Расчет упругих и прочностных характеристик материалов с трещинами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Лапин Руслан Леонидович
Лапин Руслан Леонидович
кандидат наук
2020
- Специальность ВАК РФ01.02.04
- Количество страниц 224
Оглавление диссертации кандидат наук Лапин Руслан Леонидович
Введение
Обзор исследований упругих и прочностных свойств материалов с неоднородностями, трещинами
Глава 1 Определение эффективных упругих характеристик материала с трещинами
1.1 Постановка задачи определения эффективных упругих характеристик материала с трещинами
1.2 Вычисление эффективного тензора податливости
1.3 Оценка ортотропности эффективных упругих свойств материала с трещинами
1.4 Решение задачи об определении эффективных упругих свойств материала с трещинами
1.5 Заключение к задаче об определении эффективных упругих характеристик материала с трещинами
1.6 Постановка задачи о влиянии перемычек между берегами трещины на эффективные упругие характеристики материала с трещиной
1.7 Вычисление нормальной и сдвиговой компоненты тензора податливости
1.8 Численные результаты для задачи о влиянии перемычки между берегами трещины
1.9 Заключение к задаче о влиянии перемычек между берегами трещины на эффективные упругие характеристики
1.10 Результаты главы об определении эффективных упругих характеристик материалов с трещинами
Глава 2. Исследование прочностных свойств материалов с трещинами
2.1 Дискретная модель хрупкого материала
2.2 Постановка задачи об оценке необходимой энергии инициации разрушения материала с трещиной
2.2.1 Бесконечная прямоугольная трещина
2.2.2 Круговая трещина
2.2.3 Множество случайно расположенных круговых трещин (приближение невзаимодействия)
2.3 Заключение к задаче об необходимой энергии инициации развития
трещины
2.4 Развитие трещины различной начальной формы в однородной среде
2.5 Постановка задачи о квазистатическом развитии трещины в трехслойной среде
2.5.1 Влияние отношения прочностей слоев
2.5.2 Влияние отношения модулей Юнга слоев
2.5.3 Влияние сжимающих напряжений
2.6 Заключение к задаче о квазистатическом росте трещины в трехслойной среде
2.7 Результаты главы об исследовании прочностных свойств материалов с трещинами
Заключение
Список литературы
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Механика деформируемого твердого тела», 01.02.04 шифр ВАК
Модель развития трещины в упругопластической среде1998 год, доктор физико-математических наук Лавит, Игорь Михайлович
Математические модели и пакет прочностного инженерного анализа2018 год, доктор наук Вершинин Анатолий Викторович
Механика упругого деформирования систем с покрытиями и промежуточными слоями2015 год, доктор наук Устинов Константин Борисович
Влияние геометрических размеров дефектов на характеристики хрупкого разрушения материалов1999 год, кандидат физико-математических наук Тарабан, Владимир Всеволодович
Метод гладких возмущений в задачах теории упругости с односторонними ограничениями для областей с негладкими границами2012 год, доктор физико-математических наук Рудой, Евгений Михайлович
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчет упругих и прочностных характеристик материалов с трещинами»
Введение Актуальность темы
Современная промышленность требует глубоких знаний о свойствах материала с учетом его структуры. Сложность в определении этих свойств играют различные неоднородности: включения другого материала, поры и трещины. Подход к определению свойств материала при помощи аналитических методов имеет ряд ограничений. В частности, для задач, связанных с трещиноватыми материалами, возможно рассмотрение только простых геометрий трещин. Учет взаимодействия трещин также вызывает сложности в аналитических методах. Использование экспериментов для определения упругих и прочностных свойств в некоторых задачах не может быть применимо. Например, в области нефти и газа добычи процессы, связанные с развитием трещины гидравлического разрыва пласта повторить экспериментально сложно из-за масштабного фактора - трещина может достигать сотен метров, а влияющие неоднородности не превышать нескольких метров. Также сложно учесть важные для развития трещины факторы, такие как дефекты горной породы, сложные геометрии слоев и другие. Необходимо отметить, что проведение экспериментов может быть дорогостоящим. В виду этого для некоторых постановок задачи об определении упругих и прочностных свойств материалов с трещиной возможно применение только численных методов.
К одним из наиболее используемых численных методов в задачах определения упругих и прочностных характеристик материалов с трещинами можно отнести метод граничных элементов (МГЭ), метод конечных элементов (МКЭ), метод динамики частиц (МДЧ). Применение того или иного метода зависит от рассматриваемой задачи, а также от исследуемых параметров трещин, влияющих на свойства материала.
На данный момент существует большое количество работ, посвященных исследованию влиянию различных параметров на свойства трещиноватого материала. В тоже время, существующие результаты не полностью описывают такие материалы. Влияние некоторых параметров материалов с трещинами на свойства материала не рассмотрены.
В настоящей работе рассматривается влияние трещин на упругие и прочностные свойства. Исследуется влияние взаимодействие трещин и перемычек между берегами трещины на эффективные упругие свойства материала. Также рассматривается влияние ориентации трещины, типа нагружения и слоистости среды на прочностные свойства. В рамках исследования применяются различные методы - МГЭ, МКЭ, МДЧ.
Методика исследования
В рамках данной работы используются метод граничных элементов (МГЭ), метод конечных элементов (МКЭ), метод динамики частиц (МДЧ). Для задачи об определении эффективных упругих свойств материала с трещинами с учетом взаимного влияния трещин используется МГЭ. Данный метод был реализован в виде программы. Верификация и валидация программы происходила с использованием результатов, полученных аналитическими и численными методами.
Для решения задачи о влиянии перемычек между берегами трещины на упругие свойства материала используется МКЭ. В рамках данной работы использовался МКЭ, реализованный в конечно-элементном пакете СОМБОЬ.
Для задачи о влиянии типа нагружения, ориентации трещины на инициацию разрушения, и задачи о влиянии свойств слоистого материала на конечную форму трещины при квазистатическом росте используется МДЧ. Данный метод был реализован в виде программы.
Цели работы
Целями данной работы является исследование влияния трещин на упругие и прочностные характеристики материалов, выявление закономерностей развития трещин в слоистых средах и анализ влияния вида нагружение на энергию инициации разрушения хрупких материалов.
Научную новизну
Новизну работы составляют следующие результаты, выносимые на защиту:
1. Методом граничных элементов решена серия задач об упругом деформировании двумерного материала с множеством случайно расположенных трещин. Рассчитаны эффективные упругие свойства данного материала для различных плотностей и ориентаций трещин. Показано, что при плотностях трещин, не превышающих 0.8, отклонение эффективного тензора податливости от ортотропного не превышает 5%.
2. Методом конечных элементов решена задача о влиянии перемычек между берегами бесконечной трещины на ее нормальную и сдвиговую податливости. Получены зависимости отношения податливостей от формы перемычек и расстояния между ними. Показано, что при изменении формы перемычки от плоской к колоннообразной отношение податливостей меняется в несколько раз. Получены граничные значения параметра формы перемычки и расстояния между перемычками, начиная с которых эффект формы и расстояния могут считаться независимыми.
3. Методом динамики частиц решена задача о квазистатическом деформировании и разрушении образца, содержащего одиночную трещину при различных видах нагружения. Получены зависимости энергии инициации разрушения материала от ориентации трещины при различных типах нагружения. Предложена оценка энергии инициации разрушения трещиноватого материала в приближении невзаимодействия трещин. С использованием данной оценки показано, что добавление
сдвиговой нагрузки может уменьшать энергию необходимую для инициации разрушения в 4 раза.
4. Методом динамики частиц решена задача о квазистатическом росте трещины в трехслойной среде. Получены зависимости отношения длины трещины к высоте от объема трещины для различных отношений модулей Юнга слоев, прочностей слоев, а также при различных сжимающих напряжениях. Получен диапазон значений параметров слоев, при которых отношение длины трещины к высоте в процессе роста остается постоянным.
Достоверность полученных результатов
Достоверность полученных результатов достигается использованием апробированных физических моделей и применением современных методов моделирования. Во всех рассматриваемых задачах проводилось исследование сходимости численных методов. Проводилось сравнение результатов с аналитическими решениями, а также с результатами, приведенными в литературе.
Практическая значимость работы
Полученные результаты расчета упругих характеристик трещиноватых материалов могут применяться на практике при решении задачах геомеханики. В частности, результаты применимы при исследовании развития трещины гидравлического разрыва пласта в трещиноватых коллекторах. Также, полученные результаты могут быть использованы при интерпретации экспериментальных данных по определению упругих свойств трещиноватых материалов. Результаты работы, связанные с минимизацией энергии разрушения, могут применяться в промышленности при проектировании оборудования для дезинтеграции горных пород, содержащих полезные ископаемые.
Результаты, приведенные в главе 2 настоящей диссертации получены при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования
Российской Федерации в рамках соглашения о предоставлении субсидии № 075-15-2019-1406 от 19.06.2019 по теме: Разработка прикладных программных средств для планирования и контроля операции гидравлического разрыва пласта с целью повышения эффективности нефтегазодобычи. Уникальный идентификатор соглашения: RFMEFI57517X0146.
Апробации работы
Результаты работы докладывались на семинарах кафедры «Теоретическая механика» СПбПУ, а также на 9 всероссийских и международных конференциях:
1. Advanced Problems in Mechanics, Saint-Petersburg, July, 2017. Тема доклада: "Calculation of effective elastic properties for solids with randomly oriented сracks".
2. Научно-техническая конференция по разработке трудноизвлекаемых запасов, Санкт-Петербург, 2017. Тема доклада: "Моделирование трещины гидроразрыва пласта в слоистой среде с использованием метода динамики частиц".
3. Третья международная научная школа молодых ученых "Физическое и математическое моделирование процессов в геосредах", Москва, ноябрь 2017. Тема доклада: "On the elastic properties of cracked solids: the non-interaction approximation accurately predicts the anisotropy".
4. Advanced Problems in Mechanics, Saint-Petersburg, July, 2018. Тема доклада: "Quasistatic propagation of a three-dimensional crack in a three-layered medium: a numerical study".
