Развитие трещин в анизотропных электроупругих средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Куликов, Андрей Александрович

• Куликов, Андрей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Куликов, Андрей Александрович

Введение

1 Формула Гриффитса для трещины в пьезоэлектрической среде

1.1 Матричная форма записи определяющих соотношений.

1.2 Сведение к интегро-дифференциальной задаче.

1.3 Степенные решения модельной задачи.

1.4 Скорость высвобождения энергии при продвижении трещины.

2 Сингулярности полей в пьезоэлектрических и электропроводящих телах

2.1 Запись определяющих соотношений в матричной форме.

2.2 Разрешимость задачи в комплексной форме.

2.3 Разрешимость модельной задачи и полиномиальное свойство.

2.4 Сведение к интегро-дифференциальной задаче.

2.5 Степенно-логарифмические решения и общее строение спектра.

2.6 Базисы степенных решений, адаптированные к критериям разрушения

3 Принцип соответствия в плоских задачах о прямолиненом развитии трещин

3.1 Аффинные преобразования в плоской задаче анизотропной теории упругости.

3.2 Алгебраические преобразования задач теории упругости.

3.3 Сингулярные составляющие напряженного состояния вблизи трещи

3.4 Преобразование сингулярных составляющих при замене координат.

3.5 Вариационно-асимптотическая модель квазистатического роста тре -щины.

3.6 Принцип соответствия.

3.7 Инвариантные интегралы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие трещин в анизотропных электроупругих средах»

Потребность применения пьезокерамических преобразователей в ультраакустике, радиоэлектронике, измерительной и вычислительной технике привело в последние десятилетия к интенсивному развитию раздела механики деформируемого твердого тела, получившему название электроупругость. Данное направление, беря за основу использование физических свойств естественных кристаллов и керамик искуственного происхождения, изучает механику связанных механических и электрических полей в соответствующих элементах конструкций.

После открытия пьезоэффекта братьями Жаком и Пьером Кюри и классического трактата В. Фойгта [89], теория электроупругости получила развитие в трудах: У. Мэзон [41] 1952г., Дж. Най [61] 1960г., В. Новадкий [62] 1961г., Д. Бер-линкур, Д. Керран, Г. Жаффе [10] 1966г., A.A. Ильюшин [21] 1978г., Л.И; Седов [68] 1983г. и др. Дальнейшее развитие механики связанных полей в пьезоэлек-триках связано с постановкой граничных задач электроупругости и разработкой методов их решения. Здесь стоит упомянуть работы следующих авторов: Дж. Барроут [8], Б.А. Кудрявцев [30], В.М. Баженов, Г.В. Куценко, А.Ф. Улитко [6], A.C. Космодамианский, А.П. Кравченко, В.Н. Ложкин [26], И.Б. Половинкина, А.Ф. Улитко [65], Z.T. Kurlandska [82], A.B. Белоконь, И.И. Воронич [9], Б.А. Кудрявцев, В.З. Партон, В.И. Ракитин [31], Б.А. Кудрявцев, В.И. Ракитин [33], А.Ф. Улитко [70], Б.А. Кудрявцев, В.З. Партон, H.A. Сеник [32], В.А. Кокунов, Б.А. Кудрявцев, H.A. Сеник [23], А.О. Ватульян, В.Л. Кубликов [13], В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, H.A. Шульга [18], Y.E. Рак [87], С.А. Амбарцумян, М.В. Белубекян [3], Z. Suo, С.M. Kuo, D.M. Barnett, J.R. Willis [88] и др. Достаточно полный обзор статей, опубликованных до 1980 года, содержится в работе [29].

Как и в обычной механике деформируемого твердого тела, наиболее просто поддаются анализу двумерные статические задачи электроупругости о плоской и антиплоской деформации тел, а также об изгибе пластин. Переход к комплексным переменным позволяет свести двумерные постановки электроупругости к соответствующим граничным задачам теории аналитических функций. В этом случае механические и электрические поля выражаются, например, для пьезокерамик, через три аналитические функции своих комплексных переменных. Указанный метод использовался различными авторами (см., например, работы [14, 17, 27] и др.). Так в работе [26] на основе методов, развитых в [27], изучена концентрация напряжений на контуре эллиптического отверстия в пьезокерамической полуплоскости при действии на ее границе точечного электрического заряда. Краевая задача механики разрушения для прямолинейной трещины на границе пьезоэлектрика с проводником решена в [31]. В монографии [17] построены фундаментальные решения статических задач электроупругости для пьезокерамической плоскости и полуплоскости, а также функции Грина для неограниченной пластины, ослабленной прямолинейной трещиной или жестким линейным включением.

