Нестационарные и квазистационарные задачи Хеле-Шоу с различными условиями на подвижных границах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Зарипов, Аскар Александрович

• Зарипов, Аскар Александрович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Зарипов, Аскар Александрович

СОДЕРЖАНИЕ

Условные обозначения и сокращения

Введение

Глава 1. Обзор существующих методов моделирования процессов электрохимического формообразования применительно к

прецизионным технологиям

1.1. Некоторые замечания о средствах повышения точности

копирования. Локализация процесса ЭХО

1.2 Общепринятые модели ЭХО

1.3. Краткий обзор решенных задач электрохимического

копирования

Глава 2. Исследование распределения плотности тока в условиях

немонотонной зависимости анодного потенциала

2.1. Плоская задача обработки точечным ЭИ

2.2. Плоская задача обработки стержневым ЭИ с круглым

сечением (с постоянным потенциалом на ЭИ)

2.3. Плоская задача обработки стержневым ЭИ с круглым

сечением (с переменным потенциалом на ЭИ)

Выводы по главе 2

Глава 3. Предельная квазистационарная обработка

непрофилированными электродами-инструментами

3.1. Моделирование обработки горизонтально движущимся

угловым ЭИ

3.2. Задача обработки горизонтально движущимся угловым ЭИ с изолированной вертикальной поверхностью

3.3. Задача обработки горизонтальным пластинчатым ЭИ

3.4. Задача обработки горизонтальным пластинчатым ЭИ с

изоляцией

3.5. Задача обработки горизонтальным плоским ЭИ с изоляцией

Глава 4. Моделирование электрохимического копирования в ячейке

конечной ширины

4.1. Модель и метод решения нестационарной задачи ЭХО

4.2. Метод решения стационарной задачи с учетом неравномерной поляризации анода

4.3. Постановка и метод решения задачи предельно-стационарного формообразования

4.4. Квазистационарное решение

4.5. Общее численное исследование

Выводы по главе 4

Заключение

Литература

Условные обозначения и сокращения

Условные обозначения

Уест - скорость электрохимического растворения (сдвига границы по нормали);

е - электрохимический эквивалент;

р - плотность растворяемого материала;

] - плотность тока на анодной границе;

к - электропроводность электролита;

П = п( ]) - выход по току (доля тока, участвующего в реакции

растворения металла); Е = у/к - напряженность электрического поля (закон Ома);

Ф; ф - потенциал; - функция тока; 8, б - зазор; 2 = X + ¡X; х = х + ¡у - координаты точек; Ж = Ф + ¡Т; w = ф + ¡у - комплексный потенциал.

Сокращения

ЭХО - электрохимическая обработка;

ЭИ - электрод-инструмент (катод);

ОП - обрабатываемая поверхность (анод);

МЭП - межэлектродное пространство,

ТФКП - теория функций комплексного переменного.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нестационарные и квазистационарные задачи Хеле-Шоу с различными условиями на подвижных границах»

ВВЕДЕНИЕ

В конце 19 века была опубликована работа Henry Selby Hele-Shaw (Хеле-Шоу) [81], которая внесла большой вклад в развитие гидродинамики. В этой работе было описано устройство, где хорошо моделируется двумерное безвихревое движение вязкой жидкости между двумя параллельными прозрачными пластинами. Позднее это устройство было названо ячейкой Хеле-Шоу и получило широкое применение. В русскоязычной литературе прибор называется щелевым лотком. Прибор применялся, например, Н.Е. Жуковским для визуализации обтекания крыла ламинарным потоком. Прибор дает возможность исследовать нестационарное движение, позволяет наблюдать картину движения (рис. В1).

injection/axictLon uf Huld р|

Параллельные стеклянные пластины \ =

\ Пара бол 11 чесю I й 1 гро ф (иг ь Рис. В1. Щелевой лоток (ячейка Хеле-Шоу)

Решениями задач Хеле-Шоу (рис. В2) моделируются течения в пористых средах (в предположении, что для них справедлив закон Дарси), а также сдвиг

границ фазового перехода применительно к геофизике и к металлургии, процессы осаждения металлов. Широкое применение задачи Хеле-Шоу получили в области моделирования растворения материалов при электрохимической обработке (ЭХО). Это применение позволяет расширить теорию задач Хеле-Шоу и сформулировать другие задачи, например, с переменными выходом по току и потенциалом границ.

^Р = О р = О

Рис. В2. Задача Хеле-Шоу с подвижной границей

При отсутствии гравитационных сил или при их поперечном направлении давление на свободной границе P = const (можно принять P=0). Скорость сдвига границы равна проекции скорости жидкости на нормаль к границе

dP

Vn=-k1 dP.

dn

Теоретическое исследование задач Хеле-Шоу было начато [90] П. Я. Полубариновой-Кочиной [70, 92] и Л. А. Галиным [12]. В 1945г. для решения задач Хеле-Шоу они применили методы теории функций комплексного переменного (ТФКП). Использовались конформные отображения Z=f(Q области Z простой геометрической формы (например, круга единичного радиуса) параметрической плоскости на область течения, чтобы представить свободные границы в аналитическом виде.

Методами ТФКП было получено граничное условие

Re

'rf f 1 Q Z i

Z = при Z= 1

dZ dt J 2n

Полученное выражение в последствии было названо уравнением

Полубариновой-Галина [80]. Это уравнение дает возможность получать аналитические решения и применять численные методы для исследования потоков Хеле-Шоу.

В дальнейшее развитие теории задач Хеле-Шоу внесли вклад L. J. Cummings [78], C. M. Elliott [79], S. D. Howison [78, 82, 83, 84], J. R. King [78, 83, 86], J. R. Ockendon [84, 90], S. Richardson [94, 95], P. G. Saffman [96, 97] and G. I. Taylor. С помощью ТФКП получены точные и численные решения многих задач.

Рассмотрим конкретные примеры течений. На рис. В.3,а давление в скважине Py > P2 и происходит движение фронтов потока жидкости в стороны от скважины. На рис. В.3,б контур с давлением Py является берегом резервуара, а движущийся контур с давлением P2 (Py > P2) - граница обводнения. Но вторую задачу можно интерпретировать и как задачу ЭХО, при этом Py и P2 (Py < P2) - потенциалы катода и анода. Катод не меняет формы и может быть как неподвижным, так и подвижным. Граница анода движется вниз в связи с электрохимическим растворением.

