Численно-аналитические методы решения осесимметричных задач Хеле-Шоу тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Зиннатуллина, Ольга Рифовна

• Зиннатуллина, Ольга Рифовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зиннатуллина, Ольга Рифовна

Введение

Глава 1. Постановка осесимметричных задач Хеле-Шоу 19 ф 1.1. Постановка осесимметричных задач Хеле-Шоу применительно к нестационарному электрохимическому формообразованию

1.1.1. Математическая модель

1.1.2. Постановка задач на временном шаге

1.2. Постановка задач определения форм поверхности, не зависящих от времени

1.2.1. Задачи начального формообразования

1.2.2. Стационарные осесимметричные задачи •

1.2.3. Автомодельные осесимметричные задачи

Глава 2. Решение плоских задач ЭХО

2.1. Постановка плоских задач стационарного формообразования

2.2. Задача стационарного формообразования при обработке проволочным электродом инструментом

2.3. Задача стационарной обработки цилиндрическим ЭИ.

2.4. Вычисление напряженности электрического поля при обработке ЭИ, сдвинутым относительно стационарной

Ф поверхности

2.5. Предельное распределение напряженности

Глава 3. Методы расчета параметров осесимметричных процессов, не зависящих от времени

3.1. Задача нахождения конформного отображения.

3.2. Определение составляющих напряженности

3.3. Модификация численных методов для решения осесимметричных задач

3.3.1. Оценка погрешности вычисления интегралов Положего при прямом применении квадратурных формул Гаусса

3.3.2. Численные методы вычисления интегралов Положего

3.3.3. Численный метод вычисления интеграла Шварца

3.4. Применение экстраполяции для оценки погрешности

3.4.1. Численная фильтрация

3.4.2. Ограничения при повторных экстраполяциях

3.4.3. Критерий размытости оценки

3.4.4. Визуализация результатов экстраполяции

Глава 4. Расчет форм осесимметричных поверхностей, не зависящих от времени

4.1. Задачи начального формообразования. 4.1.1. Тестовый пример

4.1.1. Тестовый пример

4.2. Автомодельная осесимметричная задача

4.3. Задача стационарного формообразования

Глава 5. Численное решение нестационарных задач Хеле-Шоу

5.1. Метод решения нестационарной задачи

5.2. Численные результаты

5.2.1. Обработка неподвижным ЭИ

5.2.2. Обработка подвижным ЭИ, находившимся в начальный момент времени на некотором расстоянии от плоской обрабатываемой поверхности

5.2.3. Обработка ЭИ, движущимся из бесконечности

5.2.4. Обработка ЭИ, находившимся вначале на обрабатываемой поверхности

5.3. Определение параметров переходных процессов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численно-аналитические методы решения осесимметричных задач Хеле-Шоу»

Большой вклад в развитие гидродинамики в конце 19 века внесла работа [103] написанная Henry Selby Hele-Shaw (Хеле-Шоу), который описал устройство, позднее названное ячейкой Хеле-Шоу, где хорошо воспроизводится плоское безвихревое движение, посредством пропускания вязкой жидкости между двумя параллельными пластинами. В дальнейшем она нашла широкое применение. В русской литературе прибор называется щелевым лотком, применялся Н.Е. Жуковским для демонстрации обтекания крыла ламинарным потоком, в настоящее время распространен в лабораториях. Он дает наглядную картину движения, позволяет воспроизводить неустановившееся движение рис. В1). injection /suction of fluid

Параллельные стеклянные пластины

Параболический профиль

Рис. В1. Щелевой лоток (ячейка Хеле-Шоу)

В данной модели вязкая жидкость движется в замкнутой с двух сторон области со свободными в двух измерениях границами. Жидкость впрыскивается (или удаляется) через трубку, расположенную на пластине. В результате впрыскивания свободные границы смещаются.

В результате того, что ширина зазора между пластинами мала и образуется плоский поток жидкости с преобладанием сил вязкого трения о пластины над инерционными (число Рейнольдса мало), уравнение Навье - Стокса при усреднении по ширине зазора между пластинами сводится к закону Дарси [103].

12ц где V- средняя по зазору скорость жидкости; h - расстояние между пластинами; ц - коэффициент динамической вязкости; р - давление в жидкости).

Тем самым, поток жидкости является потенциальным и соленоидальным (divF=0 в силу отсутствия распределенных источников и стоков). Тогда давление является потенциалом и удовлетворяет уравнению Лапласа (Д/?=0).

Дальнейшие шаги в исследовании были сделаны П.Я. Полубариновой -Кочиной [68,118] и Л.А. Галиным [8]. В 1945 они независимо друг от друга использовали методы теории комплексного переменного для решения задач неинерционных потоков Хеле-Шоу [118].

Основная идея была в применении конформных отображений z-ß^Q области течения на область L, простой геометрической формы (в большинстве случаев на круг единичного радиуса) вспомогательной плоскости, чтобы представить свободные границы в параметрическом виде.

