Методы обработки символьной информации и математическое моделирование в исследованиях теоретических моделей космической динамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Прокопеня, Александр Николаевич

• Прокопеня, Александр Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Прокопеня, Александр Николаевич

Введение

Общая характеристика работы.

1. Обзор научных результатов по ньютоновой проблеме многих тел.

1.1. Постановка ньютоновой проблемы многих тел.

1.2. Проблема интегрируемости дифференциальных уравнений движения.

1.3. Поиск и исследование точных частных решений.

1.4. Ограниченные задачи многих тел.

1.5. Основные понятия и теоремы об устойчивости, используемые в космической динамике.

2. Новые классы томографических решений задачи многих тел

2.1. Определение и свойства томографических решений по Винтнеру.

2.2. Конфигурационное пространство Нехвила.

Условие существования томографических решений.

2.3. Симметричные томографические решения задачи четырех тел

2.4. Центральные конфигурации системы четырех тел в плоскости

2.5. Томографические многоугольники в проблеме рп+1)теп.

3. Классические и современные методы исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

3.1. Методы теории возмущений для вычисления характеристических показателей системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

3.2. Символьные вычисления характеристических показателей методом бесконечных определителей.

3.3. Определение границ между областями устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров системы.

3.4. Нормализация неавтономной линейной гамильтоновой системы дифференциальных уравнений с малым параметром.

4. Исследование устойчивости стационарных решений в ограниченных задачах томографической динамики.

4.1. Дифференциальные уравнения ограниченной задачи многих тел. Определение положений равновесия.

4.2. Анализ устойчивости равновесных решений в первом приближении.

4.3. Исследование линейной устойчивости равновесного решения обобщенной "задачи Ситпикова".

4.4. Устойчивость по Ляпунову равновесного решения обобщенной задачи Ситникова.

4.5. Устойчивость равновесного решения при наличии резонанса четвертого порядка.

5. Исследование устойчивости томографических решений в задаче многих тел.

5.1. Линеаризованные уравнения возмущенного движения.

5.2. Теоремы о линейной устойчивости и неустойчивости томографических многоугольников.

5.3. Теорема о неустойчивости ромбоподобных конфигураций в задачах четырех и пяти тел.

6. Исследование устойчивости цилиндрической прецессии динамически симметричного спутника на эллиптической орбите.

6.1. Линеаризованные уравнения возмущенного движения. Области устойчивости цилиндрической прецессии в случае круговой орбиты спутника.

6.2. Области неустойчивости цилиндрической прецессии в окрестностях точек простого параметрического резонанса при Р = 3/

6.3. Теоремы о линейной устойчивости и неустойчивости цилиндрической прецессии в случае р = 3 /

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы обработки символьной информации и математическое моделирование в исследованиях теоретических моделей космической динамики»

Одна из характерных черт развития современной науки - это интенсивное исследование и освоение космического пространства. В связи с этим возникла практическая необходимость в разработке методов решения задач космической динамики, связанных с расчетом, управлением и проектированием траекторий движения искусственных небесных тел [1, 2]. Оказалось, что многие задачи современной космической динамики могут быть сведены к уже изученным задачам небесной механики, аналитические методы которой дают возможность найти общее или частное решение уравнений движения, как правило, в виде бесконечных сходящихся или асимптотических рядов [3-5]. Однако расчеты движения искусственных спутников и межпланетных космических аппаратов требуют знания координат и скоростей небесных тел с более высокой точностью, чем та, которая была необходима в классических задачах небесной механики. Для достижения требуемой точности расчетов характеристик движения необходимо учитывать сотни и тысячи членов разложения искомых функций по параметрам задачи, что стало практически возможным лишь с появлением современных компьютеров. Создание быстродействующих ЭВМ стимулировало развитие и другого раздела небесной механики, в котором в качестве главного инструмента исследования используются численные методы. Разработка численных методов интегрирования дифференциальных уравнений дала возможность исследователям получать хорошие аппроксимации как инерционного, так и управляемого движения небесных тел на больших интервалах времени [6, 7]. Если в недавнем прошлом компьютеры в основном использовались для выполнения численных расчетов, то в настоящее время имеется ряд программных систем, например, Reduce [8], Mathematica [9], Maple [10] или Macsyma [11], которые с успехом выполняют как численные, так и символьные вычисления [12, 13]. Существенно возросшее быстродействие компьютеров, позволяющее быстро анализировать различные математические модели, превратило их в мощное орудие в руках исследователя. Таким образом, использование новых компьютерных технологий дает реальную возможность не только сделать следующий шаг в развитии аналитических и численных методов космической динамики, но и продвинуть вперед качественную теорию дифференциальных уравнений, которая позволяет определить общие свойства движения космических аппаратов. Эти методы, взаимно дополняя друг друга, позволяют получить достаточно полную информацию о движении небесных тел и добиться значительного продвижения в том, что А. Пуанкаре назвал "основной задачей динамики" [14].

Хорошо известно, что базовой моделью как небесной механики, так и космической динамики является знаменитая проблема п тел. Эта модель была предложена И. Ньютоном в 1687 г. для объяснения динамической эволюции Солнечной системы и по этой причине до сих пор является одной из наиболее известных моделей в астрономии, математике и механике. Она оказала и продолжает оказывать огромное влияние на создание и развитие математических и физических методов, используемых в различных разделах динамики, механики и физики. К сожалению, попытки решить эту задачу в строгом смысле слова не увенчались успехом. Вместе с тем это обстоятельство стимулировало разработку новых аналитических, численных и качественных методов исследования обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих отношение не только к небесной механике. Именно для решения этой задачи были разработаны такие универсальные методы, как метод малого параметра, метод итераций, метод последовательных приближений, метод поиска периодических и квазипериодических решений, численные методы интегрирования, наконец, качественная теория дифференциальных уравнений, в том числе и одно из существенных достижений математики XX столетия - так называемая КАМ-теория [15]. Можно утверждать, что задача п тел уже более 300 лет служит полигоном для проверки эффективности и мощи новых математических идей и методов. По этой причине использование методов компьютерной алгебры для ее исследования оказалось не только вполне естественным, но и весьма продуктивным [16, 17].

Первые работы, в которых для выполнения аналитических вычислений в небесной механике использовались компьютеры, появились в конце 1950-х годов [18, 19]. Основным объектом исследований в этих работах были тригонометрические ряды с полиномиальными коэффициентами, называемые рядами Пуассона. Поскольку во многих случаях движение небесных тел является почти периодическим, такие ряды позволяют достаточно хорошо аппроксимировать решения уравнений движения. При отсутствии достаточных машинных ресурсов, как правило, использовались численно-символьные вычисления, тригонометрические ряды представлялись в символьной форме, а их коэффициенты определялись численно при заданных значениях параметров системы [20, 21]. Подобная комбинация символьных и численных вычислений использовалась, например, и в работах [22, 23], когда два асимптотических решения строятся в виде формальных степенных рядов вблизи сингулярных точек, а затем соединяются численно в регулярной области. Для вычисления рядов Пуассона, а также для поиска решений уравнений движения небесных тел в виде асимптотических и степенных рядов было написано множество программ и разработан целый ряд систем аналитических вычислений [24-28]. И хотя компьютеры того времени имели очень ограниченные ресурсы, исследования показали перспективность их использования для выполнения символьных расчетов в небесной механике. Например, вычисление возмущающей функции и интегрирование уравнений движения Лупы, на которые Шарль Делоне потратил около 20 лет, были проверены и уточнены с помощью компьютера в течение одного года [29, 30].

В 1970-е годы произошло дальнейшее развитие систем аналитических вычислений, связанное с разработкой и совершенствованием алгоритмов решения типичных задач небесной механики. Это и операции с рядами Пуассона, и решение полиномиальных систем уравнений, и вычисление возмущающей функции, а также ее производных в проблемах движения планет и их спутников [31, 32]. Реализация этих алгоритмов сопровождалась созданием ряда специализированных пакетов программ для выполнения символьных расчетов [33]. К сожалению, эффективность их использования была еще достаточно низкой из-за ограниченности машинных ресурсов и, кроме того, существовала проблема оптимального или, можно сказать, наилучшего взаимодействия систем аналитических вычислений с численными программами.

За последние 20 лет ситуация в области компьютерных технологий коренным образом изменилась. Во-первых, в тысячи раз увеличилась вычислительная мощность компьютеров, что позволяет существенно сократить время расчетов. Во-вторых, появились программные средства, в которых осуществлена интеграция символьных, численных и графических возможностей компьютера, что значительно упростило взаимодействие между различными типами вычислений. Теперь можно не только производить все необходимые расчеты и преобразования в рамках одной системы, но и легко визуализировать получаемые результаты. Поэтому новые универсальные программные средства [8-11], получившие название систем компьютерной алгебры, нашли самое широкое применение в научных исследованиях [3436]. Они возродили интерес к проблемам небесной механики, так как с их помощью можно не только существенно уточнить некоторые полученные ранее результаты, но и сформулировать и всесторонне исследовать новые математические модели, описывающие динамику естественных и искусственных космических объектов.

Результаты, включенные в настоящую диссертацию, охватывают аналитические, качественные и численные исследования новых моделей космической динамики, основанных на новых классах точных решений дифференциальных уравнений ньютоновой проблемы многих тел [16, 37, 38]. Прежде всего, это поиск новых классов томографических решений [39] в ньютоновой задаче многих тел и исследование их устойчивости и неустойчивости на основе теории устойчивости Ляпунова [40] и теории условно-периодических решений гамильтоновых систем, заданных на многомерных торах, развитой А.Н. Колмогоровым [41], В.И. Арнольдом [42] и 10. Мозе-ром [43]. Разработанные на основе методов компьютерной алгебры эффективные алгоритмы решения подобных задач реализованы в виде компьютерных программ, написанных в системе Mathematica, и с их помощью получен ряд новых результатов [44-46].

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Математические модели небесной механики и космической динамики, как правило, описываются системами нелинейных дифференциальных уравнений, имеющих весьма сложную аналитическую структуру. Отсутствие точных универсальных методов интегрирования таких систем стимулировало разработку приближенных аналитических и численно-аналитических методов, которые могут быть реализованы в эффективных компьютерных алгоритмах. Исследования в этом направлении связаны с именами К. Зундмана, Г.А. Мермана, В.А. Брумбер-га, Е.А. Гребеникова, Ю.А. Рябова и других ученых, в работах которых разработаны алгоритмы построения решений, прежде всего, классической ньютоновой задачи трех тел и ее разновидностей в виде различных рядов и получен ряд фундаментальных результатов. Эти известные результаты получены, как правило, в "докомпьютерную эпоху", поэтому они не всегда могут быть приспособлены к новым компьютерным технологиям.