В,

Рг

а б

Рис. В.3. Схема течения или межэлектродного пространства

Таким образом, решая гидродинамическую задачу, мы одновременно решаем задачу ЭХО и наоборот.

Если допустить, что движение фронта жидкости происходит только если ^гаё Р\ >Р, где Р>0 - некоторое критическое значение градиента, то это

условие является аналогом скачкообразной зависимости выхода по току при моделировании ЭХО. Если давление не постоянно, а зависит от ^гаёР , то в

электрохимической интерпретации это аналогично зависимости анодного потенциала от плотности тока.

Возможен и другой принцип аналогии между задачами гидродинамики и ЭХО. Рассмотрим поток идеальной невязкой несжимаемой жидкости в канале с криволинейными стенками. Если границы непроницаемы, то они являются линиями тока. В задачах ЭХО границы часто полагаются эквипотенциальными. Тогда заменяя в картине течения линии тока на эквипотенциали и наоборот, получаем задачу об электрическом поле между двумя криволинейными электродами. Неэквипотенциальность электродов эквивалентна проницаемости границ в гидродинамической задаче.

Такая аналогия широко применяется для лучшего понимания процессов, протекающих при ЭХО на основе хорошо изученных гидродинамических задач.

Приведем пример. В главе 1 на рис. 1.1.6,б приведена фотография образца, поверхность которого имеет аномально заостренные участки. С точки зрения идеальной ЭХО углов, больших п на обрабатываемой поверхности (ОП) существовать не может, так как в угловых точках напряженность электрического поля и плотность тока равны бесконечности, что привело бы к мгновенному растворению и скруглению углов. Было предположено, что такое явление связано с крутизной зависимости выхода по току от плотности тока (рис. 1.1.7). В [18, 33, 69] для улучшения понимания была предложена идеализированная модель ступенчатой функции выхода по току (1.1.6). При использовании этой модели при обработке на поверхности детали существует участок, на котором напряженность равна критическому значению. Участок с постоянным модулем напряженности в аналогичной гидродинамической

задаче эквивалентен постоянному модулю скорости. В гидродинамике такие задачи называются задачами со свободной границей. Известно, что в точке отрыва свободной поверхности от прямолинейной стенки зависимость

координат представляется функцией с особенностью вида у ~ х32. Тем самым, поверхность является гладкой, но ее кривизна в точке отрыва бесконечна. При изображении этой конфигурации на графике отличить такую гладкую функцию от негладкой очень сложно. При этом модуль скорости не увеличивается при приближении к точке отрыва, а остается постоянным и меняется непрерывно при переходе на стенку. Так было найдено объяснение появления «почти острых» участков обрабатываемой поверхности.

Второй пример непосредственно связан с задачами данной работы. Рассмотрим безотрывное обтекание клина потоком идеальной жидкости (рис. В.4). Обозначены линии тока со значениями функции тока у0 - у3.

а б в

Рис. В.4. Обтекание клина: а - с непроницаемыми границами; б - с меньшей проницаемостью; в - с большей проницаемостью

Если стенки клина непроницаемые (рис. В.4,а), то скорость на вершине клина А бесконечна. Если стенки проницаемые, то часть потока (от у0 до проникает сквозь тело клина (рис. В.4,б). Можно найти такой закон проницаемости, чтобы линия тока, проходящая через вершину клина не терпела излома (рис. В.4,в). Таким образом, по гидродинамической аналогии существование достаточно острых выступов на обрабатываемой поверхности (рис. 4.5.1) можно объяснить неэквипотенциальностью этой поверхности.

Изучение процессов электрохимического формообразования имеет большое практическое значение в связи с обширным применением ЭХО во

многих отраслях промышленности (например, машиностроительной, авиационной, станкостроительной и инструментальной, медицинской и т. д.) [88], [14], [49], [52], [55]. В настоящее время активно развиваются технологии прецизионной обработки (включая нанотехнологии) различных материалов и сплавов. Для этого применяют различные методы, улучшающие локализацию обработки и точность копирования. В последнее время применяются пассивирующие электролиты, импульсная ЭХО вибрирующим электрод -инструментом (ЭИ), [37]. Использование коротких импульсов тока также способствует увеличению локализации [98, 85]. Это требует разработки новых математических моделей, а также постановки и решения новых задач.

Впервые ЭХО была предложена в 1928 году В.Н. Гусевым и Л.А. Рожковым. Существенный вклад в разработку теории расчета размерной ЭХО внесли Г.А. Алексеев, В.М. Волгин, Ю.С. Волков, А.Д. Давыдов, А.И. Дикуссар, В.П. Житников, Н.Г. Зайдман, А.Н. Зайцев, А.Х. Каримов, В.Д. Кащеев, В.В. Клоков, Г.И. Корчагин, Л.М. Котляр, А. Л. Крылов, В.С. Крылов, Д.В. Маклаков, Н.М. Миназетдинов, И.И. Мороз, Ю.Н. Петров, Ф.В. Седыкин, В.П. Смоленцев, Е.И. Филатов, Л.М. Щербаков, Г.Р. Энгельгарт, I. Бесошпск, I. Ко2ак, 1.А. McGeogh, и другие ученые.

При ЭХО пространство между электродами заполняется электролитом. При подключении к электродам источника тока или напряжения происходит растворение материала анода. Скорость растворения, согласно закону Фарадея, зависит от плотности тока в данной точке анодной поверхности. Необходимая форма детали получается за счет выбора определенной формы ЭИ и соответствующих параметров процесса. Для эвакуации загрязняющих продуктов реакции и газа (выделяющегося вследствие электролиза воды) необходимо обеспечить проточность электролита.

Активно применяемые в настоящее время технологические схемы ЭХО на импульсном токе с синхронной вибрацией ЭИ позволяют обеспечить

подвод чистого электролита. За счет этого существенно повышается точность ЭХО.

Проектирование технологических процессов ЭХО (выбор форм ЭИ, параметров процессов) представляет собой сложную задачу. Сложность выбора формы ЭИ осложняется тем, что формы обрабатываемых поверхностей, образующихся в ходе ЭХО, определяются скоростью растворения материала заготовки в каждой точке поверхности, зависящей от плотности тока. Поэтому форма детали при ЭХО не повторяет точно профиль ЭИ (как при штамповке). Значения плотности тока в различных точках обрабатываемой поверхности определяются напряженностью электрического поля в различных точках межэлектродного пространства (МЭП). При этом приходится принимать во внимание физико-химические параметры процесса. Кроме того, расчет формообразования обрабатываемой поверхности значительно осложняет необходимость решения нестационарных задач, поскольку для установления стационарного режима требуется значительное время и снятие дополнительного припуска.

