Расчеты из первых принципов упругих и термодинамических свойств веществ под давлением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, доктор физико-математических наук Синько, Геннадий Васильевич

• Синько, Геннадий Васильевич
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Синько, Геннадий Васильевич

Введение.

Глава 1. Два фундаментальных приближения, лежащих в основе численных расчетов упругих и термодинамических свойств веществ.

1.1. Адиабатическое приближение.

1.2. Метод функционала плотности - теоретический фундамент первопринцинных расчетов термодинамических свойств электронной подсистемы.

1.3. Термодинамические функции вещеава в адиабатическом приближении.

Глава 2. Термодинамика плотного вещества в области высоких температур.

2.1 Физическая модель для численного расчета энергетического спектра электронов и термодинамических функций электронной подсистемы при высокой температуре.

2.2 Вывод формул, выражающих энер1 ию, энтропию и давление вещества в рамках сформулированной физической модели.

2.3. Практические аспекты расчета вклада электронов в термодинамические функции вещества при высокой температуре. Вклад ядер и равновесного излучения в термодинамику.

2.4. Некоторые результаты численных расчетов.

Глава 3. Термодинамика плотною вещества в области низких температур.

3.1 Расчет вклада электронов в термодинамические функции кристалла.

3.2 Расчет вклада ядер в термодинамические функции кристалла.

Глава 4. Способ расчета упругих постоянных изотропно сжатого кристалла.

4.1 Матрица однородной деформации и тензор однородной деформации кристалла.

4.2 Изменение удельной энер1 ии изотропно сжатого кристалла при однородной деформации.

4.3 Механическая устойчивость изотропно сжатою кристалла.

4.4 Упругие постоянные кристалла при произвольном давлении.

4.5 Модуль объемного сжатия и упругие постоянные.

4.6 Другой подход к определению упругих постоянных кристалла под давлением.

4.7 Влияние электронных тополо! ических переходов на результаты расчета упругих свойств кристаллов.

Глава 5. Результаты расчетов термодинамических и упругих свойств некоторых s р - и d - металлов.

5.1. Некоторые общие вопросы получения и представления результатов.

5.2. л-элементы (Na, К, Be)

5.2.1 Натрий.

5.2.2 Калий.

5.2.3 Бериллий.

5.3./?-элементы (Al, In)

5.3.1 Алюминий.

5.3.2 Индий.

5.4. ^-элементы (1 i, Fe, Ni, Zn)

5.4.1 Титан.

5.4.2 Желе ю.

5.4.3 Никель.

5.4.4 Цинк.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчеты из первых принципов упругих и термодинамических свойств веществ под давлением»

Одной из важнейших практических задач физических теорий является описание макроскопических процессов, происходящих в естественных или искусственных условиях. Как правило, макроскопические процессы описываются в модели сплошной среды, поведение которой подчиняется уравнениям магнитной радиационной газодинамики, представляющим собой следствия общих законов сохранения. Особенности сплошной среды, моделирующей ту или иную реальную физическую систему, передают коэффициенты, входящие в эги уравнения. Эти коэффициенты представляют собой функции, значения которых определяются свойствами и поведением реальных микроскопических частиц, составляющих описываемую физическую систему (ядер, электронов, фотонов). Такими коэффициентами являкнся, например, термодинамические функции, упругие модули, электропроводность, диэлектрическая проницаемость, магнитная восприимчивость, теплопроводность, вязкость. Для успешною решения конкретных практических задач в модели сплошной среды необходимо знать зги коэффициенты с достаточной точностью. Возможности эксперимента здесь очевидно ограничены, поэтому очень важную роль играют расчеты из первых принципов.

Термин "из первых принципов" означает, что при получении результатов не используются какие либо экспериментально определенные величины за исключением мировых констант. Интерес к расчетам из первых принципов постоянно возрастает по мере роста возможностей вычислительных систем. Для коэффициентов, входящих в уравнения магнитной радиационной газодинамики, существуют формальные выражения, связывающие эти коэффициенты с микроскопическими характеристиками реальной системы, но эти выражения настолько сложны, что использовать их в практических расчетах без введения упрощающих предположений в обозримом будущем вряд ли удастся. Проблема осложняется тем, что относительная роль физических факторов, определяющих значения коэффициентов в уравнениях магнитной радиационной 1азодинамики, различна в различных областях температур и плотностей вещества, а значит и упрощающие предположения, позволяющие до конца провести расчет этих коэффициентов, в своем большинстве не могут носить общею характера. Поэтому теории приходится идти по пути разработки приближений и построения на их основе физических моделей вещества, применимых в ограниченных областях температур и плотностей, а затем решать получающиеся при этом задачи квантовой механики и теории переноса. В результате получаются хоть и "первонринципные", по все же приближенные результаты.

Два ключевых приближения, которые используются наиболее широко, это адиабатическое приближение и приближение локального функционала плотности.

Адиабатическое приближение позволяет р<ндельно описывать ядра и электроны, два типа ^ частиц, составляющих все макроскопические системы. Второе приближение позволяет на практике использовать очень общую теорему Мермина [1] о том, чго термодинамический потенциал системы электронов при фиксированной температуре и заданных внешнем потенциале и химпотенциале является одношачным функционалом плотности электронов в системе, причем минимального значения этот функционал достигает при значении плотности, соответствующем термодинамическому равновесию. Аналогичная теорема для случая температуры равной 0°К была доказана чуть ранее в работе Ноенберга и Кона [2].

Подробный анализ этих приближений содержится в первой главе данной работы, посвященной вопросам расчета термодинамических функций и упругих постоянных простых веществ в области плотностей /?>0.9дю, где /?00 - плотность вещества в кристаллическом состоянии при Р=1 атм. и 7Ь0°К. При этих плотностях можно выделить * два температурных интервала, в которых удается построить неплохие физические модели, позволяющие до конца провести расчеты термодинамических функций.

Первый интервал включает температуры кТ"»Е,, где Е, - энер1ия Ферми вещества в кристаллическом состоянии. Для расчета термодинамических функций электронов в этом интервале широко применяется модель Гомаса-Ферми. Один из вопросов, которые возникают при использовании этой модели, эго вопрос о том, насколько изменятся результаты, получаемые с помощью этой модели в интервале плотностей /?>0.9/?00, если отказаться от сделанною в ней предположения о непрерывности энергетическою спектра электронов и учесть реальный факт его дискретности при отрицательных энергиях. Поскольку известно, что при низкой щ плотности вещества дискретность спектра электронов при отрицательных энергиях проявляется в осциллирующем поведении термодинамических функций относительно некоторой плавной кривой, причем эти осцилляции имеют значительную амплитуду, то отвег на этот вопрос имеет немалую практическую важность. В пионерских работах на эту тему [236,250,251,66,40,67] были получены указания на то, что не учитываемые моделью Томаса-Ферми эффекты, связанные с дискретностью энер| етического спектра, могут сильно повлиять на термодинамические функции плотного вещества. Для дальнейшего исследования масштаба упомянутых эффектов, автором построена и описана во второй главе данной работы физическая модель, дополнившая модель Томаса-Ферми учетом дискретности энергетическою спектра, а также учетом обменных и корреляционных эффектов, и получившая в литературе название модель CCII. Вклад ядер в щ термодинамические функции вещества в этой модели описывается по способу, предложенному в [3]. Результаты расчета термодинамических функций по этой модели сравниваются с результатами расчетов но современной версии модели Гомаса-Ферми с квантовыми и обменными поправками [4,5]. Некоторые результаты сравниваются также с результатами, полученными по модели МХФС [6], аналошчной модели, описанной в данной работе и развивавшейся независимо и примерно в то же время в Институте прикладной математики РАН, г.Москва.

Второй температурный интервал, в котором при плотностях р>0.9рт существует неплохая фишческая модель, позволяющая до конца провести расчет термодинамических функций, включает температуры Т <7'/н, <к Е, , 1де T}us- температура плавления кристаллической фазы вещества. Здесь успешно применима модель идеального кристалла.

В главе 3 рассмотрена термодинамика вещества в рамках эгой модели. Используя адиабатическое приближение, выделены две независимые подсистемы - электронов и ядер. Считая плотность и энер1етический спектр подсистемы электронов в рассматриваемом температурном интервале не зависящим от температуры, записано общее соотношение, выражающее свободную энергию электронной подсистемы через плотность электронов и их энер1етический спектр при Т-()°К. Анализируются имеющиеся в литературе способы расчета вклада подсистемы ядер в термодинамические функции и предлагается относительно простой метод расчета этою вклада, основанный на модели Дебая. Суть этого метода состоит в расчете зависимости температуры Дебая от плотности, исполыуя швисимость от плотности упругих постоянных кристалла, которая может быть рассчитана из первых принципов.

В главе 4 выведены формулы для расчета ynpyi их постоянных изотропно сжатого кристалла. Вывод основан на использовании тензора деформации Лаграижа, который, в отличие от обычно используемого тензора деформации Эйлера, содержит члены второго порядка относительно элементов матрицы деформаций. Предложенный способ расчета упругих постоянных кристалла под давлением является прямым обобщением способа расчета yupyi их постоянных, обычно используемого для несжатого кристалла. Полученные соотношения позволили установить условия механической устойчивости июгропно сжатого кристалла, которые совпали с условиями, выведенными ранее другим способом [8]. Для тетраюнальных'и 1ексагональных кристаллов установлена также связь между упругими постоянными и модулем объемного сжатия, которая справедлива при любом давлении. Анализируются недостатки предложенною в работе [9] способа расчета упругих постоянных иод давлением и факторы, влияющие на точность численных расчетов ynpyi их постоянных.

В iлаве 5 приведены и анализируются результаты расчетов термодинамических и ynpyi их свойств одноатомных кристаллов различной структуры. Для анализа выбраны группы атомов, отличающиеся распределением вачентных электронов. Это элементы натрий, калий и бериллий, у которых валентными являются s-электроны, алюминий и индий, у которых валентными являются s- и р-электроны, а также титан, железо, никель и ципк, у которых валентными являются ь- и J-электроны. Результаты расчетов показали, что при сжатии кристаллов, состоящих из агомов d-элементов, в их энергетическом спектре происходит большое количество электронных тополо1ических переходов [10], что существенно снижает точность расчетов упругих постоянных, а следовательно и вклада ядер в термодинамические функции, по крайней мере описанным в итве 3 методом. Это обстоятельство не позволило построить фазовые диаграммы кристаллов J-элементов с той же точностью, что и для кристаллов s- и ^-элементов.

