Разработка алгоритмов и программ символьно-численного решения уравнений классической механики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Богачев, Василий Евгеньевич

• Богачев, Василий Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Богачев, Василий Евгеньевич

Оглавление

Введение

1. Символьно-численные вычисления нормальной формы и приближенных интегралов движения для гамильтоновых систем с произвольным числом степеней свободы

Введение

1.1. Метод Биркгофа-Густавсона

1.2. Нормализация одномерного ангармонического осциллятора с четвертой степенью нелинейности

1.3. Описание алгоритма вычисления нормальной формы и интегралов движения гамильтоновых систем с произвольным числом степеней свободы

1.4. Результаты символьно-численных вычислений нормальных форм и интегралов движения для некоторых гамильтоновых систем

2. Применение метода нормальных форм Биркгофа-Густавсона к аналитическому построению сечении Пуанкаре и квантованию гамильтоновых систем с двумя степенями свободы 54 Введение

2.1. Алгоритм применения нормальной формы Биркгофа-Густавсона к построению сечений Пуанкаре для систем с двумя степенями свободы

2.2. Восстановление структуры фазового пространства при помощи дополнительного интеграла движения, вычисленного по программе BIGMA

2.3. Применение метода Биркгофа-Густавсона к квантованию двумерных гамильтоновых систем

3. Алгоритмы и программы построения функции Грина для краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений II порядка 76 Введение

3.1. Построение функции Грина для дифференциальных уравнений второго порядка

3.2. Алгоритм построения функции Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

3.3. Примеры работы программы GRES А для построения функции Грина обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

3.4. Построение функции Грина для дифференциальных уравнений второго порядка в виде обобщенных рядов

3.5. Алгоритм построения функции Грина для уравнений

второго порядка в виде обобщенных рядов

3.6. Примеры работы программы GRESSA построения функции Грина для уравнений второго порядка в виде обобщенных рядов

4. Алгоритмы и программы построения функции Грина для краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений III порядка

Введение

4.1. Построение функции Грина для уравнений третьего порядка при известной фундаментальной системе решений

4.2. Алгоритм построения функции Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка в явном аналитическом виде

4.3. Примеры работы программы GRETA символьно-численного построения функции Грина

4.4. Построение функции Грина для уравнений третьего порядка в виде степенных рядов

4.5. Алгоритм построения функции Грина для уравнений третьего порядка в виде степенных рядов

4.6. Примеры работы программы GRETSA построения функции Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка в виде степенных рядов 124 Заключение 131 Список литературы 133 Приложение А 145 Приложение Б 153 Приложение В 154 Приложение Г 158 Приложение Д 164 Приложение Е

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка алгоритмов и программ символьно-численного решения уравнений классической механики»

Введение

Актуальность работы. Большинство задач классической механики в форме обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений и их систем не могут быть решены в явном аналитическом виде [1-8], поэтому разработаны и разрабатываются различные приближенные методы [9-14] и прямые численные расчеты [15-21].

Перспективным направлением математического моделирования является разработка гибридных или комбинированных методов, в которых вначале производятся аналитические вычисления с последующими, при необходимости, численными расчетами с использованием современных известных математических систем компьютерной алгебры, например, Maple, Reduce, Mathematica и других [22-26].

В частности, нормализация и построение формальных интегралов движения для даже одномерных гамильтоновых систем требует крайне трудоемких вычислений, которые практически невыполнимы без использования ЭВМ. В диссертационной работе разработаны алгоритмы и составлены программы в системе Maple для символьно-численных вычислений нормальной формы Биркгофа-Густавсона и приближенных интегралов движения для автономных гамильтоновых систем с произвольным конечным числом степеней свободы [27-29].

Для двумерных консервативных гамильтоновых систем на основе метода Биркгофа-Густавсона разработан алгоритм и составлена программа в среде Maple, с помощью которой можно восстановить структуру фазового пространства (сечения Пуанкаре) для энергии, не превышающей ее критического значения до перехода системы в хаотический режим движения [4, 30-33].

Как известно [33, 34-38], знание функции Грина, если она существует, позволяет, в частности, вычислить решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с заданными краевыми условиями, а также найти собственные значения и функции краевой задачи.

Хотя в современной науке и технике чаще всего используются линейные дифференциальные уравнения второго и четвертого порядков [39, 40], тем не менее очень важно знать решения линейных дифференциальных уравнений третьего порядка [41], которые, например, позволяют найти решения нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Одно из таких нелинейных уравнений было независимо предложено в работах Милна в 1930 году [42] и Пинии в 1950 году [43], которое нашло свое применение в различных разделах математики и физики [42-47]. На самом деле, это нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка и его общее решение впервые было рассмотрено в работе В.П. Ермакова в 1880 году [48].

Для построения функции Грина линейного обыкновенного дифференциального уравнения требуется знать необходимое количество линейно независимых решений заданного уравнения. Нахождение таких решений, которые чаще всего не выражаются через элементарные функции, представляет сложную вычислительную задачу.

Поэтому в диссертационной работе в направлении, сочетающим предварительные символьные вычисления с последующим численным расчетом, были разработаны способы, алгоритмы и составлены программы символьно-численного построения функции Грина для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков.

