Локально однородные (псевдо)римановы многообразия с ограничениями на тензор Схоутена - Вейля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Клепиков Павел Николаевич

• Клепиков Павел Николаевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Клепиков Павел Николаевич

Введение

Глава 1. Алгебраические солитоны Риччи на метрических

группах Ли с нулевым тензором Схоутена—Вейля

1.1 Группы Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой

1.2 Солитоны Риччи на метрических группах Ли

1.3 Алгебраические солитоны Риччи на группах Ли

с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой и нулевым тензором Схоутена-Вейля

1.4 Алгебраические солитоны Риччи на конформно плоских

группах Ли

Глава 2. Четырехмерные метрические группы Ли с нулевым

тензором Схоутена—Вейля

2.1 Вычисление компонент инвариантных тензорных полей

на метрических группах Ли

2.2 Нулевой тензор Схоутена-Вейля на четырехмерных группах Ли

с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой

Глава 3. Четырехмерные локально однородные

псевдоримановы многообразия с изотропным

тензором Схоутена—Вейля

3.1 Вычисление компонент инвариантных тензорных полей

на локально однородных (псевдо)римановых многообразиях

3.2 Кривизна четырехмерных локально однородных псевдоримановых многообразий с нетривиальной подгруппой изотропии

3.3 Изотропный тензор Схоутена-Вейля четырехмерных локально однородных псевдоримановых многообразий с нетривиальной подгруппой изотропии

Стр.

Заключение

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации

Список таблиц

Приложение А

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Локально однородные (псевдо)римановы многообразия с ограничениями на тензор Схоутена - Вейля»

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности.

Исследованию тензорных полей на (псевдо)римановых многообразиях посвящены работы многих математиков, что нашло отражение в обзорах [1—3] и других работах. Особое место в этих исследованиях занимают инвариантные тензорные поля на локально однородных пространствах. К числу многообразий с ограничениями на тензорные поля относятся такие многообразия как локально однородные пространства, многообразия Эйнштейна, многообразия с метрикой солитона Риччи, эйнштеново-подобные многообразия, конформно плоские многообразия и ряд других. Так например, эйнштеново-подобные многообразия в смысле А. Грея [4] состоят из трех типов многообразий, два из которых хорошо известны и являются многообразия с условиями Киллинга (тип Л) или Кодацци (тип В) на тензор Риччи, а третий тип мало исследован. Заметим, что локально однородное (псевдо)риманово многообразие придлежит типу В эйнштеново-подобных многообразий тогда и только тогда, когда его тензор Схоутена-Вейля равен нулю. Отметим также что, тензор Схоутена-Вейля представляет собой дивергенцию тензора Вейля (с точностью до константы), если размерность многообразия больше трех (см., например, обзор [1]).

Одним из обобщений многообразий Эйнштейна являются солитоны Риччи, рассмотренные Р. Гамильтоном в работе [5]. С другой стороны, солитоны Риччи являются самоподобными решениями уравнения потока Риччи. В общем случае задача изучения солитонов Риччи является достаточно сложной, поэтому предполагаются некоторые ограничения на размерность многообразия, на тип векторного поля, входящего в уравнение солитона Риччи, на строение многообразия и другие. Однородные солитоны Риччи исследовались в работах многих математиков, но классификация однородных солитонов Риччи известна лишь в малых размерностях и не является исчерпывающей (см. [3; 6]). Одним из важных инструментов при исследовании однородных солитонов Риччи являются алгебраические солитоны Риччи на группах Ли, которые впервые были рассмотрены Х. Лауре. Им же было доказано, что каждый алгебраический со-литон Риччи на группе Ли с левоинвариантной римановой метрикой является однородным солитоном Риччи (см. [7]). Позднее этот результат был обобщен К. Онда на случай групп Ли с левоинвариантной псевдоримановой метрикой

(см. [8]). Обратное утверждение верно лишь в случае римановой метрики и при некоторых дополнительных ограничениях (см. [9]).

Однородные солитоны Риччи на метрических группах Ли (т.е. на группах Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой) с нулевым тензором Схоутена-Вейля ранее изучались лишь в случае малых размерностей и при наличии дополнительных ограничений. Так, например, в работе [10] исследовались левоинвариантные псевдоримановы метрики солитонов Риччи на четырехмерных группах Ли с нулевым тензором Вейля. Однако, в неоднородном случае исследование солитонов Риччи на конформно плоских многообразиях является более обширным (см., например, [11—13]).

Поскольку многообразия с нулевым тензором Схоутена-Вейля и солитоны Риччи представляют собой обобщение многообразий Эйнштейна, то представляет интерес изучение многообразий, которые принадлежат сразу к двум данным классам.

Другим важным классом многообразий являются локально однородные (псевдо)римановы пространства с нулевым тензором Схоутена-Вейля, в который входят: локально симметрические пространства, конформно плоские многообразия, многообразия Эйнштейна, многообразия с параллельным тензором Риччи, их прямые произведения и другие многообразия [1]. Данные многообразия лучше всего исследованы в случае локально однородных многообразий размерности меньше четырех [14].

В четырехмерном случае классификация эйнштейново подобных метрик локально однородных (псевдо)римановых многообразий с нетривиальной подгруппой изотропии была получена в работе [15]. В случае четырехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой О. П. Гладунова и В. В. Славский [16], Д. С. Воронов и Е. Д. Родионов [17] получили классификации четырехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором Вейля в унимодулярном и неунимодулярном случаях соответственно.

Отметим, что в случае четырехмерных групп Ли с левоинвариантной псевдоримановой метрикой класс многообразий с тривиальным тензором Схоутена-Вейля классифицирован не полностью. Так, например, Дж. Кальварузо и А. Заем в работе [18] классифицировали группы Ли с тривиальным тензором Вейля, а в работах [19; 20] те же авторы получили классификацию метрик Эйнштейна и Риччи-параллельные метрики на четырехмерных псевдоримано-

вых группах Ли. Кроме того, в работе [21] А. Заем получил классификацию четырехмерных групп Ли с лоренцевой метрикой, которые являются эйнштей-ново-подобными многообразиями типов Л и В. В более высокой размерности не существует общей классификации локально однородных (псевдо)римановых многообразий с тривиальным тензором Схоутена-Вейля.

Для завершения классификации четырехмерных локально однородных (псевдо)римановых многообразий с нулевым тензором Схоутена-Вейля остается классифицировать четырехмерные группы Ли с левоинвариантной псевдори-мановой метрикой и нулевым тензором Схоутена-Вейля, которые не являются конформно плоскими и имеют не параллельный тензор Риччи.

Псевдоримановы многообразия с изотропным тензором Схоутена-Вейля естественным образом возникают при изучении локально конформно однородных (псевдо)римановых пространств [22; 23], которые тесно связаны с конформно-киллинговыми векторными полями. Ранее данные многообразия в случае трехмерных групп Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой изучались в работах [24; 25]. В них была получена полная классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой, тензор Схоутена-Вейля которых является изотропным. Кроме того, в работах [26—28] была получена классификация четырехмерных локально однородных многообразий с нетривиальной подгруппой изотропии и изотропным тензором Вейля.

Таким образом представляет интерес изучение четырехмерных локально однородных многообразий с нетривиальной подгруппой изотропии и изотропным тензором Схоутена-Вейля.

Целью данной работы является исследование локально однородных (псевдо)римановых многообразий с ограничениями на тензор Схоутена-Вейля.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Получить теоремы о строении оператора Риччи группы Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой нетривиального алгебраического солитона Риччи и нулевым тензором Схоутена-Вейля. Как следсвие получить структурные теоремы о строении метрической алгебры Ли конформно плоской группы Ли с метрикой нетривиального алгебраического солитона Риччи.

2. Классифицировать четырехмерные группы Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой и нулевым тензором Схоутена-Вейля.

3. Получить классификацию четырехмерных локальных однородных псевдоримановых многообразий с нетривиальной подгруппой изотропии и изотропным тензором Схоутена-Вейля.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и вносят существенный вклад в теорию однородных (псевдо)римановых многообразий, теорию метрических групп и алгебр Ли, теорию солитонов Риччи.

Так, например, доказано, что на группе Ли с левоинвариантной (псев-до)римановой метрикой нетривиального алгебраического солитона Риччи и нулевым тензором Схоутена-Вейля оператор Риччи может иметь лишь нулевые собственные значения, причем размеры жордановых клеток в нормальной форме матрицы оператора Риччи не превышают двух (теорема 1.9). Более того, показано, что в конформно плоском случае, оператор Риччи обязан иметь тип Сегре {(1... 12)} (теорема 1.11). С применением обобщённых алгебр Гейзен-берга, построены примеры конформно плоских нетривиальных алгебраических солитонов Риччи на метрических группах Ли произвольной размерности.

Классификация четырехмерных групп Ли с левоинвариантной псевдори-мановой метрикой и нулевым тензором Схоутена-Вейля, полученная в данной работе (теоремы 2.4-2.9), вместе с результатами работ [15—20] завершает классификацию четырехмерных локально однородных (псевдо)римановых многообразий с нулевым тензором Схоутена-Вейля.

Теорема 3.19 о классификации четырехмерных локально однородных псевдоримановых многообразий с нетривиальной подгруппой изотропии и изотропным тензором Схоутена-Вейля продолжает исследования, начатые в трехмерном случае в работах [24; 25] и в четырехмерном случае в работах [27; 28].

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют теоретическое значение и могут быть использованы специалистами в области геометрии и топологии, в теории однородных (псевдо)римановых многообразий, теории солитонов Риччи и эйнштейново-подобных многообразий в смысле А. Грея, при исследовании инвариантных тензорных полей на многообразиях. Кроме того, результаты диссертации могут быть использованы при подготовке спецкурсов по геометрии, теории однородных (псевдо)рима-новых многообразий. Разработанные методы могут быть использованы при изучении различных многообразий малой размерности: многообразий Эйн-

штейна, многообразий с метрикой солитона Риччи, эйнштейново-подобных многообразий и других.

Методология и методы исследования. Результаты диссертация получены с применением методов геометрии, теории групп и алгебр Ли, (псевдо)ри-мановой геометрии, теории солитонов Риччи, тензорного анализа.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Теорема о строении оператора Риччи на группах Ли с левоинвариант-ной псевдоримановой метрикой нетривиального алгебраического соли-тона Риччи и нулевым тензором Схоутена-Вейля. Теоремы о строении метрической алгебры Ли конформно плоской группы Ли с метрикой нетривиального алгебраического солитона Риччи.

2. Классификация четырехмерных группы Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками и нулевым тензором Схоутена-Вейля, которые не являются конформно плоскими и имеют не параллельный тензор Риччи.

3. Классификация четырехмерных локально однородных псевдорима-новых многообразий с нетривиальной подгруппой изотропии и изотропным тензором Схоутена-Вейля.