Поэтому исследование ЭХО требует разработки адекватных математических моделей, учета различных условий и режимов обработки. Это приводит к необходимости разработки новых численных и численно-аналитических методов, ускоряющих получение численного решения задач формообразования.

Аналогия уравнений и граничных условий при решении задач ЭХО и гидродинамики упрощает формулировку граничных условий для разных задач моделирования ЭХО. Ранее были развиты мощные методы решения задач гидродинамики, основы которых содержатся в работах М.А. М.И. Гуревича [13], Лаврентьева, Б.В. Шабата [59], П.Я. Полубариновой-Кочиной [92] и др. Это позволяет на их основе разработать эффективные численные методы расчета электрохимического формообразования.

Задачи Хеле-Шоу часто решаются с помощью методов конечных разностей и конечных элементов [36, 45, 68, 76, 87, 91], а также граничных элементов [2, 4, 62, 57, 77, 93, 99, 100]. Применение аналитических и численно-аналитических методов на основе ТФКП позволяет в ряде случаев получать точные решения нестационарных задач, эффективно решать вопросы и оценки погрешностей полученных численных решений.

Для оценки погрешности часто применяются упрощенные методы, не обеспечивающие достоверность оценки. Некоторые данные, подтверждающие этот факт приведены в [29, 103]. В [28, 29, 30, 34, 103] разработаны методы фильтрации численных результатов. Эти методы заключаются в постпроцессорной обработке данных, полученных при различном числе точек коллокаций или узловых точек сетки. В данной работе методы фильтрации применяются для оценки погрешности полученных численных решений. Кроме того, для проверки на наличие ошибок в сложных программах используется сравнение решений и оценок погрешностей результатов, полученных разными методами.

В данной работе на основе ТФКП предлагается модель и постановка задачи нестационарного электрохимического формообразования с учетом непостоянства анодного потенциала. Для моделирования прецизионного процесса ЭХО используется ступенчатая зависимость выхода по току [18], [19], [26], [27], [33], с помощью которой определяется скорость сдвига границы обрабатываемо поверхности. Кроме нестационарных задач общего вида решаются квазистационарные, стационарные и предельно-стационарные задачи. Для решения задач моделирования ЭХО разработаны специальные численно-аналитические методы.

Целью работы является:

Исследование влияния физических факторов на параметры процесса формообразования границ в задачах Хеле-Шоу. Объяснение явлений,

возникающих при электрохимической обработке, с помощью построения математических моделей и гидродинамической аналогии.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• Разработать математическую модель, описывающую процесс прецизионной ЭХО с учетом зависимости потенциала границ от плотности тока. На основе предложенной модели сформулировать задачи Хеле-Шоу в нестационарной, стационарной и квазистационарной постановках.

• Разработать численно-аналитические методы решения поставленных задач.

• Исследовать особенности процессов формообразования ОП на основе предложенной модели с помощью разработанных методов решения задач.

Диссертация (147 стр.) состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (109), содержит 100 рисунков.

В первой главе диссертации даны общие основы построения моделей ЭХО и проведен обзор литературы с определением цели и задач исследования.

В разделе 1.1 описаны подходы к определению понятия локализации ЭХО, приводятся некоторые экспериментальные результаты применения прецизионной ЭХО и дается обоснование выбора ступенчатой зависимости выхода по току от плотности тока.

В разделе 1.2 приведены основные модели и виды задач, используемые для анализа процессов ЭХО. Основой моделирования распределенных процессов является уравнение Лапласа (или уравнения Коши-Римана при использовании теории функций комплексного переменного) с различными краевыми условиями, определяемыми типом границ.

В разделе 1.3 приведен краткий обзор задач электрохимического копирования. Проанализировано влияние дефектов формы катода на погрешность формы анода.

Во второй главе диссертации рассматриваются решения задач моделирования ЭХО с учетом немонотонной зависимости анодного потенциала от плотности тока. С помощью рядов Лорана и метода коллокаций решены плоские задачи с точечным и круглым ЭИ с переменным анодным потенциалом, с круглым ЭИ с переменным катодным и анодным потенциалами (разделы 2.1-2.3).

В третьей главе диссертации на основе использования ступенчатой функции выхода по току получены точные (в квадратурах) решения предельных квазистационарных задач ЭХО непрофилированными ЭИ разной формы. Движение ЭИ эквивалентно изменению положения (сдвигу) ЭИ в направлении заготовки.

С помощью конформных отображений решено 5 задач обработки заготовки угловой формы с помощью ЭИ в виде пластины и угла с изоляцией и без нее.

В четвертой главе диссертации предложена модель и разработаны методы решения задач ЭХО с помощью ЭИ, имеющего периодическую форму, с учетом и без учета неравномерности анодной поляризации.

В разделе 4.1 сформулирована задача и разработан метод решения задачи нестационарной обработки. Для определения искомой функции используется интеграл Шварца на параметрическом прямоугольнике, сплайн-интерполяция и метод коллокаций.

В разделе 4.2 разработан метод решения задачи стационарной обработки с учетом неравномерной анодной поляризации использующий конформные отображения, ряды Лорана и метод коллокаций.

В разделе 4.3 разработан метод решения задачи предельной обработки. Проведена оценка вычислительной погрешности полученных результатов. Проведено сравнение полученных результатов с решением стационарной задачи без учета и с учетом неравномерности поляризации анода. Для задачи копирования клинообразной выемки на ЭИ показано, что кривизна верхней

части зубца, образующегося на аноде, в предельном решении мало отличается от стационарного. Однако учет неравномерности поляризации позволяет существенно увеличить эту кривизну.

В разделе 4.4 разработан метод решения предельно-квазистационарной задачи ЭХО на основе применения интеграла Шварца на прямоугольнике и метода коллокаций. Для задачи обработки ЭИ с клинообразной выемкой с помощью конформных отображений получено точное решение (в квадратурах).

В разделе 4.5 проведено общее численное исследование и сравнение решений перечисленных выше задач, показавшее их совпадение в рамках оцененной вычислительной погрешности. Приведены результаты, позволяющие определить величину дополнительного припуска, необходимого для получения формы анода с заданной погрешностью (относительно стационарного или предельно-стационарного решения) при различных режимах обработки. Исследована обработка с помощью ЭИ разной формы. На защиту выносятся:

• Математическая модель, построенная на основе аналогии с течениями с проницаемыми границами, позволяющая прогнозировать процесс прецизионной ЭХО, учитывающая скачкообразную функцию выхода по току и непостоянство потенциала границ. Формулировки задач Хеле-Шоу на основе теории функций комплексного переменного.

