Метод К-орбит в исследовании квантовых эффектов во внешнем гравитационном поле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Бреев, Александр Игоревич

• Бреев, Александр Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бреев, Александр Игоревич

Введение

1 Метод К-орбит и гармонический анализ на группах Ли

1.1 Структура и классификация К-орбит.

1.2 Классификация однородных пространств.

1.3 А-представление алгебр Ли.

1.4 А-представление групп Ли.

1.5 Гармонический анализ на группах Ли.

2 Уравнение Клейна-Гордона на группах Ли

2.1 Тетрадный формализм на группах Ли.

2.2 Интегрирование квантовых уравнений на группах Ли

2.3 Интегрирование уравнения Клейна-Гордона на группе Ли

2.4 Вакуумные средние ТЭИ на групповом многообразии К х С 58 2.4.1 Вакуумные средние ТЭИ на неунимодулярной группе

МхУ14.

2.5 Вакуумные средние ТЭИ на группе К х 3).

2.5.1 Расчет ТЭИ.

2.5.2 Перенормировка ТЭИ.

2.5.3 Космологическая модель

2.6 Перенормировка ТЭИ на группах Ли при помощи обобщенной ("-функции.

2.6.1 Вакуумные средние ТЭИ на К х Е{2).

3 Уравнение Дирака на группах Ли

3.1 Интегрирование уравнения Дирака.

3.2 Вакуумные средние ТЭИ спинорного поля

3.2.1 Вакуумные средние ТЭИ на М = М. х Е(2).

3.2.2 Вакуумные средние ТЭИ на М = М. х 50(3).

4 ТЭИ скалярного поля на однородном пространстве

4.1 ^-инвариантные метрики на однородных пространствах

4.2 Проектирование тензорных полей

4.3 Гармонический анализ на однородных пространствах

4.4 Интегрирование уравнения Клейна-Гордона.

4.5 Вакуумные средние ТЭИ скалярного поля на однородном пространстве

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод К-орбит в исследовании квантовых эффектов во внешнем гравитационном поле»

Настоящая работа посвящена интегрированию релятивистких волновых уравнений на группах Ли и однородных пространствах, а также задаче учета квантовых эффектов в задачах гравитации. А именно, рассматриваются уравнения Клейна-Гордона и Дирака на многообразиях вида ЕхР, где Р - однородное пространство снабженное С-инвариантной метрикой.

Исследование вакуумных квантовых эффектов является важнейшей задачей современной квантовой теории поля. Вакуумный эффект заключается в существовании ненулевых вакуумных средних операторов локальных физических величин, и может возникать при воздействии сильных внешних полей, либо при наличии нетривиальной топологии пространства. Отдельно выделяют эффекты рождения частиц внешним полем. Вакуумные эффекты не связанные с рождением частиц, по аналогии с квантовой электродинамикой, называют поляризацией вакуума.

Если в квантовой электродинамике, как правило, квантовыми вакуумными эффектами в силу их малости, можно пренебречь, то в проблемах связанных с космологией, например, в космологии ранней вселенной, вакуумные квантовые эффекты играют существенную роль.

Теория квантовых эффектов в интенсивных гравитационных нолях становится в последнее время все более актуальной. Благодаря упорному труду многих исследователей в течение двух последних десятилетий, эта теория в настоящее время является достаточно развитой и позволяет решать целый ряд интересных задач квантовой теории поля имеющих непосредственное приложение в физике элементарных частиц и космологии [1]. Особенно важным представляется рассмотрение данных направлений в связи с труднейшей задачей современной физики - построением квантовой теории гравитации [2, 3].

В области низких энергий гравитационное взаимодействие определяется и описывается полуклассическими уравнениями Эйнштейна. В этой области энергий (масштабов) корректным является полуклассический подход, в рамках которого квантуются все поля кроме гравитационного, которое считается классическим. На этом пути получено множество интересных результатов [4, 5]. Наиболее известными из которых являются квантовое испарение черных дыр [6, 7], эффекты рождения частиц сильным гравитационным полем и поляризация вакуума [4, 8].

Явление поляризации вакуума граничными условиями хорошо известно и экспериментально подтверждено высокоточными измерениями (см., например, обзор [9]). Благодаря широко известным работам Казимира [10, 11, 12] энергия взаимодействия Ван-дер-Ваальса между реальными телами в определенном интервале расстояний может описываться как перенормированная энергия нулевых колебаний поля в пространстве между идеальными телами, под которыми понимаются граничные условия (см. по этому поводу книгу Бараша [13] и доклад Казимира. [14]) Такое явление получило название эффекта Казимира. В теории гравитации поляризация вакуума может происходить как вследствие граничных условий, так и вследствие искривления пространства-времени и/или его нетривиальной топологии [15].

Работы Хокинга [6, 7] по явлению квантового испарения черных дыр положили начало интенсивному исследованию квантованных и классических полей в искривленном пространстве-времени [4, 8, 5, 16] в рамках полуклассического подхода. Аналогия закона увеличения площади поверхности горизонта черных дыр с Н теоремой Больцмана [17, 18] привела к созданию термодинамики черных дыр, в которой энтропия черной дыры составляет одну четвертую часть площади поверхности горизонта [19].

Поскольку важнейшими из квантовых эффектов в искривленном пространстве-времени являются рождение частиц и поляризация вакуума, то основным объектом исследования теории является классический тензор энергии-импульса (ТЭИ), определяемый как среднее от соответствующего операторного выражения по некоторому состоянию (см. работы [15, 20, 21, 22, 23, 9] ), В качестве последнего, как правило, берется определенным образом выбранное вакуумное состояние - основное состояние гамильтониана квантованного поля, поскольку именно на его примере лучше всего видно отличие от теорий в плоском пространстве-времени .

При расчете вакуумных квантовых эффектов, перед исследователем встает ряд задач, решение которых требует построения точного решения линейного дифференциального уравнения [24, 25].

Важной особенностью точно интегрируемых дифференциальных уравнений является наличие различных симметрий. К примеру, основные результаты в теории квантованных полей в искривленном пространстве-времени получены лишь в рамках космологических моделей на однородных и изотропных пространствах с достаточно богатыми группами симметрии [26, 27, 28, 29].

