Преобразование Радона аналитических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Ломакин, Денис Евгеньевич

• Ломакин, Денис Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ломакин, Денис Евгеньевич

Введение

1 Преобразование Радона целых функций многих комплексных переменных

1.1 Преобразование Радона целых функций многих комплексных переменных как регулярных обобщенных функций

1.2 Теорема единственности

1.3 Свойства оператора

1.4 Оператор преобразования Радона в весовых пространствах целых функций индуктивного типа

1.5 Оператор преобразования Радона в весовых пространствах целых функций проективного типа

2 Применение свойств преобразования Радона целых функций к некоторым вопросам многомерного комплексного анализа.

2.1 Построение полных систем функций в пространствах целых функций

2.2 Представление целых функций многих комплексных переменных рядами типа рядов обобщенных экспонент

2.3 Преобразование Радона аналитических функционалов

2.4 Применения преобразования Радона аналитических функционалов к изучению свойств решений многомерных уравнений свертки.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Преобразование Радона аналитических функций»

Актуальность темы.

Преобразование Радона было введено И. Радоном в статье, опубликованной в 1917 году (см. [75]). Оно сопоставляет функции / на плоскости функцию / на множестве всех прямых, задаваемую интегралами от / вдоль прямых. И. Радону удалось получить явную формулу обращения, выражающую функцию / через / . Аналоги этого преобразования, названного впоследствии преобразованием Радона, встречались и ранее, например, в работах Г.А. Лоренца, Г. Минковского и П. Фун-ка, однако именно в статье Радона была поставлена задача об изучении преобразований типа / —/ на различных пространствах и намечены меюды исследования таких преобразований.

Тем самым было положено начало новому направлению, часто ¡называемому интегральной геометрией, предмет которой состоит в изучении преобразований, сопоставляющих для данной функции / на многообразии X функцию / на некотором семействе X подмногообразий многообразия X , задаваемую интегралами от / вдоль подмногообразий этого семейства. Задачи указанного типа часто встречаю хся в различных областях математики (дифференциальные уравнения, математическая физика, теория представлений и т.д.), что в значительной степени стимулировало развитие этого направления.

Преобразование Радона нашло применение в рентгеновской диагностике, точнее в ее области — вычислительной томографии, а также в геофизике и радиоасчрономии.

Преобразование Радона является объектом исследования в течение достаточно длительного периода. Свойства преобразования Радона на пространствах распределений исследовались в работах И.М. Гель-фанда, М.М. Граева, Н.Я. Виленкина [5], С. Хелгасона [60],[61], А. Херт-ле [08],[69], Д. Людвига [72], А.Б. Секерина [76], [77], [89], и др. Следует огмепггь, чго, в огличие от действительного случая, комплексное преобразование Радона распределений мало изучено.

В данной работе изучаются свойства преобразования Радона распределений в комплексном пространстве, задаваемых регулярными функциями из пространств целых функций многих комплексных переменных.

Основные цели работы.

• Получение явного вида оператора, ставящего в соогвеютвие произвольной целой функции (как обобщенной) ее преобразование Радона.

• Выделение класса функций, в котором преобразование Радона целых функций определяестся единственным образом.

• Описание образа преобразования Радона пространства всех целых функций Я (С") , а также весовых пространств целых функций индуктивного и проективного типов.

• Применение свойств преобразования Радона к вопросам полноты систем целых функций в различных пространствах целых функций многих переменных, к вопросу о разложении целых функций многих переменных в ряды типа рядов обобщенных экспонент.

• Описание образа преобразования Радона сопряженного пространства к пространству всех целых функций многих переменных. Представление преобразования Радона аналитического функционала рядом из функционалов, сходящимся в сильной топологии пространства сопряженного к пространству всех целых функций. Применение преобразования Радона аналитических функционалов к изучению свойств решений многомерных уравнений свертки.

Содержание диссертации.

Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.

