Симметрии и законы сохранения внешних дифференциальных уравнений в приложении к задачам механики жидкости и газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Кусюмов, Александр Николаевич

• Кусюмов, Александр Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кусюмов, Александр Николаевич

Введение

1. Внешние дифференциальные формы и группы преобразований

1.1 Внешние дифференциальные формы.

1.2 Локальная группа Ли.

1.3 Локальная группа преобразований.

1.4 Корепер и линейная связность на односвязном гладком многообразии.

1.5 Интегрирование дифференциальных форм и комплекс де Рама.

2. Симметрии внешних дифференциальных уравнений

2.1 Пространство &-струй и система уравнений в частных производных.

2.2 Система внешних дифференциальных уравнений.

2.3 Производные Ли и симметрии внешних дифференциальных уравнений.

2.3.1 Производные Ли и метод В. Harrison и F. Estabrook.

2.3.2 Соотношение симметрий квазилинейных систем СЕ первого порядка и Л(СЕ).

2.3.3 Соотношение симметрий для произвольных "полиномиальных" систем СЕ и А(СЕ).

2.3.4 Определение производных Ли методом разложения в ряд по параметру преобразования.

2.3.5 Использование мономов для вычисления производных Ли.

2.4 Структурный метод определения симметрий внешних дифференциальных уравнений.

3. Симметрии и дифференциальные связи

3.1 Уравнения структуры и инварианты Римана для систем уравнений гиперболического типа с двумя независимыми и двумя зависимыми переменными.

3.1.1 Инварианты Римана.

3.1.2 Присоединенные дифференциальные связи и уравнения структуры.

3.1.3 Обобщенная функция тока.

3.1.4 О связности, ассоциированной с корепером на гладком двумерном многообразии.

3.2 Построение инвариантных связей.

3.3 Инвариантные связи для динамических систем с параметрами.

3.4 Инвариантные связи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с функциональным произволом.

3.5 Однопараметрические решения вдоль векторных полей.

3.5.1 Однопараметрические решения вдоль векторных полей и "восстановление граничных условий".

3.5.2 Однопараметрические решения вдоль векторных полей и произвольные граничные условия.

4. Неклассические симметрии уравнений в частных производных

4.1 Неинвариантные симметрии уравнений в частных производных.

4.2 Частные симметрии уравнений в частных производных.

5. Внешние дифференциальные уравнения и законы сохранения

5.1 Законы сохранения системы внешних дифференциальных уравнений.

5.2 Теорема Э.Нетер и законы сохранения невариационных систем уравнений.

5.2.1 Теорема Э.Нетер и законы сохранения системы уравнений для характеристик законов сохранения.

5.2.2 Теорема Э.Нетер и законы сохранения для квазиэйлеровой системы уравнений.

6. Использование законов сохранения при решении задач пограничного слоя

6.1 Несжимаемый ламинарный пограничный слой на вращающемся цилиндре в поперечном потоке.

6.2 Расчет тепломассообмена на поверхности проницаемой осесимметричной оболочки в турбулентном пограничном слое.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Симметрии и законы сохранения внешних дифференциальных уравнений в приложении к задачам механики жидкости и газа»

Проблема изучения систем дифференциальных уравнений в частных производных в настоящее время имеет различные направления. С одной стороны, эта проблема может рассматриваться в рамках анализа, где основным предметом исследований является определение решений уравнений при условии корректной постановки задач. С другой стороны, благодаря работам Софуса Ли взгляды на дифференциальные уравнения в частных производных стали развиваться в новых направлениях. Возникла так называемая "качественная" математика, предметом исследования которой являются те или иные характеристики или свойства объектов, связанных каким либо образом с системой уравнений. Предметом интересов стала и структура самих систем дифференциальных уравнений и всего того, что можно из них получить, в частности, с помощью таких операций, как дифференцирование и продолжение.

Отметим, что методы, направленные на проведение "качественных" исследований систем уравнений в частных производных (аналитические методы), по их конечной информативности в некотором смысле уступают тем методам, которые ориентированы на построение решений для конкретных задач. Речь идет прежде всего о сравненении с численными методами решения уравнений. Однако, аналитические методы исследования имеют и ряд преимуществ. К таким преимуществам относятся более широкие возможности для организации системного подхода к изучению явления или процесса (моделируемого дифференциальными уравнениями), возможность замены математической модели процесса более простой моделью (или математической моделью, представленной в специальной, удобной форме), в некоторых случаях возможность получения точных ("количественных") решений, и др. Как отмечается в [108] "численное решение позволяет получить конкретный ответ на конкретный вопрос, но не дает представления о структуре решения. Поэтому интерес к выделению классов решений, зависящих от произвольных параметров и функций, возрос именно в связи с появлением большого численного материала расчетов, нуждающихся в интерпретации". Таким образом, данное направление математического моделирования ("качественные исследования") дополняет методы численного моделирования и часто является предварительным этапом задачи получения решений системы дифференциальных уравнений.

К наиболее известным и разработанным задачам, относящимся ко второму направлению, принадлежат задача исследования групп симметрий систем уравнений в частных производных и задача построения законов сохранения.

Само по себе понятие симметрии является одним из наиболее фундаментальных "качественных" свойств окружающего нас мира. По выражению В. Гильде [28] понятие симметрии играет "ведущую, хотя и не вполне осознанную роль в современной науке, искусстве, технике и окружающей нас жизни".

Применительно к дифференциальным уравнениям группа симметрий определяется как совокупность преобразований (удовлетворяющих определенным требованиям), и преобразующих решения этой системы в другие ее решения. В соответствии с этим требованием система дифференциальных уравнений является инвариантной относительно действия группы преобразований: в преобразованных переменных система имеет тот же вид, что и исходная.

Теория непрерывных групп преобразований создавалась С. Ли специально для изучения дифференциальных уравнений. Основной задачей исследования групп симметрий систем дифференциальных уравнений является задача построения алгебры Ли дифференциальных операторов (векторных полей). При этом исходная система уравнений должна являться инвариантной относительно действия группы преобразований, соответствующей алгебре Ли дифференциальных операторов (которые называются также инфинитезимальными симметриями системы уравнений).

Обыкновенные дифференциальные уравнения были первым объектом приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям [156] (см. также [89]). Позднее Г. Биркгоф [12] привлек внимание к приложениям групп Ли к дифференциальным уравнениям механики жидкости.

Систематические исследования по приложению групп Ли для широкого круга физически важных задач были начаты Л.В. Овсянниковым [85] и его учениками [43]. Применительно к уравнениям механики жидкости и газа, эти работы продолжаются Л.В Овсянниковым и по настоящее время (см., например, [87], [88]). В аналитической механике теоретико - групповые методы были использованы еще в работах А. Пуанкаре и Н.Г. Че-таева. Одни из первых работ по исследованию групповых свойств систем уравнений механики жидкости и газа в нашей стране были выполнены Ю.Н. Павловским [93], В.В. Пухначевым [104], С.В. Хабировым [124] (в г. Казани В.Г. Павловым [26], [91], [92]).

