Идентификация неоднородных полей предварительных напряжений в плоских задачах теории упругости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Недин, Ростислав Дмитриевич

• Недин, Ростислав Дмитриевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Недин, Ростислав Дмитриевич

Содержание

Введение

1. Классификация предварительных напряжений

2. Природа предварительных напряжений (ПН)

3. Краткая история развития линеаризованных теорий

4. Методы диагностики и идентификации ПН

Глава 1. Моделирование предварительного напряженного состояния

1.1. Предварительные замечания

1.2. Модели предварительного напряженного состояния (ПНС), не учитывающие начальную деформацию

1.3. Модель ПНС, учитывающая начальную деформацию

1.4. Связь моделей ПНС

1.5. Об определяющем соотношении для полулинейного материала

1.6. Слабая постановка и ее следствие

1.7. Сравнительный анализ моделей ПНС

Глава 2. Вывод уточненных постановок краевых задач

2.1. Общая постановка краевой задачи об установившихся колебаниях предварительно напряженного упругого тела

2.2. Планарные колебания предварительно напряженной пластины

2.3. Изгибные колебания предварительно напряженной пластины в рамках модели Кирхгофа

2.4. Колебания предварительно напряженного стержня в рамках модели Тимошенко

2.5. Колебания предварительно напряженной пластины в рамках модели Тимошенко

Глава 3. Решение краевых задач об установившихся колебаниях

предварительно напряженных тел

3.1. Задача об установившихся планарных колебаниях предварительно напряженной пластины

3.2. Задача об установившихся изгибных колебаниях предварительно напряженной пластины в рамках модели Кирхгофа

3.3. Сравнение моделей Эйлера-Бернулли и Тимошенко на примере установившихся изгибных колебаний стержня

3.4. Сравнение моделей Кирхгофа и Тимошенко на примере установившихся изгибных колебаний пластины

Глава 4. Исследование обратных задач

4.1. Общая постановка обратной задачи об идентификации ПНС в теле

4.2. Обобщенное соотношение взаимности для тела с ПН

4.3. Идентификация одноосного ПНС в ленточной пластине при планарных колебаниях

4.4. Идентификация одноосного ПНС в ленточной пластине при изгибных колебаниях в рамках модели Кирхгофа

4.5. Идентификация одноосного ПНС в стержне при изгибных колебаниях в рамках модели Тимошенко

4.6. Идентификация плоского ПНС в пластине при планарных колебаниях

4.7. Идентификация плоского ПНС в пластине при изгибных колебаниях в рамках модели Тимошенко

Заключение

Литература

131

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Идентификация неоднородных полей предварительных напряжений в плоских задачах теории упругости»

Введение

Предварительными (или остаточными) напряжениями называются напряжения, которые существуют в теле при отсутствии внешних нагрузок. В литературе также встречаются и другие названия - начальные напряжения, остаточные напряжения, технологические напряжения. Анализ неоднородных полей предварительных напряжений (ПН) в телах представляет собой важнейшую задачу механики деформируемого твердого тела и имеет приложения в строительстве, авиа- и машиностроении, биомеханике, в изготовлении функционально градиентных материалов. Интерес к исследованию этой проблемы проявлялся учеными разных стран с начала XX века, но, несмотря на это, до сих пор не решен ряд фундаментальных вопросов: построение адекватных, экспериментально подтвержденных, теоретических моделей неоднородных ПН для конкретных материалов; создание математического аппарата, позволяющего достоверно идентифицировать внутреннее неоднородное распределение ПН в телах в рамках различных концепций неразрушающего контроля.

1. Классификация предварительных напряжений

ПН существуют в теле при отсутствии внешних тепловых или механических воздействий. С точки зрения масштабов измерения ПН в терминах характеристической длины £ их условно делят на 3 следующих типа [1, 2]. К первому типу относятся макронапряжения: £ равна масштабу самой структуры. При этом используется классические модели механики сплошных сред, игнорируются поликристаллическая или многофазная природа материала; часто рассчитываются с помощью конечноэлементных технологий. Ко второму типу относят ПН, которые уравновешиваются в пределах нескольких зерен (£ = Зд-г-100, где д - характерный размер зерна). Примером служат внутрифазовые тепловые ПН в металлическом матричном композите. Наконец, к третьему типу относят ПН,

которые уравновешиваются в пределах размеров атомов, внутри одного зерна (£ < д), например, появляющиеся за счет дислокаций и точечных дефектов.

2. Природа предварительных напряжений (ПН)

2.1. Технологические ПН

Наличие ПН в твердых телах характерно для всех реальных объектов. На сегодняшний день известно, что подобное напряженное состояние возникает в процессе технологической обработки (литья, прокатки, сварки, крутки, закалки, термообработки и других), вследствие неоднородной пластической деформации, при жестком соединении разных материалов в контактной зоне [3-5], либо является результатом действия нагрузок при упругом или вязкоупругом деформировании и может достигать больших значений. Особый практический интерес к подобным напряжениям начал проявляться в начале прошлого века после серии непредвиденных разрушений конструкций (мостов и фюзеляжей самолетов), причиной которых стало неучтенное предварительное напряженное состояние (ПНС). Компоненты поля ПН в конструкциях могут достигать больших значений, особенно в окрестности концентраторов (трещин, полостей, сварных швов, включений и т.п.), которые, как правило, недоступны для наблюдения и могут вызывать разрушение конструкции при нагрузках, значительно меньших допускаемых. Одна из главных задач технологов - снизить уровень ПН; однако выявить реальный уровень ПН в конструкции удается далеко не всегда. Учет ПН позволит корректно моделировать сложные системы и адекватно описывать их реальное поведение в режиме эксплуатации при наличии сложного термосилового нагружения, меняющегося во времени.

С другой стороны, нередко наличие особых типов ПНС в конструкции может, наоборот, повысить ее надежность и прочность при эксплуатации. Это, в свою очередь, служит причиной того, что иногда на этапе технологического изготовления тело намеренно подвергают действию ПН.

2.2. ПН в биомеханике

Одним из важнейших приложений задач анализа неоднородного ПНС в телах является биомеханика. Задачи неинвазивного мониторинга заболеваний человека всегда представляли собой трудно реализуемую, но жизненно необходимую задачу. Практически все структуры в человеческом теле находятся под действием ПНС, начиная от живых клеток на микроуровне и заканчивая кожей, костной и мышечной тканью на макроуровне. Методы анализа ПНС в биологических объектах могут быть положены в основу идентификации различного рода уплотнений, полостей, трещин, новообразований и прочих дефектов в костях, кровеносных сосудах и других биологических структурах в теле человека по найденной информации о поле ПН в этих органических структурах.

Множество отечественных и зарубежных работ посвящено изучению ПНС в твердых биологических структурах живого организма, в частности, в костной ткани. Существенный вклад в изучение механических свойств костей с учетом полей ПНС привнес И. Ф. Образцов, а также зарубежные исследователи А. Ахмед (А. Ahmed), Б. Маккормак (В. McCormack), С. Ямада (S. Yamada) и многие другие. Исследования продемонстрировали, что ПН в трубчатых костях человека могут достигать 22 МПа [6]. Отметим еще две работы, в которых приводится изучение дефектов в костях в условиях роста: [7, 8].

