Разработка метода расчета и исследование упругой устойчивости произвольных оболочек на основе редуцированных и мультиплицированных элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.08.01, кандидат технических наук Александров, Анатолий Владимирович

• Александров, Анатолий Владимирович
• кандидат технических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат технических наук Александров, Анатолий Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА УПРУГОЙ

УСТОЙЧИВОСТИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК.

ГЛАВА 2. РАЗВИТИЕ МЕТОДА РЕДУЦИРОВАННЫХ И МУЛЬТИПЛИЦИРОВАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК.

2.1 Редуцирование ансамбля элементов. Построение гиперэлемента.

2.2 Интерполяция обобщенных перемещений. Полином Лагранжа. Тригонометрическая интерполяция.

2.3 Метод мультиплицированных элементов.

2.3.1 Построение матриц жесткости балочных мультиплицированных элементов.

2.3.2 Матрицы жесткости изгибаемых пластинчатых мультиплицированных элементов.

2.3.3 Расчет напряжений в конечных элементах.

2.3.4 Матрицы геометрической жесткости элементов.

2.4 Концепция равнообъемных элементов.

2.5 Симплексные конечные элементы расчета упругой устойчивости оболочек.

2.6 Метод матричной прогонки для решения задач строительной механики.

2.6.1 Симметричная однонаправленная прогонка.

2.6.2 Развитие метода применительно к обобщенной проблеме собственных значений симметричных положительно определенных матриц.40'

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМ И ПРОГРАММА РАСЧЕТА.

3.1 Объектно-ориентированное программирование в реализации вычислений методом конечных элементов.

3.1.1 Описание классов.

3.1.2 Полиморфизм и инкапсуляция в организации механизма взаимодействия классов.

3.2 Язык подготовки данных.

3.2.1 Команды описания геометрии и физических свойств расчетной модели.

3.2.2 Команды описания гиперэлемента.

3.2.3 Команды вывода информации о сформированной модели.

3.2.4 Команды управления процессором подготовки данных.

3.3 Сборка расчетной модели и проведение вычислений.

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ГЛАДКИХ И ПОДКРЕПЛЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК.

4.1 Гладкие цилиндрические оболочки. Оценка сходимости МРЭ.

4.2 Подкрепленные цилиндрические оболочки. Сопоставление с известными аналитическими решениями.

4.3 Подкрепленные составные оболочки.

ГЛАВА 5. РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ СОСТАВНОЙ КОНИЧЕСКОЙ ПОДКРЕПЛЕННОЙ ОБОЛОЧКИ, НЕ ЯВЛЯЮЩЕЙСЯ ТЕЛОМ ВРАЩЕНИЯ. СОПОСТАВЛЕНИЕ С РЕЗУЛЬТАТАМИ НАТУРНЫХ ИСПЫТАНИЙ.

5.1 Упругая форма потери устойчивости.

5.2 Влияние на величину критической нагрузки неупругих деформаций и начальных погибей.

5.3 Сопоставление с результатами эксперимента.

ГЛАВА 6. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ.

6.1. Матрица жесткости КЭ изгиба пластины с учетом отступления от закона Гука.

6.2. Алгоритм поиска критической нагрузки за пределом упругости.

6.3. Тестовые примеры расчета неупругой потери устойчивости сжатых пластин.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка метода расчета и исследование упругой устойчивости произвольных оболочек на основе редуцированных и мультиплицированных элементов»

Исследование устойчивости оболочечных конструкций является одной из сложнейших задач механики, которой посвящены тысячи работ. Их обзор и анализ являются, в свою очередь, предметом специальных работ и не являются целью настоящего исследования. Отметим поэтому укрупнено лишь основные направления, главным образом, применительно к отечественному судостроению.

Теория расчета оболочек, в частности, нагруженных равномерным давлением, прошла несколько этапов, характеризуемых последовательным усложнением вычислительного аппарата и применением все более универсальных численных методов, опирающихся на все более мощные ЭВМ.

Основы были заложены получением чисто аналитических решений, приводивших к явному написанию формул для критической нагрузки упругой оболочки идеальной правильной формы и регулярной структуры (в отечественном судостроении это работы В.В. Новожилова, П.Ф. Папковича и др.) [23,24,26].

