Численно-аналитические методы математического моделирования процессов формообразования свободных границ: на примере электрохимической обработки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Муксимова, Роза Равилевна

• Муксимова, Роза Равилевна
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Муксимова, Роза Равилевна

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Анализ подходов к моделированию стационарных и

нестационарных процессов применительно к ЭХО

1.1. Анализ подходов к построению интерполяционных и экстраполяционных моделей

1.2. Анализ подходов к моделированию ЭХО

1.3. Краткий обзор нестационарных задач, решенных ранее и

анализ недостатков известных методов

Выводы по главе 1. Цели и задачи исследования

Глава 2. Разработка численно-аналитических методов и решение задач

стационарной ЭХО криволинейным и полукруглым ЭИ

2.1. Аналитические решения задач стационарного

формообразования ЭИ с выступом различной формы

2.2. Разработка численно-аналитического метода и комплексное исследование процесса стационарной электрохимической

обработки плоским ЭИ с полукруглым выступом

2.3. Разработка численно-аналитического метода и комплексное исследование процесса предельной электрохимической обработки плоским ЭИ с полукруглым выступом

2.4. Разработка метода и построение приближенных моделей формообразования

Выводы по главе 2

Глава 3. Разработка численно-аналитического метода и решение задачи

ЭХО нестационарной обработки плоским ЭИ с ограниченной неровностью

3.1. Разработка численно-аналитического метода решения нестационарной задачи

3.2. Результаты вычислительного эксперимента 97 Выводы по главе 3

Глава 4. Разработка численно-аналитического метода, программная реализация и решение задачи ЭХО нестационарной обработки круглым и пластинчатым ЭИ

4.1. Разработка численно-аналитического метода и решение задачи нестационарной обработки ЭИ в виде ограниченной фигуры

4.2. Результаты вычислительного эксперимента

4.3. Описание алгоритмов и комплекса программ численного решения, тестирование и применение фильтрации для обоснования результатов

Выводы по главе 4

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численно-аналитические методы математического моделирования процессов формообразования свободных границ: на примере электрохимической обработки»

ВВЕДЕНИЕ

Необходимость построения математических моделей, основанных на анализе и обработке данных, полученных путем численного решения сложных задач, объясняется, во-первых, получением возможности практического использования результатов, во-вторых, позволяет разработать базу данных для решения более общих задач моделирования. Одним из методов построения таких моделей, является интерполяция. Однако эта задача во многих случаях является некорректной, и в ряде случаев необходима разработка специальных методов и приемов построения и верификации интерполяционных моделей.

В качестве примера в диссертации рассмотрено моделирование процессов размерной электрохимической обработки (ЭХО), которое при допущении об однородности электролита сводятся к решению задач Хеле-Шоу. Решения задач Хеле-Шоу также могут интерпретироваться как течения вязкой жидкости, потоки в пористых средах (полагая, что они описываются законом Дарси), движение границы фазового перехода (с приложением в металлургии), процессы напыления металлов и т.д.

Исследование формообразования анодной поверхности в процессе электрохимического растворения существенно осложняется необходимостью проведения длительных расчетов процесса установления предельных конфигураций. Разработанные ранее методы либо не обладают достаточной устойчивостью к накоплению погрешности при расчете длительных переходных процессов, либо позволяют исследовать процессы ЭХО только электрод-инструментами (ЭИ) в виде точки, прямолинейной пластины, угла. Решение задач обработки, например, круглым ЭИ требует разработки существенно более сложных численных методов и алгоритмов. В ряде случаев приведенные в известных работах результаты сводятся к получению двух-трех частных решений и не пригодны для описания процессов в приемлемом для дальнейшего применения диапазоне.

Одной из важнейших проблем математического моделирования является совершенствование существующих и разработка новых методов оценки погрешности и обоснования достоверности этих оценок. В данной работе эти цели достигаются с помощью методов фильтрации численных результатов, полученных при различном числе узловых точек сетки, основанных на подавлении одних компонент погрешности и выявлении других, а также путем использования нескольких способов оценок и их проверки на непротиворечивость.

При ЭХО межэлектродное пространство (МЭП) заполняется электролитом, к электродам подключается источник тока и происходит растворение материала анода со скоростью, зависящей от плотности тока в данной точке анодной поверхности. Деталь необходимой формы можно получить путем выбора необходимой формы ЭИ и задания соответствующих параметров процесса. Для эвакуации продуктов реакции, загрязняющих электролит, и газа, выделяющегося вследствие электролиза воды, необходимо обеспечить проточность электролита.

Технологические схемы ЭХО на импульсном токе, синхронизированном с вибрацией электродов, позволяют улучшить обмен электролита, эвакуацию продуктов реакции и значительно уменьшить погрешность ЭХО.

Прецизионная ЭХО применяется в авиационной, медицинской, инструментальной промышленности, а в последнее время находит сферу применения в нанотехнологиях.

Необходимо отметить, что, в отличие от механического, процесс ЭХО происходит в бесконтактном режиме и скорость съема материала заготовки в каждой точке поверхности определяется плотностью тока. Поэтому форма следа на заготовке при ЭХО только приближенно повторяет профиль ЭИ. Для расчета формы ЭИ необходимо учитывать различные факторы, связанные с физико-химическими особенностями процесса. Кроме того, необходимо

учитывать, что форма анодной поверхности зависит от времени обработки, что требует решения нестационарных задач и исследования процессов установления стационарных и предельных конфигураций. Таким образом, возникает задача расчета форм обрабатываемых поверхностей, образующихся в ходе ЭХО.