Рассмотрим поток создаваемый источником или стоком напряженности Q, расположенным в точке z=0 (рис. В2).

ДР =

Рис. В2. Задача Хеле-Шоу со свободной границей

При отсутствии силы тяжести или ее проекции на плоскость течения давление р на свободной границе постоянно. Примем р=0. Скорость движения границы совпадает с нормальной составляющей скорости жидкости, т.е. дп

Методами теории функций комплексного переменного было получено граничное условие [106]

Полученное выражение называется уравнением Полубариновой - Галина [118]. Уравнение позволяет получать точные решения и применять конформные отображения и гипергеометрические функции для исследования потоков Хеле-Шоу.

Частную производную по времени можно выразить через интеграл Шварца [59] в виде уравнения типа Лёвнера-Куфарева [155]

В дальнейшем в развитие решения задач Хеле - Шоу свой вклад внесли S. Richardson [120,121], GI. Taylor [122,123], P.G Saffman [122,123], J. R. Ockendon [101,106], S.D. Howison [105-108], C.M. Elliott[101], J.R. King[105,108,110], L.J.

Сшшшг^в [100]). С помощью ТФКП они решают задачу Хеле - Шоу современными методами прикладной математики.

Последние годы интерес к задачам Не1е-811а\у растет. Задачи решаются по всему миру. Подобные задачи решаются в металлургии при описании движения границ фазы, при напылении или растворении [106], при анодном растворении [99,113] (в электрохимической обработке) и т.д. Используя данную ячейку, можно рассмотреть поверхностное натяжение [103], воздействие внешних сил, пронаблюдать устойчивые потоки в пористых средах [106], полагая, что они описываются законом Дарси. Сейчас ячейка Хеле - Шоу, удобный инструмент исследования в гидромеханике, физике, инженерных науках.

В диссертационной работе подходы, развитые для исследования плоских течений, применяются для решения осесимметричных задач Хеле-Шоу. Под этими задачами будем понимать осесимметричные краевые - задачи для уравнения Лапласа ДФ = 0 (Ф - потенциал) внутри некоторой области, на границах которой выполняется условие Ф=сопз1, причем свободные границы подвижны (скорость движения пропорциональна градиенту Ф). В частном случае границы могут сохранять геометрическое подобие (автомодельные решения), либо в подвижной системе координат могут быть стационарными. Решения этих задач могут интерпретироваться как процессы движения жидкости и как процессы растворения металлов при электрохимической обработке (ЭХО). Это приложение позволяет рассмотреть новые задачи, например, задачи с движущимся источником, и этим дополнить теорию задач Хеле-Шоу.

Обычно при исследовании ЭХО задача формообразования рассматривается как стационарная, то есть предполагается, что при движении электрода-инструмента (ЭИ) поверхность обрабатываемого материала сохраняет некоторую стационарную форму в системе координат, связанной с ЭИ. Как показывает опыт, такой подход действительно оправдывает себя при прямом копировании и прошивке отверстий в зоне, где происходит активное формообразование. Однако этот подход не позволяет рассчитать переходный процесс, который необходим для установления стационарной формы, и требуется снятие определенного припуска для получения заданной точности копирования.

Как частный случай в диссертационной работе рассматривается процесс автомодельной ЭХО, т.е. такой случай нестационарной обработки, в котором форма обрабатываемой поверхности остается геометрически подобной начальной. Обработка приводит только к изменению масштаба межэлектродного пространства, при этом форма эпюры распределения плотностей тока на поверхности материала остается постоянной. Решение задачи автомодельной ЭХО позволяет рассмотреть некоторые предельные случаи нестационарного формообразования, получить оценки изменения радиуса кривизны при скруглении острых кромок.

Следует отметить, что осесимметричные задачи Хеле-Шоу изучены намного меньше, чем плоские. Поэтому вначале рассмотрим осесимметричные задачи гидродинамики, постановка которых частично совпадает с задачами Хеле-Шоу. Далее обзор задач проводится по известным плоским решениям задач Хеле-Шоу на примере ЭХО и некоторых других приложений.

Существует целый ряд хорошо развитых численных методов, применимых для решения задач Хеле-Шоу. Для решения осесимметричных задач часто применяются методы конечных разностей [11,95] и конечных элементов [35,51]. Примеры применения этих методов к решению потенциальных задач можно найти в работах [39,72]. Однако недостатком названных методов является проблема удовлетворения граничных условий, заданных на бесконечности. Этого недостатка (например, в задачах потенциального обтекания тел безграничным потоком) лишены интегральные методы, такие как метод граничных интегральных уравнений [60,40].

Значительные результаты получены с помощью численно-аналитических методов, сводящихся к определению интенсивности источников и диполей, распределенных на границе [14], или вихревого слоя [14]. В последнее время широко используются методы граничного элемента, основанные на применении интеграла Грина [3,4,122].