В заключении кратко сформулированы итоги проделанной работы.

Новые научные результаты и положения, выдвигаемые для защиты

1. Развитие физической модели Рожпаи [40], позволившее дополнить классическую модель Томаса-Ферми учетом дискретности энер1етического спектра электронов, а также обменных и корреляционных эффектов. Аналитический вывод в рамках построенной модели выражений для энергии, энтропии и давления электронной подсистемы.

2. Оценка на основе предложенной модели тех отличий в термодинамических функциях, которые возникают при отказе от сделанного в классической модели Гомаса-Ферми предположения о непрерывности энергетического спектра электронов и учете реального факта ei о дискретности при отрицательных энергиях.

3. Способ расчета зависимости температуры Дебая кристалла от плотности на основе зависимости от плотности его упругих постоянных.

4. Применение метода расчета термодинамических функций кристалла при конечной температуре, основанного на первопринципных расчетах электронной структуры кристалла при Г=0°К и модификации модели Дебая, включающей предложенный автором способ расчета зависимости температуры Дебая от плотности.

5. Вывод выражений, позволяющих рассчитывать упругие постоянные изотропно сжатого кристалла с любой структурой и при любой плотности, используя результаты первопринципных расчетов зависимости удельной энергии от степени деформации для нескольких независимых деформаций.

6. Вывод формулы, связывающей ynpyi ие постоянные и модуль объемного сжатия тетрагональных и гексагональных кристаллов при любом давлении.

7. Анализ и сравнение с имеющимися экспериментальными данными результатов расчета термодинамических и ynpyiHX свойств одноатомных кристаллов с различной структурой, состоящих из атомов, отличающиеся распределением валентных электронов. Это элементы натрий, калий и бериллий, у которых валентными являются s-электроны, алюминий и индий, у которых валентными являются s- и р-электроны, а также титан, железо, никель и цинк, у которых валентными являются s- и (/-электроны.

8. Аналитическая аппроксимация результаюв численных расчетов зависимости удельной внутренней эперши при 7Ч)°К от удельного объема для ряда кристаллических структур рассмотренных в данной работе металлов.

Личное участие автора

Выбор направления работ в целом, постановка задач и определение путей их решения, анализ и обобщение результатов, формулировка положений, выдвигаемых для защиты, принадлежат автору. Автором была разработана физическая модель плотною вещества, обобщающая классическую модель Томаса-Ферми, и аналитически выведены формулы для расчета термодинамических функций в этой модели, им были выработаны методология создания комплекса программ для расчета термодинамических функций простых веществ при высоких температурах и плотностях, а также принципиальные идеи ею реализации. Он руководил созданием эюю комплекса программ, участвовал в построении алгоритмов численной реализации физической модели и тестировании программного комплекса.

Автором было предложено использовать метод расчета термодинамических функций кристалла при конечной температуре, основанный на иервопринципных расчетах электронной структуры кристалла при 7'=0°К и модифицированной модели Дебая, в которой температура Дебая зависит от плотности. Им был предложен способ расчета зависимости температуры Дебая кристаллов от плотности на основе зависимости от плотности ynpyi их постоянных кристалла.

Автором были определены направления модернизации полученною из ФИ РАН комплекса программ для расчета из первых принципов электронной структуры кристаллов при Г=0°К с целью повышения точности расчетов при высоких давлениях и выведены выражения, позволяющие рассчитывать упругие постоянные изотропно сжатого кристалла с любой структурой и при любой плотности, используя результаты первопринципных расчетов зависимости удельной энергии от степени деформации для нескольких независимых деформаций. Им была установлена связь между упругими постоянными и модулем объемного сжатия, которая справедлива при любом изотропном , давлении для тетрагональных и i екса! ональных кристаллов.

Автором была проанализирована возможность численно изучить масштаб аномалий в ynpyi их свойствах кристаллов, связанных с электронными топологическими переходами Лифшица.

Автором выполнен анализ и сравнение с имеющимися экспериментальными данными результатов первопринципных расчетов термодинамических и упругих свойств одноатомных кристаллов с различной структурой, состоящих из атомов, отличающихся распределением валентных электронов. Им был предложен способ аппроксимации полученных в расчетах значений удельной энергии и давления при 7'=0°К в практически интересной области плотностей и подобраны соответствующие значения коэффициентов в аппроксимационной формуле. Автору принадлежит идея использовать полученные щ результаты для построения из первых принципов фазовых диаграмм кристаллов на плоскости (Р, Т).

Научное и практическое значение работы.

В диссертационной работе предложены и детально описаны физические модели, реализованные в компьютерных профаммах и позволяющие рассчитывать термодинамические функции веществ при экстремальных условиях. Полученные результаты стимулировали постановку уникальных измерений в условиях подземных ядерных взрывов, которые подтвердили справедливость этих результатов и позволили с уверенностью использовать их при проектировании конструкций, работающих в экстремальных условиях. Результаты аппроксимации рассчитанных из первых принципов f> холодных кривых ряда металлов, приведенные в данной работе, могут быть использованы для уточнения полуэмпирических уравнений состояния этих металлов.

В настоящее время при проектировании систем, работающих в экстремальных условиях, все более актуальной становится задача дополнения гидродинамическою описания учетом упруго-пластических свойств среды. Следовательно, актуальным становится и расчет упругих постоянных кристаллов при высоких давлениях. Поэтому получение в данной работе формул для расчета из первых принципов ynpyi их постоянных кристаллов при произвольном изотропном давлении, первый опыт их использования и анализ факторов, влияющих на точность расчетов, имеет важное научное и практическое значение. Кроме тою, поскольку упруго-пластические свойства среды существенно меняются при структурных фазовых переходах, рассчитывая процессы при экстремальных * условиях важно знать границы сосуществования фаз с различной кристаллической структурой. Возможности эксперимента здесь офаничены, поэтому опыт систематического построения фазовых диаграмм кристаллов из первых принципов, накопленный в данной работе, будет полезен для дальнейшей научной работы.

Заключение диссертации по теме «Теплофизика и теоретическая теплотехника», Синько, Геннадий Васильевич

Такие выводы можно сделать по результатам расчетов на весьма неплохой сетке в зоне Бриллюэна: 40*40*40. Однако наши дальнейшие расчеты показали, что вопрос о том, при каком давлении в кристалле происходит тот или иной ЭТП и какой масштаб имеют связанные с ним эффекты, весьма не прост. Оказалось, что ответ на нею, как и точность численных расчетов электронной структуры кристаллов при прочих равных существенно зависит от числа точек в сетке, используемой для итерирования по к -пространству.

Рисунок 4.9 показывает зависимость плотности состояний на поверхности Ферми цинка от отношения с/а для удельного объема V/Vo=0.% при различном числе точек сетки в зоне Бриллюэна. Пики на кривых соответствуют ЭТП, обозначенным 1.1 на рис.4.4 и 2.2 на рис.4.5. Б

30x30x30

11^1.1.2.2

40x40x40 Ч-'— ^2.2 1 1 1 ■ 1

I.

50x50x50

Г I 5

60x60x60 V

70x70x70

I— 1.1.

22

1.1,2.2

80x80x80 —1— 1 1 1 ж-1-1 -- 1 1 1 1 2-2.

1 1 1 1 i.i.

1.76 1.78 1 80 1 82 1 84 1 86 с/а

1.66

Рис. 4.9. Зависимость плотности состояний на поверхности Ферми Лф-цинка от отношения с/а для V/V0 =0.96, рассчитанная с использованием различных сеток в зоне Бриллюэна.

Если зависимость E(cla), аналогичную той, что показана на рисунке 4.8, поетроить для каждой кривой из рисунка 4.9, то связанные с ЭШ возмущения будут локализованы в различных областях параболы. Соответственно, аппроксимация каждой такой зависимости Е(с/а) даст свои значения равновесного отношения с!а и свои значения второй производной в минимуме. А это значит, что для каждой точности расчетов будут получены свои значения упругих постоянных. Из рисунка 4.9 очевидно, что даже сетки 80x80x80, содержащей 512 000 точек в зоне Бриллюэна, недостаточно, чтобы точно определить положение ЭШ в цинке. Эюго числа недостаточно даже для тою, чтобы сходимость к точному результату стала монотонной.

Кроме того, просматривается очевидная тенденция к уменьшению связанных с ЭТИ возмущений в плотности состояний на поверхности Ферми, а значит и в энергии, и в упругих постоянных, при увеличении числа точек сегки в к - пространстве. Можно предположить, что отмечавшееся ранее в расчетах различных авторов существенное влияние изолированных ЭТП на упругие свойства кристаллов является результатом использования недостаточно густых сеток.

Таким образом, давление, при котором в расчетах наблюдается тот или иной ЭТП, и связанные с ним эффекты могут существенно зависеть от параметров, определяющих точность расчетов, в частности, от числа к - точек в использованной сетке. Для различных сегок положение одного и того же ЭШ и эффекты, связанные с ним, могут значительно отличаться даже в тех случаях, когда расчеты удельной энергии за пределами области влияния ЭТП дают на этих сетках близкие результаты. В то же время в случаях, когда процесс деформации кристалла не сопровождается топологическими изменениями поверхности Ферми и резкими изменениями плотности состояний на ней, свойства кристалла и, в частности, его упругие постоянные могут быть рассчитаны с неплохой точностью даже на довольно редких сетках. Это означает, что прежде чем определять положение ЭТП или рассчитывать величину связанных с ним эффектов необходимо тщательно исследовать зависимость результатов от числа к - точек в использованной сетке и ог других параметров, влияющих на точность получаемых результаюв.

Результаты наших расчетов дают основание полагать, что ЭГП - не причина значительных аномалий упругих свойств кристалла, а некий индикатор перестройки его энергетическою спектра. Возможно, что только в отдельных случаях такая перестройка приводит к существенным аномалиям в упругих и других свойствах кристалла.

