Модули упругости, термодинамические свойства и относительная устойчивость различных кристаллических структур Na,K,Be и Al. Результаты первопринципных расчетов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Смирнов, Николай Александрович

• Смирнов, Николай Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Смирнов, Николай Александрович

Введение.

Глава 1. Обзор методов, использованных в работе.

1.1. Метод функционала плотности (локальный функционал и градиентные поправки к нему).

1.2. Метод расчета зонной структуры - FPLMTO.

1.3. Способ выбора внутренних параметров метода FPLMTO.

1.4. Построение радиальных сеток в методе FPLMTO.

1.5. Расчет удельной энергии и давления в кристалле.

1.6. Расчет упругих постоянных кристалла.

1.7. Метод учета тепловых вкладов в уравнение состояния вещества.

Глава 2. Выбор формы обменно-корреляционного функционала.

Глава 3. Результаты первопринципных расчетов термодинамических и упругих свойств кристаллов натрия и калия при нормальных условиях и под давлением.

3.1. Электронные и упругие свойства кристаллов натрия и калия под давлением.

3.2 Относительная стабильность различных кристаллических структур натрия и калия.

Глава 4. Результаты первопринципных расчетов термодинамических и упругих свойств кристаллов алюминия и бериллия при нормальных условиях и под давлением.

4.1. Электронные и упругие свойства кристаллов алюминия и бериллия под давлением.

4.2. Диаграммы относительной стабильности различных кристаллических структур алюминия и бериллия.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модули упругости, термодинамические свойства и относительная устойчивость различных кристаллических структур Na,K,Be и Al. Результаты первопринципных расчетов»

В последнее время технический прогресс, как в области экспериментальной техники, так и в области расширения вычислительных возможностей компьютеров привёл к бурному развитию исследований свойств материалов в широком диапазоне давлений и температур. Развитие техники алмазных наковален позволяет сегодня исследовать свойства веществ, не только сжимая их при комнатной температуре, но и изучать поведение материалов при нагреве вплоть до температуры плавления и давлений порядка 1 Мбар [1-3]. С другой стороны развитие вычислительной техники позволило разработать и реализовать ряд численных схем, которые за приемлемое время позволяют из первых принципов рассчитать свойства веществ в зависимости от давления и температуры. Термин "из первых принципов" подразумевает вычисления, которые не используют каких-либо экспериментально определённых величин, за исключением мировых констант. Применение первопринципных расчётных методик позволяет заглянуть в область таких физических условий, которые пока недоступны для эксперимента. Отработав и верифицировав методику вычислений на расчетах свойств материалов в условиях, где постановка экспериментов не вызывает больших затруднений и где, поэтому, имеются богатые экспериментальные данные, можно с определённой долей уверенности предсказать те или иные свойства веществ там, где получение прямых экспериментальных данных в лабораторных условиях затруднено или даже невозможно.

Целью данной работы является усовершенствование существующей программы расчёта электронной структуры кристаллов для повышения точности расчётов при высоких давлениях, проведение с её использованием первопринципных расчетов зависимости от давления термодинамических и упругих свойств различных кристаллических модификаций важных конструкционных материалов - бериллия и алюминия, а также построение на основе результатов этих расчетов диаграмм относительной устойчивости разных кристаллических модификаций этих материалов при высоких давлениях (фазовых диаграмм). Алюминий и бериллий интересны, прежде всего, как конструкционные материалы. Исследование различных термодинамических свойств, а также структурной стабильности этих материалов под давлением вызвано их широким применением в разных областях науки и техники. Например, алюминий выделяется как один из эталонных материалов, используемых в экспериментах по определению сжимаемости веществ ударными волиами относительным методом. Бериллий, имеющий низкое сечение захвата тепловых нейтронов, применяется в ядерных реакторах как материал для замедлителей, отражателей, а также для оболочек тепловыделяющих элементов. Знание свойств этих металлов при высоких давлениях будет способствовать более эффективному их применению. Натрий и калий рассматриваются как тестовые вещества, у которых различные кристаллические структуры с одной стороны хорошо исследованы экспериментально, а с другой стороны, имеют довольно близкие характеристики, адекватное описание которых может служить демонстрацией высокой точности использованного метода расчёта.

В главе 1 описаны методы, использованные в расчётах. Тепловые вклады в термодинамические функции вычислялись с помощью метода, предложенного в [4], который основан на использовании результатов первопринципных расчетов удельной энергии равновесного и деформированного состояний кристалла при нулевой температуре и различных значениях удельного объема. Расчеты электронной структуры и удельной энергии равновесного и деформированного состояний кристалла при нулевой температуре и различных значениях удельного объема проводились по программе, реализующей известный метод расчета электронной структуры кристалла - полнопотенциальный метод линейных маффин-тин орбиталей (FPLMTO) [5]. Эта программа была создана авторами метода [5], использовалась ими в основном для расчета свойств кристаллов при нормальном давлении и показала высокую точность результатов. Автору диссертации она была безвозмездно передана для исследований. Однако потребовалось провести ряд исследований, чтобы выработать пути усовершенствования алгоритма с целью повысить точность расчетов свойств кристаллов под давлением и устранить ряд ошибок, проявившихся в расчетах сжатых кристаллов. Кроме того, была обеспечена возможность проводить расчеты в режиме параллельных вычислений. Эта работа также была проделана автором диссертации.