В настоящее время более эффективными становятся качественные исследования моделей космической динамики, основанные на поиске точных частных решений дифференциальных уравнений движения и последующем анализе их устойчивости с использованием новейших достижений в компьютерной математике. Такой подход связан с идеями А. Пуанкаре и A.M. Ляпунова и хорошо зарекомендовал себя в случае известной модели астрономии, математики и механики - ограниченной задачи трех тел. Для его реализации требуется, в первую очередь, разработать математические методы и алгоритмы построения точных частных решений, поскольку в случае ньютоновой задачи многих тел, например, число найденных решений весьма ограничено. Имеющиеся в настоящее время результаты получены учеными различных стран, среди которых следует отметить, прежде всего, В.М. Алексеева, Г.Н. Дубошина, А.А. Орлова, К.А. Ситникова, А. А1-bouy, D. Bang, F. Cedo, A. Chenicer, J.M. Cors, 0. Dziobek, B. Elmabsout, L. Euler, Y. Hagihara, J.L. Lagrange, P.C. Laplace, J. Llibre, M. Olle, A. Ollongren, K.R. Meyer, R. Moeckel, R. Montgomery, F.R. Moulton, J.I. Pal-more, L.M. Perko, D.G. Saari, D.S. Schmidt, M. Shub, C. Simo, P.K. Seidelmann, S. Smale, V. Szebehely, E.L. Walter, A.L. Whipple, A. Wintner и др. Большая часть найденных точных решений ньютоновой задачи многих тел принадлежит к классу так называемых томографических решений, достаточные условия существования которых были получены А. Винтнером в первой половине двадцатого столетия, а необходимые условия были сформулированы позднее Е.А. Гребениковым. Несмотря на эти фундаментальные результаты, относящиеся к нахождению точных томографических решений, конструктивные алгоритмы их поиска с использованием компьютеров в настоящее время практически отсутствуют. Это делает проблему их разработки весьма актуальной.

В проблеме устойчивости решений дифференциальных уравнений, описывающих различные модели небесной механики и космической динамики, имеются существенные принципиальные достижения, причем они получены в основном в трудах отечественных ученых. Среди них следует отметить специалистов, успешно использующих, в той или иной степени, современные компьютерные технологии для выполнения аналитических вычислений: В.И. Арнольд, А.Д. Брюно, М.А. Вашковьяк, Ю.Ф. Гордеева, Е.А. Гребеников, С.А. Гутник, В.Ф. Еднерал, Г.Б. Ефимов, Н.И. Земцова, А.П. Иванов, A.M. Леонтович, М.Л. Лидов, А.П. Маркеев, С.В. Миронов, Ю.А. Рябов, В.А. Сарычев, А.Г. Сокольский и др. Но, к сожалению, многие важные вопросы в рамках данной тематики, прежде всего, проблема устойчивости решений многомерных гамильтоновых систем, весьма далеки от окончательного решения. Существенная особенность задачи об устойчивости решений гамильтоновых систем, в отличие от систем с другой аналитической структурой, состоит в том, что она относится к критическому в смысле Ляпунова случаю и, как правило, не может быть решена ни в каком конечном приближении, а может быть решена только в строгой нелинейной постановке. Даже анализ устойчивости решений линейной неавтономной гамильтоновой системы часто вызывает значительные трудности, особенно тогда, когда функция Гамильтона зависит от двух и более параметров. Наиболее простым примером такого рода является следующая гамильтонова система второго порядка dxx dx2 а + ecos/ ; "" ' =* .Xj ? ^ 1J dt dt l + 8cos/ которая встречается, например, при исследовании эллиптических ограниченных задач многих тел. Здесь а и 8 - положительные параметры, причем в практически важных случаях 8 можно считать малой величиной. Система (1) сводится к хорошо известному уравнению Хилла, исследованию которого посвящена обширная литература. Стандартный анализ этой системы показывает, что области неустойчивости ее тривиального решения на плоскости параметров Oza могут существовать только в окрестности точек а = n2IA (п = 0,1,2,.,.). Вместе с тем, имеющиеся в литературе критерии, например, критерий A.M. Ляпунова или критерий Н.Е. Жуковского, не позволяют найти уравнения границ этих областей с требуемой точностью. Например, конструктивные алгоритмы, которые позволяли бы найти эти границы в виде рядов по малому параметру е с любой заданной точностью и которые можно реализовать в виде эффективных компьютерных программ, в литературе отсутствуют, что делает, наряду с динамическими факторами, весьма актуальной проблему их разработки.

Современные системы компьютерной алгебры типа Mathematica, Maple, Macsyma, предоставляют новые возможности для решения задач небесной механики и космической динамики, так как они позволяют реализовать вычислительные алгоритмы системного анализа и обработку символьной информации на качественно более высоком уровне. В этой связи разработка самих моделей космической динамики, математического аппарата и программного обеспечения для их исследования представляются весьма актуальными.

Целью работы является разработка аналитических, качественных и вычислительных методов системного анализа и математического моделирования для более точного описания эволюции динамических систем небесной механики и космической динамики и исследования их устойчивости, а также разработка соответствующего программного обеспечения на основе системы компьютерной алгебры Mathematica.

Объект и предмет исследования. Физическим объектом исследования являются системы многих тел, динамика которых определяется законами и постулатами классической ньютоновой механики. Предметом исследования являются системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику естественных и искусственных космических объектов. Областью исследования являются теоретические основы и методы математического моделирования и системного анализа, позволяющие производить исследование моделей небесной механики и космической динамики с требуемой для практических нужд точностью.

Методика исследований базируется на применении аналитической и качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости Ляпунова-Пуанкаре, теории Колмогорова-Арнольда-Мозера условно-периодических решений гамильтоновых систем на многомерных торах, теории и алгоритмах математического программирования, а также на использовании возможностей современных систем компьютерной алгебры по выполнению численных расчетов, обработке символьной информации и визуализации получаемых результатов.

Достоверность и обоснованность полученных результатов основаны на математической корректности сформулированных и решаемых проблем космической динамики, строгом применении методов качественной теории дифференциальных уравнений, а также на применении фундаментальных результатов теории устойчивости Ляпунова и теорем КАМ-теории. Все приведенные в диссертации результаты сопровождаются полными доказательствами и строго обоснованы.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертационная работа выполнена в Вычислительном Центре им. А.А. Дородницына РАН в рамках проектов РФФИ № 01-01-00144 "Методы математического моделирования в гамильтоновой томографической динамике" (20012003 гг.), № 04-01-00270 "Методы компьютерной алгебры в гамильтоновой динамике с неполной симметрией" (2004-2006 гг.) и в Брестском государственном техническом университете в соответствии с научной темой № 2001509 "Аналитические и качественные исследования космодинамических моделей Лагранжа-Винтнера, Гребеникова-Эльмабсута и нелинейных дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядка" в рамках межвузовской программы фундаментальных исследований "Анализ и динамические системы" (2001-2005 гг.).

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Аналитический метод вычисления матриц преобразования Ляпунова для гамильтоновых систем дифференциальных уравнений с малым параметром и приведения функции Гамильтона к нормальной форме в смысле Биркгофа-Пуанкаре.

2. Теоремы существования новых классов томографических решений в ньютоновой проблеме четырех тел и в обобщенной модели Винтнера, представляющей динамику большого числа тел, образующих в любой момент времени правильные концентрические многоугольники, а также алгоритмы их построения и исследования.

3. Теоремы об устойчивости и неустойчивости равновесных решений в эллиптических ограниченных задачах четырех и пяти тел, а также в обобщенной "задаче Ситникова", в том числе и при наличии резонанса четвертого порядка.

4. Теоремы о линейной устойчивости и неустойчивости томографических многоугольников, а также о неустойчивости ромбоподобных конфигураций в задаче четырех и пяти тел.

5. Новые алгоритмы, позволяющие эффективно вычислять в символьном виде характеристические показатели систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами на основе метода бесконечных определителей и теории возмущений.

6. Новый конструктивный алгоритм символьных вычислений границ между областями устойчивости и неустойчивости в пространствах параметров, определяющих основные динамические и геометрические характеристики динамических моделей.

7. Результаты символьных вычислений границ областей устойчивости решений уравнения Хилла и треугольных лагранжевых решений эллиптической ограниченной задачи трех тел.

8. Теоремы о неустойчивости по Ляпунову и устойчивости в первом приближении цилиндрической прецессии спутника на эллиптической орбите в случае резонанса 3:2.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. В диссертации найдены математические условия, гарантирующие существование новых классов томографических решений дифференциальных уравнений движения в ньютоновой проблеме многих тел.

2. Впервые доказана топологическая эквивалентность трехмерных конфигурационных пространств Евклида и Нехвила на множестве томографических решений задачи многих тел.

3. Впервые доказано, что в малой окрестности произвольной центральной конфигурации четырех тел, массы которых заданы, существует двухпа-раметрическое семейство центральных конфигураций, получаемых путем непрерывной деформации исходной конфигурации.

4. Разработан и реализован до конца новый алгоритм символьных вычислений характеристических показателей линейных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами на основе метода бесконечных определителей.

5. Полностью исследована проблема устойчивости равновесных решений дифференциальных уравнений в обобщенной задаче Ситникова, а также проблема устойчивости ромбоподобных конфигураций в системах четырех и пяти взаимодействующих тел.

Практическая полезность полученных результатов. Разработанные в диссертации методы исследования устойчивости динамических систем классов Пуанкаре-Ляпунова и Колмлгорова-Арнольда-Мозера могут быть использованы при проектировании космических аппаратов нового поколения. Методы, алгоритмы и компьютерные программы, разработанные в диссертации, уже использованы и используются в настоящее время при проведении научно-исследовательских работ в отделе методов нелинейного анализа ВЦ РАН, в Брестском государственном университете им. А.С. Пушкина, в Брестском государственном техническом университете, а также могут быть использованы при исследовании других математических моделей космической динамики, небесной и классической механики. Результаты диссертации используются автором в учебном процессе при чтении спецкурса "Решение физических задач с помощью системы Mathematica", а также могут быть использованы при чтении курсов дифференциальных уравнений, небесной механики, теории устойчивости, качественной теории динамических систем, методов математического моделирования.

Личный вклад соискателя. Автором выполнены анализ, алгоритмизация и решение всех представленных в диссертации задач. Все результаты, изложенные в единоличных публикациях, получены автором самостоятельно. Из совместных публикаций в диссертацию включены лишь те результаты, которые получены лично автором.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих семинарах и конференциях:

- на семинарах отдела методов нелинейного анализа ВЦ им. А.А. Дородницына РАН (Москва, 2001-2005 гг.);

- на семинаре по компьютерной алгебре в лаборатории информационных технологий ОИЯИ (Дубна, 2005 г.);

- на семинаре по компьютерной алгебре на факультете ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова (Москва, 2005 г.);

- на Международной конференции "Компьютерная алгебра и ее приложения в физике СААР'2001" (Дубна, 2001 г.);

- на Международных конференциях "Моделирование динамических систем и исследование устойчивости" (Киев, 2001 г.; 2003 г.);

- на Международной конференции "Mathematica System in Teaching and Research" (Седльце, Польша, 2001 г.);

- на Международных математических конференциях "Еругинские чтения" (Гродно, 2001 г.; Брест, 2002 г.; Витебск, 2003 г.);

- на Международной конференции "Mathematica Developer Conference" (Champaign, USA, 2001 г.);

- на Рейнских конференциях по компьютерной алгебре (Mannheim, Германия, 2002 г.; Nijmegen, Голландия, 2004 г.);

- на Международной конференции "Applications of Computer Algebra ACA'2002" (Volos, Греция, 2002 г.);

- на Пятом международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002 г.);

- на Международной конференции "Компьютерная математика в фундаментальных и прикладных исследованиях и образовании" (Минск, 2002 г.);

- на Международной конференции "International Mathematica Symposium" (Лондон, Великобритания, 2003 г.);

- на Международных конференциях "Компьютерная алгебра в научных вычислениях CASC" (Passau, Германия, 2003; Санкт-Петербург, 2004 г.; Kalamata, Греция, 2005 г.);

- на Международной конференции "Applications of the Mathematica system to Social Processes and Mathematical Physics" (Брест, 2003 г.);

- на Международной математической конференции, посвященной 75-летию академика К.С. Сибирского (Кишинев, Молдавия, 2003 г.);

- на Международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений AMADE'2003" (Минск, 2003 г.);

- на Пятом конгрессе румынских математиков (Pitesti, Румыния, 2003 г.);

- на Международных конференциях "Mathematical Modelling and Analysis" (Юрмала, Латвия, 2004 г.; Тракай, Литва, 2005 г.);

- на Международной конференции "Differential Equations and Related Topics", посвященной И.Г. Петровскому (Москва, 2004 г.);

- на Пятом международном симпозиуме по классической и небесной механике (Великие Луки, 2004 г.);

- на Международной конференции "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (Киев, 2005 г.);

- на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры DE&CAS'2005" (Брест, 2005 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 48 научных работ, включая 2 учебных пособия, 30 статей в научных журналах и сборниках научных трудов, из них 5 статей в научных журналах и сборниках, рекомендованных ВАК Российской Федерации, и 15 статей в зарубежных научных изданиях, соответствующих требованиям ВАК Белоруссии, 16 тезисов докладов на международных научных конференциях.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованных источников, включающего 182 наименования, и пяти приложений. Работа изложена на 229 листах машинописного текста, содержит 40 рисунков и одну таблицу.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Прокопеня, Александр Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении диссертации перечислим основные результаты, выносимые на защиту.

