Применение пакетов аналитических вычислений для нахождения инвариантных тензорных полей на однородных пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Гладунова, Олеся Павловна

• Гладунова, Олеся Павловна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гладунова, Олеся Павловна

Введение

1 Использование математических пакетов в решении некоторых задач (псевдо)римановой геометрии

1.1 Система аналитических вычислений Maple.

1.2 Пакеты встроенных процедур linalg и LinearAlgebra.

1.3 Использование пакета Maple в решении некоторых задач (псев-до)римановой геометрии.

1.3.1 Применение пакета Maple в решении задачи о почти гармоническом тензоре Схоутена-Вейля.

1.3.2 Применение пакета Maple в решении задачи о гармонической свертке тензора Схоутена-Вейля.

2 Однородные пространства с инвариантной (псев-до)римановой метрикой

2.1 Группы Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой

2.1.1 Тензорные поля Римана, Риччи, Вейля и Схоутена-Вейля на группах Ли

2.1.2 Матричные группы Ли

2.2 Однородные пространства с инвариантной римановой метрикой 56 2.2.1 Тензорные поля Римана, Риччи, Вейля и Схоутена

Вейля на однородных пространствах.

3 Инвариантные тензорные поля на группах Ли с левоинвари-антными римановыми метриками

3.1 Левоинвариантные римановы метрики на группах Ли.

3.2 Левоинвариантные римановы метрики на трехмерных группах

3.3 Левоинвариантные римановы метрики с гармоническим тензором Схоутена-Вейля

3.3.1 Почти гармонический тензор Схоутена-Вейля на трехмерных унимодулярных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой

3.3.2 Почти гармонический тензор Схоутена-Вейля на трехмерных иеунимодулярных группах Ли с левоинвари-антной римановой метрикой.

3.4 Левоинвариантные римановы метрики с гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля

3.4.1 Гармоническая свертка тензора Схоутена-Вейля на трехмерных унимодулярных группах Ли с левоинвари-антной римановой метрикой.

3.4.2 Гармоническая свертка тензора Схоутена-Вейля на трехмерных иеунимодулярных группах Ли с левоинва-риантной римановой метрикой.

4 Инвариантные тензорные поля на группах Ли с левоинвари-антными лоренцевыми метриками

4.1 Левоинвариантные лоренцевы метрики на трехмерных группах Ли.

4.2 Левоинвариантные лоренцевы метрики с гармоническим тензором Схоутена- Вейля

4.2.1 Почти гармонический тензор Схоутена-Вейля на трехмерных унимодулярных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой.

4.2.2 Почти гармонический тензор Схоутена-Вейля на трехмерных иеунимодулярных группах Ли с левоинвари-антной лоренцевой метрикой.

4.3 Левоинвариантные лоренцевы метрики с гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля

4.3.1 Гармоническая свертка тензора Схоутена-Вейля на трехмерных унимодулярных группах Ли с левоинвари-антной лоренцевой метрикой.

4.3.2 Гармоническая свертка тензора Схоутена-Вейля на трехмерных неунимодулярных группах Ли с левоинва-риантной лоренцевой метрикой.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение пакетов аналитических вычислений для нахождения инвариантных тензорных полей на однородных пространствах»

Системы аналитических вычислений находят широкое применение в самых различных областях науки. Как правило, в эти системы входят процедуры для численных и аналитических расчетов, средства для визуализации, программирования и представления результатов. Таким образом, системы компьютерной математики совмещают в одной оболочке обширный набор инструментов, позволяющий решать научные задачи.

В настоящее время повсеместно используются такие популярные системы как Maple, Mathematica, MathCad, MatLab, Derive. Они обладают универсальными математическими возможностями, постоянно совершенствуются, развивая аппарат и пополняя ресурсы, имеют возможность взаимной интеграции.

