Метод гладких возмущений в задачах теории упругости с односторонними ограничениями для областей с негладкими границами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Рудой, Евгений Михайлович

• Рудой, Евгений Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Рудой, Евгений Михайлович

Введение

1 Обозначения и предварительные сведения

1.1 Функциональные пространства.

1.2 Область с трещиной.

1.3 Неравенства Корна.

1.4 Минимизация выпуклых функционалов.

1.5 Математические модели упругих тел с трещинами и жесткими включениями.

1.5.1 Уравнения состояния в теории упругости.

1.5.2 Инфинитезимальные жесткие перемещения.

1.5.3 Обобщенные формулы Грина.

1.5.4 О краевых условиях в задачах теории упругости

1.5.5 Задача равновесия упругого тела с трещиной с условием непроникания ее берегов.

1.5.6 Задача равновесия упругого тела с жестким включением и трещиной, лежащей на границе раздела

1.5.7 Задача равновесия пластины Кирхгофа-Лява с вертикальной трещиной при условии непроникания ее берегов.

2 Задачи теории упругости с односторонними ограничениями на границе

2.1 Задача о криволинейной трещине в двумерном теле

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Вспомогательные утверждения и формулы.

2.1.3 Сходимость решений.

2.1.4 Вывод формулы для производной функционала энергии по длине трещины.

2.1.5 Анализ полученной формулы.

2.2 Квазистатический рост поверхностной трещины в трехмерных телах.

2.2.1 Задача равновесия.

2.2.2 Преобразование координат и производных

2.2.3 Сходимость решений.

2.2.4 Формула для производной функционала энергии по параметру возмущения трещины.

2.3 Анализ чувствительности формы трещины с условием непроникания

2.3.1 Невозмущенная задачи

2.3.2 Возмущенная задача.

2.3.3 Асимптотические представления операторов возмущенной задачи.

2.3.4 Сходимость решений семейства возмущенных задач к решению невозмущенной задачи.

2.3.5 Производная функционала энергии по форме области

2.3.6 Анализ формулы для производной функционала энергии

2.3.7 Инвариантные интегралы.

2.4 Выбор оптимальных форм поверхностных трещин в трехмерных упругих телах.

2.4.1 Формулировка задачи равновесия

2.4.2 Выбор оптимальной формы трещины.

2.4.3 Задача оптимального управления фронтом трещины

2.5 Задача об одностороннем контакте пластины с тонким упругим препятствием

2.5.1 Постановка задачи.

2.5.2 Дифференцируемость функционала энергии по длине отслоившегося участка.

2.5.3 Предельный переход при а —> оо.

3 Краевые задачи для уравнений четвертого порядка, описывающих поведение упругих пластин

3.1 Асимптотика функционала энергии для смешанной краевой задачи четвертого порядка в области с разрезом

3.1.1 Формулировка возмущенной и невозмущенной задач

3.1.2 Вспомогательные утверждения и формулы.

3.1.3 Производная функционала энергии

3.2 Инвариантные интегралы для задачи равновесия пластины с трещиной.

3.2.1 Задача равновесия.

3.2.2 Возмущение области

3.2.3 Вспомогательные утверждения и формулы.

3.2.4 Формула для производной функционала энергии

3.2.5 Общий вид инвариантного интеграла.

3.2.6 Возмущение всего разреза.

3.2.7 Возмущение вершины разреза

4 Задачи теории упругости для моделей упругих тел с жесткими включениями и трещинами

4.1 Формула Гриффитса и интеграл Черепанова-Райса для пластины с жестким включением и трещиной.

4.1.1 Постановка задачи.

4.1.2 Формула Гриффитса.

4.1.3 Представление производной функционала энергии в виде инвариантного интеграла.

4.2 Дифференцирование функционалов энергии для моделей упругих тел с трещинами и жесткими включениями. Двухмерный случай.

4.2.1 Формулировка проблемы

4.2.2 Вспомогательные утверждения.

4.2.3 Производная функционала энергии

4.2.4 Квазистатический рост трещин.

4.2.5 Инвариантные интегралы в плоской задаче теории упругости для тел с жесткими включениями и трещинами

4.2.6 Возмущение жесткого включения

4.2.7 Возмущение границы жесткого включения.

4.2.8 Связь между и интегралами.

4.3 Дифференцирование функционалов энергии в трехмерной теории упругости для тел с жесткими включениями

4.3.1 Постановка задачи.

4.3.2 Вспомогательные результаты.

4.3.3 Производная функционала энергии

4.3.4 Квазистатический рост поверхностной трещины

4.4 Производная по форме области функционала энергии в теории упругости для тел с жесткими включениями и трещинами с условием непроникания.

4.4.1 Возмущенная и невозмущенная задачи равновесия

4.4.2 Асимптотические формулы.

4.4.3 Вспомогательные утверждения.

4.4.4 Вычисление производной интеграла энергии

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод гладких возмущений в задачах теории упругости с односторонними ограничениями для областей с негладкими границами»

Теория упругости играет важную роль с точки зрения приложений. Актуальность рассматриваемых задач в рамках теории упругости обусловлена их многочисленными приложениями в технике и технологиях (горное дело, инженерный дизайн, оценка прочности материалов и пр.). Среди широкого спектра проблем механики сплошных сред в настоящее время одним из наиболее активно развивающихся направлений является механика разрушения. Основной круг проблем механики разрушения связан с изучением несущей способности материалов с уже существующими различного рода включениями такими, как трещины, разрезы, жесткие включения. Классическая теория трещин имеет уже почти вековую историю. К одной из фундаментальных работ можно отнести статью Гриффитса [162], в которой он заложил основы теории хрупкого разрушения упругих тел. Основы классической теории трещин можно найти в работах [4, 14, 17, 24, 25, 39, 49, 54, 71, 93, 95, 98, 120, 137, 142, 155] и ДР

Механика разрушения тесно связано с краевыми задачами. Моделирование процессов в виде краевых задач позволяет наиболее точно описать поведение тел при разрушении, сформулировать критерии прочности. В классическом подходе к решению краевых задач с включениями рассматривается линейная математическая модель, в рамках которой на границе, соответствующей трещине, задаются линейные краевые условия, как правило, однородные условия Неймана.