В связи с этим развитие ЭХО требует разработки адекватных математических моделей, учитывающих различные факторы, но при этом не требующих больших затрат машинного времени на расчет формообразования. Эти противоречивые требования могут быть удовлетворены путем создания численных моделей, аппроксимирующих или интерполирующих результаты численного решения сложных задач в широком диапазоне.

В данной работе для исследования процессов ЭХО применяются численно-аналитические методы на основе теории функций комплексного переменного (ТФКП). Предлагается видоизмененный метод решения нестационарных задач электрохимического формообразования. Для возможности более точной аппроксимации изломов на ЭИ предлагается искать конформное отображение в виде двух функций (одна из которых определяет неровности на аноде, другая - на катоде), определенных на разных параметрических областях, представляющих собой полосы % и Это позволяет отобразить особые точки на бесконечность и аппроксимировать функции убывающими экспонентами.

Целью исследований является:

Разработка методов построения приближенных моделей стационарных и нестационарных процессов, численно-аналитических методов решения задач Хеле-Шоу, анализ и обоснование результатов вычислительного эксперимента, а также приложение этих методов в области исследования процессов ЭХО.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие

задачи:

• Разработать метод построения и оценки погрешности приближенных численных моделей, позволяющий его использование в условиях неполноты исходных данных.

• Разработать численно-аналитические методы решения стационарных и нестационарных задач Хеле-Шоу с подвижной заданной границей криволинейной формы и различными условиями движения неизвестной границы.

• Разработать комплекс программ и провести комплексное исследование решений указанных задач применительно к ЭХО, обоснование и тестирование алгоритмов и программ, оценку погрешностей результатов. Построить приближенные модели формообразования для возможности практического использования полученных численных результатов.

Диссертация (147 стр.) состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложения и содержит 92 рисунка.

В первой главе диссертации проведен обзор литературы и дана общая постановка задач.

В разделе 1.1 обсуждаются некоторые особенности задач интерполяции и экстраполяции, имеющие отношение к решаемым далее задачам.

В разделе 1.2 рассматриваются подходы, применяемые к упрощенному моделированию процессов электрохимической обработки (ЭХО). Приводится постановка плоской нестациционарной задачи ЭХО (Хеле-Шоу) с переменным выходом по току.

В разделе 1.3 проводится анализ видов задач нестационарного формообразования, решенных ранее.

Во второй главе диссертации рассматриваются решения задач стационарной и предельно-стационарной ЭХО с плоским ЭИ с криволинейным (круглым) выступом.

В разделе 2.1 приводятся стационарные решения задач ЭХО плоским ЭИ с криволинейным и прямолинейным выступом, найденные с помощью построения конформных отображений. Приведены полученные формы обрабатываемой поверхности.

В разделах 2.2 и 2.3 с помощью конформных отображений и метода коллокаций решены стационарная и предельная задачи ЭХО плоским ЭИ с круглым выступом. Получены наборы решений, достаточные для построения численных моделей для возможности дальнейшего использования результатов.

В разделе 2.4 предлагается метод (основанный на интерполяции функций, заданных на неодносвязных множествах данных). Предлагается набор способов оценки погрешности для сравнения результатов и проверки их надежности. Созданы модели стационарного и предельного формообразования.

В третьей главе диссертации предложен метод решения нестационарных задач ЭХО плоским ЭИ с ограниченной неровностью. Получены решения задач для ЭИ с выступом и впадиной в виде сегмента круга и выступом в виде прямолинейной пластины.

В разделе 3.1 предложен метод решения нестационарных задач ЭХО плоским ЭИ с ограниченной неровностью.

В разделе 3.2 приведены результаты решения задач нестационарной ЭХО для ЭИ с выступом и впадиной в виде сегмента круга и выступом в виде прямолинейной пластины.

В четвертой главе предложен метод решения задач нестационарной обработки круглым и пластинчатым ЭИ. Получены решения задач для ЭИ в виде круга и прямолинейной горизонтальной и вертикальной пластины.

В разделе 4.1 предложен метод решения нестационарных задач ЭХО с помощью ЭИ в виде ограниченной фигуры.

В разделе 4.2 приводится описание алгоритмов и комплекса программ решения нестационарных задач.

В разделе 4.3 приведены результаты решения задач нестационарной ЭХО для ЭИ в виде круга и прямолинейной горизонтальной и вертикальной пластины. Проведена оценка вычислительной погрешности полученных результатов.

На защиту выносятся:

• Фильтрационно-интерполяционный метод построения и оценки погрешности приближенных численных моделей.

• Численно-аналитические методы решения стационарных и нестационарных задач Хеле-Шоу с негладкой заданной границей.

• Результаты комплексных исследований решений задач моделирования процессов электрохимического формообразования, включающих предельные режимы, а также комплекс программ, реализующий численные методы. Разработанные приближенные модели стационарных и нестационарных процессов при электрохимическом копировании и резке.

Научная новизна

• Новизна разработанного метода построения приближенных численных моделей заключается в появлении возможности вычислять искомые параметры в условиях неполноты исходных данных и контролировать их погрешность двумя способами для проверки непротиворечивости оценок.

• Новизна разработанных численно-аналитических методов заключается в представлении решения в виде суммы двух функций, определенных на разных параметрических плоскостях, использовании формулы Келдыша-Седова, что в отличие от известных ранее методов решения задач Хеле-

Шоу, позволяет с высокой точностью моделировать предельные режимы формообразования границ при наличии угловых точек. • В результате комплексных исследований задач копирования сегмента круга, прорезания пазов круглым и пластинчатым инструментом, включающих предельные режимы обработки и соотношения геометрических параметров, впервые определены закономерности и зависимости, на базе которых построены приближенные численные модели процессов формообразования.