Современная геометрия, также как и другие области математики, привлекает новейшие компьютерные технологии для решения своих задач. Сегодня применение систем символьной математики не ограничивается численными расчетами. Все чаще они используются в образовательном процессе для решения задач аналитической [1, 17] и дифференциальной [9, 11] геометрии. Кроме того, существует множество примеров, доказывающих эффективность математических систем при доказательстве теорем. Например, хорошо известно доказательство знаменитой проблемы топологии о четырех красках, осуществленное К. Аппелем (К. Appel) и В. Хакеном (W. Haken) в [27, 28]. Также основываясь на вычислениях, сделанных с помощью пакета Maple, О.Г. Вагина и М.И. Кабенюк дали новое более короткое доказательство теоремы Ханты-Хирчхорна о покрытии евклидовой плоскости выпуклыми равносторонними пятиугольниками [2]. Следует упомянуть работы

Ю.В. Никоноровой [15, 16] в области комбинаторной геометрии, использующие пакеты символьных вычислений для решения задачи о внутреннем расстоянии на поверхности параллелепипеда, обобщенной задачи Поповичи, задачи Фике, подтверждения гипотезы Ионина. Можно отметить работу В.В. Джепко [6] в области дифференциальной геометрии и работу Е.С. Кор-нева [10], посвященную изучению специальных классов почти комплексных структур на четырехмерных группах Ли, и связанных с этими почти комплексными структурами левоинвариантных метрик.

Системы компьютерной математики широко применяются в задачах классификации. Так М. Hlavová в [31] удалось классифицировать двупараметрические движения плоскости Лобачевского, Т. Arias-Marco и О. Kowalski внесли вклад в проблему классификации 4-мерных однородных D'Atri пространств [30]. Известны результаты, полученные Е.Д. Родионовым и В.В. Славским при классификации локально конформно однородных многообразий [21, 34] и результаты Ю.Г. Никонорова по классификации однородных эйнштейновых многообразий, полученные в работах [12, 13]. Задачи классификации левоинвариантных лоренцевых метрик на трехмерных группах Ли с применением системы аналитических расчетов Maple решались также Л.Н. Чибриковой в [25].

Пакеты прикладных программ используются для исследования однородных римановых пространств [14], определения инвариантных свойств петель [32], для изучения свойств флаговых многообразий [29].

Данная работа посвящена применению математических пакетов для нахождения некоторых инвариантных тензорных полей на однородных пространствах; в частности, исследованию свойств гармоничности тензора Схоутена-Вейля левоинвариантных (псевдо)римановых метрик на трехмерных группах Ли; изучению вопроса гармоничности свертки тензора Схоутена-Вейля на трехмерных группах Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками.

Целями диссертационной работы являются:

1. Создание новых алгоритмов и программ в среде пакета Maple для нахождения инвариантных тензорных полей на однородных пространствах.

2. Классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля или гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля.

Основные задачи работы включают:

1. Разработка алгоритмов для вычисления компонент тензоров секционной, одномерной кривизн и кривизны Риччи, а также компонент тензора Схоутена-Вейля, его ротора и дивергенции г типа (г — 1,2) левоинвари-антных (псевдо)римановых метрик на группах Ли.

2. Исследование и классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля.

3. Разработка алгоритмов для определения компонент свертки тензора Схоутена-Вейля по направлению произвольного вектора, компонент ее ротора и дивергенции левоинвариантных (псевдо)римановых метрик на группах Ли.

4. Изучение и классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля.

Исследование каждой классификационной задачи, представленной в диссертации, проводилось по следующему плану. Первоначально строилась удобная для вычислительной работы модель исследуемого объекта. Далее создавалась программа для реализации в системе аналитических расчетов Maple. Следующий этап был посвящен анализу и истолкованию полученных результатов. После чего делался вывод о структуре изучаемого объекта и о возможности уточнения модели.

Объект исследования — трехмерные группы Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля, а также трехмерные группы Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля.

Предмет исследования — компьютерные модели, алгоритмы, программы для изучения трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками и (почти)гармоническими инвариантными тензорами.

Методика исследования ориентирована на использование методов компьютерной алгебры, математического анализа, теории групп и алгебр Ли, (псевдо)римановой геометрии, тензорного анализа.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Пакет программ, написанных в среде Maple, для вычисления основных характеристик однородных (псевдо)римановых многообразий, исследуемых в диссертации.

2. Классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля.

3. Классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля.

Научная новизна работы. В данной диссертационной работе разработаны алгоритмы и программы в системе аналитических вычислений Maple для нахождения инвариантных тензорных полей на однородных пространствах (в частности, на группах Ли) с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками.

