Численно-аналитические методы и алгоритмы для исследования гамильтоновых систем ангармонических осцилляторов в классическом и квантовом подходах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Флоринский, Вячеслав Владимирович

• Флоринский, Вячеслав Владимирович
• кандидат наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат наук Флоринский, Вячеслав Владимирович

Оглавление

Введение

1. Нахождение собственных значений нелинейных одномерных осцилляторов с помощью метода Линдштедта-Пуанкаре

Введение

1.1. Метод Линдштедта-Пуанкаре

1.2. Интегрирование классических уравнений движения

методом Линдштедта-Пуанкаре

1.3. Правило Бора-Зоммерфельда

1.4. Основные результаты

2. Нахождение собственных значений оператора

Шрёдингера методом нормальных форм Депри-Хори

Введение

2.1. Постановка задачи

2.2. Метод нормальных форм Депри-Хори для

одноямного потенциала

2.3. Метод нормальных форм Депри-Хори для потенциала

с двумя минимумами

2.4. Результаты численных расчетов

2.5. Сравнение метода нормализации Депри-Хори и метода вычисления спектра с помощью рядов Линдштедта-Пуанкаре

3. Символьно-численный метод решения уравнения Шрёдингера

с помощью степенных рядов

Введение

3.1. Случай одного минимума

3.2. Результаты численных расчетов

3.3. Символьно-численный метод решения уравнения Шрёдингера

с помощью степенных рядов в случае двухъямного потенциала

3.4. Полученные результаты

Заключение

Список литературы

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Приложение Г

Приложение Д

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численно-аналитические методы и алгоритмы для исследования гамильтоновых систем ангармонических осцилляторов в классическом и квантовом подходах»

Введение

Актуальность темы. Многие задачи квантовой механики [1 - 7], прикладной математики, техники [8-13] приводят к уравнениям, в которых требуется найти собственные значения и собственные функции различных линейных операторов. К таким уравнениям относится, в первую очередь, нерелятивистское уравнение Шрёдингера.

В данной работе предложены новые способы решения задачи на собственные значения некоторых дифференциальных операторов на примере одномерных ангармонических осцилляторов. Ангармонический осциллятор -это колебательная система, в которой присутствует внешняя сила. Такие системы имеют практическую значимость, например, в квантовой механике (задача о поведении частицы во внешнем поле), в химии (исследование периодических реакций, управление химическими реакциями с выходом заданного реагента [14 — 16]), в технике (нанотехнологии, управление хаосом в микросистемах и др.).

В этих и других приложениях важнейшее значение имеет спектр и собственные функции дифференциального оператора, являющегося моделью исследуемой системы. Они определяют некоторые инвариантные характеристики системы, сохраняющиеся (за исключением масштабирования) при изменении входных параметров. В частности, спектр оператора, входящего в уравнение Шрёдингера [17], определяет все возможные значения полной энергии системы, а его собственные функции являются волновыми функциями исследуемой системы [1 - 3, 18 - 26]. Поэтому нахождение собственных

значений и собственных функций, в том числе, операторов ангармонических осцилляторов, т.е. решение уравнения Шрёдингера, является актуальной задачей.

В большинстве случаев невозможно найти аналитическое решение уравнения Шрёдингера, представимое в явном виде. Решения, полученные в неявном виде или выраженные через специальные функции, зачастую оказываются неудобными для использования в конкретных практических расчетах. Задача усложняется, если система допускает хаотическое поведение [27 — 46]. Поэтому в таких случаях применяются различные приближенные методы, как численные, так и аналитические (см., например [24, 47 — 103]).

»

Использование численных методов в связи с нелинейностью задачи и сложностью потенциала требует большого объема компьютерных ресурсов. К наиболее разработанным из таких методов относится метод диагонализа-ции [47 — 49]. Однако для достижения достаточной точности этот метод приводит к необходимости диагонализации матриц очень большой размерности, что требует увеличения вычислительных возможностей ЭВМ и влечет рост времени вычислений. Кроме того, как отмечалось выше, точность сильно падает при усложнении потенциальной функции и при наличии неустойчивости решений в исследуемой динамической системе.

Указанные недостатки можно частично устранить, если использовать аналитически-численные методы, в которых сначала выполняются аналитические преобразования исследуемой модели, а затем на основе полученных формул производятся численные расчеты. Для выполнения как аналитических, так и численных этапов решения задачи целесообразно использовать пакеты символьных преобразований - системы компьютерной алгебры (Maple, Reduce, Mathematica и др.).

Таким образом, разработка новых методов, в особенности аналитически-численных, реализация этих методов в виде программных комплексов с использованием современных систем компьютерной алгебры (Maple, Reduce, Mathematica и др.), и их дальнейшее применение для исследования ряда

практически важных математических моделей классической и квантовой механики, является актуальной проблемой математического моделирования динамических систем.

В диссертационной работе предложены новые методы решения задачи на собственные значения для дифференциальных операторов, являющихся математическими моделями квантовых одномерных ангармонических осцилляторов с нелинейностью полиномиального типа. Разработаны алгоритмы, реализованные в виде программ в средах Maple и Reduce, с помощью которых проведены исследования конкретных моделей указанных динамических систем с заданными потенциальными функциями.

Цель диссертационной работы состоит в разработке эффективных аналитически-численных методов, алгоритмов и программ для вычисления спектров и собственных функций дифференциальных операторов одномерных ангармонических осцилляторов на основе получения для них аналитических соотношений с использованием современных средств компьютерной алгебры, а также проведение с помощью разработанных методов и программ численных исследований ряда математических моделей классической и квантовой механики.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе сформулированы и решены следующие задачи.

1. Разработка методов получения аналитических соотношений для собственных значений дифференциальных операторов одномерных ангармонических осцилляторов с одним и двумя минимумами в потенциальной функции в удобной для вычислений форме на основе:

а) полуклассического подхода с использованием метода Линдштедта-Пуанкаре и правила Бора-Зоммерфельда;

б) метода классических и квантовых нормальных форм Депри-Хори и правила Вейля;

в) непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов.

2. Разработка программно-алгоритмической поддержки символьных преобразований и вычислений в соответствии с указанными методами на основе средств компьютерной алгебры.

3. Провести апробацию разработанных методов и программ путем решения следующих задач:

а) нахождение классических траекторий одномерных ангармонических осцилляторов, потенциальная функция которых имеет один минимум и различные степени нелинейности, на основе метода Линдштедта-Пуанкаре;

б) получение приближенной аналитической формулы спектра указанных динамических моделей с использованием найденных классических траекторий и правила Бора-Зоммерфельда;

в) приведение классического аналога исследуемого оператора к квантовой нормальной форме Депри-Хори на основе классической нормальной формы;

г) получение приближенной аналитической формулы спектра операторов одномерных ангармонических осцилляторов с одним и двумя симметричными минимумами в потенциальной функции на основе найденной квантовой нормальной формы Депри-Хори и правила Вейля;

д) получение спектров и собственных функций указанных систем путем непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов.