Следовательно, разработка новых методов и подходов при использовании компьютерных систем символьно-численных вычислений, например Maple, к нахождению решений дифференциальных уравнений и их систем является актуальной проблемой.

Целыо диссертационного исследования является разработка способов, алгоритмов и программ для символьно-численного вычисления нормальной формы и приближенных интегралов движения конкретных консервативных гамильтоновых систем с произвольным числом степеней свободы и их применением к построению сечений Пуанкаре и квантованию двумерных гамильтоновых систем, а также символьно-численного

построения функции Грина для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков.

Для достижения этой цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1) на основе метода Биркгофа-Густавсона разработать алгоритм и составить программную реализацию для символьно-численного вычисления нормальной формы и приближенных интегралов движения для гамильтоновых систем с произвольным конечным числом степеней свободы;

2) применение нормальной формы Биркгофа-Густавсона и приближенного интеграла движения для построения в аналитическом виде сечений Пуанкаре, а также для квантования классических гамильтоновых систем с двумя степенями свободы;

3) разработка алгоритмов и составление программ для символьно-численного построения функции Грина для краевых задач второго порядка в случаях а) система Мар1е допускает без наличия правильных особых точек построение двух линейно-независимых решений заданной краевой задачи в явном аналитическом виде и б) при наличии регулярных особых точек, когда линейно-независимые решения вычисляются в виде обобщенных степенных рядов;

4) разработка алгоритмов и составление программ для символьно-численного построения функции Грина для краевых задач третьего порядка в случаях а) система Мар1е допускает без наличия особых точек построение трех линейно-независимых решений заданной краевой задачи в явном аналитическом виде и б) когда линейно-независимые решения вычисляются в виде степенных рядов;

5) применение составленных программ в пунктах 3) и 4) к решению ряда краевых задач и сравнению полученных результатов с результатами, для которых имеется точное решение.

Методы исследования. В работе использованы методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, методы математического

моделирования, методы вычислительной математики, пакеты компьютерных прикладных программ.

Научную новизну работы составляет следующее: 1) при помощи программ, составленных на основе предложенных алгоритмов, исследованы гамильтоновы системы с двумя, тремя и четырьмя степенями свободы для которых получены нормальная форма и все имеющиеся приближенные интегралы движения; 2) для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы получены в аналитическом виде выражения для сечений Пуанкаре и показано, что построенные таким образом сечения Пуанкаре хорошо воспроизводят при произвольных значениях полной энергии для интегрируемых систем, а для неинтегрируемых только при энергиях, не превышающих энергию перехода от регулярного движения к хаотическому; 3) для краевых задач линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков разработаны алгоритмы и составлены программы символьно-численного вычисления соответствующих функций Грина, а также выполнено исследование некоторых краевых задач; 4) для краевой задачи дифференциальных уравнений второго порядка при наличии правильных особых точек предложен метод построения функции Грина.

Практическая значимость работы определяется тем, что разработанные алгоритмы и их программные реализации могут быть использованы для нахождения приближенных решений в аналитическом виде с возможностью последующих численных расчетов и их анализа в различных областях науки, где применяются обыкновенные линейные и нелинейные дифференциальные уравнения и их системы.

Результаты данного исследования могут быть также внедрены в специальные учебные курсы по математическим методам и математическому моделированию нелинейных явлений.

Значимость для науки результатов исследований заключается в применении развитых методов приближенного решения нелинейных многомерных гамильтоновых систем, а также обыкновенных линейных

дифференциальных уравнений второго и третьего порядков с помощью функции Грина и анализе полученных результатов.

Область исследования. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» по следующим областям исследований:

п. 1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений;

п. 2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей;

п. 3. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.

Положения выносимые на защиту

1) алгоритм и программа символьно-численного вычисления нормальной формы Биркгофа-Густавсона и интегралов движения для консервативной гамильтоновой системы с произвольным числом степеней свободы;

2) алгоритм и программа символьно-численных расчетов сечений Пуанкаре для консервативных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы;

3) алгоритмы и программы символьно-численного построения функции Грина для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков;

4) метод символьно-численного построения функции Грина краевой задачи для дифференциальных уравнений второго порядка, при наличии правильных особых точек, в виде обобщенных степенных рядов.

Достоверность выводов и рекомендаций обоснована корректным использованием методов теории дифференциальных уравнений и теории классической механики, методов вычислительной математики и пакетов

компьютерных прикладных программ, а также контролируемой точностью численных расчетов при помощи разработанных программ.

Личный вклад соискателя. Все изложенные в диссертации результаты исследований получены либо соискателем лично, либо при его непосредственном участии.

