Спектры операторов кривизны на группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Оскорбин, Дмитрий Николаевич

• Оскорбин, Дмитрий Николаевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Оскорбин, Дмитрий Николаевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Исследование спектра операторов одномерной и секционной кривизн на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой

1.1. Однородные и римановы многообразия. Метрические группы Ли. Операторы кривизны на римановых многообразиях

1.2. Спектр оператора одномерной кривизны на трехмерных метрических группах Ли

1.3. Спектр оператора секционной кривизны на трехмерных метрических группах Ли

1.4. Оценки функции 5 - загцемленности секционной кривизны на трехмерных метрических группах Ли

1.5. Сигнатуры спектра оператора секционной кривизны на трехмерных метрических группах Ли

1.6. Спектр оператора секционной кривизны на трехмерных локально однородных римановых многообразиях

Глава 2. Спектр операторов секционной кривизны, одномерной кривизны и кривизны Риччи конформно плоских метрических групп Ли

2.1. Свойство спектра операторов одномерной кривизны, кривизны Риччи и секционной кривизны конформно плоских метрических групп Ли

2.2. Конформно плоские группы Ли с главными значениями оператора кривизны разных кратностей

2.3. Спектр оператора кривизны четырехмерных конформно плоских метрических групп Ли

2.4. Четырехмерные торповы и антиторповы римановы многообразия

Глава 3. Вычисление инвариантных тензорных полей на метрических группах Ли с помощью обобщенных базисов Дж. Мил-нора

3.1. Базисы Дж. Милнора

3.2. Пространство орбит левоинвариантных римановых метрик групп

Ли

3.3. Обобщенные базисы Дж. Милнора для четырехмерных метрических алгебр Ли

3.4. Спектры операторов кривизны некоторых четырехмерных групп

Ли с левоинвариантной римановой метрикой

3.5. Однородные солитоны Риччи на четырехмерных метрических группах Ли

Заключение

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектры операторов кривизны на группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками»

Введение

Актуальность избранной темы и степень ее разработанности. Известно, что кривизна риманова многообразия влияет на его геометрию и топологию и наоборот. Примерами этого являются теорема Адамара-Картана о полном односвязном римановом многообразии неположительной секционной кривизны [1], теорема М. Громова о римановом многообразии неотрицательной кривизны Риччи, теорема о сфере (см. подробнее в [2]), теорема сравнения углов треугольника А.Д. Александрова-В.А. Топоногова [1], иссследования Дж. Милнора [3] по кривизнам левоинвариантных римановых метрик на группах Ли и ряд других результатов.

В случае однородных пространств знак кривизны дает более полную информацию о геометрии и топологии пространства. Так, например, теорема Бохнера [4] утверждает, что однородное риманово многообразие отрицательной кривизны Риччи некомпактно. Исследование связи между кривизной Риччи и топологией однородного риманова пространства представлено в работах Дж. Милнора [3], В.Н.Берестовского [5], а в случае одномерной кривизны - в работах Е.Д.Родионова, В.В.Славского [6]. Спектр оператора Риччи трехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками исследован в работе Дж. Милнора [3], где он показал, что спектр оператора Риччи таких групп не может иметь сигнатур (+, +, —), (+, +, 0), (+, —, 0). Трехмерные локально однородные римановы многообразия с предписанным спектром оператора Риччи исследованы О. Ковальским и С. Никшевич [7]. Сигнатуры спектра оператора Риччи на четырехмерных группах Ли с левоинвариатной римановой метрикой определены А.В.Кремлевым и Ю.Г.Никоноровым [8, 9].

В работах М. Берже [10]. Н. Уоллача [11], Л. Бержери [11] получена классификация. с точностью до диффеоморфизмов, однородных пространств, допускающих инвариантные римановы метрики положительной секционной кривизны. В. Циллер [12], Ф. Валиев [13], Т.Путман [14] получили ряд результатов об одно-

родных римановых многообразиях положительной ¿-защемленной секционной кривизны.

В общем случае задачи об исследовании спектров операторов кривизны являются трудными даже в классе однородных пространств. Однако в случае, когда многообразие (М, д) является группой Ли с левоинвариатной римановой метрикой, такие задачи становятся обозримыми. Например, в работе [15] получены необходимые и достаточные условия существования левоинвариантных метрик строго отрицательной кривизны Риччи для некоторых классов разрешимых групп Ли.

Поскольку произвольная левоинвариантная риманова метрика на группе Ли С определяет скалярное произведение на алгебре Ли д группы Ли С, и, обратно, каждое скалярное произведение на д индуцирует левоинвариантную риманову метрику на группе Ли то можно переформулировать рассматриваемые задачи в терминах метрических алгебр Ли (см. [16]).

Вместе с тем исследования спектров оператора одномерной кривизны, а также оператора секционной кривизны, которые существенно влияют на геометрию и топологию однородного пространства, представлены недостаточно. Так, например, в случае трехмерных групп Ли не изучен вопрос о сигнатуре спектра оператора секционной кривизны, вопрос о предписанных значениях спектров операторов одномерной кривизны и секционной кривизны. Кроме того, в случае конформно плоских левоинвариантных римановых метрик на группах Ли представляется актуальным исследовать спектры операторов кривизны Риччи, одномерной кривизны и секционной кривизны. При этом может быть использована тесная связь между операторами кривизны Риччи, одномерной кривизны и секционной кривизны в конформно плоском римановом случае. В случае произвольных левоинвариантных римановых метрик на группах Ли малых размерностей можно использовать технику обобщенных базисов Дж. Мил-нора, представленную в работах Н. Кос1ата, А. ТакаИага. Н. Татаги [17], для исследования операторов кривизны на метрических группах Ли.

Данная диссертация посвящена исследованию операторов одномерной кривизны, кривизны Риччи, секционной кривизны на группах Ли с левоинвариант-ной римановой метрикой, установлению связей между кривизной и топологией метрических групп Ли.

