Применение пакетов аналитических вычислений к решению некоторых задач дифференциальной геометрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Джепко, Валерий Валентинович

• Джепко, Валерий Валентинович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Джепко, Валерий Валентинович

Введение

1 Вычислительные системы в математическом исследовании

1.1 Система аналитических вычислений Maple.

1.2 Система численных исследований MatLab.

1.3 Вычислительный пакет MathCad.

1.4 Система компьютерной алгебры Mathematica.

2 Коэффициенты формулы символа произведения двух дифференциальных операторов

2.1 Предварительные сведения.

2.2 Алгоритм поиска коэффициентов

2.3 Основные результаты

2.4 Поиск коэффициентов с использованием двойного экспоненциального отображения на пространствах постоянной кривизны

2.4.1 Предварительные сведения.

2.4.2 Евклидовы сферы

2.4.3 Пространства Лобачевского.

2.4.4 Следствия и замечания.

3 Новые инвариантные метрики Эйнштейна на некоторых однородных пространствах классических групп Ли

3.1 Предварительные сведения.

3.2 Поиск метрик при t = 1, s =

3.2.1 Пространства 30(кг + к2 + к3)/80(к3).

3.2.2 Пространства Зр(к\ + кч + к3)/Зр(к3).

3.3 Поиск метрик при < = 1 и произвольном я.

3.4 Поиск метрик при £ = 2, й =

3.4.1 Пространства 30(кх + Л?2 + к3)/30{к2) х 50(^3)

3.4.2 Пространства 5р(&1 + + к3)/Зр{к2) х

3.5 Поиск метрик при я = 1 и произвольном t.

3.5.1 Пространства БО{И + к)/{80(1)У.

3.5.2 Пространства Бр{И + к)/(8р(1)У.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение пакетов аналитических вычислений к решению некоторых задач дифференциальной геометрии»

Системы аналитических вычислений играют важную роль во многих областях науки, и со временем их актуальность только возрастает. Научное программирование постоянно претерпевает трансформацию: развиваются интегральные среды, основанные на алгоритмических языках, и растет применение универсальных математических систем, таких как Maple, Mathema-tica, MatLab, MathCad, Mupad, Derive и других. Эти системы предоставляют широкие возможности для специалистов разных профилей, с их помощью проще и быстрее решать исследовательские и прикладные задачи. Для написания программ с помощью математических систем не требуется глубоких знаний алгоритмических языков программирования, пользователь освобождается от монотонных вычислений и концентрирует свое внимание на теоретической стороне решаемой задачи. Системы аналитических вычислений привлекают многих своих пользователей удобными и хорошо реализованными возможностями отображения графической информации. Многие из рассматриваемых систем позволяют сохранять результаты вычислений в различных форматах (LaTeX, Excel, RTF и др.), что существенно облегчает написание научных статей.

Современная геометрия, также как и другие области математики, использует компьютерные технологии для решения своих задач. Существуют примеры, доказывающие эффективность математических систем не только при решении численных задач, но и при доказательстве теорем. Например, хорошо известно доказательство гипотезы четырех красок, осуществленное К. Аппелем и В. Хакеном. Также, в работе О. Ковальского и 3. Влаше-ка, о классификации инвариантных метрик Эйнштейна на пространствах

Алоффа-Уоллача, применение компьютера подсказало путь к аналитическому доказательству утверждений. В работе Ю. Сакане [37] при помощи пакетов аналитических вычислений доказывается существование инвариантных метрик Эйнштейна на некоторых флаговых многообразиях. Кроме того, в работе [7] с помощью системы Maple найдены новые примеры эйнштейновых метрик на три-локально-симметрических пространствах с использованием метода Штурма. Также при решении систем алгебраических уравнений с применением компьютерных вычислений широко используются базисы Гребнера, с помощью которых, в ряде случаев, удается найти точное аналитическое решение. Можно отметить работы Ю.В. Никоноровой [9, 10], в которых используются пакеты символьных вычислений для решения задач евклидовой геометрии, работу JI.H. Чибриковой [17] в области (псев-до)римановой геометрии и многие другие.

Данная диссертация посвящена исследованию некоторых задач дифференциальной геометрии при помощи систем аналитических вычислений. В частности, рассматривается задача поиска коэффициентов формулы символа произведения двух дифференциальных операторов, имеющая важное значение в рамках основанной и развиваемой В.А. Шарафутдиновым теории псевдодифференциальных операторов на многообразиях со связностью [18]. С помощью применения компьютерных вычислений к решению этой задачи удалось получить некоторые новые результаты. Также, в данной работе, использование математических систем применено к исследованию задачи поиска новых инвариантных метрик Эйнштейна на некоторых однородных пространствах классических групп Ли. Эта задача имеет важное значение при классификации однородных многообразий Эйнштейна.