Применяя разработанные алгоритмы, получены новые результаты в теории инвариантных тензорных полей на однородных пространствах. Впервые получена классификация трехмерных групп и алгебр Ли с левоинвариантны-ми (псевдо)римановыми метриками и почти гармоническим, т.е. с нулевым ротором и дивергенцией, тензором Схоутена-Вейля. С помощью операции свертки тензора Схоутена-Вейля по направлению произвольного вектора, определен кососимметрический 2-тензор. Исследовано строение трехмерных групп и алгебр Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метрикой, для которых данный тензор является гармоническим.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации являются новыми, имеют теоретическое и практическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях инвариантных тензорных полей на однородных (псевдо)римановых пространствах. С помощью пакета символьных вычислений Maple решены задачи классификации трехмерных алгебр Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками и (почти) гармоническим и тензорами Схоутена-Вейля и его свертки по направлению произвольного вектора. Алгоритмы и программы, разработанные при решении указанных задач, могут применяться для решения аналогичных задач однородной (псевдо)римановой геометрии. Построенные компьютерные модели позволяют вычислять компоненты связности, тензоров кривизны Римана, Риччи, одномерной кривизны, скалярной кривизны, тензора Схоутена-Вейля, его ротора и дивергенции; находить компоненты свертки тензора Схоутена-Вейля, ее ротора и дивергенции левоинвариантных (псев-до)римановых метрик на конечномерных группах Ли.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на Региональной конференции по математическому образованию на Алтае (Барнаул, 24 ноября 2006 г.); Десятой региональной конференции по математике "МАК-2007"(Барнаул, июнь, 2007 г.); Third Russian-German Geometry Meeting dedicated to 95th birthday of A.D.Alexandrov (Санкт-Петербург, 18—23 июня 2007 г.); Международной конференции "Геометрия в Астрахани-2007" (Астрахань, 17—21 сентября 2007); Международной научно-практической конференции по математическому образованию в регионах России (Барнаул, 26 октября 2007 г.); Одиннадцатой региональной конференции по математике "МАК-2008" (Барнаул, июнь, 2008 г.); Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 9—15 сентября 2008 г.); Международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященной 100-летию со дня рождения С. JI. Соболева (Новосибирск, 5—12 октября 2008 г.). Кроме того, все результаты диссертации в разное время докладывались на краевом геометрическом семинаре (Барнаул, АлтГУ, БарГПУ).

Публикации. Все основные результаты работы были опубликованы в [35 -48]. Одна из работ опубликована в ведущем рецензируемом научном журнале, определенном Высшей аттестационной комиссией.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 184 страницах, состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, трех приложений и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Гладунова, Олеся Павловна

Заключение

С помощью методов компьютерной алгебры, математического анализа, теории групп и алгебр Ли, тензорного анализа, (псевдо)римановой геометрии в диссертации получены следующие результаты:

1. Разработаны алгоритмы и созданы Мар1е-программы для вычисления компонент тензоров секционной, одномерной кривизн и кривизны Рич-чи, а также компонент тензора Схоутена-Вейля, его ротора и дивергенции г типа (г = 1, 2) на группах Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками.

2. Получена классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля.

3. Разработаны алгоритмы и созданы Марк-программы для определения компонент свертки тензора Схоутена-Вейля по направлению произвольного вектора, компонент ее ротора и дивергенции левоинвариантных (псевдо)римановых метрик на группах Ли.

4. Классифицированы трехмерные группы Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля по направлению произвольного вектора.

5. Получена классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля по гармоническому направлению.

Успешное применение систем компьютерной алгебры зависит, в первую очередь от правильного выбора модели соответствующей геометрической задачи. Вычислительная система при исследовании задачи играет роль экспериментальной базы, позволяет численно проверить возникающие гипотезы и, что более примечательно, указать путь к математически строгому доказательству.

Вышеуказанные результаты, полученные с привлечением средств и методов систем символьных вычислений, показывают целесообразность применения подобных систем к исследованиям в областях однородной (псев-до)римановой геометрии и смежных дисциплин.

Все вышесказанное позволяет сделать вывод о возможности дальнейшего использования систем аналитических расчетов для получения новых результатов в решении различных геометрических задач.