Цели и задачи диссертационной работы:

Целью диссертационной работы является изучение спектров операторов одномерной кривизны, кривизны Риччи и секционной кривизны левоинвари-антных римановых метрик на группах Ли, а также операторов кривизны конформно плоских метрических групп Ли произвольной размерности. В частности, предполагается решить следующие задачи:

1. Определить сигнатуры спектра оператора секционной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой.

2. Найти критерии существования трехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой и предписанными спектрами операторов одномерой кривизны и секционной кривизны. Обобщить данный результат на случай трехмерных локально однородных римановых многообразий.

3. Исследовать спектр операторов кривизны Риччи, одномерной кривизны, секционной кривизны конформно плоских метрических групп Ли произвольной размерности.

4. Построить обобщенные базисы Дж. Милнора четырехмерных метрических алгебр Ли. Определить спектры операторов кривизн в случае малой размерности пространства орбит римановых метрик.

5. Исследовать однородные инвариантные солитоны Риччи и алгебраические солитоны Риччи на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и вносят существенный вклад в теорию однородных римановых многообразий, теорию метрических групп и алгебр Ли, теорию солитонов Риччи. Так, например, результаты о сигнатуре спектра оператора секционной кривизны и пред-

писанных значениях спектров операторов одномерной кривизны и секционной кривизны продолжают исследования, начатые Дж. Милнором, О. Ковальским, С. Никшевич для оператора Риччи на трехмерных группах Ли с левоинвари-антной римановой метрикой.

Обобщены результаты О.Ковальского и С.Никшевич [7] о предписанных значениях спектра оператора Риччи трехмерных локально однородных рима-новых многообразий на случаи операторов одномерной кривизны и секционной кривизны.

Доказана теорема о том, что спектры операторов кривизны Риччи и одномерной кривизны конформно плоских метрических групп Ли произвольной размерности содержат не более двух различных значений с учетом кратностей. В случае оператора секционной кривизны таких значений не более трех. Построены примеры конформно плоских метрических групп Ли с наборами значений спектра оператора секционной кривизны различной кратности.

С помощью обобщенных базисов Дж. Милнора, построенных для некоторых четырехмерных вещественных алгебр Ли, вычислены значения спектра операторов кривизны в случае малой размерности пространства модулей лево-инвариантных римановых структур на алгебре Ли.

Через структурные константы алгебры Ли получена классификация однородных инвариантных и алгебраических солитонов Риччи на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой, что дает ответ на вопрос L. Cerbo, поставленный в работе [18], о существовании инвариантных солитонов Риччи на неунимодулярных метрических группах Ли в размерности 4.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертации имеют теоретическое значение и могут быть использованы в теории однородных римановых многообразий, теории многообразий Эйнштейна, теории солитонов Риччи, а обобщенные базисы Дж. Милнора, построенные в случае четырехмерных метрических алгебр Ли, могут найти применение в теории операторов на однородных пространствах. Кроме того, результаты диссертации

могут быть использованы при подготовке спецкурсов по геометрии и топологии, теории однородных римановых многообразий.

Методология и методы диссертационного исследования. Методология исследования ориентирована на использование методов математического анализа, дифференциальной геометрии, линейной алгебры, теории групп и алгебр Ли. Кроме того, в проведенных исследованиях используются базисы Дж. Милнора, построенные в алгебрах Ли, а также формулы для нахождения инвариантых тензорных полей на однородных римановых пространствах.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие основные положения.

1. Найдены формулы для нахождения структурных констант трехмерных метрических алгебр Ли через спектры операторов одномерной кривизны и .секционной кривизны.

2. Определены сигнатуры спектра оператора секционной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Найдены критерии существования трехмерных метрических групп Ли с предписанными спектрами операторов одномерной и секционной кривизн, полученные результаты распространены на случай трехмерных локально однородных римановых многообразий.

3. Доказана теорема о структуре спектров операторов одномерной кривизны, кривизны Риччи и секционной кривизны левоинвариантных римановых метрик на конформно плоских группах Ли произвольной размерности п ^ 4. Установлено, что спектры операторов кривизны Риччи и одномерной кривизны содержат не более двух значений с учетом кратности, а в случае оператора секционной кривизны - не более трех. Вычислен спектр оператора секционной кривизны на всех четырехмерных конформно плоских метрических группах Ли.

4. В случае четырехмерных вещественных алгебр Ли построены обобщенные базисы Дж. Милнора, вычислены значения спектра операторов кривизны

в случае малой размерности пространства модулей левоинвариантных римано-вых структур на алгебрах Ли.

5. С помощью обобщенных базисов Дж. Мил нора получена классификация однородных инвариантных и алгебраических солитонов Риччи на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой.

В первой главе исследованы спектры операторов одномерной кривизны и секционной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой.

Параграф 1 носит вспомогательный характер. В нем приведены определения и обозначения, необходимые сведения о группах и алгебрах Ли, определены тензоры и соответствующие операторы кривизны Риччи, одномерной кривизны и секционной кривизны. В частности, приводятся следующие конструкции.

Пусть (М,д) - п-мерное риманово многообразие, V — связность Леви-Чивита, X, У, V — гладкие векторные поля на М, Я(Х, Y)Z — [Уу, V+ — тензор кривизны Римана, г(Х,У) — ^(У —> Я(Х,У)У) — тензор

где \¥ - тензор Вейля, (А©д){Х, У, У) = А{Х, г)д{У, У)+

А(У, У)д(Х, г) - А{Х, У)д(У, г) - А{У, г)д{Х, V) - произведение Кулкарни-

Риманова метрика д порождает скалярное произведение в касательных пространствах А2ТХМ, х £ М расслоения бивекторов А2ТМ:

где Хг, Уг, г = 1,2 значения соответствующих веторных полей в точке ж, которые будем обозначать теми же буквами.

Риччи, в = 1г(г) — скалярная одномерной кривизны.

Известно разложение (см., например [19]):

д = Ж + А©д,

Номидзу.

