Бессдвиговые изотропные конгруэнции и алгебродинамика в римановом пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Тришин, Владимир Николаевич

• Тришин, Владимир Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тришин, Владимир Николаевич

Введение

Основные понятия и обозначения

1 Решения уравнений бикватернионной алгебродинамики в пространстве Минковского

1.1 Алгебродинамический подход к теории поля.

1.2 Уравнения бикватернионной алгебродинамики и сингулярные решения однородных уравнений Максвелла.

1.3 Электромагнитные поля, инвариантные при деформации метрики.

2 Бессдвиговые конгруэнции и ассоциированные физико-геометрические структуры

2.1 Свойства бессдвиговых конгруэнций в римановом пространстве

2.2 Калибровочное поле, ассоциированное с БСК, и эффективная геометрия Вейля-Картана

2.3 Инвариантные дифференциальные операторы, ассоциированные с БСК.

3 Локальные алгебры и условия дифференцируемости как уравнения поля

3.1 Условия дифференцируемости для алгебры в касательном расслоении

3.2 Уравнения алгебродинамики в пространстве со связностью Вайценбёка.

3.3 Алгебра Гржина как локальная алгебра на римановом многообразии.•.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Бессдвиговые изотропные конгруэнции и алгебродинамика в римановом пространстве»

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В современной теоретической физике, в особенности в теории поля и гравитации, широко используются методы, привнесенные из таких интенсивно развивающихся разделов математики, как алгебраическая топология, дифференциальная и алгебраическая геометрия. В качестве примеров можно привести теорию связностей в главных расслоениях, ставшую математической основой теории калибровочных полей [10, 13]. Другим примером может служить теория твисторов, с помощью которой было получено полное описание инстантонных решений для полей Янга-Миллса.

В нашем исследовании основную роль играет такой важный в классической дифференциальной геометрии объект, как конгруэнции на многообразии, а именно изотропные геодезические конгруэнции, обладающие нулевым сдвигом (бессдвиговые конгруэнции, БСК). С геометрической точки зрения, отсутствие сдвига приводит к существованию конформной структуры на пространстве L^/L, где L1- - подпространство векторов, ортогональных к векторному полю конгруэнции L. Физически это соответствует тому, что тонкие пучки соответствующих световых лучей не испытывают искажений формы поперечного сечения, а только растяжение (сжатие) или вращение. Электромагнитное излучение произвольно движущейся в вакууме точечной заряженной частицы также распространяется по бессдвиговым геодезическим без вращения.

Бессдвиговые конгруэнции имеют большое значение во многих разделах теоретической и математической физики. Условие бессдвигово-сти конгруэнции лучей существенно при поиске точных решений уравнений Эйнштейна в общей теории относительности. В первую очередь это связано со знаменитой теоремой Гольдберга-Сакса [27], согласно которой для всех алгебраически специальных решений вакуумных уравнений Эйнштейна кратное главное изотропное направление (ГИН) тензора Вейля касательно к лучам бессдвиговой конгруэнции. Этот результат был обобщен на случай системы Максвелла-Эйнштейна в работе [61]. Кроме того, существование БСК в исследуемой метрике часто приводит к значительному упрощению вычислений в формализме Ныомена-Пенроуза при поиске решений уравнений общей теории относительности (см. например [1, 15, 9]).

Отметим также важное значение уравнений БСК для моделей комплексной гравитации (см., например, серию обзорных статей [30] и [59]). В этом случае их решения определяют изотропные 2-поверхности ("изотропные струны"), существование которых приводит к редукции вакуумных уравнений Эйнштейна к единственному дифференциальному уравнению [57].