5. Цифровые месторождения: математическое моделирование гидроразрыва пласта и геомеханических задач при разработке месторождений, Уфа, 2018. Тема доклада: "Развитие трещины ГРП в слоистой среде с использованием метода динамики частиц".
6. XII научно-практическая конференция «Математическое моделирование и компьютерные технологии в процессах разработки месторождений», Петергоф, 2019. Тема доклада: "Моделирование процесса гидравлического разрыва пласта в слоистой анизотропной трещиноватой среде методом динамики частиц".
7. Advanced Problems in Mechanics, Saint-Petersburg, July, 2019. Тема доклада: "Calculation of the normal and shear compliances of a three-dimensional crack taking into account contact between the crack surfaces".
8. XXI международная конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Алушта, Крым, 2019. Тема доклада: "Моделирование эффективных свойств материалов с трещинами".
9. XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Уфа, 2019. Тема доклада: "Моделирование материалов с трещинами".
Публикации по теме исследования
Результаты диссертационной исследования опубликованы в 6 научных публикациях в журналах, рекомендованных ВАК и индексируемых базами Scopus и Web of Science:
1. R.L. Lapin, V.A. Kuzkin, On calculation of effective elastic properties of materials with cracks, Materials Physics and Mechanics, 32, 2017. DOI: 10.18720/MPM.3222017-14.
2. R.L. Lapin, V.A. Kuzkin, M.L. Kachanov, On the anisotropy of cracked solids, International Journal of Engineering Science, 124, 2018. DOI: 10.1016/j.ijengsci.2017.11.023.
3. R.L. Lapin, V.A. Kuzkin, Calculation of the normal and shear compliances of a three-dimensional crack taking into account the contact between the
crack surfaces, Letters on Materials, 9 (2), 2019, pp. 228-232. DOI: 10.22226/2410-3535-2019-2-234-238
4. R.L. Lapin, V.A. Kuzkin, M.L. Kachanov, Rough contacting surfaces with elevated contact areas, International Journal of Engineering Science, Volume 145, 2019. DOI: 10.1016/j.ijengsci.2019.103171
5. R.L. Lapin, N.D. Muschak, V.A. Tsaplin, V. A. Kuzkin, A. M. Krivtsov, Estimation of Energy of Fracture Initiation in Brittle Materials with Cracks, State of the Art and Future Trends in Material Modeling - Springer International Publishing, 2019, pp 173-182. DOI: 10.1007/978-3-03030355-6.
6. A.V. Kalyuzhnyuk, R.L. Lapin, A.S. Murachev, A.E. Osokina, A.I. Sevostianov, D.V. Tsvetkov, Neural networks and data-driven surrogate models for simulation of steady-state fracture growth, Materials Physics and Mechanics, No 3, Vol. 42, 2019, pp. 351-358. DOI: 10.18720/MPM.4232019_10.
Структура и объем работы
Работа состоит из введения, 2 глав и заключения. Работа содержит 114 страниц, 60 рисунков, 3 таблицы, список литературы содержит 109 наименований.
Обзор исследований упругих и прочностных свойств материалов с неоднородностями, трещинами
Первые наблюдения о свойствах материалов с неоднородностями были связаны со строительством сооружений и начинались в древности. Необходимость создания прочных и долговечных зданий, инфраструктуры требовала знаний о влиянии неоднородностей, нагрузок и других факторов на прочностные и упругие свойства. В виду отсутствия достаточного математического аппарата, знаний физики и механики, люди использовали простые наблюдения. В частности, древние Римляне заметили, что используемые кирпичи, основной материал того времени, устойчивы к
сжимающим нагрузкам, но достаточно быстро разрушаются при растягивающих. Данное свойство было использовано при строительстве мостов (Рис 1).
Рис 1: Пример конструкции древнеримского моста. Кирпичи в основном подвержены сжимающей нагрузке.
Индустриальная революция позволила использовать железо и сталь. Это привело к тому, что конструкции и сооружения стали выдерживать большие растягивающие нагрузки. Однако, обнаружилось новое свойство -метал разрушался при циклических нагрузках меньше критических, которые получались экспериментально. Данный эффект объясняется явлением усталости металлов. Примером данного эффекта является разрушения танкера с мазутом в Лондоне в 1919 году [1]. Однако, в то время данный эффект еще не был открыт. Поэтому в дальнейшем при конструировании использовался увеличенный в 10 раз коэффициент прочности.
Первой работой связанной с материалами с трещинами считается работа Гриффитса [2]. В ней был сформулирован энергетический критерий разрушения и развития трещины. Данный критерий показывал хорошее совпадение с экспериментами над хрупкими материалами, но имел отличия для материалов с пластическими свойствами.
Учет пластических свойств был реализован независимо друг от друга в работах [3,4]. Было показано, что вблизи кончика трещины образуется зона пластических деформаций и рост трещины сопровождается работой пластических деформаций.
В 1956 году Ирвин [5] получил силовой критерий развития трещины на основе работ Гриффитса. Полученный критерий был более удобен для решения инженерных задач в сравнении с критерием Гриффитса. В 1939 Вестгард [6] получил аналитические формулы для напряжений и деформации вблизи кончика трещины в виде разреза. Через некоторое время Ирвин на основе данной работы показал, что напряжения и деформации вблизи кончика трещины зависят от константы - коэффициента интенсивности напряжений (КИН). Данная константа используется при решении инженерных задач. Аналогичные результаты в тот же период были получены Вильямсом [7].
В тоже время началось практическое применение первых результатов исследований материалов с неоднородностями. В 1957 году в компании General Electric Вайн и Вунд [8] применили энергетический критерий Ирвина к проблеме разрушения больших роторов в паровых турбинах. Они смогли предсказать поведения роторов при нагрузках и уменьшить количество разрушений конструкций.
В этот же временной промежуток начинается активное исследование влияния неоднородностей (трещин и включений) на упругие свойства материла. Первыми работами в этом направлении считается серия работ Эшелби 1957 года и 1959 года [9,10]. В них автор рассматривает задачу напряженно-деформированного состояния тела с эллипсоидальным включением (Рис. 2). Свойства включения отличаются от свойств среды.
Рис. 2: Схематичный пример одиночного включения в материале.
Эшелби получил зависимости напряжений и деформаций от параметров среды и включения. Важный результат, который был получен в рамках данных работ - формулировка характеристики влияния включения в виде тензора, который носит название тензора Эшелби. Данный тензор зависит от параметров среды и включения, в том числе геометрических размеров и формы включения.
Вторая мировая война придала толчок исследованиям задач о материалах с трещинами. Она принесла большое количество практических инженерных задач, которые требовали решения. Поэтому для задач с неоднородностями можно выделить два этапа: до и после второй мировой войны. Однако, граница между этими этапами не совпадает с точным окончанием войны, а относится ближе к 1960 году, когда был сформулирован фундамент линейной теории механики разрушения. После этого началось активное исследование зоны пластичности вблизи кончика трещины.
Линейная теория механики разрушения перестает быть справедливой при наличии значительных пластических деформаций. На протяжении довольно короткого промежутка времени, сразу несколько исследователей (Ирвин, Дугдейл, Баренблат и Веллс) скорректировали и развили теорию так, чтобы корректно учесть пластичность у кончика трещины. Метод, предложенный Ирвином [3], был прямым расширением линейной теории механики разрушения. В то время как Дугдейл и Баренблад учитывали пластичность как узкую полосу материала на кончике трещины [11,12].
В 1968 Райс [13] предложил другой параметр, характеризующий нелинейное поведение материала вблизи кончика трещины. Применяя идеализацию пластических деформаций и нелинейную теорию упругости, Райс расширил энергетический критерий Гриффитса-Ирвина на материалы с большой зоной пластической деформации. В работе был выведен J-интеграл или интеграла Райса. Данный интеграл характеризует скорость выделения энергии на единицу площади разрушения. Необходимо отметить, что Эшелби в нескольких работах, опубликованных ранее, получил серию интегралов для материалов с включениями один из которых был эквивалентен интегралу Райса. Однако, Эшелби не применял полученные результаты на материалы с трещинами.
В том же году Хутчинсон [14], Райс и Росенгрин [15] применили J-интеграл для полей напряжений в материалах c зоной большой пластических деформаций. Полученные результаты показали, что J-интеграл может быть использован в качестве силовой характеристики трещины для материалов c зоной больших пластических деформаций, аналогично коэффициенту интенсивности напряжений.
В 1971 году Бэглей и Лэндес [16] проверили связь между прочностью на разрушение и полученными экспериментально результатами для интеграла Райса. В результате был получен метод, который на протяжении 10 лет был
стандартом тестирования материала. Данные исследования проводились для строительства атомных станций.
Замкнутая система уравнений для линейной механики разрушений была сформулирована в 60-х годах. Для материалов с пластическими деформациями систему замкнутых уравнений была сформулирована Шихом и Хутчинсоном [17] в 1976.
Для задач о включениях следующей важным исследованием была работа Мура [18] 1987 года. В ней были получены формулы для вычисления напряжений и деформаций для внешних точек включения в зависимости от свойств этого включения с помощью гармонических функций. Через несколько лет Жу и Сан [19] представили более удобную форму для определения характеристик во внешних точках с помощью потенциалов.
Параллельно с разработкой методов, основанных на результатах, полученных Эшелби, началось применение функции Грина для решения задач о материалах с включениями. Преимуществом использования функции Грина является возможность расширение задач с включениями от эллипсоидальных форм на более сложные формы такие как кубы ([20]) и цилиндры ([21]).
Ву и Ду в работе [22] предложили использовать эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода для гипергеометрических функций. Данный подход расширил возможные формы рассматриваемых включений. В течение следующих лет были рассмотрены и получены результаты для неординарных форм включений: тороидальные включения, сферические короны (Рис. 3 (А)) и суперсферических форм. Использование поверхностного интеграла основанного на функции Грина позволили рассмотреть плоские (или очень тонкие включения) и включения в виде нитей. В своей работе Довнс [23] получил процедуру применения интегралов второго рода, основанного на функции Грина для включений сложной формы.