Основой для применения методов ТФКП к решению осесимметричных задач служат интегральные преобразования Г.Н. Положего [67] аналитической функции комплексного переменного в потенциал и функцию тока некоторого осесимметричного поля. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах [12-13] для решения задач с линейными краевыми условиями. В [18-20] на основе интегральных преобразований разработан численно-аналитический метод, являющийся обобщением метода Леви-Чивиты для решения нелинейных осесимметричных задач. В [24, 73, 125] этот метод применен для исследования обтекания пузырей и других осесимметричных препятствий.

Ниже предлагаются модифицированные варианты численно-аналитического метода с использованием преобразования Г.Н. Положего для решения осесимметричных задач Хеле-Шоу. г.

По плоским задачам Хеле-Шоу и, в частности, задачам ЭХО список публикаций весьма обширен.

Значительный вклад в разработку теории расчета размерной ЭХО внесли Ф.В. Седыкин, И.И. Мороз, Ю.Н. Петров, В.Д. Кащеев, Г.И. Корчагин, А.Х. Каримов, Ю.С. Волков, А.И. Дикуссар, В.В. Клоков, JI.M. Котляр, Е.И. Филатов, Д.В. Маклаков, Н.М. Миназетдинов, Г.А. Алексеев, JI.M. Щербаков, В.П. Смоленцев, A.JI. Крылов, B.C. Крылов, Г.Р. Энгельгарт, Н.Г. Зайдман, А.Н. Зайцев, В.П. Житников, J.A. McGeogh, J. Kozak и др.

Ряд задач начального формообразования решен в [20, 42, 104 111, 112], предельного - в [45,62, 65].

Задача определения стационарной формы границы анода по заданной форме катода-инструмента эквивалентна задаче построения комплексного и потенциала течения в бесконечном криволинейном канале, с заданным расходом, одна стенка которого известна, а вторая должна быть определена в ходе решения задачи. Ряд подобных задач решен в [9,10,93,92,110].

В работе [47] установлена гидродинамическая аналогия задачи стационарного электрического формообразования, согласно которой плоское потенциальное электрическое поле моделируется фиктивным течением идеальной несжимаемой жидкости. В работе [44] задача стационарного ЭХО сведена к задаче отыскания неизвестной границы течения жидкости по заданному на ней годографу скорости.

В [45] рассчитаны формы стационарной поверхности анода, получающиеся при обработке электродом-инструментом в виде изолированной плоской пластинки с точечной в сечении рабочей частью.

В работах [41,45] на основе идеальной модели решены плоские задачи расчета формы стационарной поверхности двугранным ЭИ без изоляции. Важным вопросом является учет побочных физических процессов в ходе анодного растворения. В статьях [7,50,66,90] решена аналогичная задача с учетом неравномерности поляризации анода, в [5,6,9,10,42,90,91] - с учетом зависимости выхода по току. В работе [88] был произведен расчет ширины зазора при стационарной ЭХО с учетом нагрева электролита. В [76] была поставлена и решена задача о влиянии тепловых полей на двумерное стационарное ЭХО путем сведения к решению краевой задачи Гильберта.

В [76] был решен ряд задач двумерного стационарного ЭХО методом конформных отображений годографа скорости с использованием непосредственного интегрирования в комплексных переменных, также решены задачи для ЭХО деталей со щелями.

Одной из актуальных задач теории ЭХО является изучение гидродинамики потока электролита. В определенных условиях имеется значительное влияние скорости течения электролита на скорость растворения металла. Результаты исследований гидродинамики потока электролита и ее влиянии на процесс ЭХО освещены в работах [34,41,43,48,49,52,56,64,89,93]. Особое место занимают здесь кавитационные явления, так как каверны, возникающие в МЭП, вызывают местное экранирование поверхностей электродов и нарушают режим анодного растворения. Вопросы влияния кавитации на процесс ЭХО и специального профилирования ЭИ для обеспечения безотрывного потока электролита рассмотрены в [6,53,54,55,63].

Автомодельные задачи ЭХО (в которых с течением времени сохраняется геометрическое подобие межэлектродного пространства) рассматривались в [25,26,28,77-79,83,98]. Были решены частные случаи задачи обработки клиновидным ЭИ, которые имеют аналитические решения [29,77,98]. Также решены численно задачи обработки точечным и бесконечно удаленным ЭИ [25,26,77,83]. R.V. Crasrer [99], S.D. Howison [105] решали задачу о покрытии клина пленкой вязкой жидкости, краевые условия которой аналогичны условиям автомодельности ЭХО, и получили частные решения задачи, которые затем были обобщены в [84-87].

Наиболее простым способом решения, учитывающим изменение формы обрабатываемого материала при нестационарной ЭХО, представляется способ последовательного решения задач начального формообразования.

При решении задач численными методами возможно сближение узловых точек на отдельных участках, приводящее к ухудшению сходимости [33].

Определение частной производной по времени позволяет при решении нестационарной задачи производить временной сдвиг поверхности вдоль dz , dz . вектора —: dz = —ах. дт дт

Это дает возможность закрепить узловые точки на границе плоскости параметрического переменного или проводить их управляемое изменение, что значительно упрощает решение нестационарной задачи [1,2,69,70].