1. Аналитический метод вычисления матриц преобразования Ляпунова для гамильтоновых систем дифференциальных уравнений с малым параметром и приведения функции Гамильтона к нормальной форме в смысле Биркгофа-Пуанкаре [159, 160, 161].

2. Теоремы существования новых классов томографических решений в ньютоновой проблеме четырех тел и в обобщенной модели Винтнера, представляющей динамику большого числа тел, образующих в любой момент времени правильные концентрические многоугольники, а также алгоритмы их построения и исследования [79, 80, 128,129].

3. Теоремы об устойчивости и неустойчивости равновесных решений в эллиптических ограниченных задачах четырех и пяти тел, а также в обобщенной "задаче Ситникова", в том числе и при наличии резонанса четвертого порядка [45, 104,105,109, 166].

4. Теоремы о линейной устойчивости и неустойчивости томографических многоугольников, а также о неустойчивости ромбоподобных конфигураций в задаче четырех и пяти тел [44, 86-89,171].

5. Новые алгоритмы, позволяющие эффективно вычислять в символьном виде характеристические показатели систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами на основе метода бесконечных определителей и теории возмущений [112, 1 13, 139, 141, 143, 153, 154, 155].

6. Новый конструктивный алгоритм символьных вычислений границ между областями устойчивости и неустойчивости в пространствах параметров, определяющих основные динамические и геометрические характеристики динамических моделей [113, 144, 148, 149, 155, 156].

7. Результаты символьных вычислений границ областей устойчивости решений уравнения Хилла и треугольных лагранжевых решений эллиптической ограниченной задачи трех тел [140, 152, 154, 157].

8. Теоремы о неустойчивости по Ляпунову и устойчивости в первом приближении цилиндрической прецессии спутника на эллиптической орбите в случае резонанса 3:2 [46, 182].

В заключение автор хотел бы выразить свою искреннюю благодарность Е.А. Гребеникову за постановку ряда задач, вошедших в диссертацию, постоянную поддержку и внимание к работе и многолетнее плодотворное сотрудничество.

Автор весьма признателен руководству ВЦ им. А.А. Дородницына РАН в лице директора Ю.Г. Евтушенко, зав. отделом методов нелинейного анализа А.З. Ишмухаметову, зав. отделом надежности и устойчивости Н.А. Северцеву за поддержку его научной работы в ВЦ.

Автор также хотел бы поблагодарить В.В. Дикусара, В.А. Березне-ва, Ю.А. Рябова, Н.В. Зубова, Н.И. Земцову, Ю.А. Савина за полезные обсуждения, советы, замечания и критику.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Прокопеня, Александр Николаевич, 2006 год

1. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / Абалкин В.К., Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демин В.Г., Рябов Ю.А. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1976. - 854 с.

2. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.:1. Наука, 1977.-360 с.

3. Чеботарев Г.А. Аналитические и численные методы небесной механики1. М.: Наука, 1965.-368 с.

4. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука, 1978. - 456 с.

5. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. М.: Наука, 1971. - 432 с.

6. Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики. М.: Мир, 1964.515с.

7. Рой А.Э. Движение по орбитам. -М.: Мир, 1981.-544 с.

8. Hearn А.С. Reduce. User's and contributed packages manual. Version 3.7.

9. Santa Monica, CA and Codemist Ltd, 1999. 488 p.

10. Wolfram S. The Mathematica book. 4lh ed. - Wolfram Media/Cambridge

11. University Press, 1999. 1470 p.

12. Манзон Б.М. Maple V Power Edition. M.: Информационно-издательскийдом "Филинъ", 1998.-240 с.

13. Pavelle R., Wang P.S. Macsyma from {F} to {G} // J. Symbolic Computations. 1985. - V. 1, No. 1. - P. 69-100.

14. Гердт В.П., Тарасов O.B., Ширков Д.В. Аналитические вычисления на

15. ЭВМ в приложении к физике и математике // Успехи физ. наук 1980Т. 30, № 1.-С. 113-147.

16. Трошева М.В., Ефимов Г.Б., Самсонов В.А. История использования аналитических вычислений в задачах механики. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, 2005. - 87 с.

17. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // Избр. тр.: В 3-х т. М.: Наука, 1971.-Т. 1.-771 е.;-М.: Наука, 1972.-Т. 2. - С. 3-452.

18. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Эдиториал УРСС, 2002. - 416 с.

19. Гребеников Е.А., Козак-Сковородкина Д., Якубяк М. Методы компьютерной алгебры в проблеме многих тел. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во РУДН, 2002.- 209 с.

20. Ихсанов Е.В. Компьютерные методы нормализации гамильтонианов ограниченных задач небесной механики. М.: Изд-во РУДН, 2004 - 132 с.

21. Davis M.S. Proceedings of the Celestial Mechanics Conference: Round Table

22. Discussion // Astron. J. 1958. - V. 63. - P.462-464.

23. Herget P., Musen P. The calculations of literal expansions I I Astron. J 19591. V. 64.-P. 11-20.

24. Брумберг B.A. Ряды полиномов в задаче трех тел // Бюлл. ин-та теор. астрон. АН СССР. 1963. - Т. 9, № 4(107). - С. 234-256.

25. Брумберг В.А. Представление координат планет тригонометрическими рядами // Тр. ин-та теор. астрон. АН СССР. 1966. - № 11. - С. 3-88.

26. Охоцимский Д.Е. Исследование движения в центральном поле сил под действием постоянного касательного ускорения // Космич. исслед. -1964.-Т. 2, №6.-С. 817-842.

27. Ефимов Г.Б. Предельное решение в задаче об оптимальном разгоне аппарата с малой тягой в центральном поле // Космич. исслед. 1970.-Т. 8, № 1.-С. 26^5.

28. Davis M.S. Programming systems for analytical developments on computers //

29. Astron. J. 1968. - V. 73, No. 3. - P. 195-202.

30. Kovalevsky J. Review of some methods of programming of literal developments in celestial mechanics // Astron. J. 1968. - V. 73, No. 3 - P.203-209.

31. Barton D., Fitch J.P. A review of algebraic manipulative programs and theirapplication // Computer J. 1972. - V. 15, No. 4. - P. 362-381.

32. Jefferys W.H. Automated algebraic manipulations in celestial mechanics // Commun. ACM. 1971. - V. 14, No. 8. - P. 538-541.

33. АНАЛИТИК алгоритмический язык для описания процессов с использованием аналитических преобразований / В.М.Глушков, В.Г.Бондарчук, Т.А.Гринченко и др. //Кибернетика. 1971. -№ 3. - С. 102-134.

34. Barton D. Lunar disturbing function // Astron. J. 1966. - V.71, No. 6. - P.438.442.

35. Deprit A., Henrard J., Rom A. Analytical lunar ephemeris: Brouwer's suggestion // Astron. J. 1970 - V. 75, No. 6. - P. 747-750.

36. Брумберг B.A. Небесно-механические методы проведения буквенных операций на ЭВМ. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1974. - 114 с.

37. Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы в небесной механике. М.: Наука, 1980.-208 с.

38. Ефимов Г.Б., Зуева Е.Ю., Щенков И.Б. Из истории развития и применения компьютерной алгебры в институте прикладной математики имени М.В.Келдыша. М., 2003. - 20 с. - (Препринт / ИПМ им. М.В.Келдыша РАН; № 27).

39. Абрамов С.А., Зима Е.Б., Ростовцев В.А. Компьютерная алгебра // Программирование. 1992. - № 5. - С. 4-25.

40. Васильев Н.Н., Еднерал В.Ф. Компьютерная алгебра в физических и математических приложениях // Программирование. 1994. - № 1. - С. 70-82.

41. Грошева М.В., Ефимов Г.Б., Самсонов В.А. Символьные преобразованияна ЭВМ в задачах управления // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998.-№ 3. - С. 80-91.

42. Гребеников Е.А. Существование точных симметричных решений в плоской ньютоновой проблеме многих тел // Матем. моделирование. -1998.-Т. 10, № 8.-С. 74-80.

43. Grebenikov Е.А. Two new dynamical models in celestial mechanics // Romanian Astron. J. 1998. - V. 8, No. 1. - P. 13-19.

44. Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики. М.: Физматгиз,1967.-524 с.

45. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения / Под ред. Г.Мюнтц. Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. - 386 с

46. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // Докл. АН СССР. 1954. -Т. 98, № 4. - С. 527-530.

47. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблема устойчивости движения вклассической и небесной механике // Успехи матем. наук. 1963. - Т. 18, № 6. - С. 91-192.

48. Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости. Ижевск, НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 448 с.

49. Grebenikov Е.А., Prokopenya A.N. Symbolic Computation Systems and the

50. Many-Body Problem // Computer Algebra and its Application to Physics CAAP'2001: Proc. of the Intern. Workshop, Dubna, Russia, June 28-30, 2001 / Ed. V.P.Gerdt. Dubna, JINR, 2001.-P. 140-148.

51. Степанов B.B. Курс дифференциальных уравнений. M.: Наука,1968.-468 с.

52. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10-ти т. Т. 1. Механика. 4-е изд., испр. - М.: Наука, 1988. - 216 с.

53. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. 3-е изд.,доп. М.: Наука, 1975 - 800 с.

54. Мультон Ф. Введение в небесную механику. М.-Л.: ОНТИ НКТП,1935.-480 с.

55. Якоби К. Лекции по динамике. 2-е изд., стереотип. - М.: Едиториал1. УРСС, 2004.-271 с.

56. Уиттекер Э.Т. Аналитическая динамика. Ижевск, Изд. дом "Удмуртский университет", 1999. 588 с.

57. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука,1968.-800 с.

58. Hill G.W. Researches in the lunar theory // Amer. J. Math. 1878. - V. 1. - P.5.26, 129-147,245-260.

59. Brown E.W., Shook C.A. Planetary theory. New York: Dover Publ., 1964.302 p.

60. Шарлье К. Небесная механика. М.: Наука, 1966. - 628 с.

61. Sundman К. F. Memoire sur le probleme des trios corps// Acta Mathematica1912.-V. 36.-P. 105-179.

62. Алексеев B.M. Лекции по небесной механике. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 156 с.

