициентных обратных задач термоупругости для неоднородного стержня в пространстве трансформант и в оригиналах.

В п. 1.1 сформулированы общие постановки прямых и обратных динамических задач термоупругости в оригиналах и трансформантах.

В п. 1.2 сформулированы постановки обратных задач термоупругости в оригиналах и трансформантах для неоднородного стержня при тепловом способе возбуждения продольных колебаний. В качестве дополнительной информации выступают значения безразмерного приращения температуры либо его трансформанты на торце стержня. Необходимо восстановить одну из безразмерных переменных характеристик: коэффициент теплопроводности, удельную объемную теплоемкость, коэффициент температурного напряжения при известных остальных.

В п. 1.3 сформулированы постановки обратных задач термоупругости в оригиналах и трансформантах для неоднородного стержня при механическом способе возбуждения продольных колебаний. В качестве дополнительной информации выступают значения безразмерного смещения либо его трансформанты на торце стержня. Необходимо восстановить одну из

безразмерных характеристик: плотность, модуль Юнга, коэффициент температурного напряжения при известных остальных.

В п. 1.4 сформулированы постановки в оригиналах обратных задач по одновременной реконструкции двух термомеханических характеристик неоднородного термоупругого стержня при совместном анализе продольных колебаний, возбужденных нагрузками с различными законами изменения.

Во второй главе изложены методы решения прямых задач для неоднородного термоупругого стержня.

В п. 2.1 краевая задача подвергается обезразмериванию и сводится к системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода в пространстве трансформант, которая решается численно на основе метода коллокаций.

В п. 2.2 изложены два эффективных метода нахождения обратного преобразования Лапласа, широко применяемых при решении нестационарных динамических задач: метод Дурбина и применение теории вычетов.

В п. 2.3 проведено исследование влияния различных законов изменения механической и тепловой нагрузки, параметра связанности и законов неоднородности на поля безразмерных смещений и температуры.

В третьей главе диссертации изложены методы решения коэффициентных обратных задач термоупругости для неоднородных тел. В работе представлены три способа получения операторных соотношений, связывающих искомые термомеханические характеристики с

трансформантами перемещений и приращения температуры на части границы тела: применение слабой постановки прямой задачи, формулировка обобщенного соотношения взаимности и линеаризация на основе принципа ортогональности. Построен итерационный процесс, на каждом шаге которого необходимо решать интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода. Приведена реализация метода Тихонова А.Н. при решении интегрального уравнения Фредгольма 1 -го рода в трансформантах и оригиналах.

В п. 3.1 для построения операторных соотношений получена слабая постановка прямой задачи термоупругости в трансформантах по Лапласу. После линеаризации нелинейных операторных соотношений была получена система двух интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода в трансформантах для нахождения поправок термомеханических характеристик.

В п. 3.2 на основе применения обобщенного соотношения взаимности в трансформантах и линеаризации были получены операторные уравнения, совпадающие с полученными ранее в параграфе 3.1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нестеров, Сергей Анатольевич, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алексеев A.C. Обратные динамические задачи сейсмики // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука, 1967. С. 9-84.

2. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.

3. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука (Сиб.отд.), 1978. 118 с.

4. Апбасов С.О., Яхно В.Г. Определение характеристик изотропной вертикально неоднородной несвязанной термоупругой среды // Вопросы корректности задач математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1986. С. 26-37.

5. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во Московск. ун-та, 1989. 198 с.

6. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. 632 с.

7. Бахышев Ш.М. Одномерные обратные задачи термоупругости // ИФЖ. 1993. Т.65. №1. с. 98-104.

8. Белишев М.И., Благовещенский A.C. Динамические обратные задачи теории волн. Санкт-Петербург: Изд-во СПбГУ, 1999. 266 с.

9. Белов Ю.А., Полынцева C.B. Об одной задаче идентификации двух коэффициентов многомерного параболического уравнения // Докл. РАН. 2004. Т.396. №5. С. 583-586.

10. Белоконь A.B., Наседкин A.B. Расчет некоторых типов задач термоэлектроупругости с использованием пакетов ANSYS и ACELAN // Известия вузов. Сев. кавк. регион. Спецвыпуск «Математика и механика сплошной среды». 2004. С. 52-55.

11. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964.517 с.

