Эйнштейновы солвмногообразия малой размерности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Никитенко, Евгений Витальевич

• Никитенко, Евгений Витальевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Никитенко, Евгений Витальевич

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Эйнштейновы солвмногообразия и метрические алгебры Ли

1.2 Структура шестимерных разрешимых метрических алгебр Ли

2 Шестимерные эйнштейновы солвмногообразия

2.1 Достаточные условия стандартности эйнштейновых солвмногообразий. i 2.2 Классификация шестимерных эйнштейновых солвмногообра

2.3 Шестимерные однородные эйнштейновы многообразия неположительной секционной кривизны.

3 Семимерные эйнштейновы солвмногообразия

3.1 Классификация пятимерных нильпотентных метрических алгебр Ли. t 3.2 Нестандартные эйнштейновы солвмногообразия.

3.3 Семимерные однородные эйнштейновы многообразия отрицательной секционной кривизны.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эйнштейновы солвмногообразия малой размерности»

Данная диссертация посвящена исследованию односвязных римановых солвмногообразий с метрикой Эйнштейна. Такие солвмногообразия образуют важный класс некомпактных однородных эйнштейновых многообразий, т. е. многообразий (М, р), для которых кривизна Риччи в каждой точке связана соотношением Ric(p) — С • р с римановой метрикой р для некоторой константы С. Для неплоских некомпактных однородных эйнштейновых многообразий константа С обязана быть отрицательной.

Энциклопедическим изданием по вопросам, связанным с эйнштейновыми многообразиями, является книга А. Бессе [5]. О более свежих результатах можно узнать из обзоров [17, 46]. Хорошо известно, что все многообразия Эйнштейна в размерностях 2 и 3 изометричны пространствам постоянной кривизны. Г. Йенсен в работе [33] показал, что каждое четырехмерное однородное односвязное многообразие Эйнштейна изометрично симметрическому пространству. Классификация пятимерных компактных однородных эйнштейновых многообразий получена в [21]. Частичная классификация шестимерных компактных однородных эйнштейновых многообразий получена в работе [43]. В работе [41] дана полная классификация компактных однородных многообразий Эйнштейна размерности 7. К. Боем и М. Керр в работе [24] классифицировали все компактные односвязные однородные пространства размерности < 12 и доказали, что все такие пространства в размерности < 11 допускают инвариантную метрику Эйнштейна. Сильные структурные результаты и теоремы существования для инвариантных эйнштейновых метрик получены в работах [23, 25].

В некомпактном случае структура однородных эйнштейновых многообразий изучена менее обстоятельно. Некомпактные однородные многообразия Эйнштейна размерности 5 классифицированы в работе [42]. В размерности 6 и выше классификация однородных некомпактных эйнштейновых многообразий в настоящее время не известна. В тоже время, известно много примеров некомпактных эйнштейновых многообразий в разных размерностях. Заметим, что все известные на сегодняшний день некомпактные однородные многообразия Эйнштейна изометричны эйнштейновым солв-многообразиям. Существенным продвижением на пути к классификации однородных эйнштейновых многообразий отрицательной кривизны Риччи могло бы стать доказательство гипотезы Д. В. Алексеевского [1], утверждающей, что для произвольного некомпактного однородного многообразия Эйнштейна М = G/H отрицательной кривизны Риччи, группа изотропии Н является максимальной компактной подгруппой группы G. В случае истинности приведенной гипотезы существует разрешимая подгруппа G группы G, действующая на М просто транзитивно. Таким образом, задача классификации в этом случае сведется к классификации эйнштейновых солвмногообразий.

Д. В. Алексеевский в [2] получил классификацию однородных многообразий Эйнштейна неположительной секционной кривизны в размерности < 5. Отметим, что в процитированной работе Д. В. Алексеевский нашел также все стандартные пятимерные эйнштейновы солвмногообразия. Полная классификация пятимерных эйнштейновых солвмногообразий получена Ю. Г. Никоноровым в [16]. Частичные классификации эйнштейновых многообразий отрицательной кривизны Риччи получены многими авторами. Э. Картаном (см. [20]) классифицированы симметрические пространства некомпактного типа. И. И. Пятецкий-Шапиро, С. Г. Гиндикин, Э. Б. Винберг [18, 19, 10, 29] создали структурную теорию ограниченных однородных областей, которые моделируются на вполне разрешимых нормальных j-алгебрах. Д. В. Алексеевский [1] и В. Кортес [26] классифицировали кватернионно-кэлеровы многообразия, моделируемые на вполне разрешимых группах Ли. Отметим, что многочисленные примеры солвмного-образий Эйнштейна отрицательной секционной кривизны были построены также в работах [27, 35, 48].