Представления о современном состоянии и направлениях развития метода Ли - Овсянникова можно найти в работах [2],[43], [89]. Кроме того, краткое введение в современные методы группового анализа и сводка основных результатов по групповому анализу дифференциальных уравнений имеются в Руководстве по групповому анализу дифференциальных уравнений [140].

Отметим здесь, что наибольшая часть работ в этом направлении была выполнена с использованием точечных групп преобразований (т.е. групп преобразований, "изначально" действующих в пространстве зависимых и независимых переменных).

Важнейшим направлением развития теории непрерывных групп преобразований является направление связанное с понятием обобщенных (высших) симметрий. В теории контактных преобразований С. Ли включал производные зависимых переменных в пространство представления группы [154] (группа преобразований действует в пространстве зависимых, независимых переменных и производных зависимых переменных первого порядка). Он же поставил вопрос о существовании обобщений контактных преобразований высших порядков [155]. Позднее Бэклунд рассматривал преобразования, зависящие от производных зависимых переменых произвольного (конечного) порядка [131] (преобразования Ли - Бэклунда). Обобщение данного подхода привело к обобщенным преобразованиям, которые существенно нелокальны и не определяются значениями конечного числа производных от зависимых переменных. Преобразования данного типа появились в связи с открытием "вполне интегрируемых систем" и последующим развитием методов обратной теории рассеяния [1], [129].

Другое направление развития теории непрерывных групп преобразований, применительно к. дифференциальным уравнениям, - теория приближенных групп преобразований. Приближенные группы преобразований [6], [7], [8] были введены в рассмотрение Н.Х. Ибрагимовым, В.А. Байковым, Р.К. Газизовым по аналогии с понятием приближенного решения для систем уравнений, содержащих малый параметр е [81]. На основе аналога теоремы Ли для приближенных групп в [142], [143], [144] было развито инфинитезимальное описание приближенных одно-параметрических групп преобразований и выведены определяющие уравнения для построения приближенных симметрий уравнений с малым параметром.

Близкое к приближенному групповому анализу направление исследования дифференциальных уравнений с малым параметром рассматривалось также в работах В.И. Фущича и его коллег [121], [122], [123]. В этих работах под приближенной симметрией уравнения с малым параметром понималась точечная симметрия системы уравнений, полученной разложением зависимой переменной по малому параметру, с последующим расщеплением исходного уравнения по степеням малого параметра.

Примеры группового анализа дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, имеются также в работах В.А. Чугунова и др. [116], [138].

Еще одна тенденция в развитии группового анализа - тенденция к абстракции и глобализации, охватившая большую часть современной теории групп. По выражению П. Олвера "приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, начатые Ли и Нетер, постепенно уходили во тьму, в то время как глобальная абстрактная переформулировка дифференциальной геометрии и теории групп Ли, за которую боролся Э. Кар-тан, занимала господствующее положение в математике" [89]. Наиболее полно данная тенденция проявилась в работах A.M. Виноградова и др. [20], [109] направленных на создание геометрической теории группового анализа систем уравнений в частных производных. В этих работах система уравнений в частных производных рассматривается как некоторая поверхность в пространстве струй (джетов) локальных сечений некоторого расслоенного пространства.

Геометрическая теория систем обыкновенных дифференциальных уравнений, основанная на использовании бурбаковского формализма, разработана Ю.Н. Павловским и изложена в работе [94].

Кроме того, благодаря работам Эли Картана, сформировался подход к изучению систем дифференциальных уравнений в частных производных путем приведения их к системам внешних дифференциальных уравнений. При использовании этого подхода исходная система уравнений заменяется системой, в которую в общем случае входят зависимые и независимые переменные, производные зависимых переменных, а также дифференциалы этих величин. Выражения, состоящие из слагаемых, в которые входят дифференциалы переменных всех видов, образуют т.н. внешние дифференциальные формы, которые умножаются специальным образом - с помощью внешнего произведения и дифференцируются с помощью операции внешнего дифференцирования. Систематическое использование внешних дифференциальных форм и операции внешнего дифференцирования составляет основу дифференциально-геометрического метода исследования.

Впервые переход к системам внешних дифференциальных уравнений использовался для нахождения симметрий систем уравнений в частных производных, по-видимому, в начале 60-х годов в работах A.M. Васильева [18], [19] и К.П. Суровихина [113], [115] на примере некоторых систем уравнений механики жидкости и газа. В этих работах для нахождения симметрий использовался достаточно трудоемкий метод канонизации. Основной задачей здесь являлось представление системы внешних дифференциальных уравнений с помощью системы форм Пфаффа, удовлетворяющих уравнению Маурера-Картана (уравнению структуры). Данную методику проведения группового анализа условно можно назвать структурным методом.

Позднее, в работе В.К. Harrison, F.B. Estabrook [146] также использовался переход к системам внешних дифференциальных уравнений для отыскания симметрий систем дифференциальных уравнений в частных производных произвольного класса. Для нахождения инфинитезимальных симметрий в [146] использовались производные Ли внешних дифференциальных форм. Так же как и в методе Л.В. Овсянникова, задача отыскания симметрий сводится в [146] к задаче получения и решения системы определяющих уравнений. Поэтому метод отыскания симметрий [146] в определенном смысле можно считать аналогом метода Л.В. Овсянникова.

Все перечисленные выше направления касаются различных подходов к методам и формулировкам понятия симметрий систем дифференциальных уравнений. Что касается использования симметрий, то здесь также существуют различные подходы.

В случае обыкновенных дифференциальных уравнений наличие однопараметрической группы симметрий позволяет понизить порядок уравнения на единицу [89]. Кроме того, наличие симметрий у системы обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет определять первые интегралы системы [94], [127]. Возможно также использование симметрий для решения задачи декомпозиции системы обыкновенных дифференциальных уравнений [94].

Симметрии и дифференциально-геометрический подход использовались в работе [38] по редукции нелинейных управляемых динамических систем (приведение исходных систем к более простому виду). Вопросы редукции обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривались также в [39], [40] на основе теории дискретных групп преобразований.

Для уравнений в частных производных одно из направлений исполь-звания симметрий - построение новых решений системы уравнений в частных производных по уже известным ее решениям (размножение решений). При этом группа симметрий позволяет классифицировать множество всех решений системы (два решения считаются эквивалентными, если они связаны одним из преобразований группы). Возможна также классификация с помощью симметрий систем дифференциальных уравнений в зависимости от произвольных параметров или функций, входящих в систему.

Другое направление касается собственно построения решений системы уравнений. Найденные в результате проведения группового анализа симметрии системы уравнений в частных производных используются для понижения размерности пространства независимых переменных при построении так называемых инвариантных и частично-инвариантных решений [86], [89]. А именно, в результате исследования групповых свойств системы уравнений определяется система инвариантов группы (полная или неполная). После этого исходная система уравнений сводится к так называемой фактор-системе, которая имеет меньшую размерность пространства независимых переменных. В частности, таким образом можно получать автомодельные решения систем уравнений в частных производных. Возможен и другой подход к использованию инвариантов группы

- уменьшение размерности пространства зависимых переменных. Подобным образом, например, получаются решения типа простых волн [86]. Недостаток данного подхода к использованию симметрий - ограничения по постановке граничных условий для которых могут быть получены решения исходной системы уравнений.