На наш взгляд было бы интересно провести систематическое экспериментальное исследование динамики поверхности Ферми при изменении давления в кристалле. Тем более что у многих кристаллов поверхность Ферми претерпевает многочисленные изменения топологии при давлениях, не превышающих 500 кбар. Сопоставление надежных экспериментальных и теоретических результатов позволило бы окончательно прояснить вопрос о масштабе влияния ЭТП на свойства кристаллов.

Глава 5. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ И УПРУГИХ СВОЙСТВ НЕКОТОРЫХ s -,р - И d- МЕТАЛЛОВ.

5.1. Некоторые общие вопросы получения и представлении регулы а гов.

Все приведенные ниже результаты, касающиеся энергетического спектра одночастичных состояний и удельной энер1ии электронной подсистемы получены в рамках метода функционала плотности с использованием обобщенного градиентною приближения (GGA91) [28]. Уравнения метода функционала плотности решались линейным методом М Г-орбиталей без ограничения на форму потенциала в кристалле (в ашлийской транскрипции FPLMTO), в версии, описанной в работе [7]. Форма обмепно-корреляционною потенциала не была одинаковой для разных металлов Среди известных форм выбиралась та, которая позволяла для выбранного металла наиболее точно воспроизвести экспериментальные данные при атмосферном давлении. По способу описания электроны делились на две группы - коровские и валенгные. Электроны относились к кору, если соответствующие им энер1етические полосы в спектре не подвергались уширению во всем исследованном интервале давлений. Все релятивистские эффекты были учтены, кроме спин-орбитальною расщепления для валентных электронов, которые описывались в скалярно-релятивистском приближении. При интегрировании в обратном пространстве использовалась зона Бриллюэна, имеющая форму призмы, и сетка в пей строилась путем деления каждою ребра па N частей. Гакую сетку ниже мы будем ниже обозначать N*NxN. Значение N для каждого металла подбиралось, исходя из необходимости обеспечить точность расчета удельной энерши на уровне 0.1 mRy/атом. Критерий сходимости по энергии выбирался на уровне 10"4- 10"5 mRy/ячейку.

Вклад электронной подсистемы в давление рассчитывался численным дифференцированием зависимости удельной свободной энергии электронной подсистемы от удельного объема при постоянной температуре. Для локальной аппроксимации этой зависимости использовалась формула [99], в которой зависимость от объема имеет вид

Удобство этой формулы заключается в наличии свободного параметра У0, что позволяет аппроксимировать не всю зависимость в целом, а определенный ее кусок. Таким образом, разбивая полученную в расчетах зависимость F(V) при постоянной температуре на части, можно описать ее точнее, чем аппроксимируя всю кривую целиком. При этом необходимо, чтобы полученная в результате аппроксимации зависимость F(V) была как можно более плавной. Поэтому, при аппроксимации кривой F(V) с целью расчета

5.1) давления, параметры формулы (5.1) определялись отдельно для каждой точки сегки объемов, в которой была рассчитана эта кривая, по пяги рядом лежащим точкам, включая данную, и использовались для аппроксимации кривой F(V) па оiре же, примыкающем к центральной точке со стороны меньших объемов. Производная гакой аппроксимирующей кривой в центральной точке и служила для определения вклада электронной подсистемы в давление в этой точке сетки объемов.

Полученные в наших расчетах зависимости электронной части удельной энергии кристаллов при Г=0°К от удельного объема в интервале сжатий, при которых основной вклад в давление вносят электроны внешней оболочки атомов, оказалось возможным с хорошей точностью описать формулой Розе и др. [100], несколько модифицировав ее путем добавления двух дополнительных параметров:

EQe(V) = Ея -Д£(1 +у+ау2 +/?/)ехр(-у), (5.2) где

У =-* = х С V г0 =

Е0е(о)

V - удельный объем, о0- удельный объем, при котором —-— = 0. Формула (5.2) не dv обладает универсальностью формулы [100], но зато позволяет точнее аппроксимировать результаты расчетов. Параметрами в формуле (5.2) мы считали величины о0,£,АЕ,а,/1.

Ег - величина, зависящая от выбора начала отсчета энергии. Из (5.2) вытекает следующее выражение для давления: fY — IH /? ехр(-.у). (5.4) где АЕ(\-2а) /1, --;— .

0 12л rf

Отметим, что при практическом использовании результатов первопринципных расчетов холодных кривых удается несколько повысить точность описания имеющихся экспериментальных данных, если с номощыо формул (5.2) и (5.4) представить холодные энергию и давление реальной системы следующим образом:

Exon(V)= Е0е {v0 •<?), Pxon(V)=l-£ Р0е (у0 •<?), (5.5) где £ = V / У0, а У0 - экспериментальный удельный объем при 7'=0°К, Р = 0.

5.2. 5-элементы (Na, К, Be)

5.2.1 Натрий.

В расчетах кристаллических структур натрия электроны, занимавшие в изолированном атоме состояния 2s, 2р и 3s описывались как валентные, Is электроны относились к кору. Базисные функции метода FPLMTO включали орбитали s, р и d типа. В расчетах использовались четыре значения энергии хвостов и десять центров линеаризации. Для интегрирования по зоне Бриллюэна использовалась сетка 23x23x23. Обменно-корреляционный функционал был выбран в форме [20]. В качестве нормировочного объема У0 для натрия использовано экспериментально полученное значение удельного объема кристалла со структурой Ьсс при атмосферном давлении и температуре 20°К, равное 254.009 (ат.ед.)3/атом [101]. Соответственно, в качестве нормировочного значения плотности используется величина рй =1/К0.

Для оценки точности расчетов было проведено сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными для Ьсс структуры натрия, являющейся термодинамически устойчивой при нормальных условиях. Мы рассчитали упругие постоянные кристалла натрия со структурой Ьсс, С,,, С'12, С" = (с'|)-С'12)/2 и Си, для тринадцати точек в интервале плотпостей от р0 до 6.667р0. В таблице 5.1 представлены значения рассчитанных нами упругих постоянных а также давления Р и объемного модуля В в зависимости от сжатия.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе из первых принципов, то есть без привлечения подгоночных параметров, исследовано поведение термодинамических функций и упругих постоянных ряда простых веществ в области плотностей /?>0.9/?00, где рт - плогносгь вещества в кристаллическом состоянии при Р=1 атм. и 7Ь0°К. Рассмотрены два температурных интервала, а именно кТ^>Е, и кТ Е, , где Е, - энергия Ферми вещества в кристаллическом состоянии, Г/и,- температура плавления кристаллической фазы вещества.

В каждом из эгих температурных интервалов уже имеются неплохие физические модели, позволяющие до конца провести расчеты термодинамических функций. В данной работе проведено уточнение и дополнение этих моделей, в результате чет получены новые физические результаты.

В области температур кТ»Е, построена физическая модель, обобщающая известную модель Томаса-Ферми с поправками (ГФП) и позволяющая оценить влияние на поведение термодинамических функций так называемых оболочечных эффектов, то есть не учитываемой в модели ТФП дискретности части энертегического спектра системы электронов. Эта модель получила в литературе название модель ССП. Расчеты в рамках построенной модели показали, что особенности реального электронного спектра приводят к тому, что термодинамические функции, вычисленные с учетом оболочечных эффектов, демонстрируют осцилляции относительно соответствующих функций, вычисленных по модели ТФП. В частности, на ударных адиабатах, рассчитанных с учетом оболочечных эффектов, можно выделить два участка. На первом, соответствующем температурам до ста электронвольт, ударные адиабаты, рассчитанные с учетом оболочечных эффектов, качественно подобны ударным адиабатам модели ТФП, для второго участка характерны небольшие осцилляции относительно ударных адиабат, полученных по модели ТФП. Для алюминия, например, амплитуда осцилляций сжатия на ударной адиабате не превышает 6%. Такое поведение присуще ударным адиабатам всех элементов. Установлена также и другая общая закономерность, присущая ударным адиабатам с учетом оболочечных эффектов, -это уменьшение с ростом заряда ядер вещества амплитуды осцилляций термодинамических функций на ударной адиабате относительно соответствующих величин, рассчитанных по модели 1ФП. Показано, что на ударной адиабате амплитуда осцилляций скорости ударной волны относительно результатов модели ТФП значительно меньше амплитуды аналогичных осцилляций сжатия. Амплитуда осцилляций сжатия на изэнтропах примерно такая же, как на ударной адиабате. Скорость звука на изэнтропах также осциллирует относительно результатов, полученных по модели ТФП, причем амплитуда осцилляций скорости звука и сжатия примерно одинакова.

Во втором температурном интервале kT<kTjus неплохая физическая модель, позволяющая до конца провести расчет термодинамических функций - это модель идеального кристалла. В этой модели плотность и энергетический спектр подсистемы электронов считались не зависящими от температуры и рассчитывались при Т= 0°К. Вклад электронной подсистемы в термодинамические функции рассчитывался в предположении, что от температуры зависит только распределение электронов в спектре. Вклад ядерной подсистемы в термодинамические функции удобно описывать в модели Дебая. Но зависимость температуры Дебая от объема обычно определяется с помощью подюночных параметров. В данной работе использовано выражение, связывающее температуру Дебая с упругими постоянными кристалла, и предложен способ расчета упругих постоянных кристаллов, испытавших произвольное изотропное сжатие. В результате удалось избежать использования подгоночных параметров и разработать полностью первопринципный метод расчета термодинамических функций кристаллов. С помощью этою метода были исследованы термодинамические и ynpyi ие свойства типичных представителей s, р и d металлов: натрия, калия, бериллия, алюминия, индия, титана, железа, никеля и цинка под давлением. Для ряда перечисленных металлов впервые из первых принципов были построены фазовые диаграммы на плоскости (/у/).