Достоверность изложенных в работе результатов подтверждается использованием широко известных методов современной геометрии, локально однородной (псевдо)римановой геометрии, а также положительной оценкой на научных конференциях и семинарах.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы представлялись на 22 конференциях и научных школах. Среди них 15 международных:

1-3. Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и

образования (Барнаул, 2014, 2015, 2017); 4-7. Дни геометрии в Новосибирске (Новосибирск, 2015-2017, 2019);

8. Геометрический анализ и теория управления (Новосибирск, 2016);

9. Математика в современном мире. Международная конференция, посвященная 60-летия Института математики им. С.Л.Соболева (Новосибирск, 2017);

10. Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и техники (Барнаул, 2018);

11. Spring School on Geometry and Topology (Чехия, Градец Кралове, 2018);

12. Summer School on Geometry and Topology (Чехия, Градец Кралове, 2019);

13. Dynamics in Siberia — 2021 (Новосибирск, 2021);

14. Primorie Mathematical Fair (Владивосток, 2021);

15. International conference on Geometry in the Large dedicated to the 90th birthday of Victor Toponogov (Санкт-Петербург, 2021);

и 7 всероссийских:

16. Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники (Барнаул, 2015);

17-22. Математики — Алтайскому краю (Барнаул, 2015-2020). Кроме того, результаты диссертации докладывались на семинаре отдела анализа и геометрии (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, руководитель: академик РАН Ю. Г. Решетняк) на семинаре «Геометрия, топология, и их приложения» (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, руководитель: академик РАН И. А. Тайманов), на краевом семинаре по геометрии и математическому моделированию (АлтГУ, руководитель: д.ф.-м.н., проф. Е. Д. Родионов).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 18 печатных изданиях, 10 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 4 —в периодических научных журналах, индексируемых Web of Science и Scopus, 7 —в тезисах докладов и в материалах конференций различного уровня, 1—в других изданиях. Работы [A2; A7; A8; A15—A17] написаны автором совместно с Е. Д. Родионовым, работа [A5] — с Д. Н. Оскорбиным, работа [A9] — с С. В. Клепиковой, К. О. Кизбикеновым и И. В. Эрнстом, работа [A12] — с О. П. Хромовой и Е. Д. Родионовым, работа [A13] — с О. П. Хромовой и С. В. Клепиковой, работа [A14] — с О. П. Хромовой. Вклад соавторов в эти работы равен и неделим.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и одного приложения. Диссертационная работа разбита на главы, которые подразделяются на параграфы. Все теоремы имеют двойную нумерацию: номер главы, номер утверждения в текущей главе. Полный объём диссертации составляет 143 страницы, включая 5 таблиц. Список литературы содержит 44 наименования.

Глава 1. Алгебраические солитоны Риччи на метрических группах Ли с нулевым тензором Схоутена—Вейля

Результаты данной главы опубликованы в работах [А2; А3; А5; А7; А8; А10; А11].

1.1 Группы Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой

Определение 1.1. (Псевдо)риманово многообразие М называется однородным (псевдо)римановым многообразием, если группа изометрий Ьош(М) действует транзитивно на М.

Многие примеры однородных (псевдо)римановых многообразий возникают как группы Ли, снабженные метрикой, инвариантной относительно левых сдвигов — такая метрика называется левоинвариантной.

Определение 1.2. Метрической алгеброй Ли называется пара (0,(-,-)), где 0 — вещественная алгебра Ли, а (•,•) — некоторое скалярное произведение на 0.

Произвольная левоинвариантная (псевдо)риманова метрика д на группе Ли С определяет скалярное произведение (•,•) на алгебре Ли 0 группы С, и наоборот, каждое скалярное произведение (•,•) на 0 индуцирует левоинва-

риантную метрику д на группе С. Поэтому далее используется отождествление = д.

Пусть (М,д) — п-мерное (п ^ 3) (псевдо)риманово многообразие со связностью Леви-Чивита V.

Определение 1.3. Тензор Я(Х,У)У = VyV*V - VxVyV + V[x,Y]V, где X, У, V — произвольные векторные поля на М, называется тензором кривизны Римана.

Вслед за тензором Римана, определим тензор Риччи г, оператор Риччи р, скалярную кривизну в, тензор одномерной кривизны А (также известный как тензор Схоутена), оператор одномерной кривизны А, тензор Вейля W и тензор Схоутена-Вейля следующими равенствами

r(X,Y) = tr( V —> R(X,V)Y),

<?(p(X ),Y )=r(X,Y), (1.1)

s = tr(p),

Л = r- ^

n - 2 V 2 (n - 1) (X) ,Y) = A (X,Y), W (X,Y) Z = R (X,Y) Z + (A(X) Л Y) Z + (X Л Л(У)) Z, SW (X,Y,Z) = VzA (X,Y) - VyA (X,Z),

где (X Л Y) Z = (Y,Z> X - (X,Z> Y.

Определение 1.4. Две метрические алгебры Ли $ и g называются изометрич-ными, если существует изоморфизм ф: g ^ 0 (псевдо)евклидовых пространств, который (будучи продолжен до изоморфизма тензорных алгебр) переводит тензор кривизны Римана и его ковариантные производные в алгебре g в соответствующие тензоры алгебры 0.

Замечание 1.1. Из результатов работы [29] следует, что две метрические алгебры Ли изометричны тогда и только тогда, когда соответствующие им группы Ли локально изометричны как (псевдо)римановы многообразия.

Определение 1.5. Пусть G — метрическая группа Ли. Будем говорить, что группа Ли G является конформно плоской, если

— SW = 0, при dim G = 3 (для трехмерного многообразия тензор Вей-ля W всегда тривиален);

- W = 0, при dim G ^ 4.

Замечание 1.2. Отметим, что условие W = 0 при dimG ^ 4 влечет за собой выполнение условия SW = 0 [1]. А значит, для конформно плоской группы Ли имеем

R (X,Y) Z = - (^X Л Y) Z - (X Л AY) Z, (X,Y) = VyA (X,Z).

(1.2)

1.2 Солитоны Риччи на метрических группах Ли

Определение 1.6. Полное (псевдо)риманово многообразие (М,д) называется эйнштейновым многообразием, если тензор Риччи г удовлетворяет уравнению Эйнштейна:

для некоторой константы Л € К.

Однородные эйнштейновы многообразия изучены в работах многих математиков (см., например, обзоры [1; 30]). Важным обобщением эйнштейновых метрик являются солитоны Риччи, которые были впервые рассмотрены Р. Гамильтоном в работе [5].

Определение 1.7. Полное (псевдо)риманово многообразие (М,д) называется солитоном Риччи, если метрика д удовлетворяет уравнению:

где г — тензор Риччи, Л € К — константа, Ьхд — производная Ли метрики д по направлению полного дифференцируемого векторного поля X. Если М = С/Н — однородное пространство с однородной (псевдо)римановой метрикой д, тогда (С/Н,д) — однородный солитон Риччи.

Солитоны Риччи естественным образом связаны с решениями уравнения потока Риччи [5]. Метрика д0 — метрика солитона Риччи тогда и только тогда, когда д(Ь) = &^)ф*(д0) — решение уравнения потока Риччи:

где г(д) — тензор Риччи метрики д, а(£) — гладкая функция, ф^ — однопара-метрическое семейство диффеоморфизмов на многообразии, причем а(0) = 1 и ф0 = 1(1мп.

С другой стороны, солитоны Риччи связаны с многообразиями Эйнштейна. Если (М,д) — солитон Риччи с некоторым киллинговым полем X (т.е. Ьхд = 0), то уравнения (1.3) и (1.4) совпадают, а метрика д является метрикой Эйнштейна.

г = Л • д

(1.3)

г = Л • д + Ьхд,

(1.4)

^ = -2г(д), 9(0) = ао,

Солитоны Риччи исследованы в работах многих математиков (см., например, обзор [3]). Классификация однородных солитонов Риччи известна только в малых размерностях и не является исчерпывающей (см. [6]).

Определение 1.8. Солитон Риччи называется растягивающимся, если Л < 0; устойчивым, если Л = 0; стягивающимся, если Л > 0. Также назовем солитон Риччи тривиальным, если он изометричен многообразию Эйнштейна или прямому произведению эйнштейнового многообразия и (псевдо)евклидова пространства.

Если однородный солитон устойчив, то тензор Риччи тривиален (см. подробнее в [31]) и по теореме Алексеевского-Кимельфельда многообразие является плоским (см. [32]). В случае стягивающегося однородного солитона из работ [5; 33] вытекает, что он изометричен произведению компактного однородного эйнштейнова многообразия и евклидова пространства. Если однородный солитон растягивающийся, то М некомпактно (см. [34]). Известные нетривиальные растягивающиеся однородные солитоны изометричны солвсолитонам.

Растягивающиеся солвсолитоны рассмотрены в работе Х. Лауре [35], и их изучение сводится к нахождению алгебраических солитонов.

Определение 1.9. Группа Ли С с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой д называется алгебраическим солитоном Риччи, если выполняется

р = Л • Ы + Б. (1.5)

где р — оператор Риччи, Л € К — константа, Ы — тождественный оператор, Б — некоторое дифференцирование алгебры Ли 0.

Было доказано, что каждый алгебраический солитон Риччи на группе Ли с левоинвариантной римановой метрикой является однородными солитонами Риччи (см. [7]). Позднее этот результат был обобщен К. Онда на случай групп Ли с левоинвариантной псевдоримановой метрикой (см. [8]).

Исследованию алгебраических солитонов Риччи посвящены работы [9; 31; 36]. Классификация четырехмерных алгебраических солвсолитонов, с точностью до эквивариантной изометрии, приведена Х. Лауре в работе [35].

Определение 1.10. Группа Ли С с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой д и метрической алгеброй Ли 0 называется полуалгебраическим со-литоном Риччи, если метрика д удовлетворяет уравнению:

р = Л • ы +1 (о + О), 2

где р — матрица оператора Риччи, Л € К, Ы — единичная матрица, О — матрица некоторого оператора дифференцирования алгебры 0, О' — матрица оператора, сопряженного оператору О относительно метрики д.

М. Яблонский изучал связь между алгебраическими и полуалгебраическими солитонами Риччи. В частности, им была доказана следующая

Теорема 1.3 ([9]). Если группа Ли С с левоинвариантной римановой метрикой д является полуалгебраическим солитоном Риччи, то (С,д) — алгебраический солитон Риччи.

Отметим, что в случае групп Ли с левоинвариантной псевдоримановой метрикой данная теорема не выполняется (см. [37]).

1.3 Алгебраические солитоны Риччи на группах Ли

о /__\ о о

с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой и нулевым

тензором Схоутена—Вейля

В данном разделе мы докажем свойства алгебраических солитонов Риччи на группах Ли с нулевым тензором Схоутена-Вейля.

Лемма 1.4. Пусть (С,д) — алгебраический солитон Риччи. Тогда тензор Схоутена-Вейля БШ^ тривиален, если и только если

VDxY = 0 УХХ € 0. (1.6)

Доказательство. По определению тензора Схоутена-Вейля, с учетом постоянства скалярной кривизны, имеем:

ш (Х,¥,г) = (^т (Х,¥) - vYr (Х,г)).

П — 2

Тензор Риччи, в силу равенств (1.1) и (1.5), выражается через скалярное произведение в алгебре Ли 0 и дифференцирование Б, значит

(Х,У,г) =--Ц-((ЛУ^Х + БУ^Х,У) + (ЛХ + БХ, У^У>-

п — 2

— (ЛУуХ + БУуХ, г) — (ЛХ + БХ, Ууг)) =

= —^ ((бу^х,у > — (буух, г > + (БХ, [г,у]>) =

П 2

= —^ ((Х, УуБг — у^бу > + (Х, [Бг, у ] + [г, бу ]>) =

п 2

= —((х, ууБг — у^бу + у^у — УуБг + у^бу — У^уг >) =

п 2

= —ч ((Х, у^у> — (Х, У^у г».