Произвольное солвмногообразие (S, р) определяет скалярное произведение Q на алгебре Ли 5 группы <5, и наоборот, каждое скалярное произведение Q на з индуцирует левоинвариантную метрику р на группе S. Метрическая разрешимая алгебра Ли, соответствующая эйнштейнову солвмно-гообразию, также называется эйнштейновой. Исследование свойств кривизны солвмногообразий удобно проводить в терминах соответствующих разрешимых метрических алгебр Ли.

Метрическая разрешимая алгебра Ли (s, Q) называется стандартной, если ортогональное дополнение а к [5, л] относительно Q является абелевой подалгеброй алгебры з. Отметим, что все известные примеры эйнштейновых солвмногообразий именно стандартны. Детальному исследованию стандартных эйнштейновых солвмногообразий посвящена работа Й. Хебе-ра [31], в которой получен ряд фундаментальных результатов, а также приведена обширная библиография по обсуждаемой тематике. Из более поздних работ можно выделить статьи [30, 34, 45], в которых строятся новые примеры эйнштейновых солвмногообразий, а также работы [38, 47], в которых классифицируются эйнштейновы солвмногообразия ранга 1 в размерности 6 и 7 соответственно.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Каждая глава в свою очередь разбита на несколько разделов. Нумерация каждого утверждения в диссертации состоит из трех цифр, первая из которых обозначает номер главы, вторая — номер раздела, третья — номер утверждения данного типа. Аналогично нумеруются формулы, для таблиц используется сплошная нумерация.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Никитенко, Евгений Витальевич, 2006 год

1. Алексеевский Д. В. Классификация кватернионных пространств с транзитивной разрешимой группой движений // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1975. Т. 39, № 2. С. 315-362.

2. Алексеевский Д. В. Однородные римановы пространства отрицательной кривизны // Матем. сб. 1975. Т. 96. С. 93-117.

3. Алексеевский Д. В. Сопряженность полярных разложений групп Ли // Матем. сб. 1971. Т. 84. С. 14-26.

4. Алексеевский Д. В., Кимельфельд Б. Н. Структура однородных ри-мановых пространств с нулевой кривизной Риччи // Функц. анализ и его прил. 1975. Т. 9. № 2. С. 5-11.

5. Бессе А. Л. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990.

6. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1978.

7. Винберг Э. Б., Гиндикин С. Г. Кэлеровы многообразия, допускающие транзитивную разрешимую группу автоморфизмов // Матем. сб. 1967. Т. 74. С. 357-377.

8. Винберг Э. БГорбацевич В. В., Онищик А. Л. Строение групп и алгебр Ли. (Совр. пробл. матем. Фунд. напр. Т. 41.) М.: ВИНИТИ, 1990.

9. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.юз

10. Гиндикин С. Г., Пятецкий-Шапиро И. И., Винберг Э. Б. О классификации и канонической реализации ограниченных однородных областей // Тр. Моск. мат. общ. 1963. Т. 12. С. 359-388.

11. Морозов В. В. Классификация нильпотентных алгебр Ли 6-го порядка // Изв. вузов. Мат. 1958. N. 4. С. 161-174.

12. Никитенко Е.В. О нестандартных эйнштейновых расширениях пятимерных метрических нильпотентных алгебр Ли // Сибирские Электронные Математические Известия. 2006. Т. 3. С. 115-136.

13. Никитенко Е.В. Семимерные однородные эйнштейновы многообразия отрицательной секционной кривизны // Математические труды. 2006. Т. 9. № 1. С. 1-16.

14. Никитенко Е.В., Никоноров Ю.Г. О шестимерных эйнштейновых солв-многообразиях // Доклады РАН. 2005. Т. 402. № 5. С. 601-604.

15. Никитенко Е.В., Никоноров Ю.Г. Шестимерные эйнштейновы солвмногообразия // Математические труды. 2005. Т. 8. № 1. С. 71-121.

16. Никоноров ДО. Г. Пятимерные эйнштейновы солвмногообразия // Труды по геометрии и анализу. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики. 2003. С. 343-367.

17. Никоноров ДО. Г., Родионов Е. Д., Славский В. В. Геометрия однородных римановых многообразий // Труды по геометрии и анализу. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики. 2003. С. 162-189.