63. Мерман Г.А. О представлении общего решения задачи трех тел сходящимися рядами // Бюлл. Ин-та теор. астрон. 1958. -Т. 6. - С. 713-732.

64. Борунов В.П., Рябов Ю.А. Построение численно-аналитического тригонометрического решения задачи трех тел в ССВ Mathematica и Maple // Применение систем Mathematica и Maple в научных исследованиях. -М.: ВЦ им. А.А.Дородницына РАН, 2001. С. 63-77.

65. Brumberg V.A., Tarasevich S.V., Vasiliev N.N. Specialized celestial mechanics systems for symbolic manipulation // Celest. Mech. 1989. - V. 45, No. 1-3.-P. 149-162.

66. Brumberg V.A. Analytical techniques of celestial mechanics. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1995. 236 p.

67. Bretagnon P. Iterative method in the construction of a general planetary theory// Astronomy and Astrophysics. 1990. - V. 231. - P. 561-570.

68. Seidelmann P.K. Review of planetary and satellite theories // Celest. Mech.and Dyn. Astron. 1993. - V. 56. - P. 1-12.

69. Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трех тел. М.: Наука,1982.-656 с.

70. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике.1. М.: Наука, 1978.-312 с.

71. Диаку Ф., Холмс Ф. Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости.

72. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004. -304 с.

73. Биркгоф Дж.Д. Динамические системы Ижевск: Изд. дом "Удмуртскийуниверситет", 1999. 408 с.69. де ла Яве Р. Введение в КАМ-теорию. Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2003. 176 с.

74. Маркеев А.П. Устойчивость гамильтоновых систем // Нелинейная механика: Сб. ст. / Под ред. В.М.Матросова, В.В.Румянцева, А.В.Карапе-тяна. М.: Физматлит, 2001. - С. 114-130.

75. Moore С. Braids in classical gravity // Phys. Rev. Lett. 1993. - V. 70. - P.3675-3679.

76. Chenicer A., Montgomery R. A remarkable periodic solution of the three bodyproblem in the case of equal masses // Annals of Mathematics. 2000. -V.152, No. 3. - P. 881-901.

77. Современные проблемы хаоса и нелинейности / К.Симо, С.Смейл, А.Шенсине и др. Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002304 С.

78. Perko L.M., Walter E.L. Regular Polygon Solutions of the N-Body Problem //

79. Proc. American Math. Soc. 1985. - V. 94, No. 2. - 301-309.

80. Elmabsout B. Sur l'existence de certaines configurations d'equilibre relatif dans le probleme des N corps // Celest. Mech. and Dynam. Astron. 1988. -V.41.-131-151.

81. Grebenikov E.A. New exact solutions in the planar symmetrical («+7)-bodyproblem//Romanian Astron. J. 1997.- V. 7, No. 2.-P. 151-156.

82. Гребеников E.A., Земцова Н.И. О существовании асимметричных решений функциональных уравнений Лагранжа-Винтнера // Нелинейный анализ и томографическая динамика. М.: Паимс, 1999. - С. 70-78.

83. Bang D., Elmabsout В. Configurations polygonales en equilibre relatif // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences de Paris. Serie II b. 2001. -V. 329. - P. 243-248.

84. Прокопеня A.H. О существовании новых томографических решений в задаче многих тел // Вестник БГТУ. Физика. Математика. Химия 2003. -№5.-С. 14-18.

85. Гребеников Е.А., Прокопеня А.Н. О существовании нового класса точных решений в плоской ньютоновой проблеме многих тел // Вопросы моделирования и анализа в задачах принятий решений. М.: ВЦ им. А.А.Дородницына РАН, 2004. - С. 39-56.

86. Kunitsyn A.L. On the stability of Laplaces solutions of the unrestricted threebody problem // Celest. Mech. 1974. - V. 9. - P. 471-481.

87. Тхай B.H. Об устойчивости постоянных лапласовых решений неограниченной задачи трех тел // Прикл. мат. и мех- 1978 Т. 42, № 6-С.1026-1032.

88. Иванов А.П. Исследование устойчивости постоянных лагранжевых решений неограниченной задачи трех тел // Прикл. мат. и мек. 1979. - Т. 43,№5.-С. 787-795.

89. Elmabsout В. Stability of some degenerate positions of relative equilibrium inthe и-body problem // Dynamics and stability of systems. 1994. - V. 9, No. 4.-P. 305-319.

90. Elmabsout B. Nonlinear instability of some relative equilibrium configurationsin the (n+1)-body problem//Romanian Astron. J. 1996. - No. 1 - P. 61-71.

91. Прокопеня A.H. О линейной устойчивости точных симметричных решений ньютоновой гравитационной задачи многих тел // Вестник БГТУ. Физика. Математика. Химия. -2001. -№ 5. С. 25-29.

92. Cattani C., Prokopenya A.N. On the stability of the homographic polygon configuration in the many-body problem // Atti dell' Accademia Peloritana dei Pericolanti, Classe I di Scienze Fiz. Mat. e Nat., Vol. LXXXI-LXXXII, CIA0401004 (2003-04). P. 1-13.

93. Robe H.A.G. A new kind of three-body problem // Celest. Mech. 1977. - V.16.-P. 343-351.

94. Plastino A.R., Plastino A. Robe's restricted three-body problem revisited // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1995. - V. 61. - P. 197-206.

95. Choudhry R.K. Libration points in the generalized elliptic restricted three-body problem // Celest. Mech. 1977. - V. 16. - P. 411-419.

96. Singh J., Ishwar B. Effect of perturbations on the location of equilibrium points in the restricted problem of three bodies with variable mass // Celest. Mech. 1984. - V. 32. - P. 297-305.

97. Jha S.K., Shrivastava A.K. Equations of motion of the elliptical restricted problem of three bodies with variable masses // Astron J. 2001. - V. 121. -P. 580-583.

98. Whipple A.L. Equilibrium solutions of the restricted problem of 2+2 bodies //

99. Celest. Mech. 1984. - V. 33. - P. 271-294.

100. Whipple A.L., Szebehely V. The restricted problem of n + v bodies // Celest.

101. Mech. 1984,-V. 32.-P. 137-144.

102. Salo H., Yoder C.F. The dynamics of co-orbital satellite systems // Astronomyand Astrophysics. 1988. - V. 205. - P. 309-327.

103. Cors J.M., Llibre J., Olle M. Central configurations of the planar co-orbitalsatellite problem // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 2004. - V.89, No. 4. -P. 319-342.

104. Ollongren A. On a restricted (2« + 3)-body problem // Celest. Mech. 1989.1. V. 45.-P. 163-168.

105. Kozak D., Oniszk E. Equilibrium points in the restricted four-body problem. Sufficient conditions for linear stability // Romanian Astron. J. 1998. - V. 8, No.l. - P. 27-31.

106. Якубяк M. Качественные исследования ограниченной проблемы шести тел на основе теории Колмогорова-Арнольда-Мозера: Дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Гродн. гос. ун-т им. Я.Купалы. Гродно, 2000,- 92 с.

107. Козак Д. Исследование устойчивости стационарных решений гамильто-новых уравнений ограниченной проблемы семи тел: Дисс. канд. физ.мат. наук: 01.01.02 / Гродн. гос. ун-т им. Я.Купалы. Гродно, 2000. -104 с.

108. Козак-Сковородкина Д. Применение компьютерной системы Mathematica в качественных исследованиях ньютоновой проблемы многих тел. М.: Изд-во РУДН, 2005. - 146 с.

109. Прокопеня А.Н. Об устойчивости равновесных решений ограниченной ньютоновой задачи четырех тел // Вестник БГТУ. Физика. Математика. Химия. 2002. - № 5. с. 15-20.

110. Prokopenya A.N. Equilibrium solutions in the restricted many-body problems and their stability // Abstracts of the V Congress of Romanian Mathematicians, Pitesti, Romania, June 22-28, 2003. University of Pitesti, 2003. -P. 117.

111. Grebenikov E.A., Prokopenya A.N. Studying Stability of the Equilibrium Solutions in the Restricted Newton's Problem of Four Bodies // Buletinul Aca-demiei de Stiinte a Republicii Moldova. Matematica. 2003. -№ 2(42). -P.28-36.

112. Якубович В.А., Старжинский B.M. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.-720 с.

113. Арнольд В.И. Об устойчивости положения равновесия гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем эллиптическом случае //Докл. АН СССР. 1961.-Т. 137, № 2.-С. 255-257.

114. Прокопеня А.Н., Мичурин А.В. Применение системы Mathematica к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Изд-во БГУ, 1999.-265 с.

115. Прокопеня А.Н. Решение физических задач с использованием системы Mathematica. Брест, БГТУ, 2005. - 260 с.

116. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. 2-е изд., испр. - М.: Наука, 1966.-530 с.

117. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. 4-е изд., испр. - М.: Наука, 1990.- 176 с.

118. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. 2-е изд. - М.: Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 1998. - 480 с.

119. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. 2-е изд. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 216 с.

120. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. 3-е изд., пе-рераб. и доп. - М.: Наука, 1987. - 304 с.

121. Маркеев А.П. Об устойчивости канонической системы с двумя степенями свободы при наличии резонанса // Прикл. матем. и мех. 1968. - Т. 32, № 4. - С. 738-744.

122. Zhuravlev S.G. Stability of the libration points of a rotating triaxial ellipsoid // Celest. Mech. 1972. - V. 6. - P. 255-267.

123. Zhuravlev S.G. About the stability of the libration points of a rotating triaxial ellipsoid in a degenerate case // Celest. Mech. 1973. - V. 8. - P. 75-84.

124. Журавлев С.Г. Об устойчивости точек либрации вращающегося трехосного эллипсоида в пространственном случае // Астрон. ж. 1974. - Т. 51, №6.-С. 1330-1334.

125. Гребеников Е.А., Земцова Н.И. КАМ-теория и томографическая динамика // Теоретические и прикладные задачи нелинейного анализа. М.: ВЦ им. А.А.Дородницына РАН, 2005. - С. 26-45.

126. Smale S. Mathematical problems for the next century // Math. Intelligencer. -1998. -V. 20.-P. 7-15.

127. Smale S. Problems on the nature of relative equilibria in celestial mechanics//Springer Lecture Notes in Math. 1970.-V. 197.-P. 194-198.

128. Llibre J. On the number of central configurations in the TV-body problem // Celest. Mech. Dynam. Astron. 1991. - V. 50. - P. 89-96.

129. Prokopenya A.N. New Homographic Solutions in the Problem of Four Bodies // Fifth International Symposium on Classical and Celestial Mechanics (August 23-28, 2004, Velikie Luki, Russia): Abstracts. Moscow, Computing Center of RAS, 2004. - P. 12-13.

130. Saari D.G. On the role and the properties of n body central configurations // Celest. Mech. 1980.-V. 21.-P. 165-184.

131. Moeckel R. On central configurations // Mathematische Zeitschrift. 1990. -V. 205.-P. 499-517.

132. Simo C. Relative equilibrium solutions in the four body problem // Celest. Mech. 1978. - V. 18. - P. 165-184.

133. Albouy A. Symetrie des configurations centrales de quatre corps // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. 1995. V. 320. - P. 217-220.

134. Long Y., Sun S. Four-body central configurations with some equal masses // Arch. Rational Mech. Anal. 2002. - V. 162. - P. 25-44.

135. Casasayas J., Llibre J., Nunes A. Central configurations of the planar \ + N body problem // Celest. Mech. and Dynam. Astron. 1994. - V. 60. - P. 273-288.

136. Витриченко Э.А. Трапеция Ориона. M.: Наука, 2004. - 206 с.

