Задачи нелинейного деформирования элементов конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Волчков, Юрий Матвеевич

• Волчков, Юрий Матвеевич
• доктор физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Волчков, Юрий Матвеевич

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОГО ВРЕМЕНИ ВЫПУЧИВАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ

§1. Двухслойная модель оболочки. Уравнения технической теории оболочек

§2. Вычисление критического времени осесимметричного выпучивания цилиндрических оболочек при установившейся ползучести

§3. Несимметричное выпучивание цилиндрических оболочек при ползучести

§4. Выпучивание трехслойных цилиндрических оболочек

§5. Выпучивание подкрепленных цилиндрических оболочек при ползучести при совместном действии бокового давления и осевой силы

§6. Уравнения изгиба пластин при неустановившейся ползучести

§7. Сравнение результатов решения задач неустановившейся ползучести пластин и оболочек по "точным" и приближенным соотношениям

Глава 2. ПРЕДЕЛЬНЫЕ И БИФУРКАЦИОННЫЕ НАГРУЗКИ СОСТАВНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

§8. Метод последовательных нагружений и параметр времени в задачахупругопластического деформирования

§9. Предельная нагрузка цилиндрической оболочки с упругими шпангоутами под действием гидростатического давления

§10. Определяющая система уравнений осесимметричного упругопла-стического деформирования оболочек вращения

§11. Предельные нагрузки составных оболочек вращения

§12. Бифуркационные нагрузки составных оболочек вращения

Глава 3. РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НА ОСНОВЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПОЛИНОМАМ ЛЕЖАНДРА

§13. Уравнения упругого слоя в первом приближении

§14. Решение плоских задач с ипользованием уравнений упругого слоя

§15. Моментные конечные элементы с условиями сопряжения по граням

§16. Задача о растяжении плоскости с разрезом

§17. Решение задач о растяжении и сдвиге упругой прослойки

§18. Итерационная процедура самоуравновешенных невязок

§19. Вычисление плоских равновесных форм тонких упругих стержней методом самоуравновешенных невязок

Глава 4. ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ

§20. Алгоритм решения плоской динамической задачи изотропной теории упругости в декартовой системе координат

§21. Алгоритм решения динамической упругопластической задачи для тел вращения при неосесимметричном нагружении

§22. Аппроксимация уравнений упругопластического деформирования (1-й способ)

§23. Аппроксимация уравнений упругопластического деформирования в задачах динамики (2-й способ)

§24. Моделирование процессов хрупкого разрушения

§25. Примеры численных расчетов

§26. Задачи динамики упругопластического деформирования при больших деформациях

§27. Квазиодномерная модель высокоскоростного соударения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи нелинейного деформирования элементов конструкций»

ВВЕДЕНИЕ

Широкое применение в технике элементов конструкций, работающих под воздействием интенсивных теплосиловых нагрузок, вызывает необходимость исследования их напряженно-деформированного состояния. Экспериментальное исследование такого рода конструкций не всегда возможно, но даже в тех случаях, когда это можно сделать — цена таких экспериментов весьма высока. Поэтому актуально исследование процессов деформирования элементов конструкций на основе их математического моделирования — построения аналитических и численных решений нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, создания математических моделей и методов решения задач, сформулированных на основе этих моделей.

Целью диссертационной работы является:

• исследование закономерностей неупругого деформирования элементов конструкций на основе математических моделей,

• разработка алгоритмов решения задач деформирования элементов конструкций в условиях ползучести и упругопластического деформирования при интенсивных теплосиловых нагрузках,

• решение прикладных задач.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

В первых двух главах решены задачи неупругого деформирования оболочек. Построены конечные выражения для критических времен выпучивания широкого класса цилиндрических оболочек в условиях ползучести с использованием двухслойной модели оболочки. Решены задачи предельного равновесия и устойчивости оболочек вращения при упру-гопластическом деформировании. Проведено сопоставление решений по приближенным и точным соотношениям упругопластического течения.

В третьей и четвертой главах решены плоские статические задачи с особенностями в напряженном состоянии и задачи динамики упругопластического деформирования тел вращения при интенсивных теплосиловых нагрузках.

Задачи упругого деформирования пластин и оболочек при использовании гипотезы прямой ( или ломаной ) нормали сводятся к двумерным. Не так обстоит дело при неупругом деформировании с учетом деформаций пластичности и ползучести. Нелинейный характер определяющих соотношений не позволяет свести эти задачи к двумерным при гипотезах о распределении деформаций по толщине оболочки, аналогичных тем, которые используются при решении задач упругого деформирования. Поэтому большое внимание исследователей привлекали задачи построения приближенных моделей и определяющих соотношений, позволяющих свести задачи неупругого деформирования оболочек и пластин к двумерным. Ранее, в 60-70-х годах, одной из основных причин, привлекавших исследователей к этой проблеме, были трудности с реализацией численного решения трехмерных задач на ЭВМ, поскольку это требует больших мощностей вычислительных машин (большого объема оперативной памяти и быстродействия). С быстрым развитием вычислительной техники эта причина становится менее актуальной. Однако есть и другое, не менее важное, обстоятельство, оставляющее задачи построения приближенных моделей, приближенных определяющих соотношений, и применение их при решении конкретных задач в ряду актуальных. На основе таких моделей можно строить аналитические решения и использовать их в прикладных задачах. Следует также учитывать неизбежные погрешности при написании исходных определяющих соотношений, в которые входят константы, определяемые из эксперимента с определенной погрешностью. Особенно это относится к экспериментам по определению свойств материалов в условиях ползучести. С этой точки зрения применение приближенных соотношений также оправдано [219].

Задачи устойчивости тонкостенных конструкций имеют большое практическое значение и их решению посвящеы многочисленные исследования как отечественных авторов, так и зарубежных.

Даже при постановке задач устойчивости тонкостенных конструкций, работающих в области упругих деформаций, используются различные критерии устойчивости и различные методы решения этих задач. Достаточно полное представление о постановках задач устойчивости упругих тонкостенных Еще большее разнообразие критериев применяется при решении задач устойчивости конструкций, работающих в условиях ползучести, что объясняется сложным характером их поведения как вследствие геометрической нелинейности, так и нелинености определяющих соотношений. При постановке задач устойчивости при ползучести существенное значение имеет характер поведения материала при постоянном

напряжении. Можно выделить два основных типа поведения материалов при ползучести: 1) ограниченная ползучесть (бетоны, композитные материалы) и 2) неограниченная ползучесть (металлы при повышенных температурах).

"Ползучесть металлов неограничена в следующем смысле: при сколь угодно малом напряжении за достаточно большое время деформация достигает сколь угодно большой величины. В этом смысле любая система, находящаяся в условиях ползучести, неустойчива" [219]. И поэтому тонкостенные конструкции (стержни, пластины, оболочки), материал которых обладает свойствами ползучести, в отличие от конструкций, работающих в области упругих деформаций, теряют устойчивость даже при малых нагрузках, если они находятся под их воздействием достаточно продолжительное время.

Постановки задач устойчивости и методы их решения для конструкций из материалов обоих типов можно найти в обзорах JI.M. Курши-на[179], Ю.В. Немировского [203], Н.Х. Арутюнянас соавтрами [17], С.А. Шестерикова и A.M. Локощенко [181, 276], монографиях Ю.Н. Работно-ва [219], И.Г. Терегулова [250], P.C. Санжаровского [242] и в ряде работ обзорного характера [172,178,185,262].

Несмотря на большое разнообразие используемых критериев, можно выделить два основных подхода к исследованию устойчивости конструкций при ползучести:

1) исследование поведения идеальной конструкции при воздействии на нее в некоторый момент времени определенного класса возмущений и

2) исследование процесса деформирования конструкции, имеющей начальные ( заданные в некотором классе ) отклонения от идеальной формы.

Привести все существующие постановки задач устойчивости конструкций при ползучести в рамках настоящего введения не представляется возможным и вряд ли целесообразно в виду имеющихся и указанных выше обзоров. Ниже приводится краткий обзор подходов и методов решения задач устойчивости и выпучивания оболочек при ползучести.

Одними из первых работ по устойчивости стержней при ползучести были работы Шэнли [332, 333] и Джерарда [292, 293], в которых предлагалось для вычисления критического времени выпучивания использовать результаты, полученные в задачах устойчивости упругих стержней. В работе [333] критическое время сжатого по оси идеально прямого

стержня было предложено определять по формуле, дающей классическую эйлерову нагрузку, заменяя модуль упругости на касательный модуль, определенный по семейству изохронных кривых. В работе [292] предлагалось использовать секущий модуль, который также определяется по семейству изохронных кривых. При подходе Джерарда получается, что полная деформация стержня в момент потери устойчивости оказывается равной критической деформации при упругой потери устойчивости. В дальнейшем этот подход был перенесен Джерардом на задачи устойчивости оболочек при ползучести. В работе [294] исследуется ползучесть алюминиевых цилиндров, находящихся под действием давления и кручения. Предполагается, что потеря устойчивости происходит, когда деформации ползучести достигают критических значений, определенных из решения упругопластической задачи (критерий критической деформации). Автором получено удовлетворительное соответствие определенного таким образом критического времени экспериментальному. Критические замечания о подходе Джерарда высказаны Н. Хоффом в работе [302]. Основные его замечания сводятся к тому, что, во первых, критическая деформация, определяемая упругопластическими свойствами, зависит от того, какой модуль (касательный или секущий) используется в решении задачи, и, во вторых, методика определения критического времени по экспериментальным данным, используемая Джерардом, допускает достаточный произвол.

Ю.Н. Работновым и С.А. Шестериковым [217,268,271,318] были сформулированы критерии устойчивости стержней и пластин при ползучести, которые получили название условных критериев [219]. Этот подход основан на линеаризации соотношений ползучести с упрочнением в предположении, что напряжения и деформации в возмущенном состоянии мало отличаются от тех же величин в основном состоянии. Уравнения для стержней и пластин в такой постановке получены Ю.Н. Работновым и С.А. Шестериковым [217,271], для оболочек Л.М. Куршиным [168] и Бар-ташевичюсом А.Ю., Шестериковым С.А. [22]. Формулировка этих критериев устойчивости зависит от выбираемого класса возмущений, что и явилось основной причиной, по которой они были названы условными. В монографии Ю.Н. Работнова [219] и работах Л.М. Куршина [172, 178] дается анализ этих критериев и отмечается [219], что они дают " чрезвычайно заниженную величину критического времени по сравнению с экспериментальными данными". Некоторые особенности, возникающие при таком подходе к решению задач устойчивости при ползучести, обсуждаются в работе Н. Хоффа [304]. Распространение условных кри-

териев на задачи устойчивости оболочек при ползучести содержится в работах JI.M. Куршина и А.П. Кузнецова [151-153, 163-165]. В работах Г.В. Иванова [106-108] также иссследуется устойчивость основного состояния, соответствующего идеальному сжатому стержню, по отношению к некоторому классу возмущений. В работах В.Д. Клюшникова и М.Н. Кирсанова [135-137,139] при формулировке критериев устойчивости рассматриваются условия неединственности решения краевой задачи для производных высокого порядка и вводится понятие псевдобифуркационной точки процесса деформирования. При этом первая точка из последовательности бифуркационных совпадает с критерием Ю.Н. Работнова и С.А. Шестерикова [217].

Развитая в работах С.А. Шестерикова [270, 271] техника линеаризации соотношений ползучести и сведения задачи о вычислении прогибов и напряжений в пластине к системе двух нелинейных уравнений, обобщение этой техники на задачи оболочек [22, 168] позволили решать задачи устойчивости при ползучести в достаточно полной постановке, как задачи о развитии начальных прогибов ( задачи выпучивания ).

Критическое время в этом случае соответствует моменту достижения характерным прогибом или его скоростью некоторого предельного значения ( это значение может быть и бесконечным). Если об устойчивости судить по критическому времени оболочки, имеющей начальные неправильности, то при этом следует иметь в виду следующие два обстоятельства. Во-первых, в процессе деформирования в некоторый момент времени может произойти бифуркация ( смена одной равновесной формы другой ). Этот момент может быть меньше критического времени выпучивания. Во-вторых, как правило, не известны ни величина начальных неправильностей, ни их распределение по срединной поверхности оболочки. Изучению влияния формы начальных неправильностей на величину критического времени выпучивания оболочки, находящейся под действием осевой силы и внешнего давлния, посвящены работы [171-175, 177, 178]. В этих работах исследовалось влияние на критическое время несимметричной составляющей в начальном прогибе вида wq = (1/2)/о cos(2aa;) + (1/2)/о* sin(a:r) cos(/?y). Из результатов этих исследований следует, что при определенном уровне нагрузки несимметричная составляющая начального прогиба существенно снижает величину критической деформации ( в задачах выпучивания оболочек при законе ползучести с упрочнением вида р = Вр~аап от дифференцирования по времени можно перейти к дифференцированию по параметру £ = EBan~lt — безразмерной деформации ползучести основного состо-

яния ). В этих же работах предложена методика определения начальных неправильностей оболочки с некоторой степенью достоверности на основе решения упругой задачи и экспериментальных данных. В [278] исследовалось влияние на критическое время более высоких гармоник в несимметричной составляющей начального прогиба. Из проведенных численных расчетов следует, что их влияние на величину критического времени незначительно.

В процессе выпучивания может наступить момент времени, в который возможна смена равновесных форм. Как правило, это время меньше, чем время достижения прогибом или его скоростью предельных значений. В работах Э.И. Григолюка и Ю.В. Липовцева [87-89] исследована потеря устойчивости осесимметричной формы деформирования сжатой по оси цилиндрической оболочки. Выпучивание происходит вследствие заданного начального осесимметричного прогиба. Для основного осесим-метричного состояния, которое вычисляется пошаговым методом, записываются уравнения нейтрального равновесия. Условия существования нетривиального решения этих уравнений определяют момент бифуркации. Было установлено, что в зависимости от уровня приложенных напряжений может реализовываться два вида потери устойчивости. При определенных уровнях напряжений в некоторый момент времени осесим-метричная форма деформирования может смениться на неосесимметрич-ную. Этот момент времени ( момент бифуркации) принимается авторами за критическое время. В этом случае критическое время, определенное из решения осесимметричной задачи, дает завышенную оценку времени исчерпания несущей способности оболочки. Однако, существует область нагрузок, в которой выпучивание происходит по осесимметричной форме, не сопровождается бифуркацией, а критическое время соответствует обращению в бесконечность максимального прогиба оболочки.

Детальное исследование задачи устойчивости цилиндрической оболочки при сжатии проведено Н.ОЬгесЫ;'ом в работе [314]. В этой работе вычисляется критическое время цилиндрическои оболочки, имеющеи начальные неправильности. Помимо определения момента времени бифуркации осесимметричного решения исследуется послекритическое поведение оболочки вблизи точки бифуркации. Основной вывод работы иллюстрируется рисунком 0.1, заимствованном из [314]. На этом рисунке представлена качественная зависимость максимального прогиба оболочки от времени.

Рис. 0.1 Характерная зависимость макисимального прогиба от времени при сжатии цилиндрической оболочки осевой силой.

Путь А соответствует осесимметричному деформированию оболочки. В момент та начинается быстрый рост прогиба оболочки в процессе осе-симметричного выпучивания. Время тс — момент бифуркации ( смена осесимметричной формы деформирования на неосесимметричную). Исследование поведения оболочки вблизи момента тс показывает, что возможны два вида ее дальнейшего поведения: неустойчивое, ведущее к динамическому прощелкиванию и мгновенному исчерпанию несущей способности (путь С), и устойчивое, по крайней мере, на начальном этапе, сопровождающееся квазистатическим нарастанием прогиба (путь В). Из численных результатов следует, что реализация того или иного пути деформирования зависит от уровня приложенного напряжения ( параметр Л = (т/ас1,(тс1—напряжение, соответствующее потере устойчивости идеальной упругой оболочки). Так при Л < 0,14 при любой величине начального несовершенства потеря устойчивости происходит по осесимметричной форме (реализуется путь А). Причем, с уменьшением начального прогиба увеличивается значение Л, при котором критическое время осесимметричного выпучивания и момент бифуркации практически совпадают. Так при к/то = 0,01 это значение порядка 0,28, а при к/то — 0,001 — 0,4.

Численные результаты работы [314] не только качественно, но и количественно совпадают с экспериментальными данными А.Н. Баранова и М.А. Морозова [21]. В [21] приведены результаты экспериментов по осевому сжатию в условиях ползучести алюминиевых цилиндрических оболочек ( отношение радуса к толщине менялось в пределах от 116 до

197). Из экспериментов также следует, что существуют три области

у \ <-»

значении параметра Л, соответствующих разным видам потери устойчивости. При Л > 0,32 потеря устойчивости происходит хлопком при мгновенном уменьшении нагрузки ( путь С на рис. 0.1 ). В интервале 0,14 < Л < 0,32 в некоторый момент образуются окружные вмятины, при этом происходит быстрый рост скорости деформации, ведущий к потере устойчивости ( путь В на рис. 0.1 ). При Л < 0,14 выпучивание происходит по осесимметричной форме вплоть до достижения критического времени ( путь А на рис. 0.1 ).

