Большие прогибы пластин и пологих оболочек со сложным контуром тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Грибов, Александр Павлович

• Грибов, Александр Павлович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Грибов, Александр Павлович

Введение.

Глава I. Интегральные уравнения изгиба и плоского напряженного состояния пластины.

§1.1. Формулы дифференцирования в локальной системе координат.

§1.2. Метод компенсирующих нагрузок при изгибе пластины.

§1.3. Определение ядер потенциалов, входящих в интегральные уравнения изгиба пластины.

§1.4. Предельное представление потенциалов на границе области.

§1.5. Интегральные уравнения изгиба пластины.

§1.6. Метод компенсирующих нагрузок при плоском напряженном состоянии пластины.

§1.7. Определение ядер потенциалов, входящих в интегральные уравнения плоского напряженного состояния пластины.

§1.8. Интегральные уравнения метода компенсирующих нагрузок при плоском напряженном состоянии пластины.

§1.9. Регуляризация расходящихся интегралов.

§1.10. Вычисление сингулярных интегралов по элементам контура.

Глава II. Изгиб пластин сложной формы.

§2.1. Изгиб пластин от действия поперечной нагрузки.

§2.2. Исследование температурного изгиба многосвязных изотропных пластин.

§2.3. Расчет ортотропных пластин сложной формы.^

§2.4. Расчет пластин, подкрепленных по контуру через прокладку упругим ребром.

Глава III. Решение задач о больших прогибах пластин и пологих оболочек непрямым МГЭ.

§3.1. Исходные соотношения.

§3.2. Расчет пластин и пологих оболочек непрямым методом

1 1 /г граничных элементов.

§3.3 Решение задач о больших прогибах пластин.

§3.4. Большие прогибы пологих оболочек.

§3.5. Линейные задачи теории пологих оболочек.

§3.6. Изгиб длинных цилиндрических панелей и пластин.^

§3.7. Большие прогибы пластин и пологих оболочек на упругом основании.

Глава IV. Решение задач о больших прогибах пластин и пологих

1 (\й. оболочек прямым МГЭ.

§4.1. Исходные соотношения. Итерационный процесс.

§4.2.Интегральные уравнения прямого МГЭ для гибких пластин и пологих оболочек.

§4.3. Расчет длинных панелей на основе прямого МГЭ.

Глава V. Большие прогибы пластин и пологих оболочек ступенчато-переменои жесткости.

§5.1. Постановка задачи.

§5.2. Вариационное уравнение.

§5.3. Расчет пологой оболочки ступенчато-переменой жесткости на основе вариационного уравнения Лагран

§5.4. Сравнение приближенного и точного решений длинной пологой цилиндрической панели ступенчато - переменной толщины.^^

§5.5. Решение системы линейных алгебраических уравнений с блочной матрицей специального вида.

§5.6. Расчет пологой оболочки ступенчато-переменной жесткости на основе вариационого уравнения смешанного типа.^ ^

§5.7. Большие прогибы пологих оболочек ступенчатопеременной жесткости.

§5.8. Большие прогибы пластин ступенчато-переменной жесткости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Большие прогибы пластин и пологих оболочек со сложным контуром»

Интенсивное развитие теории оболочек и пластин обусловлено потребностями практики. Вопросы, связанные с расчетом тонкостенных конструкций возникают во многих отраслях современной промышленности, в том числе: авиации, ракетостроении, судостроении, химическом машиностроении, строительстве и т.д. В связи с этим одной из главных задач механики тонкостенных конструкций является совершенствование методов расчета и проектирования пластин и оболочек сложной формы с различными законами изменения толщины, отверстиями, включениями, накладками, подкрепляющими ребрами при действии на них распределенных и локальных нагрузок.

В публикациях А.Н. Гузя, В.В. Новожилова, Г.В. Новожилова, Н.Ф. Образцова, Г.Н. Свищева [114, 228, 229, 231, 271] указывается на необходимость совершенствования методов расчета тонкостенных конструкций.

В работе А.П. Филина [307] отмечается: "Наличие всевозможных невторостепенных конструктивных особенностей, как, например, элементы, подкрепляющие пластину или оболочку на контуре или в области, подкрепленные или неподкрепленные отверстия, местные утолщения и тому подобные нерегулярности, в ряде случаев приводят к необходимости их учета. Вместе с тем классические расчетные схемы, методы и алгоритмы расчета оказываются, как правило, в этих случаях малоэффективными".

В работе Г.В. Новожилова [229] указывается: ". следует иметь в виду, что только 10%-ная погрешность в определении напряжений приводит почти к двойной погрешности в ресурсе".

Одной из проблем механики тонкостенных конструкций является развитие методов исследования нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек сложной формы с различными законами изменения толщины, в частности, оболочек ступенчато-переменной жесткости, которые находят широкое применение в технике. Так, расчетная схема пластин и оболочек с широкими ребрами с учетом эксцентриситета (расстояния между срединными поверхностями ребер и оболочки) представляет оболочку ступенчато-переменной жесткости.

Оболочки ступенчато-переменной жесткости и оболочки, ограниченные сложным контуром>относятся к оболочкам сложной геометрии. По определению К.З. Галимова, В.Н. Паймушина [80] - это оболочки со сложной формой срединной поверхности, не описываемой простыми аналитическими выражениями и со сложной конфигурацией границы.

Для более полного изложения вопросов актуальности и научной новизны, представленных в работе результатов, приводится краткий обзор литературы по теме исследования.

В настоящей диссертационной работе представлены результаты исследований задач линейного и нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек произвольной формы при действии распределенных и локальных нагрузок. Рассмотрены задачи изгиба пластин, подкрепленных по контуру через прокладку упругим ребром, задачи расчета ортотропных и многосвязных пластин. Приведены интегральные уравнения изгиба и растяжения пластин. Для этого класса задач рассмотрены предельные значения основных потенциалов и вопросы вычисления сингулярных интегралов. Предложены итерационные алгоритмы расчета гибких пластин и пологих оболочек произвольной формы. Проведено численное исследование сходимости итерационных процессов. Приведены результаты решения задач о болыцих прогибах пластин и пологих оболочек сложной формы. Рассмотрены задачи о больших прогибах пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости. Решение этого класса задач выполнено методом Ритца с использованием специального представления приближенного решения, учитывающего разрывы в напряжениях и деформациях на линиях ступенчатого изменения жесткости. Приведены результаты исследования нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек различной формы.

Часть работ была вызвана потребностями производства.

Все вышеизложенные позволяет сделать заключение об актуальности темы исследования.

Обзоры публикаций по оболочкам сложной формы приведены в работах [76, 116, 168, 226, 249, 322].

Для расчета оболочек сложной геометрии применяются различные модификации метода конечных разностей (МКР). В работах Баженова В.Г., ВайнберГа Д.В., Вольмира A.C., Гоцуляка Е.А., Григоренко Я.М., Мукоеда А.П., Корнишина М.С., Петухова Н.П., Положего Г.Н., Крысько В.А., Кар-мишина A.B., Столярова H.H. и др. изложены способы построения разностных схем [32, 43, 45, 46, 63, 65, 66, 111, 112, 152, 153, 156, 247, 248, 254, 181, 288, 224].

Для расчета пластин и пологих оболочек с отверстиями и выточками различной формы находит широкое применение метод разложения по параметру. Основные результаты по применению этого метода опубликованы в монографиях Гузя А.Н., Немиша Ю.Н., Каюка Я.Ф., Чернышенко П.С., Чехова Вал.Н., Чехова Вик.Н., Блошко Н.М. [115, 139, 203, 225].

Расчету перфорированных пластин и оболочек посвящены работы Гри-голюка Э.И., Фильштинского JT.A., Каюка Я.Ф., Пшеничного Г.Н. и др. [105, 140, 259].

Исследованию и разработке методов расчета пластин и пологих оболочек сложной геометрии посвящен цикл работ Корнишина М.С., Паймуши-на В.Н., Петрушенко Ю.Я., Якупова Н.М. и их учеников [80, 157, 158, 246, 235, 236, 321 ]. В этих работах излагаются вопросы выбора поверхности приведения, позволяющие эффективно проводить параметризацию для областей неканонической формы, приведен вывод необходимых соотношений, получены многочисленные результаты по прочности, устойчивости и динамике элементов конструкций.

Одним из универсальных методов решения задач механики деформируемого твердого тела является метод конечных элементов. По этому методу опубликовано очень большое число работ, в том числе известные монографии и работы Бате К., Вилсона Е., Голованова А.И., Корнишина М.С., Зенкевича О., Моргана К., Норри Д., Ж. де Фриза, Образцова И.Ф., Савельева П.М., Хазанова Х.С., Постнова В.А., Розина JI.A., Рикардса К., Сахарова

A.C., Кислоокого В.Н., Киричевского В.В., Стренга Г., Фикса Дж. и других [34, 81, 82, 83,129,130, 230, 232, 257, 266,264, 270, 291].

При применении для решения задач механики оболочек вариационных методов на основе функционала Лагранжа приближенные решения должны представляться в виде разложений в ряды по полным системам координатных функций, обладать достаточной гладкостью и удовлетворять геометрическим граничным условиям. Построение приближенного решения для оболочек сложной формы представляет определенную проблему. Одним из способов решения этой задачи является метод R - функций, предложенный

B.Л. Рвачевым и получивший развитие в работах Курпы Л.В., Шевченко

A.Н., Склепуса Н.Г. [261, 262, 263 ] и др. В работах [169, 200, 212, 263] успешно применялся способ построения систем координатных функций, основанный на умножении полных систем координатных функций на уравнение контура.

По расчету пластин и оболочек, подкрепленных ребрами различной конфигурации выполнены исследования Абовского Н.П., Амиро Н.Я., За-руцкого В.А., Паламарчука В.Г., Андрианова Н.В., Маневича Л.Н., Толока

B.А., Жигалко Ю.П., Дмитриевой Л.М., Климанова В.И., Тимашева С.А., Сахарова A.C., Слезингера И.Н. и др. [2,4, 7, 8,9,127,128,270].

Значительное применение в теории пластин и оболочек получили методы коллокации. Их развитию и реализации посвящены работы Корнишина М.С., Рогалевича В.В., Григоренко Я.М., Попова Г.Я., Онищука О.В., Са-мерханова Р.З. [152, 165, 166, 265, 106, 256, 269 ] и др.

В работах Артюхина Ю.П., Серазутдинова М.Н. дается развитие вариационного метода в задачах статического и динамического расчета пластин и оболочек сложной формы, рассматриваются вопросы подкрепления пластин и оболочек сложной конфигурации ребрами, построения координатных функций для сложных областей [29-31, 274-277]. Серазутдиновым М.Н. предложен способ расчета оболочек сложной формы на основе соотношений для пластин [323].

Одним из эффективных методов исследования нелинейного деформирования пластин и оболочек является метод продолжения по параметру. Его развитию и применению посвящены работы Вольмира A.C., Воровича В.В., Григолюка Э.И., Шалашилина В.И., Баженова В.А., Валишвили Н.В., Петрова В.В., Крысько В.А., Корнишина М.С., Столярова H.H., Овчинникова И.Г., Танеевой М.С., Гуляева В.И., Кантора Б .Я. и др. [63-67, 107, 117, 48, 244,245,182,183,287-290, 78,79,137,120].

Для исследования статического и динамического поведения элементов конструкций широко применяются экспериментальные методы. Одним из них является метод голографической интерферрометрии с использованием которого Коноплев Ю.Г., Шалабанов А.К., Смирнов В.А., Нанасов М.П. и др. провели обширные исследования в области пластин и оболочек [144, 145, 279, 280].

В последние годы для решения задач механики эффективно применяются методы граничных интегральных уравнений или методы потенциала. Они основаны на преобразовании исходной системы дифференциальных уравнений в систему граничных интегральных уравнений (ГИУ), из решения которой определяются некоторые определенные на границе функции плотности.

Искомое решение в области определяется граничными интегральными соотношениями с найденными функциями плотности. При численном решении дискретизация проводится не для области, а для ее границы. Это приводит к понижению на единицу размерности решаемой задачи.

Своими корнями метод ГИУ уходит в классический математический анализ. В XIX в. были развиты понятия о силах притяжения в ньютоновских гравитационных полях, получены функции Грина для некоторых частных конфигураций. В 1905г. вышла работа Фредгольма по исследованию интегральных уравнений [340].

До конца 50-х годов методы граничных интегральных уравнений интенсивно развивались математиками. Большой вклад в развитие этих методов был сделан Михлиным С.Г., Купрадзе В.Д., Мусхелишвили Н.И., Смирновым В.И. и др. [210, 211,187, 188, 220, 221, 281, 282].

Купрадзе В.Д. введены векторные интегральные уравнения методов потенциала в задачах теории упругости [187,188]. Он развил приближенные методы решения статических задач для однородных тел и динамических задач для кусочно-однородных тел. Сформулировал связь между перемещениями и напряжениями на границе среды, используя распределения поверхностной плотности источников.

В настоящее время теория линейных, а также некоторых классов нелинейных сингулярных уравнений хорошо разработана и изложена в известных монографиях Михлина С.Г., Гахова Ф.Д., Векуа Н.П., Пресдорфа 3., Чибриковой Л.И., Партона В.З., Перлина П.И., Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Барчуладзе Т.В. и др. [210, 211, 69, 49, 258, 318, 240, 241, 188].

Из теории известно, что сингулярные интегральные уравнения в замкнутом виде решаются в очень редких случаях. Поэтому для приложений первостепенное значение приобретает разработка приближенных методов вычисления сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений.

В этом направлении выполнены фундаментальные работы Иванова В.В., Корнейчука A.A., Белоцерковского С.М., Лифанова И.К., Габдулхаева Б.Г., Бойкова И.В., Плещинского Н.Б. [132,151,39,68,35,36,37, 227,392,393].

Методы решения граничных задач с помощью разложений по фундаментальным функциям разработаны в монографиях Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Барчуладзе Т.Г., Башелейшвили М.О., Алексидзе М.А. [188, 6]. Идейно эти методы близки к методам ГИУ, где уравнения рассматриваются, как правило, на основной поверхности граничной задачи. Это приводит к интегральным уравнениям второго рода, но при этом ядро интегрального уравнения становится сингулярным. Решения граничных задач методом разложения по фундаментальным решениям приводит к интегральным уравнениям первого рода.

В работах Гавели С.П., Мельникова Ю.А. [70-73] строятся интегральные представления, ядрами которых служат не фундаментальные решения, а функции или матрицы Грина соответствующих уравнений или систем для областей, границы которых частично совпадают с рассматриваемыми. Идея построения таких неклассических потенциальных представлений принадлежит В.Д. Купрадзе и применялась С.П. Гавелей, Ю.А. Мельниковым и их учениками, где соответствующие функции и матрицы Грина строились приближенно.