Разработка новых методов интегрирования релятивистких волновых уравнений с учетом симметрии уравнения является актуальной задачей математической физики (см. работы и монографии [30, 31, 32, 33, 34, 35,

36, 37, 38, 39, 40]).

В настоящее время основным методом интегрирования линейных дифференциальных уравнений является метод разделения переменных [41, 42, 43, 44, 45] применяющийся в случае, когда оператор уравнения вкладывается в абелеву группу симметрии операторов уравнения не выше второго порядка. Метод разделения переменных окончательно сложился в работах В.Н. Шаповалова [46, 47], сформулировавшего необходимые и достаточные условия разделения переменных.

Часто возникают задачи, для решения которых необходимо интегрирование классических и квантовых гамильтоновых систем, интегрирование уравнения Клейна-Фока и другие, когда задачу в принципе можно решить методом разделения переменных и построить базис решений, найдя полный коммутативный набор операторов. Однако, если задача не допускает разделения переменных, то решение ее сталкивается с непреодолимыми трудностями. Кроме этого, в случае, если рассматриваемое в задаче пространство не покрывается одной картой, возникает сложная задача построения решений в разных картах и последующей сшивки решений в областях перекрытия карт атласа.

Возможна ситуация, когда оператор задачи допускает некоммутативный набор операторов симметрии. Тогда при его решении удобно воспользоваться методом некоммутативного интегрирования [48, 49, 50].

В основе метода некоммутативного интегрирования лежит метод орбит коприсоединенного представления (K-орбит), впервые описанный в работах A.A. Кириллова [51, 52] и получивший свое развитие в последующих работах A.A. Кириллова, Б. Константа, Ж.М. Сурье и др. Основные результаты метода орбит приведены в монографиях [53, 54, 55].

Гармонический анализ на группах Ли и однородных пространствах основанный на методе орбит рассматривается в работе [50]. Данный метод позволяет проводить некоммутативное интегрирование квантовых уравнений на группах Ли (редукцию уравнения к более простому уравнению на К-орбите с меньшим числом переменных) [57, 58]. Причем решение строится глобально на всем пространстве и не возникает проблемы сшивки, так как вместо рассмотрения исходного пространства, задача переносится на орбиту коприсоединенного представления, обладающую значительно более простой геометрией и топологией.

Другая трудность связана с устранением расходимостей в вакуумных средних ТЭИ, поскольку последние являются билинейными функциями по операторам соответствующего квантованного поля. В настоящее время существует несколько различных методов регуляризации, эффективное применение которых зависит от конкретной задачи.

В ряде случаев возможно избавиться от расходимости в самих выражениях для вакуумных средних ТЭИ. Если имеет место суммирование по целому, либо по полуцелому параметру, то часто эффективно применение формулы Абеля-Плана. Данный метод часто используется при расчете эффекта Казимира (см. например, работы [60, 61, 62, 63, 64, 65].

В случае, если вместо суммы в вакуумных средних ТЭИ имеет место интегрирование по непрерывному параметру, эффективно применение метода п-волновой регуляризации, предложенного в [66]. Этот метод является модификацией метода Паули-Вилларса [67] и применим к гравитационным полям любой интенсивности, при этом, однако, необходимо знать полную систему решений уравнения квантуемого поля в данной метрике, поиск которой в искривленном пространстве-времени представляет собой далеко не тривиальнуо задачу. Метод п-волновой регуляризации эквивалентен методу адиабатической регуляризации [68], основанному на введении параметра адиабатичности изменения метрики и вычитании из вакуумных средних ТЭИ первых членов адиабатического разложения по обратным степеням этого параметра. Строгое теоретике-полевое обоснование метод п-волновой регуляризации получил в работах [69, 70], в которых на примере массивного спинорного поля показано, что вычитание первых двух слагаемых в этом методе эквивалентно перенормировке космологической и гравитационной постоянных в затравочном лагранжиане.

Прием, состоящий в аналитическом продолжении расходящихся выражений по размерности пространства-времени на область нефизических значений, называется размерной регуляризацией. Данный способ регуляризации эффективен в случае, когда пространство однородно и изотропно [8, 71, 72]. Укажем ряд работ посвященных применению метода размерной регуляризации для расчета эффекта Казимира [73]-[78].

Другой способ регуляризации - метод раздвижения аргументов операторов поля в билинейной форме ТЭИ, предложенный в работе [79]. В размерностях п > 2 данный метод технически довольно сложен [80]-[89].

Второй ковариантный метод - метод обобщенной дзета-функции, предложенный в работах Доукера и Кричли [90], Хокинта [91]. Теории дзета-функции и методам вычисления коэффициентов теплового ядра посвящена обширная литература. Имеется ряд монографий [92]-[97], посвященных не только математическим вопросам, но и применению методов дзета регуляризации в физике. Например, упомянем работы [98]-[103], в которых данный метод регуляризации применяется при расчете эффекта Казимира. Исследования в этом направлении связанны с рассмотрением различных операторов и граничных условий как на гладких многообразиях, так и на многообразиях с особенностями.

В большинстве ситуаций невозможно найти в явном виде спектр оператора, чтобы вычислить дзета-функцию. По этой причине в работах [104]

113] развивается подход, некоторые моменты которого имеются в работе

114], позволяющий снести исследование дзета-функции к исследованию собственных функций оператора.

Целью данной работы является разработка методов исследования квантовых эффектов во внешних гравитационных полях с некоммутативными симметриями на основе точных решений релятивистких волновых уравнений.

Согласно поставленной цели, в работе решались следующие задачи:

• Построение гармонического анализа и интегрирование уравнений Клейна-Гордона и Дирака на неунимодулярных группах Ли.

• Нахождение вакуумных средних ТЭИ скалярных и спинорных полей на групповых многообразиях 1 х (?, где С - локальная группа Ли с левоинвариантной метрикой.

• Применение методов перенормировки вакуумных средних ТЭИ.

• Разработка метода вычисления вакуумных средних ТЭИ скалярных полей на однородных пространствах с некоммутативными симметриями.