Достоверность результатов

Достоверность результатов подтверждается применением фильтрации для оценки погрешности численных данных, тестированием алгоритмов и программ путем сравнения оценок результатов, полученных разными способами.

Практическая ценность

Автором получены модели, пригодные для использования при проектировании технологических процессов, разработаны численные методы, алгоритмы и программы решения стационарных и нестационарных задач, что подтверждается актом о внедрении в ООО «ЕСМ».

Результаты исследований внедрены в учебный процесс УГАТУ при реализации учебных планов по дисциплинам «Специальные главы теории функций комплексного переменного», «Экстраполяционные методы оценки погрешности» по направлению 01.03.00 - «Математика. Компьютерные науки».

Работа проводилась по тематике госбюджетной НИР Уфимского государственного авиационного технического университета: «Создание математических моделей естествознания», программы Президента «Ведущие научные школы РФ» (проект НШ-65497.2010.9).

Основные материалы диссертации опубликованы в работах автора [58 - 63] и в соавторстве [24, 17, 20, 21, 67, 64, 65, 76, 73, 80, 72, 77, 74, 105, 56, 18,57, 75, 19, 66].

По основным результатам работы были сделаны доклады на Международной научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2008); на Всероссийских зимних школах-семинарах аспирантов и молодых ученых (Уфа, 2008-2011); на международных семинарах «Компьютерные науки и информационные технологии» С81Т (Анталия, 2008, Крит, 2009); на Всеросс. научн. Конф. «Мавлютовские чтения» (Уфа, 20092011); на XIV междунар. науч. конф. «Решетневские чтения» (Красноярск, 2010); на научно-техн. конф. «Образование и наука - производству» (Набережные Челны, 2010); на 9-й молодежи, научн. школы-конф. «Лобачевские чтения» (Казань, 2010); на междунар. молодежной научн. конф. «XXXVI Гагаринские чтения» (Москва, 2010); на межд. научн.-техн. конф. «Электроэрозионные и электрохимические технологии в производстве наукоемкой продукции» (Москва, 2010); на 4-й Всероссийск. конф. «Задачи со свободными границами» (Бийск, 2011); на X Всеросс. съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Н.Новгород, 2011).

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Муксимова, Роза Равилевна

Выводы по главе 4

В данной главе решены нестационарные задачи прорезания пазов круглым и пластинчатым (горизонтальным и вертикальным) ЭИ. Для сравнения рассмотрены также предельные (по форме ЭИ) случаи формообразования плоским ограниченным вертикальным и горизонтальным ЭИ.

Во всех рассмотренных примерах наблюдалось установление стационарных процессов.

Согласно проведенным оценкам, погрешность полученных результатов не превышает 10"4, что также подтверждается сравнением установившихся стационарных решений и полученных непосредственно в гл. 2.

Сравнение результатов вычислений с экспериментом показало их качественное совпадение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации было проведено моделирование процессов электрохимического формообразования с помощью ЭИ различной формы (криволинейной, круглой, пластинчатой) при различных значениях коэффициента локализации. Для исследования граничных режимов были использованы модели стационарного и предельно-стационарного формообразования.

В качестве основных результатов и выводов по диссертационной работе можно выделить следующее:

1. Разработанный метод создания, обоснования и тестирования численных моделей дал возможность получать искомые параметры в условиях неполноты исходных данных, получать оценки погрешности двумя способами для проверки их непротиворечивости.

2. Разработаны численно-аналитические методы решения задач Хеле-Шоу, использующие сумму двух функций с областями определения, расположенными на различных параметрических плоскостях, формулу Келдыша-Седова, решение задачи Римана-Гильберта на каждом временном шаге, которые, в отличие от известных ранее методов решения таких задач, позволяют с точностью до 4 значащих цифр моделировать различные условия движения свободной границы при подвижной заданной границе негладкой криволинейной формы.

3. На основе предложенных методов разработан трехуровневый комплекс программ и проведены комплексные исследования, включающие предельные режимы обработки и соотношения геометрических параметров, решены задачи копирования сегмента круга, пластины, резки круглым и пластинчатым ЭИ. Показано, что вблизи угловых точек имеют место две стадии формообразования: грубая и окончательная, что требует удвоения времени обработки. Показано, что установление предельной формы происходит за конечное время, а стационарной асимптотически по экспоненциальному закону. Впервые получены зависимости, наборы данных, позволяющие создать на их основе приближенные численные модели процессов формообразования, которые получены в удобном для применения виде интерполяционных зависимостей, позволяют при произвольных значениях геометрических параметров при незначительных затратах ресурсов с достаточной точностью (около 1 %) вычислять параметры формообразования и могут быть использованы на практике.

Работа проводилась по тематике госбюджетной НИР Уфимского государственного авиационного технического университета: «Создание математических моделей естествознания», программы Президента «Ведущие научные школы РФ» (проект НШ-65497.2010.9). Значительная часть работы проводилась в содружестве с НИИ проблем теории и технологии электрохимической обработки.

Результаты диссертационной работы были использованы при подготовке лекционного и практического материала по курсу «Компьютерное моделирование нестационарных процессов», а также методических указаний к лабораторным работам по курсу «Специальные главы теории функций комплексного переменного».

В настоящее время результаты диссертации также используются в учебном процессе по дисциплине «Вычислительная математика» для студентов направления 654600 «Информатика и вычислительная техника» и 072200 «Моделирование и исследование операций в организационно-технических системах».

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Муксимова, Роза Равилевна, 2012 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Афанасьев К.Е., Стуколов C.B. О наличии трех решений при обтекании препятствий сверхкритическим установившимся потоком тяжелой жидкости // ПМТФ, 1999. Т. 40. № 1. - С. 27 - 35.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 2004. 636 с.