Групповые методы используются при решении задачи о точной линеаризации нелинейных уравнений в частных производных. Такая возможность рассматривалась в [12], [85] и более полно в [43].

Еще одно известное направление использования симметрий - построение законов сохранения для систем уравнений определенного класса. Под законом сохранения понимается запись уравнений, входящих в исходную систему, в специальной форме - в виде дивергенции некоторого вектора.

Наиболее известная методика построения законов сохранения для систем уравнений в частных производных опирается на первую теорему Э. Не-тер. Теорема Э. Нетер позволяет определять законы сохранения для так называемых вариационных систем уравнений в частных производных, т.е. для таких систем, которые могут быть получены как уравнения Эйлера

- Лагранжа для некоторого функционала. При этом сама процедура построения законов сохранения использует симметрии системы. Достоинством данного подхода к построению законов сохранения является тот факт, что наиболее трудоемкая часть метода заключается в проведении группового анализа системы исходной уравнений - то есть основана на использовании хорошо известного и разработанного алгоритма. К недостаткам метода можно отнести то ограничение, что исходная система уравнений должна быть вариационной.

Н.Х. Ибрагимов [42] дал новое доказательство теоремы Э. Нетер на языке теории непрерывных групп преобразований. Им же были построены законы сохранения для уравнений из различных областей физики. К.Г. Гараевым построена [21], [22] модифицированная теория инвариантных задач, позволяющая конструировать законы сохранения и первые интегралы для оптимизационных задач в различных областях естествознания (в частности, при решении задачи оптимизации управления ламинарным пограничным слоем сжимаемого газа). Кроме того, в [22] приводится обобщение теоремы Э. Нетер на основе теории L* инвариантности.

Отметим здесь, что задача построения законов сохранения систем уравнений в частных производных может быть сформулирована на языке внешних дифференциальных форм. Впервые этот подход использовался, по - видимому, A.M. Васильевым в начале 60-х годов. Методика, разработанная A.M. Васильевым, позволяет определять законы сохранения для систем уравнений произвольного класса на основе отыскания характеристик законов сохранения (некоторой вектор-функции, на которую умножаются уравнения исходной системы). Недостаток этой методики, изложенной в работах [10], [11], [18], заключается в том, что для определения характеристик законов сохранения необходимо провести исследование на совместность некоторой системы уравнений Пфаффа и затем построить ее аналитическое решение, что в общем является достаточно трудоемкой задачей.

Оригинальная методика построения законов сохранения для уравнений в частных производных (на основе перехода к внешним дифференциальным уравнениям) была предложена в [162].

Позднее была разработана методика построения законов сохранения для систем уравнений в частных производных произвольного класса на основе теории спектральных последовательностей и использовании комплекса де Рама [109]. Согласно [109], задача отыскания законов сохранения сводится к задаче отыскания некторой вектор-функции, которая называется производящей функцией закона сохранения. Несколько более простое изложение этой методики приводится в [89], где производящие вектор - функции называются характеристиками законов сохранения. При этом производящие функции (или характеристики законов сохранения) определяются из решения линейной системы уравнений в частных производных первого порядка. Если производящая функция найдена, то можно утверждать, что закон сохранения существует (по крайней мере, локально) и его можно найти с помощью подходящего оператора гомотопии [89]. Справедливость этого утверждения определяется леммой Пуанкаре. Поскольку дифференциальные формы используются и при доказательстве леммы Пуанкаре и при построении оператора гомотопии, то можно считать, что использование метода внешних дифференциальных форм является совершенно естественным в задаче отыскания законов сохранения. Поэтому вполне естественной является и формулировка задачи отыскания законов сохранения на языке метода внешних дифференциальных форм.

Необходимо отметить, что приведенный здесь обзор работ является не полным, особенно в части применения симметрий в качественной теории дифференциальных уравнений. При составлении данного обзора упоминались, в основном, работы близкие по тематике к проблемам, затрагиваемым в диссертационной работе.

Основные проблемы, рассматриваемые в диссертационной работе, можно классифицировать по следующим направлениям.

I. Расширение возможностей использования классических (точечных) симметрий для построения решений уравнений в частных производных.

II. Построение новых (неклассических) видов точечных симметрий, для расширения класса объектов (систем дифференциальных уравнений), допускающих теоретико-групповые методы исследования.

III. Построение и использование законов сохранения для невариационных систем уравнений в частных производных.

IV. Развитие метода внешних дифференциальных форм применительно к задачам отыскания симметрий и построения законов сохранения систем дифференциальных уравнений.

Первые два направления существенным образом опираются на геометрическую трактровку понятия инвариантно- групповых решений, к которым относятся инвариантные, частично- инвариантные и дифференциально-инвариантные решения. С геометрической точки зрения технику построения инвариантно- групповых решений можно трактовать как присоединение к исходной системе дополнительных уравнений (поверхностей) инвариантного характера. При таком подходе, в отличие от метода дифференциальных связей, присоединяемые уравнения (одно или несколько) используют априорную информацию о системе, полученную на основе группового анализа. В работе геометрическая трактовка инвариантно- групповых решений на основе присоединения инвариантных связей используется как при решении задачи расширения области использования классических (в смысле JI.B. Овсянникова) симметрий, так и при построении и использовании неклассических симметрий.

Раширение возможностей использования классических симметрий может быть связано с различными аспектами. В частности, одним из возможных направлений использования симметрий может являться уменьшение количества присоединяемых инвариантных связей (минимум - одна связь). При таком подходе исходная система переопределяется в "минимальной степени", что потенциально увеличивает произвол в решении, но одновременно повышает трудоемкость построения решений (частично данную проблему снимает использование компьютерных пакетов символьных вычислений). Здесь же возможна и переформулировка самого понятия инвариантной связи либо за счет расширения класса присоединяемых уравнений (поверхностей более общего характера), либо за счет включения в пространство представления группы новых объектов (например, параметров системы).

Разработка неклассических симметрий может быть связана с изменением самого понятия инвариантности системы уравнений. Речь здесь может идти, в частности, о обобщении понятия инвариантности за счет за счет ослабления требования преобразования любого решения исходной системы уравнений снова в решение данной системы.

Вторым существенным аспектом работы является использование метода внешних диффернциальных форм. Использование метода внешних дифференциальных форм в работе связано не только с упоминавшейся выше тенденцией абстрактизации и глобализации в современной теории группового анализа. В своей работе В.К. Harrison ( [148]) следующим образом определяет преимущества использования метода внешних дифференциальных форм для изучения уравнений в частных производных.

1. Метод прост в применении.

2. Метод имеет "геометрическую природу". Это позволяет использовать метод внешних дифференциальных форм в различных задачах (отыскание классических и обобщенных симметрий, законов сохранения и т.д.).

3. Метод дает возможность "менять местами" зависимые и независимые переменные (как в преобразованиях годографа).