Бессдвиговые конгруэнции играют также важную роль при построении решений уравнений безмассовых полей как в плоском, так и в искривленном пространстве. В частности, они позволяют строить решения уравнений Максвелла на фоне неплоской метрики. Известен классический результат Робинсона [60] (см.также [65, 31]), согласно которому каждая аналитическая БСК с определенной параметризацией определяет некоторое изотропное решение однородных уравнений Максвелла. Бессдвиговые лучи используются также для построения потенциала Герца максвелловского поля в алгебраически специальных пространствах

24]. В частности, в пространстве с БСК, являющейся кратным ГИН тензора Вейля, для каждого решения однородных уравнений1 Максвелла существует скалярный потенциал Дебая [68]. Кроме того, исследовались [20] конструкции потенциала Дебая, исходя из тензоров Киллинга-Яно, для построения которых также можно использовать БСК [19, 26]. Отметим, что общий вид тензора Киллинга-Яно в пространствах постоянной кривизны был получен в работе Степанова [14] и использован для построения решений уравнений Максвелла и операторов симметрии уравнения Дирака.

В работах Линда [47] и Ньюмена [48, 51] однородные уравнения Максвелла были проинтегрированы в пространстве Минковского для случая, когда вектор ГИН тензора напряженности электромагнитного поля является касательным к лучу БСК. Эти поля можно рассматривать как "комплексифицированные" поля Лиенара-Вихерта, создаваемые "виртуальным" точечным источником, движущемся по комплексной мировой линии. Заметим, что в частном случае "покоящегося" источника мы получаем электромагнитное поле решения Керра-Ньюмена в ОТО. В случае БСК без вращения решения Линда и Ньюмена сводятся к известным потенциалам точечного источника с действительной мировой линией.

В (конформно) плоских пространствах бессдвиговые конгруэнции тесно связаны с теорией твисторов Пенроуза [56, 71]. В пространстве Минковского каждая БСК может быть получена из некоторой голоморфной функции от компонент твистора, соответствующего лучу конгруэнции (теорема Керра [12]). Кроме того, посредством преобразования Радона-Пенроуза для каждой БСК может быть построено соответствующее решение уравнений безмассового поля (в том числе свободного максвеллов-ского) для которого данная БСК будет являться ГИН [12].

В последние годы бессдвиговые конгруэнции привлекли к себе зна

ХВ литературе также используются термины "свободные уравнения", "вакуумные уравнения" и "уравнения без источников". Уточнение этих понятий будет обсуждаться ниже. чительное внимание в связи с исследованием CR-многообразий (см. например [45, 46] и обзор [69]). Это связано с тем, что каждое 4-мерное пространство-время, содержащее БСК, является лифтом некоторого 3-мерного CR-пространства.

Таким образом, изучение свойств бессдвиговых конгруэнций позволяет получать информацию как о самом пространстве, так и о различных физических полях, которые могут существовать на его фоне.

С другой стороны, бессдвиговые конгруэнции оказались тесно связанными с проблемой построения некоммутативного анализа для алгебр типа кватернионов и с общей программой алгебродинамики, предложенной в работах Кассандрова [7, 8, 33, 39]. Изначально нелинейные уравнения алгебродинамики в плоском пространстве с математической точки зрения являются обобщением условий дифференцируемости Коши-Римана на случай алгебры комплексных кватернионов (бикватернионов). Эти условия позволяют строить решения однородных уравнений Максвелла с автоматически фиксированным электрическим зарядом сингулярности поля и со сложной "частицеподобной" динамикой этих, вообще говоря, протяженных сингулярностей. Отметим, что концепция частиц как сингулярностей поля развивалась в рамках электродинамики еще в классических работах Бейтмена [2], а в рамках ОТО - Ньюменом и др. [50], а также Буринским [3, 21] (рассматривавшим частицеподобные свойства сингулярного кольца Керра). Более того в работе Ланцоша [43] предлагалось рассматривать частицы в качестве полюсов функций бикватернионного переменного.

Уравнения алгебродинамики генерируют также решения комплексных нелинейных уравнений Янга-Миллса и комплексного эйконала. Причем последнее уравнение, общее решение которого было получено в работе [36], играет все возрастающую роль в теории поля, обнаруживая, в частности, солитонную структуру и глубокие связи с моделями калибровочных полей типа Фаддеева-Ниеми [17, 72].

