Левоинвариантные почти комплексные структуры и ассоциированные метрики на группах Ли размерности 4 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Корнев, Евгений Сергеевич

• Корнев, Евгений Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Корнев, Евгений Сергеевич

Введение

1 Классификационные теоремы

1.1 Классификация четырехмерных алгебр Ли.

1.2 Классификация левоинвариантных ортогональных почти комплексных структур

1.3 Ассоциированные и приводимые почти комплексные структуры.

1.4 Вывод основных вычислительных формул.

2 Случай прямого произведения

2.1 Группа 80(3) х 51.

2.2 Группа 8Ц2,М) хМ.

2.3 Группа #3 х М.

2.4 Группа Е( 1) х Ж2.

2.5 Группа Е(1) х Е{ 1).

3 Случай полупрямого произведения

3.1 Группа (?1.

3.2 Группа в2.

3.3 Группа Gz.

3.4 Группа

3.5 Группа (?5.

3.6 Группа <36.

3.7 Группа С?7.

3.8 Группа

3.9 Группа Сгд.

ЗЛО Группа С?ю.

3.11 Группа

3.12 Группа Си.

4 Другие ассоциированные почти комплексные структуры и связанные с ними метрики

4.1 Общие конструкции.

4.2 Случай прямого произведения.

4.3 Случай полупрямого произведения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Левоинвариантные почти комплексные структуры и ассоциированные метрики на группах Ли размерности 4»

Работа посвящена изучению специальных классов почти комплексных структур на четырехмерных группах Ли и связанных с этими почти комплексными структурами левоин-вариантных метрик. Наряду с хорошо известным классом ортогональных почти комплексных структур вводятся ещё три новых класса почти комплексных структур. Первые два класса (приводимые и антиприводимые структуры) естественным образом возникают из геометрических соображений, а третий класс возникает при переносе понятия приводимой и антиприводимой почти комплексной структуры на почти комплексные структуры, сохраг няющие некоторую симплектическую форму и описанные в [9]. Впервые почти комплексная структура, инвариантно действующая на паре заданных двумерных распределений, была построена в работе П. Годушона [15] при рассмотрении расслоения Хопфа 53 х 51. Обобщение такой структуры на произвольные четномерные группы Ли приводит к понятию приводимых и антиприводимых почти комплексных структур. Вопрос об интегрируемости приводимых почти комплексных структур на связных односвязных группах Ли размерности 4 исследован в [13]. Можно также отметить, что обобщенное понятие почти комплексной структуры - гиперкомплексная структура на группах Ли размерности 4 рассматривается в [81В работе также получены некоторые общие теоретические результаты. В частности, получена классификация ортогональных почти комплексных структур относительно заданной метрики в зависимости от ее сигнатуры и теорема об интегрируемости почти приводимой комплексной структуры на группе Ли размерности А к, содержащей центр размерности 2 к. Попутно исследуется вопрос о существовании на четырехмерных группах Ли левоинвариантных симплектических структур и левоинвариантных кэлеровых метрик.

Основными результатами работы являются: полное описание двух известных и двух новых классов левоинвариантных почти комплексных структур на группах Ли размерности 4, доказательство классификационной теоремы для ортогональных левоинвариантных почти комплексных структур в случае размерности 4, построение новых классов левоинвариантных римановых и псевдоримановых метрик с различными и иногда даже уникальными свойствами, вычисление различных характеристик этих метрик и описание их связи со структурой алгебры Ли группы Ли размерности 4. Важнейшим результатом является то. группах Ли размерности 4". Отдельные части работы публиковались в журнале "Вестник Кемеровского государственного университета"в 2006 году и в электронном издании "Сибирские электронные математические известия"в 2007 году. А также в тезисах научных конференций Томского государственного университета (2003 год), института математики СО РАН (2004 год) и Кемеровского государственного университета (2005 год). Различные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

• Конференция, посвященная 120-летию Томского государственного университета, Томск, сентябрь 2003 года.

• Школа-конференция, посвященная 75-летию академика Ю. Г. Решетняка, Новосибирск, август - сентябрь 2004 года.