Первая глава посвящена изучению свойств оператора преобразования Радона в пространствах целых функций.

В § 1.1. главы 1 приводится определение преобразования Радона аналитических функций, рассматриваемых как обобщенные функции.

Обозначения: - единичная сфера в С", (1а - элемент площади 52"-1.Для г,ги£Сп полагаем (г,ш)=Еггтг, йщп -элемент об ь-ема в С" . Через Т>(Сп) обозначается пространство бесконечно дифференцируемых финитных в С" функций. Для функции <р(г) Е Т>(Сп) через будем обозначать комплексное преобразование Радона

5], гл.2, §3, с.161). Так как ф{аз,а£) = 0>а 6 С\{°) (15Ь гл-2>

§3, с.102), то мы будем отождествлять функцию с ее сужением на С х 52"-1 , которое будем обозначать ф(з,т),т € 52"-1 .

Пусть ПТ> — векторное пространство, образованное комплексными преобразованиями Радона Ф(б, ги), функций <р{г) из £>(€") . Обозначим через М векторное пространство, образованное функциями вида д2п~2 где ф(з,ги) Е ВХ>. Рассмотрим векторное пространство Т>(С х 52п-1) , состоящее из функций непрерывных но совокупное!и переменных на С X 52"-1 , бесконечно дифференцируемых и финитных по е. Пусть ^ Е Т>'(Сп) — обобщенная функция. Преобразованием Радона обобщенной функции /-1 называется продолжение на Т>{С х 52"-1) линейного функционала, заданного на М и определяемого соотношением

-1 = 5 где il>(s,w) = d2n-2/{dsn~ldsn-l)(p(s,w) ([5], гл.2, §3, с.172).

Важным классом обобщенных функций являются аналитические функции. В данной работе в качестве пространств обобщенных функций будут рассматриваться пространства целых функций многих переменных. В [5, гл.2, §3, с. 179] показано, что преобразование Радона целой функции F(z) (как обобщенной) может быть задано в виде F(s, w) = |ô'|2"-2// (s, w), (s, ih) G С x S2"-1 , где H (s, w) — целая функция комплексного переменного s . При этом в [5] дано только нестрогое доказательство существования функции Я (s, ги), но не описан характер зависимости функции Я (s, w) от параметра w .

Пусть Я (С") — пространство целых в Сп функций с топологией равномерной сходимости на компактах, то есть, топология в Я (С") задает! с помощью системы полунорм: г)||р = тах|/(г)|; р= 1,2,.

М<?>

Введем в рассмотрение следующие функциональные пространства.

Через Яс(С x 52"-1) будем обозначать пространство функций f{s,w) , (s, iv) 6 С x S2"-1 , непрерывных но совокупности переменных и целых по s в С . Топологию в Нс{С x S2n~l) зададим с помощью счетного набора норм

Через Яс»(€ x 52"-1) будем обозначать пространство функций вида f(s, w) = F(stD) , где F{z) € Я(С'1) . Топологию в Яс-(С x S2'1"1) зададим системой норм ил=I .|/(s,u,)l; fc=1-2-

Введем также пространство |s|2"~2#c»«(C x S2"-1), элементами которого являются функции вида u(s,w) = |s|2"~2/(s,w) , где f(s,w) G с»(С х S'2'1 *). Топологию введем с помощью счетного набора норм u(s,w)\ птх . ., 9 = шах |/(.ç, м/)|; к = 1,2,.

На пространстве Я(С") рассмотрим оператор Л , задаваемый формулой wW'ififë^+j/W), (D j=i \1=1 / где / : Я (С") II (С") — тождественный оператор. На пространстве Я(С") введем оператор по следующему правилу: ч о где Ьп — некоторая постоянная.

Теорема 1.2 Оператор П0 : Я(С") |s|2"-2//c«(С х 52'1"1) ла-дает преобразование Радона функции F(z) ш Я(С") как обобщенной фупщии.