При рассмотрении граничных задач электроупругости для с трещинами, которые в недеформированном состоянии ассоциируются с математическими разрезами, принципиальное значение имеет правильная постановка условий электрического контакта берегов разреза. Этот вопрос подробно обсуждается в статьях [65, 88].

Практический интерес представляет изучение сопряженных механических и электрических полей в составных пластинах, состоящих из двух разнородных пье-зокерамических полуплоскостей, непрерывно скрепленных вдоль общей прямолинейной границы. Функция Грина для соответствующей двумерной задаче электроупругости когда на границе раздела сред имеется межфазная трещина, построена в работе [71]. Существенно, что как и в классической теории упругости, в окрестности вершин трещины имеется степенная особенность, усиленная осцилляцией [66, 74]. Обзор исследований межфазной трещины приведен в статье [19], ряд важных результатов в этом направлении получен в работах [22, 28, 31, 66] и ДР

Критерий разрушения электроупругого тела, инициированного концентрацией напряженности электрического поля на полях электродов, предложен в работе [7]. На основе электромеханических аналогий использованы соотношения механики разрушения применительно к электрическому пробою диэлектрика. Получено соотношение, согласно которому при электромеханическом разрушении электроупругого диэлектрика поверхностная энергия состоит из механической и электрической составляющих, которые в частном случае содержат критерий разрушения упругой среды и критерий электрического пробоя диэлектрика. Энергетический критерий разрушения пьезоэлектрического тела, ослабленного трещиной, построен в работах [31, 33]. Однако неточности вычислений (см. далее) допущенные при построении критериев разрушения ставят под сомнение полученные результаты.

Аналитических вычисления сингулярностей полей напряжений вблизи угловых вырезов в плоских телах, проведенные в рамках линеаризированной теории упругости, обычной или усложненной (например, континуум Коссера), или линейной теории пластин (модели Кирхгофа и др.), указывают сингулярность 0(гт~х/2) в вершине О трещины; здесь г — расстояние до точки О, а 2т — порядок дифференциального уравнения. Это обстоятельство послужило отправным пунктом для создания большинства методов прогнозирования разрушения в механике трещин. Между тем, прямые расчеты возможны лишь для изотропных сред или ор-тотропных, но при специальном расположении трещин. Для общих формально самосопряженных эллиптических в смысле Дуглиса-Ниренберга систем с постоянными коэффициентами исследования поведения решений в вершинах разреза были впервые проведены в работе [45]. Именно, при требовании полиномиального свойства [50] системы уравнений и знакоопределенности приращения функционала энергии вследствие роста трещины, было установлено, что показатели Л син-гулярностей решений гхФ(<р) являются либо целыми числами А 6 Ъ, либо имеют вид А = 1/2 + к + 1ця, где г — мнимая единица, к £ q= 1,., ф, а {¿¿1,., /¿д} — набор вещественных чисел, не зависящих от к. Помимо этого было проверено, что для всех показателей, кроме, быть может, А = 0,.,2(т — 1), нет сингулярных решений гАФ(</?,к^г), полиномиально зависящих от логарифма. Доказательство этих фактов опиралось на конструкции известные в механике трещин, в частности, формулу Гриффитса для приращения потенциальной энергии деформации, которые удалось приспособить к задачам Дирихле и Неймана для общих самосопряженных систем дифференциальных уравнений.