Вместе с тем проведенная работа показала, что практические расчеты ynpyi их постоянных не всегда Moiyr быть выполнены с необходимой точностью. Расчет упругих постоянных при плотностях, близких к тем, при которых в электронном спектре имеют место электронные toiiojioi ические переходы, требует чрезвычайно высокой, практически недостижимой при современном уровне вычислительной техники точности. Нсли топология поверхности Ферми при сжатии изменяется редко, как в кристаллах s и р элементов, то проблема решается проведением расчетов ynpyi их постоянных при тех плотностях, вблизи которых топология поверхности Ферми не меняется. Если же для кристалла характерно обилие электронных топологических переходов, как, например, для кристаллов d элементов, то рассчитать ynpyi ие постоянные с приемлемой точностью весьма трудно, если вообще возможно. Эта проблема касается не только расчета упругих постоянных, она наверняка проявится и при первопринципных расчетах фононных спектров. Поэтому представляется весьма полезным проведение систематического совместного экспериментального и теоретическою исследования динамики поверхности Ферми и изменения свойств кристалла под давлением. Сопоставление надежных экспериментальных и теоретических результатов позволило бы прояснить вопрос о масштабе влияния электронных топологических переходов на упругие и иные свойства кристаллов. Путем, лишенным универсальности, но все же позволяющим продвинуться в теоретическом решении этого вопроса является, видимо, использование неравномерных сеток в зоне Бриллюэна.

В процессе выполнения работы, результаты которой представлены в данной диссертации, автор имел удовольствие общаться со многими замечательными людьми, чьи помощь, совет и дружеская поддержка сьпрали неоценимую роль, как в выполнении работы, так и в формировании автора как научною работника и человека. Постоянную поддержку данной работе оказывали В.Ф.Куропатенко, В.А.Симоненко и В.Е.Фортов. Чрезвычайно полезным было обсуждение ряда поднятых в диссертации вопросов с

A.Т.Сапожниковым, Г.В.Коваленко, Е.А.Козловым, В.П.Копышевым, Г.М.Елисеевым,

B.В.Хрусталевым, Е.Г.Максимовым, С.Ю.Саврасовым, M.B.Mai нитской, Г.И.Канелем, И.Л.Иосилевским, В.К.Грязновым, И.ВЛомоносовым, К.В.Хищенко, П.РЛсвашовым, М.Л.Миллером, А.ГЛИкловским. Весьма ценным для автора было общение с Н.А.Щуром.

Модель ССП была реализована в виде программного комплекса М.А.Лучинской и Н.М.Барышевой при участии автора. Эгот комплекс Н.М.Нарышева назвала "РОСА" и с ею помощью провела расчеты термодинамических функций некоторых металлов при высоких давлениях и температурах. Некоторые из результатов этих расчетов обсуждаются в диссертации. Использованные для сравнения данные модели ТФПК были предоставлены автору Е.Е.Мироновой.

Н.А.Смирнов усовершенствовал программу, реализующую метод расчета электронной структуры кристалла FP-LMTO [7], и выполнил высокоточные расчегы энергетического спектра и электронной части удельной энергии различных структурных модификаций кристаллов, находящихся под давлением при Г=0°К, как в равновесном, так и в деформированном состояниях. Результаты этих расчетов анализируются в диссертации и используются для расчета упругих постоянных и термодинамических функций соответствующих структурных модификаций кристаллов. На начальном этапе работы по освоению программы, реализующей метод FP-LM10, в ней принимал участие А.Л.Кутепов.

В процессе работы, результаты которой изложены в диссертации, проведено большое количество расчетов на различных вычислительных системах - от БЭСМ-6 до самых современных. Это было бы невозможным без квалифицированной и добросовестной работы сотрудников вычислительного центра РФЯЦ-ВНИИТФ.

Невозможно перечислить всех тех, кто в той или иной мерс способствовал появлению на свет данной диссертационной работы. Всем этим людям автор выражает I лубокую благодарность.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Синько, Геннадий Васильевич, 2005 год

1. N.D.Mermin, Thermal properties of the inhomogeneous electron gas, Phys.Rev., 137, (1965), pp.1441.1443

2. P.Hohenberg, W.Kohn, Inhomogeneous electron gas, Phys.Rev., 136, (1964), p.864-871

3. В.П. Копышев, О термодинамике ядер одноатомного вещества, сб.: Числ. мет. мех. сил. среды, т.8, №6, (1977), стр.54-67

4. Н.Н.Калиткин, Л.В.Кузьмина, Квантовостатистическое уравнение состояния, Физика плазмы, 1976 г., т.2, №5, стр.858-868

5. Н.Н.Калиткин, Л.В.Кузьмина, Табчицы термодинамических функций вещества при высокой концентрации энергии, Препринт института прикладной математики им.М.В.Келдыша AI1 СССР, 1975 г., №35.

6. S.Yu.Savrasov and D.Yu.Savrasov, Full-potential linear-muffin-tin-orbital method for calculating total energies and forces, Phys.Rev.B, 46, (1992), p. 12181-12195

7. Wang J., Li J., Yip S., Phillpot S. and Wolf D., Mechanical istabilities of homogeneous crystals, Phys. Rev. В 52, (1995), 12627

8. Marcus P.M., Hong Ma and Qiu S.L., On the impotance of the free energy for elasticity under pressure, J. Phys.: Condens. Matter, 14, (2002), L525

9. И.МЛифшиц, Об аномалиях э гектронныххарактеристикметалча в обшсти бочьших давчений, ЖЭГФ,38, 1569(1960) Sov. Phys. JETF 11,1130(1960).

10. М.Борн, Хуап Кунь, Динамическая теория Kpucmai шческихрешеток, М: ИИЛ, 1958i., стр. 193-200.

11. Е.Г.Бровмап, Ю.Кагап, О фононном спектре метанов, ЖЭТФ, т.52, в.2, (1967), стр.557-574

12. Б.Т.Гейликман, Адиабатическая теория возмущений дчя метаиов и пробчема устойчивости решетки, УФН, т. 115, №3, (1975), стр.403-426.

13. В.Г.Барьяхтар, Е.В.Зароченцев, Е.П.Троицкая, Методы вычислите чыюй физики в теории твердого теча Атомные свойстваметалчов, Киев: Наук, думка, 1990г, стр.55-93.

14. A.K.Rajagopal, J.Callaway, Inhomogeneous electron gas, Phys.Rev. B, 7, (1973), p.1912-1919

15. J.E.Harriman, Orthonormnal orbitals for the representation of an arbitrary density, Phys.Rev. A, 24, (1981), p.680-682

16. O.Gunnarsson, B.I.Lundqvist, Exchange and correlation in atom's, molecules and solids by the spin-density-functional formalism, Phys.Rev. B, 13, (1976), p.4274-4298

17. U.von Barth, L. Hcdin, A local exchange-correlation potential for the spin polarized case I, J. Phys. С 5, (1972), pp. 1629-1642.

18. S. H. Vosko, L. Wilk, M. Nusair, Accurate spin-dependent electron liquid correlation energies for local spin density calculation• a critical analysis, Can. J. Phys., 58, pp. 1200-1211 (1980).

19. J. P. Perdew and Y. Wang, Accurate and simple analytic representation of the electron-gas correlation energy, Phys. Rev. В 45, (1992), pp. 13244-13249.

20. L. Hedin, В. I. Lundqvist, Explicit local exchange-correlation potentials, J. Phys. С 4, (1971), pp. 2064-2083.

21. A.H. MacDonald, M.W.C. Dharma-Wardana, D.J.W. Geldart, Density functional approximation for the quasiparticle properties of simple metals 1 Theory and electron gas calculations, J.Phys.F, 10, (1980), p. 1719-1736.

22. J.P. Perew, A. Zunger, Self-interaction correction to density-functional approximations for many-electron systems, Phys. Rev. B, 23, (1981), pp. 5048-5079

23. M.W.C. Dharma-Wardana, R. Taylor, Exchange and correlation potentials for finite temperature quantum calculations at intermediate degeneracies, J. Phys. C, 14, (1981), p.629-646.

24. G.S. Painter, Improved correlation corrections to the local-spin-density approximation, Phys. Rev. B, 24, (1981), pp. 4264-4270

25. F. Perrot, M.W.C. Dharma-Wardana, Exchange and correlation potentials for electron-ion systems at finite temperatures, Phys. Rev. A, 30, (1984), pp. 2619-2626

26. D.G. Kanhere, P.V. Panat, A.K. Rajagopal, and J. Callaway, Exchange-correlation potentials for spin-polarized sistems at finite temperatures, Phys. Rev. A 33, (1986), pp.490-497

27. W. Kohn, L.J. Sham, Self-consistent equations including exchange and correlation effects, Phys.Rev., 140, (1965), pp.1133-1138.

28. В.Эбелиш, В.Крефт, Д.Кремп, Теория связанных состояний и ионизационного равновесия в пшзме и твердой тече, М.:, Мир, 1979.

29. Д.А.Киржниц, Ю.Е.Лозовик, Г.В.Шпатаковская, Статистическая модечь вещества, УФН, 1975 г., т.117, №1, стр.3-47.

30. Г.М.Елисеев, Г.Е.Клинишов, Уравнение состояния твердых веществ и его сплайн-аппроксимация, Препринт института прикладной математики им.М.В.Келдыша АН СССР, 1982 г., №173.

31. Г.В.Синько, Расчет термодинамических функций простых веществ на основе уравнений самосогласованного поля, Сб."Числ. мет. мех. сил. среды", т. 10, №1, 1979 г., стр. 124-136.

32. Г.В.Синько, Некоторые результаты расчетов термодинамических функций ачюминия, жечеза, меди, кадмия и свинца методом самосогласованного по /я, Сб."Числ. мет. мех. сил. среды", т.12, №1, 1981 г., стр. 121-130.

33. Г.В.Синько, Использование метода самосогласованного поля для расчета термодинамических функций эчектронов в простых веществах, ВАНиТ, серия "Методики и программы .",№3(11), 1982 i., сгр.

34. Г.В.Синько, Использование метода самосогласованного noin дчя расчета термодинамических функций электронов в простых веществах, '1В Г, т.21, в.6, 1983 г., стр. 1041-1052.

35. В.А.Симоненко, Г.В.Синько, Достижения и проб че мы теории уравнений состояния, ТВТ, т.26, № 5, 1988 г., стр.864-873.

36. Г.В.Синько, Описание систем многих частиц методом функционаш плотности, в кн. "Математическое моделирование. Физико-химические свойства вещества". М.: Наука, 1989 г.

