Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на группах ЛИ малой размерности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Кремлев, Антон Геннадьевич
- Специальность ВАК РФ01.01.04
- Количество страниц 147
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кремлев, Антон Геннадьевич
Введение
1 Предварительные сведения
1.1 Классификация вещественных алгебр Ли размерности <
1.2 Однородные римановы многообразия, группы Ли с левоинва-риантными римановыми метриками, метрические алгебры Ли
1.3 О локализации собственных значений.
1.4 О кривизне Риччи.
2 Кривизна Риччи на четырехмерных унимодулярных группах Ли
2.1 Четырехмерные разложимые унимодулярные алгебры Ли
2.2 Четырехмерные неразложимые унимодулярные алгебры Ли
3 Кривизна Риччи на четырехмерных неунимодулярных группах Ли
3.1 О двух нулевых собственных значениях оператора Риччи
3.2 Четырехмерные разложимые неунимодулярные алгебры Ли
3.3 Четырехмерные неразложимые неунимодулярные алгебры Ли
4 Кривизна Риччи на пятимерных нильпотентных группах Ли
4.1 Кривизна Риччи на пятимерных нильпотентных группах Ли
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Геометрия и топология», 01.01.04 шифр ВАК
Спектры операторов кривизны на группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками2015 год, кандидат наук Оскорбин, Дмитрий Николаевич
Применение пакетов аналитических вычислений для исследования свойств инвариантных тензорных полей на группах Ли2011 год, кандидат физико-математических наук Воронов, Дмитрий Сергеевич
Применение систем аналитических вычислений к исследованию левоинвариантных контактных метрических структур на пятимерных группах Ли2011 год, кандидат физико-математических наук Славолюбова, Ярославна Викторовна
Локально однородные (псевдо)римановы многообразия с ограничениями на тензор Схоутена - Вейля2022 год, кандидат наук Клепиков Павел Николаевич
Эйнштейновы солвмногообразия малой размерности2006 год, кандидат физико-математических наук Никитенко, Евгений Витальевич
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на группах ЛИ малой размерности»
Данная диссертация посвящена классификации возможных сигнатур оператора Риччи левоинвариантных римановых метрик на группах Ли. Хорошо известно, что различные ограничения на кривизну риманова многообразия позволяют получить информацию о его геометрическом и топологическом строении. Ярким примером этого является теорема Майерса, утверждающая, что полное риманово многообразие с положительной кривизной Риччи является компактным и имеет конечную фундаментальную группу [46].
Для однородных римановых многообразий кривизна Риччи еще более информативна. Например, согласно теореме Вохнера однородное риманово многообразие отрицательной кривизны Риччи обязано быть некомпактным [30]. Для заданного однородного пространства G/H (где Н — компактная подгруппа группы Ли G) естественно попытаться отыскать общие свойства оператора Риччи для всевозможных (2-инвариантных римановых метрик на пространстве G/H. Эту проблему можно уточнить и конкретизировать разными способами. Один из возможных вариантов — рассмотреть следующий вопрос: каковы возможные сигнатуры операторов Риччи С-инвариантных римановых метрик на однородном пространстве G/H?
Есть основания надеяться на то, что для пространств малой размерности этот вопрос может быть полностью разрешен. Благодаря работе Дж. Мил-нора [45] мы знаем ответ на этот вопрос в размерности не больше 3. Работы [28, 38, 50] дают ответ на поставленный вопрос для всех четырехмерных однородных пространств, отличных от групп Ли. Частичные результаты для групп Ли получены в работах Дж. Милнора [45], Ф. Набонпана [47], И. Дотти [36], Д. Чена [32] и др.
Данная диссертация посвящена изучению возможных сигнатур оператора Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли и пятимерных нильпотентных группах Ли.
В работе Ф. Набоннана [47] доказана нереализуемость сигнатур (+, +, 0,0) и (+,+,+,+) в качестве сигнатуры оператора Риччи левоинвариантных метрик на четырехмерных группах Ли. Аналогичный результат получен в недавней работе'Д. Чена [32]. Результаты настоящей работы существенно обобщают и уточняют это утверждение.