137. Arenstorf R.F. Central configurations of four bodies with one inferior mass // Celest. Mech. 1982. - V. 28. - P. 9-15.

138. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Изд-во АН БССР, 1963. - 272 с.

139. Prokopenya A.N. Calculation of the Characteristic Exponents for a Hill's Equation // Proc. of the 8th Rhine Workshop on Computer Algebra, Mannheim, Germany, March 21-21, 2002. University of Mannheim, 2002. - P. 275-278.

140. Grebenikov E.A., Prokopenya A.N. Determination of the Boundaries Between the Domains of Stability and Instability for the Hill's Equation // Nonlinear Oscillations. 2003. - Vol. 6, № 1. - P. 42-51.

141. Prokopenya A.N. On the stability of differential equations with periodic coefficients // Symbolic Computation systems and Their Applications / M. Bar-bosu, J. Bereczki (Eds.). Kompress, Komarom, 2004. - P. 1-16.

142. Cattani С., Grebenikov Е.А., Prokopenya A.N. On stability of the Hill's equation with damping // Nonlinear Oscillations. -2004. V. 7, No. 2. - P. 169-179.

143. Grimshaw R. Nonlinear ordinary differential equations. London, CRC Press, 2000. - 328 p.

144. Болотин B.B. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Госуд. изд-во технико-теоретической литературы, 1956. - 600 с.

145. Lindh K.G., Likins P.W. Infinite determinant methods for stability analysis of periodic-coefficient differential equations // AIAA J. 1970. - V. 8, No. 4. -P. 680-686.

146. Prokopenya A.N. Determination of the stability boundaries for the Hamilto-nian systems with periodic coefficients // Mathem. Modelling and Analysis.2005.-V. 10, No. 2.-P. 191-204.

147. Прокопеня A.H. Определение границ области устойчивости лагранже-вых решений эллиптической ограниченной задачи трех тел // Весшк Брэсцкага дзярж. ушверсгота. 2005. - № 3. - С. 50-59.

148. Гребеников E.A., Прокопеня A.H. Символьные вычисления в исследованиях устойчивости дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // Теоретические и прикладные задачи нелинейного анализа. М.: ВЦ им. А.А.Дородницына РАН, 2005. - С. 3-25.

149. Прокопеня А.Н. Некоторые алгоритмы символьных вычислений в исследованиях проблем космической динамики // Программирование.2006.-№2.-С. 1-7.

150. Prokopenya A.N. Computing the stability boundaries of the Lagrange's triangular solutions in the elliptic restricted three-body problem // Mathem. Modelling and Analysis. 2006. - V. 11, No. 1. - P. 1-10.

151. Маркеев А.П. Об одном особом случае параметрического резонанса в задачах небесной механики // Письма астрон. ж. 2005. - Т. 31, № 5. -С. 388-394.

152. Прокопеня A.H. Нормализация неавтономной линейной гамильтоновой системы с малым параметром // Матем. моделирование. 2005. - Т. 17, №6.-С. 33-42.

153. Прокопеня А.Н. Вычисление матриц Ляпунова для линейной гамильтоновой системы уравнений с периодическими коэффициентами // Вестник БГТУ. Физика. Математика. Информатика. 2004. - № 5. - С. 5-8.

154. Иванов А.П., Сокольский А.Г. Об устойчивости неавтономной гамильтоновой системы при резонансе второго порядка // Прикл. матем. и мех. 1980. - Т. 44, № 5. с. 811-822.

155. Гребеников Е.А., Митропольский Ю.А., Рябов Ю.А. Введение в резонансную аналитическую динамику. М.: Янус-К, 1999. - 320 с.

156. Bang D., Elmabsout В. Restricted N +1 -body problem: existence and stability of relative equilibria // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 2004. - V. 89. -P. 305-318.

157. Ситников К.А. Существование осциллирующих движений в задаче трех тел // Докл. АН СССР. 1960. - Т. 133, № 2. - С. 303-306.

158. Прокопеня А.Н. Об устойчивости равновесных решений обобщенной задачи Ситникова // Динамика неоднородных систем. М.: Институт системного анализа РАН, 2005. - Вып. 9(2). - С. 5-12.

159. Moser J. New aspects in the theory of stability of Hamiltonian systems // Comm. Pure Appl. Math.- 1958.-V. 11, No. 1.-P. 81-114.

160. Брюно А.Д. О формальной устойчивости систем Гамильтона // Математические заметки. 1967. - Т. 1, № 3. - С. 325-330.

161. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа. -М.: Наука, 1979. -253 с.

162. Арнольд В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 156, №. 1. - С. 9-12.

163. Гребеников Е.А., Прокопеня А.Н. О неустойчивости ромбоподобных томографических решений ньютоновой задачи пяти тел // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. М.: ВЦ им. А.А. Дородницына РАН, 2005.-С. 40-46.

164. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Физматлит, 2001.-264 с.

165. Дубошин Г.Н. О вращательном движении искусственных небесных тел // Бюлл. ИТА АН СССР. 1960. - Т. 7, № 7. - С. 511-520.

166. Черноусько Ф.Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника // Прикл. матем. и мех, 1964.-Т. 28, № 1.-С. 155-157.

167. Likins P.W. Stability of symmetrical satellite in attitude fixed in an orbiting reference frame //J. Astronaut. Sci. 1965. - V. 12, No. l.-P. 18-24.

168. Маркеев А.П. Устойчивость стационарного вращения спутника на эллиптической орбите // Космич. исследования. 1965. - Т. 3, № 5. - С. 674-676.

169. Маркеев А.П. Резонансные эффекты и устойчивость стационарных вращений спутника//Космич. исследования 1967-Т. 5, № З.-С. 365-375.

170. Маркеев А.П. О вращательном движении динамически-симметричного спутника на эллиптической орбите // Космич. исследования. 1967. - Т. 5,№4.-С. 530-539.

171. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1975. - 308 с.

172. Маркеев А.П., Чеховская Т.Н. Об устойчивости цилиндрической прецессии спутника на эллиптической орбите // Прикл. матем. и мех. -1976. Т. 40, № 6. - С. 1040-1047.

173. Чуркина Т.Е. Об устойчивости движения спутника на эллиптической орбите в случае цилиндрической прецессии // Матем. моделирование. -2004.-Т. 16, №7.-С. 3-5.

174. ИССЛЕДОВАНИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ В ЗАДАЧЕ1. ЧЕТЫРЕХ ТЕЛ1. Set notebook options1. Clear"Global4*". ;$DefaultFont = {"Helvetica-Bold", 12}; th = AbsoluteThickness2.; SetOptions [Plot, PlotStyle -» {th}];

175. SetOptions ListPlot, PlotStyle-» {AbsolutePointSize [2. } ] ; Off[General::spelll, General::spell];1.ad Mathematica Packages

176. Needs"Graphics4 Colors%".; Needs ["Graphics4ImplicitPlotv" ] ;

177. П.1.1. Уравнения, выражающие необходимое и достаточное условия существования центральной конфигурации

178. Координата ус центр масс системы:2 mi Yi + m3 Y3ус = ---;mo + 2 mi + m3

179. Проекции сил, действующих на первое и третье тела, равны:mi mi mi m3 Xi mo mi Xi Fi v = -G--G--G4Xi2 (Xi2 + (Yi Y3) 2) 3/2 (Xi2 + YI2)3/2^ mim3(Y3-Yi) ^ m0 mi Yi

180. Xi2+ (Yi-Y3)2)3/2 (Xi2 + YI2)3/2m0m3 2 mi m3 (Yi Y3)1. F3y = -G-— + G1. Y32 (Xi2+(YI-Y3)2)3/2

181. Проекции сил на оси Ох и Оу записаны в предположении, что У3 > 0.

182. Так как тела должны образовывать центральную конфигурацию, в барицентрической системе координат справедливы равенства:1. Fixeql = == - aXi // Simplifymi1. Fiyeq2 = == а (ус - Yi) // Simplifymi1. F3yeq3 = == a (yc - Y3) 11 Simplifym3

183. Здесь a некоторая положительная постоянная. Выражаем ее из первого уравнения и подставляем во второе и теретье.soli = Solveeql, а.[1.] 11 Simplify eq4 = {eq2, eq3} /. soil 11 Simplify

184. Для упрощения уравнений делаем следующие подстановки:eq5 =

185. Thread#, Equal. & /@ !—eq4 //Threadjj /. {Хг-*1,

186. Yj. a, Y3 -» b, m0 -> Ц\ mi, m3 -» ц2 mi} // Simplify ; eq6 = Map Cancel [Expand [#.]& , eq5, 2] //Simplify

187. П.1.2. Центральные конфигурации в случае mz = т^

188. Пусть /7?з Ф 0, но мала, например, т3 = т<\. Тогда уравнения принимают вид:eq8 = (eq6 /. ц2 // Simplify) // Thread10

189. При //1=0 три тела Рь Р2, Рз должны либо находится на одной прямой, либо в вершинах равностороннего треугольника. Оба уравнения eq8 при этом одинаковы.eq8 I. ц 1 0 // Simplify1. Их решения имеют вид:

190. Solve eq8ffl.] / . Цх0 , Ъ] // Simplify

191. Так как конфигурация допускает параллельный перенос, то получить точное значение /5 можно, зафиксировав а, например.

192. Solve eq8P! / . ц-у 0 / . а V3" , b. // Simplify

193. Посмотрим, как будет изменяться конфигурация при увеличении ц<\.

194. TablelmplicitPlot[eq8 / . ц^ — , {а, -4, 4},

195. Ь, 0.001, 6}, PlotStyle -> {{th, Red}, {th, Blue}}, PlotPoints 50, AxesLabel-* {"a", "b"}., {k, 30}];

196. Графики показывают, что при малых значениях параметра система eq8 имеет пять решений. С ростом остается только три корня. Рассмотрим все пять случаев по отдельности.

197. FindRoot eq8 /. ц1 //Evaluate, {а, 1.5}, {Ь, 3.4}.1Ц1. : = Ь / .

198. FindRoot eq8 /. ^ц 1 //Evaluate, {а, 1.5}, {Ь, 3.4}.2аа1ц1. *ц2т[ц1] , r 1 ,ccl А/1 . : = / . {/i2 -* -}2+ц1 + ц2 10 j

199. Plot {aal [/il. , /3/31 [/il], ccl[/il], -\/ (aal [/il])2 + 1 } , {/il, 0.01, 30},

200. PlotStyle-» {{th, Red}, {th, Green}, {th, Blue}, {th, Orange, Dashing{0 . 03} .}} , PlotRangeAll] ;

201. Графики показывают, что с ростом массы т0 треугольник становится равнобедренным, а тело т3 приближается к телу т0 так, что в пределе три тела стремятся оказаться на одной окружности.

202. Для исследования положения двух других корней системы eq8 в области а> 0 определяем функции аа2(^), Pf32(ji<\), cc2(/i1), ааЗ(^), /?/?3(jUi)> cc3(/ii) и строим их графики.аа2ц1. : = a /.

203. FindRoot eq8 / . /il //Evaluate, {a, 1.5}, {b, 1.4}.2 /ilJ : = b / .

204. FindRoot eq8 / . ц1 //Evaluate, {a, 1.5}, {b, 1.4}.2 аа2 /il. + ц2 /3/32 [/il] f 1 . cc2 [/il ] : = / . {/i2 -* -}2+ц1+ц2 10 J

205. Plot{aa2[/il. , fifi 2[/il], сс2[ц1] , л[ (aa2 [/il])2 + 1 } , {Ml, 0.001, 1.21048},

206. PlotStyle -* {{th, Red}, {th, Green}, {th, Blue}, {th, Orange, Dashing {0 . 03} . } } , PlotRangeAll] ;ааЗ /il. : = a / .