В § 1.2. выделен класс функций, в котором преобразование Радона целых функций определяйся единственным образом:

Теорема 1.3 В классе функций \s\2n~2Hc»{C х S2"-1) преобразование Радона функции F(z) из пространства Я (С") определяется единственным образом

В § 1.3. получена формула обращения для оператора 7£0 (теорема 1.4), дано полное описание образа преобразования Радона пространства всех целых функций многих переменных. Основным результатом данного параграфа является

Теорема 1.8 Оператор Т^о устанавливает топологический изоморфизм пространства Я(С") на пространство |.s|2,,-2#cn(C х S2n~l) .

В § 1.4. дано полное описание образов преобразования Радона весовых пространств целых функций идуктивного типа.

Пусть Ф = — последовательность радиальных шпорисубгармонических функций в С" , неубывающая по к , то есть, ч>к(\А)<ч>ш(\А), V2 е

Согласно терминологии, используемой в [1], последовательность Ф представляет собой весовую последовательность индуктивного типа.

Следуя [1|, для веса = 1,2,. введем банахово пространство

Е{С\ук) = {ОД € Я (С") : И, = вир ^(г)| < оо} . со

В векторном пространстве /(С",Ф) = У введем топологию индуктивного предела пространств Е(Сп,<рь) .

В дальнейшем будем предполагать, что последовательность Ф удо-влепюряет следующим условиям:

1) V к £ N V а > 0 3 т £ N 3 С > 0 такие, что

2|) + а1п(1 + |г|) <у?т(И) + С;

2) V к £ N 3 т £ N 3 С > 0 такие, что шах (рк(\(г 1 + Аь г2 + А2,., гп + Ап)|) < (рт(\г\) + С.

Из последних условий слезет, что /(С", Ф) замкнуто относительно дифференцирования и умножения на многочлен.

Через /с(С х 52"-1, Ф) обозначим пространство функций /(з,ш) из Яс» (С х 52'1"1) , удовлетворяющих для некоторого конечного к (зависящего от / ) равномерной ио и) £ 52'1-1 оценке

01 < Сг/ехр(^(к|)), 8 где С/ — некоюрое положительное число. Топологию в /с» (С х 52"1,Ф) зададим как топологию индуктивного предела нормированных пространств

ЕСп{£ х 52"-1,= {f(s, W) е Ясп(С х S2"-1) : Ц/Н, = Slip < оо}.

Введем так же пространство |s|2,,~2/c"(C X 52"-1,Ф) состоящее из функций вида u(s,w) = \s\2n~2f(s,w) , (s,w) £ CxS2"-1 , где f(s,w) € /Сп(Сх 52п"1,Ф)

Топологию в |s|2"~2/Cn(C X 52,11,Ф) зададим как топологию индуктивного предела нормированных пространств s|2n-2Ec»(Cx52"-1l^) = = {ii(s,w) = |.s|2n-2/(5>«;) : /(s,u/) G £Ь(С X 52?!"1,^),

Мк = sup '"7 < оо}. (viOeCxs2»-1 exP(mlsU)

Основным результатом параграфа 1.4 является

Теорема 1.11 Оператор TZq устанавливает топологический изоморфизм пространств 7(С",Ф) и |s|2"-2/Cn(C х 52"-1, Ф).

В § 1.5. дано полное описание образов преобразования Радона весовых пространств целых функций проективного типа.

Пусть Ф = ~ последовательность радиальных плюрисубгармонических функций в С" , невозрастающая по к ,чо есть,

М\*\)>1>шШ V2GC".

Последовательность Ф представляет собой весовую последовательность проективного типа.

Для веса фк,к = 1,2,. введем банахово пространство

Я(С", ф,) = {ад 6 II(C"): IIFU = «Ф J^L < со} .