• Ежегодная научная конференция студентов и молодых ученых Кемеровского государственного университета, Кемерово, апрель 2005 года.

• Семинар профессора Е. Д. Родионова, Барнаул, октябрь 2006 года.

• Семинар по геометрии и анализу института математики СО РАН, Новосибирск, октябрь 2006 года.

• Семинар по геометрии и топологии института математики СО РАН, Новосибирск, декабрь 2006 года.

В последнее время активно развивается изучение левоинвариантных симплектических и контактных структур, а также левоинвариантных кэлеровых и локально конформно кэле-ровых метрик на группах Ли. В связи с этим встает вопрос о классификации левоинвариантных почти комплексных структур на группах Ли. Известно, что множество всех левоинвариантных почти комплексных структур на группе Ли размерности 2 п можно отождествить с пространством СЬ(2п,К)/ОЬ(тг,<С). Однако описать всё множество левоинвариантных почти комплексных структур, даже на группе Ли размерности 4, практически невозможно, поскольку в общем случае эта задача сводится к решению системы нелинейных уравнений с большим числом неизвестных. Поэтому, как правило, рассматриваются почти комплексные структуры либо сохраняющие некоторую метрику, либо сохраняющие некоторую симплектическую форму. В работе предлагается другой подход к построению почти комплексных структур, не требующий задания метрики или симплектической формы. Однако показывается, что таким структурам можно сопоставить метрику и внешнюю 2-форму, которые инвариантны относительно этих структур. Для каждого класса почти комплексных структур, представленных в работе, исследуется вопрос об интегрируемости, а для каждого класса ассоциированных метрик исследуются свойства их кривизн. Так как неизоморфных алгебр Ли всего 17, то представляется возможным изучить введенные классы почти комплексных структур и ассоциированных с ними метрик на всех группах Ли с неизоморфными алгебрами Ли. Более того, с помощью комплексных структур рассматриваемых типов на некоторых группах удается получить левоинвариантные эйнштейновы, кэлеровы и локально конформно кэлеровы метрики.

В первой главе сначала даётся классификация четырехмерных групп Ли по их алгебрам Ли. Также доказывается классификационная теорема для ортогональных почти комплексных структур, которая описывает множества этих структур в зависимости от сигнатуры метрики. Затем вводится понятие приводимой и антиприводимой почти комплексной структуры, описывается вид этих структур в выбранном базисе и предъявляются левоинвари-антные метрики, ассоциированные с этими структурами. В заключение главы 1 выводятся необходимые вычислительные формулы.

В главе 2 изучаются четырехмерные прямые произведения групп Ли. Для каждой группы дается критерий интегрируемости ортогональных, приводимых и аитиприводимых почти комплексных структур и находится оценка нормы их тензора Нейенхейса. На группах S0(3) х 51 и SL(2,R) х R при помощи формы Киллинга-Картана вводится биинвариантная метрика. На всех группах из главы 1 вводится семейство ассоциированных с приводимыми почти комплексными структурами метрик и исследуются свойства их кривизн.

В главе 3 рассматриваются те же вопросы и методы, что и в главе 2, но уже на четырехмерных полупрямых произведениях групп Ли. В некоторых случаях удается получить однопараметрическое семейство групп Ли, снабженных целым семейством левоинвариант-ных комплексных структур и кэлеровых метрик.

Глава 4 посвящена изучению обобщения понятия антиприводимой почти комплексной структуры на почти комплексные структуры, сохраняющие заданную внешнюю 2-форму. Для таких структур на всех четырехмерных группах Ли с неизоморфными алгебрами Ли дается критерий интегрируемости, а также дается вид ассоциированных с такими структурами метрик и исследуются свойства их кривизн.