В статье [54] было отмечено, что все результаты и доказательства из [45] сохраняются для трещины на стыке двух упругих сред. Как известно [81], при определенных соотношениях между постоянными Ламе упругих изотропных сред, напряжения действительно приобретают осцилляции около кончика разреза, что соответствует ненулевым мнимым частям цч = 1т А показателей А. Для трещины в однородном теле показатели А вещественные — этот факт, не поддающийся проверке при помощи метода [45] в случае произвольной анизотропии, установлен в работе [80] на основе анализа асимптотики решений интегро-дифференциальных уравнений, эквивалентных обычной краевой задаче о трещине. Принципиально новый подход и более общие результаты содержатся в публикации [78], где рассмотрены общие, не обязательно самосопряженные, эллиптические системы дифференциальных уравнений и доказано, что показатели степенных решений являются целыми или полуцелыми в том случае, когда на берегах разреза поставлены одинаковые краевые условия. Вместе с тем, метод, развитый в [78], непосредственно неприменим для систем с кусочно-постоянными коэффициентами, претерпевающими разрывы на линии разреза.

В настоящей диссертации исследуются сингулярности напряжений в вершине трещины на стыке двух пьезоэлектрических сред как при наличии электрического контакта берегов трещины (гл.1), так и в случае их электрической изолированности (гл.2). Конкретные вычисления сингулярностей упругих и электрических полей проведены лишь в частных случаях (см. §6 [63]), а методы [78] и [45, 54] не работают — последний из-за того, что по своей физической природе пьезоэлектрическая задача не может быть переформулирована как минимизационная. Тем не менее, в разд. 1.3 (разд. 2.5) доказано, что показатели сингулярностей в пьезоэлектрической задаче остаются такими же, как и в чисто упругой. Для этого используется разработанный в [51] прием устранения электрического потенциала и эквивалентное сведение дифференциальной задачи к интегро-дифференциальной, изложенное в разд. 1.2. Решение последней задачи доставляет минимум некоторому энергетическому функционалу (не физическому!) и допускает исследование при помощи метода [45, 54].

Общая теория эллиптических задач в областях с кусочно гладкими границами (см. ключевые работы [24, 38, 39] и, например, книгу [83]) позволяет для ответов на большинство вопросов ограничиться изучением модельной задачи о полубесконечной трещине А = {х = {xi,x2) 6 К2 : Xi ^ 0, х2 = 0} на границе двух однородных полуплоскостей = {х : ±£2 >0}. Переход к искривленным трещинам в неоднородном теле с гладкими упругими модулями не изменяет множество показателей Л и даже не приводит к возникновению дополнительных множителей log г (по поводу логарифмов см. [79]). Подчеркнем, что полученные сведения о сингулярностях решений касаются и трехмерных тел с трещинами, имеющими гладкие фронты — при интерпретации последних как ребер достаточно воспользоваться общими результатами [55, 83] и др.

Результаты анализа сингулярностей упругих и электрических полей применяются для прогнозирования разрушения в рамках энергетического критерия Гриф-фитса, оперирующего с полной (потенциальная + поверхстная) энергией тела. Как уже упоминалось ранее, атрибуты классической механики трещин передаются любой самосопряженной системе. При рассмотрении удлинения трещины, в том числе с изломом, как сингулярного возмущения области, асимптотические формулы для приращения энергетических функционалов для линейных краевых задач были установлены на математическом уровне строгости в [37]. Упомянем также работу [69], где была получена аналогичная формула в нелинейной задаче Синьорини о прямолинейно растущей трещине при возможном контакте берегов.

