Математические модели и пакет программ для численного анализа тонкостенных стержневых систем и подкрепленных конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Чернов, Сергей Анатольевич

• Чернов, Сергей Анатольевич
• кандидат технических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат технических наук Чернов, Сергей Анатольевич

Введение.

1. Направления развития методов расчета тонкостенных стержневых систем, пластин и оболочек.

1.1. Анализ методов расчета тонкостенных стержневых систем.—

1.2. Численные методы расчета пластин и оболочек.

1.3. Автоматизированные системы кинематического анализа.

2. Математическая формулировка задачи упругого равновесия

2.1. Матричный аппарат метода конечных элементов.

2.1.1. Прямой метод в форме перемещений.—

2.1.2. Выделение подконструкций.

2.2. Система разрешающих уравнений равновесия.

2.2.1. Решение системы линейных алгебраических уравнений.—

2.2.2. Преобразование элементов матрицы коэффициентов из обычной точности в двойную.

2.3. Пространственная конечно-элементная модель узла соединения тонкостенных стержней.

2.3.1. Математическая модель пространственной схемы узла соединения тонкостенных стержней.—

2.3.2. Формирование матрицы жесткости граничного тонкостенного стержня.

2.4. Моделирование оболочки, подкрепленной тонкостенными стержнями.

2.5. Матричная форма метода интегрирования произвольных эпюр

3. Пакет программ. Методика образования конечно-элементных моделей и подготовки исходных данных.

3.1. Структура и характеристика программ.—

3.2. Состав и функциональные возможности программ;.

3.3. Геометрические характеристики произвольного тонкостенного сечения открытого и одноконтурного закрытого профилей

3.4. Произвольные тонкостенные стержневые системы,.

3.5. Пластины и оболочки как совокупность плоских элементов, подкрепленные тонкостенными стержнями.

4. Оценка точности расчетов. Результаты применения пакета программ при исследовании и проектировании конструкций

4.1. Расчеты тестов, результаты сравнения с аналитическими и численными решениями.—

4.2. Результаты сравнения с экспериментальными исследованиями

4.3. Поверочный расчет напряженно-деформированного состояния рамы автомобиля УАЗ-ЗЗОЗ.

4.4. Анализ напряженно-деформированного состояния блоков технологических систем разложения СОЖ при их проектировании

4.4.1. Коробчатый подкрепленный блок ТС-20.

4.4.2. Коробчатый подкрепленный блок ТС-90.

Основные результаты работы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и пакет программ для численного анализа тонкостенных стержневых систем и подкрепленных конструкций»

Одно из основных направлений по проектированию конструкций, удовлетворяющих современным требованиям снижения металлоемкости, связано с их всесторонними исследованиями напряженного и деформированного состояний, стремлением к лучшему использованию несущей способности конструкций. Вопросы, связанные с расчетом тонкостенных конструкций, возникают во многих отраслях современной промышленности, в том числе: авиации, судостроении, автомобилестроении, химическом машиностроении, строительстве и т. д.

Высокая механическая прочность и легкость тонкостенных стержневых систем и оболочек обусловливает их широкое использование в технических конструкциях. Одной из главных задач механики тонкостенных конструкций является совершенствование методов их расчета и проектирования при действии распределенных и локальных нагрузок.

В силу различных обстоятельств аналитическое решение дифференциальных уравнений для большинства практически важных задач установить невозможно, поэтому приближенные численные методы расчета конструкций являются единственно возможным подходом в исследовании и получении приемлемых результатов при решении практически важных задач.

Методы прочностных расчетов конструкций формировались с развитием строительной механики стержневых систем, пластин и оболочек. Историю развития строительной механики делят на два периода: до появления вычислительных машин — это классическая строительная механика стержневых систем и после появления вычислительных машин. ЭВМ значительно расширила рамки строительной механики. Проявилось преимущество метода перемещений и стало возможным применение методов расчета, которые позволяют более полно учитывать геометрию и условия работы конструкций. Сформировалось новое направление: вычислительная механика деформируемого твердого тела.

Развитие вычислительной техники, широкое ее распространение и увеличение мощности ЭВМ способствовали появлению точных и высокопроизводительных численных методов расчета и обусловили широкое внедрение их в расчетную практику при проектировании конструкций. Этому отвечают современные методы исследования напряженного и деформированного состояний различных конструкций, основанные на образовании дискретной модели с помощью элементов конечных размеров. Численные методы исследований предусматривают применение ЭВМ для всего процесса расчета, т. е. от ввода в машину сведений о геометрии и топологии конструкции, ее физических свойствах и нагрузках до получения окончательных результатов напряженно-деформированного состояния.

Применительно к расчету машиностроительных конструкций наиболее эффективным, очень удобным вычислительным методом решения прикладных задач механики деформируемого твердого тела является метод конечных элементов (МКЭ) и его разновидность (модификация) метод суперэлементов (МСЭ).

МКЭ и МСЭ стали фундаментальными методами механики по определению напряженно-деформированного состояния сложных инженерных конструкций.

Преимущество МКЭ проявляется в его универсальности техники вычислений при использовании различных конечных элементов (КЭ) в модели конструкции. Конечно-элементные модели различных элементов машиностроительных и других конструкций могут быть сведены к стержневым, пластинчатым, оболочечным или объемным системам, находящимся под действием произвольных нагрузок. МКЭ позволяет рассчитывать сложные инженерные конструкции, рассматриваемые как оболочечно-пластинчато-стержневые системы, с единых позиций, т. е. в возможности образования плоских и пространственных расчетных моделей на основе стержневых и плоских КЭ, т. к. матричный аппарат метода носит стандартный характер для КЭ различной формы.

В настоящее время создано большое количество крупномасштабных универсальных автоматизированных систем кинематического анализа, реализующих МКЭ и МСЭ. Исходная информация универсальных комплексов очень сложная при описании конструкции (топологические и геометрические характеристики конструкции). Сложность подготовки исходных данных для расчета конструкции рациональна для универсальных программных комплексов, у которых большая библиотека КЭ (тонкостенные стержневые КЭ, как правило, отсутствуют) и большие функциональные возможности, что позволяет выполнить расчет произвольной конструкции, что и требуется от таких программных комплексов.

Для определения напряженно-деформированного состояния конкретных конструкций целесообразно создавать программы целевого назначения, т. е. численную реализацию на ЭВМ алгоритмов расчета конструкций определенного класса: объектно-ориентированные комплексы программ, позволяющие значительно уменьшить и упростить исходную информацию.