Численной реализации методов потенциала в задачах теории упругости посвящены работы Партона В.З., Перлина П.И., Верюжского Ю.В., Угодчикова А.Г., Хуторянского Н.М., Бреббия К., Уокера С., Бенерджи П., Баттерфилда Р., Крауча С., Старфилда А., Круза Т., Риццо Ф., Теллеса Ж., Вроубела JL, Громадки Т., Лей Ч., Кузнецова C.B., Лившица И.М., Розен-цвейга Л.Н. и др [240,241,62, 302,41,42,180, 336, 295,184,185,113,196].

Метод граничных элементов (МГЭ) - это метод численного решения граничных интегральных уравнений с дискретизацией границы области и заданием аппроксимации функций плотности на границе.

Среди методов построения ГИУ можно выделить два основных направления. Прямой МГЭ, основаный на формуле Сомилиана, полученной из теоремы о взаимности работ, где неизвестные плотности в интегральном уравнении имеют реальный физический смысл. В теории оболочек такими величинами являются перемещения и усилия.

В непрямом МГЭ ядра интегральных уравнений представляют фундаментальное решение и его производные, распределенные на границе рассматриваемой области с некоторой плотностью. Функции плотности не являются решениями задачи на границе, но если они определены, то решение в области определяется вычислением граничных интегралов.

Непрямой МГЭ в задачах изгиба пластин известен как метод компенсирующих нагрузок. Функциям плотности придается смысл нагрузок, приложенных к бесконечной пластине и распределенных по границе области, или по некоторому контуру, внутри которого находится область. В задачах изгиба пластин первые работы в этом направлении выполнены Кореневым Б.Г. [149] и дальнейшее развитие этот метод получил в работах Толкачева В.М., Артюхина Ю.П., Венцеля Э.С. и др. [297-299,10,22-27, 50-61, 33].

Монография Верюжского Ю.В. [62] посвящена разработке методов исследования деформирования плоских и пространственных тел при статическом нагружении. Для основных видов граничных условий при дискретизации границы и аппроксимации плотностей выполнен переход от интегральных соотношений к их алгебраическим аналогам. Интегральные соотношения записаны на основе формулы Сомилиана. Предложена методика вычисления эластопотенциалов в виде замкнутых аналитических выражений для кусочно-линейных и сплайновых аппроксимаций функций плотностей. Рассмотрено решение задач изгиба пластин, плоской и пространственной задач теории упругости.

Существенным вкладом в развитие метода компенсирующих нагрузок для пластин сложной формы являются работы Толкачева В.М. [297-299], где особое внимание уделено теоретическому анализу. В частности, в связанной с контуром системе координат получены аналитические формулы для ядер интегральных уравнений, дан анализ поведения ядер в особых точках, определены предельные значения основных потенциалов, предложены способы устранения неинтегрируемых особенностей.

Работы Венцеля Э.С. и его соавторов [50-61] посвящены применению метода компенсирующих нагрузок к решению линейных задач теории упругости, пластин и пологих сферических оболочек. В некоторых из них компенсирующие плотности располагаются вне контура пластины, что приводит к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Наиболее полно их исследования опубликованы в монографии [54].

Применение обобщенных функций для построения разрывных решений излагается в работах Дызова К.Г., Михайлова Б.К. [121, 206, 207].

Проблеме построения и анализа фундаментальных решений теории пластин и оболочек посвящены работы Лукасевича С., Ольшанского В.П., Шевченко В.П., Белоносова С.М., Артюхина Ю.П., Гурьянова И.Н. [199,233, 234, 320,313, 33,28,118].

В постановке многих краевых задач предполагается, что решения считаются непрерывными. Однако при решении практических задач нагрузочные члены содержат различного рода особенности: например, сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, локальные температурные источники и т.д. Применение обобщенных функций решает эту проблему и расширяет возможности применения методов интегральных преобразований Фурье. В работах [313, 320] с использованием методов интегрального преобразования Фурье получены фундаментальные решения пластин и пологих оболочек, проанализирована их асимптотика при малых значениях аргумента и выделены особенности частных решений.

В монографии Попова Г.Я. [255] на основе обобщенного метода интегральных преобразований дано решение широкого класса задач о напряженном состоянии упругих тел с дефектами. Использованный при этом подход состоит в интегральном преобразовании исходных уравнений в направлении, пересекающем дефект, и сохранением на нем скачков функций. Применение формул обращения позволяет получить решение, выраженное через эти скачки.

В работах Мораря Г. А. [215-218] разработан метод разрывных решений, который позволяет решать методом граничных интегральных уравнений задачи расчета пластин и пологих оболочек с дефектом типа трещин, включений. Для плоской задачи теории упругости этот метод излагается также в монографии [180].

Метод построения граничных интегральных уравнений теории оболочки сложной геометрии на основе формулы Самилиана предложен Паймушиным В.Н. и Сидоровым И.Н. [237].

Синтезу метода конечных и граничных элементов посвящена работы Серазутдинова М.Н., Банцарева К.Н. [278].

В работах Сеницкого Ю.Э. [272, 273] получил развитие метод конечных интегральных преобразований для различных задач механики оболочек.

В работе [320] отмечается, что для пологих оболочек двоякой кривизны получение фундаментальных решений в замкнутом виде связано с большими трудностями. Эта задача решалась различными методами: разложением в тригонометрические ряды [66-69], методом интегралов Фурье [379] и использовались также другие подходы [368, 52].

Для пологих сферических оболочек матрицы фундаментальных решений существенно упрощаются и выражаются через функции Кельвина-Томпсона [320,217].

В работах Хуанга М. [362, 364] построены фундаментальные решения пологих сферических оболочек теории Рейснера с учетом поперечного сдвига.

Фундаментальные решения для пластин средней толщины приведены в монографии Мораря Г.А. [217].

Решению задач изгиба изотропных пластин сложной формы МГЭ посвящено большое число работ [205, 222, 238, 324, 325, 328, 329, 331, 334, 335, 337, 341, 344, 345, 348, 349, 351, 353, 356, 361, 365, 386, 388].

В этих работах рассмотрено применение прямого и непрямого МГЭ к решению задач изгиба пластин при различных силовых и температурных на-гружениях; рассмотрены различные способы дискретизации границы, различные аппроксимации функций плотности; дан анализ ядер интегральных уравнений; разработаны методики вычисления сингулярных интегралов. Для различных граничных условий получены числовые результаты. Исследована практическая сходимость приближенного решения.

Вопросы применения МГЭ к решению задач плоского напряженного состояния пластины достаточно разработаны и отражены в многочисленных публикациях. Приведем лишь некоторые из них [126, 147, 148, 205, 329, 333, 336, 350, 354, 367, 369, 387].

Применение МГЭ в задачах расчета оболочек связано с определенными трудностями. Это во многих случаях - отсутствие фундаментальных решений в замкнутом виде или громозкие сложные выражения, определяющие матрицы фундаментальных решений.

Решению задач изгиба пологих оболочек в линейной постановке посвящены работы [22, 24, 54, 58, 301,70-73, 293,125, 343, 384, 352, 364].

В работах Артюхина Ю.П., Крамина М.В. [22, 24] рассматривается применение непрямого МГЭ к расчету пологих оболочек двоякой кривизны. Решение задач строится итерационным методом на основе применения матрицы фундаментальных решений пологой сферической оболочки. Приведены результаты решения широкого класса задач.

Применение непрямого МГЭ к расчету пологих сферических оболочек рассматривается в работах Венцеля Э.С., Трофимова М.А. [54, 58]. В работах [54, 301] используется фундаментальное решение, полученное на основе плосковолнового разложения дельта-функции Дирака. Оно характеризуется ал-горитмичностью и единообразной формой представления фундаментального решения и его производных, а также представлением последних в виде суммы регулярного быстро сходящегося ряда и расходящейся части, записанной в аналитическом виде.

В публикациях Гавели С.П., Мельникова Ю.А. [70-73] матрицы фундаментальных решений оболочек строятся в виде тригонометрических рядов. Решение задач сводится к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Получено решение ряда задач статики и динамики оболочек .

В статье Сухорольского М.А. [293] решение уравнений пологих оболочек строится в виде тригонометрических рядов. В правых частях уравнений вводятся фиктивные усилия. Путем осреднения построенного решения по элементам контура устанавливается зависимость смещений и усилий на контуре от введенных фиктивных сил. На основе полученных зависимостей формируются системы алгебраических уравнений.

Работа Ермакова C.B. [125] посвящена применению метода компенсирующих нагрузок для задач расчета круговых цилиндрических оболочек. Фундаментальное решение для бесконечно длинной цилиндрической оболочки берется в виде тригонометрического ряда по окружной координате с выделением главного значения. Проведены расчеты Г-образных и X-образных узлов.

Gospodinov G.K. в статье [343] рассматривает применение МГЭ к решению линейных задач пологих сферических оболочек.

Tottenhem H. в работе [384] рассматривает применение различных вариантов МГЭ к расчету пологих оболочек.

Ivanova Jordanka, Valera Varbinka в статье [352] рассматривают МГЭ задачу изгиба пологой сферической оболочки. Приведен пример расчета пологой сферической оболочки с защемленными краями.

Lu Pin, Huang Mao-quang а работах [364] рассматривают МГЭ задачу о напряженно-деформированном состоянии пологих оболочек при действии поперечной нагрузки. Используется уточненная теория с учетом поперечного сдвига.

Решению нелинейных задач теории пластин и пологих оболочек методом граничных элементов посвящены работы [375, 381,362, 383, 359, 360, 355, 358, 376].

Schang Xin-chun, Cheng Chang-jun в работе [375] рассматривают осесим-метричную геометрически нелинейную задачу полярноортотропных круглых пластин. Линеаризированная задача решается с использованием обобщенных функций.

Tanaka Masatuka, Mitsumoto Toshiro, Zheng Zhundong в работе [381] изучают нелинейное деформирование тонкой пластины на основе уравнений Кармана. Получены результаты для круглой пластины.

Lei Xiboyan, Huang Maokuang в статье [362] применили МГЭ к расчету геометрических нелинейных пластин Рейснера. Приведен пример расчета.

Tosaka N., Miyake S. в статье [383] на основе уравнений смешанного типа решают МГЭ линейные и геометрически нелинейные задачи пологих сферических оболочек.

Kamiya N., Sawaki Y. в статье [360] рассматривают МГЭ задачу о больших прогибах тонких линейно-упругих пластин. Представлены результаты решения для круглых и прямоугольных пластин. В работе [359] этих же авторов на основе уравнений Бергера рассматривается применение МГЭ к решению задач нелинейного изгиба пластин и пологих оболочек.

Katsikadelis J.T. в работе [355] рассматривает решение МГЭ задачи о больших прогибах пластин, на упругом основании. Выведены интегральные уравнения, которые решаются численными методами. В работе [358] этого же автора рассматривается задача изгиба тонких линейно-упругих пластин на упругом однородном и неоднородном основаниях. В основу расчета положен МГЭ.

Sladek V., Sladec J. в работе [376] рассматривают задачу о больших прогибах пластины на упругом основании. Для пластины взяты уравнения Бергера. Выведены интегральные уравнения МГЭ.

Приведем краткий обзор работ по расчету пластин и оболочек ступенчато- переменной жесткости.

Впервые задачу изгиба круглой пластинки с концентрической жесткой шайбой рассмотрел в 1929 г. Г.Рейснер [372]. Решение было получено интегрированием бигармонического оператора в полярных координатах.

Монография Вайнберга Д.В. [44] посвящена созданию единого метода решения прикладных задач теории упругости. Рассматривается плоская деформация неоднородных тел, состоящих из однородных цилиндров с параллельными образующими. Решение выполнено методами функций комплексного переменного.

В монографии Вайнберга Д.В., Вайнберга Е.Д. [45] приведены расчетные формулы для круглых пластин с жесткими включениями, нагруженных сосредоточенной нагрузкой или моментом.

Методом начальных параметров в работе [347] получено решение задачи изгиба круглой пластинки ступенчато-переменной толщины. По концентрическим окружностям возможно неограниченное число скачков толщины.

Круглая пластинка ступенчато-переменной толщины, находящаяся под действием поперечной нагрузки рассмотрена Ишмухаметовым Т.Х. [135]. На внешнем контуре задано условие защемления или свободного опирания. Исследовано влияние жесткости центральной части на прогиб. Решение получено интегрированием уравнения равновесия.

Изгиб ортотропной круглой пластинки о концентрической жесткой шайбой исследован Хотиным Я.Я. [315]. К шайбе приложен изгибающий момент. Решение выполнено в полярных координатах.

Задача изгиба эллиптической пластины ступенчато-переменной жесткости решена Старковым В.И. [285] . Исследованию изгиба пластин с круглыми жесткими шайбами посвящены также работы [201, 314]. В статье [316] приведен обзор по расчету пластин и оболочек с жесткими включениями.

Плоское напряженное состояние пластин с жесткими шайбами и подкрепленными отверстиями определяется МКЭ в работах [294].

Грилицким В.Д. в работах [109, 110] рассмотрено напряженно-деформированное состояние неограниченной анизотропной пластинки с впаянным круговым изотропным включением при наличии конечного числа разрезов на линии раздела материала. В области включения приложен силовой или моментный фактор. Решение задачи сведено к системе сингулярных уравнений.

Развитие приближенных методов решения краевых задач и внедрение ЭВМ позволило исследователям рассмотреть некоторые задачи изгиба прямоугольных пластин, состоящих из прямоугольных участков различной жесткости. Решение этой задачи на основе интегрирования уравнений равновесия в подобластях требует удовлетворения по линиям скачка жесткости условий сопряжения, которые сформулированы в работах [1,2,124] и др. Поэтому в такой постановке применение приближенных методов приводит к трудностям вычислительного характера.

При другом подходе ступенчатое изменение толщины представляется непрерывной функцией от некоторого параметра , при стремлении которого к нулю в пределе описывается скачок толщины [251-253, 197,198].

В работе [371] исследована методом конечных разностей (МКР) задача изгиба нормальным давлением прямоугольной пластинки с жестким прямоугольным включением. Пластина оперта на сосредоточенные опоры. Приведены теоретические и экспериментальные результаты.

Кривошеев Н.И. и Корнишин М.С. в работах [174, 175] исследовали МКР задачу изгиба прямоугольной в плане пластины , состоящей из двух подобластей различной жесткости. Численные результаты получены при различном отношении жесткостей подобластей. Условия сопряжения удовлетворены по линии скачка жесткости и в угловой точке.

Абовским Н.П., Енджиевским J1.B. [3] предложен порядок формирования системы конечно-разностных уравнений для расчета на изгиб пластинчатых систем. Установлена связь между предложенным порядком решения задач методом сеток с дискретными методами строительной механики. Для иллюстрации решена задача изгиба шарнирно-опертой прямоугольной плиты, состоящей из двух полос различной толщины.

В работе Корнишина М.С., Паршакова Е.В.и Рогалевича В.В. [165] исследована МКР задача изгиба пластины жесткости d0 с центральной полосой жесткости dl. Отмечается сильное влияние отношения жесткостей на прогибы и напряжения и возможность рационального проекта.