Много работ посвящено изучению механических свойств различных типов кровеносных сосудов; их теоретические, экспериментальные и клинические принципы содержатся в работах Дж. Хамфри (J. Humphrey), С. Коуина (S. Со-win), Г. Хольцапфеля (G. Holzapfel), Р. Огдена (R. Ogden) и др. [9, 10]. В частности, большую практическую значимость и интерес представляют исследования механических свойств артерий; некоторые результаты подобных исследований приводятся в работах [11, 12]. При рассмотрении мягких тканей с присущими им большими деформациями в основном для их моделирования используются гиперупругие (высокоэластичные) материалы в рамках нелинейной упругости.

В работах [10, 13] приводятся некоторые результаты подобных исследований. Одно из наиболее значимых открытий в области биомеханики сосудов гласило о том, что свободное от внешних нагрузок артериальное кольцо не свободно от внутренних напряжений (впервые этот результат был опубликован в работе [14]). ПН в сосудах влияют на распределения напряжений и деформаций в деформированных артериальных стенках в физиологическом состоянии, а также на толщину деформированных стенок. При этом, часто при моделировании таких ПН применяют гипотезу об их однородности (см., например, [15]). Обзоры по механике артериальных стенок приведены в [16]. В работе [17] проведено исследование связи осмотического разбухания с наличием ПНС в сердечно-сосудистых тканях. Два этих фактора существенно влияют на функции сердечнососудистых тканей и органов. Показано, что отёк сердечно-сосудистых тканей связан с наличием в них заряженных макромолекул протеогликана (белки, которые сильно гликозилированы1); этот отёк является определяющим фактором образования ПН. Такие напряжения в стенках сердца могут послужить причиной различных заболеваний, в частности, гипертрофии миокарда [18].

Таким образом, учитывая функциональную значимость ПН с точки зрения механического воздействия, при моделировании необходимо включать их в анализ напряжений сердечно-сосудистой системы.

2.3. ПН в горной механике

Кроме того, несомненный интерес представляют модели ПНС для горной механики и геофизики. Следует отметить, что в процессе проведения горных работ одной из основных проблем является достоверность описания механических характеристик горного массива. Учет ПНС позволяет более адекватно моделировать подземные сооружения, трубопроводы, а также полости, образующиеся при проходке горных выработок и при извлечении образца из скважины, и со-

1 Гликозилирование — ферментативный процесс, в ходе которого происходит присоединение остатков Сахаров к органическим молекулам.

здавать методы их диагностики на основе методов вибросейсморазведки. При проведении подобных процедур происходит изменение напряженно-деформированного состояния породы (в основном, разгрузка), находящейся вблизи места выработки. В работах [19, 20] приведены результаты исследований, продемонстрировавших, что одной из причин образования ПНС в горных массивах является предыстория формирования напряженно-деформированного состояния и связанное с этим появление внутренних полей напряжений в период генезиса. Также подобные вопросы, связанные с ПНС в горных породах, исследованы в работах [21-27].

3. Краткая история развития линеаризованных теорий

Одним из основных направлений развития современных методик численного моделирования (особенно метода конечных элементов) является выбор наиболее адекватной теоретической модели ПН для постановки и решения конкретной практической задачи. Исследования задач с учетом ПН в различных механических и биологических структурах, ведущиеся в настоящий момент учеными разных стран, почти всегда опираются на различные теоретические модели ПН, принципиально отличающиеся друг от друга видом определяющих соотношений в постановках прямых задач. Развитие моделей механики деформируемого твердого тела, описывающих поведение тела при наличии ПН, началось с начала XX века. Несмотря на существование различных с точки зрения механики сплошных сред подходов к моделированию ПНС в телах, на сегодняшний день в мировой литературе практически отсутствуют полноценные обзорные статьи или монографии (одной из немногих является работа [28]), в которых были бы собраны все известные или наиболее распространенные модели ПН, проведен анализ их сравнения друг с другом и выявлены наиболее эффективные модели, в рамках каких-либо постановок прямых краевых задач для конкретных материалов. В то же время, понимание того, какие именно модели адекватно

описывают наличие ПН в телах, представляет собой насущную проблему.

В настоящее время при моделировании и идентификации ПНС в рамках неразрушающего контроля часто используются модели с постоянными ПН. Одним из эффективных способов получения дополнительной информации о наличии поля напряжений в твердом теле является метод акустического зондирования; этот метод с успехом применяется для идентификации однородного ПНС. Вместе с тем наиболее востребованными моделями, описывающими напряженное состояние в текущей конфигурации, являются модели, позволяющие определять неоднородное ПНС по данным о полях смещения или деформациях на границе тела с использованием современных вычислительных алгоритмов [29-31].

Развитие трехмерной линеаризованной теории деформируемых тел при наличии ПН началось с начала XX века, когда в 1913 г. Р. В. Саусвелл в своей работе [32] получил соотношения линеаризованной теории устойчивости для однородного случая докритического состояния тела при малых деформациях. Впоследствии эта теория была доработана и развита К. В. Бицено и X. Генки [33], М. А. Био [34], Е. Трефтцем [35] и X. Нейбером [36], А.Е. Грином, P.C. Ривли-ном и Р. Т. Шилдом [37]. Полученные ими модели были впоследствие дополнены и использованы В. В. Новожиловым [38], К. Трусделлом [39], А. И. Лурье [40], Л. М. Зубовым [41], К. Васидзу [42], А. Н. Гузем [43], А. Хогер [44], Ч.-С. Маном [45], Л. Робертсоном [46], 0.3. Кравчишиным и В.Ф. Чекуриным [47] и др.

На сегодняшний день в научной литературе представлено несколько таких моделей, использующихся при рассмотрении той или иной конкретной прикладной задачи. Как известно, при создании пленок и нанесении тонких покрытий в их структуре всегда присутствует ПНС, причем пагубное проявление такого напряженного состояния обычно проявляется в виде отслоения или образования трещин. Для учета и оценки изгибных ПН в тонких пленках удобно использовать модифицированную формулу Стони (Stoney formula) [5], при этом учитываются следующие параметры: модуль Юнга, толщина подложки (основания),

толщина пленки, кривизна подложки с покрытием, кривизна самой подложки без покрытия и коэффициент Пуассона. Для описания поведения объемных тел на основе структуры материала и гипотез о природе ПНС созданы современные модели, каждая из которых отличается количеством неизвестных параметров и компонент, характеризующих распределение ПНС. Например, модель, используемая Дорфи (H.R. Dorfi) в своих работах (см., например, [48]), применяется для описания ультразвуковых волн, распространяющихся в гиперупругом материале при наличии остаточных напряжений, при этом текущее напряженное состояние характеризуется компонентами тензора напряжений Пиолы, тензора шестого ранга (определяемыми гиперупругими свойствами материала) и линейного упругого тензора в недеформированном состоянии. В рамках этой модели решение обратной задачи об определении неизвестных компонент ПНС для ортотропных или изотропных материалов сводится к решению системы нелинейных уравнений; в частности, в работе [48] на основе способа обобщенных акустических соотношений (generalized acoustic ratio method) представлено решение для определения локального плоского тензора ПН. Отдельно стоит отметить модель Ч.-С. Мана [45], в которой основное соотношение, определяющее текущее напряженное состояние, является достаточно сложным и включает 7 констант, характеризующих поликристаллическое тело. Модель представлена как модификация модели, впервые предложенной JI.M. Зубовым [41] и А. Хо-гер [44].