Глава 2 посвящена проблеме выбора формы обменно-корреляционного функционала. Этот вопрос потребовал отдельного рассмотрения, поскольку в литературе существует целый ряд аналитических выражений, представляющих обменно-корреляционный функционал в различных приближениях. Применение разных выражений приводит к отличиям в характеристиках кристаллов, которые не всегда можно считать малыми. Анализ результатов, полученных с различными аналитическими выражениями для обменно-корреляционного функционала, и выработка способа использования этих выражений в данной работе составляют содержание этой главы.

Точность расчетов демонстрируется в главе 3 на примере расчета термодинамических и упругих свойств различных кристаллических модификаций щелочных металлов, натрия и калия, под давлением. Известно, что при низких давлениях разность между энергиями различных кристаллических структур в щелочных металлах очень мала, порядка 10"4-г1(Г5 ридберга (Рд) [6, 7]. Поэтому правильный расчет последовательности структурных переходов под давлением, упругих постоянных и фазовой диаграммы для этих хорошо изученных веществ свидетельствует в пользу достоверности результатов, полученных для конструкционных материалов бериллия и алюминия.

Глава 4 посвящена изложению и анализу результатов расчета термодинамических и упругих свойств бериллия и алюминия. Анализируется изменение удельной энергии, давления и характеристик энергетического спектра кристаллов при холодном сжатии. Обсуждаются результаты расчёта упругих постоянных, модулей сдвига и диаграмм относительной устойчивости плотно упакованных структур бериллия и алюминия.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ подводятся итоги проделанной работы.

В Приложениях представлены описание входного файла созданной автором версии программы, реализующей метод FPLMTO при высоких давлениях, а также таблицы холодных кривых, упругих постоянных и температур Дебая для рассмотренных в диссертации кристаллов.

Актуальность работы. При проведении научных исследований и опытно-конструкторских разработок в области физики высоких плотностей энергии весьма актуальными являются задачи описания процессов высокоскоростного соударения тел с преградами, воздействия на конденсированное вещество мощных потоков лазерного и рентгеновского излучения, заряженных и нейтральных частиц, а также проблемы динамики ударных и детонационных волн. Математическое моделирование представляет собой важный этап планирования экспериментов в этой области, обработки и анализа получаемых результатов, а также чрезвычайно важно для понимания природных процессов, протекающих при высокой плотности энергии. Такое моделирование невозможно, в частности, без знания термодинамических и упругих свойств конструкционных материалов в широкой области плотностей и температур, в том числе и в условиях, недоступных для лабораторных исследований. Первопринципиые расчеты оказываются практически единственным источником информации в таком случае. Поэтому совершенствование методов первопринципных расчетов термодинамических и упругих свойств веществ, анализ и повышение их точности, накопление расчетных данных о свойствах конструкционных материалов в экстремальных условиях является весьма актуальной задачей, в решение которой вносит вклад и данная диссертационная работа.

Практическая ценность работы. Развитые автором алгоритмы и программные коды являются современным и эффективным инструментом для первопринципных расчетов термодинамических и упругих свойств конструкционных материалов в конденсированном состоянии. Результаты выполненных расчетов для алюминия и бериллия важны для ведущейся в настоящее время в РФЯЦ-ВНИИТФ и ОИВТ РАН работы по построению многофазных уравнений состояния этих материалов и использовались при подготовке экспериментов по проверке эффектов, предсказанных на основании расчетов. Практическая ценность работы определяется использованием полученных результатов для решения прикладных задач в РФЯЦ-ВНИИТФ, ИПХФ РАН, ОИВТ РАН.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Предложен и реализован оригинальный способ повышения точности линейного метода расчета электронной структуры сильно сжатых кристаллов, основанный на использовании принципа минимума удельной энергии.

2. Для различных кристаллических модификаций натрия, калия, бериллия и алюминия впервые рассчитаны упругие постоянные в широком диапазоне давлений.

3. Впервые из первых принципов рассчитаны диаграммы относительной устойчивости калия, бериллия и алюминия в широком диапазоне давлений.

Положения, выносимые на защиту:

1. Усовершенствование алгоритма реализации метода FPLMTO, позволившее обеспечить одинаково высокую точность расчетов свойств кристаллов как при нулевом, так и при высоком давлении.

2. Практическая реализация способа расчёта из первых принципов упругих постоянных различных кристаллических структур под давлением.

3. Практическая реализация способа учёта теплового вклада ядер в термодинамические функции кристалла в рамках модели Дебая с использованием только результатов первопринципных расчётов.

