О геометрии транссасакиевых многообразий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Аила Демедерос

• Аила Демедерос
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Аила Демедерос

Содержание

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

§ 1 .Почти контактные метрические структуры

§2.Почти эрмитовы структуры и их структурные уравнении

§3.Зависимость между тензорами почти контактной метрической

структуры и тензорами её линейного расширения

Глава 2. Транссасакиевы структуры

§1.Определение и структурные уравнения транссасакиевых

многообразий

§2.Свойства транссасакиевых многообразий

§3.Вычисление некоторых классических тензоров транссасакиевой

структуры

Глава 3. Свойства изотропности транссасакиевых многообразий

§ 1 .Транссасакиевые многообразия постоянной кривизны

§2.Точечное постоянство Ф-голоморфной секционной кривизны

транссасакиевых многообразий

§З.Эйнштейновость и квазиэйнштейновость транссасакиевых

многообразий

Глава 4. Тождества кривизны и подклассы транссасакиевых многообразий

§ 1 .Тождества кривизны транссасакиевых многообразий

§2.Дополнительные тождества кривизны транссасакиевых

многообразий

§3.Классы транссасакиевых многообразий

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О геометрии транссасакиевых многообразий»

Введение

г

Многообразия, которым посвящена настоящая работа, принадлежат классу многообразий, наделенных почти контактной метрической структурой. Теория почти контактных метрических структур занимает важное место в современных дифференциально-геометрических исследованиях и является естественным обобщением так называемой контактной геометрии, имеющей многочисленные приложения в современной математической физике, например в классической механике и теории геометрического квантования, в теории супергравитации Калуцы-Клейна. Кроме того, интерес к теории почти контактных метрических структур объясняется богатством внутреннего содержания самой теории и ее взаимосвязями с другими разделами дифференциальной геометрии, в частности, с теорией гиперповерхностей риманова многообразия. Более пятидесяти лет почти контактные многообразия являются предметом интенсивного исследования ученых-геометров.

Начало изучения почти контактных структур относится к 1953 году, когда в своих работах Чжень рассматривал дифференцируемые многообразия М размерности 2п + 1 с фиксированной на них контактной формой г]\ г]Л(с1г])п Ф 0. Он установил [41], что такое многообразие допускает С-структуру со структурной группой {1} ® и(п). Позднее многообразия, допускающие такую С-структуру, Дж. Грей назвал почти контактными многообразиями. Им же было введено понятие почти контактного метрического многообразия [56].

В 1960 году появляется работа Сасаки [79], в которой автор отмечает, что многообразие, допускающее С-структуру со структурной группой (1 }®и(п), несет внутренним образом определенную тройку тензоров {Ф, ^, г]}, обладающих свойствами:

1) т](0 = 1; 2) ?7 о ф = 0; 3) Ф2 = -Ш + г) ® £.

Сасаки показал, что на многообразии М всегда существует положительно определенная метрика д = (у) такая что

1) ??(*) = <£*>; 2) (ФХ,ФУ) = (Х,У) -Г)(ХМУ), УХ,¥еХ(М), дополняющая почти контактную {Ф, ^, 77}-структуру до метрической, где Ф -тензор типа (1Д), называемый структурным оператором или структурным эндоморфизмом, £ - вектор, г] - ковектор, называемые структурным вектором и ковектором соответственно.

Сасаки и Хатакеуяма [80] доказали, что на многообразии М х Я, где М - многообразие с заданной на нем (Ф, £, ^-структурой, Я - вещественная прямая, определяется почти комплексная структура ]. В 1963 году Таширо У. [96] исследовал почти контактное метрическое (2 п + 1)-мерное многообразие М, т.е. многообразие с заданной на нем {Ф, ^, г], д] —структурой. Вместе с Сасаки они доказали, что на декартовом произведении М х Я естественным образом определяется почти комплексная структура У, которая вместе с метрикой прямого произведения, т.е. с

метрикой С = (^я^и) = е~и ^ задает почти эрмитову структуру на

многообразии М х Я.

Хервелла Л. и Грей А. [54] в 1980 году систематизировали почти эрмитовы структуры. Естественно, перед геометрами возникла задача о классификации почти контактных метрических структур на многообразии М в соответствии со систематизацией эрмитовой структуры, индуцированной на многообразии М X Д. Так, например, классификацию пространств М2п+1 Накаяма [71] проводит следующим образом. Он нашел необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять различные геометрические объекты пространства М, такие, как Ф, объекты, полученные при первом продолжении этих объектов, тензор Нейенхейса и другие охваченные ими объекты для того, чтобы пространство М х Я принадлежало к одному из классов почти эрмитовых многообразий. В этом направлении автор находит девять подклассов пространств с {Ф, ^,г],д}-

структурой. В частности, Накаяма доказал ставший уже классическим результат: нормальность почти контактной метрической структуры на многообразии М равносильна тому, что структура на многообразии М X Я эрмитова. [71]

Поскольку между почти контактной метрической структурой на многообразии М и почти эрмитовой структурой на многообразии Мхй имеет место тесная взаимосвязь, то ее изучение позволяет выделить интересные классы почти контактных метрических структур. Так, например, Обинъя [74] рассматривал почти контактные метрические структуры на многообразии М, у которых естественно ассоциированная ей почти эрмитова структура на многообразии М хй принадлежит классам и при

классификации Грея-Хервеллы [54]. Такие структуры назвали транссасакиевыми и почти транссасакиевыми, соответственно. Класс почти транссасакиевых многообразий включает класс транссасакиевых многообразий. Класс транссасакиевых многообразий включает классы сасакиевых, Кенмоцу и косимплектических структур [54]. Там же приведены тождества, характеризующие эти классы структур. Приводятся соотношения между квазисасакиевыми и транссасакиевыми структурами. Блэр и Обинья [38] получили также некоторые фундаментальные результаты для транссасакиевых структур. Кроме того, они определи транссасакиевые структуры типа (а, /?). Локальную классификацию транссасакиевых многообразий изучал Марреро [67]. В работах [85], [86], [89] получены необходимые и достаточные условия для С7?-подмногообразия транссасакиева многообразия чтобы быть контактным С7?-произведением по свойствам основного тензора Вайнгартена по отношению к нормальному сечению, а также к канонической структуре. В работах [85], [86], [89] также получены некоторые результаты о С7?-подмногообразиях а-Сасакиевых и /?-Кенмоцу многообразий. Дальнейшее изучение С7?-подмногообразий проводится в работе [39], где определяются нормальные СЯ-подмногообразия транссасакиева многообразия и получены