• Разработанные методы и комплекс программ численного решения задач Хеле-Шоу с физическими ограничениями на подвижность границ и учетом переменности их потенциала.

• Результаты численного исследования решений задач Хеле-Шоу с различной конфигурацией недеформируемой границы и сопоставление с результатами натурного эксперимента. Обнаружение явления противоположного влияния физических факторов на точность копирования в области выпуклости и вогнутости обрабатываемой поверхности.

Научная новизна

• Разработанная математическая модель прецизионной нестационарной ЭХО и сформулированные задачи, основанные на использовании ступенчатой функции выхода по току, отличаются от известных учетом непостоянства потенциала границ, что позволяет моделировать особенности формообразования ОП в реальных процессах.

• Разработанные методы позволяют существенно уменьшить объем вычислений, в частности, за счет сплайн-интерполяции на различных этапах, например, для определения частных производных координат по времени.

• Проведенные исследования позволили получить характеристики нестационарных процессов формообразования для оценки необходимой величины припуска. Использование предложенной модели позволило объяснить резкие очертания обработанной поверхности, не характерные для идеальной ЭХО, переменностью потенциала границ.

Практическая ценность

Автором поставлены и решены задачи моделирования прецизионной ЭХО; полученные результаты и выводы могут быть использованы при проектировании технологических процессов.

Значительная часть работы проводилась в содружестве с НИИ проблем теории и технологии электрохимической обработки УГАТУ.

Основные материалы диссертации опубликованы в работах автора [38 - 43] и в соавторстве [15-17, 22, 23, 31, 44, 65, 66, 67, 104, 107, 108]. В работах, выполненных в соавторстве, автору принадлежит разработка численно-аналитических методов, алгоритмов и программ, проведение вычислений, а также участие в постановке задач.

По основным результатам работы были сделаны доклады на Всерос. молодежн. научн. конф. «Мавлютовские чтения» (Уфа, УГАТУ, 2010, 2011); Междунар. шк.-конф. для студ., аспир. и молод. уч. «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа, РИЦ БашГУ, 2011); V Всеросс. конф. «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2014); III, IV Междунар. науч.-практ. конф. «Теория и практика современных электрохимических производств» (СПб: 2014, 2016); V, VIII, XVI, XVII Междунар. научно-практ. конф. «Теоретические и прикладные аспекты современной науки» (Белгород, 2014 - 2016); 17-й семинар по компьютерным наукам и информационным технологиям (CSIT'2015) (Рим, Италия, 2015); Росс. научн.-техн. конф. «Мавлютовские чтения» (Уфа, УГАТУ, 2016); III Междунар. научно-практ. конф. «Технические науки в мире: от теории к практике» (г. Ростов-на-Дону, 2016).

Глава 1. Обзор существующих методов моделирования процессов электрохимического формообразования

применительно к прецизионным технологиям

1.1. Некоторые замечания о средствах повышения точности копирования. Локализация процесса ЭХО

Проанализируем особенности локализации электрохимической обработки. Для этого рассмотрим задачу о моделировании процессов, электрохимической обработки в межэлектродном пространстве, состоящем из двух областей с разной величиной зазора ^ и ^ [20] (рис. 1.1.1,а).

анод

а б

Рис. 1.1.1. Схема МЭП

Каждая из областей МЭП заполняется электролитом. На электроды подается прямоугольный импульс напряжения или тока и происходит электрохимическое растворение материала анода.

Считается, что процесс растворения описывается законом Фарадея. При этом скорость электрохимического растворения определяется формулой

увсш = кП7, к = ке/р, (1.1.1)

к

где е - электрохимический эквивалент; р - плотность растворяемого материала; 7 - плотность тока на границе обрабатываемой поверхности; к -электропроводность электролита; п = п( 7) - выход по току. Согласно закону Ома, напряженность электрического поля Е = к/.

При этом чем больше относительная разность |АУест|/Уест скоростей на

различных участках МЭП, тем выше локализация процесса, и происходит более точное копирование формы электрода-инструмента (ЭИ), роль которого играет катод. На локализацию процесса влияют различные факторы такие, как выделение газа на поверхностях электродов, нагрев и загрязнение электролита, изменение электродных потенциалов и т.п.

Сначала рассмотрим идеальный процесс, при котором анодный и катодный потенциалы постоянны, не происходит выделения газа и нагрева электролита. При этом [20]

и

1 ауе

ест

ест

(1.1.2)

Теперь рассмотрим случай, когда электродные потенциалы и выход по току зависят от плотности тока ¿. Тогда плотность тока определяется неявной функцией

) = к

и -ф(/) а

1 +

к аф

^ а/

\-1

£ аs

где ф(у) - суммарный электродный потенциал, £ - межэлектродный зазор, и -напряжение. В этом случае найдем отношение

1 аУест

и2 =

Уест а<£

1 +

/ал

П а

1+

а аф

£ а

-1

(1.1.3)

В качестве безразмерной характеристики локализации можно взять отношение (1.1.3) к (1.1.2) [20]

^Ъс = Т2

и

1 +

¿ац

п 4).

1 +

к аф

< а/

(1.1.4)

Отсюда следует, что при n = const, — > 0 значение kjoc < 1, т.е. процесс

dj

имеет худшую локализацию по сравнению с идеальным. Поэтому разность скоростей растворения уменьшается, а это потребует снятия большего

о dn Л

припуска для достижения заданной точности копирования. В случае — > 0,

dj

ф = const величина kioc > 1. Тем самым, непостоянство выхода по току, с одной стороны, и электродных потенциалов, с другой стороны, при разных плотностях тока имеют противоположное влияние на коэффициент локализации [20].

Рассмотрим, как зависимость выхода по току и электродных потенциалов сказывается на погрешности стационарной формы, которая устанавливается со временем. Рассмотрим слабоискривленный ЭИ и соответствующую ему стационарную форму анодной поверхности (рис. 1.1.1,6). При стационарном решении проекция скорости движения ЭИ на внешнюю нормаль к поверхности анода равна скорости электрохимического

растворения Vecm, т.е. Vet cos v = kn(j)U—, где v - угол между касательной

s

к анодной поверхности и осью абсцисс. Отсюда

s = ^ ло^ш, = a n(j0-фСтс)).