3. Бреббия К., Теллес Ж, Вроубел JT. Метод граничных элементов. - М.: Мир, 1987.

4. Вильданов А.Н., Котляр JI.M. Плоская задача электрохимического формообразования при переменном выходе по току инструментом с криволинейным участком границы // Электрохимические и электрофизические методы обработки материалов в авиастроении. -Казань: КАИ, 1990. - С.60-64.

5. Волков Е. А. Численные методы. 2-е изд. испр. и доп. М.: Наука, 1988. 248 с.

6. Волков Ю.С., Мороз И.И. Математическая постановка простейших стационарных задач электрохимической обработки металлов // Электронная обработка материалов. - Кишинев: Штиинца, 1965. - № 5-6.-С. 59-65.

7. Воронкова А.И. Влияние кавитации и переменности выхода по току на стационарное электрохимическое формообразование: Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1997. - 18 с.

8. Газизов Е.Р., Маклаков Д.В. Метод расчета анодного формообразования двугранным катодом для произвольной зависимости выхода по току // Теория и практика электрофизикохимических методов обработки деталей в авиастроении. - Казань: КАИ, 1994. - С.32-35.

9. Газизов Е.Р., Маклаков Д.В. Метод расчета анодного формообразования катодом-инструментом с криволинейной границей для произвольной

зависимости выхода по току. // Проблемы гидродинамики больших скоростей. - Чебоксары: Чув. Ун-т, 1993. — С.70-74.

10. Галин JI.A. Нестационарная фильтрация со свободными границами // ДАН СССР. - Т. 47, 1945. - С. 246-249.

11. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. - М.: Наука, 1979. -536 с.

12. Давыдов А.Д., Козак Е. Высокоскоростное электрохимическое формообразование. - М.: Наука, 1990. - 272 с.

13. Житников В.П. Решение плоских и осесимметричных задач с помощью методов теории функции комплексного переменного: Учебное пособие. - Уфа: УГАТУ, 1994. - 106 с.

14. Житников В.П., Зайцев А.Н. Импульсная электрохимическая размерная обработка. - М.: Машиностроение, 2007. - 407 с.

15. Житников В.П., Зайцев А.Н. Математическое моделирование электрохимической размерной обработки. - Уфа: УГАТУ, 1996. - 221 с.

16. Житников В.П., Зиннатуллина O.P., Федорова Г.И. Аналитическое решение задачи Римана-Гильберта с условиями, имеющими место в плоских и осесимметричных задачах Хеле-Шоу. Вестник УГАТУ. Т. 7, №2(15) 2006.-С. 149-154.

17. Житников В.П., Муксимова P.P. Решение задачи нестационарной электрохимической обработки плоским электрод-инструментом с ограниченной неровностью // Вестник УГАТУ, 2011. Т. 15, №1 (41). - С. 113-118.

18. Житников В.П., Муксимова P.P., Ошмарина Е.М. Моделирование процессов нестационарного электрохимического формообразования применительно к прецизионным технологиям // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского. 2010, т. 42. С. 99-122.

19. Житников В.П., Муксимова P.P., Салимьянов А.Р. Формообразование границ при нестационарной электрохимической обработке круглым

электрод-инструментом // Сб. матер, четвертой Всероссийск. конф. «Задачи со свободными границами», 5-10 июля 2011 г., Бийск. -Новосибирск: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2011.-С. 36.

20. Житников В.П., Муксимова P.P., Шерыхалина Н.М. Задачи Хеле-Шоу с ограничениями на подвижность свободных границ // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011. №4 (3). - С. 779-780.

21. Житников В.П., Муксимова P.P., Шерыхалина Н.М., Поречный С.С. Численная оценка параметров нестационарных процессов электрохимического формообразования // Труды ГОСНИТИ. Т. 106. М., 2010.-С. 67-71.

22. Житников В.П., Ураков А.Р., Гуцунаев A.B. Численно-аналитический метод решения нестационарных задач электрохимической размерной обработки // Электронная обработка материалов. - 1999. - №2(196). - С. 4-9.

23. Житников В.П., Шерыхалина Н.М. Оценка погрешности интерполяции методом сравнения // Теоретическая информатика - 2000: Труды Междунар. науч. конф. Уфа: УГАТУ. 24-26.10.2000. С. 133-142.

24. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Поречный С.С., Муксимова P.P. Исследование параметров нестационарных процессов электрохимического формообразования уплотнений ГТД (с оценкой погрешностей численного решения) // Материалы XIV Междунар. науч. конф. «Решетневские чтения» (10-12 нояб. 2010). Красноярск: СибГАУ, 2010. Т. 2. С. 388-389.

25. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Федорова Г.И., Зиннатуллина O.P. Основы многокомпонентного анализа численных результатов: учебное пособие / - Уфа: УГАТУ, 2007. - 119 с.

26. Житников В. П., Шерыхалина Н.М. Моделирование течений весомой жидкости с применением методов многокомпонентного анализа. - Уфа: Гилем, 2009. - 336 с.

27. Житников В. П., Шерыхалина Н.М., Поречный С.С. Об одном подходе к практической оценке погрешностей численных результатов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2009. - №3(80), СПб. - С. 105-110.

28. Житников В.П., Федорова Г.И., Зиннатуллина О.Р. Почти аналитический метод решения задач нестационарного электрохимического формообразования // Гидродинамика больших скоростей: тез. докл. 2-й междунар. науч. школы-сем. -.-Чебоксары: 2004. - С. 158-160.