37. Г.В.Синько, Термодинамика электронной жидкости в рамках метода функционала плотности, 1ВГ,т.29,№4,1991 г., стр.687-694.

38. B.F.Rozsnyai, Relativistic Hartree-Fock-Slater calculation for arbitrary temperature and matter densiry, Phys. Rev. A, 5, № 3, (1972), p.l 137.

39. А.Ф.Пикифоров, В.Г.Новиков, В.Б.Уваров, Кваитово-статистические модечи высокотемпературной тазмы, М.: Физико-математическая литература, 2000 г.

40. F. Perrot, Gradient correction to the .statistical electronic free energy at nonzero temperatures. Application to equation-of-state calculations, Phys. Rev. A, 20, №2, (1979), pp.568-594.

41. В.Г.Повиков, Ударное сжатие штия, шюминия и жечеза по моде ш МХФС, препр. ИПМ АН СССР №133, (1985).

42. В.А.Симоненко, Н.П.Волошин, А.С.Владимиров, А.П.Нагибин, В.Н.Ногин, В.А.Попов, В.А.Сальников, Ю.А.Шойдин, Абсолютные измерения ударной сжимаемости алюминия при давчениях Р>1 Tlla, ЖЭТФ, т.88, вып.4, (1985), стр.1452-1459.

43. А.С.Владимиров, Н.П.Волошин, В.Н.Ногин, А.В.Пегровцев, В.А.Симоненко, Ударная сжимаемость ачюминия при давлениях Р> 1 Гбар, Письма в ЖЭТФ, т.39, вып.2, (1984), стр.69-72.

44. Е.Н.Аврорин, Б.К.Водолага, Н.П.Волошин, Г.В.Коваленко, В.Ф.Куропатепко, В.А.Симоненко, Б.Т.Черноволюк, Экспериментальное изучение обочочечных эффектов на ударных адиабатах конденсированных веществ, ЖЭТФ, т.93, вып.2(8), (1987), стр.613626.

45. Е. Н. Аврорин, Б. К. Водолага, Н.П. Волошин, В.Ф. Куропатенко, Г. В.Коваленко, В.А. Симоненко, Б. Г.Черноволюк, Экспериментальное исследование обоючечных эффектов на ударных адиабатах ачюминия и свинца, Письма в ЖЭТФ, т.43, вып.5, (1986), стр.241244.

46. Р.Ф.Трунин, Н.В.Панов, А.Б.Медведев, Сжимаемость э/селеза, алюминия, мочибдена, титана и тантача при давчениях ударных во ш 1-2 5 ТПа, Письма в ЖЭТФ, т.62, вып.7, (1995), стр. 572-575.

47. М.А.Подурец, В.М.Ктиторов, Р.Ф.Трунин, Л.В.Попов, А.Я.Матвеев, Б.В.Печенкин, А.Г.Севастьянов, Ударноволновое сжатие алюминия при давчениях в 1.7 ТПа, ТВТ, т.32, №6, (1994), стр. 952-955

48. С. Е. Ragan, Shock compression measurements at 1 to 7 Tpa, Phys. Rev. A, 25, (1982), pp.3360-3375 .

49. С. E. Ragan, Shock-wave experiment at threefold compression, Phys. Rev. A, 29, (1984), pp.1391-1402 .

50. Р.Ф.Трунин, М.А.Подурец, Л.В.Попов, В.Н.Зубарев, А.А.Бакапова, В.М.Ктиторов, А.Г.Севастьяпов, Г.В.Симаков, И.П.Дудоладов, Измерения сжимаемости железа при давчениях в 5.5 ТПа, ЖЭТФ, т. 102, вып.3(9), (1992), стр. 1433-1438.

51. Р.Ф.Трунин, М.А.Подурец, Л.В.Попов, Б.П.Моисеев, Г.В.Симаков, А.Г.Севастьяпов, Определение ударной сжимаемости жечеза до давлений в 10 ТПа (100 Мбар), ЖЭТФ, т.ЮЗ, вып.6, (1993), стр.2189-2195.

52. Ю.Б.Зельдович, Ю.П.Райзер, Физика ударных вот и высокотемпературных гидродинамических явлений, М.: Наука, 1966 1., 686 стр.

53. V.L.Moruzzi, J.F.Janak, K.Schwarz, Calculated thermal properties of metals, Phys. Rev. B, 37, 790,(1988)

54. Г.В.Синько, Н.А.Смирнов, Алчюминий под давгеиием Резу1ьтаты расчетов ui первых принципов, ФММ, 87, № 5, стр. 16-20

55. N.E. Christensen, D.J. Boers, J.L. van Velsen, and D.L. Novikov, Ah initio thermodynamics of hody-centred cubic andface-centred cubic Cs, J. Phys.: Condens. Matter, 12, (2000), p.3293.

56. M.I. Katsnelson, G.V. Sinko, N.A. Smirnov, A.V. I refilov, and K.Yu. Khromov, Structure, elastic moduli and thermodynamics of sodium and potassium at ultra-high pressures, Phys. Rev.B, 61, (2000), pp. 14420-14424.

57. A. Debernardi, M. Alouani, and H. Dreysse, Ab initio thermodynamics of metals: Al and W, Phys. Rev. В 63,064305 (2001).

58. P. Mohn, K. Schwarz, and P. Blaha, Thefcc-bcc structural transition. 11 A mean field model for finite-temperature effects, J. Phys.: Condens. Matter 8, (1996), pp.817-827.

59. Y. Wang, and L. Li, Mean-field potential approach to thermodynamic properties of metal• Al as a prototype, Phys. Rev.B 62, (2000), pp. 196-202.

60. A. Strachan, Г. Cagin, and W. A. Goddard HI, Phase diagram of MgO from density-functional theory and molecular-dynamics simulations, Phys. Rev.B, 60, (1999), pp. 1508415092.

61. R. H. Cohen and O. Gulseren, Thermal equation of state of tantalum, Phys. Rev. В 63, 224101 (2001).

62. D.C.Wallace, Solid state Physics, 25, (1970), p.301

63. Д.А.Киржниц, Г.В.Шпатаковекая, Осцилчяционные эффекты атомной структуры, ЖЭТФ, 62, №6, (1972), стр.2082-2096.

64. Д.А.Киржниц, Ю.Оозовик, Г.В.Шпатаковекая, Статистическая чодечь вещества, УФН, 117, №1, (1975), стр.3-48.

65. Mehl M.J., Osburn J.E., Papaconstantopoulos D.A. and Klein B.M., Structural properties of ordered high-melting-temperature intermetallic alloys from first-principles total-energycalculations, Phys. Rev. B, 41, (1990), pp.l0311-10323.

66. Osburn J.H., Mehl M.J. and Klein B.M., First-principles calculation of the elastic moduli of Ni(3)Al, Phys. Rev. B, 43, (1991), pp. 1805-1807.

67. Alouani M., Albcrs R.C. and Methfcssel M., Calculated elastic constants and structural properties of Mo and MoSi(2), Phys. Rev. B, 43, (1991), pp.6500-6509.

68. Soderlind P., Eriksson 0., Wills J.M. and Boring A.M., Theory of elastic constants of cubic (. transition metals and alloys, Phys. Rev. B, 48, (1993), pp.5844-5851.

69. Soderlind P., Eriksson 0., Wills J.M. and Boring A.M., Elastic constants of cubic f-electron elements Theory, Phys. Rev. B, 48, (1993), pp.9306-9312.

70. Fast L, Wills J.M., Johansson В., and Eriksson 0., Elastic constants of hexagonal transition metals Theory, Phys. Rev. B, 51, (1995), pp. 17431-17438.

71. Mehl M.J. and Papaconstantopoulos D.A., Applications of tight-binding total-energy method for transition and noble metals' Elastic constants, vacancies, and surfaces of monatomic metals, Phys. Rev. B, 54, (1996), pp.4519-4530.

72. Ise J.S., Klug D.D., Uehara K., Li Z.Q., Haines J. and Leger J.M., Elastic properties of potential superhardphases ofRuOi, Phys. Rev. B, 61, (2000), pp. 10029-10034.

73. Guo G.Y. and Wang П.Н., Calculated elastic constants and magnetic properties of bcc, fee, and hep Cr crystals and thin films, Phys. Rev. B, 62, (2000), pp.5136-5143.

74. Beckstein ()., Klepeis J.E., Hart G.L.W. and Pankratov O., First-principles elastic constants and electronic structure of alfa-Pt2Si and PtSi, Phys. Rev. B, 63,134112, (2001).

75. Jansen II.J.F. and Freeman A.J., Structural and electronic properties of graphite via an all-electron total-energy local-density approach, Phys. Rev. B, 35, (1987), pp.8207-8214.

76. Iitaka T. and Ebisuzaki Г., First-principles calculation of elastic properties of solid argon at high pressures, Phys. Rev. B, 65, 012103, (2001).

77. Jochym P.T. and Parlinski K., Elastic properties and phase stability of AgBr under pressure, Phys. Rev. B, 65,024106, (2001).

78. Gulseren O. and Cohen R.E., High-pressure thermoelastieity of body-centered-cubic tantalum, Phys. Rev. B, 65,064103, (2001).

79. E. Schreiber, O.L. Anderson, and N. Soga, "Elastic constants and their measurement", (McGraw-Hill, New York, 1973), pp.29-31.

80. Kittel C., Introduction to Solid State Physics, (Wiley, New York, 1996)

81. Vaks V.G., Zarochentsev E.V., Kravchuk S.P., and Safronov V.P., Temperature dependence of the elastic constants in alkali metals, J.Phys. F: Met.Phys , 8, (1978), pp.725-742.

82. Hong Ma, Qiu S.L. and Marcus P.M., Pressure instability of bcc iron, Phys. Rev. B, 66, 024113(2002).

83. Wallace D.C. "Thermodynamics of crystals" (New York: Wiley, 1972)

84. Anil K. Singh, Ho-kwang Mao, Jinfu Shu, and Russell J. Hemley, Estimation of single-crystal elastic moduli from polycrystalline X-ray difraction at high pressure: Application to Fe() andiron, Phys. Rev. Lett. 80, (1998), pp.2157-2160.