Аналогичные выводы можно сделать из экспериментов Сэмюэлсона [327]. В [327] приведены результаты испытаний дюралевых оболочек при сжатии и изгибе (R/h = 30 150). У приведенных в [327] кривых ползучести при одноосном сжатии наблюдается длительный участок установившейся ползучести, что явилось для автора основанием для принятия в расчетах степенного закона установившейся ползучести е = Аап.

В работе [132] на основе линеаризованных соотношений ползучести рассмотрен общий случай деформирования тела, имеющего начальные смещения. Критическое время определяется как из условия обращения в бесконечность скоростей деформаций в процессе течения, так и из условия возможности бифуркации в процессе изменяющегося во времени напряженно-деформированного состояния. Показано, что в рассмотренной постановке задачи оба эти состояния совпадают по характерным параметрам и, как следствие, совпадают критическое время выпучивания и время бифуркации.

Вычисление с достаточной точностью напряжений и деформаций по всему сечению оболочки в условиях ползучести имеет большое значение как в задачах, в которых используются локальные критерии прочности, так и при определении докритического моментного состояния в задачах бифуркации. Развитию численных методов решения задач ползучести оболочек и решению задач длительной прочности посвящены, например, работы [36, 37]. Широко применяются при решении задач ползучести вариационные методы. Весьма плодотворным при решении задач ползучести оказался смешанный вариационный принцип, сформулированный в [325]. Г.И. Терегуловым были предложены вариационные принципы, в которых независимо варьируются не только скорости напряжений и деформаций, но и их интенсивности [247, 248, 250].

Исследованию процесса выпучивания пластин и оболочек при ползучести посвящен большой цикл работ С.А. Шестерикова и его учеников. Значительная часть этих работ опубликована в научных сборниках тру-

дов Института механики МГУ (см.,например, [99-101]). В этих работах рассмотрен достаточно широкий класс пластин и оболочек, как гладких, так и подкрепленных. При анализе процесса выпучивания используются различные законы ползучести (в ряде работ учитываются упругопла-стические деформации) и режимы нагружения. Ниже мы остановимся на работах, в которых вычисляется критическое время выпучивания цилиндрических оболочек под равномерным внешним давлением. Обзор некоторых из этих результатов содержится в статье A.M. Локощенко [185].

В работах [6, 7, 39, 41, 131, 133, 183, 184, 274] вычисляется критическое время сплющивания бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки (оболочка рассматривается как кольцо), имеющей начальную овальную форму срединной поверхности. Срединная поверхность кольца (как в начальном состоянии, так и в процессе деформирования) аппроксимируется кривой, полученной сопряжением двух дуг окружностей различных радиусов. Под критическим временем сплющивания кольца понимается момент обращения в нуль его минимального диаметра. В работе [39] задача решается в предположении о нерастяжимости средней линии кольца, а в [41, 183] учитывается деформация срединной поверхности оболочки. В этих работах используется установившийся закон позу чести. Получены явные выражения для критического времени сплющивания кольца. В формулу в качестве параметров входят: Н/Rq — отношение тощины к начальному радиусу кольца, До— начальная овальность кольца, п — показатель в степенном законе установившейся ползучести. Решения сравнивались с результатами работ [48, 303], а в [131] с экспериментальными данными. Испытывались оболочки из стали Х18Н10Т при температуре 850°С. Параметр Rq/H изменялся в интервале 10 -f 50. В качестве До принималось значение, равное 0,01. Проведенное сопоставление показало удовлетворительное соответствие экспериментальных и теоретических значений критических времен. В [41] проводится качественный и количественный анализ результатов, получаемых в предположении о нерастяжимости средней линии кольца и при отказе от этого предположения. В частности, предположение о нерастяжимости средней линии приводит к степенной зависимости критического времени от параметра начальной овальности кольца [39, 303], отказ от этого предположения — к логарифмической зависимости [41, 131,183]. Существует область изменения параметра начальной овальности ( значения параметра начальной овальности из этой области авторы

5? \ w

называют средними ), в которой критические времена, вычисленные по

этим зависимостям, имеют один и тот же порядок. В области "больших" значений параметра начальной овальности возможно использование степенной зависимости, а в области "малых" его значений ( где пренебрежение кольцевыми эффектами недопустимо ) — следует использовать логарифмическую зависимость.

В [129] этот подход используется для решения задачи о выпучивании длинной цилиндрической оболочки с продольными ребрами, а в [42,130] обобщается на задачи выпучивания цилиндрических оболочек конечной длины с учетом условий закрепления.

A.M. Локощенко в [184] решена задача о сплющивани бесконечно длинной цилиндрической оболочки в условиях неустановившейся ползучести при степенном законе упрочнения р = Вр~а<тп . При а = 0 формула для критического времени совпадает с формулой^ полученной в [183].

При том же предположении, что в любой момент времени средняя линия кольца аппроксимируется двумя дугами окружностей в [123] решена задача о сплющивании кольца под действием двух сосредоточенных сил, в [133]— о сплющивании цилиндрической оболочки жесткими плитами.

При решении задач выпучивания оболочек при ползучести достаточно широко использовалась двухслойная модель. Двухслойная модель оболочки позволяет связать усилия и моменты непосредственно со скоростями деформаций срединной поверхности, что существенно упрощает решение задачи, а в ряде случаев оказывается возможным построить аналитические решения. Судить об области применимости этой модели, как, впрочем, и любой другой, можно на основании сравнения решений, полученных с помощью различных моделей, и опираясь на экспериментальные данные.

В работе [303] на основе такой модели вычислялось критическое время выпучивания длинных цилиндрических оболочек, находящихся под действием внешнего давления. Задача решалась при степенном законе установившейся ползучести. Форма срединной поверхности оболочки в процессе деформирования принималась в виде R(<p,t) = i?o[l + a(t) cos2(f]. Для критического времени (момента обращения прогиба в бесконечность) для показателя ползучести п = 3 получено аналитическое выражение. Примерно в такой же постановке задача решалась в работе [342]. Отличие от работы [303] заключается в форме закона установившейся ползучести.

В работе Н. Хоффа [301] изучался процесс развития во времени начального отклонения срединной поверхности от идеально правильной цилиндрической формы в условиях установившейся ползучести при осевом

сжатии. Рассматривалась бесконечно длинная оболочка. Начальное отклонение задавалось в виде г^о = /о соя (та/А). Хофф рассматривал две стадии процесса деформирования. Первая стадия соответствует начальному процессу деформирования. На этой стадии напряжения близки к напряжениям, соответствующим одноосному сжатию. Вторая стадия соответствует большим деформациям ползучести, и определяющими на этой стадии являются окружные напряжения и деформации. Проведя упрощения уравнений на каждой из этих стадий, при степенном законе ползучести е = Вап Хофф получил при п — 3 конечное выражение для критического времени выпучивания ( момента времени, при котором максимальный прогиб оболочки обращается в бесконечность ). В [305] Хоффом предложена процедура уточнения выражения для критического времени, приближенно учитывающая упругие деформации. В формулу для критического времени вводится корректирующий коэффициент, имеющий тот же вид, что и в решении задачи о выпучивании стержня с учетом упругих деформаций, а именно (1 — сг/сгс;) где а — приложенное напряжение, ас{ — напряжение, соответствующее упругой потери устойчивости.

В работе Л.А. Сэмюэлсона [328] задача о выпучивании цилиндрической оболочки под действием осевого сжатия и внутреннего давления решается на основе многослойной модели и результаты сравниваются с результатами, полученными по двухслойной модели. Отмечается, что двухслойная модель дает хорошую оценку как для напряжений, так и для скоростей ползучести. Различие в этих величинах не превышает 2%. По мнению Сэмюэлсона это связано с тем, что в цилиндрической оболочке окружные усилия делают оболочку менее чувствительной к распределению изгибных напряжений.

Различие в критических временах, полученных с использованием 2, 8 и 11-слойных моделей, во всех рассмотренных случаях не превышает 5%. Сэмюэлсон использовал два критерия для определения критического времени: время обращения максимального прогиба в бесконечность и момент времени, в который максимальный прогиб достигает значения, соответствующего значению критической деформации при упругой потери устойчивости. Теоретические результаты сравнивались с экспериментальными данными по ползучести алюминиевых цилиндров с отношением радиуса к толщине в пределах 30 -г 120. Отмечается, что первый критерий дает для тонкостенных цилиндров завышенное значение критического времени; критические времена для таких цилиндров, вычисленные по второму критерию, удовлетворительно соответствуют

экспериментальным. Первый критерий дает удовлетворительное соответствие с экспериментальными критическими временами для толстостенных цилиндров, когда выпучивание происходит по осесимметричной форме.

Отметим еще ряд работ [281,294,298-306,328,329], в которых для решения задачи выпучивания оболочки под действием осевой сжимающей силы применялась двухслойная модель. Так Т. Хоникман и Н. Хофф [306] использовали двухслойную модель для изучения влияния на величину критического времени показателя в уравнении степенного закона ползучести. В работе С.М. Арнольда, Д.Н. Робинсона, А.Ф. Салиба [281] двухслойная модель применялась при численном решении задачи о сжатии цилиндрической оболочки под действием переменной во времени осевой силы.

В первой главе диссертационной работы задачи определения критического времени выпучивания цилиндрических оболочек решаются на основе уравнений двухслойной модели и степенного закона установившейся ползучести.

При написании установившегося закона ползучести пренебрегается упругими деформациями и наличием первого участка на кривой ползучести. Как отмечается в [219], эта модель вполне оправдана в двух случаях: когда речь идет о весьма длительном сроке службы конструкции и основной процесс деформирования происходит при постоянной скорости, и в случае кратковременной ползучести при высоких уровнях температуры и нагрузки, когда первый участок на кривой позучести является небольшим. Окончательно судить о возможности применения того или иного закона ползучести можно только на основании экспериментальных данных. Учитывая достаточно большой разброс экспериментальных кривых ползучести, " уравнение установившейся ползучести может рассматриваться, как осреднение в принципе не худшее, чем любое другое, хотя каждая индивидуальная кривая ползучести аппроксимируется этим уравнением плохо" [219]. Наиболее распространенной формой записи закона установишейся ползучести является степенная зависимость.

С нашей точки зрения, результаты, изложенные в первой главе диссертационной работы, достаточно наглядно иллюстрируют эффективность двухслойной модели оболочки в задачах вычисления критического времени и имеют более полный характер по сравнению с другими работами , в которых используется эта модель. Предложенный в [45] алгоритм вычисления критического времени сжатой по оси цилиндрической оболочки позволил решить достаточно широкий класс задач. Модель обобщена

на трехслойные оболочки с деформируемым заполнителем и оболочки, подкрепленные ребрами, построены функционалы соответствующих задач и вычислены критические времена. В виду практической важности задач устойчивости оболочек в условиях ползучести получение на основе приближенных моделей конечного выражения для критического времени выпучивания представляется заслуживающим внимания. Очевидно, что определенное в такой постановке критическое время может служить оценкой для реальных оболочек только в определенном интервале нагрузок и начальных неправильностей. Там, где это возможно, эти интервалы устанавливаются сравнением полученных результатов с результатами других авторов и экспериментальными данными.

Первый параграф носит вводный характер. В нем излагается, следуя [219, 221], модель двухслойной оболочки, постановка на основе этой модели задач ползучести цилиндрических оболочек и их вариационная формулировка. Здесь же приводится сравнение решений задачи о краевом эффекте в цилиндрической оболочке при ползучести, полученных вариационным методом [219] и итерационным методом решения нелинейных интегральных уравнений [45].

Во втором параграфе решается задача вычисления критического времени выпучивания сжатой по оси цилиндрической оболочки. Причиной выпучивания может быть как начальный прогиб, так и начальное мо-ментное состояние, вызванное стеснением торцов. Под критическим временем понимается момент времени, при котором прогиб оболочки обращается в бесконечность. В нашей работе [45], по-видимому, впервые рассмотрена задача выпучивания цилиндрической оболочки вследствие начального моментного состояния. Эти результаты в краткой форме приведены в монографии Ю.Н. Работнова [219] на стр. 702-704.

В предположении, что при вычислении критического времени определяющим на развитой стадии деформирования являются окружные деформации, задача сводится к нелинейному дифференциальному уравнению, решение которого записано в параметрической форме. Из этого решения следует выражение для критического времени выпучивания. Проведено сопоставление полученного критического времени с решениями других авторов [301, 314] и с экспериментальными данными [327]. Проведенное сравнение позволяет утверждать, что конечное выражение для критического времени выпучивания цилиндрической оболочки при сжатии, полученное на основе двухслойной модели, может быть использовано в определенном интервале нагрузок для оценки критического времени реальных оболочек.

В третьем параграфе предложенная процедура обобщается на задачи неосесимметричного выпучивания при гипотезах полубезмоментной теории оболочек. Как частный случай, из полученного решения следует выражение для критического времени бесконечной цилиндрической оболочки, находящейся под действием внешнего давления. Зависимость критического времени выпучивания от величины начальной неправильности имеет степенной характер. Такая зависмость характерна для решений, в которых пренебрегается деформацией средней линии оболочки [39]. По-видимому, допущение полубезмоментной теории о том, что изменяемость напряженно-деформированного состояния в окружном направлении значительно больше, чем в осевом (что выполняется на развитой стадии деформированния ), близко к гипотезе о нерастяжимости средней линии. Полученное решение сравнивается с решениями [41,183, 301] и с экспериментом [131,183]. Сравнение показывает, что существу-

V) }} ^

ет интервал средних значении начальных неправильностей, в которых критическое время, вычисленное по формуле (3.16) настоящей работы совпадает с критическими временами, вычисленным по формулам работ [131,301]. При "малых" начальных прогибах формула (3.16) не дает оценки реального критического времени.

При решении задач выпучивания однослойных оболочек двухслойная модель служит инструментом, позволяющим получить упрощенную формулировку исходной задачи. Но при учете деформаций сдвига в заполнителе эта модель соответствует реальной трехслойной оболочке.

В четвертом параграфе выводятся уравнения трехслойной оболочки, состоящей из двух несущих слоев толщины к и заполнителя толщины 2Н. В заполнителе учитываются деформации сдвига. Получен функционал, уравнениями которого при независимом варьировании перемещений, усилий и моментов, являются дифференциальные уравнения исходной задачи. Рассмотрены случаи осесимметричного и неосесимметричного деформирования трехслойных оболочек. Получена формула для критического времени выпучивания трехслойного кольца под действием внешнего давления. Приведены вычисления для различных значений параметра, характеризующего податливость заполнителя на сдвиг.

В пятом параграфе диссертационной работы решаются задачи выпучивания оболочек, подкрепленных ребрами в продольном и окружном направлениях. Строятся трехслойная и двухслойная модели подкрепленной оболочки. Решаются задачи осесимметричного и неосесимметричного деформирования. Приведены примеры вычислений критического времени при различном расположении ребер ( внутреннее или внешнее

подкрепление ). Из приведенных решений следует, что расположение ребер может существенно влиять на величину критическго времени. Получено удовлетворительное соответствие расчетных критических времен с экспериментальными данными для вафельных оболочек [176].

Как отмечалось выше, двухслойная модель позволяет свести задачи деформирования оболочек при неупругом деформировании к двумерным, так как при этом устанавливается непосредственно связь деформаций срединной поверхности оболочки с усилиями и моментами. Возможен другой прием, позволяющий получить соотношения между деформациями срединной поверхности, усилиями и моментами ( в дальнейшем такие соотношения называются приближенными ), основанный на аппроксимации исходных уравнений состояния. В случае пластических деформаций в предположении, что сечение оболочки сразу по всей толщине переходит в пластическое состояние, A.A. Ильюшиным [125] была получена поверхность текучести в пространстве усилий и моментов, уравнение которой записывается в параметрической форме. Аппроксимация этой поверхности и запись ее уравнения в виде F(Qt,Qm,Qtrn) = 0 (Qt,Qm,Qtm, — квадратичные формы усилий и моментов ) позволяют получать приближенные уравнения пластического течения оболочек и пластин. Одна из таких аппроксимаций была предложена самим A.A. Ильюшиным [125]. В дальнейшем использовались различные аппроксимации поверхности текучести и на их основе строились приближенные соотношения упруго-пластического течения оболочек. [111, ИЗ, 119,128,198-204,229,227, 286, 287, 284,285,289,324].