Так как задача теории трещин рассматривается в негладкой области, это приводит к тому, что решения обладают сингулярными особенностями в окрестности угловых точек границы. Работы [34, 45, 46, 48, 53, 62, 63, 144, 163, 204] содержат исследование асимптотики решений краевых задач в негладких областях, в том числе и в областях с разрезами. Еще один подход к исследованию задач теории трещин основан на использовании псевдодифференциальных и интегральных операторов [141, 148, 201].

В сравнении с аналогичными краевыми задачами в гладких областях, решения задач теории трещин представляется в виде суммы регулярной и сингулярной частей. Первая имеет ту же гладкость, что и решение для гладкой области, а вторая - определяет максимальную возможную гладкость во всей области из-за наличия особенностей. Отметим, что в общем случае для задач теории трещин с произвольной геометрией или для нелинейных задач вопрос о представлении решения остается открытым.

Моделирование, основанное на физических опытах, приводит к новым классам математических задач. В частности, хорошо известен тот факт, что при решении задач с линейными краевыми условиями на трещине возможно взаимное проникание ее берегов друг в друга. С математической точки зрения это ничему не противоречит, а с физической - невозможно. Наиболее естественно рассматривать условия типа Синьорини одностороннего ограничения решения на границе - условие непроникания берегов трещины [116, 174, 180]. Это приводит к тому, что краевая задача становится нелинейной. Поэтому решение таких задач требует новых подходов. В последнее время в механике сплошных сред развитие получили вариационные методы [13, 21, 36, 69, 105, 183, 194]. При этом возможно распространить классические вариационные методы [5, 28, 124] на исследование задач теории трещин. В этом случае нет необходимости представлять решение в виде суммы сингулярной и регулярной частей. Кроме того, обобщенная формулировка позволяет с единой позиции исследовать как линейные задачи, так и нелинейные. Подход основан на вариационных принципах механики сплошных сред. В настоящее время с помощью данного подхода исследован широкий класс задач теории трещин с возможным контактом берегов [37, 108, 109, 110, 111, 134, 171]: доказаны теоремы существования, проведен анализ качественных свойств решений, исследованы оптимизационные задачи, предложены метод гладких областей, метод фиктивных областей, исследованы свойства регулярности решений для различных моделей теории упругости, включая сложные модели такие, как пластины и оболочки Кирхгофа-Лява и Тимошенко.

Работы [1,12, 29, 169, 193, 198, 222] содержат численные решения контактных задач, в том числе и задач теории трещин. Работы [195, 202] посвящены исследованию динамических контактных задач. Отметим также работы [20, 151, 187] по исследованию контактных задач, учитывающие эффект сцепления контактирующих поверхностей, трения и пр.; в [65, 66, 99, 113, 177] исследовались контактные задачи для тел разных размерностей.

Недавно проф. A.M. Хлуднев инициировал изучение краевых задач для моделей упругих тел, содержащих жесткие включения - объемные и тонкие [114, 115]. Если рассматривать объемное жесткое включение, то таким включением естественно считать ту часть тела, деформации которой равны нулю. С математической точки зрения это означает, что решение имеет заданную структуру в некоторой подобласти исходной области, в которой решается краевая задача. Если же рассматривать тонкие жесткие включения, то есть такие включение, размерность которых на единицу меньше размерности задачи (кривая - в двухмерном случае, поверхность - в трехмерном), то тонким жестким включением считается некоторое многообразие в исходной области, для которого след решения на этом многообразие имеет заданную структуру. Для обоих классов задач доказаны теоремы существования, выведены полные системы краевых условий, доказана эквивалентность дифференциальной и вариационной задач, исследованы некоторые задачи оптимального управления [114, 178, 179, 77, 117]. Отметим также следующие работы, в которых исследовались задачи теории упругости для тел с жесткими включениями для некоторых частных случаев: в [219] решалась задача о круговом жестком включении, на границе которого располагается трещина; в [200] исследовалось влияние жесткого включения на распространение трещины в бесконечном теле; в [55] рассматривался случай соединенных полупространств с круглой плоской трещиной в плоскости соединения; в [152, 212, 220, 205, 56] исследовалось взаимодействие жестких включений между собой, а также с расположенными вблизи них трещинами; в [2] построена асимптотическая модель деформирования упругого пространства с тонким жестким стержнем.

Основной целью исследований в механике разрушения материалов является исследование прочности тел. Моделирование процесса разрушения существенно зависит от выбора гипотезы разрушения. К ним можно отнести основополагающую теорию Гриффитса по механике хрупкого разрушения [162], силовой критерий Ирвина [172], концепцию не зависящего от контура интегрирования интеграла (J-интеграл Черепанова-Райса) [119, 210], критерий критического раскрытия трещины [40, 70] (см. также работу [208], в которой проведен сравнительный анализ распространенных критериев разрушения).

Как правило, формулировка того или иного критерия базируется на знании асимптотики решения вблизи вершин или фронта трещин. Как уже отмечалось выше, она хорошо известна для однородных тел в случаях, когда область - двухмерна, трещина - прямолинейна, краевые условия на трещине линейны [58, 61, 164]. В общем же случае, когда тело является неоднородным, а краевые условия нелинейными, существование такого разложения не доказано. Отметим, что для некоторых частных случаев имеются результаты по исследованию асимптотики: в

6, 142, 158, 201] исследовалось поведение решения для малоискривлен-ных трещин; в работах [150, 173] изучалась асимптотика решения задач теории упругости с односторонними ограничениями; в [32, 181] исследовалась асимптотика для уравнения Пуассона, определенного в области с разрезом, на котором заданы условия одностороннего ограничения, а в [196] показано, что решение уравнения Пуассона в области с криволинейным разрезом гладкости С1'1 имеет такой же вид в окрестности вершины трещины, что и для прямолинейных трещин. Поэтому для задач со сложной геометрией или нелинейными краевыми условиями предпочтительней использовать альтернативный энергетический подход, основанный на критерии Гриффитса, который выражается в терминах коэффициентов высвобождения энергии или независящих от пути интегрирования поверхностных интегралов. Следуя гипотезе Гриффитса, поведение трещины целиком определяется производной функционала энергии по параметру возмущения трещины [162, 165]. Это, в свою очередь, позволяет применять вариационные методы для исследования прочности тел с жесткими включениями и трещинами. Отметим здесь работы [125, 143, 153, 154], в которых, основываясь на критерии Гриффитса, изучались модели квазистатического роста трещин в виде минимизации функционалов полной энергии в классах функций ограниченной вариации [127, 128].