В качестве модели ПНС, получающей все большее распространение в наши дни, используется модель, предложенная Е. Трефтцем и доработанная впоследствии В. В. Новожиловым, К. Васидзу, А.Н. Гузем и P. JI. Робертсоном [46, 49-52]. Модель приведена в рамках линеаризованной трехмерной нелинейной теории упругости и получена с помощью наложения малых деформаций на конечные. При этом в линеаризованные определяющие соотношение входят непосредственно сами компоненты ПНС. Основным преимуществом предложенной модели является с одной стороны относительная простота (за счет того, что

начальные деформации в явном виде не входят в определяющее соотношение), с другой стороны достаточно широкая область применения к изучению различных задач об определении неоднородного ПНС с помощью акустического метода по данным о полях смещений или деформациях на границе тела. В настоящее время для исследования вопроса о единственности решения обратной задачи по данным об измеренной на границе информации обычно используют именно эту модель.

Другим подходом для оценки ПН является метод собственных деформаций (eigenstrain method) А. Корсунского, основанный на определении остаточных пластических деформаций [53, 54]. Реализация этого подхода основана на вариационной постановке обратной задачи в терминах собственных (остаточных) деформаций и сведена к минимизации функционала невязки.

С точки зрения практической реализации большое внимание получили ультразвуковой метод (ultrasonics), основанный на определении изменения скоростей бегущих волн в зависимости от величины ПНС, и метод определения ПНС для цилиндрических тел по данным о ПН на границе тела в конечном числе точек. Ультразвуковой метод основан на достаточно простой формулировке определяющих соотношений, устанавливающих прямо пропорциональную зависимость величины скоростей бегущих волн и величины компонент ПНС [55]. В рамках этого подхода можно определить только уровень однородного ПНС вблизи поверхности рассматриваемого протяженного объекта. Основное направление развития практической реализации является усовершенствование аппаратуры диагностики волновых полей (оптические приборы) и увеличения качества обработки данных. Второй подход направлен на определение компонент ПНС в цилиндрических телах, подверженных термической или технологической обработке. В его основе лежит положение, что вследствие наличия пластического поля деформаций (источник ПН), в отличие от линейной теории упругости, функция напряжений Эри не обязательно должна быть бигармони-ческой [56]. Также вводится особое асимптотическое представление для этой

функции, удовлетворяющее дополнительным граничным условиям на границе. Решение обратной задачи в рамках этого подхода сводится к задаче минимизации функционала с использованием метода регуляризации А. Н. Тихонова. В настоящее время проведено успешное сравнение вычислительных экспериментов по определению ПНС с данными натурных испытаний для стального цилиндра, полученных с помощью метода рентгеновской дифракции.

4. Методы диагностики и идентификации ПН

Методы диагностики ПНС в технических конструкциях по способу получения экспериментальных данных можно условно разделить на три класса: разрушающие, полуразрушающие и неразрушающие [1, 2].

Первое развитие получили разрушающие методы диагностики, которые заключаются в определении ПНС по данным об измеренных деформациях и смещениях в ходе постепенного и полного разрушения объекта исследования. Основной областью применения такого подхода является мониторинг качества достаточно простой продукции (гвозди, заклепки, и т.п.) при серийном производстве методом селективной выборки. Следует отметить, что при таком способе диагностики для конкретного образца удается получить данные о распределении ПНС только в плоскости (или направлении) проводимого разрушения, при этом следует всегда учитывать вносимые деформации и напряжения самого процесса разрушения.

На сегодняшний день продолжают активно проводиться исследования по идентификации полей ПН с помощью полуразрушающих методов. Большинство из этих методов основано на внедрении индентора или локализованном разрушении объекта. К таким методам относятся разнообразные варианты метода отверстий (наиболее распространенный из которых - тензометрический метод сверления луночек) и метод последовательного растяжения надреза в образце [57-60]. Помимо недостатка, связанного с локальным разрушением, не

менее серьезной проблемой таких методов при исследовании напряженного состояния являются ограниченные физические возможности установки тензодат-чиков или инденторов вблизи области вызываемых деформаций. При этом основным направлением развития подобных методов является совершенствование технологии обработки и получения входных данных, а также их аппроксимации (среднеквадратичное приближение, выбраковка, статистические методы и т.д.) [61]. Эти методы успешно применяются для оценки ПНС в поверхностной области материала, а также его осредненного значения по глубине для тонких пластин. В качестве основных недостатков полуразрушающих методов следует выделить следующие факторы: частичное повреждение объекта исследования в месте внедрения индентора, луночки или надреза; достаточно жесткие ограничения накладываемые на форму и материал объекта (например, метод луночек не применим к пластикам); сравнительно малые пространственные измерительные возможности установок. В связи с подобными недостатками разрушающих и полуразрушающих методов, а также невозможностью использования их при исследовании объектов ответственного назначения (трубопроводов, оболочек реакторов, элементов самолетов, судов, ракет и т.п.), сегодня отчетливо наблюдается ориентация последних научных разработок на развитие и совершенствование неразрушающих методов диагностики ПНС.

Наиболее распространенными неразрушающими методами являются метод рентгеновской и нейтронной дифракции [62-64], акустический метод [30, 47, 52, 65-68] и ультразвуковой метод [55, 69-71], а также метод фотоупругости для прозрачных тел [72]. Также к неразрушающим методам относятся метод маг-нито-акустической эмиссии (магнитно-шумовой метод, основанный на анализе шумов Баркгаузена) [73, 74], голографический метод [4], метод собственных деформаций [53, 54, 75], интегральный метод [76], а также смешанные методы, использующие сразу несколько методик восстановления ПН (например, [77]). Недавно начал разрабатываться новый метод нано индентирования [78, 79]. Помимо экспериментальных методов идентификации ПН ведутся разработки

аналитических подходов к восстановлению полей ПН [56, 80, 81].

Однако, несмотря на многочисленность методов определения ПНС, на сегодняшний день не существует универсальной техники, поскольку тот или иной метод имеет свои специфические особенности и недостатки. В то время как одни методы приводят к разрушению объекта, другие могут измерять лишь однородное ПНС или близкое к нему, либо могут быть применимы только к определенным классам материалов, или исследовать отдельные области предварительно напряженного тела. Отметим, что на сегодняшний день имеется много работ, посвященных описанию достоинств и недостатков методов определения ПНС и их сравнению [1, 2]. К примеру, методы рентгеновской и нейтронной дифракции признаны наиболее точными методами для измерения ПНС; их часто используют для подтверждения точности других методов. Но и эти методы имеют недостатки: возможность измерения лишь околоповерхностных напряжений, неприменимость к материалам с некристаллическим строением, сильная восприимчивость к анизотропии зерен, сложность измерения напряжений на неровных поверхностях, а также достаточно большая стоимость необходимого оборудования.