Важно подчеркнуть, что в предложенной процедуре все эти решения дифференциальных уравнений получаются чисто алгебраически из генерирующей твисторной функции. Заметим еще, что они-отличны от всех указанных выше решений Робинсона, Пенроуза и других, генерируемых с помощью БСК.

В этой связи представляется актуальным продолжить изучение решений уравнений алгебродинамики в плоском пространстве, а также соответствующих им физических полей и БСК. Такое исследование и составляет в основном предмет первой главы. Принимая во внимание вышеуказанные свойства модели, представляется также актуальным обобщить данные структуры на случай искривленного пространства-времени. В первой главе рассмотрен простейший способ обобщения результатов, основанный на деформации метрики типа Керра-Шилда.

Поскольку в пространстве Минковского уравнения алгебродинамики оказываются эквивалентными уравнениям БСК в определенной калибровке [39], то одним из путей обобщения может служить анализ бессдвиговых конгруэнций на многообразии с неплоской метрикой. Каждая (непараметризованная) БСК естественным образом определяет некоторый комплексный бивектор. Этот факт был впервые установлен Соммер-сом в работе [63], но никакой физической интерпретации до сих пор ему дано не было. Во второй главе диссертации (см. также [86, 87, 88]) доказано, что при определенных ограничениях на кривизну многообразия этот бивектор является самодуальным и определяет тем самым решение действительных однородных уравнений Максвелла. Для произвольных метрик в правую часть уравнений Максвелла входит ток, пропорциональный первым производным конформной кривизны пространства.

Для достаточно широкого класса многообразий2, у которых луч БСК является кратным ГИН тензора Вейля, обнаружена интересная геомет

2в частности, к ним относятся все алгебраически специальные вакуумные и электровакуумные пространства рическая интерпретация комплексного потенциала. А именно, его действительная часть является вектором неметричности, а мнимая - вектором псевдоследа кручения эффективной аффинной связности типа Вейля-Картана, относительно которой вектор БСК ковариантно постоянен. В работе [39] было показано, что в пространстве Минковского каждая БСК может быть представлена в таком виде. Связности этого типа рассматривались в последнее время Кречетом [42] для геометризации электрослабых взаимодействий, а также Тодом [66] в связи с "локальной гетеротической геометрией", возникающей в (4, 0) суперсимметричных сг-моделях, и с теорией самодуальных пространств Вейля-Эйнштейна. Отметим здесь, что бессдвиговые конгруэнции на трехмерных пространствах Вейля-Эйнштейна привлекли к себе значительное внимание в последнее время в связи "минитвисторным" соответствием Джонса-Тода, описывающем самодуальные конформные 4-многообразия (см., например, обзор [22]).

Другой подход к обобщению уравнений алгебродинамики на римано-вы пространства связан с введением локальной алгебры, заданной в слое касательного расслоения к многообразию. Следует заметить, что первые попытки реализации алгебродинамической программы на искривленных многообразиях предпринимались еще в монографии [7]. Отметим также интересные связи между "локальной" алгеброй бикватернионов и отвечающей ей геометрией многообразия (так называемая теория "локального Q-базиса"), а также её физические приложения, изученные в работах Ефремова [6, 74].

С общей точки зрения предлагаемый подход связан с математической теорией алгеброидов (см. например [28]), обобщающей понятие связности на векторных расслоениях. Отметим, что близкие идеи предложены в работе [18], где предлагается деформировать коммутационные соотношения для генераторов алгебры обычной калибровочной теории и алгебры векторных полей, что позволяет обобщить стандартное понятие ковариантной производной, смешивающей теперь "внутренние" (калибровочные) и "внешние" (пространственно-временные) степени свободы.

В этой связи условия дифференцируемости функций алгебраического переменного обобщаются на случай локальных алгебр для пространств с произвольной аффинной связностью. Рассматриваемая в диссертационной работе модель, реализующая подобное обобщение и основанная на связности Вайценбёка, тесно связана с телепараллельной теорией гравитации, возникающей как калибровочная теория для группы трансляций. При этом основным физико-геометрическим объектом исследования является отвечающее функциям локального алгебраического переменного калибровочное поле. Изучается также возможность введения локальной алгебры к касательном слое риманова пространства, согласованной со связностью Леви-Чивита.