Исследование конечных прогибов пологого сферического купола ступенчато-переменной жесткости выполнено Корнишиным М.С., Сулеймано-войМ.М. [161].

В работе [162] Корнишина М.С., Сулеймановой М.М., Спиваковской А.Н. МКР рассмотрены большие прогибы круглой пластинки ступенчато-переменной жесткости.

В работах Подгородецкого А.Э. [251-253] ступенчатое изменение толщины в направлении одной из координат представлено непрерывной функцией, описывающей в пределе скачок толщины. Решение выполнено методом Бубнова - Галеркина.

В работе Михайлова Б.К. [209] получено точное решение задачи изгиба поперечной нагрузкой пластины со скачком жесткости в направлении одной координаты в случае, когда каждой гармонике нагрузки соответствует определенная гармоника прогиба.

Импульсные функции в задачах изгиба пластин ступенчато-переменной толщины использовались в работах [208, 330].

Исследование прочности длинных цилиндрических оболочек с круговыми вырезами и включениями выполнено Хазановым Х.С. [308-312] . Известное решение задачи о концентрации напряжений в зоне круглого отверстия на поверхности пологой цилиндрической оболочки в тригонометрических рядах, полученное А.И.Лурье, преобразовано к полярным на развертке цилиндра координатам. Выведены некоторые соотношения теории цилиндрических функций, с использованием которых исследованы интегральные уравнения равновесия круговой зоны оболочки и условия однозначности перемещений. Рассмотрены задачи осевого растяжения, кручения и нагруже-ния внутренним давлением цилиндрической оболочки с круговым жестким или упругим включением.

Работа Наймута Ю.С. [223] посвящена исследованию возможности расчета оболочки кусочно-постоянной толщины методом последовательных приближений, если известен тензор Грина для этой оболочки. Автор отмечает, что процесс последовательных приближений очень чувствителен к изменению толщины, поэтому практическое применение, по-видимому, возможно только для безмоментных оболочек.

В работе Коноплева Ю.Г., Саченкова A.B. [143] исследовано напряженно-деформированное состояние "круговой" цилиндрической оболочки с наплывом на ее наружной поверхности. Наплыв представляет жесткую прямоугольную площадку через которую передается нагрузка. Уравнения тонкой оболочки В.В.Новожилова преобразованы к системе дифференциальных уравнений, в которую входит коэффициент, подлежащий экспериментальному определению. Делается вывод, что при одинаковой площадке нагружения решение для гладкой оболочки можно трансформировать в искомое решение.

В работе Модестовой Р.В., Симакина A.M., Самойленко Е.П., Степановой Г.Н. [213] рассмотрено напряженно-деформированное состояние круговой цилиндрической оболочки конечной длины с шарнирно закрепленными краями со ступенчато-изменяющейся вдоль образующей толщиной стенки. Оболочка нагружена по двум симметрично расположенным площадкам локальными нагрузками. Напряженное состояние разделено на основное, с не-деформируемым контуром, и дополнительное, которое определяется из условия минимума энергии деформации. Помимо общих гипотез предполагается нерастяжимость в окружном направлении и отсутствие сдвигов в срединной поверхности.

Христенко A.C. [317] предложен инженерный подход к выбору подкрепляющих накладок при действии на ортотропную цилиндрическую оболочку локальных нагрузок. Толщина накладки определяется подбором по графикам для изгибающих моментов, вычисленных при различной толщине оболочки в зависимости от расстояния до центра площадки нагружения.

В работе [173] рассматриваются два алгоритма расчета оболочки цилиндрической части котла железнодорожной цистерны: методом начальных параметров и методом перемещений. Численные результаты не приводятся.

Исследованию изгиба и оптимального проектирования равномерно нагруженной цилиндрической оболочки кусочно-постоянной толщины посвящена работа Калабегашвили М.Г. [136]. Интегральное уравнение второго рода Вольтора, к которому приведено уравнение равновесия относительно прогиба, решается методом последовательных приближений. Ищется такое ступенчатое изменение толщины, при котором максимальный прогиб равен заданной величине.

Ишмухаметов Т.Х. [134] рассмотрел задачу прочности прямоугольной в плане цилиндрической панели, состоящей из трех параллельных полос о различными физическими и геометрическими характеристиками. В тригонометрических рядах им получено решение для шарнирно закрепленной панели и панели две кромки которой защемлены, а две другие - шарнирно закреплены.

Кроль А.П. [177] сравнил две схемы термоупругого расчета оболочки с дискретно расположенными ребрами одного направления: асимметричная оболочка (оболочка ступенчатого изменения толщины) и оребренная оболочка (ребро-криволинейный стержень работающий на изгиб, кручение и растяжение). С помощью вариационного метода Л.В. Канторовича задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих изменение решения в трансверсальном ребру направлении. Отмечается, что для узких ребер схемы дают близкие результаты, а для широких ребер теория оребренных оболочек дает завышенное значение напряжений на оси ребра.

В работе [176] Кроль А.П. исследует прочность цилиндрических оболочек с односторонним скачкообразным изменением толщины (разрыв в ограничивающей оболочку поверхности). Внешние усилия и моменты приводятся к базисной поверхности, за которую принимает срединная поверхность участка наименьшей толщины. Нагрузки и температурное поле произвольны.

Результаты экспериментального исследования изгиба пластин ступенчато-переменной жесткости приведены в работах [46,214, 252].

Заметим, что по линиям ступенчатого изменения толщины возникает концентрация напряжений. Влияние радиуса закругления на напряжения теоретическими и экспериментальными методами исследовано в работах [214, 346].

Для пластин со скачкообразным изменением жесткости в двух направлениях условия сопряжения в точках излома контура , по которому толщина меняется скачком, приведены в работах [371, 175]. Усилия и моменты в точках излома линии скачка толщины разрывны.

В работе Стаценко В.И., Шевченко В.П. [286] рассматривается напряженное состояние изотропной оболочки с упругим включением. С использованием двумерного интегрального преобразования Фурье получено разрешающее сингулярное интегро- дифференциальное уравнение. Проведено исследование влияния геометрических и физических параметров на значения коэффицентов интенсивности напряжения.

Гавелей С.П. ,Левчуком С.А., Ищенко О. А. [74] разработан метод решения задачи изгиба кольцевой пластины дискретно переменной толщины.

В работе [363] разработана методика оценки эффективной жесткости в случае асимметрии для пластин ступенчато-переменной толщины.

В статье Карпова В.В. Игнатьева О. В., Игнатьевой И.А. [138] методом Ритца решаются задачи о больших прогибах непологих оболочек ступенчато-переменной толщины. Применен метод продолжения по параметру.

Работа Лавриненко В.В. [190] посвящена расчету осесимметрично нагруженных круговых цилиндрических оболочек со ступенчато изменяющимся радиусом.

Собственные колебания пластин и цилиндрических оболочек ступенчато-переменной жесткости рассмотрены в работах [119, 306, 332, 345, 378], а некоторые исследования вопросов устойчивости приведены в [319, 330, 338, 339, 373].

Исследованию динамического поведения пластин и оболочек ступенчато-переменной жесткости посвящены работы [122,123].

Как видим, основные результаты исследований прочности пластин и оболочек ступенчато-переменной жесткости получены МКР, МКЭ, методами Ритца и Бубнова - Галеркина.

Общие вопросы построения разностных схем для уравнений в частных производных с разрывными коэффициентами изложены в монографиях [200, 268]. Построению разностных схем для эллиптических уравнений посвящена монография A.A. Самарского, В.Б. Андреева [267], где авторы излагают разностные схемы для задачи изгиба пластинки ступенчато-переменной жесткости.

Известно, что операторы линейных задач теории упругости положительно определенные. Исследование сходимости' методов Ритца и Бубнова -Галеркина в задачах с положительно определенными операторами приведено в монографии Михлина С.Г. [212].

По оболочкам переменной толщины исследования на основе функционала смешанного типа выполнены Кантором Б. Я. [137].

Из приведенного обзора видно, что методы решения линейных и нелинейных задач пологих оболочек на основе МГЭ развиты недостаточно и по расчету МГЭ линейных задач пологих оболочек выполнено очень незначительное число работ; по исследованию с помощью МГЭ нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек практически отсутствуют работы, выполненные отечественными исследователями, и имеется незначительное число работ, выполненных зарубежными учеными. Полученные МГЭ численные результаты относятся, в основном, к расчету круглых пластин и пологих сферических оболочек в линейной постановке . Для пологих оболочек двоякой кривизны известных нам опубликованных нелинейных решений, полученных на основе МГЭ, нет. Также отсутствуют исследования на основе МГЭ задач нелинейного деформирования пологих оболочек. По расчету пологих оболочек и пластин ступенчато-переменной жесткости, в основном, выполнены исследования в линейной постановке. Методы решения задач таких оболочек недостаточно разработаны. Нелинейное деформирование пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости почти не исследовано . Все вышеизложенное и определяет актуальность темы выполненных в диссертации исследований.

Диссертационная работа состоит из пяти глав.

В главе I выведены основные формулы дифференцирования в системе координат, связанной с точкой контура пластины, координатные оси которой направлены по нормали и касательной к контуру в этой точке (локальной системе координат). Приведены основные соотношения метода компенсирующих нагрузок для задач изгиба и плоского напряженного состояния пластины. В локальной системе координат определены ядра потенциалов, входящих в интегральные уравнения изгиба и плоского напряженного состояния пластины и определены предельные значения этих потенциалов на границе области. Для основных видов граничных условий приведены интегральные уравнения метода компенсирующих нагрузок для задач изгиба и плоского напряженного состояния пластины. Аналитически вычислены сингулярные интегралы от производных фундаментального решения. Интегралы с особенностями типа 1 /г определяются в смысле главных значений по Коши, а интегралы с особенностями типа 1 /г2 в смысле конечного значения по Ада-мару. Для непрямого МГЭ разработан способ вычисления из условия равновесия пластины интеграла с особенностью \/г2. Показано, что если точка наблюдения расположена внутри области близко к контуру, то интеграл с устраненной особенностью меньше, чем на 1% отличается от конечного значения по Адамару.

В главе II рассматривается применение непрямого МГЭ к решению задач изгиба пластин сложной формы, температурного изгиба многосвязной пластины, изгиба ортотропной пластины. Приведен вывод фундаментального решения для бесконечной ортотропной пластины. Для основных видов граничных условий записаны интегральные уравнения непрямого МГЭ для ортотропной пластины. Приведены результаты исследования напряженно-деформированного состояния изотропных и ортотропных пластин сложной формы. Рассмотрена задача расчета непрямым МГЭ пластины сложной формы, подкрепленной по контуру через прокладку упругим ребром, закрепленным на точечных опорах. Разработан алгоритм решения этой задачи непрямым МГЭ. Представлены результаты расчета пластин, подкрепленных по контуру ребром, закрепленным на точечных опорах.

В главе III предложен итерационный процесс решения геометрически нелинейных задач пологих оболочек со сложным контуром при статическом нагружении, основанный на решении на итерациях непрямым МГЭ линейных задач изгиба и плоского напряженного состояния пластины. Для основных видов граничных условий получены интегральные уравнения непрямого МГЭ. При решении нелинейных задач, применяется метод продолжения по параметру, в качестве которого выбиралась интенсивность распределенной нагрузки и прогиб в заданной точке оболочки. Предложен прием экстраполяции для выбора начального приближения. Приведено решение ряда задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек со сложным контуром при действии распределенных и локальных нагрузок. Рассмотрено применение разработанного алгоритма для решения линейных задач изгиба пологих оболочек. Разработаны алгоритмы решения геометрически нелинейных задач длинных пластин и пологих цилиндрических панелей. Предложен итерационный процесс решения задачи нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек на упругом основании типа Винклера. Приведены результаты исследования нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек на упругом основании.

В главе IV предлагается итерационный процесс решения задачи нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек со сложным контуром, основанный на решении на итерациях прямым МГЭ линейных задач изгиба и плоского напряженного состояния пластины. Интегральное соотношение линейной задачи, выражающее теорему о взаимности работ, получено методом взвешенных невязок. Алгоритм допускает расчет пластин и пологих оболочек переменной толщины, с учетом физической и геометрической нели-нейностей. Получены интегральные уравнения для решения нелинейных задач. Рассмотрено применение предложенного итерационного процесса для расчета длинных пологих цилиндрических панелей. Приведено решение задач изгиба длинных гибких пологих цилиндрических панелей постоянной и переменной толщины. Рассмотрены вопросы оптимального выбора релаксационных параметров. Проведено сравнение с известными решениями.

В главе V разработаны способы аппроксимации перемещений для задач о больших прогибах пластин и пологих оболочек кусочно-постоянной жесткости при использовании теории Кирхгофа. Решения задач выполняются методом Ритца со специальным представлением перемещений, описывающим разрывы в напряжениях и деформациях по линиям ступенчатого изменения жесткости. Рассмотрены способы построения приближенного решения при использовании функционалов Лагранжа и смешанного типа. На одномерной задаче показана эффективность предложенных способов построения приближенного решения. Предложен способ решения системы алгебраических уравнений с блочной матрицей ленточного вида, к которой сводится решение задачи, не обрабатывающий нулевые блоки. Рассмотрены задачи о больших прогибах прямоугольных в плане пластин и пологих оболочек, состоящих из двух подобластей различной жесткости. Построены зависимости "прогиб -нагрузка". Дан анализ результатов.

Основные положения диссертации докладывались: на VII научной конференции по применению ЭВМ в механике деформируемого твердого тела (Ташкент, 1975 г.); на XI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (г. Харьков, 1977); на научном семинаре в Казанском физико-техническом институте КФАН СССР, руководитель профессор Х.М. Муштари. (1975,1977); на Республиканской научно-технической конференции "Механика сплошных сред" (г. Набережные Челны, 1982 г.). на Всесоюзной школе молодых ученых "Актуальные проблемы механики оболочек". Казань (1983 г., 1985 г., 1988 г.); на итоговых конференциях Казанского инженерно-строительного института (1983 г.); на III Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Харьков, 1985 г.); на Всесоюзной конференции "Нелинейные задачи расчета конструкций в условиях высоких температур" (Саратов. 1988); на IV Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Одесса. 1989 г.); на VIII Всесоюзной школе - семинаре "Методы конечных и граничных элементов в строительной механике " (Ленинград. 1987 г.); на итоговой научной конференции Казанского государственного университета. 1989 г.; на VI Межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара. 1996 г.); на XYII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Казань. 1995 г.); на Всероссийском семинаре "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении" (Чебоксары, 1996 г.); на XYIII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов. 1997 г.); на Международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление" (Самара. 1997); на научно-технических конференциях Ульяновского государственного технического университета (1990-1998 гг.); на семинаре по механике твердого деформируемого тела под руководством чл.-корр. АН СССР Э.И. Григолюка (Москва, 1987 г.);

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [11-17, 86104, 154,155, 299, 300, 390,391].