А.М.Хлудневым и Я. Соколовски [184] был предложен метод отыскания производных функционалов энергии, который основан на вариационных свойства решения и позволил избежать исследования асимптотики решения вблизи трещин. Используя предложенный метод, были вычислены производные функционалов энергии по параметру, характеризующему изменение формы области, для различных моделей теории упругости для однородных и неоднородных тел с трещинами, и было показано, что такие производные представимы в виде инвариантных интегралов — интегралов, значение которых не зависит от многообразия, по которому происходит интегрирование (см. [78, 79, 80, 97, 185, 182, 184, 191, 81]). При этом, как правило, предполагалось, что трещины являются прямолинейными, либо накладывались дополнительные ограничения на возмущение области.

В дальнейшем метод получил свое развитие, в результате которого удалось исследовать асимптотику функционалов энергии для широкого класса моделей теории упругости и снять ограничение на вид возмущения и геометрию областей, а также применить его к задачам с жесткими включениями [82, 83, 88, 89]. Здесь же отметим, что исследования асимптотики решений и других вариаций геометрических и механических параметров при изменении формы области для краевых задач эллиптического типа с линейными краевыми условиями проводились во многих работах (см., например, [3, 45, 53, 60, 58, 64, 131, 129, 156, 157, 197]).

Предложенный метод оказался тесно связан с понятием производной по форме области, которая широко используется в теории оптимизации форм [136, 160, 166, 183, 215, 216, 139, 213, 147]. Например, для того, чтобы вычислить производную функционала энергии по длине трещины, вводится малый параметр е и строится такое преобразование координат, при котором исходная область с трещиной длиной I отображается область с трещиной длиной I + е. Фактически это означает, что ■ исследуется чувствительность интеграла энергии к изменению формы области. Поэтому естественно рассматривать общее возмущение области, что и приводит к понятию производной по форме области. Анализ зависимости решений краевых задач теории упругости от области (shape sensitivity analysis) играет важную роль в задачах оптимизации форм упругих тел и используется для численного решения оптимизационных задач методом Ньютона [167, 216]. Используя метод гладких возмущений, были получены общие формулы для производных функционалов энергии по форме области для различных моделей упругих тел с трещинами и жесткими включениями, в том числе и с условиями непроникания [192, 85, 86, 87, 90, 91]. Результаты о дифференцируемости по форме области различных функционалов, включая функционалы энергии, для упругих тел с линейными краевыми условиями можно найти в [126, 132, 133, 139, 209, 213, 218].

Приведем краткий обзор содержания диссертации.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Главы разбиты на параграфы, параграфы — на разделы. Нумерация формул и утверждений (а также определений, замечаний и т. п.) сквозная по всему тексту и тройная: вида п.т.к, где п - номер главы, т - номер параграфа, а к - номер формулы (утверждения, и пр.) в пункте. При этом определения, теоремы, леммы, следствия и замечания нумеруются независимо друг от друга.

В настоящей диссертации рассматриваются краевые задачи теории упругости, определенные в негладких областях - в областях, имеющих разрезы. Такие разрезы моделируют трещины в упругих телах. Считается, что трещина имеет два берега. Поэтому краевые условия задаются и на внешней границе области, и на внутренней (на обоих берегах трещины). Так же в работе рассматриваются модели тел с жесткими включениями. Это означает, что в некоторой подобласти исходной области задается структура решения.

Как правило в диссертации мы будем рассматривать краевые условия с односторонним ограничением на разрезе, но для ряда задач, моделирующих поведение тел с жесткими включениями и трещинами, мы будем рассматривать так же и линейные граничные условия.

Все исследуемые в диссертации задачи формулируются в вариационном виде, и решение ищется в классах соболевских пространств. Для этого определяются функционалы энергии и соответствующие решаемым задачам множества допустимых функций, на которых затем минимизируются функционала энергии.

В главе 1 содержатся некоторые вспомогательные сведения из функционального анализа, уравнений математической физики, теории пространств Соболева, вариационного исчисления. Вводится понятие гладкости области с трещиной, определятся функциональные пространства на границе областей с трещинами. Большинство определений и утверждений являются хорошо известными фактами и приводятся для удобства, как правило, без доказательств со ссылками на источники, где они могут быть найдены.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Рудой, Евгений Михайлович, 2012 год

1. Аннин Б.Д., Садовский В.М. О численной реализации вариационного неравенства в задачах динамики уиругопластических тел // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1996. Т. 36. N 9. С. 159-177.

2. Аргатов И. И. Растяжение упругого пространства с жестким стержнем // Прикл. математика и теор. физика. 2008. N 1. С. 120-127.

3. Аргатов И.И., Назаров С.А. Высвобождение энергии при изломе трещины в плоском анизотропном теле // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 3. С. 502-514.

4. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова Л.В. Нелинейная механика разрушения. Самара: Издательство "Самарский университет", 2001. - 562 с.

5. Байоки ККапело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. Приложения к задачам со свободной границей. М.: Наука, 1988. 448 с.

6. Баничук Н.В. Определение формы криволинейной трещины методом малого параметра // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. №-2. С. 130137.

7. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980. — 256 с.

8. Бережницкий JI. Т., Панасюк В.В., Стащук Н.Г. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформируемом теле. Киев: Наук, думка, 1983. — 288 с.

9. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М: Мир, 1967. 296 с.

10. Ватулъян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 224с.

11. Волъмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

12. Втору шин Е.В. Численное исследование модельной задачи деформирования упругопластического тела с трещиной при условии возможного контакта берегов // Сиб. журн. вычисл. математики. 2006. Т. 9. Вып. 4. С. 301-310.

13. Главачек И., Гаслингер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. М.: Мир, 1986. — 270 с.

14. Голъдштейн Р.В., Житников Ю.В. Равновесие полостей и трещин-разрезов с областями налегания и раскрытия в упругой среде // ПММ. 1986. Т. 50. Вып. 5. С. 826-834.

15. Голъдштейн Р.В., Осипенко U.M. Балочное приближение в задачах отслоения тонких покрытий // Изв. РАН. МТТ. 2003. №5. С. 154-163.

16. Голъдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Отслоение покрытий под действием термоупругих напряжений (балочное приближение) // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 2007. №4. С. 66-83.

17. Голъдштейн Р.В., Салганик Р.Л. Плоская задача о криволинейных трещинах в упругом теле // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. №3. С. 6982.

18. Голъдштейн Р.В., Салганик Р.Л. Хрупкое разрушение тел с произвольными трещинами // Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. С. 156-171

19. Голъдштейн Р.В., Спектор A.A. Вариационные оценки решений некоторых смешанных пространственных задач теории упругости с неизвестной границей // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. №2. С. 8294.

20. Горячева И.Г., Добычин М.Н. Контактные задачи трибологии. М.: Машиностроение, 1988. — 253 с.

21. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 383 с.

22. Ентов В.М., Салганик Р.Л. О балочном приближении в теории трещин // Изв. АН СССР. Механика. 1965. №5. С. 95-102.

23. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. — 366 с.

24. Неклассические проблемы механики разрушения: В 4 т. / Под общ. ред. Гузя А.Н.; АН УССР. Ин-т механики. Киев: Наук, думка, 1990. - Т. 1. Разрушение вязкоупругих тел с трещинами / Каминский A.A. — 321с.

25. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. — 312 с.

26. Кантарович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. СПб.: Невский диалект; БХВ-Петербург, 2004. — 816 с.

27. Капцов A.B., Шифрин Е.И. Идентификация плоской трещины в упругом теле с помощью инвариантных интегралов // Изв. РАН. МТТ. 2008. N 3. С. 145-163.

28. Киндерлерер Д., Стампаккъя Г. Введение в вариационные неравенства и их приложение. М: Мир, 1983. — 256 с.

29. Ковтуненко В. А. Итерационный метод решения вариационных неравенств в контактной упругопластической задаче с использованием метода штрафа// Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1993. Т. 33. N 9. С. 1409-1415.

30. Ковтуненко В.А. Инвариантные интегралы энергии для нелинейной задачи о трещине с возможным контактом берегов // Прикл. математика и механика. 2003. Т. 67, вып. 1. С. 109-123.

31. Ковтуненко В.А. Вариационные методы в теории трещин с ограничениями. Дис. . . док. физ.-мат. наук. — Новосибирск: ИГиЛ СО РАН, 2007. 372 с.

32. Козлов В.А., Хлуднев A.M. Асимптотика решения уравнения Пуассона вблизи вершины трещины с нелинейными краевыми условиями на берегах // ДАН. 2006. Т. 411. N 5. С. 583-586.

33. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Функциональный анализ. М.:Наука, 1981. 544 с.

34. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Московск. матем. общества. 1967. Т. 16. С. 209-292.

35. Кошелев А.И. Априорные оценки в Lp и обобщенные решения эллиптических уравнений и систем // Успехи мат. наук. 1958. Т. 13. Вып. 4. С. 29-88.

36. Кравчук A.C. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: МГАПИ, 1997. 340 с.

37. Лазарев Н.П. Задача о равновесии пластины Тимошенко, содержащей сквозную трещину // Сиб. журнал индустр. математики. 2011. Т. 14. N 4. С. 32-43.

38. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10-ти т. Т. VII. Теория упругости: Учеб. пособие. М.: Наука, 1987. — 248 с.

39. Левин В.А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 408 с.

40. Леонов М.Я. Элементы теории хрупкого разрушения // Журн. прикл. меаники и техн. физики. 1961. N 3. С. 85-92.

41. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. — 372 с.

42. Литвинов В. Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.: Наука, 1987. — 368 с.

43. Лойгеринг Г., Хлуднев A.M. О равновесии упругих тел, содержащих жесткие включения // ДАН. 2010. Т. 430. N 1. С. 1-4.

44. Мазья В.Г. Пространства СЛ. Соболева. Л.: Изд-во Ленингр. унта, 1985.- 415 с.

45. Мазья В. Г., Назаров С. А. Асимптотика интегралов энергии при малых возмущениях вблизи угловых и конических точек // Тр. Моск. мат. о-ва. 1987. Т. 50. С. 79-129.

46. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский В.А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1981. — 206 с.

47. Мазья В.Г., Поборчий C.B. Теоремы вложения и продолжения для функций в нелипшецевых областях. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. 400 с.

48. Мазья В.Г., Слуцкий A.C., Фомин B.JI. Об асимптотике функции напряжений вблизи вершины трещины в задаче кручения при установившейся ползучести // Изв. РАН. МТТ. 1986. N 4. С. 170-176.

49. Матвиенко Ю.Г. Модели и критерии механики разрушения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 328 с.

50. Михайлов A.M. Динамические задачи теории трещин в балочном приближении // Прикл. математика и теор. физика. 1966. N 5. С. 167-172.

51. Михайлов A.M. Обобщение балочного подхода к задачам теории трещин // Прикл. математика и теор. физика. 1969. N 3. С. 171— 174.

52. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. — 392 с.

53. Мовчан А.Б., Назаров С.А., Полякова O.P. Приращение коэффициентов интенсивности напряжений при удлинении криволинейной трещины // Механика твердого тела. 1992. N 1. С. 84-93.

54. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука. 1984. 256 с.

55. Моссаковский В.И., Рыбка М. Т. Обобщение критерия Гриффитса-Снеддона на случай неоднородного тела // ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 6. С. 1061-1069.

56. Мочалов Е.В., Сильвестров В.В. Задача взаимодействия тонких жестких остроконечных включений, расположенных между разными упругими материалами // 2011. Известия РАН. МТТ. N 5. С. 99-117.

57. Назаров С.А. Задача Синьорини с трением для тонких упругих тел // Труды Моск. мат. о-ва. 1993. Т. 56. С. 262-302.

58. Назаров С.А. Трещина на стыке анизотропных тел. Сингулярности напряжений и инвариантные интегралы // Прикл. математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 3. С. 489-502.

59. Назаров С.А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Том 1. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Научная книга (ИДМИ), 2002. — 408 с.

60. Назаров С.А. Коэффициенты интенсивности напряжений и условия девиации трещины в хрупком анизотропном теле // Прикл. механика и тех. физика. 2005. Т. 46. N 3. С. 98-107.

61. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М.: Наука, 1991. — 336 с.