207. FindRoot eq8 / . ц^ц 1 //Evaluate, {a, 2.2}, {b, 0.7}.3ц1. : = b / .

208. FindRoot eq8 / . ц1 //Evaluate, {a, 2.2}, {b, .7}.2 ааЗ ц1. + ц2 №3[ц1] , 1 , ссЗ [ц1 : = / . [цг-* -}

209. Plot {aa3[/il., 0/33 [/il] , cc3[/il], л/ (ааЗ[^1])2 + l}, {Ail, 0.001, 1.21048},

210. Plotstyle -4 {{th, Red}, {th, Green}, {th, Blue}, {th, Orange, Dashing{0.03}.}}, PlotRangeAll] ;

211. Plot {/3/32 [ц1. , /3/33 [/il]}, {/il, 0.003, 1.21048},

212. Plots tyle {{th, Green}, {th, Blue}}, PlotRangeAll. ;

213. Plot{аа2[Ail., ааЗ[Ail]}, {Ail, 0.003, 1.21048},

214. PlotStyle {{th, Green}, {th, Blue}}, PlotRangeAll. ;

215. Функции aaA(^), рр4(щ), cc4(Mi), aa5(m), ДООл), cc5(^) определяют поведение корней системы eq8 в области а < 0.аа4 : = a / .

216. FindRoot eq8 /. a^i ц1 //Evaluate, {a, -.1}, {Ь, 1.5}.3/34 ^1J : = Ь /.

217. FindRoot eq8 / . Hi -* A^l //Evaluate, {a, -.1}, {b, 1.5}.2 aa4 pil. + Ai2/3/34 [Ail] 1 cc4 [ц1 ] : = / . | Ц2 -}2 + ц1 + ц2 10

218. Plot {аа4 [Ail. , /3/34 f/il] , cc4[/il] , л/ (aa4 [*il])2 + 1 } , {Ail, 0.003, 5},

219. PlotStyle {{th, Red}, {th, Green}, {th, Blue}, {th, Orange, Dashing{0.03}.}}, PlotRange All];аа5 Ail. : = a / .

220. FindRoot eq8 / . ц1 //Evaluate, {a, -1.8}, {b, 1.1}.3/35 AilJ : = b / .

221. FindRoot eq8 /. ц1 //Evaluate, {a, -1.8}, {b, 1.1}.2aa5Ail. + ц2 /3/35 [Ail] 1 cc5 [Ail ] : = / . \ц2 -* -f2+ц1+ц2 10 J

222. Plot{aa5[Ail. , /3/35 [Ail] , cc5[jil] , л/ (aa5 [Ail])2 + 1 } , {Ail, 0.01, 10},

223. PlotStyle-» {{th, Red}, {th, Green}, {th, Blue}, {th, Orange, Dashing{0 . 03} .}} , PlotRange All] ;

224. Исследования при других значениях параметра jd2 выполняются аналогично.

225. ВЫЧИСЛЕНИЕ МУЛЬТИПЛИКАТОРОВ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ1. КОЭФФИЦИЕНТАМИ

226. Процедура ХХп, к, г, Т. выполняет вычисление г-го столбца матрицы монодромии (3.13) с точностью до членов к-го порядка по е.1. Clear"Global^*". ;

227. XXn, k, r, T. := Block[{Yrul, Ysum, Yint} , Yrul [tl] = {Table [ If [j == r, 1, 0], {j, n}] }; Do [

228. Ysumr. = Sum[Pred[ j , r] .Yrul[r] Цт + 1 jj , {j , m} ] //

229. Expand // TrigReduce; Yinttl. =Integrate[#, {r, 0, tl}] & /@ Ysum[r] ; Yrul[tl] =Append[Yrul[tl], Yint[tl]], {m, k}];

230. Sum ExpP0[T. .YrulfT] [[j]] ej1, {j,k + l}] ]

231. В качестве примера выполним вычисления матрицы монодромии для системы второго порядка с матрицей вида:а + £ Cost. .

232. Pmatt . = {{0, 1}, {--L—t 0}};1 1 l + £Cost. }}

233. Определяем матрицу exp(P0 0eqO =D{q[t., p[t]}, t] =:

234. Pmat t. /. e-»0) .{q[t] , p[t]}) //Thread; solOl = DSolve [ Join [eqO, {q[0] == 1, p[0] == 0}] , {q, p}, t] [[ ill;sol02 = DSolve Join [eqO, {q[0. == 0, p[0] 1}] , {q, p}, t] [ ill;

235. ExpPOt. =Transpose[{{q[t], p[t]} /. solOl, {q[t], p[t]> /. soi02}]

236. Определяем матрицу ехр(-Р0 т) РДт) ехр(-Р0 т).1. Pexpt. =

237. SeriesPmat[t. , {e, 0, 6}] // Collect[#, e, Simplify] &; Pred[j, rJ : = ExpPO[-r] .

238. CoefficientPexp[r., e, j].ExpP0[r] //Simplify

239. Выполняем вычисления с точностью до шестого порядка по £ и определяем матрицу монодромии.

240. XXI = XX2, 6, 1, 2 я. ; ХХ2 = ХХ[2, 6, 2, 2 я] ; matX = Transpose[{XXI, ХХ2}];

241. Вычисляем характеристический многочлен (3.14) с точностью до шестого порядка по е.pol = CharacteristicPolynomialmatX, р. // Series [#, {е, 0, б}] & //Normal // Collect[#, {р, е}, Simplify] &

242. Выполняем подстановку (3.21) и разлагаем выражение в ряд по е.polExp = pol / . р Sump[j. ej, {j, 0, б}] // Series [#, {е, 0, б}] & //Normal // Collect[#, е, Simplify] &

243. Вычисляем мультипликаторы в нулевом приближении.solpO = SolveTrigToExpfpolExp / . е 0. == 0, р[0] ]

244. Подставляем найденные значения р0 в разложение характеристического многочлена по степеням е, приравниваем коэффициенты при ек нулю, решаем полученную систему и находим коэффициенты в разложении (3.21).solpl = Solve

245. Table Coefficient [polExp /. solpOp.], e, j] «0, {j, 6}], Table [p [ j] , {j, 6}]] //Simplifysolp2 = Solve

246. Table Coefficient [polExp /. solpO|I2.], e, j] ==0, {j, 6}], Table[p[j], {j, 6}]] //Simplify

247. Определяем процедуру для вычисления коэффициентов разложения (3.21) в случае а = п2/4 (л = 0,1,2, .).

248. Multipliersn. :=Block[{poll, eql, soil},poll =LimitpolExp, a—. //

249. Collect#, e, Simplify. &; eql = Table [Coefficient [poll, e, к] ==0, {k, 0, 6}]; soil = Solve[eql,

250. Tablep[k., {k, 0, 6}]] // Simplify ]1. Multipliers1.

251. Вычисляем соответствующие характеристические показатели.icharExpn . : = -Log[p /. p -> Sum[p[ j] e1, {j, 0, 6}] / .2 я

252. Multipliers n. ] //Series[#, {e, 0, 5}] & // Normal // Collect[#, e, Simplify] &

253. Для вычисления характеристических показателей при а = 1 /4 служит следующая команда:charExp1.

254. Процедура boundariesB,n. вычисляет границы областей неустойчивости (3.37).boundariesВ, n. := Block[

255. ВВ, ВВ1, ВВ2, kmax, sol}, kmax = ExponentВ, e. ; ВВ = В / . а -> Sum[ak ek, {k, 0, kmax}] ; BB1 = Series [BB, {e, 0, kmax}] // Normal //

256. Collect#, e, Simplify. &; BB2 = Tablef Limit [ Coefficient [ BB1, e, j],a0 -» n2 / 4 . , {j , kmax} ] ; sol = SolveBB2 == 0 // Thread,

257. Tableaj, {j, kmax}. ]; (n2/4 + Sum[akek, {k, kmax}] ) /. sol ]

258. Следующая команда соответствует вычислению границ областей неустойчивости в окрестности точки а = 1 /4.1. Г 1 1boundaries--Coefficient pol, р. , 112 J

259. ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ МЕТОДОМ БЕСКОНЕЧНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ1.itialization Default Settings1. Clear"Global4*".;

260. SetOptions"stdout" , PageWidth -» 80. ; $DefaultFont= {"Helvetica-Bold", 12}; th = AbsoluteThickness[l.5]; Off[General:rspelll]; Off[General::spell];1.ading of Packages

261. Needs"Graphics" Graphics4".; Needs["Graphics4 Colorss" ] ; Needs["Graphics4 FilledPlots" ] ;

262. П.3.1. Система (3.1) второго порядка

263. Определяем матрицу системы, а затем преобразуем ее к одному дифференциальному уравнению второго порядка.а + е Cost. ,,

264. Pmatft . = {{0, 1}, {--, 0}};1 1 l + eCost. JJeql =

265. D{xx[t., x2[t]}, t] = Emat[t] ,{xi[t] , x2[t]} //Thread;eq2 = (1 + e Cost.) (eqipj / . DSolve[eql|1.], x2, t] И ) // Thread[#, Equal] &

266. Решение уравнения eq2 будем искать в виде: (v) =1. Exp (iav)с0 + 2 (Ck cos (к v) + dk sin (к v))к= 1

267. Определяем соответствующее правило подстановки.rull = {xi -» ( Exp i сг #.cO + Sumk (ck. Cos[k#] +d[k] Sin[k#])) &) };

268. Выполняем подстановку и сокращаем экспоненциальный множитель в левой и правой частях уравнения.eq3 = eq2 / . rull / . Exp . 1

269. Определяем функцию reducing, выполняющую операцию приведения тригонометрических функций, и применяем ее к уравнению eq3.reducingfEqual. : =f Ц1.] f Ц2]] // Expand // TrigReduce // Expand) ;eq4 = reducingeq3.

270. В результате получаем выражение eq4, представляющее собой ряд Фурье, коэффициенты которого должны равняться нулю. Для выделения коэффициентов при Cos(kv) и S\n(kv) в уравнении eq4 определяем функцию CoeffTrigl.

271. CoeffTrigl Eq, n, sumk, f. := Which[n==0,

272. Coefficient Coefficient [Eq, s\imk. /. k-+n, f[n t]] + Coefficient[Coefficient[Eq, s\imk] / . k-> n + 1, f[nt]]]

273. JoinfvarO, Flatten Table [varl /.k-*h, (h, m}.]]; ml= {Table[Coefficient[

274. CoeffTrigleqO, 0, Sumk, Cos.,cltthj., {h, Lengthcl]}]};

275. Do ml= Append[ml, Table[Coefficient[CoeffTrigl[eqO, f, Sumk, Cos.,dh.] ,h, Lengthcl.}]]; ml = Append [ml,

276. TableCoefficient[CoeffTrigl[eqO, f, Sumk, Sin.,clW. ,h, Lengthcl.}] ] , {f,m}]; ml ]

277. Выбираем m = 13 и вычисляем определитель матрицы 27-го порядка с точностью до 11-го порядка по малому параметру е.deto = Detmat [13 , eq4, varO, varl. ] // Series [#, {e, 0, 11}] & //Normal // Collect[#, e, Simplify] &;

278. Определяем правило для подстановки мнимой части характеристического показателя сг в виде разложения по е.11 \ rul2 = о -* Va^ + ^ еj gj

279. Подставляем разложение ш/2 в выражение для определителя и опять разлагаем его в ряд по е с точностью до 11-го порядка.detl = deto /. rul2 //Series #, {e, 0, 11}. & //Normal // Collect[#, e, Simplify] &;

280. В полученном выражении первым отличным от нуля является коэффициент при е. Приравнивая его нулю, получаем уравнение, которое дает:

281. Reduce (Coefficient [detl, е, 1. /. ст0 -> л/гГ ) ==0, стх]

282. Предполагая, что а * п2/4 (г? = 0,1,2, .), последовательно приравниваем коэффициенты при sk к = 1, 2, .) нулю и находим коэффициенты сг^ в разложении ш/2.