4. Метод хорошо адаптируется для проведения символьных вычислений на компьютере.

Справедливость данных утверждений по поводу преимуществ метода внешних дифференциальных форм достаточно очевидна за исключением, быть может первого пункта. В частности, это касается преимуществ использования метода внешних дифференциальных форм в задаче отыскания симметрий дифференциальных уравнений перед классическим методом J1.B. Овсянникова. В своей статье В.К. Harrison не приводит обоснований, определяющих технические особенности метода внешних дифференциальных форм с точки зрения облегчения задачи отыскания симметрий.

Возможно именно это обстоятельство, в совокупности с необходимостью изучения "языка" и техники метода внешних дифференциальных форм, и явилось причиной не достаточно широкого применения метода в прикладных исследованиях. В частности, в 97 г. В. Harrison [148] отмечает, что предложенный им (совместно с F. Estabrook) подход к проведению группового анализа дифференциальных уравнений с использованием метода внешних дифференциальных форм не получил широкого распространения и остался практически не известным широкому кругу специалистов, работающих в области группового анализа уравнений. Отметим здесь следующий ряд работ, в которых рассматривались различные аспекты использования метода внешних дифференциальных форм [134], [135], [136], [147], [149], [160].

Некоторые возможности метода внешних дифференциальных форм, определяющие преимущества вычислительного характера в задаче отыскания симметрий (по сравнению с классическим методом), можно выявить при анализе следующего простого примера.

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида dx ,. ч где /(£, х) - некоторая гладкая функция. Пусть инфинитезимальная образующая симметрии определяется векторным полем вида д д где £(t,x),T](t,x) - некоторые гладкие функции. В рассматриваемое уравнение входят зависимая, независимая переменная и производная зависимой переменной. Под действием группы преобразований происходит преобразование всех этих переменных. Поэтому для того, чтобы, в соответствии с классической методикой Л.В.Овсянникова, определить точечные симметрии рассматриваемого уравнения, необходимо использовать продолженное векторное поле

Х=х+са dxt

Здесь ((t,x,p) - некоторая функция.

Перейдем теперь от исходного уравнения к внешнему дифференциальному уравнению. В данном случае оно будет иметь вид dx = f(t, x)dt.

Поскольку производная зависимой величины формально не входит в данную запись, то инфинитезимальные симметрии рссматриваемого уравнения полностью определяются векторным полем X а не продолженным векторным полем X.

Аналогичное положение имеется в целом для квазилинейных систем уравнений как обыкновенных, так и в частных производных. Для данного класса уравнений формально нет необходимости использовать продолженные векторные поля для отыскания симметрий. Это не означает, что переход к системе внешних дифференциальных уравнений позволяет полностью избежать той вычислительной работы, которая необходима для построения продолженного векторного поля, поскольку в результате получается та же самая система определяющих уравнений, что и в классическом методе JI.B. Овсянникова. Однако, сама процедура вычисления симметрий становится более "естественной", поскольку действие группы точечных симметрий изначально определяется на пространстве зависимых и независимых переменных. Преобразования же производных зависимых переменных целиком определены преобразованиями зависимых и независимых переменных.

Тем не менее, снижения вычислительных затрат в процедуре построения определяющих уравнений для определения симметрий систем дифференциальных уравнений в частных производных (а также для систем обыкновенных дифференциальных уравнений) можно ожидать по следующей причине. В выражение для функции определяющей продолженное векторное поле X, входят производные зависимых величин. Наличие этих производных определяет технику расщепления условий инвариантности системы уравнений. Однако, каждая процедура продолжения векторного поля X повышает нелинейность условий инвариантности по производным зависимых переменных. Поэтому в результате увеличивается число условий расщепления и число уравнений в системе определяющих уравнений (не все из которых являются линейно независимыми). Следовательно, переход к системе внешних дифференциальных уравнений потенциально должен приводить к уменьшению числа условий расщепления в процедуре построения определяющих уравнений.

Что касается задачи построения законов сохранения систем уравнений в частных производных, то здесь о "естественности" применения метода внешних дифференциальных форм уже говорилось выше.

Как известно, для того, чтобы закон сохранения существовал во всей области определения уравнения, необходимо, чтобы область определения уравнения была односвязной. Данное условие является необходимым и достаточным когда характеристики законов сохранения являются гладкими функциями.

Заметим, однако, что существуют уравнения для которых характеристики законов сохранения не являются гладкими функциями. В этом случае лемма Пуанкаре непосредственно не применима (как и оператор гомотопии). Кроме того, вопрос о существовании закона сохранения осложняется еще и тем, что не известна конфигурация подпространства, определяемого интегральным многообразием системы при заданных краевых условиях (характеристики закона сохранения могут быть гладкими функциями во всей области определения при одних краевых условиях и не быть гладкими при других). Учет данного обстоятельства приводит к необходимости корректировки определения закона сохранения с целью учета краевых условий к исходной системе уравнений.

Отметим также, что метод отыскания законов сохранения, разрабатываемый в данной работе, также, как и другие методы, ориентированные на отыскание законов сохранения для систем уравнений произвольного типа (Olver, М.В. Виноградов и др.), ни коим образом не опираются на существование симметрий у исследуемых систем уравнений. Напротив, метод отыскания законов сохранения, в основе которого лежит теорема Э. Нетер, объединяет эти две задачи и позволяет строить законы сохранения по известным симметриям системы. При этом хорошо известно, что эта методика имеет довольно существенное ограничение. А именно, исходная система уравнений должна получаться из вариационного принципа. То есть исходная система должна получаться как уравнения Эйлера-Лагранжа для некоторого функционала. Анализ показывает однако, что данное ограничение можно несколько ослабить, если рассматривать "ква-зиэйлеровые" системы уравнений. По данным термином понимаются системы, каждое уравнение которых можно представить в виде суммы двух выражений. Одно из выражений является "эйлеровым" и получается как уравнение Эйлера - Лагранжа для некоторого функционала. Второе выражение определяется некоторой произвольной функцией. При определенных условиях законы сохранения "квазиэйлеровых" систем можно получать на основе алгоритма, аналогичного алгоритму, построенному с помощью теоремы Э. Нетер.

Работа состоит из настоящего введения и последующих шести глав. Содержание работы распределятся по главам следующим образом.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кусюмов, Александр Николаевич

Основные результаты этой главы формулируются следующим образом.

1. Получено аналитическое решение задачи о несжимаемом ламинарном пограничном слое в окрестности критической точки вращающегося цилиндра в поперечном потоке. Эта задача сведена к задаче интегрирования системы из двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Одно из уравнений системы аналогично уравнению Фокнер-Скен, решение которого определяет обтекание неподвижного цилиндра. При получении второго уравнения учитывается, что уравнение неразрывности записано в дивергентной форме. Это позволяет "модифицировать" решение Фокнер-Скен так, чтобы учесть подвижность поверхности.

Полученное решение хорошо совпадает, с решением, которое построено ранее в [48] с помощью конечно-разностного метода.