(Хх А Уь Х2 Л У2) = с1ег(дх(Хг, У3)),

С тензором кривизны Римана можно ассоциировать оператор кривизны 1Z : А2ТХМ —> А2ТХМ, задаваемый равенством:

(X Л У, 7Z(U Л V)) = Rx(X, Y, и, У),

где Rx(X, Y, U, V) = gx(R(X, У). Определим также оператор Риччи р равенством д (р(Х), Y) — г(Х, У), и оператор одномерной кривизны А равенством g(A(X),Y) = A(X,Y).

Главные значения оператора Риччи будем обозначать pi, рг, Рп, оператора одномерной кривизны через ai, аг,..., аП) секционную кривизну в двумерном направлении е?; Л е^ (е,;, G ТХМ) через = Ka(ei Л е^).

В случае dimM = 3 главные значения операторов Риччи, одномерной кривизны и секционной кривизны связаны формулами (см. [20]):

«г = Pi

Кij — (2j -f- , Pi + P2 + P3

4

В работе Дж. Милнора [3] построены базисы (базисы Дж. Милнора) трехмерных метрических алгебр Ли, в которых диагонализируема матрица оператора Риччи и получены формулы для нахождения главных значений оператора Риччи через структурные константы метрической алгебры Ли. Как следует из результатов работы Е.Д.Родионова, В.В.Славского [20], аналогичные формулы можно получить для спектров операторов одномерной кривизны и секционной кривизны. Поэтому с помощью результатов работы О.Ковальского и С.Никшевич [7] можно получить критерии существования трехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой и предписанным спектром операторов одномерной и секционной кривизны, что является основным содержанием параграфов 2 и 3 главы 1.

В параграфе 2 главы 1 доказаны следующие теоремы:

Теорема 1.2. Трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой и предписанными главными значениями оператора

одномерной кривизны а\, а2; аз существует в том и только в том случае, если два числа из набора {а1,а2,аз} равны —(а\ + а2 + аз), либо а\ < а2 < — (ах + а2 + аз) < аз, либо —(ах + а2 + аз) < а\ < а2 < аз.

Теорема 1.3. Трехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариант-ной римановой метрикой и предписанными главными значениями оператора одномерной кривизны а\, а2, аз существует в том и только в том случае, если (с точностью до перенумерации) для некоторой константы А выполнены условия: Л2(2а1 + За2 + Заз) = —4, А4(аз — а2)2 > 16(А2(аз + а2) + 1) > 0, либо а>\ = а2 — аз < 0.

Аналогичные теоремы для оператора секционной кривизны доказаны в параграфе 3 главы 1.

Теорема 1.5. Трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариант-ной римановой метрикой и предписанными главными значениями оператора секционной кривизны (сг23, <731, сг12) существует в том и только в том случае, если (с"12 + сг2з)(сг2з + сгз1)(сгз1+о"12) > 0, либо по крайней мере два из чисел (У 12 + СГ23, 0"23 + 031, 031 + 012 равНЫ НуЛЮ.

Теорема 1.6. Трехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариант-ной римановой метрикой и предписанными главными значениями оператора секционной кривизны (сг23, <731, сгх2) существует в том и только в том случае, если (с точностью до перенумерации) выполнены условия:

0"310*12 < 4з < , < (723

либо (Т\2 = 0"23 = 031 < 0.

Параграф 4 посвящен исследованию функции дельта-защемленности спек-

ХП \^ ттК/...)

тра оператора секционной кривизны д{{-, ■)) — тах^ ^.

Параграф 5 посвящен исследованию сигнатур спектра оператора секционной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Сигнатуры спектров оператора Риччи таких групп исследованы в работе Дж. Милнора [3], а в случае оператора одномерной кривизны - О. П. Гладу новой и Д.С.Вороновым [21].

Пронумеруем всевозможные сигнатуры (упорядоченные наборы знаков), как указано в таблице 1.3.

Таблица 1.3. Нумерация сигнатур

№ 1 2 3 4 5

Сигнатура (-,-,+) (-,0,0) (-,о,+)

№ 6 7 8 9 10

Сигнатура (0,0,0) (0,0,+) (0,+,+) (+.+>+)

Основные результаты параграфа 5:

Теорема 1.9. Пусть — трехмерная унимодулярная группа Ли с лево-инвариантной римановой метрикой, д - ее алгебра Ли. Сигнатуры таблицы 1.3 реализуются как сигнатуры спектра оператора секционной кривизны для некоторого скалярного произведения на д в случаях, помеченных знаками „+" в таблице 1.4-

Таблица 1.4. Сигнатуры спектра оператора секционной кривизны

№ сигнатуры

Алгебра Ли 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ви{ 2) — — — — — + — — + +

Я) — — + — + + — — — —

е(2) — — — — — + + — — —

е(1,1) — — + — + + — — — —

К — — — — — + — — — —

Я3 — — — — — — + — — —

Теорема 1.10. Пусть С - неунимодулярная трехмерная группа Ли с ле-воинвариантной римановой метрикой, д - алгебра Ли группы С. В качестве

сигнатуры спектра оператора секционной кривизны для некоторого скалярного произведения на д реализуются сигнатуры 1, 2, 3, 4, 5, 6 таблицы 1.3.

В работе О.Ковальского и С.Никшевич [7] получен критерий существования трехмерных локально однородных римановых многообразий с предписанным спектром оператора Риччи. В параграфе 6 главы 1 получен аналогичный критерий для предписанного спектра оператора секционной кривизны в случае трехмерных локально однородных римановых многообразий:

Теорема 1.11. Локально однородное трехмерное риманово многообразие (М, д) с предписанными главными значениями оператора секционной кривизны (с"23; ^ЧЗ) °"12) существует в том и только в том случае, если числа а^ (с точностью до перестановок) удовлетворяют хотя бы одному (возможно, нескольким) из условий:

1. Два числа из набора {сг{7} равны нулю.

(с 12 + о"2з)(<72з + сг31)((731 + а12) > 0, или по крайней мере два из чисел

<712 + СГ23, <723 + 0"31, <^31 + <^12 " щлп.

