Применение гидродинамической аналогии для моделирования анодного растворения при прецизионной электрохимической обработке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Ошмарина, Елена Михайловна

• Ошмарина, Елена Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ошмарина, Елена Михайловна

Введение

Глава 1. Обзор литературы и общая постановка задачи

1.1. Факторы, влияющие на скорость и точность электрохимического растворения

1.2. Моделирование величины анодного выхода по току

1.3. Постановка плоских задач

1.4. Стационарные решения

Глава 2. Решение задач стационарного электрохимического формообразования различными ЭИ при разрывной функции выхода по току

2.1. Стационарное электрохимическое формообразование плоским

ЭИ при разрывной функции выхода по току

2.2. Стационарная ЭХО точечным катодом при ступенчатой функции выхода по току

2.3. Стационарная ЭХО пластинчатым катодом при ступенчатой функции выхода по току

2.4. Стационарная ЭХО клиновидным ЭР! при ступенчатой функции выхода по току

Глава 3. Квазистационарное электрохимическое формообразование

3.1. Квазистационарная ЭХО точечным ЭИ

3.2. Квазистационарное электрохимическое формообразование плоским полубесконечным ЭИ

3.3. Квазистационарное электрохимическое формообразование клиновидным ЭИ

3.4. Предельно-квазистационарная ЭХО пластинчатым ЭИ

3.5. Предельно-квазистационарная ЭХО угловым ЭИ

Глава 4. Решение нестационарных задач прецизионной ЭХО

4.1. Нестационарная обработка плоским полубесконечным ЭИ, неподвижным или движущимся с постоянной скоростью к заготовке

4.2. Нестационарная обработка точечным ЭИ

4.3. Нестационарная обработка пластинчатым ЭИ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение гидродинамической аналогии для моделирования анодного растворения при прецизионной электрохимической обработке»

Решения задач Хеле-Шоу могут интерпретироваться как потоки' в пористых средах (полагая^ что они описываются законом Дарси),, движение границы фазового перехода (с, приложением в; металлургии), процессы напыления металлов, анодного растворения; в электрохимической- обработке (ЭХО): Это приложение позволяет рассмотреть новые задачи, например, задачи с переменным выходом по току, и этим дополнить теорию задач'Хеле-Шоу. При этом решение задачи ЭХО (векторное поле напряженностей) можно» получить из решения аналогичной гидродинамической задачи путем поворота на тг/2 вектора скорости жидкости;

Исследование электрохимического формообразования представляет большой интерес в связи с широким* использованием технологий электрохимической размерной^ обработки (ЭХО) в различных отраслях промышленности.

Развитие современного машиностроения и приборостроения приводит к появлению новых высокопрочных материалов, усложнению конструкций изделий, повышению технических требований к точности и качеству обрабатываемых поверхностей. Механическая обработка обладает целым рядом недостатков, в частности приводит к быстрому износу рабочего инструмента, что затрудняет формирование сложнофасонных поверхностей, оказывает негативное силовое и температурное воздействие на обрабатываемую деталь в зоне обработки. Технологические показатели при механической обработке в значительной степени зависят от физико-механических свойств обрабатываемого материала.

Применение методик импульсной электрохимической обработки (ЭХО) является наиболее рациональным способом избежать этих недостатков. Основные преимущества импульсной ЭХО формулируются следующим образом: отсутствие поверхностного изменённого слоя, долговечность инструмента, низкие значения параметров шероховатости при работе на высоких амплитудных плотностях тока и высокая точность копирования формы и повторяемость процесса при работе на достаточно малых межэлектродных зазорах (МЭЗ) (1.20 мкм) по схеме с вибрацией электрода-инструмента (ЭИ).