Наибольшее количество работ в области решения задач нестационарной ЭХО численными методами посвящено решению задач в малоискривленных межэлектродных каналах (так называемые одномерные задачи электрохимического формообразования). Обширный обзор этих работ можно найти в [15,41,71]. Трехмерное электрохимическое формообразование для построчной обработки при «идеальной» модели процесса рассмотрено в работе [17]. С помощью метода малого параметра при учете гидродинамики электролита для областей с большим радиусом кривизны поверхности анода и катода решается задача нестационарной ЭХО в работе [90].

Двумерной нестационарной ЭХО для различных схем обработки посвящены работы по численному моделированию процесса методом конечных разностей [16,115], методом конечных элементов [117], методом граничных элементов [96,98,128].

Нестационарные двумерные задачи ЭХО общего вида решались в [76]. Использован метод граничных элементов, основанный на суперпозиции простых точных решений уравнения Лапласа, удовлетворяющих граничным условиям. Таким способом были решены задачи проектирования паза шестерни внутреннего зацепления, задачи по расчету ЭИ методом обратного копирования и расчету формообразования кромки лопатки газотурбинного двигателя. Метод граничных элементов первого порядка точности использовался также в [72,97,119,127] для решения ряда модельных задач. Отметим, что используя данные методы трудно рассчитать процесс вплоть до выхода на стационарный или автомодельный режим.

Численно-аналитический метод решения задач нестационарной ЭХО, в котором форма обрабатываемой поверхности задается с помощью сплайна, а значение производных координат по времени определяется путем решения системы уравнений, предложен в [27]. С помощью этого метода решен ряд задач обработки точечным и пластинчатым ЭИ [27,80-82,98,126,57].

В работе [127] плоская задача нестационарной ЭХО сведена к решению задачи Римана Гильберта на каждом временном шаге, что позволяет избежать решения системы уравнений. Этот метод возможно адаптировать и для решения осесимметричных задач.

Особенностью задач, решаемых в диссертации является их «жесткость», т.е. наличие двух (или более) характерных значений временных параметров, различающихся на порядки.

Целью исследований является:

Исследование закономерностей формообразования свободных границ в нестационарных осесимметричных задачах Хеле-Шоу, длительных переходных процессов, приводящих к формированию различных предельных конфигураций.

Для достижения поставленной цели необходимо решить ¿следующие задачи:

• разработать численно-аналитические методы высокого (>2) порядка точности и алгоритмы для решения осесимметричных задач Хеле-Шоу; методы оценки погрешности и уточнения численных результатов путем экстраполяции данных, полученных при разном числе узловых точек;

• проведение численного исследования решений стационарных, автомодельных и нестационарных решений задач Хеле-Шоу при помощи разработанных численно-аналитических методов.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Зиннатуллина, Ольга Рифовна

Результаты работы использованы в учебном процессе УГАТУ в рамках курсов «Вычислительная математика» и «Прикладное математическое моделирование».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации были рассмотрены задачи потенциального течения жидкости с постоянными значениями потенциала на границах. Свободная граница подвижна, и скорость ее движения пропорциональна градиенту потенциала. Такими задачами моделируются течения жидкостей в пористых средах (при справедливости закона Дарси), динамика многофазных потоков, процессы электрохимического формообразования и т.д.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зиннатуллина, Ольга Рифовна, 2006 год

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. Часть 1. М.: Наука, 1973,631 с.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987, 598 с.

3. Бенерджи П.К., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984.494 с.

4. Бреббия К., Теллес Ж, Вроубел Л. Метод граничных элементов. М. Мир. 1987.

5. Воронкова А.И. Влияние кавитации и переменности выхода по току на стационарное электрохимическое формообразование: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань. - 1997. - 18 с.

6. Газизов Е.Р. Потенциальные течения жидкости в открытых каналах: задачи гидромеханики и электрохимии. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань: КГУ.-2000.-107 с.

7. Галин Л.А. Нестационарная фильтрация со свободными границами // ДАН СССР. Т. 47,1945. -С. 246-249.

8. Газизов Е.Р., Маклаков Д.В. Метод расчета анодного формообразования катодом-инструментом с криволинейной границей для произвольной зависимости выхода по току. // Проблемы гидродинамики больших скоростей.- Чебоксары: Чув. Ун-т, 1993, с.70-74.

9. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М. Наука, 1977.440с.

10. Гоман О.Г. К вопросу о связи плоских и пространственных течений // Динамика сплошной среды с нестационарными границами. -Чебоксары: Чуваш, ун-т. 1984. - С. 43-53.

11. Гоман О.Г. О получении осесимметричных течений из плоскопараллельных // Изв. АН СССР. МЖГ. -1982. ~5. - С.113-121.

12. Гузевский Л.Г. Осесимметричные кавитационные обтекание тел вращения струей жидкости. Новосибирск: СО АН СССР. ИТФ 1981, с.37-46

13. Давыдов А.Д., Козак Е. Высокоскоростное электрохимическое формообразование. М.: Наука. -1990. - 272 с.

