Применение систем аналитических вычислений к исследованию левоинвариантных контактных метрических структур на пятимерных группах Ли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Славолюбова, Ярославна Викторовна

• Славолюбова, Ярославна Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Славолюбова, Ярославна Викторовна

Оглавление

Введение

1 Модель задачи построения левоинвариантных контактных метрических структур на пятимерных группах Ли

1.1 Система аналитических вычислений Maple

1.2 Математические методы

1.2.1 Контактные структуры

1.2.2 Контактные структуры на группах Ли

1.2.3 Симплектические четырехмерные алгебры Ли

1.2.4 Пятимерные контактные алгебры Ли

1.2.5 Вычислительные формулы

1.3 Математические модели исследования левоинвариантных контактных метрических структур

2 Применение математических пакетов к классификации контактных метрических структур

2.1 К-контактные структуры

2.1.1 Римановы субмерсии

2.1.2 Инварианты А и Т для К-контактных структур на группе Ли

2.1.3 Кривизна Риччи

2.1.4 Связь между тензорами Nw и N

2.2 Контактные расширения точных симплектических групп Ли

2.2.1 Контактные расширения симплектических групп Ли

2.2.2 Контактные расширения четырехмерных точных симплектических групп Ли

2.2.3 Контактные расширения двумерных симплектических групп Ли

2.3 Центральные расширения четырехмерных симплектических

групп Ли

2.3.1 Симплектические четырехмерные алгебры Ли

2.3.2 Центральные расширения симплектических четырехмерных алгебр Ли

2.4 Другие пятимерные контактные группы Ли списка Диатты

2.4.1 Контактные разрешимые неразложимые алгебры Ли

2.4.2 Контактные неразрешимые алгебры Ли

2.5 Классификация контактных метрических структур

3 Программный комплекс для классификации контактных метрических структур

3.1 Вычисление тензора Риччи с использованием свойства ри-мановой субмерсии

3.2 Нахождение ассоциированных структур Сасаки

3.3 Вычисление геометрических характеристик ассоциированных структур Сасаки

3.4 Определение свойств К-контактности и сасакиевости

3.5 Нахождение ассоциированных К-контактных структур и структур Сасаки

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение систем аналитических вычислений к исследованию левоинвариантных контактных метрических структур на пятимерных группах Ли»

Введение

Системы аналитических вычислений находят широкое применение в самых различных областях науки. Как правило, в эти системы входят процедуры для численных и аналитических расчетов, средства для визуализации, программирования и представления результатов. Таким образом, системы компьютерной математики совмещают в одной оболочке обширный набор инструментов, позволяющий решать масштабные научные задачи.

В настоящее время повсеместно используются такие популярные системы как Maple, Mathematica, MathCad, MatLab, Derive. Они обладают универсальными математическими возможностями, широко распространены в России и за рубежом, постоянно совершенствуются, развивая аппарат и пополняя ресурсы, имеют возможность взаимной интеграции.

Современная геометрия, так же как и другие области математики привлекает новейшие компьютерные технологии для решения своих задач. Сегодня применение систем символьной математики не ограничивается численными расчетами. Существует множество примеров, доказывающих эффективность математических систем при доказательстве теорем.

Хорошо известна работа О. Г. Вагиной и М. И. Кабенюка в [2], в которой дано более короткое доказательство теремы о покрытии евклидовой плоскости равносторонними пятиугольниками, которая основана на вычислениях, сделанных с помощью пакета Maple. Отметим также доказательство К. Аппеля (К. Appel) и В. Хакена (W. Haken) знаменитой проблемы топологии о четырех красках [46, 47].

Пакеты аналитических вычислений использовались для исследования однородных римановых пространств. В этом направлении известны результаты Ю. Г.Никонорова по классификации однородных эйнштейновых многообразий [15, 16] и результаты Е. Д. Родионова и В. В. Славского по классификации локально конформно однородных многообразий [19, 73], а также по оценкам кривизн левоинвариантных римановых метрик на группах Ли [72].

Пакеты аналитических вычислений эффективно используются при исследовании геометрии групп Ли. Известны результаты А. Г. Крем лева и

Ю. Г. Никонорова [11, 12] по классификации сигнатур кривизны Риччи на четырехмерных группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками. При помощи системы Maple в работах О. П. Гладуновой [6] получена классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля. В работах П. Н. Подкур [17] система MATLAB успешно использовалась для развития теории вейвлетов с коэффициентом масштабирования N >2.

Данная диссертация посвящена применению математических пакетов для исследования левоинвариантных контактных метрических структур на пятимерных группах Ли. Контактные группы Ли появляются естественным образом во всех областях математики и физики, использующих контактную геометрию или топологию (см. напр. [49], [51], [59], [60], [61], [62]). Энциклопедическим изданием, связанным с понятием контактных многообразий, К-контактных и сасакиевых структур, является книга Д. Блэра [51].

Контактная структура - это структура на гладком многообразии нечетной размерности M2n+1, состоящая из гладкого поля касательных гиперплоскостей, удовлетворяющих условию максимальной невырожденности (см. ниже). Контактная структура тесно связана с симплектической и является ее аналогом для нечетномерных многообразий [1].

Поле касательных гиперплоскостей (контактное распределение) D на многообразии принято задавать дифференциальной 1-формой г/: D = {X (Е ТМ : г](Х) = 0}. Тогда условие того, что 1-форма ц определяет контактную структуру, заключается в требовании: г) А (dr])n ф 0.