п — 2

Используя данное равенство и тождество Кошуля [1], получим

(х,у,г) = — 2(п — 2) (([Бг,у ],х > — ([у,х ],Бг > — ([Бг,х],у >—

—([ БУ,г ],х > + ([ г,х ],бу > + ([БУ,х],г >) = 1 ((х, [ б г,у ] + [ г,БУ ]>+(у, Б[г,х ] — [Бг,х ]>+

2(п — 2)

+ (г, [ БУ,Х] — Б[У,Х]>) =

= — ^Пт^) (( г, [ бх,у ]> — ( БХ, [У,г ]> — (у, [БХ,г]>) =

= — П—2 (У^г >,

откуда, в силу невырожденности скалярного произведения, получим требуемое.

Лемма 1.5. Для произвольных векторов Х, У иг из алгебры Ли 0 выполняются следующие равенства

1. Я (БХ,У) г + Я (Х,БУ) г = 0;

2. Я (Х,У) Бг + Б Я (Х,У) г = 0;

3. Я (БХ,БУ)г = 0;

4. я (х,бу)Бг = я (х,Бг)бу.

Доказательство. Пусть Х, У и г — произвольные векторы из алгебры Ли 0. Рассмотрим следующее выражение

я (их у) г + я (х,иу) г =

= V V вх] г + V[Dx,Y]Z + Хву Vx] г + V[x,BY]Z =

Первое и третье слагаемые равны нулю в силу (1.6). Далее имеем

= ^\вх:у]г + v[х,ву]г = ^в\ху]% ^ = ^ °

что доказывает пункт 1 данной леммы.

Для доказательства пункта 2 рассмотрим

{я (х,у) ог + и я (х,у) г, V) = {я (х,у) иг, V) + {и я (х,у) г, V) =

= {я (х,у) иг, V) + {я (х,у) г, DV) = = {я (игу) х, у) + {я (z,DV) х, у) =

= {я (игх) х + я (z,DV) х, у) = 0,

откуда, в силу произвольного выбора вектора V, получаем требуемое. По определению тензора кривизны имеем

я (ихиу) г = [VВУ Vвх] г + v[вx,вY]Z =

= \УвГXВХ] г + V(VDxВУ^оуВХ

Все слагаемые равны нулю из-за (1.6), что доказывает пункт 3 данной леммы. Рассмотрим алгебраическое тождество Бьянки:

я (х,иу) иг + я (иу,иг) х + я (иг,х) иу = 0.

Второе слагаемое равно нулю в силу пункта 3 данной леммы, оставшиеся два слагаемых дают пункт 4 леммы. □

Пусть и0 и Кет и — образ и ядро оператора и соответственно. Тогда имеет место

Лемма 1.6. В вышеприведенных обозначениях верно

1. и0 — абелева подалгебра алгебры 0;

2. Кет и — подалгебра алгебры 0;

3. [Кети,и0] С и0;

4. Если и2 = 0, то [и0,0] С Кети.

Доказательство. Пусть БХ и БУ — произвольные векторы из Б0, тогда

[ БХ,БУ ] = УвхБУ — УпуБХ = 0

в силу (1.6), следовательно Б0 — абелева подалгебра.

Пусть Х и У — произвольные векторы из КегБ, т.е. БХ = 0 и БУ = 0,

тогда

Б[Х,У ] = [БХ,У ] + [Х,БУ ] = 0,

а следовательно [Х,У] Е КегБ.

Пусть БХ и У — произвольные векторы из Б0 и Кег Б соответственно,

тогда

[БХ,У] = Б[Х,У] — [Х, БУ] = Б[Х,У] Е Б0.

Пусть БХ и У — произвольные векторы из Б0 и 0 соответственно и Б2 = 0, тогда

Б[БХ,У] = [Б2Х,У ] + [БХ,БУ ] = 0, а следовательно [ БХ,У] е КегБ. □

Лемма 1.7. Если оператор Б диагонализируем и имеет только два собственных значения — 0 и —Л, то алгебра Ли 0 имеет вид полупрямой суммы Б0 XI Кег Б и изометрична прямой сумме 0 = Б0 0 Кег Б.

Доказательство. Заметим, что, если оператор Б диагонализируем с собственными значениями 0 и —Л, то по лемме 1.6 имеем: Б0 — абелев идеал, КегБ — подалгебра, ( Б0,КегБ> =0 и 0 = Б0 + КегБ как векторное пространство. Значит 0 = Б0 х КегБ. Для доказательства изометричности нам необходимо показать, что тензор кривизны и все его ковариантные производные совпадают как у полупрямой суммы, так и у прямой. Для этого рассмотрим тензор

я (х,у,г; А) = у^ ... Уикя (Х,У) г.

Заметим, что если хотя бы один вектор из набора Х, У, г, ... принадлежит Б0, то Я (Х,У,г; ^1,... ) = 0 в силу (1.6), симметрий тензора кривизны и того, что Б0 — идеал. Кроме того УхУ Е КегБ при Х,У Е КегБ в силу тождества Кошуля и вышеприведенных соотношений на скобку Ли и скалярное произведение, а значит, Я (Х,У) г е КегБ; более того, данное выражение определяется только коммутаторами в подалгебре Кег Б и скалярным произведением.

Пусть векторы X, у, г, ..., и принадлежат подалгебре Кет и. Применим индукцию по :

я (Х,У,г; щ,... ,ик) = Vu1... vUkя (Х,у) г = vUlя (Х,у,г; и2,... ,ик) = = -я ^^хуг; и2,... ,ик) - я ^и^г; и2,... ,ик) -

-я (XXV иХ ;и2,...,ик) -- я (Х,у,г; vUlU2, ...,ик) - ... -я (Х,у,г; и2,... Vu.Uk).

Следовательно, я (Х,У,г ;и\,... ,ик) принадлежит ядру оператора и и определяется только скобкой Ли в подалгебре Кет и и скалярным произведением (база индукции к = 0 показана выше), а значит тензор кривизны и все его ковариантные производные совпадают как у полупрямой суммы, так и у прямой. □

Лемма 1.8. Для произвольного вектора X из алгебры Ли 0 верно

и2х = -Лих.

Доказательство.

{р (х) ,иу) =г (х,иу) = 1ту ^ я (XV) иу)л 1=-(2)

= 1т (иV ^ я (Х^) иу) л =(4) 1т ^ ^ я (Х,иу) DV) = 0,

т.к. оператор кривизны является кососопряженным. Далее, с использованием уравнения алгебраического солитона Риччи (1.5), получаем требуемое. □

В случае групп Ли с левоинвариантной псевдоримановой метрикой существуют различные возможные формы оператора Риччи, которые называются типами Сегре и представляют собой список размеров жордановых клеток в жордановой нормальной форме матрицы оператора Риччи. Так, например, запись "оператор Риччи имеет тип Сегре {(11)2}" означает, что оператор Рич-чи имеет два действительных различных собственных значения, оба имеют алгебраическую кратность два, но первому из них соответствует двумерное собственное подпространство, а второму — одномерное. Круглые скобки группируют блоки, соответствующие одному и тому же собственному значению.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Клепиков Павел Николаевич, 2022 год

Список литературы

1. Besse A. Einstein Manifolds. — Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1987. — 51G p.

2. Berger M. A Panoramic View of Riemannian Geometry. — Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2GG3. - 824 p.

3. Cao H.-D. Recent progress on Ricci solitons // Advanced Lectures in Mathematics. - 2GG9. — Vol. 11. - P. 1-38.

4. Gray A. Einstein-like manifolds which are not Einstein // Geom. Dedi-cata. - 1978. - Vol. 7. - P. 259-28G.

5. Hamilton R. S. The Ricci flow on surfaces // Contemporary Mathematics. — 1988. - Vol. 71. - P. 237-261.

6. Arroyo R. M, Lafuente R. Homogeneous Ricci solitons in low dimensions // International Mathematics Research Notices. — 2G15. — Vol. 2G15, no. 13. — P. 49G1—4932.

7. Lauret J. Ricci soliton homogeneous nilmanifolds // Mathematische An-nalen. - 2GG1. - Vol. 319, no. 4. - P. 715-733.

В. Onda K. Examples of Algebraic Ricci Solitons in the Pseudo-Riemannian Case // Acta Mathematica Hungarica. — 2G14. — Vol. 144, no. 1. — P. 247-265.

9. Jablonski M. Homogeneous Ricci solitons are algebraic // Geometry & Topology. - 2G14. - Vol. 18, no. 4. - P. 2477-2486.

10. Chaichi M, Keshavarzi Y. Conformally flat pseudo-Riemannian homogeneous Ricci solitons 4-spaces // Indian Journal of Science and Technology. — 2G15. - Vol. 8, no. 12. - P. 1-11.

11. Brozos-Vázquez M., García-Río E., Gavino-Fernández S. Locally Conformally Flat Lorentzian Gradient Ricci Solitons // Journal of Geometric Analysis. - 2G13. - Vol. 23. - P. 1196-1212.

12. Cho J. T., Kimura M. Ricci solitons on locally conformally flat hypersurfaces in space forms // Journal of Geometry and Physics. — 2G12. — Vol. 62, no. 8. - P. 1882-1891.

13. Cao H.-D., Chen Q. On locally conformally flat gradient steady Ricci solitons // Transactions of the American Mathematical Society. — 2012. — Vol. 364. - P. 2377-2391.

14. Honda K., Tsukada K. Three-dimensional conformally flat homogeneous Lorentzian manifolds // Journal of Physics A Mathematical and Theoretical. - 2007. - Vol. 40, no. 4. - P. 831-851.

15. Zaeim A., Haji-Badali A. Einstein-like Pseudo-Riemannian Homogeneous Manifolds of Dimension Four // Mediterranean Journal of Mathematics. — 2016. - Vol. 13, no. 5. - P. 3455-3468.

16. Гладунова О. П., Славский В. В. О гармоничности тензора Вейля ле-воинвариантных римановых метрик на четырехмерных унимодулярных группах Ли // Математические труды. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 50—69.

17. Воронов Д. С., Родионов Е. Д. Левоинвариантные римановы метрики на четырехмерных неунимодулярных группах Ли с нулевой дивергенцией тензора Вейля // Докалады академии наук. — 2010. — Т. 432, № 3. — С. 301—303.

18. Calvaruso G., Zaeim A. Conformally flat homogeneous pseudo-riemannian four-manifolds // Tohoku Mathematical Journal. — 2014. — Vol. 66. — P. 31-54.

19. Calvaruso G., Zaeim A. Four-dimensional Lorentzian Lie groups // Differential Geometry and its Applications. — 2013. — Vol. 31. — P. 496—509.

20. Calvaruso G., Zaeim A. Neutral Metrics on Four-Dimensional Lie Groups // Journal of Lie Theory. - 2015. - Vol. 25. - P. 1023-1044.

21. Zaeim A. Einstein-like Lorentzian Lie groups of dimension four // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. — 2017. — Vol. 24, no. 4. — P. 556—570.

22. Rodionov E. D., Slavskii V. V. Conformal deformations of the Riemannian metrics and homogeneous Riemannian spaces // Commentationes Mathemat-icae Universitatis Carolinae. - 2002. - Vol. 43, no. 2. - P. 271—282.