14. Евдокимов В.В., Евдокимова Е.Ю., Клоков В.В., Филатов Е.И. Численный расчет эволюции анодной поверхности и гидродинамического поля при ЭХО // Электрохимические и электрофизические методы обработки материалов в авиастроении. Казань, 1994. С.44-48.

15. Егоров М.А. Численный расчет построчной электрохимической обработки // Труды семинара по краевым задачам. Выпуск 28. Казань: Изд-во Казан. Ун-та, 1993. С. 14-20.

16. Житников В.П. Видоизменение метода Леви-Чивиты для численного исследования осесимметричных потенциальных течений // Взаимодействие тел в жидкости со свободными границами. -Чебоксары: Чуваш, ун-т. -1987. С. 48-56.

17. Житников В.П. Обобщение метода Леви-Чивиты для исследования плоских и осесимметричных течений с нелинейными условиями на неизвестных границах. Дисс. докт. физ.-мат. наук. -Казань. -2000. 327. с.

18. Житников В.П. Решение осесимметричной задачи об обтекании тела в трубе с помощью методов теории функций комплексного переменного // Проблемы гидродинамики больших скоростей. Чебоксары: изд.ЧГУ. 1993. С. 107-117.

19. Житников В.П. Решение плоских и осесимметричных задач с помощью методов теории функции комплексного переменного: Учебное пособие. -УГАТУ. -Уфа, 1994. -106 с.

20. Житников В.П., Зайцев А.Н. Исследование формообразования при электрохимической обработке с помощью стержневого катода-инструмента// Электрохимические и электрофизические методы обработки материалов в авиастроении. Казань: КАИ. -1990. - С. 31-36.

21. Житников В.П., Зайцев А.Н. Математическое моделирование электрохимической размерной обработки. -Уфа: изд. УГАТУ. 1996. -221с.

22. Житников В.П., Терентьев А.Г. Осесимметричное обтекание газового пузыря идеальной жидкостью // Изв. РАН. МЖГ. -1993. -№5 С. 15-20.

23. Житников В.П., Ураков А.Р. Автомодельное решение задачи электрохимической обработки материала электродом инструментом, удаленным на бесконечность // Уфимск. гос. авиацион. техн. ун-т - Уфа, 1995. - 16 с. - Деп. в ВИНИТИ. № 2969 - В95. 09.11.95.

24. Житников В.П., Ураков А.Р. Автомодельные решения нестационарных задач электрохимической обработки // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1998. Т.1. № 4-6. С. 108-115.

25. Житников В.П., Ураков А.Р., Гуцунаев A.B. Численно-аналитический метод решения нестационарных задач электрохимической размерной обработки // Электронная обработка материалов. 1999. №2 (196) С. 4-9.

26. Житников В.П., Шерыхалина Н.М. Методы верификации математических моделей в условиях неопределенности // Вестник УГАТУ. 2000. №2. С. 53-60.

27. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Ураков А.Р. Интерполяция и экстраполяция. Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Вычислительная математика». -Уфа: УГАТУ, 2003. -46 с.

28. Житников В.П., Зиннатуллина O.P., Федорова Г.И. Методы решения автомодельных задач электрохимического формообразования // Вузовская наука России: Матер, науч. практ. конф., часть 1. Набережные Челны, 30 марта - 1 апреля 2005. -С. 23-25.

29. Житников. В.П., Шерыхалина Н.М. Методы экстраполяции результатов численного эксперимента / Уч. пособие. Уфа: УГАТУ. 2002. 28с.

30. Зайдман Г.Н., Петров Ю.Н. Формообразование при электрохимической размерной обработке металлов. Кишинев: Штиинца. -1990.-205 с.

31. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.318с.

32. Зиннатуллина O.P. Методы решения осесимметричных стационарных задач электрохимического формообразования // Вузовская наука -России: Матер, науч. практ. конф., часть 1. Набережные Челны, 30 марта 1 апреля 2005.-С. 108-111.

33. Зиннатуллина O.P. Решение осесимметричных задач нестационарного электрохимического формообразования // Вузовская наука России: Матер, науч. практ. конф., часть 1. Набережные Челны, 30 марта - 1 апреля 2005.-С. 158-160.

34. Ильин В.П. Численные решения задач электрооптики. Новосибирск. Наука 1967,195 с.

35. Кантарович JI.B., Крылов В.|И. Приближенные методы высшего анализа. М.: ФизМатгиз,1962.695 с.

36. Каримов А.Х., Клоков В.В., Филатов Е.И. Методы расчета электрохимического формообразования (монография). Казань: КГУ. -1990. -387 с.

37. Клоков В.В. Влияние переменного выхода по току на стационарное анодное формообразование // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т. -1979. - Вып. 16. - С. 94-102.

38. Клоков В.В. Метод гидродинамического расчета течения в зазоре при электрохимической обработке // Тр. семин. по краевым задачам. -Казань: Казанск. ун-т. -1987. Вып.23. - С. 130-137.