Тем не менее, отдельного внимания заслуживает метод акустического зондирования, обладающий рядом существенных преимуществ над другими методами: возможность идентификации неоднородного ПНС во всей области тела; применимость к большому классу материалов и образцам различной формы; экономичность и оперативность получения результатов исследования [1, 2, 4]. Наряду с экспериментальными методами диагностики и моделирования изменения ПНС в теле развивается новое направление - моделирование и прогнозирование поведения тела с использованием конечноэлементных технологий [82]. Подобный подход позволяет проводить множество различных вычислительных экспериментов по оценке и изменению неоднородных ПН в телах различной формы. Данные, полученные в ходе таких экспериментов, позволяют существенно сократить материальные затраты на проведение натурных экспериментов,

поскольку дают возможность оценить вероятность успешного проведения опыта.

Как уже отмечалось выше, часто при моделировании ПНС используется модель однородных начальных напряжений [52, 66]. В то же время почти всегда в реальных конструкциях ПНС неоднородно и зависит от координат. Существенные неоднородности ПН наиболее часто встречаются в окрестностях различных дефектов - полостей, трещин, включений, сварных швов. На сегодняшний день существует множество работ, посвященных анализу ПН в окрестностях трещин и сварных швов и методикам предотвращения роста полостей и трещин [83-85]. С этим тесно связана еще одна перспективная область исследований - влияние нанесения дробеструйного наклепа и лазерного упрочнения в областях (возможных) дефектов на поле ПН в приповерхностных слоях образцов [68, 86, 87].

Решение задачи восстановления неоднородного ПНС даже в рамках линеаризованной модели может быть осуществлено лишь на основе решения коэффициентной обратной задачи теории упругости, которая представляет собой нелинейную некорректную проблему. При этом даже для оценочных расчетов необходимо решать задачи теории упругости с переменными характеристиками, что возможно лишь с использованием современных вычислительных технологий, в частности, конечноэлементных [53, 84, 85]. Основная трудность при исследовании проблем идентификации состоит в сложной процедуре построения операторных соотношений, связывающих искомые функции, характеризующие законы распределения компонент тензора ПН, и измеряемые в ходе эксперимента функции — амплитудно-частотные характеристики точек тела на границе. В таких ситуациях не представляется возможным построение в явном виде достаточно общих представлений решений из-за переменности коэффициентов дифференциальных операторов [29-31, 88].

Цель настоящей диссертационной работы заключается в получении уточненных постановок краевых задач для предварительно напряженных тонких пластин и стержней в рамках различных моделей и в разработке методов ре-

конструкции неоднородного ПНС в этих телах.

В первой главе диссертации рассмотрены вопросы теоретического моделирования ПНС в твердых телах. Проведена классификация используемых на сегодняшний день в механике деформируемого твердого тела теоретических моделей ПН, отличающихся структурой определяющих соотношений, связывающих добавочный тензор напряжений Пиолы с тензором ПН и добавочным тензором объективных напряжений. В параграфе 1.1 описаны две существующие системы тензорных обозначений, введенные К. Трусделлом, В. Нол лом и А. И. Лурье, приведены определения и правила перехода от одной системы к другой. В параграфах 1.2 и 1.3 приведены две группы моделей ПН, соответственно не учитывающие и учитывающие начальную деформацию в явном виде в структуре определяющих соотношений. Первая группа включает в себя модели, ранее предложенные Е. Трефтцем [35], М. Био [34], К. Бицено и X. Генки [33] и Р. Саусвеллом [32] и доработанные впоследствии В. В. Новожиловым [38], Л.М. Зубовым [41], К. Васидзу [42], Л. Робертсоном [46], А. Хогер [44], К. Трусделлом [89] и др. Вторая группа моделей берет свое начало в работах академика А. Н. Гузя [50]. В параграфе 1.4 описана теория, позволяющая связать модели друг с другом на основе общего представления для удельной энергии деформации, которая разлагается на энергию чистой деформации и энергию, обусловленную поворотом объема при малых смещениях, либо с помощью соотношения, связывающего добавочный объективный тензор напряжений с добавочными тензором напряжений Пиолы, тензором малой деформации и тензором конечной деформации. В параграфе 1.5 приведен способ построения определяющего соотношения для полулинейного упругого материала в метриках естественной недеформированной конфигурации и начальной невозмущенной конфигурации. В параграфе 1.6 приведен вывод слабой постановки исходной краевой задачи и ее следствие для предварительно напряженного упругого тела в рамках моделей из первой группы (не учитывающих начальную деформацию). В параграфе 1.7 осуществлено сравнение моделей ПН из первой группы

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Недин, Ростислав Дмитриевич, 2014 год

Литература

1. Rossini N. S., Dassisti M., et al. Methods of measuring residual stresses in components // Materials and Design. — 2012. — Vol. 35. — P. 572-588.

2. Withers P. J., Bhadeshia H. K. D. H. Residual stress. Part 1 - measurement techniques // Materials Science and Technology. — 2001. — Vol. 17. — P. 355365.

3. Биргер И. А. Остаточные напряжения, — M.: МАШГИЗ, 1963. 232 с.

4. Чернышев Г. Н., Попов А. Л., Козинцев В. М, Пономарев И. И. Остаточные напряжения в деформируемых твердых телах. — М.: Наука, 1996. 356 с.

5. Withers P. J., Bhadeshia Н. К. D. Н. Residual stress. Part 2 - nature and origins // Materials Science and Technology. — 2001.— Vol. 17.— P. 366375.

6. Hizal A., Sadasivam В., Aróla D. Inducing residual stress in bone using abrasive air-jet surface treatment // Proc. ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition. — Seattle, USA, 2007.

7. González-Torres L. A., M.J.Gómez-Benito, J.M.Garcia-Aznar. Evaluation of residual stresses due to bone callus growth: A computational study //J. Biomechanics. - 2011. — no. 44. — P. 1782-1787.

8. Lennon А. В., Prendergast P. J. Residual stress due to curing can initiate damage in porous bone cement: experimental and theoretical evidence //J. Biomechanics. — 2002. — no. 35. — P. 311-321.

9. Guillou A., Ogden R. W. Growth in soft biological tissue and residual stress development // Mechanics of Biological Tissue / Ed. by G. A. Holzapfel, R. W. Ogden. — Springer-Verlag, Berlin, 2006. — P. 47 62.

10. Holzapfel G. A. Computational Biomechanics of Soft Biological Tissue. Encyclopedia of Computational Mechanics. Volume 2: Solids and Structures. — John Wiley & Sons, 2004.

11. Rachev A., Greenwald S. E. Residual strains in conduit arteries //J. Biomechanics. — 2003. - no. 36. — P. 661-670.

12. Chaudhry H. R., Bukiet В., et al. Residual stresses in oscillating thoracic arteries reduce circumferential stresses and stress gradients //J. Biomechanics. - 1997. - Vol. 30, no. 1. - P. 57-62.