Методы исследований: преобразование математических моделей, методы теории дифференциальных операторов, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, математического анализа, методы теоретической и математической физики, метод нормальных форм, методы компьютерной алгебры и вычислительной математики.

Научную новизну работы составляют:

1) методы аналитических преобразований в задаче вычисления собственных значений дифференциальных операторов для уравнения Шрёдингера

на основе метода Линдштедта-Пуанкаре, метода нормальных форм, правила Бора-Зоммерфельда, правила Вейля и непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов;

2) алгоритмы символьных преобразований и вычисления собственных значений и собственных функций операторов одномерных ангармонических осцилляторов с полиномиальной потенциальной функцией, имеющей один или два симметричных минимума, на основе средств компьютерной алгебры;

3) результаты применения предложенных методов:

а) на основе метода Линдштедта-Пуанкаре найдено представление для решения уравнения

/ + р{х,а)у' + q(x,a)y = 0, где q(x,a) - некоторый полином относительно х,а а - малый параметр;

б) с помощью правила Бора-Зоммерфельда и найденных указанным методом классических траекторий ангармонических осцилляторов с потенциалами четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности получены формулы для их спектров в явном виде;

в) с помощью метода нормальных форм Депри-Хори и при помощи степенных рядов решены одномерные уравнения Шрёдингера для ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности, включая симметричный ангармонический осциллятор с двумя локальными минимумами.

Практическая значимость результатов. Диссертационная работа носит теоретический и практический характер. Результаты данного исследования могут быть использованы для исследования динамики нелинейных классических гамильтоновых систем и для нахождения спектра и собственных функций их квантовых аналогов. Разработанные программы в среде Maple могут применяться для получения приближенного решения обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром методом Линдштедта-Пуанкаре и последующего нахождения приближенной аналити-

ческой формулы спектра соответствующего оператора по правилу Бора-Зоммерфельда. Результаты диссертационной работы можно использовать для получения квантовых нормальных форм Депри-Хори и спектров одномерного уравнения Шрёдингера в случае различных полиномиальных потенциалов и для решения задачи на собственные значения и нахождения волновых функций в виде степенных рядов, а также в учебном процессе при выполнении курсовых и дипломных работ.

Положения, выносимые на защиту:

1. Новый метод символьно-численного решения одномерного уравнения Шрёдингера с полиномиальными потенциальными функциями, имеющими один* локальный минимум на основе метода Линдштедта-Пуанкаре и правила Бора-Зоммерфельда.

2. Способ приближенного решения уравнения Шрёдингера на основе классических нормальных форм Депри-Хори и полученные этим способом аналитические формулы для спектров ангармонических осцилляторов с потенциальными функциями четвертой, шестой и восьмой степени нелинейности.

3. Приближенные аналитические формулы спектра одномерных ангармонических осцилляторов, имеющих потенциальную функцию с двумя локальными минимумами, полученные с помощью разработанных символьно-численных программ на основе метода нормальных форм Депри-Хори, а также на основе непосредственного решения уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена непротиворечивостью полученных результатов теоремам и положениям теории дифференциальных уравнений и операторов, корректностью математических выкладок, воспроизведением известных результатов, полученных другими методами и другими авторами.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: объединенный семинар по вычисли-

тельной и прикладной математике ЛИТ и по компьютерной алгебре ВМК и НИИЯФ МГУ, (Дубна, 23-24 мая, 2006); «VIII Международная конференция по математическому моделированию» (Феодосия, 12-16 сентября 2006); «Га-гаринские чтения 2006» (Москва, 8-11 апреля 2006); «Современные проблемы математики её приложения в естественных науках и информационных технологиях» (Харьков, 23-25 марта 2007); IV Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 26-27 ноября 2007); Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, РУДЫ, 21-25 апреля 2008); Международная конференция по математическому моделированию, МКММ - 2008 (15-20 сентября 2008 года, Херсон, Украина, Херсонский национальный технический университет), а также на семинарах кафедры математического анализа БелГУ.

Связь с научными программами, планами и темами. Диссертационная работа выполнена в рамках индивидуального плана подготовки аспиранта по направлению «Нелинейные явления в динамических системах и их физические приложения», утвержденного Ученым советом БелГУ от 3.11.2000 и в соответствии с планами НИР кафедры математического анализа БелГУ, а также в рамках проекта Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 03-02-16263).

Личный вклад соискателя. Автор диссертации, работая совместно с научным руководителем, самостоятельно разработал все алгоритмы и программы, представленные в диссертации. Его вклад в проведение исследований и получение результатов является определяющим. Основные научные результаты, изложенные в диссертации, получены либо лично соискателем, либо при его непосредственном участии.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 12 публикациях в виде статей (из которых две в журналах из списка ВАК РФ) в специализированных журналах, в сборниках трудов всероссийских и международных конференций. Программа LINDA по теме диссерта-

ционного исследования зарегистрирована в Отраслевом Фонде Алгоритмов и Программ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 120 наименований, 12 таблиц, 7 рисунков и пяти приложений. Содержание работы изложено на 130 страницах.

Глава 1

Нахождение собственных значений нелинейных одномерных осцилляторов с помощью метода Линдштедта-Пуанкаре

Введение

В настоящее время существует множество различных способов решения уравнения Шрёдингера [47 - 87], среди которых известен так называемый полуклассический подход [24, 50, 51, 104]. В рамках данного подхода сначала рассматривается классический аналог квантовой системы, для которого решаются уравнения движения, и находятся классические траектории, а затем находится спектр исследуемой системы с помощью некоторого правила квантования.

В настоящей главе полуклассический подход применен для нахождения формулы спектра одномерных ангармонических осцилляторов с различными степенями нелинейности. При этом уравнения движения классической системы приводились к одному дифференциальному уравнению, которое приближенно решалось методом Линдштедта-Пуанкаре. К найденным классическим траекториям применялось известное правило квантования Бора-Зоммерфельда, из которого была получена формула энергетического спектра [105- 108].

1.1 Метод Линдштедта-Пуанкаре

Рассмотрим уравнение

х + со2х = е/(х,х) (1-1.1)

В уравнении (1.1.1) б - малый параметр (0<£>«:1), неизвестная функция зависит от переменной t: х = х(О, /(х,х) - непрерывная функция своих аргументов. Во многих приложениях (например, в поставленной задаче) зачастую необходимо получить приближенные решения такого уравнения, которые являлись бы периодическими функциями. Очевидно, что стандартное асимптотическое разложение по степеням £ в таких случаях желаемого результата не дает. Кроме того, асимптотическое разложение по степеням £ (как и некоторые другие методы) приведет к появлению в решении так называемых секулярных членов, т. е. слагаемых, неограниченно возрастающих при / ->оо. Метод Линдштедта-Пуанкаре свободен от этих недостатков.

Суть рассматриваемого метода состоит в следующем. Вводится новая переменная:

£ = г (1 + + е2а) 2 + ...), где сох- постоянные, соответствующим выбором которых можно избавиться от секулярных членов, которые называют еще «вековыми».

