Гидродинамическое и геометрическое моделирование формообразования выступов при электрохимической обработке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Поречный, Сергей Сергеевич

• Поречный, Сергей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Поречный, Сергей Сергеевич

Введение

Глава 1. Обзор литературы и общая постановка задачи

1.1. Подходы к моделированию ЭХО

1.2. Постановка плоской задачи

1.3. Стационарные решения

Глава 2. Решение задачи об импульсной электрохимической обработке в одномерном приближении

2.1. Обработка плоским неподвижным ЭИ

2.2. Обработка плоским неподвижным ЭИ с прямоугольным выступом

2.3. Обработка плоским подвижным ЭИ

Глава 3. Решения задач стационарной и начальной ЭХО

3.1. Стационарное решение задачи ЭХО плоским ЭИ со щелью

3.2. Стационарное решение задачи ЭХО плоским ЭИ со щелью с изолированной верхней поверхностью

3.3. Задачи начального формообразования

Глава 4. Решение задач нестационарной ЭХО

4.1. Нестационарная обработка плоским полубесконечным ЭИ

4.2. Нестационарная обработка плоским ЭИ со щелью

4.3. Нестационарная обработка плоским ЭИ с изолированной тыльной поверхностью

4.4. Уточнение и оценка погрешности полученных результатов 105 Заключение 114 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гидродинамическое и геометрическое моделирование формообразования выступов при электрохимической обработке»

Развитие современного машиностроения и приборостроения приводи т непоявлению новых высокопрочных материалов, усложнению конструкций изделий, повышению технических требований к точности и качеству обрабатываемых поверхностей. Механическая обработка обладает целым рядом недостатков, в частности приводит к быстрому износу рабочего инструмента, что затрудняет формирование сложнофасонных поверхностей, оказывает негативное силовое и температурное воздействие на обрабатываемую деталь в зоне обработки. Технологические показатели при механической обработке в значительной степени зависят от физико-механических свойств обрабатываемого материала.

В качестве одного из способов повышения эффективности газотурбинной техники может применяться установка уплотнений газовоздушного тракта, которые позволяют существенно сократить утечки рабочей среды между разделяемыми полостями.

Наиболее рациональным способом изготовления уплотнений следует признать применение методик импульсной электрохимической обработки (ЭХО), основные преимущества которой формулируются следующим образом: отсутствие поверхностного изменённого слоя, долговечность инструмента, низкие значения параметров шероховатости при работе на высоких амплитудных плотностях тока и высокая точность копирования формы и повторяемость процесса при работе на достаточно малых межэлектродных зазорах (МЭЗ) (1. .20 мкм) по схеме с вибрацией электрода-инструмента (ЭИ).

Впервые ЭХО была предложена в 1928 году отечественными учеными В.Н. Гусевым и JI.A. Рожковым. Первые задачи расчета границ электродов при размерной ЭХО были рассмотрены сразу же после начала внедрения метода в машиностроении. Значительный вклад в разработку теории расчета размерной ЭХО внесли Ф.В. Седыкин, И.И. Мороз, Ю.Н. Петров, В.Д. Кащеев, Г.И.

Корчагин, А.Х. Каримов, Ю.С. Волков, А.И. Дикуссар, В.В. Клоков, JLM. Котляр, Е.И. Филатов, Д.В. Маклаков, Н.М. Миназетдинов, Г.А. Алексеев, JI.M. Щербаков, В.П. Смоленцев, A.JI. Крылов, B.C. Крылов, Г.Р. Энгельгарт, Н.Г. Зайдман, А.Н. Зайцев, В.П. Житников, J.A. McGeogh, J. Kozak и другие ученые.

При ЭХО межэлектродное пространство (МЭП) заполняется электролитом, к электродам подключается источник тока и происходит растворение материала анода со скоростью, пропорциональной плотности тока (и напряженности электрического поля) в данной точке анодной поверхности. Деталь необходимой формы можно получить при выборе соответствующей формы ЭИ и определении траектории его движения. Проточность электролита необходима для эвакуации загрязняющих продуктов реакции и выделяющегося вследствие электролиза воды газа. Для использования технологии импульсной ЭХО для изготовления уплотнений необходимо иметь ЭИ, имеющий форму тонкой перфорированной пластины с отверстиями различных размеров и форм.