Апробация результатов диссертационного исследования. Основные положения и результаты диссертационных исследований докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

международной молодежной научной конференции «XXXV Гагаринские чтения», Москва, 7-11 апреля, 2009 г.; международной молодежной научной конференции «XXXVI Гагаринские чтения», Москва, 6-10 апреля, 2010 г.; на VIII международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные исследования в системе образования», Тамбов, 26 февраля,

2010 г.; шестой региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов, Старый Оскол, 20-21 апреля, 2010 г.; XII Международной научно-практической конференции «Наука и современность - 2011», Новосибирск, 23 августа, 2011г.; третьей международной конференции «Quantum Electrodynamics and Statistical Physics», 29 августа-2 сентября,

2011 г., Харьков, Украина; международной конференции по математическому моделированию МКММ_2011, Херсон, 12-17 сентября, 2011 г.; международной конференции «Прикладная геометрия, графические технологии и дизайн», Украина, г. Полтава, 17-20 апреля 2012 г.; 15-м семинаре по компьютерной алгебре 23-24 мая, 2012 г., Дубна, Московская область; международной конференции по математическому моделированию МКММ-2012, Херсон, 17-22 сентября, 2012 г.; третьей международной конференции «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения», 17-22 сентября 2012 года, Брест; всероссийской молодежной конференции «Теория и практика системного анализа», Белгород, 1-3 октября, 2012 г.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 15 опубликованных научных работах, в том числе в двух статьях в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, и получено 2 свидетельства об государственной регистрации программ для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и 6 приложений. Работа изложена на 184 страницах машинописного текста, включая 53 рисунка и список литературных источников из 126 наименований.

Основное содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность диссертационного исследования, формулируется его основная цель и решаемые задачи, положения выносимые на защиту, дается обзор содержания глав.

В главе 1 используется метод Биркгофа-Густавсона приведения к нормальной форме, как резонансных, так и нерезонансных консервативных гамильтоновых систем с произвольным числом степеней свободы и вычислению имеющихся интегралов движения в этой системе.

В разделе 1.1 изложена процедура приведения гамильтоновой системы к классической нормальной форме Биркгофа-Густавсона.

В разделе 1.2 приведен пример ручной нормализации одномерного ангармонического осциллятора с четвертой степенью нелинейности.

В разделе 1.3 представлен алгоритм нормализации гамильтоновой системы с произвольным числом степеней свободы и нахождения интегралов движения, на основе которого разработана программа символьно-численных вычислений этих величин.

В разделе 1.4 представлены результаты символьно-численных вычислений нормальных форм и интегралов движения для некоторых гамильтоновых систем, которые проведены с использованием разработанной в системе Мар1е программы ВЮМА.

В главе 2 предложен способ построения сечений Пуанкаре в аналитическом виде и представлен их вид для некоторых конкретных гамильтоновых систем.

В разделе 2.1 дано описание алгоритма применения нормальной формы и приближенных интегралов движения символьно-численного построения сечений Пуанкаре для систем с двумя степенями свободы

В разделе 2.2 на основе разработанного алгоритма и составленной символьно-численной программы 8РОМА вычислены сечения Пуанкаре для некоторых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы и проведено сравнение с сечениями Пуанкаре, полученными прямыми численными расчетами.

В разделе 2.3 проведена процедура квантования для конкретной С4у инвариантной гамильтоновой системы согласно правилу Вейля, получена приближенная формула для квантового спектра гамильтониана в виде, а также показано, что гамильтонову систему можно проквантовать ее сведением к уравнению Матье.

В главе 3 приведены алгоритмы символьно-численного вычисления функции Грина для дифференциальных уравнений второго порядка в различных подходах: в случае, когда система Мар1е позволяет найти в явном виде два линейно независимых решения, и в виде обобщенных степенных рядов.

В разделе 3.1 приведены теоретические формулы построения функции Грина для краевых задач с дифференциальными уравнениями второго порядка, для которых система Мар1е позволяет найти в явном виде два линейно независимых решения.

В разделе 3.2 приведен алгоритм программы ОБ1Е8А построения функции Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в явном аналитическом виде.

В разделе 3.3 приведены расчеты функции Грина для конкретных краевых задач с помощью разработанной программы вЮ^А. Здесь же

найдены решения неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка, а также в качестве приложения решена задача на собственные значения.

В разделе 3.4 описана теория символьно-численного построения функции Грина в виде обобщенных степенных рядов дифференциального уравнения второго порядка, допускающего особые регулярные точки.

В разделе 3.5 приведен алгоритм программы GRESSA построения функции Грина для уравнений второго порядка в виде обобщенных рядов

В разделе 3.6 представлены расчеты функции Грина для конкретных краевых задач второго порядка с помощью разработанной программы GRESSA, а также проведено сравнение полученной приближенной функции Грина с точной и показана величина погрешности вычислений.

В главе 4 приведены алгоритмы вычисления функции Грина для дифференциальных уравнений третьего порядка в двух случаях: 1) если можно найти в явном виде три линейно независимых решения, 2) если эти решения находятся приближенно в виде степенных рядов до произвольной заданной степени п. Для этих случаев составлены, соответственно, программы GRETA и GRETSA символьно-численного построения функции Грина для заданной краевой задачи.

В разделе 4.1 разработан алгоритм символьно-численного построения функции Грина в случае, когда в системе Maple имеется возможность получить в явном виде три линейно независимых решения заданного дифференциального уравнения третьего порядка с граничными условиями.