Решение уравнения (1.1.1) будем искать в виде асимптотического ряда

00

х = х(т,£) = ^£кхк(т),

к=О

где все функции хк(т) периодичны и имеют период 2л/¿у, со = 1 + еа){ +£2а)2 +____Переходя в уравнении (1.1.1) к переменной Т, получаем

И2г ( гкЛ

а 2 ч-2 ь* л г г л 2 \-1 ил + £0){+£ С02+..) -- + СОХ = £/ Х,(1 + £С0^+£ ¿У2+...) -

¿/г V ¿т)

Разложим обе части этого уравнения в ряд по степеням s и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра. В результате получим рекуррентную систему уравнений, в которой неизвестные числа

С0{,С02,... найдутся из условия отсутствия секулярных членов. Первое уравнение этой системы имеет вид

—^-+а2х0 = О, ат

откуда x0(r) = a cos со(т -т0). Учитывая начальные условия

х(0) = а, х(0) = 0, получим решение x0(r) = a cos сот .

Следующее уравнение содержит функцию / и имеет более сложный

вид:

44 + o)2xl=-2colú)\+f(x0(1.1.2) ат ат

Функция / в правой части периодична по т с периодом 2л/со. Разложим ее

в ряд Фурье

dx лГ л

= ^JJn\cos псот + fnl sinncoT).

/7=0

Очевидно, что уравнение (1.1.2) имеет периодическое решение тогда и только тогда, когда правая часть не содержит гармоник cos сот и sin сот . Поэтому должны выполняться условия

-2со,сога + fnl(a) = 0, fn2{a) = 0. Из этих уравнений находим неизвестные а, со^. В частности, начальная амплитуда а, вообще говоря, не может быть произвольной. Затем находим > решая уравнение (1.1.2) с начальными условиями

х,(0) = 0, х,(0) = 0. Важно отметить, что для нахождения первого приближения, необходимо рассмотреть второе. Это весьма типичная особенность нелинейных задач.

Аналогичная картина наблюдается и в случае высших приближений. Для того чтобы найти п-ное приближение нужно рассмотреть правую часть уравнения для (п+1)-го приближения.

1.2 Интегрирование классических уравнений движения методом Линдштедта-Пуанкаре

Рассмотрим одномерное уравнение Шрёдингера

H/iW{x) = E¥{X), (1.2.1)

в котором Е — собственные значения, а - собственные функции опера-

л

тора , определяемого следующим выражением

H =--^— + -х2+ах", (1.2.2)

2dx2 2

где 0 < а 1 — параметр; х — пространственная координата, зависящая от переменной т, которая играет роль времени; ju = 4,6,8 - степень нелинейности. Будем искать спектр оператора (1.2.2), т.е. возможные значения постоянной Е, удовлетворяющие уравнению Шрёдингера (1.2.1).

Для решения задачи (1.2.1) - (1.2.2) воспользуемся полуклассическим подходом, и рассмотрим вначале классическую гамильтонову функцию, соответствующую оператору (1.2.2):

2 2

+ (1-2.3)

где р = х - импульс, также зависящий от времени Т. Уравнения движения системы (1.2.3)

х = Р,

р - -х- /на

легко свести к единственному дифференциальному уравнению второго порядка:

/ + х + //а/_1=0, (1.2.4)

где х = х(г) - неизвестная функция, х"(г) = .

Уравнение (1.2.4) известно в литературе как уравнение Дюффинга. Его широко используют как тестовую модель для проверки различных приближенных методов [89, 90], и, кроме того, оно представляет самостоятельный интерес.

Следуя полуклассическому подходу, вначале найдем классические траектории системы (1.2.3), решив уравнение (1.2.4) методом Линдштедта-Пуанкаре, а затем применим к ним правило Бора-Зоммерфельда [1-3,7].

Введем новую переменную tí по формуле

г = <У? = (1 + ШУ, +а2а>2 + ...)?, где (Ок, к = 1, 2,... — постоянные, значения которых выбираются таким образом, чтобы исключить из решения секулярные члены. Тогда уравнение (1.2.4) примет вид

<и2х + х = -/лахм~\ (1.2.5)

где о)~\ + аа}} + а2а>2 +а3щ +...

Решение уравнения (1.2.5), следуя методу ЛиндIитедта-Пуанкаре, будем искать в виде степенного разложения по малому параметру

х = х0(/) + ахх{^ + а2х2(?) + .... (1.2.6)

Подставив этот ряд в (1.2.5), получим

{\ + асох +а2й)2 + а3 гу3 +...) (х0(?) + а:х,(?) + а2х2^) + а3х3(?) + ...) +

+х0 (?) + а х, (?) + а2хг (?) + агхг (?) + ...

(1 3 ч А«—I

х0(?) + ах{ (?) + а х2(?) + ах3(/) + ...]

Раскрыв скобки, и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях СС , для случая // = 4 получим:

Jt0 "Ь -^Q ™ Oj

x, + 2xqG\ + x, = -4 a Xq , x2 + 2xxcox + (¿y,2 -2co2) x0 + x2 = -12x(2x,

x3 + 2c9,x2 + (a>l + 2û)2 j Xj + 2(ft)3 + щсо2) x0 + x3 = -12(x0x,2 + XqX2 ),

(1.2.7)

Выражение (1.2.7) представляет собой рекуррентную систему дифференциальных уравнений. Первое уравнение системы (1.2.7), очевидно, имеет периодическое решение, которое можно представить в виде

х0(/)= Âcos(t -i0),

где А и t0 — постоянные интегрирования. Подставляя решение во второе уравнение, и решая его, найдем х, (i). Таким образом, решая уравнения системы (1.2.7), последовательно находим х0(/), хх(/), x2(t\ —

Ниже в виде псевдокода приводится алгоритм получения системы (1.2.7).

Алгоритм 1.

Input:

п - порядок решения по малому параметру, т. е. наибольшая степень а в разложении (1.2.6). Output:

и - массив уравнений системы (1.2.7).

Local: j, k - индексы,

urav = û)2x + x + jua xM~l - уравнение Дюффинга (1.2.5).

Global:

x0(/), x,(i), x2(t),...,xn(i) - неизвестные функции в разложении (1.2.6), x(t) = х0 (t) + ахх (t) + агх2 (t) +... + а"хх (t), (Dk, к = 1,2

со — 1 + + а2£У2 + <?3гу3 +... + ап б)п Functions:

Obr(P) - функция усечения полинома Р = Р{а) до n-ной степени, begin procedure

1: x(t):=x0(t) for j := 1 to n do

2: x(t):=x(t) + ajxj(t)

3: Urav := (l + aco{ + а2 a>2 + аъ co3 +... + а" •

•(x0(0 + a x, (0 + a2x2{t) + a3x3(t) +... + a"xn{t)) + + x0 (/) + ax, (0 + a2x2 (t) + a3x3 (0 +... + a"xn (t) +

+//ü: (x0 (i) + ö; x, (0 + a2x2 (t) + a3x3 (t) +... + a"xn (r))'' '

4: Urav\=expand(Urav)

5: Urav := Obr(lJrav)

6: w0 := ¿y2ox0 + x0

7: for k := 0 to n do uk := subs(u[0] = 0, coeff(Urav, ak)) end for end for

end procedure

Приведенный алгоритм состоит из семи шагов.