Прецизионная ЭХО применяется в авиационной, медицинской, инструментальной промышленности а также находит свое применение в нанотехнологиях.

Расчет электрических полей при допущении их потенциальности аналогичен расчету полей потенциальных течений жидкости. Гидродинамическая аналогия уравнений и граничных условий для решения этих уравнений облегчает формулировку краевых задач для различных схем ЭХО. Данное обстоятельство позволяет разработать эффективные методы расчета электрохимического формообразования посредством применения мощных гидродинамических методов расчета, основы которых заложены в работах М.А. Лаврентьева [51,52], М.И. Гуревича [10], П.Я. Полубариновой-Кочиной [59] и др.

Однако на сегодняшний день имеется целый пласт нерешенных задач научного и технологического плана, ограничивающих использование технологических преимуществ импульсной ЭХО при изготовлении высокоэффективных газовоздушных уплотнений.

Учитывая необходимость моделирования нового поколения газовоздушных уплотнений, тема работы является новой и актуальной.

Появившиеся и апробированные в последние десятилетия новые технологические схемы ЭХО на импульсном токе, синхронизированном с вибрацией электродов, позволяют улучшить обмен электролита, эвакуацию продуктов реакции и значительно увеличить точность ЭХО. В то же время возникает проблема расчета форм обрабатываемых поверхностей, образующихся в ходе ЭХО. Это связано с тем, что в отличие от механического процесс ЭХО происходит в бесконтактном режиме и скорость съема материала заготовки в каждой точке поверхности определяется плотностью тока. Поэтому форма следа на заготовке при ЭХО не повторяет полностью профиль ЭИ. Для расчета формы необходимо учитывать различные факторы, связанные с физико-химическими особенностями процесса, а также распределение электрического поля в пространстве между электродами. Помимо того, исследование формообразования свободной поверхности существенно осложняется необходимостью проведения сложных расчетов процесса установления предельных конфигураций.

В связи с этим развитие ЭХО требует разработки адекватных математических моделей, учитывающих различные факторы, но при этом не требующих больших затрат машинного времени на расчет формообразования.

Краевые задачи для уравнения Лапласа с подвижными границами, когда скорость движения границы пропорциональна градиенту потенциала принято называть задачами Хеле-Шоу со свободными границами. Решения этих задач могут интерпретироваться как течения вязкой жидкости, процессы растворения металлов при электрохимической обработке и другие процессы.

Известны решения задач Хеле-Шоу, полученные на основе методов конечных разностей и конечных элементов, граничных элементов. Необходимо отметить, что разработанные ранее методы не обладают достаточной устойчивостью к накоплению погрешности при расчете длительных переходных процессов. В данной работе для исследования временных характеристик процессов установления стационарной и финальной конфигураций применяются и адаптируются численно-аналитических методы на основе теории функций комплексного переменного (ТФКП).

Одной из основных проблем математического моделирования является разработка методов оценки погрешности и обоснования достоверности полученных оценок. Увеличение количества арифметических операций для решения сложных задач приводит к накоплению погрешности округления, что требует разработки методов ее контроля. В данной работе для этих целей применяются методы фильтрации численных результатов, основанные на одновременном использовании данных, полученных при различном числе узловых точек сетки. Целью исследований является:

Определение закономерностей формообразования выступов на границах в нестационарных задачах Хеле-Шоу при длительных переходных процессах, приводящих к формированию предельных конфигураций.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• Разработать приближенную математическую модель, описывающую течение электролита в МЭП, которое возникает при импульсной ЭХО неподвижным и колеблющимся ЭИ. Полученная модель должна учитывать газовыделение и нагрев электролита в МЭП. Найти параметры, позволяющие проводить исследования формообразования на основе модели обработки на постоянном токе.

• Решить задачи стационарной обработки ЭИ со щелью с изоляцией и без изоляции на тыльной стороне ЭИ, описывающие предельные конфигурации.

• Модифицировать численно-аналитические методы решения нестационарных задач и решить нестационарные задачи обработки ЭИ со щелью.

• Оценить погрешности полученных численных значений.