62. Назаров С. А., Полякова О. Р. Весовые функции и инвариантные интегралы высших порядков // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1995. N 1. С. 104-119.

63. Назаров С.А., Слуцкий A.C. Об одном свойстве решений нелинейных уравнений рав- новесия вблизи особенности // Изв. вузов. Ма-тем. 1982. N 9. С. 36-39.

64. Назаров С.А., Шпековиус-Нойгербауер М. Применение энергетического критерия разрушения для определения формы слабоис-кривленной трещины // Прикл. механика и тех. физика. 2006. Т. 47. N 5. С. 119-130.

65. Неустроева H.B. Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9. Вып. 4. С. 51-64.

66. Неустроева Н.В. Жесткое включение в контактной задаче для упругих пластин // Сиб. журнал индустр. мат. 2009. Т. 12. N 4. С. 92-105.

67. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. — 872 с.

68. Олейник O.A., Иосифьян Г.А., Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных сред. М.: Изд-во МГУ, 1990. — 311с.

69. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии. М.: Мир, 1989. — 494 с.

70. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1968. — 246 с.

71. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. М.: Наука, 1974. — 416 с.

72. Партон В.З., Перлин П. И. Методы математической теории упругости: Учебное пособие. М.: Наука, 1981. — 688 с.

73. Парцевский В.В. Расслоение в полимерных композитах. Обзор // Известия РАН. МТТ. 2003. №5. С. 62-94.

74. Плотников П.И., Рудой Е.М. Анализ чувствительности интегралов энергии к изменению формы области для тел с жесткими включениями и трещинами // Доклады Академии наук. 2011. Т. 440. N 5. С. 589-592.

75. Пугачев B.C. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. 744 с.

76. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. Учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1988. — 712 с.

77. Ротанова Т. А. Задача об одностороннем контакте двух пластин, одна из которых содержит жесткое включение // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика информатика. 2011. Т. 11. Вып. 1. С. 87-98.

78. Рудой Е. М. Асимптотика интеграла энергии при возмущении границы // Динамика сплошных сред / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 2000. Вып. 116. С. 97-103.

79. Рудой Е. М. Устойчивость решения задачи равновесия пологой оболочки, содержащей трещину, при возмущении границы // Сиб. журнал индустр. мат. 2001. Т. 4. N 1. С. 171-176.

80. Рудой Е. М. Формула Гриффитса для пластины с трещиной // Сиб. журн. индустр. математики. 2002. Т. 5. N 3. С. 155-161.

81. Рудой Е. М. Инвариантные интегралы для задачи равновесия пластины с трещиной // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, N 2. С. 466-477.

82. Рудой Е. М. Дифференцирование функционалов энергии в двумерной теории упругости для тел, содержащих криволинейные трещины // Прикл. математика и теор. физика. 2004. Т. 45, N 6. С. 83-94.

83. Рудой Е.М. Дифференцирование функционалов энергии в трехмерной теории упругости для тел, содержащих поверхностные трещины // Сиб. журнал индустр. математики. 2005. Т. 8. N 1. С. 106-116.

84. Рудой Е.М. Выбор оптимальной формы поверхностных трещин в трехмерных телах // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2006. Т. 6. Вып. 2. С. 76-87.

85. Рудой Е.М. Дифференцирование функционалов энергии в задаче о криволинейной трещине с возможным контактом берегов // Изв. РАН. МТТ. 2007. N 6. С. 113-127.

86. Рудой Е. М. Дифференцирование функционалов энергии в задаче о криволинейной трещине в пластине с возможным контактом берегов // Прикл. математика и теор. физика. 2008. Т. 49. №5. С. 153-168.

87. Рудой Е.М. Асимптотика функционала энергии для смешанной краевой задачи четвертого порядка в области с разрезом // Сиб. мат. журнал. 2009. N 2. Т. 50. С. 430-445.

88. Рудой Е.М., Хлуднев A.M. Односторонний контакт пластины с тонким упругим препятствием // Сиб. журнал индустр. математики. 2009. Т. 12. N 2. С. 120-130.

89. Рудой Е.М. Формула Гриффитса и интеграл Черепанова-Райса для пластины с жестким включением и трещиной // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2010. Т. 10. Вып. 2. С. 98-117.

90. Рудой Е.М. Асимптотика функционала энергии для трехмерного тела с жестким включением и трещиной // Прикл. математика и теор. физика. 2011. N 2. Т. 52. С. 114-127.

91. Рудой Е.М. Асимптотика функционала энергии для упругого тела с трещиной и жестким включением. Плоская задача // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 6. С. 1038-1048.

92. Рудой Е.М. Инвариантные интегралы в плоской задаче теории упругости для тел с жесткими включениями и трещинами // Сиб. журнал индустр. математики. 2012. Т. 15. N 1. С. 99-109.

93. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1981. — 324 с.

94. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973. — 244 с.

95. Слепян Л.И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1981. — 296 с.

96. Снеддон И.Н., Берри Д.С. Классическая теория упругости. М.: Физматгиз, 1961. — 219 с.

97. Соколовский Я., Хлуднев А. М. О дифференцировании функционалов энергии в теории трещин с возможным контактом берегов // Докл. РАН. 2000. Т. 374, N 6. С. 776-779.

98. Степанова Л.В. Математические методы механики разрушения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 336с.

99. Стекина Т.А. Вариационная задача об одностороннем контакте упругой пластины с балкой // Вестн. НГУ. Сер. математика, механика, информатика. 2009. Т. 9. Вып. 1. С. 45-56.

100. Съярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992. — 472 с.

101. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.- 408 с.

102. Ткачева Л.А. Нестационарная задача о распространении трещины в балочном приближении // Прикл. математика и теор. физика. 2008. Т. 49. N 5. С. 177-189.

103. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987, — 760 с

104. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 592 с.

105. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Наука, 1974. 160 с.

106. Фихтенголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука. 1966. Т. 1. — 607 с.

107. Хаслингер Я., Нейтаанмяки П. Конечно-элементная аппроксимация для оптимального проектирования форм: теория и приложения. М.: Мир, 1992. 368 с.

108. Хлуднев A.M. Об экстремальных формах разрезов в пластине // Изв. РАН. МТТ. 1992. N 1. С. 170-176.