23. Alekseevsky D. Lorentzian manifolds with transitive conformal group // Note di Matematica. - 2017. - Vol. 37, no. 1. - P. 35-47.

24. Родионов Е. Д., Славский В. В., Чибрикова Л. Н. Локально конформно однородные псевдоримановы пространства // Математические труды. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 130—168.

25. Хромова О. П., Клепиков П. Н., Клепикова С. В., Родионов Е. Д. On the Schouten-Weyl tensor of 3-dimensional metric Lie groups // Труды семинара по геометрии и математическому моделированию. — 2017. — Т. 3. — С. 21—29.

26. Клепикова С. В., Хромова О. П. Локально однородные псевдоримановы многообразия размерности 4 с изотропным тензором Вейля // Известия АлтГУ. — 2018. — 1(99). — С. 99—102.

27. Клепикова С. В. Изотропный тензор Вейля на четырехмерных локально однородных псевдоримановых многообразиях // Известия АлтГУ. — 2019. — 1(105). — С. 80—83.

28. Клепикова С. В. О классификации четырехмерных локально однородных псевдоримановых многообразий с изотропным тензором Вейля // Известия вузов. Математика. — 2019. — № 7. — С. 86—90.

29. Jentsch T. The Jet Isomorphism Theorem of pseudo-Riemannian geometry [Электронный ресурс]. —2015. — URL: https://arxiv.org/abs/1509.08269 (visited on 05/21/2021).

30. Wang M. Einstein metrics from symmetry and bundle constructions // Surveys in Differential Geometry. - 1999. - Vol. 6. - P. 287-325.

31. Lauret J. Einstein solvmanifolds and nilsolitons, New development in Lie theory and geometry // Contemporary Mathematics. — 2009. — Vol. 491. — P. 1-35.

32. Alexeevskii D. V., Kimelfeld B. N. Structure of homogeneous Riemannian spaces with zero Ricci curvature // Functional Analysis and Its Applications. - 1975. - Vol. 9, no. 2. - P. 5-11.

33. Petersen P., Wylie W. On gradient Ricci solitons with symmetry // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2009. — Vol. 137, no. 6. — P. 2085-2092.

34. Ivey T. Ricci solitons on compact three-manifolds // Differential Geometry and Applications. - 1993. - Vol. 3, no. 4. - P. 301-307.

35. Lauret J. Ricci soliton solvmanifolds // Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik. - 2011. - Vol. 650. - P. 1—21.

36. Lafuente R., Lauret J. Structure of homogeneous Ricci solitons and the Alek-seevskii conjecture // Journal of Differential Geometry. — 2014. — Vol. 98, no. 2. - P. 315-347.

37. Batat W., Onda K. Algebraic Ricci solitons of three-dimensional Lorentzian Lie groups // Journal of Geometry and Physics. — 2017. — Vol. 114. — P. 138-152.

38. O'Neill B. Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity. — Academic Press, 1983. — 468 p.

39. Honda K. Conformally Flat Semi-Riemannian Manifolds with Commuting Curvature and Ricci Operators // Tokyo journal of mathematics. — 2003. — Vol. 26, no. 1. - P. 241-260.

40. Brozos-Vazquez M., Garcia-Rio E., Gilkey P., Nikcevic S., Vazquez-Lorenzo R. The Geometry of Walker Manifolds. — Morgan and Claypool Publishers, 2009. - 179 p.

41. Гладунова О. П. Применение математических пакетов к вычислению инвариантных тензорных полей на трехмерных группах Ли с левоинва-риантной (псевдо)римановой метрикой // Вестник Алтайского государственного педагогического университета. — 2006. — Т. 6—2. — С. 111—115.

42. Гладунова О. П., Оскорбин Д. Н. Применение пакетов символьных вычислений к исследованию спектра оператора кривизны на метрических группах Ли // Известия АлтГУ. — 2013. — Т. 1—1(77). — С. 19—23.

43. Хромова О. П. Применение пакетов символьных вычислений к исследованию оператора одномерной кривизны на нередуктивных однородных псевдоримановых многообразиях // Известия АлтГУ. — 2017. — Т. 1(93). — С. 140—143.

44. Komrakov B. B. Einstein-Maxwell equation on four-dimensional homogeneous spaces // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2001. — Vol. 8. — P. 33-165.

Публикации автора по теме диссертации

A1. Klepikov P. N. Left-Invariant Pseudo-Riemannian Metrics on Four-Dimensional Lie Groups With Nonzero Schouten-Weyl Tensor // Russian Mathematics. - 2017. - Vol. 61, no. 1. - P. 81-85.

A2. Klepikov P. N., Rodionov E. D. Algebraic Ricci Solitons on Metric Lie Groups with Zero Schouten-Weyl Tensor // Doklady Mathematics. — 2017. - Vol. 95, no. 1. - P. 62-64.

A3. Klepikov P. N. Conformally Flat Algebraic Ricci Solitons on Lie Groups // Mathematical Notes. - 2018. - Vol. 104, no. 1/2. - P. 53-62.

A4. Клепиков П. Н. Четырехмерные метрические группы Ли с нулевым тензором Схоутена-Вейля // Сибирские электронные математические известия. — 2019. — Т. 16. — С. 271—330.

A5. Клепиков П. Н., Оскорбин Д. Н. Конформно плоские солитоны Риччи на группах Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой // Известия АлтГУ. — 2016. — 1(89). — С. 123—128.

A6. Клепиков П. Н. Левоинвариантные псевдоримановы метрики на четырехмерных группах Ли с нулевым тензором Схоутена-Вейля // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2017. — Т. 8. — С. 92—97.

A7. Клепиков П. Н., Родионов Е. Д. Алгебраические солитоны Риччи на метрических группах Ли с недиагонализируемым оператором Риччи // Известия АлтГУ. — 2017. — 1(93). — С. 97—90.

A8. Клепиков П. Н., Родионов Е. Д. Алгебраические солитоны Риччи на метрических группах Ли с нулевым тензором Схоутена-Вейля // Доклады академии наук. — 2017. — Т. 472, № 5. — С. 506—508.

A9. Клепиков П. Н., Клепикова С. В., Кизбикенов К. О., Эрнст И. В. Исследование четырехмерных локально однородных (псевдо)римановых многообразий с изотропным тензором Схоутена-Вейля // Известия АлтГУ. — 2018. — 4(102). — С. 79—82.

A10. Клепиков П. Н. Конформно плоские алгебраические солитоны Риччи на группах Ли // Математические заметки. — 2018. — Т. 104, № 1. — С. 62—73.

A11. Klepikov P. Ricci solitons on conformally flat metric Lie groups // Международная конференция «Геометрический анализ и теория управления». Тезисы докладов. — Новосибирск: ФГБУН ИМ СО РАН, 2016. — С. 49—50.

A12. Khromova O, Klepikov P., Rodionov E. Left-invariant pseudo-Riemannian metrics on 4-dimensional Lie groups with zero divergence Weyl tensor // The 13th Conference on Differential Geometry and its Applications. Programme and Abstracts. — Brno: Masaryk University, 2016. — P. 48—49.

A13. Клепиков П. Н., Клепикова С. В., Хромова О. П. О метрических группах Ли с гармоническим тензором Вейля // ДНИ ГЕОМЕТРИИ В НОВОСИБИРСКЕ — 2016: Тезисы Международной конференции. — Новосибирск: ФГБУН ИМ СО РАН, 2016. — С. 94—98.

A14. Клепиков П. Н., Хромова О. П. О псевдоримановых однородных C-про-странствах размерности 4 // Материалы международной конференции по алгебре, анализу и геометрии, посвященной юбилеям выдающихся профессоров Казанского университета, математиков Петра Алексеевича (1895-1944) и Александра Петровича (1926-1998) Широковых, и молодежной школы-конференции по алгебре, анализу, геометрии. — Казань: АН РТ, 2016. — С. 205—206.

A15. Клепиков П. Н., Родионов Е. Д. Исследование эйнштейново-подобных псевдоримановых многообразий с использованием методов компьютерной математики // "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования". Тезисы докладов XIV Международной научной конференции. — Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2017. — С. 152.

A16. Клепиков П. Н., Родионов Е. Д. Об эйнштейново-подобных по А. Грею однородных многообразиях // Математика в современном мире. Международная конференция, посвященная 60-летия Института математики им. С.Л.Соболева (Новосибирск, 14-19 августа 2017г.): Тез. докладов. — Новосибирск: ФГБУН ИМ СО РАН, 2017. — С. 121.

A17. Клепиков П. Н., Родионов Е. Д. Об Эйнштейново-подобных псевдоримановых многообразиях по А. Грею // Дни геометрии в Новосибирске-2017: Тезисы Международной конференции. — Новосибирск: ФГБУН ИМ СО РАН, 2017. — С. 38.

A18. Клепиков П. Н. Четырехмерные локально однородные псевдоримановы многообразия с изотропным тензором Схоутена-Вейля // Труды семинара по геометрии и математическому моделированию. — 2019. — Т. 5. — С. 24—50.

Список таблиц

1 Вид матриц тензора Риччи и метрического тензора в базисе,

в зависимости от типа Сегре оператора Риччи ............. 28

2 Метрические алгебры Ли четырехмерных групп Ли с нулевым тензором Схоутена-Вейля, метрика которых не является

ни конформно плоской, ни Риччи параллельной ............ 93

3 Вид инвариантного метрического тензора................105

4 Четырехмерные локально однородные псевдоримановы многообразия с нетривиальной подгруппой изотропии и

изотропным тензором Схоутена-Вейля.................123

А.1 Классификация четырехмерных локально однородных

(псевдо)римановых многообразий с нетривиальной подгруппой изотропии..................................135

Приложение А

Классификация четырехмерных локально однородных (псевдо)римановых многообразий с нетривиальной подгруппой

изотропии

Далее приведем классификацию четырехмерных локально однородных (псевдо)римановых многообразий G/H с нетривиальной подгруппой изотропии, которая была получена в [44]. Данная классификация приведена в табл. А.1. Для каждого случая указаны скобки Ли, определяющие алгебру Ли группы G, параметры могут принимать любые действительные значения, если не указано обратное; во всех случаях подалгебра изотропии h = span(ej), дополнение m = span (ui).