Следующий этап - дополнение аналитических зависимостей численными решениями для оболочек - тел вращения, в основном цилиндрической и сферической формы. Численные процедуры основаны на энергетическом подходе и методе Бубнова-Галеркина; в них используется сочетание разложения перемещений в конечные и бесконечные тригонометрические и иные ряды по окружности с численным интегрированием по образующей В этом направлении представляют интерес работы A.C. Вольмира [10], Э.И. Григолюка [16], В.В. Кабанова, В.И. Мяченкова [22], О.М. Палия, В.А. Постнова, В.Е. Спиро [25], В.М. Рябова [29,30] и др. На этом этапе происходит впервые учет физической и геометрической нелинейности, нашедшей отражение в трудах О.М. Палия, В.В. Сорокина [31], В.Р. Ибнояминова и др. Возможности этих методов росли с увеличением мощности ЭВМ на основе сочетания разложения в ряды по окружности с дифференциальной прогонкой (парциальными откликами) были созданы программные комплексы, позволяющие решать задачи устойчивости и несущей способности оболочек - тел вращения практически произвольной формы меридиана с учетом физической и геометрической нелинейности. На этой основе действуют программы в ЦНИИ им. А.Н. Крылова.

В то же время, определение критического давления и формы потери устойчивости оболочек с нерегулярным распределением физико-геометрических параметров в общем случае недоступно ни аналитическим методам, ни методам, основанным на использовании разложения в ряды, что требует перехода к очередному этапу - численному решению уравнений устойчивости в наиболее общей постановке.

В этом направлении с середины 70-х годов в Ленинградском кораблестроительном институте разрабатывались специализированные программные комплексы расчета устойчивости сложных пространственных конструкций, базирующиеся на процедуре метода конечных элементов.

В современной инженерной практике для решения этой задачи также используются 0 универсальные программные системы, реализующие метод конечных элементов. К числу та'сих многоцелевых программных пакетов относятся ANS YS, COSMOS/M, NASTRAN и др. Процедура МКЭ позволяет построить расчетную модель конструкции, наиболее полно учитывающую характер действующей нагрузки, положение подкрепляющих элементов, физические свойства материала обшивки и подкрепляющих элементов, а также особенности закрепления. Гибкая структура управления данными, вычислениями и анализом результатов дает возможность исследовать влияние перечисленных выше факторов на напряженно-деформированное состояние, предшествующее потери устойчивости, на величину критической нагрузки и форму возмущенного равновесия для широкого класса конструкций. '

Однако, при исследовании сложных пространственных оболочечных конструкций требуется создание подробной конечноэлементной сетки из пластинчатых и балочных элементов, что приводит к необходимости решения системы алгебраических уравнений высокого порядка. Критической нагрузке и форме потери устойчивости соответствуют собственные числа и в'ектора этой системы. Поиск собственных значений такой матрицы требует большого объема компьютерных ресурсов, таких как оперативная и внешняя память, время выполнения операций с плавающей запятой. Увеличение числа неизвестных в разрешающей системе уравнений ухудшает обусловленность матрицы коэффициентов, которая определяет устойчивость вычислительного процесса обращения матрицы. В этом случае, возникает значительная вычислительная погрешность, при которой поиск критической нагрузки становится невозможным.

В силу этого основная проблема разработки многоцелевых программ МКЭ использование и создание устойчивых численных методов, обеспечивающих минимальное время счета и экономию используемых ресурсов ЭВМ.

Необходимо иметь в виду, что применительно к более ограниченным классам оболочек, в частности имеющих регулярную структуру, современные универсальные программы МКЭ могут оказаться менее эффективными чем специализированные, ориентированные на частные случаи (так, расчет устойчивости цилиндрической оболочки с одинаковыми и равноотстоящими шпангоутами на основе решения в двойных рядах, полученное В.М Рябовым, позволяет найти все критические нагрузки и формы потери устойчивости за время порядка минуты).