Диссертация (130 стр.) состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (127), содержит 61 рисунок.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Поречный, Сергей Сергеевич

Выводы

Таким образом в данной главе проведена модификация численно-аналитического метода и решены три нестационарные задачи ЭХО с плоским ЭИ со щелью.

Полученные результаты дали возможность провести исследование форм выступов, получающихся при различных соотношениях геометрических и физических параметров.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации были рассмотрены задачи электрохимического формообразования выступов на обрабатываемой поверхности, моделирующие процессы изготовления уплотнений газотурбинных двигателей.

В качестве основных выводов по диссертационной работе можно выделить следующее:

1. Разработана одномерная математическая модель течения электролита в МЭП, возникающего при импульсной ЭХО при неподвижном и колеблющимся ЭИ, учитывающая газовыделение и нагрев электролита в МЭП, и позволяющая определить как изменение электропроводности в течение импульса, так и полноту замены электролита в паузе, а также предсказать возможность пробоя МЭП и оценить погрешность формообразования.

2. Методами ТФКП решены задачи стационарной обработки ЭИ со щелью с изоляцией и без изоляции на тыльной стороне ЭИ, найдены формы выступов, возникающих на обрабатываемой поверхности. Показано, что в задаче с изоляцией в зависимости от соотношения геометрических размеров возможны два типа решений: конечной высоты или с вертикальной асимптотой. Найдено выражение критического значения отношения ширины щелевого зазора на ЭИ к величине торцевого зазора.

3. Найдены усредненные по времени и пространству параметры потока электролита, дающие возможность проводить исследования формообразования на основе идеальной модели обработки на постоянном токе. Разработаны видоизмененные численно-аналитические методы решения нестационарных задач, позволяющие на каждом временном шаге определять положение особых точек. Решены нестационарные задачи обработки ЭИ со щелью (с изоляцией и без нее), найдены временные зависимости в процессах установления стационарных и финальных форм.

4. С помощью методов фильтрации численных результатов найдены закономерности и временные параметры, характеризующие скорость установления стационарных и финальных форм обрабатываемой поверхности. Найдены оценки погрешности полученных численных значений, показавшие, что для получения параметров стационарных и финальных форм с заданной точностью искомые при решении величины (координаты обрабатываемой поверхности в узловых точках) должны иметь удвоенную точность (количество точных значащих цифр).

Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для исследования нестационарных процессов электрохимического растворения, позволяют существенно расширить класс ^ исследуемых процессов формообразования границ в задачах Хеле-Шоу.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Поречный, Сергей Сергеевич, 2009 год

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Наука, 1987.-598 с.

2. Бенерджи П.К., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. — 494 с.

3. Бреббия К., Теллес Ж, Вроубел JI. Метод граничных элементов. — М.: Мир, 19.87.

4. Волков Ю.С., Мороз И.И. Математическая постановка простейших стационарных задач электрохимической обработки металлов // Электронная обработка материалов. Кишинев: Штиинца, 1965. — № 5-6. -С. 59-65.

5. Воронкова А.И. Влияние кавитации и переменности выхода по току на стационарное электрохимическое формообразование: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1997. — 18 с.

6. Газизов Е.Р., Маклаков Д.В. Метод расчета анодного формообразования двугранным катодом для произвольной зависимости выхода по току // Теория и практика электрофизикохимических методов обработки деталей в авиастроении. Казань: КАИ, 1994. — С.32—35.

7. Газизов Е.Р., Маклаков Д.В. Метод расчета анодного формообразования катодом-инструментом с криволинейной границей для произвольной зависимости выхода по току. // Проблемы гидродинамики больших скоростей. Чебоксары: Чув. Ун-т, 1993. - С.70-74.

8. Галин JI.A. Нестационарная фильтрация со свободными границами // ДАН СССР. Т. 47, 1945. - С. 246-249.

9. Ю.Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. — 536 ' с.

10. П.Давыдов А. Д., Козак Е. Высокоскоростное электрохимическое формообразование. М.: Наука, 1990. - 272 с.

11. Дикуссар, А. И., Энгельгарт, Г. Р., Петренко, В. И., и др. Электродные процессы и процессы переноса при электрохимической размерной обработке металлов. Кишинев: Штиинца, 1983. - 207 с.