Впервые ЭХО была предложена в 1928 году отечественными учеными В.Н. Гусевым и Л.А. Рожковым. Первые задачи расчета границ электродов при размерной ЭХО были рассмотрены сразу же после начала внедрения метода в машиностроении. Значительный вклад в разработку теории расчета размерной ЭХО внесли Ф.В. Седыкин, И.И. Мороз, Ю.Н. Петров, В.Д. Кащеев, Г.И. Корчагин, А.Х. Каримов, Ю.С. Волков, А.И. Дикуссар, В.В. Клоков, JI.M. Котляр, Е.И. Филатов, Д.В. Маклаков, Н.М. Миназетдинов, Г.А. Алексеев, JI.M. Щербаков, В.П. Смоленцев, A.JI. Крылов, B.C. Крылов, Г.Р. Энгельгарт, Н.Г. Зайдман, А.Н. Зайцев, В.П. Житников, J.A. McGeogh, J. Kozak и другие ученые.

При ЭХО межэлектродное - пространство (МЭП) заполняется электролитом, к электродам подключается источник тока и происходит растворение материала анода со скоростью, зависящей от плотности тока (и напряженности электрического поля) в данной точке анодной поверхности. Деталь необходимой формы можно получить при выборе соответствующей формы ЭИ и определении параметров процесса. Проточность электролита необходима для эвакуации загрязняющих продуктов реакции и выделяющегося вследствие электролиза воды газа.

Появившиеся и апробированные в последнее время новые технологические схемы ЭХО на импульсном токе, синхронизированном с вибрацией электродов, позволяют улучшить обмен электролита, эвакуацию продуктов реакции и значительно увеличить точность ЭХО.

Прецизионная ЭХО применяется в авиационной, медицинской, инструментальной промышленности, а также находит свое применение в нанотехнологиях.

В то же время возникает проблема расчета форм обрабатываемых поверхностей, образующихся в ходе ЭХО. Это связано с тем, что в отличие от механического процесс ЭХО происходит в бесконтактном режиме и скорость съема материала заготовки в каждой точке поверхности определяется плотностью тока. Поэтому форма следа на заготовке при ЭХО не повторяет полностью профиль ЭИ. Для расчета формы необходимо учитывать различные факторы, связанные с физико-химическими особенностями процесса, а также распределение электрического поля в пространстве между электродами. Помимо того, существенно осложняет исследование формообразования свободной поверхности необходимость проведения сложных расчетов длительного процесса установления предельных конфигураций.

В связи с этим развитие ЭХО требует разработки адекватных математических моделей, учитывающих различные факторы, но при этом не требующих больших затрат машинного времени на расчет формообразования.

Расчет электрических полей при допущении их потенциальности аналогичен расчету полей потенциальных течений жидкости. Гидродинамическая аналогия уравнений и граничных условий для решения этих уравнений облегчает формулировку краевых задач для различных схем ЭХО. Данное обстоятельство позволяет разработать эффективные методы расчета электрохимического формообразования посредством применения мощных гидродинамических методов расчета, основы которых заложены в работах М.А. Лаврентьева [43, 44], М.И. Гуревича [9], П.Я. Полубариновой-Кочиной [61] и др.

Краевые задачи для уравнения Лапласа с подвижными границами, когда скорость движения границы пропорциональна градиенту потенциала принято называть задачами Хеле-Шоу со свободными границами. Решения этих задач могут интерпретироваться как течения вязкой жидкости, процессы растворения металлов при электрохимической обработке и другие процессы.

Известны решения задач Хеле-Шоу, полученные на основе методов конечных разностей и конечных элементов, граничных элементов. Необходимо отметить, что разработанные ранее методы не обладают достаточной устойчивостью к накоплению погрешности, при расчете длительных переходных процессов.

На сегодняшний день имеется также целый пласт нерешенных задач научного плана, ограничивающих использование преимуществ импульсной ЭХО.

Одной из основных проблем математического моделирования в любой области является оценка погрешностей и обоснования достоверности полученных оценок. Увеличение количества арифметических операций для решения сложных задач приводит к накоплению погрешности округления, что требует разработки методов ее контроля. В данной работе для этих целей применяются методы фильтрации численных результатов [19, 113], основанные на одновременном использовании данных, полученных при различном числе узловых точек сетки.