283. Reduce Coef ficient [detl /. стх 0, е, 2. == 0, ст2] // LogicalExpand1. Reduce3 (-л/Г + а3/2)

284. Coefficientfdetl / . ад. 0 / . о? -, e, 3"| ==1 4 (-1 + 4 a) J1. О, аз. //LogicalExpand

285. Функция CharExpdet, n. позволят получить выражения для характеристических показателей в случае а = п2/4 (/7 = 0,1,2, .).

286. Команда для вычисления характеристических показателей при а = 1 /4, например, имеет вид:1. CharExpdetl, 1.

287. П.3.2. Система (3.1) четвертого порядка

288. Определяем матрицу (3.43) и соответствующую систему (3.1) четвертого порядка.

289. PmatftJ = {{0, 1, 1, 0}, {-1, О, О, 1},1 + 4 е Cost. X Л ,--/ -, 0, 1),1 4 (1 + е Cos t.) 1 + с Cos [t] J1. X 5 4 e Cos t.-, -, -1, 0}};1 + e Cos t. 4 (1 + e Cos [t]) JJeql =D{xx[t. , x2[t] , x3[t], x4[t]},t] ==

290. Pmatft. . {Xi t] , x2[t], x3[t], x4[t]} //Thread

291. Перепишем систему eq1 в виде двух дифференциальных уравнений второго порядка (3.47).eq2 = Dropeql, {1,2}. / .

292. DSolveDrop[eql, {3, 4}., {x3, x4}, t][[l]] // FullSimplify;eq3 = SimplifyThread[# (1 + e Cos[t.), Equal]] & /@ eq2

293. Решение ищем в виде рядов (3.48).wao + (a^ cos (к t) + bк sin (к t))k= 11. Xi (t) = Exp (i a t)x2 (t) =1. CO

294. Функция reducing выполняет операцию приведения тригонометрических функций.гeducing fEqual . : =f [l. f Ц2] // Expand // TrigReduce // Expand) ;eq5 = reducing#. & /@ eq4

295. Функция CoeffTRigl выделяет коэффициенты при Cos(/c t) и S\n(k t) в каждом уравнении системы eq5.

296. CoeffTrigl Eq^, n, sumk, f. := Which[n==0,

297. Coefficient Coefficient [Eq, svimk. /. k->n, f[nt]] + Coefficient [Coefficient [Eq, sumk] /. k->n + l, f[nt]]]

298. Далее определяем функцию mat, которая формирует матрицу бесконечной последовательности уравнений (3.49)- (3.51).varO= {а0, сО};varl = {ак. , Ь[к], с[к] , d[k]};matm /;m£l, eqO, varO, varl. :=Block[ {ml, cl}, cl =

299. Join varO, Flatten [Table [varl /.k-»h, {h, m}.]]/ ml = Table[Coefficient[ CoeffTrigl [eqO[[j]], 0, Sumk, Cos], cl[[h]]],j, 2},h, Lengthcl.}]; Do [ml = Joinml, Table[Coefficient[

300. CoeffTrigl eqO [[j .], f, Sumk, Cos], cl[[h]]],j, 2},h, Lengthcl.}]]; ml= Join[ml, Table[Coefficient[

301. CoeffTrigl eq0[[j.l, f, Sumk, Sin], cl[[h]]]j, 2},h, Lengthcl.}] ] , {f, m} ]; ml ]

302. Вычисляем определитель матрицы 54-го порядка.detl =Detmat[13, eq5, varO, varl.] ;

303. Подставляем в выражение для определителя detl разложение (3.53) и разлагаем его по степеням е с точностью до шестого порядка.6г13 = а1. СТо + ^ £j CTjj=idet2 =

304. Series detl, {£, 0, 10}. //Normal //Collect[#, e] &;eqDet = det2 /. rl3 //Series#, {e, 0, 6}. & //Normal // Collect[#, e] & ;

305. Легко можно убедиться в том, что в нулевом порядке по s определитель равен нулю.

306. CoefficienteqDet, с, 0. /.1 / I-11/2сто-*— 2-Vl6x2-23 //Simplify2 х '01. CoefficienteqDet, £,0. /.1 / i(2 + V16 х2 23 ) //Simplifyо оeqxla=1 / /-* 1/2

307. CoefficienteqDet, е, 1. / . а0 — (2 У 16 х2 - 23 ) /.к2+ 23

308. Х-*л // Simplify#, к > 0. & //Factor1. V 16

309. Далее последовательно приравниваем коэффициенты приек (к = 1, 2, .) нулю и находим коэффициенты сг^ разложения г13.eq%2a=1 / /-ч 1/2

310. Coefficient eqDet, £, 2. / . а0 — (2 V16 х2 - 23 ) /.к2+ 230 / . х-> л // FullSimplify #, к > 0. &;1. V 16solx2a = Solveeq*2a == 0, Стг. // FullSimplify eqx3a=1 / /-. 1/2

311. Coefficient eqDet, e, 3. / . a0— (2 V16 x2 - 23 ) /.2 v '1. CTi -»0 /. solx2a[l.] /.k2 + 23- //FullSimplify#, x > 0. &;1. V 16solx3a = Solveeq^3a == 0, аз. // FullSimplify eqx4a=1 / /-x1/2

312. Coefficient eqDet, e, 4. / . a0 -* — (2 V16 x2 - 23 ) /.2 v 'ai-»0 /. solx2a[l.] /. solx3a[[l]] /.к2 + 23

313. Х-*л //Simplify#, к > 0. &;1. V 16solx4a = Solve eq^4a == 0, ст4. // FullSimplifyeqx5a =1 , i-. 1/2

314. CoefficienteqDet, e, 5. / . ст0 — (2 V16 x2 - 23 ) /2 4 'ai-»0 /. solx2a[l.] /. sol*3a[[l]] /.к2 + 23solx4a[l.] /• X~> л // Simplify[#, к > 0] &;1. V 16solx5a = Solve eqx5a == 0, ст5. //FullSimplify eqx6a =1 / I-x 1/2

315. Coefficient eqDet, e, 6. /. <j0— (2 V16 x2 - 23 ) /2 v '

316. CTi->0 /. solx2a[l.] /. solx3a[[l]] /. solx4a[[l]] /. solx5a[[l]] /.к2+ 23

317. X -» д/ // Simplify#, к > 0. &;1. V 16solx6a = Solve eqx6a == 0, стб. // FullSimplify eqxlb =1 / I-x 1/2

318. Coefficient eqDet, e, 1. / . ст0 — (2 + V16 x2 23 ) /.к2 + 23

319. X -» д/ // Simplify #, к > 0. & // Factor1. V 16eqx2b =1 / /-x 1/2

320. Coefficient eqDet, e, 2. / . ст0 — (2 + V16 x2 23 ) /к2 + 23

321. Oi 0 / . xJ ——— // FullSimplify#, к > 0. &;solx2b = Solve eqx2b == 0, ст2. // FullSimplify eqx3b =1 / /-x1/2

322. Coefficient eqDet, e, 3. / . ст0 — (2 + V16 x2 23 ) /2 v 'ai -» 0 /. solx2b[l.] /.к2 +23

323. X -» д/ // FullSimplify#, к > 0. &;16solx3b = Solve eqx3b == 0, a3. // FullSimplifyeq%4b=1 . --. 1/2

324. CoefficienteqDet, e, 4. / . ст0 -> — (2 + V16 x2 23 ) /2 x 'ai->0 /. solx2b[l.] /. solx3b[[l]] /.к2 + 23

325. Х->д/ ——— // Simplify #, к > 0. &;solx4b = Solveeq*4b 0, a4. // FullSimplify eq%5b =1/2

326. Coefficient eqDet, £,5. / . a0 -> — (2 + Vl6 X2 23 ) /2 x 'ai-»0 /. solx2b[l.] /. solx3b[[l]] /.к2 + 23solx4b[l.] /. x-> J // Simplify[#, к > 0] &;1. V 16solx5b = Solve eqx5b == 0, a5. // FullSimplify eq*6b =1 ,- 1/2

327. Coefficient eqDet, e, 6. / . a0 -> — (2 + V16 x2 23 ) /2 x 'ai-»0 /. solx2b[l.] /. solx3b[[l]] /. solx4b[[l]] /. solx5b[[l]] /.к2 + 23

328. Х->д/ // Simplify#, к > 0. &;1. V 16solx6b = Solve eqx6b 0, o6. // FullSimplify

329. П.3.2.1. Резонанс четвертого порядка ^ -Зо-2 = 0.

330. Solve Table [Coefficient [eqa, e, j. ==0, {j, 6}], Table[к-j, {j, 6}]] //Collect[#, e, Simplify] &1. Vk2 + 23 13 vi1. Collect#, e, Simplify. &к resl // Series#, {e, 0, 6}. &//

331. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ МЕЖДУ ОБЛАСТЯМИ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДОМ БЕСКОНЕЧНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

332. П.4.1. Гамильтонова система второго порядка

333. Определяем гамильтонову систему и переписываем ее в виде одного дифференциального уравнения второго порядка.

334. JJ= {{0, 1}, {-1, 0}}; eql =D{q[t., p[t]}, t] ==

335. JJ.{DH, q[t.] , D[H, p[t]]} // Thread; eq2 = eql Ц2]] /. DSolve[eql[[ll|, p, t] [1.]

336. Чтобы избавиться от знаменателя, умножаем обе части уравнения на (1 + s cos Оeq3 = (1 + е Cos t.) eq2 11 Thread [#, Equal] &

337. Определяем правило подстановки в уравнение eq3 решения в виде ряда Фурье. Так как в дальнейшем четные и нечетные члены ряда разделяются, сразу выделяем из в правиле rull.eq4 = eq3 / . rull;

338. Определяем функцию reducing, преобразующую произведения тригонометрических функций в сумму и применяем ее к уравнению eq4.reducingfEqual. : =f 1. f [[2]] // Expand // TrigReduce // Expand) ; eq5 = reducing[eq4];

339. Coefficient Coefficient [Eq, sumk. /. k-»n-l, f[nt]] + Coefficient[Coefficient[Eq, sumk] /. k-»n, f[nt]] + Coefficient [Coefficient [Eq, sumk] /. k-»n + l, f[nt]]]

340. CoeffTrigleq5, 1, Sumk, Cos.

341. Функция CoeffTrig2 выделяет коэффициенты при Cos( (2k~bt) и Sj„(£*=!)i).