При взаимодействии полей различной физической природы имеется несколько термодинамических характеристик системы, в частности, свободная энергия и энтальпия (см. [34] и др., а также далее разд. 1.1). Каждой из названных характеристик отвечает своя реализация пьезоэлектрической задачи: в первом случае система дифференциальных уравнений не является формально самосопряженной, а во втором — является. Таким образом, результаты [37] обеспечивают прямое вычисление приращения квадратичной формы, отвечающей энтальпии, при развитии трещины вдоль линии раздела сред (такое предположение о характере разрушения физически осмыслено). Связь (1.1.9) энтальпии и свободной энергии, а также интегральные представления (1.4.15) коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) позволяют приспособить асимптотическую формулу для потенциальной энергии. При этом полученное выражение (1.4.16) для скорости высвобождения энергии качественно отличается от случая чисто упругой задачи. Во-первых, оно перестает быть локальной характеристикой полей в устье трещины, так как столбцы КИН Км и порожденные механическими и электрическими воздействиями, входят в формулу (1.4.16) по-отдельности. Во-вторых, скорость высвобождения энергии равна разности квадратичных форм от К™ и Щ, что объясняет экспериментально наблюдаемую возможность управлять процессом разрушения, в частности, останавливать его путем наложения внешних электрических полей. Подоплека перечисленных особенностей формулы Гриффитса для трещины в пьезоэлектрическом теле кроется в отсутствии формальной самосопряженности краевой задачи и в незамкнутости системы, излучающей вовне электромагнитную энергию. Таким образом, энергетический критерий Гриффитса разрушения хрупких пьезоэлектрических тел не эквивалентен силовым критериям Ирвина и Новожилова, локальным по своей природе. По той же причине инвариантный интеграл Эшелби-Черепанова-Райса (см. [75, 77, 86]) для пьезоэлектрической среды не вычисляет скорость (1.4.18) высвобождения энергии при продвижении трещины.

Полученные результаты и выводы противоречат формулам, опубликованным в гл.6 книги [63], однако внимательная проверка выкладок обнаруживает просчеты на стр. 296 [63]: ошибочное определение работы (лишний множитель 1/2) и неправильное интегрирование по частям в соотношении взаимности. Устранение названных изъянов возвращает упущенный член в формулу (33.23) из [63].

Заключительная 3 глава посвящена изучению принципов соответствия в плоских задачах о прямолином развитии трещин в чисто упругих телах. Установлено, что произвольно анизотропный материал алгебраически эквивалентен ортотроп-ному с осью симметрии четвертого порядка. Другими словами, для любой матрицы А упругих постоянных найдется преобразование т из (3.2.2), подчиненное условию с^ т = 1 и такое, что матрица А = (А^) из (3.2.3) соответствует орто-тропному материалу с осью симметрии четвертого порядка, т.е.

АЦ=А22, А31=А32 = 0.

Кроме того, можно соблюсти дополнительное условие Ац > А12 + А33.

Введенные алгебраические преобразования привлекаются для изучения особенностей вблизи вершин трещин и угловых вырезов — замена координат (3.2.2) не влияет на показатели Л сингулярностей (разд. 3.6). В то же время направление и длина трещины-отрезка изменяются, однако такие энергетические характеристики, как упругая энергия и инвариантные интегралы, приобретают разве лишь постоянные множители (разд. 3.7). Это обстоятельство указывает на возможное сходство квазистатических процессов разрушения для алгебраически эквивалентных сред и в разд. 3.5 устанавливается, что вариационно-асимптотическая модель [47, 46, 5] этих процессов в алгебраически эквивалентных телах С и С приводят к подобным решениям. Значения предельных нагрузок, вызывающих рост трещин, связывают посредством критических значений К\с и Кхс КИН, после чего каких-либо свободных констант для подгонки не остается. Удивительно то, что вариационное неравенство, описывающее рост трещин, содержит разнообразные характеристики как самого тела с трещиной, так и наведенного в нем напряженного состояния (разд. 3.3), однако алгебраический пересчет этих характеристик (разд. 3.4) оказывается согласованным с их позициями в математической постановке задачи разрушения.

Модели [46, 5] относятся к прямолинейному росту трещины, вызванному разрывной модой напряженного состояния, и поэтому детализированная проверка принципа соответствия производится при условиях упругой и геометрической симметрии тел СиС. В принципе упругая и прочностная анизотропии тел независимы (см. [64, 72] и др.), т.е. распространение принципа соответствия на анизотропные тела требует предположений о связи их прочностных свойств посредством алгебраических преобразований. Если случилось, что такая связь имеет место, то из принципа соответствия выводится, например, условие прямолинейного развития трещины (разд. 3.6). Отметим, что преобразования (3.2.2) и (3.2.3)-(3.2.5) приводят к перемешиванию мод (см. далее формулы (3.4.3) и (3.4.7)) и поэтому названное условие (3.6.1) содержит линейную комбинацию КИН К\ и К2 и в случае произвольной анизотропии отличается от очевидного на первый взгляд равенства К2 = 0.