4. Получение и анализ результатов расчета упругих и термодинамических свойств кристаллов натрия, калия, бериллия и алюминия при высоких давлениях. Публикации и апробация работы. По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ. Полученные результаты докладывались и обсуждались на семинарах в РФЯЦ-ВНИИТФ, ИПХФ РАН, на научно-координационных сессиях совета ФНТП РАН "Исследования неидеальной плазмы" (Москва 2000-2005 гг.) и были представлены в докладах на следующих научных конференциях: XV международная конференция "Уравнения состояния вещества" (Эльбрус, 2000г.); I Российская конференция "Фазовые превращения при высоких давлениях" (Черноголовка, 2000 г.); IV международная конференция "Shock Waves in Condensed Matter - 2000" (Санкт-Петербург, 2000 г.); XVI международная конференция "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество" (Эльбрус, 2001 г.);

VI и VIII международные конференции "Забабахинские научные чтения" (Снежинск, 2001 г.; Снежинск 2005 г.), II Российская конференция "Фазовые превращения при высоких давлениях" (Черноголовка, 2002 г.); XVII международная конференция "Уравнения состояния вещества" (Эльбрус, 2002 г.); XVIII международная конференция "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество" (Эльбрус, 2003 г.); XIX международная конференция "Уравнения состояния вещества " (Эльбрус, 2004 г.); III Международная конференция "Фазовые превращения при высоких давлениях" (Черноголовка, 2004 г.); XXX Международная зимняя школа физиков-теоретиков "Коуровка-2004" (Кыштым, 2004 г.); XX международная конференция "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество" (Эльбрус, 2005 г.).

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Смирнов, Николай Александрович

Заключение.

В данной работе реализован метод первопринципных расчётов упругих и термодинамических свойств кристаллов под давлением. Расчёты проводились с помощью первопринципной программы FPLMTO [5]. Применение этой программы для расчета свойств кристаллов под давлением выявило недостаточно высокую точность расчетов при высоких сжатиях. В связи с этим было проведено усовершенствование программы [5]. Предложен и реализован новый способ выбора значений ключевых параметров численного метода [5], обеспечивающий одинаково высокую точность расчетов в широком интервале плотностей кристалла. В серии методических расчётов показана эффективная работа предложенного алгоритма. Программа, написанная на языке FORTRAN, в процессе работы была распараллелена с использованием стандартной библиотеки MPI.

Кроме этого, был реализован метод расчёта упругих постоянных различных кристаллических структур под давлением из первых принципов. Реализован, основанный на модели Дебая, способ учёта теплового вклада ядер в термодинамические функции кристалла, использующий только результаты первопринципных расчётов. Исследовано влияние градиентных поправок к обменно-корреляционному функционалу на результаты расчёта ряда свойств основного состояния алюминия, бериллия, натрия и калия. Показана необходимость учёта таких поправок для получения более точных результатов расчётов.

С помощью усовершенствованной автором данной работы программы FPLMTO [5] были проведены расчёты из первых принципов упругих и термодинамических свойств алюминия, бериллия, натрия и калия под давлением. Исследовано изменение характеристик энергетического спектра рассмотренных кристаллов при холодном сжатии. Обнаружен ряд аномалий в поведении электронного спектра для натрия и калия связанные с s-» р и sp-> d электронными переходами в этих металлах. Проанализированы электронные топологические переходы, которые имеют место в этих металлах на фоне изменений электронного спектра под давлением. Показано, что обе кубические структуры (оцк, гцк) натрия и калия под давлением теряют механическую устойчивость. По результатам расчётов, без использования экспериментальных данных, построена диаграмма относительной стабильности оцк и гцк структур калия, которая удовлетворительно согласуются с экспериментом.

При расчёте свойств алюминия было обнаружено, что гцк и гпу структуры теряют под давлением механическую устойчивость, в то время как оцк фаза, наоборот, приобретает механическую устойчивость при сжатии. Показано, что сжатие гцк кристалла алюминия приводит к полиморфным переходам гцк-» гпу при давлении Р= 2.3 Мбар и

120 гпу-* оцк при давлении Р = 2.9 Мбар для Т=300 К. Этот результат, опубликованный автором в работе [4], недавно был подтвержден экспериментально в части перехода гцк-* гпу (Ргцк^гау = 2.17 + 0.1 Мбар) [88]. Исследования показали, что при высокой температуре (>1000 К) и давлении в интервале 1-1.5 Мбар в алюминии должен происходить либо прямой переход гцк-* оцк либо переход в некоторую промежуточную более сложную структуру. Анализ аналогичной ситуации в титане показал, что весьма вероятен именно прямой переход гцк-* оцк за счет термической стабилизации оцк структуры. На основе первопринципных расчетов предложен вариант фазовой диаграммы кристаллического алюминия до давлений ~ 3 Мбар, который может быть проверен экспериментально.