12. Бородин П.Ю., Галанин М.П. Динамическая связанная задача термоупругости в различных пространственных приближениях //Мат. моделирование. 1998. Т. 10. №3. С. 61-82.

13. Бухгейм A.JI. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988. 184 с.

14. Бочарова О.В., Ватульян А.О. Обратные задачи для упругого неоднородного стержня // Известия вузов. Сев. кавк. per. Сер. Естеств. науки.

2008. №3. С. 33-37.

15. Бочарова О.В., Ватульян А.О. О реконструкции плотности и модуля Юнга для неоднородного стержня // Акустический журнал. 2009. Т.55. №3. С. 275-282.

16. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2007. 224 с.

17. Ватульян А.О. О некоторых постановках обратных коэффициентных задач для линейных операторов // Известия вузов. Сев. кавк. per. Сер. Естеств. науки. 2009. Спецвыпуск «Актуальные проблемы механики». С. 50-54.

18. Ватульян А. О., Соловьев А. Н. Об итерационном подходе в обратных задачах теории упругости // Экологический вестник научных центров ЧЭС 2006. №1. С. 23-29.

19. Ватульян А.О. Интегральные уравнения в обратных задачах определения коэффициентов дифференциальных операторов теории упругости //Докл. РАН. 2005. Т.405(3). С. 343-345.

20. Ватульян А.О. Проблемы идентификации неоднородных свойств твердых тел // Вестник Самар. ун-та. Естеств. науки. 2007. № 4(54). С. 93-104.

21. Ватульян А.О. О вариационном подходе при исследовании обратных коэффициентных задач в теории упругости // Владикавказский, матем. журнал.

2009. Т.Н. Вып. 1.С. 3-8.

22. Ватульян А.О. К теории обратных задач в линейной механике деформируемого тела// ПММ. 2010. Т.74. Вып.6. С. 909-916.

23. Ватульян А.О., Домброва О.Б. Об определении неоднородной поляризации пьезоэлемента. //Дефектоскопия. 1999. №3. С. 8-12.

24. Ватульян А.О., Домброва О.Б. Коэффициентные обратные задачи электроупругости // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды V Межд. конф. Ростов-на-Дону. 1999. Т.2. С. 48-52.

25. Ватульян А.О., Дударев В.В. О реконструкции неоднородных свойств пьезоэлектрических тел // Вычислительная механика сплошных сред. 2012. Т.5. №3. С.259-264.

26. Ватульян А.О., Кирютенко А.Ю., Наседкин A.B. Плоские волны и фундаментальные решения в линейной термоэлектроупругости // ПМТФ. 1996. Т.37. №5. С. 135-142.

27. Ватульян А.О., Ковалева В.В. Вариационный принцип термоэлектроупругости и его применение в задаче о колебаниях тонкостенного элемента//ПМТФ. 2002. Т.43. №1. С. 196-201.

28. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об одном подходе к восстановлению коэффициентов переноса // Известия вузов. Сев. кавк. per. Естеств. науки. 2009. №3. С. 39-43.

29. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Коэффициентные обратные задачи термоупругости для неоднородных тел // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2009. №3. С. 24-30.

30. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об особенностях постановки коэффициентных обратных задач для неоднородного стержня // Теоретическая и прикладная механика. Изд-во Донецк, нац. ун-та. 2009. Вып.46. С. 118-124.

31. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об одном подходе к восстановлению коэффициентов переноса и модуля Юнга неоднородного стержня. // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIII Межд. конф. Ростов-на-Дону, 12-15 октября 2009. Т.1. С. 44-48.

32. Ватульян А.О., Нестеров С.А. К определению неоднородных свойств термоупругих тел // Современные проблемы математики, механики, информатики. Труды Межд. науч. конф. Тула, 22-26 ноября 2010. С. 114-118.

33. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об особенностях идентификации неоднородных свойств термоупругих тел // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2011. №1. С.29-36.

34. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об одном подходе к восстановлению неоднородных свойств термоупругих тел // Известия вузов. Сев. кавк. per. Естеств. науки. 2012. №4. С.25-29.

35. Ватульян А.О, Нестеров С.А. Численная реконструкция термомеханических характеристик неоднородного термоупругого стержня // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XVI Межд. конф. Ростов-на-Дону, 16-19 октября 2012. Т.1. С. 50-54.