В разделе 4.2 дано описание алгоритма программы GRETA построения функции Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка в явном аналитическом виде.

В разделе 4.3 приведены расчеты функции Грина для конкретных краевых задач с помощью разработанной программы GRETA. Здесь же найдены решения неоднородных дифференциальных уравнений третьего порядка.

В разделе 4.4 разработан алгоритм для символьно-численного построения функции Грина в виде степенных рядов для дифференциального уравнения третьего порядка с заданными граничными условиями.

В разделе 4.5 дано описание алгоритма программы GRETSA построения функции Грина для уравнений третьего порядка в виде степенных рядов.

В разделе 4.6 приведены расчеты функции Грина для конкретных краевых задач третьего порядка с помощью разработанной программы GRETSA, а также проведено сравнение полученной приближенной функции Грина с точной, если она известна, и показана точность их согласия.

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

В шести приложениях приведены тексты разработанных программ. BIGMA - программа символьно-численного построения нормальной формы и интегралов движения гамильтоновой системы с произвольным числом степеней свободы,

SPOMA - программа символьно-численного построения сечений Пуанкаре для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы,

GRESA - программа символьно-численного построения функции Грина для линейного дифференциального уравнения II порядка, для которого Maple позволяет найти два линейно независимых решения в аналитическом виде,

GRESSA - программа символьно-численного построения функции Грина для краевых задач дифференциального уравнения II порядка с наличием регулярных особых точек в виде обобщенных степенных рядов,

GRETA - программа символьно-численного построения функции Грина для линейного дифференциального уравнения III порядка, для которого Maple позволяет найти три линейно независимых решения в аналитическом виде,

GRETSA - программа символьно-численного построения функции Грина для краевых задач линейных дифференциальных уравнений III порядка в виде степенных рядов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Богачев, Василий Евгеньевич

Основные результаты работы

1) Представлен разработанный алгоритм получения нормальной формы и имеющихся приближенных интегралов движения методом Биркгофа-Густавсона для автономной гамильтоновой системы с п степенями свободы, на основе которого составлена программа BIGMA.

2) С ее помощью проведены символьные вычисления нормальной формы и имеющихся приближенных интегралов движения для некоторых гамильтоновых систем с двумя, тремя и четырьмя степенями свободы.

3) Выполнены расчеты сечений Пуанкаре для двумерных гамильтоновых систем и проведено сравнение с сечениями Пуанкаре, полученными прямыми непосредственными расчетами. Показано хорошее согласие результатов расчета обоими методами.

4) Выполнена процедура квантования согласно правилу Вейля и с помощью уравнения Матье конкретной гамильтоновой системы.

5) Разработан алгоритм и составлена программа GRESA в системе Maple символьно-численного построения функции Грина краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка, для которых система Maple позволяет найти в явном виде два линейно независимых решения, и проведены расчеты функции Грина для конкретных краевых задач с помощью разработанной программы.

6) Разработан алгоритм и составлена программа GRESSA в системе Maple символьно-численного построения функции Грина краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка в виде обобщенных степенных рядов и проведены расчеты функции Грина для конкретных краевых задач с помощью разработанной программы.

7) Разработан алгоритм и составлена программа GRETA в системе Maple символьно-численного построения функции Грина краевых задач для дифференциальных уравнений третьего порядка, для которых система Maple позволяет найти в явном виде три линейно независимых решения, и проведены расчеты функции Грина для конкретных краевых задач с помощью разработанной программы.

8) Разработан алгоритм и составлена программа ОКЕТБА в системе Мар1е символьно-численного построения функции Грина краевых задач для линейных дифференциальных уравнений третьего порядка, не имеющих особых точек, в виде степенных рядов, и проведены расчеты функции Грина для конкретных краевых задач с помощью разработанной программы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Богачев, Василий Евгеньевич, 2013 год

Литература

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. - М.: Наука, 1974. - 432с.

2. Трофимов В.В. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений / В.В. Трофимов, А.Е. Фоменко. - М.: Факториал, 1995. - 448 с.

3. Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли / A.M. Переломов. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. - 238с.

4. Симо К. Современные проблемы хаоса и нелинейности / К. Симо, С. Смейл, С. Шенсине и др. - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 304 с.

5. Гукенхеймер Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 560 с.

6. Борисов A.B. Современные методы теории интегрируемых систем / A.B. Борисов, И.С. Мамаев. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 296 с.

7. Гориэли А. Интегрируемость и сингулярность / А. Гориэли. - М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2006. - 316с.

8. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике / В.В. Козлов // УМН. - 1983. - 38:1(229) - С. 3-67.

9. Канторович, Л.В. Приближенные методы высшего анализа / Л.В. Канторович В.И. Крылов - Л.: Физматгиз, 1962. - 708с.

10. Боголюбов H.H. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. / H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. - М.: Наука, 1974. -504с.

11. Найфе А. Методы возмущений./ А. Найфе. - М.: Мир, 1976. - 456 с.

12. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем / Г.Е.О. Джакалья. - М.: Наука, 1979. - 320с.