Шаг 1-2: происходит формирование выражения вида (1.2.6) до степени j, причем j < п. Этим открывается цикл, в котором заключены все остальные шаги.

Шаг 3-4: после подстановки x(t) в уравнение Дюффинга и раскрытия

/

скобок получаем выражение, которое относительно параметра а представляет собой полином степени, выше п.

Шаг 5: из указанного полинома удаляются все степени а, большие п. Это осуществляется функцией Obr(P). Ниже представлен ее алгоритм.

Алгоритм 2. Input:

Р{а) — полином относительно а, степень которого выше заданного п. Причем его коэффициенты могут зависеть от других переменных.

Output:

Qicc) - полином Р(а), усеченный до степени п.

Local:

к - индекс, к = \,п.

Global:

п - степень полинома Q{cc) . begin procedure

1: Q(a) := P(a)

2: for k:=l to n do Q{a) := (ak = 0) -> Q{a) end for 3: P(a) := Q{a)

end procedure

Шаг 6: задаем первое из уравнений системы (1.2.7). Шаг 7: формируем остальные уравнения.

Для решения полученной системы применяется следующий алгоритм.

Алгоритм 3. Output:

x(t) - решение уравнения Дюффинга в n-ном порядке по а.

Local: j, к - индексы. Global:

x0 (t\ x, (i), x2 (i),..., xx (t) - неизвестные функции в разложении (1.2.6),

x(t) = xQ(t) + axx{t) + a2x2(t) +... + anxx(t),

сvk, k = \,2,...,n,

со = 1 + acox + a2 o)2 +аъ соъ +... + an a>n

A, t0 - постоянные интегрирования.

begin procedure

1: x0(t):=Acos(t-t0) for i := 1 to n do

2: и;(1):=х0(О-М1;ф

3: со-, coeff(Uj (t), cos(t -10)) = 0

4: Xj(t), us(t) = 0 end for

5: x(t) = x0(t) + ax](t) + a2x2(t) + ... + a"xx(t) end procedure

Шаг 1: задаем решение первого уравнения из системы (1.2.7). Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, поэтому

его решение может быть представлено в виде x0(t) Acos(t-t0), где А, /0 -постоянные интегрирования.

Шаг 2: подставляем функцию x0(t) :=Acos(t-t0) в каждое уравнение системы (1.2.7).

Шаг 3: находим значения сох.

Секулярные члены в решении возникают из-за наличия в правых частях слагаемых вида Bcos(t-t0), где под В понимается выражение, содержащее постоянные А и со{, причем i принимает значения от 1 до к, где к - номер уравнения. Приравнивая к нулю коэффициент при cos(t-t0) во втором уравнении системы (1.2.7), найдем значение &х. Подставив это значение в третье уравнение, и приравняв к нулю аналогичный коэффициент, найдем (о2 , и т.д.

Шаг 4: находим функции х i (t) - члены ряда (1.2.6). На предыдущем шаге система (1.2.7) получила существенные упрощения. Интегрируя последовательно все ее уравнения, будем получать x0(i), х,(7), x2(t),...,xn(t) на соответствующей итерации цикла.

Шаг 5: из функций x0(i), Xj(7), x2(V),...,x,;(i), найденных в цикле,

строим решение уравнения Дюффинга.

Решение уравнения (1.2.5), полученное с помощью алгоритма 3, реализованного в среде Maple 8, в пятом порядке по а для ¡л — 4, 6,8 имеет вид

Г 1 ^

xp=4(i) = Acos(t-t^) + a ,4cos(i-/0) + -y43cos(3(i-/0)) +

8

+а2

+а3

v ° /

( (21 Ъ Л 1 ^

^cos(f-r0) + -—A5 + -^3Jcos(3(i-i0)) + —A5 cos(5(t -10)) +

(а , л Г417 105 .5 3 з^ Acos(t-ta) + -А--А5+-А3 cos(3(i-/„)) +

v 0 ч 512 64 4 j

+Í-— А7+ —A5 lcos(5 (t -t0)) +—A7 cos(7(í - í0)) V 512 64 J 512

+

+a

411 ' .A7__ÉLA9

512

4096

cos(7(í -10)) + -^^A9 cos(9(í - f0)) +

0 V 512 4096

f 2919 ,7 7797 9 5 315 1 А + — A--А

+

11 v64

64

cos(3(f-í0)) +

512 1024

cos(5(f-/0))

+ aJ

f 1

A11 cos(l \{t — Íq)) +

32768

/

+

■A1

128 4096 32768

cos(7(f-f0)) +

4096

1 A9 cos(9 (t -10)) + A cos (t -tQ) +

+

Г2919 à1 70173 i9 15 735 136113 A1--A +—A--A +-A

+

V 128

—A

4096

8

64

32768

cos(3(f-f0))

^35 5 301.7 3015 ,9 35853 ,n4

-A'+-

-AJ

64 128 1024 32768

cos(5(Y -10))

f 1 3

x//=6(í) = ^4cos(?-í0) + « ^cos(í-?0) + -yl cos3(f-f0)

v 8

+

+a

+a

v ff

VV

1 f 3 3 i —A5 cos5(f-tQ) + Acos(i -+ —A3--A5 cos3(t-t0)

32 32 )

+

5 31 i 1

— A5--A7 cos5(/-í0) +-^7cos7(í-í0) + ^cos(/-í0) +

32 512 J 128

+

(Ij-ÏLJ-JLS

4 32 512

cos3(/-i0)

+

(f

+a

15 .5 217 .7 25 .«Л

— Л vv32 512

Лг cos 5 (t-t0) + 2048 J

7 y7 , 187 „<Л

5 í3 , 45 525 , 1191 ^

+^cos(/-?0)+ -A +—A--A' +

0 1 4 32 512 2048

128 8192 cos3(Y-?0) +

cos7(/-f0) +

+-^—A9 cos9 (t-L) 8192 0

+

+a-

ff 35 217

W

32

A5-

128

11823 .„

2048 65536 )

\

cos5(i-i0) +

7 л1 1683 Á -A +

31

32 8192 2048 37

-/4" cosí l(f -10) + ^cos(í - f0) +

65536

Anlcos7(í-í0) + (^-^9——Л |cos9(í-í0) + J v 1,8192 16384 J 0

'15 .3 105

— v8

32

525 10719 ,9 1803 ,,Л Л

--A1 +-A--Au cos3(t-L) +.