В заключение автор выражает благодарность Е.Д. Родионову и В.В. Слав-скому за постановку задач, постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гладунова, Олеся Павловна, 2008 год

1. Агеева, H.Р. Создание пользовательских процедур преобразования фигур в трехмерном пространстве средствами пакета Maple Электронный ресурс] / Н.Р. Агеева, Ю.Г. Игнатьев. - Режим доступа: http://termech.mpei.ac.ru/kir/PDF/FOTO/kaz/Articles/ageeva.pdf.

2. Вагина, О.Г. Покрытие плоскости равносторонними пятиугольниками / О.Г. Вагина, М.И. Кабенюк // Вестник Кемеровского государственного университета, серия: математика. 2001. - №3. - С. 162-166.

3. Бессе, А. Многообразия Эйнштейна: В 2 т. Т. 1. Пер. с англ. / А. Бессе. М. : Мир, 1990. - 318 с.

4. Говорухин, В. Компьютер в математическом исследовании / В. Говорухин, Б. Цибулин. СПб. : Питер, 2001. - 620 с.

5. Громол, Д. Риманова геометрия в целом / Д. Громол, В. Клингенберг, В Майер. М. : Мир, 1971. - 344 с.

6. Джепко, В.В. Применение пакетов аналитических вычислений к решению задач дифференциальной геометрии: дис. . канд. ф.-м. наук : 05.13.18 / Джепко Валерий Валентинович. Барнаул, 2007. - 108 с.

7. Дубровин, Б.А. Современная геометрия. Методы и приложения / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. М. : Наука, 1986. - 760 с.

8. Желобенко, Д.П. Компактные группы Ли и их представления / Д.П. Желобенко. М. : Наука, 1970. - 664 с.

9. Игнатьев, Ю.Г. Создание библиотеки процедур в дифференциальной геометрии Электронный ресурс] /

10. Ю.Г. Игнатьев, А.Р. Самигуллина. Режим доступа: http://vuz.exponenta.ru/PDF/FOTO/kaz/Documents/thesis.htm.

11. Корнев, Е.С. Приводимые почти комплексные структуры на односвяз-ных группах Ли размерности 4 / Е.С. Корнев // Вестник Кемеровского государственного университета, серия: математика. 2006. - №1. - С. 39-42.

12. Лаптева, Т.Н. Особые точки плоских кривых. Разрешение особенностей плоских кривых с помощью сигма-процесса Электронный ресурс]. Режим доступа: http: / / rrc.dgu.ru/res / exponenta/educat / systemat/lapteva/main.asp.htm.

13. Никоноров, Ю.Г. Компактные семимерные однородные многообразия Эйнштейна / Ю.Г. Никоноров // Доклады Академии наук. 2000. -Т. 372. - №6. - С. 589-592.

14. Никоноров, Ю.Г. Аналитические методы в теории однородных эйнштейновых многообразий / Ю.Г. Никоноров. Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2000. - 183 с.

15. Никоноров, Ю.Г. Геометрия однородных римановых многообразий / Ю.Г. Никоноров, Е.Д. Родионов, В.В. Славский // Современная математика и ее приложения. Геометрия. 2006. - Т. 37. - С. 1-78.

16. Никонорова, Ю.В. Об одной экстремальной задаче на евклидовой плоскости / Ю.В. Никонорова // Математические труды. 2001. - Т. 4. -т. - С. 111-121.

17. Никонорова, Ю.В. Применение системы Maple к решению некоторых задач евклидовой геометрии / Ю.В. Никонорова // Известия АГУ. Специальный выпуск, посвященный пятилетию краевой конференции по математике. Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2002. - С. 16-19.

18. Панченко, T.B. Решение задач аналитической геометрии на плоскости с помощью пакета Maple Электронный ресурс]. Режим доступа: http://content.mail.ru/arch/7505/1787719.html.

19. Постников, М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и алгебры Ли / М.М. Постников. М. : Наука, 1987. - 448 с.

20. Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.К. Ра-шевский. М. : Наука, 1967. - 664 с.

21. Родионов, Е.Д. Левоинвариантные лоренцевы метрики на 3-мерных группах Ли с нулевым квадратом длины тензора Схоутена-Вейля / Е. Д. Родионов, В.В. Славский, Л.Н. Чибрикова // Вестник БГПУ, серия: естественные и точные науки. 2004. - №4. - С. 53-60.

22. Родионов, Е.Д. Локально конформно однородные пространства / Е.Д. Родионов, В.В. Славский // Доклады Академии наук. 2002. - Т. 387.- т. С. 314-317.