В данной работе для исследования процессов ЭХО применяются численно-аналитические методы на основе теории функций комплексного переменного (ТФКП). Предлагается видоизмененная постановка задачи электрохимического формообразования. Для моделирования прецизионного процесса анодного растворения используется скачкообразная функция выхода по току, определяющая скорость движения границы анода. Это приводит к возникновению на обрабатываемой поверхности участков трех типов: активного растворения, отсутствия растворения (при малой плотности тока) и переходного между ними участка, на котором плотность тока равна критическому значению.

Целью исследований является:

Разработка методов решения задач Хеле-Шоу с ограничениями на подвижность границ и исследование моделей прецизионной ЭХО для интерпретации экспериментальных данных.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• Разработать математическую модель, описывающую процесс прецизионной ЭХО на основе гидродинамической аналогии с использованием скачкообразной функции анодного выхода по току.

• На основе предложенной модели сформулировать задачи Хеле - Шоу в стационарной, нестационарной и квазистационарной постановках.

• Разработать методы решения поставленных задач.

• Исследование процессов формообразования на основе предложенной модели.

Диссертация (154 стр.) состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (117) и приложения, содержит 92 рисунка.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Ошмарина, Елена Михайловна

Выводы

Таким образом, в данной главе проведена модификация численно-аналитического метода и решены три нестационарные задачи ЭХО со скачкообразной функцией выхода по току.

Полученные результаты дали возможность провести исследование форм обрабатываемой поверхности, получающихся при различных соотношениях геометрических и физических параметров.

Полученные численные результаты позволяют сравнить решения нестационарных задач со стационарными и квазистационарными решениями. Это, во-первых, упрощает оценку погрешности и увеличивает достоверность численных результатов. Во-вторых, в результате сравнения решений найдены диапазоны применимости упрощенных методов исследования нестационарных процессов: квазистационарного и предельно-квазистационарного.

Условием формирования квазистационарного процесса является монотонное увеличение (неуменьшение) напряженности в точках обрабатываемой поверхности. Например, это справедливо при обработке вертикальным пластинчатым и угловым ЭИ и несправедливо при обработке точечным и горизонтальным пластинчатым ЭИ. В этих двух и подобных им случаях на части обрабатываемой поверхности, граничащей с нерастворяемой зоной, формируется финальный режим, в котором растворение отсутствует, а форма остается неизменной.

В тех случаях, в которых формируется квазистационарный режим, как показывают численные исследования, быстро формируется предельная зона обрабатываемой поверхности, которая затем изменяется, оставаясь предельной (т.е. в ней выполняется условие равенства модуля напряженности критическому значению). Стационарная зона образуется более медленно, поэтому квазистационарное решение возможно при т>т0, где то=то(а).

Сравнение полученных нестационарных и квазистационарных форм (в диапазоне существования непротиворечивых решений квазистационарных задач) показало отсутствие различий, превышающих погрешность решения нестационарной задачи (порядка 10").

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации с помощью гидродинамической аналогии было проведено моделирование процессов электрохимического формообразования с помощью ЭИ различной формы при предельных значениях коэффициента локализации. Для исследования таких процессов было предложено использовать скачкообразную зависимость выхода по току от плотности тока.

В качестве основных выводов по диссертационной работе можно выделить следующее:

1. Разработаны методы точного и численного решения стационарных, нестационарных и квазистационарных задач Хеле-Шоу с ограничениями на подвижность границ, которые дали возможность решить поставленные задачи во всей области определения отношения максимального и критического значений скорости/напряженности и оценить погрешность численного решения. Найдены условия применения квазистационарной модели. Сравнение полученных нестационарных и квазистационарных форм показало отсутствие различий, превышающих погрешность решения нестационарной задачи (около 0.1%).

2. С помощью гидродинамической аналогии и использования скачкообразной зависимости анодного выхода по току от плотности тока разработана математическая модель прецизионной электрохимической обработки, позволяющая объяснить резкие очертания обработанной поверхности (не характерные для идеального формообразования) высокой локализацией процесса растворения.