Простым примером контактной структуры на 1R3 является 1-форма г] = dz — xdy. Другие естественные примеры контактных структур связаны с фазовыми пространствами. С геометрической точки зрения фазовое пространство представляет собой кокасательное расслоение Т*М многообразия М. На фазовом пространстве определена каноническая 1-форма 9 следующим образом. Если элемент их £ Т*М имеет в локальных координатах (хг) вид их = Pidx\ то 9W = pidx\ Тогда Q = dpi A dxl - каноническая симплектическая структура на фазовом пространстве Т*М. Легко видеть, что на многообразии Т*М х R форма г] = dz — pidx1 определяет контактную структуру. Хорошо известны конструкции контактизации симплектического многообразия и симплектизации контактного многообразия.

Контактные структуры находят применения в аналитической механике [1] благодаря тому, что на любом подмногообразии уровня гамильтониана, заданного на фазовом пространстве, возникает естественная контакт-

ная структура. Применение контактной геометрии в дифференциальных уравнениях хорошо представлено в работе В. В. Лычагина [13]. В ней даны также приложения контактной геометрии к вариационному исчислению, симмметриям и автомодельным решениям в нелинейной акустике.

Основным вопросом о контактных структурах является их существование на заданном многообразии. Существование контактной структуры накладывает сильные топологические и алгебраические условия на многообразие (например, структурная группа касательного расслоения редуцируется к U(n) х 1). Каждое замкнутое ориентируемое 3-многообразие допускает контактную структуру (Дж. Мартинет, 1971). Несмотря на то, что некоторые ответы были получены А. Вейнстейном (1991) и X. Гейге-сом (1998) на основе использования специальных методов построения вопрос по-прежнему остается открытым в высоких размерностях. Согласно М. Громову, на каждой связной некомпактной группе Ли нечетной размерности существует контактная структура. Но такие контактные структуры не обязательно являются инвариантными относительно левых сдвигов на группе Ли.

Нечетномерные торы среди многообразий имеют наиболее простое глобальное описание, но на них очень сложно задать контактную структуру. Лутц построил [67] контактную структуру на Т5, и это стимулировало интерес к нахождению контактных структур на торах более высоких размерностей. Ф. Бургеоис (Bourgeois) (2002) показал, что на самом деле все нечетномерные торы допускают контактную структуру. X. Гейгес доказал, что каждое многообразие вида М х Е, где М - контактное многообразие и Е- поверхность рода как минимум 1, допускает контактную структуру [60].

Группы Ли с левоинвариантными симплектическими структурами широко изучаются в последнее время многими авторами (среди которых А. Медина, М. Гозе, А. Лихнерович, Э.Б. Винберг, К. Накайяма). Однако контактные группы Ли все еще остаются малоизученными. В настоящее время известны примеры контактных групп Ли размерности > 3, которые имеют центр (недискретный) размерности 1. В работе [66] решен вопрос существования левоинвариантных контактных форм на филиформовых группах Ли (то есть, с нильпотентной алгеброй Ли 0, у которой нильин-декс равен dim(g) — 1) и классификации всех контактных структур на таких группах Ли. В работе [57] А. Диатты приведены построения, которые позволяют получать многие контактные группы Ли (особенно такие, которые имеют дискретный центр) в любой нечетной размерности.

Обобщая результаты Дж. Грея, Бузби и Янг в работе [54] доказали, что единственные полу простые группы Ли, которые несут левоинвариантную

контактную структуру - только те, которые локально изоморфны SL(2) или 50(3). В статье [53] Д. Блэр в своем основном результате (см. также [51]) доказал, что контактная метрическая структура на контактном многообразии М размерности > 5 не может быть плоской. В работе [57] показано, что в случае контактных групп Ли размерности > 5 не существует плоской левоинвариантной римановой метрики, даже если бы такая метрика никак не была бы связана с заданной контактной структурой. Известно [57], что если dim(G') > 5, тогда не существует левоинвариантной контактной структуры в следующих случаях: 1) G обладает свойством, что каждая левоинвариантная метрика имеет секционную кривизну постоянного знака; 2) G - разрешимая 2-степенная группа Ли отрицальной кривизны; 3) G имеет левоинвариантную риманову метрику с отрицательной секционной кривизной такую, что связность Леви-Чивита V и тензор кривизны R удовлетворяют условию Vi? = 0. Помимо этого в [57] доказано, что в случае dimG > 3 не существует левоинвариантной /^-контактной метрической структуры, имеющей кривизну Риччи постоянного знака. В частности, не существует К-контактных-эйнштейновых и тем более сасаки-эйнштейновых, левоинвариантных структур на группах Ли размерности > 5. В любой размерности 2п + 1 > 7 существует бесконечно много локально неизоморфных разрешимых контактных групп Ли ¡57].

Проблема нахождения групп Ли, допускающих левоинвариантную контактную структуру (контактные группы Ли), все еще остается открытой.

Классификация пятимерных разрешимых и неразрешимых контактных групп Ли получена в работе Диатты [57]. Разложимая (произведение двух идеалов) 5-мерная контактная алгебра Ли является или прямым произведением g = äff (Ж) х а, где а - любая трехмерная алгебра Ли, отличная от х Ж2, или прямым произведением точной симплектической 4-мерной алгебры Ли и К. [57]. Классификация трехмерных алгебр Ли представлена в работах [7], [68]. Среди всех неразрешимых пятимерных групп Ли контактными являются только такие, у которых алгебра Ли является одной из следующих: разложимые: äff (Ж) х 5/(2), äff (Ж) х so(3) и неразложимые: sl(2) хрМ2 [57]. Классификация симплектических и точных симплектических четырехмерных алгебр Ли получена в работах [69], [70]. Почти кэлеровы структуры на четырехмерных алгебрах Ли изучались в диссертации Е.С. Корнева [10]. В частности, в статье [63] приведены исследования четырехмерных групп Ли. Классификация пятимерных алгебр Ли получена Г.М. Мубаракзяновым [14]. Эта же классификация приведена в [71]. Пятимерные группы Ли, наделенные структурой Саса-ки, классифицированы в работе [48].