фундаментальные результаты о геометрии этих подмногообразий. Изучению подмногообразий транссасакиевых многообразий посвящены работы [45], [61], [62], [88], [82], [103], [99], [63], [87], [36], [27], [68]. Особо следует отметить работу В.Ф. Кириченко и Е.В. Родиной [18], в которой получена полная классификация транссасакиевых многообразий постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с неинтегрируемой структурой, а также полная классификация транссасакиевых многообразий с неинтегрируемой структурой, удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных плоскостей. Деформации О-гомотетии, а также векторные поля и кривые на транссасакиевом многообразии изучаются в работах [84], [75], [93], [94], [42], [34]. Свойства Эйнштейновых, ^-эйнштейновых, рекуррентных, Риччи-рекуррентных, полусимметричных, а также геометрию тензоров кривизны (конформной, проективной, квазиконформной и др.) транссасакиевых многообразий изучались в работах [83], [48], [33], [30], [50], [28], [32], [76], [31], [90], [44], [91],[32],[64], [59], [95], [69]. Конформно плоские, Ф-конформно плоские, проективно, конгармонически плоские транссасакиевы многообразия изучаются в работах [92], [77].

Особо исследовались 3-х мерные транссасакиевые многообразия. В этом направлении следует отметить работы [97], [49], [47], [98], [70], [58], [46].

Таким образом, приведенный обзор исследований показывает важность этих вопросов для современной геометрии, чем и определяется выбор объекта и цели исследования.

Объект исследования - транссасакиевы многообразия.

Целями диссертационного исследования являются:

1) Вывод полной группы структурных уравнении Т8-многообразий;

2) Нахождение дополнительных свойств симметрии тензора римановой кривизны Т8-многообразий и выяснение их геометрического смысла;

3) Изучение геометрии ТЭ-многообразий постоянно кривизны.

Для достижения поставленных целей автором были успешно решены следующие задачи:

1. Получена полная группа структурных уравнений транссасакиевых структур содержащая всю информацию о локальном строении таких структур.

2. Вычислены компоненты тензора римановой кривизны, тензора конформной кривизны, тензора Риччи, скалярная кривизна, ТБ-мнгообразий на пространстве присоединенной С-структуры.

3. Получено исчерпывающее описание ТБ-мнгообразий постоянной кривизны .

4. Получены дополнительные тождества симметрии ,которым удовлетворяет тензор римановой кривизны транссасакиевых многообразий, и на их основе выделить подклассы трансасакиевых многообразий.

5. Изучено локальное строение выделенных классов транссасакиевых многообразий.

Новизна результатов. Основные результаты данной диссертационной работы являются новыми. Эти результаты решают поставленные в исследовании основные задачи, а именно:

1. На пространстве присоединенной С-структур получена полная группа структурных уравнений транссасакиевых структур и изучено строение компонент тензора римановой кривизны, Риччи и скалярной кривизны.

2. Установлена связь между квазисасакиевыми и транссасакиевыми структурами.

3. Приведены частные случаи транссасакиевых структур.

4. Рассмотрены транссасакиевы многообразия постоянной кривизны.

5. Получены дополнительные тождества, которым удовлетворяет тензор римановой кривизны транссасакиевых многообразий, получены условия, при которых тензор римановой кривизны транссасакиевых многообразий удовлетворяет контактным аналогам тождеств Грея.

6. Изучено локальное строение транссасакиевых многообразий классов

Методы исследования.

Результаты диссертационного исследования получены, главным образом, методом присоединенных С-структур. Суть метода заключается в том, что изучение геометрии гладкого многообразия сводится к изучению геометрии главного расслоения реперов над этим многообразием. Эта геометрия определяется системой дифференциальных форм, определенных внутренним образом как на пространстве самого расслоения, так и на пространстве его подрасслоения. Такое подрасслоение со структурной группой Ли в называется (присоединенной) в-структурой. Сам метод получил название метода присоединенных О-структур и является обобщением и уточнением хорошо известного метода подвижного репера Эли Картана. Наряду с этим при изучении отдельных вопросов использовался аппарат классического тензорного анализа и метод инвариантного исчисления Кошуля.

Теоретическое и прикладное значение работы.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Все полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения транссасакиевых структур, в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и в направлении ее естественных контактов с математической физикой. Кроме того, данная работа может быть использована при чтении спецкурсов по близкой тематике, для написания дипломных и курсовых работ, для решения дифференциальных уравнений.

Апробация работы.

Основные результаты настоящего исследования докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре по дифференциальной геометрии математического факультета МГТГУ (руководитель профессор В.Ф. Кириченко); на научно-исследовательском семинаре математического факультета Тверской Государственный Университет (руководитель

профессор А.М.Шелехов); на научно-исследовательском семинаре механика-математического факультета Казанского федерального университета (руководитель В.В.Шурыгин) ; на конференцию: «XII Всероссийское совещание по проблемам управления» " Геометрические методы"( г. Москва 16-19 июня 2014), на конференцию: «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения IV», Ростов-на-Дону, 27 апреля - 1 мая, 2014 ; на международной молодежной конференции «Геометрия и управление» г. Москва, Россия, 14-18 апреля 2014г. ; на международной конференции «Геометрия и топология» в честь 60-летия Олега Рустамовича Мусина, г.Москва, Россия 10-11 февраля 2014г. ; на международной конференции «Геометрический анализ и его приложения», г. Волгоград, Россия, 26-30 мая 2014г. ; на заседаниях кафедры геометрии, математического факультета МПГУ.

Публикации.

Основное содержание диссертации отражено в публикациях [104] -

[109].

Структура диссертации.