При построении приближенных соотношений в задачах ползучести оболочек вместо поверхности текучести используется поверхность постоянной скорости диссипации энергии. Приближенные соотношения ползучести в задачах пластин и оболочек строились Ю.Н. Работновым, В.И. Розенблюмом, И.Г. Терегуловым, Г.В. Ивановым и другими авторами. Для установившейся ползучести такие соотношения построены в [127, 229,230,112,201], для неустановившейся в — [112,220,231,248-250]. При этом использовались различные формы потенциала энергии в виде однородных функций усилий и моментов. При определении констант, входящих в эти аппроксимации, используется условие совпадения приближенных и точных выражений в некоторых частных случаях. Как показывают решения конкретных задач, соотношения, построенные в [231] по теории течения и в [220] по теории упрочнения дают систематическую погрешность, увеличивающуюся с увеличением показателя ползучести. Фактически эти соотношения соответствуют линейному распределению

скоростей деформаций по толщине оболочки. Расчеты по соотношениям, построенным Г.В. Ивановым [110] для частного случая нагружения пластины в предположении кубического распределения скоростей деформаций ползучести по ее толщине, оказались в хорошем соответствии с расчетами по исходным соотношениям.

В шестом параграфе диссертационной работы строятся приближенные уравнения изгиба пластин при неустановившейся ползучести по теории течения и теории упрочнения в предположении кубического распределения деформаций ползучести по толщине пластины. Проведено детальное сопоставление приближенных и точных соотношений для различных путей нагружения элемента оболочки и показано хорошее соответствие приближенных соотношений исходным.

В седьмом параграфе излагается алгоритм численного решения задач неустановившейся ползучести пластин и оболочек с использованием приближенных и исходных соотношений. Приводятся результаты решения некоторых задач по точным и приближенным соотношениям. Сопоставление этих результатов также свидетельствует о хорошем соответствии приближенных и точных соотношений.

Результаты первой главы опубликованы в [45-51, 65]

Во второй главе решаются задачи предельного равновесия оболочек вращения при упругопластических деформациях. Вводится понятие предельной нагрузки для упругопластической оболочки. Под предельной нагрузкой понимается максимальное ее значение на кривой р ~ ш, где гю — характерный прогиб. Излагается алгоритм вычисления предельных нагрузок оболочек вращения методом последовательных нагружений. В качестве параметра нагружения принимается характерный прогиб оболочки, что позволяет контролировать приращение нагрузки и пройти точку максимума на кривой р ~ ги, где ш — характерный прогиб.

Широко используемым и естественным методом решения задач упру-гопластического деформирования является метод продолжения решения по параметру нагружения или метод последовательных нагружений. Формулировки этого метода и его применение к физически и геометрически нелинейным задачам рассматриваются в [92-94].

После конечно-разностной аппроксимации дифференциальной краевой задачи для скоростей усилий и перемещений на каждом шаге по параметру нагружения необходимо решить алгебраическую систему вида

С(Х,Х)Х = Е, (*) где X —вектор, компонентами которого являются усилия и перемещения

в оболочке. Точка здесь обозначает дифференцирование по параметру нагружения. Одним из центральных моментов в методе последовательного нагружения является выбор этого параметра (параметра продолжения решения ). Как правило, не удается пройти всю кривую р ~ ю, без смены параметра нагружения. При максимальной нагрузке определитель системы (*) обращается в нуль, и если в качестве параметра нагружения выбрать внешнюю нагрузку, то при приближении к ее максимальному значению сходимость итерационного процесса становится очень медленной, а при значении, большем максимальной нагрузки решение задачи не существует.

В нашей работе [52] в задаче упругопластического деформирования под действием гидростатического давления цилиндрической оболочки с упругими шпангоутами впервые было предложенно использовать в качестве параметра нагружения характерный прогиб оболочки т*. Скорость внешней нагрузки вычислялась по формуле р = 1 /ш*. Такая процедура позволила контролировать изменение нагрузки и пройти точку

и Т» и

максимума на кривои р ~ ии,. В этой задаче в качестве характерного прогиба принимался прогиб оболочки в середине пролета между шпангоутами. Удачный выбор параметра нагружения зависит от конкретной задачи и определяется его физическим содержанием. В [33] в задаче о выпучивании сферического купола под действием равномерного

внешнего давления в качестве параметра нагружения брался функцио-6

нал £ = (1//г) / й1;/{£а — £&) (^ — прогиб, £а, — координаты начальна

ной и конечной точек меридиана). Величина £ представляет собой объем, ограниченный сферическим куполом. В общем случае за параметр нагружения можно принять некоторый функционал от решения [33].

Так как соотношения упругопластического течения однородны относительно дифференциала нагружения, то относительно него однородна и система (*). В силу этого, если перейти в этой системе к другому параметру нагружения вида £ = £(Х,р) и сделать замену У = Х/р, то ее вид не изменится. После определения У из системы (*) скорость внешней нагрузки вычисляется по формуле р — (^ + х^)- Одним из основных условий пригодности функционала в качестве параметра нагружения является его монотонность.

Обзор различных способов выбора параметра нагружения содержится в [91, 256]. Аспекты, связанные с особенностями численной реализации метода последовательных нагружений рассматриваются в [32,92,93,103,

150,259, 280,288,290,308, 311,336-339,346].

В восьмом параграфе кратко обсуждается понятие "времени" в задачах упругопластического деформирования.

В девятом параграфе приводятся результаты вычислений [52] предельной нагрузки цилиндрической оболочки с упругими шпангоутами под действием гидростатического давления. Вычисленные нагрузки сравнивались с результатами работы Вилсона [344]. В [344] использовалась двухслойная модель оболочки и критерий текучести Треска. Как показало сравнение, несмотря на то, что двухслойная модель не позволяет детально описать развитие зон пластических деформаций по толщине оболочки, предельные нагрузки с использованием этой модели определяются достаточно точно. Это послужило для нас поводом при определении предельных нагрузок для более широкого класса оболочек проводить вычисления как с использованием приближенных, так и исходных соотношений упругопластического деформирования.

В десятом параграфе излагается алгоритм вычисления предельных нагрузок [55-57] оболочек вращения методом последовательных нагруже-ний в сочетании с итерационной процедурой на каждом шаге по параметру нагружения. При формулировке разрешающей системы уравнений докритического состояния использовались нелинейные уравнения оболочек вращения Э. Рейсснера [322].

В параграфе §11 приводятся результаты вычислений предельных нагрузок составных оболочек,находящихся под гидростатическим давлением, для различных углов сопряжения цилиндрического и конического участков. В качестве параметра нагружения в этих задачах принималась величина сближения торцов оболочки. Вычисления проводились как с использованием исходных соотношений упругопластического течения, связывающих напряжения со скоростями деформаций, так и приближенных. Из сравнения этих результатов следует, что для вычисления предельной нагрузки с приемлемой для практики точностью достаточно решать упругую задачу и проверять обобщенное условие текучести.

В §12 излагается алгоритм вычисления бифуркационных нагрузок оболочек вращения. Используются уравнения оболочек Дж. Сандерса [326]. Проводится сравнение предельных и бифуркационных нагрузок составных оболочек вращения. Из проведенных сопоставлений следует, что для оболочек с рассмотренными геометрическими параметрами несущая способность определяется предельной (максимальной) нагрузкой на кривой р ~ w. В тех случаях, когда сначала достигается бифуркационная нагрузка, она близка к предельной.

Из результатов, изложенных во второй главе, на защиту выносятся: алгоритм пошагового решения упругопластических задач, в котором в качестве параметра нагружения используется характерный прогиб оболочки и решение нового класса задач предельного равновесия и устойчивости составных оболочек вращения.

Результаты этой главы опубликованы в [52, 53, 55-57].

В третьей главе главе решаются плоские задачи теории упругости с использованием уравнений упругого слоя в первом приближении. Численные алгоритмы строятся на основе разложений смещений и напряжений по полиномам Лежандра. Используется предложенная Г.В. Ивановым [120] процедура усечения разложений.

Существуют различные подходы к построению двумерных моделей упругого слоя (пластин) и оболочек.

Классический подход, основанный на разложении перемещений и смещений по степеням расстояния точек от срединной поверхности, впервые предложенный в работах А. Коши и С. Пуассона, в силу ряда принципиальных математических сложностей и недостаточной физической наглядности не нашел широкого применения.

Другой подход основывается на принятии ряда гипотез кинематического и статического характера, имеющих физическую наглядность. Впервые этот подход предложен в работах Г. Кирхгофа и развит в работах А. Лява. Теория пластин и оболочек, основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява, известна в настоящее время как классическая теория тонких пластин и оболочек. Развитие этой теории и решение соответствующих краевых задач содержится в монографиях В.З. Власова, Л.Л. Гондель-вейзера, А.И. Лурье, Х.М. Муштари, В.В. Новожилова и других авторов [79,196,205,252].

С появлением новых материалов, в том числе композиционных, интенсивно начинают развиваться сдвиговые модели пластин и оболочек, учитывающие поперечный сдвиг и обжатие. Первоначально эти гипотезы были сформулированы в работах С.П. Тимошенко и Э. Рейсснера [252, 320,321,323]. Развитию такого рода моделей посвящены монографии [84, 213, 252], в которых содержится обширная библиография исследований, относящихся к этой тематике. В частности, в монографии [84] проведен анализ различных приближенных сдвиговых моделей.

Широкое внедрение в различные области техники новых композиционных материалов и слоистых тонкостенных конструкций потребовало разработки новых моделей пластин и оболочек, которые бы позволяли адекватно описывать напряженно-деформированное состояние таких кон-

струкций. Слоистые конструкции и конструкции из композиционных материалов обладают рядом специфических особенностей. Имея высокую прочность, они, например, чувствительны к воздействию самоуравновешенных краевых нагрузок, возможно их разрушение путем расслоения и отрыва вследствие возникновения краевых и межслойных эффектов в напряженном состоянии. Все эти конструкции так или иначе относятся к типу конструкций из анизотропных материалов. Разработке теории анизотропных пластин и оболочек посвящена монография [8].

Можно выделить два основных подхода к построению уравнений слоистых пластин и оболочек и оболочек из композиционных материалов.

Достаточно широко распространены варианты, которые строятся на базе гипотез, принимаемых для всего пакета в целом или на основе осред-ненных жесткостных характеристик [30].

Другой подход, называемый структурным, позволяет учесть работу и взаимодействие отдельных фаз конструкций из композиционных материалов ( армирующих волокон, заполнителя) и взаимодействие отдельных слоев. Такой подход развивается в монографии [204].

Особый раздел теории пластин и оболочек представляет класс контактных задач. Такие задачи возникают при расчете тонкостенных конструкций, подкрепленных жесткими элементами, при расчете многослойных конструкций, в которых крайне важно определение эффектов взаимодействия слоев между собой. Особую практическую важность эти задачи имеют для слоистых и тонкостенных конструкций.

Вопросам построения моделей многослойных конструкций и решению контактных задач теории пластин и оболочек посвящены монографии [30, 85, 204, 207-209, 212] и обзоры [83, 86]. В контактных задачах теории пластин и оболочек выбор двумерной модели существенно влияет на результаты решения. Большинство уравнений пластин и оболочек первоначально было сформулировано для случая, когда на их поверхностях заданы усилия. Классическая теория пластин и оболочек строится на гипотезах Кирхгофа-Лява. Известно, например, что применение теории Кирхгофа-Лява приводит к возникновению сосредоточенных сил на границе контакта даже для гладких штампов [84,257]. Модели, учитывающие влияние поперечного сдвига и обжатия, позволяют устранить такого рода эффекты. Основной причиной возникновения таких эффектов является невозможность удовлетворения в рамках приближенных теорий всем краевым условиям на поверхностях пластин и оболочек и условиям сопряжения на границах контакта.

Широко используются при построении уравнений пластин и оболочек

разложения искомых функций по полиномам Лежандра. Применение полиномов Лежандра при построении уравнений слоя является естественным, поскольку первые члены в разложениях напряжений и смещений представляют собой усилия и моменты, действующие в поперечных сечениях слоя, и соответствующие им средние смещения и углы поворотов этих сечений. При этом размерность задачи понижается: трехмерная задача в общем случае сводится к двумерной задаче для коэффициентов полиномов, а в случаях плоского изгиба пластин и осесимметричного деформирования пластин и оболочек — к одномерной задаче для коэффициентов полиномов. Этот подход развивался, например, в работах [207-210,212].

Одной из основных задач при этом является процедура усечения рядов при построении конечного приближения. При этом нужно преследовать две цели: сравнительную простоту разрешающих уравнений и возможность корректно формулировать контактные задачи для упругого слоя.

Одновременная аппроксимация смещений и напряжений, как правило, приводит к смешанным вариационным постановкам, в которых утрачивается свойство минимальности действительного поля перемещений. Процедура нескольких аппроксимаций смещений и напряжений, предложенная Г.В. Ивановым [120], сохраняет это свойство. Это позволяет построить положительно определенный квадратичный функционал и построить сходящийся итерационный процесс численного решения плоских задач теории упругости с использованием конечного элемента.

Поскольку в основе результатов, представленных в третьей главе, лежит процедура нескольких аппроксимаций смещений и напряжений полиномами Лежандра, то в §13 этой главы излагаются принципиальные моменты построения уравнений упругого слоя в первом приближении и приводятся эти уравнения. Порядок построенной системы дифференциальных уравнений не зависит от вида краевых условий на поверхностях слоя, что позволяет корректно формулировать задачи о сопряжении слоев и решать контактные задачи.

В [54] нами построены аналитические решения уравнений упругого слоя и решен ряд контактных задач (задачи о краевых эффектах в упругих прослойках, задача об отрыве упругой полосы от плоскости, задача о раскрытии трещины).

Некоторые из этих результатов приведены в §14 диссертационной работы. Там же проведено сравнение решений контактных задач по уравнениям упругого слоя с решениями по уравнениям теории упругости.

Удерживая в разложениях смещений и напряжений большее количе-

ство членов, можно построить уравнения слоя более высокого порядка. Однако, при этом утрачивается основное достоинство этих уравнений — их простота.

Другой подход к построению моделей более высоких приближений состоит в том, что слой толщины к рассматривается как N слоев толщины Нх = /¿/Лг каждый и для каждого из этих слоев формулируется одномерная задача первого приближения с условиями непрерывности отрезков рядов для смещений и напряжений на границах раздела слоев (рис. 15.3). При этом двумерная задача заменяется одномерной задачей для системы 6]У уравнений первого порядка относительно 6]У основных функций. Наиболее эффективно этот подход может быть реализован с помощью конечных элементов.

Наиболее распространенным типом конечных элементов являются элементы, сопряжение которых между собой производится в отдельных узлах [76, 105, 244]. Использование таких элементов для решения задач с сингулярными особенностями в напряжениях приводит к значительным трудностям. В узлах, которые попадают на особые точки, приходится применять дополнительную технику. Получить решение таких задач на равномерных сетках практически невозможно. Одним из способов повышения точности численного решения является сгущение сетки, что ведет к резкому увеличению объема вычислений и снижению скорости сходимости. Возможно применение специальных вариационных методов и специальных аппроксимаций, позволяющих учесть аналитическую природу особенностей [244], что также усложняет технику численной реализации решения.

В задачах с сингулярными особенностями в напряженных состояниях применение конечных элементов, условия сопряжения которых формулируются в виде условий непрерывности усилий и моментов на их гранях, оказывается намного эффективнее, чем использование традиционных конечных элементов [310, 317]. Эти элементы не содержат сингулярных точек, поскольку они содержат только величины, осредненные по граням, и поэтому являются естественными регуляризаторами в задачах с особенностями в напряжениях. В ряде работ зарубежных авторов такие конечные элементы называются компактными.

Процедура нескольких аппроксимаций напряжений и смещений позволяет построить прямоугольный конечный элемент, для которого условия сопряжения формулируются в виде условий непрерывности усилий и моментов на его гранях.

В §15 с использованием процедуры нескольких аппроксимаций каждой

из искомых функций построены конечные элементы с условиями сопряжения по их граням. При этом обеспечивается симметричность матрицы жесткости, разрешимость конечно-элементных уравнений и возможность вариационной формулировки задачи.

В §16 третьей главы приводится сравнение численного решения задачи о растяжении плоскости с трещиной, полученного с использованием построенных конечных элементов, с аналитическим. В §17 решены задачи о растяжении и сдвиге упругой прослойки.

Решение статических задач сопряжено с необходимостью решать большие системы алгебраических уравнений. И зачастую эффективность решения задачи зависит от используемого численного метода.

В §18 предложена итерационная процедура решения статических задач, основанная на преобразовании невязок уравнений в самоуравновешенные и последовательном расширении области самоуравновешенности. Быстрая сходимость этого метода проиллюстрирована на решении краевой задачи для уравнения Пуассона с сильно меняющимися коэффициентами. К такой математической задаче сводится, например^задача о кручении неоднородного стержня с сильно меняющимися по его сечению механическими свойствами.