39. Клоков В.В. Об одном методе расчета стационарного электрохимического формообразования // Тр. семин. по краевым задачам. -Казань: Казанск. ун-т. -1975. Вып. 12. - С. 93-101.

40. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование двугранным катод-инструментом. Казань: Казанск. ун-т. - 1989. - 28 с. Деп. в ВНИИТЭМР 03.07.89.-№188.

41. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование. Казань: Казанск. ун-т. -1984. - 80 с.

42. Клоков В.В., Костерин A.B., Нужин М.Т. О применении обратных краевых задач в теории электрохимической размерной обработки: Труды семинара по краевым задачам. Казань: КГУ, 1972, с. 132-140.

43. Клоков В.В., Рябчиков М.Е., Шкарбан А.Ю. Модели гидродинамического поля в межэлектродном зазоре. // Сборник трудов Всерос. н.-т. конф. Современная электротехнология в машиностроении. Тула, 1997, с.52-53.

44. Клоков В.В., Салихов А.Н. Стационарное электрохимическое формообразование и гидродинамика в окрестности датчика зазора,

45. Казань: Казанск. ун-т. 1989. - 30 с. - Деп. в ВНИИТЭМР 24.07.89. -№209.

46. Клоков В.В., Шишкин С.Е. Стационарное анодное формообразование двугранным катодом при неравномерной поляризации анода // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т. - 1985. -Вып.22. - С. 117-124.

47. Коннор Дж., Бребия К. Метод конечных элементов в механике жидкости. М.: Мир, 1981.

48. Коппенфельс В. Штальман Ф. Практика конформных отображений М.: Изд. иностр. лит. - 1963. - 406 с.

49. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. -1973. - 832 с.

50. Котляр Л.М. Миназетдинов Н.М. Об одном методе расчета газожидкостного слоя при стационарной электрохимической обработке// Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Изд-во КГУ, 1993, Вып. 28.с. 51-58.

51. Котляр Л.М., Миназетдинов Н.М. Эволюция формы анодной границы при электрохимической размерной обработке металлов // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск. - 2004, Т. 45, №4, - С. 712

52. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов."Наука". М.-1967.

53. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. -1973. - 736 с.

54. Мазья В. Г. Граничные интегральные уравнения. Итоги науки и техники ВИНИТИ.Совр. пробл. Мат.: Фундам. Направление. 1988. Т. 27.С. 131228.

55. Маклаков Д.В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. М.: Янус-К. 1997. -280 с.

56. Маклаков Д.В., Шишкин С.Е. Предельное электрохимическое формообразование тонким криволинейным симметричным катодом// Взаимодействие тел в жидкости со свободными границами. Чебоксары: Чуваш, ун-т. -1987. - С. 73-77.

57. Миназетдинов Н.М. Учет кавитации при стационарном электрохимическом формообразовании.: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань. - 1994. - 15 с.

58. Насибулин В.Г. Краевые задачи гидромеханики, имеющие приложение в теории ЭХРО: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. -Казань. 1989. -14 с.

59. Насибулин В.Г. Расчет катод-инструмента для ЭХО // Комбинированные электроэрозионно-электрохимические методы размерной обработки металлов: Тез. докл. Всесоюзн. конф. Уфа: УАИ. -1983.-С.34-36.

60. Положий Г.Н. Обобщение теории аналитических функций комплексного переменного. Киев: Киев. Ун-т -1965. 442 с.

61. Полубаринова-Кочина П.Я. Нестационарное движение в теории фильтрации. ПММ. Т. 9. -1945. С. 79-90.

62. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука. -1981. - 800 с.

63. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987,286 с.

64. Суворова Г.С., Энгельгарт Г.Р., Зайдман Н.Г. Одномерное приближение в задачах электрохимического формообразования деталей машин // Электронная обработка материалов. №6,1982. С. 17-23.

65. Татаринов В.Н. Электрохимическое формообразование регулярных рельефов на деталях инструментальной оснастки: Автореф. дисс. канд. технич. наук. Тула. - 2004. - 19 с.

66. Терентьев А.Г. К линейной теории кавитационного обтекания препятствий // Вопросы прикладной математики и механики. Вып. 1. -Чебоксары: ЧТУ. -1971. - С. 3-35.

67. Терентьев А.Г. Приложение обобщенных аналитических функций в гидродинамике // Проблемы гидродинамики больших скоростей. Чебоксары : изд.ЧГУ. 1993. С. 10-25.

68. Терентьев А.Г., Афанасьев К.Е. Численные методы в гидродинамике. Чебоксары, 1987. 90 с.

69. Тихонов A.C. Развитие гидродинамических методов расчета размерного электрохимического формообразования: Дисс. канд. физ.-мат. наук. -Казань. 1998. - 150 с.

70. Ураков А.Р. Автомодельное решение нестационарной задачи электрохимической обработки двугранным электродом инструментом // Математическое моделирование в решении научных и технических задач. Уфа: УГАТУ. 1994. С. 29-32.