Работы [11-17, 299, 300] выполнены совместно с Артюхиным Ю.П.; [154, 155, 103] совместно с Корнишиным М.С.; [102, 299, 300] совместно с Толкачевым В.М., Стахорским В.М.; [97-101] совместно с Малаховым В.Г.; [104] совместно с Петуховым Н.П.; [391] совместно с Карсункиным В.В.

Вклад соавторов заключается в следующем:

Артюхин Ю.П. - постановка линейных задач изгиба ортотропных пластин, изотропных пластин, подкрепленных по контуру упругими ребрами, температурного изгиба многосвязанных пластин, обсуждение алгоритмов и результатов расчета;

Корнишин М.С. - постановка задач расчета пластин и оболочек ступенчато-переменной жесткости, обсуждение результатов;

Толкачев В.М. - постановка задачи и интегральные уравнения изгиба изотропных пластин, обсуждение результатов ;

Малахов В.Г. - совместная разработка части алгоритмов и программ расчета, обсуждение результатов;

Стахорский A.M. - реализация части алгоритмов на ЭВМ.

Петухов Н.П. - главы I и IV совместного учебного пособия.

Карсункин В.В. - тестирование программы и оформление заявки. Целью настоящей работы является развитие математических методов решения линейных и нелинейных задач пластин и пологих оболочек со сложным контуром, допускающих ступенчатое изменение жесткости с учетом различных конструктивных особенностей, находящихся под действием распределенных и локальных нагрузок при различных граничных условиях; создание эффективных алгоритмов расчета и исследование деформирования ряда задач этого класса.

Научную новизну работы составляют следующие результаты: Разработаны алгоритмы решения МГЭ задач изгиба пластин сложной формы, ортотропных пластин и пластин, подкрепленных по контуру через прокладку упругим ребром.

Дано развитие методики определения предельных значений потенциалов для контура, состоящего из прямолинейных граничных элементов.

Предложен способ вычисления расходящегося интеграла с особенностью типа 1/г2 при 0 из уравнения равновесия пластины.

Получены интегральные уравнения метода компенсирующих нагрузок для ортотропных пластин, многосвязных пластин и пластин, подкрепленных по контуру через прокладку упругим ребром.

Представленны результаты решения задач изгиба пластин сложной формы, многосвязных пластин и пластин подкрепленных по контуру через прокладку упругим ребром, часть из которых получена МГЭ впервые.

Предложен итерационный процесс решения МГЭ линейных задач изгиба пологих оболочек, основанный на применении фундаментальных решений задач изгиба и растяжения пластины постоянной толщины.

Предложены итерационные процессы решения задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек на основе прямого и непрямого МГЭ.

Построены итерационные процессы решения задач изгиба длинных гибких пластин и пологих цилиндрических панелей на основе прямого и непрямого МГЭ.

Предложен итерационный процесс решения задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек на упругом основании на основе непрямого МГЭ.

Получены результаты исследования МГЭ нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек.

Получены результаты исследования МГЭ нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек на упругом основании.

Предложены способы построения приближенного решения методом Ритца для задач о больших прогибах пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости, учитывающие разрывы в напржениях и деформациях на линиях ступенчатого изменения жесткости.

Проведено исследование нелинейного деформирования пластин и пологих ступенчато-переменной жесткости.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается:

- строгими математическими постановками рассматриваемых задач и обоснованным применением математических методов;

- аналитическим вычислением сингулярных интегралов и применением формул численного интегрирования, обеспечивающих высокую точность при формировании системы разрешающих уравнений;

- сходимостью приближенных решений, полученных МГЭ, при увеличении числа элементов на контуре;

- сходимостью приближенных решений, полученных методом Ритца и выполнением естественных граничных условий вариационного уравнения Лагранжа; контролем невязки решения системы нелинейных уравнений метода

Ритца;

- многочисленными сравнениями с известными аналитическими и численными решениями, а также результатами экспериментальных исследований.

Практическая ценность. Разработанные итерационные процессы могут быть применены при решении широкого класса задач теории пластин и оболочек со сложным контуром, распространены на решения задач с учетом физической и геометрической нелинейностей. Предложенные аппроксимации приближенного решения методом Ритца могут быть использованы при решении задач статики и динамики пластин и оболочек ступенчато-переменной жесткости с учетом анизотропии, геометрической и физической нелинейностей и т.д. Разработанные алгоритмы и программы применялись для решения прикладных задач: определения напряженно-деформированного состояния изделия конструкционной оптики, расчета упругого элемента датчика давления, полки рамно-панельной конструкции. Программа МГЭ по расчету пластин, подкрепленных упругими ребрами, зарегистрирована в реестре программ для ЭВМ Рос АПО [391].

Диссертация состоит из введения пяти глав и списка литературы, содержащего 393 наименования . Изложена на 272 страницах машинописного текста, содержащего 28 таблиц и 88 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Грибов, Александр Павлович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложены итерационные процессы для решения на основе непрямого МГЭ задач о больших прогибах пластин и пологих оболочек произвольной формы при действии распределенных и локальных нагрузок при различных способах закрепления.

2. Построен итерационный процесс для решения задач о больших прогибах пластин и пологих оболочек на упругом основании типа Винклера, основанный на решении непрямым МГЭ задач изгиба и растяжения пластины.

3. Предложены итерационые процессы прямого и непрямого МГЭ для решения линейных задач пологих оболочек, основанные на применении фундаментальных задач изгиба и растяжения пластины.

4. Приведены основные соотношения МГЭ для задач изгиба и растяжения пластины. Для контура, составленного из прямолинейных граничных элементов разработана методика определения предельных значений основных потенциалов для задач изгиба и растяжения пластины, основаная на развитии результатов О.И. Панича по исследованию потенциалов полигармонического уравнения.

5. Проведено аналитическое вычисление интегралов с особенностями типа Коши и Адамара для задач изгиба и растяжения пластин. Для непрямого МГЭ предложен способ вычисления интеграла Адамара с особенностями типа 1¡г2 при г —»0 из уравнения равновесия пластины. Такого типа особенность возникает в интегральном уравнении, определяющем поперечную силу на контуре пластины.

6. Получено фундаментальное решение для задачи изгиба ортотропной пластины. Выведены интегральные уравнения непрямого МГЭ для расчета ортотропной пластины.

7. Рассмотрено применение непрямого МГЭ к расчету пластин сложной формы, подкрепленных по контуру через прокладку упругим ребром, закрепленным на точечных опорах. Выведены интегральные уравнения для расчета подкрепленных по контуру пластин.

8. Разработаны алгоритмы решения задач изгиба пластин сложной формы, ортотропных пластин, пластин подкрепленных по контуру через прокладку упругим ребром. Прокладка рассматривается как мягкий слой, работающий на обжатие и сдвиг, которые в прокладке считаются постоянными.

9. Приведены результаты решения непрямым МГЭ задач изгиба пластин под действием распределенной нагрузки, многосвязных пластин под действием температурного поля, пластин, подкрепленных по контуру упругими ребрами, ортотропных пластин.

10. Изложены разработанные алгоритмы решения задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек со сложным контуром, основанные на решении нелинейных задач непрямым МГЭ и методе продолжения по параметру. За ведущий параметр принят прогиб в заданной точке или поперечная нагрузка.

И. Проведено исследование нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек с различной формой контура под действием распределенных и локальных нагрузок при граничных условиях шарнирного закрепления и жесткой заделки и их комбинациях. Построены зависимости " прогиб - нагрузка".

12. Разработан алгоритм реализации итерационного процесса непрямого МГЭ для решения задач изгиба длинных гибких пластин и пологих цилиндрических панелей, основанный на применении фундаментальных решений задач изгиба и растяжения длинных пластин . Проведено решение ряда задач.

13. Для линейных задач изгиба квадратных в плане пологих цилиндрических и сферических оболочек и задачи о больших прогибах четырехугольной пластины проведено численное исследование скорости сходимости итерационного процесса непрямого МГЭ в зависимости от выбора параметров релаксации.

14. Проведено исследование нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек на упругом основании типа Винклера. Результаты исследования представлены в виде зависимостей " прогиб - нагрузка". Проведено сравнение решений для длинной и удлиненной пластины с отношением сторон равным трем.

15. Предложен итерационный процесс решения нелинейных задач пластин и пологих оболочек, основанный на решении прямым МГЭ задач изгиба и растяжения пластины постоянной толщины. Интегральные уравнения получены методом взвешенных остатков.

16. Рассмотрено применение итерационного процесса на основе прямого МГЭ для решения линейных и нелинейных задач изгиба длинных пластин и пологих цилиндрических панелей постоянной и переменной толщины. Для линейных задач изгиба цилиндрических панелей постоянной толщины на основании численных экспериментов получены формулы для определения оптимальных значений параметров релаксации в зависимости от кривизны панели, при использовании которых итерационный процесс сходится за 6-10 итераций. Рассмотрены вопросы практической сходимости итерационного процесса для линейных и нелинейных задач.

17. Основная часть представленных в диссертации теоретических и численных результатов по расчету пластин и пологих оболочек МГЭ получена впервые.

18. Для пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости при применении теории, основанной на гипотезах Кирхгофа - Лява, разработаны способы построения быстросходящегося приближенного решения для вариационного уравнения Лагранжа и вариационного уравнения смешанного типа, учитывающие разрывы в напряжениях и деформациях по линиям ступенчатого изменения жесткости.

19. Разработан способ решения системы линейных алгебраических уравнений с трехленточной блочной матрицей, к которой сводится расчет оболочки ступенчато-переменной жесткости при использовании уравнения Лагранжа, не обрабатывающий нулевые блоки.

20. Решены задачи нелинейного деформирования прямоугольных в плане пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости. Построены зависимости "прогиб - нагрузка". Отмечается значительное влияние отношения жесткостей подобластей оболочки на критические нагрузки.

21. Предложенные итерационные процессы решения нелинейных задач на основе МГЭ не требуют больших затрат времени на подготовку исходных данных. Реализация итерационного процесса сводится к решению систем линейных уравнений с хорошо обусловленными матрицами. Это следствие сингулярности ядер интегральных уравнений. Этот факт отмечается, также, в работе [77].

22. Метод граничных элементов позволяет с высокой точностью определять напряженное состояние в окрестности локальных нагрузок, т. к. особенности в решениях описываются аналитически.

23. Предложенные итерационные процессы могут быть применены для решения физически нелинейных задач теории пластин и пологих оболочек, а также задач с учетом физической и геометрической нелинейностей.

24. Исследование нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости по предложенному алгоритму может быть проведено и для областей со сложной границей, если будут применены способы построения координатных функций для областей сложной формы.

25. Предложенный метод расчета пластин и оболочек ступенчато-переменной жесткости на основе вариационного уравнения Лагранжа внедрен в учебный процесс (написано учебное пособие) и применялся для расчета упругого элемента датчика давления, расчетная схема которого представляет ортотропную пластину ступенчато-переменной жесткости.

26. Разработанные алгоритмы МГЭ применялись при расчете по заказу предприятия изделий конструкционной оптики и полки рамно-панельной конструкции . Программа по расчету МГЭ пластин, подкрепленных по контуру упругими ребрами, зарегистрирована в Реестре программ для ЭВМ Российской Федерации и используются на кафедре строительных конструкций УлГТУ.

27. Проведенные многочисленные сравнения с известными теоретическими и экспериментальными результатами позволяют сделать заключение о высокой точности и эффективности предложенных в диссертации методов.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Грибов, Александр Павлович, 1998 год

1. Абдеев Б.И. К расчету гибких цилиндрических оболочек открытого профиля, составленных из плавно сопрягаемых пластин // ИВУЗ. Строительство и архитектура. №2. 1971.С. 43-47.

2. Абовский Н.П. К расчету ребристых оболочек смешанным методом // Сб. Пространственные конструкции в Красноярском крае. Красноярск, 1968.

3. Абовский Н.П., Енджиевский Л.В. К расчету пластинчатых систем дискретными методами строительной механики // ИВУЗ. Строительство и архитектура. №12. 1966.

4. Абовский Н.П., Шестопал Б.М. Машинный алгоритм расчета ребристых оболочек // Пространственные конструкции зданий и сооружений. Научн. сб. Вып. 6. М.: Стройиздат. С. 42-45.

5. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978. 352с.

6. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука. 1991. 352 с.

7. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Методы расчета оболочек, т. 2. Теория ребристых оболочек. К.: Наукова думка. 1980. 368 с.

8. Амиро И.Я., Заруцкий В.А., Поломарчук В.Г. Динамика ребристых оболочек. К.: Наукова думка. 1983. 204 с.

9. Андрианов И.В., Лесничая В.А., Маневич Л.И. Метод усреднения в статике и динамике ребристых оболочек. М.: Наука. 1985. 224 с.

10. Ю.Артюхин Ю.П., Банцарев К.Н. Метод граничных элементов в задачах изгиба пластин сложного очертания при различных типах закрепления // Статика и динамика элементов конструкций сложной формы. Межвуз. сб. Казань: Изд-во КХТИ. 1990. С. 22-30.

11. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Исследование изгиба пластин сложной формы под действием температурного поля и нормального давленияметодом граничных элементов // Прикл. задачи напряженного состояния упругих тел. Межвуз. научн. сб. Саратов. 1987, С. 50-54.

12. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Применение метода граничных элементов к исследованию изгиба ортотропных пластин сложной формы // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып 21.4.1. Казань: Казан. физ.-техн. ин-т АН СССР. 1988. С. 146 156.

13. З.Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Развитие метода граничных элементов в линейных и нелинейных задачах теории пластин и оболочек // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. т.З. Саратов: Саратовский гос. техн. ун-т., 1997. С. 3-9.

14. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Решение задач изгиба пластин, подкрепленных упругими ребрами, методом граничных элементов // Актуальн. пробл. мех. оболочек. Тезисы докладов 3 Всесоюз. совещания- семинара молодых ученых. Казань. 1988. С. И.

15. Артюхин Ю.П., Крамин М.В. Исследование напряженно деформированного состояния пологих сферических оболочекпод действием температурного поля методом граничных элементов. Казан, гос. ун-т. Казань. 1994. 19 с. Деп. в ВИНИТИ 28.10.94. № 2444-В94.

16. Артюхин Ю.П., Крамин Т.В. Решение задачи термоупругости для изгиба пластины сложного очертания методом компенсирующих нагрузок. Казан. гос. ун-т. Казань. 1994. 17 с. Деп. в ВИНИТИ 28.10.94. № 2445-В94.

17. Артюхин Ю.П., Крамин Т.В. Численный анализ плоской задачи теории упругости для пластин сложной формы. Казан, гос. ун-т. Казань. 1994. 17 с. Деп. в ВИНИТИ. 28.10.94. № 2443-В94.

18. Артюхин Ю.П., Крамин Т.В. Расчет неограниченной пластины с разрезом методом граничных элементов. Казан, гос. ун-т. Казань. 1994. 17 с. Деп. в ВИНИТИ. 31.10.94. № 2474-В94.