85. M.W. Guinan, D.N. Beshers, Pressure derivatives of the elastic constants of alfa-iron to 10 kbar, J. Phys. Chem. Solids, 29, (1968), pp. 541-549.

86. J.A. Rayne and B.S. Chandrasekhar, Elastic constants of mm from 4 2 to 300 K, Phys. Rev. 122,(1961), pp. 1714-1716.

87. S. Klot/ and M. Braden, Phonon dispersion of bcc Iron to 10 GPa, Phys. Rev. Lett. 85, (2000), pp. 3209-3212.

88. I.I. Naumov, V.E. Panin, M.F. Zhorovkov, Fi/. Met. Metalloved, 50,489, (1980)

89. V.G. Vaks and A.V. I refilov, The effect ofproximity of the Fermi level to singularities in the electron state density on elastic and thermodynamic properties of metals and alloys, J. Phys.F: Met. Phys., 18, (1988), pp.213-235.

90. P. Modak, R S. Rao, B.K.Godwal, On the high pressure axial ratio anomaly in zinc and the roles of temperatre and different electronic topological transitions, J.Phys. Condens. Matter, 14, (2002), pp. 10927-10930.

91. K. Takemura, Absence of the c/a anomaly in Zn under high pressure with a helium-pressure medium, Phys. Rev. B, 60, (1999), pp.6171-6174.

92. Takemura K., Hiroshi Y., Hiroshi F., Takumi K., Axial ratio of Zn at high pressure and low temperature, Phys. Rev. B, 65,132107 (2002).

93. G. Steinle-Neumann, L Stixrude, R.E. Cohen, Absence of lattice strain anomalies at the electronic topological transition in zinc at high pressure, Phys. Rev. B, 63, 054103 (2001).

94. Qiu S. I. and Marcus P. M., First-principles derivation of structural anomalies in hep Zn and hep Fe under pressure, J. Phys.: Condens. Matter, 15, (2003), pp.L755-L761.

95. С.И. Новикова,"Тепловое расширение твердых тел", М.: Наука, 1974г.

96. G. Parsafar, Е. A. Mason, Universal equation of state for compressed solids, Phys. Rev. B, 49, No.5,(l994), pp. 3049-3060.

97. J.I I.Rose, J.R.Smith, F.Guinea, J.Ferrante, Universal features of the equation of state of metals, Phys.Rev. B, 29, (1984), pp.2963-2969.

98. R. Berliner and O. Fajen, H. G. Smith, R. L. Hitterman, Neutron powder-diffraction studies of lithium, sodium, and potassium metal, Phys. Rev. B, 40, (1989), pp. 12086-12097.

99. R. H. Martinson, Variation of the Elastic Constants of Sodium with Temperature and Pressure, Phys. Rev., 178, (1969), pp.902-913.

100. М. Е. Diederich and J. Trivisonno, Temperature dependence of the elastic constants of sodium, J. Phys. Chem. Solids, 27, (1966), pp.637-642 .

101. V. G. Vaks, E. V. Zarochentsev S. P. Kravchuk and V. P. Safronov, Temperature dependence of the elastic constants in alkali metals, J. Phys. F: Metal Phys., 8, (1978), pp. 725742.

102. W. B. Pearson, A Handbook of Lattice Spacings and Structures of Metals and Alloys (Pergamon, New York, 1967).

103. M. S. Anderson and C. A. Swenson, Experimental compressions for sodium, potassium, and rubidium metals to 20 kbar from 4 2 to 300 К, Phys. Rev. В 28, (1983), pp. 5395-5418.

104. K. J. Dunn and A. L. Ruoflf, First and second pressure derivatives of the hulk modulus of sodium, Phys. Rev. B, 10, (1974), pp. 2271-2274.

105. A. K. McMahan and John A. Moriarty, Structural phase stability in third-period simple metals, Phys. Rev. B, v.27, No.6, pp. 3235-3251 (1983).

106. M.Hanfland, l.Loa, and K.Syassen, Sodium under pressure bee to fee structural transition andpressure-volumerelation to 100 Gpa, Phys.Rev.B, 65, 184109, (2002).

107. И.В. Александров, B.H. Каминский, И.Н. Макаренко, С.М.Стишов, Уравнение состояния натрия при давлениях до 30 Flla, 11исьма в ЖЭТФ, т.36, (1982), стр.336-339.

108. J.B. Neaton and N.W. Ashcroft, Pairing in dense lithium, Nature, 400, (1999), pp. 141 -144.

109. M. Hanfland, K. Syassen, N.E. Christensen, D.L. Novikov, New high-pressure phases of lithium, Nature, 408, (2000), pp. 174-178.

110. B.E. Фортов и др., Аномсньная j iектропроводность лития при квазшизнтропическом сжатии до 60 ГПа (Об Мбар) Переход в мошку шрную фазу?, Письма в ЖЭТФ, 70, (1999), стр.620-624.

111. V.V. Struzhkin, R.J. Hemley, and Н.К. Мао, Compression of lithium to 120 GPa, Bull. Am. Phys. Soc., 44 (1999) p. 1489.

112. Y. Mori and A. RuofI Li at high pressure, Bull. Am. Phys. Soc , 44, (1999), p. 1489.

113. J.B.Neaton and N.W.Ashcroft, On the constitution of sodium at higher densities, Phys.Rev.Lett., 86, (2001), pp.2830-2833.

114. U.von Barth, L. Hedin, "Л local exchange-correlation potential for the spin polarized case Г, J. Phys. С 5, (1972), pp. 1629-1642.

115. W. Zittel, J. Meyer-ter-Vehn, J. Kubler, "Potassium at high pressure, anomaly in the 500 kbar-regime", Solid State Communications 62, (1987), pp. 97-100.

116. K. Takemura and K. Syassen, "High-pressure phase transitions in potassium and phase relations among heavy alkali metals'", Phys. Rev. В 28, (1983), pp. 1193-1196.

117. H. Olijnyk and W. В. Holzapfel, "Phase transitions in К and Rh under pressure", Phys. Lett. 99A, (1983), pp. 381-383.

118. H.L. Skrivcr, Calculated Structural Phase Transitions in the Alkaline Earth Metals, Phys. Rev. Lett. 49, (1982), pp. 1768-1772.

119. W.R. Marquardt and J. Trivisonno, Low temperature elastic constants of potassium, J. Phys. Chem. Solids, 26, (1965), pp. 273-278 .

120. В.Г. Вакс, Л. В. Трефилов, "К теории атомных свойств щеючных метаиов", ФТТ, т. 19, в. 1,(1977), стр. 244-258.

121. В.Г. Вакс, С.П. Кравчук, Л.В. Грефилов, "Уравнение состояния и объемная зависимость термодинамических свойств щечочных метапов", ФТТ, т. 19, в 5, (1977), стр. 1271-1278.

122. D.A.Young,"Phase diagrams of the elements", University of California Press, (1991)

123. N. Gopi Krishna and D.B. Sirdeshmukh, Compilation of temperature factors of hexagonal close packed elements, Acta Crystallogr. A 54, (1998), pp.513-514.

124. American Institute of Physics Handbook, 3rd ed. (McGraw-Hill, New York, 1972), Tables 4e-10 and 7b-1.

125. A. Migliori, H. Ledbetter, D.J. Thoma, and T.W. Darling, Beryllium's monocrystal and polycrystal elastic constants, J. Appl. Phys. 95, (2004), pp.2436-2440.

126. U. Haussermann and S.I. Simak, Origin of the c/a variation in hexagonal close-packed divalent metals, Phys. Rev. B, 64,245114 (2001).

127. G. К. II. Madsen, P. Blaha and K. Schwarz, On the existence of non-nuclear maxima in simple metals, J. Chem. Phys. 117, (2002), pp.8030-8035.

128. J. F. Janak, V. L. Moruzzi and A. R. Williams, Ground-state thermomechanical properties of some cubic elements in the local-density formalism, Phys. Rev. В 12,(1975), pp. 1257-1261.

129. S. Chatteijee and P. Sinha, Energy band structure of beryllium and magnesium, J. Phys. F: Met. Phys. 5, (1975), pp.2089-2097.

130. F. Perrot, Comparison of various theoretical solid-state models applied to the equation of state of beryllium, Phys. Rev. В 21, (1980), pp.3167-3172.

131. R. Dovcsi, C. Pisani, F. Ricca and C. Roetti, Ab initio study of metallic beryllium, Phys. Rev. B, 25, (1982), pp. 3731-3739.

132. M.Y. Chou, P.K. Lam and M.L. Cohen, Ab initio study of structural and electronic properties of beryllium, Phys. Rev. В 28,4179 (1983).

133. J. Redinger, K. Schwarz, N.K. Hansen, G.li.W. Bauer and J.R. Schneider, Hahn-Meltner Institute, Berlin, Report HMI B412, (1984), pp.79-99.

134. U. von Barth and Л. C. Pedroza, 'Ihe cohesive energy and charge-density form factors of beryllium as a test on the Langreth-Perdew-Mehl approximation, Phys. Scr., 32, (1985), pp.353358.

135. P. Blaha and K. Schwarz, A full-potential LAPW study of structural and electronic properties of beryllium, J. Phys. F: Met. Phys. 17, 899 (1987)

136. J.C. Boettger, Equation of state calculations using the LCGTO-FF method, equilibrium properties of hep beryllium, Int. J. Quantum Chem. Symp., 29, (1995), pp. 197-202 .

137. N.A.W. Hol/warth and Y.Zcng, Density-functional calculation of the bulk and surface geometry of beryllium, Phys. Rev. B, 51, (1995), pp.13653-13659.

138. A.K. McMahan, in "Shock Waves in Condensed Matter-1981", edited by W. J. Nellis, L. Seaman, and R. A. Graham, A1P Conf. Proc. No. 78, 340 (AIP, New York, 1982).

139. P.K. Lam, M.Y. Chou, and M.L. Cohen, Temperature- and pressure-induced crystal phase transitions in Be, J. Phys. С 17, 2065 (1984).

140. J. Meyer-ter-Vehn and W. Zittel, Electronic structure of matter at high compression lsostructural transitions and approach of the Fermi-gas limit, Phys. Rev. B, 37, (1988), pp. 8674-8688.