Vet COSv Vet

Индекс «0» соответствует точке с горизонтальной касательной. Тогда погрешность копирования равна

д = s - s0 = k- [n( j ^ j)) - nj - фС/0 ))

cos v

Vet

k ■(( -ф(лМл- 1Л

Vet V COS v

А (( - ф(/о))(/о )-п(/) + п(/ )(ф( /о )-ф(/ )) К,, ооб V Уе< ооб V

е, ^у ' е,

Если обозначить погрешность, соответствующую постоянному выходу

к чч / 1 Л

по току и потенциалу А о = — (( - ф(/'о ))л(/'о )--1

V 008 V У

то отношение

А= 1 Про )-П(/) 1 | П(. / )(ф(./о )-Ф(/)) 1 (115)

А о П(/о) 1 - 0088 V П(/о Х( - фС/о )Х 1 - 0088 V

позволяет утверждать, что погрешность стационарной поверхности уменьшается, если выход по току возрастает с увеличением плотности тока и увеличивается, если электродный потенциал увеличивается с возрастанием плотности тока. Тем самым, воздействие этих факторов на точность стационарной поверхности аналогично влиянию на скорость растворения при нестационарном процессе.

На локализацию влияют также нагрев электролита и газовыделение на электродах. На рис. 1.1.2 приведены зависимости коэффициента локализации от длины импульса [2о]. Результаты вычислений показывают, что выделение газа снижает, а нагрев электролита увеличивает локализацию. В начале такта преобладает влияние нагрева, что увеличивает величину коэффициента локализации к1ос. С течением времени влияние газонаполнения начинает преобладать. При этом Щос уменьшается и при становится меньше единицы.

Рис. 1.1.2. Зависимость коэффициента локализации от времени обработки при различных зазорах при напряжениях и: а - и =ЮУ; б - и =2оУ (зазоры £ даны

в мкм)

Для увеличения влияния нагрева электролита на повышение локализации и уменьшения отрицательного влияния газонаполнения можно использовать короткие (до 100 мкс) импульсы сверхвысокой (порядка 1000 а/см ) плотности тока. При соизмеримости длительности импульсов с характерными временами заряда емкостей двойных электрических слоев поверхностей электродов и периода активации возникают физико-химические эффекты, имеющие важные предпосылки для повышения точности копирования. На рис. 1.1.3 показаны зависимости анодных потенциалов от плотности тока при различных длинах импульса [20].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зарипов, Аскар Александрович, 2016 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.:

Наука, 2оо4. 636 с.

2. Бреббия К., Теллес Ж, Вроубел Л. Метод граничных элементов. - М.: Мир, 1987.

3. Вильданов А. Н., Котляр Л. М. Плоская задача электрохимического формообразования при переменном выходе по току инструментом с криволинейным участком границы // Электрохимические и электрофизические методы обработки материалов в авиастроении. - Казань: КАИ, 1990. - С.60-64.

4. Волгин В. М., До Ван Донг, Давыдов А. Д. Моделирование электрохимической обработки проволочным электродом-инструментом // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2013. Вып. 11. С. 122-136.

5. Волков Е. А. Численные методы. 2-е изд. испр. и доп. М.: Наука, 1988. 248 с.

6. Волков Ю.С., Мороз И.И. Математическая постановка простейших стационарных задач электрохимической обработки металлов // Электронная обработка материалов. - Кишинев: Штиинца, 1965. - № 5-6. - С. 59-65.

7. Воронкова А.И. Влияние кавитации и переменности выхода по току на стационарное электрохимическое формообразование: Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1997. - 18 с.

8. Газизов Е.Р. Анодное формообразование криволинейным катодом при неравномерной поляризации анода // Известия КГАСУ, 2006, №1(5). - С. 132 - 135.

9. Газизов Е.Р., Маклаков Д.В. Анодное формообразование двугранным катодом при неравномерной поляризации анода // Известия вузов. Авиационная техника, 2002, №4. - С. 55-57.

10. Газизов Е.Р., Маклаков Д.В. Метод расчета анодного формообразования двугранным катодом для произвольной зависимости выхода по току // Теория и практика электрофизикохимических методов обработки деталей в авиастроении. - Казань: КАИ, 1994. - С.32-35.

11. Газизов Е.Р., Маклаков Д.В. Метод расчета анодного формообразования катодом-инструментом с криволинейной границей для произвольной зависимости выхода по току. // Проблемы гидродинамики больших скоростей. - Чебоксары: Чув. Ун-т, 1993. - С.70-74.

12. Галин Л.А. Нестационарная фильтрация со свободными границами // ДАН СССР. - Т. 47, 1945. - С. 246-249.

13. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. - М.: Наука, 1979. -536 с.

14. Давыдов А.Д., Козак Е. Высокоскоростное электрохимическое формообразование. - М.: Наука, 1990. - 272 с.

15. Житников В. П., Зарипов А. А., Шерыхалина Н. М. Исследование нестационарного электрохимического формообразования с помощью квазистационарной модели // Вестник УГАТУ. 2014. Т. 18, №3 (64). С. 80-86.

16. Житников В. П., Зарипов А.А. Моделирование электрохимической обработки непрофилированным плоским электродом - инструментом // Национальная ассоциация ученых (НАУ). Ежемесячный научный журнал, 2015, № 2(7). Часть 4. С. 112 - 115.

17. Житников В. П., Зарипов А.А. Учет распределения анодного потенциала при моделировании электрохимической обработки в пассивирующем электролите круглым электрод-инструментом // Тр. Росс. научн.-техн. конф. Мавлютовские чтения, 2016, Т. 6. Уфа: УГАТУ. С. 52 - 57.

18. Житников В. П., Ошмарина Е. М., Зиннатуллина О.Р. Моделирование прецизионной электрохимической обработки секционированным катодом // ПМТФ. 2011. Т. 52, № 6. С. 185-192.

19. Житников В. П., Ошмарина Е. М., Поречный С. С., Федорова Г. И. Предельная модель электрохимической размерной обработки металлов // ПМТФ. 2014. Т. 55, № 4. С. 193-201.

20. Житников В.П., Зайцев А.Н. Импульсная электрохимическая размерная обработка. - М.: Машиностроение, 2007. - 407 с.