13. Humphrey J. D. Continuum biomechanics of soft biological tissues // Proc. R. Soc. Lond. A. — 2003. — Vol. 459. — P. 3-46.

14. Vaishnav R. N., Vossoughi J. Estimation of residual strains in aortic segments // Biomedical Engineering II: Recent Developments / Ed. by C. W. Hall. - New York: Pergamon Press, 1983. — P. 330-333.

15. Takamizawa K., Hayashi K. Strain energy density function and uniform strain hypothesis for arterial mechanics //J- Biomech. — 1987. — Vol. 20. — P. 7-17.

16. Humphrey J. D. Cardiovascular Solid Mechanics. Cells, Tissues,and Organs. — New York: Springer-Verlag, 2002. 482 c.

17. Lanird Y. Osmotic swelling and residual stress in cardiovascular tissues // J. Biomechanics. — 2012. — no. 45. — P. 780-789.

18. Omens J. H. Stress and strain as regulators of myocardial growth // Prog. Biophys. Mol. Biol. — 1998. — no. 69. - P. 559-572.

19. Репников JI. H., Мороз А. И., Аникин А. А. Совершенствование средств мониторинга дефектов в практике обследований зданий и сооружений // Тру-

ды института «НИИОСП им. H. М. Герсеванова - 70 лет». — М.: НИИОСП, 2001.

20. Мороз А. И. Изменение напряженно-деформированного состояния несвязного грунта после разгрузки // Сб. научных трудов НИИОСП им. H. М. Герсеванова. Вып. 99. — М.: Изд-во «ЭСТ», 2008.

21. Узков В. А. Саморазрушение пород вокруг подземных выработок // Горный журнал. - 2000. - № 10. - С. 16.

22. Николин В. И., Подкопаев С. В., Колесников В. Т. О новой теории горного давления в угольных шахтах // Безопасность труда в промышленности. — 2002. — № 11.

23. Репников J1.H., Аникин A.A., Ковальчук C.JL, Мороз А. И., Четыркин Н. С. Способ обработки сигналов акустической эмиссии при разрушении каменных материалов // A.C. № 1762287 СССР. - 1992. - № 34.

24. Мороз А.И. К вопросу об определении коэффициента Пуассона осадочных горных пород // ФТПРПИ. - 2006. - № 4. - С. 59-68.

25. Трофимов В. Т., Королев В. А., Вознесенский Е. А. и др. Под ред. Трофимова В.Т. Грунтоведение, — М.: Изд-во МГУ, 2005. 1024с.

26. Болдырев Г. Г. Методы определения механических свойств грунтов. Состояние вопроса. — Пенза: ПГУАС, 2008. 696 с.

27. Мороз А. И. Самонапряженное состояние горных пород. — М.: Изд-во Московского государственного горного университета, 2004. 288 с.

28. Bazant Z. P. A correlation study of formulations of incremental deformation and stability of continuous bodies // J. Appl. Mech. — 1971.— Vol. 38.— P. 919-928.

29. Ватульян А. О. Проблемы идентификации неоднородных свойств твердых тел // Вестник Самарского гос. университет. — 2007. — Т. 54, № 4. — С. 93-103.

30. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемых твердых тел. — М.: Физматлит, 2007. 223 с.

31. Ватульян А. О. К теории обратных коэффициентных задач в линейной механике деформируемого тела // ПММ. — 2010. — Т. 74, № 6. — С. 911-918.

32. Southwell R. V. On the general theory of elastic stability // Philosophical Transactions of the Royal Society, Series A. — 1914. — Vol. 213. — P. 187244.

33. Biezeno С. В., Hencky H. On the general theory of elastic stability // Konin Mijke Akademie van Wettenschappen te Amsterdam, Proceedings of the Section of Sciences. - 1928. — Vol. 31. — P. 569 592.

34. Biot M. A. Nonlinear theory of elasticity and the linearized case for a body under initial stress // Philosophical Magazine, Series 7. — 1939. — Vol. 27. — P. 468-489.

35. Trefftz E. Zur theorie der Stabilität des elastischen gleichgewichts // ZAMM. - 1933. - Vol. 12, no. 2.-P. 160-165.

36. Neuber H. Die grundgleichungen der elastischen stabilitat in allgemeinen koordinaten und ihre integration // ZAMM. — 1943.— Vol. 23.— P. 321330.

37. Green A. E., Rivlin R. S., Shield R. T. General theory of small deformations superposed on large elastic deformations // Proc. Roy. Soc. A. — 1952.— Vol. 211, — P. 211-292.

38. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. — Ленинград, М.: ОГИЗ, 1948. 432 с.

39. Truesdell С. A. A first course in rational continuum mechanics. — Baltimore. Maryland: The John Hopkins University, 1972.

40. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. — M.: Наука, 1980. 512 с.

41. Зубов Л. М. Теория малых деформаций предварительно напряженных тонких оболочек // ПММ. - 1976. - Т. 40, № 1. - С. 85-95.

42. Washizu К. Variational methods in elasticity and plasticity. — 3rd edition. — New York: Pergamon Press, 1982.

43. Guz A. N. Elastic waves in bodies with initial (residual) stresses // Int. Appl. Mech. - 2002. - Vol. 38, no. 1. - P. 23-59.

44. Hoger A. On the determination of residual stress in an elastic body //J. Elast. - 1986. - Vol. 16. - P. 303-324.

45. Man C.-S. Hartig's law and linear elasticity with initial stress // Inverse Problems. — 1998. — Vol. 14. P. 313-319.

46. Robertson R. L. Determining residual stress from boundary. Measurements: A linearized approach // Journal of Elasticity. — 1998. — Vol. 52. — P. 63-73.

47. Кравчишин 0.3., Чекурин В. Ф. Модель акустоупругости неоднородно деформированных тел // Механика твердого тела. — 2009. — № 5.

48. Dorfi Н., Busby Н., Janssen М. Acoustoelasticity: Ultrasonic stress field reconstruction // Experimental Mechanics. — 1996. — Vol. 36, no. 4. — P. 325 332.

49. Guz A. N. Three-dimensional theory of elastic stability under finite subcrit-ical deformations // J. Appl. Mech. — 1972. — Vol. 8, no. 12, — P. 25-44.

50. Гузь А. Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. — Киев: Наукова Думка, 1973. 271 с.

51. Lin C.-L., Wang J.-N. Uniqueness in inverse problems for an elasticity system with residual stress by a single measurement // Inverse Problems. — 2003. — no. 19. - P. 807-820.

52. Товстик П. E. Колебания и устойчивость предварительно напряженной пластины, лежащей на упругом основании // ПММ.— 2009.— № 6.— С. 106-120.

53. Jun T.-S., Korsunsky А. М. Evaluation of residual stresses and strains using the eigenstrain reconstruction method // International Journal of Solids and Structures. - 2010. - Vol. 47. — P. 1678-1686.

54. Korsunsky A. M., Regino G. M., Nowell D. Variational eigenstrain analysis of residual stresses in a welded plate // International Journal of Solids and Structures. - 2006. - Vol. 44. — P. 4574-4591.

55. Karabutov A., Devichensky A., Ivochkin A., et al. Laser ultrasonic diagnostics of residual stress // Ultrasonics. — 2008. — Vol. 48. — P. 631-635.