141. B. Palanivel, R.S. Rao, B.K. Godwal and S.K. Sikka, On the relative stability of orthorombic and hep phases of beryllium at high pressure, J.Phys.: Condens. Matter 12, (2000), pp. 8831-8836.

142. A.R. Marder, Beryllium: Effect of Ultra-High Pressure on Resistance, Science, 142, (1963), p.664.

143. L. C. Ming and M. II. Manghnani, Isothermal compression and phase transition in beryllium to 28 3 GPa, J. Phys. F: Met. Phys. 14, (1984), pp. L1-L8.

144. V. Vijayakumar, B.K. Godwal, Y.K.Vohra, S.K. Sikka, and R. Chidambaram, On the high-pressure phase transition in beryllium metal, J.Phys. F: Met. Phys. 14, (1984), pp.L65-L68.

145. L. C. Chhabildas, J. L. Wise, and J. R. Asay, in "Shock Waves in Condensed Matter-198Г, edited by W. J. Nellis, L. Seaman, and R. A. Graham, AIP Conf. Proc. No. 78, 422 (AIP, New York, 1982).

146. R. L. Reichlin, Measuring the electrical resistance of metals to 40 GPa in the diamond-anvil cell, Rev. Sci. Instrum. 54, (1983), pp. 1675-1677.

147. N. Velisavljevic, G. N. Chesnut, Y. K. Vohra, S. T. Weir, V. Malba, J. Akella, Structural and electrical properties of beryllium metal to 66 GPa studied using designer diamond anvils, Phys. Rev. В 65,172107 (2002).

148. К. Nakano, Y. Akahama, and II. Kawamura, X-ray diffraction study of Be to megabar pressure, J. Phys.: Condens. Matter 14, (2002), pp.10569-.

149. V.V. Kechin, Shear modulus collapse of lattices at high pressure, J. Phys.: Condens. Matter 16, (2004), pp.L125-L129.

150. V.M. Amonenko, V.Ye. Ivanov, G.F. Tikhinskij, and V.A. Finkel, Phys. Met. Metallog. 14, (1962), p.47.

151. K. J. II. Mackay and N. A. Hill, Lattice parameter and hardness measurements on high purity beryllium, J. Nuel. Mater. 8, (1963), pp.263-264.

152. D. J. Silversmith and B. L. Averbach, Pressure dependence of the elastic constants of beryllium and beryllium-copper alloys, Phys. Rev. В 1, (1970), pp.567-571.

153. J. Г. Smith and C. L. Arbogast, Elastic constants of single crystal beryllium, J. Appl. Phys. 31,(1960), pp.99-102.

154. J. L. Wise, L. C. Chhabildas, and J. R. Asay, in "Shock Waves in Condensed Matter-198/", edited by W. J. Nellis, L. Seaman, and R. A. Graham, A1P Conf. Proc. No. 78, p.417 (A1P, New York, 1982).

155. T. Neal, in "High Pressure Science and Technology1', edited by K. D. I immerhaus and M. S. Barber, 1, (New York: Plenum, 1974), p.8().

156. A.Dewaele, P.Loubeyre and M.Mezouar, Equation of state of six metals above 94 Gpa, Phys. Rev. В 70,094112(2004).

157. H.-K Mao, J. Xu, and P. Bell, Calibration of the ruby pressure gage to 800 kbar under quasi-hydrostatic conditions, J. Geophys. Res., 91, (1986), pp.4673-4676.

158. W. Voigt, Lehrbuch der Krystall Physik, p. 962, Teubner, Leipzig (1928).

159. A. Reuss, Calculation offlow limits of mixed crystals on the basis of plasticity of single crystals, Z. Angew. Math. u. Mech., 9, (1929), pp. 49-58.

160. D. L. Preston and D. C. Wallace, A model of the shear modulus, Solid State Communications, 81,(1992), pp.277-281.

161. G.N.Kamm, G.A.Alers, Low-temperature elastic moduli of aluminum, J. Appl. Phys., 35, (1964), pp.327-330

162. P.S.Ho, A.L.RuofT, Pressure dependence of the elastic constants for aluminum from 77 to 300 K, J. Appl. Phys. 40, (1969), pp.3151-3156

163. K.Syassen, W.B.IIolzapfel, Isothermal compression of Al and Ag to 120 kbar, J. Appl. Phys. 49,(1978), pp.4427-4430

164. А.А.Воробьев, А.Н.Дремин, Г.И.Канель, Зависимость коэффициентов упругости I anюминия от степени сжатия в ударной во ше, ПМТФ,№5, 1974 к, стр.94-100.

165. J.C.Slater, Introduction to Chemical Physics (McGraw-Hill, New York, 1939).

166. K.S Holian, A new equation of state for aluminum, J.Appl.Phys. 59, (1986), pp.149-157.

167. А.Т.Сапожников, А.В.Першина, Почуэмпирическоеуравнение состояния метаччов в широком диапазоне плотностей и температур, ВАНТ, сер.: Методики и программы численного решения задач математической физики, 1979, вып. 4(6), стр. 47-56.

168. R.G.Green, H.Luo, and A.L.Ruoff, Al as a simple solid high pressure study to 220 GPa (2 2 Mbar), Phys.Rev. Lett. 73, (1994), pp.2075-2078.

169. W.J.Nellis, J.A.Moriarty, A.C.Mitchcll, M.Ross, R.G.Dandrea, N.W.Ashcroft, N.C.Holmes, and G.R. Gathers, Metals physics at ultrahigh pressure aluminum, copper, and lead as prototypes, Phys. Rev. Lett. 60, (1988), pp. 1414-1417.

170. A.C.Mitchel ,W.J.Nellis, Shock compression of Al, Си and Та, J. Appl. Phys. 52, (1981), pp.3363-3374.

171. Л.В.Альтшулер, А.А.Баканова, И.П.Дудоладов, Е.А.Дынип, Р.Ф.Трунин, Б.С.Чекин, Ударные адиабаты металлов Новые данные, статистический анашз и общие закономерности,\1М\Ф,№2,(\98\), стр.3-34.

172. Л.В.Альтшулер, С.Б.Кормер, М.И.Бражник, Л.А.Владимиров, М.П.Сперанская, А.И.Фунтиков, Уравнения состояния алюминия, меди и свинца дчя обчасти высоких давчений, ЖЭТФ, 38, №3, (1960), стр.1061.

173. Т. Neal, Mach waves and reflected rarefactions in aluminum, J. Appl. Phys , 46, (1975), pp.2521-2527.

174. R.G.McQueen, J.M.Frit/, C.E.Morris, in "Shock Waves in Condensed Matter 83", edited Iе by J.R.Asay, R.A.Graham, and G.K.Straub, (Amsterdam: North Holland, 1984), pp.95-98.

175. Л.Ф. Верещагин, С.С.Кабалкина, З.В.Троицкая, Вчияние высокого давления на структуру гач чия и индия, ДАН, т.158, №5, (1964), стр. 1061 -1063.

176. K.Takemura, Effect of pressure on the lattice distortion of indium to 56 GPa, Phys.Rev. В 44,(1991), pp.545-549.

177. K.Takemura and H.Fujihisa, High-pressure structural phase transition in indium, Phys.Rev. В 47, (1993), pp.8465-8470.

178. O. Schulte and B.Holzapfcl, Effect of pressure on atomic volume and crystal structure of indium to 61 GPa, Phys.Rev. В 48, (1993), pp.767-773.

179. K.Takemura, K. Kobayashi, and M.Arai, High-pressure bet-fee phase transition in Ga, Phys.Rev. В 58, (1998), p.2482

180. S.I. Simak, U. Haussermann, R. Ahuja, S. Lidin, and B. Johansson, Gallium and Indium under High Pressure, Phys. Rev. Lett., 85, (2000), pp.142-145.

181. U. Haussermann, S.I. Simak, R.Ahuja, B. Johansson, and S. Lidin, The origin of the distorted close-packed elemental structure of Indium, Angcv. Chem. Int. Ed. Engl., 38, (1999), pp. 2017-2020.

182. U. Haussermann, S.I. Simak, R. Ahuja, and B. Johansson, Metal-Nonmetal Transition in the Boron Group Elemants, Phys. Rev. Lett. 90,065701 (2003).

183. A.S. Mikhaylushkin, U. Haussermann, B. Johansson, and S.I. Simak, Fluctuating lattice Constants of Indium under High Pressure, Phys. Rev. Lett. 92, 195501 (2004).

184. V.F. Degtyareva, I.K. Bdikin, F. Porsch, and N.I. Novokhatskaya, Phase transition in a tetragonal In%Phw alloy under high pressure: a switch from c/a>I to c/a<I, J. Phys.: Condens. Matter 15, (2003), pp.I635-1641.

185. P.E. BlochI, Projector augmented-wave method, Phys. Rev. B, 50, (1994), pp. 17953-17979; G. Kresse and J. Joubert, From ultrasoft pseudopotentials to the projector augmented-wave method, Phys.Rev. B, 59, (1999), pp. 1758-1775.

186. G. V. Sin'ko and N. A. Smirnov, Relative stability and elastic properties of hep, hcc, and fee beryllium under pressure, Phys. Rev. В 71,214108 (2005).

187. G.V. Sin'ko and N.A. Smirnov, "Ah initio calculations of elastic constants and thermodynamic properties of bcc, fee, and hep Al crystals under pressure", J. Phys.: Condens. Matter, 14, (2002), p. 6989.

188. Г.В.Синько, Н.А.Смирнов. Расчет из первых принципов уравнения состояния и упругих констант алюминия в об пасти отрицатечьных давлений, Письма в ЖЭТФ, т.75, №4, (2002), стр.217-219.

189. G.V.Sin'ko, N.A.Smirnov, Fifth International Symposium on Behaviour of Dense Media under High Dynamic Pressures, 23-27 June 2003, Saint-Malo, France, v. H, p.301.

190. Г.В.Синько, Н.А.Смирнов. Аномальное поведение нучевой изотермы а-мечеза в обчасти отрицате гьных давчений, Письма в ЖЭТФ, т.79, вып. 11, (2004), стр. 665-669.