В §19 метод самоуравновешенных невязок применен в геометрически нелинейной задаче о вычислении равновесных форм тонкостенных упругих стержней. Использование традиционного метода прогонки в этой задаче вызывает определенные трудности.

Четвертая глава посвящена решению динамических задач упруго-пластического деформирования твердых тел.

Широкое применение в современной технике конструкций, работающих в условиях интенсивного теплосилового нагружения определяет актуальность исследования напряженно-деформированного состояния и процессов разрушения этих конструкций. Исследованию, как экспериментальному, так и теоретическому, этих задач уделяется большое внимание. Очевидно, что экспериментальное исследование процессов при динамических воздействиях, во многих случаях оказывается невозможным. Поэтому численное моделирование динамических процессов является практически важной и актуальной задачей. Напряженно-деформированное состояние элементов конструкций при интенсивном теплосиловом воздействии имеет сложный характер, что обуславливается большими градиентами полей деформаций, напряжений, температуры. Численное решение должно с достаточной точностью воспроизводить эту сложную картину.

Обзор исследований, посвященных построению численных алгоритмов и решению задач динамики упругопластического деформирования, содержится в [19, 159-161]. В [161] анализируются различные подходы к построению численных алгоритмов и их эффективность при решении задач упругопластического деформирования. В [19] можно найти широкий спектр задач различного физического и механического содержания, решенных численными методами.

В гидродинамике и газовой динамике одними из первых численных методов были методы, основанные на использовании свойств характеристик гиперболической системы уравнений и соотношений на них (характеристические методы). Эти методы позволяют следить в процессе счета за характером искомого решения, выделяя поверхности разрыва. Для определенного класса задач применение характеристических методов позволяет получить достаточно хорошее описание динамических процессов за счет того, что в этих методах области влияния исходной дифференциальной задачи и конечно-разностной схемы близки. В [156,157] приводятся различные способы построения разностных схем решения упругопласти-ческих задач на основе характеристических методов и анализируются их преимущества и недостатки.

Из-за сложности реализации характеристических методов на ЭВМ в двумерных и тем более трехмерных задачах широкое распространение получили конечно-разностные схемы сквозного счета. Стремление восполнить потерю адаптируемости методов сквозного счета к искомому решению привело к появлению различных подходов и способов их построения. При построении этих методов используются как переменные Эйлера, так и Лагранжа. Целесообразность использования тех или иных переменных определяется характером задачи. Численное решение задач в переменных Лагранжа вызывает необходимость перестройки разностной сетки при больших деформациях. Примеры построения алгоритмов в переменных Лагранжа можно найти в работах [192,255]. Вопросы, связанные с перестройкой сетки в процессе решения динамических задач, рассматриваются в [78,95,96,195]. Так как каждый из упомянутых подходов имеет свои преимущества и недостатки, то применяются также методы, в которых одновременно используются лагранжевы и эйлеровы переменные [260]. Метод, предложенный в работе [260] и получивший название метода частиц, сочетает как лагранжев, так и эйлеров подходы. Дальнейшее обобщение и развитие этого метода содержится в [25].

В [149] построены алгоритмы решения задач динамики упругопластического деформирования на основе структурного подхода и дискретного

моделирования физических процессов.

При решении задач динамики упругопластического деформирования, как правило, используются явные схемы. Однако, ограничение, накладываемое при этом на шаг по времени, оказывается слишком обременительным для определенного класса задач. В этом случае предпочтительнее использование неявных схем. К этому классу относятся схемы расщепления [16, 237] и метод дробных шагов [80-82, 144-148]. В ряде случаев целесообразно одновременное использование явных и неявных схем. Например, такая ситуация возникает при решении динамических задач тонкостенных конструкций, когда неоднородность напряженного состояния в одном направлении может быть существенно больше, чем в другом. Следует также учитывать, что в задачах с большими градиентами скоростей и напряжений ограничение на шаг интегрирования накладывается не только условиями устойчивости численной схемы, но требованиями точности воспроизведения физического явления. В такого рода задачах последнее требование зачастую оказывается определяющим [157].

Важной проблемой при численной реализации динамических задач с большими градиентами скоростей и напряжений является подавление паразитных колебаний, вызванных конечно-разностной аппроксимацией. Одним из средств подавления такого рода колебаний является введение в уравнения задачи искусственной вязкости. Впервые искусственная вязкость была введена Рихтмайером и фон Нейманом при расчете ударных гидродинамических волн [226]. В дальнейшем использовались различные формы искусственной вязкости [246, 255, 277].

Г. В. Ивановым [117] для построения численных схем решения двумерных задач деформируемого твердого тела было предложено использовать несколько локальных аппроксимаций неизвестных функций линейными полиномами. Этот подход явился развитием идей С.К. Годунова о построении численного метода на основе решения одномерных задач о распаде разрыва и введения в схему "больших" и "малых" величин. Процедура нескольких аппроксимаций для каждой из искомых функций дает возможность сформировать достаточную для обеспечения монотонности численного решения искусственную диссипацию с одновременным расщеплением многомерной задачи на ряд независимых одномерных задач по пространственным направлениям. Содержащиеся в одномерных задачах параметры - константы диссипации - позволяют регулировать в получаемых схемах величину искусственной вязкости. При этом процедура решения каждой из этих одномерных задач является независимой

и может быть как явной, так и неявной. При частном выборе констант диссипации, для случая регулярных сеток, получающаяся явная схема совпадает со схемой С. К. Годунова. В то же время, одно из преимуществ подхода состоит в возможности построения схем, обладающих лучшими диссипативными свойствами по сравнению с методом " распада разрыва". Одно из основных отличий данного метода от метода С.К. Годунова в задачах динамики состоит в том, что отпадает необходимость решения задач о распаде разрыва, что является существенным преимуществом при решении упругопластических задач.

В работах С.А. Анисимова и И.О. Вогульского [9,10,15,26-29] на основе нескольких аппроксимации каждой из искомых функций линейными полиномами построены явные схемы решения плоской и осесимметрич-ной двумерных задач динамики упругих тел, позволяющие получать монотонные решения и моделировать с большой точностью разрывные решения. При этом максимально ослаблено допустимое шаблоном схемы ограничение на шаг интегрирования по времени.

В диссертационной работе идея нескольких аппроксимаций использована для построения численных алгоритмов решения динамических задач упругопластического деформирования.

В рамках этих алгоритмов разработаны процедуры аппроксимации уравнений упругопластического течения и моделирования процессов хрупкого разрушения.

В §20 четвертой главы на примере плоской динамической задачи теории упругости в декартовой системе координат показаны схема построения алгоритма на основе нескольких аппроксимаций и способ формирования искусственной диссипации.

В §21 алгоритм обобщается на задачи динамики упругопластического деформирования тел вращения при неосесимметричном нагружении при разбиении меридионального сечения тела на произвольные четырехугольники. Построены одномерные задачи на временном интервале + т], показана их разрешимость. Устойчивость схемы следует из неотрицательности сформированной искусственной диссипации. Доказано, что численное решение на временном интервале [0,Т], сходится по энергетической норме к решению дифференциальной задачи. В численной схеме сформулированы условия на оси симметрии.

Необходимым элементом при решении задач упругопластического деформирования является аппроксимация уравнений упругопластического течения. Широко используемой в задачах динамики является процедура Уилкинса [255]. В алгоритме Уилкинса напряжения вычисляются по

скоростям деформаций с нижнего временного слоя и затем проводится их корректировка в соответствии с условием текучести. Так как в алгоритме Уилкинса напряжения вычисляются по скоростям деформаций с нижнего временного слоя, то итерационной процедуры при вычислении напряжений не требуется. В работах В.М. Садовского [236] аппроксимация уравнений упругопластического течения проводится на основе вариационной формулировки задачи.

В §§22 и 23 излагаются две итерационные процедуры аппроксимации уравнений упругопластического течения при вычислении напряжений по скоростям деформаций со среднего временного слоя. Целесообразность применения каждого из этих вариантов зависит от решаемой задачи. Вариант аппроксимации, изложенный в §23, приводит по сравнению с вариантом, изложенным в §22, к меньшему числу констант диссипации и к уменьшению величины самой искусственной диссипации. Однако, в этом варианте в ряде случаев накладывается ограничение на шаг по времени. И если это ограничение оказывается сильнее ограничения на шаг, получающегося из требования устойчивости схемы, то следует использовать вариант аппроксимации, изложенный в §22.

В алгоритмы решения задач динамики упругопластического деформирования включена процедура моделирования процессов хрупкого разрушения. Поскольку в задачах разрушения условия на внутренних границах формулируются в виде неравенств, то даже в случае упругого деформирования задача становится нелинейной.

В §24 излагается процедура моделирования процессов хрупкого разрушения. При моделировании процесса хрупкого разрушения в рамках построенных алгоритмов предполагается, что разрушение происходит по границам элементов при достижении нормальными или касательными напряжениями предельных значений. Вычисление решения с учетом разрушения на каждом шаге по времени состоит из двух этапов: 1) вычисления соответствующей этому слою времени системы расположения разрывов и расслоений с учетом возможного захлопывания трещин и образования новых; 2) вычисления решения с учетом расположения разрывов и расслоений, найденного на первом этапе. При вычислении решения по неявной схеме строится итерационная процедура вычисления разрывов и расслоений на каждом временном слое. При вычислении же решения по явной схеме скорости и напряжения на границе между элементами на среднем слое по времени зависят от решения на нижнем слое только в двух примыкающих друг к другу элементах, и согласно формулам явной схемы расположение разрывов и расслоений однозначно определяется на

первой итерации.

В §25 приводятся примеры численного решения некоторых задач. В задачах динамики упругопластического деформирования непосредственное сравнение численных решений с аналитическими практически невозможно. Одним из способов тестовых проверок качества численных схем решения динамических задач является сравнение результатов с аналитическими при выходе на установившийся или волновой режим.

В первой тестовой задаче рассматривается упругопластическое деформирование кольца. На волновой стадии, когда напряжения и деформации практически постоянны по сечению кольца, можно выписать аналитическое решение как на стадии упругого, так и на стадии пластического дефрмирования. Это решение сравнивается с численным.

Во второй задаче о деформировании цилиндрической оболочки под действием синусоидальной нагрузки численные результаты сравнивались с результатами работ [266, 340]. В [266] решение этой задачи получено в виде рядов по собственным формам колебаний с использованием уравнений оболочек типа Доннелла-Муштари. В [266] максимальный прогиб т*Е/(Есго) = 1, 79 достигается в момент времени т = 2, 5мс. В наших расчетах = 1, 72 при т = 2, 5мс. В [340] решение этой

же задачи получено численным интегрированием уравнений оболочек методом [307]. Результаты численного счета в этой работе представлены в виде графиков. В масштабе графиков они совпадают с нашими расчетами.

Анализ результатов решения этих двух тестовых задач и ряда других показывает, что интегральные характеристики динамического упруго-пластического деформирования предложенными алгоритмами описываются вполне удовлетворительно.

В этом же параграфе решается задача об упругопластическом деформировании круговой арки, в которой прослеживается развитие зон пластических деформаций, и задачи о хрупком разрушении однородного и слоистого колец.

В §26 алгоритм обобщается на задачи упругопластического деформирования при больших деформациях. При построении алгоритма используются лагранжевы координаты.

Задачи, решаемые в §27, можно рассматривать, как тестовые. С другой стороны, они представляет определенный и практический интерес. История появления этих задач такова. При выполнении хоздоговорной работы заказчик обратился с просьбой — нельзя ли на основе разработанных алгоритмов и программ составить относительно простую схе-

му вычисления интегральных характеристик процесса высокоскоростного соударения. Две такие схемы, которые названы нами квазиодномерными моделями высокоскоростного соударения, и излагаются в §27. Интегральные характеристики процесса соударения (зависимость глубины проникания от соотношения плотностей материалов ударника и преграды и от скорости соударения) сравниваются с экспериментальными [245].

Результаты, изложенные в четвертой главе получены в ходе выполнения хоздоговорной работы с КБ Машиностроения (г. Миасс). На основе разработанных алгоритмов был создан комплекс программ, который внедрен в КБ Машиностроения и использовался при проектных разработках.

Отметим еще раз, что результаты, изложенные в третьей и четвертых главах, получены на основе идей Г.В. Иванова об аппроксимации решений статических и динамических задач упругопластического деформирования полиномами Лежандра, центральным моментом которых является процедура урезания соответствующих рядов.

Автору диссертационной работы принадлежат следующие результаты. Построение аналитических решений уравнений упругого слоя и решение ряда практических задач; построение нового конечного элемента для решения статических задач с особенностями в напряженном состоянии; создание итерационого алгоритма самоуравновешенных невязок решения алгебраичесой системы уравнений; разработка алгоритма решения задач динамики упругопластического деформирования, включающего процедуру аппроксимации соотношений упругопластического течения и моделирования процессов хрупкого разрушения; обобщение алгоритма на задачи с учетом больших деформаций; создание пакета прикладных программ решения задач упругопластического деформирования при интенсивных теплосиловых нагрузках.

Результаты, изложенные в диссертационной работе получены при выполнении исследований по госбюджетным темам: "Развитие численных методов механики упругопластического деформирования" (№ гос.per. 01910001973), "Развитие теории больших упругопластических деформаций (раздел 1.18.3)", "Развитие методов решения задач предельного равновесия и динамики тонкостенных конструкций (код 1.10.23), "Численное моделирование напряженно-деформированного состояния слоистых материалов и элементов конструкций" (№ гос.per. 01970003573).

Апробация работы. Результаты работы докладывались на V(r. Москва, 1964г.), на VI(r. Баку, 1966г.), на VII (г. Днепропетровск, 1968г.) Всесоюзных конференциях по теории пластин и оболочек, на У1(г.

Миасс, 1979г.), VII(r. Миасс, 1981г.), VIII (г. Ужгород, 1983г.), 1Х(г. Саратов, 1985г.), Х(г. Красноярск, 1987г.), Х1(г. Новосибирск, 1989г.), ХН(г. Новосибирск, 1991г.), ХШ(г. Новосибирск, 1993г.), XIV (г. Волгоград, 1995г.), XV(r. Новосибирск, 1997г.) Всесоюзных конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности; на VII Всесоюзной конференции по прочности и пластичности (г. Горький, 1978г.), на IV Всесоюзном симпозиуме по механике конструкций из композиционных материалов (г. Новосибирск, 1982г.), на Всесоюзной конференции " Численная реализация физико-механических задач прочности" (г. Горький, 1983г.), на II Всесоюзной конференции "Ползучесть в конструкциях" (г. Новосибирск, 1984г.), на Международной конференции по численным методам и приложениям (г. София, 1984г.), на VIII Всесоюзном симпозиуме по распространению упругих и упругопластических волн (г. Новосибирск, 1986г.), на VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (г. Ташкент, 1986г.), на II Всесоюзной конференции " Численная реализация физико-механических задач прочности" (г. Горький, 1987г.),

на Сибирской школе по современным проблемам механики деформируемого тела (г. Новосибирск, 1988г.), на Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике (г. Новосибирск, 1994г.), на II Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (INPRIM-96) (г. Новосибирск, 1996г.), на Международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (г. Красноярск, 1997г.),

Полностью результаты работы докладывались на семинаре ОМДТТ Института гидродинамики им, М.А. Лаврентьева СО РАН (руководитель профессор О.В. Соснин) , на семинаре Института теоретической и прикладной механики СО РАН (руководитель чл.-корр. РАН В.М. Фомин) ,на семинаре Инститта вычислительного моделирования (г. Красноярск) (руководитель профессор В.К. Андреев), на семинаре по механике деформируемого твердого тела Новосибирского государственного университета (руководитель профессор Б.Д. Аннин).

Основные результаты опубликованы в работах [2,3,11-14,45-53,55-67, 54,68-73].

Все исследования выполнены в лаборатории численных методов механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, руководителем которой в течение многих лет был Г.В. Иванов, и идеи которого лежат в основе ряда результатов, изложенных в диссертационной работе. Автор выражает глубокую

благодарность сотрудникам лаборатории В.Н. Солодовникову, С.Н. Ко-робейникову, В.Д. Кургузову за постоянное обсуждение постановок задач и результатов исследований, часть из которых была выполнена вместе с ними.

На ряд интересных задач выпучивания оболочек при ползучести обратил внимание автора Ю.В. Немировский, совместно с которым выполнены работы [47-49]. Автор выражает искреннюю благодарность профессору Ю.В. Немировскому за критическую оценку работы и ценные замечания на этапе ее оформления.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Волчков, Юрий Матвеевич

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 4.