Исследование таких частных задач выявило ряд качественных и количественных закономерностей, полезных при тестировании новых конечноэлементных программ. Так, практические методы расчета круговых цилиндрических оболочек опираются на разделении возможных минимальных нагрузок на три типа с резко различными формами потери устойчивости:

- общая потеря устойчивости, при которой образуется одна полуволна в меридиональном направлении и несколько в радиальном;

- "желобообразная" форма местной потери устойчивости представлена несколькими полуволнами вдоль оболочки с участием шпангоутов и несколькими в радиальном (имеет место только при часто стоящих шпангоутах);

- многоволновая форма местной потеря устойчивости (по Мизесу) предполагает образование нескольких волн потери устойчивости обшивки в радиальном направлении между шпангоутами, в то время как шпангоуты сохраняют круговую форму.

Наименьшему критическому давлению соответствует одна из рассмотренных форм.

Для конических круговых оболочек выявлена возможность резкого уменьшения устойчивости составных оболочек при малом варьировании конструктивных параметров.

Для выбора схемы подкрепления оболочки важно знать несколько смежных с исходной форм равновесия. В методе конечных элементов решением этой задачи являются собственные числа разрешающей системы уравнений более высокого порядка. Система уравнений может содержать все из перечисленных форм или некоторые из них, но часть корней характеристического уравнения матрицы коэффициентов являются кратными, а вычислительная погрешность привод к появлению «фантомных» корней [15]. Современные конечноэлементные комплексы для поиска собственных чисел и векторов матриц используют алгоритмы, основанные на методах итераций в подпространстве Ланцоша или Ритца, которые в общем случае не позволяют рассмотреть все интересующие формы возмущенного равновесия, т.к. требуют вычисления всех собственных чисел матрицы соответствующих кратным корням.

С целью преодоления существующих вычислительных проблем в работе предлагается дальнейшее развитие теории метода конечных элементов в направлении редуцирования (уменьшения) числа неизвестных в разрешающей системе уравнений. Впервые предлагается использовать метод редуцированных элементов (МРЭ), разработанный Е.Я. Вороненком, О.М. Палием и C.B. Сочинским [1,11-13] применительно к решению задач статики и динамики судовых конструкций, для поиска критической нагрузки потери устойчивости оболочек.

Наиболее существенными моментами в методе редуцированных элементов являются использование большого числа симплексных КЭ для аппроксимации математической модели конструкции и применение интерполяции узловых перемещений на границе сопряжения смежных гиперэлементов (ГЭ). По сравнению с методом суперэлементов [21] МРЭ позволяет обеспечить непрерывность функции перемещений на границе стыковки ГЭ за счет интерполяции перемещений в промежуточных узлах. По сравнению с методом полос [17,42] в МРЭ не требуется интегрирование жесткости и нагрузки по всей протяженности модели. При вычислении матриц жесткости (МЖ) симплексных КЭ исключаются процедуры численного интегрирования, поэтому время расчета МЖ меньше, чем для изопараметрических элементов.

В качестве интерполяционных зависимостей целесообразно использование тех функций, которые в наибольшей степени отвечают требованиям гладкости перемещений на границе стыковки ГЭ и в то же время учитывают особенности геометрии конструкции. Например, для плоских моделей (пластины, перекрытия) оправдано использование сплайнинтерполяции перекрывающимися полиномами Лагранжа, а для исключения промежуточных узловых перемещений в моделях замкнутых оболочек (цилиндр, конус) целесообразно использование тригонометрической интерполяции рядами Фурье, являющимися периодическими функциями. При выводе уравнения равновесия редуцированной модели используется условие инвариантности потенциальной энергии для каждого гиперэлемента конструкции, что позволяет говорить о равенстве функции потенциальной энергии^исходной и редуцированной моделей.

Наличие густой сетки в процедуре МРЭ открывает возможность для нетрадиционного подхода к определению характеристик жесткости отдельных элементов. При относительно малых размерах элемента напряжения и деформации в его области меняются незначительно, а энергия деформирования определяется в основном его объемом. Следовательно, становится возможным для определения матрицы жесткости некоторого заданного КЭ воспользоваться МЖ другого элемента, имеющего тот же объем, но отличную от исходной возмущенную форму. Например, малый трапециевидный элемент изгиба пластины может быть заменен эквивалентным по энергии прямоугольным. На этой основе предлагается значительно повысить эффективность расчета жесткости конечноэлементной модели благодаря отказу от трудоемких операций численного интегрирования МЖ изопараметрических конечных элементов и замены их простыми формулами для симплексных прямоугольных элементов.