128 2048 2048

+a¿

+a~

f

v

f 1 3

= Acos(t-t0) + a Acos(t-t0) +—A cos3(t-t0)

\ 8 у

1 (3 3 Л

— A5cos5(í -í0) + v4cos(í-í0) + —A3--A5 cos3(t-t0)

32 v8 32 J

31 7^1

eos 5(í -10 ) + Acos(t -10 ) +

(1.2.8)

v32 ( 1

A1 cos7(í-í0) +

__

32 512

+

v

— A3 - — A5 ——,47lcos3(í-f0) 4 32 512 J

( f H 1 Q n \

+

у

+a

'{—A1 +—^91cos7(í-/0) + Í— A5-—A7 +—A9)cos5(t~t0) + 1^128 8192 J 1,32 512 2048 J

+ 8^2 A9 COS9(í ~ 'o) + ^C0S(í ~ío) +

+

f 5,з 45 5 525 7 1191 ,«Л Л

-Л3--A5--A +-a cos3(í-ín)

U 32 512 2048 J 0 ,

+

+a

/V 7 ltfn,

32

Л

1683

л

+

+

/

Vv

35^__

32 128

153 .S

8192 2048 225

31 ^

An eos7(t -tQ) + Acos(t — t0) +

217 .7 ¿.¿.j .o

2048

л

11823 n il

cos 5 (í-í0) +

135 cos9(í

+

8192 16384 J 525

32 "" 128

65536 )

+ ^Ucosll(í-í0) + 65536

Л

v

^5 3 105 5 525 Ái 10719 1803 Л

- л3--А--А7 +-А9--Аи cos3(t-tQ) +,

904R 9П48 и

-Л

V8

/

у

Формула (1.2.8) представляет классические траектории системы (1.2.3), найденные методом Линдштедта-Пуанкаре, и является решением классической задачи. Для нахождения спектра оператора (1.2.2) произведем квантование классических решений (1.2.8) по правилу Бора-Зоммерфельда.

1.3 Правило Бора-Зоммерфельда

Используем найденные классические траектории (1.2.8) для решения квантовой задачи, т.е. для вычисления спектра оператора (1.2.2). Для этого воспользуемся условиями Бора-Зоммерфельда:

—С\ рс1х = п + —, (1.3.1)

2л * 4

где р - классический импульс (р = х), « = 0,1,2,..., т - индекс Маслова [50], в рассматриваемой задаче равный двум.

После возвращения к старой переменной т условие квантования (1.3.1) примет вид:

-\(х\т))2с1т = пл--, (1.3.2)

7Г ц 2

где Т — период колебаний, п = 0,1,2,____

Постоянные А и /(), входящие в решение (1.2.8) имеют физический смысл: /0 — величина начальной фазы, А - амплитуда колебаний системы. Без ограничения общности можно положить /0 = 0, а А выразить через полную энергию системы.

Действительно, в точке поворота потенциальная энергия системы

х2(т)

(1.2.3), определяемая функцией У(х) = —---ь ахм(т), равна ее полной

х2(0)

энергии —---\-а х'*(0) = Е, поэтому справедливо уравнение:

+ (1.3.3)

которое связывает Е - полную энергию системы с амплитудой, входящей в решение х(т).

Ниже приведен итерационный алгоритм решения уравнения (1.3.3) относительно амплитуды А.

Алгоритм 4.

Input:

х(т) - решение уравнения Дюффинга, полученное из формул (1.2.8) возвращением к старой переменной т.

Output:

А{Е) - выражение амплитуды движения системы (1.2.3) через ее полную энергию Е.

Local:

j, k - индексы,

А0, Д, 2, pred_iter, counter — промежуточные переменные. Global:

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Флоринский, Вячеслав Владимирович

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

В настоящей диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Разработаны методы получения аналитических формул для собственных значений дифференциальных операторов одномерных ангармонических осцилляторов с одним и двумя минимумами в потенциальной функции в удобной для вычислений форме на основе: а) полуклассического подхода с использованием метода Линдштедта-Пуанкаре и правила Бора-Зоммерфельда; б) метода классических и квантовых нормальных форм Депри-Хори и правила Вейля; в) непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов;

2. Разработана программно-алгоритмическая поддержка символьных преобразований и вычислений в соответствии с указанными методами на основе средств компьютерной алгебры;

3. Развит метод Линдштедта-Пуанкаре для решения обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. Сформулированы и обоснованы условия сходимости рядов Линдштедта, а также решен вопрос о корректности представляемого ими решения;

4. С помощью разработанных методов и программ проведено исследование некоторых математических моделей ангармонических осцилляторов и решены следующие задачи: а) нахождение классических траекторий одномерных ангармонических осцилляторов, потенциальная функция которых имеет один минимум и различные степени нелинейности, на основе метода Линдштедта-Пуанкаре; б) получение приближенной аналитической формулы спектра указанных динамических моделей с использованием найденных классических траекторий и правила Бора-Зоммерфельда; в) приведение классического аналога исследуемого оператора к квантовой нормальной форме Депри-Хори на основе классической нормальной формы; г) получение приближенной аналитической формулы спектра операторов одномерных ангармонических осцилляторов с одним и двумя симметричными минимумами в потенциальной функции на основе найденной квантовой нормальной формы Депри-Хори и правила Вейля; д) получение спектров и собственных функций указанных систем путем непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Флоринский, Вячеслав Владимирович, 2008 год

Список литературы

1. Ландау, Л.Д. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., Наука, 1963. -703с.

2. Блохинцев, Д.И. Основы квантовой механики / Д.П. Блохинцев. - М.: Наука, 1983.-664с.

3. Давыдов, A.C. Квантовая механика / A.C. Давыдов. - М.: Наука, 1973. -704с.

4. Бете, Г. Квантовая механика / Г. Бете. - М.: Мир, 1965. - 334с.

5. Зорин, A.B. Аналитическое вычисление операторов наблюдаемых водоро-доподобного атома в квантовой механике Курышкина / A.B. Зорин, Л.А. Севастьянов, Г.А. Беломестный, А.Л. Севастьянов // Вестник РУДН. Серия Прикладная и компьютерная математика. - 2003. - Т.2, № 2, - С.25-51.

6. Курышкин, В.В. Квантовые функции распределения: — дис. канд. физ.-мат. наук /В.В. Курышкин; УДН. - М., 1969.

7. Шифф, Л. Квантовая механика / Л. Шифф. - 2-е изд. - М.: ИЛ, 1959. -473 с.

8. Холево, A.C. Введение в квантовую теорию информации / A.C. Холево. -МЦНМО, 2002. -127 с.

9. Берман, Г.П., Введение в квантовые компьютеры / Г.Д. Дулен, Р. Майнье-ри, В.И. Цифринович. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. — 188 с.

10. Валиев, К.А., Квантовые компьютеры: надежды и реальность / К.А. Вали-ев A.A. Кокин. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.-352с.

11. Квантовые вычисления: за и против / Библиотека «Квантовый компьютер и квантовые вычисления», Т.1. - Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999. - 212 с.

12. Китаев, А.Ю. Квантовые вычисления: алгоритмы и исправление ошибок /

A.Ю. Китаев // УМН. - 1997. -№ 6.