Проведённые расчёты также показали, что оцк бериллий становится механически неустойчивым при небольшом растяжении. Установлено, что такое поведение ответственно за резкое возрастание температуры перехода гпу-оцк, которое наблюдается в эксперименте при малых давлениях. Как было показано в данной работе и подтверждено в [96], потеря кристаллом бериллия со структурой оцк механической устойчивости при растяжении сопровождается ЭТП. Однако, для установления причинной связи между потерей механической устойчивости и ЭТП, существование которой предположили авторы работы [96], необходимо дополнительное более тщательное исследование. В других исследованных в данной работе металлах такой связи не обнаружено. Расчёты показали, что ни одна из исследованных структур бериллия не теряет механической устойчивости при сжатии. Поэтому оценочное утверждение работы [97] о потере механической устойчивости бериллием при Т=0 К и Р> 1.1 Мбар и переходе в жидкое состояние не нашло подтверждения в данной работе. Согласно проведённым расчетам, при комнатной температуре гпу бериллий при сжатии должен перейти не в жидкость, а в оцк структуру при Р = 2.7 Мбар. По данным расчетов, без использования подгоночных параметров, впервые построена фазовая диаграмма бериллия, согласующаяся со всеми имеющимися экспериментальными данными.

Можно сказать, что реализованный в данной работе метод расчёта упругих и термодинамических свойств кристаллов под давлением позволил для рассмотренных в работе металлов получить достаточно точные результаты, хорошо согласующиеся как с экспериментом, так и с имеющимися результатами расчётов других авторов. Поэтому этот метод может быть рекомендован для получения информации об упругих и термодинамических свойствах и других кристаллических веществ в области, недостаточно исследованной или вообще недоступной для лабораторных экспериментов.

В заключение автор представленной работы хотел бы выразить признательность и сердечную благодарность людям, принимавшим участие в обсуждении работы на всех её этапах и оказавшим ей всестороннюю поддержку. В процессе работы было проведено большое количество расчётов, что стало возможным благодаря квалифицированной и добросовестной работе сотрудников вычислительного центра РФЯЦ-ВНИИТФ. Особую благодарность выражаю Г. В. Синько за постановку задачи, общее руководство работой, полезное обсуждение результатов исследований и предоставление написанной им программы для графического изображения поверхностей Ферми. Благодарю Д. Ю. Саврасова за любезно предоставленный код программы FPLMTO. Также хочется поблагодарить В. Е. Фортова, Г. И. Канеля, К. В. Хищенко и П. Р. Левашова за полезное обсуждение и постоянный интерес, проявляемый к данной работе. Хотелось бы выразить особую благодарность М. И. Кацнельсону и ныне покойному А. В. Трефилову за плодотворное сотрудничество при исследовании свойств щелочных металлов. А. Т. Сапожникова и Е. Е. Миронову благодарю за постоянный интерес, проявляемый к работе и любезно предоставленные данные по полуэмпирическим уравнениям состояния различных элементов. А. Л. Кутепова благодарю за помощь в освоении программы FPLMTO.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Смирнов, Николай Александрович, 2007 год

1. R. Boehler, Temperatures in the Earth's core from melting-point measurements of iron at high static pressures, Nature, v. 363,1993, pp. 534-536.

2. L. S. Dubrovinsky, S. K. Saxena, F. Tutti, and S. Rekhi, T. LeBehan, In SituX-Ray Study of Thermal Expantion and Phase Transition of Iron at Multimegabar Pressure, Phys. Rev. Lett., v.84, N.8,2000, pp. 1720-1723.

3. Daniel Errandonea, Reinhard Boehler, and Marvin Ross, Melting of the alkaline-earth metals to 80 GPa, Phys. Rev. B, v. 65,2001, 012108.

4. G. V. Sin'ko and N. A. Smirnov, Ab initio calculations of elastic constants and thermodynamic properties of bcc, fee, and hep Al crystals under pressure, J. Phys.: Condens. Matter v. 14, 2002, pp. 6989-7005.

5. S. Yu. Savrasov, D. Yu. Savrasov, Full-potential linear-muffin-tin-orbital method for calculating total energies and forces, Phys. Rev. B, v. 46, No. 19, 1992, pp. 1218112195.

6. В. Г. Вакс, А. В. Трефилов, К теории атомных свойств щелочных металлов, ФТТ, т. 19, вып. 1,1977, с. 244-258.

7. В. Г. Вакс, С. П. Кравчук, А. В. Трефилов, Мартенситные фазовые переходы и фазовые диаграммы лития и натрия при небольших давлениях, ФТТ, т. 19, вып. 11, 1977, с. 3396-3399.

8. Hohenberg P. and Kohn W., Inhomogeneous Electron Gas, Phys. Rev., v. 136, 1964, pp. B864-871.

9. W. Kohn, Nobel Lecture: Electronic structure of matter-wave functions and density functional, Reviews of Modern Physics, v. 71, N. 5,1999, pp. 1253-1266.

10. Теория неоднородного электронного газа, под редакцией С. Лудквиста и Н. Марча. М.: Мир, 1987.

11. С. Ю. Саврасов, Е. Г. Максимов, Расчёты динамики решётки кристаллов из первых принципов, УФН, т. 165, N. 7,1995, с. 773-797.