13. Ульянов, В.В. Интегральные методы в квантовой механике / В.В. Ульянов - Харьков: Вища школа. Изд-во при Харьк. ун-те, - 1982. - 160с.

14. Найфэ А. Введение в методы возмущений / А. Найфэ - М.: Мир, 1984. -535с.

15. Березин И.С. Методы вычислений. / И.С. Березин, Н.П. Жидков. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит.-т.2., 1962. - 640с.

16. Калиткин, H.H. Численные методы / H.H. Калиткин. - М.:Наука, 1978. -512с.

17. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений. / Дж. Форсайт, М. Мальколм, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 277с.

18. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - М.: Наука, 1987. - 630с.

19. МарчукГ.И. Методы вычислительной математики / Г.И.Марчук. М.:Наука, 1977.-456 с.

20. Марчук Г.И Введение в проекционно-сеточные методы / Г.И. Марчук, В.И. Агошков. - М.: Наука, 1981. - 416 с.

21. Пузынин И.В. Обобщенный непрерывный аналог метода Ньютона для численного исследования некоторых нелинейных квантово-полевых моделей / И.В. Пузынин, И.В. Амирханов, Е.В. Земляная, В.Н. Первушин // ФЭЧАЯ. -1999. - Т. 30. - Вып. 1 - С. 210-265.

22. Дэвенпорт Дж. Компьютерная алгебра / Дж. Дэвенпорт, И. Сирэ, Э. Турнье - М.: Мир, 1991. - 352 с.

23. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями / А. Акритас -М : Мир, 1994-544с.

24. Дьяконов В. П. Maple 8 в математике, физике и образовании / В.П. Дьяконов - М.: СОЛОН-Пресс, 2003. - 656с.

25. Неагп A.C. REDUCE User's Manual / A.C. Hearn - Santa Monica, CA, USA, 2004-215p.

26. Есаян, А.Р. Управляющие структуры и структуры данных в Maple / А.Р. Есаян, В.Н. Чубариков, Н.М. Добровольский, Ю.М. Мартынюк - Тула: Изд-во Тул. Гос. пед. ун-та им. JI.H. Толстого, 2007. - 316с.

27. Биркгоф Дж. Динамические системы / Дж. Биркгоф - Москва-Ижевск.: РХД, 2002. - 406с.

28. Gustavson F.G. On construction formal integral of a Hamiltonian system near an equilibrium point. / F.G. Gustavson // Astronom. J. - 1966. - v.71. - no.8. -pp.670-686.

29. Мозер, Ю. Избранные труды. Т.З. Числа вращения, комплексный анализ и уравнения в частных производных / Ю. Мозер. - М.: Ин-т компьют. исслед. Ижевск: РХД, 2008 г. - 276 с.

30. Лихтенберг А. Регулярная и стохастическая динамика / А. Лихтенберг, М. Либерман. М.: Мир. 1984 г.- 528 с.

31. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике / М. Табор. -М.: УРСС, 2001.-320 с.

32. Gutzwiller М.С. Chaos in classical and quantum mechanics / M.C. Gutzwiller. -New York Inc.: Springer-Verlag, 1990. - 431 p.

33. Заславский Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах / Г.М. Заславский - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. -288 с.

34. Сансоне, Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Том 1 / Дж. Сансоне - М.: Изд-во иностранной литературы, 1953. - 346с.

35. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Том 2. / Дж. Сансоне. М.: ИЛ. 1954 г. -416 с.

36. Трикоми, Ф. Дифференциальные уравнения / Ф. Трикоми. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. - 352с.

37. Тихонов А.Н. Дифференциальные уравнения / А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. -М.: Наука, 1980. -232 с.

38. Смирнов В.И. Курс высшей математики в 5-ти т. / В.И. Смирнов. -М.: ГИТТЛ, 1953. - Т. 4. - 804 с.

39. Коллатц JI. Задачи на собственные значения / JI. Коллатц. - М.: Наука, 1968.-504 с.

40. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. -М.: Наука, 1965. - 704 с.

41. Соловьев, Е.А. Уравнение Милна и высшие порядки ВКБ приближения / Е.А.Соловьев // Письма в ЖЭТФ. - 1984 - Т.39, Вып. 2 - с.84-86.

42. Milne W. The numerical determination of characteristic numbers, Phys. Rev., v. 35, 1930. P. 863-867;

43. Pinney E. The nonlinear differential equation. Proc. Amer. Math. Soc., 1950. -P. 581

44. Lewis H.R. Motion of a time-dependent harmonic oscillator, and of a charged particle in a class of time-dependent, axially symmetric electromagnetic fields / H.R. Lewis //Phys. Rev. - 1968.-V. 172. - No. 5. - PP.1313-1315.

45. Korsch H.J Milne's differential equation and numerical solutions of the Shrodinger equation I. Bound-state energies for single- and double-minimum potentials / H.J. Korsch, H.Laurent // J. Phys. В.: At. Mol. Phys. - Vol. 14. -1981.-P.4213-4230

46. Korsch H.J. Milne's differential equation and numerical solutions of the Schrodinger equation II. Complex energy resonance states / H.J. Korsch,

H. Laurent, R. Mohlenkamp // J. Phys. B: At. Mol. Phys. - Vol. 15 - 1982. - P. 115.

47. Беркович JI.M. Некоторые замечания о дифференциальных уравнениях вида y"+a(x)y=f(x)ya. / JIM. Беркович, Н.Х. Розов // Дифференциальные уравнения. - 1972. - Т. 8, №11 - с. 2076-2079.