3. <731<712 < <722З < , < (723.

Результаты первой главы опубликованы в работах [57-63].

Во второй главе рассматривается спектр операторов одномерной кривизны, кривизны Риччи и секционной кривизны конформно плоских групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой произвольной размерности п ^ 4.

Риманово многообразие (М, д) называется конформно плоским, если его тензор Вей ля тривиален.

Однородные конформно плоские римановы многообразия изучались в работах Д.В.Алексеевского, Б.Н.Кимельфельда [22]. Конформно плоские группы Ли рассмотрены в работе С.Майера [23].

Пусть {в!, в2,..., еп} — ортобазис, в котором диагонализируемы матрицы операторов Риччи и одномерной кривизны конформно плоской группы Ли. В работе [20] показано, что в базисе {е^Аедиагонализируема матрица оператора секционной кривизны 71 : Л2М —> Л2М, причем спектр оператора 71 есть

{Кг3}г<], ще К13 = Ка(егЛе3). Кроме того, главные значения операторов секционной кривизны, кривизны Риччи и одномерной кривизны в случае конформно плоских групп связаны формулами [20]:

аг = —(а - 2(п _ =аг + а31рг - Рт = (П - 2Ж ~ ат)-

Таким образом, можно одновременно исследовать спектры трех вышеуказанных операторов. Основной результат параграфа 1 главы 2 описывает структуру спектров операторов одномерной кривизны и кривизны Риччи.

Теорема 2.1. Главные значения операторов Риччи и одномерной кривизны на п-мерной конформно плоской группе Ли с левоинвариантной римано-вой метрикой могут принимать не более двух различных значений с учетом кратности. При этом, если рг ф р3 (соответственно аг ф а3). то К13 = 0.

Таким образом, в условиях теоремы (2.1) имеет место один из двух случаев

Случай 1. Спектры операторов кривизны Риччи, одномерной кривизны и секционной кривизны состоят из одного значения кратности п\

Р1 = ■ • • = Рп = Р, = ' •' = ап = а, = 2а, г, з е {1,..., п} , г ф

Группа Ли в этом случае является эйнштейновым многообразием.

Случай 2. Спектр операторов кривизны Риччи и одномерной кривизны состоят из двух значений кратностей к и п — к:

аг = • • • = а/с = —а^+х = • • • = — ап = —а, Р1 = ■ ■ ■ = Рк = 2(/с - 1)а, рк+х = • • • = рп = 2(к + 1 - п)а.

Таблица 2.2. Четырехмерные алгебры Ли конформно плоских метрических групп Ли: спектр оператора секционной кривизны

№ Алг. Ли зрес(7г) = {КК13, Ки, К2ъ, ^24, ^34}

1 4Ах {0,0,0,0,0,0}

2 А3,6 © Ах {0,0,0,0,0,0}

3 А3,э Ф Ах \А2(1 + М2) А1(1 + М2) А2(1 + М2) ] 1 4 ' 4 4 '

4 Аз,з ф Ах {-Л2, -А2,0, -А2,0, 0}

5 А%7 ф Ах {-а2А2, -а2А2,0, -а2А2, 0, 0}, а > 0

6 А1'1 4.5 {-Ь2,-Ь2,-Ь2,-Ь2,-Ь2,-Ь2}

7 А"а > 0 {-а2Ь2, -а2Ь2, -а2Ь2, -а2Ь2, -а2Ь2, -а2Ь2}

8 А4,12 + В2),-{А2 + В2), 0, - (А2 + В2), 0,0}

Спектр оператора секционной кривизны имеет вид:

аг] = 2а нриг,^'е{1.. ,к]

а^ = —2а при г, ] Е {к + 1,..., п} , г ф

а13 = 0 при 2 е {1, • • • ,к} € {к + 1,... , п}

и может принимать не более трех значений.

В параграфе 2 главы 2 построены различные примеры п-мерпых конформно плоских групп Ли, спектры операторов кривизны Риччи и одномерной кривизны которых состоят из двух значений различных кратностей.

В параграфе 3 главы 2 вычислен спектр оператора секционной кривизны четырехмерных конформно плоских групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Полная классификация четырехмерных конформно плоских метрических алгебр Ли получена в работе [20].

Теорема 2.3. Пусть д — вещественная 4-мерная алгебра Ли конформно плоской группы Ли С с левоинвариантной римановой метрикой. Тогда спектр эрес(IV) оператора секционной кривизны определяется таблицей 2.2.

В параграфе 4 рассмотрены четырехмерные торповы и антиторповы конформно плоские метрические группы Ли.

Пусть (М, д) — четырехмерное ориентированное риманово многообразие.

о

Определим оператор Ходжа * как единственный изоморфизм векторных пространств * : А2ХМ —> А2М, для которого (*а, ¡3) vol = а Л /3 для любых а, ¡3 € А2М, х Е М, где vol — форма объема на М.

Если операторы Ходжа и кривизны коммутируют, то есть 1Z* = то ри-манову метрику называют торповой, а многообразие - торповым многообразием. Известно, что четырехмерные торповы многообразия эйнштейновы [19, 24].

Если же операторы Ходжа и кривизны антикоммутируют: = —*7Z, то, следуя [24], риманову метрику будем называть антиторповой, а многообразие -антиторповым многообразием.

Четырехмерные конформно плоские метрические группы Ли, соответствующие случаям 1, 2, 6, 7 таблицы 2.2, являются торповыми многообразиями, в случаях 1,2 имеют место оба уравнения в силу тривиальности оператора кривизны.

Примечание 2.3. На четырехмерной группе Ли нельзя задать анти-торпову левоинвариантную риманову метрику, не являющуюся плоской.

Результаты второй главы опубликованы в работах [64-69].

В третьей главе с помощью обобщенных базисов Дж. Милнора исследованы спектры операторов кривизны некоторых четырехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой, а также изучены однородные инвариантные и однородные алгебраические солитоны Риччи на четырехмерных метрических группах Ли.