3. Использование предложенной модели привело к выделению на свободной границе участков с тремя типами краевых условий (стационарных, переходных и нерастворимых). Это позволило объяснить природу реального явления путем сопоставления формы обрабатываемой поверхности на переходных участках с формой свободной поверхности гидродинамической задачи истечения из-под щита (в частности, бесконечной кривизной поверхности в точке отрыва). 4. Результаты численных исследований позволили получить характеристики нестационарных процессов формообразования. Показано, что изменение характерных размеров, например, торцевого и бокового зазоров, нестационарного решения происходит по экспоненциальному закону. Найдены конкретные зависимости этих параметров от времени, играющие важную роль при разработке технологий прецизионной электрохимической обработки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ошмарина, Елена Михайловна, 2011 год

1. Бенерджи П.К., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. - М.: Мир, 1984. - 494 с.

2. Бреббия К., Теллес Ж, Вроубел Л. Метод граничных элементов. — М.: Мир, 1987.

3. Волков Ю.С., Мороз И.И. Математическая постановка простейших стационарных задач электрохимической обработки металлов // Электронная обработка материалов. Кишинев: Штиинца, 1965. - № 5-6.-С. 59-65.

4. Воронкова А.И. Влияние кавитации и переменности выхода по току на стационарное электрохимическое формообразование: Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1997. - 18 с.

5. Газизов Е.Р., Маклаков Д.В. Метод расчета анодного формообразования двугранным катодом для произвольной зависимости выхода по току // Теория и практика электрофизикохимических методов обработки деталей в авиастроении. -Казань: КАИ, 1994.-С.32-35.

6. Газизов Е.Р., Маклаков Д.В. Метод расчета анодного формообразования катодом-инструментом с криволинейной границей для произвольной зависимости выхода по току. // Проблемы гидродинамики больших скоростей. Чебоксары: Чув. Ун-т, 1993. -С.70-74.

7. Галин Л.А. Нестационарная фильтрация со свободными границами // ДАН СССР. Т. 47, 1945. - С. 246-249.

8. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. -М.: Наука, 1979. -536 с.

9. Давыдов А. Д., Козак Е. Высокоскоростное электрохимическое формообразование. М.: Наука, 1990. - 272 с.

10. Житников В.П. Решение плоских и осесимметричных задач с помощью методов теории функции комплексного переменного: Учебное пособие. Уфа: УГАТУ, 1994. - 106 с.

11. Житников В.П., Зайцев А.Н. Импульсная электрохимическая размерная обработка. -М.: Машиностроение, 2007. -407 с.

12. Житников В.П., Зайцев А.Н. Математическое моделирование электрохимической размерной обработки. Уфа: УГАТУ, 1996. - 221 с.

13. Житников В.П., Ошмарина Е.М. Предельная модель процесса электрохимической обработки // Тезисы докладов Российской конф. -Многофазные системы: природа, человек, общество, технологии- Уфа: Нефтегазовое дело, 2010. С. 146-148.

14. Житников В.П., Ошмарина Е.М., Федорова Г.И. Использование разрывных функций для моделирования растворения при стационарном электрохимическом формообразовании // Изв. Вузов. Математика. 2010, № 10. - С. 77-81.

15. Житников В.П., Ошмарина Е.М. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ РФ № 20100616831 от 13.10.2010г. Программа для численно-аналитического решения задачи квазистационарной электрохимической обработки.

16. Житников В.П., Ураков А.Р., Гуцунаев A.B. Численно-аналитический метод решения нестационарных задач электрохимической размерной обработки // Электронная обработка материалов. 1999. - №2(196). -С. 4-9.

17. Житников В. П., Зиннатуллина О. Р., Ошмарина Е. М., Федорова Г. И. Моделирование электрохимического формообразования приограничениях на растворение // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2009. - №4(82), СПб. - С. 221-224.