Таблица А.1 — Классификация четырехмерных локально однородных (псевдо)римановых многообразий с нетривиальной подгруппой изотропии

№ Скобки Ли

1.11.1 [еЬИ1] = «1, [б1 ,«3] = -Из, К,^] = «2, К,^] = «2, К/М = «3

1.11.2 [е1,«1] = «1, [б1 ,Мз] = -Из, К,^] = Р«2, К,^] = «3

1.11.3 [е1 ,«1 ] = «1, [е1,«3] = -«3, [М1,«3] = е1 + «2

1.11.4 [ebW1] = «1, [е1,«3] = -«3, [М1,«3] = «2

1.11.5 [в1,П1] = «1, [ebW3] = -«3, [М1,«3] = е1, [«2,^4] = «2

1.11.6 [в1,М1] = «1, [в1,М3] = -«3, [«2,^4] = «2

1.11.7 [еьИ1] = «1, [е^] = -«3, [«1,^3] = е1

1.11.8 [в1,П1] = «1, [е1,«2] = 2«2, [е1,«3] = -«3, [е1,«4] = -2«4, [«1 ,«3] = -2еь [«1,^4] = «2, [«2 ,«3] = «4

1.11.9 [в1,П1] = «1, [е1,«2] = 1 «2, [е1,«3] = -^3, [е1,«4] = -1 «4, [«1,^4] = «2

1.11.10 [е1,м1] = м1, [е1,м2] = Ли2, [е1,м3] = -м3, [е1,м4] = -Ли4, Л G [0,1]

1.12.1 [в1,П1] = «3, [е1,«3] = -«1, [«1,^3] = -«2, [^1,^4] = «1, [«2,^4] = 2^2, [«3,^4] = «3

1.12.2 [е1,«1] = «3, [еьИ3] = -«1, [«1 ,«4] = «1, [«2,^4] = Р«2, [^3,^4] = «3

1.12.3 [е1 ,«1 ] = «3, [е1,«3] = -«1, К,^] = е1 + «2

1.12.4 [е1,«1] = «3, [е1,«3] = -«1, [«1,^3] = -е1 + «2

1.12.5 [е1,«1] = «3, [е1,«3] = -«1, [«1,^3] = «2

1.12.6 [в1,П1] = «3, [ebW3] = -«1, [«1,^3] = еь [«2,^4] = «2

1.12.7 [ebW1] = «3, [е1,«3] = -«1, [«1,^3] = -е1, [«2,^4] = «2

№ Скобки Ли

1.12.8 [в1,М1] = «3, [в1,Мз] = -«1, [«2,^4] = «2

1.12.9 [е1,«1] = Из, [еьиз] = -«1, [М1,«з] = е1

1.12.10 [е1,«1] = Из, [в1,мз] = -«1, [«1,мз] = -е1

1.12.11 [в1,П1] = Из, [е1,«2] = 1 «4, [е1,«з] = -«1, [еъ^] = -2«2, [«1 ,«2] = «2, [«1,«з] = -4е1, [«1,^4] = -«4, [«2 ,«з] = -«4, [«з,«4] = «2

1. 12.12 [е1,«1] = из, [е1,«2] = А«4, [е1,«з] = -«1, [е1,«4] = -Л«2, А е [0,1]

1.13.1 [е1,«1] = «1, [е1,«2] = Л«4, [е1,«з] = -из, [е1,«4] = -Л«2, Л е (0,1]

1.14.1 [в1,П1] = из, [е1,«2] = -Л«2, [еь^з] = -«1, [е1,«4] = Л«4, Л е (0,1)

1.15.1 [е1,м1] = ес8(ф/2)м1 - вт(ф/2)и2, [е1,м2] = ссв(ф/2)и2 + в1п(ф/2)м1, [е1 ,из] = - ссв(ф/2)из + в1п(ф/2)м4, [е1,м4] = - ссв(ф/2)и4 - в1п(ф/2)мз, ф е (0,п/2]

1.16.1 [е1,м1] = - ссв(ф/2)м2 - в1п(ф/2)м1, [е1,м2] = ссв(ф/2)м1 - в1п(ф/2)м2, [е1,мз] = - ссв(ф/2)м4 + вт(ф/2)из, [е1,м4] = ссв(ф/2)мз + вт(ф/2)и4, ф е (0,п/2)

1.21.1 [в1,П1] = «1, [е1,«2] = «1 + «2, [е1 ,«з] = -из - «4, [еь^] = -«4

1.22.1 [в1,П1] = «2, [е1,«2] = -«1, [еь^з] = «2 + «4, [е1,«4] = -«1 - «з

1.31.1 [е1,«1] = б1, [в1,Мз] = «1, [еЬИ4] = «2, [^1,^2] = -2«2, [«1,«з] = Из, [^1,^4] = 1 «4, К,Из] = 1 «4

1.31.2 [в1,Мз] = «1, [е1,«4] = «2, [^1,Мз] = -Лб1 + (Л + 1)«1 + Л«2, [^2,^4] = «2, Л е [-1,1]

1.31.3 [в1,Мз] = «1, [е1,«4] = «2, [^1,Мз] = «1, [«2,^4] = «2, [мз,«4] = в1

1.31.4 [еьиз] = «1, [е1,«4] = «2, [«1,«з] = -(1 + Л2)е1 + 2Л«1 + (1 + Л2)«2, [«2,^4] = «2, Л ^ 0

1.31.5 [е1,Мз] = «1, [еьИ4] = «2, К,Из] = Лц+Це1 + Ц— «2, К,^] = Ле1 + «1 + Л«2, [М2,«з] = -Ле1 + «1 + Л«2, [«2,«4] = -це1 + (ц + 1)«2, Л ^ 0, ц = 1

1.31.6 [еЬИз] = «1, [б1 ,«4] = «2, [«1,«з] = -«2, [^1,^4] = «1, [«2,«з] = «1, [^2,^4] = «2, [мз,«4] = б1

1.31.7 [в1,Мз] = «1, [еЬИ4] = «2, К,Из] = 1++Хе1 + !+лМ1 - 1+лм2, [М1,«4] = - 1+Хб1 + ^«1 + 1+Л«2, К^з] = -^б1 + ^«1 + ^«2, [М2,М4] = 1+Л61 + 1+Л«1 + 11+2ЛЛ^ Л = 1

1.31.8 [еЬИз] = «1, [б1 ,«4] = «2, [«2,«з] = «1, [«2,«4] = м2, [«з,«4] = -«з

1.31.9 [еьиз] = «1, [е1,«4] = «2, [^2,«з] = Л«1, [«2,^4] = -Ле1 + (Л + 1)«2, [«з,«4] = -Л«з

1.31.10 [в1,Мз] = «1, [еЬИ4] = «2, [«2,^4] = «2, [^з,^4] = е!

1.31.11 [в1,Мз] = «1, [е1,«4] = «2, [«2,«з] = -«1, [«2,^4] = е1, [мз,^4] = е1 + «з

1.31.12 [е1,«з] = «1, [е1,«4] = «2, [^1,^4] = «1, [«2,«з] = Ц«1, [^2,^4] = -Лце1 + (Л + ц)«2, [из ,«4] = (1 - ц)«з

1.31.13 [в1,Мз] = «1, [е1,«4] = «2, [«1,^4] = «1, [^2,Мз] = 1 «1, [«2,«4] = -Ле1 + (Л + 2) «2, [из = е1 + 1 Из

1.31.14 [в1,Мз] = «1, [е1,«4] = «2, К,«4] = «1, [^2,^з] = (1 - Л)«1, [«2,^4] = Л(Л - 1)е1 + «2, [мз,«4] = е1 + Л«з, Л = 2

1.31.15 [в1,Мз] = «1, [е1,«4] = «2, [М1,«з] = -е1 + 2«1, [«1,^4] = «2, [«2,«з] = «2, [«2,^4] = -е1 + «1

1.31.16 [в1,Мз] = «1, [еьИ4] = «2, [«1,«з] = -е1 + 2«1, [«1,^4] = «2, [^2,^з] = «2, [«2,^4] = е1 - «1

1.31.17 [еьИз] = «1, [еьИ4] = «2, [^2,^4] = «1, [«з,«4] = е1

1.31.18 [в1,Мз] = «1, [еЬИ4] = «2, [«2,^4] = «1

№ Скобки Ли

1.31.19 [в1,Мз] = «1, [е1,«4] = «2, [«1,^4 ] = «1, [«2,«з] = «1, [«2,^4] = —е1 + «1 + 2«2

1.31.20 [в1,Мз] = «1, [е1,«4] = «2, [«2,«з] = «1, [^2,^4] = «2 — «1, [«3,^4] = —Из

1.31.21 [б1 ,Мз] = «1, [е1,«4] = «2, [^1,^4] = «1, [«2,«з] = А«1,

[«2,^4] = — Аб1 + (1 — Л)«1 + (1 + Л)«2, [мз,«4] = (1 — А)«з, Л = 1

1.31.22 [в1,Мз] = «1, [е1,«4] = «2, [^1,^4] = «1, [«2,«з] = 1 «1, [«2,^4] = — 2е1 + 1 «1 + 2«2, [из ,«4] = б1 + 1 Из

1.31.23 [в1,Мз] = «1, [е1,«4] = «2, [«1,^4] = м1, [^2,^4] = «1 + «2, [«з,^] = е1 + Мз

1.31.24 [е1,«з] = «1, [еьИ4] = «2, [^1,«з] = (1 — 2Л)е1 + 2Лиь [«1,^4] = (2Л — 1)«2, [«2,«з] = Л«2,

[«2,«4] = 2Л-1 е1 2Л-2М1, К,^] = (Л 1)«4, Л =1

1.31.25 [еьиз] = «1, [еьИ4] = «2, [^1,«з] = (1 — 2Л)е1 + 2Лиь [«1,^4] = (2Л — 1)«2, [«2,«з] = Л«2,

[«2,^4] = е1 + 2Л-2М1, К ,«4] = (Л 1)«4, Л = 1

1.31.26 [в1,Мз] = «1, [е1,«4] = «2, [^1,Мз] = — 1 е1 + 4«1, [«1,^4] = 1 «2, [^2,Мз] = 2«2,

[«2,^4] = — 2е1 + 2М1, [Мз = е1 — з«4

1.31.27 [в1,Мз] = «1, [е1,«4] = «2, [^1,Мз] = — зв! + 4«1, [«1,^4 ] = 1 «2, [^2,Мз] = з«2,

[«2 ,«4] = 2е1 — 22^1, [мз,^4] = е1 — з«4

1.31.28 [в1,Мз] = «1, [е1,«4] = «2, [М1,«з] = 2«1, [«1,^4] = 2«2, [«2,«з] = «2, [^2,^4] = в1 — 2«1, [мз ,м4] = м4

1.31.29 [в1,Мз] = «1, [еЬИ4] = «2, [«1,«з] = 2«1, [«1 ,«4] = 2«2, [^2,Из] = «2, [^2,^4] = —в1 + 2М1, [мз ,м4] = м4

1.31.30 [е1,Мз] = [е1 ,М4] = ^ [М1,Мз] = ¿-з^61 + Л+^-ЛцЦ+ ^ К,М4] = Л+Дце1 + Л+ц-Л^М1 + Л+м-ЛцМ2, = л+Дце1 + Л+ц-Л^М1 + Л+ц-ЛцМ2, = Л+Й-ё«1 + &«1 + ^ Л + ц — Лц^ 1 ^ ц ^ Л, Лц > 0

1.31.31 [еьиз] = «1, [е1,«4] = «2, [мз,«4] = е1

1.31.32 [еЬИз] = «1, [в1,М4] = «2

1.41.1 [е1,«2] = «1, [е1,«з] = «2, [е1,«4] = е1, [«1,^2] = «1, [«ъ^з] = «2, [^1,^4] = «1,

[М2,«з] = Из, [мз,«4] = —Из

1.41.2 [еьИ2] = «1, [е1,«з] = «2, [е1 ,«4] = е1, [«1,^4] = Р«1, [^2,^4] = (р — 1)^2,

[мз,«4] = (р — 2)«з

1.41.3 [е1,«2] = «1, [еъ^з] = «2, [е1 ,«4] = е1, [«1,^4] = 2иь [и2,«з] = еь [«2,^4] = «2