109. Хлуднев A.M. Задача равновесия термоупругой пластины, содержащей трещину // Сиб. матем. журнал. 1996.Т. 37. N 2. С. 452-463.

110. Хлуднев A.M. Метод гладких областей в задаче о равновесии пластины с трещиной // Сиб. матем. ж. 2002. N 6. С. 1388-1400.

111. Хлуднев A.M. Теория трещин с возможным контактом берегов // Успехи механики. 2005. Т. 3. Вып. 4. С. 41-82.

112. Хлуднев A.M. Инвариантные интегралы в задаче о трещине на границе раздела двух сред // Прикл. математика и теор. физика. 2005. Т. 46. N 5. С. 123-137.

113. Хлуднев A.M. Об одностороннем контакте двух пластин, расположенных под углом друг к другу // Прикл. математика и теор. физика. 2008. Т. 49. N 4. С. 42-58.

114. Хлуднев A.M. Задача о трещине на границе жесткого включения в упругой пластине. — Новосибирск, 2009. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики; №1-09).

115. Хлуднев A.M. Задача о трещине на границе жесткого включения в упругой пластине // Известия РАН. Механика твердого тела. 2010. N 5. С. 98-110.

116. Хлуднев A.M. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. 252 с.

117. Хлуднев A.M. Об изгибе упругой пластины с отслоившимся тонким жестким включением // Сиб. ж. индустр. матем. 2011. Т.14. N 1. С. 114-126.

118. Циглер Ф. Механика твердых тел и жидкостей. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 886 с.

119. Черепанов Г.П. О распространении трещин в сплошной среде // Прикл. математика и механика. 1967. Т. 31. N 3. С. 476-488.

120. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

121. Эванс Л.К. Уравнения с частными производными. Новосибирск: Тамара Рожковская, 2003. — 576 с.

122. Эванс Л.К., Гариепи Р.Ф. Теория меры и тонкие свойства функций. Новосибирск: Научная книга, 2002. — 216 с.

123. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. 1072 с.

124. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 400 с.

125. Acanfora F., Ponsiglione М. Quasi static growth of brittle cracks in a linearly elastic flexural plate // Annali di Matematica. 2006. V. 185. N2. P. 293-317.

126. Allaire G., Jouve F., Toader A.-M. Structural optimization using sensitivity analysis and a level-set method // Journal of Computational Physics. 2004. V. 194. P. 363-393.

127. Ambrosio L. A compactness theorem for a new class of functions of bounded variations // Boll. Un. Mat. Ital. 1989. V. 3-B. P. 857-881.

128. Ambrosio L., Fusco N., Pallara D. Functions of bounded variations and Free Discontinuity Problems. Clarendon Press, Oxford, 2000. — 434 p.

129. Amestoy M., Leblond J.B. Crack paths in plane situations II. Detailed form of the expansion of the stress intensity factors // Intern. J. Solids and Structures. 1992. V. 29. N4. P. 465-501.

130. Andrieux S., Ben Abda A., Bui Y. Reciprocity principle and crack identification // Inverse Problems. 1999. V. 15. P. 59-69.

131. Bochniak M., Sandig A.-M. Sensitivity analysis of stress intensity factors in 2D coupled elastic structures // Asymptotic Analysis. 2001. V. 25. P. 299-328.

132. Bonnet M. Stability of crack fronts under Griffith criterion: a computational approach using integral equations and domain derivatives of potential energy // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1998. V. 173. P. 337-364.

133. Bonnet M., Burczynski T., Nowakowski M. Sensitivity analysis for shape perturbation of cavity or internal crack using BIE and adjoint variable approach // Intern. J. Solids and Structures. 2002. V. 39. P. 2365-2385.

134. Brokate M., Khludnev A.M. On crack propagation shapes in elastic bodies // Z. angev. Math. Phys. 2004. V. 55. N 2. P. 318-329.

135. Browder F. E. On the regularity properties of solutions of elliptic differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1956. V. 9. №3. P. 351-361.

136. Bucur D., Buttazzo G. Variational methods in shape optimization problems. Boston, Basel, Berlin: Birkhauser, 2005. — 217 p.

137. Bui H.D. Fracture Mechanics. Inverse Problems and Solutions. Dordrecht: Springer, 2006. — 375 p.

138. Chang J.H., Chien A.J. Evaluation of M-integral for anisotropic elastic media with multiple defects // Intern. J. of Fracture. 2002. V. 114. P. 267-289.

139. Chen G, Rahman S., Park Y.H. Shape sensitivity and reliability analysis of linear-elastic cracked structure // Intern. J. Fructure. 2001. V. 112. P. 223-246.

140. Chen Y.-H., Lu T.J. Recent developments and applications of invariant integrals // Appl.Mech. Rev. 2003. V. 56. N 5. P. 515-551.

141. Costabel M., Dauge M., Duduchava R. Asymptotic without logarithmic terms for crack problems // Comm. PDE. 2003. V. 28. N 5-6. P. 869-926.

142. Cotterell B., Rice J.R. Slightly curved or kinked cracks // Intern. J. Fract. 1980. V. 16. No. 2. P. 155-169.

143. Dal Maso G., Francfort G.A., Toader R. Quasistatic Crack Growth in Nonlinear Elasticity // Arch. Rational Mech. Anal. 2005. V. 176. N 2. P. 165-225.

144. Dauge M. Elliptic Boundary Value Problems on Corner Domains: Smoothness and Asymptotics of Solutions. Berlin and etc., SpringerVerlag, 1988. 261 p.

145. Delfour M.C., Zolesio J.-P. Shapes and geometries: analysis, differential calculus and optimization. SIAM, Philadelphia, 2001. — 461 p.

146. Demyanov V.F.,Stavroulakis G.E., Polyakova L.N., Panagiotopoulos P.D. Quasidifferentiability and nonsmooth modelling in mechanics, engineering and economics. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publisher, 1996. - 362 p.

147. Dems K., Mroz Z. Shape sensitivity in mixed Dirichlet-Neumann boundary value problems and associated class of path-independent integrals // Eur. J. Mech. A/Solids. 1995. V. 14. P. 169-203.

148. Duduchava R., Sandig A.M., Wendland W.L. Interface cracks in anisotropic materials // Math. Mech. Appl. Sci. 1999. V. 22. P. 14131446.