В параграфе 1 приведены теоремы Дж. Милнора о специальных ортонор-мированных базисах трехмерных метрических алгебр Ли, способ построения которых привязан к размерности 3, что заставляет искать другие методы построения аналогичных базисов для метрических алгебр Ли более высокой размерности.

В параграфе 2 главы 3 описан алгоритм Н. Кос1ата, А. ТакаЬага, Н. Татаги [17] построения ортонормированных базисов - обобщенных базисов Дж. Милнора, основанный на свойствах пространства орбит левоинвариантных римановых метрик групп Ли.

Параграф 3 посвящен построению обобщенных базисов Дж. Милнора четырехмерных метрических алгебр Ли. Сведения о группах автоморфизмов четырехмерных вещественных алгебр Ли, которые используются при построении обобщенных базисов Дж. Милнора, взяты из работы [25]. Заметим, что некоторые из этих базисов были построены ранее в работах [8, 9] из других соображений.

Основной результат параграфа 3:

Теорема 3.6. Для произвольного скалярного произведения (•, •) на четырехмерной метрической алгебре Ли д существует (•, -)-ортонормированный базис {х{}, в котором ненулевые существенные структурные константы имеют вид, указанный в таблице 3.1. Таблица 3.1 приведена в тексте диссертации на странице 66.

В параграфе 4 рассмотрено решение вопроса об изометричности двух специальных четырехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором Вейля, что завершает классификацию таких групп из работ [26, 27]. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 3.7. Спектры оператора одномерной кривизны А, оператора кривизны Риччи р, оператора секционной кривизны четырехмерных метрических алгебр Ли К2®2К\, Аз 1©Ах и Аз^фА^. соответствующих группам Ли с левоинвариантной римановой метрикой, имеет вид, представленный в таблице 3.2.

Таблица 3.2 приведена в тексте диссертации на странице 68.

Теорема 3.8. Четырехмерные метрические группы Ли с алгебрами А^ с набором структурных констант с\ 4 = 4 = — с|)4 = — Ь и с набором

с\А = Сзд = С3 4 = /ЗЬ, с\А = -С3 4 = —Ь, /3 > О, Ь > 0 не изометричны.

Определение 3.3. Полное риманово многообразие (М,д) называется со-литоном Риччи, если метрика g удовлетворяет уравнению:

r = C-g + Lxg, (3.1)

где г - тензор Риччи, С G К - константа, Lxg - производная Ли метрики g по направлению полного дифференцируемого векторного поля X.

Определение 3.5. Однородная риманова метрика g на однородном пространстве G/H, где G - связная группа Ли, H - связная замкнутая подгруппа, удовлетворяующая уравнению (3.1) называется однородным солито-ном Риччи.

Определение 3.7. Пусть G — группа Ли с левоинвариантной римано-вой метрикой д. Если метрика g является однородным солитоном Риччи, причем поле X в уравнении (3.1) левоинвариантно, тогда метрика g назва-ется однородным инвариантным солитоном Риччи.

Определение 3.6. Группа Ли G с левоинвариантной римановой метрикой g называется алгебраическим солитоном Риччи, если метрика g в некотором ортобазисе удовлетворяет уравнению:

р{я) = С • I + D,

где р(д) - матрица оператора Риччи, С G M - константа, I - единичная матрица, D - матрица оператора некоторого дифференцирования алгебры g.

Основным результатом параграфа 5 является доказательство теорем о классификации алгебраических солитонов Риччи и однородных инвариантных солитонов Риччи на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой в терминах структурных констант алгебр Ли. Данная классификация использует обобщенные базисы Дж. Милнора. Заметим, что ранее классификацию алгебраических солвсолитонов Риччи в иных терминах получил Лауре с помощью алгебры дифференцирований [28]. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 3.10. Левоинвариантная риманова метрика на четырехмерной

группе Ли является алгебраическим солитоном Риччи тогда и только тогда, когда соответствующая алгебра Ли входит в таблицу 3.5.

Таблица 3.5 приведена в тексте диссертации на странице 81.

Теорема 3.11. Пусть G — четырехмерная действительная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой д. Тогда на G не существует нетривиальных однородных инвариантных солитонов Риччи.

Результаты третьей главы опубликованы в работах [70-77].

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации являются новыми, снабжены подробными доказательствами.

Результаты диссертации докладывались на семинаре отдела анализа и геометрии Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН (рук. акад. РАН Ю.Г. Решетняк); на семинаре „Геометрия, топология, и их приложения" Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН (рук. акад. РАН И.А. Тайманов); на семинаре „Геометрия, топология и математическая физика" отдела геометрии и топологии МИАН совместно с кафедрой высшей геометрии МГУ (рук. акад. РАН С.П. Новиков, чл.-корр. РАН В.М. Бухштабер); на семинаре „Геометрия и математическое моделирование" (рук. проф. Е.Д. Родионов).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Оскорбин, Дмитрий Николаевич, 2015 год

Список литературы

1. Гормол, Д. Риманова геометрия в целом [Текст] / Д Гормол, В Клингенберг, В Мейер. - М. : Мир, 1971.

2. Громов, М. Знак и геометрический смысл кривизны [Текст] / М Громов. — Ижевск : Изд.дом «Удмуртский университет», 1999.

3. Milnor, J. Curvature of left invariant metric on Lie groups [Text] / J. Milnor // Advances in mathematics. — 1976. — Vol. 21. — P. 293-329.

4. Bochner, S. Vectors fields and Ricci curvature [Text] / S. Bochner // Bull. Ann. Math. Soc. — 1946. — Vol. 52. — P. 776-797.

5. Берестовский, B.H. Однородные римановы многообразия положительной кривизны Риччи [Текст] / В.Н Берестовский // Мат. заметки. — 1995. — Т. 58, № 3. - С. 334-340.

6. Родионов, Е.Д. Одномерная секционная кривизна однородных римановых многообразий [Текст] / Е.Д Родионов, В.В Славский // Труды конференции „МОИА - 2001". - Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2001.