При решении поставленных задач впервые получены следующие основные результаты:

• На основе метода К-орбит разработан гармонический анализ на неунимодулярных группах Ли, позволяющий редуцировать оператор волнового уравнения в двойственное пространство с сохранением его самосопряженности. Для неунимодулярной алгебры Ли У14 с левоинвариантной метрикой найдено точное решение уравнения Клейна-Гордона, и рассчитаны вакуумные средние тензора энергии-импульса скалярного поля.

• Разработана методика расчета вакуумных средних тензора энергии-импульса скалярного поля на групповых многообразиях Ж х С, где С

- локальная группа Ли с левоинвариантной метрикой.

• Модифицирован метод регуляризации вакуумных средних тензора энергии-импульса скалярного поля с некоммутативными симметриями при помощи обобщенной дзета-функции. Получено выражение для обобщенной дзета-функции на К-орбите. Для группы ЛиМх £7(2), где Е{2)

- группа движений двумерной плоскости с левоинвариантной метрикой общего вида, получен явный вид плотности энергии скалярного поля. Показано, что в частном случае биинвариантной метрики квантовый вакуумный эффект сводится к эффекту Казимира наМ3 х В1.

• Сформулирован алгоритм построения вакуумных средних ТЭИ спи-норного поля на групповых многообразиях 1хС, где С? - трехмерная локальная группа Ли с левоинвариантной метрикой. Найдены точные решения уравнений Дирака и Клейна-Гордона. Рассчитаны вакуумные средние тензора энергии-импульса скалярных и спинорных полей для трехмерной группы вращений БО{3) с метрикой, отличной от биинвариантной. Построена самосогласованная космологическая модель для скалярного поля.

• Развит аналог тетрадного формализма для тензорных полей на однородном пространстве с ^-инвариантной метрикой, при помощи которого получено явное выражение для тензора Римана в форме, не зависящей от выбора локальных координат. Получены общие выражения для вакуумных средних ТЭИ скалярного поля на однородных пространствах с ^-инвариантной метрикой.

Краткое содержание диссертации

Первая глава носит вводный характер. В первом параграфе описывается структура орбит коприсоединенного представления групп Ли. К-орбиты, впервые появившееся в рамках метода орбит в работах [53, 54, 55], в настоящее время стали одними из основных методов исследований в таких областях, как геометрическое и деформационное квантование [131, 132, 133, 134, 135, 145], алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых систем [129, 141], и теория представлений [53].

Вводится понятие вырожденной орбиты и строится классификация орбит группы Ли как объединения поверхностей уровня функций Казимира для орбиты соответствующей степени вырождения. В общепринятом методе (см. [53]) орбиты классифицировались путем выбора фиксированного представителя, построенная же классификация орбит представляет их в виде алгебраических поверхностей, что является значительно более удобным с точки зрения приложений.

Во втором параграфе на основе метода орбит описывается классификация однородных пространств. В отличие от традиционных классификаций, см., например [122], данная классификация не носит геометрического характера, а является чисто алгебраической (см. [116, 56]). Каждое однородное пространство характеризуется двумя числами - индексом и степенью вырождения. В работе [45] доказан результат, связывающий дефект однородного пространства и свойства коммутативности данного пространства (см. также [121]). Также рассмотрен вопрос о тождествах на однородном пространстве, играющий центральную роль при построении гармонического анализа.

В третьем параграфе рассматривается специальное бесконечномерное Л-представление алгебры Ли 0, являющееся ключевым объектом в теории некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений [48], [49]. А - представление является операторно неприводимым представлением алгебры g в пространстве функций на лагранжевом подмногообразии Q Э q к К-орбите.

В четвертом параграфе на основе А-представления алгебры Ли, рассматривается соответствующее представление локальной группы Ли данной алгебры Ли. В случае, когда линейный функционал А допускает поляризацию [117,146], поднятие А-представления до представления группы Ли приводит к методу орбит Кириллова. Матричные элементы А-представления, являются основой для построения гармонического анализа на группах Ли. Требование однозначной определенности матричных элементов на группе Ли (так как последние определены лишь локально, в окрестности единицы) сводится к условию Кириллова целочисленности К-орбиты 0\.

В пятом параграфе при помощи метода орбит проводится построение гармонического анализа на группах Ли. Вводится набор обобщенных функций на группе Ли, как решение соответствующей переопределенной системы уравнений. Показано, что данные функции выражаются через матричные элементы А-представления и вместе с последними образуют полный и ортонормированный набор, осуществляющий обобщенное преобразование Фурье на группе Ли.

В стандартном подходе гармонический анализ состоит в разложении произвольной функции на группе по собственным функциям dim G-мерного коммутативного набора операторов из обертывающих алгебр правоинвари-антных и левоинвариантных векторных полей [137]. На этом этапе могут возникнуть проблемы, так как не существует алгоритма решения задачи на собственные значения коммутативного набора операторов, если в этот набор входят операторы более высокого порядка.

В следующей главе разрабатывается метод расчета вакуумных средних тензора энергии-импульса (ТЭИ) на групповом многообразии видаМ х С. Основой метода является переход в дуальное пространство при помощи обобщенного Фурье преобразования.

Везде где это не оговорено особо, в работе используется система единиц, в которой К = с = 1.

В первом параграфе вводится определение левоинвариантной метрики и подробно описывается применение тетрадного формализма к расчету геометрических характеристик групп Ли, в случае если связность на группе согласована с метрикой и кручение равно нулю. Приведены явные выражения для тензора Римана и Риччи.

Во втором параграфе разработан алгоритм интегрирования квантовых уравнений на неунимодулярных группах Ли с левоинвариантными метриками. С помощью гармонического анализа осуществляется редукция линейного дифференциального уравнения к задаче с меньшим числом переменных, поскольку при осуществлении преобразования Фурье функции на группе Ли к функции на дуальном пространстве, действие операторов £ - левоинвариантных векторных полей на группе переходит в действие операторов А-представления I на орбите, содержащих меньшее число независимых переменных.

В третьем параграфе рассматривается задача интегрирования уравнения Клейна-Гордана на группе Ли МхСс левоинвариантной лоренцевой метрикой и показано, что его интегрирование сводится к интегрированию квантового уравнения на группе Ли б? с гамильтонианом, представляющим собой полином от левоинвариантных векторных полей.