В качестве одного из направлений снижения размерности разрешающей системы уравнений МКЭ в работе предлагается способ построения мультиплицированных изгибаемых элементов (МИЭ), основанный на исключении внутренних неизвестных и поэлементном редуцировании. Результатом этих действий является исключение углов поворота и увеличение (мультиплицрование) числа линейных перемещений исходного фрагмента, из которого строится МИЭ, за счет аналитического продолжения функций форм изгиба и их производных на законтурные узлы, не принадлежащие области выделенного фрагмента. Выгода от такого подхода очевидна: для конечного элемента изгиба балки число неизвестных в узле уменьшается вдвое, а для изгибаемой Пластины - втрое.

Значительная новизна предлагаемых подходов развития МКЭ потребовала создания специализированного программного комплекса. Разработанный программный комплекс состоит из ряда модулей, ориентированных на решении отдельных подзадач. Программы позволяет построить модель произвольной подкрепленной оболочки, провести расчет и проанализировать результаты вычислений. Программа обладает графическими средствами визуального контроля конечноэлементной сетки, исходного деформированного состояния модели и формы потери устойчивости.

Практическая применимость МРЭ и программного комплекса апробирована путем сопоставления результатов исследования устойчивости подкрепленных и гладких конических, цилиндрических и составных оболочек, как осесимметричных, так и не являющихся телами вращения, с экспериментальными данными и результатами расчетов, предоставленными В.М. Рябовым. Анализ критических нагрузок и соответствующих форм потери устойчивости, полученных по аналитическим зависимостям и по данным испытаний, с результатами предлагаемой численной процедуры показал, что они согласуются между собой с достаточной для инженерных расчетов точностью.

Использование предлагаемой процедуры для расчета устойчивости оболочек сокращает, по сравнению с традиционной схемой МКЭ, объем исходных данных и ф требования к оперативной памяти компьютера в несколько раз, а время поиска критической нагрузки на несколько порядков. Сочетание в МРЭ метода матричной прогонки с процедурой разделения корней Постнова-Курдюмова для поиска собственных чисел и векторов разрешающей матрицы открывает возможность для анализа разных форм смежного равновесия конструкций, соответствующих как местной, так и общей потери устойчивости. Предлагаемая рационализация процедуры конечноэлементного анализа в значительной степени расширяет набор конструкций, расчет устойчивости которых возможен с применением современных компьютеров.

Работа состоит из шести глав:

В главе 1 раесматриваются физические основы численного анализа упругой устойчивости произвольных оболочечных конструкций. Вводятся гипотезы и допущения конечно-элементного моделирования оболочек.

Глава 2 посвящена применению метода редуцированных и мультиплицированных элементов для решения задач статического деформирования и потери устойчивости пространственных подкрепленных оболочек.

В главе 3 приведено описание программного комплекса реализующего процедуру метода редуцированных и мультиплицированных элементов. В главе рассмотрены основные подходы и приемы объектно-ориентированного программирования, использованные при разработке и кодирования программных модулей.

Глава 4 содержит результаты расчетов устойчивости гладких и подкрепленных цилиндрических оболочек, а также составных подкрепленных оболочек. Приведены результаты анализа сходимости метода редуцированных элементов и сопоставление численных значений критической нагрузки с известными аналитическими решениями.

В главе 5 представлен расчет устойчивости натурного отсека (составной конической 4 подкрепленной оболочки), не являющейся телом вращения. Результаты вычислений сопоставлены с данными испытаний этого отсека.

В главе 6 показана возможность дальнейшего развития процедуры МРЭ применительно к решению задач физически нелинейной устойчивости на примере расчета пластин.

В заключении приведен краткий обзор основных результатов и общие выводы по проделанной работе.