149. Dyskin A. V., Germanovich L.N., Ustinov K.B. Asymptotic analysis of crack interaction with free boundary // Intern. J. Solids and Structure. 2000. V. 37. №6. P. 857-886.

150. Eck C., Nazarov S.A., Wendland W.L. Asymptotic analysis for mixed boundary-value contact problem // Arch. Rational Mech. Anal. 2001. V. 156. P. 275-316.

151. Eck C., Jarusek J. Existence result for the semicoersitive static contact problem with Coulomb friction // Nonlinear Analysis. 2000. V. 42. P. 961-976.

152. Erdogan F., Gupta G.D., Ratwani M. Interaction between a circular inclusion and an arbitrarily oriented crack // ASME Journal of Applied Mechanics. 1974. V.41. P. 1007-1013.

153. Francfort G.A., Larsen C.J. Existence and convergence for quasi-static evolution in brittle fracture // Comm. Pure Appl. Math. 2003. V. 56. P. 1465-1500.

154. Francfort G.A., Marigo J.-J. Revisiting brittle fractures as an energy minimization problem //J. Mech. Phys. Solids. 1998. V. 46. P. 13191342.

155. Freund L.B. Dynamic fracture mechanics. New York: Cambridge University Press, 1990. — 578p.

156. Friedman A., Hu B., Velazquez J.J.L. Asimptotics for the biharmonic equation near the tip of a crack // Indiana Univ. Math. J. 1998. V. 47. P. 1327-1395.

157. Friedman A., Hu B., Velazquez J. The evolution of stress intensity factors and the propagation of cracks in elastic media // Arch. Rational Mech. Anal. 2000. V. 152. P. 103-139.

158. Gao H., Chiu C.-H. Slightly curved or kinked cracks in anisotropic elastic solids // Intern. J. Solids and Structures. 1992. V. 29. No. 8. P. 947-972.

159. Gagliardo E. Proprieta di alcune classi di funzioni in piu variabili // Ricerche Mat. 1958. V. 7. P. 102-137.

160. Garreau S., Guillaume P., Masmoudi M. The topological asymptotic for PDE system: the elasticity case // SIAM J. Control Optim. 2001. V. 39. N6. P. 1756-1778.

161. Goldstein R., Shifrin E., Shushpannikov P. Application of invariant integrals to the problems of defect identification // Int. J. Fract. 2007. V. 147. P. 45-54.

162. Griffith A. The phenomena of rupture and flow in solids // Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A. 1921. V. 221. P. 163-198.

163. Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains. Boston-LondonMelbourne: Pitman, 1985. — 410 p.

164. Grisvard P. Singularities in boundary value problems. Paris: Masson -Berlin: Springer-Verlag, 1992. — 205 p.

165. Gurtin M.E. On the energy release rate in quasi-static elastic crack propagation // J. Elasticity. 1979. V. 9. N. 2. P. 187-195.

166. Haslinger J., Makinen R.A.E. Introduction to shape optimization. Theory, optimization, and computation. SIAM, Philadelphia, 2003. — 289 p.

167. Haug E.J., Choi K.K., Komkov V. Design sensitivity analysis of structural systems. Orlando: Academic Press Inc., 1986 — 381 p.

168. Herrmann A.G., Herrmann G. On energy release rates for a plane crack // ASME J. Appl. Mech. 1981. V. 48. P. 525-528.

169. Hintermiiller M., Kovtunenko V.A., Kunisch K. Constrained optimization for interface cracks in composite materials subject to nonpenetration conditions //J. Eng. Math. 2007. V. 59. P. 301-321.

170. Hoemberg D., Khludnev A.M. On safe crack shapes in elastic bodies 11 Eur. J. Mech. A/Solids. 2002. V. 21. P. 991-998.

171. Hoffmann K.-H., Khludnev A.M. Fictitious domain method for the Signorini problem in a linear elasticity // Adv. Math. Sci. Appl. 2004. V. 14. N 2. P. 465-481.

172. Irwin G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate //J. Appl. Mech. 1957. V. 24. N 3. P. 361-364.

173. Itou H., Kovtunenko V.A., Tani A. The interface crack with Coulomb friction between two bounded dissimilar elastic media // Appl. Math. 2011. V. 56. N 1. P. 69-97.

174. Khludnev A.M. Existence of extreme unilateral cracks in a plane // Control Cybernet. 1994. V. 23. P. 453-460.

175. Khludnev A. M. Optimal control of crack growth in elastic body with inclusions // European Journal of Mechanics A/Solids. 2010. V. 29. N 3. P. 392-399.

176. Khludnev A., Leontiev A., Herskovits J. Nonsmooth domain optimization for elliptic equations with unilateral conditions // J. Math. Pures Appl. 2003. V. 83. P. 197-212.

177. Khludnev A.M., Leugering G. Unilateral contact problems for two perpendicular elastic structure //J. Analysis and its Applications. 2008. V. 27. N 2. P. 157-177.

178. Khludnev A.M., Leugering G. On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2010. V. 33. N 16. P. 1955-1967.

179. Khludnev A.M., Leugering G. Optimal control of cracks in elastic bodies with thin rigid inclusion // ZAMM. 2011. V. 91. N 2. P. 125137.

180. Khludnev A.M., Kovtunenko V.A. Analysis of cracks in solids. Southampton, Boston: WIT-Press, 2000. 386 p.

181. Khludnev A.M., Kozlov V.A. Asymptotics of solutions near crack tips for Poisson equation with inequlity type boundary conditions // ZAMP. 2008. V. 59. N 2. P. 264-280.

182. Khludnev A.M., Ohtsuka K., Sokolowski J. On derivative of energy functional for elastic bodies with cracks and unilateral conditions // Quart. Appl. Math. 2002. V. 60. P. 99-109.

183. Khludnev A.M, Sokolowski J. Modelling and control in solid mechanics. Birkhauser, Basel. 1997. — 366 p.

184. Khludnev A.M., Sokolowski J. The Griffith formula and the Rice-Cherepanov integral for crack problems with unilateral conditions in nonsmooth domains // Europ. J. Appl. Math. 1999. V. 10, N4. R 379394.

185. Knees D. Griffith-formula and J-integral for a crack in a power-law hardening material // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 2006. V. 16. N 11. R 1723-1749.