В четвертом параграфе полученные решения уравнения Клейна-Гордона используются для расчета вакуумных средних тензора энергии-импульса скалярного поля на неунимодулярной группе Ли. Рассмотрен частный случай биинвариантной метрики на группе Ли, когда оператор Лапласа-Бельт-рами сводится к оператору Казимира и в А-представлении является константой. В качестве примера, проинтегрировано уравнение Клейна-Гордона и рассчитаны вакуумные средние ТЭИ для одной неунимодулярной группы Ли с многозначной функцией Казимира.

В пятом параграфе проводится расчет вакуумных средних ТЭИ скалярного поля на группе К х 50(3) с левоинвариантной метрикой, не инвариантной относительно правого сдвига. В частном случае биинвариантной метрики получены перенормированные вакуумные средние ТЭИ и построена самосогласованная космологическая модель с метрикой замкнутой трехмерной сферы.

Шестой параграф посвящен процедуре перенормировки тензора энергии-импульса скалярного поля при помощи метода обобщённой дзета-функции основанного на прямом вычислении функциональных производных от од-нопетлевого эффективного действия по метрике (см. работу [147]). Данный метод перенормировки не использует напрямую сами выражения для вакуумных средних ТЭИ, а сводит задачу к поиску аналитического продолжения для обобщенной дзета-функции.

В ряде случаев возможно избавиться от расходимости в самих выражениях для вакуумных средних ТЭИ. Если имеет место суммирование по целому, либо по полуцелому параметру (например когда группа Ли О содержит компактную подгруппу), то часто эффективно применение формулы Абеля-Плана [8]. Если же ведется интегрирование, то возможно применить метод п-волновой регуляризации [1].

При помощи данного метода найдено перенормированное значение для плотности энергии скалярного поля (эффект Казимира) на группе Ли К х Е{2) с произвольной левоинвариантной метрикой.

Третья глава посвящена обобщению развитой техники учета квантовых эффектов на случай спинорных полей на группах Ли.

В первом параграфе, используя обобщенное преобразование Фурье, проводится интегрирование уравнения Дирака на неунимодулярных группах Ли. Второй параграф посвящен выводу общих выражений для вакуумных средних тензора энергии-импульса спинорного поля. Рассматриваются вакуумные средние тензора энергии-импульса на группах I х £(2) и К х 80(3). Для группы Е х Е(2) с биинвариантной метрикой полученные результаты согласуются с результатами других авторов [8],[4] и описывают эффект Казимира на I2 х

Четвертая глава посвящена обобщению процедуры интегрирования уравнения Клейна-Гордона и построению тензора энергии-импульса на однородном пространстве.

В первом параграфе вводится понятие (^-инвариантной метрики на однородном пространстве, тесно связанной с правоинвариантной метрикой на группе Ли С преобразований, действующей на однородном пространстве правыми сдвигами.

Во втором параграфе рассматривается задача проектирования тензорных полей заданных на группе Ли преобразований С на однородное пространство и вводится конструкция, аналогичная тетрадам в ОТО, или подвижному реперу в дифференциальной геометрии, позволяющая работать с геометрическими величинами на однородном пространстве не вводя на последнем локальных координат. В частном случае, если размерность однородного пространства совпадает с размерностью группы Ли преобразований, данная конструкция сводится к тетрадному формализму на группах Ли. Показано, что квазитетрадные компоненты тензора Римана (соответственно и тензора Риччи) не зависят от локальных координат и являются константами.

Б третьем параграфе, основываясь на работе [50], описывается гармонический анализ на однородных пространствах . Вводится понятие А-представления соответствующего однородному пространству. В отличие от гармонического анализа на группах Ли (в случае правого однородного пространства), левоинвариантные векторные поля £ переходят в генераторы действия группы преобразований, а алгебра правоинвариантных векторных полей пропадает. Вместо нее используется функциональная алгебра (^-алгебра) инвариантных операторов (операторов, коммутирующих с генераторами группы преобразований). Симплектические листы пуассо-новой алгебры инвариантных функций играют роль невырожденных К-орбит в случае групп Ли. Ограничение скобки Пуассона на симпектиче-ский лист невырожденно и определяет на нем симплектическую структуру. При помощи процедуры квантования симплектических листов вводятся дифференциальные операторы, действующие на функции от переменных V € V ((у, и>) - канонические координаты Дарбу на симплектическом листе) и реализующие ^-алгебру инвариантных функций (А-представление ^-алгебры). Далее определяется семейство обобщенных функций, которые могут быть разложены по "матричным" элементам А-представления соответствующего однородному пространству. Данное семейство и определяет обобщенное преобразование Фурье. Для однородных пространств нулевого дефекта гармонический анализ значительно упрощается. В этом случае все симплектические листы нульмерны и переменных у нет.

Четвертый параграф посвящен обобщению процедуры интегрирования уравнения Клейна-Гордана на случай однородного пространства. Показано, что данное уравнение сводится к уравнению на лагранжевом подмногообразии к симплектическому листу алгебры инвариантных функций с количеством переменных равным дефекту однородного пространства.

В пятом параграфе вычисляются вакуумные средние ТЭИ скалярного поля на многообразии К х Р, где Р - однородное пространство с инвариантной метрикой. Для квазитетрадных компонент вакуумных средних ТЭИ получены выражения, не зависящие от выбора локальных координат на однородном пространстве и сводящиеся к тетрадным компонентам вакуумных средних ТЭИ в случае группы Ли. Рассмотрен пример на основе одной четырехмерной экспоненциальной группы Ли преобразований. Показано, что эффект поляризации вакуума в этом случае отсутствует, хотя соответствующее однородное пространство имеет кривизну и нетривиальную топологию.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на XIII Международной школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики(Петровские чтения XIII,г. Казань, 2009); на 13-й международной конференции "Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений МСЮЫАМ-13Уфа 2009; на научных семинарах кафедры квантовой теории поля Томского государственного университета.

Основные результаты данной работы опубликованы в четырех работах [126, 127, 128, 59].

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям: профессору Широкову Игорю Викторовичу и профессору Шаповалову Александру Васильевичу, за постоянное внимание к работе, неизменную поддержку, заинтересованное обсуждение доброжелательную критику получаемых результатов. Автор благодарен профессору Багрову В.Г. за моральную поддержку- и внимание к диссертационной работе, а также всем сотрудникам кафедры теоретической физики и кафедры квантовой теории поля Томского государственного университета за доброжелательное отношение и постоянную дружескую поддержку.