На защиту выносятся:

- метод численного моделирования упругой потери устойчивости произвольных подкрепленных оболочек, основанный на процедуре редуцированных и мультиплицированных элементов;

- алгоритм поиска критической нагрузки и формы потери устойчивости оболочек, сочетающий высокую вычислительную устойчивость метода матричной прогонки с эффективной процедурой разделения корней Постнова-Курдюмова;

- процедура построения матриц жесткости мультиплицированных изгибаемых балочных и пластинчатых конечных элементов;

- программный комплекс расчета напряженно-деформированного состояния и устойчивости конструкций методом редуцированных и мультиплицированных элементов;

11 результаты практических расчетов гладких и подкрепленных цилиндрических оболочек, составных конических оболочек. Сопоставление численного решения с известными аналитическими методиками и данными эксперимента; исследование устойчивости натурной составной конической подкрепленной оболочки, не являющейся телом вращения. Анализ и сравнение численного решения с результатами натурного эксперимента.

Заключение диссертации по теме «Теория корабля и строительная механика», Александров, Анатолий Владимирович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработан метод расчета и создана новая универсальная модель численного исследования упругой устойчивости произвольных оболочек. Модель учитывает дискретный характер распределения подкрепляющих элементов, влияние кинематического закрепления на напряженно-деформированное состояние оболочки и позволяет провести раздельный анализ местной и общей форм потери устойчивости на основе единой конечноэлементной аппроксимации

2. Обосновано применение концепции равнообъемных элементов, которая открывает возможность для замены трапециевидных элементов изгиба пластины эквивалентных им по энергии прямоугольными, что значительно повышает эффективность расчета жесткости конечноэлементной модели.

3. Дано теоретическое обоснование применения метода редуцированных элементов в решении задач устойчивости сложных оболочечных конструкций. Разработаны критерии интерполяции промежуточных узловых перемещений с учетом особенностей формы, закрепления и нагружения конструкции.

4. Созданы матрицы жесткости мультиплицированных изгибаемых элементов (МИЭ), а именно - 3-х узловой элемент изгиба балки и 9-ти узловой пластинчатый элемент. Элементы имеют по одной неизвестной в узле, соответствующей прогибу. Показано, что использование МИЭ снижает размерность конечноэлементной модели в 2-3 раза.

5. Разработан оригинальный алгоритм поиска собственных значений и векторов симметричной положительно определенной матрицы, соответствующей матрице коэффициентов разрешающей системы линейных алгебраических уравнений МРЭ.

6. Создан программный комплекса расчета напряженно-деформированного состояния и критической нагрузки пространственных подкрепленных оболочечных конструкций методом редуцированных элементов, на основе современного объектно-ориентированного подхода к программированию.

7. Исследована сходимость МРЭ. На примере расчета гладких цилиндрических оболочек показано влияние возмущения, вносимого интерполяцией, на расчетные значения критической нагрузки потери устойчивости при всестороннем внешнем давлении.

8. Проведен анализ устойчивости подкрепленных осесимметричных цилиндрических и конических оболочек. Показана эффективность процедуры тригонометрической

95 интерполяции перемещений и метода разделения корней для определения форм смежного равновесия, соответствующих общей и местной потери устойчивости.

9. Выполнен расчет устойчивости составной конической оболочки, не являющейся телом вращения. Результаты вычислений сопоставлены с экспериментальными данными.

10. Предложена процедура расчета критической нагрузки и формы смежного равновесия оболочек за пределом пропорциональности. Разработана матрица жесткости пластического конечного элемента изгиба пластины в возмущенном равновесном состоянии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Александров, Анатолий Владимирович, 2001 год

1. Александров A.B. Метод матричной прогонки в решении задач устойчивости и вибрации конструкций // Международная конференция по судостроению (ISC). Труды: Секция С: Прочность и надежность морских конструкций СПб, 1994

2. Александров А. В, Вороненок Е. Я. Принципы объектно-ориентированного программирования в решении задач строительной механики методом конечных элементов //Труды ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова СПб, 1996 вып. 3 (287)

3. Бадц Т. Объектно-ориентированное программирование в действии СПб.: Питер, 1997