7. Kowalski, О. On Ricci eigenvalues of locally homogeneous Riemannian 3-manifolds [Text] / O. Kowalski, S. Nikcevic // Geom. Dedicata. — 1996. — no. 1. — P. 65-72.

8. Кремлев, А.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Унимодулярный случай [Текст] / А.Г Кремлев, Ю.Г Никоноров // Матем. тр. - 2008. - Т. 11, № 2. -С. 115-147.

9. Кремлев, А.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Неунимодулярный случай [Текст] /

А.Г Кремлев, Ю.Г Никоноров // Матем. тр. - 2009. - Т. 12, № 1. — С. 40-116.

10. Berger, M. Les variétés Riemannienes homogenes normales a courbure strictement positive [Text] / M. Berger // Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa. — 1961. — Vol. 15. — P. 179 246.

11. Bergery, L.B. Les variétés Riemannienes invariantes homogenes simplement connexes de dimension impaire a courbure strictement positive [Text] / L.B Bergery // J. Math. Pur. Appl. IX. Ser. — 1976. — Vol. 55, no. 1. — P. 47-68.

12. Verdiania, L. Positively curved homogeneous metrics on spheres [Text] / L Verdiania, W Ziller // Math. Zeitschrift. — 2009. — Vol. 261. — P. 473-488.

13. Валиев, Ф.М. Точные оценки секционных кривизн однородных римановых метрик на пространствах Уоллача [Текст] / Ф.М Валиев // Сиб. матем. журнал. - 1979. - Т. 20, № 2. - С. 248-262.

14. Puttmann, Т. Optimal pinching constants of odd dimensional homogeneous spaces [Text] / T. Puttmann // Invent, math. — 1999. — Vol. 138. — P. 631-684.

15. Nikolayevsky, Y. On solvable Lie groups of negative Ricci curvature [Text] / Y Nikolayevsky, Yu.G Nikonorov // Mathematische Zeitschrift. — 2015. — Vol. 280, no. 1-2. — P. 1-16.

16. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии, в 2 томах. [Текст] / Ш Кобаяси, К Номидзу. — М. : Наука, 1981.

17. Kodama, H. The space of left-invariant metrics on a Lie group up to isometry

and scaling [Text] / H. Kodama, A. Takahara, H. Tamaru // manuscripta math. — 2011. — Vol. 135. — P. 229-243.

18. Cerbo, L. D. Generic properties of homogeneous Ricci solitons [Text] / Luca Di Cerbo // Adv. Geom. — 2014. — Vol. 14-2. — P. 225-237.

19. Бессе, А. Многообразия Эйнштейна [Текст] / А Бессе. — M. : Мир, 1990.

20. Rodionov, E.D. Curvature estimations of left invariant Riemannian metrics on three dimensional Lie groups [Text] / E.D Rodionov, V.V Slavskii // Differential Geometry and Application. Proceeding of the 1th International Conference. Brno, August 10-14, 1998. - Masaryk University, Brno, Czech Republic.

— 1999.

21. Гладунова, О.П. Сигнатура оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой [Текст] / О.П Гладунова, Д. С Воронов // Известия Алтайского государственного университета. - 2010. - Т. 1-2. - С. 24-28.

22. Alexeevskii, D.V. Structure of homogeneous Riemannian spaces with zero Ricci curvature [Text] / D.V Alexeevskii, B.N Kimel'fel'd // Funktional. Anal, i Pril. — 1975. — Vol. 9-2. — P. 5-11.

23. Maier, S. Conformally flat Lie groups [Text] / S Maier // Mathematische Zeitschrift. — 1998. — Vol. 228, no. 1. — P. 155-175.

24. Ким, Д. Об одном эквивалентном условии плоской метрики [Текст] / Д. Ким, X. Ким // Сибирский математический журнал. — 2003. — Т. 44, № 5. - С. 1045-1050.

25. Realizations of real low-dimensional Lie algebras [Text] / R.O Popovych, V.M Boyko, M.O Nesterenko, M.W Lutfullin // J.Phys. A: Math. Gen.

— 2003. — Vol. 36. — P. 7337-7360.

26. Воронов, Д.С. Левоинвариантные римановы метрики на четырехмерных неунимодулярных группах Ли с нулевой дивергенцией тензора Вейля [Текст] / Д.С Воронов, Е.Д Родионов // ДАН. - 2010. - Т. 432, № 3.

- С. 301-303.

27. Гармонический тензор Вейля на четырехмерных группах Ли с левоинвари-антной римановой метрикой [Текст] / Д.С Воронов, О.П Гладунова, Е.Д Родионов, В.В Славский // Вестник АлтГПА: Естественные и точные науки.

- 2010. - Т. 2. - С. 5-24.

28. Lauret, J. Ricci soliton solvmanifolds [Text] / J Lauret // Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik. — 2011. — Vol. 650. — P. 1-21.

29. Meeks, W. Constant mean curvature surfaces in metric Lie groups [Text] / W. Meeks, J. Perez // Geometric Analysis: Partial di erential equations and surfaces. Contemporary Mathematics. — 2011. — Vol. 570. — P. 25-110.

30. Nikonorov, Y.G. Geometry of homogeneous Riemannian manifolds [Text] / Y.G Nikonorov, E.D Rodionov, V.V Slavskii // Journal of Mathematical Sciences. — 2007. — Vol. 146, no. 7. — P. 6313-6390.

31. Однородные пространства: теория и приложения [Текст] / В.В Балагценко, Ю.Г Никоноров, Е.Д Родионов, В.В Славский. — Ханты-Мансийск : [б. и.], 2008.

32. Singer, I. Infinitesimally homogeneous spaces [Text] / I. Singer // Comm. Pure Appl. Math. — 1960. — Vol. 13. — P. 685-697.

33. Kowalski, О. An explicit classification of 3-dimensional Riemannian spaces satisfying r{x,y)-r = 0 [Text] / O. Kowalski // Czech. Math. J. — 1996. — Vol. 46. — P. 427-474.

