Применение пакетов аналитических вычислений к решению задач однородной (псевдо)римановой геометрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Чибрикова, Людмила Николаевна

• Чибрикова, Людмила Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чибрикова, Людмила Николаевна

Введение

1 Использование математических пакетов в решении некоторых задач (псевдо)римановой геометрии

1.1 Пакеты встроенных процедур "linalg" и " Linear Algebra"

1.2 Использование пакета MAPLE в решении некоторых задач (псевдо)римановой геометрии. if 2 Левоинвариантные лоренцевы метрики на трехмерных группах Ли с нулевым квадратом длины тензора Схоутена

Вейля

2.1 Постановка основной задачи

2.2 Некоторые факты теории групп и алгебр Ли.

2.3 Классификации трехмерных алгебр и групп Ли.

2.4 Формулы для вычисления кривизн левоинвариантных (псев-до)римановых метрик.

2.5 Левоинвариантные лоренцевы метрики с нулевым квадратом длины тензора Схоутена-Вейля на трехмерных унимодуляр-ных группах Ли

2.6 Левоинвариантные лоренцевы метрики с нулевым квадратом длины тензора Схоутена-Вейля на трехмерных неунимоду-лярных группах Ли

3 Области знакоопределенности кривизн левоинвариантных римановых метрик на трехмерных группах Ли

3.1 Оценки кривизн левоинвариантных римановых метрик на трехмерных группах Ли.

3.2 Области знакоопределенности секционной кривизны левоинвариантных римановых метрик на трехмерных группах Ли

3.3 Области знакоопределенности одномерной кривизны левоинвариантных римановых метрик на трехмерных группах Ли

3.4 Области знакоопределенности кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на трехмерных группах Ли

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение пакетов аналитических вычислений к решению задач однородной (псевдо)римановой геометрии»

Данная диссертация посвящена применению математических пакетов к решению задач (псевдо)римановой геометрии. За пятьдесят лет своего существования вычисления с использованием ЭВМ не только не утратили своей актуальности, но являются приоритетным направлением в развитии современной науки. Область применения компьютерной математики уже не ограничивается предсказанием погоды и вычислением числа 7г. Современная геометрия, также как и другие области математики, привлекает новейшие технологии для решения своих задач. Уже существуют прецен-денты, доказывающие эффективность программного обеспечения не только при решении численных задач, но и при доказательстве теорем. Так, например, О.Г. Вагина и М.И. Кабенюк в [1] дали новое более короткое доказательство о покрытии евклидовой плоскости равносторонними пяти' угольниками. Доказательство базировалось на вычислениях, сделанных с помощью пакета MAPLE. Камсеманан (N. Khamsemanan) и Коннелли (R. Connelly) в [21] дали новое доказательство теоремы о функции, сохраняющей расстояние. Также стоит упомянуть доказательство гипотезы Атья (Atiyah) о расположении п точек в трехмерном Евклидовом пространстве при п = 4, данное Иствудом (М. Eastwood) и Норбари (P. Norbury) в [18].

Опыт использования пакетов прикладных программ также широко используется в задачах классификации. Так, Hlavovd М. в [29] удалось классифицировать двупараметрические движения плоскости Лобачевского, P. Bueken, L. Vanhecke в статье [15] внесли вклад в проблему классификации трех- и четырехмерных однородных относительно тензора кривизна Риччи эйнштейново-подобных многообразий. В отечественной науке у известны результаты, полученные Е.Д. Родионовым и В.В. Славским при классификации локально конформно однородных многообразий [13],[25], и результаты Ю.Г. Никонорова по классификации однородных эйнштенйновых многообразий, полученные в работах [10], [11]. Известны также работы Никоноровой Ю.В. в области комбинаторной геометрии, использующие для решения задач (о внутреннем расстоянии на поверхности параллелепипеда, задачи Фике, Ионина, Поповичи) пакеты символьных вычислений.

Налицо не только рост числа задач, решенных с помощью компьютера, но и разработка новых алгоритмов и программ для решения определенных типов задач. Появляются новые ([16],[30]), совершенствуются старые ([24],[20]) алгоритмы, и сейчас трудно оценить до конца тот вклад, который привносится в математику новыми компьютерными технологиями.

Данная работа посвящена исследованию левоинвариантных (псев-до)римановых метрик на трехмерных группах Ли и является продолжением вышеприведенных исследований в области римановой и псевдори-мановой геометрии с использованием новейших разработок-компьютерной алгебры.

Методы исследования. В работе используются методы компьютерной алгебры, методы теории групп Ли и алгебр Ли, римановой и псевдорима-новой геометрии и тензорного анализа.

Основные результаты.

1. Получена классификация левоинвариантных лоренцевых метрик на группах Ли с нетривиальным тензором Схоутена-Вейля, квадрат длины которого равен нулю.

2. Найдены области в пространстве структурных констант, в которых одномерная, секционная кривизна и кривизна Риччи левоинвариантной римановой метрики на трехмерной группе Ли имеет постоянный знак.

3. Разработаны эффективные алгоритмы для вычисления компонент тензоров секционной, одномерной кривизн и кривизны Риччи, а также компонент тензора Схоутена-Вейля левоинвариантных лоренцевых метрик на группах Ли.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетияка (Новосибирск, 23 августа - 2 сентября 2004г.), Международной школе-конференции по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова) (Новосибирск, 9-20 сентября 2002г.), Седьмой региональной конференции по математике МАК-2004 (Барнаул, 2004), Шестой региональной конференции по математике МАК-2003 (Барнаул, 2003), Межрегиональной конференции по математическому образованию в регионах России (Барнаул, 2004). Кроме того, все результаты диссертации в разное время докладывались на семинарах кафедры математического анализа Алтайского государственного университета, кафедры геометрии Барнаульского государственного педагогического университета.