12. Евдокимов В.В., Евдокимова Е.Ю., Клоков В.В., Филатов Е.И. Численный расчет эволюции анодной поверхности и гидродинамического поля при ЭХО // Электрохимические и электрофизические методы обработки' материалов в авиастроении. Казань, 1994. - С.44-48.

13. Житников В.П. Решение плоских и осесимметричных задач с помощью методов теории функции комплексного переменного: Учебное пособие. — Уфа: УГАТУ, 1994. 106 с.

14. Житников В.П., Зайцев А.Н. Импульсная электрохимическая размерная обработка. М.: Машиностроение, 2007. - 407 с.

15. Житников В.П., Зайцев А.Н. Математическое моделирование электрохимической размерной обработки. — Уфа: УГАТУ, 1996. — 221 с.

16. Житников В.П., Зиннатулина О.Р., Поречный С.С., Шерыхалина Н.М.' Особенности установления предельных решений нестационарных осесимметричных задач Хеле-Шоу // ПМТФ. 2009. - Т. 50, №4. - С. 8799.

17. Житников В.П., Ураков А.Р., Гуцунаев А.В. Численно-аналитический метод решения нестационарных задач электрохимической размерной обработки // Электронная обработка материалов. 1999. - №2(196). - С. 4-9.

18. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Поречный С.С. Об одном подходе к практической оценке погрешностей численных результатов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика. Телекоммуникации. Управление. СПб.: 2009. - №3(80). - С. 105-110.

19. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Поречный С.С. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ РФ № 614474. Программа идентификации математической модели погрешностей численных результатов методом фильтрации.

20. Житников В. П., Шерыхалина Н.М. Моделирование течений весомой жидкости с применением методов многокомпонентного анализа. — Уфа: Гилем, 2009. 336 с.

21. Житников В.П., Федорова Г.И., Зиннатуллина О.Р. Почти аналитический метод решения задач нестационарного электрохимического формообразования // Тез. докл. 2-й междунар. науч. школы-сем. «Гидродинамика больших скоростей» Чебоксары: 2004. - С. 158-160.

22. Зайцев А.Н. и др. Высокоскоростное анодное растворение в условиях нестационарности электродных потенциалов. — Уфа: Гилем, 2005. 219 с.

23. Зайцев А.Н., Житников В.П., Файфер H.JI. К вопросу о расчете параметров электрохимического формообразования сложнофасонных деталей непрофилированными электрод-инструментами // Электронная обработка материалов. Кишинев: Штиинца, 1989. — №5. — С. 3-6.

24. Зиннатуллина О.Р. Методы решения осесимметричных стационарных задач электрохимического формообразования // Матер, науч. практ. конф.

25. Вузовская наука — России». — Набережные Челны: 2005. — Часть 1. — С. 108-111.

26. Идрисов Т.Р. Влияние дополнительной поляризации электродов на точность и качество поверхности при электрохимической обработке" микросекундными импульсами тока: Дисс. канд. техн. наук. — Уфа: 2003.

27. Идрисов Т.Р., Зайцев А.Н., Амирханова Н.А. Исследование электродных потенциалов в нестационарных условиях при электрохимической обработке // Электронная обработка материалов. 2001. № 1. - С. 4-8.

28. Каримов А.Х., Клоков В.В., Филатов Е.И. Методы расчета электрохимического формообразования (монография). — Казань: КГУ, 1990.-387 с.

29. Клоков В.В. Влияние переменного выхода по току на стационарное анодное формообразование // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т, 1979. - Вып. 16. - С. 94-102.

30. Клоков В.В. Метод гидродинамического расчета течения в зазоре при электрохимической обработке // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Казанск. ун-т, 1987.-Вып.23. С. 130-137.

31. Клоков В.В. Об одном методе расчета стационарного электрохимического формообразования // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т, 1975. - Вып.12. - С. 93-101.

32. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование двугранным катод-инструментом. Казань: Казанск. ун-т, 1989. - 28 с. — Деп. в ВНИИТЭМР 03.07.89.-№188.

33. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование. Казань: Казанск. ун-т, 1984. - 80 с.