В конце работы приводится текст процедур, позволяющих реализовать основные вычисления в пакете "Maple". тш ияийьэи э1яшгеао(1ии*юээв и McLCxMjfdxo эгаюмэтшоя ихьон эинхнки^аниояэ^,, эчхвхэ я tfoa ¿002 be х ixfewon янтаихтшэх«до "ехэхиэс1эяин£ оаоннэяхэсЫтЯэол оло^идиэояоц мин -хээд„ иинейеи я гпгеяоншгд/Сио ишчд nxoged goHiretf мхтгхчюС^ эихээьихэ<1оэх эганяонэо

ЦИНЭГГЭИЫЧЯ Х1ЧНЧ1ГОЯ

-ииэ ииэхэиэ 0ОН<1ЭХО1ЧЦИОИ ontaowou э Nxahaud BDXoijCcqirouoH эжзгех у -вситенв оаомээь -ихвиэхви и wdgDjire иощ}эни1г 'nndxawoaj yoaoirewHd ni/охэи юхоиСечиоши axogwd д

HJf HWBdgSJIfB HWI4IKf)dOWO£H9H Э Ь HXOOHdawCBd ИТС UIlMl умя ктЛт" CTn-vwii-u viaft

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Корнев, Евгений Сергеевич, 2007 год

1. N. Bourbaki. Groupes et algèbres de Lie. Fase. XXV1. XXXVII. Chap. I-III (Paris: Hermann, 1971,1972).

2. Chu B.-Y. Symplectic Homogeneous Spaces// Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 197, 1974, P. 145159.

3. Ghanam R., Thompson G., Miller E.J. Variationality of Four-Dimensional Lie Group Connection // J. of the Lie Theory, Vol. 14, 2004, P. 395-425.

4. Jensen G.R. Homogeneous Einstein spaces of dimension four // J. Diff. Geom. Vol. 3, 1969, P. 309-349.

5. Ishihara S. Homogeneous Riemannian spaces of four dimensions //J. Math. Soc. Japan. Vol. 7, no. 4,1955, P. 345-369.

6. Milnor J. Curvatures of left invariant metrics on Lie groups // Advances in Math. Vol. 21, 1976, P. 293-329.

7. Dragomir S., Ornea L. Locally Conformai Kahler Geometry. // Progress in Math., Birkhauser, Basel, vol. 155, 1998.

8. Barberis M.l. Hypercomplex structures on four-dimensional Lie groups. // Proc. Amer. Math. Soc. V. 125, No 4,1997, p. 1043-1054.

9. Смоленцев H.K. Пространства римановых метрик // Современная математика и ее приложения, т. 31, 2003, С. 69-146.

10. Смоленцев Н.К. Ассоциированные почти комплексные структуры и (псевдо)римановы метрики на группах GL(2,R) и SL(2,R) х R. // Вестник Кемеровского государственного университета № 4 (24), с. 155-162.

11. Корнев Е.С. Ортогональные комплексные структуры на группах GL(2,R) и SL(2,R) хМ. // Вестник Кемеровского государственного университета № 4 (24), с. 178-182.

12. Корнев Е.С. Левоинвариантные почти комплексные структуры и ассоциированные метрики на группах Ли размерности 4 // Вестник Новосибирского Государственного Университета, серия "Математика К8 1 за 2007 год, Новосибирск, 2007, С. 33-58.

13. Корнев Е.С. Приводимые почти комплексные структуры на односвязных группах Ли размерности 4- // Вестник Кемеровского государственного университета, серия "Математика № 1 (25), Кемерово, 2006, с. 39-42.

14. П. Годушон. Поверхности Хопфа Квазикомплексные многообразия размерности 4- // доклад VII, в кн. "Четырехмерная риманова геометрия: семинар Артура Бессе 1978/79 г.Москва, Мир, 1985, с. 120-138.

15. Л. Берар-Бержери. Однородные римановы пространства размерности 4- // доклад III, в кн. в кн. "Четырехмерная риманова геометрия: семинар Артура Бессе 1978/79 г.Москва, Мир, 1985, с. 45-59.

16. Мубаракзянов Г.М. О разрешимых алгебрах Ли. // Известия высших учебных заведений, Математика, 1963, № 1 (32), с. 114-123.

17. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. В 2 т. // Москва: Эдиториал УРСС, 1998.

18. Ш. Кобаяси, К. Намидзу. Основы дифференциальной геометрии. В 2 т. // Москва: Наука, 1981.

19. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. // Москва: Мир, 1964.