1.41.4 [е1 ,«2] = «1, [е1,«з] = «2, [еъ^] = еь [«1 ,«4] = 2«1, [и2,«з] = — еъ [«2,^4] = «2

1.41.5 [в1,М2] = «1, [е1,Мз] = «2, [«1,^2] = «1, [М1,«з] = «2, [^2,Мз] = Из

1.41.6 [е1,«2] = «1, [е1,Мз] = «2, [^1,^4] = «1, [^2,^4] = «2, [мз,«4] = «1 + Из

1.41.7 [е1,«2] = «1, [еь^з] = «2, [^1,^4] = «1, [^2,^4] = «2, [мз,«4] = —«1 + Из

1.41.8 [е1,«2] = «1, [еь^з] = «2, [^1,^4] = «1, [^2,^4] = «2, [мз,«4] = Из

1.41.9 [еЬИ2] = «1, [е1,Мз] = «2, [«1 ,Из] = м1, [^2,«з] = + «2 + «4, [^з,^4] = Р«4

1.41.10 [е1,«2] = «1, [еъ^з] = «2, [^1,Из] = «1, [^2,^з] = + «2, [«з,«4] =

1.41.11 [е1,«2] = «1, [еъ^з] = «2, [И1,Из] = м1, [^2,^з] = + «2 + «4, [^з,«4] = «1 — «4

1.41.12 [б1 ,«2] = «1, [е1,Мз] = «2, [^1,Из] = «1, [«2,«з] = + «2, [«з,«4] = «1 — «4

1.41.13 [еьИ2] = «1, [еъ^з] = «2, [^2,^з] = + «4, [мз,^4] = «4

1.41.14 [еЬИ2] = «1, [е1,Мз] = «2, [«2,«з] = Гв1, [мз,«4] = «4

1.41.15 [е1,«2] = «1, [еь^з] = «2, [^2,мз] = е1 + «4, [из,^] = «1

№ Скобки Ли

1.41.16 [еь^] = «1, [е1,«3] = «2, [«2,^3] = — е1 + «4, [«3,^4] = «1

1.41.17 [е1,«2] = «1, [еь«3] = «2, [«2,^3] = «4, [^3,^4] = «1

1.41.18 [е1,«2] = «1, [е1,«3] = «2, [^2,^3] = е1 + «4

1.41.19 [е1 ,«2] = «1, [е1,«3] = «2, [^2,^3] = —е1 + «4

1.41.20 [еьИ2] = «1, [е1,«3] = «2, К/М = «4

1.41.21 [е^] = «1, [еъ^] = «2, К,^] = е1, [«3,«4] = «1

1.41.22 [еьИ2] = «1, [е1,«3] = «2, К,И3] = —е1, К,^] = «1

1.41.23 [е^] = «1, [е1,«3] = «2, [^3,^4] = «1

1.41.24 [еьИ2] = «1, [е1,«3] = «2, [«2,^3] = е1

1.41.25 [е1,«2] = «1, [е1,«3] = «2, [^2,^3] = —е1

1.41.26 [в1,М2] = «1, [в1,М3] = «2

2.11.1 [в1,М1] = «1, [е1,«3] = —«3, [е2,«2] = «2, [е2,«4] = —«4, [^1,^3] = е1, [«2,^4] = = е2

2.11.2 [е1 ,«1] = «1, [еьИ3] = —«3, [е2,«2] = «2, [е2,«4] = — «4, [«1 ,«3] = е1

2.11.3 [е1,«1] = «1, [е1 ,«3] = —«3, [е2,«2] = «2, [е2,«4] = —«4

2.12.1 [еьИ1] = «1, [еьИ3] = —«3, [е2,«2] = «4, [е2,«4] = -«2, [^1,^3] = еь [«2,^4] = = е2

2.12.2 [е1 ,«1 ] = «1, [е1,«3] = —«3, [е2,«2] = «4, [е2,«4] = —«2, [«1 ,«3] = [«2,^4] = —е2

2.12.3 [е1 ,«1] = «1, [еьИ3] = —«3, [е2,«2] = «4, [е2,«4] = —«2, [«1 ,«3] = е1

2.12.4 [б1 ,«1] = «1, [еЬИ3] = —«3, [е2,«2] = «4, [е2,«4] = —«2, [«2,«4] = е2

2.12.5 [е1,«1] = «1, [е1 ,«3] = — «3, [е2,«2] = «4, [е2,«4] = — «2, [^2,^4] = —е2

2.12.6 [в1,П1] = «1, [б1 ,«3] = —«3, [е2,«2] = «4, [е2,«4] = —«2

2.13.1 [еьИ1] = «3, [е1,«3] = —«1, [е2,«2] = «4, [е2,«4] = —«2, [^1,^3] = е1, [«2,^4] = = е2

2.13.2 [б1 ,«1 ] = «3, [е1,«3] = —«1, [е2,«2] = «4, [е2,«4] = —«2, [«1 ,«3] = е1, [«2,^4] = —е2

2.13.3 [еьИ1] = «3, [е1,«3] = —«1, [е2,«2] = «4, [е2,«4] = —«2, [^1,^3] = —е1, [«2,^4] = = —е2

2.13.4 [е1 ,«1] = «3, [е1,«3] = — «1, [е2,«2] = «4, [е2,«4] = —«2, [«1 ,«3] = е1

2.13.5 [е1,«1] = «3, [е1 ,«3] = — «1, [е2,«2] = «4, [е2,«4] = —«2, К,^] = —е1

2.13.6 [еьИ1] = «3, [е1 ,«3] = —«1, [е2,«2] = «4, [е2,«4] = —«2

2.14.1 [в1,М1] = = «1, [е1,«2] = «2, [е1,«3] = —«3, [е1 ,«4] = — «4, [е2,«1] = «2, [е2,«2] = —м1,

[е2,«3] = —«4, [е2,«4] = «3, [^1,^3] = е1, [«1,^4] = е2, [«2,^3] = е2, [«2,^4] = —е1

2.14.2 [в1,М1] = = «1, [е1,«2] = «2, [е1,«3] = — «3, [е1 ,«4] = —«4, [е2,«1] = «2, [е2,«2] = —м1,

[в2,«3] = —«4, [е2,«4] = «3

2.21.1 [е1,е2] = = е2, [в1,П1] = «1, [еьИ3] = —«3, [е2,«2] = «1, [е2,«3] = —«4, [е2,«4] = — 2е2,

[«1,^3] = «2, [^1,^4] = —«1, [^2,^4] = «2, [«3,«4] = 2«3

2.21.2 [е1,е2] = е2, [в1,П1] = «1, [еьИ3] = — «3, [е2,«2] = «1, [е2,«3] = —«4, [«1,^2] = = е2,

[«1,^3] = «4, [«2,^3] = (р — 1)^3, [^2,^4] = Р«4

2.21.3 [е1,е2] = е2, [е1,«1] = «1, [е1,«3] = — «3, [е2,«2] = «1, [е2,«3] = —«4, [«2,^3] = «3,

[м2 ,м4] = м4

2.21.4 [е1,«1] = = «1, [е1,«2] = «2, [е1,«3] = —«3, [е1 ,«4] = —«4, [е2,«2] = «1, = —м4,

[М1,«3] = б2, [«2,^3] = е1, [«2,^4] = е2

2.21.5 [еьИ1] = = «1, [еьИ2] = «2, [е1,«3] = — «3, [е1 ,«4] = —«4, [е2,«2] = «1, [е2,«3] = —м4,

[«2,^3] = е2

№ Скобки Ли

2.21.6 [б1,е2] = 2е2, [б1 ,«1 ] = «1, [ех ,^2] = -1 «2, [б1 ,Щ] = , [е1,«4] = 1 «4, [в2 ,«2] = «1 е2,И3] = -«4, [^1,^2] = «4

2.21.7 [61,62] = (1 - Л)б2, [в1,М1 [е2,«2 = «1, [е1,«2] = Л«2, [е1,^] = , [е1,«4] = -Л«4, = «1, [е2,и3] = -«4, Л € [-1,1]

2.22.1 [е1,П1] = «2, [е1,«2] = -«1, [е1 ,«з] = «4, [еь^] = -щ, [е2,«з] = «1, [е2,«4] = «2, [и1,и3] = б2, [«2,^4] = е2, [^3,^4] = -е1

2.22.2 [в1,М1] = «2, [е1,«2] = -«1, [е1 ,Щ] = «4, [е1,«4] = -щ, [е2,и3] = «1, [е2,«4] = «2, [И1,И3] = -е2, [«2,^4] = -е2, [мз,«4] = е1

2.22.3 [в1,М1] = «2, [е1,«2] = -«1, [е1 ,и3] = «4, [е1,«4] = -«з, [е2,«з] = «1, [е2,«4] = «2, [^,«4] = е2

2.22.4 [еьИ1] = «2, [е1,«2] = -«1, [е1,и3] = «4, [еъ^] = , [б2,^] = «1, [е2,«4] = «2

2.2з.1 [е1,е2] = -2вт(ф/2)е2, [е1,М1] = - в1п(ф/2)и1 - сов(ф/2)м2, [е1,м2] = - в1п(ф/2)м2 + сов(ф/2)и1, [е1,^] = вт(ф/2)и3 - сов(ф/2)м4,

[еЬЦ4] = 8т(ф/2)ц,4 + С0б(ф/2)из, [е2,Иэ] = ^1, [е2,^4] = ^2, ф € (0,п)

[е1,е2] = 2е2, [е1,«1] = «1, [е1 ,«2] = -«2, [еь^з] = -«2 - «з, [еь^] = + «4,

_ _[е2,^2] = ц1, [б2,Цз] = -^4 _ _

[еье2] = е2, [ех,^1] = «1, [еьиз] = -Из, [е2,«2] = «1, [е2,«з] = «2, К,^] = «1,

_ _ [^1,Цз] = ^2, [^2,Цз] = Цз _ _

[еье2] = е2, [ех,^1] = иь [еьиз] = -«з, [е2,«2 = «1, [е2,«з] = «2, К,^] = «1,

_[^2,^4] = ^2, [^з,^4] = ^з_

2.31.1

2.41.1

2.41.2

2.41.3

[е1,е2] = е2, [в1,П1] = ць [в1,из] = -^з, [е2/»2] = «1, [е2,^з] = «2 [е1,«2] = «1, [е1,«з] = -«4, [е1 ,«4] = -2еь [е2,«2] = -2е2, [е2,«з] = -«2, [е2,«4] = «1, [«1,^2] = 2е2 - «1, [М1,«з] = «2 + «4, [^1,^4] = 2б1 - «1, [м2,«з] = -2«з, [ц2,ц4] = и2 - ц4, [цз,ц4] = 2цз

2.51.1

2.51.2

[в1,М2] = «1, [е1 ,Мз] = -«4, [е2,«2] = -2е2, [в2,Мз] = -«2, [е2,«4] = «1, [«1,«2] = -«1 [ц1,цз] = ^4, [^2,цз] = -2^з, [^2,^4] = -^4

[ёТ^

[М2,«з] = е1 + рв2 + (1 - д)«2, [«2,«4] = , [мз,«4] = -(р + ?)е1 + ^е2 - (1 + ?)«4,

д ^ 0 (если Л = 0), д € Е (если Л = 0)

2.51.3

[ёГ^

[^2,^з] = де2 + (1 - р)^2, [^2,^4] = Р^1, [^з,^4] = - (р + д)е1 - (1 + р)^4, Р ^ 0