71. Ураков А.Р. Автомодельное решение нестационарных задач электрохимической обработки: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. -Уфа.- 1996.- 17 с.

72. Ураков А.Р. Применение гидродинамической аналогии для аналитического решения задач автомодельной электрохимическойобработки // Труды VI Всероссийской научной школы "Гидродинамика больших скоростей". Чебоксары : изд. Чуваш, ун-та. 1996. С. 185-189.

73. Ураков А.Р., Гуцунаев A.B. Метод численно-аналитического решения задач нестационарной размерной ЭХО // Моделирование, вычисления, проектирование в условиях неопределенности 2000: Труды Междунар. науч. конф. Уфа: УГАТУ. 2000. С. 251-254.

74. Ураков А.Р., Гуцунаев A.B. Расчет формы поверхности при нестационарной электрохимической обработке проволочным электродом // Обозрение прикладной и промышленной математики. Том 8. Вып. 2. 2001. С. 700-701.

75. Ураков А.Р., Надольский И.М. Автомодельное решение задачи электрохимической обработки точечным ЭИ// Принятие решений в условиях неопределенности. Уфа.: УГАТУ. 1996. С. 78-81.

76. Федорова Г.И. Гипергеометрическая функция в решении задач об автомодельном электрохимическом формообразовании // Интеллектуальные системы управления и обработки информации: Материалы Всерос. Молодежи, научно техн. конф. Уфа, 2003г. - С. 75.

77. Федорова Г.И. Решение задачи об автомодельной обработке клиновидным электродом-инструментом с помощью методов теории функций комплексного переменного // Принятие решений в условиях неопределенности: Межвузовский науч. сб. Уфа: УГАТУ. 2003. -С. 8794.

78. Федорова Г.И., Зиннатуллина O.P. Конформные отображения в решении задач об автомодельном электрохимическом формообразовании //

79. Снежинск и наука 2003: Сб. науч. трудов межд. науч. конф. -Снежинск: СГФТА, апрель 2003. -С. 80.

80. Федорова Г.И., Камашев А.В. Численно-аналитический метод решения задач об автомодельном электрохимическом формообразовании // Энергетические установки и термодинамика. Нижний Новгород: НГТУ. 2002. С. 104-115.

81. Филатов Е.И. Расчет ширины зазора при стационарной ЭХО с учетомнагрева электролита // Электрохим. и электрофиз. методы обработки материалов в авиастроении. Казань: Казанск. авиац. ин-т. - 1990. - С. 64-68.

82. Филатов Е.И. Упрощенная модель течения электролита в трехмерном зазоре при ЭХО // Труды семинара по краевым задачам Казань: Казанск. ун-т. -1993. - Вып.28. - С. 87-94.

83. Филатов Е.И. Учет влияния неравномерности поляризации электродов на формообразование при ЭХО // Тр. семин. по краевым задачам. -Казань: Казанск. ун-т. -1987. Вып.23. - С. 221-225.

84. Шишкин С.Е. Анодное формообразование двугранным катодом в пассивирующем электролите// Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т. -1984. - Вып. 21. - С. 240-245.

85. Шишкин С.Е. Гидромеханические методы решения плоских задач стационарного и предельного электрохимического формообразования с нелинейными граничными условиями Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань. - 1988. - 15 с.

86. Шкарбан А.Ю. Гидродинамика в ячейке при электрохимической размерной обработке // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского, Казань, Унипресс, 1999, с. 190-191.

87. Шкарбан А.Ю. Разработка методов расчета электрохимического формообразования и гидродинамики течения электролита в зазоре: Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань. - 2000. - 24 с.

88. Яненко Н.Н. Методы дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск. Наука, 1967,195 с.

89. Ястребов В.Н., Каримов А.Х. Математическое моделирование нестационарного процесса электрохимического скругления кромок деталей ГТД // Электрохимические и электрофизические методы обработки материалов. Вып. 1: Труды Казань, 1989. С.23-34.

90. Bortels L., Purcar М., Bart Van den Bossche, Deconinck J. A user-friendly simulation software tool for 3D ECM. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK. V. 3,2004. pp 486-492.

91. Christiansen S., Rasmussen H. Numerical solutions for two-dimensional annular electrochemical machining problems // J. Inst. Maths. Applies. 1976 №18, P. 295-307.

92. Craster R.V. Two related free boundary problems. Cambridge CB3 9EW, UK.

93. Cummings L. J., S. D. Howison, J. R. King, Two-dimensional Stokes and Hele Shaw flows with free surfaces, European J. Appl. Math. 10 (1999), 635-680.

94. Elliott С. M., Ockendon J. R. Weak and variational methods for moving boundary problem, Pitman, London, 1992.

95. Fedorova G.I., Zhitnikov V.P., Zinnatullina O.R. Simulation of Non-Stationary Processes of Electrochemical Machining //Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK. V. 149,2004. pp 398-403.