12. Kohn W. and Sham L. J., Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Effects, Phys. Rev., v. 140,1965, pp. Al 133-1138.

13. D. J. W. Geldart, M. Rasolt, Exchange and correlation energy of an inhomogeneous electron gas at metallic densities, Phys. Rev. B, v. 13, N. 4, 1976, pp. 1477-1488.

14. U. Gupta and A. K. Rajagopal, Exchange-Correlation Potential for Inhomogeneous Electron Systems at Finite Temperatures, Phys. Rev. A, v. 22, N. 6, 1980, pp. 2792-2797.

15. Математическое моделирование. Физико-химические свойства вещества, под редакцией А. А. Самарского, Н. Н. Калиткина, Москва "Наука" 1989, с. 197.123

16. J. P. Perdew, K. Burke, M. Ernzerhof, Generalized gradient approximation made simple, Phys. Rev. Lett., v. 77, N. 18, 1996, pp. 3865-3868; v. 78, N. 7, 1997, p. 1396(E); v. 80, N. 4,1998, p. 891.

17. D. C. Langreth, J. P. Perdew, Theory of nonuniform electronic systems. I. Analysis of the gradient approximation and a generalization that works, Phys. Rev. B, v. 21, N. 12, 1980, pp. 5469-5493.

18. D. C. Langreth and M. J. Mehl, Beyond the local-density approximation in calculations of ground-state electronic properties, Phys. Rev. B, v. 28, N. 4, 1983, pp. 1809-1834.

19. S. PI. Vosko, L. Wilk, M. Nusair, Accurate spin-dependent electron liquid correlation energies for local spin density calculation: a critical analysis, Can. J. Phys., v. 58,1980, pp. 1200-1211.

20. J. P. Perdew, A. Zunger, Self-interaction correction to density-functional approximations for many-electron systems, Phys. Rev. B, v. 23, N. 10,1981, pp. 5048-5079.

21. J. P. Perdew and Y. Wang, Accurate and simple density functional for the electronic exchange energy: Generalized gradient approximation, Phys. Rev. B, v. 33, N. 12,1986, pp. 8800-8802; v. 40,1989, p. 3399(E).

22. О. K. Andersen, Linear methods in band theory, Phys. Rev. B, v. 12, 1975, pp. 30603083.

23. D. Glotzel, B. Segall, О. K. Andersen, Self-consistent electronic structure of Si, Ge and diamond by the LMTO-ASA method, Solid State Commun., v. 36, N. 5, 1980, pp. 403406.

24. P. P. Ewald, Die Berechnung optischer und elektrostatistischer Gitterpotentiale, Ann. Phys. (Leipzig), v. 64,1921, pp. 253-287.

25. M. Methfessel, С. O. Rodriguez, and О. K. Andersen, Fast full-potential calculations with a converged basis of atom-centered linear muffin-tin orbitals: Structural and dynamic properties of silicon, Phys. Rev. B, v. 40, N. 3, 1989, pp. 2009-2012.

26. F. D. Murnaghan, The Compressibility of Media under Extreme Pressures, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, v. 30,1944, pp. 244-247.

27. F. Birch, Phys. Rev., Finite Elastic Strain of Cubic Crystals, v. 71,1947, pp. 809-824.

28. F. Birch, Elasticity and constitution of the earth's interior, J. Geophys. Res., v. 57, 1952, pp. 227-286.

29. F. Birch, Finite strain isotherm and velocities for single-crystal and polycrystalline NaCl at high pressures, J. Geophys. Res., v. 83,1978, pp. 1257-1268.

30. J. H. Rose, J. R. Smith, F. Guinea, J. Ferrante, Universal features of the equation of state of metals, Phys. Rev. B, v. 29,1984, pp. 2963-2969.

31. P. Vinet, J. Ferrante, J. R. Smith, J. H. Rose, A universal equation of state for solids, J. Phys. C, v. 19, 1986, pp. L467-L473.

32. P. Vinet, J. R. Smith, J. Ferrante, J. H. Rose, Temperature effects on the universal equation of state of solids, Phys. Rev. B, v. 35,1987, pp. 1945-1953.

33. P. Vinet, J. Ferrante, J. H. Rose, J. R. Smith, Compressibility of solids, J. Geophys. Res., v. 92, 1987, pp. 9319-9326.

34. B. W. Dodson, Universal scaling relations in compressibility of solids, Phys. Rev. B, v. 35, 1987, pp. 2619-2625.

35. G. Parsafar, E. A. Mason, Universal equation of state for compressed solids, Phys. Rev. B, v. 49, N. 5, 1994, pp. 3049-3060.

36. K.Syassen, W.B.Holzapfel, Isothermal compression of Al and Ag to 120 kbar, J. Appl. Phys., v. 49, 1978, pp. 4427-4430.

37. A. Dewaele, P. Loubeyre, and M. Mezouar, Equations of state of six metals above 94 GPa, Phys. Rev. B, v. 70,2004,094112.