Основное содержание диссертации изложено на 127 страницах. Диссертация состоит из введения, четырех глав, состоящих из 12 параграфов, и списка литературы содержащего 103 наименования работ российских и зарубежных авторов.

Краткое содержание основного текста диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы, представляется исторический обзор по развитию тематики, формулируются основные цели и задачи диссертационного исследования, излагаются основные результаты, полученные в работе.

В главе 1 «Предварительные сведения» даны сведения, носящие в основном реферативный характер. Материал §1 и §2 взят из монографии [7]. С материалом параграфа 3 можно ознакомиться в главе 2 диссертации Родиной Е.В. [23].

Глава 2 «Транссасакиевы структуры» состоит из трех параграфов. В § 1 «Определение и структурные уравнения транссасакиевых многообразий» приводится определение транссасакиевой структуры, подсчитаны компоненты тензора VO на пространстве присоединенной G-структуры , доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1.2. Пусть S = (J;,r\, Ф,д = (у)) - АС-структура (почти контактная метрическая структура). Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1)5 = = (у)) интегрируемая Г^-структура;

(2) S = (£,, г), Ф, g = (у)) - Г^-структура, имеющая замкнутую контактную форму;

(3) S = (^,г],Ф,д = (у)) - нормальная US'-структура.

Теорема 2.1.3. ^-структура является квазисасакиевой тогда и только тогда, когда = /?0 = 0, т.е. 8г] = 0.

Теорема 2.1.4. rS-структура является:

сасакиевой <=> = — /?0 = л/—2;

косимплектической <=> = /?о — 0;

Кенмоцу <^=> (3° = /?0 = -л/2.

Найдено дифференциальное продолжение второй группы структурных уравнений, получена полная группа структурных уравнений. В §2 «Свойства транссасакиевых многообразий» рассматриваются конформные преобразования транссасакиевых многообразий, получены некоторые аналитические соотношения для транссасакиевых многообразий, доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.2.2. Транссасакиева структура на многообразии М в некоторой окрестности неособой точки является /-сасакиевой тогда и только тогда, когда вектор Ли линейного расширения принадлежит каноническому распределению А. При этом (/3,v) = —2/ = const, где ¡3 - вектор Ли многообразия М х R,v- направляющий вектор прямой R.

Теорема 2.2.3. ^С-многообразие является/-сасакиевым многообразием / = const тогда и только тогда, когда оно гомотетично сасакиеву многообразию.

Теорема 2.2.5. Класс транссасакиевых многообразий с замкнутой контактной формой совпадает с классом нормальных локально конформно почти косимплектических многообразий.

Теорема 2.2.6. На Г5-многообразии справедливы следующие формулы:

1) Vf(<D)f = 0;

2) \7^(Ф)Ф2Х = 0;

3) Уф2^(Ф)Ф2Г - Уфх(Ф)ФУ = 0;

4) УХ(Ф)Y - rimVxWf ~ ?Ф*(Ф)ФY = 0;

5) У*(Ф)ФГ - Х7фх(Ф)Ф2У = 0;

6) чф2х(фк = ~р°фх;

8) = 0;

9) ФУХ$ = ;

10) Ф о vf = Vf о Ф; VX, Y Е Х(М).

Теорема 2.2.7. ^-многообразие М с киллинговым характеристическим вектором является либо косимплектическим (если = /30 = 0), либо гомотетично многообразию Сасаки.

Теорема 2.2.8. /^-многообразие М, для которого выполнено условие div% = 0 , гомотетично многообразию Сасаки.

В §3 «Вычисление некоторых классических тензоров транссасакиевой структуры» подсчитаны компоненты тензора римановой кривизны и тензора Риччи, а также вычислена скалярная кривизна транссасакиевой структуры на пространстве присоединенной G-структуры.

Глава 3 «Свойства изотропности транссасакиевых многообразий» содержит 3 параграфа. В § 1 «Транссасакиевые многообразия постоянной

кривизны» рассматриваются транссасакиевы многообразия постоянной кривизны и доказана следующая теорема.

Теорема 3.1.1. Пусть ^-многообразие М2п+1 является многообразием постоянной кривизны к , тогда к = О тогда и только тогда, когда ß0 = 0, т.е. Л^-многообразие М2п+1 плоское косимплектическое многообразие.

В §2 «Точечное постоянство Ф-голоморфной секционной кривизны транссасакиевых многообразий» исследуются транссасакиевы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны и доказана следующая

Теорема 3.2.1. ^-многообразие М является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры тензор А^ имеет вид

< = = "(¡ß°ßo + с) Stf.

В §3 «Эйнштейновость и квазиэйнштейновость транссасакиевых многообразий» рассматриваются транссасакиевы многообразия Эйнштейна и г|-эйнштейновые транссасакиевы многообразия, доказаны теоремы:

Теорема 3.3.1. ^С-многообразие является ^-эйнштейновым тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры имеют место следующие равенства:

1) S00 = а + Ъ\ 2) 50а = 0; 3) 5аЬ = 0; 4) Saß = aSba.

Теорема 3.3.2. Для ^/-Эйнштейнова ^-многообразия имеем:

а = + + (ß°)2 ~ ^ß°ßo-,

1 . 2n — 1 п + 1 пч, 1 + 71 п

Ь = --A%+—j=-ß00--—(ß°y+—ß°ßQ.

Теорема 3.3.3. ^4С-многообразие является многообразием Эйнштейна тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры выполнены следующие равенства:

1) 500 = г; 2) S0a = 0; 3) Sab = 0; 4) Sah = eö*.

Теорема 3.3.4. Для транссасакиева многообразия Эйнштейна имеем:

' А& = (п*л/2 - А) {Г- ± С/?0)2} + ^ (/?°)2 +

Глава 4 «Тождества кривизны и подклассы транссасакиевых многообразий» состоит из трех параграфов. В §1 «Тождества кривизны транссасакиевых многообразий» рассмотрены аналоги тождеств Грея и доказана основная

Теорема 4.1.3. ^-многообразия являются ^(^-многообразиями классов СЕ. 2 и СЯ3. Г^-многообразие размерности больше 3 является АС-многообразием класса тогда и только тогда, когда оно является

косимплектическим многообразием.