Цель работы.

1. Изучение решений уравнений алгебродинамики в пространстве Минковского и структуры отвечающих им бессдвиговых изотропных конгруэнций. Исследование свойств ассоциированных решений уравнений Максвелла и построение всех точных, т. е. представимых в явном виде, решений, обладающих аксиальной симметрией.

2. Нахождение возможных деформаций метрики, сохраняющих вид решений однородных уравнений Максвелла в плоском пространстве.

3. Изучение связей бессдвиговых изотропных конгруэнций (БСК) в ри-мановом пространстве с геометрией типа Вейля-Картана и другими физико-геометрическими структурами.

4. Построение и изучение свойств решений однородных уравнений Максвелла, ассоциированных с БСК на римановом многообразии, а также соответствующих спинорных уравнений, обобщающих уравнения д'Аламбера и эйконала.

5. Обобщение условий дифференцируемое™ функций, принимающих значения в некоммутативной ассоциативной алгебре на случай произвольных аффинных многообразий. Изучение свойств решений соответствующих уравнений и ассоциированного калибровочного поля на фоне пространства со связностью Вайценбёка. Построение локальной алгебры в касательном расслоении риманова пространства.

Научная новизна работы.

Обнаружены сложные структура и динамика сингулярных решений уравнений Максвелла, отвечающих полученным новым решениям уравнений алгебродинамики, нейтральных или обладающих фиксированным электрическим зарядом. Доказана эквивалентность специального класса бессдвиговых изотропных конгруэнций (БСК) ковариантно-постоянным полям в пространствах со связностью Вейля-Картана. Предложен новый способ генерации решений уравнений Максвелла на искривленном римановом пространстве из решений уравнений БСК. Введены инвариантные спинорные дифференциальные операторы, естественным образом связанные с БСК. Предложено обобщение условий дифференцируемое™ на случай функций локального алгебраического переменного на фоне пространства со связностью Вайценбека и риманова пространства.

Методика исследования.

В работе используется 2-спинорный и твисторный формализмы Пенроуза, методы классической дифференциальной геометрии и теории расслоенных пространств.

Научная и практическая ценность.

Работа имеет теоретическое значение. Предложенные методы носят общий характер и могут быть применены в различных теоретико-полевых моделях. Полученные результаты можно использовать при поиске точных решений уравнений Максвелла и системы Максвелла-Эйнштейна в искривленном пространстве-времени, при изучении геометрии бозонных секторов суперсимметричных моделей и геометрии комплексных пространств, связанных с квантовой гравитацией, а также для развития алгебродинамического подхода к теории поля.

Научные положения, выносимые на защиту, содержатся в списке основных результатов в Заключении диссертационной работы.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на ежегодных научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН (1998, 2001), на X Российской гравитационной конференции (Владимир, 1999), на XII Международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга - 12" (Казань, 2000), на V Международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона (Москва, 2001), на XI Международной конференции "Теоретические и экспериментальные проблемы ОТО и гравитации" (Томск, 2002), на Международной конференции "Новая геометрия природы" (г.Казань, 2003), на III Международной школе-семинаре "Проблемы теоретической и наблюдательной космологии" (Ульяновск, 2003).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 14 работ [75]- [88].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, раздела "Основные понятия и обозначения", трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы. Формулы обозначаются двумя цифрами, где первая означает номер главы, а вторая - номер формулы. Параграфы обозначаются двумя цифрами, где первая означает номер главы, а вторая - номер параграфа. Полный объем работы - 96 страниц машинописного текста, библиография содержит 88 наименований.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Тришин, Владимир Николаевич

Выводы по диссертации

1. Описаны все аксиально-симметричные бессдвиговые изотропные конгруэнции (БСК) в пространстве Минковского с квадратичной по твисторным аргументам генерирующей функцией, а также отвечающие им решения уравнений Максвелла. Алгебраическим методом построены новые решения, в том числе не обладающие симметрией, изучены их свойства и структура сингулярного множества.