Разработан алгоритм решения задач динамики упругопластического деформирования, основанный на нескольких аппроксимациях каждой из искомых функций.

Алгоритм позволяет на каждом временном шаге произвести расщепление задачи на одномерные с одновременным формированием искусственной диссипации, обеспечивающей монотонность численного решения. Численное решение может быть получено как по явной схеме, так и неявной.

В рамках алгоритма предложены процедуры аппроксимации уравнений упругопластического течения и моделирования процессов разрушения.

Доказана сходимость численного решения в энергетической норме к решению дифференциальной задачи при каждом фиксированном значении времени. Точность алгоритма проверена на ряде тестовых задач.

В лагранжевых переменных алгоритм обобщен на случай больших упругопластических деформаций с учетом температурных напряжений.

На основе предложенных алгоритмов создан пакет программ расчета напряженно-деформированного состояния при интенсивных теплосиловых воздействиях и решен ряд прикладных задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертации получены следующие основные результаты:

I. Исследованы закономерности неупругого деформирования оболочек вращения с учетом пластических деформаций и деформаций ползучести.

1. Разработан алгоритм вычисления критического времени выпучивания цилиндрических оболочек при установившейся ползучести. На основе уравнений двухслойной модели получены формулы для критических времен выпучивания: однородных цилиндрических оболочек, трехслойных оболочек с заполнителем, оболочек, подкрепленных ребрами.

Проведено сравнение вычисленных критических времен с решениями других авторов и экспериментальными данными, на основании которого установлены интервалы нагрузок, в которых критические времена, вычисленные на основе двухслойной модели, могут служить оценкой устойчивости реальных оболочек.

2. Построены уточненные соотношения между скоростями кривизн, усилиями и моментами в задачах изгиба пластин при неустановившейся ползучести и при упругопластических деформациях. На примерах решения конкретных задач показано их хорошее соответствие "точным" соотношениям.

3. Предложен численный алгоритм решения задач упругопластическо-го деформирования оболочек методом последовательных нагруже-ний, в котором в качестве параметра нагружения используется характерный прогиб оболочки, что позволяет пройти на кривой р ~ ю точку максимума и вычислить предельные нагрузки.

4. Решен новый класс задач предельного равновесия и устойчивости составных оболочек вращения, состоящих из цилиндрических и конических участков при различных углах сопряжения.

Проведено сравнение предельных нагрузок, вычисленных по приближенным и "точным" соотношениям упругопластического течения. Из анализа результатов численных решений следует, что предельные нагрузки с достаточной степенью точности можно определять, решая упругую задачу и проверяя обобщенное условие текучести.

Из сопоставления предельных и бифуркационных нагрузок следует, что для оболочек с рассмотренными геометрическими параметрами ее несущая способность определяется предельной нагрузкой. В тех случаях, когда первой достигается бифуркационная нагрузка, она близка к предельной.

II. Разработаны алгоритмы и решены плоские статические задачи с оособенностями в напряженном состоянии и задачи динамики упругопластического деформирования тел вращения при интенсивных теплосиловых нагрузках.

5. Получены аналитические решения уравнений упругого слоя, решены задачи о краевых эффектах в упругих прослойках, об отрыве полосы от плоскости и задача о концентрации напряжений в окрестности кончика трещины. Проведенное сопоставление с решениями по уравнениям теории упругости свидетельствует о том, что момент-ные уравнения упругого слоя достаточно точно описывают распределение контактных напряжений.

6. Построен новый тип конечных элементов, сопряжение между которыми, в отличие от традиционных, производится по граням элементов. Такого типа элементы являются естественными регуляризато-рами в задачах с особенностями в напряжениях. Их эффективность продемонстрирована на решении задач о краевых эффектах в упругих прослойках и задачи о растяжении плоскости с разрезом.

7. Предложен итерационный метод самоуравновешенных невязок решения статических задач теории упругости. Эффективность метода продемонстрирована на решении краевой задачи для уравнения Пуассона с сильноменяющимися коэффициентами и задачи о вычислении равновесных форм тонких упругих стержней.

8. Разработан алгоритм решения задач динамики упругопластического деформирования, основанный на нескольких аппроксимациях каждой из искомых функций.

Алгоритм позволяет на каждом временном шаге произвести расщепление задачи на одномерные с одновременным формированием искусственной диссипации, обеспечивающей монотонность численного решения. Численное решение может быть получено как по явной схеме, так и неявной.

В рамках алгоритма предложены процедуры аппроксимации уравнений упругопластического течения и моделирования процессов разрушения.

9. Доказана сходимость численного решения в энергетической норме к решению дифференциальной задачи при каждом фиксированном значении времени. Точность алгоритма проверена на ряде тестовых задач.

10. В лагранжевых переменных алгоритм обобщен на случай больших упругопластических деформаций с учетом температурных напряжений.

III. На основе предложенных алгоритмов создан пакет программ расчета напряженно-деформированного состояния при интенсивных теплосиловых воздействиях и решен ряд прикладных задач. Пакет программ внедрен в КБ Машиностроения (г. Миасс).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Волчков, Юрий Матвеевич, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Алалыкин Г. Б., Годунов С. К., Киреева И. JI., Плинер JI. А.

Решение одномерных задач газовой динамики в подвижных сетках.

- М.: Наука, 1976. - С. 100.

2. Алексеев А.Е., Волчков Ю.М., Иванов Г.В., Кургузов В.Д.

Алгоритм расщепления двумерных задач динамики деформирования тел вращения в случае разбиения меридионального сечения на произвольные четырехугольники // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы 8-ой Всесоюзной конф.

- Новосибирск : ИТПМ СО АН СССР, 1984. - С. 7-14.

3. Алексеев А.Е., Анисимов CA., Волчков Ю.М., Иванов Г.В., Кургузов В.Д. Алгоритм расщепления двумерных задач динамики упругопластического деформирования в областях сложной формы. Тезисы 8-ой Всес. конф. Численные методы решения задач теории упругости и пластичности, Ужгород, 1983.

4. Алексеев А.Е. Построение уравнений слоя переменной толщины на основе разложений по полиномам Лежандра // ПМТФ.—1994.—№ 4.

5. Алехин В.В., Исмаилов В.И. Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек // ДСС, 1987. С. 8-13.

6. Алиев P.A., Локощенко A.M., Шестериков С.А. Большие прогибы нелинейно-упругого кольца под внешним давлением. // Вестник. Моск. ун-та, 1969, № 3. С. 97-102.

7. Алиев P.A., Ванько В.И., Шестериков С.А. Нелинейно-упругое кольца под внешним давлением. // Инж. журнал МТТД969, № 4. С.170 - 173.

8. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. — М.: Наука, 1967.

9. Анисимов С.А. Алгоритм решения двумерных динамических задач теории упругости в областях из произвольных четырехугольниклв // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / СО АН СССР, Ин-т гидродинамики. - 1985. - Вып. 71. - С. 11-23.

10. Анисимов С.А. Векторное расщепление плоской динамической задачи теории упругости в областях из произвольных четырехугольников // Динамика сплошной среды : Сб. науч. тр. / СО АН СССР, Ин-т гидродинамики. - 1986. - Вып. 75. - С. 17-26.

11. Анисимов С.А., Волчков Ю.М., Иванов Г.В., Кургузов В.Д., Терехов А.В. Метод численного решения динамических задач упру-гопластического деформирования на основе нескольких аппроксимаций каждой из искомых функций // Шестой Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике, Ташкент, 1986: Аннотации докладов - Ташкент: Фан Узб ССР. - 1986. - С. 42.

12. Анисимов С.А., Волчков Ю.М. Линеаризация уравнений упру-гопластического деформирования в задачах динамики //11 Всесоюзная конф. "Численная реализация физико-механических задач прочности", Горький, 1987: Тез. докл. - Горький: ГГУ, 1987. - С. 14-15.

13. Анисимов С.А., Волчков Ю.М. Линеаризация уравнений упру-гопластического деформирования в задачах динамики // 10-ая Всесоюзная конф.Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы 10 Всесоюзн. конф. Н. 1988 С. 9-11.

14. Анисимов С.А., Волчков Ю.М.,Иванов Г.В., Терехов А.В.

Решение задач теплопроводности при моделировании процессов динамического термоупругопластического деформирования //Моделирование в механике: Сб. научн. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т теор. и прикл. механики. 1990 Т.4(21) №4. С.65-69.

15. Анисимов С.А., Вогульский И.О. Численное решение задач динамики упругих тел. Новосибирск: Изд-во НГУ. 1995. 154 С.

16. Анучина H. Н., Яненко H. Н. Неявные схемы расщепления для гиперболических уравнений и систем. // Докл. АН СССР, 1959. - Т. 128, N 6. - С. 1103 - 1106.

17. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Колмановский В.Б. Устойчивость вязкоупругих тел и элементов конструкций, Итоги науки техники, Механика деформируемого твердого тела, т.19. М. 1989. ВИНИТИ. С.3-77.

18. Астрахарчик C.B. Метод решения задач большого изгиба тонких упругих стержней и пластин // Динамика сплошной среды: Сб. научн. тр. / АН СССР, Сиб. отд-ние. Институт гидродинамики. — 1977. - вып.75.

19. Афанасьев C.B., Баженов В.Г. О численном решении одномерных нестационарных задач упругопластического деформирования сплошных сред методом Годунова // Прикладные проблемы прочности и пластичности. - Горький: ГГУ. - 1985. - Вып. 31. - С. 59-65.

20. Афанасьев С. Б., Баженов В. Г., Кочетков А. В., Фельдгун

В. Р. Пакет прикладных программ "Динамика - 1" // Прикладные проблемы прочности и пластичности. - Горький: Горьк. ун-т, 1986. - Вып. 33. - С. 21 - 29.

21. Баранов А.Н., Морозов М.А. Экспериментальное исследование деформации цилиндрических оболочек в усовиях ползучести // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1971, № 1. С.114-118.

22. Барташевичюс А.Ю., Шестериков С.А. Устойчивость цилиндрических оболочек при ползучести с упрочнением // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1969, №2 С.116-120.

23. Бате К., Вильсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. / Пер. с англ. - М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

24. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. - М.: Наука, 1984. - 520 с.

25. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике.- М.: Наука, 1982, - 392 С.

26. Вогульский И.О. Построение монотонных схем решения одномерных задач для гиперболических уравнений на основе аппроксимации полиномами Лежандра // Труды 1 Всесоюзной школы - семинара по многомерным задачам механики сплошной среды. - М,, 1983. - С. 59-65. - Деп. в ВИНИТИ, 1983, № 4623 С. 83.

27. Вогульский И.О. Монотонная схема второго порядка решения задач динамики упругих тел. - Деп. в ВИНИТИ, 1986, № 64 - В 86. -56 с.

28. Вогульский И.О. Повышение точности решения плоских динамических задач упругости в рамках аппроксимации линейными полиномами. - Деп. в ВИНИТИ, 1986, № 65 - В 86. - 51 с.

29. Вогульский И.О. Повышение точности численного решения задач динамики упругих тел - Красноярск, 1985. - С. 7-8 - (Препринт / АН СССР, Сиб, отд-ние, ; № 2).

30. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. — М.: Машиностроение, 1980.

31. Баттерман С.К. Пластическое выпучивание оболочек при осевом сжатии //Ракетная техника и космонавтика, 1965, № 2. С.219 - 231.

32. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Численный метод решения геометрически нелинейных осесимметричных задач для упругопласти-ческих оболочек вращения // Строительнаяя механика и расчет сооружений. 1976. № 5. С.44 - 49.

33. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Выпучивание и закритические деформации упругопластических оболочек в условиях осевой симметрии // Сборник по численным методам в механике твердого деформируемого тела: Сб. научных трудов/АН СССР. Вычислительный центр. М. 1978. С.47 - 66.

34. Бураго Н.Г. О численном решении задач нелинейной теории упругости при больших деформациях //11 Всесоюзная конф. по нелинейной теории: упругости, Фрунзе, 1985: Тез. докл. - Фрунзе, 1985. - С. 136.

35. Бураго Н. Г., Кукуджанов В. Н. Решение упругопластических задач методом конечных элементов. Пакет прикладных программ "АСТРА". - М., 1988. - 63 с. - (Препринт / АН СССР, Ин-т проблем механики, N 326).

36. Бурлаков A.B., Львов Г.И., Морачковский O.K. Ползучесть тонких оболочек. — Харьков. Изд-во Харьк. гос. ун-та. 1977. С. 123.

37. Бурлаков A.B., Львов Г.И., Морачковский O.K. Длительная прочность оболочек. — Харьков. Изд-во Харьк. гос. ун-та. 1981. С. 102.

38. Ванько В.И. О критериях выпучивания в условиях ползучести// ПМТФ. 1965. № 1. С. 127-130.

39. Ванько В.И., Шестериков С.А. Сплющивание кольца в условиях ползучести. // Механика твердого тела. 1966. № 5. С. 127-130.

40. Ванько В.И., Шестериков С.А. Продольный изгиб и выпучивание // Механика твердого тела. 1967. № 2. С. 157-163.

41. Ванько В.И., Шестериков С.А. Нелинейено-вязкие цилиндрические оболочки под внешним давлением // Механика твердого тела. 1971. № 1. С. 110-114.

42. Ванько В.И., Шестериков С.А. Сплющивание цилиндрических оболочек конечной длины // В сб.: Прочность и пластичность. М.,"Наука", 1971. С. 199-202.

43. Веденяпин E.H., Кукуджанов В.Н. Метод численного интегрирования нестационарных задач динамики упругой среды // ЖВМ и МФ. - 1981. - Т. 21, № 5. - С. 1233-1248.

44. Власов В.З. Общая теория оболочек. Изд-во технико-теоретической лит.,М. 1948. С. 784

45. Волчков Ю.М. Осесимметричные задачи ползучести круговых цилиндрических оболочек // Изв. АН СССР, Механика, 1965. № 5. С. 118-121.

46. Волчков Ю.М. Поведение цилиндрических оболочек в условиях установившейся ползучести // 5-я Всесоюзная конф. по теории пластин и оболочек: Аннотация докл., М. 1965. С. 14-15.

47. Волчков Ю.М., Немировский Ю.В. Выпучивание подкрепленных цилиндрических оболочек в условиях ползучести. Труды У1 Все-союзн. конференции по теории оболочек и пластинок. М. Наука 1966. С. 261-267.

48. Волчков Ю.М., Немировский Ю.В. Несимметричное выпучивание цилиндрических оболочек в условиях ползучести // Механика твердого тела. 1967. № 7. С. 136-136.

49. Волчков Ю.М., Немировский Ю.В. Выпучивание трехслойных цилиндрических оболочек в условиях ползучести // Механика твердого тела. 1969. № 5. С. 150-158.

50. Волчков Ю.М., Иванов Г.В., Солодовников В.Н. Изгиб пластин при неустановившейся ползучести // Механика твердого тела. 1968. № 5. С. 98-102.

51. Волчков Ю.М., Иванов Г.В., Солодовников В.Н. Уравнения связи между скоростями кривизн, скоростями моментов и моментами при упругопластическом изгибе пластин // Механика твердого тела. 1970. № 2. С. 171-175.

52. Волчков Ю.М., Павлов A.B. Упругопластическое деформирование цилинжрической оболочки с поперечными ребрами под действием гидростатического давления // Труды 7-ой Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М. Наука, 1970. С. 149-152.

53. Волчков Ю.М., Коробейников С.Н. Решение динамической задачи круговой цилиндрической оболочки при упругопластических деформациях по неявной конечно-разностной схеме. Динамика сплошной среды. Новосибирск : Ин-т гидродинамики. 1973. Вып. 14. С. 37-43.

54. Волчков Ю.М.,Дергилева JI.A. Решение задач упругого слоя по приближенным уравнениям и сравнение с решениями теории упру-

гости // ДОС. —Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР.—1977.—Вып. 28.

55. Волчков Ю.М., Коробейников С.Н. Численное решение упруго-пластических задач теории оболочек. Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы 5 Всесоюзн. конф. Н. 1978 С. 40-47.

56. Волчков Ю.М., Коробейников С.Н. Численное определение предельных и бифуркационных нагрузок упругопластических оболочек вращения. ДСС 1980 Вып. 456 С. 58-78.

57. Волчков Ю.М., Коробейников С.Н. Оценка предельной нагрузки упругопластических оболочек вращения // ПМТФ. 1981. №4. С. 146-150.

58. Волчков Ю.М. Концентрация напряжений в подкрепленной упругими ребрами пластине с прямоугольным вырезом // Строительная механика корабля / применение численных методов в строительной механике корабля, вып. 149.,Л. Изд-во "Судостроение", 1970. С. 106112.