36. Вестяк В.А., Земсков A.B., Эрихман H.H. Численно-аналитическое решение обратной коэффициентной задачи термоупругости для пластины // Вестник МАИ. 2009. Т. 16. №6. С. 244-249.

37. Гайдук С.И., Добрушин В.А. Решение одной задачи из теории термоупругости, связанной с механическими и тепловыми ударами // Дифф. уравнения. 1979. Т.15. №9. С. 1632-1645.

38. Грибанов В.Ф., Паничкин Н.Г. Исследование эффекта термомеханического взаимодействия методом конечных элементов // Прикл. механика. 1979. Т.15. №6. С. 20-25.

39. Даниловская В.И. Температурные напряжения в упругом полупространстве, возникающие вследствие внезапного нагрева границы // ПММ. 1952. Т. 16. №3. с. 341-344.

40. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994. 208 с.

41. Иванчов Н.И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициента теплопроводности и теплоемкости // Сиб. матем. журн. 1994. Т.

39. №3. с. 612-621.

42. Имомназаров Х.Х., Янгибоев З.Ш. Об одном способе регуляризации одномерных обратных динамических задач для уравнений пористых сред // Обратные и некорректные задачи математической физики. Тез. докл. Межд. конф. Новосибирск, 5-12 августа 2012. С. 270-270.

43. Искендеров А.Д., Гардашов Т.Б., Бахышев Ш.М. Решение некоторых обратных задач для систем уравнений термоупругости // ИФЖ. 1990. Т.58. №2. С.326-327.

44. Исполов Ю.Г., Постоялкина Е.А., Шабров H.H. Новые методы численного интегрирования уравнений связанной термоупругости // Дифф. уравнения и процессы управления. 1993. № 3. http:/www.neva.ru/journal.

45. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009. 457 с.

46. Кабанихин С.И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск: Наука (Сиб.отд.), 1988. 168 с.

47. Кабанихин С.И., Гасанов А., Пененко A.B. Метод градиентного спуска для решения коэффициентной обратной задачи теплопроводности // Сиб. жур. вычисл. мат. 2008. Т.П. №1. С.41-54.

48. Клибанов М.В., Данилаев П.Г. О решении коэффициентных обратных задач методом квазиобращения // Докл. АН СССР. 1990. Т.310. №3. С. 528-536.

49. Коваленко А.Д. Термоупругость. Киев: Вища школа, 1975. 216 с.

50. Колчин Г.Б. Плоские задачи теории упругости неоднородных тел. Кишинев: Штиинца, 1977. 119 с.

51. Купрадзе В.Д., Бучуладзе Т.В. Динамические задачи теории упругости и термоупругости // Итоги науки и техники / Современные проблемы математики. М.:ВИНИТИ. 1975. С. 163-294.

52. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

53. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1973. 71 с.

54. Лаврентьев М. М., Романов В. Г. О трех линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР, 1966. Т. 171. №6. С. 1279-1281.

55. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.

56. Ломазов В.А. Задачи диагностики неоднородных термоупругих сред. Орел: Изд-во ОрелГТУ, 2002. 168 с.

57. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ, 1976. 367 с.

58. Михайлов М.Д. О динамических задачах термоупругости // ИФЖ. 1969. Т.16. №1. С. 132-135.

59. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1987. 240 с.

60. Музылев Н.В. Теоремы единственности для некоторых обратных задач теплопроводности // ЖВМ и МФ. 1980. Т.20. №2. С. 388-400.

61. Найфе А.Ч. Введение в методы возмущений. М.: Мир. 1984. 535 с.

62. Нестеров С.А. Об одном методе решения нестационарной задачи теплопроводности для неоднородного стержня // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. III Всерос. школы-семинара п. Дивноморское, 28 мая-1 июня 2007. С.63-64.

63. Нестеров С.А. О реконструкции коэффициента теплопроводности неоднородного стержня // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. IV Всерос. школы-семинара п. Дивноморское, 2-6 июня 2008. С. 75-76.

64. Нестеров С.А. Об особенностях идентификации теплофизических

характеристик неоднородных тел // Актуальные вопросы современной науки: Сб. науч. трудов Межд. Интернет-конф. Таганрог, 3-5 сентября 2008. С. 85-90.

65. Нестеров С.А. Реконструкция удельной теплоемкости неоднородного термоупругого стержня // Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета. Ростов-на-Дону. 2011. Т.ХУ1. С. 73-77.