2. Для каждого решения уравнений алгебродинамики или, эквивалентно, для каждой БСК в пространстве Минковского строится эффективная риманова метрика типа Керра-Шилда так, что соответствующие электромагнитные поля инвариантны относительно деформации метрики данного вида. Получено условие, при котором такая метрика Керра-Шилда определяется исходной БСК и указаны примеры его реализации.

3. Показано, что в пространствах типа N по Петрову и в конформно-плоских пространствах каждая БСК определяет решение однородных уравнений Максвелла. В алгебраически более общих пространствах соответствующие поля удовлетворяют уравнениям Максвелла с источниками, определяемыми производными от конформной кривизны многообразия.

4. Доказано, что для БСК, являющихся кратным главным изотропным направлением тензора Вейля, условие бессдвиговости изотропной конгруэнции эквивалентно условию ковариантного постоянства векторного поля конгруэнции относительно эффективной связности с неметричностью Вейля и полностью антисимметричным кручением.

5. Введены инвариантные спинорные дифференциальные операторы, обобщающие скалярные операторы Бельтрами и обращающие в ноль спинорное поле БСК, являющейся кратным главным изотропным направлением тензора Вейля.

6. Для случая произвольного афинно-метрического многообразия предложено условие дифференцируемости функций, принимающих значения в локальной алгебре 21. Для случая пространств со связностью Вайценбёка показано, что следствием условий дифференцируемости является условие обобщенной самодуальности калибровочного поля, ассоциированного с 21-дифференцируемыми функциями.

В заключение сформулируем основные выводы по результатам, полученным в диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тришин, Владимир Николаевич, 2004 год

1. Алексеев Г. А., Хлебников В.И. Формализм Ньюмена-Пенроуза и его применение в общей теории относительности // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1978. - т. 9. - с. 1070

2. Г. Бейтмен Математическая теория распространения электромагнитных волн. Москва:Физматгиз, 1958.

3. Буринский А. Я. Микрогеон со спином // Журнал экс. и теор. физ. 1974. - т. 66. - с. 406.

4. Буринский А. Я. Струны в метриках Керра-Шилда // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. 1980. - т. 11. - с. 47

5. Вишневский В. В., Широков А. П., Шурыгин В. В. Пространства над алгебрами. Казань: Изд-во КГУ, 1985.

6. Ефремов А.П. Основы кватернионной теории относительности I. Кинематика инерциальных систем отсчета // Вестник РУДН, серия "Физика". 1995. -т. 3. - с. 117.

7. Кассандров В. В. Алгебраическая структура пространства-времени и алгебро-динамика. М.: Изд-во РУДН, 1992.

8. Кассандров В. В. Алгебродинамика: кватернионы, твисторы, частицы. // Вестник РУДН, серия "Физика". - 2000. - т. 8. - с. 34.

9. Крамер Д., Штефани X., Херльт Э., Мак-Каллум М. Точные решения уравнений Эйнштейна. М.: Энергоатомиздат, 1982.

10. Коноплева Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля. / 3-е изд., испр. М.: Эди-ториал УРСС, 2000.

11. Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.

12. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время т. 1, 2 М.: Мир, 1986, 1988.

13. Рубаков В. А., Классические калибровочные поля. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

14. Степанов С. Е. Тензор Киллинга-Яно // Теор. и матем. физика. 2003. - т. 134. - с. 380.

15. Фролов В. П. Метод Ньюмена-Пенроуза в общей теории относительности. -// Труды ФИАН СССР. М.:Наука. - 1977. - т. 96. - с. 72.

16. Уилер Дж., Гравитация, нейтрино и Вселенная. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

17. Adam С. Hopf maps as static solutions of the complex eikonal equation, e-print math-ph/0312031. 2003.

18. Aldrovandi R., Barbosa A.L. Enlarged geometries of gauge bundles // Int. J. Theor. Phys. 2000. - V. 39. - P. 2779.

19. Benn I. M. A unified description of null and non-null shear-free congruences //J. Math. Phys. 1994. - V. 35. - P. 1796.