18. Житников В. П., Шерыхалина Н.М. Моделирование течений весомой жидкости с применением методов многокомпонентного анализа. -Уфа: Гилем, 2009. 336 с.

19. Житников В.П., Федорова Г.И., Зиннатуллина O.P. Почти аналитический метод решения задач нестационарного электрохимического формообразования // Гидродинамика больших скоростей: тез. докл. 2-й междунар. науч. школы-сем. —.— Чебоксары: 2004.-С. 158-160.

20. Зайдман Г.Н., Петров Ю.Н. Формообразование при электрохимической размерной обработке металлов. — Кишинев: Штиинца, 1990. -205 с.

21. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.-318 с.

22. Зиннатуллина O.P. Методы решения осесимметричных стационарных задач электрохимического формообразования // Вузовская наука -России: матер, науч. практ. конф. Набережные Челны, 2005. - Часть 1.-С. 108-111.

23. Зиннатуллина O.P. Решение осесимметричных задач нестационарного электрохимического формообразования // Матер, науч. практ. конф. -Вузовская наука — России. Набережные Челны: 2005. — Часть 1. - С. 158-160.

24. Зиннатуллина O.P. Численно-аналитические методы решения осесимметричных задач Хеле-Шоу: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Уфа: 2006. - 149 с.

25. Идрисов Т.Р. Влияние дополнительной поляризации электродов на точность и качество поверхности при электрохимической обработке микросекундными импульсами тока: Дисс. канд. техн. наук. Уфа: 2003.

26. Идрисов Т.Р., Зайцев А.Н., Амирханова H.A. Исследование электродных потенциалов в нестационарных условиях при электрохимической обработке // Электронная обработка материалов.2001.-№ 1.-С.4-8.

27. Каримов А.Х., Клоков В.В., Филатов Е.И. Методы расчета электрохимического формообразования. Казань: КГУ, 1990. - 387 с.

28. Клоков В.В. Влияние переменного выхода по току на стационарное анодное формообразование И Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т, 1979. - Вып. 16. - С. 94-102.

29. Клоков В.В. Об одном методе расчета стационарного электрохимического формообразования // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т, 1975. - Вып. 12. — С. 93-101.

30. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование двугранным катод инструментом. Казань: Казанск. ун-т, 1989. - 28 с. - Деп. в ВНИИТЭМР 03.07.89. -№188.

31. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование. Казань: Казанск. ун-т, 1984. - 80 с.

32. Клоков В.В., Салихов А.Н. Стационарное электрохимическое формообразование и гидродинамика в окрестности датчика зазора. — Казань: Казанск. ун-т, 1989. 30 с. - Деп. в ВНИИТЭМР 24.07.89. -№209.

33. Клоков В.В., Шишкин С.Е. Стационарное анодное формообразование двугранным катодом при неравномерной поляризации анода // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т, 1985. — Вып.22. — С. 117-124.

34. Коннор Дж., Бребия К. Метод конечных элементов в механике жидкости. -М.: Мир, 1981.

35. Котляр Л.М. Миназетдинов Н.М. Об одном методе расчета газожидкостного слоя при стационарной электрохимической обработке// Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Изд-во КГУ, 1993.-Вып. 28.-С. 51-58.

36. Котляр Л.М., Миназетдинов Н.М Моделирование процесса электрохимической обработки металла для технологической подготовки производства на станках с ЧПУ. — М.: Academia, 2005. -200 с.

37. Котляр Л.М., Миназетдинов Н.М. Определение формы анода с учетом свойств электролита в задачах электрохимической размерной обработки металлов // ПМТФ. 2003. - Т. 44, №3. - С. 179-184.

38. Котляр Л.М., Миназетдинов Н.М. Эволюция формы анодной границы при электрохимической размерной обработке металлов // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск: 2004. - Т. 45, №4, - С. 7-12.