18. Пятецкий-Шапиро И. И. О классификации ограниченных однородных областей в n-мерном комплексном пространстве // Докл. АН СССР. 1961. Т. 141. С. 316-319.

19. Пятецкий-Шапиро И. И. Структура J-алгебр // Изв. Акад. наук. Сер. мат. 1966. Т. 26. С. 453-484.

20. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.

21. Alekseevsky D. V., Dotti I., Ferraris С. Homogeneous Ricci positive 5-manifolds // Рас. J. Math. 1996. V. 175. P. 1-12.

22. Boggino J. Generalized Heisenberg groups and solvmanifolds naturally associated // Rend. Semin. Mat. Torino. 1985. V. 43. P. 529-547.

23. Bohm C. Homogeneous Einstein metrics and simplicial complexes // J. Diff. Geom. 2004. V. 67. P. 79-165.

24. Bohm C., Kerr M. Low-dimensional homogeneous Einstein manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 2006. V. 358. N 4. P. 1455-1468.

25. Bohm C., Wang M., Ziller W. A variational approach for compact homogeneous Einstein manifolds // GAFA. 2004. V. 14. P. 681-733.

26. Cortes V. Alekseevskian Spaces // Diff. Geom. Appl. 1996. V. 6. P. 129168.

27. Deloff E. Naturally reductive metrics and with volume preserving geodesic symmetries on NC-Algebras // New Brunswick: Thesis, Rutgers 1979.

28. Dotti Miatello I. Ricci curvature of left-invariant metrics on solvable unimodular Lie groups // Math. Zeit. 1982. V. 180. P. 257-263.

29. Gindikin S. G., Piatetskii-Shapiro I. I., Vinberg E. B. Homogeneous Kahler minifilds // In: Geom. homogen. bounded domains (C.I.M.E.,. 3 Ciclo, Urbino, 1967). Roma: Edizioni Cremoneze. 1968. P. 3-87.

30. Gordon C. S., Kerr M. New homogeneous metrics of negative Ricci curvature // Ann. Global Anal. Geom. 2001. V. 19. P. 1-27.

31. Heber J. Noncompact homogeneous Einstein spaces // Invent. Math. 1998. V. 133. P. 279-352.

32. Heintze E. On homogeneous manifolds of negative curvature // Math. Ann. 1974. V. 211. P. 23-34.

33. Jensen G. Homogeneous Einstein spaces of dimension 4 // J. Diff. Geom. 1969. V. 3. P. 309-349.

34. Kerr M. A deformation of quaternionic hyperbolic space // Trans. Amer. Math. Soc. 2006. V. 134. N 2. P. 559-569.

35. Lanzendorf M. Einstein metrics with nonpositive sectional curvature on extensions of Lie algebras of Heisenberg type // Geom. Dedicata. 1997. V. 66. P. 187-202.

36. Lauret J. Ricci soliton homogeneous nilmanifolds // Math. Ann. 2001. V. 319. P. 715-733.

37. Lauret J. Standart Einstein solvmanifolds as critical points // Quart. J. Math. 2001. V. 52. P. 463-470.

38. Lauret J. Finding Einstein solvmanifolds by a variational method // Math. Z. 2002. V. 241. P. 83-99.

39. Leite M. L., Miatello I. D. Metrics of negative Ricci curvature on SL(n, R),n> 3 // J. Diff. Geom. 1982. V. 17. P. 635-641.

40. Nakajima K. On J-algebras and homogeneous Kahler manifolds // Hokkaido Math. J. 1986. V. 15. P. 1-20.

41. Nikonorov Yu. G. Compact homogeneous Einstein 7-manifolds // Geom. Dedicata. 2004. V. 109. P. 7-30.

42. Nikonorov Yu. G. Noncompact homogeneous Einstein 5-manifolds // Geom. Dedicata. 2005. V. 113. P. 107-143.

43. Nikonorov Yu. G., Rodionov Eu. D. Compact homogeneous Einstein 6-manifolds // Diff. Geom. and its Appl. 2003. V. 19. P. 369-378.

44. Schueth D. On the "standard" condition for noncompact homogeneous Einstein spaces // Geom. Dedicata. 2004. V. 105. P. 77-83.

45. Tamaru H. A class of noncompact homogeneous Einstein manifolds //Diff. Geom. and its Appl. 2005. P. 119-127.

46. Will C. Rank-one Einstein solvmanifolds of dimension 7 // Diff. Geom. Appl. 2003. V. 19. P. 307-318.

47. Wolter Т. H. Einstein Metrics on solvable groups // Math. Zeit. 1991. V. 206. P. 457-471.