13. Shor, P.W. Algorithms for Quantum Computation: Discrete log and Factoring / P.W. Shor // FOCS'35. - 1994. - P. 124.

14. Фрадков, Л.Ф. Управление молекулярными и квантовыми системами / Л.Ф. Фрадков, O.A. Якубовский. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 416 с.

15. Симо, К. Современные проблемы хаоса и нелинейности / К. Симо, С. Смейл, А. Шенсине и др. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 304 с.

16. Воронин, А.И. Динамика молекулярных реакций / А.И. Воронин,

B.И. Ошеров. - М.: Наука, 1990. - 424с.

17. Шрёдингер Э. Квантование как задача о собственных значениях - В кн.: Шрёдингер Э. Избранные труды по квантовой механике. -М.: Наука, 1976,

C.9-20; С. 21-50; С.75-115; С.116-138.

18. Флюгге, 3. Задачи по квантовой механике / З.Флюгге. - М.: Мир, 1974. -Т.1. - 343с.

19. Bagchi, В. A unified treatment of exactly solvable and quasi-exactly solvable quantum potentials / B. Bagchi, A.A. Ganguly // J. Phys. A.: Math. Gen. - 2003. -V.36.-P. 161-167.

20. Миллер, У. Симметрия и разделение переменных / У. Миллер. - М.:

Мир, 1981. - 342с.

21. Aldaya, V. Canonical coherent states for the relativistic harmonic oscillator / V. Aldaya, J. Guerrero // J. Math. Phys. - 2003. -Vol. 44.

22. Borisov, D.I. On the spectrum of a Schroedinger operator perturbed by a fast oscillating potential / D.I. Borisov // Journal of Mathematical Science. — 2006. -V. 139, No. l.-P. 6243-6322.

23. Fyodorov, Y.V. The density of stationary points in a high-dimensional random energy landscape and the onset of glassy behaviour / Y.V. Fyodorov, H.J. Sommers, I. Williams // JETP Letters. - 2007. - Vol. 85. - P.261-266.

24. Фрёман, H. ВКБ-приближение / H. Фрёман, П.У., Фрёман. - M.: Мир, 1967.-168с.

25. Bender, С.М. Anharmonic oscillator / С.М. Bender, Т.Т. Wu // Phys. Rev. -1969.- V.184, No.5. - P.1231-1260.

26 Bender, C.M. Anharmonic oscillator II. A study of perturbation theory in large order / C.M. Bender, T.T. Wu // Phys. Rev. - 1973. - V.7, No.6. - P. 16201636.

27. Штокман, Х.Ю. Квантовый хаос / Х.Ю. Штокман. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.-376 с.

28. Буреева, A.A., Лисица B.C. Возмущенный атом / A.A. Буреева, B.C. Лисица. - М.: ИздАТ, 1997. - 464с.

29. Haake, F. Quantum Signatures of Chaos / F. Haake. - 2-nd ed. - Springer -Verlad Berlin Heidelberg, 2001. - 497p.

30. Табор, M. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике / М. Табор. -М.-.УРСС, 2001.-320 с.

31. Шустер, Г. Детерминированный хаос / Г. Шустер. - М.: Мир, 1988. -240с.

32. Gutzwiller, М.С. Chaos in classical and quantum mechanics / M.C. Gutzwiller. - Springer-Verlag, New York Inc., 1990. - 431 p.

33. Bolotin, Yu.L., The transition regularity-chaos-regularity and statistical properties of wave function / Yu. Bolotin, V.Yu Gonchar, V.N Tarasov, N.A. Cheka-nov // Phys. Lett. - 1990. - V.A144., No.8,9. -P.459-461.

34. Пуанкаре, А. Новые методы в небесной механике. Избранные труды в трех томах / А. Пуанкаре. - М.: Наука, 1971. - Т. 1, - 776с.; Т.2, М.: Наука, 1972.-360 с.

35. Lorenz, E.N. Deterministic поп periodic flow / E.N. Lorenz // J. Atoms. Sci. -1963.-V.20-P. 130-141.

36. Henon, M. The applicability of the third integral of motion: some numerical experiments / M. Henon, C. Heiles // Astron. J. - 1964. - V.69 - P .73-79.

37. Рейман, А.Г. Интегрируемые системы / А.Г. Рейман, М.А. Семенов-тян-Шанский. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.-352 с.

38. Гукенхеймер, Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 с.

39. Цыганов, А.В. Интегрируемые системы в методе разделения переменных / А.В. Цыганов. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005.-384 с.

40. Боголюбов, Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. - М.: Наука, 1974. - 504 с.

41. Переломов, A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. / A.M. Переломов. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. - 238 с.

42. Лихтенберг, А. Регулярная и стохастическая динамика / А. Лихтенберг, М. Либерман. - М.: Мир, 1984. - 528с.

43. Заславский, Г.М. Стохастичность динамических систем / Г.М. Заславский. - М.: Наука, 1984. - 240с.

44. Заславский Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах / Г.М. Заславский. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. -288с.

45. Bohigas, О. Characterization of a chaotic quantum spectra and universality of level fluctuations laws / O. Bohigas, M.J. Giannoni, C. Schmit // Phis. Rev. Lett. - 1984. -V.52 - P. 1-4.

46. Брур, X.B. Структуры в динамике. Конечномерные детерминированные системы. / Х.В. Брур, Ф. Дюмортье, С. ван Стрин, Ф. Такенс. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 336 с.

47. Уилкинсон, Дж. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра / Дж. Уилкинсон, К. Райнш. - М.: Машиностроение, 1976. - 392с.

48. Голуб, Дж. Матричные вычисления / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. - М.: Мир, 1999.-549с.

49. Banerjee, К., The anharmonic oscillator / К. Banerjee, S.P. Bhatnagar, V. Choudhry, S.S. Kanval // Proc. R. Soc. London. - 1978. - A.360. - P. 575-586.

50. Маслов, В.П. Квазиклассические приближения для уравнений квантовой механики / В.П. Маслов, М.В. Федорюк. - М.: Наука, 1976. - 292с.

51. Ульянов, В.В. Интегральные методы в квантовой механике / В.В. Ульянов. -Харьков: Вища школа. Изд-во при Харьк. ун-те, 1982. - 160с.

52. Fernandez, M. F. On an alternative perturbation method in quantum mechanics / M.F. Fernandez // J. Phys. A: Math. Gen. - 2006. - V.39 - P. 1683-1689.

53. Турбинер, A.B. Задачи о спектре в квантовой механике и процедура "нелинеаризации" / А.В. Турбинер // УФН. -1984.- Т. 144 - Вып. 1. - С. 3578.

54. Белокуров, В.В.,. Теория возмущений со сходящимися рядами для вычисления величин, заданных конечным числом членов расходящегося ряда традиционной теории возмущений / В.В. Белокуров, Ю.П. Соловьев, Е.Т. Шавгулидзе // ТМФ. - 2000. - Т.123, №3. - С.452-461.