19. Артюхин Ю.П., Гурьянов И.Н., Крамин М.В., Крамин Т.В. Метод потенциала в задачах механики пластин и оболочек // Лаврентьевские чтения. Тез. докл. 4 межд. конф. по математике, механике и физике. Казань: Изд-во Казан, гос. ун-та, 1995, С. 89.

20. Артюхин Ю.П., Крамин М.В. Применение метода граничных элементов для расчета напряженно-деформированного состояния пологих сферических оболочек. Казанский гос. ун-т. 1994. 19 с. Деп ВИНИТИ № 2476-В94.

21. Артюхин Ю.П., Крамин М.В. Определение напряженно-деформированного состояния оболочек двоякой положительной кривизны методом граничных элементов. Казанск. гос. ун-т. Казань. 1994. 19 с. Деп ВИНИТИ № 2499-В94.

22. Артюхин Ю.П., Крамин Т.В. Исследование изгиба пластины сложной формы методом граничных элементов.; Казан, гос. ун-т. Казань, 1994. 17 с. Деп. в ВИНИТИ, 31.10.94, №2475 В94.

23. Артюхин Ю.П., Крамин Т.В. Напряженно-деформируемое состояние пространственных конструкций, состоящих из пластин сложной формы. Казан. гос. ун-т. Казань, 1994. 17 с. Деп. в ВИНИТИ, 28.10.94, № 244 294.

24. Артюхин Ю.П., Крамин T.B. Расчет пластинчатых конструкций и пологих оболочек методом граничных элементов // Труды 17 межд. конф. по теории оболочек и пластин. Т. 2. Казань: Изд-во Казанского гос. ун-та. 1995. С. 77-81.

25. Артюхин Ю.П. Действие локальной нагрузки на ортотропную пластину // Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 4. Казань.: Изд-во Казанск. ун-та. 1966. С. 110-114.

26. Артюхин Ю.П., Серазутдинов М.Н., Недорезов O.A. Исследование свободных колебаний упругозакрепленных пластин различной формы // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 20. Казань: Изд-во Казанск. ун-та. 1990. С. 113-123.

27. Артюхин Ю.П., Серазутдинов М.Н. О расчете упругозакрепленных пластин различной формы // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. № 3. С. 33-36.

28. Артюхин Ю.П., Серазутдинов М.Н., Недорезов O.A. Исследование свободных колебаний упругозакрепленных пластин различной формы // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 20. Казань: Изд-во Казанск. ун-та. 1990. С. 113-123.

29. Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики тонкостенных конструкций при импульсных воздействиях // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Статика и динамика деформируемых систем. Горький. 1981. С. 57-66.

30. Белоносов С.М. Математическое моделирование равновесных состояний упругих тонких оболочек. М.: Наука. 1993.159 с.

31. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат. 1982. 448 с.

32. Бойков И.В., Добрынина Н.Ф. Об оптимальных по точности алгоритмах вычисления интегралов Адамара // Оптимальные методы вычислений и их применение. Межвуз. сб. научн. трудов. Пенза. 1985. С. 14-28.

33. Бойков И.В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Изд-во Саратовского ун-та. 1983. 210 с.

34. Бойков И.В., Добрынина Н.Ф. // Весовые квадратурные формулы для интегралов Адамара. Пензенский политехи, ин-т. Пенза. 1989. 7с. Деп. в ВИНИТИ 19.01.90. № 424-В90.

35. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение. 1980. 375 с.

36. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их приложения в аэродинамике, теории упругости, электродинамике М.: Наука, 1985. 253с.

37. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. Пер. с анг. М.: Мир, 1984. 496 с.

38. Бреббия К., Теллес Ж., Броубел Л. Методы граничных элементов. Пер. с анг. М.: Мир, 1987. 524 с.

39. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. Пер. с анг. М.: Мир, 1982. 248 с.

40. Вайнберг Д.В. Справочник по прочности, устойчивости и колебания пластин. К.: Будивельник. 1973. 488 с.

41. Вайнберг Д.В. Напряженное состояние составных дисков и пластин. Изд-во АН УССР, Киев, 1952.

42. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Пластинки, диски, балки-стенки /прочность, устойчивость и колебания/. Киев, 1953.1051с.

43. Вайнберг Д.В., Ворошко П.П., Геращенко В.Я., Ройтфарб И.З., Синявский А.П. Разностные уравнения контактной задачи изгиба пластин. Сб. Сопротивление материалов и теория сооружений .В.З. Изд-во "Буд1вельшк", К., 1965.

44. Вайнберг Д.В., Синявский А.Л. Расчет оболочек. Киев: Госстройиздат УССР. 1961.

45. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение. 1976. 278 с.

46. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука. 1970. 380 с.

47. Венцель Э.С. Некоторые вопросы применения метода компенсирующих нагрузок для решения краевых задач изгиба тонких плит // Проблемы машиностроения, 1982 №7. С. 54 -57.

48. Венцель Э.С. Об одной схеме численной реализации метода граничных интегральных уравнений в задачах изгиба пластинок // Числен, методы расчета тонкостей, простран. конструкций. Киев, 1988. С. 26 30.

49. Венцель Э.С. Построение функции и матриц Грина для некоторых краевых задач теории тонких пластин и пологих оболочек// Харьков, инж. строит, ин-т. Харьков, 1989, 95 с. Деп. в Укр. НИИНТИ 15.12.89., №2997 -Ук89.

50. Венцель Э.С. Применение метода компенсирующих нагрузок к расчету пластин сложной формы // ДАН УССР. сер. А. 1980. №. С. 43 45.

51. Венцель Э.С., Джан-Темиров К.Е., Трофимов A.M., Неголына Е.В. Метод компенсирующих нагрузок в задачах теории тонких пластинок и оболочек. Харьков. 1992. 92с.

52. Венцель Э.С., Кобылинский В.Г., Левин A.M. Об учете особенностей при численной реализации метода компенсирующих нагрузок в бигармо-нических задачах теории упругости // Проблемы машиностроения. 1986. № 25. С. 16-18.

53. Венцель Э.С., Кобылинский В.Г., Левин A.M. Применение метода регуляризации для численного решения задач изгиба тонких плит // Журнал вычислительной математики и физики. 1984. Т. 24. № 2. С. 323 328.

54. Венцель Э.С., Левин A.M. Метод компенсирующих нагрузок в задачах изгиба пластинок и пологих оболочек неканонической формы // Экс-перим. расчет, методы автоматиз. проектир. Киев. 1988. С. 35 39.

55. Венцель Э.С., Левин A.M. Решение граничных задач теории упругости путем численной реализации метода компенсирующих нагрузок // Проблемы машиностроения. 1989. 25. №12. С. 101 -107.

56. Венцель Э.С., Левин A.M. Решение граничных задач теории упругости путем численной реализации метода компенсирующих нагрузок // Числ. методы расчета тонкост. простр. констр. Киев . 1988. С. 31 38.

57. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: Вища школа. 1978. 181 с.

58. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. ГИТЛ, М.,1956.

59. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука. 1967. 984 с.

60. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек . М.: Наука. 1972. 432 с.

61. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэрогидро-упругости. М.: Наука. 1976.

62. Ворович И.Н. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука. 1989. 376 с.

63. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Изд-ва Казан, ун-та. 1980.

64. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., Наука, 1977, 640 с.

65. Гавеля С.П., Мельников Ю.А., Давыдов И.А. Решение некоторых граничных задач теории оболочек. Днепропетровск: Изд-во Днепропетровского ун-та. 1971. 51 с.

66. Гавеля С.П., Скрыпник В.П. К исследованию деформированного состояния тонких оболочек при конечных прогибах . Прикладная механика. 1971. №7. вып. 10. с.26-30

67. Гавеля С.П. О сохранении разрешимости граничных задач теории пологих оболочек при приведении их к интегральным уравнениям. Изв. Вузов. Математика. N5. 1969. С. 14-19.

68. Гавеля С.П. Об одном способе построения матриц Грина для сочлененных оболочек // ДАН УССР. сер. А. 1969. N12. С. 1107-1111.

69. Гавеля С.П., Левчук С.А., Ищенко O.A. Расчет упругого деформирования круглой пластины дискретно-переменной толщины. Запорожск. ун-т. Запорожье. 1992. 10 с. Деп. в Укр ИНТЭИ 08.06.92, № 845-Ук92.

70. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Изд-во Казанского ун-та. 1975. 326с.

71. Галимов К.З. О некоторых направлениях развития механики деформируемого твердого тела в Казани // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань. Изд-во Казанск. ун-та. 1979. Вып. 14. С. 14-82.

72. Гегелиа Т.Г. О численных решениях основных задач теории упругости методом сингулярных интегральных уравнений // Труды Тбилисского математического ин-та. т. LXXIII. 1983. С. 45-53.

73. Танеева М.С. Прочность и устойчивость оболочек вращения. М.: Наука. 1992. 161 с.

74. Танеева М.С,. Малахов В.Г. Большие осесимметричные прогибы упругопластических оболочек вращения // Статика и динамика оболочек. Труды семинара. Казанский физ.-техн. ин-т. КФАН СССР. в. 12. 1979. С. 113-120.

75. Галимов К.З., Паймушин В.Н. Теория оболочек сложной геометрии. Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1985. 208 с.

76. Голованов А.И. Сравнительный анализ различных схем расчета оболочек произвольной геометрии методом конечных элементов // Исследованияпо теории оболочек. Труды семинара. Вып. 21. Часть 1. Казань. Казанский физ.-техн. ин-т КФАН СССР. С. 104-111.

77. Голованов А.И. Универсальный конечный элемент тонкой оболочки // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып. 25. Казань. Казанск. физ.-техн. ин-т КНЦ АН СССР. 1990. С. 66-83.

78. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек. Казань. Казан, физ- техн. ин-т. 1989. 270 с.

79. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1958. 470 с.

80. Грибов А.П. Итерационный алгоритм МГЭ решения задачи изгиба пологой оболочки // Тез. док. ХХУШ науч. техн. конф. Ульяновского политехи. ин-та, ч.2. Ульяновск. 1994. С.51-52.

81. Грибов А.П. Исследование напряженно-деформированного состояния гибких прямоугольных пластин ступенчато- переменной жесткости // Камский политехи, ин-т . 10 с. Деп. в ВИНИТИ ОТ 19.09.84.К 6198-84.

82. Грибов А.П. Решение задач нелинейного деформирования пологих оболочек методом граничных элементов // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. т.З. Саратов: Саратовский гос. техн. ун-т., 1997. С. 49-54.

83. Грибов А.П. Исследование изгиба пластин, подкрепленных по контуру ребрами, методом граничных элементов // Механика и процессы управления . Межвуз. сб. научн. тр., вып.З. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та., 1992. С. 8-13.

84. Грибов А.П. Исследование температурного изгиба многосвязанных изотропных пластин методом граничных элементов // Механика и процессы управления. Сб. научн. трудов. Ульяновск. 1996. С. 66-71.

85. Грибов А.П. Расчет гибких пластин и пологих оболочек методом граничных элементов // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды седьмой межвуз. конф. ч. I. Самара. 1997. С. 29-31.

86. Грибов А.П. Итерационный алгоритм метода граничных элементов для расчета гибких пластин и пологих оболочек переменной жесткости // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды шестой межвуз. конф. ч. I. Самара. 1996. С. 24-26.

87. Грибов А.П. Итерационный алгоритм метода граничных элементов для расчета гибких пластин и пологих оболочек переменной жесткости // Ульян, гос. техн. ун-т., Ульяновск, 1997, 18 с. ДЕП в ВИНИТИ 06.01.97, № 22-В97.

88. Грибов А.П. Решение задач нелинейного деформирования пологих оболочек методом граничных элементов // Нелинейное моделирование и управление. Тезисы докладов международного семинара. Самара , 1997. С. 43-44.

89. Грибов А.П. Исследование напряженно-деформированного состояния гибкой пологой оболочки ступенчато-переменной жесткости. Актуальные проблемы механики оболочек // Тезисы докладов Всесоюзной школы молодых ученых и специалистов. Казань. 1983. С. 43.

90. Грибов А.П., Малахов В.Г. Алгоритм расчета длинных гибких панелей на основе метода граничных элементов // Ульян, гос. техн. ун-т, Ульяновск, 1997, 9 с. ДЕП в ВИНИТИ 06.01.97, № 23-В97.

91. Грибов А.П., Малахов В.Г. Итерационный алгоритм прямого метода граничных элементов для расчета пластин и пологих оболочек // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды седьмой межвуз. конф. ч. I. Самара. 1997. С. 31-33.

92. Грибов А.П., Малахов В.Г. Алгоритм расчета гибких пологих оболочек с использованием прямого метода граничных элементов // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. т.З. Саратов: Саратовский гос. техн. ун-т., 1997. С. 54-59.

93. Грибов А.П., Малахов В.Г. Расчет напряженно-деформированного состояния длинных панелей методом граничных элементов И Вестник Казанского гос. технического ун-та. № 4. 1996. С. 48-51.

94. Грибов А.П., Малахов В.Г. Алгоритм расчета гибких пластин методом граничных элементов // Нелинейное моделирование и управление. Тезисы докладов международного семинара. Самара , 1997. С. 45-46.

95. Ю2.Грибов А.П., Стахорский A.M. Исследование изгиба ортотропных многосвязанных пластин сложной формы методом граничных элементов // Смешанные задачи механики деформируемого тела. Тезисы докладов IV Всесоюзной конференции. ч. I, Одесса, 1989. С. 96.

96. Ю4.Грибов А.П., Петухов Н.П. Численные методы расчета тонкостенных конструкций при статических воздействиях. Учебное пособие. Казань. Казанск. хим.-технол. ин-т. 1986. 79 с.

97. Ю5.Григолюк Э.И., Филыитинский J1.A. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука. 1970. 556 с.

98. Юб.Григоренко Я.М., Беренов М.Н. О численном решении задач статики пологих оболочек на основе метода сплайн коллокации // Прикл. механика. 1988. 24, № 5. С. 32-38.

99. Ю7.Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. М.: Наука. 1988. 232 с.

100. Григоренко Я.М., Тимянин A.M. Решение задач об изгибе пластин сложной формы в ортогональных криволинейных координатах // Докл. АН УССР. 1987. А, 2. С.51-54.

101. Ю9.Грилицкий Д.В., Луцишин P.M. Вторая основная задача для анизотропной пластинки с круговым изотропным включением // Прикладная механика", т.4, № 10. 1968. С. 24-30.

102. ПО.Грилицкий Д.В., Попович Б.И. К определению напряженного состояния анизотропной пластинки с упругим включением. ИВУЗ, "Строительство и архитектура". № 5. 1970. С. 50-54.

103. Ш.Гоцуляк Е.А., Паймушин В.Н., Пемсинг К. Расчет фрагмента оболочки вращения с неканоническим очертанием контура. // Статика и динамика оболочек.: Тр. семинара. Вып. 12. Казань. Казанск. физ-техн. ин-т КФАН СССР. 1979. С. 69-79.

104. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение задач теории оболочек на ЭВМ. К.: Вища школа. 1979. 280 с.

105. ПЗ.Громадко II Т., Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов. М.: Мир. 1990. 304 с.

106. Гузь А.Н. О современных направлениях механики твердого деформированного тела // Прикл. механика. 1985. 21, № 9 С. 3-11.

107. Гузь А.Н. , Немиш Ю.Н., Методы возмущения в пространственных задачах теории упругости. К.: Вища школа. 1982. 252 с.

108. Пб.Гузь А.Н., Чернышенко Н.С., Чехов Вал. Н., Чехов Вик. Н., Шне-ренко К.И. Исследования по теории тонких оболочек с отверстиями (обзор) // Прикл. математика. 1979. 15. №11. С. 3-37.

109. Гуляев В.И., Баженов В.А., Лизунов П.П. Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач. Львов: Вища школа. 1978. 192 с.

110. Гурьянов И.Н. Метод разрывных решений в задачах исследования деформации анизотропных пластин сложной формы // Диссертация на соиск. уч. ст. к.ф.-м. н. по спец. 01.02.04. Казань. Казанский гос. ун-т, 1977 г., 212 с.

111. Довганич M.И., Король И.Ю. К вопросу определения частот свободных колебаний прямоугольных пластин ступенчато-переменной толщины. Сб. "Сопротивление материалов и теория сооружений," в.29, "Буд1вельшк", Киев, 1976.

112. Дьяконов Е.Г., Столяров H.H. О решении нелинейных статический задач теории пластин и оболочек // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1979. Т. 10. № 5. С. 39-62.

113. Дызов К.Г. К применению сингулярных функций в расчете пластин при действии локальных нагрузок//Изв. вузов. Стр-во. 1991. №10. С. 19-23.

114. Еленицкий Э.Я., Дьяченко Ю.П. Динамический расчет фундаментной плиты ступенчатого сечения методом начальных параметров // Математическое моделирование и краевые задачи. 4.1. Самара. 1996. С. 34-36.

115. Еленицкий Э.Я. Динамический расчет тонкостенных призматических систем на основе уточненной теории // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Т.1. Саратов. 1997. С. 59-65.

116. Ермаков C.B. Применение метода компенсирующих нагрузок для расчета сопряжения цилиндрических оболочек // Изв. АН. Мех. тверд, тела. 1994. №6. С. 119-127.

117. Жадрасинов Н.Т. Численное решение граничных интегральных уравнений плоского напряженного состояния и плоской деформации // Строит, мех. Караганда. 1988. С. 13-18.

118. Жигалко Ю.П., Дмитриева JI.M. Динамика ребристых пластин и оболочек (обзор) // Исследование по теории пластин и оболочек. Вып. 13. Казань. Изд-во Казанск. ун-та. 1978. С. 3-30.

119. Жигалко Ю.П. Некоторые вопросы подкрепленных оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань. Изд-во Казанск. ун-та. 1979. вып. 14. С. 172-184.

120. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка. 1968. 287 с.

121. Ильгамов М.А., Иванов В.А., Тулин Б.В. Расчет оболочек с упругим заполнителем. М.: Наука. 1987. 260 с.

122. Ишмухаметов Т.Х. Прочность прямоугольной цилиндрической панели ступенчато-переменной жесткости. Сб. Исследования по теории пластин и оболочек. № 8, КГУ, Казань, 1972.

123. Ишмухаметов Т.Х. Прогибы пластинки ступенчато-переменной жесткости. Сб. Исслед. по теории пластин и оболочек, № 6-7, КГУ, Казань, 1969.

124. Калабегашвили М.Г. Об изгибе и оптимальном проектировании цилиндрической оболочки кусочно-постоянной толщины. "Сакартвелос ССР Мицниеребата Академие моаыбе", Сообщ.АН Груз. ССР, в.5, №1,1972.

125. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи неоднородных пологих оболочек. Киев: Наукова думка. 1971. 136 с.

126. Карпов В.В., Игнатьев О.В., Игнатьева И.А. Непологие оболочки ступенчато-переменной толщины // Проблемы прочн. метр, и сооруж. на трансп.: Тез. докл., предст. на 3 межд. конф. Санкт-Петербург. Янв. 1995-Спб. 1995. С. 72-74.

127. Каюк Я.Ф. Некоторые вопросы методов разложения по параметру. К.: Наук, думка. 1980. 167 с.

128. Коноплев Ю.Г. Исследование больших прогибов круглых пластинок при локальных нагрузках // Исследования по теории оболочек. Сб. III. Казань: Изд-во Казанского ун-та. 1965. С. 81-90.

129. Коноплев Ю.Г., Саченков A.B. Исследование напряженного состояния круговой цилиндрической оболочки с жесткой площадкой загружения. Сб. Исследования по теории пластин и оболочек, № 4, КГУ, Казань, 1966.

130. Коноплев Ю.Г., Шалабанов А.К. Метод голографической интер-феррометрии в задачах о действии локальных нагрузок на пластины и оболочки. // Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 12. Казань. Изд-во Казанск. ун-та. 1976. С. 27-37.

131. Коноплев Ю.Г., Шалабанов А.К. Голографическая интерферромет-рия и фототехника. Казань. 1990. 100 с.

132. Кончковский 3. Плиты. Статические расчеты. М.: Стройиздат. 1984. 481 с.

133. Копейкин Ю.Д. Прямое решение двух- и трехмерных задач теории упругости и пластичности при помощи сингулярных интегральных уравнений метода потенциала // Численные методы механики сплошной Среды. Новосибирск. 1974. т.5. N2. С. 46-56.

134. Копейкин Ю.Д. Постановка задач об отыскании функций напряжений с помощью бигармонических потенциалов // Прикладная механика. 1965. т1,№2. С. 104-109.

135. Коренев Б. Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесцелевых функциях. М.: Физматгиз. 1960. 287 с.

136. Коренев Б.Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости М.: Наука. 1980. 400 с.

137. Корнейчук A.A. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов // Численные методы решения дифференциальных уравнений и квадратурные формулы. Научн. сб., М.: Наука. 1964. С. 64-74.

138. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука. 1964. 192 с.

139. Корнишин М.С., Александров М.А., Столяров H.H. Об одном алгоритме расчета гибких пластинки пологих оболочек переменной жесткости. Труды семинара по теории оболочек, в. У1, Казань, 1975. С. 196-201.

140. Корнишин М.С., Грибов А.П. Об одном способе расчета пластин и оболочек ступенчато-переменной жесткости // Труды семинара по теории оболочек. Вып. 4. КФАН СССР. Казань. 1974, С. 298-307.

141. Корнишин М.С., Исанбаева Ф.С. Гибкие пластины и пане-ли.М. .-Наука. 1968.260с.

142. Корнишин М.С., Паймушин В.Н. К вопросу о параметризации срединной поверхности пластин и оболочек со сложной границей. // Прочность и устойчивость оболочек. Труды семинара. Вып. 9. Казань. Казанск. физ-техн. ин-т КФАН СССР. 1977. С. 17-25.

143. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Снигирев В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М.: Наука. 1989. 208 с.

144. Корнишин М.С., Петухов Н.П. К расчету на изгиб гибких пластин и пологих панелей со сложным очертанием контура методам блочной итерации // Тр. семинара по теории оболочек. Вып. VI. Казань. 1975. С. 34 39.

145. Корнишин М.С., Сулейманова М.М. Конечные прогибы пологого сферического купола ступечато-переменной жесткости. Труды семинара по теории оболочек, в. 1, Казанский физико-технический ин-т АН СССР, Казань, 1969.

146. Корнишин М.С., Сулейманова М.М, Спиваковская А.Н. Большие прогибы круглой пластины ступенчато-переменной жесткости. Материалы летней школы по проблеме "Физически и геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболочек", ч.1, Тарту, 1966.

147. Корнишин М.С., Шихранов А.Н. Нелинейный изгиб пологих оболочек вращения со смешанными граничными условиями // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып. 27. КНЦ РАН. ИММ. Казань. 1982. С. 45-54.

148. Корнишин М.С., Рогалевич В.В. Поперечный изгиб упругих круглых пластин при смешанных граничных условиях // Строительная механика и расчет сооружений. 1974. т. 4. С. 6-9.

149. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Файзуллина М.А. Расчет гибких треугольных и четырехугольных пластин // Прочность и устойчивость оболочек. Труды семинара. Вып. XIII. Казане, физ.- техн. ин-т КФАН СССР. Казань. 1980. С. 21-28.

150. Корнишин М.С., Файзуллина М.А. Обзор работ по расчету на изгиб и устойчивость пластин и оболочек сложного очертания. КФАН СССР, ДЕП. в ВНИНИТИ 5.11.86. № 8071-386. Казань. 1986. 39 с.

151. Корнишин М.С., Файзуллина М.А. Геометрически нелинейные задачи изгиба и устойчивости пластин сложной формы // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып. XVII. 41. Казан, физ.-техн. ин-т АН СССР. Казань. 1984. С. 20-21.

152. Корнишин М.С., Шихранов А.Н. Несимметричное деформирование гибких пологих сферических оболочек и круглых пластин // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып. 15. Казань. 1982. С. 60-69.

153. Корнишин М.С., Якупов Н.М. Сплайновый вариант метода конечных элементов для расчета оболочек сложной геометрии // Прикладная механика. 1987. т23. N3. С. 38-44.

154. Космодемьянский A.C. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями и выступами. М.: Высшая школа. 1970. 371 с.

155. Котуранов В.Н., Пашарин С.И. Исследование напряжений в котлах железнодорожных цистерн с учетом ступенчатого изменения толщины их оболочек. Труды Моск. ин-та инж. ж.-д. транспорта, в.368,1971.С. 128-142.

156. Кривошеев Н.И., Корнишин М.С. Изгиб прямоугольных пластин ступенчато-переменной жесткости. Сб. Исследования по теории пластин и оболочек, №5. Изд-во КГУ, Казань, 1967.

157. Кривошеев Н.И., Корнишин М.С. К выводу сеточных уравнений изгиба пластин с отверстиями и пластин ступенчато-переменной жесткости. Сб. Некоторые вопросы теории пластин и оболочек, Казань, 1967.

158. Кроль А.П. Оболочки с односторонним скачкообразным изменением толщины. // Энергомашиностроение, №3,1972.

159. Кроль А.П. Решение двумерных задач теории пластин и оболочек с широкими и узкими ребрами методом JI.B. Канторовича. Труды IX Всесоюзной конф. по теории пластин и оболочек. Изд-во "Судостроение", JL, 1975. С.33-37.

160. Крамин Т.В. Расчет тонкостенных пространственных конструкций сложной формы методом граничных элементов // Диссертация на соиск. уч. степ, к.ф.-м. н. по спец. 01.02.04. Казань. Казанский гос. ун-т, 1995 г., 107 с.

161. Краснощеков В.В. Аналитически интегрируемые квадратичные граничные элементы для плоских упругих задач // ЛГТУ, Л., 1990. Деп. в ВИНИТИ, 12.11.90, № 565 -590.

162. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир. 1987. 328 С.

163. Ш.Крысько В.А., Соколов С.С. К вопросу о решении задач теории упругости для областей , произвольных в плане // Устойчивость пластин и оболочек: Межвуз. сб. Саратов, изд-во Саратов, ун-та, 1981. С. 73-75.

164. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов. 1976. 214 с.

165. Крысько В.А., Жигалов М.В. Метод решения геометрически нелинейных задач МДТТ // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин, тЗ. Саратов: Саратовский гос. техн. ун-т. 1997. С. 118122.

166. Кузнецов C.B. Некоторые сингулярные решения теории упругости // ПММ. Т60. Вып 5.1996. С. 877-879.

167. Кузнецов C.B. Фундаментальные решения уравнения Ламе для анизотропных сред// Изв. АН СССР. МТТ. 1989. №4. С. 50-54.

168. Кулаков В.М., Толкачев В.М. Изгиб пластин произвольного очертания // ДАН СССР. 1976 Т. 230. №1. С. 56 -59.

169. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физ-матгиз, 1963. 472 с .

170. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили Н.О., Барчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука. 1976. 664 с.

171. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 832 с.

172. Лавриненко В.В. К вопросу о методике расчета осесимметрично нагруженных круговых цилиндрических оболочек со ступенчато-изменяющимся радиусом // Донбас. гос. акад. стр-ва и архитектуры. Макеевка. 1995. 8 с. Деп в ГПНТБ Украины 13.04.95 № 878-Ук95.

173. Липовцев Ю.В., Осауленко В.Н. Анализ постановок и решения задач о взаимодействии соосных оболочек вращения с упругим слоем // Прикладные проблемы прочности и пластичности . Горький. 1977. Вып. 8. С. 44-56.

174. Максименко В.Н., Подружин Е.Г. Метод сингулярных интегральных уравнений в задачах изгиба пластин // Расчета, методы механ. деформ. твердого тела. Тезисы докладов конф. Новосибирск. 1995. С. 43-44.

175. Лейсса Клаузен. Прогиб круглой пластины при смешанных граничных условиях // Ракетная техника и космонавтика. 1967. т.5. № 12. С. 210211.

176. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: ГИТЛ. 1947. 355 с.

177. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М. : Наука. 1977. 416 с.

178. Лившиц И.М., Розенцвейг Л.М. О построении тензора Грина для основного уравнения теории упругости в случае неограниченной упруго-анизотропной среды // ЖЭТФ. 1947. Т17. Вып. 9. С. 783-791.

179. Липкин В.И. Использование импульсных функций при расчете пластин со ступенчато-меняющейся жесткостью методом Бубнова-Гаперкина. Сб. Исследования по строительной механике и строительным конструкциям. Томск, ун-т, Томск, 1974. С.45-52.

180. Липкин В.И. Расчет прямоугольных пластин со ступенчато-меняющейся жесткостью на прочность, устойчивость, колебания. Сб. Пространственные конструкции в Красноярском крае, Красноярск, 1972. С. 256257.

181. Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. М.: Мир. 1982. 542 с.

182. Марчук Г.И. Методы вычислительной матаматики. Новосибирск: Наука. 1973. 352 с.

183. Меглинский В.В. Изгиб круглой плиты с двумя круговыми шайбами. Сб. Некоторые задачи теории упругости о концентрации напряжений и деформации упругого тела, в.5, Саратовский ун-т, 1970. С. 95-101.

184. Методы динамических расчетов и испытаний тонкостенных конструкций / Кармишин A.B., Жуков А.И., Колосков В.Г. и др. М.: Машиностроение. 1990. 288 с.

185. Методы расчета оболочек: в 5 т. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями. Т.1 / Гузь А.Н., Чернышенко И.С., Чехов Вал. Н., Чехов Вик. Н. К.: Наук, думка. 1980. 635 с.

186. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений / Пост-нов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Родионов A.A. Л.: Судостроение. 1979. 288 с.