(А) (Б)
Рис. 3: Пример сферической «короны» (А) и усеченной сферической «короны»(Б)
В предыдущих работах рассматривалась статическая постановка задачи о материалах с включениями. Одна из первых работ, в которой рассматривалась динамическая постановка - работа Мичелитца [24]. В ней тензор Эшелби был изменен для применения его для задачи о эллипсоидальных включениях в динамической постановке. Несколько лет спустя в работе Ванга [25] были получены результаты для включений других форм.
В описанных выше работах рассматривалась среда с одиночным включением сложной формы. Переход к множеству включений значительно усложняет задачу из-за появления определенного числа новых параметров -количество включений, плотность включений, размеры, ориентация и другие. К данным задачам сложно применить аналитические методы. Поэтому к задачам такого типа с начала 2000-х годов начали активно применятся полуаналитические и численные методы. В частности, использовались различные Фурье преобразования ([26]), Радон преобразования ([27]).
Одна из первых работ, в которой рассматривались множественные включения, является работа Бенедикта [28]. Автор рассматривает материал с распределением сферических включений с использованием Фурье преобразований. В работе Жоу [29] была получена полуаналитическая формула для включений произвольной формы в бесконечной среде. Это расширило возможности решения задач о материалах с включениями. В работе использовался принцип разбития включений произвольной формы на кубы, для которых уже были получены аналитические и полуаналитические формулы. Такой прием усложняет расчет - происходит значительное увеличение количества включений. Однако, данный подход позволят рассматривать произвольные формы включений в большом количестве.
Данные результаты позволили рассматривать широкий спектр задач с включениями. В частности, начались исследования на стыке нескольких наук. Например, в работе Шен [30] рассматривал пьезоэлектрические включения.
Кроме определения влияния включений на напряженно-деформированное состояние материала, важным направлением исследований является определение упругих и прочностных свойств материала с включениями и трещинами. Отметим, если материал не имеет никаких включений, то такой материал называется чистым. При наличии включений и трещин упругие и прочностные свойства меняются. Новые свойства материала называются эффективными.
Один из первых численных методов для вычисления эффективных упругих свойств материалов с включениями был предложен Будянским [31]. В работе использовалось приближение невзаимодействия между сферическими включениями. Данный метод через несколько лет был модифицирован Мором и Тонакой [32]. Данный модифицированный метод получил название метод Мори-Тонака. Ли и Пауль [33] применили данный метод к исследованию композитов с эллипсоидальными включениями. В
работе [34] метод Мори-Тонака был модифицировал с учетом вязкопластических свойств материала и включений.
Для исследования эффективных упругих свойств активно используется численный метод - «Метод конечных элементов» [35]. Данный метод использовался во многих работах. В работе Чена [36] проведено сравнение результатов, полученных методом конечных элементов и методом Мори-Тонака. Показано хорошее количественное совпадение результатов.
При переходе от аналитических решений к полуаналитическим и численным, возникает проблема ограниченности конечных размеров модели. Например, при решении задач о эффективных свойствах материалов с включениями и трещинами необходимо рассматривать достаточно большую область. В тоже время увеличение области приводит к усложнению расчетов. Поэтому часто используются периодические граничные условия. Идея этих условий в том, чтобы в некотором роде замкнуть систему-материал саму на себя. Простым примером может быть кубик материала с включениями. При моделировании вокруг этого кубика создаются, но «мнимые» кубики с одинаковыми включениями (Рис. 4). При расчетах учитывается влияние «мнимых» кубиков на основной.
Рис. 4: Пример использования периодических граничных условий
Использование периодических условий позволяет рассматривать образцы меньших размеров при сохранении корректности и точности результатов. Большое число авторов использовало периодические граничные условия и в своих работах показывали преимущества данного метода: Шодж и Роуми [37], Хашеми [38]. В работе Жоу [39] получены полуаналитические формулы для эффективных упругих характеристик материалов с произвольным распределением включений с использованием периодических граничных условий.
Необходимо отметить, что на данный момент существует определенное количество аналитических результатов для задач с трещинами и включениями, которые не упрощаются и не могут быть применены для задач без использования численных методов.
Однако, огромный рост вычислительных технологий и развитие численных методов значительно помогли в развитии механики разрушения. Многие задачи, которые 5-10 лет назад были нерешаемыми, сейчас решаются на ноутбуке за пару минут.
Стоит отметить несколько широко используемых численных методов, используемых для решения задач о материалах с включениями и трещинами: метод конечных элементов [35], метод граничных элементов [40], метод дискретных элементов [41] и метод динамики частиц [42]. Кроме упомянутых методов, существуют большое число других. Каждый их них имеет свои преимущества и недостатки. Применение каждого в отдельности зависит от особенности рассматриваемой задачи.
Активное развитие материала строения приводит к необходимости знаний о влиянии включений и трещин на свойства материала. Глубокое понимание этих явлений позволяет создавать материалы с нужными характеристиками. Ответ на данный вопрос пытается дать моделирование материалов с неоднородностями.
Другим важным направлением, в котором данный тип задач активно исследуется - прикладные задачи в сфере нефти и газа добычи. В частности, важным с прикладной точки зрения является учет естественных трещин на ход развития трещины гидравлического разрыва пласта. Трещина гидроразрыва -специально создаваемая трещина путем активной закачки жидкости (воды с пропантом) в породе. Данная трещина создается в породе, чтобы достичь залежей нефти и газа. После достижения данных залежей происходит выкачивание по той же трещине на поверхность полезных ископаемых. При создании трещины гидравлического разрыва пласта важно понимать в направление и возможную длину трещины. Каждый процесс создания такой трещины стоит несколько миллионов рублей. Находящиеся в породе естественные трещины могут заставлять поворачивать трещину гидравлического разрыва от залежей. Как следствие, крупные нефтяные компании вкладывают большие финансовые ресурсы в решение прикладных задач, связанных с естественными трещинами в породе.
Результаты решения задач о неоднородностях и трещинах в материалах не ограничиваются областью механики, но активно применяются для решения
Похожие диссертационные работы по специальности «Механика деформируемого твердого тела», 01.02.04 шифр ВАК
Когезионная краевая трещина в полуплоскости2018 год, кандидат наук Ле Тхи Тхань
Развитие трещин в анизотропных электроупругих средах2004 год, кандидат физико-математических наук Куликов, Андрей Александрович
Краевые задачи механики торможения трещин локальными тепловыми полями2005 год, доктор физико-математических наук Кадиев, Рабадан Исмаилович
Математические модели деформирования и разрушения в условиях ползучести2010 год, доктор физико-математических наук Степанова, Лариса Валентиновна
Модель упругопластического деформирования трещины поперечного сдвига2013 год, кандидат наук Кунашов, Никита Дмитриевич
Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лапин Руслан Леонидович, 2020 год
Список литературы
[1] M. Shank, «A Critical Review of Brittle Failure in Carbon Plate Steel Structures Other than Ships,» в Ship Structure Committee Report SSC-65,, Washington, DC, 1953.
[2] A. Griffith, «The Phenomena of Rupture and Flow in Solids,» Philosophical Transactions, № Vol. 221, pp. 163-198, 1920.
[3] G. Irwin, «Fracture Dynamics,» в Fracturing of Metals. American Society for Metals., Cleveland, 1948.
[4] E. Orowan, «Fracture and Strength of Solids,» Reports on Progress in Physics, № Vol. XII, pp. 185-232, 1948.
[5] G. Irwin, «Onset of Fast Crack Propagation in High Strength Steel and Aluminum Alloys,» Sagamore Research Conference Proceedings,, № Vol. 2, pp. 289-305, 1956.
[6] H. Westergaard, «Bearing Pressures and Cracks,» Journal of Applied Mechanics, № Vol. 6, pp. 49-53, 1939.
[7] M. Williams, «On the Stress Distribution at the Base of a Stationary Crack,» Journal of Applied Mechanics, № Vol. 24, pp. 109-114, 1957.
[8] Winne, D.H., Wundt, B.M.,, «Application of the Griffith-Irwin Theory of Crack Propagation to the Bursting Behavior of Disks, Including Analytical and Experimental Studies,» Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, № Vol. 80,, p. 1643-1655, 1957.
[9] J. Eshelby, «The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion, and related problems,» Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, № 241, pp. 376-396, 1957.
[10] J. Eshelby, «The elastic field outside an ellipsoidal inclusion.,» Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, № 252, pp. 561-569, 1959.
[12] Dugdale, D. S. (1960), "Yielding of steel sheets containing slits", Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 8 (2): 100-104,
[11] Barenblatt, G. I. (1962), "The mathematical theory of equilibrium cracks in brittle fracture", Advances in Applied Mechanics, 7: 55-129, doi:10.1016/s0065-2156(08)70121-2, ISBN 9780120020072
[13] J. Rice, «Path Independent Integral and the Approximate Analysis of Strain Concentration by Notches and Cracks,» Journal of Applied Mechanics, № Vol. 35,, p. 379-386, 1968.
[14] J. Hutchinson, «Singular Behavior at the End of a Tensile Crack Tip in a Hardening Material,» Journal of the Mechanics and Physics of Solids, № Vol. 16, p. 13-31, 1968.
[15] Rice, J.R. and Rosengren, G.F. , «Plane Strain Deformation near a Crack Tip in a Power-Law Hardening Material,» Journal of the Mechanics and Physics of Solids, № Vol. 16, p. 1-12, 1968.
[16] Begley, J.A. and Landes, J.D, «The J-Integral as a Fracture Criterion,» b ASTM STP 514, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1972.
[17] Shih, C.F. and Hutchinson, J.W., «Fully Plastic Solutions and Large-Scale Yielding Estimates for Plane Stress Crack Problems,» Journal of Engineering Materials and Technology, № Vol. 98, p. 289-295, 1976.
[18] T. Mura, «Micromechanics of Defects in Solids,» b Martinus Nijhoff, Dordrecht, Netherlands, 1987.
[19] J. S. L. Ju, «A novel formulation for the exterior-point Eshelby's tensor of an ellipsoidal inclusion,» Journal of Applied Mechanics, № 66, pp. 570-574, 1999.
[20] Y. Chiu, «On the stress field due to initial strains in a cuboid surrounded by an infinite elastic space,» Journal of Applied Mechanics, № 44, pp. 587-590, 1977.