Публикации. Все основные результаты работы были опубликованы в [31]-[41].

Структура и обьем работы. Диссертация изложена на 118 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, пяти приложений и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чибрикова, Людмила Николаевна, 2005 год

1. Вагина О.Г., Кабенюк М. Покрытие плоскости равносторонними пятиугольниками//Вестник Кемеровского Государственного Университета:Серия "Математика" - 2001.- №3. С. 162-166.

2. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: в 2-х т. Т. I. Пер. с англ. М.: Мир, 1990.- 318 с.

3. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли: Пер. с фр.- М.: Мир, 1976.- 496 с.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953.- 494 с.

5. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.- 355 с.

6. Дубровин Б.А., Новиков С.П, Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979.- 760 с.

7. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение: Пер. с англ. Изд. второе, стереотип. - М.: Мир, 2001.575 е., ил.

8. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра: Учебник для вузов. М.: Физико-математическая литература, 2000.368 с.

9. Матросов A.B. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики.-СПб.: БХВ-Петербург, 2001.- 528 с.1.. Никоноров Ю.Г. Аналитические методы в теории однородных Ейн-штейновых многообразий. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2000.- 183 с.

10. Никоноров Ю.Г. Компактные семимерные однородные Ейнштейповы многообразия// Математические труды.- 2000.- Вып.З.- №2.- С. 129-145.

11. Понтрягин JI.C. Непрерывные группы. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973.- 520 с.

12. Родионов Е.Д., Славский В.В. Локально конформно однородные пространства// Доклады академии наук, 387(3), 2002.

13. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.- 534 с.

14. Bueken P., Vanhecke L.Three- and four-dimensional Einstein-like manifolds and homogeneity //Gegm.Dedicata.- Vol.75.- №2.- P. 123-136.

15. Chiang Li, Chu H., Kang M. Generation of invariants / / J. Algebra.-1999-Vol.221.- т.- P. 232-241.

16. Deconinck В., van Hoeij M. Computing Riemann matrices of algebraic curves // Physica D.-2001.- Vol.152-153.- P. 28-46,

17. SAC '96, Zurich, Switzerland, July 24-26, 1996.- New York, NY: ACM Press.- 1996.- P. 204-211.

18. Khamsemanan N., Connelly R. Two distance preserving functions// Beitr. Algebra Geom.- 2002.- Vol. 43.- №2.- P. 557-564.

19. Kowalski 0., Opozda B., Vlasek Z. A classification of locally homogeneous connections on 2-dimensional manifolds via group-theoretical approach /f Cent. Eur. J. Math.-2004.- Vol. 2.- №.- P. 87-102, (electronic only).

20. Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups// Advances in mathematics.- 1976.- 21.- P. 293-329 (1976).

21. Mulcahy C. The basic curves and surfaces of computer aided geometric design//Maple Tech. Basel etc.: Birkhaeuser Verlag. 3.- 1996.- M P. 6573.

22. Rodionov E.D., Slavskii V.V. Conformal deformations of the Riemannian metrics and homogeneous Riemannian spaces // Comment. Math. Univ. Carolinae.- 2002.- V. 43.- №2.- P. 271-282.

23. Sturmfels B. Four counterexamples in combinatorial algebraic geometry// J.Algebra.- 2000.- Vol. 230.- Nol.- P. 282-294.

24. Hlavovä M. Two-parametric motions in the Lobatchevskiplane//J. Geom. Graph.- 2002.- Vol.6.- M.- P. 27-35.

25. Zakhary E., Vu K.T., Carminati J. A new algorithm for the Petrov classification of the Weyl tensor// Gen. Relativ. Gravitation.- 2003.-Vol.35.- №7.- P. 1223-1242.Работы автора по теме диссертации

26. Родионов Е.Д., Славский В.В., Чибрикова JI.H. Левоинвариантпые лоренцевы метрики на трехмерных группах Ли с нулевым квадратом длины тензора Схоутена-Вейля//Доклады Академии наук.- 2005. Т. 401. т.

27. Родионов Е.Д., Славский В.В., Чибрикова JI.H. Левоинвариантпые лоренцевы метрики на трехмерных группах Ли с пулевым квадратом длины тензора Схоутена Вейля//Вестник БГПУ: Естественные и точные науки.- 2004. JVM.-C. 53-60.

28. Чибрикова Л.Н. Применение математических пакетов к решению задач (псевдо)римановой геометрии//Вестник БГПУ: Естественные и точные науки.- 2004. №4.- С. 71-80.

29. Чибрикова Л.Н. Левоинвариантные лоренцевы . метрики на трехмерных неунимодулярных группах Ли//Тезисы межрегиональной конференции по математическому образованию в регионах России.-Барнаул: Изд-во БГПУ, 2004.- С. 21-22.

30. Чибрикова Л.Н. Левоинвариантные лоренцевы метрики на трехмерных неунимодулярных группах Ли// МАК-2004: Материалы Седьмой региональной конференции по математике.- Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2004.- С. 18-20.

31. Чибрикова Л.Н. О некоторых классах левоинвариантных лоренцевых метрик на трехмерных унимодулярных группах Ли//МАК-2003: Материалы Шестой . региональной конференции по математике.-Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2003.- С. 15.

32. Чибрикова Л.Н. Левоинвариантные лоренцевы метрики на трехмерных унимодулярных группах Ли//Вестник БГПУ: Естественные и точные науки,- 2003. №3.- С. 44-46.