34. Sekigawa, К. On some 3-dimensional curvature homogeneous spaces [Text] / K. Sekigawa // Tensor. — 1977. — Vol. 31. — P. 87-97.

35. Kowalski, O. New examples of non-homogeneous Riemannian manifolds whose cubature tensor is that of a Riemannian symmetric space [Text] / O. Kowalski, F. Tricerri, L. Vanhecke // C. R. Acad. Sci. Paris. — 1990. — Vol. 311. — P. 355-360.

36. Yamato, K. A characterization of locally homogeneous Riemann manifolds of dimension 3 [Text] / K. Yamato // Nagoya Math. J. — Vol. 123, no. 191. — P. 77-90.

37. Гладунова, О.П. О конформно полуплоских 4-мерных группах Ли [Текст] / О.П Гладунова, Е.Д Родионов, В.В Славский // Владикавказский математический журнал. - 2011. — Т. 13, № 3. - С. 3-16.

38. Ни, Z. Schouten curvature functions on locally conformally flat Riemannian manifolds [Text] / Z. Ни, H. Li, U. Simon //J. Geom. — 2008. — Vol. 88, no. 1-2. — P. 75-100.

39. Берестовский, B.H. Римановы многообразия и однородные геодезические [Текст] / В.Н Берестовский, Ю.Г Никоноров. — Владикавказ : ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2012.

40. Мубаракзянов, Г.М. О разрешимых алгебрах Ли [Текст] / Г.М Мубаракзя-нов // Изв. вузов. Матем. - 1963. - Т. 1. - С. 114-123.

41. Кострикин, А.И. Линейная алгебра и геометрия [Текст] / А.И Кострикин, Ю.И Манин. - Москва : МГУ, 1980.

42. Lauret, J. Degenerations of Lie algebras and geometry of Lie groups [Text] / J. Lauret // Differ. Geom. Appl. — 2003. — Vol. 18, no. 2. — P. 177-194.

43. Гладунова, О.П. О гармоничности тензора Вейля левоинвариантных ри-мановых метрик на четырехмерных унимодулярных группах Ли [Текст] / О.П Гладунова, В.В Славский // Математические труды. — 2011. — Т. 14, № 1. - С. 50-69.

44. Wang, M. Einstein metrics from symmetry and bundle constructions [Text] / M. Wang // Surveys in differential geometry: essays on Einstein manifolds. Lectures on geometry and topology. Suppl. J. Differ. Geom. — 1999. — Vol. 6. — P. 287-325.

45. Аверу, Ж. Четырехмерная риманова геометрия [Текст] / Ж Аверу, Л Бе-рар-Бержери, Ж.-П Бургиньон. — М. : Мир, 1985.

46. Hamilton, R.S. The Ricci flow on surfaces [Text] / R.S Hamilton // Contemporary Mathematics. — 1988. — Vol. 71. — P. 237-261.

47. Perelman, G. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications [Text], — arxiv:math.DG/0211159. — 2002. — November.

48. Cao, H.-D. Recent progress on Ricci solitons [Text] / H.-D Cao // Advanced Lectures in Mathematics. — 2010. — Vol. 11. — P. 1-38.

49. Lauret, J. Ricci soliton solvmanifolds [Text] / J. Lauret // Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik. — 2011. — Vol. 650. — P. 1-21.

50. Arroyo, R.M. Homogeneous Ricci solitons in low dimensions [Text] / R.M Arroyo, R Lafuente // Int Math Res Notices. — 2014.

51. Lauret, J. Einsten solvmanifolds and nilsolitons, new development in Lie theory and geometry [Text] / J. Lauret // Contemp. Math. — 2009. — Vol. 491. — P. 1-35.

52. Petersen, P. On gradient Ricci solitons with symmetry [Text] / P. Petersen, W. Wylie // Proc. Amer. Math. Soc. — 2009. — Vol. 6. — P. 2085-2092.

53. Ivey, Т. Ricci solitons on compact three-manifolds [Text] / T. Ivey // Differential Geometry and Applications. — 1993. — Vol. 3(4). — P. 301-307.

54. Yablonski, M. Homogeneous Ricci solitons are algebraic [Text] / M. Yablon-ski // Geometry к Topology. — 2014. — Vol. 18-4. — P. 2477-2486.

55. Lauret, J. Structure of homogeneous Ricci solitons and the Alekseevskii conjecture [Text] / J. Lauret, R. Lafuente //J. Differential Geom. — 2014. — Vol. 98-2. — P. 315-347.

56. Аржанцев, И.В. Базисы Гребнера и системы алгебраических уравнений [Текст] / И.В Аржанцев. - М. : МЦНМО, 2003.

Публикации автора по теме диссертации

57. Оскорбин, Д.Н. О спектре оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой [Текст] / Д.Н Оскорбин // Известия Алтайского государственного университета. —- 2012. — № 1/1(73). - С. 107-109.

58. Гладунова, О.П. Применение пакетов символьных вычислений к исследованию спектра оператора кривизны на метрических группах Ли [Текст] / О.П Гладунова, Д.Н Оскорбин // Известия Алтайского государственного университета. - 2013. - № 1/1(77). - С. 19-23.

59. Оскорбин, Д.Н. О спектре оператора кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой [Текст] / Д.Н Оскорбин, Е.Д Родионов // Доклады Академии наук. - 2013. - Т. 450, № 3. - С. 271-273.

60. Оскорбин, Д.Н. Применение пакетов символьных вычислений для исследования спектра оператора кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой [Текст] / Д.Н Оскорбин // Труды семинара

по геометрии и математическому моделированию: сб.ст. — Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2013. - С. 36-42.

61. Гладунова, О.П. Об исследовании сигнатур оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли [Текст] / О.П Гладунова, Д.Н Оскорбин // Сборник научных статей международной школы-семинара "Ломоносовские чтения на Алтае", Барнаул, 8-11 ноября, 2011 : в. 4 ч. : — Барнаул : АлтГПА, 2011. - Ч. 1. - С. 74-76.