2.51.4

[е1,«2] = «1, [е1,«з] = -«4, [е2,«з] = -«2, [е2,«4] = «1, [«2,«з] = е1 + дв2 - «2, [ц2 ,ц4] = ц1, [цз,ц4] = - де1 - Ле2 - ц4

2.51.5

2.51.6

[е1,«2] = «1, [еь^з] = -«4, [е2,«з] = -«2, [е2,«4] = «1, [«2,«з] = 9е2 - «2, [^2,^4] = «1, _____[цз,ц4] = -де1 - ц4 ___

[ёьй^

_ _ _[из,^] = - е1 + Ле2 _ _

_[^з,^4] = е! + Ле2_

2.51.7

2.51.8

2.51.9

[е1 ,«2] = «1, [е1,«з] = -«4, [е2,«з] = -«2, [е2,«4] = «1, [«2,«з] = е2, [мз,«4] = -е1

2.51.10

[е1 ,«2] = «1, [е1,«з] = -«4, [е2,«з] = -«2, [е2,«4] = «1, [«2,«з] = -е2, [мз,«4] = е1

2.51.11

[е1,«2] = «1, [е1,«з] = -«4, [е2,«з] = -«2, [е2,«4] = «1, [М2,«з] = е1, [из,^] = е2

2.51.12

[е1 ,«2] = «1, [е1,«з] = -«4, [е2,«з] = -«2, [е2,«4] = «1, [«2,«з] = еь [из,^] = -е2

2.51.13

[е1 ,«2] = «1, [е1,«з] = -«4, [е2,«з] = -«2, [е2,«4] = «1, [«2,«з] = е1

№

Скобки Ли

2.51.14

[еьИ2] = «1, [е1 ,«3] = —«4, [е2,«3] = — «2, = «1

2.52.1

[еьИ2] = —е1 + «1, [еьИ3] = —«2, [е1,«4] = е2, [е2,«2] = — е2, [е2,«3] = «4, [е2,«4] = —е1 — «1, [м1,«2] = е! — «1, [«1,^3] = «2, [^1,^4] = — е2, [«2,^3] = —2«3,

[ц2,ц4] = —и4

2.52.2

[е1,«2] = «1, [е1 ,«3] = —«2, [е2,«3] = «4, [е2,«4] = — «1, [«1,^3] = «1, [«2,^3] = (р + «)е1 + Г62 + «2 — 2г«4, [«2,^4] = 2г«1,

_ [ц3,ц4] = —гец + (р — в)е2 — 2ГИ2 — ц4, г ^ 0, в ^ 0 _

[еьИ2] = «1, [е1,И3] = —«2, [е2,«3] = «4,[е2,«4] = —«1, [^2,^3] = —(^ + з)в1 — «4, __ [ц2,ц4] = ц1, [и3,ц4] = (в — г)е2 — ц2, в ^ 0 __

[ёГ^

_ _[^3,^4] = (1 — з)е2, 5 ^ 0

[ёТ^ _[^3,^4] = (з — 1)е2, з ^ 0_

2.52.3

2.52.4

2.52.5

2.52.6

[е1,«2] = «1, [е1,«3] = — «2, [е2,«3] = «4, [е2,«4] = —«1, [^2,^3] = е2, [«3,^4] = е1

2.52.7

[е1,«2] = «1, [е1 ,«3] = — «2, [е2,«3] = «4, [е2,«4] = —«1

[е1,е3] = е3, [е2,е3] = — е3, [еь^] = «1, [еь^] = —«3, [е2,«2] = «2, [е2,«4] = —«4,

[е3,^2] = ^1, [е3,^3] = —«4

3.11.1

[е1,е3] = 2е3, [е1 ,«1 ] = иь [еь^] = «2, [еь^] = —«3, [еъН = —«4, [е2,«1] = «2, [б2,^2] = —^1, [е2,^3] = ^4, [е2,^4] = — ^3, [е3,^3] = «1, [е3,^4] = ^2

3.12.1

[ёь^ [в2,М4] = —2в2, [в3,М2] = —2в3, [в3,М3] = —«2, ^3,«4] = «1, Н,^] = 2в3 — «1, [^1,^3] = ^2 + ^4, [^1,^4] = 2б2 — «1, [^2,^3] = —2^3, [^2,^4] = ^2 — Ц4, [^3,^4] = 2^3

3.21.1

Й47

[в2,М4] = —2в2, [в3,М3] = — «2, [е3,«4] = «1, [«1,^3] = «2, [«1,^4 ] = —«1, [^2,^4] = «2,

[^3,^4] = 2^3

3.21.2

3.21.3

[е1,е3] = 2в3, [е1 ,«1 ] = «1, [в1,М2] = «2, [е1,«3] = — «3, [е1,«4] = — «4, [е2,«2] = «1,

[е2,Ц3] = —^4, [е3,^3] = —^2, Ц,^] = ^1, [^2,ц3] = е2 _

[е2,«4] = е3, [е3,«2] = — е3, [63,^3] = «4, [е3,«4] = —е2 — «1, К,^] = е2 — «1,

[^1,^3] = «2, К,^] = — е3, К,^] = — 2Ц3, [^2,^4] = —^4 _

[в1,Ц4] = —ЛП2, [е2,^2] = ^1, [е2,^3] = —^2, [63,^3] = ^4, [е3,^4] = —^1, Л ^ 0

3.21.4

3.22.1

3.22.2

3.31.1

[е1,в2] = —в2, [еье3] = в3, [еьИ2] = «2, [еъИ = —«4, [е2,«2] = «1, [е2,«3] = —«4,

[е1,в2] = —е2, [е1,е3] = е3, [еь^] = «2, [еъН = —«4, [е2,«2] = «1, [е2,Н = —«4,

_[63,^3] = —Ц2, [е3,^4] = ^1, [^2,^3] = е3, [^3,^4] = —е2 _

[е1,в2] = —е2, [еье3] = е3, [еь^] = «2, [61,^4] = — «4, [е2,«2] = «1, [в2,«3] = —«4,

[е3,^3] = —«2, [е3,^4] = ^1, [^2,^3] = —е3, [^3,^4] = е2

3.31.2

3.31.3

[е1,в2] = —в2, [еье3] = в3, [еьИ2] = «2, [е1,«4] = —«4, [е2,«2] = «1, [в2,«3] = —«4,

_ _[63,^3] = —Ц2, [е3,Ц4] = _ _

[е1,в2] = —е3, [еье3] = е2, [е1,«2] = «4, [е1,«4] = — «2, [е2,«2] = «1, [в2,«3] = —«2,

[е3,^3] = ^4, [е3,^4] = —^1, [^1,^3] = ^1, [^2,^3] = ре2 + «2, [^3,^4] = ре3 — Ц4

3.31.4

3.32.1

№ Скобки Ли

3.32.2 [е1,е2] = -е3, [еье3] = е2, [е^] = «4, [еь^] = -«2, [е2,«2] = «1, [е2,«з] = -«2, [ез,«з] = «4, [ез,«4] = -«1, [«2,«з] = е2, [^,«4] = е3

3.32.3 [е1,е2] = -е3, [еье3] = е2, [е^] = «4, [еъН = -«2, [е2,«2] = «1, [е2,«з] = -«2, [ез,«з] = «4, [е3,«4] = -«1, [«2,«з] = -е2, [^,«4] = -е3

3.32.4 [е1,е2] = -е3, [еье3] = е2, [е^] = «4, [еъН = -«2, [е2,«2] = «1, [е2,«з] = -«2, [ез,«з] = «4, [е3,«4] = -«1

3.41.1 [еье2] = 2е2, [еье3] = -2е3, [е1,П1] = «1, [е^] = -«2, [е1,и3] = -и3, [е^] = «4, [б2,^] = в1, [в2,М2] = «1, [е2,«з] = -«4, [ез,^] = «2, [^,«4] = -Щ

3.42.1 [еье2] = 2е3, [еье3] = -2е2, [е^] = щ, [е^] = -«4, [е1,и3] = -иь [е^] = «2, [е2,е3] = 2е1, [е2,«1 ] = -«2, [е2,«2] = «1, [е2,«з] = -«4, [е2,«4] = «з, [е3,«1] = «4, [ез,«2] = Щ, [е3,и3] = -«2, [е3,«4] = -«1

3.51.1 [61,62] = 2е2, [еье3] = -2е3, [еьИ1] = 2иь [еьи3] = -2щ, [е2,е3] = еь [в2,^ ] = -2^2, [ез,«1] = 2^2, [ез,«2] = -Щ, [«1,^4] = «1, [^2,^4] = «2, 62,^2] = «1, ^,«4] = Из

3.51.2 [еье2] = 2е2, [еье3] = -2е3, [еьИ1] = 2иь [еьи3] = -2щ, [е2,е3] = еь [е2,и3] = -2^2, N,«1] = 2^2, N,«2] = -«з, [^1,^2] = е2, К,Из] = еь е2,«2] = «1, щ,щ ] = е3

3.51.3 [е1,е2] = 2е2, [еье3] = -2е3, [е^] = 2иь [еьи3] = -2и3, [е2,е3] = еь [с2] = -2^2, [ез,^] = 2^2, [ез/М = -«з, [^1,^2] = -е2, [«1,^] = -е1, 62,^2] = «1, [«2,^ ] = -

3.51.4 [е1,е2] = 2е2, [еье3] = -2^, [е^] = 2«1, [е1,^ = -2^, [е2= еь [е2,«2] = «1, [е2,«з] = -2^2, [^,^1] = 2^2, [^,^2] = -из

3.52.1 [е1,е2] = , [е1,^] = е2, [е1,«1] = -«2, [е1,«2] = «1, [е2,^] = -еь [е2,«1] = , [е2] = «1, [ез,И2] = , [ез,«з] = «2, [^1,^4] = «1, [^2,^4] = «2, [«з,«41 = «з

3.52.2 [е1,е2] = , [в1,^] = е2, [еь^] = -«2, [е1,«2] = «1, [е2,^] = -е1, [е2,«1] = -щ, [е2,^] = «1, [е3,И2] = , [е3,и3] = «2, [^1,^2] = е1, [«1 ] = е2, [«2,^] = е3

3.52.3 [б1,в2] = , [е1,е3] = е2, [в1,М1] = -«2, [е1,«2] = «1, [е2,е3] = -е1, [62,^1] = -щ, [е2,^] = «1, [е3,«2] = -«з, [ез,«з] = «2, [^1,^2] = -е1, [«1,^] = -е2, [«2,^] = -е3

3.52.4 [^1,62] = , [еье3] = е2, [в1,М1] = -«2, [е1,«2] = «1, [е2,^] = -еь [62,^1] = -Щ, [е2,^] = «1, [е3,«2] = -Щ, ] = «2

4.11.1 [еье3] = ^, [е1,е4] = е4, [61,^1] = «1, [б1,^] = -щ, [б2,^] = -е3, [е2,е4] = е4, [б2,«2] = «2, [е2,«4] = -«4, [^,^2] = «1, = -«4, ^«з] = -«2, [^4,^4] = «1

4.12.1 [еье3] = е3, [е1,е4] = е4, [е1,М1] = «1, [б1,^] = -щ, [б2,^] = -е4, [е2,е4] = ^, [б2,«2] = «4, [е2,«4] = -«2, [^,^2] = «1, = -«2, К^з! = «4, [64,^4] = -«1