56. Farrahi G. H., Faghidian S. A., Smith D. J. A new analytical approach to reconstruct residual stresses due to turning process // World Academy of Science, Engineering and Technology. — 2009. — Vol. 55. — P. 453-457.

57. Svaricek K., Vlk M. Residual stress evaluation by the hole-drilling method with eccentric hole // Engineering MECHANICS. — 2007. — Vol. 14, no. 1. — P. 191-197.

58. Lee H.-T., Rehbach W. P., et al. The study of edm hole-drilling method for measuring residual stress in skdll tool steel // Journal of Materials Processing Technology. — 2004. — Vol. 149. — P. 88-93.

59. Moharami R., Sattari-Far I. Experimental and numerical study of measuring high welding residual stresses by using the blind-hole-drilling technique // J. Strain Analysis. - 2008. — Vol. 43. — R 141-148.

60. Prime M. B. Residual stress measurement by successive extension of a slot: the crack compliance method // Applied Mechanics Reviews. — 1999. — Vol. 52, no. 2,- P. 75-96.

61. Baldi A. Full field methods and residual stress analysis in orthotropic material. II: Nonlinear approach // International Journal of Solids and Structures. - 2007. - no. 44. - P. 8244-8258.

62. Larsson C., Oden M. X-ray diffraction determination of residual stresses in functionally graded WC-Co composites // International Journal of Refractory Metals & Hard Materials. — 2004. — Vol. 22. — P. 177-184.

63. Takali F., Njeh A., et al. X-ray diffraction measurement of residual stress in epitaxial Zn0/alpha-A1203 thin film // Proc. Roy. Soc. A. — 2011.— Vol. 38, no. 3,- P. 186-191.

64. Shiro A., Nishida M., Jing T. Residual stress estimation of ti casting alloy by X-ray single crystal measurement method // Neutron and X-ray Scattering in Materials Science and Biology, International Conference on Neutron and X-ray Scattering. — 2008. — P. 96-100.

65. He L. E., Kobayashi S. Acoustoelastic determination of residual stress with laser doppler velocimetry // Experimental Mechanics.— 2001.— Vol. 41, no. 2. - P. 190-194.

66. Guz A. N. On foundations of the ultrasonic nondestructive method for determination of stresses in near-surface layers of solid bodies // International Applied Mechanics. - 2005. — Vol. 41, no. 8. — P. 944-955.

67. Sathish S., Morana T. J., et al. Residual stress measurement with focused acoustic waves and direct comparison with X-ray diffraction stress measurements // Materials Science and Engineering A. — 2005. — Vol. 399. — P. 8491.

68. Liu M., Kim J.-Y., et al. Experimental study of nonlinear rayleigh wave propagation in shot-peened aluminum plates-feasibility of measuring residual stress // NDT & E International. — 2011. — Vol. 44, no. 1. — P. 67-74.

69. Vangi D. Stress evaluation by pulse-echo ultrasonic longitudinal wave // Experimental Mechanics. 2001. — Vol. 41, no. 3. — P. 277-281.

70. Sanderson R. M., Shen Y. C. Measurement of residual stress using lasergenerated ultrasound // International Journal of Pressure Vessels and Piping. - 2010. - Vol. 87. - P. 762-765.

71. Uzun F., Bilge A. N. Immersion ultrasonic technique for investigation of total welding residual stress // Original Research Article Procedia Engineering. — 2011.-Vol. 10. —P. 3098-3103.

72. Aben H., Ainola L., Anton J. Integrated photoelasticity for nondestructive residual stress measurement in glass // Optics and Lasers in Engineering. — 2000. - no. 33. - P. 49-64.

73. O'Sullivan D., Cotterell M., et al. Magneto-acoustic emission for the characterisation of ferritic stainless steel microstructural state // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2004. — Vol. 271. — P. 381-389.

74. Yelbay H. I., Cam I., Gur C. H. Non-destructive determination of residual stress state in steel weldments by Magnetic Barkhausen Noise technique // NDT & E International. - 2010. - Vol. 43, no. 1. — P. 29-33.

75. Cao Y. P., Hu N., et al. An inverse approach for constructing the residual stress field induced by welding // Journal of Strain Analysis for Engineering Design. - 2002. — Vol. 37, no. 4. - P. 345-359.

76. Hornbach D. J., Prevey P. S., Blodgett M. Development of nondestructive residual stress profile measurement methods - the integral method // Proceedings of the Review of progress in Quantitative Nondestructive Evaluation. — 2004. - Vol. 24.

77. Schajer G. S., Prime M. B. Use of inverse solutions for residual stress measurement // Journal of Engineering Materials and Technology. — 2006. — Vol. 128, no. 3. - P. 375-382.

78. Zhu L., Xu B., et al. Measurement of residual stress in quenched 1045 steel by the nanoindentation method // Materials Characterization. — 2010. — Vol. 61, no. 12.- P. 1359-1362.

79. Dean J., Aldrich-Smith G., Clyne T. W. Use of nanoindentation to measure residual stresses in surface layers // Acta Materialia.— 2011.— Vol. 59, no. 7.- P. 2749-2761.

80. Isakov V., Nakamura G., Wang J.-N. Uniqueness and stability in the cauchy problem for the elasticity system with residual stress // Contemp. Math., AMS. - 2003. - Vol. 333. - P. 99-113.

81. Xiong J. J., Shenoi R. A., Gao J. An analytical model to predict residual thermal stress in 2d orthogonal plain weave fabric composites // International Journal of Solids and Structures. — 2009. - Vol. 46. P. 1872-1883.

82. Ricci A., Ricciardi C. A new finite element approach for studying the effect of surface stress on microstructures // Sensors and Actuators A. — 2010. — Vol. 159.-P. 141-148.

83. Lammi С. J., Lados D. A. Numerical predictions and experimental measurements of residual stresses in fatigue crack growth specimens // Engineering Fracture Mechanics. - 2011. — Vol. 78, no. 6, — P. 1114-1124.

84. Ihara R., Katsuyama J., et al. Prediction of residual stress distributions due to surface machining and welding and crack growth simulation under residual stress distribution // Nuclear Engineering and Design. — 2011. — Vol. 241, no. 5.- P. 1335-1344.

85. Lee C.-H., Chang K.-H. Prediction of residual stresses in high strength carbon steel pipe weld considering solid-state phase transformation effects // Computers & Structures. — 2011. — Vol. 89, no. 1. — P. 256-265.

86. Mylonas G. I., Labeas G. Numerical modelling of shot peening process and corresponding products: Residual stress, surface roughness and cold work prediction // Surface and Coatings Technology. — 2011. — Vol. 205, no. 19. — P. 4480-4494.

87. Brockman R. A., Braisted W. R., et al. Prediction and characterization of residual stresses from laser shock peening // International Journal of Fatigue. - 2012. - Vol. 36. - P. 96-108.

88. Ватульян А. О., Дударев В. В. О некоторых проблемах реконструкции неоднородного предварительно напряженного состояния в упругих телах // Изд. Сарат. Ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2009.-Т. 9, № 4,- С. 25-33.