Целью диссертационной работы является решение некоторых задач теории псевдодифференциальных операторов и теории эйнштейновых многообразий при помощи пакетов аналитических вычислений, тем самым обосновывается эффективность систематического использования аналитических пакетов для решения задач дифференциальной геометрии.

Основные задачи работы включают:

1. Поиск алгоритма вычисления и эффективное вычисление коэффициентов формулы символа произведения двух псевдодифференциальных операторов.

2. Получение определяющих коэффициентов формулы символа произведения дифференциальных операторов с использованием двойного экспоненциального отображения на пространствах постоянной кривизны.

3. Нахождение новых инвариантных метрик Эйнштейна и доказательство теорем их существования на некоторых однородных пространствах классических групп Ли с помощью систем аналитических вычислений.

Методика исследования ориентирована на использование стандартных методов линейной алгебры, анализа, дифференциальной геометрии, теории псевдодифференциальных операторов, тензорного анализа, теории групп и алгебр Ли. Для решения поставленных задач использовались методы символьных и численных вычислений в системе Maple V Release 4.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Каждая глава в свою очередь разбита на несколько разделов. Нумерация каждого утверждения в диссертации состоит из трех чисел, первое из которых обозначает номер главы, второе - номер раздела, третье - номер утверждения данного типа. Аналогично нумеруются формулы, для таблиц используется сплошная нумерация.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Джепко, Валерий Валентинович

Заключение

С помощью системы аналитических вычислений Maple в диссертации получены следующие результаты:

1. Найден алгоритм вычисления коэффициентов формулы символа произведения двух псевдодифференциальных операторов.

2. Получены коэффициенты формулы символа произведения двух псевдодифференциальных операторов до порядка пять включительно.

3. Получены определяющие коэффициенты формулы символа произведения дифференциальных операторов с использованием двойного экспоненциального отображения на пространствах постоянной кривизны.

4. Найдены новые инвариантные метрики Эйнштейна и доказаны теоремы их существования на некоторых однородных пространствах классических групп Ли.

Успешное применение математических пакетов зависит, в первую очередь, от правильного выбора модели соответствующей геометрической задачи. Вычислительная система при исследовании задачи играет роль экспериментальной базы, позволяет численно проверять возникающие гипотезы и, что более примечательно, указывает путь к математически строгому доказательству.

Вышеуказанные результаты, полученные на основании развития методов применения систем символьных вычислений, показывают целесообразность применения подобных систем к исследованию в областях дифференциальной геометрии и смежных дисциплин.

Все вышесказанное позволяет сделать вывод о том, что дальнейшие исследования по применению средств символьных вычислений к различным задачам геометрии может позволить получить новые результаты.

В заключение автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору Ю.Г. Никонорову за постоянное внимание и поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Джепко, Валерий Валентинович, 2007 год

1. Алексеевский Д.В., Винберг Э.Б., Солодовников A.C. Геометрия пространств постоянной кривизны. // Совр. пробл. матем. Фунд. напр. М.: ВИНИТИ. 1988. Т.29. С.5-146.

2. Бессе A.J1. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир. 1990.

3. Гаврилов A.B. Двойное экспоненциальное отображение и ковариантное дифференцирование. // Сиб. мат. журнал. 2007. Т.48. М. С.68-74.

4. Говорухин В., Цибулин Б. Компьютер в математическом исследовании. СПб.: Питер. 2001.

5. Дьяконов В.П. Системы символьной математики MATHEMATICA 2 и MATHEMATICA 3. М.: CK ПРЕСС. 1998. 320 с.

6. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.1,2. М.: Наука. 1981.

7. Ломшаков A.M., Никоноров Ю.Г., Фирсов Е.В. Инвариантные метрики Эйнштейна на три-локально-симметрических пространствах. // Матем. труды. 2003. Т.6. М. С.80-101.

8. Матросов A.B. MAPLE 6. Решение задач высшей математики и механики. СПб.: БХВ-Петербург. 2001. 528 с.

9. Никонорова Ю.В. Об одной экстремальной задаче на евклидовой плоскости. // Матем. труды. 2001. Т.4. №1. С.111-121.

10. Никонорова Ю.В. Применение системы Maple к решению некоторых задач евклидовой геометрии. // Известия АГУ. Специальный выпуск, посвященный пятилетию краевой конференции по математике. Барнаул: Изд-во АГУ. 2002. С.16-19.

11. И. Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., Славский В.В. Геометрия однородных римановых многообразий. Современная математика и ее приложения. Геометрия. 2006. Т.37. С.1-78.

12. Никоноров Ю.Г. Аналитические методы в теории однородных Ейнштей-повых многообразий. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та. 2000. 183 с.