29. Зайдман Г.Н., Петров Ю.Н. Формообразование при электрохимической размерной обработке металлов. - Кишинев: Штиинца, 1990. - 205 с.

30. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. - М.: Мир, 1986.-318 с.

31. Зиннатуллина О.Р. Численно-аналитические методы решения осесимметричных задач Хеле-Шоу: Дисс. канд. физ.-мат. наук. - Уфа: 2006. - 149 с.

32. Идрисов Т.Р. Влияние дополнительной поляризации электродов на точность и качество поверхности при электрохимической обработке микросекундными импульсами тока: Дисс. канд. техн. наук. - Уфа: 2003.

33. Идрисов Т.Р., Амирханова H.A., Зайцев А.Н. Электродные потенциалы сплавов при поляризации импульсными токами высокой плотности // Сб. докл. VII-го Междунар. Фрумкинского симпозиума -Фундаментальная электрохимия и электрохимическая технология - М.: 2000. - Ч. 2. - С. 659.

34. Идрисов Т.Р., Зайцев А.Н., Амирханова H.A. Исследование электродных потенциалов в нестационарных условиях при электрохимической обработке // Электронная обработка материалов. 2001. -№ 1. - С. 4-8.

35. Каримов А.Х., Клоков В.В., Филатов Е.И. Методы расчета электрохимического формообразования. - Казань: КГУ, 1990. - 387 с.

36. Клоков В.В. Влияние переменного выхода по току на стационарное анодное формообразование // Тр. семин. по краевым задачам. - Казань: Казанск. ун-т, 1979. - Вып. 16. - С. 94-102.

37. Клоков В.В. Об одном методе расчета стационарного электрохимического формообразования // Тр. семин. по краевым задачам. - Казань: Казанск. ун-т, 1975. - Вып. 12. - С. 93-101.

38. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование двугранным катод -инструментом. Казань: Казанск. ун-т, 1989. - 28 с. - Деп. в ВНИИТЭМР 03.07.89.-№188.

39. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование. - Казань: Казанск. ун-т, 1984.-80 с.

40. Клоков В.В., Салихов А.Н. Стационарное электрохимическое формообразование и гидродинамика в окрестности датчика зазора. -Казань: Казанск. ун-т, 1989. - 30 с. - Деп. в ВНИИТЭМР 24.07.89. -№209.

41. Клоков В.В., Шишкин С.Е. Стационарное анодное формообразование двугранным катодом при неравномерной поляризации анода // Тр. семин. по краевым задачам. - Казань: Казанск. ун-т, 1985. - Вып.22. - С. 117-124.

42. Коннор Дж., Бребия К. Метод конечных элементов в механике жидкости. -М.: Мир, 1981.

43. Котляр JI.M. Миназетдинов Н.М. Об одном методе расчета газожидкостного слоя при стационарной электрохимической обработке// Тр. семин. по краевым задачам. - Казань: Изд-во КГУ, 1993. - Вып. 28. -С. 51-58.

44. Котляр JI.M., Миназетдинов Н.М. Моделирование процесса электрохимической обработки металла для технологической подготовки производства на станках с ЧПУ. - М.: Academia, 2005. - 200 с.

45. Котляр Л.М., Миназетдинов Н.М. Определение формы анода с учетом свойств электролита в задачах электрохимической размерной обработки металлов // ПМТФ. - 2003. - Т. 44, №3. - С. 179-184.

46. Котляр Л.М., Миназетдинов Н.М. Эволюция формы анодной границы при электрохимической размерной обработке металлов // ПМТФ, 2004. -Т. 45, №4,-С. 7-12.

47. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

48. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения. Итоги науки и техники ВИНИТИ. Совр. пробл. мат.: фундам. направление. - 1988. - Т. 27. - С. 131-228.

49. Маклаков Д.В., Шишкин С.Е. Метод возмущений в задачах стационарной электрохимической обработки // Тр. семин. по краевым задачам. - Казань: Казанск. ун-т, 1987. - Вып. 23. - С. 164-168.

50. Маннапов А.Р., Зайцев А.Н. Технологические показатели электрохимического формирования вставок щёточных уплотнений //Вестник УГАТУ, 2008. - № 11. - С. 23-28.

51. Миназетдинов Н.М. Гидродинамическая интерпретация одной задачи теории размерной электрохимической обработки металлов // ПММ, 2009. Т. 73, №1. С. 60-68.

52. Миназетдинов Н.М. Об одной задаче размерной электрохимической обработки // ПМТФ. 2009, т. 50, №3. - С. 214-220.

53. Миназетдинов Н.М. Об одной схеме электрохимической обработки металлов катодом-инструментом с криволинейным участком границы // ПММ. 2009. Т. 73, № 5. С. 824-832.

54. Миназетдинов Н.М. Учет кавитации при стационарном электрохимическом формообразовании: Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. - Казань: 1994. - 15 с.

55. Мороз И.И., Алексеев Г.А., Водяницкий O.A. и др. Электрохимическая обработка металлов. М.: Машиностроение, 1969. 208 с.

56. Муксимова Р. Р., Поречный С. С. Методы решения нестационарных задач электрохимического формообразования // Сб. ст. шестой Всероссийск. зимн. шк.-семинара аспирантов и молодых ученых, 15-18 февраля 2011. Информационные и инфокоммуникационные технологии, естественные науки. Том 2. - Уфа: УГАТУ, 2011. - С. 325-329.

57. Муксимова Р. Р., Поречный С. С. Методы решения нестационарных задач электрохимического формообразования // Сб. ст. шестой Всероссийск. зимн. шк.-семинара аспирантов и молодых ученых, 15-18 февраля 2011. Информационные и инфокоммуникационные технологии, естественные науки. Том 2. - Уфа: УГАТУ, 2011. - С. 325-329.