2. Уравнения сжимаемого турбулентного пограничного слоя записаны в частично-дивергентной форме. Для решения этих уравнений используется метод обобщенных интегральных соотношений А.А. Дородницына, с помощью которого исходная система сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Сравнение рассчитанного теплового потока и касательного напряжения на поверхности тела сферической формы с результатами других авторов показывает, что метод дает удовлетворительные результаты.

Приведено решение сопряженных задач теплообмена в турбулентном пограничном слое сжимаемого газа.

Заключение

Сформулируем кратко основные результаты работы.

• Рассмотрены особенности и преимущества перехода к внешним дифференциальным уравнениям для исследования симметрий систем уравнений в частных производных, представленных в виде полиномов по степеням переменных. Показано, что алгебра симметрий систем внешних дифференциальных уравнений совпадает с алгеброй симметрий уравнений, записанных в исходном виде. Показано также, что в определенных случаях переход к системе внешних дифференциальных понижает трудоемкость процедуры построения определяющих уравнений. Предложено использовать метод расщепления системы внешних дифференциальных уравнений по параметру преобразования в процедуре получения определяющих уравнений.

• Исходя из геометрической трактовки системы уравнений в частных щ производных (поверхность СЕ в пространстве струй), определено понятие голономной и дифференциальной связи (как поверхности в пространстве струй, пересекающейся с СЕ). Дифференциальные (голо-номные) связи, инвариантные относительно преобразований симметрий системы СЕ, позволяют редуцировать исходную систему СЕ к системе с меньшим числом зависимых переменных (частично- инвариантные и дифференциально-инвариантные решения). Рассмотрены частично-инвариантные решения увеличенного ранга, совпадающего с размерностью пространства независимых переменных. Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений предложено использовать расширение пространства представления группы (за счет пара® метров системы или произвольных функций, входящих в систему), допускаемой системой, в задаче построения голономных связей между зависимыми переменными системы.

Введено понятйе однопараметрического (инвариантного) решения системы уравнений в частных производных вдоль векторного поля, являющегося инфинитезимальной образующей симметрии исходной системы уравнений. Алгоритм построения однопараметрического решения вдоль векторного поля исключает этап решения уравнений фактор-системы, соответствующей данной группе преобразований. На примере простейшего волнового уравнения продемонстрировано, что одно-параметрические решения вдоль векторных полей могут быть использованы при построении приближенных решений уравнений в частных производных с произвольными граничными условиями.

Сформулированы условия существования точной и приближенной неинвариантных симметрий и предложен алгоритм использования неинвариантных симметрий для построения точных и приближенных решений системы уравнений в частных производных на базе решения некоторой более простой системы. Введено понятие частной симметрии для системы уравнений в частных производных и для системы внешних дифференциальных уравнений. Так же, как и классические симметрии, частные симметрии используются для построения точных решений исходной системы уравнений.

Введено понятие закона сохранения с не гладкими характеристиками закона сохранения. Разработан алгоритм отыскания законов сохранения произвольных систем уравнений в частных производных, с помощью которого задача отыскания характеристик закона сохранения сводится к задаче отыскания ядра оператора внешнего дифференцирования, действующего на некотором подпространстве 1-форм. Доказан вариант леммы Пуанкаре для замкнутых 1-форм, с неодносвязной областью определения. Показано, что уравнения, определенные в од-носвязной области и не имеющие особенностей в области определения, могут иметь неодносвязную область действия закона сохранения. Введено понятие неподвижных точек для 1-формы на контуре. Сформулирован алгебраический критерий, определяющий необходимые условия для обеспечения точности замкнутых 1-форм с неодносвязной областью определения.

Рассмотрен принцип вариации функционала с фиксированной областью интегрирования и определены условия инвариантности функционала. Введено понятие "квазиэйлеровых" систем уравнений (систем, которые не получаются из вариационного принципа). Доказана теорема, аналогичная теореме Э. Нетер, устанавливающая связь симметрий "квазиэйлеровой" системы уравнений с характеристиками закона сохранения. Данная теорема позволяет (аналогично теореме Э. Нетер) явным образом записывать законы сохранения "квазиэйлеровых" систем уравнений.

В качестве приложений при поиске симметрий и законов сохранения систем внешних дифференциальных уравнений рассматривались различные уравнения механики жидкости и газа: уравнения одномерной нестационарной газовой динамики, уравнение Т. Кармана, волновое уравнение и др. Символьные вычисления осуществлялись с использованием компьютерной математической системы Maple V.

Рассмотрены две краевые задачи, иллюстрирующие возможности использования дивергентной и частично-дивергентной формы записи систем уравнений в частных производных.

Получено аналитическое решение задачи о несжимаемом ламинарном пограничном слое в окрестности критической точки вращающегося цилиндра в поперечном потоке. Эта задача сведена к задаче интегрирования системы из двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Одно из уравнений системы аналогично уравнению Фокнер

Скен. При получении второго уравнения учитывается, что уравнение неразрывности записано в дивергентной форме. Это позволяет "модифицировать" решение Фокнер-Скен так, чтобы учесть подвижность поверхности.

Уравнения сжимаемого турбулентного пограничного слоя записаны в частично-дивергентной форме. Для решения этих уравнений использован метод обобщенных интегральных соотношений А. А. Дородницына, с помощью которого исходная система сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Решены задачи сопряженного турбулентного тепломассообмена на поверхности проницаемой осесимметричной оболочки.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кусюмов, Александр Николаевич, 2003 год

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. - М.: Мир, 1987. - 478 с.

2. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: ВО Наука, 1994. - 319 с.

3. Аржанников Н.С., Мальцев В.Н. Аэродинамика. М.: Оборонгиз, 1952. - 480 с.

4. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1979. - 432 с.

5. Базылев В.Т. Геометрия дифференцируемых многообразий: Учебное пособие для вузов. М. Высш. шк., 1989. - 221 с.

6. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии уравнений с малым параметром. Препринт / Институт прикладной математики АН СССР. - М., 1987. - N 150. - 28 с.

7. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии // Матем. сборник. 1988. - Т. 136, вып. 4. - С. 435 - 450.

8. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные группы преобразований // Дифференциальные уравнения. 1993. - Т. 29, N 10. - С. 1712 - 1732.

9. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. - 520 с.

10. Билчев С.И. Системы из двух дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка (локальная теория) // Изв. вузов. Математика. 1970. - АГ 3. - С. 14-21.

11. Билчев С.Й. Системы из двух дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка (о законах сохранения)// Изв. вузов. Математика. 1970. - АГ 6. - С. 28 - 34.

12. Биркгоф Г. Гидродинамика. М.: Изд-во иностр. лит. 1954. - 184 с.

13. Бляшке В. Введение в геометрию тканей. М.: Госуд. изд. физико-мат. литературы, 1959. - 144 с.

14. Болгарский А.В., Мухачев Г.А., Щукин В.К. Термодинамика и теплопередача. М.: Высшая школа, 1975. - 495 с.

15. Борецкий И.Ф., Павлов В.Г. Теоретико-групповая интерпретация чувствительности гладких динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1980. - N 2. - С. 5 - 10.