342. CoeffTrig2Eq^, n, sumk, f. := Which[ n == 1, Coefficient [Eq / . sumk 0, f [ — J J +

343. Coefficient Coefficient [Eq, sumk. /. k-»l, f[ — ]] +

344. Coefficient Coefficient [Eq, sumk. /. k2, f[ — ]], n > 1,

345. CoefficientCoefficient[Eq, sumk. /. k-»n-l, f[j (2n-l) t]] + Coefficient[

346. Coefficient Eq, sumk. /. k-»n, f[-^- (2n-l) t]] + Coefficient [Coefficient [Eq, sumk] /. k-»n + l, f[i (2 n 1) t]]]

347. TableCoefficient[CoeffTrigl[eqO, f, Sumk, Cos.,cltth.]] , {h, Length cl] } ] ] , {f, 0, m} ]; ml ]var2 = d2 k. ;mat2m /; m* 1, eq0, var2. := Block[ {ml, cl} , cl = Table[var2 /.k-»h, {h, m}]; ml = {}; Do [ml = Appendml,

348. CoeffTrig2 eqO, f, Sumk, fun. , cl[[h]]] ,h, Lengthcl.}]],f, m} . ; ml ]

349. Для вычисления границ устойчивости a = a(s), пересекающих ось е = 0 в точке а = 4 с точностью до десятого порядка используются следующие две команды.bound4, 10, matl[10, eq5, varO, varl.] bound[4, 10, mat2[10, eq5, var2]]

350. Для вычисления границ устойчивости а = а(е), пересекающих ось е=0 в точке а = 1/4 с точностью до десятого порядка необходимо выполнить следующие две команды.bound1, 10, mat3[10, eq5, var3, Cos.] bound[1, 10, mat3[10, eq5, var4, Sin]]

351. П.4.2. Гамильтонова система четвертого порядка

352. Определяем функцию Гамильтона и уравнения движения.

353. Pxt.2 Py[t]2 (1 + 4 е Cos[t]) х [t]2

354. H2 = +--Pyt. x [ t ] + - +2 2 8 + 8 e Cos t.nr41 xxt.y[t] (-5 + 4 e Cos [t]) у [t]2 Px[t] y[t] --— +1 + e Cost. 8 + 8 e Cos[t]eql = {x' t. ==D[H2, Px[t]] , y' [t] =D[H2, Py[t]] , Px' [t] == -D[H2, x[t]] , Py' [t] -D[H2, у [ t] ] } ;

355. Преобразуем систему четвертого порядка eq1 в систему двух уравнений второго порядка eq3.eq2 = Drop eql, {1, 2}. /.

356. DSolve Drop [eql, {3, 4}., {Px, Py} , t][[l]] // FullSimplify;eq3 = Simplify Thread [# (l + eCos[t.), Equal]] & /@ eq2

357. П.4.2.1. Определение границ областей устойчивости в случае cj2 = j

358. Определяем функцию reducing для приведения тригонометрических функций и применяем ее к системе eq4.reducingfEqual. :=f Ц1.] f [2]] //Expand //TrigReduce //Expand); eq5 = reducing[#] & /@ eq4

359. Определяем функцию для выделения коэффициентов при Cos(-y-) и Sin(f).

360. CoeffTrig3 Eq^, n, sumk, f. := Which [ n 1, Coefficient [Eq / . sumk 0, f [ — ] ] +

361. Coefficient Coefficient [Eq, sumk. /. k-»l, f[ — ]] +

362. Coefficient Coefficient [Eq, sumk. /. k->2, f[~ ]]/ n > 1,

363. Coefficient Coefficient [Eq, sumk. /. k-»n-l, f[j (2 n 1) t]] + Coefficient[

364. Coefficient Eq, sumk. /. k-»n, f[— (2 n 1) t]] + Coefficient [Coefficient [Eq, sumk] /. kn + 1, f[i (2 n - 1) t]]]

365. CoeffTrig3eqOHj.], f, Sumk, Cos], cl[[h]]], {j, 2},h, Lengthcl.}]];ml = Joinml, Table[Coefficient[

366. CoeffTrig3eqO[[j.|, f, Sumk, Sin], cl[[h]]], {j, 2},h, Lengthcl.}]],f, m} .; ml ]

367. Для определения границ с точностью до десятой степени малого параметра е достаточно выплнить следующую команду:bound10, mat[6, eq5, var5.]

368. П.4.2.2. Определение границы при щ = а>2 =у2

369. Определяем правило подстановки решения общего вида в уравнения eq3.rulll = {х -» Exp i а #.аО + Sumk (ak. Cos[k#] +b[k] Sin[k#])) &11. Expia#. (cO + Sumk 4ck. Cos [k #] + d[k] Sin[k#])) &eq4 = eq3 / . rulll / . Exp. -» 1; eq5 = (reducing[#] & /@ eq4)

370. Функция CoeffTrig позволяет выделить коэффициенты при Sin(/c v) и Cos(kv) в выражении eq5.

371. CoeffTrigEq, n, sumk, f. := Which[n==0,

372. Eq /. sumk-»0) + (CoefficientEq, sumk. / . k -» 1) /.

373. Cos . 0, Sin [] 0} , n==l, Coefficient [Eq /. sumk -» 0, f[t]] + Coefficient[Coefficient[Eq, sumk] /. k-»n, f[t]] + Coefficient [Coefficient [Eq, sumk] /. k -» n + 1, f[t]], n>l, Coefficient [Coefficient [Eq, sumk] /. k-»n-l, f[nt]] +

374. CoefficientCoefficient[Eq, sumk. /. k-»n, f[nt]] + Coefficient [Coefficient [Eq, sumk] /.k-»n + l, f[nt]]]

375. Функция mat формируем матрицу линейной системы, определяющей коэффициенты Фурье-разложения ги111.var6 = {аО, сО} ;var7 = {а к., Ь[к] , с [к], d[k]};matm /; m£ 1, eqO, varO, varl. := Block[ {ml, cl}, cl =

376. Join varO, Flatten [Table [varl /.k-»h, {h,m}.]]; ml= Table[Coefficient[ CoeffTrig[eqO[[j]], 0, Smnk, Cos], ciPvD], {j, 2}, {h, Length[cl]}]; Do [ml = Joinml,

377. Table Coefficient [Coeff Trig [eqO [[j.I, f, Smnk, Cos],cipiJb {j, 2}, {h, Length cl. } ] ] ;ml = Joinml,

378. Table Coefficient [Coeff Trig [eqO |[j.I, f, Sumk, Sin], cltthj], {j, 2}, {h, Length[cl]}] ],f, m} . ;ml .

379. Далее определяем разложения сг их в окрестностях сг = 1 /л/2 и X V23/16 соответственно.11rulxl = Х~*23 ii, . 1 Д . + / е3 Xj ; rulal = а - + У в3 a j16 j=i J1. Vi" j=i

380. Вычисляем определитель матрицы 30-го порядка и разлагаем его в ряд по е с точностью до десятого порядка.eq6 = Detmat[7, eq5, var6, var7.] /. rul%l /. rulal// Series [#, {e, 0, 10}] & //

381. Normal // Collect#, e, Simplify. &;

382. ПОСТРОЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЯПУНОВА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ГАМИЛЬНОНОВОЙ СИСТЕМЫ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ1.itialization1. Clear"Global4*".;

383. SetOptions "stdout" , PageWidth -» 80. ; $DefaultFont = {"Helvetica-Bold", 12} ; th = AbsoluteThickness[2]; Off[General::spell, General::spelll];

384. П.5.1. Гамильтонова система второго порядка

385. Рассмотрим гамильтонову систему второго порядка с матрицей вида:а + е Cos t. ,

386. Hmatt. = {{-, 0}, {0, 1}};1. 1+eCost. 1 J

387. JJ= {{0, 1}, {-1, 0}}; JHmatt. = JJ.Hmatft]

388. Определяем два линейно независимых решения при е = 0 и строим матрицу exp(JH01).eqO = D{q[t. , p[t]}, t] ==

389. JJ. Hmat t. /. e-+0) ,{q[t], p[t]}) //ThreadsolOl=

390. DSolve Join [eqO, {q[0. == 1, p[0] == 0}] , {q[t] , p[t]}, t] Ц 1] // FullSimplify [#, a > 0] &sol02 =

391. DSolve Join [eqO, {q[0. == 0, p[0] == 1}] , {q[t] , p[t]}, t] [[ 1] // FullSimplify [#, a > 0] &1. Tpost. =

392. Transpose{{q[t., p[t]} /. solOl, {q[t], p[t]} /. sol02}] Tneg[t] = Tpos[-1]

393. JHmatExp t. = Series [JHmat [t] , {e, 0, 6}] //Normal;

394. Определяем процедуры в соответствии с алгоритмом, изложенным в разделе 3.4.

395. JHk, t. :=Coefficient[JHmatExpft], e, k] //Simplify Y[0, t] =IdentityMatrix[2]; sol[0] = {}; Wn : = Array[wn, {2, 2}]к

396. JHRed k, r. := ^Tnegfr].JH[j, z] .Tpos [z] . Y[k j , r]j=i к

397. WRedk, r. :=^Y[k-j, r] .Tnegfr] .W-j .Tpos [r]j=i1. YYk, t. : =1.tegrate #, {z, 0, t}. & /@ (JHRedfk, r] -WRedfk, r] /. Flatten [Table [sol [m] , {m, 0, k-1}]])

398. Выполняя вычисления в первом порядке по е, находим матрицу Y-\.1. Yl, t. = YY[1, t]

399. Определяем процедуры для вычисления элементов матрицы Wj.eqk. := Flatten [Y[k, 2 я] ] ==0 //Thread //Simplify var[k] : = Flatten[Wk]sol k. := Solve [eq[k] , var [k] ] PJ //Simplify

400. В первом порядке получаем:soll.

401. Далее повторяем вычисления во втором, третьем и четвертом порядках.1. Y2, tj = YY [2, t. sol[2]1. Y3, t. = YY[3, t] sol[3]

402. Y4, t. = Integrated, {r, 0, t}] & /@ YY4 [r] sol[4]

403. Вчисляем матрицы Z и W в виде рядов по е с точностью до четвертого порядка.

404. Zlt. =Tposft].(Y[l, t] /. sol[l]),Tneg[t] //Simplify

405. Z2t. = Tpos[t] . (Y[2, t] /. sol [2]) . Tnegft] //Simplify

406. Z3t. = Tpos [t] . (Y [3, t] /. sol [3]) .Tnegft] // Simplify

407. Z4t. =Tposft].(Y[4, t] /. sol[4]).Tnegft] //Simplify

408. ZZ = IdentityMatrix2. + e Z1 [t] + e2 Z2 [t] + e3 Z3 [t] + e4 Z4 [t]

409. WW = JH0, t. + e Wi + e2 W2 + e3 W3 + e4 W4 / . sol[l] / . sol [2] / . sol[3] /. sol[4]

410. Легко убедиться в том, что матрица Z является симплектической. Действительно,

411. Transpose ZZ. .JJ.ZZ //Series[#, {e, 0, 4}] & //Normal // Collect[#, e, Simplify] &

412. Матрица Wявляется обобщенно симплектической.

413. Transpose WW. .JJ. WW//Series [#, {e, 0, 4}] & //Normal // Collect[#, e, Simplify] &

414. Матрица H2 в новых переменных становится постоянной и диагональной:

415. НН2 = Transpose ZZ. . (Hmat [t] . ZZ + JJ.D [ZZ, t]) // Series [#, {e, 0, 4}] & //Normal // Collect[#, e, Simplify] &a = HH2I1, II; P = HH2[2, 21;и = // Series #, {e, 0, 4}. & // Normal //1. Collect#, e, Simplify. &

416. VaJ г 4 Pi H2 = {q, p}.HH2.{q, p} /. {q-> -, p-} //2 V"a лД

417. Series #, {e, 0, 4}. & //Normal //Simplify