39. Котляр, Л. М., Миназетдинов, Н. М Моделирование процесса электрохимической обработки металла для технологической подготовки производства на станках с ЧПУ. — М.: Academia, 2005. -200 с.

40. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

41. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики И' их математические модели. М.: Наука, 1977. - 408 с.

42. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения. Итоги науки и техники ВИНИТИ. Совр. пробл. мат.: фундам. направление. 1988. - Т. 27. - С. 131-228.

43. Маклаков Д.В., Шишкин С.Е. Метод возмущений в задачах стационарной электрохимической обработки // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Казанск. ун-т, 1987. — Вып. 23. С. 164-168.

44. Маннапов А.Р., Зайцев А.Н. Технологические показатели электрохимического формирования вставок щёточных уплотнений //Вестник УГАТУ, 2008. № 11. - С. 23-28.

45. Миназетдинов Н.М. Гидродинамическая интерпретация одной задачи теории размерной электрохимической обработки металлов // ПММ, 2009. Т. 73, № 1.-С. 60-68.

46. Миназетдинов Н.М. Об одной задаче размерной электрохимической обработки // ПМТФ. 2009, т. 50, №3. С. 214-220.

47. Миназетдинов Н.М. Об одной схеме электрохимической обработки металлов катодом-инструментом с криволинейным участком границы // ПММ. 2009. Т. 73, № 5. С. 824-832.

48. Миназетдинов Н.М. Учет кавитации при стационарном электрохимическом формообразовании: Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань: 1994. - 15 с.

49. Мороз И.И., Алексеев Г.А., Водяницкий O.A. и др. Электрохимическая обработка металлов. М.: Машиностроение, 1969. 208 с.

50. Ошмарин A.A., Ошмарина Е.М. Численное исследование задач о течении весомой жидкости в технических устройствах // Уфимская межд. математическая конф.: сб. матер., т. 1. Уфа. ИМВЦ, 2007. С. 67-68.

51. Ошмарина Е.М. Моделирование электрохимического формообразования при скачкообразной функции выхода по току // Всерос. молодежи, научн. конф. Мавлютовские чтения —: сб. тез. докл., Т.5. - Уфа: УГАТУ, 2009. - С. 35-37.

52. Ошмарина Е.М., Федорова Г.И. Применение гипергеометрических функций при решении задач электрохимической обработки // Матер. Всеросс. молодежи, научн. конф. — Мавлютовские чтения —, 2007, т. 5. Уфа: УГАТУ.- С. 34-35.

53. Полубаринова-Кочина П.Я. Нестационарное движение в теории фильтрации. // ПММ. 1945. Т. 9. - С. 79-90.

54. Поречный С. С. Гидродинамическое и геометрическое моделирование формообразования выступов при электрохимической обработке. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Уфа: 2009. - 129 с.

55. Прудников А.П., Бычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука. - 1981.-800 с.

56. Седыкин Ф.В. Размерная электрохимическая обработка деталей машин. М.: Машиностроение, 1976. 301 с.

57. Седыкин Ф.В., Орлов Б.П., Матасов В.Ф. Исследование анодного тока при электрохимической обработке при постоянном и импульсном напряжении. Технология машиностроения, Тула, 1975, Т. 39. С.3-10.

58. Ураков А.Р., Гуцунаев A.B. Метод численно-аналитического решения задач нестационарной размерной ЭХО // Труды Междунар. науч. конф. — Моделирование, вычисления, проектирование в условиях неопределенности 2000. Уфа: УГАТУ, 2000. - С. 251-254.

59. Ураков А.Р., Гуцунаев A.B. Расчет формы поверхности при нестационарной электрохимической обработке проволочным электродом // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001.-Т. 8, вып. 2.-С. 700-701.

60. Федорова Г.И. Методы расчета формообразования поверхности при нестационарной электрохимической обработке: Дисс. . канд. физ.-мат. наук.-Уфа: 2004.- 158 с.