21. Житников В.П., Муксимова Р.Р. Решение задачи нестационарной электрохимической обработки плоским электрод-инструментом с ограниченной неровностью // Вестник УГАТУ, 2011. Т. 15, №1 (41). - С. 113118.

22. Житников В.П., Муксимова Р.Р., Зарипов А.А. Моделирование прецизионной нестационарной электрохимической обработки круглым и пластинчатым электрод-инструментом // Вестник УГАТУ. 2015. Т. 19, №1 (67). С. 92-99.

23. Житников В.П., Муксимова Р.Р., Зарипов А.А. Моделирование формообразования свободной границы в задачах Хеле-Шоу // Тезисы докл. V Всеросс. конф. Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения. Бийск, 2014. С. 39.

24. Житников В.П., Муксимова Р.Р., Ошмарина Е.М. Моделирование процессов нестационарного электрохимического формообразования применительно к прецизионным технологиям // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского. 2010, т. 42. С. 99-122.

25. Житников В.П., Муксимова Р.Р., Шерыхалина Н.М. Задачи Хеле-Шоу с ограничениями на подвижность свободных границ // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011. №4 (3). - С. 779-780.

26. Житников В.П., Ошмарина Е.М., Федорова Г.И. Использование разрывных функций для моделирования растворения при стационарном электрохимическом формообразовании // Изв. Вузов. Математика. - 2010, № 10. - С. 77-81.

27. Житников В.П., Ошмарина Е.М., Федорова Г.И. Точные решения двух задач предельного квазистационарного электрохимического формообразования // Известия вузов. Математика, 2011. №12. - С. 21-29.

28. Житников В.П., Шерыхалина Н.М. Многокомпонентный анализ численных результатов. Saarbrucken, Germany: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2012. 389 c.

29. Житников В.П., Шерыхалина Н.М. Моделирование течений весомой жидкости с применением методов многокомпонентного анализа. - Уфа: Гилем, 2009. - 336 с.

30. Житников В.П., Шерыхалина Н.М. Применение многократной фильтрации при численном решении задач методами теории функций комплексного переменного // Вычислительные технологии. Т. 18. №1, 2013. С. 15-24.

31. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Зарипов А.А. Решение нестационарных задач Хеле-Шоу с использованием тэта-функций // Матер XVI Междунар. научно-практ. конф. "Современные тенденции развития науки и технологий", г. Белгород, 2016. - С. 88 - 95.

32. Житников В. П., Зиннатуллина О.Р., Фазлыев А.С., Чукалова А.О. Моделирование электрохимической резки круглым электрод - инструментом // Труды 4-й межд. конф. Информационные технологии интеллектуальной поддержки принятия решений, 1ТГО8'2016, 17 - 19 мая, Уфа, Россия, Т.2, 2016. С. 133 - 137.

33. Житников В. П., Зиннатуллина О. Р., Ошмарина Е. М., Федорова Г. И. Моделирование электрохимического формообразования при ограничениях на растворение // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2009. - №4(82), СПб. - С. 221-224.

34. Житников В. П., Шерыхалина Н. М., Поречный С. С., Федорова Г. И. Основы многокомпонентного анализа численных результатов Учеб. пособие. -Уфа: Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т, 2015. - 139 с. № гос. регистрации 0321504147. Рег. св-во № 42783 от 1.02.2016.

35. Житникова Н. И., Зиннатуллина О.Р., Фазлыев А.С., Чукалова А.О. Моделирование стационарного электрохимического копирования в ячейке конечной ширины // Труды 4-й межд. конф. Информационные технологии интеллектуальной поддержки принятия решений, 1ТГО8'2016, 17 - 19 мая, Уфа, Россия, Т.2, 2016. С. 146 - 149.

36. Зайдман Г.Н., Петров Ю.Н. Формообразование при электрохимической размерной обработке металлов. - Кишинев: Штиинца, 1990. - 205 с.

37. Зайцев, А. Н. и др. Высокоскоростное анодное растворение в условиях нестационарности электродных потенциалов. - Уфа: Гилем, 2005. - 219 с.

38. Зарипов А.А. Исследование электрохимического формообразования горизонтально движущимся угловым электрод - инструментом // Теоретические и прикладные аспекты современной науки: сборник научных трудов по материалам V Международной научно-практической конференции. Часть I. 2014. Белгород. - С. 27-33.

39. Зарипов А. А. Квазистационарное решение одной задачи электрохимического копирования // Матер. Междунар. научно-практ. конф. Информационные технологии естественных и математических наук, вып. III, г. Ростов-на-Дону, 2016. - С. 14 - 22.

40. Зарипов А.А. Моделирование электрохимической обработки стержневым электрод-инструментом в пассивирующем электролите // Сборник научных трудов по материалам VIII Международной научно-практической конференции «Теоретические и прикладные аспекты современной науки». Часть 1. Белгород, 2015. С. 8 - 14.

41. Зарипов А.А. Решение задачи о стационарной электрохимической обработке плоским конечным электрод-инструментом с помощью разложения в ряд // Всерос. молодежн. научн. конф. «Мавлютовские чтения»: сб. тез. докл., Т.5, Уфа: УГАТУ, 2010. С. 14-16.

42. Зарипов А.А. Решение нестационарной задачи электрохимической обработки круглым электрод-инструментом на начальном этапе // Междунар. шк.-конф. для студ., аспир. и молод. уч. «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании»: сб. тез. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2011. С. 256.

43. Зарипов А.А. Решение нестационарной задачи электрохимической обработки плоским электрод-инструментом с полукруглым выступом //

Всерос. молодежн. научн. конф. «Мавлютовские чтения»: сб. тез. докл. Уфа: УГАТУ, 2011. Т.5. С. 52-53.

44. Зарипов А. А., Шерыхалина Н.М. Метод решения стационарной задачи электрохимического формообразования с учетом неравномерной поляризации анода // Матер XVII Междунар. научно-практ. конф. "Современные тенденции развития науки и технологий", г. Белгород, 2016. - С. 62 - 67.

45. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. - М.: Мир, 1986. - 318 с.

46. Идрисов Т.Р. Влияние дополнительной поляризации электродов на точность и качество поверхности при электрохимической обработке микросекундными импульсами тока: Дисс. канд. техн. наук. - Уфа: 2003.

47. Идрисов Т.Р., Амирханова Н.А., Зайцев А.Н. Электродные потенциалы сплавов при поляризации импульсными токами высокой плотности // Сб. докл. VII-го Междунар. Фрумкинского симпозиума -Фундаментальная электрохимия и электрохимическая технология - М.: 2000. - Ч. 2. - С. 659.