Цели диссертационной работы:

1. Создание новых алгоритмов и программ в среде пакета Maple для построения ассоциированных контактных метрических структур и определения их свойств.

2. Исследование левоинвариантных контактных метрических структур на пятимерных группах Ли.

Для достижения поставленных целей в работе решаются следующие задачи:

1. Построение контактных алгебр Ли.

2. Создание математической модели задач построения и исследования ассоциированных левоинвариантных контактных метрических структур.

3. Исследование контактных метрических структур на разрешимых и неразрешимых алгебрах Ли.

4. Вычисление геометрических характеристик контактных метрических структур.

Выполнение задач диссертационного исследования осуществляется на основе комплексного использования методов компьютерной алгебры, математического анализа, теории групп и алгебр Ли, римановой и псевдо-римановой геометрии и тензорного анализа.

Основные результаты работы:

1. Разработаны алгоритмы и создан комплекс программ в системе компьютерной математики Maple для построения ассоциированных структур Сасаки, ассоциированных контактных метрических структур; вычисления основных тензоров и геометрических характеристик контактных метрических структур.

2. С использованием систем аналитических вычислений получены явные многопараметрические выражения левоинвариантных контактных метрических структур на всех пятимерных контактных группах Ли.

3. Построенные контактные метрические структуры исследованы с использование систем аналитических вычислений. Найдены алгебры Ли, допускающие: i^-контактные структуры; структуры Сасаки; эйнштейновы и ^-эйнштейновы структуры; псевдоримановы ii-контактные-эйнштейновы и сасаки-эйнштейновы структуры.

4. С использованием систем аналитических вычислений исследованы свойства /С-контактных метрических структур, связанные с римано-вой субмерсией.

5. С использованием систем аналитических вычислений исследованы взаимосвязи между почти кэлеровыми (кэлеровыми) и К-контактными (сасакиевыми) структурами.

Научная новизна работы. В данной диссертационной работе разработаны алгоритмы и программы в системе аналитических вычислений Maple для построения ассоциированных контактных метрических структур, нахождения основных тензоров и всех геометрических характеристик контактных метрических структур на пятимерных группах Ли.

Применяя разработанные алгоритмы, получены новые результаты в теории контактных метрических структур на группах Ли. Впервые:

1. Получены явные многопараметрические выражения ассоциированных левоинвариантных метрик на пятимерных группах Ли, найдены их геометрические характеристики.

2. Найдены в явном виде i^-контактные, сасакиевы, эйнштейновы, г]-эйнштейновы структуры на пятимерных группах Ли.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации являются новыми, имеют теоретическое и практическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях левоинвариантных контактных структур на группах Ли и однородных пространствах. Алгоритмы и программы, разработанные при решении указанных задач, могут применяться для решения аналогичных задач однородной (псев-до)римановой геометрии. Построенные компьютерные модели позволяют решать вопросы существования структур Сасаки на пятимерных группах Ли, определять компоненты связности, тензора кривизны Римана, секционной кривизны, тензора Риччи, оператора Риччи, скаляной кривизны, квадраты норм тензоров Римана и Риччи, главные кривизны Риччи, а также компоненты основных тензоров контактной метрической структуры.

Полученные теоретические и практические результаты могут быть использованы в учебном процессе при организации специальных курсов для студентов и аспирантов.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на ряде конференций: Региональной научно-методической конференции «Математическое образование на Алтае» (г. Барнаул, 24 ноября 2006 г.); II

(XXXIV) Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Образование, наука, инновации - вклад молодых исследователей» (г. Кемерово, апрель, 2007 г.); Российской конференции «Математика в современном мире», посвященной 50-летию Института математики им. С. JI. Соболева СО РАН. (г. Новосибирск, 1723 сентября 2007 г.); Международной научно-практической конференции «Математическое образование в регионах России», посвященной 65-летию кафедры «Высшая математика» АлтГТУ (г. Барнаул, 26 октября 2007 г.); Шестой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2007» (г. Казань, 16-19 декабря 2007 г.); III (XXXV) Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Образование, наука, инновации - вклад молодых исследователей» (г. Кемерово, апрель, 2008 г.); Всероссийской конференции по математике и механике (г. Томск, 22-25 сентября 2008 г.); Всероссийской научно-методической конференции «Математическое образование на Алтае» (г. Барнаул, 21 ноября 2008 г.); Седьмой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2008» (г. Казань, 1-3 декабря 2008 г.); Двенадцатой региональной конференции по математике «МАК-2009» (г. Барнаул, 19-22 июня 2009 г.); Международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии» (г. Новосибирск, 14-20 сентября 2009 г.); Восьмой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2009» (г. Казань, 1-6 ноября 2009 г.); Межрегиональной школе-семинаре «Ломоносовские чтения на Алтае» (г. Барнаул, 4-8 октября 2010 г.); Международной научно-практической Интернет-конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития, 2010» (г. Одесса, 4-15 октября 2010 г.); Международной школе-конференции по геометрии и анализу (г. Кемерово, 19-26 июня 2011 г.); Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске, 2011», посвященной 50-летию кафедры геометрии и топологии НГУ (г. Новосибирск, 1-4 сентября 2011 г.); Международной школе-семинаре «Ломоносовские чтения на Алтае-2011» (г. Барнаул, 8-11 ноября 2011 г.).

Кроме того, все результаты диссертации в разное время докладывались на научном семинаре по геометрии и анализу кафедры математического анализа КемГУ, г. Кемерово.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 24 работы [20] - [43]. Три работы [37], [41], [42] опубликованы в ведущих рецензируемых журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией.

Содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Каждая глава разбита на несколько разделов. Нумерация каждого утверждения в диссертации состоит из трех цифр, первая из которых обозначает номер главы, вторая - номер раздела, третья - номер утверждения данного типа. Аналогично нумеруются формулы и таблицы.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор современного состояния изучаемых проблем и приводится краткое изложение диссертации.

Первая глава диссертации «Модель задачи построения левоинвари-антных контактных метрических структур на пятимерных группах Ли» посвящена описанию компьютерных моделей, их математическим методам решения, а также методам решения с использованием систем компьютерной математики.

В первом разделе первой главы приводятся необходимые сведения о системе аналитических вычислений Maple, в том числе дается краткое описание пакетов встроенных процедур linalg и LinearAlgebra, используемых в процессе решения указанных выше задач.

Во втором разделе первой главы приводятся математические методы реализации задачи построения контактных метрических структур. Также вводятся предварительные соглашения и обозначения. Затем приводятся общие сведения о контактных структурах, К-контактных метрических структурах, контактных структурах Сасаки и ^-эйнштейновых контактных метрических структурах на многообразиях и группах Ли произвольной нечетной размерности; описываются методы контактизации (т.е. построения контактных алгебр Ли). Приводится список вещественных разрешимых симплектических групп Ли (таблица 1.2.1) размерности 4 ([69], [70]); классификационные результаты по пятимерным неразрешимым и разрешимым контактным алгебрам Ли. Основным результатом главы является теорема 1.2.11, в которой для контактных алгебр Ли списка Диат-ты найдены изоморфные им алгебры Ли в виде центральных расширений четырехмерных алгебр Ли.

В третьем разделе первой главы описываются комплексы компьютерных моделей построения контактных структур, контактных метрических структур на пятимерных группах Ли и алгоритмы, реализованные в пакете символьной математики Maple. Основным результатом раздела является модель, позволяющая решить вопрос о существовании структуры Сасаки на заданной контактной группе Ли, определить геометрические характеристики структуры Сасаки, а также модель построения и исследования контактных метрических структур на пятимерных группах Ли.

Вторая глава диссертации «Применение математических пакетов к классификации контактных метрических структур» посвящена исследованию контактных пятимерных групп Ли.

В первом разделе второй главы приводятся исследования левоинвари-антных ii-контактных структур. В этом случае существует естественная риманова субмерсия ii-контактной группы Ли на почти кэлерову группу Ли. В данном разделе приведены явные формулы для вычисления элементов римановой субмерсии в случае левоинвариантной К-контактной структуры (ту, g) на группе Ли G2n+1 и римановой субмерсии 7г ; G —► M — G/Fq.

Основной результат раздела - это теорема 2.1.1, устанавливающая выражения тензора Риччи через тензор Риччи факторпространства M = G/Fq, где Fo - однопараметрическая подгруппа поля Риба

Теорема 2.1.1. Если левоинвариантная контактная метрическая структура (ту, </?, д) на группе Ли G2n+1 является К-контактной, то в ортонормированном базисе Е\,..., Е^п+ъ первые 2п векторов которого лежат в контактном распределении D, а вектор I?2n+i есть поле Риба тензор Риччи Rie имеет следующую структуру:

-Ric2n+i,2n+i = п/2, Ricij = RicMij — -Sjj,

1 2 n

Ягсг,2п+1 = "4 E (ClfiT1 + (С8ц + Cïj + г, j = 1,..., 2n,

j,s=1

где Rîcm - тензор Риччи факторпространства M = G/Fq.

Другим результатом раздела является теорема 2.1.4, устанавливающая связь между тензором N^ контактной метрической структуры на G и тензором Нейенхейса N соответствующей почти комплексной структуры на M = G/Fo, которой предшествуют леммы:

Лемма 2.1.2. Для К-контактной метрической структуры на группе Ли G для любых касательных векторов X, Y € TgG, Vg G G имеет место следующая формула

dTT(N^(X, Y)) = N(dir{X),d>K{Y)).

Лемма 2.1.3. Для любых касательных векторов X, Y G TgG, Уд £ G значения тензора кручения Y) контактной метрической струк-

туры лежат в контактном распределении, т. е.

Теорема 2.1.4. Тензор кручения N^(X,Y) К-контактной метрической структуры (?у, g) равен нулю тогда и только тогда, когда равен нулю тензор Нейенхейса N{X, Y) почти комплексной структуры многообразия (G/Fq, дм, J). Поэтому К-контактная метрическая

структура (ту, (р, д) является сасакиевой тогда и только тогда, когда многообразие (М = G/Fo, дм,^, J) является кэлеровым.

Во втором разделе второй главы исследуются контактные структуры на пятимерных группах Ли, которые получены контактными расширениями точных четырехмерных и двумерных симплектических групп Ли.

Исследуются контактные алгебры Ли, полученные основными методами контактизации на основе точных симплектических подалгебр Ли коразмерности 1, и доказывается

Теорема 2.2.1. Если симплектическая алгебра JIu (f); ш) является точной симплектической, lü = da, то контактные расширения (f) xw R, г] = — е°) и (f) х R, г] = se0 -f а) являются изоморфными при любом значении параметра s ф 0.

Устанавливается связь между левоинвариантной почти кэлеровой структурой на точной симплектической группе Ли и левоинвариантной ií-контактной метрической структурой на ее контактном расширении и доказывается

Лемма 2.2.2. Левоинвариантная почти кэлерова структура (f),си = da, Jh)9h) на точной симплектической группе Ли (Н, lo = da) однозначно определяет левоинвариантную К-контактную метрическую структуру {r¡, tp, д) на контактном расширении (f) х Reo, r¡ = е° + а).