66. Нестеров С.А. Идентификация неоднородных свойств термоупругого стержня // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XV Межд. конф. Ростов-на-Дону, 4-7 октября 2011. Т.2. С. 186-190.

67. Нестеров С.А. Проблемы идентификации неоднородных свойств термоупругой среды // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4(4). С. 1657-1658.

68. Нестеров С.А. Об одной коэффициентной обратной задаче термоупругости для стержня // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. VI Всерос. школы-семинара п. Дивноморское, 30 мая-2 июня 2011. С. 72-73.

69. Нестеров С.А. О некоторых одномерных обратных задачах термоупругости и пороупругости // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. VII Всерос. школы-семинара п. Дивноморское, 28 мая-1 июня 2012. С. 94-94.

70. Нестеров С.А. Об особенностях решения коэффициентной обратной задачи термоупругости для стержня // Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета. Ростов-на-Дону. 2012. Т.ХУП. С.59-63.

71. Нестеров С.А. Об особенностях постановки и решения коэффициентной обратной задачи термоупругости для неоднородных тел // Обратные и некорректные задачи математической физики. Тез. докл. Межд. конф. Новосибирск, 5-12 августа 2012. С. 320-320.

72. Нестеров С.А. Численное решение одномерной коэффициентной обратной задачи термоупругости // Математическое моделирование и

биомеханика в современном университете: Тез. докл. VIII Всерос. школы-семинара п. Дивноморское, 27-31 мая 2013. С. 89-89.

73. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.

74. Победря Б.Е., Кравчук A.C., Аризпе П.А. Идентификация коэффициентов нестационарного уравнения теплопроводности // Вычислительная механика сплошных сред. 2008. Т.1. №4. С. 78-87.

75. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1984. 386 с.

76. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 261 с.

77. Романов В.Г. К теоремам единственности одного класса обратных задач // Докл. АН СССР. 1972. Т.104. №5. с. 1075-1076.

78. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984. 472 с.

79. Сатыбаев А.Дж., Калдыбаева Г.А. Об одной динамической одномерной обратной задаче термоупругости // Наука и новые технологии. Бишкек. 2010. №5. С. 3-7.

80. Сеницкий Ю.Э. К решению связанной динамической задачи термоупругости для полубесконечного цилиндра и сферы // Прикл. механика. 1982. Т. 18. №6. С. 34-41.

81. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 230 с.

82. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Докл. АН СССР. 1963. Вып.151. №3. С. 501-504.

83. Яхно В.Г. Обратные коэффициентные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск: Наука, 1990. 304 с.

84. Яхно В.Г. Устойчивость решения одномерных обратных задач упругости //Докл. АН СССР. 1986. Т.286. №6. С. 1369-1372.

85. Aboudi J., Pindera M.Y., Arnold S.M. Thermo-inelastic response of functionally graded composites. Int J. Solids Struct. 1995. №32. P. 1675-1710.

86. Avdonin S.A., Medhin N.G., Sheronova T.L. Identification of a piecewise constant coefficient in the beam equation // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000. №114. P. 11-21.

87. Biot M.A. Thermoelasticity and irreversible thermodynamics // J. Appl. Phys. 1956. Vol.27. P. 240-253.

88. Brull M.A., Soler A.I. On the solution to transient coupled thermoelastic problems by perturbation techniques // Trans ASME. 1965. E 32. №2. P. 389-399.

89. Chang J-D., Guo B-Z. Identification of variable special coefficients for a beam equation from boundary measurements // Automatica. 2007. №43. P. 732-737.

90. Chavent G. Une metode de resolution de probleme inverse dans les equations aux derives partielles // Bulletin de TAcademie Polonaise des Sciences Techniques. 1970. Vol.XVIII. №8. P. 99-105.

91. Cheng T.C., Romanov V.G., Weng C.I. An inverse problem for layered elastic plate // Applied Mathematics and Computation. 2003. Vol.137. P. 349-369.

92. Chen J., Gockenbach M.S. A variational metod for recovering planar Lame" moduli // Math. Mech. Solids. 2002. Vol.7. P. 191-202.

93. Durbin F. Numerical inversion of Laplace transforms: an efficient improvement to Dubner and Abate's method // Comp J. 1974. Vol.17. P. 371-376.