48. Ермаков В.П. Дифференциальные уравнения второго порядка. Условия интегрируемости в конечном виде. / В.П. Ермаков // Универ. Изв. - 1880. -№9.-с. 1-25.

49. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах / А. Пуанкаре, М.: Наука. Т.

I.1971 г.-772 с.

50. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах / А. Пуанкаре, М.: Наука. Т.

2. 1972 г.-358 с.

51. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах / А. Пуанкаре, М.: Наука. Т.

3. 1974 г.-772 с.

52. Малкин И.Г. Некоторые задачи нелинейных колебаний / И.Г. Малкин -М.: Гос. изд. тех.-теор. лит., 1956. - 492 с.

53. Андронов А. А. Теория колебаний / А.А.Андронов, А. А. Витт, С.Э. Хайкин. -М.: Физ.-мат. лит., 1959. - 916 с.

54. Dirac Р.А.М. Generalized hamiltonian dynamics / P.A.M. Dirac // Proceed. Roy. Soc. - 1958. - vol. A 246, p. 326-332

55. Мозер Ю. Лекции о Гамильтоновых системах / Ю. Мозер. М.: Мир. 1973 г. - 169 с.

56. Henon М. The applicability of the third integral of motion: some numerical experiments / M. Henon and K. Heiles // Astron. Jour. - 1964. - Vol. 69. - N 1. -P. 73 - 79.

57. Hori G. Theory of general perturbation with unspecified canonical variable / G. Hori // J. Japan Astron. Soc. 1966, v. 18, p. 287

58. Deprit A. Canonical transformations depending on a small parameter / A. Deprit. // Celest. Mech. v. 1, n. 1, p. 12-30

59. Маркеев А.П. Точки либраций в небесной механике и космодинамике / А.П. Маркеев. - М.: Наука, 1978. - 312 с.

60. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях / А.Д. Брюно. - М.: Наука, 1998. - 288 с.

61. Гребеников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. / М.: Наука, 1986.-256 с.

62. Васильев Н.Н. Компьютерная алгебра в физических и математических приложениях / Н.Н. Васильев, В.Ф. Еднерал // Программирование - 1994. -№1, с. 70-82.

63. Basios, V. GITA: a REDUCE program for the normalization of polynomial Hamiltonians. / V. Basios, N. A. Chekanov, B. L. Markovski, V. A. Rostovtsev, S.I. Vinitsky // Comp. Phys. Commun. - 1995. - v. 90. - p. 355 - 368.

64. Прокопеня A.H. Нормализация гамильтониана в ограниченной задаче многих тел методами компьютерной алгебры / А.Н. Прокопеня // Программирование. -2012. -N 3. - С. 65-78.

65. Брюно А.Д. О вычислении нормальной формы / А.Д. Брюно, А.Г. Петров // Докл. РАН - 2006 - Т. 410, № 3. - С. 1-5.

66. Журавлев В.Ф. Инвариантная нормализация неавтономных гамильтоновых систем / В.Ф. Журавлев // ПММ - 2002. - Т. 66. Вып. 3 -С. 356-365

67. Голдстейн Г. Классическая механика / Г. Голдстейн. - М.: Наука, 1975 г. -416 с.

68. Bender С.М. Anharmonic oscillator. / С.М. Bender, Т.Т. Wu // Phys. Rev. -1969.-V. 184.-No. 5.-PP. 1231-1260.

69 Bender C.M. Anharmonic oscillator II. A study of perturbation theory in large order / C.M. Bender, T.T. Wu // Phys. Rev. - 1973. - D7., No.6. - PP. 1620-1636.

70. Ефимов Г.Б. Компьютерная алгебра в современном образовании механика / Г.Б. Ефимов // Компьютерные инструменты в образовании. -2003.-№2.-С. 42-48.

71. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ, №2011610224. Программа нормализации гамильтоновых систем с произвольным числом степеней свободы в среде MAPLE. Богачев В.Е., Чеканов H.A. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 11.01.2011 г.

72. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ, №2011616109 «МАРЬЕ программа вычисления нормальной формы Биркгофа-Густавсона и независимых интегралов движения для гамильтоновой системы с произвольным числом степеней свободы», Богачев В.Е., Чеканов H.A. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 5 августа 2011 года.

73. Богачев В.Е. MAPLE программа символьно-численных вычислений нормальной формы и интегралов движения гамильтоновых систем с произвольным числом степеней свободы / В.Е. Богачев, H.A. Чеканов // Вестник Херсонского национального технического университета, 2011 -3(42), с. 93-98.

74. Lakshmanan М. Coupled quartic anharmonic oscillators Painleve analysis and integrability / M. Lakshmanan, R. Sahaderan // Phys. Rev. A. - 1985. - V. 31. N.2.-P. 861-876.