191. G.V.Sin'ko, N.A.Smirnov. On elasticity under pressure, J.Phys.: Condens. Matter, 16, (2004), pp. 8101-8104.

192. G.V. Sin'ko, N. A. Smirnov. Effect of electronic topological transitions on the calculations of some Zn and Fe properties, J. Phys.: Condens. Matter v. 17, (2005), pp.559-569.

193. S. Meenakshi, B.K. Godwal, R.S. Rao, and V. Vijayakumar, Tetragonal distortion and structural stability of indium at high pressures, Phys. Rev. В 50, (1994), pp.6569-6572.

194. J. Donohue, The structures of the Elements (Wiley, New York, 1974).

195. S. N. Vaidya and G. C. Kennedy, Compressibility of IH metals to 45 kbar, J. Phys. Chem. Solids, 31, (1970), pp. 2329-2345 .

196. M. S. Anderson and C. A. Swenson, Reference materials for piston-displacement pressure-volume measurements: indium, lead, and NaCl, J. Appl. Phys., 56, (1984), pp. 2697-2702.

197. Landolt-Bornstcin v. 11 /III, "Elastic, Piezoelectric, Pyroelectric, Electrooptic Constants, and Nonlinear Dielectric Susceptibilities of Crystals ", Springer-Verlag Berlin, 1979.

198. O. Schulte, A. Nikolaenko and W. B. Holzapfel, Pressure-volume relations for Zn, Cd, Ga, In and Tl at room temperature to 30 GPa and above, High Pressure Research 6, (1991), pp. 169182.

199. J.C. Jamieson, Crystal structures of titanium, zirconium, and hafnium at high pressures, Science, 140,(1963), pp.72-73.

200. A. Jayaraman, W. Klement, Jr., and G. C. Kennedy, Solid-Solid Transitions in Titanium and Zirconium at High Pressures, Phys. Rev., 131, (1963), p. 644.

201. В. А. Зильберштейн, Г. И. Носова, Э. И. Эстрин, Альфа-омега превращение в титане и цирконии, ФММ т. 35, вып. 3, с. 584 (1973).

202. А. Р. Кутсар, В. II. Герман, Г. И. Носова, Сб. "Структура фаз, фазовые превращения и диаграммы состояния металлических систем", М., Наука, с. 55 (1974).

203. Н. Xia, G. Parthasarathy, Н. Luo, Y. К. Vohra, and A. L. Ruoff, Crystal structures of group IVa metals at ultrahigh pressures, Phys. Rev. В v. 42, N. 10, p. 6736 (1990).

204. Y. Akahama, II. Kawamura, and T. L. Bihan, New J (Distorted-bee) Titanium to 220 GPa, Phys. Rev. Lett. v. 87, N. 27,275503 (2001).

205. Y. K. Vohra and P. T. Spencer, Novel y-Phase of Titanium Metal at Megabar Pressures, Phys. Rev. Lett. 86, (2001) p. 3068.

206. K. D. Joshi, G. Jyoti, Satish C. Gupta, and S. K. Sikka, Stability of у and 6 phases in Ti at high pressures, Phys. Rev. В 65,052106 (2002).

207. E. S. Fisher and C. J. Renken, Single-Crystal Moduli and the hep—>bcc Transformation in Ti, Zr, and Hf, Phys. Rev. 135, №.2A, (1964) p. A482.

208. E. S. Fisher, M. H. Manghnani, Effects of changes in volume and c/a ratio on the pressure derivatives of the elastic moduli of hep Ti andZr, J. Phys. Chem. Solids 32, (1971), p. 657.

209. J. S. Gyanchandani, S. C. Gupta, S. K. Sikka and R. Chidambaram, The equation of state and structural stability of titanium obtained using the linear muffin-tin orbital band-structure method, J. Phys. Condcns. Matter 2, (1990), p. 301.

210. S.A. Ostanin and V.Yu. l'rubitsin, A simple model for calculating the P-T phase diagram of Ti, J. Phys.: Condens. Matter 9, (1997), pp. L491-L496.

211. S. N. Vaidya and G. C. Kennedy, Compressibility of 22 elemental solids to 45 kb, J. Phys. Chem. Solids, v.33,p. 1377(1972).

212. N. N. Sirota and Т. П. Zhabko, X-Ray Study of the Anisotropy of Thermal Properties in Titanium, Phys. Stat. Sol. (a) v. 63, p. K211 (1981).

213. В. И. Нижанковский, M. И. Кацнельсон, Г. В. Песчанских, А. В. Трефилов, "Анизотропия тетового расширения титана, обусюв leitnan бшзостыо к j шктронному mono погическому переходу", Письма вЖЭТФ, 59, в. 10, с. 693 (1994).

214. К. Persson and М. Ekman, Phonon instabilities in bcc Sc, Ti, La, and Hf, Phys. Rev. B, 61, (2000), p. 11221.

215. Т. C. Leung, С. Г. Chan, and B. N. Harmon, Ground-state properties of Fe, Co, Ni, and their monoxides Results of the generalized gradient approximation, Phys. Rev. B, 44, (1991), p.2923.

216. P. Dufek, P. Blaha, and K. Schwarz, "Applications of Engel and Vosko's generalized gradient approximation in solids", Phys. Rev. B, 50, (1994), p.7279.

217. L. Stixrude, R. П. Cohen, D. J. Singh, Iron at high pressure: Linearized-augmented-plane-wave computations in the generalized-gradient approximation, Phys. Rev. В v. 50, N. 9, p. 6442 (1994).

218. K.A. Gschneidner, Jr., Physical properties and interrelationships of metallic and semimetallic elements, Solid State Physics, 16, (1964), pp.275-427.

219. Ч. Киггель, Введение в физику твердого теш, Москва: "Наука", 1978.

220. А. P. Jephcoat, Н. К. Мао, and P. М. Bell,"Static compression of iron to 78 GPa with rare gas solids as pressure-transmitting media", J. Geophys. Res., 91, (1986), p.4677.

221. M. W. Guinan and D. N. Beshers, "Pressure derivatives of the elastic constants of a-iron to lOkbs", J. Phys. Chem. Solids, 29,(1968), p.541.

222. Landolt-Bomstein v. 14/111, "Structure data of elemants and intermatallie phases", Springer-Verlag Berlin, 1988.

223. H.K. Mao, Y. Wu, L.C. Chen, J.F. Shu, and A.P. Jephcoat, Static compression of iron to 300 GPa and Fe(0 8)Ni(0 2) alloy to 260 GPa Implications for composition of the core, J.Geophys. Res., 95, (1990), pp.21737-21742.

224. S. К. Saxena, L. S. Dubrovinsky, P. Haggkvist, Y. Cerenius, G. Shen, and H. К. Mao, Synchrotron X-ray study of Iron at High Pressure and Temperature, Science, 269, (1995), p. 1703.

225. C. S. Yoo, P. Soderlind, J. A. Moriarty, A. J. Cambell, dhcp as possible new epsilon' phase of iron at high pressures and temperatures, Phys. Lett. A, 214, (1996), pp.65-70.

226. L. S. Dubrovinsky, S. K. Saxena, F. Tutti, and S. Rekhi, In situ X-ray study of thermal expansion and phase transition of iron at multimegabar pressure, Phys. Rev. Lett., 84, (2000), pp.1720-1723.

227. Г.С.Бефучко, Г.И.Канель, С.В.Разорепов, Сжимаемость .монокристалчов цинка в обчасти по южите 1ьиых и отрицательных давчеиий, ГВТ, (2004), т. 42, № 2, рр.262-268

228. Гандельман Г.М., Ермаченко В.М., Зельдович Я.Б., Неметаиический никель при бочьших сжатиях, ЖЭТФ, 44, (1963), стр.386-387.

229. Воропииов А.И., Гандельман Г.М., Подвальный В.Г., Эчектронные энергетические спектры и уравнение состояния твердых теч при высоких давчепиях и температурах, УФН, 100, №2, (1970), стр. 193-224.

230. McMahan А. К. and Albers R. С., Insulating Nickel at a Pressure of 34 TPa, Phys. Rev. Lett., 49,(1982), pp.1198-1201.

231. Guinan M.W., Steinberg D.J., Pressure and temperature derivatives of the isotropic polycrystalline shear modulus for 65 elements, J. Phys. Chem. Solids., 35, (1974), pp.1501-1512.

232. P. Lazor, S.K. Saxena, X-ray (synchrotron) determination of Ni compressibility to a pressure of 40 GPa, 1'erra Abstracts, 5, (1993), p,363.

233. K. Syassen, W.B. Holzapfel, Isothermal compression of Al and Ag to 120 kbar, J. Appl. Phys., 49, (1978), pp.4427-4430.

234. K.A. Gschneidner, Jr., Physical properties and interrelationships of metallic and semimetallic elements, Solid State Physics, 16, (1964), pp.275-427.

235. M.W. Guinan and D.N. Beshers, Pressure derivatives of the elastic constants of alfa-iron to 10 kbar, J. Phys. Chem. Solids, 29, (1968), pp.541-549.

236. A.P. Jephcoat, H.K. Mao, and P.M. Bell, Static compression of iron to 78 GPa with rare gas solids as pressure-transmitting media, J.Geophys. Res., 91, (1986), pp.4677-4684.

237. С.Б. Кормер, А.И. Фунтиков, В.Д. Урлин, А.Н. Колесникова, Динамическое сжатие пористых метаччов и уравнения состояния с переменной тетоемкостью при высоких температурах, ЖЭТФ, т.42, №3, (1962), стр.686-702

238. S.P. Marsh, LASL Shock Hugoniot Data (University of California Press, Berkeley, 1980)

239. G.A. Alers, J.R. Neighbours, The elastic constants of zinc between 4.2° and 670°K, J. Phys. Chem. Solids, 7, (1958), pp. 58-64.

240. J.G. Morgan, R.B. Von Dreele, P.Wochner and S.M. Shapiro, Inelastic neutron scattering from single crystal Zn under high pressure, Phys. Rev. B, 54, (1996), pp.812-818.

241. J.W.Zink, Shell structure and the Thomas-Fermi equation of state, Phys. Rev., 176, (1968), pp.279-284.

242. J.W.Zink, Energy of partially ionized matter, Astrophys. J., 162, (1970), pp. 145-151.