89. Truesdell С., Noll W. The nonlinear theories of mechanics // Encyclopedia of Physics / Ed. by S. Flugge. — Springer, Berlin, 2006. — P. 68-70.

90. Ватульян А. О., Недин P. Д. К идентификации неоднородных предварительных напряжений // Вестник СПбГУ. - 2011. - Т. 1. — С. 38-44.

91. Nedin R. D., Vatulyan A. O. On the reconstruction of inhomogeneous initial stresses in plates // Advanced Structured Materials. Shell-like Structures. Non-classical Theories and Applications / Ed. by H. Altenbach, V. Ere-meyev. — Springer, 2011. — P. 165-182.

92. Дударев В. В., Недин Р. Д. О реконструкции остаточных напряжений в твердых телах // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. - 2011. - Т. 4, № 4. - С. 1473-1475.

93. Nedin R., Vatulyan A. Inverse problem of non-homogeneous residual stress identificationin thin plates // International Journal of Solids and Structures. - 2013. - no. 50. — P. 2107-2114.

94. Недин P. Д. Моделирование колебаний плоских упругих областей с переменными характеристиками // Экология. Экономика. Информатика. Материалы XXXVII конференции "Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования". Изд-во СКНЦ ВШ, Ростов-на-Дону. - 2009. - С. 40-43.

95. Недин Р. Д. Анализ внутренних напряжений в областях с переменными характеристиками в режиме стационарных колебаний // Сборник тезисов "Неделя Науки", Ростов-на-Дону. - 2010. - С. 90-93.

96. Дударев В. В., Недин Р. Д. Идентификация неоднородного предварительного напряженного состояния в плоских упругих областях при установившихся колебаниях //VI научная конференция студентов и аспирантов базовых кафедр ЮНЦ РАН: тезисы докладов. Изд-во ЮНЦ РАН, Ростов-на-Дону. - 2010. - С. 216-217.

97. Недин Р. Д. Колебания двумерных областей с неоднородными остаточными напряжениями // Труды 8-ой Всероссийской научно-практической кон-

ференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодежь XXI века - будущее Российской Науки". Т.1. Ростов-на-Дону. — 2010.— С. 105-107.

98. Ватульян А. О., Дударев В. В., Недин Р. Д., Саакян Я. Г. О некоторых задачах идентификации предварительных напряжений // Труды XIV международной конференции "Современные проблемы МСС". Изд-во ЮФУ, Ростов-на-Дону. Т.1. - 2010. - С. 86-89.

99. Недин Р. Д. Восстановление закона изменения одноосных предварительных напряжений в плоских областях // Экология. Экономика. Информатика. Материалы XXXVIII конференции "Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования". Изд-во СКНЦ ВШ, Ростов-на-Дону. - 2010. - С. 59-62.

100. Недин Р. Д. О восстановлении неоднородного предварительного напряженного состояния в тонких пластинах // Тезисы докладов VI Всероссийской школы-семинара "математическое моделирование и биомеханика в современном университете". Ростов-на-Дону. Изд-во ЮФУ. — 2011.— С. 71-72.

101. Nedin R., Vatulyan A. On the reconstruction of inhomogeneous initial stresses in plates // EUROMECH Colloquim 527 Shell-like Structures - Nonclassical Theories and Applications. Book of abstracts. — 2011.— P. 77.— URL: http://tm.iw.uni-halle.de/euromech-2011/ euromech-527_proceedings/.

102. Ватульян А. О., Недин P. Д., Дударев B.B. Реконструкция неоднородного предварительного напряженного состояния в упругих телах // Тезисы докладов II Всероссийской конференции «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций». Новосибирск Изд. НГТУ.- 2011,- С. 21.

103. Дударев В. В., Недин Р. Д. Реконструкция неоднородного предварительного напряженного состояния в упругих телах // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. - 2012. - № 127. - С. 38-40.

104. Недин Р. Д. Прямые и обратные задачи для предварительно напряженных упругих пластин // Труды XV международной конференции " Современные проблемы МСС". Изд-во ЮФУ, Ростов-на-Дону. - 2011. - С. 174-178.

105. Недин Р. Д. Обратная задача реконструкции двухмерных неоднородных остаточных напряжений в пластинах // Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара "математическое моделирование и биомеханика в современном университете". Ростов-на-Дону. Изд-во ЮФУ. — 2012.— С. 92.

106. Недин Р. Д., Углич П. С. Об обратной коэффициентной задаче для поро-упругой слоистой среды // Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара "математическое моделирование и биомеханика в современном университете". Ростов-на-Дону. Изд-во ЮФУ. — 2012.— С. 93.

107. A. A. Lyapin, R. D. Nedin, P. S. Uglich, A. O. Vatulyan. On the reconstruction of the properties of the non-homogeneous poroelastic media // Russian-Taiwanese Symposium "Physics & Mechanics of New Materials & Their Applications", Rostov-on-Don, Russia. — 2012. — P. 38.

108. Nedin R. D., Vatulyan A. O. Analysis of 2-dimensional non-homogeneous residual stress state in plates // Abstracts of the 8th European Solid Mechanics Conference, Minisymposia #36 "Refined Theories of Plates and Shells", Graz University of Technology, Austria. CD-ROM. - 2012. — P. 36.

109. Nedin R. D., Vatulyan A. O. Determination of plane heterogeneous prestress field in plate // Book of Abstracts of the 38th Solid Mechanics Conference, IPPT of the Polish Academy of Sciences. - 2012. - P. 258-259.

110. Недин Р. Д. К обратной задаче реконструкции плоских неоднородных предварительных напряжений в пластине // Труды XVI международной конференции "Современные проблемы МСС". Изд-во ЮФУ, Ростов-на-Дону. Т.1.- 2012,- С. 168-172.

111. Ватульян А. О., Недин Р. Д. О моделях неоднородного предварительного напряженного состояния и методах идентификации его свойств // Тезисы докладов XVIII Зимней школы по механике сплошных сред. Пермь. — 2013,- С. 71.

112. Nedin R. D., Vatulyan А. О. On modeling heterogeneous residual stress // Advanced Problems in mechanics. Book of Abstracts of International Summer School-Conference. Saint Petersburg. — 2013. — P. 85.

113. Nedin R. D., Vatulyan A. O. On modeling heterogeneous residual stress // Advanced Problems in mechanics. Proceedings of the XLI Summer School-Conference. Saint Petersburg. — 2013. — P. 403-411.

114. Nedin R. D., Vatulyan A. O. Concerning approaches to modeling and restoration of inhomogeneous initial stress fields in plates // Shell and Membrane Theories in Mechanics and Biology: From Macro- to Nanoscale Structures. Proceedings of the International Scientific Conference. Minsk, Belarus. — 2013. - P. 53-54.

115. Недин P. Д. Об одном подходе к реконструкции плоских внутренних напряжений в пластине // Тезисы докладов VIII Всероссийской школы-семинара "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете". Ростов-на-Дону. Изд-во ЮФУ. - 2013. - С. 88.