55. Abrashkevich, A.G. FESSDE, a program for the finite-element solution of the coupled-channal Schroedinger equation using high-order accuracy approximations / A.G. Abrashkevich, D.G. Abrashkevich, M.S. Kaschiev, I.V. Puzynin// Сотр. Phys. Commun. - 1995. - V.85. -P.65-74.

56. Пузынин, И.В. Обобщенный непрерывный аналог метода Ньютона для численного исследования некоторых нелинейных квантово-полевых моделей / И.В. Пузынин, И.В. Амирханов, Е.В. Земляная, В.Н. Первушин // ФЭЧАЯ. - 1999. -Т.30, Вып. 1. - С.210-265.

57. Swimm, R.T. Semiclassical calculation of vibritional energy levels for non-separable systems using Birkgof-Gustavson normal form / R.T. Swimm, J.B. Delos // J. Chem. Phys. - 1979. - V.71. - P. 1706-1716.

58. АН, M.K. The quantum normal form and its equivalents / M.K. Ali. // J. Math. Phys. - 1985. -V.26, No. 10. - P. 2565-2572.

59. Robnik, M. The algebraic quantization of the Birkhoff-Gustavson normal form / M. Robnik // J. Phys. A: Math. Gen. - 1984. - V.17. - P. 109-130.

60. Чеканов, H.A. Квантование нормальной формы Биркгофа-Густавсона / Н.А. Чеканов // ЯФ - 1989. - Т.50, Вып.8. - С.344-346.

61. Jaffe, L.G. Lage N limits as classical mechanics / L.G. Jaffe // Rev. Mod. Phys. -1982. -V.54 - P.407-435.

62. Ivanov, I.A. Link between the strong-coupling and weak-coupling asymptotic perturbation expansions for the quartic anharmonic oscillator / I.A. Ivanov // J. Phys. A: Math. Gen. - 1998. - V.31 - P. 6995-7003.

63. Ivanov, I.A. Sextic and octic anharmonic oscillator: connection between strong-coupling and weak-coupling expansions / I.A. Ivanov // J. Phys. A: Math. Gen. - 1998. - V.31 - P. 5697-5704.

64. Славянов, С.Ю. Асимптотика решений одномерного уравнения Шредин-гера / С.Ю. Славянов. - Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1990. - 256с.

65. Глазунов, Ю.Т. Вариационные методы / Ю.Т. Глазунов. - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. - 470 с.

66. Eastes, W. Semiclassical calculation of bound states of a multidimensional system / W. Eastes, R.A. Marcus // J. Chem Phys. - 1974. - V. 61, N. 10. -P. 4301-4306.

67. Соловьев, В.А. Адиабатические инварианты и проблема квазиклассического квантования многомерных систем / В.А. Соловьев // ЖЭТФ. - 1978. -Т. 75.-Вып. 4.-С. 1261-1268.

68. Miller, W.H. Semiclassical theory of atom-diatom collision: Path integral and the classical S-matrix / W.H. Miller // J.Chem.Phys. - 1970. - V. 53, N. 5. - P. 1949-1959.

69. Banerjee, K. General anharmonic oscillators / K. Banerjee // Proc. R. Soc. Lond. - 1978. - A.364 - P.265-275.

70. Nikolaev, A.S. On the diagonalization of quantum Birkhoff-Gustavson normal form / A.S. Nikolaev // J. Math. Phys -1996. - V.37. N.6, - P. 2643-2661.

71. Esposti, M.D. Quantization of the classical Lie algorithm in the Bargmann representation / M.D. Esposti, S. Graffi, J. Herczynski // Ann. Phys. - 1991. - V. 209,N. 2.-P. 364-392.

72. Koscik, P. The optimized Rayleigh-Ritz scheme for determining the quantum-mechanical spectrum / P. Koscik, A. Okopinska // J. Phys. A: Math. Theor. -2007. -V. 40. -P.10851-10869.

73. Hioe, F.T. Quantum theory of anharmonic oscillators. I. Energy levels of oscillators with positive quartic anharmonicity / F.T. Hioe, E.W. Montroll // J. Math. Phys. - 1975. - V. 16, N. 9. - P. 1945-1955.

74. Hioe, F.T. Quantum theory of anharmonic oscillators. II. Energy levels of oscillators with x2a anharmonicity / F.T. Hioe, Don Mac Millen, E.W. Montroll // J. Math. Phys. - 1976. - V. 17, N. 7. - P. 1320-1337.

75. Kesarwani, R.N. Five-term WKBJ approximation / R.N. Kesarwani, Y.P. Yarshni // J. Math. Phys. - 1980. - Y. 21, N. 1. - P. 90-92.

76. Kesarwani, R.N. Eigenvalues of an anharmonic oscillators / R.N. Kesarwani, Y.P. Varshni // J. Math. Phys. - 1981. - V. 22, N. 9. - P. 1983-1989.

77. Шильников Л.П. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1 / Л.П. Шильников, А.Л. Шильников, Д.В. Тураев, Л.Чуа. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 416 с.

78. Йаффе, Л. Квантовая механика с большим N и классические пределы / Л. Йаффе // Сб. Физика за рубежом, сер. А. Исследования. - М.: Мир, 1984.-239 с. (С.60-88).

79. Dineykhan, М. The Schroedinger equation for bound state systems in oscillator representation / M. Dineykhan, G.V. Efimov // Repots of Math. Phys. - 1995. -V.6, N. 2/3,-P. 287-308.

80. Tang A.Z. Shifted 1/N expansion for the Hulten potential / A.Z. Tang, F.T. Chan//Phys. Rev. - 1987.-A35,N.2.-P. 911-914.

81. Коллатц. Задачи на собственные значения / Коллатц. — М.: Наука, 1968, — 504с.

82. Yue-ying, Qi. The Continuum Eigen-Functions of 1-D Time-Independent Schrodinger Equations by Using Symplectic Algorithm / Yue-ying Qi, Xue-Shen Liu, Pei-Zhu Ding // Intern. J. Quantum Chem. - 2004. - P. 1-7.

83. Chun-Hui Miao and Shang-Wu Qian. Variational supersymmetric WKB approximation / Chun-Hui Miao, Shang-Wu Qian // Phys. Rev. - 1997. - A56, No.3.-P. 2412-2414.

84. Kinoshita, H. Symplectic integrator and their application to dynamical astronomy / H. Kinoshita, H.Yoshida, H Nakai // Celestial mechanics and dynamical astronomy. - 1991. - V.50 - P. 59-71.

85. Chaudhuri, R.N. Eigenvalues of anharmonic oscillators and the perturbed Coulomb problem in N-dimensional space / R.N. Chaudhuri, M. Mondal // Phys. Rev. - 1995.-A52,No.3.-P. 1850-1856.

87. Форсайт, Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Мальком, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 279с.

88. Lindstedt, A. Uber die Integration einer fur die strorungstheorie wichtigen Differentialgleichung / A. Lindstedt // Astron. Nach., 1882. - N. 103. - Col. 211220.