96. Gustafsson В., Vasil'ev A. Conformal and Potential Analysis in Hele-Shaw cells. Stockholm-Valparaiso. 2004. -189 pp. www.math.kth.se/~gbjorn/

97. Gutsunaev A.V., Urakov A.R. Hydrodynamic models in investigation on nonstationary electrochemical forming // High speed hydrodynamics (HSH -ГБС 2002): Proceedings. June 16-23,2002. Cheboksary, Russia, pp. 439-442.

98. Howison S.D. and J.R. King, Explicit solutions to six free boundary problems in fluid flow and diffusion. IMA J. Appl. Math. 42 (1989) 155-175.

99. Howison S.D., Ockendon J.R. and Lacey A.A. Singularity development in moving boundary problems. Q. J. Mech. Appl. Math. 38 (1985) 343-360.

100. Howison S.D., Complex variable methods in Hele-Shaw moving boundary problems. Eur. J. Appl. Math. 3 (1992) 209-224.

101. Howison S.D., King J.R. 1989 Explicit solutions to six free-boundary problems in fluid flow and diffusion. IMA J. Appl. Math 42,155-75.

102. King J. R., Development of singularities in some moving boundary problems, Euro. J. Appl. Math. 6 (1995), No. 5,491 507.

103. Konig W., Humbus H.-J. Mathematical Model for the Calculation of the Contour of the Anode in electrochemical Machining // Cirp. Annals. 1977. -V. 25. - No 1. - P. 83-87.

104. Kozak J., Bodzinski A., Engelgart G.R., Davidov A.D. Mathematical Moddeling of Electrochemical Machining // Proceedings of International Symposium for Electromachining (ISEM-9).- Nagoya. -1989. P. 135-138.

105. McGeogh J.A and H. Rasmussen, J. Inst.Maths Applies 13 (1974) 455-469.

106. McGeough J.A., Principles of Electrochemical Machining. London: Chapman and Hall. 1974. -290 p.

107. Pandey J. Finite Element Approach to the two-dimensional Analysis of ECM // Precis. Eng. -1980. V. 2. - No 1. - P. 23-28.

108. Polubarinova-Kochina P.Ya. Theory of Groundwater Movement. Princeton: Princeton Univ. Press. -1962. 350 pp.

109. Purcar M., Bortels L., Bart Van den Bossche, Deconinck J. 3D electrochemical machining computer simulations. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier. V. 3, 2004. pp. 472-478.

110. Richardson S. Hele-Shaw flows with a free boundary produced by the injection of fluid into a narrow channel, J. Fluid Mech., 56 (1972), no. 4, 609618.

111. Richardson S. On the classification of solutions to the zero surface tension model for Hele-Shaw free boundary flows. Quart. Appl. Math., 55 (1997), no. 2,313-319.

112. Saffman P. G. Taylor G. I. The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid, Proc. Royal Soc. London, Ser. A, 245 (1958), no. 281,312- 329.

113. Saffman P. G., Taylor G. I. A note on the motion of bubbles in a Hele-Shaw cell and porous medium, Quart. J. Mech. Appl. Math. 17 (1959), no. 3, 265 -279.

114. Sherykhalina N.M., Zhitnikov V.P. Application of extrapolation methods of numerical results for improvement of hydrodynamics problem solution // Computational Euid Dynamics Journ. 2002, V. 11, N 2, pp. 155-160.

115. Terentiev A.G., Zhitnikov V.P., Dimitrieva N.A. An Application of Analytic Functions to Axisymmetric Flow Problems // Applied Mathematical Modelling, 1997,21(2), P. 91-96.

116. Urakov A.R., Gutsunaev A.V. Numerical method of on nonstationary electrochemical machining problems solution // Proceedings of the 5-th Workshop on Computer Science and Information Technologies CSIT'2003, Vol. 2, Ufa, Russia, 2003. p. 43.

117. Volgin V. M., Davydov A. D. Modeling of multistage electrochemical shaping. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK. V. 3, 2004.-pp 466-471.

118. West A., Madore C., Moltosz M., Landolt D. Shape changes during through-mask electrochemical micromachining of thin metal films. // J. Electrochem. Soc., 1992. №2,139. P. 499-506

119. Zhitnikov V.P., Rosenman A.A., Zinnatullina O.R. Software for Calculation of Simulation Problems // Proceedings of the 6-th Workshop on Computer Science and Information Technologies CSIT'2004, Vol. 1, Budapest, Hungary, 2004. pp. 228-230.

120. Zhitnikov V.P., Fedorova G.I., Zinnatullina O.R. Simulation of non-stationary processes of electrochemical machining // Journal of Materials Processing Tech., 2004, Vol. 149/1-3. Elsevier, pp. 398-403.

121. Житников В.П., Зиннатуллина O.P., Федорова Г.И. Применение экстраполяции для оценки погрешности и уточнения численного решения нестационарных задач электрохимического формообразования. Вычислительные технологии. Т. 11,2006. с. 82-93.