38. J. Wang, J. Li, and S. Yip, S. R. Phillpot and D. Wolf, Mechanical instabilities of homogeneous crystals, Phys. Rev. B, v. 52, N. 17, 1995, pp. 12627-12635.

39. G. Steinle-Neumann and L. Stixrude, R. E. Cohen, First-principles elastic constants for the hep transition metals Fe, Co, and Re at high pressure, Phys. Rev. B, v. 60, N. 2, 1999, pp. 791-799.

40. H. Ma and S. L. Qiu, P. M. Marcus, Pressure instability ofbcc iron, Phys. Rev. B, v. 66, 2002,024113.

41. M. И. Кацнельсон, А. В. Трефилов, Динамика и термодинамика кристаллической решётки, Москва: ИздАТ, 2002, с. 155.

42. Ч. Киттель, Введение в физику твёрдого тела, Москва: Наука, 1978. ^ 46. W. Voigt, Lehrbuch der Kryslall Physik, Teubner, Leipzig, 1928, p. 962.

43. A. Reuss, Calculation offlow limits of mixed crystals on the basis ofplasticity of single crystals, Z. Angew. Math. u. Mech., v. 9,1929, pp. 49-58.

44. D. L. Preston and D. C. Wallace, A model of the shear modulus, Solid State Communications, v. 81,1992, pp.277-281.

45. A. Migliori, H. Ledbetter, D.J. Thoma, and T.W. Darling, Beryllium's monocrystal and polycrystal elastic constants, J. Appl. Phys., v. 95, 2004, pp.2436-2440.

46. H. Ашкрофт, H. Мермин, Физика твёрдого тела. т. 2, М.: Мир, 1979, с. 422.

47. D.C. Wallace, Thermodynamics of crystals, New York: Wiley, 1972.

48. Y.-M. Juan and E. Kaxiras, Application of gradient corrections to density-functional theory for atoms and solids, Phys. Rev. B, v.48, N. 20,1993, pp. 14944-14952.

49. V. Ozolins and M. Korling, Full-potential calculations using the generalized gradientapproximation: Structural properties of transition metals, Phys. Rev. B, v. 48, N. 24, 1993, pp.18304-18307.

50. J. E. Jaffe, Z. Lin, and A. C. Hess, Gaussian-basis LDA and GGA calculations for alkali-metal equations of state, Phys. Rev. B, v. 57, N. 19,1998, pp. 11834-11837.

51. В. M. Амоненко, В. E. Иванов, Г. Ф. Тихинский и В. А. Финкель, К вопросу о растворимости npwueceu в бериллии, ФММ, т. 14,1962, с. 128-129.

52. U.von Barth, L. Hedin, A local exchange-correlation potential for the spin polarized case. I, J. Phys. C, v. 5,1972, pp. 1629-1642.

53. Y. Wang and J. P. Perdew, Correlation hole of the spin-polarized electron gas, with exact small-wave-vector and high-density scaling, Phys. Rev. B, v. 44, N. 24, 1991, pp. 1329813307.

54. K. J. H. Mackay and N. A. Hill, Lattice parameter and hardness measurements on high purity beryllium, J. Nucl. Mater., v. 8,1963, pp. 263-264.

55. D. J. Silversmith and B. L. Averbach, Pressure dependence of the elastic constants of beryllium and beryllium-copper alloys, Phys. Rev. B, v. 1,1970, pp. 567-571.

56. J. L. Wise, L. C. Chhabildas, and J. R. Asay, in "Shock Waves in Condensed Matter-1981", edited by W. J. Nellis, L. Seaman, and R. A. Graham, AIP Conf. Proc. N. 78, p. 417 (AIP, New York, 1982).

57. T. Neal, in "High Pressure Science and Technology", edited by K. D. Timmerhaus and M. S. Barber, v. 1, New York: Plenum, 1974, p. 80.

58. C. S. Barrett, X-ray Study of the Alkali Metals at Low Temperatures, Acta Cryst., v. 9,1956, pp. 671-677.

59. R. H. Martinson, Variation of the Elastic Constants of Sodium with Temperature and Pressure, Phys. Rev., v. 178, N. 3,1969, pp. 902-913.

60. M. S. Anderson and C. A. Swenson, Experimental compressions for sodium, potassium, and rubidium metals to 20 kbar from 4.2 to 300 К, Phys. Rev. B, v. 28, N. 10, 1983, pp. 5395-5418.

61. K. J. Dunn and A. L. Ruoff, First and second pressure derivatives of the bulk modulus of sodium, Phys. Rev. B, v. 10, N. 6, 1974, pp. 2271-2274.

62. G. Simmons and H. Wang, Temperature Variation of Elastic Constants and Calculated Aggregate Properties, MIT Press, Cambridge, Mass., 1971.

63. P. A. Smith and C. A. Smith, Pressure derivatives of the elastic constants ofpotassium, J. Phys. Chem. Solids v. 26,1965, pp. 279-289.