[21] Wu, L.Z., Du, S.Y., « The elastic field caused by a circular cylindrical inclusion---Part I: inside the region, where the circular cylindrical inclusion is expressed,» Journal of Applied Mechanics, № 62, pp. 579-584, 1995.
[22] L. D. S. Wu, «The elastic field with a hemispherical inclusion.,» Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, № 455, pp. 879-891, 1999.
[23] Downes, J.R., Faux, D.A., O'Reilly, « A simple method for calculating strain distributions in quantum dot structures,» Journal of Applied Physics, № 81, pp. 6700-9702, 1997.
[24] Michelitsch, T.M., Gao, H., Levin V.M., « Dynamic Eshelby tensor and potentials for ellipsoidal inclusions,» Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, № 459, pp. 863-890, 2003.
[25] Wang, J., Michelitsch, T.M., Gao, H., Levin, V.M, « On the solution of the dynamic Eshelby problem for inclusions of various shapes,» International Journal of Solids and Structures, № 42, pp. 353-363, 2005.
[26] A. O. Andreev, « Theory of the electronic structure of GaN/AlN hexagonal quantum dots,» Physical Review B - Condensed Matter and Materials Physics , t. 62, № 15851-15870, 2000.
[27] Franciosi, P., Lormand, G, « Using the radon transform to solve inclusion problems in elasticity,» International Journal of Solids and Structures, № 41, pp. 585-606, 2004.
[28] Benedikt, B., Lewis, M., Rangaswamy, « On elastic interactions between spherical inclusions by the equivalent inclusion method.,» Computational Materials Science, № 37, pp. 380-392, 2006.
[29] Zhou, K., Keer, L.M., Wang, Q.J , «Semi-analytic solution for multiple interacting three-dimensional inhomogeneous inclusions of arbitrary shape in an
infinite space.,» International Journal for Numerical Methods in Engineering, №2 87, pp. 617-638, 2011.
[30] Shen, M.H., Chen, S.N., Chen, F.M., « Piezoelectric study on confocally multicoated elliptical inclusion,» International Journal of Engineering Science, № 43, pp. 1299-1312, 2005.
[31] B. Budiansky, «On the elastic moduli of some heterogeneous materials,» Journal of the Mechanics and Physics of Solids, № 13, pp. 223-227, 1965.
[32] Mori, T., Tanaka, K, « Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions,» Acta Metallurgica, № 21, pp. 571-574, 1973.
[33] Lee, K.Y., Paul, D.R., « A model for composites containing three-dimensional ellipsoidal inclusions.,» Polymer, № 46, pp. 9064-9080, 2005.
[34] Wang, X., Pan, E , « Two-dimensional Eshelby's problem for two imperfectly bonded piezoelectric half-planes,» International Journal of Solids and Structures, №2 47, pp. 148-160, 2010.
[35] Галлагер. Р., Метод конечных элементов, М.: Мир, 1984.
[36] Chen, C., Lu, T.J., Fleck, N.A., « Effect of inclusions and holes on the stiffness and strength of honeycombs,» International Journal of Mechanical Sciences, № 43, pp. 487-504., 2001.
[37] Shodja, H.M., Roumi, F., « Overall behavior of composites with periodic multiinhomogeneities,» Mechanics of Materials, № 37, pp. 343-353., 2005.
[38] Hashemi, R., Weng, G.J., Kargarnovin, M.H., Shodja, H.M., «Piezoelectric composites with periodic multi-coated inhomogeneities.,» International Journal of Solids and Structures , № 47, pp. 2893-2904, 2010.
[39] Zhou, K., Keer, L.M., Wang, Q.J., Ai, X., Sawamiphakdi, K., Glaws, P., Paire, M., Che.F., « Interaction of multiple inhomogeneous inclusions beneath a surface.,» Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, №2 217, pp. 25-33, 2012.
[40] J. T. Katsikadelis, Boundary elements: Theory and applications, Oxford: Elsever, 2002.
[41] P.A. Cundall, O.D.L. Strack, «A distinct element model for granular assemblies.,» Geotechnique, № 29 , p. 47—65, 1979.
[42] Krivtsov AM (2007) Deformation and Fracture of Solids with a Microstructure (in Russ.). Fizmatlit, Moscow
[43] VI Kushch, I Sevostianov, L Mishnaevsky, «Effect of crack orientation statistics on effective stiffness of mircocracked solid,» International Journal of Solids and Structures, t. vol.46, pp. 1574-1588, 2009.
[44] Bernarn Budiamsky,Richard J. O'Connell, «Elastic moduli of a cracked solid,» International journal of Solids and structures, № 12, pp. 81-97, 1976.
[46] Vladimir Grechka, Mark Kachanov, «Effective elasticity of rocks with closely spaced and intersecting cracks,» GEOPHYSICS, t. 71, № 3, pp. D85-D91, 2006.
[47] Erik H. Saenger,Oliver S. Kruger and Serge A. Shapiro, «Effective elastic properties of randomly fractured soils: 3D numerical experiments,» Geophysical Prospecting, № 52, pp. 183-195, 2004.
[48] Y.J. Liu, X.L. Chen, «Evaluations of the effective material properties of carbon nanotubebased composites using a nanoscale representative volume element,» Mechanics of Materials, № 35, pp. 69-81, 2003.
[49] M.Kachanov, «Elastic solids with many cracks and related problems»
ADVANCES IN APPLIED MECHANIC, t. vol.30, pp. 260-438, 1993.
[50] Hashin Z. The differential scheme and its application to cracked materials //Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 1988. - T. 36. - №. 6. - C. 719-734.
[51] Y. Benveniste, «A new approach to the application of Mori-Tanaka's theory in composite materials,» Mechanics of Materials, № 6, pp. 147-157, 1987.
[52] Orlowsky B. et al. Effects of parallel crack distributions on effective elastic properties-a numerical study //International Journal of Fracture. - 2003. - T. 124. - №. 3-4. - C. L171-L178.
[53]Greenwood, J.A. (1966) Constriction resistance and the real area of contact,
British Journal of Applied Physics 17, 1621-1632.
[54]Greenwood, J.A. and Williamson, J.B.P (1966) The contact of nominally flat surfaces, Proc. Roy. Soc. A, 295, 300-319.
[55]Barber, J.R. (2003) Bounds on the electrical resistance between contacting elastic rough bodies, Proc. Roy. Soc. A, 459, 53-66.
[56]Kuzkin, V.A. and Kachanov M.L. (2015) Contact of rough surfaces: Conductance - stiffness connection for contacting transversely isotropic half-spaces. Int. J. Eng. Sci. 97, 1-5.
[57]Sevostianov, I. and Kachanov, M. (2009) Incremental compliance and resistance of contacts and contact clusters: Implications
[58] Kachanov, M., Prioul, R., and Jocker, J. (2010) Incremental linear-elastic response of rocks containing multiple rough fractures: Similarities and differences with traction-free cracks. Geophysics 75(1), D1-D11.
[59] Ciavarella, M., Demelio, G., Barber, J.R., and Yang, Y.H. (2000) Linear elastic contact of the Weierstrass profile, Proc. Roy. Soc. A, 456, 387-405.
[60] Laubach S.E.(2003) Practical approaches to identifying sealed and open fractures. Bulletin of the American Association of Petroleum Geologists 87, 561579.
[61] Sayers, C. M., Taleghani, A.D., and Adachi, J. (2009) The effect of mineralization on the ratio of normal to tangential compliance of fractures. Geophys. Prospect. 57, 439-446.
[62] M.Kachanov, «Effective elastic properties of cracked solids: critical review of some basic concepts,» Appl Mech Rev, № vol. 45, pp. 304-305, 1992.
[63] Crouch S.L., Starfield A.M, «Boundary Element Methods in Solid Mechanics: with Applications in Rock Mechanics and Geological Engineering,» George Allen and Union, p. 322, 1983.
[64] A.M. Linkov, Boundary Integral Equations in Elasticity Theory (Dordrecht-BostonLondon, Kluwer Academic Publishers, 2002).
[65] Igor Sevostianov, Mark Kachanov, «On approximate symmetries of the elastic properties and elliptic orthotropy,» International Journal of Engineering Science, № 46, pp. 211-223, 2008.
[66] K. J. Willam, «Advanced Mechanics of Materials,» CVEN 5161, 2003.
[67] R.L. Lapin, V.A. Kuzkin, On calculation of effective elastic properties of materials with cracks, Materials Physics and Mechanics, 32, 2017.
[68]R.L. Lapin, V.A. Kuzkin, M.L. Kachanov, On the anisotropy of cracked solids, International Journal of Engineering Science, 124, 2018.
[69] Multiphysics C. Introduction to COMSOL Multiphysics® //COMSOL Multiphysics, Burlington, MA, accessed Feb. - 1998. - T. 9. - C. 2018.
[70] R.L. Lapin, V.A. Kuzkin, Calculation of the normal and shear compliances of a three-dimensional crack taking into account the contact between the crack surfaces, Letters on Materials, 9 (2), 2019, pp. 228-232.
[71] R.L. Lapin, V.A. Kuzkin, M.L. Kachanov. Rough contacting surfaces with elevated contact areas, International Journal of Engineering Science, Volume 145, 2019.