186. Knowles J.K., Sternberg E. On a class of conservation laws in linearized and finite elastoplastic // Arch. Ration. Mech. and Analysis. 1972. V. 44. No3. P. 187-211.

187. Kovtunenko V.A. Crack in a solid under Coulomb friction law // Appl. Math. 2000. V. 45. N 4. P. 265-290.

188. Kovtunenko V.A. Sensitivity of crack in 2D-Lame problem via material derivatives // Z. Angew. Math. Phys. 2001. V. 52. N 6. P. 1071-1087.

189. Kovtunenko V.A. Sensitivity of interfacial cracks to non-linear crack front perturbations // Z. Angew. Math. Mech. 2002. V. 82. P. 387398.

190. Kovtunenko V.A. Shape sensitivity of a plane crack front // Math. Methods Appl. Sci. 2003. V. 26. P. 359-374.

191. Kovtunenko V.A. Shape sensitivity of curvilinear cracks on interface to non-linear perturbations // Z. angew. Math. Phys. 2003. V. 54. P. 410-423.

192. Kovtunenko V.A. Primal-dual methods of shape sensitivity analysis for curvilinear cracks with nonpenetration // IMA J. Appl. Math. 2006. N 71. P. 635-657.

193. Kovtunenko V. A., Kunisch K. Problem of crack perturbation based on level sets and velocities // Z. Angew. Math. Mech. 2007. V. 87. N 11 12. P. 809-830.

194. Kravchuk A.S., Neittaanmaki P.J. Variational and Quasi-Variational Inequalities in Mechanics. Springer, 2007. — 329 p.

195. Kuttler K., Shillor M. Dunamic contact with Signorini's condition and slip rate dependent friction // Electronic J. of differential equations. 2004. V. 2004. N 83. P. 1-21.

196. Lazzaroni G., Toader R. Energy release rate and stress intensity factor in antiplane elasticity // Technical Report, SISSA, 2009.

197. Leblond J.B. Crack paths in three-dimensional elastic solids. I: two-term expansion of the stress intensity factors application to cracks path stability in hydraulic fracturing // Intern. J. Solids and Structures. 1999. V. 36. N1. P. 79-103.

198. Leguillon D. Asymptotic and numerical analysis of a crack branching in non-isotropic materials // Eur. J. Mech. A/Solids. 1993. V. 12. No. 1. P. 33-51.

199. Leguillon D., Sanchez Palrncia E. Computation of singular solutions in elliptic problems and elasticity. Paris: Masson, 1987. — 200 p.

200. Maiti M. On the extension of a crack due to rigid inclusions // International Journal of Fracture. 1979. V. 15. P. 389-393.

201. Martin P.A. Perturbed cracks in two-dimensions: An integral-equation approach // Intern. J. Fract. 2000. V. 104. No. 4. P. 317-327.

202. Mauro de Lima Santos, Junior F. A boundary condition with memory for Kirchhoff plates equations // Applied Mathematics and Computation. 2004. V. 148. P. 475-496.

203. Maz'ya V.G., Poborchi S.V. Differentiable functions on bad domains. World Scientific Pub Co Inc, 1997. 495 p.

204. Maz'ya V., Slutskii A.S. Asymptotic solution to the Dirichlet problem for a two-dimensional Riccatti's type equation near a corner point // Asymptotic Analysis. 2004. V. 39. N 2. P. 169-185.

205. Nisitani E., Chen D.H., Saimoto A. Interaction between an elliptic inclusion and a crack // Proceedings of the International Conference on Computer-Aided Assessment and Control, Computational Mechanics Inc, MA, USA. 1996.V.4. P. 325-332.

206. Nazarov S.A., Sokolowski J. Asymptotic analysis of shape functionals // J. Math. Pures Appl. 2003. V.82. №2. P. 125-196.

207. Ohtsuka K. Mathematics of brittle fracture // Theoretical Studies on Fracture Mechanics in Japan / Japan. Hiroshima. Hiroshima-Denki Institute of Technology. 1997. P. 99-172.

208. Ohtsuka K. Comparison of criteria on the direction of crack extension 11 J. Comp. Appl. Math. 2002. V. 149. P. 335-339.

209. Pironneau O. Optimal shape design for elliptic systems. New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo: Springer-Verlag, 1984. — 168 p.

210. Rice J.R. A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and crack //J. Appl. Mech. 1968. V. 35. N 4. P. 379-386.

211. Schechter M. General boundary value problems for elliptic partial differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1959. V. 12. №3. P. 457-486.

212. Sendeckyj G. P. Interaction of cracks with rigid inclusions in longitudinal shear deformation // International Journal of Fracture Mechanics. 1974. V.101. P. 45-52.

213. Simon J. Differentiation with respect to the domain in boundary value problems // Numer. Funct. Anal. Optimiz. 1980. V. 2. P. 649-687.

214. Simon J. Second variations for domain optimization problems // Int. Ser. Numer. Math. V. 91. P. 361-378. Basel: Birkhauser-Verlag, 1989.

215. Sokolowski J., Zochowski A. On the topological derivative in shape optimization // SIAM J. Control Optim. 1999. V.37. N4. P. 12511272.

216. Sokolowski J., Zolesio J.P. Introduction to shape optimization. Shape sensitivity analysis. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1992. — 254p.

217. Suo X.Z., Valeta M.P. Second variation of energy and an associated line independent integral in fracture mechanics, II, Numerical validations // Eur.J. Mech. A/Solids. 1998. V. 17. N 4. P. 541-565.

218. Taroco E. Shape sensitivity analysis in linear elastic fracture mechanics // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2000. V. 188. P. 697-712.

219. Toya M. A crack along the interface of a rigid circular inclusion embedded in an elastic solid // Intern. J. Fract. 1973. V. 9. N 4. P. 463470.

220. Xiao Z.M., Chen B.J. Stress intensity factor for a Griffith crack interacting with a coated inclusion // International Journal of Fracture. 2001. V. 108. P. 193-205.

221. Williams J. G. On the calculation of the energy release rates for cracked laminates // Intern. J. Fract. 1998. V. 36. №2. P. 101-119.

222. Zozulya V. V., Menshykov O. V. Use of the constrained optimization algorithms in some problems of fracture mechanics // Optimization and Engineering. 2003. V. 4. 13