Все результаты, представленные в диссертации, получены автором лично как в постановке задач, так и в проведении непосредственных аналитических и численных расчетов. На основании проведенных исследований можно сформулировать основные положения, которые выносятся на защиту:

• Гармонический анализ для неунимодулярных групп Ли, с помощью которого проведена редукция волновых уравнений на группах Ли к уравнениям на К-орбите с меньшим числом независимых переменных. Полный базис решений уравнения Клейна-Гордона на неунимодуляр-ной группе Ли УЦ с левоинвариантной метрикой общего вида.

• Способ расчета вакуумных средних тензора энергии-импульса скалярных и спинорных полей на групповых многообразиях К х (7, где (7 - локальная группа Ли с левоинвариантной метрикой. Вакуумные средние ТЭИ на групповых многообразиях К х 50( 3) иКх Е( 2) с метриками, отличными от биинвариантной, описывающие эффект поляризации вакуума обусловленный нетривиальной топологией и кривизной 50(3) и Е{ 2).

• Выражение для тензора Римана на однородном пространстве с С-инвариантной метрикой в виде, независимом от выбора локальных координат. Методика расчета вакуумных средних ТЭИ скалярного поля на однородных пространствах с (7-инвариантной метрикой.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Бреев, Александр Игоревич

Заключение

В диссертации в соответствие с поставленными целями работы, получены следующие основные результаты:

• На основе метода К-орбит разработан гармонический анализ иа неуни-модулярных группах Ли, позволяющий редуцировать оператор волнового уравнения в двойственное пространство с сохранением его самосопряженности. Для неунимодулярной алгебры Ли У14 с левоинвариант-ной метрикой найдено точное решение уравнения Клейна-Гордона, и рассчитаны вакуумные средние тензора энергии-импульса скалярного поля.

• Разработана методика расчета вакуумных средних тензора энергии-импульса скалярного поля на групповых многообразиях 1хС, где 6?

- локальная группа Ли с левоинвариантной метрикой.

• Модифицирован метод регуляризации вакуумных средних тензора энергии-импульса скалярного поля с некоммутативными симметриями при помощи обобщенной дзета-функции. Получено выражение для обобщенной дзета-функции на К-орбите. Для группы ЛиМ х #(2), где Е(2)

- группа движений двумерной плоскости с левоинвариантной метрикой общего вида, получен явный вид плотности энергии скалярного поля.

Показано, что в частном случае биинвариантной метрики квантовый вакуумный эффект сводится к эффекту Казимира на К3 х 81.

• Сформулирован алгоритм построения вакуумных средних ТЭИ спи-норного поля на групповых многообразиях К х С, где С - трехмерная локальная группа Ли с левоинвариантной метрикой. Найдены точные решения уравнений Дирака и Клейна-Гордона. Рассчитаны вакуумные средние тензора энергии-импульса скалярных и спинорных полей для трехмерной группы вращений 50(3) с метрикой, отличной от биинвариантной. Построена самосогласованная космологическая модель для скалярного поля.

• Развит аналог тетрадного формализма для тензорных полей на однородном пространстве с С-инвариантной метрикой, при помощи которого получено явное выражение для тензора Римана в форме, не зависящей от выбора локальных координат. Получены общие выражения для вакуумных средних ТЭИ скалярного поля на однородных пространствах с (^-инвариантной метрикой.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бреев, Александр Игоревич, 2011 год

1. Долгов А.А., Зельдович Я.Б., Сажин М.В. Космология ранней вселенной. - М.: Издательство МГУ, 1988.

2. Хокинг С., Израэль В. Общая теория относительности (сборник статей). М.: Мир, 1983.

3. Вергелес С.Н. Лекции по теории гравитации. М.: МФТИ, 2001.

4. Биррелл Н., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени. М.: Мир, 1984. - 356 с.

5. Fulling S. Aspects of quantum field theory in curved space-time. -Cambridge University Press, 1989. 315 p.

6. Hawking S. // Nature. 1974. - V.248. - P. 30-31.7. ] Hawking S. Particle creation by Black holes. // Commun. Math. Phys.-1975.-V.43.- P.199-220.

7. Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях. М.: Энергоатомиздат, 1988. - 288 с.

8. Bordag M.,Mohideen U.,Mostepanenko V.M. New Developments in the Casimir Effect //arXiv:quant-ph/0106045. 2001.

9. Casimir H.B.G. On The Attaction Between Two Perfectly Conducting Plates //Proc Kon. Ned. Afed. Wet. 1948.- V.51,- P. 793-795.

10. Casimir H.B.G. // J. de Chimic Phys. 1949. - V.46. - P. 407-415.

11. Casimir H.B.G. , Polder D. The influence of retardation on the London-van der Waals forces // Phys. Rev.- 1948. V.73. - P. 360-372.

12. Бараш Ю.С. Силы Ван-дер-Ваальса. M.: Наука, 1988. - 344 с.

13. Casimir H.B.G. Some remarks on the history of the so called Casimir effect // In: The Casimir Effect. 50 Years Later. Edited by M. Bordag. World Scientific. 1999. - P. 3-9.

14. Жук А.,Клейнерт X. Эффект Казимира при ненулевой температуре в закрытой Вселенной Фридмана //ТМФ. 1996. - Т. 109. - N.2.- С. 307-321.

15. Гальцов Д.В. Частицы и поля в окрестности черных дыр.- М.: Изд-во Московского университета, 1986. 288 с.

16. Bardeen J.M., Carter В., Hawking S.W. The four laws of black hole mechanics // Commun. Math. Phys. 1973. - V.31. - P. 161-170.

17. Bekenstein J.D. Black Holes and Entropy // Phys. Rev. D. 1973. - V.7.- P. 2333-2346.

18. Новиков И.Д.,Фролов В.П. Физика черных дыр. -М.:Наука, 1986. 328 с.

19. Carroll M.Sean. The Cosmological Constant //arXiv: astro-ph/00004075.- 2000.

20. Saharian A.A. On the energy-momentum tensor for a scalar field on the manifold on manifolds with boundaries // arXiv: hep-th/0308108. 2003.