Напомним, что метрической алгеброй Ли называется пара (g, Q), где g — вещественная алгебра Ли, a Q — некоторое скалярное произведение на д. Произвольная левоинвариантная риманова метрика р на группе Ли G определяет скалярное произведение Q на алгебре Ли д группы G, и наоборот, каждое скалярное произведения Q на g индуцирует левоинвариантную метрику р на группе G. Если отождествить элементы алгебры Ли g с левоин-вариантными векторными полями на группе Ли G, то нетрудно получить в терминах метрической алгебры Ли (g, Q) формулы для вычисления основных характеристик кривизны риманова многообразия (G,p) [5].
Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Каждая глава в свою очередь разбита на несколько разделов. Нумерация каждого утверждения в диссертации состоит из трех чисел, первое из которых обозначает номер главы, второе — номер раздела, третье — номер утверждения данного типа. Для таблиц и формул используется сплошная нумерация.
Похожие диссертационные работы по специальности «Геометрия и топология», 01.01.04 шифр ВАК
Аналитические методы в теории однородных эйнштейновых многообразий2002 год, доктор физико-математических наук Никоноров, Юрий Геннадьевич
Применение пакетов аналитических вычислений для нахождения инвариантных тензорных полей на однородных пространствах2008 год, кандидат физико-математических наук Гладунова, Олеся Павловна
Структурно-геометрические свойства бесконечномерных групп ЛИ в применении к уравнениям математической физики2005 год, доктор физико-математических наук Лукацкий, Александр Михайлович
Алгебраическая разработка геометрии вещественных грассмановых многообразий1999 год, доктор физико-математических наук Козлов, Сергей Емельянович
Оценка числа инвариантных эйнштейновых метрик на однородных пространствах2007 год, кандидат физико-математических наук Граев, Михаил Маркович
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кремлев, Антон Геннадьевич, 2009 год
1. Алексеевский Д. В. Однородные римановы пространства отрицательной кривизны // Матем. сб. 1975. Т. 96. С. 93-117.
2. Алексеевский Д. В. Сопряженность полярных разложений групп Ли // Матем. сб. 1971. Т. 84. С. 14-26.
3. Алексеевский Д. В., Кимельфельд Б. Н. Структура однородных рима-новых пространств с нулевой кривизной Риччи // Функц. анализ и его прил. 1975. Т. 9, № 2. С. 5-11.
4. Берестовский В. Н. Однородные римановы многообразия положительной кривизны Риччи // Мат. заметки. 1995. Т. 58, № 3. С. 334-340.
5. Бессе A. Л. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990.
6. Винберг Э. Б., Горбацевич В. В., Онищик А. Л. Строение групп и алгебр Ли. (Совр. пробл. матем. Фунд. напр. Т. 41.) М.: ВИНИТИ, 1990.
7. Кремлев А. Г. Исследование операторов Риччи метрических алгебр Ли // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В.Ефимова. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2006. С. 48-50.
8. Кремлев А. Г. Сигнатуры операторов Риччи метрических алгебр Ли // Вестник БГПУ. 2006. № 6. С. 40-44.
9. Кремлев А. Г. О некоторых сигнатурах операторов Риччи метрических алгебр Ли малой размерности // МОНА 2006: тезисы региональной конференции по математическому образованию на Алтае. Барнаул: Изд-во БГПУ, 2006. С. 14-15.
10. Кремлев А. Г. Исследование оператора Риччи нильпотентных метрических алгебр Ли размерности 5 // Математическое образование в регионах России: материалы всероссийской научно-практической конференции. Барнаул. 2008. С. 19-21.
11. Кремлев А. Г., Никоноров Ю. Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинва-риантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Унимо-дулярный случай // Мат. труды. 2008. Т. 11. № 2. С. 115-147.
12. Кремлев А. Г., Никоноров Ю. Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинва-риантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Неуни-модулярный случай // Мат. труды. 2009. Т. 12. № 1. С. 40-116.18 1920
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.