75. Богачев В.Е. Символьно-численные расчеты нормальной формы, интеграла движения и сечений Пуанкаре для консервативных двумерных гамильтоновых систем / Богачев В.Е., Чеканов H.A. // Вычислительные технологии, 2012 - т. 17. - № 4 - с. 3-13.

76. Беляева И.Н. Символьно-численная нормализация конечномерных гамильтоновых систем / И.Н. Беляева, В.Е. Богачев, H.A. Чеканов // Математическое моделирование и дифференциальные уравнения. Mathematical modeling and differential equation: труды третьей международной научной конференции, Брест, 2012 - с. 76-90.

77. Hietarinta J. Direct methods for the search of the second invariant / J. Hietarinta // Phys. Rep - 1986.-v. 147, No. 2-p. 87-154.

78. Богачев В.Е. Квантование классических гамильтоновых систем при помощи нормальной формы / В.Е. Богачев, H.A. Чеканов // Сборник научных трудов шестой региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов, Старый Оскол - 2010 - т. 2. - с. 29-32.

79. Слэтер Дж. Электронная структура молекул / Дж.Слэтер- М.: Мир, 1965. -623с.

80. Лукьяненко А.Н. Классическая и квантовая двумерные модельные системы с пятиямным полиномиальным потенциалом / А.Н. Лукьяненко, H.A. Чеканов // Вопросы атомной науки и техники. Серия: теоретическая и прикладная физика (РФЯЦ-ВНИИЭФ, г. Саров). - 2009. - Вып. 2. - С. 14-20.

81. БогачевВ.Е. Алгоритмы и программы символьно-численных преобразований классических функций Гамильтона / В.Е. Богачев, Н.А. Чеканов // Сборник научных работ всероссийского конкурса научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области информатики и информационных технологий в рамках всероссийского фестиваля науки, Белгород, - 2011 - т. 1. - с. 406-419.

82. Bogachev V.E. Character calculations of approximate integrals of motion for Hamiltonian systems with n degrees of freedom / V.E. Bogachev, N.A. Chekanov // Book of abstracts 3rd International Conference on «quantum electrodynamics and statistical physics», Kharkov - 2011 - p. 216-217.

83. Bogachev V.E. Symbol calculations the approximate integrals of motion for Hamiltonian systems with n degrees of freedom / V.E. Bogachev, N.A. Chekanov // Вопросы атомной науки и техники, 2012 - № 1 - с. 351-354.

84. Матинян С.Г.Стохастичность классической механики Янга-Миллса и ее устранение механизмом Хиггса / С.Г. Матинян, Г.К. Саввиди, Н.Г. Тер-Арутюнян-Саввади // Письма в ЖЭТФ - 1981 г. - Т. 34, вып. 11. - с. 613-617

85. Матинян С.Г. Динамический хаос неабелевых калибровочных полей / С.Г. Матинян // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1985 г. -Т. 16, вып. 3 — с. 522-550

86. Богачев В.Е. Символьно-численные вычисления нормальной формы Биркгофа-Густавсона и формальных интегралов движения для гамильтоновых систем и их применение к построению сечений Пуанкаре / В.Е. Богачев, // Сборник материалов XII Международной научно-практической конференции «Наука и современность - 2011», Новосибирск -2011-ч.З.-с. 12-18.

87. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике / А. Пуанкаре - М.: Наука, 1965.-572 с.

88. Арнольд В.И. Математические аспекты классической и небесной механики / В.И. Арнольд, В.В. Козлов, А.И. Нейштадт - М.: ВИНИТИ, 1985. -304 с.

89. Смарт У.М. Небесная механика / У.М. Смарт - М.: Мир, 1965. - 504 с.

90. Зигель K.JI. Лекции по небесной механике / К.Л. Зигель - М. ИЛ, 1959. -300 с.

91. Мультон Ф.Р. Введение в небесную механику / Ф.Р. Мультон - М.-Л.: НЕСТП СССР, 1935.-480 с.

92. HenonM. Numerical exploration of the restricted problem. VI. Hill's case: non-periodic orbits. / M. Henon // Astron. and astrophys. - 1970. - Vol. 9. - P. 2436.

93. Голубев В.Г. Проблема трех тел в небесной механике / В.Г. Голубев, Е.А. Гребеников - М.: Изд-во МГУ, 1985. - 240 с.

94. Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трех тел / В. Себехей -М.: Наука, 1982.-656 с.

95. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел / А.Д. Брюно - М.:Наука, 1990. -295 с.

96. Штифель Е. Линейная и регулярная небесная механика / Е. Штифель, Г. Шейфеле. М.: Наука. 1975 г. - 304 с.

97. ЯкобиК. Лекции по динамике / К. Якоби - М.-Л.: Главная редакция общетехнической литературы, 1936. - 270 с.

98. Новиков С.П. Метод обратной задачи. / С.П. Новиков - М.: Наука. 1980 г. - 320 с.

99. Абловиц М. Солитоны и метод обратной задачи / М. Абловиц, X. Сигур. -М.: Мир. 1987 г.-480 с.