21. Horton G., Dewdney C. A relativistically covariant version of Bohn's quantum field theory for the scalar field // arXiv: quant-ph/0407089. -2004.

22. Tywoniuk K., Ravndal F. Scalar Field Fluctuations between Parallel Plates // arXiv: quant-ph/0408163. 2004.

23. Багров В.Г.и др. Точные решения релятивистских волновых уравнений.- Новосибирск: Наука, 1982. 143 с.

24. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. -Н.: ИО НФМИ, 1998. 632 с.

25. Ландау Л.Д.,Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1973.

26. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986. - 759 с.

27. Толмен Р. Относительность,термодинамика и космология.- М.: Наука, 1974. 520 с.

28. Миллер У. Теория относительности. М.: Наука, 1975. - 400 с.

29. Владимиров С.А. Группы симметрии дифференциальных уравнений и релятивистские поля. М.: Атомиздат, 1979. - 167 с.

30. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразовании в математической физике. -М.: Наука, 1983. 280 с.

31. Никитин А.Г. Фущич В.И. Симметрия уравнений квантовой механики.- М.: Наука, 1990. 400 с.

32. Овсянников J1.B. Групповые свойства дифференциальных уравнений.- Новосибирск, 1962. 240 с.

33. Овсянников JI.B., Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ дифферениаци-альных уравнений механики. // Итоги науки и техники. Серия "Общая механика".- 1975. Т.2.- М.: ВИНИТИ. - С. 5-52.

34. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. 400 с.

35. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. Киев: Наукова Думка, 1989. - 335 с.

36. Широков И.В. Алгебраические проблемы теории симметрии и методы интегрирования полевых уравнений: Дис. док. физ.-мат. наук. Томск, 1994. 250 с.

37. Багров В.Г., Тернов И.М., и др. Точные решения релятивистских волновых уравнений. Новосибирск: Наука, 1982. - 144 с.

38. Фущич В.И., Баранник Л.Ф. Баранник А.Ф. Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и редукция нелинейных уравнений. Киев: Наук. Думка, 1991. - 304 с.

39. Haiish-Chandia. On relativislic wave equations // Phys. Rev. V.71. - P. 793-805.

40. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981.

41. Havas P. // J. Math. Phys. 1975. - V.16.- N.7. - P.1461-1468.

42. Kalnins E.G. Separation of variables for Riemannian spaces of constant curvature. New York: Longman, John Willey, 1986.

43. Benenti S. // Lect. Notes Math.- 1980. V.836. - P.512-538.

44. Шаповалов A.B., Широков И.В. Некоммутативное интегрирование уравнений Клейна-Гордона и Дирака в римановых пространствах с группой движений //Известия вузов. Физика. 1991. - Т.34. - N.5. -С.33-38.

45. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в ЛДУ второго порядка // Изв. вуз. Физика. 1978. - N.5. - С. 116-132.

46. Шаповалов В.Н. // Дифф. уравнения. 1980. - Т. 16 . - N.10. - С. 18641874.

47. Шаповалов A.B., Широков И.В. Некоммутативное интегрирование линейных дифференциальных уравнений //ТМФ. 1995. - Т.104. - N.2. -С. 195-213.

48. Шаповалов A.B.,Широков И.В. Метод некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений. Функциональные алгебры и некоммутативная размерная редукция //ТМФ. 1996. - Т.106. N.1. С. 3-14.

49. Широков И.В. K-орбиты, гармонический анализ на однородных пространствах и интегрирование дифференциальных уравнений. //Препринт. Омск.: ОмГУ, 1998.

50. A.A. Кириллов. // УМН. 1962. - Т.17. - N.4. - С. 57-110.

51. А.А. Кириллов. // Функц. анализ и его прилож. 1968. - Т.2. - С. 40-55.

52. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1978.

53. В. Konstant. Quantization and Unitary Representations. I. Prequantization.// In: Lectures in Modern Analysis and Applications. III. Ed. C.T.Taam.- Brelin: Springer-Verlag, 1970. P. 87-208.

54. J.M. Souriau. Structure de systemes dunamique, Maitrises de Mathematique. Paris: Dunod, 1970.

55. Широков И.В. Тождества и инвариантные операторы на однородных пространствах // ТМФ. 2001. - Т.126. - N.3. - С.393-408.

56. Барановский С.П., Михеев В.В., Широков И.В. Интегрирование уравнения Клейна-Фока на четырехмерных группах Ли // Изв. Вузов. Физика. 2002. - N.10. - С.4-10.

57. Барановский С.П., Михеев В.В., Широков И.В. Квантовые гамильто-, новы системы на К-орбитах. Квазиклассический спектр ассиметрического волчка //ТМФ. 2001. - Т.129. N.1. - С.3-13.

58. A. I. Breev. One-loop stress tensors for scalar and spinor fields on the homogeneous spaces with G-invariant metrics //arXiv:1012.5610vl math-ph].

59. A. A. Saharian, M. R. Setare. Casimir densities for a spherical shell in the global monopole background // arXiv: hep-th/0302053v2.

60. August Romeo, Aram A. Saharian Casimir effect for scalar fields under Robin boundary conditions on plates // arXiv: hep-th/0007242v2.

61. Marcin Ostrowski. Casimir effect for tachyonic fields // arXiv: hep-th/0307051.

62. Marcin Ostrowski. Casimir effect in external magnetic field // arXiv: hep-th/0504112v2.

63. A. A. Saharian. Generalized Abel-Plana formula as a renormalization tool in quantum field theory with boundaries // arXiv: hep-th/0609093vl

64. Yefim S. Levin. Rotation in classical zero-point radiation and in quantum vacuum. // arXiv: math-ph/0606009vl.

65. Зельдович Я.Б., Старобинский А.А, Рождение частиц и поляризация вакуума в анизотропном гравитационном поле // ЖЭТФ.- 1971- Т.61. Вып. 6(12). С. 2161-2175.

66. Боголюбов Н.Н., Ширков М.Д. Введение в теорию квантованных полей. М: Наука, 1976.