20. Benn I. M., Charlton P., Kress J. Debye potentials for Maxwell and Dirac fields from a generalisation of the Killing-Yano equation //J. Math. Phys. 1997. - V. 38. - P. 4504.

21. Burinskii A. Kerr Spinning Particle, Strings, and Superparticle Models // Phys. Rev. 1998. - V. D57. - P. 2392.

22. Calderbank D. M. J., Pedersen H. Self dual spaces with complex structures Einstein-Weyl geometry and geodesies // Ann. Inst. Fourier. 2000. - V. 50. - P. 921-963

23. Carter B. Global structure of the Kerr family of gravitational fields // Phys. Rev. -1968. V. 174. - P. 1559.

24. Cohen J. M., Kegeles L. S. Electromagnetic fields in curved spaces: a constructive procedure // Phys. Rev. 1974. - V. D 10. - P. 1070.

25. Cohen J. M., Kegeles L. S. Constructive procedure for perturbations of spacetimes // Phys. Rev. 1979. - V. D 19. - P. 1641.

26. Debney G. C., Kerr R. P., Schild A. Solutions of the Einstein-Maxwell equations // J. Math. Phys. 1969. - V. 10. - P. 1842

27. Dietz W., Rudiger R. Shearfree congruences of null geodesies and Killing tensors U Gen. Rel. and Grav. 1980. - V. 12. - P. 545.

28. Goldberg J. N., Sachs R. K. A theorem on Petrov types // Acta Phys. Polon. 1962.- V. 22. P. 13.

29. Grabowski J., Urbanski P. Algebroids general differential calculi on vector bundles, e-print math.DG/9909174. - 1999.

30. Grgin E. Relativistic ring extension of the field of complex numbers // Physics Letters. 1998. - V. B431. - P. 15.

31. Hickman J.D.E., Mcintosh С. В. G. Complex relativity and real solutions. I: Introduction. 11 Gen. Rel. and Grav. 1985. - V. 17. - P. 111.

32. Hall G. S., Hickman M. S., Mcintosh С. B. G. Complex relativity and real solutions. II: Classification of complex bivectors and metric classes. // Gen. Rel. and Grav. -1985. V. 17. - P. 475.

33. Hickman M. S., Mcintosh С. B. G. Complex relativity and real solutions. Ill: Real type-N solutions from complex N ® N ones. // Gen. Rel. and Grav. 1986. - V. 18.- P. 107.

34. Holland J. E., Sparling G. A. J. Null electromagnetic fields and relative CR embeddings, e-print math-ph/0110041. 2001.

35. Hughston L. P. Remarks on Sommers' theorem // Class. Quantum Grav. 1987. -V. 4. - P. 1809.

36. Kassandrov V. V. Biquaternion electrodynamics and Weyl-Cartan geometry of space-time // Grav. & Cosm. 1995. - V. 1. - P. 216-222.

37. Kassandrov V. V. Conformal mappings hyperanalyticity and field dynamics // Acta Applic. Math. 1998. - V. 50. - P. 197-206.

38. Kassandrov V. V., Rizcalla J. A. // Тезисы докладов 10-й Российской гравитационной конференции. Владимир. - 1999. - с. 122.

39. Kassandrov V. V. General solution of the complex 4-eikonal equation and the 'algebrodynamical' field theory // Grav. &: Cosm. 2002. - V. 8. - P. 57.

40. Kassandrov V. V. Singular sources of Maxwell fields with self-quantized electric charge // Has the last word been said on classical electrodynamics? New horizons, (eds. Chubykalo A. etc.) - P. 42-66. - Princeton: Rinton Press, 2004.

41. Kassandrov V. V., Rizcallah J. A. Algebrodynamical approach in field theory: bisingular solution and its modifications // Recent problems in field theory (ed. Aminova A. V.) Kazan: Kazan University Press. - 1998. - P. 176.