Следствие. Г5-многообразие класса СЯЪ размерности больше 3, локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую.

В параграфе 2 «Дополнительные тождества кривизны транссасакиевых многообразий» получены 4 дополнительные тождества кривизны и доказана Теорема 4.2.1.Тензор Я римановой кривизны транссасакиевых многообразий обладает следующими свойствами:

2.^(Ф2Аг,Ф2Г)^ = К(ФХ,Ф = О

3.К(%,Ф2Х)Ф2У - И&ФХ^ФУ = о

4.я^,ф2х)ф2¥ = и^,фх)фу =

5. Д(Ф2Х, Ф2У)Ф22 - К{Ф2Х,ФУ)Ф! - я(ФХ,Ф2у)Фг - к(Фх,ФУ)Ф2г

= о

6. R(<S>2X, Ф2у)Ф2г - Я(ФХ, Ф2у)Фг

1

= 4a(z,x, Y) + -ß°(ß° - ß0)fö2Z^X, ФУ) - Фг£1(Х, У)} 1

--ß°(ß° + ßo)fä2X^Z, ФУ) - У)}

4

7. я (Ф2Х, Ф2у)Ф2г - Я(ФХ, ФУ)Ф2г 1

= --^°)2{ф2х(ФУ,Фг) + ФХ(г,ФY) - Ф2У(фх,Ф2) - oy(z, ФХ)}, УХ, y,z £ Х(М)

В §3 «Классы транссасакиевых многообразий» рассмотрены некоторые классы транссасакиевых многообразий и дается их локальная характеризация.

Определение 4.3.1. Назовем Г£-многообразие многообразием класса /?15если его тензор кривизны удовлетворяет тождеству Ф2Х)% = О, VX G Х(М).

Теорема 4.3.1. Г^-многообразие является многообразием класса

тогда и только тогда, когда ß00 = -¡=(ß0)2.

v2

Теорема 4.3.2. Г^-многообразие класса R1 является либо косимплектическим, либо нормальным локально конформным почти косимплектическому многообразию.

Определение 4.3.2. Назовем ^-многообразие многообразием класса R2 ,если его тензор кривизны удовлетворяет тождеству Ф2Х)Ф2У = 0,VX,y е Х(М). Теорема 4.3.3. ^-многообразие является многообразием класса R2 тогда и только тогда, когда ß00 = -¡= (ß0)2.

v2

Определение 4.3.3. Назовем ^-многообразие многообразием класса R3 если его тензор кривизны удовлетворяет тождеству R(Ф2X,Ф2Y)Ф2Z —

к(фх,ф2у)фг = о,vx,y,z е х(м).

Теорема 4.3.4. TlS-многообразие является многообразием класса R3 тогда и только тогда, когда = - +^8£bÖ?)ß°ß0.

В случае когда А^ = 0 многообразие является косимплектическим.

Определение 4.3.4. Назовем Г^-многообразие многообразием класса Я4 если его тензор кривизны удовлетворяет тождеству Я(Ф2Х, Ф2У)Ф2И — Я(ФХ,Ф2У)Ф1 = О, \/Х, У, 1 £ Х(М).

Теорема 4.3.5. Г^-многообразие размерности свыше 3 является многообразием класса /?4 тогда и только тогда, когда оно является косимплектическим многообразием.

Теорема 4.3.6. Пересечение классов II1,является классом косимплектических многообразий.

Глава 1. Предварительные сведения

В данной главе содержатся предварительные сведения, включающие в себя основные определения и необходимые сведения о почти эрмитовых и почти контактных метрических многообразиях. Эти сведения являются общеизвестными. Более подробно с ними можно ознакомиться в монографии [7]. В дальнейшем изложении мы придерживаемся обозначений и терминологии, принятых в этой монографии.

§1. Почти контактные метрические структуры

Пусть М - гладкое многообразие размерности 2п + 1, Х(М) -модуль гладких векторных полей на многообразии М, б/ - оператор внешнего дифференцирования, V - риманова связность метрики g. В дальнейшем все многообразия, тензорные поля и т.п. объекты предполагаются гладкими класса

Определение 1.1.1. [7]. Почти контактной структурой на многообразии М называется тройка (77,Ф) тензорных полей на этом многообразии, где г} - дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры, £ — векторное поле, называемое характеристическим, Ф - эндоморфизм модуля Х(М), называемый структурным эндоморфизмом. При этом

1) Т](0 = 1; 2) г] о ф = 0; 3) Ф(0 = 0; 4) Ф2 = -16. + г) ® £. (1.1)

Если, кроме того, на М фиксирована риманова структура д = (■,•), такая, что

(ФХ,Ф¥) = (Х,У)-г)№г1(У), Х,УеХ(М), (1.2)

четверка (г/, %, Ф, д) называется почти контактной метрической (короче, АС-) структурой. Многообразие, на котором фиксирована почти контактная (метрическая) структура, называется почти контактным метрическим (короче, АС-) многообразием.

Соотношения (1.1) не являются независимыми. Например, (1.1:2) и (1.1:3) следуют из (1.1:1) и (1.1:4).

Кососимметричный тензор У) = (X, ФУ),Х, У £ Х(М) называется фундаментальной формой АС-структуры [7].

Пусть (Ф, г),д) - почти контактная метрическая структура на многообразии М2п+1. В модуле Х(М) внутренним образом определены два взаимно дополнительных проектора т = г) % и / = ¿с? — т = —Ф2 [20]; таким образом, Х(М) = £ © Ж, где £ = /т(Ф) = кег{г]) - так называемое контактное распределение, сИт£ = 2п, Ж = 1т(т) = /сег(Ф) = -

линейная оболочка структурного вектора (причем I и т являются проекторами на подмодули Л, Ж соответственно). Очевидно, распределения £ и Ж инвариантны относительно Ф и взаимно ортогональны. Очевидно также, что Ф2 = -1(1,{ФХ,ФУ) = {Х,У),Х,У £ £, где Ф = Ф|£. Следовательно, {Фр,др\£} ~ эрмитова структура на пространстве £ (рбМ2п+1).