67. Wung-Hong Huang. Renormalization of the quantum stress-energy tensor in inhomogeneous spacetimes: Adiabatic regularization method// Phys. Rev. D. 1991. - V.43. N.4.

68. Мамаев С.Г., Мостепаненко В.M. Перенормировка гравитационной постоянной и рождение фермионов нестационарным гравитационным полем // Ядерная физика. 1978. - Т.70. - вып.6(12). - С. 1640-1653.

69. Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. О перенормировках при расчете вакуумных квантовых эффектов в гравитационном поле// Ядерная физика. 1983. - Т.37. - вып.5. - С. 1323-1329.

70. Benedictis A. D., Viswanathan. K. S. Stress-Energy Tensors for Higher Dimensional Gravity //arXiv:hep-th/9911060.

71. E. N. Bukina,N. N. Shtykov. Evaluation of Vacuum Energy for Tensor Fields on Spherical Spaces // arXiv:quant-ph/9706055.

72. S. A. Ellingsen, I. Brevik, K. A. Milton Casimir effect at nonzero temperature for wedges and cylinders // Phys.Rev. 1981.

73. I.V. Fialkovsky, V.N. Markov, Yu.M. Pismak. On the Casimir energy for scalar fields with bulk inhomogeneities // arXiv: 0804.3603.

74. E. B. Kolomeisky, J. P. Straley, M. Timmins. Casimir effect in a one-dimensional gas of free fermions // arXiv: 0706.2887.

75. H. Cheng. The asymptotic behavior of Casimir force in the presence of compactified universal extra dimensions // arXiv:hep-th/0609099.

76. A. A. Bytsenko, M. E. X. Guimaraes, V. S. Mendes Casimir Effect for Gauge Fields in Spaces with Negative Constant Curvature // Eur.Phys.J. 2005. - V.39. - C. 249-252.

77. Elias C. Vagenas. Casimir Effect, Achucarro-Ortiz Black Hole and the Cosmological Constant // arXiv:hep-th/0301149.

78. S.M. Christensen// Phys. Rev. D. 1976. - V.14. - P.2490-2501.

79. S.M. Christensen Ph.D. theis, University fo Texas at Austin, 1975.

80. Christensen S.M. Regularization, renornalization, and covariant geodesic point separation. //Phys. Rev. D. 1978. - V.17. - P. 946-963.

81. Christensen S.M. and Duff M.J. Axial and conformai anomalies for arbitrary spin in gravity and supergravity // Phys. Lett. B. 1978. - V.76. - P. 571-589.

82. A. Flachi, T. Tanaka. Vacuum polarization in asymptotically anti-de Sitter black hole geometries // Phys.Rev.D. 2008. - V.78.

83. G. Bimonte, E. Calloni, G. Esposito, L. Rosa. Novel features of the energy momentum tensor of a Casimir apparatus in a weak gravitational field // J.Phys. A. 2008. - V.41.

84. H. Ahmedov. Casimir Effect in Hyperbolic Polygons // arXiv:hep-th/0610146. 2006.

85. G. Bimonte, E. Calloni, G. Esposito, L. Rosa. Energy-momentum tensor for a Casimir apparatus in a weak gravitational field // arXiv:hep-th/0606042.

86. A. S. Goldhaber, A. Litvintsev, P. van Nieuwenhuizen //Braz. J. Phys. -2004. V.34 N.4a.

87. M. Dorca. Stress-energy tensor in colliding plane wave space-times: An approximation procedure // Nucl.Phys. B. 524 (1998) 397-426.

88. M. Dorca, E. Verdaguer . Quantum fields interacting with colliding plane waves: the stress-energy tensor and backreaction // Nucl.Phys. B484 (1997) 435-475

89. Dowker ,1.S. and Critchley R. Effective Lagrangian and energy-momentum tensor in de Sitter space // Phys. Rev. D. 1976. - V.13, - P.3224-3232.

90. Hawking S. Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime // J. Math. Phys. 1377. - V.55. - P. 133-148.

91. Chavel I. Eigenvalues in Riemannian Geometry. New York Academy Press, 1984.

92. Elizalde E., Odinsov S.D., Bytsenko A.A. and Zerbini S. Zeta regularization techniques with applications. World Scientific, 1994. - 319 p.

93. Gilkey P.B. Invariance theory, the heat equation and the Atiyah Synger index Theorem - Chemical Rubber Company, 1995. - 259 p.95., Elizalde E. Ten physical applications of spectral zeta-functions. Berlin: Springer-Verlag, 1995. - 210 p.

94. Russel I.H. Symmetry breaking around cosmic strings. // Class. Quant. Grav. 1989. - V.6, - P.1343-1349.

95. Esposito G. Dirac operators and spectral geometry. Cambridge: Univ. Press, 1996. - 209p.

96. Valter Moretti. A review on recent results of the ^-function regularization procedure in curved spacetime // arXiv: gr-qc/9902056v2

97. Artem R. Khabibullin., Nail R. Khusnutdinov, Sergey V. Sushkov. Casimir effect in a wormhole spacetime // arXiv:hep-th/0510232v2

98. Emilio Elizalde, Shinfichi Nojiri, Sergei D. Odintsov. and Sachiko Ogushi. Casimir effect in de Sitter and Anti-de Sitter braneworlds // arXiv:hep-th/0209242v3.

99. Remo Garattini. Casimir Energy and the Cosmological Constant // arXiv:gr-qc/0409016vl

100. Remo Garattini. Casimir energy, the cosmological constant and massive gravitons// arXiv:gr-qc/0510062vl

101. Emilio Elizalde. Uses of zeta regularization in QFT with boundary conditions: a cosmo-topological Casimir effect // arXiv:hep-th/0607185vl

102. Elizalde E., Leseduarte S. and Romeo A. Sum rules for zeros of Bessel functions and an application to spherical Aharonov-Bohm quantum bags // J. Phys. A. 1993. - V.26. - P. 2409-2420.

103. Leseduarte S. and Romeo A. Zeta function of the Bessel operator on the negative real axis // J. Phys. A. 1994. - V. 27. - P. 2483-2496.

104. Bordag M. Vacuum energy in smooth background fields //J. Phys. A. -1995. V.28. - P. 755-765.

105. Bordag M and Kirsten K. Vacuum energy in a spherically symmetric background field // Phys. Rev. D. 1985. - V.53. - P. 5753-5760.