Внедрение в практику проектирования конструкций расчетов на ЭВМ дает на стадии проектирования необходимую информацию о напряженном и деформированном состояниях, позволяет ускорить доводку, выполняя многовариантные численные эксперименты, т. е. решая задачи машинного проектирования.

На основе теории В. 3. Власова разработаны методы расчета стержневых систем из тонкостенных стержней открытого и закрытого профилей. Эти методы расчета с использованием в стержневой системе тонкостенных стержней возможны только для плоских рам с определенной конструкцией узловых соединений, в узлах которых выполняется условие равенства депланации сечений концов всех сходящихся стержней, что приводит к уравнению равновесия бимоментов в узле.

В узле сопряжения тонкостенных стержней, образованном из профилей различных номеров сортамента, нет центра узла, т. е. точки, в которой пересекаются оси, проходящие через центры изгиба поперечных сечений стержней, образующих узел. Такой узел не удовлетворяет требованиям теории расчета плоских тонкостенных рам.

Действительное взаимодействие стержней в узле их соединения может отразить только пространственная конечно-элементная модель тонкостенной стержневой системы. Образование пространственной конечно-элементной модели тонкостенной стержневой системы на основе использования только КЭ оболочки как совокупности плоских элементов крайне неэффективно, т. к. приводит к очень большому объему исходной информации при расчете на ЭВМ и требует трудоемкой работы при ее подготовке.

Для образования пространственной конечно-элементной модели тонкостенной стержневой системы предлагается непосредственно в зоне соединения стержней использовать плоские КЭ оболочки, а вне узла — тонкостенные стержневые КЭ. Такой подход значительно сокращает объем исходной информации, а модель конструкции отражает ее стержневой характер.

В связи с этим диссертационная работа, посвященная разработке математических моделей для расчета тонкостенных стержневых систем с пространственной расчетной схемой узла соединения стержней, пластин и оболочек, подкрепленных тонкостенными стержнями с учетом депланации сечений тонкостенных стержней, а также пакета программ для расчета конструкций при стержневой, пластинчато-стержневой и оболочечно-стержневой их идеализации, представляется актуальной.

Целью работы является разработка математических моделей, алгоритмов расчета и пакета программ, позволяющих полнее учитывать особенности тонкостенных конструкций при стержневой, пластинчато-стержневой и оболочечно-стержневой их идеализации.

В соответствии с поставленной целью в работе формулируются и решаются следующие задачи исследований:

1. Анализ, разработка и реализация алгоритмов формирования матрицы жесткости конструкции и преобразования ее элементов из обычной точности в двойную с использованием внешней памяти ЭВМ.

2. Образование пространственной расчетной схемы узла сопряжения тонкостенных стержней на основе совместного использования КЭ оболочки и тонкостенных стержневых КЭ. Разработка и реализация математической модели расчетной схемы узла.

3. Разработка и реализация математической модели оболочки как совокупности плоских элементов, подкрепленной тонкостенными стержнями.

4. Усовершенствование матричной формы метода интегрирования произвольных эпюр с реализацией алгоритма вычисления геометрических характеристик произвольного тонкостенного сечения как открытого, так одноконтурного закрытого и комбинированного профилей.

5. Разработка пакета программ для кинематического анализа плоских и пространственных конструкций при стержневой, пластинчато-стержневой и оболочечно-стержневой идеализации. Оценка результатов расчетов.

6. Численный анализ напряженно-деформированного состояния стержневых и коробчатых подкрепленных конструкций.

Научная новизна

Разработана математическая модель пространственной расчетной схемы узла тонкостенной стержневой системы, при которой в. зоне соединения стержней используются КЭ оболочки, а вне узла - тонкостенные стержневые. Получена матрица жесткости граничного тонкостенного стержневого КЭ. Комбинация КЭ позволяет выполнять расчеты произвольной стержневой системы, сократить объем исходной информации, трудоемкость ее подготовки.

Выполнен учет депланации сечения стержня при анализе напряженно-деформированного состояния подкрепленной оболочки на основе разработанной математической модели в стандартной форме процедуры МКЭ, позволяющей полнее учитывать особенности тонкостенных конструкций. Получена матрица жесткости стержневого КЭ для' расчета подкрепленной оболочки.

Практическая значимость

Разработан пакет программ кинематического анализа произвольных тонкостенных стержневых систем, пластин, цилиндрических и коробчатых поверхностей, подкрепленных тонкостенными стержнями, и содержащий программы:

- подготовки исходных данных,

- расчета произвольных плоских, плоско-пространственных и пространственных стержневых систем,

- расчета пластин и оболочек, подкрепленных тонкостенными стержнями.

Пакет программ может быть использован в проектных и конструкторских организациях при анализе напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций.

В работе, состоящей из четырех глав и приложения, принято следующее расположение материала.

В первой главе выполнен анализ существующих методов исследования тонкостенных стержневых систем, численных методов расчета пластин и оболочек и универсальных крупномасштабных программных комплексов, реализующих МКЭ и МСЭ и используемых при проектировании в различных отраслях промышленности.

На защиту выносятся:

1. Подход к формированию матрицы жесткости конструкции в объектно-ориентированном пакете программ, позволяющий упростить исходную информацию о расчетной схеме задачи. Модифицированные матрицы жесткости КЭ оболочки, используемые в расчетах стержневых систем и подкрепленных конструкций. Рациональное преобразование элементов матрицы жесткости конструкции из обычной точности в двойную с использованием внешней памяти.

2. Математическая модель узла сопряжения тонкостенных стержней на основе совместного использования КЭ оболочки и тонкостенных стержневых. Матрица жесткости граничного тонкостенного стержневого КЭ и ее формирование.

3. Математическая модель оболочки, подкрепленной тонкостенными стержнями. Матрица жесткости тонкостенного стержневого КЭ и ее формирование, используемые в расчетах подкрепленной оболочки.

4. Пакет программ кинематического анализа произвольных тонкостенных стержневых систем, пластин, оболочек, цилиндрических и коробчатых поверхностей, подкрепленных тонкостенными стержнями. Оценка точности результатов расчета на решении тестов и на сравнении с экспериментальными данными.

5. Результаты численного анализа напряженно-деформированного состояния конструкций.

Основоположником теории расчета тонкостенных стержней является С. П. Тимошенко. Общая теория тонкостенных стержней разработана В. 3. Власовым. Введенные им геометрические характеристики тонкостенного стержня способствовали стройному построению теории. На основе этой теории были разработаны методы расчета плоских рам из тонкостенных стержней. Наиболее широкое распространение получил метод расчета рам Горбунова Б. Н., Стрельбицкой А. И.