59. Волчков Ю.М., Иванов Г.В., Кургузов В.Д. Численное решение задач динамического упругопластического деформирования тел вращения на основе локальной аппроксимации линейными полиномами// Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы 7-ой Всесоюзной конференции - Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1982. - С, 233-247.

60. Волчков Ю.М., Иванов Г.В., Кургузов В.Д. Алгоритм расщепления плоской задачи динамики упругого деформирования с учетом хрупкого разрушения // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / СО АН СССР, Ин-т гидродинамики. - 1983. - Вып. 61. - С. 36-48.

61. Волчков Ю.М, Иванов Г.В., Кургузов В.Д., Терехов A.B.

Алгоритм расщепления задач динамики упругопластического деформирования //1 Всесоюзная конференция "Численная реализация физико-механических задач прочности" , Горький, 1983: Тез. докл. -Горький : ГГУ, 1985. - С. 40.

62. Волчков Ю.М., Иванов Г.В., Кургузов В.Д. Аппроксимация уравнений упругопластического деформирования в задачах динамики // Динамика сплошной среды : Сб. науч. тр. / СО АН СССР, Ин-т гидродинамики. - 1984. - Вып. 66. - С. 60-68.

63. Волчков Ю.М., Дергилева Л.А. Численное решение геометрически нелинейных задач неустановившейся ползучести оболочек на основе уравнений, связывающих скорости деформаций непосредственно с усилиями и моментами. Тезисы Второй Всесоюзной конф. "Ползучесть в конструкциях", Пов-ск, 1984.

64. Волчков Ю.М., Иванов Г.В., Кургузов В.Д. Алгоритм решения динамической упругопластической задачи для тел вращения при не-осесимметричном нагружении// Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы 9-ой Всесоюзной конференции - Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1986. - С. 97-102.

65. Волчков Ю.М., Дергилева Л.А. Неустановившаяся ползучесть пластин и оболочек на основе приближенных соотношений // ДСС. 1987. Вып 82, С. 49-56.

66. Волчков Ю.М., Иванов Г.В., Кургузов В.Д. Схема численного решения динамических задач с условиями тренмя Кулона на поверхностях контакта.//Теория распространения волн в упругих и упру-гопластических средах: Сб. науч. тр. / СО АН СССР, Ин-т горного дела. Новосибирск. 1987. С.80-83.

67. Волчков Ю.М., Иванов Г.В., Кургузов В.Д. Об аппроксимаци-ии уравнений упругопластического деформирования // Неклассические задачи механики твердого тела : Сб. науч. тр. / СО АН СССР, Ин-т гидродинамики. Новосибирскю. 1989. - Вып. 92. - С. 45-54.

68. Волчков Ю.М., Дергилева Л.А.,Иванов Г.В. Итерационное решение задач для уравнения Пуассона методом самоуравновешенных невязок // ДСС.— Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР.—1991.—Вып. 102.

69. Волчков Ю.М., Дергилева Л.А.,Иванов Г.В. Численное моделирование напряженных состояний в плоских задачах упругости методом слоев // ПМТФ.—1994.—№ 6.

70. Волчков Ю.М., Анисимов С.А., Дергилева Л.А., Иванов Г.В., Кургузов В.Д. Численное моделирование напряженных состояний и процессов деформирования твердых тел методом нескольких аппроксимаций // Сибирская конференция по прикладной и индустриальной математике: Тезисы докл.,Новосибирск, 1994.

71. Волчков Ю.М. Оболочечные конечные элементы с условиями сопряжения, формулируемыми на их гранях // Ползучесть в конструкциях: Тезисы докл. 3-й Всерос. конф., Новосибирск, Ин-т гидродинамики СО РАН, 1995. С.12.

72. Волчков Ю.М. Построение и применение конечных элементов с условиями сопряжения, формулируемыми на их гранях // 2-й Сибирский конгр. по прикладной и индустриальной математике: Тезисы докл.,Новосибирск, 1996.

73. Волчков Ю.М. Сведение трехмерных статических задач механики твердого тела к двумерным // Математические модели и методы их исследования: Тезисы докл. Международной конф., Красноярск, Вычислительный центр СО РАН, 1997. С.57.

74. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967.

75. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости.— М.: Д.: Го-стехиздат,1953.

76. Галлагер Р. Метод конечных элементов.— М.: Мир, 1984.

77. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. — М.: Наука, 1977. - 400 с.

78. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов Н.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. - М.: Наука, 1976. - 400 с.

79. Гольденвейзер АЛ. Теория упругих тонких оболочек.— М.: Наука, 1976.

80. Горский Н.М. О решении динамических задач теории упругости в напряжениях и скоростях смещений // Численные методы механики сплошной среды: Сб. науч. тр./СО АН СССР, ВЦ. - 1972. - Т. 3, № :. - С. 24-31.

81. Горский Н.М. Решение динамических задач теории упругости с помощью неявных разностных схем / / Численные методы механики сплошной среды : Сб. науч. тр. / СО АН СССР, ВЦ. - 1974. - Т.5. -С. 48-56.

82. Горский Н.М., Коновалов А.Н. О разностных методах решения динамических задач теории упругости // Труды 3-ей Всесоюзной конф. Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. - Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР. - 1974. - ч. 1. - с. 68-84.

83. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек // Прикл. механика.—1972.—№ 6.

84. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек.— М.: Машиностроение, 1980.

85. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Модификация уточненной теории пластин для контактных задач // Изв. АН Арм.ССР, сер. механика.—1977.—№ 3.

86. Григолюк Э.И., Коган Е.,А., Мамай В.И. Проблемы деформирования тонкостенных слоистых конструкций с расслоениями / / Изв. РАН, Механика твердого тела.—1994. —2.

87. Григолюк Э.И., Липовцев Ю.В. Устойчивость оболочек в условиях ползучести // ПМТФ, 1965, №4. С.

88. Григолюк Э.И., Липовцев Ю.В. Применение вариационного принципа в задачах устойчивости оболочек// Инж.журнал, Механика твердого тела, 1966, № 2. С. 84-90.

89. Григолюк Э.И., Липовцев Ю.В. О критериях выпучивания оболочек в условиях ползучести // АН СССР, Инженерный журнал Механика твердого тела.—1966. —№ 3. С. 99 - 106.

90. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек.— М.: Наука, 1978.

91. Григолюк Э.И., Мамай В.И. О методах сведения нелинейной краевой задачи к задаче Коши // Прикл. проблемы прочности и пластичности. Методы решения задач упругости и пластичности: Сб. статей. — Горький. 1979. -С. 3-19.

92. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Модифицированные формы метода продолжения продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформиремого тела // Проблемы математики и механики: Сб. статей. — Новосибирск: Наука. 1983. С. 55-70.

93. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру в задачах нелинейного деформирования стержней, пластин и оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек: Сб. статей.—Казань. 1984 —вып. 17, часть 1. С. 3-58.

94. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования.— М.: Наука, 1988.

95. Гулидов А.И., Шабалин И.И. Численная реализация граничных условий в динамических контактных задачах - Новосибирск, 1987. -(Препринт / АН СССР, Сиб, отд-ние, ИТПМ; № 12).

96. Гулидов А.И., Шабалин И.И. Расчет контактных границ с учетом трения при динамическом взаимодействии деформируемых тел в пространственном случае// 10-ая Всесоюзная конф. Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы 10-ой Всесоюзн. конф. Новосибирск. ИТПМ СО АН СССР. 1988. С. 70-75.

97. Дан дере Дж., Стипс М. Роль констант упругости в некоторых контактных задачах // Прикл. механика, Тр. Амер. об-ва инж.- ме-хан., сер. Е.—1970. —№ 4.

98. Дергилева JT.A. Метод решения плоской контактной задачи для упругого слоя // ДСС.—Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР.—1976.— Вып. 25.

99. Деформирование и разрушение твердых тел. Сборник науных трудов, 1973, №23, Ин-т механики МГУ, изд-во Московского университета. С. 106.

100. Деформирование и разрушение твердых тел. Сборник науных трудов, 1975, №37, Ин-т механики МГУ, изд-во Московского университета. С. 95.

101. Деформирование и разрушение твердых тел. Сборник науных трудов, 1977, Ин-т механики МГУ, изд-во Московского университета. С. 111.

102. Ермаков В.П., Кузнецов А.П. Кратковременная ползучесть сплава АМгб при одноосном растяжении // ПМТФ. 1972. № 1. С. 141-143.

103. Железнов Р.П., Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагру-жении методом конечных элемнтов // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1981. № 3. С. 49-54.

104. Запнаров Н.И., Кукуджанов В.Н. Математическое моделирование задач импульсного деформирования, взаимодействия и разрушения упругопластических тел. - М., 1986. - 67 с.(Препринт / Ин-т проблем механики АН СССР; № 280).

105. Зенкевич О. Метод конечных элементов в механике.—М.: Мир,1975. С. 541

106. Иванов Г.В. Об устойчивости равновесия при неупругих деформациях // ПМТФ. 1961. № 1. С. 41-75.

107. Иванов Г.В. Об устойчивости равновесия сжато-изогнутых стержней при неупругих деформациях // ПМТФ. 1961. № 3. С. 74-84.

108. Иванов Г.В. К вариационным методам решения задач о деформировании и устойчивости пластин и оболочек при ползучести // ПМТФ. 1963. № 5. С. 148-150.

109. Иванов Г.В. К вариационным методам в теории ползучести // ПММ.—1963 - Т. 27.—№ 4. С. 750 - 752.

110. Иванов Г.В. О методах решения задач неустановившейся ползучести пластин и оболочек. Труды 6-ой Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. М. Наука. 1966. С.424-430.

111. Иванов Г.В. Аппроксимация конечного соотношения между усилиями и моментами оболочек при условии текучести Мизеса // Механика твердого тела.—1967.—№ 6. С. 74 - 75.

112. Иванов Г.В. О соотношениях между скоростями деформаций и усилиями , моментами при установившейся ползучести пластин и оболочек //АН СССР. Механика твердого тела. 1968. № 2. С. 159 -165.

113. Иванов Г.В. Упругопластическое течение оболочек при условии текучести Мизеса //Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1969. № 3.

114. Иванов Г.В. Решение плоской задачи теории упругости в виде рядов по полиномам Лежандра // ПМТФ. 1976. № 6.

115. Иванов Г.В. Решение в виде рядов по полиномам Лежандра плоской смешанной задачи для уравнения Пуассона.// ДСС.— Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР.—1977.—Вып. 28.

116. Иванов Г.В. Уравнения ползучести тонких оболочек, связывающие скорости деформаций непосредственно с усилиями и моментами // ДСС.—Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР.—1978.—Вып. 34. С. 30 -40.

117. Иванов Г.В. Построение схем решения плоской динамической задачи теории упругости на основе аппроксимации линейными полиномами // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / СО АН СССР, Ин-т гидродинамики. - 1978. - Вып. 37. - С. 63-77.

118. Иванов Г.В. Об уравнениях упругопластического деформирования при произвольной величине поворотов и деформаций // ПМТФ. 1978. № 3. С. 130 - 131.

119. Иванов Г.В. Упругопластическое деформирование тонких пластин и оболочек при линейном упрочнении и идеальном эффекте Баушин-гера // ПМТФ. 1978. № 2. С. 134 - 139.

120. Иванов Г.В. Теория пластин и оболочек, Изд-во НГУ, Новосибирск, 1980.

121. Иванов Г.В., Кургузов В.Д. Схемы решения одномерных задач динамики неоднородных упругих тел на основе аппроксимации линейными полиномами // Динамика сплошной среды : Сб. науч. тр. / СО АН СССР, Ин-т гидродинамики. - 1981. - Вып. 49. - С. 27-44.

122. Иванов Г.В. Расщепление задач упругости на основе минимизации функционала Лагранжа // Числ. методы решения задач упругости и пластичности (Материалы 9-й Всесоюзн.конференции, Саратов, июнь 1985)/ Новосибирск — 1986.

123. Ильин В.Н.,Кашелкин В.В., Шестериков С.А. Сплющивание кольца под действием двух сосредоточенных сил при ползучести. // Деформирование и разрушение твердых тел : Сб. науч. тр. / М, МГУ. - 1977. С. 38-43.

124. Ильюшин A.A. Пластичность (основы общей математической теории). - М.: Из-во АН СССР, 1963, 272 с.

125. Ильюшин A.A. Пластичность. - М., 1948 .

126. Кабанов В.В., Астрахарчик C.B., Железнов Л.П. Алгоритм исследования закритического поведения круговых цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении // Динамика и прочность элементов авиационных конструкций :Сб. научн. тр./ Новосибирск, Новосибирский электротехнический ин-т.- 1987. С. 10-15.

127. Качанов JT.M. Теория ползучести. - М.: Физматгиз, 1960.

128. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. - М., 1969.

129. Кашелкин В.В., Шестериков С.А. Сплющивание длинной цилиндрической оболочки с продольными ребрами // Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1971г., №2.С. 106-110.

130. Кашелкин В.В., Шестериков С.А. Устойчивость цилиндрических оболочек общего вида закрепления // В сб. "Научные тр. Ин-та механики МГУ". М., 1973, № 23. С. 3-9.

131. Кашелкин В.В., Локощенко A.M., Мякотин Е.А., Шестериков С.А. Сплющивание цилиндрическиз оболочек, методика расчета и экспериментальная проверка // Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1974г.,№1.С. 155-158.

132. Кашелкин В.В., Сергеев М.В., Шестериков С.А. Устойчивость при ползучести.// Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1981,№5. С.117-127.

133. Кашелкин В.В., Ильин В.Н., Шестериков С.А. Сплющивание длинной цилиндрической оболочки жесткими плитами в условиях ползучести. // Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1983. -С. 44-51.

134. Кир Л.М., Сильва М.А. Две смешанные задачи для полуполосы // Прикл. механика, Тр. Амер. об-ва инж.- механ., сер. Е.—1972. —№ 4.

135. Кирсанов М.Н. Неустойчивость цилиндрической оболочки при ползучести // Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1986г.,№6.С. 126-129.

136. Кирсанов М.Н., Клюшников В.Д. Определение особых точек процесса деформирования сжатого стержня в условиях ползучести // Изв. РАН, Механика твердого тела. 1993, №3. С.

137. Кирсанов М.Н., Клюшников В.Д. Особые точки процесса деформирования сплющивания и сплющивания цилиндрической оболочки в условиях ползучести // ПМТФ. - 1994 - №5. С. 128-135.

138. Клюшников В.Д. Устойчивость упругопластических систем. - М.: Наука. 1980.

139. Клюшников В.Д. Лекции по устойчивости деформируемых систем. - М.: Изд-во МГУ. 1986. С. 224.

140. Койтер В.Т. Общие теоремы упругопластических сред. —М.: ИЛ, 1961. С. 78.

141. Кондауров В.И., Кукуджанов В.Н. Численное решение неодномерных задач динамики упруго-пластических сред. - В кн. Избранные проблемы прикладной механики. - М.: ВИНИТИ, 1974, С. 421430.

142. Кондауров В.И., Рой И.В. Исследование и применение одной разностной консервативной схемы для уравнений динамики деформируемой среды. - В кн.: Численные методы механики сплошной среды. Т. 11. № 2 - Новосибирск, 1980, С. 64-79.

143. Кондауров В.И., Кукуджанов В.Н. Об определяющих уравнениях и численном решении некотроых задач динамики упругопластических сред с конечными деформациями // Сборник по численным

методам в механике твердого деформируемого тела: Сб. научных трудов/АН СССР. Вычислительный центр. М. 1978. С.84 - 121.

144. Коновалов А. Н. Применение метода расщепления к численному решению динамических задач теории упругости. // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 1964- Т. 4, N 4. - С. 760 - 764.

145. Коновалов А.Н. Решение задач теории упругости в напряжениях // Уч. пособие. Новосибирск: НГУ. 1979.

146. Коновалов А. Н. Разностные схемы для численного решения плоских динамических задач теории упругости в напряжениях. I. // Численные методы механики сплошной среды, 1973. - Т. 4, N 5. - С. 41 -56.

147. Коновалов А.Н. Разностные методы для численного решения плоских динамических задач теории упругости в напряжениях. II. // Численные методы механики сплошной среды : Сб. научн. тр. / СО АН СССР, ВЦ. - 1974. - Т 5, № 2. - С. 30-45.

148. Коновалов А.Н. Разностные схемы для численного решения плоских динамических задач теории упругости в напряжениях 1 // Численные методы механики сплошной среды :Сб. научн. тр./ СО АН СССР, ВЦ. - 1973. Т. № 5. - С. 57-67.

149. Кошур В.Д., Немировский Ю.В. Концептуальные и дискретные модели динамического деформирования элементов конструкций. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение. 1990. С. 190.