48. Идрисов Т.Р., Зайцев А.Н., Амирханова Н.А. Исследование электродных потенциалов в нестационарных условиях при электрохимической обработке // Электронная обработка материалов. 2001. - № 1. - С. 4-8.

49. Каримов А.Х., Клоков В.В., Филатов Е.И. Методы расчета электрохимического формообразования. - Казань: КГУ, 1990. - 387 с.

50. Клоков В.В. Влияние переменного выхода по току на стационарное анодное формообразование // Тр. семин. по краевым задачам. - Казань: Казанск. ун-т, 1979. - Вып.16. - С. 94-102.

51. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование двугранным катод -инструментом. Казань: Казанск. ун-т, 1989. - 28 с. - Деп. в ВНИИТЭМР 03.07.89. - №188.

52. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование. - Казань: Казанск. ун-т, 1984. - 80 с.

53. Клоков В.В., Салихов А.Н. Стационарное электрохимическое формообразование и гидродинамика в окрестности датчика зазора. - Казань: Казанск. ун-т, 1989. - 30 с. - Деп. в ВНИИТЭМР 24.07.89. - №209.

54. Клоков В.В., Шишкин С.Е. Стационарное анодное формообразование двугранным катодом при неравномерной поляризации анода // Тр. семин. по краевым задачам. - Казань: Казанск. ун-т, 1985. - Вып.22. - С. 117-124.

55. Котляр Л.М., Миназетдинов Н.М. Моделирование процесса электрохимической обработки металла для технологической подготовки производства на станках с ЧПУ. - М.: Academia, 2005. - 200 с.

56. Котляр Л.М., Миназетдинов Н.М. Определение формы анода с учетом свойств электролита в задачах электрохимической размерной обработки металлов // ПМТФ. - 2003. - Т. 44, №3. - С. 179-184.

57. Котляр Л.М., Миназетдинов Н.М. Эволюция формы анодной границы при электрохимической размерной обработке металлов // ПМТФ, 2004. - Т. 45, №4, - С. 7-12.

58. Котляр Л.М., Миназетдинов Н.М. Моделирование электрохимического формообразования с использованием криволинейного электрода при ступенчатой зависимости выхода по току от его плотности // ПМТФ, 2016, Т. 57, № 1. - С. 146 - 155.

59. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

60. Маннапов А.Р., Житников В.П., Поречный С.С. Полуэмпирическая математическая модель нестационарного процесса импульсной электрохимической обработки вибрирующим электродом-инструментом в локально-одномерном приближении // Вестник УГАТУ. 2011. Т. 15, № 3 (43). С. 60-66.

61. Миназетдинов Н.М. Гидродинамическая интерпретация одной задачи теории размерной электрохимической обработки металлов // ПММ, 2009. Т. 73, № 1. С. 60-68.

62. Миназетдинов Н.М. Об одной задаче размерной электрохимической обработки // ПМТФ. 2009, т. 50, №3. - С. 214-220.

63. Мороз И.И., Алексеев Г. А., Водяницкий O.A. и др. Электрохимическая обработка металлов. М.: Машиностроение, 1969. 208 с.

64. Муксимова Р.Р. Численно-аналитические методы математического моделирования процессов формообразования свободных границ (на примере электрохимической обработки). Дисс. канд. физ.-мат. наук. - Уфа: 2012. - 154 с.

65. Муксимова Р.Р., Житников В.П., Зарипов А. А. Исследование влияния неравномерности потенциала при электрохимической обработке в пассивирующем электролите // Сб. тез. докладов III Междунар. науч.-практ. конф. Теория и практика современных электрохимических производств. СПб: 2014. C. 37 - 38.

66. Муксимова Р.Р., Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Зарипов А.А. Моделирование стационарного и предельного электрохимического формообразования в ячейке конечной ширины // Вестник СПбГУ ГА, 2016, № 4 (13). С. 117 - 128.

67. Шерыхалина Н.М., Житников В. П., Зарипов А.А. Моделирование процессов прецизионного электрохимического формообразования // Математические модели и их приложения. 2016, Вып. 18. Чебоксары: изд. ЧувГу. - С. 84 - 98.

68. Мустянцэ А.Н., Эрлихман Ф.М., Энгельгардт Г.Р., Дикусар А.И. Электрохимическое формообразование в условиях локальной изоляции анодной поверхности. I. Теоретический анализ // Электронная обработка материалов, Кишинёв, Штиинца, 1989, №3: 11-15.

69. Ошмарина Е.М. Применение гидродинамической аналогии для моделирования анодного растворения при прецизионной электрохимической обработке. Дисс. канд. физ.-мат. наук. - Уфа: 2011. - 129 с.

70. Полубаринова-Кочина П.Я. Нестационарное движение в теории фильтрации. // ПММ. 1945. - Т. 9. - С. 79-90.

71. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. - М.: Наука. - 1981. - 800 с.

72. Седыкин Ф.В., Орлов Б.П., Матасов В.Ф. Исследование анодного тока при электрохимической обработке при постоянном и импульсном напряжении. Технология машиностроения, Тула, 1975, Т. 39. С.3-10.

73. Терентьев А.Г. К линейной теории кавитационного обтекания препятствий // Вопр. прикл. матем. и мех. - Чебоксары: Чуваш. ун-т.- 1971. -Вып.1. - С. 3-35.

74. Федорова Г.И. Методы расчета формообразования поверхности при нестационарной электрохимической обработке: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. -Уфа: 2004. - 158 с.

75. Щербак М.В., Толстая М.А., Анисимов А.П. и др. Основы теории и практики электрохимической обработки металлов и сплавов. М.: Машиностроение, 1981. 263 с.

76. Ястребов В.Н., Каримов А.Х. Математическое моделирование нестационарного процесса электрохимического скругления кромок деталей ГТД // Электрохимические и электрофизические методы обработки материалов. - Казань: КАИ, 1989. - Вып. 1. - С.23 - 34.

77. Christiansen S., Rasmussen H. Numerical solutions for two-dimensional annular electrochemical machining problems // J. Inst. Maths. Applies. - 1976. -№18, - PP. 295 - 307.

78. Cummings L. J. Howison, S. D., King J. R. Two-dimensional Stokes and Hele-Shaw flows with free surfaces // European J. Appl. Math. 10, 1999. - PP. 635 - 680.