Сущность метода заключается в том, что при расчете рам составляются уравнения равновесия узлов. При этом уравнение равновесия получено из условия равенства нулю работы элементарных сил, действующих в концевых сечениях сходящихся стержней на возможных перемещениях, определяемых секториальным законом. Это приводит к уравнению равновесия бимоментов в узле, которое справедливо только для плоских рам с определенной конструкцией узловых соединений.

Проблеме расчета тонкостенных стержневых рам посвящено значительное число работ в автомобильной отрасли, в частности, при разработке методов расчета несущей системы несущей системы автотранспортного средства (АТС). Работы Белокурова В. Н., Закса М. Н., Иванова А. А. и др. посвящены исследованию напряженно-деформированного состояния узлов тонкостенных рамы. Авторами исследована связь между поперечными перемещениями точек сечения лонжерона и продольными перемещениями точек сечения поперечины. При этом использованы более совершенные гипотезы о равновесии бимоментов в узлах.

Большое внимание уделяется совершенствованию пространственных расчетных схем автомобильной рамы. С этой целью проводятся исследования по применению в модели рамы однотипных КЭ и комбинированных систем, состоящих из различных элементов. Исследования подтвердили большие возможности МКЭ и МСЭ.

При расчете оболочки, подкрепленной стержнями, в модели задачи, как правило, используются КЭ оболочки, работающие в своей плоскости и на изгиб из плоскости и пространственные стержневые КЭ с 6-ю степенями свободы в узле. В этом случае при расчете оболочки, подкрепленной тонкостенными стержнями (двутавр, швеллер и т. д.), не учитывается влияние депланации сечения стержня при его кручении на напряженно-деформированное состояние конструкции в целом.

Матричный аппарат МКЭ носит настолько общий характер, что теоретически возможно составить единую вычислительную программу, способную решить практически неограниченное число разнообразных задач механики конструкций. Вычислительные программы, отвечающие этой цели даже в ограниченном масштабе, называются программами общего назначения.

Применение МКЭ к расчету сложных инженерных конструкций, образованных совокупностью большого числа различных КЭ, приводит к большой трудности. Серьезным недостатком является значительная затрата труда и времени при подготовке исходной информации. Эффективность использования ЭВМ для практических расчетов в значительной степени зависит от рациональной организации исходных данных и вычислений, а также от наличия средств автоматической генерации данных.

Кроме универсальных программных систем создаются комплексы целевого назначения для решения разнообразных задач, возникающих в процессе проектирования и оценки напряженно-деформированного состояния конкретных конструкций, — объектно-ориентированные комплексы, которые более удобны в эксплуатации. В заключение сформулированы цель и задачи исследования.

Во второй главе приведены особенности реализации матричного аппарата МКЭ в форме перемещений и МКЭ с выделением подконструкций (двухуровневая процедура МСЭ).

Показано преимущество матрицы индексов, состоящей из номеров узлов модели, для формирования матрицы жесткости конструкции при реализации алгоритма расчета в объектно-ориентированном комплексе программ, что позволяет упростить и уменьшить исходную информацию о задаче, но потребовало выполнять модификацию матриц жесткости КЭ.

Модификация матриц жесткости КЭ выполняется путем введения фиктивных степеней свободы в узлы КЭ, у которых число степеней свободы в узлах меньше максимального числа степеней свободы узлов в расчетной модели задачи.

Приведены алгоритмы численного решения методом Гаусса системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) равновесия в МКЭ. Предложено рациональное преобразование матрицы коэффициентов при неизвестных больших систем уравнений из обычной точности в двойную с использованием внешней памяти ЭВМ.

Рассмотрена пространственная конечно-элементная модель узла сопряжения тонкостенных стержней в комбинации плоских элементов и стержневых КЭ. Предложена матрица жесткости тонкостенного стержневого КЭ граничного сечения сопряжения плоских элементов и стержня, а также алгоритм формирования матрицы жесткости граничного тонкостенного стержневого КЭ.

Рассмотрен изгиб пластины и оболочки, подкрепленной тонкостенными стержнями (двутавр, швеллер и т. д.), позволяющий учитывать влияние депланации сечения стержня при его кручении на напряженно-деформированное состояние конструкции в целом.

Далее приведена усовершенствованная матричная форма метода интегрирования произвольных эпюр, позволяющая использовать один алгоритм для вычисления геометрических характеристик произвольного сечения открытого и одноконтурного закрытого профилей при численной реализации на ЭВМ:

Третья глава посвящена численной реализации МКЭ,, методике образования дискретных конечно-элементных моделей конструкций и подготовке исходной информации для анализа напряженно-деформированного состояния произвольных тонкостенных стержневых систем, пластин и оболочек, подкрепленных стержнями. Общая характеристика пакета программ: ЭВМ: IBM PC-совместимый ПК, Язык: Fortran, ОС: Windows,

Объем: 302 Кбайта исходного текста.

Библиотека КЭ пакета программ содержит 14 различных типов КЭ, из которых 8 балочных и тонкостенных стержневых КЭ: плоский и пространственный КЭ фермы, работающие на растяжение-сжатие; балочные и тонкостенные стержневые КЭ, работающие на растяжение-сжатие и изгиб, на изгиб и кручение; пространственные КЭ и КЭ граничного сечения и 6 треугольных и прямоугольных КЭ^ работающих в своей плоскости, на изгиб из своей плоскости и комбинированные (КЭ оболочки).

Такой набор элементов позволяет рассчитывать плоские и пространственные конструкции при стержневой, пластинчато-стержневой и оболо-чечно-стержневой идеализации.

Пакет программ состоит из вспомогательных программ подготовки исходных данных и программ, реализующих МКЭ.

Вспомогательные программы:

- Вычисление геометрических характеристик произвольного сечения открытого и одноконтурного закрытого профилей;

- Генерирование узлов с их координатами по площади панели; генерирование стержневых и прямоугольных КЭ с их типом, матрицей индексов, толщиной элементов и распределенной нагрузкой.

Программы расчета стержневых систем:

- Статика произвольной плоской стержневой системы;

- Статика произвольной плоско-пространственной тонкостенной стержневой системы;

- Статика произвольной пространственной стержневой системы (МКЭ с выделением подконструкций и без выделения);

- Статика произвольной пространственной тонкостенной стержневой системы.