[72] Vaisberg L.A., Kameneva E.E., X-ray computed tomography in the study of physico-mechanical properties of rocks. Gornyi Zhurnal 9:85-90, 2014
[73] Vaisberg L.A., Kameneva E.E., Nikiforova V.S., Microtomographic studies of rock pore space as the basis for rock disintegration technology improvements. Obogashchenie Rud 3:51-55, 2018
[74] Vaisberg L.A., Kruppa P.I., Baranov V.F. Microtomographic studies of rock pore space as the basis for rock disintegration technology improvements. Obogashchenie Rud 3:51-55, 2018
[75] Vesga L.F., Vallejo L.E., Lobo-Guerrero S., Dem analysis of the crack propagation in brittle clays under uniaxial compression tests. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics 32(11): 1405-1415, 2008
[76] Kachanov M., Sevostianov I., Micromechanics of Materials, with Applications, Solid Mechanics and Its Applications, vol 249. Springer, 2018
[77] Altenbach H., Sadowski T. (eds),Failure and Damage Analysis of Advanced Materials, CISM International Centre for Mechanical Sciences, vol 560. Springer, Vienna, 2015
[78] Altenbach H., Ochsner A. (eds) Cellular and Porous Materials in Structures and Processes, CISM International Centre for Mechanical Sciences, vol 521. Springer, Vienna, 2011
[79] Torquato S., Random heterogeneous media: microstructure and improved bounds on effective properties. Applied Mechanics Reviews 44(2):37-76, 1991
[80] Shafiro B., Kachanov M., Materials with fluid-filled pores of various shapes: Effective elastic properties and fluid pressure polarization. International Journal of Solids and Structures 34(27):3517 - 3540, 1997
[81] Sayers C.M., Kachanov M., A simple technique for finding effective elastic constants of cracked solids for arbitrary crack orientation statistics. International Journal of Solids and Structures 27(6):671 - 680, 1991
[82] Shafiro B., Kachanov M., Anisotropic effective conductivity of materials with nonrandomly oriented inclusions of diverse ellipsoidal shapes. Journal of Applied Physics 87(12):8561-8569, 2000
[83] Kachanov M., Sevostianov I., Micromechanics of Materials, with Applications, Solid Mechanics and Its Applications, vol 249. Springer, 2018
[84] Kuna M., Finite Elements in Fracture Mechanics. Springer Nezherlands, 2013
[85] Rejwer E., Rybarska-Rusinek L., Linkov A., The complex variable fast multipole boundary element method for the analysis of strongly inhomogeneous media. Engineering Analysis with Boundary Elements 43:105-116, 2014
[86] Jaworski D., Linkov A., Rybarska-Rusinek L., On solving 3d elasticity problems for inhomogeneous region with cracks, pores and inclusions. Computers and Geotechnics 71(6):295-309, 2016
[87] Bratov V.A., Krivtsov A.M., Analysis of energy required for initiation of inclined crack under uniaxial compression and mixed loading. Eng Frac Mech p Eng. Frac. Mech., 2019
[88] Anderson, T.L., Fracture Mechanics: Fundamentals and Applications// CRC Press, Inc., Boca Raton, USA, 1991
[89] Simonson, E.R., Abou-Sayed, A.S., Clifton, R.J., Containment of Massive Hydraulic Fractures// Society of Petroleum Engineers 1978
[90] Aydin, A., Pollard, D.D., Progress in understanding jointing over the past century// 1988, Geological Society of America Bulletin 100, 1181-1204
[91] Rice, J.R., First-order variation in elastic fields due to variation in location of a planar crack front//1985, ASME Journal of Applied Mechanics 52 (3), 571-579
[92] Gao, H., Rice, J.R., Shear stress intensity factors for a planar crack with slightly curved front//1986, Journal of Applied Mechanics, 53(4), 774-778
[93] Francfort, G.A., Marigo, J.J., Revisiting brittle fracture as an energy minimization problem//1998, Journal of the Mechanics and Physics of Solids 46, 1319-1342
[94] Heekwang Lee, Seokwon Jeon ft, «An experimental and numerical study of fracture coalescence in pre-cracked specimens under uniaxial compression,» International Journal of Solids and Structures, 2011.
[95] Li Y. P., Chen L. Z., Wang Y. H. Experimental research on pre-cracked marble under compression //International Journal of Solids and Structures. - 2005. - T. 42. - №. 9-10. - C. 2505-2516.
[96] Krivtsov A (2003) Molecular dynamics simulation of impact fracture in polycrystalline materials. Meccanica 38(01):61-70
[97] Krivtsov A (2004) Molecular dynamics simulation of plastic effects upon spalling. Physics of the Solid State 46(6):1055-1060
[98] Hongren, G.U. Effect of formation Modulus contrast on hydraulic fracture height containment//Society of Petroleum Engineers, 2006
[99] Smith, M.B., Bale, A.B., Britt, L.K., Klein, H.H., Siebrits, E., Dang, X., Layered Modulus Effects on Fracture Propagation, Proppant Placement and Fracture Modeling// Society of Petroleum Engineers 2001
[100] Thiercelin, M., Jeffrey R.G., Ben Naceur, K., The Influence of Fracture Toughnesson the Geometry of Hydraulic Fractures//Society of Petroleum Engineers, 1987
[101] Warpinski, N.R., Schmidt, R.A., Northrop, D.A., 1982. In-situ stresses: the predominant influence on hydraulic fracture containment. J. Pet. Technol. 34 (3), 653-664.
[102] Teufel, L.W., Clark, J.A., 1984. Hydraulic fracture propagation in layered rock: experimental studies of fracture containment. Soc. Pet. Eng. J. 24 (1), 19-32.
[103] Tsaplin V.A., Kuzkin V.A. On using quasi-random lattices for simulation of isotropic materials // Materials Physics and Mechanics, No. 3, Vol. 32, 2017, pp. 321-327
[104] Novozhilov V (1969) On a necessary and sufficient criterion for brittle strength. Journal of Applied Mathematics and Mechanics 33(2):201 - 210
[105] Vaisberg LA, Baldaeva TM, Ivanov TM, Otroshchenko AA (2016) Screening efficiency with circular and rectilinear vibrations. Obogashchenie Rud 1:1-12
[106] R.L. Lapin, N.D. Muschak, V.A. Tsaplin, V. A. Kuzkin, A. M. Krivtsov, Estimation of Energy of Fracture Initiation in Brittle Materials with Cracks// State of the Art and Future Trends in Material Modeling - Springer International Publishing, 2019, pp 173-182.
[107]Jarvis, R.A., On the identification of the convex hull of a finite set of points in the plane// Information Processing Letters, Vol 2, 1973, p. 18-21
[108] Lazarus, V., Perturbation approaches of a planar crack in linear elastic fracture mechanics: A review// Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Vol 59, 2011, 121-144
[109] A.V. Kalyuzhnyuk, R.L. Lapin, A.S. Murachev, A.E. Osokina, A.I. Sevostianov, D.V. Tsvetkov, Neural networks and data-driven surrogate models for simulation of steady-state fracture growth, Materials Physics and Mechanics, No 3, Vol. 42, 2019, pp. 351-358.
Federal State Autonomous Educational Institution for Higher Education "Peter the Great Saint Petersburg Polytechnic University"
Manuscript copyright
LAPIN RUSLAN LEONIDOVICH
CALCULATION OF ELASTIC AND STRENGTH CHARACTERISTICS OF MATERIALS WITH CRACKS
Specialization: 01.02.04 - solid mechanics
Dissertation is submitted for the degree of candidate in physical and
mathematical sciences
Scientific advisor Corr. Member of RAS, D.Sc., A.M. Krivtsov
Saint Petersburg - 2019
Content
Introduction.......................................................................................................118
Review of studies of the elastic and strength properties of materials with inhomogeneities, cracks....................................................................................124
Chapter 1 Calculation of effective elastic properties of materials with cracks 134
1.1 Problem statement for calculation effective elastic characteristic material with cracks.....................................................................................................136
1.2 Calculation of the effective compliance tensor.......................................145
1.3 Evaluation of the orthotropy of the effective elastic properties of a material with cracks.......................................................................................146
1.4 The solution to the problem of determining the effective elastic properties of a material with cracks..............................................................147
1.5 Conclusion to the problem of determining the effective elastic characteristics of a material with cracks.......................................................175
1.6 Statement of the problem of the effect of bridges between the crack surfaces on the effective elastic characteristics of a material with crack......176
1.7 Calculation of the normal and shear components of the compliance tensor.............................................................................................................177
1.8 Numerical results for the problem of the influence of the bridge between the crack surfaces..........................................................................................180
1.9 Conclusion to the problem of the effect of bridges between the crack faces on the effective elastic characteristics..................................................186
1.10 Conclusions of the chapter on determining the effective elastic characteristics of cracked materials...............................................................187
Chapter 2. The study of the strength properties of materials with cracks........190
2.1 Discrete model of brittle material............................................................193
2.2 The statement of the problem of estimating the necessary energy for the initiation of fracture of a material with a crack.............................................195
2.3 Infinite rectangular crack.........................................................................196
2.4 Circular crack..........................................................................................198
2.5 Array of randomly located circular cracks (approximation of noninteraction)..................................................................................................... 200
2.3 Conclusion to the problem of the necessary energy for initiating crack development..................................................................................................202
2.4 The crack propagation of various initial shapes in a homogeneous media .......................................................................................................................202
2.5 Statement of the problem of quasistatic crack propagation in a three-
layer medium.................................................................................................205
2.6 The influence of the ratio of the layer's strength....................................206
2.7 The influence of the ratio of layer's Young's Modulus...........................207
2.8 The influence of compressive stresses....................................................209
2.6 Conclusion to the problem of quasistatic crack growth in a three-layer medium..........................................................................................................210
2.7 The results of the chapter on the study of the strength properties of materials with cracks.....................................................................................211
Conclusion........................................................................................................212
References.........................................................................................................214
Introduction Relevance of the topic
Modern industry requires in-depth knowledge about the properties of the material, taking into account its structure. Various heterogeneities, inclusions of another material, pores and cracks, make this problem quite difficult. Analytical methods have several limitations when applied to current problem. In particular, for problems related to fractured materials, it is possible to consider only simple crack geometries. Taking into account the interaction of cracks also causes difficulties in analytical methods. Experiments to determine the elastic and strength properties cannot be used in some problems. For example, in the field of oil and gas production, the processes associated with the development of hydraulic fractures are difficult to repeat experimentally due to a large-scale factor. The fracture can reach hundreds of meters, and the influence of inhomogeneities not exceed several meters. In experiments it is also difficult to take into account factors important for crack development, such as rock defects, complex layer geometries, and others. Also, it should be noted that experimentation can be expensive. In view of this, for some problem statements of determining the elastic and strength properties of materials with a crack, only numerical methods can be used.
One of the most used numerical methods in determining elastic and strength characteristics of materials with cracks is the boundary element method (BEM), the finite element method (FEM), and the particle dynamics method (PDM). The application of each method depends on the problem under consideration, as well as on the investigated parameters of cracks that affect the properties of the material.
Nowadays, there are many works related to investigation of the influence of various parameters on the properties of a fractured material. At the same time, existing results do not fully describe such materials. The influence of some parameters of materials with cracks on the properties of the material is not considered.