100. Болотин Ю.Л. Стохастическая ядерная динамика / Ю.Л. Болотин, В.Ю. Гончар, Е.В. Инопин, В.Н. Тарасов, Н.А. Чеканов // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1989. - Т. 20, вып. 4. - С. 878-929.

101. Toda М. Instability of trajectories of lattice with cubic nonlinearity / M. Toda // Physs. Lett. - 1974. - V. 48. - P. 335-336.

102. Krivoshey I. Dynamic chaos and instability in barrier processes of chemical dynamics /1. Krivoshey // Sov. Sci. Rev. B. Chem. - 1988. - V. 11. - P. 123.

103. ДжеммерМ. Эволюция понятий квантовой механики / М. Джеммер. -М.: Наука, 1985.-384 с.

104. Swimm R.T. Semiclassical treatment of multiple turning-point problemsphase shifts and eigenvalues / R.T. Swimm, J.B. Delos // J. Chem. Phys. - 1979. -V. 71.-P. 1651-1658.

105. Чеканов H.А. Квантование нормальной формы Биркгофа-Густавсона / Н.А. Чеканов //Ядерная физика. - 1989. - Т.50, вып. 8. - С. 344-346.

106. Богачев В.Е. Классическая и квантовая нормальная форма двумерного гамильтониана с дискретной C4v симметрией / В.Е. Богачев // Научные труды Международной молодежной научной конференции XXXVI Гагаринские чтения, Москва-2010-т. 5.-е. 62-63.

107. ВейльГ. Теория групп и квантовая механика / Г. Вейль. - М.: Наука, 1986.-496 с.

108. Абрамович М. Справочник по специальным функциям / М. Абрамович, И. Стиган. - М.: Наука, 1979. - 832 с.

109. Uzer, Т. Uniform semiclassical theory of avoided crossings / T. Uzer, D. W. Noid, R.A. Marcus // J. Chem. Phys. - 1983 - vol.79, no.9. - p.4412-4425.

110. Богачев В.Е. Приближенный спектр одной неинтегрируемой двумерной системы / В.Е. Богачев, Н.А. Чеканов // Сборник научных трудов VIII Международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные исследования в системе образования», Тамбов — 2010 - с. 264266.

111. Farrelly, D. Semiclassical quantization of slightly nonresonant systems: avoided crossings, dynamical tunneling and molecular spectra / D. Farelly, T. Uzer // J. Chem. Phys. 1986. - vol.85, no.l. - p.308-318.

112. Булавина И.А. Вычисление собственных значений и функций уравнения Матье методом диагонализации / И.А. Булавина, Н.А. Чеканов // Сборник научных трудов шестой региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов, Старый Оскол - 2010 - т. 2. - с. 32-35.

ПЗ.КурантР. Методы математической физики. Том 1. / Р. Курант. М.-Л.: ГТТИ. 1933 г.-525 с.

114. Курант Р. Методы математической физики. Том 2.. / Р. Курант. М.-Л.: ГТТИ. 1945 г.-671 е.;

115. Морс Ф.М. Методы теоретической физики. Том 1. / Ф.М. Морс, Г. Фешбах. М.: ИЛ. 1958 г. - 930 с.

116. Морс Ф.М. Методы теоретической физики. Том 3. / Ф.М. Морс, Г. Фешбах. М.: ИЛ. 1958 г. - 886 с.

117. ПриваловИ.И. Интегральные уравнения / И.И.Привалов. - М.-Л.: ОНТИ, 1937.-248 с.

118. Краснов М. Л. Интегральные уравнения / М.Л.Краснов, А.И.Киселев, Г.И. Макаренко. - М.: Наука, 1976. - 216 с.

119. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям / А.Ф. Филиппов М. Ижевск: НИЦ РХД. 2005 г. - 176 с.

120. Михлин С.Г. Приложения интегральных уравнений к некоторым проблемам механики, математической физики и техники / С.Г. Михлин М., Л.: ОГИЗ изд. тех.-теор. лит., 1947. - 304 с.

121. Беляева И.Н. Алгоритм символьно-численного вычисления функции Грина дифференциальных уравнений второго порядка / Беляева И.Н., Богачев В.Е., Чеканов H.A. // Вестник российского университета дружбы народов. Серия: математика, информатика, физика, 2012. -№ 3-е. 43-51

122. Беляева И.Н. Символьно-численные вычисления функции Грина обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков / И.Н. Беляева, В.Е. Богачев, H.A. Чеканов // Вестник Херсонского национального технического университета, 2012 - 2(45) - с. 50-56.

123. ФедорюкМ.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения / М.В. Федорюк. М.: Наука. 1985 г. - 448 с.

124. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн - М., 1968. - 720с.

125. Lewis. H.R. Class of Exact Invariants for Classical and Quantum Time-Dependent Harmonic Oscillators / H.R. Lewis. // Journ. of math. phys. - 1967. Vol. 9, num. 11.-P. 1976-1986.

126. БогачевВ.Е. Алгоритм символьно-численного построения функции Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка / В.Е. Богачев // Теория и практика системного анализа. Сборник трудов всероссийской молодежной конференции, Белгород, 2012. - с. 22-27.