62. Оскорбин, Д.Н. О спектре оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой [Текст] / Д.Н Оскорбин // Сборник научных статей международной школы-семинара "Ломоносовские чтения на Алтае", Барнаул, 8-11 ноября, 2011 : в. 4 ч. : — Барнаул : АлтГПА, 2011. - Ч. 1. - С. 124-126.

63. Оскорбин, Д.Н. О спектре оператора кривизны трехмерных локально однородных римановых многообразий [Текст] / Д.Н Оскорбин // Труды всероссийской молодежной школы-семинара «Анализ, геометрия и топология», Барнаул, 2-4 октября, 2013 : в 2 ч. — Ч. 1. — Барнаул : ИП Колмогоров И.А., 2013. - С. 210-217.

64. Оскорбин, Д.Н. О вычислении спектра оператора кривизны конформно (полу)плоских римановых метрик [Текст] / Д.Н Оскорбин, Е.Д Родионов, О.П Хромова // Известия Алтайского государственного университета. — 2013. - № 1/2(77). - С. 28-31.

65. Оскорбин, Д.Н. О спектре оператора кривизны четырехмерных конформно плоских метрических групп Ли [Текст] / Д.Н Оскорбин, Е.Д Родионов, О.П Хромова // Сборник научных статей международной молодежной школы-семинара "Ломоносовские чтения на Алтае", Барнаул, 5-8 ноября, 2013 : в 6 ч. Под редакцией Родионова Е.Д. — Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2013. - Ч. 1. - С. 49-51.

66. Оскорбин, Д.Н. О спектре оператора кривизны конформно плоских лево-инвариантных римановых метрик 4-мерных групп Ли [Текст] / Д.Н Оскорбин, Е.Д Родионов, О.П Хромова // Тези доповще1 м1жнародно1 конференцп "Геометр1я в Одеа - 2014". — Одеса : Благодшний фонд "Наука", 2014. — С. 47.

67. Khromova, О.P. On the spectrum of the curvature operator of conformally flat riemannian metrics [Electronic resource] / O.P Khromova, D.N Osko-rbin, E.D Rodionov // International conference "Geometric Control Theory and Analysis on Metric Structures" (2014, August 3-8, at the Lake Baikal). — 2014. — P. 15. — URL: http://gct.math.nsc.ru/wordpress/wp-content/uploads/2014/07/Thesis_baikal.pdf (accessed: 01.06.2015).

68. Oskorbin, D.N. The spectrum of the curvature operators on conformally flat metric Lie groups [Электронный ресурс] / D.N Oskorbin // Тезисы Международной конференции "Дни геометрии в Новосибирске - 2014", посвященной 85-летию академика Юрия Григорьевича Решетняка. Новосибирск, 24 - 27 сентября 2014 года. — Новосибирск : 2014. — С. 119-120. — Режим доступа: math.nsc.ru/conference/geomtop/2014/abstracts/G-Days=2014.%20E-Abstracts.pdf. (дата обращения: 01.06.2015).

69. Оскорбин, Д.Н. О вычислении спектра оператора кривизны конформно плоских метрических групп Ли [Текст] / Д.Н Оскорбин // Сборник трудов семнадцатой региональной конференции по математике "МАК-2014 посвященной 40-летию факультета математики и информационных технологий.

- Барнаул : [б. и.], 2014. - С. 29-30.

70. Гладунова, О.П. Об изометричности четырехмерных групп Ли с гармоническим тензором Вейля [Текст] / О.П Гладунова, Д.Н Оскорбин, Е.Д Родионов // Материалы пятнадцатой конференции по математике "МАК - 2012".

— Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2012. — С. 20.

71. Оскорбин, Д.Н. Исследование гармоничности тензора Вейля левоинвари-антных римановых метрик четырехмерных групп Ли с помощью универсальных математических систем [Текст] / Д.Н Оскорбин, О.П Хромова // Сборник научных статей международной молодежной школы-семинара "Ломоносовские чтения на Алтае", Барнаул, 5-8 ноября, 2013 : в 6 ч. — Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2013. - Ч. 1. - С. 45-48.

72. Оскорбин, Д.Н. О спектре операторов кривизны конформно плоских групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой [Текст] / Д.Н Оскорбин, Е.Д Родионов, О.П Хромова // Доклады Академии наук. — 2015. — Т. 461, № 5. - С. 513-515.

73. Клепиков, П.Н. Построение обобщенных базисов Милнора некоторых четырехмерных метрических алгебр Ли [Текст] / П.Н Клепиков, Д.Н Оскорбин // Известия Алтайского государственного университета. — 2015. — № 1/1(85). - С. 75-78.

74. Клепиков, П.Н. Однородные инвариантные солитоны Риччи на четырехмерных группах Ли [Текст] / П.Н Клепиков, Д.Н Оскорбин // Известия Алтайского государственного университета. — 2015. — № 1/2(85). — С. 115-122.

75. Клепиков, П.Н. О спектрах операторов кривизны некоторых четырехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой [Текст] / П.Н Клепиков, Д.Н Оскорбин, Е.Д Родионов // Известия Алтайского государственного университета. - 2015. - № 1/2(85). - С. 123-126.

76. Клепиков, П.Н. Обобщенные базисы Милнора некоторых 4-мерных вещественных метрических алгебр Ли [Текст] / П.Н Клепиков, Д.Н Оскорбин // Избранные труды международной конференции «Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования», Барнаул, 11-14 ноября, 2014 г. Под редакцией Е.Д. Родионова. — Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2014. - С. 48-71.

77. Клепиков, П.Н. Обобщенные базисы Милнора некоторых четырехмерных вещественных метрических алгебр Ли [Текст] / П.Н Клепиков, Д.Н Оскор-бин // Сборник научных статей международной конференции «Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования», Барнаул, 11-14 ноября, 2014. — Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2014. ISSN 2309-463Х - С. 298-302.