Комплексификация Х(М)С модуля Х(М) распадается в прямую сумму Х(М)С = Я«^ 0 йф^ 0 собственных подпространств структурного

эндоморфизма Ф, отвечающих собственным значениям 7=1,->/=1 и 0 соответственно. При этом проекторами на слагаемые этой прямой суммы

будут, соответственно, эндоморфизмы л = а ° I = — ^(Ф2 + V—1Ф), п = а о I = ^(-Ф2 + V—1Ф), т = 1(1 + Ф2, где о - ^ (¿<2 - л/-1Ф), а = ^ (¿й + лР1Ф) [7, стр. 448, Следствие 2].

л/—Т — — л/—1

Отображения ор \ £р Оф и <тр: £р являются изоморфизмом

и антиизоморфизмом, соответственно, эрмитовых пространств. Поэтому к каждой точке р £ М2п+1 можно присоединить семейство реперов пространства Гр(М)с вида (р,^,^, ...,£й), где £а = л/2сгр(еа),ей =

у/2ар(еа),£0 = где {еа} - ортонормированный базис эрмитова пространства £р.Такой репер называется А-репером [8]. Легко видеть, что матрицы компонент тензоров Фр и др в А-репере имеют вид соответственно:

/0 0 О \ /1 0 0\

(ф])= 0 лРТ 1п о иди)= О О /п , (1.3)

\0 0 -лРТ/п/ \0 /п О/

где /п - единичная матрица порядка п. Хорошо известно [8, 9], что совокупность таких реперов определяет С-структуру на М со структурной

/1 0 0\

группой {1} х и(п), представленной матрицами вида [О А 0 , где

\0 0 А/

А £ и(п)). Эта С-структура называется присоединенной [8, 9].

Еще раз подчеркнем, что пространство присоединенной С-структуры состоит из комплексных реперов, т.е. реперов комплексификации соответствующих касательных пространств. Поэтому, даже имея дело с вещественными тензорами, мы, говоря об их компонентах на пространстве присоединенной С-структуры, подразумеваем компоненты комплексных расширений этих тензоров. В свою очередь, комплексный тензор является расширением вещественного тензора тогда и только тогда, когда он инвариантен относительно оператора комплексного сопряжения. Такой тензор называется вещественным [20]. В частности, сумма чистого комплексного тензора и комплексно сопряженного ему тензора является вещественным тензором.

Пусть В(М2п+1) - главное расслоение реперов над у4С-многообразием (М2п+1,г],^,Ф,д); V - риманова связность метрики д. Полная группа структурных уравнений римановой связности на В{М2п+имеет вид [7, стр. 228-229 формулы (3.10) - (3.11), стр. 236 формула (5.6)]:

^ = -в} А (1вI = -в1к А вf + \Щшшк А а)1, (1.4)

где - компоненты формы смещения; - компоненты формы

римановой связности V; (Я]/^} - компоненты тензора кривизны (тензора Римана-Кристоффеля). На протяжении всей работы будем подразумевать, что индексы ¿,у, к, I,... пробегают значения от 0 до 2п, индексы а, Ь, с, 6., е, /,д,1г- значения от 1 до /?, и положим а = а + п, а = а, 0 = 0. В

силу вещественности форм смещения, связности и тензора кривизны имеют место соотношения:

ша = ^а = „а. да = да. да = да. да = да. ^ = (1 5)

Поскольку Фи д - тензоры типов (1,1) и (2,0) соответственно на М2п+1, их компоненты, как функции на пространстве главного расслоения реперов, удовлетворяют уравнениям:

1) аФ) - + ф*е1к = ф^-, 2) ^ - 9к}в? - д^к = о. (1.6)

где (Ф)^} - компоненты тензора \7Ф, рассматриваемые как функции на Я(М2п+1). С учетом (1.3) соотношения (1.6) на пространстве присоединенной О-структуры перепишутся в форме [7, стр. 449]: 1) Фьл = 0 2) Ф%к = 0 3) Ф00>к = 0

4) вЦ = 0 д\ + о! = о лРТ

3 ; 1 6) вБ =

пл аа _ V 8) в- = УГ:1Фа0,ка>* 9) в" = -лПФ 1,0)* ') ---^—фь,кш

10) в°а = -лРТф 1к0)к И) в°й = уГТф^ (1.7)

Кроме того, в силу вещественности тензора \7Ф имеем УФ^ /с = VФj^,

где t I - оператор комплексного сопряжения.

С учетом соотношений (1.7) первая группа структурных уравнений

римановой связности на пространстве присоединенной С-структуры примет

вид [7, стр. 449-450]:

1) аша = -9% А (х)ь + СаЪсшъ А й)с + СаЪсшс Ашь + Саьсо А шь -I- СаЬа)Ашь

2) йо)а = ва А а)ь + СаЬсО)Ь А(л)с + СаЬсО)с А шь + СаЬ0) А а)ь (1-8) + СаЬ0) А соь

3) (1ш = ОаЬ0)а Асоь + ОаЬй)а Аа)ь+ 0%а)а Ао)ь + Оаш А 0)а +

Оасо А шп

где (úa = <Da, а) = со0 = тг*(т]); л - естественная проекция пространства присоединенной G-структуры на многообразие М\

Саьс = с«ьс = ^ = Cabc =

с\ = >Р1Ф0%; Саь = -7=ТФ£6; СаЬ = (ф0а6 -

Но); с«ь = -Vzl(®o,b - j<fb,o); О-" = V^ofo; Dab =

-V=T<t>pab]; D" = -лГТф50; Da = лР1Ф°0; D'¿ = -лРТ(Ф?ь + Ф°ь4) =

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аила Демедерос, 2014 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Арсеньева O.E., Кириченко В.Ф. Автодуальная геометрия обобщенных эрмитовых поверхностей. II Мат. сб., 198 (1998), №1, 21-44.

2. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. Т. 1,2, Москва, Мир. 1990.

3. Волкова Е.С. Геометрия нормальных многообразий киллингова типа. -Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, М., МПГУ, 1997, 121 с.

4. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г. и др. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. 1979, т.9, с.149-172.

5. Кириченко В.Ф. Теория групп Ли. - Тверь, 1995, с. 126.

6. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. М., МПГУ, 2003, 495 с.

7. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Издание второе, дополненное. Одесса: «Печатный Дом», 2013,458 с.

8. Кириченко В.Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий. Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. Т.18. М.: ВИНИТИ, 1986. С. 25-71.

9. Кириченко В.Ф. Аксиома Ф-голоморфных плоскостей в контактной метрической геометрии./У Известия АН СССР. Сер. матем. 1984. Т. 48, №4. С. 711-739.

10. Кириченко В.Ф. Дифференциальная геометрия K-пространств, Итоги науки и техники. Проблемы геометрии ВИНИТИ АН СССР, 8 (1977),

139-161.

11. Кириченко В.Ф. K-пространства максимального ранга. Мат. заметки, 22, 1977,465-476.

12. Кириченко В.Ф. K-пространства постоянного типа. Сиб. матем. ж., 1976, т.17, №3,282-289.

13. Кириченко В.Ф. О геометрии подмногообразий Лагранжа. Мат. заметки, 69, №1,2001, 36-51.

14. Кириченко В.Ф. Некоторые свойства тензоров на К-пространствах. Вестник Московского университета, 1975, №6, 78-85.

15. Кириченко В.Ф. Устойчивость почти эрмитовых структур, индуцированных 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли. Украинский геометрический сборник, 1982, 60-69.

16. Кириченко В.Ф. K-пространства постоянной голоморфной секционной кривизны. Мат. заметки, 1976, т. 19, №15, 803-814.

17. Кириченко В.Ф., Дондукова H.H. Контактно геодезические преобразование почти контактных метрических структур. Мат. Заметки, 2006, т.80, вып.2, 209-219.

18. Кириченко В.Ф., Родина Е.В. О геометрии транссасакиевых многообразий. Фундаментальная и прикладная математика, 1997, т. 3, №3, с.837-846.

19. В.Ф. Кириченко, А.Р. Рустанов. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий. Математический сборник, 2002, т. 193, №8, стр. 70-100.

20. В.Ф. Кириченко, И.В. Ускорев. Инварианты конформного преобразования почти контактных метрических структур. Математические заметки, том 84, выпуск 6, 2008, с.838-850.

21. Кобаяши LLL, Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. T.l, М.: Наука, 1981, 344 с; Т.2, М.: Наука, 1981, 416 с.

22. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономии. М., ИЛ, 1960.

23. Родина Е.В. Линейные расширения почти контактных метрических многообразий. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, М., МПГУ, 1997.

24. Рустанов А.Р. Геометрия квазисасакиевых многообразий. - Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, М., МПГУ, 1994, 102 с.

25. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. Москва, Мир, 1970.

26. Харитонова С.В.. О геометрии локально конформно почти косимплектических многообразий. Математические заметки, том 86, выпуск 1, июль 2009, с. 126-138.

27. Sarkar Avijit, Sen Matilal. On invariant submanifolds of trans-Sasakian manifolds. Proceedings of the Estonian Academy of Sciences, v.61, №1, 2012, p.29(9).

28. Bagewadi Channabasappa, Basavarajappa N.S., Prakasha D.G., and Venkatesha. Some results on K-contact and Trans-Sasakian Manifolds. European journal of pure and applied mathematics, Vol. 1, No. 2, 2008, 21-31.

29. C.S. Bagewadi, Gurupadavva Ingalahalli. Certain Results on Ricci Solitons in Trans-Sasakian Manifolds. Hindawi Publishing Corporation Journal of Mathematics, volume 2013, p. 1-10. http://dx.d0i.0rg/lQ.l 155/2013/787408.

30. Bagewadi C.S., E. Kumar Girish. Note on trans-Sasakian manifolds // Tensor. N.S. V.65. 2004. P.80-88.

31. C.S. Bagewadi, E. Girish Kumar, Venkatesha. On irrotational D-conformal curvature tensor. Novi Sad J. Math., Vol. 35, № 2, 2005, 85-92.

32. C.S. Bagewadi, D.G. Prakasha and Venkatesha. Conservative projective curvature tensor on trans-sasakian manifold with respect to semi-symmetric metric connection. Analele St. ale Univ. Ovidius Constanta, Seria Matematica, Vol. 15(2), 2007, 5-18.

33. C.S. Bagewadi and Venkatesha. Some Curvature Tensors on a Trans-Sasakian Manifold. Turk. J. Math., 31 (2007), 111 - 121.

34. C.S.Bagewadi and Venkatesha. Torseforming vector field in a 3-dimensional trans-Sasakian manifold. Differential Geometry - Dynamical Systems, Vol.8, 2006, pp. 23-28.

35. Barros M., Ramires A. Decomposition of quasi-Kàhler manifolds which satisfy the first curvature condition. Demonstr. Math., 11, №3 (1978), 685-694.

36. Arindam Bhattacharyya, Bandana Das. Contact CR-submanifolds of an indefinite trans-sasakian manifold. Int. J. Contemp. Math. Sciences, Vol. 6, 2011, №26, 1271 - 1282.

37. D.E. Blair. Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds. Progr. Math., 203, Birkhâuser Boston inc., Boston, MA, 2002.

38. Blair D.E., Oubina J.A. Conformai and related changes of metric on the product of two almost contact metric manifolds, Publ. Mathématiques, 1990, 34, 199-207.

39. C. Câlin. Normal contact CR-submanifolds of trans-sasakian manifold. Bulletinul Institutului Politehnic Din Ia§i, 42, №1-2, 1996, 9-15.

40. Chaki M.C., Maity R.K. On quasi Einstein manifolds, Publ. Math. Debrecen, 57 (2000), 297-306.

41. Chern C.C. Pseudo-groupes continus infinis. Colloque de Géométrie Différentielle vol. Strasbourg, 1953, p.l 19-136.

42. D. Chinea, C. Gonzales. Curvature relations in trans-Sasakian manifolds. (Spanish), in «Proceedings of the XII'^ Portuguese-Spanish Conference on Mathematics, Vol. II, (Portuguese), Braga, 1987», Univ. Minho, Braga, (1987), 564-571.