34. Клоков В.В., Рябчиков М.Е., Шкарбан А.Ю. Модели гидродинамического поля в межэлектродном зазоре. // Сборник трудов Всерос. науч.-техн. конф. «Современная электротехнология в машиностроении». — Тула: 1997. С.52-53.

35. Клоков В.В., Салихов А.Н. Стационарное электрохимическое формообразование и гидродинамика в окрестности датчика зазора. — Казань: Казанск. ун-т, 1989. 30 с. - Деп. в ВНИИТЭМР 24.07.89. - №209.

36. Клоков В.В., Шишкин С.Е. Стационарное анодное формообразование двугранным катодом при неравномерной поляризации анода // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Казанск. ун-т, 1985. — Вып.22. С. 117-124.

37. Коннор Дж., Бребия К. Метод конечных элементов в механике жидкости. -М.: Мир, 1981.

38. Котляр JI.M. Миназетдинов Н.М. Об одном методе расчета газожидкостного слоя при стационарной электрохимической обработке// Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Изд-во КГУ, 1993. Вып. 28. -С. 51-58.

39. Котляр Л.М., Миназетдинов Н.М Моделирование процесса электрохимической обработки металла для технологической подготовки производства на станках с ЧПУ. — М.: Academia, 2005. — 200 с.

40. Котляр JI.M., Миназетдинов Н.М. Определение формы анода с учетом свойств электролита в задачах электрохимической размерной обработки металлов // ПМТФ. 2003. - Т. 44, №3. - С. 179-184.

41. Котляр JI.M., Миназетдинов Н.М. Эволюция формы анодной границы при электрохимической размерной обработке металлов // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск: 2004. — Т. 45, №4, - С. 7— 12.

42. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

43. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977. - 408 с.

44. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. -М.: Наука, 1988.-733 с.

45. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1978. — 736 с.

46. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения. Итоги науки и техники ВИНИТИ. Совр. пробл. мат.: фундам. направление. — 1988. Т. 27. - С. 131-228.

47. Маклаков Д.В., Шишкин С.Е. Метод возмущений в задачах стационарной электрохимической обработки // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Казанск. ун-т, 1987. Вып. 23. - С. 164-168.

48. Миназетдинов Н.М. Учет кавитации при стационарном электрохимическом формообразовании.: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань: 1994. - 15 с.

49. Полубаринова-Кочина П.Я. Нестационарное движение в теории фильтрации. // ПММ. 1945. Т. 9. - С. 79-90.

50. Поречный С.С. Методы повышения надежности оценки погрешности численных результатов // Всерос. молодежи. школа-конф. «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании. Математика». Уфа: РЩ БашГУ, 2008. -Т.2. - С. 257-266.

51. Поречный С.С. Моделирование электрохимического формообразования элементов уплотнения // Научные труды Междунар. молодежи, научной конф. «XXXIV Гагаринские чтения». М.: МАТИ, 2008. - Т.1. - С. 182184.

52. Поречный С.С., Маннапов А.Р. Математическое моделирование операции электрохимического прошивания круглого отверстия // Сб. тез. докл. Всерос. молодежи, научн. конф. «Мавлютовские чтения». — Уфа: УГАТУ, 2008.-Т.5.-С. 61-62.

53. Поречный С.С., Маннапов А.Р. Моделирование электрохимической обработки сплайн-электродом-инструментом // Сб. тез. докл. Всерос. молодежи, научи, конф. «Мавлютовские чтения». — Уфа: УГАТУ, 2007. — Т.5.-С. 30-31.

54. Поречный С.С., Маннапов А.Р. Применение методов ТФКП для решения инженерных задач // Сб. стат. Всерос. молодежи, конф. «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании. Математика». Уфа: РИЦ БашГУ, 2008. - Т.2. - С. 249-257.

55. Поречный С.С., Маннапов А.Р. Электрохимическая обработка' электродом-инструментом с изоляцией// Сб. тез. докл. Всерос. молодежи, научн. конф. «Мавлютовские чтения». Уфа: УГАТУ, 2007. - Т.5. — С. 3233.

56. Прудников А.П., Бычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука. - 1981.-800 с.