42. Kassandrov V. V., Rizcallah J. A. Twistor and "weak" gauge strucrures in the framework of quaternionic analysis, e-print gr-qc/0012109. 2000.

43. Kassandrov V. V., Rizcallah J. A. Particles as field singularities in the unified algebraic dynamics // Proc. XXV workshop on the fundamental problems of high energy physics and field theory. Protvino. - 2002.

44. Kerr R. P., Wilson W. B. Singularities in the Kerr-Schild metrics // Gen. Rel. Grav.- 1979 . V. 10. - P. 273-281.

45. Krechet V. G. Geometrization of physical interactions 5-dimensional theories and the many-world problem // Grav. & Cosm. 1995 . - V. 1. - P. 199-203.

46. Lanczos C. The relations of the homogeneous Maxwell's equations to the theory of functions // Cornelius Lanczos collected published papers with commentaries (W. R. Davis et al., eds.). North Carolina State University, Raleigh. - 1998. - V. VI. -P. A-l.

47. Lewandowski J. Twistor equation in a curved spacetime // Class. Quantum Grav.- 1991 . V. 8. - P. Lll.

48. Lewandowski J., Nurowski P. Algebraically special twisting gravitational fields and CR structures // Class. Quantum Grav. 1990 . - V. 7. - P. 309.

49. Lewandowski J., Nurowski P., Tafel J. Einstein's equations and realizability of CR manifolds // Class. Quantum Grav. 1990 . - V. 7. - P. L241.

50. Lind R. W. Shear-free twisting Einstein-Maxwell metrics // Gen. Rel. Grav. 1974 . - V. 5. - P. 25.

51. Lind R. W., Newman E. T. Complexification of the algebraically special gravitational fields I j J. Math. Phys. 1974 . - V. 15. - P. 1103.

52. Lopes C. A. Extended model of the electron in general relativity // Phys. Rev. -1984 . V. D30. - P. 313-316.

53. Newman E. Т., Posadas R. Motion and structure of singularities in general relativity 11 Phys. Rev. 1969 . - V. 187. - P. 1784.

54. Newman Е. Т. Maxwell fields and shear-free null geodesic congruences // Class. Quantum Grav. 2004. - V. 21. - P. 3197.

55. Novikov D., Yakovenko S. Lectures on meromorphic flat connections e-print math.CA/0212334. 2002 .

56. Nurowski P., Plebanski J. F. Non-vacuum twisting type-N metrics // Class. Quantum Grav. 2001. - V. 18. - P. 341.

57. Nurowski P., Trautman A. Robinson Manifolds as the Lorentzian Analogs of Hermite Manifolds e-print math.DG/0201266. 2002 .

58. Penrose R. Spinors and torsion in general relativity // Found, of Physics. 1983. -V. 13. - P. 325-339.

59. Penrose R. Twistor geometry of light rays // Class. Quantum Grav. 1997. - V. 14.- P. A299.

60. Plebanski J. Some solutions of complex Einstein equations //J. Math. Phys. 1975.- V. 16. P. 2395.

61. Ranada A. F. Topological electromagnetism // J. Phys. A 1992. - V. 25. - P. 1621. Ranada A. F., Trueba J. L. Two properties of electromagnetic knots // Physics Letters A - 1997. - V. 232. - P. 25.

62. Robinson D. C. Holomorphic 4-Tnetrics and Lorentzian structures // Gen. Rel. and Grav. 2002. - V. 34. - P. 1173.

63. Robinson I. Null electromagnetic fields // J. Math. Phys. 1961. - V. 2. - P. 290.

64. Robinson I., Schild A. Generalization of a theorem by Goldberg and Sachs //J. Math. Phys. 1963. - V. 4. - P. 484.

65. Robinson I., Trautman А. Сonformal geometry of flows in n-dimensions //J. Math. Phys. 1983. - V. 24. - P. 1425.

66. Sommers P. Properties of shear-free congruences of null geodesies // Proc. R. Soc. London Ser. 1976. - V. A349. - P. 309.