Исследуется взаимосвязь между левоинвариантной i^-контактной структурой Сасаки на контактной алгебре Ли и левоинвариантной кэлеровой структурой на ее точной симплектической подалгебре Ли коразмерности 1 и доказывается

Теорема 2.2.3. Точная симплектическая алгебра Ли (f),u; = da) обладает левоинвариантной кэлеровой структурой (f),и> = da, Jh,9h) шогда и только тогда, когда контактное расширение (f) х Reo,?] = е° + се) обладает левоинвариантной К-контактной структурой Сасаки (г], £ = ео ,<Р,9)-

Посредством контактных расширений четырехмерных точных симплектических групп Ли получены пятимерные контактные группы Ли. На каждой из них построена контактная метрическая структура. Исследованы свойства ассоциированных контактных метрических структур в зависимости от параметров, а также приведены их основные геометрические характеристики. Описаны примеры контактных метрических структур, которые не являются сасакиевыми. На примере одной из алгебр Ли рассмотрены и исследованы частные классы ассоциированных метрик. Выявлены ^-эйнштейновы контактные метрические структуры. Приведены группы Ли, допускающие псевдоримановы эйнштейновы üf-контактные структуры Сасаки.

Построены контактные метрические структуры на контактных расширениях двумерных симплектических групп Ли. Приведены примеры К-контактных структур Сасаки. Построенные контактные расширения включают в себя и неразрешимый случай.

В третьем разделе второй главы рассматриваются контактные структуры на пятимерных группах Ли, которые получены центральными расширениями четырехмерных симплектических групп Ли. За основу принимается классификация четырехмерных симплектических групп Ли, полученная в работах Г. Ованды [69] и [70]. Доказана

Теорема 2.3.1. Левоинвариантная почти кэлерова структура (i), со, Jhi9h) на симплектической группе Ли (Н,со) однозначно определяет ле-воинвариантную К-контактную структуру (77, д) на центральном расширении группы Н.

Приведены все пятимерные группы Ли, которые получены центральными расширениями четырехмерных симплектических групп Ли (таблица 2.3.2).

Построены ассоциированы^ контактные метрические структуры. Вычислены их основные геометрические характеристики. Выявлены группы Ли, допускающие сасакиевые ^-эйнштейновы контактные метрические структуры. Приведены примеры контактных метрических структур, которые не являются сасакиевыми.

В четвертом разделе второй главы рассмотрены ассоциированные контактные метрические структуры на разрешимых и неразрешимых алгебрах Ли.

Данный раздел начинается с рассмотрения контактных структур на пятимерных группах Ли (таблица 2.4.1), которые не получены ни контактными расширениями четырехмерных точных симплектических групп Ли, ни центральными расширениями симплектических групп Ли, но имеются в классификационном списке [57].

Рассмотрены ассоциированные контактные метрические структуры на неразрешимых пятимерных алгебрах Ли. Изучены их свойства и основные геометрические характеристики.

В пятом разделе второй главы полученные результаты относительно контактных метрических структур на пятимерных группах Ли сведены в одну таблицу (таблица 2.5.1).

В третьей главе диссертации «Программный комплекс для классификации контактных метрических структур» приведены листинги комплекса программ в системе компьютерной математики Maple.

В первом разделе третьей главы приводится текст программы Maple, реализующий вычисления тензора Риччи на группе Ли G2n+1 через тен-

зор Риччи факторпространства М = G/FQ, где F0 - однопараметрическая подгруппа поля Риба используя выражения теоремы 2.1.1 в случае ле-воинвариантной iC-контактной <£>,#) структуры.

Во втором разделе третьей главы приводится текст программы Maple, позволяющий найти ассоциированные контактные метрические структуры Сасаки на группе Ли G\ размерности 5.

Данный раздел позволяет решить вопрос о существовании структур Сасаки на заданной пятимерной алгебре Ли, а также найти в явном виде многопараметрические выражения аффинора if, по которому затем строится ассоциированная метрика и исследуются ее свойства на основе программы, изложенной в третьем разделе.

В третьем разделе третьей главы приводится текст программы Maple, реализующий вычисления основных геометрических характеристик ассоциированной контактной структуры Сасаки (г),£,<рр,др): символов Кри-стоффеля, тензора кривизны и его нормы, секционной кривизны, тензора Риччи и его нормы, оператора Риччи, главных кривизн Риччи, скалярной кривизны.

Данная программа позволяет получить явный вид многопараметрического семейства ассоциированных метрик и определить, какие из них обладают свойством эйнштейновости и ту-эйнштейновости.

В четвертом разделе третьей главы приводится текст программы Maple, позволяющий определить свойства ii-контактности и сасакиевости для контактной метрической структуры (77, щ, до).

Кроме основных геометрических характеристик, программа позволяет вычислить тензоры, отвечающие за свойства ii-контактности и сасакиевости: тензор тензор N^; а также проверить дополнительные критерии и условия:

дШ,Х)Х,0 = \ = R(X,Y^ = ^,Y)X~g(X,OY).

В пятом разделе третьей главы приводится текст программы Maple, позволяющий определить свойства Х-контактности и сасакиевости ассоциированных контактных метрических структур (г],^,(рр, др), построенных на основе формул:

д(Х, Y) = drj(X, <pY) + rj(X)ri{Y), ifP = ^(J + P)(I ~ Р)~\

где P удовлетворяет условиям: 1) Р является самосопряженным (симметричным) оператором относительно метрики 2) Р(ро — —(foP и Р{0 = 0; 3) оператор I — Р2 - невырожден.