150. Крэчун И.П.Б, Куроедов В.В. Об оценке некоторых итерационных методов решения задач физически нелинейной теории упругости // Тр. Ленингр. политехи, ин-та. 1976. № 349. С. 47-52.

151. Кузнецов А.П.,Куршин Л.М. Решение некоторых задач устойчивости пластин и оболочек в условиях ползучести по теории упрочнения // ПМТФ, 1960, № 4. С.84-89.

152. Кузнецов А.П.,Куршин Л.М. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек в условиях ползучести // ПМТФ, 1962, № 3. С.66-72.

153. Кузнецов А.П. Решения задачи устойчивости сжатой оболочки в условиях ползучести по гипотезе упрочнения // ПМТФ, 1964, № 2. С.90-98.

154. Кузнецов А.П., Юнгерман Н.М. Экспериментальное исследование устойчивости оболочек в условиях ползучести // ПМТФ, 1965, №4. С.

155. Кукуджанов В.Н. О численном решении задач распространения упругопластических волн // Материалы 5-го Всесоюзного симп. "Распространение упругих и упругопластических волн ". - Алма-Ата: Наука Каз. ССР. - 1973. - С. 223-230.

156. Кукуджанов В.Н., Кондауров В.И. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела. - В кн.: Проблемы динамики упругопластических сред. М.: Мир, 1975, С. 69-118.

157. Кукуджанов В.Н., Кондауров В.И. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела // Проблемы динамики упругопластическтх сред. Сер. Механика. Новое в зарубежной науке.- Вып.. 5. - М.: Мир, 1975, С. 39-84.

158. Кукуджанов В.Н. Численное решение неодномерных задач распространения волн напряжения в твердых телах // - 1976. - Вып. 6.-67 с.

159. Кукуджанов В.Н. Численное решение неодномерных задач распространения волн напряжений в твердых телах // Сообщения по прикладной математике. Вып. 6. - М.: ВЦ АН СССР. 1976. - Вып.6. - С. 11-37.

160. Кукуджанов В. Н. Численные методы решения неодномерных задач динамики упругопластических сред / / Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы VI Всесоюзной конф. - Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1980. - Ч. 1. - С. 105 - 120.

161. Кукуджанов В.Н.Численное моделирование динамических процессов деформирования и разрушения упругопластических сред // Успехи механики. - 1985. - Т. 8, Вып. 4. - с. 21-65.

162. Куршин JI.M. Об устойчивости стержней и пластин в условиях ползучести // ДАН СССР, 1961. Т.140, № 3. С. 549-552.

163. Куршин JI.M. Устойчивость стержней в условиях ползучести // ПМТФ, 1961, № 6. С. 128-134

164. Куршин JT.M. Устойчивость пластинок в условиях ползучести // ПМТФ, 1962, № 1 С. 93-101.

165. Куршин JI.M. К решению задач устойчивости пластин в условиях ползучести по квазистатической теории // ПМТФ, 1962, №5. С. 154158.

166. Куршин Л.М. Об одном возможном подходе к задаче устойчивости стержней в условиях ползучести // В сб. "Ползучесть и длительная прочность", Изд-во СО АН СССР, Новосибирск, 1963, С. 29-31.

167. Куршин Л.М. Липовцев Ю.В. Устойчивость круговой цилиндрической оболочки при сжатии в условиях ползучести / В сб. "Тепловые напряжения в элементах конструкций", Изд-во АН УССР, 1964, вып. 4. С. 277-287.

168. Куршин Л.М. К постановке задачи о выпучивании оболочки при ползучести // ДАН СССР, т. 163, 1965, № 1 С.46-49.

169. Куршин Л.М. Расчет оболочек в условиях ползучести // Тр. 6-ой Всес. конф. по теории оболочек и пластинок (Баку, 1966 ), М. "Наука", 1966. С. 960-970.

170. Куршин Л.М., Присекин В.Л. Равновесные состояния цилиндрической оболочки сначальными прогибами при сжатии // Прикладная матем. и механ., 1969, Т.33, № 2. С.

171. Куршин Л.М. О влиянии начальных прогибов на устойчивость цилиндрической оболочки при сжатии в условиях ползучести. // Тр. 7-ой Всес. конф. по теории оболочек и пластинок (Днепропетровск, 1969 ), М. "Наука", 1970. С. 331-334.

172. Куршин Л.М. Устойчивость в условиях ползучести.—В сб.: Расчет пространственных конструкций.—М.Стройиздат, 1970, вып.13.С.152-189.

173. Куршин Л.М., Щербаков В.Т. Расчет устойчивости сжатых цилиндрических оболочек при ползучести. // Тр. 8-ой Всес. конф. по теории оболочек и пластинок , М. "Наука", 1973. С. 143-146.

174. Куршин Л.М., Щербаков В.Т. Устойчивость цилиндрических оболочек в условиях ползучести при совместном действии осевого сжатия и внутреннего давления // ПМТФ, 1974, №5. С. 109-116.

175. Куршин Л.М., Щербаков В.Т. Устойчивость цилиндрической оболочки при программном изменениии сжимающей нагрузки в условиях ползучести // ПМТФ, 1974, №6. С. 137-142.

176. Куршин Л.М., Белов В.К., Гусев В.В, Ермаков В.П., Ларионов И.Ф. Влияние кратковременной ползучести на устойчивость гладких и вафельных оболочек // Проблемы прочности, 1975, №3. С. 95-97.

177. Куршин JI.M., Ермаков В.П. Выпучивание цилиндрической оболочки при неравномерном нагреве в условиях ползучести // Изв. ВУЗов, машиностроение, 1975, №4. С. 5-8.

178. Куршин Л.М. Устойчивость в условиях ползучести.— В сб.: Исследования по теории сооружений.—М. Стройиздат, 1976, вып.22. С.84-104.

179. Куршин Л.М. О постановках задачи устойчивости в условиях ползучести (обзор) // Проблемы теории пластичности и ползучести: Сб. научн. тр./ М.: Мир. 1979. С. 246-302.

180. Лаврентьев М.А. // Успехи математематических наук наук. 1959. Т. 12, вып. 4. С. 41-56.

181. Локощенко A.M., Шестериков С.А. Ползучесть.-В сб. :Меха-ника, 1963.—М.: ВИНИТИ АН СССР, 1965. С. 177-227.

182. Локощенко A.M., Шестериков С.А. Релаксация труб и выпучивание стержней из вязкопластического материала //ПМТФ, 1966, №4. С. 154-159.

183. Локощенко A.M., Шестериков С.А. Методика расмчета на сплющивание цилиндрических оболочек в условиях ползучести //В сб. Деформирование и разрушение твердых тел. Наун. тр.Института механики МГУ, №23, 1973г. С. 10-14.

184. Локощенко A.M. Определение времени сплющивания цилиндрической оболочки в нестационарных условиях. //В сб. Деформирование и разрушение твердых тел. Наун. тр.Института механики МГУ, №23, 1973г. С. 21-25.

185. Локощенко A.M. Поведение цилиндрической оболочки под внешним равнораспределенным давлением // Деформирование и разрушение твердых тел. Научн. тр. ин-тамехан., МГУ, 1975, № 37. С.15-24.

186. Локощенко A.M., Шестериков С.А. Устойчивость цилиндрической оболочки при чистом изгибе // Изв. АН СССР. Мех. тв. тела. 1982, №2 2. С. 187-191.

187. Локощенко A.M., Печенина И.Е. Несущая способность цилиндрической оболочки при чистом изгибе // Изв. вузов. Машиностроение. 1983, № 1. С. 28-33.

188. Локощенко A.M., Шестериков С.А. Сплющивание цилиндрических оболочек при ползучести // Изв. АН СССР. Мех. тв. тела. 1985, № 3. С. 113-118.

189. Локощенко A.M., Печенина И.Е., Шестериков С.А. Долговечность цилиндрических оболочек при чистом изгибе в условиях ползучести // Прикладная механика. 1989. Т.25, № 12. С. 73-78.

190. Локощенко A.M., Шестериков С.А. Сплющивание цилиндрических оболочек под внешним давлением при ползучести // Изв. АН СССР. Мех. тв. тела. 1992, № 5. С. 144-149.

191. Мазалов В.Н., Немировский Ю.В. Ползучесть цилиндрических оболочек // Тр. 6-ой Всес. конф. по теории оболочек и пластинок (Баку, 1966 ), М. "Наука", 1966. С. 554-564.

192. Майнчен Дж., Сак С. Метод расчета "Тензор" // вычислительные методы в гидродинамике. - М.: Мир. - 1967. - С. 185-211.

193. Марчук Г.И., Яненко H.H. Применение метода расщепления (дробных шагов) для решения задач математической физики. Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: Наука. 1985. 364 С.

194. Мержиевский Л.А. Метод расчета течений вязкоупругой среды // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / СО АН СССР, Ин-т гидродинамики. - 1980. - Вып. 45. - С. 141-151.

195. Мещеряков Ю.П., Шапеев В.П. Некоторые геометрические методы построения разностных сеток в областях с криволинейными границами. - В сб.: Численнные методы механики сплошной среды, т.9, № 2. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1978. С. 23-34.

196. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. — Казань: Таткнигоиздат, 1957.

197. Навал И.К., Пацюк В.И., Римский В.К. Нестационарные волны в деформируемых средах. - Кишинев:Штиинца, 1986. - 236 с.

198. Немировский Ю.В. О предельном состоянии слоистых и конструктивно-ортотропных цилиндрических оболочек оболочек // Инж. журн., Механика твердого тела, 1960, № 5. С. 130-138.

199. Немировский Ю.В. Несущая способность круглых подкрепленных пластин //Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, №2, 1963г.

200. Немировский Ю.В., Работнов Ю.Н. Предельное равновесие подкрепленных цилиндрических оболочек //Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, №3, 1963г.

201. Немировский Ю.В. Об уравнениях ползучести, основанных на критерии максимального приведенного напряжения, Изв. АН СССР, ОТН, механика и машиностроение, 1964, вып.З. С. 117-122.

202. Немировский Ю.В. Предельное равновесие многослойных армированных цилиндрических оболочек // Изв. АН СССР, Механика твердого тела, № 6, 1969. С.80-90.

203. Немировский Ю.В. Устойчивость и выпучиваеие конструктивно анизотропных и неоднородных оболочек и пластин , Итоги науки техники, Механика деформируемого твердого тела, т.19. М. ВИНИТИ, 1976. С.156.

204. Немировский Ю.В., Резников B.C. Прочность элементов конструкций из композитных материалов. — Новосибирск: Наука, 1986.

205. Новожилов В.В. Теория оболочек.— JL: Судпромгиз, 1962.

206. Оден Дж. Конечные элементы в механике сплошных сред. М.: Мир, 1970.

207. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью с концентраторами напряжений.— Киев.: Наук, думка, 1973.

208. Пелех Б.Л., Лазько В.А. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений.— Киев.: Наук, думка, 1982.

209. Пелех Б.Л., Максимук A.B., Коровайчук И.М. Контактные задачи для слоистых элементов конструкций и тел с покрытиями .— Киев.: Наук, думка, 1988.

210. Пелех Б.Л., Сысак Р.Д. Об одном классе контактных задач для тонких пластинок из армированных пластиков // Мех.полимеров.— 1972.—№ 2.

211. Петров В.В., Овчинников И.Г., Ярославский В.И. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала - Саратов, 1976. С. 133.

212. Пикуль В.В. Теория и расчет слоистых конструкций.— М.: Наука, 1985.

213. Понятовский В.В. Уравнения теории слоистых пластин // Исследования по теории упругости и пластичности.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1967.—Сб.7.

214. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. —М.: Наука, 1986.

215. Пошивалов В.П. Выпучивание подкрепленных цилиндрических оболочек при ползучести по теории упрочнения // Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1987, № 1. С. 153-158.

216. Работнов Ю.Н. Приближенная техническая теория упругопласти-ческих оболочек // ПМММ, т.15, вып. 2, 1951г.

217. Работнов Ю.Н., Шестериков С.А. Устойчивость стержней и пластинок в условиях ползучести / / Прикладная математика и механика, 1957, т. 21, № 3. С. 406-412.

218. Работнов Ю.Н. Осесимметричные задачи ползучести цилиндрических оболочек //ПММ. 1964.Т.28, вып. 2. С.

219. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. - М.: Наука, 1965, 752 с.

220. Работнов Ю.Н. Неустановившаяся ползучесть оболочек. Труды 6-ой Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. М. Наука. 1966.

221. Работнов Ю.Н. О вариационном уравнении установившейся ползучести оболочек // Доклады АН СССР. 1966. Т. 1668. № 2. С.

222. Работнов Ю.Н. Механика деформированного твердого тела.—М.: Наука, 1979.

223. Реснянский А.Д,, Мержиевский Л.А. Применение метода подвижных сеток в задачах разрушения твердых тел. - В сб.: Динамика твердого деформируемого тела. (Динамика сплошной среды). Вып. 66, Новосибирск, 1984, С. 150-157.

224. Ржаницын P.P. Процессы деформирования конструкций из упруго вязких элементов. ДАН СССР, 1946г., т.52, № 1.

225. Ржаницын P.P. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во времени. Гостехиздат, М. 1949г. С.

226. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. - М.: Мир, 1972. - 418 с.

227. Розенблюм В.И. Об условиях пластичности для тонких оболочек// ПММ, 1960, т. 24, №2.

228. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложение к газовой динамике. - М.: Наука, 1978. - 688 с.

229. Розенблюм В.И. Приближенная теория равновесия пластических оболочек // ПММ. 1954.Т.18, вып. 3. С. 289-302.

230. Розенблюм В.И. Приближенные уравнения ползучести тонкостенных оболочек // ПММ. 1963.Т.27, вып. 1.

231. Розенблюм В.И. Приближенный анализ неустановившейся ползучести пластин и оболочек // Сб."Исследования по упругости и пластичности", сб. 3, JT. Изд-во Ленингр. ун-та. 1964.

232. Сагомонян А. Я. Проникание. — М.: Изд-во МГУ. 1974г.

233. Садовский В.М., Аннин Б.Д., Баев Л.В., Леонов В.П., Меньшикова Г.В. Осесимметричное деформирование упругопла-стической плиты под действием взрывной нагрузки // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. /СО АН СССР, Ин-т гидродинамики, - 1983. - Вып. 62. - С. 114-125.

234. Садовский В.М. Численное решение осесимметричной контактной задачи динамики упруговязкопластической среды. - Красноярск, 1984. - С. 5-8, (Препринт / АН СССР, Сиб. отд-ние, ВЦ; № 1).

235. Садовский В.М. Динамическое деформирование круглой упруго-пластической плиты, лежащей на абсолютно жестком основании. - В кн.: Неклассические задачи механики деформируемого твердого тела (Динамика сплошной среды). Вып. 61, Новосибирск, 1983, С. 107-112.

236. Садовский В.М. Разрывные решения в задачах динамики упруго-пластических сред. — М.: Наука. Физматлит, 1997. — 208с.

237. Самарский А. А. Экономические разностные схемы для гиперболической системы уравнений со смешанными производными и их применение для уравнений теории упругости. // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 1965.- Т. 5, N 1. - С. 34 - 43.

238. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. - М.: Наука, 1971, 552 с.

239. Самарский A.A. Теория разностных схем.—М.: Мир,1977.

240. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. - М.: Наука, 1980. - 352 с.

241. Самарский А. А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978.

242. Санжаровский P.C. Устойчивость элементов строительных конструкций при ползучести. —Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1984, 216 С.

243. Солер А. Теории высшего порядка анализа конструкций, основанные на разложениях по полиномам Лежандра // Прикл. механика, Тр. Амер. об-ва инж.- механ., сер. Е.—1969.—№ 4.

244. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов.—М.: Мир, 1977.

245. Тейт А. Теория торможения длинных стержней после удара по мишени // Сб. пер. Механика. 1968, № 5. С.125-137.

246. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. / Под ред. К.И. Бабенко. — М.: Наука. 1979. С. 226.

247. Терегулов И.Г. К вариационным методам в нелинейной теории упругости. Доклады АН СССР. 1962. Т. 143, № 3.

248. Терегулов И.Г. К приближенным методам решения задач неустановившейся ползучести тонких оболочек //В сб.: Исследования по теории пластин и оболочек. Сб. 3, Казань, изд-во Казанского ун-та, 1965.

249. Терегулов И.Г. О предельном состоянии пластин и оболочек при ползучести // Тр. 6-ой Всес. конф. по теории оболочек и пластинок (Баку, 1966 ), М. "Наука", 1966. С. 729-733.

250. Терегулов И.Г. Изгиб и устойчивость тонких пластин и оболочек при ползучести - М.: Наука, 1969. С. 206.

251. Тимошенко С.П. Прикладная теория упругости.—М.: Гостехиз-дат,1930.

252. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки.—М.: Наука, 1966.