4.21.1

и4,

[е2,«1] = «1, [е2,«2] = «2, [е2,^] = -«з, [е2,«4] = -«4, [ез^] = е1, [е3,И2] = «1, [е3,и3] = -«4, [е4,«1] = «2, [е4,«4] = -Щ, [«1,^3] = е1 + 3е2, [«1,^4] = 2е3, [«2,^3] = 2е4,

[^2,^4] = -е1 + 3е2

4.21.2

[еье3] = 2е3, [еье4] = -2е4, [е^] = «1, [е^] = -«2, [еъ^з] = -«з, [е^] = «4, [е2,«1] = «1, [е2,«2] = «2, [е2,«з] = -«з, [е2,«4] = -«4, [ез^] = еь [е3,И2] = «1, [е3,и3] = -^4, [е4,^1] = «2, К,^] = -Цз

4.22.1

[еье3] = 2е4, [е1,е4] = -2е3, [е^] = щ, [е^] = -«4, [е1,и3] = -иь [е^] = «2, [е2,«1] = и3, [е2,«2] = «4, [е2,«з] = -«1, = -«2, [ез^] = 2еь [е3,И1] = -«2, [е3,И2] = «1, [е3,и3] = -«4, [ез,«4] = «з, [е4,«1] = «4, [64,^2] = Щ, [б4,щ] = -«2, [е4,«4] = -«1, [«1,^2] = -ез, [«1,«з] = е1 + 3е2, [«1,^4] = е4, [«2,«з] = е4, _[^2,^4] = -е1 + 3е2, [^,^4] = -ез_

№

Скобки Ли

[еье3] = 2е4, [е^] = —2е3, [е1,П1] = «3, [еьИ2] = — «4, [еь^] = —«1, [еьИ4] = «2, [е2,«1] = «3, [е2,«2] = «4, [е2,«3] = —«1, = —«2, [е3А] = 2в1, [е3,«1] = —«2,

[е3,«2] = «1, [е3,«3] = —«4, [б3,«4] = «3, [е4,«1] = «4, [е4,«2] = «3, [е4,«3] = —«2, [е4,«4] = —«1, [«1,^2] = е3, [«1,^3] = —е1 — 3е2, [«1 ,«4] = — е4, [«2,«3] = — е4,

[^2,^4] = е1 — 3е2, [^3,^4] = е3

4.22.2

[е1,е3] = 2е4, [еье4] = —2е3, [в1,П1] = «3, [еь^] = —«4, [вьИ = —«1, [еъ^] = «2, [е2,«1] = «3, [е2,«2] = «4, [е2,«3] = —«1, [е2,«4] = —«2, [е3,64] = 2еь [63,^1] = —«2, [е3,«2] = «1, [е3,«3] = — «4, [е3,«4] = «3, [е4,«1] = «4, [е4,«2] = «3, [е4,«3] = —«2,

[е4,ц4] = —и1

4.22.3

[еье3] = 2е3, [еье4] = —2е4, [еь^] = «1, [еь^] = —«2, [вьИ = —«3, [еъ^] = «4,

[е2,«1] = —«4, [е2,«2] = «3, [е2,«3] = —«2, [е2,«4] = «1, [е3,е4] = еь [63,^2] = «1, [е3,«3] = —«4, [е4,«1] = «2, [е4,«4] = —«3, [«1,^2] = 3е2, [«1,^3] = еь [«1,^4] = 2е3, [^2,^3] = 2е4, [^2,^4] = — еь [^3,^4] = 3е2

4.23.1

[е1,е3] = 2е3, [еье4] = —2е4, [еь^] = «1, [еь^] = —«2, [вьИ = — «3, [еъ^] = «4, [е2,«1] = —«4, [е2,«2] = «3, [е2,«3] = —«2, = «1, [е3,е4] = е1, [63,^2] = «1,

[е3,^3] = —Ц4, [в4,Ц1] = Ц2, [в4,И4] = —И3

4.23.2

[еье2] = 2е2, [еье3] = —2е3, [еь^] = «1, [еь^] = —«2, [вьИ = —«3, [еъ^] = «4, [е2,е3] = е1, [е2,«2] = «1, [е2,«3] = — «4,

[в4,И4] = -»1, [^3,^4]

4.31.1

«2, [е3,«4] = —«3, [е4,«3] = —«2,

е4

[еье2] = 2е2, [еье3] = —2е3, [еь^] = «1, [еь^] = —«2, [вьИ = — «3, [еъ^] = «4, [е2,е3] = е1, [е2,«2] = «1, [е2,«3] = — «4,

[е4,^4]

4.31.2

«2, [е3,«4] = — «3, [е4,«3] = —«2,

М1

[б1,б3] = 2е3, [61,64] = —2е4, [еьИ1] = «1, [е^] [е2,еб] = 2е5, [е2,«1] = «1, [е2,«2] = «2, [е2,«3] = [е3,^2] = ^1, [е3,Ц3] = —«4, [64,^1] = ^2, К,^]

= —«2, [е1,«3] = —«3, [е1,«4] = «4, —«3, [в2,М4] = —«4, [63,64] = 61, = — Ц3, [е5,Ц3] = — ^2, [е5,Ц4] = «1

5.11.1

[е1,е3] = 2е3, [еье4] = —2е4, [еь^] = «1, [еь^] [е2,е5] = 2е5, [б2,еб] = —2ее, [62,^1] = «1, [е2,«2] [е3,е4] = е1, [е3,«2] = «1, [е3,«3] = —«4, [е4,«1 ] = [е5,«3] = — «2, [е5,«4] = «1, [еб,«1] = —«4, [еб,«2] = [^1,^4] = 2е3, [^2,^3] = 2е4, [^2,^4]

= «2, [е2,«3] = —«3, [е2,«4] = —«4, = «2, [е4,«4] = — «3, [е5,еб] = — е2, = «3, [«1,^2] = 2е5, [«1,^3] = е1 + е2, —е1 + е2, [^3,^4] = 2еб

6.11.1

6.11.2

[е1,е3] = 2е3, [еье4] = —2е4, [еьИ1] = «1, [еьИ2] [е2,е5] = 2е5, [е2,еб] = —2еб, [е2,«1] = [е2,«2] : [е3,е4] = еь [е3,«2] = «1, = — «4, [е4,«1 ] =

[е5,^3] = —«2, [е5,^4] = ^1, [еб,^1]

[е1,е2] = — е4, [е1,е3] = — е5, [е^] = е2, [еье5] [е2,е3] = — еб, [е2,е4] = —в1, [е2,еб] = е3, [е2,«1] = [е3,еб] = —е2, [63,^1] = —«4, [е3,«4] = «1, [е4,е5] = [е4,«3] = «2, [е5,еб] = —е4, [65,^2] = —«4, [е5,«4] [^1,^2] = 61, [^1,^3] = е2, [^1,^4] = е3, [^2,^3]

= —«2, [е1,«3] = —«3, [е1,«4] = «4, = «2, [е2,«3] = — «3, [е2,«4] = —«4, «2, [е4,«4] = —«3, [е5,еб] = — е2, — Ц4, [вб,И2] = «3

—^3, [е2,«3] = «1, [е3,е5] = —в1, : —еб, [е4,бб] = е5, [64,^2] = —«3, = «2, [еб,«3] = —«4, [еб,«4] = «3, = е4, [^2,^4] = е5, [^3,^4] = еб

6.12.1

№ Скобки Ли

6.12.2 [е^] = -е4, [е1,ез] = -еб, [е^] = е2, [еьеб] = ез, [ех= -«2, [е^] = «1, [е2,ез] = -ее, [е2,е4] = -еь [е2,ее] = ез, [е2,«1] = -«з, [е2,«з] = «1, [ез,еб] = -е1, [ез,ее] = -е2, [ез,«1] = -«4, [ез/М = «1, [е4,еб] = -ее, [е4,ее] = еб, [64,^2] = -«з, [е4,«з] = «2, [еб,ее] = -е4, [еб,«2] = -«4, [еб,^] = «2, [ее,«з] = -«4, [ее,«4] = «з, [«1 ,«2] = -е1, [м1,«з] = -е2, [«1,^4] = -ез, [«2,мз] = -е4, [«2,^4] = -еб, [«з,^] = -ее

6.12.3 [е1,е2] = -е4, [еьез] = -еб, [е^] = е2, [е1,еб] = ез, [в1 ,^1] = -«2, [еъ^] = «1, [е2,ез] = -ее, [е2,е4] = -е1, [е2,ее] = ез, [е2,«1] = -«з, [е2,«з] = «1, [ез,еб] = -е1, [ез,ее] = -е2, [ез,«1] = -«4, [ез,^] = «1, [е4,еб] = -ее, [е4,ее] = еб, [е4,«2] = -«з, [в4,мз] = «2, [еб,ее] = -е4, [еб,«2] = -«4, [еб,«4] = «2, [ее,«з] = -«4, [ее,«4] = «з

6.13.1 [^1,62] = -е4, [е1,ез] = -е5, [еье4] = е2, [еье5] = ез, [е^] = -«2, [еъ^] = «1, [е2,ез] = -ее, [е2,е4] = -еь [е2,ее] = ез, [е2,«1] = -«з, [е2,«з] = «1, [ез,е5] = е1, [ез,ее] = е2, [ез,^] = «4, [ез,«4] = «1, [е4,е5] = -ее, [е4,ее] = е5, [е4,«2] = -«з, [в4,мз] = «2, [е5,ее] = е4, [е5,И2] = «4, [^,^4] = «2, [ее,«з] = «4, [ее ,«4] = «з, [«1,^2] = е1, [м1,«з] = е2, [«1,^4] = -ез, [м2,«з] = е4, [«2,^4] = -е5, [«з,^] = -ее

6.13.2 [е1,е2] = -е4, [е1,ез] = -е5, [е^] = е2, [е1,е5] = ез, [е^] = -«2, [е^] = «1, [е2,ез] = -ее, [е2,е4] = -еь [е2,ее] = ез, [е2,«1] = -«з, [е2,«з] = «1, [ез,е5] = е1, [ез,ее] = е2, [ез,«1] = «4, [ез,^] = «1, [е4,е5] = -ее, [е4,ее] = е5, [64,^2] = -«з, [е4,«з] = «2, [^,ее] = е4, [е5,И2] = «4, [^,^4] = «2, [ее,«з] = «4, [ее,«4] = «з, [«1,^2] = -е1, [м1,«з] = -е2, [«1,^4] = ез, [м2,«з] = -е4, [«2,^4] = е5, [из,^] = ее

6.13.3 [^1,62] = -е4, [е1,ез] = -е5, [еье4] = е2, [еье5] = ез, [е^] = -«2, [еъ^] = «1, [е2,ез] = -ее, [е2,е4] = -еь [е2,ее] = ез, [е2,«1] = -«з, [е2,«з] = «1, [ез,е5] = е1, [ез,ее] = е2, [ез,^] = «4, [ез,«4] = «1, [е4,е5] = -ее, [е4,ее] = е5, [е4,«2] = -«з, [е4,«з] = «2, [е5,ее] = е4, [е5,И2] = «4, [^,«4] = «2, [ее,«з] = «4, [ее ,«4] = «з