58. Муксимова P.P. Моделирование нестационарной электрохимической обработки полукруглым электрод-инструментом // XXXVI Гагаринские чтения: науч. тр. Междунар. молодежи, науч. конф. М.: МАТИ, 2010. Т. 5. С. 114-116.

59. Муксимова P.P. Применение фильтрации численных результатов для увеличения надежности вычислений. // Сборник статей третьей всероссийской зимней школы-семинара аспирантов и молодых ученых, 20-23 февраля 2008. Технические науки и моделирование. Том 2. - Уфа, 2008.-С. 204-209.

60. Муксимова P.P. Применение фильтрации численных результатов для увеличения надежности вычислений. // Сборник статей третьей всероссийской зимней школы-семинара аспирантов и молодых ученых, 20-23 февраля 2008. Технические науки и моделирование. Том 2. - Уфа, 2008. - С. 204-209.

61. Муксимова P.P. Решение нестационарной задачи об электрохимической резке круглым электрод-инструментом // Всерос. молодежи, научн.

конф. «Мавлютовские чтения»: сб. тез. докл., Т.5, Уфа: УГАТУ, 2010. С. 22-24.

62. Муксимова P.P. Стационарная электрохимическая обработка плоским электрод-инструментом с криволинейным выступом // Сборник статей четвертой всероссийской зимней школы-семинара аспирантов и молодых ученых, 19-21 февраля 2009. Том 2. - Уфа, 2009. - С. 259-262.

63. Муксимова P.P. Стационарная электрохимическая обработка плоским электрод-инструментом с криволинейным выступом // Сборник статей четвертой всероссийской зимней школы-семинара аспирантов и молодых ученых, 19-21 февраля 2009. Том 2. - Уфа, 2009. - С. 259-262.

64. Муксимова P.P., Ошмарин A.A. Решение задачи нестационарной электрохимической обработки плоским электродом-инструментом с ограниченной неровностью // Сб. тр. Девятой молодежи, научн. школы-конф. «Лобачевские чтения - 2010», Т. 40. - Казань: Казан, матем. об-во, 2010.-С. 237-241.

65. Муксимова P.P., Подымова М.Ю. Обтекание мягкой оболочки вблизи экрана // Всерос. молодежи, научн. конф. «Мавлютовские чтения»: сб. тез. докл., Т.5, Уфа: УГАТУ, 2010. С. 20-22.

66. Муксимова P.P., Салимьянов А.Р. Свидетельство об офиц. регистрации программы для ЭВМ РФ № 2011619286. Расчет формы поверхности при нестационарной электрохимической обработке. Зарег. М.: Роспатент, 2011.

67. Муксимова P.P., Хадимуллин Т.Р. Определение напряженности электрического поля в пространстве между двумя пластинчатыми полубесконечными электродами // Всерос. молодежи, научн. конф. «Мавлютовские чтения»: сб. тез. докл., Т.5. - Уфа: УГАТУ, 2008. - С. 64-65.

68. Мустянцэ А.Н., Эрлихман Ф.М., Энгельгардт Г.Р., Дикусар А.И. Электрохимическое формообразование в условиях локальной изоляции

анодной поверхности. I. Теоретический анализ // Электронная обработка материалов, Кишинёв, Штиинца, 1989, №3: 11-15.

69. Ошмарина Е.М. Применение гидродинамической аналогии для моделирования анодного растворения при прецизионной электрохимической обработке. Дисс. канд. физ.-мат. наук. - Уфа: 2011. - 129 с.

70. Полубаринова-Кочина П.Я. Нестационарное движение в теории фильтрации. // ПММ. 1945. - Т. 9. - С. 79-90.

71. Поречный С. С. Гидродинамическое и геометрическое моделирование формообразования выступов при электрохимической обработке. Дисс. канд. физ.-мат. наук. - Уфа: 2009. - 129 с.

72. Поречный С.С., Муксимова Р. Р., Ошмарина Е.М. Нестационарная электрохимическая обработка плоским полубесконечным электродом-инструментом // Сб. трудов межд. научно-технической и образовательной конф. «Образование и наука - производству» ч.1. кн.1. - Набережные Челны. 28-31 марта 2010. - С. 136-138.

73. Поречный С.С., Муксимова P.P. Механизм возникновения струйности на поверхности детали при импульсной электрохимической обработке вибрирующим электрод-инструментом // Гидродинамика больших скоростей: сб. труд. X Междунар. научн. школы. - Чебоксары: ЧПИ МГОУ, 2008. - С. 295-302.

74. Поречный С.С., Муксимова P.P. Стационарное электрохимическое формообразование горизонтальной пластиной с изолированной верхней частью // Сб. тр. 5-й Всероссийск. зимн. шк.-семинара аспирантов и молодых ученых «Актуальные проблемы науки и техники», 17-20 февраля 2010.. Уфа: УГАТУ, 2010. Т. 3. С. 268-271.

75. Поречный С.С., Муксимова P.P. Электрохимическая размерная обработка плоским подвижным электрод-инструментом // Всерос. научн.-техн. конф. «Мавлютовские чтения»: сб. трудов. Уфа: УГАТУ, 2011. Т.5. С. 138-142.

76. Поречный С.С., Муксимова P.P., Маннапов А.Р. Моделирование процесса формообразования выступов при электрохимической обработке // Вестник УГАТУ, 2010. Т. 14, №2 (37). - С. 195-201.