Программы расчета пластин и оболочек:

- Плоская и осесимметричная задачи теории упругости;

- Изгиб пластины, подкрепленной тонкостенными стержнями;

- Оболочка как совокупность плоских элементов, подкрепленная тонкостенными стержнями.

Приведена структура, характеристика и функциональные возможности программ.

Программа «Вычисление геометрических характеристик произвольного тонкостенного сечения открытого и одноконтурного закрытого профилей» позволяет определять геометрические характеристики открытого, закрытого и комбинированного тонкостенных сечений при минимальном количестве исходных данных и простоте их подготовки.

Расчетная модель тонкостенного сечения и структура исходных данных программы аналогична программам, реализующим МКЭ: дискретная схема тонкостенного сечения, координаты узлов (секториальные координаты узлов сечения вычисляются непосредственно в программе) и матрица индексов, элементы которой — номера узлов участков сечения. Секториальные координаты узлов вычисляются непосредственно по их определению (удвоенная площадь фигуры, заключенная между начальным радиусом-вектором и радиусом-вектором, проведенным из полюса в рассматриваемый узел) в соответствии с последовательностью элементов расчетной модели сечения в матрице индексов.

Программы генерирования исходной информации (координат узлов и матриц индексов КЭ) особенно эффективны при решении задач, содержащих многие сотни узлов и КЭ. Выходные файлы OUT программ генерирования узлов и КЭ модели конструкции являются входными файлами INP программ, реализующих МКЭ, т. е. у операторов вывода вспомогательных программ генерирования и у операторов ввода программ, реализующих МКЭ, один и тот же оператор FORMAT. Такая организация входных и выходных данных в программах значительно сокращает трудоемкость подготовки исходной информации и решения задачи в целом.

Различие программ, реализующих МКЭ и предназначенных для решения конкретных задач, заключается в типах КЭ, в исходной информации и в следующих матрицах КЭ: жесткости, направляющих косинусов, ортогонального преобразования координат, а также в подпрограммах вычисления внутренних узловых сил и напряжений. Структура программ, реализующих МКЭ, построена по модульному принципу, что обеспечивает возможность библиотеке КЭ быть открытой и достаточно просто пополняемой, т. е. по мере использования пакета программ появляется необходимость в новых элементах и библиотека элементов может расширяться.

Приведено описание наиболее характерной программы «Изгиб пластины, подкрепленной тонкостенными стержнями», реализующей МКЭ, и ее блок-схема, а также описание и блок-схема программы «Статика произвольной пространственной стержневой системы», реализующей МКЭ с выделением подконструкций.

Рассмотрены принципы образования расчетных моделей произвольного тонкостенного сечения открытого и одноконтурного закрытого профилей для вычисления их геометрических характеристик, а также конечно-элементных моделей стержневых, пластинчато-стержневых и оболочечно-стержневых систем.

Рассмотрены особенности различных конечно-элементных моделей, подготовки исходной информации при расчете по разработанным программам в каждом конкретном случае.

В четвертой главе выполнена оценка точности расчетов и приведены результаты применения разработанного пакета программ при исследовании и проектировании тонкостенных конструкций. Приведена оценка точности результатов расчета, выполненная на различных тестах в каждом конкретном случае на всех этапах разработки и реализации численных алгоритмов. Рассмотрена сходимость приближенных численных решений МКЭ при изгибе пластины для различных КЭ при увеличении густоты сетки элементов в сравнении с известными аналитическими и численными решениями. Выполнено сравнение результатов расчета с данными экспериментальных исследований для двух узлов рамы автомобиля УАЗ, конечно-элементные модели которых образованы совокупностью плоских КЭ оболочки и тонкостенных стержневых.

Проведены экспериментальные исследования пластины, подкрепленной тонкостенными стержнями, для оценки ее результатов расчета с различными конечно-элементными моделями.

Далее выполнен поверочный расчет напряженно-деформированного состояния рамы автомобиля УАЗ-ЗЗОЗ на основе плоской конечно-элементной модели при симметричной нагрузке, в соответствии с весовой характеристикой автомобиля, а также и при кососимметричной нагрузке: изгибе в горизонтальной плоскости и кручении. По результатам расчетов построены графики нормальных напряжений в лонжероне рамы. Приведен анализ напряженно-деформированного состояния рамы.

Выполнены исследования напряженно-деформированного состояния коробчатого подкрепленного блока технологической системы ТС-20 (20 м ) на стадии проектирования с помощью разработанной программы «Расчет емкости реактора для разложения СОЖ», предназначенной для расчета цилиндрических и коробчатых конструкций, подкрепленных и не подкрепленных стержневым каркасом. Разработка программы целевого назначения позволила обеспечить рациональную организацию исходных данных и вычислений, упростить исходную информацию о задаче и ее подготовку: распределенная нагрузка, действующая на КЭ, вводится в общей системе координат и обеспечивается полная генерация узлов и КЭ задачи. Конечно-элементная модель четвертой части предложенного проекта блока к численному исследованию его напряженного и деформированного состояний образована 2689 прямоугольными КЭ оболочки и 206 пространственными балочными КЭ, и содержит 2784 узла. Разрешающая СЛАУ равновесия задачи состоит из 16704 уравнений.

Аналогичные исследования напряженного и деформированного состояний выполнены на стадии проектирования блока ТС-90. Конечно-элементная модель четвертой части проекта образована 7011 прямоугольными КЭ оболочки и 870 пространственными балочными КЭ, и содержит 7172 узла. Разрешающая СЛАУ равновесия конечно-элементной модели задачи состоит из 43032 уравнений. По результатам расчетов вариантов конструкций построены графики линейных перемещений и нормальных напряжений, приведены максимальные значения нормальных напряжений и прогибов для рассмотренных моделей и вариантов конструкций. На основе многовариантных численных экспериментов, путем варьирования жесткостью стержней каркаса и толщиной листа металла блоков, разработаны рекомендации по совершенствованию конструкций, что позволило в целом улучшить их несущую способность и уменьшить массу на 1750 кг.

В приложении приведены табуляграммы расчетов тестов и примеров, выполненных по разработанным программам.

Работа выполнялась на кафедре «Основы проектирования машин» Ульяновского государственного технического университета.