16. Брайловская И.Ю., Чудов J1.A. Решение уравнений пограничного слоя разностным методом. Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1962. - Вып. 1. - С. 167 - 182.

17. Бычков Н.М., Коваленко В.М. Аэродинамические силы на вращающемся гладком цилиндре в поперечном потоке// Изв. СО АН СССР. Серия: Техн. науки. 1970. - АГ 8, Вып. 2. - С. 125 - 135.

18. Васильев A.M. Системы трех дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка при трех неизвестных функциях и двух независимых переменных (локальная теория) // Математический сборник. 1966. - Т. 70, N 24. - С. 457 - 480.

19. Васильев A.M. Теория дифференциально геометрических структур. Учебное пособие. - М.: Изд-во МГУ, 1987. - 190 с.

20. Виноградов A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. -336 с.

21. Гараев К.Г. Об одном следствии для двумерных вариационных задач типа Майера//Прикладная математика и механика. 1980. - Т. 44, N 3.-С. 448 - 453.

22. Гараев К.Г. Группы Ли и теория Нетер в проблеме управления с приложениями к оптимальным задачам пограничного слоя. Казань : Изд - во Казан, гос. техн. ун-та, 1994. - 240 с.

23. Гараев К.Г., Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. Об управлении температурой поверхности сферы, обтекаемой высокоскоростным потоком вязкого газа// Известия вузов. Авиационная техника. 1987. - N 2. -С. 22 - 25.

24. Гараев К.Г., Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. Управление тепловым режимом на проницаемом сферическом носке в сверхзвуковом потоке с учетом сопряженного теплообмена//Известия вузов. Авиационная техника. 1988. - А/" 4. - С. 30 - 34.

25. Гараев К.Г., Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. Об одной задаче управления теплообменом в турбулентном пограничном слое сжимаемого газа/ /Устойчивость и управление: Межвузовский сб. / Казан, авиац. ин-т. 1988. - С. 15 - 19.

26. Гараев К.Г., Павлов В.Г. Групповые свойства уравнений оптимально управляемого пограничного слоя//Известия Вузов. Авиационная техника. 1970. - JV 4. - С. 5 - 9.

27. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. M.,JI.: Физмат-газ, 1961. - 228 с.

28. Гильде В. Зеркальный мир. М.: Мир, 1982. - 120 с.

29. Гиневский А.С., Емельянова Г.Н., Колесников А.В. Турбулентный пограничный слой на подвижной поверхности//Уч. записки ЦАГИ. -1976.-Т. VII, JV1.-С. 40 49.

30. Гинзбург И.Г. Теория сопротивления и теплопередачи. Л.: Изд-во ЛГУ, 1970. - 376 с.

31. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.: Мир, 1973. - 188 с.

32. Гохман А.В. Введение в теорию аффинных связностей. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1981. - 62 с.

33. Грауерт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Мир, 1971. - 680 с.

34. Де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. М.: ИЛ. 1956.

35. Дородницын А.А. Об одном методе решения уравнений ламинарного пограничного слоя//Ж. прикл. механ. и техн. физ. 1960. - N 3. -С. 111 - 118.

36. Дуайер Х.А., Сандерс Б.Р. Физически оптимальная разностная схема для трехмерных пограничных слоев// Численное решение задач гидромеханики. М.: Мир, 1974. - С. 107 - 116.

37. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1986. - 760 с.

38. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем. Дифференциально геометрический подход. - М.: Наука. Физматлит, 1997. -320 с.

39. Зайцев В.Ф. Дискретно групповой анализ дифференциальных уравнений// Дифференц. уравн. - 1989. - Т. 25, N 3. - С. 379 - 387.

40. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям: Приложения в механике и точные решения. М.: Физматлит, 1993. - 464 с.

41. Землянский Б.А., Степанов Г.Н. О расчете теплообмена при пространственном обтекании затупленных конусов гиперзвуковым потоком воздуха// Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1981. -N 5. - С. 173 - 177.

42. Ибрагимов Н.Х. Инвариантные вариационные задачи и их законы сохранения/ /Теорет. и мат. физика. 1969. - Т. 1, N 3. - С. 350 - 359.

43. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. -М.: Наука, 1983. 280 с.

44. Карман Т. Закон подобия для трансзвукового потока. Газовал динамика. Сб. статей. М.: ИЛ, 1950. - 320 с.

45. Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1962. - 367 с.

46. Кильп X. Две квазилинейные системы типа £32(1) из механики с шестиугольной тритканью характеристик (геометрическая теория)// Уч. зап. Тартуского гос. ун-та. 1975. - Вып. 277. - С. 63 - 77.

47. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1986. - 224 с.

48. Кусюмов А.Н. Расчет ламинарного пограничного слоя на вращающемся цилиндре. Казань, 1989. 18 с. Рукопись представлена Казанским авиационным институтом. Депонирована в ВИНИТИ 21.09.89., -N 5971 В89.

49. Кусюмов А.Н. Влияние вдува и подвижности поверхности (вращения) на тепломассообмен и трение в пограничном слое. Диссерт. . канд. техн. наук. Казань, 1989.

50. Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. О групповой классификации методом внешних дифференциальных форм Картана уравнений течения несжимаемой жидкости в упругом трубопроводе//Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 1995. - N 1. - С. 66 - 69.

51. Кусюмов А.Н. Аналог инвариантов Римана для уравнений течения несжимаемой жидкости в упругом трубопроводе//Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 1996. - N 3. - С. 17 - 20.

52. Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. Групповая классификация уравнения Т. Кармана в задаче истечения газа из цилиндрической трубы со скоростью звука//Известия вузов. Авиационная техника. 1998. - N 1.- С. 54 58.

53. Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. О волновых свойствах уравнений движения жидкости в упругом трубопроводе//ХУП Российская школа по проблемам проектирования неоднородных конструкций. Тез. докл. -Миасс: Миасский научно учебный центр, 1998. С. 53.

54. Кусюмов А.Н. Определяющие уравнения для инфинитезимальных симметрий одного класса систем внешних дифференциальных урав-нений//Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 1999. - N 1. - С. 27 -30.

55. Кусюмов А.Н. Об однопараметрических решениях для систем уравнений в частных производных первого порядка//Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления". 1999. - N 2. - С. 31 - 42. (http//www.newa.ru/journal)

56. Кусюмов А.Н. Симметрии и голономные связи для систем уравнений в частных производных//Международный семинар "Нелинейное моделирование и управление". Материалы. Самара, 2000. - С. 68 -69.

57. Кусюмов А.Н. О некоторых точных решениях и инвариантах Римана одного класса систем внешних дифференциальных уравнений//Ред. ж. Изв. Вузов. "Математика". 2001. - N A.-Ren. в ВИНИТИ 28.11.00 N 3020 - В00. - 13 с.

58. Кусюмов А.Н. О голономных связях и некоторых точных решениях уравнений одномерного нестационарного течения газа//Прикл. ма-тем. и механ. 2001. - Т. 65, N 3. - С. 449 - 455.