43. Chinea D., Marrero J.C. Classification of almost contact metric structures. Rev. roum de math, pures et appl., 37, №3 (1992), 199-211.

44. Dakshayani A. Patil, C.S. Bagewadi. On weakly concircular symmetries of three-dimensional trans-sasakian manifolds. International Journal of Pure and Applied Mathematics, Volume 86, №5, 2013, 799-810.

45. Avik De. Totally geodesic submanifolds of a trans-Sasakian manifold. Proceedings of the Estonian Academy of Sciences, 2013, 62, 4, 249-257.

46. Uday Chand De, Krishnendu De. On a class of three-dimensional trans-sasakian manifolds. Commun. Korean Math. Soc. 27 (2012), № 4, pp. 795-808. http://dx doi.org/10.4134/CKMS.2012.27.4.795.

47. De U.C., Sarkar A. On three-dimensional trans-Sasakian manifolds. Extracta Math. 23 (2008), № 3, 265-277.

48. D. Debnath. On a type of concircular (p-recurrent trans-sasakian manifolds. Tamsui Oxford Journal of Information and Mathematical Sciences 28(4) (2012) 341-348.

49. Sharief Deshmukh, Mukut Mani Tripathi. A note on trans-sasakian manifolds. Math. Slovaca 63 (2013), № 6, 1361-1370.

50. Falleh R. Al-Solamy, Jeong-Sik Kim, M.M. Tripathi. On rj-Einstein Trans-Sasakian Manifolds. Analele Stiintifice Ale Universitatii «AL.I. CUZA» Din Iasi (S.N.), Matematica, Tomul LVII, 2011, f.2, 417-440.

51. Gray A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds. Tohoku Math. J., 1976, v.28, p. 601-612.

52. Gray A. Nearly Kdhler manifolds. J. Diff. Geom., № 3 (1970), v.4, 208-309.

53. Gray A. The structure of nearly Kdhler manifolds. Ann. Math., 223, (1976), 233-248.

54. Gray A., Hervella L.M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants. Ann. Math. Pure and Appl., 1980, v. 123, №3, 35-58.

55. Gray A., Vanheke L. Almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature. Cas. pestov. mat., 104, №2 (1979), 170-179.

56. Gray J.W. Some global properties of contact structures. Ann. Math., vol. 69, 3, 1959, p. 421-450.

57. Goldberg S. Totally geodesic hypersurfaces of kaehler manifolds. Pacific J. Math., 1968, v.27, №2, p. 275-281.

58. Kalyan Haider, Dipankar Debnath, Arindam Bhattacharyya. Semi-symmetric metric connection on a 3-dimensional trans-sasakian manifold. International journal of mathematical combinatorics, volume 3, 2013, 16-21.

59. Shyamal Kumar Hui. On weak concircular symmetries of trans-Sasakian manifolds. CUBO, A Mathematical Journal, vol.13, № 03, 2011, 141-152.

60. Isihara I. Anti-invariant submanifolds of a Sasakian space form. Kodai Math. J., 1979, v.2, p. 171-182.

61. M.A. Khan and K.S. Chahal. Warped product pseudo-slant submanifold of trans-sasakian manifolds. Thai Journal of Mathematics, Volume 8 (2010), Number 2, 263-273. www.math.science.cmu.ac.th/thaiiournal.

62. Viqar Azam Khan, Meraj Ali Khan. Semi-slant submanifolds of trans-sasakian manifolds. Sarajevo journal of mathematics, vol. 2 (14) (2006), 83-93.

63. K.A. Khan, V.A. Khan and Sirajuddin. Warped product contact CR-submanifolds of trans-sasakian manifolds. Filomat, 21:2 (2007), 55-62.

64. Jeong-Sik Kim, Rajendra Prasad, Mukut Mani Tripathi. On generalized ricci-recurrent trans-sasakian manifolds. J. Korean Math. Soc. 39 (2002), № 6, pp. 953-961.

65. Kirichenko V.F. Generalized quasi-Kaehlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry. I. Geometriae Dedicate, 1994, v.51, 75-104.

66. Kirichenko V.F. Generalized quasi-Kaehlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry. II. Geometriae Dedicate, 1994, v.52, 53-85.

67. J.C. Marrero. The local structure of trans-Sasakian manifolds. Ann. Mat. pura appl., № 4, 162 (1992), 77-86.

68. Marian-loan Munteanu. A note on doubly warped product contact CR-submanifolds in trans-Sasakian manifolds. arXiv:math/0604008 [math.DG] 25, Man 2007.

69. H.G. Nagaraja. 0-recurrent trans-sasakian manifolds. MaTerviaraHKH bcchhk, 63,2 (2011), 79-86.

70. H.G. Nagaraja, C.R. Premalatha. Ricci solitons in f-Kenmotsu manifolds and 3-dimensional trans-sasakian manifolds. Progress in Applied Mathematics, vol. 3, № 2, 2012, pp. 1-6.

71. Nakayama S. On a classification of an almost contact metric structures. Tensor, 1968, v. 9,№1, 1-7.

72. Naveira A., Hervella L.M. Quasi-Kahler manifolds. Proc. Amer. Math. Soc. Univ. 49, №2 (1975), 327-333.

73. Okumura M. Some remarks on space with a certain contact structure, Tohoku Math. J., 14 (1962), 135-145.

74. Oubina J. A. New classes of almost contact metric structures. Publ. Mat., 1985, v. 32, №3-4, p. 187-193.

75. Patra C., A. Bhattacharyya. Deformation of a Trans-Sasakian Manifold. Int. J. Contemp. Math. Sciences, Vol. 6, 2011, № 37, 1845 - 1853.

76. D.G. Prakasha, C.S. Bagewadi and Venkatesha. Conformally and quasi-conformally conservative curvature tensors on a trans-Sasakian manifold with respect to semi-symmetric metric connections. Differential Geometry - Dynamical Systems, Vol.10, 2008, pp. 263-274.