4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986

5. Бурман З.И., Аксенов О.М., Лукашенко В.И., Тимофеев М.Т. Суперэлементный расчет подкрепленных оболочек-М.: Машиностроение, 1982

6. Буч Г. Объектно-ориентированный анализ и проектирование с примерами приложений на С++-М.: «Издательство Бином», СПб.: «Невский диалект», 1998

7. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963

8. И. Вороненок Е.Я.,Палий О.М., Сочинский C.B. Повышение эффективности расчетов на ЭВМ прочности и вибрации судовых конструкций JL: Судостроение,!988,№ 1

9. Вороненок Е.Я.,Сочинский C.B. Интерполяционное редуцирование матриц жескости при решении задач строительной механики методом суперэлементов Прикладная механика 1981, том XYII, № 6

10. Вороненок Е.Я., Палий О.М., Сочинский C.B. Метод редуцированных элементов при расчете конструкций. Л.: Судостроение 1990

11. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир. 1984

12. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления М.: Мир, 1999

13. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек М.: Наука, 1978

14. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир; 1975

15. Короткин Я.И., Локшин А.З., Сивере Н.Л. Изгиб и устойчивость стержней и стержневых систем Л.: Машгиз, 1953

16. Короткин Я.И., Локшин А.З., Сивере Н.Л. Изгиб и устойчивость пластин и круговых цилиндрических оболочек Л.: Судпром ГИЗ, 1955

17. Ланкастер П. Теория матриц М.: Наука, 1973

18. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений /В.А. Постнов, С.А. Дмитриев, Б.К. Елтышев, A.A. Родионов, Под общей редакцией В.А. Постнова. Л.: Судостроение, 1979

19. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ: Справочник М.: Машиностроение, 1981

20. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости Л.: Гостехиздат, 1948

21. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек- Л.: Судпромгиз, 1962

22. Палий О.М., Спиро В.Е. Анизотропные оболочки в судостроении Л.: Судостроение, 1977

23. Папкович П.Ф. Строительная механика корабля, часть II Л.: Судпромгиз, 1941

24. Пол Ирэ Объектно-ориентированное программирование с использованием С++. К.: НИПФ "ДиаСофт Лтд.", 1995

25. Постнов В.А.Дархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций-Л.: Судостроение, 1974

26. Рябов В.М. Устойчивость составных конических оболочек // «Строительная механика корабля» (Доклады к 3-ей Всесоюзной конференции, посвященной памяти академика Ю.А. Шиманского) Вып. 108 Л.: Судостроение, 1968

27. Соломенко Н.С., Абрамян К.Г., Сорокин В.В. Прочность и устойчивость пластин и оболочек судового корпуса Л.: Судостроение, 1967

28. Справочник по строительной механике корабля /Бойцов Г.В., Палий О.М., Постнов В.А., Чувиковский B.C. В трех томах. Том. 2 Л.: Судостроение, 198298

29. Страуструп Б. Язык программирования С++ М.: СПб.: «Невский диалект» -«Издательство БИНОМ», 1999

30. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов М.: Мир, 1977

31. Суперэлементный расчет подкрепленных оболочек М.: Машиностроение , 1982

32. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров М.: Наука, 1968

33. Шилдт Г. Теория и практика С++ СПб.: BHV - Санкт-Петербург, 1996

34. Ocate Е., Cervera M. Derivation of thin plate bending elements with one degree of freedom per node: a simple three node tiangle, Engineerging Computations, vol. 10, (1993), p.543-561

35. Zimmermann T., Dubois-Pèlerin Y.,Bomme P. Object-oriented finite element programming I. Governing principles, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 98,(1992) p.291-303

36. Zimmermann T., Dubois-Pèlerin Y.,Bomme P. Object-oriented finite element programming II. A prototype program in Smalltalk, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 98,(1992) p.361-397

37. Y. Dubois-Pèlerin ,T. Zimmermann. Object-oriented finite element programming III. An efficient implementation in С++, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 108,1993 (p.165-183)).

38. Zienkiewiccz O.C., Taylor R.L. Finite element method, Vol. 1, Vol. 2 McGraw Hill, 1994