89. Найфэ, А. Методы возмущений / А. Найфэ. - M.: Мир, 1976. - 456с.

90. Найфэ А. Введение в методы возмущений / А. Найфэ. — М.: Мир, 1984. -535с<

91. Флоринский, В.В. Программа нахождения спектра слабовозмущенного осциллятора методом полуклассического квантования «LINDA» /

В.В. Флоринский, Н.А. Чеканов // Зарегистрирована в Отраслевом фонде алгоритмов и программ. - М.: ВНТИЦ, 2006. - №50200602029. Свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 7242 ОФАП - 2006.

92. Джакалья, Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем / Г.Е.О. Джакалья. - М.: Наука, 1979. - 320с.

93. Маркеев, А.П. Теоретическая Механика / А.П. Маркеев. — Ижевск: НИЦ «РХД», 2001.-592 с.

94. Голдстейн, Г. Классическая механика / Г. Голдстейн. - М.: Наука, 1975. -415 с.

95. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике / Ф.Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1966.-300 с.

96. Basios, V. GITA: a REDUCE program for the normalization of polynomial Hamiltonians / V. Basios, N.A. Chekanov, B.L. Markovski, V.A. Rostovtsev, S.I. Vinitsky // Сотр. Phys. Commun. - 1995. - V. 90 - P. 355.

97. Shirts, R.B. Approximate constant of motion for classically chaotic vibrational dynamics: vague tori, semiclassical quantization, and classical inframolecular energy flow / R.B. Shirts, W.P. Reinhard. // J. Chem. Phys. - 1982. - V.77, N.10-P. 5204-5217.

98. Gusev, A.A. A comparison of algorithms for the normalization and quantization of polinomial Hamiltonians / A.A. Gusev, N.A. Chekanov, V.A. Rostovtsev, S.I. Vinitsky. and Y. Uwano // Programming and Computer Software. - 2004. - V.30, N. 2 - P. 75-82.

99. Вейль, Г. Теория групп и квантовая механика / Г. Вейль. - М.: Наука, 1986,-496 с.

100. Гребенников, Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах / Е.А. Гребенников. - М.: Наука, 1986. - 256 с.

101. Зигель, К. Лекции по небесной механике / К. Зигель, Ю. Мозер -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — 384 с.

102. Уиттекер, Э. Аналитическая динамика / Э. Уиттекер. — Ижевск: НИЦ «РХД», 1999.-596 с.

103. Ukolov, Yu.A. LINA 01: A REDUSE program for the normalization of poli-nomial Hamiltonian / Yu. A. Ukolov, N.A. Chekanov, A.A. Gusev, V.A. Rostovtsev, S.I. Vinitsky, Y. Uwano // Comp. Phis. Commun. - 2005. -Vol.166,N. l.-P. 66-80.

104. Борн, M. лекции по атомной механике / М. Борн. - Харьков - Киев: ГНТИ, 1934.-312с.

105. Флоринский, В.В. Квантование одномерной системы Дюффинга в полуклассическом приближении / В.В. Флоринский, H.A. Чеканов // Сборник студенческих научных работ. - Белгород: Изд-во БелГУ. - 2004. -Bbin.VHI.-4.1.-C. 34-36.

106. Флоринский, В.В. Квантование решений одного дифференциального уравнения второго порядка / В.В. Флоринский, H.A. Чеканов // Успехи современного естествознания. - 2004 — № 7. — С. 83-84.

107. Флоринский, В.В. Полуклассический спектр уравнения Дюффинга / В.В. Флоринский, H.A. ^ Чеканов // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. 9-14 октября 2006 г., Орел. Т. 2. - Орел: Издательство ОГУ. - 2006. - С.230.

108. Флоринский, В.В. Квантование уравнения Дюффинга на основе метода Линдштедта-Пуанкаре /В.В. Флоринский, H.A. Чеканов // Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции «XXXII Гагарин-ские чтения». - М.: Изд-во «МАТИ», - 2006. - Т. 5. - С. 74-76.

109. Флоринский, В.В. Полуклассическое квантование уравнения Дюффинга / В.В. Флоринский, Н.А Чеканов // Физико-математическое моделирова-

ние систем. Материалы IV Международного семинара (Воронеж, 26-27 ноября 2007г.), Часть I. - Воронеж. - 2007. - С. 149-154.

110. Флоринский, В.В. Квантование классических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенью нелинейности /В.В. Флоринский // Сборник материалов международной научной конференции для студентов и аспирантов «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях», 23-25 марта 2007 г. -Харьков: ХНУ. - 2007. - С. 160.

111. Флоринский, В.В. Собственные значения ангармонического осциллятора /В.В. Флоринский // Вестник Харьковского национального университета им. В.Н. Каразина. Серия «Математика, прикладная математика и механика». - 2007. - № 790. - С. 83-88.

112. Флоринский, В.В. Квантование нелинейных одномерных осцилляторов по правилу Вейля / В.В. Флоринский, H.A. Чеканов // XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии: Тезисы докладов. Секция физики. - М.: РУДН. - 2008. - С. 46-47.

113. Чеканов, H.A. Решение уравнения Шредингера для ангармонических осцилляторов / H.A. Чеканов, В.В. Флоринский // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. -2008. -№7. -С.147-151.

114. Флоринский, В.В. Квантование классических ангармонических осцилляторов методом нормальных форм / В.В. Флоринский, H.A. Чеканов // Вестник Херсонского национального технического университета. — Вып. 2 (31). - Херсон: ХНТУ. - 2008. - С. 490-494.

115. Флоринский, В.В. Полуклассическое квантование уравнения Дюффинга / В.В. Флоринский, H.A. Чеканов // Вестник Воронежского государственного технического университета. — 2008. - Т.4. - №9. - С. 109-111.

116. Jafarpour, M. Calculation of energy eigenvalues for the quantum anharmonic oscillator with a polynomial potential / M. Jafarpour, D. Afshar // J. Phys. A: Math. Gen. -2002. - V.35 -P. 87-92.

117. Erik Van der Straeten. The quantum doble-well anharmonic oscillator in an external field / Erik Van der Straeten, Jan Naudts // J. Phys. A: Math. Gen. -2006.-V. 39.-P. 933-940.

118. Alvarez, G. Transition from classical mechanics to quantum mechanics: x4 perturbed harmonic oscillator / G. Alvare, S. Graffi, H.J. Silverstone // Physical review A. - 1988. - V.38, N. 4 - P. 37-47.

119. Killingbeck, J.P. A matrix method for power series potentials / J.P. Killing-beck, T. Scott. B. Rath // J. Phys. A: Math. Gen. - 2000. - V.33 - P. 6999 -7006.

120. Альбеверио, С. О формулах для расщепления верхних и нижних энергетических уровней одномерного оператора Шредингера / С. Альбеверио, С.Ю. Доброхотов, Е.С. Семенов // Теоретическая и математическая физика.-2004.-Т. 138, №1.-С. 116-126.