57. Суворова Г.С., Энгельгарт Г.Р., Зайдман Н.Г. Одномерное приближение в задачах электрохимического формообразования деталей машин // Электронная обработка материалов. — 1982. — №6. — С.17—23.

58. Ураков .А.Р., Гордеев А.А., Поречный С.С. // Труды Института механики УНЦ РАН.- Уфа: Нефтегазовое дело, 2008. Вып. 6. - С. 150-155.

59. Ураков А.Р., Гуцунаев А.В. Метод численно-аналитического решения задач нестационарной размерной ЭХО // Труды Междунар. науч. конф. «Моделирование, вычисления, проектирование в условиях неопределенности 2000». - Уфа: УГАТУ, 2000. - С. 251-254.

60. Ураков А.Р., Гуцунаев А.В. Расчет формы поверхности при нестационарной электрохимической обработке проволочным электродом // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. — Т. 8, вып. 2.-С. 700-701.

61. Федорова Г.И. Методы л расчета формообразования поверхности при нестационарной электрохимической обработке: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Уфа: 2004. - 158 с.

62. Филатов Е.И. Расчет ширины зазора при стационарной ЭХО с учетом нагрева электролита // Электрохим. и электрофиз. методы обработки материалов в авиастроении. Казань: Казанск. авиац. ин-т, 1990. — С. 64— 68.

63. Филатов Е.И. Учет влияния неравномерности поляризации электродов на формообразование при ЭХО // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т, 1987. -Вып.23. - С. 221-225.

64. Шерыхалина Н.М., Зиннатуллина О.Р., Поречный С.С. Многокомпонентный анализ результатов численного решения задач Хеле

65. Шерыхалина Н.М., Поречный С.С. Применение методов многокомпонентного анализа для решения некорректных задач // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика. Телекоммуникации. Управление. СПб: 2008. - №6(69) - С. 89-96.

66. Шкарбан А.Ю. Гидродинамика в ячейке при электрохимической размерной обработке // Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань: Унипресс, 1999. С.190-191.

67. Шкарбан А.Ю. Разработка методов расчета электрохимического формообразования и гидродинамики течения электролита в зазоре: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. — Казань: 2000. — 24 с.

68. Ястребов В.Н., Каримов А.Х. Математическое моделирование нестационарного процесса электрохимического скругления кромок деталей ГТД // Электрохимические и электрофизические методы обработки материалов. Казань: КАИ, 1989. - Вып. 1. - С.23-34.

69. Bortels L., Purcar М., Bart Van den Bossche, Deconinck J. A user-friendly simulation software tool for 3D ECM. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK, 2004. - V. 3. - PP. 486^192.

70. Christiansen S., Rasmussen H. Numerical solutions for two-dimensional annular electrochemical machining problems // J. Inst. Maths. Applies. 1976. -№18,-PP. 295-307.

71. Craster R.V. Two related free boundary problems. IMA J. Appl. Math. 1994. -№52.-PP. 253-270.

72. Cummings L. J. Howison, S. D., King J. R. Two-dimensional Stokes and Hele-Shaw flows with free surfaces // European J. Appl. Math. 10, 1999. PP. 635680.

73. Elliott С. M., Ockendon J. R. Weak and variational methods for moving boundary problem // Pitman, London, 1992.

74. Fedorova G.I., Zhitnikov V.P., Zinnatullina O.R. Simulation of Non-Stationary Processes of Electrochemical Machining //Journal of Materials Processing / Technology. Elsevier, UK, 2004. - V. 149. - PP. 398^103.

75. Gustafsson В., Vasil'ev A. Conformal and Potential Analysis in Hele-Shaw cells. // Stockholm-Valparaiso, 2004. — 189 p. www.math.kth.se/~gbjorn/

76. Hele-Shaw H. S. On the motion of a viscous fluid between two parallel plates. // London: Trans. Royal Inst. Nav. Archit. 40 (1898) 21.

77. Howison S.D., Complex variable methods in Hele-Shaw moving boundary problems. // Eur. J. Appl. Math. 3 (1992) PP. 209-224.

78. Howison S.D., King J.R. Explicit solutions to six free-boundary problems in fluid flow and diffusion. // IMA J. Appl. Math 42, 1989. PP. 155-175.