Автор считает своим долгом выразить признательность и благодарность научному руководителю д. т. н., профессору Дьякову Ивану Федоровичу за оказанную помощь и консультации при выполнении работы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Чернов, Сергей Анатольевич

Основные результаты работы

1. Предложен и реализован алгоритм формирования матрицы жесткости конструкции, упрощающий ее формирование при различном количестве степеней свободы в узлах КЭ, а также рациональный алгоритм преобразования элементов матрицы жесткости конструкции из обычной точности в двойную с использованием внешней памяти ЭВМ.

2. Разработана и реализована математическая модель пространственного узла соединения тонкостенных стержней с различной депланацией сечений концов сходящихся стержней. Для моделирования узловых соединений стержней предлагается использовать плоские КЭ оболочки, а вне узла - стержневые. Получена матрица жесткости граничного тонкостенного стержневого КЭ и предложено ее формирование. Погрешность результатов расчета в сравнении с результатами экспериментальных данных по углам закручивания поперечин рамы УАЗ составила 6-8%, а по нормальным напряжениям - 12-15%. Комбинация КЭ отражает стержневой характер конструкции, позволяет в десятки раз сократить объем исходной информации и трудоемкость ее подготовки, выполняя расчеты произвольной тонкостенной стержневой системы.

3. Для расчета оболочки, подкрепленной тонкостенными стержнями, предложена и реализована математическая модель, позволяющая учитывать особенности соединения стержней с оболочкой. Выполнен учет де-планации сечения тонкостенных стержней при анализе напряженно-деформированного состояния подкрепленной конструкции. Предложены матрица жесткости тонкостенного стержня и ее формирование. В сравнении с экспериментальными данными расчет подкрепленной пластины при симметричном креплении тонкостенных стержней с учетом депланации сечений при кручении стержней повысил точность расчета в 1,5 раза.

4. Разработан пакет программ, реализующий предложенные алгоритмы и позволяющий выполнять расчеты при стержневой, пластинчато-стержневой и оболочечно-стержневой идеализации конструкций. Результаты расчетов достаточно точные в пределах теорий балочного и тонкостенного стержня, плоской задачи теории упругости, пластин и оболочек и адекватны экспериментальным данным.

5. Выполнены исследования напряженно-деформированного состояния блоков технологических систем, позволившие разработать рекомендации по совершенствованию конструкций, улучшить их несущую способность и уменьшить массу на 1750 кг.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Чернов, Сергей Анатольевич, 2010 год

1. Аргирис, Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц / Дж. Аргирис. М. : Стройиздат, 1968. -241 с.

2. Артюхин, Ю. П. Исследование изгиба пластины сложной формы методом граничных элементов / Ю. П. Артюхин, М. В. Крамин. -Казань : КГУ, деп. в ВИНИТИ, № 2475-В94, 1994. 17 с.

3. Артюхин, Ю. П. Расчет пластинчатых конструкций и пологих оболочек методом граничных элементов / Ю. П. Артюхин, М. В. Крамин // Труды 17 международ, конф. по теории оболочек и пластин. Т. 2. -Казань : КГУ, 1995. С. 77-81.

4. Артюхин, Ю. П. Применение метода граничных элементов для расчета напряженно-деформированного состояния пологих сферических оболочек. / Ю. П. Артюхин, М. В. Крамин. — Казань : КГУ, деп. в ВИНИТИ, № 2476-В94, 1994. 19 с.

5. Артюхин, Ю. П. Напряженно-деформируемое состояние пространственных конструкций, состоящих из пластин сложной формы. / Ю. П. Артюхин, М. В. Крамин. Казань : КГУ, деп. в ВИНИТИ, № 2477-В94, 1994.-50 с.

6. Бартеньев, О. В. Современный Фортран / О. В. Бартеньев. — М. : Диалог-МИФИ, 1998. 197 с.

7. Бартеньев, О. В. Visual Fortran: новые возможности / О. В. Бартеньев. М. : Диалог-МИФИ, 1999. - 304 с.

8. Басов, К. А. ANS YS в примерах и задачах / К. А. Басов. Под ред. Д. Г. Красковского. М. : КомпьютерПресс, 2002. — 223 с.

9. Банцарев, К. Н. Исследование составных пластин методом граничных элементов в сочетании с вариационным методом / К. Н. Банцарев. -Казань : Диссертация, 2001. — 116 с.

10. Бате, К. Численные методы анализы и метод конечных элементов / К. Бате, Е. Вилсон. -М.: Стройиздат, 1982.-448 с.

11. П.Белокуров, В. Н. Исследование напряженного и деформированного состояния элементов тонкостенного открытого профиля в зоне узла стержневых конструкций / В. Н. Белокуров. — Одесса : Диссертация, 1970.-265 с.

12. Белоносов, С. М. Математическое моделирование равновесных состояний упругих тонких оболочек / С. М. Белоносов. М. : Наука, 1993.- 159 с.

13. Бенерджи, П. Методы граничных элементов в прикладных науках / П. Бенерджи, Р. Баттерфилд. Пер. с англ. -М. : Мир, 1984. 496 с.

14. Бреббия, К. Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж Теллес, JI. Броубел. Пер. с англ. М. : Мир, 1987. - 524 с.

15. Бреббия, К. Применение метода граничных элементов в технике / К. Бреббия, С. Уокер. Пер. с англ. М. : Мир, 1982. - 248 с.

16. Бычков, Д. Б. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций / Д. Б. Бычков. М. : Госстройиздат, 1962. — 475 с.

17. Вайнберг, Д. В. Справочник по прочности, устойчивости и колебания пластин / Д. В. Вайнберг. — Киев : Будивельник, 1973. 488 с.

18. Венцель, Э. С. Применение метода компенсирующих нагрузок к расчету пластин сложной формы / Э. С. Венцель // ДАН УССР, сер. А. -1980.-С. 43-45.

19. Венцель, Э. С. Об одном алгоритме решения краевой задачи изгиба тонких пластинок, лежащих на упругом основании / Э. С. Венцель, С. Ф. Еременко // Материалы научно-техн. конф. Харьков : ХИСИ, Деп. в Укр. НИИНТИ, С165-Ук190, 1990. - С. 3-45.

20. Верюжский, Ю. В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики / Ю. В. Верюжский. Киев : Вища школа, 1978.- 181 с.

21. Вилипыльд, Ю. К. Расчет упругих систем по методу конечных элементов / Ю. К. Вилипыльд, И. Я. Хархурим. Отраслевой фонд алгоритмов и программ, вып. 1-108, 1970.

22. Власов, В. 3. Тонкостенные упругие стержни / В. 3. Власов. — М. : Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.-566 с.