77. Rajendra Prasad, Vibha Srivastava. Some results on trans-sasakian manifolds. MaTeMaTHHKH BCCHHK, 65, 3 (2013), 346-352.

78. Rizza G.B. Varieta parakàhleriane. Ann. Math. Pure and Appl., 1974, v.98, №4,47-61.

79. Sasaki S. On differentiate manifolds with certain structures which are closely related with almost contact structures. Tohoku Math. J., vol, 12, 3, 1960, p. 459—476.

80. Sasaki S., Hatakeyama J. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure. II, Tohoku Math. J., 1961, 13, №2, p. 281-294.

81. Sawaki S., Sekigawa K. Almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature. J. Diff. Geom., 1974, v.9, 123-134.

82. A.K. Sengupta, U.C. De. Generalised CR-submamifolds of a trans-sasakian manifold. Indian J. pure appl. Math., 32(4), 2011, 573-580.

83. R.J. Shah. On trans-sasakian manifolds. Kathmandu university journal of science, engineering and technology vol. 8, no. 1, 2012, p. 81-87.

84. Shaikh A.A., K.K. Baishya, S. Eyasmin, D-homothetic deformations on trans-Sasakian manifold, Demonstratio Math. 41 (2008), 171-188.

85. M. Hasan Shahid. CR-submanifolds of a trans-Sasakian manifold. Indian J. Pure and Appl. Math. 22(1991). 1007-1012.

86. M. Hasan Shahid. CR-submanifolds of a trans-Sasakian manifold. Indian J. Pure and Applied Maths, vol. 25, № 3 (1994), 299-307.

87. M. Hasan Shahid. Some results on anti-invariant submanifolds of a trans-sasakian manifold. Bull. Malays. Math. Soi. Soc. (2) 27 (2004), 117-127.

88. M.H. Shahid, F.R. Al-Solamy, Jae-Bok Jun, M. Ahmad. Submersion of semiinvariant submanifolds of trans-sasakian manifold. Bull. Malays. Math. Sci. Soc. (2), 36 (2), 2013,63-71.

89. M. Hasan Shahid, M. Shoeb, A. Sharfuddin. Contact CR-product of a trans-sasakian manifold. Note Di Matematica, 14, 1(1994), 1-10.

90. Absos Ali Shaikh and Shyamal Kumar Hui. On weak symmetries of trans-Sasakian manifolds. Proceedings of the Estonian Academy of Sciences, 2009, 58, 4,213-223.

91. Absos Ali Shaikh, Shyamal Kumar Hui. On locally 0-symmetric fi-Kenmotsu manifolds. Extracta mathematicae, Vol. 24, № 3 (2009), 301 - 316.

92. A.A. Shaikh, Y. Matsuyama. Conformally flat trans-Sasakian manifolds. SUT J. Math. 43 (2003), 247-255.

93. Somashekhara G., H.G. Nagaraja. On K-torse-forming vector field in a trans-Sasakian generalized Sasakian space-form. International Journal of Mathematical Archive 3(7), 2012, 2583-2588.

94. Srivastava S.K. Almost contact curves in trans-sasakian 3-manifolds. arXiv:1401.6429vl [math.DG] 10 Dec 2013.

95. M. Tarafdar, A. Bhattacharyya, and D. Debnath. A type of pseudo projective <p-recurrent trans-Sasakian manifold. Analele ÇtinÇfice Ale Universitatii, Al.I.Cuza, Ia§i, Tomul LII, S.I, Mathematica, 52 (2006), 417-422.

96. Tashiro J. On contact structures of hyper surfaces in almost complex manifolds, I. Tohoku Math. J., 1963, 15, №1, p. 62-78; II. Tohoku Math. J., 1963, 15, №2, p. 167-175.

97. M.M. Tnpathi and U.C. De. Ricci tensor in 3-dimensional trans-Sasakian manifolds. Kyungpook. Math J., 43 (2003), 247-255.

98. Mine Turana, Uday Chand Deb, Ahmet Yildiza. Ricci solitons and gradient Ricci solitons in three-dimensional trans-Sasakian manifolds. Filomat 26:2 (2012), 363-370. http://www.pmf.ni.ac.rs/filornat.

99. Turgut A.V., Sari R. Invariant submaifolds of trans-Sasakian manifolds. Diff. Geom.-Dynamical Systems, vol.12, 2010, pp. 277-288.

100. Vanheke L. Some almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature. J. Diff. Geom., 1977, v.12, №4, 461-467.

101. Vanheke L. Almost Hermitian manifolds with J-invariant Riemann curvature tensor. Rend. Semin. Mat. Univ. e politecn. Torino 34 (1975-76), 487-498.

102. Watson В., Vanheke L. Kx-curvatures and almost Hermitian submersions. Rend, semin. mat. Univ. e politec. Torino 36 (1977-78), 205-224.

103. Sunil Yadav, Dayalal Suthar. Semi-invariant f1 -Submanifolds of trans-Sasakian Manifolds. Caspian Journal of Applied Sciences Research, 2(2), 2013, pp. 23-28.

104. Аила Демедерос. О геометрии транссасакиевых многообразий. // Преподаватель XXI век, 2013, №3, стр. 212 - 223.

105. Аила Демедерос. Тождества кривизны транссасакиевых многообразий. // Преподаватель XXI век, 2013, №4, стр. 232 - 239.

106. Аила Демедерос. Тождества кривизны транссасакиевых многообразий. // Международная научно-практическая конференция: Современные проблемы гуманитарных и естественных наук. Москва, 25-26 июня 2013 г., стр. 15-17.

107. Аила Демедерос. О геометрии транссасакиевых многообразий. // Научная конференция: теория и практика современной науки. Москва, 27-28 июня 2013, стр. 16 - 26.

108. Аила Демедерос. Геометрия транссасакиевых многообразий. // Международная научная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения IV», Ростов-на-Дону, 27 апреля - 1 мая, 2014, стр. 85.www.karapetyants.sfedu.ru/conf/

109. Аила Демедерос, Кириченко В.Ф, Рустанов А.Р. Некоторые аспекты геометрии транссасакиевых многообразий // Математические заметки (в печати)