23. Рохлин, В.А. Начальный курс топологии / В.А. Рохлин, Д.В. Фукс. -М. : Наука, 1977. 488 с.

24. Схоутен, Я.А. Тензорный анализ для физиков / Я.А. Схоутен. М. : Наука, 1965. - 456 с.

25. Хелгасон, С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства / С. Хелгасон. М. : Мир, 1964. - 534 с.

26. Чибрикова, Л. Н. Применение пакетов аналитических вычислений к решению задач однородной (псевдо)римановой геометрии: дис. . канд. ф.-м. наук : 05.13.18 / Чибрикова Людмила Николаевна. Барнаул, 2005.- 118 с.

27. Яно, К. Кривизна и числа Бетти / К. Яно, С Бохнер. М. : ИЛ, 1957. -152 с.

28. Appel, К. Every Planar Map is Four Colorable / K. Appel, W. Haken // Bulletin of the American Mathematical Society. 1976. - V. 82. - Ж 5,-P. 711-712.

29. Appel, K. The Solution of the Four-Color-Map Problem / K. Appel, W. Haken // Scientific American. 1977. - V. 237. - №.4. - P. 108-121.

30. Arias-Marco, T. A property of Wallach's flag manifolds // Archivum mathematicum(BRNO). 2007. - V. 43. - P. 307-319.

31. Arias-Marco, T. Classification of 4-dimensional homogeneous D'Atry spaces / T. Arias-Marco, O. Kovalski // ICM 2006 — Posters. Abstracts. Section 5. Madrid, 2006. - P. 1-2.

32. Hlavova, M. Two-parametric motions in the Lobatchevski plane //J. Geom. Graph. 2002. - V. 6. - №. - P. 27-35.

33. Milnor, J. Curvature of left invariant metric on Lie groups / J. Milnor // Advances in mathematics. 1976. - V. 21. - P. 293-329.

34. Rodionov, E.D. Conformal deformations of the Riemannian metrics and homogeneous Riemannian spaces / E.D. Rodionov, V.V. Slavskii // Comm. Math. Univ. Carol. 2002. - V. 43. - №. - P. 271-282.

35. Работы автора по теме диссертации

36. Балащенко, В.В. Инвариантные тензорные поля на однородных пространствах / В.В. Балащенко, О.П. Гладунова, Е.Д. Родионов, В.В. Славский // Вестник БГПУ, серия: естественные и точные науки. 2006. - №6. - С. 5-9.

37. Гладунова, О.П. Гармонические тензоры на трехмерных группах Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками / О.П. Гладунова // МАК-2008 : материалы одиннадцатой региональной конференции по математике. Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2008. - С. 17.

38. Гладунова, О.П. Левоинвариантные лоренцевы метрики с гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля на трехмерных группах Ли / О.П. Гладунова, Е.Д. Родионов, В.В. Славский // Вестник БГПУ, серия: естественные и точные науки. 2007. - №7. - С. 45-69.

39. Гладунова, О.П. Левоинвариантные лоренцевы метрики с почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля на трехмерных группах Ли / О.П. Гладунова, Е.Д. Родионов, В.В. Славский // Вестник БГПУ, серия: естественные и точные науки. 2006. - №6. - С. 10-26.

40. Гладунова, О.П. О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой / О.П. Гладунова, Е.Д. Родионов, В.В. Славский // Доклады Академии наук. 2008. - Т. 419. - №6. - С. 735-738.

41. Гладунова, О.П. Почти гармонические тензоры на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой / О.П. Гладунова // Тезисы докладов международной школы-семинара по геометрии и анализу, посвященная памяти Н.В. Ефимова. Ростов-на-Дону, 2008.

42. Гладунова, О.П. Применение математических пакетов к вычислению инвариантных тензорных полей на трехмерных группах Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой / О.П. Гладунова // Вестник БГ-ПУ: Естественные и точные науки. 2006. - №6. - С. 111-115.

43. Gladunova, O.P. On harmonic tensors on three dimensional Lie groups with left-invariant Riemannian metric / O.P. Gladunova, E.D. Rodionov, V.V.

44. Slavskii //Abstracts of Third Russian-German Geometry Meeting dedicated to 95th birthday of A.D. Alexandrov. St.-Petersburg, 2007.