67. Sommers P. Type N vacuum space-times as special functions in C2 // Gen. Rel. and Grav. 1977. - V. 8. - P. 855.

68. Tafel J. On the Robinson theorem and shearfree geodesic null congruences // Letters in Math. Phys. 1985. - V. 10. - P. 33.

69. Tod К. P. Local heterotic geometry and self-dual Einstein-Weyl spaces // Class. Quantum Grav. 1996. - V. 13. - P. 2609.

70. Torres del Castillo G. F. Invariance of the massless field equations under changes of the metric 11 Gen. Rel. and Grav. 1998. - V. 30. - P. 379.

71. Torres del Castillo G. F. Debye potentials for self-dual fields // Gen. Rel. and Grav. 1999. - V. 31. - P. 205.

72. Trautman A. Robinson manifolds and Cauchy-Riemann spaces // Class. Quantum Grav. 2002. - V. 19. - P. Rl.

73. Vladimirov Yu. S., Solov'yov A. V. Finslerian N-spinors: Algebra // Int. J. Theor. Phys. 2001. - V. 40. - P. 1511.

74. Ward R. S., Wells R. O. Twistor geometry and field theory. Cambridge: CUP, 1990.

75. Wereszczynski A. Knotted multi-soliton configurations with arbitrary Hopf index from the eikonal equation e-print hep-th/0410148, 2004.

76. Woodhouse N. M. J. The symplectic and twistor geometry of the general isomonodromic deformation problem e-print nlin.SI/0007024, 2000.

77. Yefremov A. P. Quaternionic relativity. I. Inertial motion // Gravitation and Cosmology. 1996. - V. 2. - P. 77.

78. Yefremov A. P. Quaternionic relativity. II. Non-inertial motion // Gravitation and Cosmology. 1996. - V. 2. - P. 335.

79. Yefremov A. P. Rotational relativity // Acta Phys. Hungarica, New Series Heavy Ion Physics. - 2000. - V. 11, - P. 147.

80. Кассандров В. В., Тришин В. Н. Спиралевидные источники в бикватернион-ной электродинамике // XXXIV Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук: Тезисы докладов. Физические секции. -М.: Изд-во РУДН. 1998. - с. 8-9.

81. Kassandrov V. V., Trishin V. N. Particle-like singular solutions in Einstein-Maxwell theory and in algebraic dynamics // Gravitation and Cosmology. 1999 . - V. 5. -P. 272-276.

82. Тришин В. H. Электромагнитные поля инвариантные при деформации метрики // XII Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики. Тезисы докладов. Казань: "Хэтер".- 2000. с. 74.

83. Тришин В. Н. О реализации алгебродинамического подхода на многообразиях общего вида // Вестник РУДН, серия "Физика". 2002. - т. 10. - с. 13-15.

84. Kassandrov V. V., Trishin V. N. Algebr о dynamics on the space-time manifold // XI Международная конференция "Теоретические и экспериментальные проблемы ОТО и гравитации": Тезисы докладов. Томск. - 2002. - с. 61.

85. Trishin V. N. Hyperdifferentiability conditions for general manifolds // XIV Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической иматематической физики. Тезисы докладов. Казань: "Издательство РегентЪ".- 2002. с. 36.

86. Kassandrov V. V., Trishin V. N. Shear-free null geodesic and associated physical fields // Тезисы докладов третьей Ульяновской международной Школы-семинара "Проблемы теоретической и наблюдательной космологии" UISS-2003.- Ульяновск:УлГУ. 2003. - с. 25.

87. Кассандров В.В., Тришин В.Н. Бессдвиговые геодезические и ассоциированные электромагнитные поля на искривленных многообразиях // Труды объединенной международной конференции "Новая геометрия природы". Казань:КГУ. -2003. - т. IV., с. 77-84.

88. Kassandrov V. V., Trishin V. N. Effective connections and fields associated with shear-free null congruences // Gen. Rel. and Grav. 2004.^- V. 36. - P. 1603-1612.