59. Кусюмов А.Н. Об одном классе точечных симметрий системы внешних дифференциальных уравнений//Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления". 2001. - N 2. - С. 1 -9. (http//www.newa.ru/journal)

60. Кусюмов А.Н. О задаче поперечного обтекания вращающегося цилиндра// Международная конференция "Математическое моделирование 2001" (ММ-2001). Труды конференции. С. 24 - 25.

61. Кусюмов А.Н. О инвариантных дифференциальных связях для уравнений в частных производных//Третья международная конференция "Средства математического моделирования". Тез. докл. Санкт - Петербург, 2001. - С. 96.

62. Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. Частные симметрии системы внешних дифференциальных уравнений//Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления". 2002. - N 4. - С. 1 - 16. (http//www.newa.ru/journal)

63. Кусюмов А.Н. О приближенной групповой редукции одного класса систем уравнений в частных производных//III уеждународная конференция "Симметрия и дифференциальные уравнения". Труды конференции. Красноярск, 2002. - С. 139 - 143.

64. Кусюмов А.Н. Симметрии и законы сохранения невариационных систем уравнений//Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления". 2003. - N 1. - С. 100 - 107. (http//www.newa.ru/journal)

65. Кусюмов А.Н. Расчет поперечного обтекания вращающегося цилиндра в окрестности критической точки//Теор. основы химической технологии. 2003. - Т. 37, N 3. С. 1 - 5.

66. Кусюмов А.Н. Симметрии внешних дифференциальных уравнений и инвариантные связи (в приложении к некоторым задачам механики жидкости и газа). Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2003. -142 с.

67. Лапин Ю.В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. М.: Наука, 1982. - 312 с.

68. Лаптев Г.Ф. Геометрия погруженных многообразий. Теоретико групповой метод дифференциально- геометрических исследова-ний//Труды Моск. матем. об-ва. - 1953. - Т 2. - С. 275 - 382.

69. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономий. М.: М.: ИЛ, 1960. - 216 с.

70. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Физматгиз, 1962. - 480 с.

71. Лю-Шень-Цюань. Расчет ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе при наличии отсоса или вдува//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1962. - Т. 2, N 5. - С. 868 - 883.

72. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел/ Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. М.: Наука, 1988. - 232 с.

73. Мэллор Г. Несжимаемые пограничные слои с произвольными градиентами давления//Ракетная техника и космонавтика. 1967. - Т. 5, N 9. - С. 43 - 54.

74. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. - 455 с.

75. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. М.: Мир, 1971. - 232 с.

76. Нетер Э. Инвариантные вариационные задачи/Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз, 1959. С. 611 - 630.

77. Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. М.: ИЛ, 1960. - 128 с.

78. Овсянников JI.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений.- Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 240 с.

79. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. 399 с.

80. Овсянников Л.В. Программа "ПОДМОДЕЛИ". Газовая динамика/ /Прикл. матем. и механика. 1994. - Т. 58, N 4. - С. 30 - 55.

81. Овсянников Л.В. Некоторые итоги выполнения программы "ПОДМОДЕЛИ" для уравнений газовой динамики//Прикл. матем. и механика.- 1999. Т. 63, - N 3. - С. 62 - 72.

82. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. -М.: Мир, 1989. 639 с.

83. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. - 288 с.

84. Павлов В.Г., Чепрасов В.П. Инвариантно-групповые свойства нелинейного оптимального процесса с распределенными параметра-ми//Прикл. матем. и механика. 1968. - Т. 32, N 3.

85. Павлов В.Г. Об инвариантности оптимального процесса с распределенными параметрами//Прикл. матем. и механика. 1970. - Т. 34, N 4. - С. 741 - 747.

86. Павловский Ю.Н. Исследование некоторых инвариантных решений уравнений пограничного слоя//Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1961. -N 2. - С. 280 - 294.

87. Павловский Ю.Н., Смирнова Т.Г. Проблема декомпозиции в математическом моделировании. М.: Фазис, 1998. - 266 с.

88. Павловский Ю.Н., Яковенко Г.Н. Группы, допускаемые динамическими системами//Методы оптимизации и их приложения. Новосибирск: Наука. 1982. - С. 155 - 189.

89. Павловский Ю.Н. Теория факторизации и декомпозиции управляемых динамических систем//Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. - N 2. - С. 45 - 47.

90. Панкратов Б.М., Полежаев Ю.В., Рудько А.К. Взаимодействие материалов с газовыми потоками. М.: Машиностроение, 1976. - 224 с.

91. Педли Т.Дж. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. М.: Мир, 1983. - 446 с.

92. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990. - 384 с.

93. Поляев В.М., Майоров В.А., Васильев JT.A. Гидродинамика и теплообмен в пористых элементах конструкций летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1988. 168 с.

94. Поммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. М. Мир, 1983. - 400 с.

95. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Гл. ред. физ. - мат. лит., 1984. - 520 с.

96. Прохорова М.Ф. Моделирование решения уравнения теплопроводности и задачи Стефана с понижением размерности//Доклады РАН. -1998. Т. 361, N 4. - С. 450 - 452.

97. Пухначев В.В. Групповые свойства уравнений Навье Стокса в двумерном несжимаемом случае. Прикл. механ. и техн. физ. - 1960. - N 1. - С. 83 - 90.

98. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. - 616 с.

99. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592 с.

100. Сафаров Р.А., Тирский Г.А. Турбулентный пограничный слой с теплообменом//Труды Моск. физ.-техн. ин-та. Серия: Аэромеханика. Процессы управления. 1972. - С. 53 - 67.

101. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984. - 272 с.

102. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. / Под ред. Виноградова A.M. и Красильщика И.С. М.: Изд-во "Факториал", 1997. - 461 с.

103. Сиразетдинов Т.К., Диваков О.Г. Оптимальное управление пограничным слоем//Известия вузов. Авиационная техника. 1969. - N 3.- С. 5 13.

104. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. - 478 с.

105. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970. - 412 с.

106. Суровихин К.П. Внешние формы Картана и отыскание группы, допускаемой данной системой уравнений//Вестник МГУ. 1965. - N 6.- С. 70 81.

107. Суровихин К.П. Инвариантный смысл инвариантов Римана//Докл. АН СССР. 1965. Т. 163, N 2. - С. 319 - 322.

108. Суровихин К.П. О групповой классификации методом Картана уравнений одномерного течения газа//Докл. АН СССР. 1966. - Т. 171, N 1. - С. 55 - 58.

109. Тонконог С.JI., Чугунов В.А., Эскин Л.Д. Истечение тонкой пленки нелинейно-вязкой жидкости из щели с проскальзыванием у ло-жа//Прикл. мех. техн. физ., 2000. Т. 41, - N 2. - С. 71 - 76.

110. Уильяме Дж. Отрыв пограничного слоя несжимаемой жидкости// Вихревые движения жидкости. Устойчивость и отрыв пограничного слоя, свободные и квантованные вихри. М.: Мир, 1979. - С. 59 - 100.

111. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987. - 304 с.

112. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М., Л.: Гос. издат. техн. - теор. лит., 1948. - 423 с.

113. Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология: Математические образы в реальном мире. М.: Изд-во Моск. ун-та, Изд-во "ЧеРо", 1998. - 416 с.

114. Фущич В.И. О дополнительной инвариантности релятивистких уравнений движения // ТМФ. 1971. - Т. 7, N 1. - С. 3 - 12.

115. Фущич В.И. О новом методе исследования групповых свойств уравнений математической физики // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 246, N 4.-С. 846 - 850.

116. Фущич В.И., Штелень В.М. О приближенной симметрии и решениях нелинейного волнового уравнения с малым параметром // Докл. АН УССР. Сер. А. 1989. - N 8. - С. 18 - 21.

117. Хабиров С.В. Одно инвариантное решение уравнений мелкой во-ды//Сб. "Динамика сплошной среды", Новосибирск. 1969. Вып. 3. -С. 82 - 90.

118. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. - 424 с.

119. Юдаев Б.Н. Техническая термодинамика. Теплопередача: Учеб. для неэнергетич. спец. втузов. М.: Высшая школа. 1988.- 479 с.

120. Яковенко Г.Н. Групповой подход к управляемости и инвариантности динамических систем//Кибернетика и вычислительная техника. -Киев.: Наук, думка, 1978. N 39. - С. 26 - 39.

121. Яненко Н.Н. Бегущие волны системы квазилинейных уравнений// Докл. АН СССР. 1956. - Т. 109. - N 1. - С. 44 - 47.

122. Anderson R.L., Ibragimov N.H. Lie-Backlund Transformations in Applications. Philadelphia: SIAM Stidies in Applied Mathematics, 1979.- 124 p.

123. Arthur P.D., Willjams J.C. Maximum turbulent boundary layer heating rates on a hemispherical nose//ARS Journal. 1960. - V. 30, N 2. - Pp. 207 - 208.

124. Backlund A.V. Ueber Flashentransformationen. Math. Ann. 9 (1876).- Pp. 297 320.

125. Bessel-Hagen E. Uber die Erhaltungssatze der Electrodynamik// Math. Ann. 1921. - Bd. 84. - S. 258 - 276.

126. Bluman G.W., Coole J.D. The general similarity solution of the heat equation//J. Math. Mech. 18 (1969). - Pp. 1025 - 1042.

127. Bryant R., Griffits P. Characteristic cohomology of differential systems (I)//J. Amer. Math. Soc, 1995. N 8. - Pp. 507 - 596.

128. Burke W.L. Applied Differential Geometry. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1985.

129. Carminati J., Devitt J.S. and Fee G.J. Isogroup of differential equations using algebraic computing// J. Symbolic Computation, 1992. V. 14. -Pp. 103 - 120.

130. Carter J.E., Wornom S.F. Forward marshing procedure for separated boundary layer flows// AIAA Journal. 1975. N 13. - Pp. 1101 - 1103.

131. Chugunov V.A., Eskin L.D., Tonconog S.L. Methods of group analysis in dynamics of non-Newtonian fluid//Algebra and Analysis. Eds. Arslanov, Parshin, Shafarevich. Walter de Gruyter and Co., Berlin New York. 1996. - Pp. 31 - 41.

132. Clarcson P.A., Mansfield E.L. Algorithms for the nonclassical method of symmetry reductions//SIAM J. of Appl. Math. 1994. V. 54, N 6. -Pp. 1693 - 1719.

133. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Ed. N.H.Ibragimov, CRC Press, Boca Raton, Florida, USA.

134. Vol. 1: Symmetries, Exact Solutions and Conservation Laws, 1994; Vol. 2: Applications in Engineering and Physical Sciences, 1995. Vol. 3: New Trends in Theoretical Development and Computational Methods, 1996.

135. Garaev K.G, Kusyumov A.N., Pavlov V.G. Conservation law characteristics and variational Mayer's problem// Труды II международной конференции " Симметрия и дифференциальные уравнения". -Красноярск, 2000. С. 74 - 76.

136. Gazizov R.K. Lie algebras of approximate symmetries // Nonlinear Mathematical Physics. 1996. - Vol. 3, N 1-2. - P. 96 - 101.

137. Gazizov R.K. Representation of general invariants for approximate transformation groups // J. Math. Anal, and Appl. 1997. - Vol. 213, N 1. -F. 202 - 228.

138. Janet M. Sur les systems d'equations aux derivees partielles//J. Math, pures et appl. 1920. - T. 3. - Pp. 65 - 151.

139. Harrison B.K. and Estabrook F.B. Geometric approach to invariance groups and solution of partial differential systems, J. Math. Phis. 1971.- V. 12, N 4. Pp. 653 - 666.

140. Harrison B.K. Exterior differential Systems. In Analysis, Manifolds and Physics. North-Holland: Y. Choquett-Bruhat and C. DeWitt-Morette. 1989.-Pp. 173-181.

141. Harrison B.K. Differential form symmetry analisis of two equations cited by Fushchych, Symmetry in nonlinear mathematical physics. Kyiv, 1997.- V. 1. Pp. 21 - 33.

142. Kersten P.H.M. Software to compute infinetisimal symmetries of exterior differential systems, with applications//Acta appl. Math., 1989. V. 16.- Pp. 201 207.

143. Kusyumov A.N. About conservation laws for homogeneous quasilinear systems of two equations of the first order. Proc. Int. Conf. "Geometrisation of Physics IV", Kazan State University. - Kazan, October 4 - 8, 1999. - Pp. 179 - 181.

144. Lie S. Uber die Integration durch bestimmte Integrale von einer Klasse linear partieller Differentialgleichung, Arch, for Math. 6 (1881). -Pp. 328 - 368.

145. Lie S. Begrundung einer Invariantentheorie der Beruhrungstransforma-tionen, Math. Ann. 8 (1874). Pp. 215 - 288.

146. Lie S. Theorie der Transformationsgruppen. Leipzig, B.G. Teubner. 1888, 1890, 1893. - 810 p.

147. Lie S. Zur allgemeinen Theorie der partiellen Differentialgleichungen belibeger Ordnung. Leipz. Berich. 1 (1895). - Pp. 53 - 128.

148. Moore D.W. The flow past a rapidly rotating circular cilinder in a uniform//J. Fluid Mech. 1957. - Vol. 2, Pt. 6. - Pp. 541 - 550.

149. Rott N. Unsteady viscous flow in the vicinity of a stagnation point//Quarter by Appl. Math. 1956. - V. 13, N 4. - Pp. 444 - 451.

150. Schutz B.F. Geometrical Methods of Mathematical Physics. -Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1980.

151. Spenser D.C. Overdetermined systems of linear partial differential equations// Bull. Amer. Math. Soc. 1965. - V. 75. - Pp. 1 - 114.

152. Wahlquist H.D., Estabrook F.B. Prolongation structures of nonlinear evolution equations//J. Math. Phys. 1975. - V. 16. - Pp. 1 - 7.

153. Zhdanov R.Z., Lahno V.I. Group classification of heat conductivity equations with a nonlinear source//J. Phys. A: Math. Gen. 32 (1999). - Pp. 7405 - 7418.