In this paper, we consider the effect of cracks on the elastic and strength properties. The influence of the interaction of cracks and bridges between the crack faces on the effective elastic properties of the material is investigated. The effect of the orientation of the crack, type of loading and layering of the medium on the strength properties is also considered. In the framework of the study, various methods are used - FEM, DEM, PDM.
Methods of research
In the framework of this work, the boundary element method (BEM), the finite element method (FEM), and the particle dynamics method (PDM) are used. For the problem of determining the effective elastic properties of a material with cracks, taking into account the mutual influence of cracks, BEM is used. This method was implemented as a program. Verification and validation of the program was carried out using the results obtained by analytical and numerical methods.
To solve the problem of the effect of bridges between the crack faces on the elastic properties of the material, FEM is used. In the framework of this work, we used the FEM, implemented in the finite element software COMSOL.
For the problem of the influence of the type of loading, the orientation of the crack on the initiation of fracture, and the problem of the influence of the properties of the layered material on the final shape of the crack during quasistatic growth, PDM is used. This method was implemented as a program.
The aim of the work
The aims of this work are to study the effect of cracks on the elastic and strength characteristics of materials, to identify patterns of crack development in layered media and to analyze the effect of the type of loading on the fracture initiation energy of brittle materials.
Scientific novelty
The novelty of the work consists in the following provisions to be protected:
1. A series of problems on the elastic deformation of a two-dimensional material with many randomly located cracks has been solved with the boundary element method. The effective elastic properties of this material for various densities and orientations of cracks are calculated. It is shown that for crack densities not exceeding 0.8, the deviation of the effective compliance tensor from orthotropic does not exceed 5%.
2. The problem of the effect of bridges between the faces of an infinite crack on its normal and shear compliance is solved with the finite element method. The dependences of the compliance components ratio on the shape of the bridges and the distance between them are obtained. It is shown that when the shape of the bridges changes from flat to columnar, the ratio of compliance components changes several times. The boundary values of the bridges shape parameter and the distance between its are obtained, starting from which the shape and distance effect can be considered independent.
3. The problem of quasistatic deformation and fracture of a sample containing a single crack under various types of loading is solved with the particle dynamics method. The dependences of the of the material on the orientation of the crack under various types of loading are obtained. An estimate of the fracture initiation energy of a material with crack array in the approximation of noninteraction is proposed. Using this estimate, it was shown that the addition of a shear load can reduce the energy required to initiate fracture by 4 times.
4. The problem of quasistatic crack growth in a three-layer medium is solved with the particle dynamics method. The dependences of the ratio of the crack length to height on the crack volume are obtained for various ratios of the Young's moduli of the layers, the strengths of the layers, and also for various compressive stresses. A range of layer parameter values was obtained at which the ratio of crack length to height during the growth process remains constant.
Reliability of the results
The reliability of the obtained results is achieved using proven physical models and modern modeling methods. For all the consideration problems, the convergence of numerical methods was studied. The results were compared with analytical solutions, as well as with the results presented in the literature.
The practical significance of the work
The results of calculating the elastic characteristics of fractured materials can be applied in practice geomechanics problems. In particular, the results are applicable in the study of the development of hydraulic fractures in fractured reservoirs. Also, the obtained results can be used in the interpretation of experimental data on the determination of the elastic properties of fractured materials. The results associated with minimizing the energy of destruction can be applied in industry in the design of equipment for the disintegration of rocks containing minerals
This results presented in chapter 2 were obtained with financial support of Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation within the framework of the Federal Program "Research and development in priority areas for the development of the scientific and technological complex of Russia for 2014 - 2020" (activity 1.2), grant No. 14.575.21.0146 of September 26, 2017, unique identifier: RFMEFI57517X0146..
Approbation of work
The results of the work were reported at seminars of the Department of Theoretical Mechanics of SPbPU, as well as at 9 all-Russian and international conferences:
1. Advanced Problems in Mechanics, Saint-Petersburg, July, 2017. Topic "Calculation of effective elastic properties for solids with randomly oriented cracks".
2. Scientific and technical conference on the development of hard-to-recover reserves, St. Petersburg, 2017. Topic: " Modeling a hydraulic fracture in a layered medium using the particle dynamics method". [in Russian]
3. Third International Scientific School of Young Scientists "Physical and mathematical modeling of processes in geomedia", Moscow, November 2017. Topic: "On the elastic properties of cracked solids: the non-interaction approximation accurately predicts the anisotropy".
4. Advanced Problems in Mechanics, Saint-Petersburg, July, 2018. Topic: "Quasistatic propagation of a three-dimensional crack in a three-layered medium: a numerical study".
5. Digital fields: mathematical modeling of hydraulic fracturing and geomechanical problems in field development, Ufa, 2018. Topic: "The propagation of hydraulic fractures in a layered medium using the particle dynamics method".
6. XII Scientific and Practical Conference "Mathematical Modeling and Computer Technologies in Field Development Processes", Peterhof, 2019. Topic: "Modeling the process of hydraulic fracturing in a layered anisotropic fractured medium by particle dynamics method".
7. Advanced Problems in Mechanics, Saint-Petersburg, July, 2019. Topic: "Calculation of the normal and shear compliances of a three-dimensional crack taking into account contact between the crack surfaces".
8. XXI international conference on computational mechanics and modern applied software systems, Alushta, Crimea, 2019. Topic: "Modeling the effective properties of materials with cracks".
9. XII All-Russian Congress on Fundamental Problems of Theoretical and Applied Mechanics, Ufa, 2019. Topic: "Modeling of materials with cracks".
Publication on the research topic
The results of the dissertation research are published in 6 scientific publications in journals recommended by the Higher Attestation Commission and indexed by Scopus and Web of Science:
1. R.L. Lapin, V.A. Kuzkin, On calculation of effective elastic properties of materials with cracks, Materials Physics and Mechanics, 32, 2017. DOI: 10.18720/MPM.3222017-14.
2. R.L. Lapin, V.A. Kuzkin, M.L. Kachanov, On the anisotropy of cracked solids, International Journal of Engineering Science, 124, 2018. DOI: 10.1016/j.ijengsci.2017.11.023.
3. R.L. Lapin, V.A. Kuzkin, Calculation of the normal and shear compliance of a three-dimensional crack, taking into account contact between the banks, Letters on materials, 9 (2), 2019, pp. 228-232. DOI: 10.22226/2410-35352019-2-234-238
4. R.L. Lapin, V.A. Kuzkin, M.L. Kachanov, Rough contacting surfaces with elevated contact areas, International Journal of Engineering Science, Volume 145, 2019. DOI: 10.1016/j.ijengsci.2019.103171
5. R.L. Lapin, N.D. Muschak, V.A. Tsaplin, V. A. Kuzkin, A. M. Krivtsov, Estimation of Energy of Fracture Initiation in Brittle Materials with Cracks, State of the Art and Future Trends in Material Modeling - Springer International Publishing, 2019, pp 173-182. DOI: 10.1007/978-3-03030355-6. [submitted]
6. A.V. Kalyuzhnyuk, R.L. Lapin, A.S. Murachev, A.E. Osokina, A.I. Sevostianov, D.V. Tsvetkov, Neural networks and data-driven surrogate models for simulation of steady-state fracture growth, Materials Physics and Mechanics, No 3, Vol. 42, 2019, pp. 351-358. DOI: 10.18720/MPM.4232019 10.
Structure and scope of the work
The work consists of introduction, 2 chapters and conclusion. The work contains 110 pages, 60 figures, 3 tables, the list of references contains 109 titles.
Review of studies of the elastic and strength properties of materials with inhomogeneities, cracks
The first observations on the properties of materials with heterogeneities were associated with the construction of structures and began in antiquity. The necessity to create strong and durable buildings, infrastructure required knowledge about the influence of inhomogeneities, loads and other factors on the strength and elastic properties. In view of the lack of sufficient mathematical methods, knowledge of physics and mechanics, people used simple observations. In particular, the ancient Romans noticed that the bricks used are resistant to compressive loads, but they quickly collapse when tensile. This property was used in the construction of bridges (Fig 1).
Fig 1: An example of the construction of an ancient Roman bridge. Bricks are mainly subject to compressive loading.
The industrial revolution allowed to use iron and steel. This led to the fact that constructions and structures began to withstand large tensile loads. However, a new property was discovered - the metal was destroyed under cyclic loads less than critical, which were obtained experimentally. This effect is explained by the
phenomenon of metal fatigue. An example of this effect is the destruction of a tanker with fuel oil in London in 1919 [1]. However, at that time this effect was not yet discovered. Therefore, in the future, a tensile strength coefficient increased by 10 times was used for construction and structures.
The first work related to materials with cracks is considered the work of Griffith [2]. In this work the energy criterion for the destruction and development of a crack were formulated. This criterion showed good agreement with experiments on brittle materials, but had differences for materials with plasticity properties.
Accounting for plasticity properties was implemented independently of each other in the works [3,4]. It was shown that near the crack tip a zone of plasticity deformations forms and the growth of the crack is accompanied by the work of plasticity deformations.
In 1956, Irwin [5] formulated a force criterion for crack development based on the work of Griffith. The obtained criterion was more convenient for solving engineering problems in comparison with the Griffith criterion. In 1939, Westergaard [6] obtained analytical formulas for stresses and strains near the tip of a crack in the form as cut. After some time, Irwin, based on this work, showed that stresses and strains near the tip of a crack depend on a constant — stress intensity factor (SIF). This constant is used engineering problems. Similar results in the same period were obtained by Williams [7].
At the same time, the practical application of the first results of investigation of materials with heterogeneities began. In 1957, at General Electric, Winne and Wundt [8] applied Irwin's energy criterion to the destruction problem of large rotors in steam turbines. They were able to predict rotor behavior under loads and reduce the number of structural failures.
In the same time period, an active study of the influence of inhomogeneities (cracks and inclusions) on the elastic properties of the material begins. The first works in area are the series of works by Eshelby of 1957 and 1959 [9,10]. In this
works, the author considers the problem of the stress-strain state of a body with an ellipsoidal inclusion (Fig. 2). Properties of inclusion are different from environmental properties.