77. Поречный С.С., Муксимова P.P., Скорульская Ю.Ю. Моделирование процесса формообразования при электрохимической обработке // Сб. трудов межд. научно-технической и образовательной конф. «Образование и наука - производству» ч.1. кн.1. - Набережные Челны. 28-31 марта 2010.-С. 139-142.

78. Седыкин Ф.В. Размерная электрохимическая обработка деталей машин. М.: Машиностроение, 1976. 301 с.

79. Седыкин Ф.В., Орлов Б.П., Матасов В.Ф. Исследование анодного тока при электрохимической обработке при постоянном и импульсном напряжении. Технология машиностроения, Тула, 1975, Т. 39. С.3-10.

80. Скорульская Ю.Ю., Муксимова P.P., Ошмарина Е.М. Решение задачи о стационарной электрохимической обработке плоским конечным электрод-инструментом с помощью разложения в ряд // Сб. трудов межд. научно-технической и образовательной конф. - Образование и наука - производству - ч.1. кн.1. Набережные Челны. 28-31 марта 2010. -С. 148-151.

81. Тимофеева М.А. Математическое моделирование процесса нестационарной электрохимической обработки электрод-инструментом с почти прямоугольным выступом // Сб. трудов межд. научно-технической и образовательной конф. «Образование и наука -производству» - Набережные Челны. 28-31 марта 2010. ч.1. кн.1. - С. 152-155.

82. Ураков А.Р., Гуцунаев A.B. Метод численно-аналитического решения задач нестационарной размерной ЭХО // Труды Междунар. науч. конф. -Моделирование, вычисления, проектирование в условиях неопределенности 2000. - Уфа: УГАТУ, 2000. - С. 251-254.

83. Ураков А.Р., Гуцунаев А.В. Об одном подходе к решению нестационарных задач электрохимического растворения // Труды Междунар. конф. - Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. Прикладная математика. - Уфа: Изд. Института математики УНЦ РАН, 2000. - Т.4. - С. 201-205.

84. Ураков А.Р., Гуцунаев А.В. Расчет формы поверхности при нестационарной электрохимической обработке проволочным электродом // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. - Т. 8, вып. 2. - С. 700-701.

85. Федорова Г.И. Методы расчета формообразования поверхности при нестационарной электрохимической обработке: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук.-Уфа: 2004,- 158 с.

86. Филатов Е.И. Расчет ширины зазора при стационарной ЭХО с учетом нагрева электролита // Электрохим. и электрофиз. методы обработки материалов в авиастроении. - Казань: Казанск. авиац. ин-т, 1990. - С. 6468.

87. Щербак М.В., Толстая М.А., Анисимов А.П. и др. Основы теории и практики электрохимической обработки металлов и сплавов. М.: Машиностроение, 1981. 263 с.

88. Ястребов В.Н., Каримов А.Х. Математическое моделирование нестационарного процесса электрохимического скругления кромок деталей ГТД // Электрохимические и электрофизические методы обработки материалов. - Казань: КАИ, 1989. - Вып. 1. - С.23 - 34.

89. Bortels L., Purcar М., Bart Van den Bossche, Deconinck J. A user-friendly simulation software tool for 3D ECM. // Journal of Materials Processing Technology. - Elsevier, UK, 2004. - V. 3. - PP. 486 - 492.

90. Christiansen S., Rasmussen H. Numerical solutions for two-dimensional annular electrochemical machining problems // J. Inst. Maths. Applies. -1976.-№18,-PP. 295-307.

91. Craster R.V. Two related free boundary problems. IMA J. Appl. Math. -1994. - №52. - PP. 253 - 270.

92. Cummings L. J. Howison, S. D., King J. R. Two-dimensional Stokes and Hele-Shaw flows with free surfaces // European J. Appl. Math. 10, 1999. -PP. 635-680.

93. Elliott C. M., Ockendon J. R. Weak and variational methods for moving boundary problem // Pitman, London, 1992.

94. Fedorova G.I., Oshmarina E.M., Zinnatullina O.R., Moustafm A.G. Solving of the Hele-Shows problem in presence of the gap between impermeable surfaces // Proceedings of the 8-th Workshop on Computer Science and Information Technologies CSIT - 2006, Vol. 1, Karlsruhe, Germany, Russia, 2006. pp. 138 - 142.

95. Gustafsson B., Vasil'ev A. Conformal and Potential Analysis in Hele-Shaw cells. // Stockholm-Valparaiso, 2004. - 189 p. www.math.kth.se/~gbjorn/

96. Hele-Shaw H. S. On the motion of a viscous fluid between two parallel plates. // London: Trans. Royal Inst. Nav. Archit. 40 (1898) 21.

97. Howison S.D., Complex variable methods in Hele-Shaw moving boundary problems. // Eur. J. Appl. Math. 3 (1992) - PP. 209 - 224.

98. Howison S.D., King J.R. Explicit solutions to six free-boundary problems in fluid flow and diffusion. // IMA J. Appl. Math 42, 1989. - PP. 155 - 175.

99. Howison S.D., Ockendon J.R. and Lacey A.A. Singularity development in moving boundary problems. // Q. J. Mech. Appl. Math. 38 (1985). - PP 343 -360.

100. King J. R., Development of singularities in some moving boundary problems // Euro. J. Appl. Math. 6 (1995). - No. 5. - PP. 491 - 507.

101. Konig W., Humbus H.-J. Mathematical Model for the Calculation of the Contour of the Anode in electrochemical Machining // Cirp. Annals, 1977. -V. 25, No l.-PP. 83-87.

102. McGeough J.A., Principles of Electrochemical Machining. // London: Chapman and Hall, 1974. - 290 p.

103. McGeough, J. A., Rasmussen, H. On the derivation of the quasi-steady model in electrochemical machining // J. Inst. Maths Applies, 1974. - Vol. 13. pp. 13-21.