23. Власов, В. 3. Общая теория оболочек / В. 3. Власов. M.-JI. Стройиз-дат, 1949.-784 с.

24. Гавеля, С. П. О сохранении разрешимости граничных задач теории пологих оболочек при приведении их к интегральным уравнениям / С. П. Гавеля // Известия вузов. Математика. 1969. — № 5. -С. 14-19.

25. Галимов, К. 3. Теория оболочек сложной геометрии / К. 3. Галимов, В. Н. Паймушин. Казань : КГУ, 1985. - 208 с.

26. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер. Пер. с англ. под ред. Н. В. Баничука. М. : Мир, 1984. - 428 с.

27. Гельфгат, Д. Б. Рамы грузовых автомобилей / Д. Б. Гельфгат, В. А. Ошноков. М.: Машгиз, 1959. - 231 с.

28. Голованов, А. И. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел / А. И. Голованов, Д: В. Бережной. Казань : ДАС, 2001.-301 с.

29. Голованов, А. И. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек / А. И. Голованов, М. С. Корнишин. Казань : КФТИ, 1989.-270 с.

30. Голованов А. И. Универсальный конечный элемент тонкой оболочки / А. И. Голованов // Исследования по теории оболочек : труды семинара, вып. 25. Казань : КФТИ, КНЦ АН СССР, 1990. С. 66-83.

31. Горбунов, Б. Н. Теория рам из тонкостенных стержней / Б. Н. Горбунов, А. И. Стрельбицкая. — М. : Гостехиздат, 1948. 198 с.

32. Городецкий, А. С. Численная реализация метода конечных элементов / А. С. Городецкий // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев : Будивельник, вып. XX, 1973. - 12 с.

33. Горшков, С. П. Автоматизация конструирования и прочностных расчетов оболочечных конструкций. Расчеты на прочность / С. П. Горшков, С. С. Корольков, В. И. Мяченков. М. : Машиностроение, 1989. Вып. 29.

34. Григоренко, Я. М. О численном решении задач статики пологих оболочек на основе метода сплайн-коллокации / Я. М. Григоренко, М. Н. Беренов // Прикладная механика. 1988. — № 5. - С. 32-38.

35. Громадко, П. Т. Комплексный метод граничных элементов / П. Т. Громадко, Ч. Лей. М. : Мир, 1990. - 304 с.

36. Дарков, А. В. Строительная механика / А. В. Дарков, Н. Н. Шапошников. М. : Высшая школа, 2000. - 630 с.

37. Джордж, А. Численное решение больших разреженных систем уравнений / А. Джордж, Дж. Лю. Пер. с англ. М. : Мир, 1984. — 334 с.

38. Дьяков, И. Ф. Прикладное оптимальное проектирование в автомобилестроении / И. Ф. Дьяков, А. В. Денисов. Ульяновск : УлГТУ, 2004. -280 с.

39. Дьяков, И. Ф. Управляющая программа для оптимизации параметров автомобиля / И. Ф. Дьяков, Е. А. Мшатапкш, В. А. Зайцев // Автомобильная промышленность. 1994. - № 5. - С. 60-62.

40. Дьяков, И. Ф. Численная реализация метода интегрирования произвольных эпюр / И. Ф. Дьяков, С. А. Чернов // Современные научно-технические проблемы транспорта : материалы III международ, науч.-техн. конф. Ульяновск : УлГТУ, 2005. - С. 63-65.

41. Дьяков, И. Ф. К расчету оболочки, укрепленной тонкостенными стержнями / И. Ф. Дьяков, С. А. Чернов // Автоматизация и современные технологии. 2008. - № 1. - С. 16-20.

42. Дьяконов, Е. Г. О решении некоторых задач теории сетчатых оболочек / Е. Г. Дьяконов, И. К. Николаев // Журнал вычислительной математики и математической физики. Том 13. — 1973. — № 4. — С. 938-951.

43. Закс, М. Н. Уравнение бимоментов в "мягком" узле автомобильной рамы / М. Н Закс, В. Н. Белокуров // Автомобильная промышленность.- 1973.-№5.-С. 23-24.

44. Захаров, А. А. Исследование пространственного взаимодействия элементов автомобильных рам / А. А. Захаров. М. : Диссертация, 1978. -214 с.

45. Захаров, А. А. Вычисление геометрических характеристик произвольного тонкостенного сечения открытого профиля на ЭВМ / А. А. Захаров, А. Н. Черный. -М. : Деп. НИИНавтопром, Д367, 1979. 5 с.

46. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. Пер. с англ. под ред. Б. Е. Победри. М.: Мир, 1975. - 541 с.

47. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред / О. Зенкевич, И. Чанг. Пер. с англ. под ред. Б. Е. Победри. М.: Недра, 1974. - 481 с.

48. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. Пер. с англ. под ред. Б. Е. Победри. — М. : Мир, 1986. — 318 с.

49. Иванов, А. А. Расчет автомобильных рам методом конечных элементов / А. А. Иванов // Автомобильная промышленность. — 1973. № 4.- С. 26-28.

50. Исследование и разработка конструкции рамы для автомобилей семейства "УАЗ" с целью улучшения и снижения металлоемкости: техн. отчет. Ульяновск : УлПИ, 1983. - 127 с. - № ГР 72023563.

51. Колтунов, М. А. Прикладная механика деформируемого твердого тела / М. А. Колтунов, В. П. Майборода, А. С. Кравчук. — М. : Высшая школа, 1983. 345 с.

52. Коренев, Б. Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях / Б. Г. Коренев. — М. : Физмат-гиз, 1960.-287 с.

53. Корнишин, М. С. Об одном алгоритме расчета гибких пластин и пологих оболочек переменной жесткости / М. С. Корнишин, М. А. Александров, Н. Н. Столяров // Труды семинара по теории оболочек. Казань : КГУ, 1975.-С. 196-201.

54. Корнишин, М. С. Обзор работ по расчету на изгиб и устойчивость пластин и оболочек сложного очертания / М. С. Корнишин, М. А. Файзуллина. Казань : КФАН СССР, ДЕП. в ВНИНИТИ №8071-386, 1986.-39 с.

55. Крауч, С. Методы граничных элементов в механике твердого тела / С. Крауч, А. Старфилд. М. : Мир, 1987. - 328 с.

56. Мак-Кракен, Д. Численные методы и программирование на Фортране / Д. Мак-Кракен, У. Дорн. Пер. с англ. под ред. Б. М. Наймарка — М. : Мир, 1977.-584 с.