187. Миндолин Ю.И. Температурный изгиб сплошных и двусвязных пластин сложного очертания // Прикл. теория упругости. Межвуз. науч. сбор. Саратов, 1989. С. 99 102.

188. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. Л.: изд-во ЛГУ. 1980. 196 с.

189. Михайлов Б.К. Некоторые граничные интегральные уравнения плоской задачи теории упругости для неодносвязных тел с одномерными упругими окаймлениями и угловыми точками. Изв. РАН. Мех. тв. тела. 1992. С. 36-47.

190. Михайлов Б.К. Основные уравнения теории тонких оболочек с разрывными параметрами. Труды Ленинградского инж. строит, ин-та, №104.1975.С.117-130.

191. Михайлов Б.К. Расчет пластин со ступенчато изменяющейся толщиной. Сб. Механика, кратк. содерж. докладов XXX научн. конф. ЛИСИ, Л., 1975. С. 54-56.2Ю.Михлин С.Г. Интегральные уравнения. М. Л.: Гостехиздат. 1947.

192. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М: Физматгиз. 1962. 254 с.

193. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физики. М.: Наука. 1970. 512 с.

194. Молчанов B.C. Экспериментальные исследования напряжений в пластинах ступенчато-переменной толщины // Вопросы прикладной механики в авиационной технике. Труды Куйбышевского авиационного ин-та, в.69, 1971. С. 28-32.

195. Морарь Г.А. Метод разрывных решений в теории пластин Тимошенко // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1989. № 2. С. 171-178.

196. Морарь Г.А. Метод разрывных решений в пространственной теории упругости // Изв. АН СССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук. 1989. № 3. С. 3-6.

197. Морарь Г.А. Метод разрывных решений в механике деформируемых тел. Кишинев: Штинца. 1990. 130 с.

198. Морарь Г.А. Метод разрывных решений в теории пластин//Мат. исслед., Кишинев. 1989. С. 56 62.

199. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Таткнигоиздат", Казань, 1957.

200. Мусхелишвилли Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука. 1968.511 с.

201. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1979. 707 с.

202. Мысютин А.П., Кокупов В.А. Об интегральном варианте метода фиктивных нагрузок для расчета напряженного состояния пластин. Брянск, ин-т трансп. машиностр., Брянск, 1992,16с., Деп. в ВИНИТИ, № 119 -192.

203. Наймут Ю.С. К расчету оболочек кусочно-постоянной толщины // Сб. Исследования по упругости и пластичности. Изд. .ЛГУ, № 9, 1973. С. 128132.

204. Нелинейная аэроупругость тонкостенных конструкций / Кармишин A.B., Скурлатов Э.Д., Старцев В.Г., Фельдштейн В.А. М.: Машиностроение. 1982. 240 с.

205. Немиш Ю.Н., Блошко Н.М. Напряженное состояние упругих цилиндров с выточками. К.: Наук, думка. 1987. 176 с.

206. Нехотяев В.В., Саченков A.B. Большие прогибы тонких упругих пластин // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань. Изд-во Ка-занск. ун-та. 1972. Вып. 8. С. 42-77.

207. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука. 1979. 256 с.

208. Новожилов В.В. Краткий очерк развития теории оболочек в СССР // Исследования по теории оболочек. Вып. 6-7. Казань. Изд-во Казанск. ун-та 1970. С. 3-22.

209. Новожилов Г.В. Надежность широкофюзеляжных самолетов // Вестник АН СССР. 1985. № 8. С. 85-92.

210. Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир. 1981.304 с.

211. Паймушин В.Н. Соотношения теории тонких оболочек типа Тимошенко в криволинейных координатах поверхности отсчета // Прикладная математика и механика. 1978. 42. N4. С. 762 772.

212. Паймушин В.Н., Фирсов В.А. Об одном способе математического описания и решения краевых задач механики и деформирования оболочек, лежащих на сплошном или дискретном упругом основании // Проблемы машиностроения. 1982. Вып. 16. С. 18-23.

213. Паймушин В.Н., Сидоров И.Н. Вариант метода граничных интегральных уравнений для решения задач статики изотропных оболочек произвольной геометрии // Изв. АН СССР. Мех. тв. тела 1991. №1. С. 160-169.

214. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинках и оболочках. Киев : Наукова думка. 1976. 444 с.

215. Панич О.И. О потенциалах полигармонического уравнения четвертого порядка // Мат. сборник. Одесса. Вып. 3. 1960. Т. 50. С. 335-354.

216. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука. 1981. 688 с.

217. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука. 1977. 311 с.

218. Пацюк В.И., Римский В.К. Волновые процессы в составной оболочке с отверстиями // Прикладная механика. 1986. 22. N2. С. 33- 41.

219. Петров B.B. Метод последовательных нагруженнй в нелинейной теории пластин и оболочек. М.: Наука. 1975. 119 с.

220. Петров В.В., Овчинников Н.Г., Ярославский В.И. Расчет пластин и оболочек из нелинейно-упругого материала. Саратов. 1976. 133 с.

221. Петрушенко Ю.Я., Инородцев H.A. Вариационный метод исследования свободных колебаний многослойных оболочек сложной геометрии // Теория и методы исследования оболочек сложной формы. Межвуз. сб. Казань. 1987. С. 61-69.

222. Петухов Н.П. К расчету на изгиб пластин со сложным очертанием контура // Труды семинара по теории оболочек. Казанский физ.-техн. ин-т. АН СССР. 1974. вып. 5. С. 30-34.

223. Петухов Н. П. Теоретическое и экспериментальное исследование гибкой пластины, составленной из прямоугольных областей // Сб. Статика и динамика оболочек. Труды семинара. Вып. 8. КФТИ КФАН СССР. Ка-зань.1977.С. 58-105.

224. Петухов Н.П. О некоторых подходах к расчету пластин и оболочек со сложным опорным контуром // Исследования по теории оболочек: Тр. семинара. Вып. 10. Казань. Казанск. физ. тех. ин-т КФАН СССР. 1978. С. 518.

225. Погорелов A.B. К теории выпуклых упругих оболочек в закри-тической стадии. Харьков. 1960.

226. Подгородецкий А.Э. Изгиб прямоугольных пластин ступенчато переменной толщины // Прикладная механика, т. IX. вып.1,1975.

227. Подгородецкий А.Э. Изгиб прямоугольных пластинок ступенчато-переменной толщины // Труды НИИ з-да "Электротяжмаш". Харьков. 1972. С. 131-139.

228. Подгородецкий А.Э. Решение некоторых задач об изгибе прямоугольных пластин методом Бубнова-Галеркина. Автореферат диссерт. на со-иск. уч. степ, к.т.н., Днепропетровск, 1975.

229. Положий Г.Н. Численное решение двумерных и трехмерных задач математической физики и функции дискретного аргумента. К.: Изд-во Киевского ун-та. 1962.163 с.

230. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука. 1982. 344 с.

231. Попов Г.Я. Онищук О.В. Изгиб многосвязанных пластин, защемленных по контуру // Исследования по теории сооружений. 1980. Вып. 24. С. 5055.

232. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение. 1974. 344 с.

233. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир. 1979. 493 с.

234. Пшеничнов Г.И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластинок. М.: Наука. 1982. 352 с.

235. Рассудов В.И., Красюков В.П., Панкратов Н.Л. Некоторые задачи термоупругости пластинок и пологих оболочек. Изд-во Саратовского политехнического института. 1973.155 с.

236. Рвачев В.А., Курпа Л.В. R- функции в задачах теории пластин. Киев: Наукова думка. 1987. 176 с.

237. Рвачев В.Л., Курпа Л.В. Склепус Н.Г. Метод R функций в задачах об изгибе и колебаниях пластин сложной формы. Киев: Наук, думка. 1973. 122 с.

238. Рвачев В.Л. Теория R функций и некоторые ее приложения. Киев: Наук, думка. 1982. 552 с.

239. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига: Зинатне. 1988. 284 с.

240. Роголевич В.В. Метод переопределенной внутренней коллокации в задачах прочности, устойчивости, колебаниях пластин и оболочек // Строительная механика и расчет сооружений. 1982. № 5. С. 33-38.

241. Розин J1.A. Стержневые системы как системы конечных элементов. Л. Изд-во ЛГУ. 1976. 232 с.

242. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы дня эллиптических уравнений. М: Наука. 1976.352 с.

243. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М: Наука. 1971.552 с.

244. Самерханов Р.З. Собственные колебания оболочечных конструкций сложной формы // Труды XV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, т. 1. Казань. Изд-во Казанск. ун-та. 1990. С. 225-230.

245. Сахаров A.C., Киричевский В.В., Кислоокий В.Н. и др. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев.: Вища школа. 1982. 480 с.

246. Свищев Г.П. Актуальная проблема машиностроения // Вестник АН СССР. 1985. №8. С. 72-73.

247. Сеницкий Ю.Э. Многокомпонентное обобщенное интегральное преобразование и его приложение к нестационарным задачам механики // Известия вузов. Математика. 1991. № 4. С. 57-63.

248. Сеницкий Ю.Э. Обобщенные биортотропные конечные интегральные преобразования и их применение к нестационарным задачам механики // ДАН, 1995. Т.341. № 4. С. 474-477.

249. Серазутдинов М.Н. О методе построения аппроксимирующих функций в задачах расчета пластин и оболочек сложной формы // Теория и численные методы расчета пластин и оболочек. Труды Всесоюзн. совещания -семинара в Тбилиси. Т.2. С. 294-304.

250. Серазутдинов М.Н. Статика и динамика тонкостенных элементов конструкций сложной геометрии // Диссертация на соискание ст. д. ф.-м. н. по специальности 01.02.04. Камский политехнический ин-т. Набережные Челны. 1991. 308 с.

251. Серазутдинов М.Н. Расчет ребристых упругозакрепленных пластин различной формы. ВУЗ. Машиностроение. 1986. № 8. С. 3-7.

252. Серазутдинов М.Н. К методам расчета пологих оболочек со сложной формой контура // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1988. № 3. С. 144-149.

253. Серазутдинов М.Н., Банцарев К.Н. Синтез метода граничных уравнений и вариационного метода при расчете пластин и оболочек // Изв. вузов, Машиностр. 1992. 10-12. С. 48-52.

254. Смирнов В.А. Экспериментальное исследование вынужденных колебаний пластин методом голографической интерферрометрии // Изв. вузов. Машиностроение. 1984. №2. С. 19-25.

255. Смирнов В.А., Наносов М.П. О вынужденных колебаниях круглых пластин с поясами жесткости // Сопротивление материалов и теория сооружений. 1986. № 9. С. 82-85.

256. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука. 1982. т.4. 550 с.

257. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука. 1956. т.2. 628 с.

258. Срубщик J1.C. Выпучивание и послекритическое поведение оболочек. Ростов: Изд-во Рост, ун-та. 1981. 96 с.

259. Старк. Обобщенная квадратурная формула для интегралов Коши // Ракетная техника и космонавтика. 1971. Т9. N9. С. 244-245.

260. Старков В.И. Об одной задаче изгиба эллиптической пластины ступенчато-переменной жесткости. Сб. Некоторые вопросы прикладной математики, в.5, Киев, 1971. С. 162-169.

261. Стаценко Л.И., Шевченко В.П. Нормальные прогибы ортотропной сферической оболочки от сосредоточенных воздействий // Методы решения задач мат. физики и обработки данных. Днепропетровск, гос. университет. Днепропетровск. 1990. С. 45-90.

262. Столяров H.H. Об одном эффективном методе решения геометрически и физически нелинейных задач теории оболочек // Прикл. механика. 1977. №11. С. 126-129.

263. Столяров H.H. Несимметричные задачи упругопластического изгиба гибких пологих оболочек и пластин переменной жесткости // Прочность иустойчивость оболочек.: Тр. семинара. Вып. 13. Казань. Казанск. физ-техн. ин-т КФАН СССР. 1980. С. 47-58.

264. Столяров H.H., Додзина Р.Н. Об одном алгоритме исследования устойчивости гибких панелей // Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. Куйбышев. 1983. С. 57-63.

265. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир. 1970. 350 с.

266. Сухорольский М.А., Лобова О.В. Упрощенная схема метода граничных элементов для задачи изгиба прямоугольной пластины с жестким включением // Гос. ун-т "Львов политехи". Львов. 1996. 17 с. Деп в ГПНТБ Украины 24.10.96. №2018-Ук96.

267. Сухорольский М.А. Непрямой метод граничных элементов в теории оболочек. Львовский политехи, ин-т. Львов. 1990. 26 с. Деп В Укр. НИИНТИ 17.10.90. № 1733-Ук90.

268. Терегулов И.Г., Каюмов P.A. Плоское напряженное состояние в ор-тотропной полосе с бесконечным рядом шайб. Сб. Исследование по теории оболочек, в. YII. Казанский физ.-техн. ин-т АН СССР, 1976.

269. Теллес Д.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. М.: Стройиздат. 1987.160 с.

270. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука. 1966. 635 с.

271. Толкачев В.М. Уравнения изгиба пластин произвольного очертания с угловыми точками // Труды ХХУП Международн. конф. по теории оболочек и пластин. Т.1. Казань: изд-во гос. ун-та. 1996. С. 145-153.

272. Толкачев В.М. Метод компенсирующих нагрузок в теории изгиба пластин // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1988. № 3. С. 155 -160.

273. Толкачев В.М., Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Решение задач изгиба пластин сложного контура методом граничных элементов // Актуальные проблемы механики оболочек. Тезисы докладов II Всесоюзного совещания-семинара молодых ученых. Казань. 1985. С. 218.

274. Толкачев В.М., Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Смешанные задачи изгиба пластин сложного контура // Тезисы докладов III Всес. конф. "Смешанные задачи механ. деформ. тела." Харьков. 1985. С. 123.

275. Трофимов A.M. Построение граничных интегральных уравнений метода компенсирующих нагрузок для пологих оболочек переноса // Матер, научю техн. конф. Харьковск. инж. - стр. ин-та. 1990. С. 71-83.

276. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике твердого деформируемого тела. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1986. 296 с.

277. Уздалев А.И. Температурные напряжения в пластинах, ограниченных двухсвязным контуром. Изд-во Саратовского политехнического института, 1975. 174 с.

278. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. АН СССР, М.: 1963. 285 с.

279. Файзуллина М.А. Гибкие треугольные и четырехугольные пластины при шарнирном и комбинированном закреплении краев // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып. XV. Казанский физ.- техн. ин-т КФАН СССР. Казань. 1982. С. 70-81.

280. Фельдман М.Р. Собственные колебания пластин ступенчато-переменной толщины. Прикладная механика", т.З, вып. 12, 1967.

281. Филин А.П. Современные проблемы использования ЭЦВМ в механике твердого деформируемого типа. Стройиздат, Ленинградского отделение. Л., 1974.

282. Хазанов Х.С. К расчету цилиндрической оболочки с жесткой круглой шайбой на боковой поверхности // ИВУЗ. Авиационная техника. № 1,1970.