64. J. F. Janak, V. L. Moruzzi and A. R. Williams, Ground-state thermomechanical properties of some cubic elements in the local-density formalism, Phys. Rev. B, v. 12, 1975, pp.1257-1261.

65. P. E. Blochl, 0. Jepsen and О. K. Andersen, Improved tetrahedron method for Brillouin-zone integrations, Phys. Rev. B, v. 49, N. 23,1994, pp. 16223-16234.

66. M. I. McMahon, R. J. Nelmes, U. Schwarz, and K. Syassen, Composite incommensurate K-Ill and a commensurate form: Study of a high-pressure phase ofpotassium, Phys. Rev. B, v. 74,2006, 140102(R).

67. N. E. Christensen, D. L. Novikov, High-pressure phases of light alkali metals, Solid State Commun., v. 119,2001, pp. 477-490.

68. W. Zittel, J. Meyer-ter-Vehn, J. Kiibler, Potassium at high pressure: anomaly in the 500 kbar-regime, Solid State Communications, v. 62, No. 2,1987, pp. 97-100.

69. M. Alouani, N. E. Christensen, K. Syassen, Calculated ground-state and optical properties of potassium under pressure, Phys. Rev. B, v. 39, No. 12, 1989, pp. 80968106.

70. K. Takemura and K. Syassen, High-pressure phase transitions in potassium and phase relations among heavy alkali metals, Phys. Rev. B, v. 28, No.2, 1983, pp. 1193-1196.

71. H. Olijnyk and W. B. Holzapfel, Phase transitions in К and Rb under pressure, Phys.1.tt., v. 99A, N. 8,1983, pp. 381-383.

72. E. Gregoryanz, О. Degtyareva, М. Somayazulu, R. J. Hemley, and H. Mao, Melting of Dense Sodium, Phys. Rev. Lett., v. 94,2005, 185502.

73. J. B. Neaton and N. W. Ashcroft, On the Constitution of Sodium at Higher Densities, Phys. Rev. Lett., v. 86, N. 13,2001, pp. 2830-2833.

74. Магу E. Diederich and J. Trivisonno, Temperature dependence of the elastic constants of sodium, J. Phys. Chem. Sol., v. 27, pp. 637-642, 1966.

75. W. R. Marquardt and J. Trivisonno, Low temperature elastic constants of potassium, J. Phys. Chem. Sol., v. 26, 1965, pp. 273-278.

76. D. A. Young, Phase diagrams of the elements, University of California Press, 1991.

77. M. I. Katsnelson, G. V. Sinko, N. A. Smirnov, A. V. Trefilov, and K. Yu. Khromov, Structure, elastic moduli and thermodynamics of sodium and potassium at ultra-high pressures, Phys. Rev. B, v. 61, 2000, pp. 14420-14424.

78. W. J. Nellis, J. A. Moriarty, A. C. Mitchell, M. Ross, R. G. Dandrea, N. W. Ashcroft, N. C. Holmes, and G. R. Gathers, Metals physics at ultrahigh pressure: aluminum, copper, and lead as prototypes, Phys. Rev. Lett., v. 60,1988, pp.1414-1417.

79. N. Velisavljevic, G. N. Chesnut, Y. K. Vohra, S. T. Weir, V. Malba, J. Akella, Structural and electrical properties of beryllium metal to 66 GPa studied using designer diamond anvils, Phys. Rev. B, v. 65, 2002, 172107.

80. W. J. Evans, M. J. Lipp, H. Cynn, and C. S. Yoo, M. Somayazulu and D. Hausermann, G. Shen and V. Prakapenka, X-ray diffraction and Raman studies of beryllium: Static and elastic properties at high pressures, Phys. Rev. B, v. 72, 2005, 094113.

81. K. Nakano, Y. Akahama, and H. Kawamura, X-ray diffraction study of Be to megabar pressure, J. Phys.: Condens. Matter, v. 14,2002, pp. 10569-10573.

82. Y. Akahama, M. Nishimura, K. Kinoshita, and H. Kawamura, Y. Ohishi, Evidence of a fcc-hcp Transition in Aluminum at Multimegabar Pressure, Phys. Rev. Lett., v. 96, 2006, 045505.

83. И. M. Лифшиц, Об аномалиях электронных характеристик метагча в области больших давлений, ЖЭТФ, т. 38, 1960, с. 1569.

84. J. Н. Tripp, Р. М. Everett, and W. L. Gordon, Fermi Surface of Beryllium and Its Pressure Dependence, Phys. Rev., v. 180, N. 3,1969, pp. 669-678.

85. J. E. Schiber and W. J. O'Sullivan, Effect of Pressure on the Fermi Surface of Be, Phys. Rev., v. 184, N. 3,1969, pp. 628-634.

86. G.V. Sin'ko, N. A. Smimov. Effect of electronic topological transitions on the calculations of some Zn and Fe properties, J. Phys.: Condens. Matter, v. 17, 2005, pp. 559-569.