116. Дударев В. В., Недин Р. Д. Задача о радиальных колебаниях кольцевой области при наличии предварительного напряженного состояния // Тезисы докладов VIII Всероссийской школы-семинара "Математическое моде-

лирование и биомеханика в современном университете". Ростов-на-Дону. Изд-во ЮФУ. - 2013. - С. 52.

117. Ватульян А. О., Недин Р. Д. Модели предварительного напряженного состояния и принципы его идентификации // Тезисы докладов международной научной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования". Россия, Владикавказ. — 2013.— С. 19-20.

118. Недин Р. Д., Нестеров С. А. О некоторых обратных задачах при определении предварительного напряженного состояния // Труды VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. Т.2. Изд-во ЮФУ, Ростов-на-Дону. — 2013. — С. 116-120.

119. Ватульян А. О., Дударев В. В., Недин Р. Д. Моделирование предварительного напряженного состояния и его реконструкция по данным акустического зондирования // Труды VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. Т.1. Изд-во ЮФУ, Ростов-на-Дону. - 2013. - С. 130-134.

120. Dudarev V. V., Nedin R. D., Vatulyan A. O. Specifics of residual stress modeling in elastic bodies // Abstracts of Lecturers and Young Scientists of the second China-Russia Conference "Numerical Algebra with Applications" (CRC-NAA'13). SFU. - 2013. - P. 71-73.

121. Ватульян А. О. О вариационной постановке обратных коэффициентных задач для упругих тел // Доклады РАН. - 2008. - Т. 422, № 2. - С. 182-184.

122. Ватульян А, О. К формулировке интегральных уравнений в проблеме идентификации предварительного напряженного состояния // Экологический вестник научных центров ЧЭС. — 2006. — № 2. — С. 23-25.

123. Dudarev V. V., Vatulyan A. O. On restoring of the pre-stressed state in elastic bodies // ZAMM • Z. Angew. Math. Mech.- 2011.— Vol. 91, no. 6. - P. 485-492.

124. Ватульян А. О., Дударев B.B. О реконструкции неоднородного предварительно напряженного состояния в стержне // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2009. - № 3. - С. 18-23.

125. Ватульян А. О., Дударев В. В., Недин Р. Д., Саакян Я. Г. О некоторых задачах идентификации предварительных напряжений // Сборник тезисов XIV международной конференции "Современные проблемы МСС". Изд-во ЮФУ, Ростов-на-Дону. - 2010. - С. 20.

126. Недин Р. Д. Прямые и обратные задачи для предварительно напряженных упругих пластин // Сборник тезисов XV международной конференции "Современные проблемы МСС". Изд-во ЮФУ, Ростов-на-Дону, — 2011. — С. 37.

127. Недин Р. Д. К обратной задаче реконструкции плоских неоднородных предварительных напряжений в пластине // Сборник тезисов XVI международной конференции "Современные проблемы МСС". Изд-во ЮФУ, Ростов-на-Дону. - 2012. - С. 74.

128. Недин Р. Д., Нестеров С. А. О некоторых обратных задачах при определении предварительного напряженного состояния // Тезисы докладов VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. Изд-во ЮФУ, Ростов-на-Дону. — 2013. — С. 114.

129. Ватульян А. О., Дударев В. В., Недин Р. Д. Моделирование предварительного напряженного состояния и его реконструкция по данным акустического зондирования // Тезисы докладов VII Всероссийской (с международ-

ным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. Изд-во ЮФУ, Ростов-на-Дону. - 2013. - С. 41.

130. Truesdell С., Noll W. The Non-Linear Field Theories of Mechanics.— Springer, Berlin, 1965. 602 p.

131. Mase G. E. Continuum Mechanics. — McGraw-Hill Professional, 1970.

132. Zubov L. M., Sheidakov D. N. Instability of a hollow elastic cylinder under tension, torsion, and inflation //J. Appl. Mech. — 2008. — Vol. 75, no. DOI: 10.1115/1.2723824.

133. Дикалов А. И., Зубов JI.M. К теории малых деформаций упругого тела, наложенных на состояние одноосного сжатия // Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы. — 1973. — № 4. — С. 30-34.

134. Жуков М.Ю., Ширяева Е. В. Использование пакета конечных элементов FreeFem++ для задач гидродинамики, электрофореза и биологии. — Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2008. 256 с.

135. Hecht F., Pironneau О., Hyaric A. L., Ohtsuka К. — FreeFem++, third ed. Laboratoire Jacques-Louis Lions, Universite Pierre et Marie Curie, Paris, 2009. — URL: http://www.freefem.org/ff++.

136. Tse F. S., Morse I. E., Hinkle R. T. Mechanical vibrations, theory and applications. — Allyn and Bacon, Inc., Boston, Mass, 1978.

137. Bayon A., F.Gascon, et al. On the flexural vibration of cylinders under axial loads: Numerical and experimental study // Journal of Sound and Vibration. — 2012. — Vol. 331. - P. 2315-2333.

138. Nagai K., Maruyama S., et al. Experiments on chaotic vibrations of a postbuckled beam with an axial elastic constraint // Journal of Sound and Vibration. - 2007. - Vol. 304. - P. 541-555.

139. Yamaki N., Otomo K., Mori A. Non-linear vibrations of a clamped beam with initial deflection and initial axial displacement, part II: Experiment // Journal of Sound and Vibration. - 1980. - Vol. 71, no. 3. - P. 347-360.

140. Kim В. H., Jang J. В., et al. Effect of prestress force on longitudinal vibration of bonded tendons embedded in a nuclear containment // Nuclear Engineering and Design. — 2010. - Vol. 240. — P. 1281-1289.

141. Lundqvist P., Ryden N. Acoustoelastic effects on the resonance frequencies of prestressed concrete beams - short-term measurements // NDT&E International. — 2012. - Vol. 50. - P. 36 41.

142. Saiidi M., Douglas В., Feng S. Prestress force effect on vibration frequency of concrete bridges //J. Struct. Eng. — 1994. - Vol. 120. - P. 2233-2241.

143. Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975. 872 с.

144. Лейбензон Л. С. Курс теории упругости. — М.: ОГИЗ, 1947. 464 с.

145. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки,— М.: Наука, 1966. 636 с.

146. Тимошенко С. П. Курс теории упругости. — Киев: Наукова Думка, 1972. 508 с.

147. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Н. Теория упругости.— М.: Наука, 1975. 576 с.

148. Brunelle Е. J. The statics and dynamics of a transverely isotropic Timo-shenko beam //J. Compos. Mater. — 1970. — no. 4. — P. 404-416.

149. Григолюк Э.И., Селезов И. Т. Итоги науки и техники. Серия «Механика деформируемых твердых тел». Том 5. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. — М.: ВИНИТИ, 1971. 572 с.

150. Brunelle E. J. Buckling of transverelsy isotropic Mindlin plates // AIAA Journal. — 1971. - Vol. 9, no. 6. — P. 1018-1022.

151. Vatulyan А. О. Iterative processes in inverse coefficient problems // Abstracts of XIV international conference 'Present-day problems of continuum mechanics1. — Southern Federal University Publishing, Rostov-on-Don, Russia, 2010. — P. 81-85.

152. Тихонов A. H., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1979. 288 с.