Fig. 2: A schematic example of a single inclusion in a material.
Eshelby obtained the dependences of stresses and strains on the parameters of the medium and inclusion. An important result that was obtained in the framework of these works is the formulation of the characterization of the influence of inclusion in the form of a tensor, which is called the Eshelby tensor. This tensor depends on the parameters of the medium and inclusion, including the geometric sizes and shape of the inclusion.
The Second World War gave impetus to the investigations of problems with cracked materials. It brought a large number of practical engineering problems that required solutions. Therefore, for problems with heterogeneities, two stages can be highlighted: before and after the Second World War. However, the border between these stages does not coincide with the exact end of the war, but refers closer to 1960, when the foundation of the linear theory of fracture mechanics was
formulated. After this, an active study of the plasticity zone near the tip of the crack began.
The linear theory of fracture mechanics has limitations in the presence of significant plasticity deformations. Over a fairly short period of time, several researchers (Irwin, Dugdale, Barenblatt and Wells) corrected developed theory to correctly take into account the plasticity at the tip of the crack. The method proposed by Irwin [3] was a direct extension of the linear theory of fracture mechanics. While Dugdale and Barenblatt took plasticity into account as a narrow strip of material at the tip of the crack [11,12].
In 1968, Rice [13] proposed another parameter characterizing the nonlinear behavior of the material near the tip of the crack. Using the idealization of plasticity deformations and the nonlinear theory of elasticity, Rice extended the Griffith-Irwin energy criterion to materials with a large plasticity deformation zone. In the work, the J-integral or Rice integral was obtained. This integral characterizes the rate of energy release per unit area of destruction. It should be noted that in several works published earlier, Eshelby received a series of integrals for materials with inclusions, one of which was equivalent to the Rice integral. However, Eshelby did not apply the results to cracked materials.
In the same year, Hutchinson [14], Rice and Rosengren [15] applied the J-integral for stress fields in materials with a zone of large plasticity deformations. The results showed that the J-integral can be used as a force characteristic of a crack for materials with a zone of large plasticity deformations, similarly to the stress intensity factor.
In 1971, Bagley and Landes [16] checked the relationship between fracture strength and experimentally obtained results for the Rice integral. As a result, a method for testing material was obtained. This method has been the standard for 10 years These studies were conducted for the construction of nuclear plants.
A closed system of equations for linear fracture mechanics was formulated in the 60s. For materials with plasticity deformations, a system of closed equations was formulated by Shih and Hutchinson [17] in 1976.
For inclusion problems, the next important results were presented in work [18] in 1987. Formulas for calculating stresses and strains for external inclusion points depending on the properties of this inclusion using harmonic functions were obtained. A few years later, Ju and Sang [19] presented a more convenient form for determining characteristics at external points using potentials.
At the same time with the development of methods based on the results obtained by Eshelby, the application of the Green function for solving problems with materials with inclusions began. The advantage of using the Green's function is the possibility of expanding problems with inclusions from ellipsoidal forms to more complex forms such as cubes ([20]) and cylinders ([21]).
Wu and Du in [22] proposed using elliptic integrals of the first, second, and third kind for hypergeometric functions. This approach has expanded the possible forms of the considered inclusions. Over the next years, the results for extraordinary forms of inclusions were considered and obtained: toroidal inclusions, spherical crowns (Fig. 3 (A)) and super-spherical forms. Using a surface integral based on the Green's function allowed us to consider flat (or very thin inclusions) and inclusions in the form of threads. In his work, Downes [23] obtained a procedure for applying integrals of the second kind based on the Green's function for complex inclusions.
(A) (B)
Fig. 3: An example of a spherical "crown" (A) and a truncated spherical "crown" (B).
In previous papers, a static formulation of the problem of materials with inclusions was considered. One of the first works with dynamic formulation of problem statement was the work of Michelitsch [24]. In this article, the Eshelby tensor was modified to apply to the problem of ellipsoidal inclusions in a dynamic formulation. Several years later, Wang [25] obtained results for inclusions of other forms.
In the works described above, a medium with a single inclusion of a complex shape was considered. The transition to many inclusions greatly complicates the task due to the appearance of a certain number of new parameters - the number of inclusions, the density of inclusions, dimensions, orientation, and others. It is difficult to apply analytical methods to these tasks. Therefore, from the beginning of the 2000s, semi-analytical and numerical methods have been actively applied to problems of this type. In particular, various Fourier transforms ([26]), Radon transforms ([27]) were used.
One of the first works with considered multiple inclusions is the work of Benedikt [28]. The author considers material with the distribution of spherical
inclusions using Fourier transforms. Zhou in work [29] obtained a semi-analytic formula for inclusions of arbitrary shape in an infinite medium. This has expanded the possibilities of solving problems with materials with inclusions. The principle of splitting inclusions of arbitrary shape into cubes was used. It is simplified calculation because analytical and semi-analytical formulas have already been obtained for cubes. At the same time this technique significant increases the number of inclusions. However, this approach will allow to consider arbitrary forms of inclusions in an arbitrary amount.
These results allowed to consider a wide range of problems with inclusions. In particular, research began at the joint science. For example, Shen [30] considered piezoelectric inclusions.
In addition to determining the influence of inclusions on the stress-strain state of a material, an important area of research is the determination of the elastic and strength properties of a material with inclusions and cracks. Note that if the material does not have any inclusions, then such a material is called pure. In the presence of inclusions and cracks, the elastic and strength properties change. New material properties are called effective.
One of the first numerical methods for calculating the effective elastic properties of materials with inclusions was proposed by Budiansky [31]. In the work, the noninteraction approximation between spherical inclusions was used. This method was modified several years later by Mori and Tonaka (1973) [32]. This modified method is called the Mori-Tonaka method. Lee and Paul [33] applied this method to the study of composites with ellipsoidal inclusions. In [34], the Mori - Tonaka method was modified taking into account the viscoplastic properties of the material and inclusions.
To study effective elastic properties, a numerical method is actively used -the "Finite Element Method" [35]. This method has been used in many works. Chen [36] compared the results obtained by the finite element method and the Mori-Tonaka method. Good quantitative agreement of the results is shown.
In the transition from analytical solutions to semi-analytical and numerical, the problem of the finite model size arises. For example, when solving problems on the effective properties of materials with inclusions and cracks, it is necessary to consider a rather large area. At the same time, an increase of the area complicates the calculations. Therefore, periodic boundary conditions are often used. The idea of these conditions is «close» the material system to itself. A simple example would be a cube of material with inclusions. During modeling around this cube, the same, but "imaginary" cubes are created with the same inclusions (Fig. 4). In the calculations, the effect of "imaginary" cubes on the main one is taken into account.
Fig. 4: An example of using periodic boundary conditions.
Using periodic conditions allows to consider samples of smaller sizes while maintaining the correctness and accuracy of the results. A large number of authors used periodic boundary conditions. Advantages of periodic boundary conditions are and showed in many works: Shodja and Roumi [37], Hashemi [38]. Zhou [39] obtained semi-analytical formulas for the effective elastic characteristics of materials with an arbitrary distribution of inclusions using periodic boundary conditions.
It should be noted that at the moment there are a certain number of analytical results for problems with cracks and inclusions that are not simplified and cannot be applied to problems without using computational methods.
However, the fast growth in computing technology and the development of numerical methods have greatly helped in the development of fracture mechanics. Many tasks that were unsolvable 5-10 years ago are now being solved on a laptop in a couple of minutes.
It is should be noted several widely used numerical methods used to solve problems with materials with inclusions and cracks: the finite element method [35], the boundary element method [40], the discrete element method [41], and the particle dynamics method [42]. In addition to the mentioned methods, there are a large number of others. Each of them has its advantages and disadvantages. The application of each separately depends on the features of the consideration problem.
Active development of the material with specific properties and structure leads to the need for knowledge about the influence of inclusions and cracks on the properties of the material. A deep understanding of these phenomena allows to create materials with the desired characteristics. The answer to this question is trying to give modeling of materials with heterogeneities.
Another important area for problem related to material with heterogeneities is the field of oil and gas production. In particular, it is important from an applied point of view to take into account natural cracks during the propagation of the hydraulic fractures. Hydraulic fracture is a specially created crack by active injection of liquid (water with proppant) in the rock. This crack is created in the rock in order to reach the oil and gas deposits. After reaching these deposits, pumping out along the same crack to the surface of minerals is started. For hydraulic fracturing, it is important to understand the direction and possible length of the fracture. Each process of creating such crack costs several million rubles. Natural cracks in the rock can cause a hydraulic fracture to rotate from the reservoir. As a result, large oil
companies invest large financial resources in solving applied problems associated with natural fractures in the rock.
The results of solving problems of inhomogeneities and cracks in materials are not limited to the field of mechanics, but are actively used to solve problems from other fields of science or at the joint science. For example, in biology, the problem of including heterogeneities in bones are solved. In electronics, constructions and materials with piezoelectric inclusions and elements are considered.
Chapter 1 Calculation of effective elastic properties of materials with cracks
The calculation of the effective elastic characteristics of cracked materials is a well-known problem in mechanics. Changes in the elastic characteristics due to the presence of cracks can be significant [43]. In addition, accurate determination of these properties is a key point in many areas, including mechanics [44, 45], geomechanics [46, 47], material science [48].
In the literature, the effective elastic characteristics of a material are determined using analytical and numerical methods. The analytical methods are based on the representation of effective elastic characteristics in the form of a function depending on the crack density [43] (or the crack density tensor [45]). At relatively low crack densities, effective elastic properties can be determined in the noninteraction approximation [49]. In this approximation, it is assumed that the effect of multiple cracks is equal to the sum of the independent effects from each crack. The calculation of effective characteristics is reduced to determining the average opening of a single crack under a given load at infinity. With increasing crack density, the effect of the mutual influence of cracks increases. Therefore, it is necessary to use more accurate approximate methods, such as a differential scheme [50], a self-consistent scheme [51], and a Mori-Tanaka scheme [32]. However, these schemes give different dependences of effective properties on the density of cracks, and the choice of the correct scheme is not always obvious. Moreover, the use of approximation schemes [52] is limited in the case of a uniform distribution of crack orientations (isotropic elastic properties). In addition, at high densities, anisotropic effective elastic properties are usually calculated numerically.