61. Филатов Е.И. Расчет ширины зазора при стационарной ЭХО с учетом нагрева электролита // Электрохим. и элсктрофиз. методы обработки материалов в авиастроении. Казань: Казанск. авиац. ин-т, 1990. - С. 64-68.

62. Шерыхалина Н. М., Ошмарин A.A., Ошмарина Е.М. Определение параметров гравитационных волн, близких к предельным, с помощью численной фильтрации и экстраполяции // Труды инст-та механики. -Уфа: Нефтегазовое дело. 2008. С. 217-222.

63. Шерыхалина Н.М., Ошмарин A.A., Ошмарина Е.М. Применимость принципа максимального расхода при исследовании течений в центробежной форсунке // Вестник УГАТУ (сер. Машиностроение), 2007. Т. 9, №1 (19).-С. 47-51.

64. Щербак М.В., Толстая М.А., Анисимов А.П. и др. Основы теории и практики электрохимической обработки металлов и сплавов. М.: Машиностроение, 1981.-263 с.

65. Ястребов В.Н., Каримов А.Х. Математическое моделирование нестационарного процесса электрохимического скругления кромок деталей ГТД // Электрохимические и электрофизические методы обработки материалов. Казань: КАИ, 1989. - Вып. 1. - С.23 - 34.

66. Bortels L., Purcar M., Bart Van den Bossehe, Deconinck J. A user-friendly simulation software tool for 3D ECM. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK, 2004. - V. 3. - PP. 486 - 492.

67. Christiansen S., Rasmussen H. Numerical solutions for two-dimensional annular electrochemical machining problems // J. Inst. Maths. Applies. -1976. № 18, - PP. 295 - 307.

68. Craster R.V. Two related free boundary problems. IMA J. Appl. Math. -1994. №52. - PP. 253 - 270.

69. Cummings L. J. Howison, S. D., King J. R. Two-dimensional Stokes and Hele-Shaw flows with free surfaces // European J. Appl. Math. 10, 1999. -PP. 635 680.

70. Elliott C. M., Ockendon J. R. Weak and variational methods for moving boundary problem // Pitman, London, 1992.

71. Fedorova G.I., Zhitnikov V.P., Zinnatullina O.R. Simulation of Non-Stationary Processes of Electrochemical Machining //Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK, 2004. - V. 149. - PP. 398 - 403.

72. Fedorova G.I., Zhitnikova N.I., Oshmarina E.M. Programs testing of nonstationary work-piece shaping computation. Proceedings of 10-th Workshop on Computer Science and Information Technologies (CSIT -2008), Vol. 2. Antalya, Turkey, 2008, pp. 221-223.

73. Gustafsson B., Vasil'ev A. Conformal and Potential Analysis in Hele-Shaw cells. // Stockholm-Valparaiso, 2004. 189 p. www.math.kth.se/~gbjorn/

74. Hele-Shaw H. S. On the motion of a viscous fluid between two parallel plates. // London: Trans. Royal Inst. Nav. Archit. 40 (1898) 21.

75. Howison S.D., Complex variable methods in Hele-Shaw moving boundary problems. // Eur. J. Appl. Math. 3 (1992) PP. 209 - 224.

76. Howison S.D., King J.R. Explicit solutions to six free-boundary problems in fluid flow and diffusion. // IMA J. Appl. Math 42, 1989. PP. 155 - 175.

77. Howison S.D., Ockendon J.R. and Lacey A.A. Singularity development in moving boundary problems. // Q. J. Mech. Appl. Math. 38 (1985). PP 343 -360.

78. King J. R., Development of singularities in some moving boundary problems // Euro. J. Appl. Math. 6 (1995). No. 5. - PP. 491 - 507.

79. Konig W., Humbus H.-J. Mathematical Model for the Calculation of the Contour of the Anode in electrochemical Machining // Cirp. Annals, 1977. -V. 25,No l.-PP. 83-87.

80. McGeough J.A., Principles of Electrochemical Machining. // London: Chapman and Hall, 1974. 290 p.

81. McGeough, J. A., Rasmussen, H. On the derivation of the quasi-steady^ model in electrochemical machining // J. Inst. Maths Applies, 1974. Vol. 13.pp. 13-21.