Результаты диссертации докладывались автором на конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике" (Ростов-на-Дону, декабрь 2001), на семинарах кафедры теории упругости Санкт-Петербургского Государственного университета под руководством академика Н.Ф. Морозова (сентябрь 2002, февраль 2003, май 2004), а также на семинаре института Проблем машиноведения под руководством академика Н.Ф. Морозова (Санкт-Петербург, июнь 2004). Они опубликованы в пяти работах [90] - [94].

Личный вклад соискателя отражен в положениях, выносимых на защиту:

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Куликов, Андрей Александрович, 2004 год

1. Алфутова Н.Б., Мовчан А.Б., Назаров С.А. Алгебраическая эквивалентность плоских задач ортотропных и анизотропных сред. // Вестн. ЛГУ. Сер. 1. Вып. 3. 1991. №15. С. 64-68.

2. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин: Прочность, устойчивость и колебания. // М.: Наук. 1987. 360 с.

3. Амбарцумян С. А., Белубекян М.В. Некоторые задачи электромагнитоу пру гости пластин. // Ереван: Изд-во ЕГУ. 1991. 143 с.

4. Аргатов И.И., Назаров С.А. Высвобождение энергии при изломе трещины в плоском анизотропном теле. // Прикл. матем. и механика. Вып. 3. 2002. Т. 66. С. 502-514.

5. Аргатов И.И., Назаров С.А. Сравнение критериев Гриффитса и Ирвина для несемметрично растущей трещины в плоскости. // Физико-химическая механика материалов. 2000. Т. 36. №4. С. 77-82.

6. Баженов В.М., Куценко Г.В., Улитко А.Ф. Распространение плоских электроупругих волн в пьезоэлектрической среде. // Докл. АН УССР. Сер. А. 1977. №2. С. 124-128.

7. Бардэокас Д., Кудрявцев Б.А., Сеник H.A. О критериях электромеханического разрушения пьезоэлектриков, инициируемого краями электродов. // Пробл. прочности. 1994. №7. С. 42-46.

8. Барроут Дж. Введение в физику сегнетоэлектрических явлений. // М.: Мир. 1970. 343 с.

9. Белоконъ A.B., Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории электроупругих тел. // Актуальные пробл. механики деформируемых сред. 1979. С. 53-67.

10. Берлинкур Д., Керран Д., Жаффе Г. Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях. // М.: Мир. Физическая акустика. 1966. Т. 1. Методы и приборы ульразвуковых исследований. С. 204-326.

11. Боган Ю.А. Асимптотическое поведение краевых задач для упругого кольца, армированного очень жесткими волокнами. // Ж. прикладной механики и технической физики. 1980. №6. С. 118-122.

12. Боган Ю.А. Некоторые вариационные задачи с малым параметром в теории упругости. // Прикл. мат. и мех. Вып. 4. 1985. Т. 49. С. 604-607.

13. Ватулъян А.О., Кубликов B.JI. О граничных интегральных уравнениях в электроупругости. // Прикл. мат. и мех. Вып. 6. 1989. Т. 53. С. 1037-1041.

14. Вековищева И.А. Плоская задача теории электроупругости для пьезоэлектрической пластинки. // Прикл. мех. 1975. Т. 11. №2. С. 85-89.

15. Голъдштейн Р.В., Салганик Р.Л. О трещинах, распространяющихся между плоскими пластинками на прямолинейной границе склейки. // ПМТФ. 1963. №5. С. 62-68.

16. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теортю линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. // М.: Наука. 1965. 448 с.

17. Григолюк Э.И., Филъштинский Л. А. Регулярные кусочно-однородные структуры с дефектами. // М.: Физ.-мат. литература. 1994. 336 с.

18. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шулъга H.A. Механика связных полей в элементах конструкций. // Киев: Наук, думка. 1989. 280 с.

19. Дундурс Я., Комниноу М. Обзор и перспективы исследования межфазной трещины. // Рига: Тр. 1-го сов.-амер. симпоз. Разрушение композитных материалов. 1979. С. 78-87.

20. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. // М.: Наука. 1989. 336 с.

21. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. 3-е изд., перераб. и доп. // М.: Изд-во МГУ. 1978. 288 с.

22. Ингленд Дж. Трещина между двумя разными средами. // Тр. Амер. Об-ва инженеров-механиков. Прикл. мех. 1965. Т.32. №2. С. 165-168.

23. Кокунов В.А., Кудрявцев Б.А., Сеник H.A. Плоская задача электроупругости для пьезоэлектрического слоя с периодической системой электродов на поверхности. // Прикл. мат. и мех. 1985. Т. 49. №3. С. 489-491.

24. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. // Труды московск. матем. общества. 1967. Т. 16. С. 209-292.

25. Кондратьев В.А., Олейник O.A. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенство Корна. // Успехи матем. наук. 1988. Т. 43. №5. С. 55-98.

26. Космодамианский A.C., Кравченко А.П., Ложкин В.Н. Действие точечного электрического заряда на границе пьезоэлектрической полуплоскости, ослабленной эллиптическим отверстием. // Изв. АН АрмССР. Сер. " Механика". 1977. Т. 30. №1. С. 13-20.

27. Космодамианский A.C., Ложкин В.Н. Обобщенное плоское напряженное состояние тонких пьезоэлектрических пластин. // Прикл. мех. 1975. Т. 11. №5. С. 45-53.

28. Кривой А.Ф., Радиолло Н.В. Особенности поля напряжений возле включений в составной анизотропной плоскости. // Изв. АН СССР. Мех. твердого тела. 1984. т. С. 84-92.

29. Кудрявцев Б.А. Механика пьезоэлектрических материалов. // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Сер. "Механика твердого тела". 1978. Т. 11. С. 5-66.

30. Кудрявцев Б.А. Электроупругое состояние полуплоскости из пьезокерамики с двумя граничными элементами. // Пробл. прочности. 1982. №7. С. 56-59.

31. Кудрявцев Б.А., Партой В.З., Ракитин В.И. Механика разрушения пьезоэлектрических материалов. Прямолинейная тунельная трещина на границе с проводником. // Прикл. мат. и мех. 1975. Т. 39. №1. С. 149-159.

32. Кудрявцев Б.А., Партон В.З., Сеник H.A. Механические модели для электронного машиностроения. // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Сер. " Механика твердого тела". 1984. Т. 17. С. 3-62.

33. Кудрявцев Б.А., Ракитин В.И. Трещина Гриффитса в пьезоэлектрической среде. // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1979. №1. С. 125-132.

34. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. // М.: Наука. 1992. 664 с.

35. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. // М.: Гостехиздат. 1978. 463 с.

36. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. // М.: Наука. 1977. 416 с.

37. Мазъя В.Г., Назаров С. А. Асимптотика интегралов энергии при малых возмущениях границы вблизи угловых и конических точек. // Труды московского матем. общества. 1987. Т. 50. С. 79-129.

38. Мазъя В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в области с коническими точками. // Math. Nachr. 1977. Bd. 76. S. 29-60.

39. Мазъя В.Г., Пламеневский Б.А. Оценки в Lp и в классах Гельдера и принцип максимума Миранда-Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками на границе. // Math. Nachr. 1977. Bd. 77. S. 25-82.

40. Морозов Е.М. Вариационный принцип в механике разрушений. // ДАН СССР. 1969. Т. 184. т. С. 1308-1311.

41. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применение в ультраакустике. // М.: Изд-во иностр. лит. 1952. 447 с.

42. Назаров С.А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. // Новосибирск: Научная книга. 2001. 408 с.

43. Назаров С.А. Асимптотический анализ произвольно анизотропной пластины переменной толщины (пологой оболочки). // Мат. сборник. 2000. Т. 191. №7. С. 129-159.

44. Назаров С.А. Весовые неравенства Корна на параболоидальных областях. // Матем. заметки. 1997. Т. 62. №5. С. 751-765 (исправление: Матем. заметки. 1998. Т. 63. №4. С. 640).

45. Назаров С.А. Весовые функции и инвариантные интегралы. // Вычислительная механика деформируемого твердого тела. Вып. 1. 1990. С. 17-31.