104. Minazetdinov N.M. About one computational method of an electrochemical machining by the cathode-tool with a curvilinear segment of boundary // Proceedings of the 7-th Workshop on Computer Science and Information Technologies CSIT - 2005. Ufa, Russia, 2005. - Vol. 1. - PP. 126 - 130.

105. Muksimova R.R., Kasyuk M.N., Shaymardanov R.R. Stationary electrochemical machining of a flat electrode-tool with a semicircular projection. Proceedings of 11-th Workshop on Computer Science and Information Technologies (CSIT'2009), Vol. 3. Crete, Greece, 2009, pp. 28-31.

106. Novak P., Rousaz I., Kimla A. etc. Mathematical simulation of electrochemical machining // Материалы междунар. шк. - ЭХОМ-88, Любневицы (ПНР), 1988. - С. 100 - 115.

107. Ockendon J. R., Howison S. D. Kochina and Hele-Shaw in modern mathematics, natural sciences, and technology // J. Appl. Math. Mech. 2002. -Vol. 66, No.3.-PP. 505-512.

108. Pandey J. Finite Element Approach to the two-dimensional Analysis of ECM // Precis. Eng. 1980. - V. 2, No 1. - PP. 23 - 28.

109. Polubarinova-Kochina P.Ya. Theory of Groundwater Movement. // Princeton: Princeton Univ. Press. 1962. - 350 p.

110. Porechny S.S., Abdulnagimov A.I. Non-stationary processing by plane electrode-tool with gap // Proceedings of 12-th Workshop on Computer Science and Information Technologies (CSIT'2010), Vol. 3. Russia, Moscow - St.Petersburg, 2010, pp. 31-34.

111. Porechny S.S., Muksimova R.R. Computer modeling of macrodefects formation during electrochemical machining. Proceedings of 10-th Workshop

on Computer Science and Information Technologies (CSIT'2008), Vol. 2. Antalya, Turkey, 2008, pp. 218-220.

112. Purcar M., Bortels L., Bart Van den Bossche, Deconinck J. 3D electrochemical machining computer simulations. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, 2004. - V. 3. - PP. 472 - 478.

113. Richardson S. Hele-Shaw flows with a free boundary produced by the injection of fluid into a narrow channel. // J. Fluid Mech., 56 (1972). - No. 4. -PP. 609-618.

114. Richardson S. On the classification of solutions to the zero surface tension model for Hele-Shaw free boundary flows. // Quart. Appl. Math., 55 (1997). -No. 2.-PP.313-319.

115. Saffman P. G. Taylor G. I. The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid. // Proc. Royal Soc. London, Ser. A, 245 (1958). - PP. 281, 312 - 329.

116. Saffman P. G., Taylor G. I. A note on the motion of bubbles in a Hele-Shaw cell and porous medium. // Quart. J. Mech. Appl. Math. 17 (1959). - No. 3. -PP. 265 - 279.

117. Urakov A.R., Gutsunaev A.V. Numerical method of on nonstationary electrochemical machining problems solution // Proceedings of the 5-th Workshop on Computer Science and Information Technologies CSIT - 2003. Ufa, Russia, 2003. - Vol. 2 - PP. 43.

118. Volgin V. M., Davydov A. D. Modeling of multistage electrochemical shaping. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK, 2004. -V. 3.-PP. 466-471.

119. West A., Madore C., Moltosz M., Landolt D. Shape changes during through-mask electrochemical micromachining of thin metal films. // J. Electrochem. Soc., 1992. №2, 139. - PP. 499 - 506

120. Zhitnikov V.P., Fedorova G.I., Sherykhalina N.M., Urakov A.R. Numerical investigation of non-stationary electrochemical shaping based on an analytical

solution of the Hele-Shaw problem // Journ. Eng. Math., Vol. 55, Nos. 1-4, 2006.-PP. 255-276.

121. Zhitnikov V.P., Fedorova G.I., Zinnatullina O.R. Quasi-Analytical Method of Calculation of Nonstationary Electrochemical Shaping // In: Proc. of 2-nd Intern. Summer Scientific School High Speed Hydrodynamics, June 2004, Cheboksary, Russia. - PP. 313 - 317.

122. Zhitnikov V.P., Fedorova G.I., Zinnatullina O.R. Simulation of non-stationary processes of electrochemical machining // Journal of Materials Processing Tech., Elsevier, 2004. - Vol. 149/1-3. - PP. 398 - 403.

123. Zhitnikov V.P., Zinnatullina O.R. The Numerical Solution of Axially Symmetric Problem of Electro -Chemical Machining of Plane Surface // Proceedings of the 5-th Workshop on Computer Science and Information Technologies CSIT - 2003. Ufa, Russia, 2003. - Vol. 1. - PP. 39 - 42.

124. Zhitnikov V.P., Zinnatullina O.R., Fedorova G.I. Numerical method of calculation of axisymmetrical nonstationary electrochemical problems. // Proceedings of the 7-th Workshop on Computer Science and Information Technologies CSIT - 2005. Ufa, Russia, 2005. - Vol. 1. - PP. 135 - 140.

125. Житников В.П., Муксимова P.P. Свидетельство об офиц. регистрации программы для ЭВМ РФ № 2012610168. Моделирование нестационарной электрохимической обработки круглым электрод-инструментом. . Зарег. М.: Роспатент, 2012.

126. Житников В.П., Муксимова P.P. Свидетельство об офиц. регистрации программы для ЭВМ РФ № 2012610169. Интерполяционная модель образования зазора при электрохимической обработке. . Зарег. М.: Роспатент, 2012.