13. Никоноров Ю.Г. Об одном классе однородных компактных многообразий Эйнштейна // Сиб. мат. журнал. 2000. Т.41. №1. С.200-205.

14. Очков В.Ф. MATHCAD 8 Pro для студентов и инженеров. 1999.

15. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.x. В 2-х томах. М.: Диалог-МИФИ. 1999.

16. Прохоров Г.В., Колбеев В.В., Желнов К.И., Леденев М.А. Математический пакет MAPLE V Release 4: Руководство пользователя. Калуга: Облиздат. 1998.

17. Чибрикова Л.Н. Применение математических пакетов к решению задач (псевдо)римановой геометрии. // Вестник БГПУ: Естественные и точные науки. Барнаул. 2004. №4 С.71-80.

18. Шарафутдииов В.А. Геометрическое исчисление символов псевдодифференциальных операторов. Часть 1. // Матем. труды. 2004. Т.7. №2. С.159-206; Часть 2. // Матем. труды. 2005. Т.8. №1. С.176-201.

19. Шарафутдинов В.А. Интегральная геометрия тензорных полей. Новосибирск: Наука. 1993.

20. Alekseevsky D., Dotty I., Ferraris S. Homogeneous Ricci positive 5-manifolds. // Рас. J. Math. 1996. V.175. P.l-12.

21. Arvanitoyeorgos A. Homogeneous Einstein metrics on Stiefel manifolds // Comment. Math. Univ. Carolinae. 1996. V.3. P.627-634.

22. Arvanitoyeorgos A. New invariant Einstein metrics on generalized flag manifolds. // Trans. Amer. Math. Soc. 1993. V.337. P.981-995.

23. Back A., Hsiang W.Y. Equivariant geometry and Kervaire Spheres // Transac. Amer. Math. Soc. 1987. V.304. P.207-270.

24. Böhm С. Homogeneous Einstein metrics and simplicial complexes // J. Diff. Geom. 2004. V.67. P.79-165.

25. Böhm С., Kerr M. Low dimensional homogenous Einstein manifolds // Transac. Amer. Math. Soc. 2006. V.358. N.4. P. 1455-1468.

26. Böhm С., Wang M., Ziller W. A variational approach for compact homogeneous Einstein manifolds. // Geom. Func. Anal. 2004. V.14. P.681-733.

27. Cartan E. Lecons sur la geometrie des espaces de Riemann. Paris: Gauthier-Villars. 1928. (Пер. на рус. яз.: Картан Э. Геометрия римановых пространств. М.-Л.: ОНТИ. 1936. 244с.)

28. D'Atri J.E., Nickerson N. Geodesic symmetries in space with special curvature tensors // J. Diff. Geom. 1974. V.9. P.251-262.

29. D'Atri J.E., Ziller W. Naturally reductive metrics and Einstein metrics on compact Lie groups // Memoirs Amer. Math. Soc. 1979. V.18. N.215.

30. Gray A. The volume of a small geodesic ball of a Riemannian manifold. // Michigan Math. J. 1973. V.20. P.329-344.

31. Jensen G. The scalar curvature of left invariant Riemannian metrics // Indiana J. Math. 1971. V.20. P.1125-1144.

32. Jensen G.R. Einstein metrics on principal fibre bundles. // J. Diff. Geom. 1973. V.8. P.599-614.

33. Kerr M. Some new homogeneous Einstein metrics // Michigan. J. Math. 1998. V.45. P.115-134.

34. Kimura M. Homogeneous Einstein metrics on certain Kahler C-spaces // Adv. Stud. Pure Math. 1990. V.18. N.l. P.303-320.

35. Kobayashi S. Topology of positive pinched Kahler manifolds // Tohoku Math. J. 1963. V.15. P.121-139.

36. Sagle A.A. Some homogeneous Einstein manifolds // Nagoya. J. Math. 1970. V.39. P.81-106.

37. Sakane Yu. Homogeneous Einstein metrics on flag manifolds. // Lobachevskii J. Math. 1999. V.4. P.71-87.

38. Wallach N. Compact homogeneous riemannian manifolds with strictly positive curvature // Ann. math. 1972. V.96. P.277-295.

39. Wang M, Einstein metrics from symmetry and Bundle Constructions // Surveys in differential geometry: essays on Einstein manifolds. P.287-325, Surv. Differ. Geom. Int. Press. Boston. MA. 1999. VI.

40. Wang M., Ziller W. Existence and Non-existence of Homogeneous Einstein Metrics // Invent. Math. 1986. V.84. P.177-194.

41. Wang M., Ziller W. Einstein metrics with positive scalar curvature // Curvature and Topology of Riemannian Manifolds, Springer Lecture Notes in Mathematics 1201. P.319-336.