46. Назаров С.А. Взаимодействие трещин при хрупком разрушении. Силовой и энергетический подходы. // Прикл. мат. и мех. 2000. Т. 64. №3. С. 484-496.

47. Назаров С.А. Вывод вариационного неравенства для формы малого приращения трещины отрыва. // Мех. тв. тела. 1989. №2. С. 158-160.

48. Назаров С. А. Локальная устойчивость и неустойчивость трещин нормального отрыва. // Механика твердого тела. 1988. №3. С. 124-129.

49. Назаров С.А. Несамосопряженные эллиптические задачи с полиномиальным свойством в областях, имеющих цилиндрические выходы на бесконечность. // Записки научн. семинаров Петербург, отделения матем. института РАН. 1997. Т. 249. С. 212-231.

50. Назаров С.А. Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов. // Успехи матем. наук. 1999. Т. 54. №5. С. 77-142.

51. Назаров С.А. Равномерные оценки остатков в асимптотических разложениях решений задачи о собственных колебаниях пьезоэлектрической пластины. //Новосибирск: Научн. книга. Проблемы матем. анализа. Вып. 25. 2003. С. 99188.

52. Назаров С.А. Самосопряженные эллиптические краевые задачи. Полиномиальное свойство и формально положительные операторы. // СПб: изд-во СПб-ГУ. Проблемы матем. анализа. Вып. 16. 1997. С. 167-192.

53. Назаров С.А. Трещина на стыке анизотропных тел. // Прикладная матем. и механика. 1998. Т. 62. №2. С. 272-278.

54. Назаров С.А. Трещина на стыке анизотропных тел. Сингулярности напряжений и инвариантные интегралы. // Прикладная матем. и механика. 1998. Т. 62. №3. С. 489-502.

55. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Задача Неймана для самосопряженных эллиптических систем в области с кусочно гладкой границей. // Труды ленинградского матем. общества. 1990. Т. 1. С. 174-211.

56. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Обобщенная формула Грина для эллиптических задач в областях с ребрами. // СПб: изд-во СПбГУ. Проблемы матем. анализа. Вып. 13. 1992. С. 106-147.

57. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. // М.: Наук. 1991. 336 с.

58. Назаров С.А., Полякова O.P. Критерии разрушения, асимптотические условия в вершинах трещин и самосопряженные расширения оператора Ламе. // Труды московского матем. общества. 1996. Т. 57. С. 16-75.

59. Назаров С.А., Слуцкий A.C. Принцип Сен-Венана для параболоидальных упругих тел. // СПб: изд-во СПбГУ. Проблемы матем. анализа. Вып. 18. 1999. С. 133-180.

60. Назаров С.А., Шойхет Б.А. Об эллиптичности плоской задачи теории упругости в напряжениях. // Изв. вузов. Математика. 1988. №1. С. 57-66.

61. Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц. // М.: Изд-во иностр. лит. 1960. 388 с.

62. Новацкий В. Теория упругости. // М.: Мир. 1986. 160 с.

63. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электроупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. // М.: Наука. 1988. 439 с.

64. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. // М.: Наука. 1974. 416 с.

65. Половинкина И.Б., Улитко А.Ф. К теории равновесия пьезокерамических тел с трещинами. // Тепловые напряжения в элементах конструкций. Вып. 18. 1978. С. 10-17.

66. Райе Дж., Си. Плоские задачи о трещинах, расположенных на границе раздела двух различных сред. // Тр. Амер. Об-ва инженеров-механиков. Прикл. мех. 1965. Т.32. №. С. 186-192.

67. Ройтберг Я.А., Шефтелъ З.Г. Общие граничные задачи для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами. // Доклады АН СССР. 1963. Т. 148. №5. С. 1034-1037.

68. Седов Л.И. Механика сплошной среды. // М.: Наука. 1983. Т. 1, 2. 536 е., 584 с.

69. Соколовски Я., Хлуднев А.М. О производной функционала энергии по длине трещины в задачах теории упругости. // ПММ. 2000. Т. 64. №3. С. 467-475.

70. Улитко А.Ф. Методы собственных вектор функций в пространственных задачах теории упругости. // К.: Наук, думка. 1979. 261 с.