57. Мейснер, К. Алгоритм многократного объединения при расчете конструкций методом жесткостей / К. Мейснер // Ракетная техника и космонавтика. 1968. -№ 11.-С. 176-177.

58. Меткалф, М. Описание языка программирования Фортран 90 / М. Меткалф, Дж. Рид. М.: Мир, 1995. - 302 с.

59. Метод компенсирующих нагрузок в задачах теории тонких пластинок и оболочек / Э. С Венцель, К. Е. Джан-Темиров, А. М. Трофимов, Е. В. Негольша. Харьков, 1992. - 92 с.

60. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений / В. А. Постнов, С. А. Дмитриев, Б. К. Елтышев, А. А. Родионов. Л. : Судостроение, 1979. -287 с.

61. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ / А. В. Александров, Б. Я. Лащенков, Н. Н. Шапошников, В. А. Смирнов. М.: Стройиздат, 1976. - 248 с.

62. Мяченков, В. И. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС / В. И. Мяченков, В. П. Мальцев. М. : Машиностроение, 1984.-280 с.

63. Мяченков, В. И. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ. Справочник / В. И. Мяченков, И. В. Григорьев. М. : Машиностроение, 1981.-216 с.

64. Нехотяев, В. В. Большие прогибы тонких упругих пластин / В. В. Не-хотяев, А. В. Саченков // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 8. Казань : КГУ, 1972. - С. 42-77.

65. Палий, О. М. О рациональных путях использования ЭВМ в расчетах прочности конструкций судового корпуса / О. М. Палий // Проблемы прочности судов. Л : Судостроение, 1975. — С. 42-77.

66. Партон, В. 3. Методы математической теории упругости / В. 3. Пар-тон, П. И. Перлин. М.: Наука, 1981. - 688 с.

67. Постнов, В. А. Численные методы расчета судовых конструкций / В. А. Постнов. Л. : Судостроение, 1977. - 420 с.

68. Постнов, В. А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В. А. Постнов, И. Я. Хархурим. Л. : Судостроение, 1974. -485 с.

69. Пржеминицкий, Е. С. Матричный метод исследования конструкций на основе анализа подструктур / Е. С. Пржеминицкий // Ракетная техника и космонавтика. 1963. - № 1. - С. 165-174.

70. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердого тела / Ю. Н. Работнов. М. : Наука, 1977. - 384 с.

71. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю. Н. Ра-ботнов. М. : Наука, 1979. - 744 с.

72. Райе, Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение / Дж. Райе. Пер. с англ. М. : Мир, 1984. - 264 с.

73. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов. Справочник / В. И. Мяченков и др. — М. : Машиностроение, 1989.-520 с.

74. Рикардс, Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин / Р. Б. Рикардс. Рига : Зинатне, 1988. — 284 с.

75. Роголевич, В. В. Метод переопределенной внутренней коллокации в задачах прочности, устойчивости, колебаниях пластин и оболочек / В, В. Роголевич // Строительная механика и расчет сооружений. -1982.-№5.-С. 33-38.

76. Розин, Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам / Л. А. Розин. М. : Стройиздат, 1977. - 128 с.

77. Сборник научных программ на Фортране. Выпуск 2 / Пер. с англ. под ред. С. Я. Виленкина. М. : Статистика, 1974. — 224 с.

78. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегер-линд. Пер. с англ. М. : Мир, 1979. - 392 с.

79. Серазутдинов, М. Н. К методам расчета пологих оболочек со сложной формой контура / М. Н Серазутдинов // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1988. - № 3. - С. 144-149.

80. Столяров, Н. Н. Несимметричные задачи упругопластического изгиба гибких пологих оболочек и пластин переменной жесткости / Н. Н Столяров // Прочность и устойчивость оболочек: труды семинара. Вып. 13. -Казань : КФТИ. КФАН СССР, 1980. С. 47-58.

81. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. Пер. с англ. под ред. Г. И. Марчука. М. : Мир, 1977. - 349 с.

82. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы / А. Ф. Смирнов, А. В. Александров, Б. Я. Лащеников, Н. Н. Шапошников. М. : Стройиздат, 1983. - 488 с.

83. Теллес, Д. К. Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач / Д. К. Ф. Теллес. М. : Стройиздат, 1987. -160 с.

84. Толкачев, В. М. Уравнения изгиба пластин произвольного очертания с угловыми точками / В. М. Толкачев // Труды XXVII международ, конф. по теории оболочек и пластин. Казань : КГУ, 1996. — Т. 1. — С. 145-153.

85. Туснин, А. Р. Точность расчета тонкостенного стержня открытого профиля методом конечных элементов / А. Р. Туснин // Промышленное и гражданское строительство. 2003. — № 6. - С. 59-60.

86. Угодчиков, А. Г. Метод граничных элементов в механике твердого деформируемого тела / А. Г. Угодчиков, Н. М Хуторянский. Казань : КГУ, 1986.-296 с.

87. Филин, А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела / А. П. Филин. М.: Наука, Т. 2, 1978. - 616 с.

88. Чернов, С. А. О пространственной модели узла соединения поперечины с лонжероном в раме автомобиля / С. А. Чернов // Политранспортные системы : материалы IV Всероссийской науч.-техн. конф. Красноярск : ИПЦ КГТУ, 2006. - В 2 ч. Ч. 2. - С. 155-157.

89. Чернов, С. А. О расчете напряженно-деформированного состояния рамы автомобиля УАЗ / С. А. Чернов, С. В. Шабанов, И. Ф. Дьяков // Наука будущее Литвы. Транспорт : сб. докл. 10-ой конф. «Наука -будущее Литвы». - Вильнюс : Техника, 2007. - С. 31-36.

90. Чернов, С. А. О расчете методом конечных элементов емкости реактора на стадии проектирования / С. А. Чернов, И. Ф Дьяков // Известия ВУЗов. Машиностроение. 2007. - № 3. - С. 16-20.

91. Чернов, С. А. К расчету пространственной тонкостенной стержневой системы / С. А. Чернов, И. Ф., Дьяков // Автоматизация и современные технологии. 2008. - № 2. - С. 3-7.

92. Чернов С. А. Расчет рамы автомобиля УАЗ при симметричном нагру-жении / С. А. Чернов // Современные научно-технические проблемы транспорта: сб. науч. трудов V международ, науч.-техн. конф. Ульяновск: УлГТУ, 2009. - С. 36-39.