82. Novak P., Rousaz I., Kimla A. etc. Mathematical simulation of electrochemical machining // Материалы междунар. шк. ЭХОМ-88, Любневицы (ПНР), 1988. - С. 100 - 115.

83. Ockendon J. R., Howison S. D. Kochina and Hele-Shaw in modern mathematics, natural sciences, and technology // J. Appl. Math. Mech. 2002. Vol. 66, No. 3. - PP. 505 - 512.

84. Pandey J. Finite Element Approach to the two-dimensional Analysis of ECM // Precis. Eng. 1980. V. 2, No 1. - PP. 23-28.

85. Polubarinova-Kochina P.Ya. Theory of Groundwater Movement. // Princeton: Princeton Univ. Press. 1962. 350 p.

86. Purcar M., Bortels L., Bart Van den Bossche, Deconinck J. 3D electrochemical machining computer simulations. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, 2004. V. 3. - PP. 472 - 478.

87. Richardson S. Hele-Shaw flows with a free boundary produced by the injection of fluid into a narrow channel. // J. Fluid Mech., 56 (1972). No. 4.-PP. 609-618.

88. Richardson S. On the classification of solutions to the zero surface tension model for Hele-Shaw free boundary flows. // Quart. Appl. Math., 55 (1997). -No. 2.-PP.313-319.

89. Saffman P. G. Taylor G. I. The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid. // Proc. Royal Soc. London, Ser. A, 245 (1958). PP. 281, 312 - 329.

90. Saffman P. G., Taylor G. I. A note on the motion of bubbles in a Hele-Shaw cell and porous medium. // Quart. J. Mech. Appl. Math. 17 (1959). No. 3. -PP. 265-279.

91. Urakov A.R., Gutsunaev A.V. Numerical method of on nonstationary electrochemical machining problems solution // Proceedings of the 5-th Workshop on Computer Science and Information Technologies CSIT -2003. Ufa, Russia, 2003. Vol. 2 - PP. 43.

92. Volgin V. M., Davydov A. D. Modeling of multistage electrochemical shaping. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK, 2004. -V. 3.-PP. 466-471.

93. West A., Madore C., Moltosz M., Landolt D. Shape changes during through-mask electrochemical micromachining of thin metal films. // J. Electrochem. Soc., 1992. №2, 139. PP. 499 - 506

94. Zhitnikov V.P., Fedorova G.I., Zinnatullina O.R. Simulation of non-stationary processes of electrochemical machining // Journal of Materials Processing Tech., Elsevier, 2004. Vol. 149/1-3. - PP. 398 - 403.

95. Ямке E., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука. 1977. -344 С.

96. Житников В. П., Шерыхалина Н.М., Поречный С.С. Об одном подходе к практической оценке погрешностей численных результатов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2009. - №3(80), СПб. - С. 105-110.

97. Житников В.П., Муксимова P.P., Ошмарина Е.М. Моделирование процессов нестационарного электрохимического формообразования применительно к прецизионным технологиям // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского. 2010, т. 42. С. 99122.

98. Ошмарина Е.М., Салимьянов А.Р. Квазистационарное электрохимическое формообразование точечным электродинструментом // Принятие решений в условиях неопределенности. Вып. 7. Уфа: УГАТУ. 2010. - С. 44-48.

99. Ошмарина Е. М. Квазистационарное приближение в задачах электрохимического формообразования // Сб. ст. шестой Всероссийск. зимн. шк.-семинара аспирантов и молодых ученых, Уфа: УГАТУ, 2011. Том 2.-С. 332-336.

100. Житников В.П., Ошмарина Е.М. Исследование нестационарной электрохимической обработки деталей ГТД // Всерос. научн.-техн. конф. «Мавлютовские чтения»: сб. трудов. Уфа: УГАТУ, 2011. Т.5. С. 91-95.