79. Howison S.D., Ockendon J.R. and Lacey A.A. Singularity development in. moving boundary problems. // Q. J. Mech. Appl. Math. 38 (1985). PP 343360.

80. Kenney, J. A., Hwang, G. S. Electrochemical machining with ultrashort voltage pulses: modelling of charging dynamics and feature profile evolution // Nanotechnology, 16(2005). Inst. Phys. Publ., UK. PP. 309-313.

81. King J. R., Development of singularities in some moving boundary problems // Euro. J. Appl. Math. 6 (1995). No. 5. - PP. 491-507.

82. Konig W., Humbus H.-J. Mathematical Model for the Calculation of the Contour of the Anode in electrochemical Machining // Cirp. Annals, 1977. — V. 25, No l.-PP. 83-87.

83. Kozak J., Bodzinski A., Engelgart G.R., Davidov A.D. Mathematical Moddeling of Electrochemical Machining // Proceedings of International Symposium for Electromachining (ISEM-9). -Nagoya, 1989. PP. 135-138.

84. McGeough J.A., Principles of Electrochemical Machining. // London: Chapman and Hall, 1974. 290 p.

85. McGeough, J. A., Rasmussen, H. On the derivation of the quasi-steady model in electrochemical machining // J. Inst. Maths Applies, 1974. Vol. 13. pp. 13-21.

86. Novak P., Rousaz I., Kimla A. etc. Mathematical simulation of electrochemical machining // Материалы междунар. шк. «ЭХОМ-88»,. Любневицы (ПНР), 1988.-С. 100-115.

87. Ockendon J. R., Howison S. D. Kochina and Hele-Shaw in modern mathematics, natural sciences, and technology // J. Appl. Math. Mech. 2002. — Vol. 66, No. 3.-PP. 505-512.

88. Pandey J. Finite Element Approach to the two-dimensional Analysis of ECM//Precis. Eng. 1980.-V. 2, No l.-PP. 23-28.

89. Polubarinova-Kochina P.Ya. Theory of Groundwater Movement. // Princeton: Princeton Univ. Press. 1962. — 350 p.

90. Porechny S.S., Mulcsimova R.R. Computer modeling of macrodefects. formation during electrochemical machining. // Proceedings of 10-th Workshop on Computer Science and Information Technologies (CSIT'2008), Antalya, Turkey, 2008. Vol. 2. - PP. 218-220.

91. Purcar M., Bortels L., Bart Van den Bossche, Deconinck J. 3D electrochemical machining computer simulations. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, 2004. V. 3. - PP. 472-478.

92. Richardson S. Hele-Shaw flows with a free boundary produced by the injection of fluid into a narrow channel. // J. Fluid Mech., 56 (1972). No. 4. -PP. 609-618.

93. Richardson S. On the classification of solutions to the zero surface tension model for Hele-Shaw free boundary flows. // Quart. Appl. Math., 55 (1997). -No. 2.-PP.313-319.

94. Saffman P. G. Taylor G. I. The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid. // Proc. Royal Soc. • London, Ser. A, 245 (1958). PP. 281, 312-329.

95. Saffman P. G., Taylor G. I. A note on the motion of bubbles in a Hele-Shaw cell and porous medium. // Quart. J. Mech. Appl. Math. 17 (1959). No. 3. -PP. 265-279.

96. Urakov A.R., Gutsunaev A.V. Numerical method of on nonstationary electrochemical machining problems solution // Proceedings of the 5-th Workshop on Computer Science and Information Technologies CSIT'2003. Ufa, Russia, 2003. Vol. 2 - PP. 43.

97. Volgin V. M., Davydov A. D. Modeling of multistage electrochemical shaping. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK, 2004. — V. 3.-PP. 466-471.

98. West A., Madore C., Moltosz M., Landolt D. Shape changes during through-mask electrochemical micromachining of thin metal films. // J. Electrochem. Soc., 1992. №2, 139. PP. 499-506

99. Zhitnikov V.P., Fedorova G.I., Zinnatullina O.R. Simulation of non-stationary processes of electrochemical machining // Journal of Materials Processing Tech., Elsevier, 2004. Vol. 149/1-3. - PP. 398-403.