283. Хазанов Х.С. К расчету элементов авиаконструкций типа цилиндрических оболочек с круглыми вырезами и включениями. Автореферат диссертации на соиск. уч. степ, д.т.н., М., 1971.

284. ЗЮ.Хазанов Х.С. Расчет элементов авиаконструкций типа цилиндрических оболочек с круглыми вырезами и включениями. Тезисы докл. на семинаре по механике деформ. твердого тела под руководством А.И. Лурье. Изв. АН СССР, МТТ,№6, 1969.

285. ЗП.Хазанов Х.С. Кручение цилиндрической оболочки с упругим круглым включением на боковой поверхности. ИВУЗ, Авиационная техника, № 2,1973. С. 60-65.

286. Хазанов Х.С. Напряженное состояние круговой цилиндрической оболочки, нагруженной через абсолютно жесткую круговую шайбу. Труды КуАИ, вып.39,1968. С. 18-19.

287. Хижняк В.К., Шевченко В.П. Смешанные задачи теории пластин и оболочек. Донецк: Изд-во Донецкого университета, 1980.128 с.

288. Хотин Я.Я. Применение вариационных методов в задачах об изгибе пластин с жестким включением. Труды Моск. знерг. ин-та, вып. 120, М., 1972.

289. Хотин Я.Я. Изгиб круглой ортотропной пластинки с жесткой шайбой // ИВУЗ. Машиностроение. № 9.1969.

290. Хотин Я.Я. Изгиб пластин и оболочек с жестким включением. Сб. Исследов. по теории пластин и оболочек, №11, КГУ, Казань, 1975.

291. Христенко A.C. Выбор подкрепляющих накладок при действии локальных нагрузок на ортотропную цилиндрическую оболочку. Респ. межввд. темат. научн. техн. сб. Судостроение и морские сооружения, в. 17,1971. С. 43-46.

292. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1977. 302 с.

293. Юдин А.С. Об устойчивости сферических оболочек постоянной и ступенчато-переменной по меридиану жесткости. Тезисы докладов 4-ой Всес. конф. по пробл. уст. в строит, мех., М., 1972.

294. Шевченко В.П. Интегральные преобразования в теории пластин и оболочек. Донецк: Донецкий государственный университет, 1977.115 с.

295. Якупов Н.М. Прикладные задачи механики упругих тонкостенных конструкций. КНЦ РАН ИММ. Казань. 1994.124 с.

296. Якупов Н.М. О некоторых работах по расчету оболочек сложной геометрии // Исследования по теории оболочек: Тр. семинара. Вып. 25. Казань. Казанск. физ. тех. ин-т КНЦ АН СССР. С. 43-55.

297. Якупов Н.М., Серазутдинов М.Н. Расчет упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии. ИММ РАН. Казань. 1993,206 с.

298. Abdel-Akher A., Hartley G.A. Domain integration for plate bending analysis by bem // Commun. Appl. Numer. Meth. 1989. 5. N1. 23-28 p.

299. Abdel-Akher A., Hartley G.A. Evaluation of boundary integrals for plate bending II Int. Numer, Meth. Eng. 1989. 28. N1. 75-93 p.

300. Baneijee P.K., Henry D.P. BEM formulation for body forces using particular integrals // Boundary Elem. Meth. Appl. Mech. Proc. 1st Joint Jap/US Symp. Boundary Elem. Meth., Tokyo, 3-6 Oct., 1988. Oxford. 1988.25-34 p.

301. Bojda Karol H . О obliczaniu uqiec prostokatnej pluty schodkowej. "Arch inz lad.", 17, № 4,1971. 605-609 .

302. Brebbia C.A., Long S.Y. Boundary element analysis of plates using Reissner's theory. Boundary elements 9. 9th Int. Conf. Stuttgard, Aug. 31st -Sept. 4th, 1987, Vol. 1, Southampton, 1987, 3 18 p.

303. Cadegh All M. On the Green's function and boundary integral formulation of elastic plates with contours// Mech. struct, and Mach., 1991. 16, N3,293-311 p.

304. Calkiewiez.Tadeusz, Iipinski Janusz. Zagadnienie statecznosci iaotropwej powioki walcovrej о zmiennej skokowo grubosci achianki poddanej skrecaniu, "Arch bud. masz", 19,№ 2, 1972. 323-336.

305. Camp C.V., Gipson G.S. Biharmonic analysis of rectilinear plates by the bem // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1990. 30, N3, 517-539 p.

306. Chopra I. Vibration of stepped thickness Plates "J. Mech. schi", Vol. 16, N6,1974. 377-384.

307. Choi J.H., Kwak B.M. A bie formulation in derivative unknowns for two-dimentional potential problems // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1989. 56, 3, 617-623 p.

308. Costa J. A. ,Jr. Brebbia C.A. Vending of plates on elastic foundation using the boundary element method. "Boundary element 6" Berlin e. a., 1984, 3/43 3/631. P

309. Costa, J.A.,Jr. Brebbia C.A. Plate bending problems using boundary element method. "Boundary element 6" Berlin e. a., 1984, 3/43 3/63 p.

310. Cruse T.A., Rizzo F.J. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem. Int. J. Math. Anal. Applies, 1968, 22, 244-259.

311. Ding F., Li Z. Calculation of boundary integrals and load integrals for plate bending// J. Lanzhou Univ. 1991. 27, N2,1-7 p.

312. Ebner H. und Schnell W Einbeulen von Kreiezylinderschalen mit abgestufter Wandstarke unter Aussendruck Z. Plug wriss, 9 (1961), H. 4/5, s. 143150.

313. Ebner H. Theoretische und exgerimentelle Untereuchungen aber das Einbeulen zylindrischer Tanks durch Unterdruck. Stahlbau 21 (1952), H.9 ,S. 153 bis 159.

314. Fredholm I. Sur une classe d'equations fonctionelles. Acta Mathematica. 27. 365-390 (1903).

315. Giroire. J. A system of bies with hipersingular kernels for the free edge plate.// Comput. Mech.'88: Theory and Appl.: Proc. Int. Conf., Comput. Ing. Sei., Atlanta, GA, Apr., 10-14,1988, Vol.1 Berlin, 1988. 23.II.l-23.II.4p.

316. Gospodinov G.K. An integral equation method to boundary value problems in elastostatics // Struct. Mech. React. Tech- nol.,Trans. 9th int.

317. Conf., Laussanne, 17-21, Aug., 1987, Vol. B, Rotterdam; Boston, 1987, 155 -160 P

318. Gospodinov G.K. The boundary element method applied to shellow spherical shells. "Boundary Elements 6", Proc. 6th Int. Conf. Board Liner, Queen Elizabeth 2, Southampton, N.Y., Ju ly, 1984.",Berlin, e.a., 1984, 3/65-3/77

319. Guo-Shu Song, Mukheijee S. Boundary element method analysis of bending of elastic plates of arbitrary shape with general boundary conditions. "Eng. Anal.", 1986, 3, N1, p36-44 .

320. Gallego Jnarez. Axiaymmetric vibrations of circular plates with stepped thickness. "J Sound and Vibr.", Vol. 26, N 3,1973 .

321. Gwaltney R .C., Corum J.M., Greenstreet W. L. Effect of Pillets on Stress Concentrationa in Cylindrical Shells With step Changes in Outside Diameter "Pap ASME", 1971, NPVP-27, 7pp., ill.

322. Pillkey W. I. Stepped circular Kirchhoff Plate J. "AIAA" Vol.3, N9, 1965.1968-1970.

323. Hartmann F. Kirchhoff plates // Boundary elem. X, Vol.3, Stress analysis. Southampton etc., Berlin etc., 1988. p.409-423.

324. Katayama, T., Siguiyama Y. A formulation of bem for plane stress problem//"Bui. Univ. Osaka Prefect", 1986, A35, N1,12-22 p.

325. Katsikadelis J.T. Large defection analysis of plates on elastic fondation by the boundary element method // Int. J. Solid and Struct. 1992. 27. N15. p. 18671878.

326. Katslkadelis J.T., Armenakas A.E. A new boundary equation solution to the plate problem // Trans. ASME J. Appl. Mech., 1989, 56, №2, 364 734 p.

327. Katsikadelis J.T., Sapountzakis E.J., Zorba E.G. A BEM approach to static and dynamic analysis of plates with internal supports. "Boundary element 10", Vol.4, Southampton etc., Berlin etc., 1988, 431-444 p.

328. Katsikadelis J.T., Sapountzakis E.J., Zorba E.G. A BEM approach to static and dynamic analysis of plates with internal supports. Comput. Mech. 1990. 7, N1,31-40 p.

329. Kamiya N., Sawaki Y. A simplified nonlinear bending analysis of flat plates and shallow schells by bondary element approach based an Berger equation //Numer. Meth. Ind. Form. Processes. Swansea. 1982. p. 289-297.

330. Kamiya N., Sawaki Y. An integral equation approach to finite deflection of elastic plates // Int. J. Non Linear Mech. 1982. 17. N3. p. 187-194.

331. Lei Xiboyan, Huang Maokuang. A new bondary element method for Rissners plate with new bondary values // Lixue Xuebao. Acta mech. sin. 1995. 27. N5. p.551-559.

332. Lewinski Tomasz // Plates with step wise varying thickness evaluation of effective schiffnesses in the asymmetric case. Pol - Ukr. Semin. "Theor. Found, Civ. Eng.". Warsaw, June - July. 1994. Dniepropetrovsk. 1994. p.85-90.

333. Lu Pin, Huang Mao-quang. Calculation of the fundamental Solution for the theory of shallow schells considering shear deformation // Appl. Math, and Mech. 1992. 13. N6. p.537-545.

334. Lu Xilin, Du Qinghua Boundary element method for Kirchhoff type plate bending problems by regular integration technique. "J. Tsinghua Univ.", 1988, 28, N2,12-22 p.

335. Masataka T. Introduction to boundary clem.eat method // J. Jap. Soc. Simulat. Technol. 1987. 6, N2, 77-83 p.

336. Masinda J. Application of the boundary element method to elasticity and thermoelasticity problems. "Monogr. and Mem, Nat. Res. Inst. Mach. Des. Praha-Bechavice", 1986, N36, 58pp.'

337. Matsiy Tetsuy. The fundamental solutions in the theory of shallow schells. // Int. Solids and structures. 1978. Vol. 14. № 12. pp. 1971-1981.

338. Mochihara M., Kamiwakida I. Numerical solution of plane stress problems by bem. "Kagoshima Techn. Coll. Res. Repts.", 1987, №21, 29-35 p.

339. Reissner H. Uber die unsymmetriache Biegung dunnor Kreieringplatten. Ing -Archiv, 1929, N 1.

340. Resinger F , Greiner R. Zum Beulverhalten von Kreiszylinderschallen mit abgestufter Wanddicke unter Manteldruck. "Stahlbau", 43, N 6, 1974. 182-187.

341. Sapountzakis E.J., Katsikadelis J.T. Unilaterally supported plates on elastic foundations by the boundary element method // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1992. 59. N3. p.580-586.

342. Shang Xin-chun, Cheng Chang-jun. Qualitative investigation and monotonic iterative solutions for nonlinear bending og polar ortotropic circular plates//Appl. Math. andMech. 1990. 11. N12. p. 1137-1154.

343. Sladek V., Sladek J. Non Non sinqular formulation og BIE for plate bending // Eur. J. Mech. A. 1992. 11. № 3. 335-348.

344. Sun B., Tang J., Xiaag Y. New bern of outside domainsingularity points for plate bending problems// Comput. Struct. Mech. and Appl. 1991 8, N1, 101103 p.

345. Suzuki S. I. Dynamic behavior of thin culindrical schells with a stepp change in thikness sufjeeted to inner impulve lodds, "J. Sound and vibration", Vol. 44, N2,1976.159-178.

346. Talavicharov A.D. Fundamental solutions and boundary integral equations in the bending theory of schellow spherical schells. "Boundary elements 7", Proc. 7th Int. Conf. Lake Como, Sept, 1985, Vol. 1", Berlin e.a, 1985, 7/33 -7/52.

347. Tanaka Masataka, Miyazaki Kenichi. A direct boundary element method for elastic bending analysis of plates. Trans. Jap. Soc., Mech. Eng., 1985, A51, N466, 1636-1641 p.

348. Tanaka Masataka, Mitsumoto Toshiro, Zheng Zhundong. BEM analyses of finite deflection problems for von Karman-type plates // Nihon Kikai Gakkai Ronbunscu. A. Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1995. 1. N589. p. 2079-2085.

349. Tosaka Nabyoschi. In integral equation method for schell bending problems // Comput. Mech. 88. Theory and Appl. Proc. Int. Conf. Comput. Eng. Sci. Atlanta. Ga. Arp. 10-14. 1988. Vol.1. Berlin. 1988. p.23.1.1.

350. Tosaka N., Miyake S., A boundary schallow shell bending problems. "Boundary Elem. Proc. 5th Int. Conf., Hiroshima, Nov., 1983", Berlin e.a., 1983, 527-538.

351. Tottehem H. The boudary element method for plates and schells. "Devlop Boundary Elem. Meth. 1" London. 1979. 173-205.

352. Vable M., Zhang Y. A bem for plate bending problems. Int. J. Solids and Struck. 1992. 29, N3, 345-361 p.

353. Wang Zuo-hui. Nonsingular kernel bem for thin plate bending problem // Appl. math, and mech. 1993,14, N8, 729-738 p.

354. Wearing J.L., Abdul Rahman A.G. A regular indirect bem for stress analysis. Boundary elements 9. 9th Int. Conf. Stuttgard, Aug. 31st Sept. 4th, 1987, Vol. 1, Southampton, 1987,183 198 p.

355. Werner H., Protosaltis B. A boundary superposition element method for the Kirchoff plate bending problems. Boundary Elements 7. Proc. 7th Int. Conf. Lake Como, Sept. 1985, Vol.1, Berlin e.a., 1985, 4/63 -4/80.

356. Wranek Jozef. 0 obli"aniu naprezen w tarezach prostokatnych ze skokowymi gruboschi. "Arch inz lad", 17, N 3,1971.

357. Грибов А.П. Решение задач о больших прогибах пластин и пологих оболочек на упругом основании методом граничных элементов. Математическое моделирование и краевые задачи. Труды восьмой межвузовской конференции. 4.1. Самара . 1998. С. 46-49.

358. Грибов А.П., Карсункин В.В. Программа по расчету пластин, подкрепленных по контуру упругими ребрами (PLAST). Зарегистрирована в реестре программ для ЭВМ Рос АПО 10.10.97. № 970496.

359. Плещинский Н.Б. Интегральные уравнения с логарифмической особенностью в ядре для граничных задач теории упругости для плоскости, полуплоскости и круга с дефектами вдоль гладкой дуги. Препринт 97-1. Казанское матем. общество. Казань. 1997. 22с.

360. Плещинский Н.Б. Приложения теории интегральных уравнений с логарифмическими и степенными ядрами. Казань. Изд-во Казанск. ун-та. 1987. 160с.