Помимо этого, данная программа позволяет рассматривать частные классы ассоциированных метрик и соответственно ассоциированных контактных метрических структур.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Славолюбова, Ярославна Викторовна

Заключение

С помощью методов компьютерной алгебры, математического анализа, теории групп и алгебр Ли, тензорного анализа, (псевдо)римановой геометрии и информационных технологий в диссертации получены следующие результаты:

1. Разработаны алгоритмы и создан комплекс программ в системе компьютерной математики Maple для построения ассоциированных структур Сасаки, ассоциированных контактных метрических структур; вычисления основных тензоров и геометрических характеристик контактных метрических структур.

2. С использованием систем аналитических вычислений получены явные многопараметрические выражения левоинвариантных контактных метрических структур на всех пятимерных контактных группах Ли.

3. Построенные контактные метрические структуры исследованы с использование систем аналитических вычислений. Найдены алгебры Ли, допускающие:

К-контактные структуры; структуры Сасаки;

-эйнштейновы и эйнштейновы структуры; псевдоримановы i^-контактные-эйнштейновы и сасаки-эйнштей-новы структуры.

4. С использованием систем аналитических вычислений исследованы свойства К-контактных метрических структур, связанные с римано-вой субмерсией.

5. С использованием систем аналитических вычислений исследованы взаимосвязи между почти кэлеровыми (кэлеровыми) и К-контактными (сасакиевыми) структурами.

Успешное применение систем компьютерной алгебры зависит, в первую очередь, от правильного выбора модели соответствующей геометрической задачи. Вычислительная система при исследовании задачи играет роль экспериментальной базы, позволяет численно проверить возникающие гипотезы и, что более примечательно, указать путь к математически строгому доказательству.

Вышеуказанные результаты, полученные с привлечением средств и методов систем символьных вычислений, показывают целесообразность применения подобных систем к исследованиям в области однородной (псев-до)римановой геометрии.

Следовательно, можно сделать вывод об эффективности дальнейшего использования систем компьютерной математики для получения новых результатов в решении геометрических задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Славолюбова, Ярославна Викторовна, 2011 год

Литература

[1] Арнольд В. И. Математические методы классической механики -5-е изд., стереотипное. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 416 с.

[2] БагинаО. Г., КабенюкМ. И. Покрытие плоскости равносторонними пятиугольниками // Вестник КемГУ. - 2001. - N5 3. - С. 162-166.

[3] БессеА. Многообразия Эйнштейна. - М.: Мир, 1990. - Т. II. - 384 с.

[4] Берар-Бержери JI. Однородные римановы пространства размерности 4 11 Доклад III, в кн. «Четырехмерная риманова геометрия: семинар Артура Бессе 1978/79 г.». - М.: Мир, 1985. - С. 45-59.

[5] Говорухин В., ЦибулинБ. Компьютер в математическом моделировании. - СПБ.: Питер, 2001. - 620 с.

[6] ГладуноваО. П. Применение пакетов аналитических вычислений для нахождения инвариантных тензорных полей на однородных пространствах: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. - Барнаул, 2008. - 184 с.

[7] ДжекобсонН. Алгебры Ли. - М.: Мир, 1964. - 355 с.

[8] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. - В 2 т. - М.: Эдиториал УРСС, 1998. - 760 с.

[9] КобаясиШ., НамидзуК. Основы дифференциальной геометрии. -М.: Наука, 1981. - Т. 1. - 344 с.

[10] Корнев Е. С. Почти комплексные структуры и ассоциированные метрики на четырехмерных группах Ли: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.04. - Кемерово, 2006. - 148 с.

[11] КремлевА. Г., НиконоровЮ. Г. Сигнатура кривизны Риччи левоин-вариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Унимодулярный случай // Мат. труды. - 2008. - Т. 11, № 2. - С. 115-147.

[12] КремлевА. Г., Никоноров Ю. Г. Сигнатура кривизны Риччи левоин-вариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Неунимодулярный случай // Мат. труды. - 2009. - Т. 12, № 1. -С. 40-116.

[13] ЛычагинВ.В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка // Успехи мат. наук. - 1979. - Т. 34, вып. 1. - С. 137-165.

[14] Мубаракзянов Г. М. О разрешимых алгебрах Ли // Известия высших учебных заведений. Математика. - 1963. - № 1(32). - С. 114-123.

[15] Никоноров Ю. Г. Компактные семимерные однородные многообразия Эйнштейна // Доклады Академии наук. - 2000. - Т. 372, № 6. - С. 589-592.

[16] Никоноров Ю. Г. Аналитические методы в теории однородных эйнштейновых многообразий. - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2000. - 183 с.

[17] Подкур П. Н. Масштабирующие функции и вейвлеты с коэффициентом масштабирования N > 2: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. - Барнаул, 2007. - 233 с.

[18] Постников М. М. Группы и алгебры Ли // Лекции по геометрии. -М.: Наука, 1982. - Семестр 5. - 300 с.

[19] РодионовЕ. Д., СлавскийВ.В. Локально конформно однородные пространства // Доклады Академии наук. - 2002. - Т. 387, № 3. - С. 314-317.

[20] СлаволюбоваЯ. В. Левоинвариантные контактные метрические структуры на группе Ли Гейзенберга размерности 5 // Математическое образование на Алтае: тезисы региональной конференции по математическому образованию на Алтае (г. Барнаул, 24 ноября 2006 г.). - Барнаул, 2006. - С. 36-39.

[21] СлаволюбоваЯ.В. Левоинвариантные контактные метрические структуры на пятимерной группе Ли Гейзенберга // Вестник Кем-ГУ. - 2006. - Вып. 4(28). - С. 24-29.