94. Elishakff I. Inverse buckling problem for inhomogeneous columns // Int. J. Solids Struct. 2001. №38. P. 457-464.

95. Gabriel Dimitriau. Parameter identification in a two-dimensional parabolic equation using ADI based solver // Computer science. 2001. Vol.79. P. 479-486.

96. Hao D. Methods for inverse heat conduction problems. Peter Lang pub. Inc. 1998. 114 p.

97. Hasanov A. Some new classes of inverse coefficient problems in nonlinear mechanics and computational material science // Int. J. of Non-Linear Mechanics. 2011. №46. P. 667-684.

98. Herglotz G. Über die Elastizität der Erde bei Berücksichtigung ihrer Variablen Dichte // Z. Math, und Phys. 1905. Vol.52. №3. P. 275-299.

99. Hetnarski R.B. Coupled thermoelastic problem for the half-space // Bull. Acad. Polon. Sei. Techn. 1964. Vol.12. №1.

100. Isakov V. Inverse problem for PDE. Springer - Verlag. 2005. 284 p.

101. Isakov V., Bindermann S. Identification of the diffusion coefficient in a one dimensional parabolic equation // Inverse Problems. 2000. №6. P. 665-680.

102. Jadamba B., Khan A.A., Racity F. On the inverse problem of identifying Lame coefficients in linear elasticity // J. Comput. Math. Appl. 2008. Vol.56. №2. P. 431-443.

103. Jarny Y., Ozisik N., Bardon J.P. A general optimization method using adjoint equation for solving multidimensional inverse heat conduction // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1991. Vol.34. №11. P. 2911-2919.

104. Klibanov M.V. Inverse problems and Carleman estimates // Inverse Problems. 1999. №4. P. 576-596.

105. Kravaris C., Seinfeld J. H. Identification of spatially-varying conductivity from point observation as an in-verse Sturm-Liouville problem // SIAM J. Control &Optim. 1986. Vol.119. P. 522-542.

106. Lee C.R., Kam T.Y. Identification of mechanical properties of elastically restrained laminated composite plates using vibration data // J. of Sound and Vibration. 2006. Vol.295. P. 999-1016.

107. Lee W.Y., Stinton D.P., Bernardt C.C., Erdogan F, Lee Y.D., Mutasin Z. Concept of functionally graded materials for advanced thermal barrier coatings applications // J. of American Ceramic Society. 1996. Vol.19. P. 3003-3012.

108. Lukasievicz S.A., Babaei R., Qian R.E. Detection of material properties in a layered body by means of thermal effects // J. of Thermal Stresses. 2003. Vol.26. №1. P. 13-23.

*

109. McLaughlin J., Yoon J.-R. Unique idenfiability of elastic parameters from time-dependent interior displacement measurement // Inverse Problems. 2004. Vol. 20. P. 25-45.

110. Muki R., Breuer S. Coupling effects in a transient thermoelastic problem // Osterr. Ing. Archiv. 1962. Vol.26. №4.

111. Nasedkina A.A., Nasedkin A.V., Iovane G. Modeling and finite element analysis of the nonstationary action on a multi-layer poroelastic seam with nonlinear geomechanical properties // J. of Mining Science. 2009. Vol.45. N4. P.324-333.

112. Nasedkina A., Nasedkin A., Remizov V. Some approaches to modeling of the effective properties for theremoelastic composites // Second ECCOMAS Young Investigators Conference. France, Bordeaux, 2-6 September 2013. P. 1-4.

113. Rakesh S. An inverse problem for the wave equation in the half plane // Inverse Problems. 1993. №9. P. 433-441.

114. Shifdar A., Tavakoly K. An inverse heat conduction problem // Southeast Asian Bulletin of Matematics. 2002. Vol.26. P. 503-507.

115. Wetherhold R.C., Seelman S., Wang J. The use of functionally graded materials to eliminated or control thermal deformation // Composites Science and Technology. 1996. №56. P. 1099-1104.

116. Wilms E.V. On coupling effects in transient thermoelastic problems // Trans. ASME. 1964. E. 31. №4. P. 719-722.

117. Xu M.H., Cheng J.C., Chang S.Y. Reconstruction theory of the thermal conductivity depth profiles by the modulated photo reflectance technique // J. Appl. Phys. 2002. Vol.84. №2. P. 675-682.