253. Толкачев В.М. Краевые эффекты в слоистых пластинах // Изв. РАН , Механика твердого тела. 1994, № 2.

254. Угодчиков А.Г., Баженов В.Г., Рузанов А.И. О численных методах и результатах решения нестационарных задач теории упругости и пластичности. // Численные методы механики сплошной среды : Сб. научн . тр. /СО АН СССР, ВЦ. - 1985. Е. 16, № 4. - С. 129 -149.

255. Уилкинс М.Д. Расчет упругопластических течений / Вычислительные методы в гидродинамике. - М.:Мир. - 1967. - С. 212-263.

256. Угодчиков А.Г., Коротких Ю.Г., Капустин С.А., Санков Е.И., Паутов А.Н. Численный анализ квазистатических упруго-пластических задач оболочек и пластин // Тр. IX Всес. конф. по теории оболочек и пластин. 1973. —Л.: Судостроение. 1975. С. 334340.

257. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. —М.: Наука, 1973.

258. Франк P.M., Лазарус Р.Б. Смешанный метод, использующий переменные Эйлера и Лагранжа / Вычислительные методы в гидродинамике. - М.:Мир. - 1967. - С. 55-75.

259. Фролов А.Н. Нелинейная деформация оболочек вращения // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1973, № 1. С. 157-162.

260. Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики. - В сб.: Выччислительные методы в гидродинамике. - М.: Мир, 1967. С.316-342.

261. Хилл Р. Общая теория единственности и устойчивости для упру-гопластических тел.—Сб. пер. "Механика". 1958, № 6 (52). С. 81-96.

262. Хофф Н. Обзор теорий выпучивания при ползучести // В сб. переводов "Механика", 1961, № 1. С. 63-85.

263. Чебан В.Г., Навал И.К., Сабодаш П.Ф., Чередниченко P.A.

Численные методы решения задач динамической теории упругости. - Кишинев: Штиинца, 1976. - 228 с.

264. Черноусько Ф.П., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. — М.: Наука,1973.

265. Численное решение многомерных задач газовой динамики. Под редакцией С.К. Годунова. - С.: Наука, 1976, 400 с.

266. Шенг Дж. Реакция тонкой цилиндрической оболочки на действие нестационарной поверхностной нагрузки // Ракетная техника и космонавтика. 1965. Т. 3, № 4.С. 160-170.

267. Шестериков С.А. Об одном вариационном принципе в теории ползучести. // Изв. АН СССР, ОТН, 1957, № 2.

268. Шестериков С.А. О критерии устойчивости при ползучести. // Прикладная математика и механика, Т.23, В.6, 1959, № 3. С. 1101— 1106.

269. Шестериков С.А. Выпучивание при ползучести // ПМММ, 1961,№4. С. 754-755.

270. Шестериков С.А. Устойчивость прямоугольных пластинок при ползучести // ПМТФ, № 3, 1961. С. 93-100.

271. Шестериков С.А. Устойчивость пластинок при ползучести по теории течения. // ПМТФ, № 5, 1961. С. 100-108.

272. Шестериков С.А. Выпучивание при ползучести с учетом мгновенных пластических деформаций // ПМТФ, 1963, № 2. С. 124-129.

273. Шестериков С.А. Приближенный метод расчета на выпучивание при ползучести // ПМТФ, 1963, № 5. С. 151-153.

274. Шестериков С.А., Кашелкин В.В., Мякотин Е.А., Николаев В.И. Экспериментальное изучение процесса сплющивания цилиндрических оболочек в условиях ползучести // Деформирование и разрушение твердых тел : Сб. науч. тр. / М, МГУ. - № 23, 1973. С. 15-19.

275. Шестериков С.А., Кашелкин В.В., Сергеев М.В. Устойчивость пологих арок. // Деформирование и разрушение твердых тел : Сб. науч. тр. / М, МГУ. - 1977. С. 52-64.

276. Шестериков С.А., Локощенко A.M. Ползучесть и длительная прочность металлов. - В кн.: Итоги науки и техники. Сер. Механика деформируемого твердого тела, Т. 13. - М.: ВИНИТИ, 1980, С. 3-104.

277. Шульц У.Д. Двумерные конечно-разностные гидродинамические уравнения в переменных Лагранжа / Вычислительные методы в гидродинамике. - М.:Мир. - 1967. - С. 9-54.

278. Щербаков В. Т. Влияние высших гармоник в выражении начального прогиба на устойчивость сжатой цилиндрической оболочки.—В кн. Динамика и прочность конструкций. Сб. № 1. Труды НЭТИ. Новосибирск. 1973.

279. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики - Новосибирск : Наука, 1967.

280. Argyris J. H. Elasto-plastic matrix displacement analysis of three-dimensional continua //J. Royal Aeron.Soc. 1965. № 9. P.633-636.

281. Arnold S.M., Robinson D.N., Salleeb A.F. Creep buckling of clin-drical shell under variable loading //J. Eng. Mech. - 1989 - 115,№ 5-P. 1054-1074.

282. Batoz J.L., Dhatt G. Incremental displacement algorithm for nonlinear problems // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1981. V. 13. P. 55-62.

283. Bushnell D. Bifurcation buckling of shells of revolution including large deflections, plasticity and creep //Int.J. Solids and Struct., 10,(1974), No. 11.P. 1286-1305.

284. Crisfield M.A. On an approximateyield criterion for thin shells. TRRL Report 658, Crowthorne, England. 1974.

285. Crisfield M.A. Ivanov's yield criterion for thin plates ahd shells using finit elements. TRRL Report LR 919. Crowthorne, England. 1979.

286. Crisfield M.A. Finite Element Analysis for Combined Material and Geometric Nonlinearities// Proc. Eur.- U.S. Workshop.Bochum, 1980, Berlin e.a. 1981. P 325 - 338.

287. Crisfield M.A. Incremental/iterative solution procedures for nonlinear structural analysis. Int. Conf. Num. Meth. for nonlinear problems. Swansea. Sept. 1980.

288. Crisfield M.A. A fast incremental/iterative solution procedure that handles "scapthrough" // Comput. and Struct. 1981. V. 13, № 1. P. 55-62.

289. Davie J., Elsharkawi K., Taylor Т.Е. Plastic collapse pressure for conical ends of cylindrical pressure vessels and their relationship to design rules in two British Standard specifications // Int. J. Pres. Ves. & Piping, v. 6. № 2, 1978. PP. 131-145.

290. De donato O. Iterative solution of the incremental problem elastic-plastic structures with associated flow lows // Int. J. Solids Struct. 1969. V. 5, № 1. P. 81-95.

291. Diamant E.S. Axisymmetric Creep in Cylindrical Shells // AIAA Journal, v. 5, № 10, 1967. P. 172-180; русск. пер.: Ракетная техника и космонавтика, 1967, № 10. С. 172.

292. Gerard G. Note on Creep Buckling of Columns // J.Aeron. Sci. 1952. V. 19, № 10. P. 714.

293. Gerard G. A Creep Buckling Hipothesis // J.Aeron. Sci. 1956. V. 23, № 9. P. 879-882, 889.

294. Gerard G., Gilbert Arthur C. A critical Strain approach to Creep Buckling of Plates and Shells// J.Aeron. Sci. 1958. V. 25, № 7. P. 429434, 458.

295. Grigoliuk E.I., Lipovtsev Yu.V. On the creep buckling of shells, //Int. J. Solids к Structures, 1969. Vol.5, No. 2. Pp. 155 -173.

296. Hennart J.P. A General Family of Nodal Shemes // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1986. V. 7, № 1.

297. Хилл P. Uniqueness criteria and extremum principles in self-adjoint problems of continuum mechanics //J. Mech. Phys. Solids. 1962. V. 10, № 3. P. 185-194.

298. Hoff N.J. Approximate analysis of structures in the presence of moderately large creep deformations // Qurt. Appl.Math. 1954. V.12, № 1.

299. Hoff N.J. Buckling and Stability // Journ. of Royal Aeron. Soc., 1954.V. 58, № 517. P. 3-52.

300. Hoff N.J. Buckling at high Temperature// Journal of the Royal Aeronautical Sosiety, 1957. V. 61, № 563. P. 756-774. Перевод. Хофф H. Выпучивание при высокой температуре. //Механика. Сб. переводов. 1958, № 5. С. 65-100.

301. Hoff N.J. Axially symmetric creep buckling of a circular cylindrical shells in axial compression //J. Appl. Mech. 1959. V. 35, № 3. P. 530538.

302. Hoff N.J. A critical Strain approach to Creep Buckling of Plates and Shells// J.Aero/Space Sci. 1959. V. 26, № 2. P. 117-118.

303. Hoff N.J., Jasman W.E., Nachbar W. A Study of Creep Collaps of a Long Circular Cylindrical Shell// J.Aero/Space Sci. 1959. V. 26, № 10. P.

304. Hoff N.J. Reversed creep: a remark to the creep buckling theory of Rabotnov and Shesterikov // Journ. Mech. Phys. Solids.1964. V.12, № 2. P. 113-123.

305. Hoff N.J. The effect of geometric nonlinearities on the creep buckling time of axially compressed circular cylindrical shells //J. Appl. Mech. 1975. V. 42, № 1. P. 225-226.

306. Honikman T.C., Hoff N.J. The effect of variations in the creep exponent on the buckling of circular cylindrical shells //Int.J. Solids and Struct. 1971. V.7, №. 12.P. 1685-1695.

307. Houbolt J.C. A reccurence matrix solution for the dynamic response of elastic aircraft // J. Aeronautical Sci. 1950. V.17, № 9. P. 509-515.

308. Kao R. A comparison of Newton-Raphson and incremental procedures for geometrically nonlinear analysis // Сотр. and Struct. 1974. V. 4, № 5. P. 1091-1097.

309. Kempner J.E. Creep bending and buckling of nonlinearly viscoelastic columns // NASA, Rept. 3137, Jan.,1957.

310. Lustman L.R., Rose M.E. A Three Dimensional Calculation of Elastic Equilibrium for Composite Materials // Int. J. for Numerical Methods in Engng. —1988.—Vol.26.

311. Marcal P.V. A comparative study of numerical methods of elastic-plastic analysis // J. AIAA. 1968. V. 6. № 1. P. 157. (Русю пер.: Марколл. Сравнительное исследование численных методов упругопластического расчета //Ракетная техника и космонавтика. 1968. т.6, № 1. С.188-190).

312. Mlyazaki Noriyuki and all. Creep buckling under varying loads. // Trans. Soc. Mech.Eng. A. - 1989. - 55,№ 518. - P. 2103-2107.

313. Murakami S., Tanaka E. On the creep buckling of circular cylindrical shells // Intern. J. Mech. Sci, v. 18, № 4, 1976. P. 185-194.

314. Obrecht H. Greep buckling and postbuckling of circular cylindrical shells under axial compression // Int. J. of Solids and Structures— 1977.—Vol.13,№ 4. P. 337-355.

315. Patel S.A., Kempner J. Correlation of creep-buckling tests with theory, PIBAL Peport № 285, 1955.

316. Phillips T.N., Rose M.E. A Finite Difference Sheme for the Equilibrium Equations of Elastic Bodies // SIAM J. Sci. Stat. Comput.— 1986.—Vol.7, № 1.

317. Pittner E.V., Hoff N.J. Creep buckling of simply supported moderately thin circular shells // Acta Mechanica, 1969. V.8, № 1-2/ P. 116-125.

318. Rabotnov Yu.N., Shesterikov S.A. Creep stability of columns and plates // Journ. Mech. and Phys. Solids, v. 6, 1957, № 1. P. 27-34.

319. Rabotnov Yu.N. The theory of creep and its applications, сб. "Plasticity", Pergamon Press, 1960.

320. Reissner E. On the Theory of Bending of Elastic Plates // J. of Math, and Physics—1944.—Vol.23, № 4.

321. Reissner E. The Effect of Transverse Shear Deformation on the Bending of Elastic Plates // J. of Appl. Mechanics—1945.—Vol.12, № 2.

322. Reissner E. A Axisymmetrical Deformation of Thin Shell of Revolution // Proc. of Symp. in Appl. Math. Amer. Math. Soc. 1956, v. 3. P. 27-53.

323. Reissner E. On Transverse Bending of Plates, Including The Effect of Transverse Shear Deformation// Int. J. of Solids and Structures— 1975 —Vol.11, № 5.

324. Robinson M.A. A comparison of Yield surfaces for thin shells // Int. J. Mech. Sci.—1971. № 13. PP. 345-354.

325. Sanders I.L., McComb H.G., Shleche F.R. A Variational Theorem for Creep with Applications to Plates and Columns. // NASA, Rept. 1342, 1958 ( в сб. пер.: "Механика", 1965, №6).

326. Sanders J.L. Nonlinear theories for thin shells // Q. Appl. Math. 1963. Vol. 21. № 1. P. 21-36.

327. Samuelson L.A. Experimental investigation of creep buckling of cylindrical shells under axial compression and bending, Trans. ASME, v.90, Ser. B.November, 1968. P. 589-595.

328. Samuelson L.A. Creep buckling of a circular cylindrical shells // AIAA Journal, v. 7, No. 1, 1969. P. 42-54; русск.пер: Ракетная техника и космонавтика, 1969, № 1. С. 48-56.

329. Samuelson L.A. Creep buckling of a cylindrical shell under nonuniform external loa.ds // Internat. J. Solids and Structures, v. 6, No. 1, 1970. P. 91-116.

330. Sato Takuya and all. Creep buckling benchmark analysis of externally pressurised long cylinders // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. - 1989. -55,№ 511. P. 646-649.

331. Serpico J.C. A Study of Creep Collaps of a Long Circular Cylindrical Shell Under Various Distributed Forse Systtems. // J.Aero/Space Sci. 1962. V. 29. № 11. P. 1316-1323.

332. Shanley F.K. Inelastic column theory // J.Aero/Space Sci. 1947. V. 14, № 5. P.

333. Shanley F.K. In: Weight-Strength analysis of aircraft structurus, New-York: McGraw-Hill, 1952, part 3. P. 343-357.

334. Shindo A., Segucki Y., Shirai Т., Denpo K. A numerical approach to finite elastic-plastic deflections of circular plates // Bulletin of the JSME. 1972. V. 15, №80. P. 158-170.

335. Stephens W.B. Computer program for static and dynamic axisym-metric nonlinear response of symmetrically loaded orthotropic shell of revolution // NASA TN D-6158. 1970.

336. Stricklin J.A., Haisler W.E., MacDougall H.R., Stebbins F.J.

Nonlinear analysis of shells of revolution by the matrix displacement methods // J. AIAA. 1968. V. 6, № 12. P. 3206-2312. (pyc.nep: Ракетная техника и космонавтика, 1968, № 12, С. 82-89).

337. Stricklin J.A., Haisler W.E, Reismen W.A. Geometrically njnlin-ear analysis by the direct stiffness method //J. Stuct. Div.: Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1971. V. 97, № 9. P. 2299-2314.

338. Stricklin J.A., Haisler W.E. Computation and solution procedures for nonlinear analysis by combined finite element-finite difference methods // Computer and Structures. 1972. V. 2, № 5/6. P. 955-974.

339. Stricklin J.A., Haisler W.E, Reismen W.A. Evaluation of solution procedures for material and/or geometrically njnlinear structural analysis // J. AIAA. 1973. V. 11, № 3. P. 292-299. (pyc.nep: Ракетная техника и космонавтика, 1973, № 3, С. 46-57).

340. Takezono S., Murase S. Numerical analysis of dynamic response of axisymmetrical shells to time-dependent loads // Bulletin of JSME. 1975. V. 18, № 119. P. 509-515.

341. Tanaka M. Large deflection analysis of elastic-plastic circular plates with combined isotropic and kinematic hardening // Ing. Arch. 1972. V. 41. P. 342-356.

342. Wah Th., Gregory R.K. Creep Collaps of a Long Cylindrical Shells Under High Temperature and External Pressure. // J.Aero/Space Sci. 1961. V. 28. № 3. P. 177-188, 208.

343. Waszczyszyn Z. Numerical problems of nonlinear stability analysis of elastic structures // Comput. and Struct. 1983. V. 17, № 1. P. 13-24.

344. Wilson L.B. The plastic deformation of circular cylindrical shell supported by identical equally spaced cirular ring frames under uniform external pressure // Trans. Royal inst. of naval architects. 1968. V.110, № 1.

345. Wang C.Y. Buckling and postbuckling of a long-hanging elastic column due to a bottom load // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1983. V. 50, № 2.

346. Zienkiewich O.C., Valliapan S., King J.P. Elasto-plastic solutions of engineering problems: "Initial stress" finite element approach // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1969. V.l, №1. P. 75-100.

347. Zienkiewich O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method. London: McGraw-Hill 4-th ed. 1991.