[22] СлаволюбоваЯ. В. О контактной структуре на одной пятимерной группе Ли // Образование, наука, инновации - вклад молодых исследователей: труды II (XXXIV) Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (г. Кемерово, апрель 2007 г.). - Кемерово, 2007. - Т. 2, вып. 8. - С. 483-486.

[23] СлаволюбоваЯ. В. О контактных структурах на некоторых пятимерных группах Ли // Математика в современном мире: тезисы докладов Российской конференции, посвященной 50-летию Института математики им. С. J1. Соболева СО РАН (г. Новосибирск, 17-23 сентября 2007 г.). - Новосибирск, 2007. - Режим доступа: http://math.nsc.ru/conference/conf50/Abstracts.pdf - С. 102-103.

[24] СлаволюбоваЯ. В. Левоинвариантные контактные метрические структуры на пятимерных неразрешимых группах Ли // Математическое образование в Регионах России: труды международной научно-практической конференции, посвященной 65-летию кафедры «Высшая математика» АлтГТУ (г. Барнаул, 26 октября 2007 г.). -Барнаул, 2007. - С. 24-29.

[25] СлаволюбоваЯ. В. Левоинвариантные контактные метрические структуры на пятимерных разрешимых группах Ли // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 36. Лобачевские чтения-2007: материалы Шестой молодежной научной школы-конференции (г. Казань, 16-19 декабря 2007 г.). - Казань: Казанское математическое общество: Издательство КазГУ, 2007. - С. 194-196.

[26] СлаволюбоваЯ. В. Об одной пятимерной K-контактной и нормальной группе Ли // Образование, наука, инновации - вклад молодых исследователей: труды III (XXXV) Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (г. Кемерово, апрель 2008 г.). - Кемерово, 2008. - Т. 1, вып. 9. -С. 211-214.

[27] СлаволюбоваЯ.В. Левоинвариантные контактные метрические структуры на пятимерных разрешимых группах Ли // Тезисы докладов Всероссийской конференции по математике и механике (г. Томск, 22-25 сентября 2008 г.). - Томск, 2008. - С. 111-112.

[28] СлаволюбоваЯ.В. Примеры K-контактных метрических структур на пятимерных разрешимых группах Ли // Математическое образование в регионах России: материалы Всероссийской научно-практической конференции (г. Барнаул, 21 ноября 2008 г.). - Барнаул, 2008. - С. 38-41.

[29] СлаволюбоваЯ. В. Левоинвариантные контактные метрические структуры на пятимерных разрешимых группах Ли // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 37. Лобачевские чтения-2008: материалы Седьмой молодежной научной школы-

конференции (г. Казань, 1-3 декабря 2008 г.). - Казань: Казанское математическое общество: Издательство КазГУ, 2008. - С. 161-164.

[30] СлаволюбоваЯ. В. Контактные расширения четырехмерных точных симплектических групп Ли // Вестник КемГУ. - 2008. - Вып. 4(36). - С. 20-24.

[31] СлаволюбоваЯ.В. Центральные расширения четырехмерных симплектических групп Ли // МАК-2009: тезисы Двенадцатой региональной конференции по математике (г. Барнаул, 19-22 июня 2009 г.). - Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2009. - С. 53-57.

[32] СлаволюбоваЯ.В. Левоинвариантные К-контактные структуры на 5-мерных группах Ли // Современные проблемы анализа и геометрии: тезисы Международной конференции (г. Новосибирск, 14-20 сентября 2009 г.). - Новосибирск, 2009. - Режим доступа: http: / / www.math.nsc.ru / conference / cag09/files / abstracts-ver-2009-09-09.pdf- С. 108-109.

[33] СлаволюбоваЯ.В. Левоинвариантные контактные метрические структуры на пятимерных разрешимых группах Ли // Вестник ТГУ. Математика и механика. - 2009. - № 3(7). - С. 56-64.

[34] СлаволюбоваЯ.В. Нормальные контактные метрические структуры на одной из пятимерных разрешимых групп Ли // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 39. Лобачевские чтения-2009: материалы Восьмой молодежной научной школы-конференции (г. Казань, 1-6 ноября 2009 г.). - Казань: Казанское математическое общество: Издательство КазГУ, 2009. - С. 342-344.

[35] СлаволюбоваЯ. В. Контактные расширения трехмерных унимоду-лярных алгебр Ли // Ломоносовские чтения на Алтае: сборник научных статей межрегиональной школы-семинара (г. Барнаул, 4-8 октября 2010 г.). - Барнаул, 2010. - Ч. I. - С. 70-74.

[36] СлаволюбоваЯ.В. Контактные метрические структуры на контактных расширениях трехмерных унимодулярных алгебр Ли // Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития, '2010: сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции (г. Одесса, 4-15 октября 2010 г.). - Одесса: Черноморье, 2010. - Т. 16. -С. 10-15.

[37] СлаволюбоваЯ.В. К-контактные структуры на группах Ли // Вестник ТГУ. Математика и механика, 2011. - № 1(13). - С. 47-54.

[38] СлаволюбоваЯ. В. Левоинвариантные контактные метрические структуры на группах Ли // LAMBERT Academic Publishing. -2011. - 161 с.

[39] СлаволюбоваЯ. В. Псевдоримановы сасакиевы К-контактные эйнштейновы структуры на пятимерных группах Ли / / Тезисы докладов Международной школы-конференции по геометрии и анализу (г. Кемерово, 19-26 июня 2011 г.). - Кемерово, 2011. № ГР 0321102235. - Режим доступа: http://www.math.kemsu.ru/kma/file/tesis/index.htm - 4 с.