87. G. Steinle-Neumann, L. Stixrude, R.E. Cohen, Absence of lattice strain anomalies at the electronic topological transition in zinc at high pressure, Phys. Rev. B, v. 63, 2001 054103.

88. G. N. Kamm, G. A. Alers, Low-temperature elastic moduli of aluminum, J. Appl. Phys., v. 35,1964, pp. 327-330.

89. G. V. Sin'ko and N. A. Smimov, Relative stability and elastic properties of hep, bcc, and fee beryllium under pressure, Phys. Rev. B, v. 71, 2005, 214108.

90. K. Kadas, L. Vitos, B. Johansson, and J. Kollar, Structural stability of fi-beryllium, Phys. Rev. B, v. 75, 2007,035132.

91. V. V. Kechin, Shear modulus collapse of lattices at high pressure, J. Phys.: Condens. Matter, v. 16, 2004, pp. L125- L129.

92. А. Т. Сапожников, А. В. Першина, Полуэмпирическое уравнение состояния металлов в широком диапазоне плотностей и температур, ВАНТ, сер.: Методики и программы численного решения задач математической физики, вып. 4(6), 1979, стр. 47-56.

93. R. Boehler, М. Ross, Melting curve of aluminum in a diamond cell to 0.8 Mbar: implications for iron, Earth and Planetary Science Letters, v. 153, 1997, pp. 223-227.

94. A. Hanstrom, P. Lazor, High pressure melting and equation of state of aluminium, Journal of Alloys and Compounds, v. 305,2000, pp. 209-215.

95. G. Robert and A. Sollier, Equation of state and elastic properties of beryllium from first principles calculations, J. Phys. IV France, v. 134, 2006, pp. 257-262.

96. B. Palanivel, R. S. Rao, В. K. Godwal and S. K. Sikka, On the relative stability of orthorombic and hep phases of beryllium at high pressure, J. Phys.: Condens. Matter, v. 12,2000, pp. 8831-8836.

97. R. G. McQueen, S. P. Marsh, J. W. Taylor, J. N. Fritz, and W. J. Carter, in High-Velocity Impact Phenomena, edited by P. Kinslow (Academic, New York, 1970).

98. LASL Shock Hugoniot Data, edited by S. P. Marsh (Univ. California Press, Berkeley, 1980).

99. M. В. Жерноклетов, В. H. Зубарев, Р. Ф. Трунин, В. Е. Фортов, Экспериментальные данные по ударной сжимаемости и адиабатическомурасширению конденсированных веществ при высоких плотностях энергии, под редак. Ю. Д. Ситнянского, Черноголовка 1996.

100. J. W. Shaner, J. М. Brown, and R. G. McQueen, in "High Pressure in Science and Technology", Eds. C. Homan, R. K. MacCrone, E. Whalley, North Holland, 1984, p. 137.

101. Список публикаций автора по теме диссертационной работы

102. Al. G. V. Sin'ko and N. A. Smirnov, Structural transitions in indium under high pressure: Ab initio electronic structure calculations, Phys. Rev. В v. 74,134113,2006.

103. A2. G. V. Sin'ko, N. A. Smirnov, Ab initio calculations of elastic constants and thermodinamic properties of bcc, fee, and hep Al crystals under pressure, J. Phys.: Condens. Matter, v. 14,2002, pp. 6989-7005.

104. A3. G. V. Sin'ko, N. A. Smirnov, On elasticity under pressure, J. Phys.: Condens. Matter, v.16,2004, pp. 8101-8104.

105. A4. Г. В. Синько, H. А. Смирнов, Алюминий под давлением. Результаты расчётов из первых принципов, Физика металлов и металловедение, 1999, т. 87, № 5, с. 16-20.

106. А5. Г. В. Синько, Н. А. Смирнов, Расчёт из первых принципов уравнения состояния и упругих констант алюминия в области отрицательных давлений, Письма в ЖЭТФ, 1.15, вып. 4,2002, стр. 217-219.

107. А6. М. I. Katsnelson, G. V. Sinko, N. A. Smirnov, А. V. Trefilov, and К. Yu. Khromov, Structure, elastic moduli, and thermodynamics of sodium and potassium at ultrahigh pressures, Phys. Rev. В 61, № 21,2000, pp. 14420-14424.

108. A9. Г. В. Синько, H. А. Смирнов, Первопринципные расчёты упругих и термодинамических свойств кристаллов под давлением, Физика экстремальных состояний вещества 2003, Труды XVIII международной конференции

109. Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество", под ред. Фортова В. Е., Ефремова В. П. и др., Черноголовка, 2003, стр. 120-125.

110. А10. Г. В. Синько, Н. А. Смирнов, Фазовая диаграмма алюминия на основе модифицированной модели Дебая и данных первопринципных расчётов энергии электронной подсистемы, Физика металлов и металловедение, 1999, т. 87, № 5, с. 12-15.

111. А15. G. V. Sin'ko and N. A. Smimov, Relative stability and elastic properties of hep, bcc, and fee beryllium under pressure, Phys. Rev. В v. 71,214108,2005.