Numerical calculation of the effective properties of a fractured material is a complex task. To calculate the effective characteristics deformation of sample with a large number of cracks under a known load is considered using computer simulation. In the two-dimensional case, sufficient accuracy can be achieved if the
sample contains about 104 cracks. This number can be reduced to 102 by using averaging over realizations for various crack distributions. The use of periodic boundary conditions can also reduce the effect of the final sample size [43]. Deformation of the sample can be carried out, for example, using the finite element method (FEM) or the boundary element method (BEM). FEM requires a very fine mesh for an accurate solution, especially at high crack densities. In the BEM, only boundaries are broken down into elements. This allows you to reduce the number of degrees of freedom in comparison with the FEM. At the same time, the matrix associated with the system of linear equations is dense. In view of this, the choice of one method or another is not obvious.
In the approaches described earlier, cracks are considered in the approximation of plane cuts. In real materials, cracks have a more complex shape. In addition, bridges and contacts between crack surfaces can exist. They can significantly change the effective elastic properties of the material. The first approximation of contact accounting is the consideration of plane contacts ([53], [54]). In these works, the results were obtained for the incremental compliance of cracks in cases of multiple identical flat contacts taking into account the interaction. In [55, 56, 57], results were obtained for an arbitrary contact shape. The similarity and difference between cracks with contacts and free cracks is shown in [55]. The similarity and differences between cracks with contacts and with free cracks were shown in [58]. It is also should be note the review paper [59] on the results associated with flat contacts. Note that in these papers, incremental stiffness and compliance were considered.
In real materials, contacts and bridges between crack surfaces have often the shape, which significantly differs from the flat one. For example, the results of work [60] on the processing of real materials using microtomography show that the bridges form can be columnar (Fig. 5). The effect of the form of contacts and bridges is poorly covered in the literature. One of the works can be cited [61]. In it, the authors considered a two-dimensional formulation and determined the full
compliance of a material with a crack containing column-shaped contacts of constant width.
i_i
500 um
Fig. 5: Column-shaped bridge in quartz. Image obtained using an electron microscope.
Within the framework of this chapter, the results of solving two problems associated with calculation the effective elastic characteristics of materials with cracks are shown. In the first problem fractured material is considered. With noninteraction approximation it was found that the fractured material has orthotropic symmetry for any orientation of the crack. We investigate the effect of taking into account the interaction between cracks on orthotropic symmetry. In second problem, the influence of the shape of the bridges between the crack faces, as well as the shape of the bridges and interaction on the effective elastic characteristics, is investigated.
1.1 Problem statement for calculation effective elastic characteristic material with cracks
A representative volume of material in the form of a square computational sample is considered. The material has straight cracks of the same length. Cracks are randomly located in the sample. The problem is considered in a plane-strain statement.
As a quantitative characteristic of the fracturing of the material, the density of cracks can be used [62]:
P =
N I2
CY CY
S '
(1)
where Ncr is number of cracks in sample, lcr is crack length, S is area of the sample.
The strains caused by the external load oo can be represented by the principle of superposition of strains as a sum:
8 = ^ + 8,
0 + ccr,
(2)
where 8o is deformation in pure material, 8cr is deformation caused by cracks.
Deformations in the material, according to Hooke's law, can be written as
follows:
8 = S' •• a,
(3)
where S' is effective compliance tensor.
In the case of an isotropic material without cracks, the compliance tensor has the form:
Sr
11 E
v E
v
1
\
E E 0 0
0 0
2(1 + v) E
\
(4)
)
where E is Young's modulus, v is Poisson's ratio.
Using the results of [49], strains caused by the cracks in the material can be written as follows:
1
£cr 25,
^(< bi>ni + ni<bi >)l
(5)
where <bt> is average opening of crack i, nt is normal of crack i. Opening of crack can be written as follows:
b = u+ - u-, (6)
u+, u-are displacement of crack surfaces.
Crack opening depends on the external strain load and can be represented as:
£ = S0: + AS: g0 = (50 + AS): G0 = S': G0, (7)
where 50, AS, S' are compliance tensor of pure material, compliance tensor of crack influence, effective compliance tensor.
Considering formula (2), the elastic potential energy can be written in the
form:
1,1 1 f&o) = 2°o:S': G0 = -Gq:SQ: G0 + -Gq:AS: G0
(8)
11 = -Vo:So:°o+^j^(ni^o^<bi>)li= f(G0) + Af,
i
The dependence of the elastic potential energy on the opening makes it possible to analytically determine the components of the compliance tensor in the approximation of noninteraction of cracks.
Non-interaction approximation
The main idea of the non-interaction approximation is that all cracks in the material are independent and do not feel the influence of other cracks. So the average opening is determined from the solution of the single crack problem:
<b,> = (jf)nr*0 (9)
Then, substituting into the equation of potential elastic (8) energy, we obtain: Af(G0) = Q(G0^G0):a, (10)
where a is dimensionless tensor of crack density. This tensor can be written as following:
The tensor a is determined by the orientation, length, and number of cracks in the considered material. Then, comparing equations (8) and (10), it is possible to determine the values of the components of the ductility tensor from cracks:
Here S[ik is Kronecker delta; summation over all indices taking into account permutations: j, k^ I, ij ^ kl.
Thus, the non-interaction approximation allows to analytically calculate the effective properties of a cracked material. However, the values of effective properties calculated using it can significantly differ from the results obtained by other methods.
In particular, the case of a material with a family of parallel cracks was considered in [63]. The calculated components of the stiffness tensor in the noninteraction approximation and using numerical methods are presented in Fig. 6.
(11)
(12)
0.0 0.5 10
Crack density, p
Fig. 6: The components of the compliance tensor for a family of parallel cracks calculated by various methods, the solid line is the results in the noninteraction approximation, the dashed line is the self-consistent scheme, the dash-dot line is the differential scheme, and the points are the boundary element method.
Fig. 6 shows that the calculated elastic characteristics using the noninteraction approximation can differ significantly from the results obtained by other methods. However, the non-interaction approach allows to analytically prove the orthotropy of the compliance tensor for any crack configurations. An open question is the effect of accounting for interaction on the orthotropic properties of the material. To account for the interaction of cracks, the displacement discontinuous method described in the next paragraph is used.
The displacement discontinuous method
In this section the displacement discontinuous method is, and the test problem of opening a single crack is solved.
The displacement discontinuous method was proposed in [63]. This method is the simplest method of the boundary element method [64]. In this method, the
boundaries of the region and cracks are splitted into elements. Elements are characterized by shear opening Dx and normal opening Dy (Fig. 7).
Fig. 7: Element used in displacement discontinuity method with showed opening. The opening of all elements can be written as a column vector:
D =
/Dh\ Dy
DNX
\D?J
(13)
where D\ is shear opening of first element, Dy is normal opening of first element.
Two types of load can be applied to each element: shear and normal. Loads of all elements also form a column vector of loads:
=
X
Uy
N
X
(14)
vN)
1 "1 where 11 is shear loading of first element, ty is normal loading of first element.
The opening column vector and the load column vector are linked through the influence matrix A:
N N
tlx — ^^ AxXDI + ^^ A^Dy ,i — 1,..N
j=1 j=1 (15)
N N ( )
tiy — S^i A^X + ^ jjyDl ,i — l,..N j=i j=i
The components of the influence matrix A are determined by the formulas:
Aijxx = 2G (— sin(2y) fxy" — COS(2y) fxx" — y(sin(2y) fxyy"' —
cos(2y) fyyy"' ))
Aijxy = 2G (—y(cOS(2y) fxyy"' + sin(2y) fyyy''))
(16)
Aijyx = 2G(2 sin2(y) + sin(2y) fxx" — y(cos(2y) fxyy"' +
sin(2y) fyyy''))
Aijyy = 2G (—fxx" + y(sin(2y) fxyy"' — sin(2y) fyyy'')),
where y is angle between elements i, j, G is shear modulus, x,y - local coordinates of element j in the coordinate system associated with element i, f%y - partial derivative with respect to the corresponding variables function f :
(17)
Thus, the system of linear equations (15) relates the opening of the elements D for given loads t.
This method was implemented as a computational module in the C ++ programming language. To validate the computing module, several test problems were solved. One of them is the definition of a single crack opening in an infinite plane under a tensile load applied at infinity.
Example. Single crack in an infinite plane in the field of tensile stresses
The test problem that is used to validate the numerical method is the problem of a single straight crack of length I in an infinite plane under a normal uniform load (Fig. 8).
Fig. 8: The statement of the problem of a single crack in the field of tensile loads. An analytical solution for this problem is given in [62]:
i
^^«izili^-Qy, d8)
where E is Young modulus, v is Poisson's ratio, a is value of external load.
The location of the centers of the elements in this problem is presented in
Fig. 9.
10 f..............................
8 ' 6
4 -2
0 —
-2 -4 --6 -8
-10*..................................
-10 -5 0 5
Fig.9: The configuration of the elements for the problem of tensile a plane with a single crack.
The numerical calculation was carried out with the parameters given in
table 1.
Table. 1: Numerical parameters for the single crack problem.
Parameter Value
Ratio of area size to crack length 20
Number of elements per crack 10
Number of elements on one side 40
10
A comparison of the analytical solution (18) with the calculation results using the discontinuous displacement method is presented in Fig. 10.
Ana ty ties 1 -6EM
I
1 ]
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
r
Fig. 10: Opening of a single crack, normalized to half-length, under the action of a normal tensile load.
The error for the average opening for these parameter values does not exceed 3%. With an increase in the number of elements, the deviation of the average opening from the analytical decreases.
1.2 Calculation of the effective compliance tensor
Using the displacements discontinuous method for a given configuration of cracks at a certain load oo, the average openings on each crack are determined. Using formulas (2) and (7), deformations from cracks and total deformations in the material are determined.
The effective compliance tensor relates the external load applied to the material with cracks and deformations in a representative volume:
£ = So: 0o + AS: Oo = Seff\ Oo (19)
The compliance tensor in a plane-strain formulation contains 9 unknown components:
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.