79. Elliott C. M., Ockendon J. R. Weak and variational methods for moving boundary problem // Pitman, London, 1992.

80. Gustafsson B., Vasil'ev A. Conformal and Potential Analysis in Hele-Shaw cells. // Stockholm-Valparaiso, 2004. - 189 p. www.math.kth.se/~gbjorn/

81. Hele-Shaw H. S. On the motion of a viscous fluid between two parallel plates. // London: Trans. Royal Inst. Nav. Archit. 40 (1898) 21.

82. Howison S.D. Complex variable methods in Hele-Shaw moving boundary problems. // Eur. J. Appl. Math. 3 (1992) - PP. 209 - 224.

83. Howison S.D., King J.R. Explicit solutions to six free-boundary problems in fluid flow and diffusion. // IMA J. Appl. Math 42, 1989. - PP. 155 - 175.

84. Howison S.D., Ockendon J.R. and Lacey A.A. Singularity development in moving boundary problems. // Q. J. Mech. Appl. Math. 38 (1985). - PP 343 - 360.

85. Kenney, J. A., Hwang, G. S. Electrochemical machining with ultrashort voltage pulses: modelling of charging dynamics and feature profile evolution // Nanotechnology, 16(2005). - Inst. Phys. Publ., UK. - pp. 309 - 313.

86. King J. R., Development of singularities in some moving boundary problems // Euro. J. Appl. Math. 6 (1995). - No. 5. - PP. 491 - 507.

87. Konig W., Humbus H.-J. Mathematical Model for the Calculation of the Contour of the Anode in electrochemical Machining // Cirp. Annals, 1977. - V. 25, No 1. - PP. 83-87.

88. McGeough J.A., Principles of Electrochemical Machining. // London: Chapman and Hall, 1974. - 290 p.

89. McGeough, J. A., Rasmussen, H. On the derivation of the quasi-steady model in electrochemical machining // J. Inst. Maths Applics, 1974. - Vol. 13. pp. 13 - 21.

90. Ockendon J. R., Howison S. D. Kochina and Hele-Shaw in modern mathematics, natural sciences, and technology // J. Appl. Math. Mech. 2002. - Vol. 66, No. 3. - PP. 505 - 512.

91. Pandey J. Finite Element Approach to the two-dimensional Analysis of ECM // Precis. Eng. 1980. - V. 2, No 1. - PP. 23 - 28.

92. Polubarinova-Kochina P.Ya. Theory of Groundwater Movement. // Princeton: Princeton Univ. Press. 1962. - 350 p.

93. Purcar M., Bortels L., Bart Van den Bossche, Deconinck J. 3D electrochemical machining computer simulations. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, 2004. - V. 3. - PP. 472 - 478.

94. Richardson S. Hele-Shaw flows with a free boundary produced by the injection of fluid into a narrow channel. // J. Fluid Mech., 56 (1972). - No. 4. - PP. 609 - 618.

95. Richardson S. On the classification of solutions to the zero surface tension model for Hele-Shaw free boundary flows. // Quart. Appl. Math., 55 (1997). - No. 2.

- PP.313 - 319.

96. Saffman P. G. Taylor G. I. The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid. // Proc. Royal Soc. London, Ser. A, 245 (1958). - PP. 281, 312 - 329.

97. Saffman P. G., Taylor G. I. A note on the motion of bubbles in a Hele-Shaw cell and porous medium. // Quart. J. Mech. Appl. Math. 17 (1959). - No. 3. - PP. 265 - 279.

98. Smirnov, M. S., Zaytsev, A. N., Agafonov, I. L., Bezrukov, S. V., a. o. Electrochemical dimensional machining by microsecond duration current pulses // Proceedings of the International Symposium on Electro-Machining (ISEM-XIII). -Bilbao, Spain, 2001. - pp. 231 - 248.

99. Volgin V. M., Davydov A. D. Modeling of multistage electrochemical shaping. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK, 2004. - V. 3.

- PP. 466 - 471.

100. Volgin, V.M., Do, V.D., Davydov, A.D. Modeling of wire electrochemical machining. Chem. Eng. Trans. 2014, 41, 91-96.

101. West A., Madore C., Moltosz M., Landolt D. Shape changes during through-mask electrochemical micromachining of thin metal films. // J. Electrochem. Soc., 1992. №2, 139. - PP. 499 - 506

102. Zhijian, Fan, Tiancheng, Wang, Ling, Zhong The mechanism of improving machining accuracy of ECM by magnetic field // Journal of Materials Processing Tech. - Elsevier, 2004, Vol. 149/1-3, pp. 409 - 413.

103. Zhitnikov V. P., Sherykhalina N.M., Sokolova A.A. Problem of Reliability Justification of Computation Error Estimates. Mediterranean Journal of Social Sciences, 2015, Vol. 6, No. 2, pp. 65 - 78.

104. Zhitnikov V. P., Sherykhalina N.M., Zhitnikova N.I., Zaripov A.A. Mathematical modeling of electrochemical machining by a non-profiling plane electrode-tool // Proceedings of 17-th Workshop on Computer Science and Information Technologies (CSIT'2015), Vol. 2., Rome, Italy, 2015, pp. 17-21.

105. Zhitnikov V.P., Fedorova G.I., Sherykhalina N.M., Urakov A.R. Numerical investigation of non-stationary electrochemical shaping based on an analytical solution of the Hele-Shaw problem // Journ. Eng. Math., Vol. 55, Nos. 1-4, 2006. -PP. 255 - 276.

106. Zhitnikov V.P., Fedorova G.I., Zinnatullina O.R. , Kamashev A.V Simulation of non-stationary processes of electrochemical machining // Journal of Materials Processing Tech., Elsevier, 2004. - Vol. 149/1-3. - PP. 398 - 403.

107. Zhitnikov V.P., Sherykhalina N.M., Zaripov A.A. Modelling of precision steady-state and non-steady-state electrochemical machining by wire electrode-tool // Journal of Materials Processing Technology, Elsevere. 2016, Vol. 235. pp. 49-54.

108. Шерыхалина Н.М., Зарипов А.А., Поречный С.С. Предельно-квазистационарная модель электрохимического формообразования // Вестник ЮУрГУ, 2017. Том 9 № 1. С. 65 - 71.

109. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ РФ №2017614679. Программа расчета параметров процесса нестационарного электрохимического копирования в ячейке конечной ширины / Шерыхалина Н. М., Зарипов А.А., Поречный С. С. Зарег. М.: Роспатент. 2017.