[40] СлаволюбоваЯ. В. Левоинвариантные псевдоримановые эйнштейновы структуры на пятимерных группах Ли // Дни геометрии в Новосибирске, 2011: материалы Международной конференции, посвященной 50-летию кафедры геометрии и топологии НГУ (г. Новосибирск, 1-4 сентября 2011 г.). - Новосибирск, 2011. - Режим доступа: http://math.nsc.ru/conference/geomtop2011/abstracts/ Slavolubova.pdf - 4 с.

[41] СлаволюбоваЯ.В. Применение математических пакетов для исследования контактных метрических структур // Вестник КузГ-ТУ. - Кемерово, 2011. - № 6. - С. 62-65.

[42] СлаволюбоваЯ.В. Применение систем компьютерной математики к решению вопросов существования псевдоримановых Неконтактных эйнштейновых структур Сасаки на группах Ли // Вестник КемГУ. - 2011. - № 3/1. - С. 151-154.

[43] СлаволюбоваЯ.В. Математическая модель задачи существования структуры Сасаки на 5-мерных группах Ли: препринт. - Кемерово: Кузбассвузиздат, 2011. - 20 с.

[44] СмоленцевН. К. Пространства римановых метрик // Современная математика и ее приложения, 2003. - Т. 31. - С. 69-146.

[45] ХелгасонС. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. - М.: Мир, 1964. - 608 с.

[46] Appel К., Haken W. Every Planar Map is Four Colorable // Bulletin of the American Mathematical Society. - 1976. - V. 82, No. 5. - P. 711-712.

[47] Appel К., Haken W. The Solution of the Four-С olor-Map Problem // Scientific American. - 1977. - V. 237, No. 4. - P. 108-121.

[48] AndradaA., Fino A. and VezzoniL. A class of sasakian 5-manifolds // arXiv:math/08071800v2, [math.DG], 2009. - 19 p.

[59 [60 [61 [62 [63

Arnold V.I. Contact geometry: the geometrical method of Gibbs's thermodynamics // Proceedings of the Gibbs Symposium (New Haven, CT, 1989), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1990. - P. 163-179.

BarberisM.l. Hyper complex structures on four-dimensional Lie groups 11 Proc. Amer. Math. Soc, 1997. - V. 125, No. 4. - P. 1043-1054.

Blair D. E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry // Lecture Notes in Mathematics. - Springer, Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1976. - 145 p.

Blair D.E. Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds // Second Edition. DOI 10.1007/978-0-8176-4959-3, Springer Scince+Business Media, LLC.Birkhauser, 2010. - V. 203. - 339 p.

Blair D.E. On the non-existence of flat contact metric structures // Tohoku Math. J.(2) 28. - 1976. - No. 3. - P. 373-379.

Boothby W. M.; WangH. C. On contact manifolds // Ann. of Math. J.(2) 68, 1958. - P. 721-734.

ChuB. Y. Symplectic Homogeneous Spaces // Trans. Amer. Math. Soc., 1974. - Vol. 197. - P. 145-159.

DavidovJ. Eta-Einstein condition on twistor spaces of odd-dimensional Riemannian manifolds // Journal of Geometry 86, 2006. - P. 42-53.

DiattaA. Left invariant contact structures on Lie groups // arXiv: math.DG/0403555v2, 2004. - 17 p.

EliashbergY. Invariants in contact topology // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. - Berlin, 1998. - V. II. -P. 327-338.

EtnyreJ.B. Introductory Lectures on Contact Geometry // arXiv:math/0111118v2, [math.SG], 2002. - 27 p.

GeigesH. Contact Geometry // arXiv: math/0307242v2, [math.SG], 2004. - 86 p.

Geiges H. Christiaan Huygens and Contact Geometry / / arXiv:math/0501255vl, [math.HO], 2005. - 9 p.

GeigesH. The diffeotopy group of S1 x S2 via contact topology // arXiv:math/0903.1488v2, [math.GT], 2009. - 17 p.

GhanamR., Thompson G., Miller E.J. Variationality of Four-Dimensional Lie Group Connection // J. of the Lie Theory, 2004. - V. 14. - P. 395-425.

GozeM. Modeles d'algebres de Lie frobeniusiennes // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 293, 1981. - No. 8. - P. 425-427.

Jensen G. R. Homogeneous Einstein spaces of dimension four // J. Diff. Geom, 1969. - V. 3. - P. 309-349.

GozeM., Khakimdjanov Y., Medina A. Symplectic or contact structures on Lie groups // Differential Geom. Appl. - V. 21, No. 1. - 2004. - P. 41-54.

Lutz R. Sur la géométrie des structures de contact invariantes // Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 29. - 1979. - No. 1. - P. 283-306.

MilnorJ. Curvatures of Left Invariant Metrics on Lie Groups // Advances in mathematics 21. - Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey 08540. - 1976. - P. 293-329.

OvandoG. Complex, symplectic and Kàhler structures on four dimensional Lie algebras // arXiv:math/0309146vl, [math.DG], 2003.

- 15 p.

Ovando G. Four dimensional symplectic Lie algebras / / arXiv:math/0407501vl, [math.DG], 2004. - 21 p.

PateraJ., Sharp R. T., WintemitzP., ZassenhausH. Invariants of real low dimension Lie algebras // Journal of Mathematical Physics. - 1976.

- V. 17, No. 6. - P. 986-994.

RodionovE. D., SlavskiiV.V. Curvature estimations of left invariant Riemannian metrics on three dimensional Lie groups // Differential Geometry and Application. Proceeding of the 7th International Conference (Brno, August 10-14, 1998). - Masaryk University, Brno, Czech Republic, 1999.

[73] RodionovE. D., SlavskiiV.V. Conformai deformations of the Riemannian metrics and homogeneous Riemannian spaces // Comm. Math. Univ. Carol. - 2002. - V. 43, No. 2. - P. 271-282.