93. Черный, А. Н. К вопросу моделирования узловых соединений тонкостенной стержневой системы / А. Н. Черный // Механика и процессы управления. Ульяновск : УГТУ, 1996. - С. 54-58.

94. Шагивалеев, К. Ф. Расчет плиты на упругом однослойном основании / К. Ф. Шагивалеев, Е. К. Сурнина // Совершенствование методов расчета строительных конструкций и технологии строительства: межвуз. сб. науч. трудов. Саратов : СГТУ, 2001. - С. 45-52.

95. Якупов, Н. М. Прикладные задачи механики упругих тонкостенных конструкций / Н. М. Якупов. Казань : КНЦ РАН ИММ, 1994. - 124 с.

96. Aguar A. A. Applications of Computer Graphics to Automotive Structural Analysis. SAE, № 760182, 1976.

97. Al-Hosani K. A non-singular fundamental solution for boundary element analysis of thick plates on Winkler foundation under generalized loading. Comput. and Struct. 2001. 79, №31, P. 2767-2780.

98. Araldsen P. O., Roren E. M. Q. The finite Element Method using Superelements. SESAM-69 Struct. // Conf. on Modern Techniques of Ship Struct. Analysis and Design-Berkley: University of California, Sept. 1970.

99. Cadegh All M. On the Green's function and boundary integral formulation of elastic plates //Mech. struct, and Mach., 1991. 16, N3, 293-311 p.

100. Camp C.V., Gipson G.S. Biharmonic analysis of rectilinear plates by the bem // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1990. 30, N3, 517-539 p.

101. Choi J. H., Kwak В. M. A bie formulation in derivative unknowns for two-dimentional potential problems // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1989. 56, 3,617-623 p.

102. Ding F., Li Z. Calculation of boundary integrals and load integrals for plate bending // J. Lanzhou Univ. 1991. 27, N2, 1-7 p.

103. Gospodinov G. K. The boundary element method applied to shellow spherical shells. "Boundary Elements 6", Proc. 6th Int. Conf. Board Liner, Queen Elizabeth 2, Southampton, N.Y., Ju ly, Berlin, e.a., 1984. 3/65-3/77.

104. Hessel J. J., Lammers S. J. Solution of Automotive Structural Problems Using the Finite Elements Methods and Computer Graphics. Automotive Engineering Congress, Detroit, Mech, SAE, Paper 701234, Jenuary, 1971.

105. Hui C.-Y., Shia D. Evaluations of hypersingular integrals using Gaussian quadrature. Int. J. Numer. Meth. Eng. 1999. 44, №2, p. 205-214.

106. Ivanova Jordanka, Valeva Varbinka. Bending analysis of shallow spherical schells by BEM // Trans. 10th. Int. Conf. Struct. Mech. React. Technol. Anaheim. Calif. 14-18 Aug. 1989. Vol. B. Los Angeles. 1989.19-24 p.

107. Katsikadelis J.T. Large defection analysis of plates on elastic fondation by the boundary element method // Int. J. Solid and Struct. 1992. 27. N15. p. 1867-1878.

108. Katsikadelis J.T., Sapountzakis E.J., Zorba E.G. A BEM approach to static and dynamic analysis of plates with internal supports. Comput. Mech. 1990. 7, N1,31-40 p.

109. Lei Xiboyan, Huang Maokuang. A new bondary element method for Rissners plate with new bondary values // Lixue Xuebao.1995. N 5. p.551-559.

110. Liu F.-L. Rectangular thick plates on Winkler foundation: differential quadrature element solution. J. Solids and Struct. 2000.37. №12, P. 17431763.

111. Lu Pin, Huang Mao-quang. Calculation of the fundamental Solution for the theory of shallow schells considering shear deformation // Appl. Math, and Mech. 1992. 13. N6. 537-545 p.

112. Lubkin J. L. The Flexibility of a Tubular welded Joint in a Vehicle Frame. Int. Conf. veh. Struct. Mech., Paper 740340, 1974.

113. Melnikov Yu.A. Influence function and matrices. New-York-Basel: Marcel Dekker, Inc. - 1999. - 469 p.

114. Neki I., Nagai K.,Fuke H. General Purpose Program of Plane Stress Analysis by Finite Element Method and its Applications. — IH1 Engineering Rev., 1972, vol. 5, No. 1.

115. Roday D., Zimmer A., Geissler H. Finite Element Analysis an Automobile Engineers Tool. Int. Conf. Veh. Struct. Mech., Paper 740338, 1974.

116. Sawada T., Imanari M. Error estimate of numerical integration in boundary element method analysis // Bulletin of JSME, Vol. 29, №258, December1986. 4072-7079 p.

117. Schwerzler D. D. A Technique for Connecting Beam Elements to a Plate Model of Complicated Box Section. Int. Conf. Veh. Struct. Mech. Paper 740339, 1974.

118. Shang Xin-chun, Cheng Chang-jun. Qualitative investigation and monotonic iterative solutions for nonlinear bending og polar ortotropic circular plates//Appl. Math, and Mech. 1990. 11. N12. p. 1137-1154.

119. Sladek V., Sladek J. Non sinqular formulation og BIE for plate bending // Eur. J. Mech. A. 1992. 11. № 3. 335-348.

120. Tanaka Masataka, Mitsumoto Toshiro, Zheng Zhundong. BEM analyses of finite deflection problems for von Karman-type plates // Nihon Kikai Gak-kai Ronbunscu. A. Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. 1995. N 589. p. 2079-2085.

121. Tosaka N., Miyake S., A boundary schallow shell bending problems. "Boundary Elem. Proc. 5th Int. Conf., Hiroshima, Nov., 1983", Berlin e.a., 1983', 527-538.

122. Tottehem H. The boudary element method for plates and schells. "Devlop Boundary Elem. Meth. 1" London. 1979. 173-205.

123. Wang Zuo-hui. Nonsingular kernel bem for thin plate bending problem // Appl. math, and mech. 1993, 14, N8, 729-738 p.

124. Wearing J. L., Abdul Rahman A. G. Aregular indirect bem for stress analysis. Boundary elements 9. 9th Int. Conf. Stuttgard, Aug. 31st Sept. 4th,1987, Vol. 1, Southampton, 1987. 183-198 p.

125. Werner H., Protosaltis B. A. boundary superposition element method for the Kirchoff plate bending problems. Boundary Elements 7. Proc. 7th Int. Conf. Lake Como, Sept. 1985, Vol.1, Berlin e. a., 1985, 4/63 4/80.