71. Филъштинский Л.А., Филъштинский M.JI. Функция Грина для составной пьезокерамической плоскости с межфазной трещиной. // Прикл. мат. и мех. Вып. 2. 1994. Т. 58. С. 159-166.

72. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. // М.: Наук. 1974. 640 с.

73. Шойхет Б.А. Об асимптотически точных уравнениях тонких плит сложной структуры. // Прикл. мат. и мех. 1973. Т. 37. №5. С. 914-924.

74. Эрдоган Ф. Распространение напряжений в связанных разнородных материалах с трещинами. // Тр. Амер. Об-ва инженеров-механиков. Прикл. мех. 1965. Т. 32. т. С. 169-177.

75. Эшелби Дж. Континиальная теория дислокаций. // М.: Изд-во Литер. 1963. 156 с.

76. Bueckner H.F. A novel principle for the computation of stress intensity factor. // ZAMM. 1976. V. 50. P. 529-546.

77. Cherepanov G.P. The propagation of cracks in a continuous medium. // Prikl. Mekh. 1967. V. 31. P. 476-488.

78. Costabel M., Dauge M. Crack singularities for general elliptic systems. // Math. Nach. 2002. V. 235. P. 29-49.

79. Costabel M., Dauge M., Duduchava R. Asymptotics without logarithmic terms for crack problems. // Communications in Partial Differential Equations. 2003. V. 28. P. 869-926.

80. Duduchava R., Wendland W. L. The Wiener-Hopf method for systems of pseudodifferential equations with an application to crack problems. // Integral Equations Operator Theory. 1995. V. 23. №3. P. 294-335.

81. Dundurs J. Effect of elastic constants on stress in a composite under plane deformations. // J. Compos. Mater. 1967. V. 1. №3. P. 310-322.

82. Kurlandska Z. T. Influence of electromagnetic field on crack propagation in elastic dielectric. // Bui. Acad. Polon., Ser. sci. techniqyes. 1978. V. 28. P. 497 971].

83. Nazarov S.A., Plamenevsky B.A. Elliptic problems in domains with piecewise smooth boundaries. // Berlin, New York: Walter de Gruyter. 1994. P. 524.

84. Necas J. Les methodes directes en theories des equations elliptiques. // Paris-Prague: Masson-Academia. 1967. P. 345.

85. Nemat-Nasser S., Sumi Y., Keer L.M. Unstable grouth of tension cracks in brittle solids: Stable and unstable bifurcations, snap-grouth and imperfection sensitivity. // Int. J. Solids and Struct. 1980. V. 16. №11. P. 1017-1033.

86. Rice J.R. A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks. // Trans. ASME. J. Appl. Mech. Ser. E. 1968. V. 35. P. 379-386.

87. Pak Y.E. Crack extension forse in a piezoelectric material. // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1990. V. 57. №3. P. 647-653.

88. Suo Z., Kuo C.M., Barnett D.M., Willis J.R. Fracture mechanics for piezoelectric ceramics. // J. Mech. Phys. Solids. 1992. V. 40. №4. P. 739-765.

89. Voigt W. Lehbuch der Kristall-Physik. // Leipzig: Teubner. 1910. P. 247.Работы автора по теме диссертации :

90. Куликов A.A. Трещина на стыке пьезоэлектрических сред. // СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. Седьмая Санкт-Петербургская Ассамблея молодых ученых и специалистов. 2002. С. 21.

91. Куликов A.A., Назаров С.А. Инвариантные характеристики аффинного преобразования. // Известия вузов, Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2001. С. 110-111.

92. Куликов A.A., Назаров С.А. Принцип соответствия в плоских задачах о прямолинейном развитии трещин. // Механика твердого тела. 2004. №1. С. 77-87.

93. Куликов A.A., Назаров С.А. Скорость высвобождения энергии при продвижении трещины в пьезоэлектрической среде. // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. Вып. 4. 2004. №24. С. 64-69.

94. Куликов A.A., Назаров С.А., Нарбут М.А. Аффинные преобразования в плоской задаче анизотропной теории упругости. // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. Вып. 2. 2000. №8. С. 91-95.