106. Bordag M., Elizalde E. and Kirsten K. Heat-kernel coefficients of the Laplace operator on the D-dimensional ball // J. Math. Phys. 1996. -V.37. - P. 895-916.

107. Bordag M. Kirsten K. and Dowker S. Heat-kernels and functional determinants on the generalized cone // Commun. Math. Phys. 1996. - V.182. P. 371-394.

108. Bordag M., Geyer B., Kirsten K. and Elizalde E. Zeta function determinant of the Laplace operator in the D-dimensional ball // Gommun. Math. Phys. 1996. - V.179. - P. 215-234.

109. Bordag M , Elizalde E., Kirsten K. and Leseduarte S. Casimir energies for massive scalar fields in a spherical geometry // Phys. Rev. D. 1997. -V.56. - P. 4896-4904.

110. Bordag M. Kirsten К. and Vassilevich D. Ground slate energy foi a penetrable sphere and far a dielectric ball // Phys. Rev. D. 1999. - V.59.

111. Lamhiase G. Nesterenko V.V. and Borda M. Casimir energy of a ball and cylinder in zeta function technique //J. Math. Phys. 1099. - V.40. - P. 6254-6265.114. van Kampen N.G., Nijboer B.R.A. and Schräm K. // Phys. Lett. A. -1968. V.26. - P. 307-320.

112. Широков И.В. Координаты Дарбу на K-орбитах и спектры операторов Казимира на группах Ли //ТМФ. 2000. - Т.123. - N.3. - С.407.

113. Барановский С.П.,Михеев В.В.,Широков И.В. K-орбиты, тождества и классификация четырехмерных однородных пространств с группой преобразований Пуанкаре и де Ситтера //Известия вузов. Физика. -2000. N.11. - С.72-78.

114. Барановский С.П., Широков И.В. Деформации векторных полей и канонические координаты на орбитах коприсоединенного представления //Мат.структуры и моделирование. 2005. - Вып. 15. - С.2-9.

115. Бишоп Р.Л.,Криттенден Р.Дж. Геометрия многообразий. М.: Мир, 1967. - 335 с.

116. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. -М.: Мир, 1971. 343 с.

117. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Том II. М.: Наука, 1981. - 416 с.

118. Винберг Э.Б. Коммутативные однородные пространства и коизотроп-ные симплектические действия //Успехи математических наук.- 2001. Т.56.- вып. 1. - С. 3-62.

119. Rainer M. Classifying spaces for homogeneous manifolds and their related Lie isometry deformations // arXiv:gr-qe/9602059

120. Карасев M.В., Маслов В.П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. М.: Наука, 1991. - 368 с.

121. Широков И.В. Построение алгебр Ли дифференциальных операторов первого порядка //Известия вузов.Физика.- 1997.- N.6. С.25-32.

122. Петров А.З. Пространства Эйнштейна. М.: Наука, 1961. - 423 с.

123. Бреев А.И., Широков И.В., Разумов Д. Поляризация вакуума скалярного поля на многообразии, конформно эквивалентном M. <g> G. // Изв. Вузов. Физика. 2007. - N.10. - С. 50-56.

124. Бреев А.И., Широков И.В. Поляризация вакуума спинорного поля на многообразиях групп Ли. // Изв. Вузов. Физика. 2009. - N.8. - С. 51-57.

125. Бреев А.И., Широков И.В. Поляризация вакуума на неунимодуляр-ных группах Ли. // Изв. Вузов. Физика. 2010. - N.4. - С. 34-40.

126. Трофимов В.В., Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамнльтоновых дифференциальных уравнений. М.: Факториал, 1995. - 448 с.

127. Сарданашвили Г.А. Современные методы теории поля. Алгебраическая квантовая теория.- М.: УРСС, 1999. 216 с.

128. Do N.D. Quantum strata of coadjoint orbits //arXiv:math/0003100.

129. Llelo M.A. Fioresi R. Algebraic and Differential Star Products on Regular Orbits of Compact Lie Groups // Рас. J. Math. 2001. - P. 411 436.

130. Lledd M.A. Star Products on Coadjoint Orbits // Phys. Atom. Nucl. -2001.- V.64. P. 2136-2138.

131. Lledo M.A. Deformation Quantization of Coadjoint Orbits // Int. J. Mod. Phys. B. -2000. V.14. - P. 2397- 2400.

132. Landsman N.P. Strict quantization of coadjoint orbits // arXiv:math-ph/9807027.

133. Харт H. Геометрическое квантование в действии. М.: Мир, 1985. -343 с.

134. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. В 2 т.- Бишкек.: "Айнштайн", 1997. Т. 2. - 396 с.

135. Donin J. Gurevich D. Shnider S. Double quatization on some orbits in the coadjoint representations of simple Lie groups //Com. Math. Phys. -1999. V.204. - P. 39-60.

136. Echeverria-Enriquez A. et al. Mathematical foundations of geometric quantization // arXiv:math-ph/9004008.

137. Schlichenmaier M. Berezin-Toeplitz quantization and Berezin transform // arXiv:math-ph/0009219.

138. Фоменко A.T. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. -М.: МГУ, 1988. 413 с.

139. Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. М.: МГУ, 1983. - 216 с.

140. Березин Ф.А. Несколько замечаний об ассоциативной оболочке алгебры Ли // Функ. анал. и его прил. 1967. - T.l. N.2. - С. 1-14.

141. Березин Д.В. Инварианты коприсоединенного представления для алгебр Ли некоторого специального вида // УМН. 1996. - Т.51. N.1. - С. 141-143.

142. Березин Ф.А. Квантование // Изв. АН СССР. сер. матем. -1974. -Т.38. N.5. С. 1116-1175.

143. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М.: Мир, 1978. - 407 с.

144. Moretti V. // Phys. Rev. D. 1997. - V.56. - P. 7791.

145. Иваненко Д.Д., Пронин П.И., Сарданашвили П. А. Калибровочная теория гравитации. М.: МГУ, 1985. - 144 с.

146. Брилл Д., Уилер Дж. // В сб. "Новейшие проблемы гравитации". М.: ИЛ, 1961. 381 с.

147. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1984. -528 с.