В векторном пространстве "Р(СП,Ф) = f) Е(Сп,фк) введем топок=i логшо проективного предела пространств Е(Сп, ф/„). Всюду далее будем предполагать, чю последовательность Ф удовлетворяет следующим условиям:

1) V а > О V т Е N 3 к G N 3 Сг > 0 такие, что всюду в Сп фк{\г\) + а\п(1 + \г\) < фт(\г\) + С,;

2) Vm€N3&eN3C2>0 такие, что всюду в С" max Фк{\{*1 + АЬ22 + Л2,2гп + Л„)|) < фт{\г\) + С2.

Из этих условий следует, что ^(С", Ф) замкнуто относительно дифференцирования и умножения на многочлен. ос

Через Ve»(С х 52'1"1, Ф) = f| ЕСп (С х 52n1, ф}) обозначим весовое к=i пространство функций из #с«(С х 52"-1) с топологией проективного предела нормированных прос транс тв

EZn{CxS2n-l^k) = U(S,W) е //с-(С х S2»"1) : 11/11, = sup Jf^íiL < оо}. s^ecxs2»-1 exp(V^(lAIJj

Введем также пространство \s\2n~2Vzn(C х 52"1,Ф) функций вида |s|2"2/(s, w) , где f(s,w) е VCn(C х S2""1^). Топологию в |.s|2'12Рс»((С х 52"-1,Ф) зададим как топологию проективного предела нормированных пространств s|2,!~2i?c»(C х S2"-1, V-vJ = {u(s,iu) = \s\2n-2f(s,W) : f(s,w) € ECn(С x S2""1,^), „ l/(s>^)l i Mk = sup i, n \w <

Основным результатом параграфа 1.5 является

Теорема 1.14 Оператор TZq устанавливает топологический изоморфизм пространств Р(С\Ф) и \s\2n-2VCn(Cx S2n~\y)

Вторая глава посвящена применению некоторых свойсг дуального преобразования Радона и свойств преобразования Радона аналитических функционалов к вопросам полноты систем целых функций, представления целых функций рядами, а также к изучению свойств решений многомерных уравнений свертки.

Па иространс1ве С (С х 52'1-1), сосюящсм из функций, непрерывных на декартовом произведении С х S2"-1 , рассмотрим оператор

Я7К*)= / f((z,w),w)d<T(w).

S2"-1

Эюг оператор называется оператором дуального преобразования Радона.

В § 2.1. оператор дуального преобразования Радона TV применяется для конструктивного построения полных систем функций в пространстве Я (С") но полным системам в пространстве Я (С) .

Введем нормированное пространство Н$1п-\ , состоящее из сужений на единичную сферу 52"-1 функций, аналитических в окрестности единичного шара В'1 С С" , с нормой

HtfHIl = max \g(w)\ = max |<?И|. ■well"

Следующая теорема дает конструктивный способ построения полных систем функций в пространстве Я (С").

Теорема 2.1 Пусть система функций {/(/(s)}^i полна в Я (С) , система {gm{w)}m=i ~ полна в H&n-i . Тогда система {fcUMimH)}Sn=i полча в Я(С») .

Известно, »по вопрос о полноте систем целых функций одного комплексною переменного во многих случаях сводится к теоремам един-С1венноети для аналитических функций [33, с. 574-617]. Так, например, если последовательность комплексных чисел А/„ сходится к некоторому числу А0 , то система функций еХкг полна во всей комплексной плоскости. Эю вытекает из того, что целая функция экспоненциального типа, равная нулю на последовательности точек А/„,А/„ -> Ао € С, тождественно равна нулю. В многомерном случае последнее утверждение не верно, поскольку нулевое множество целой функции многих переменных не являйся дискретным, а представляяег собой некоторую поверхность. Таким образом, в вопросах полноты теорема 2.1 позволяет использовать одномерные -эффекты в многомерном случае.

Возникает вопрос о виде полных системы функций в пространстве Я (С1) , построенных по различным полным системам функций из Я (С) и Я52П-1 . В частности, если хотя бы одна из них представляет собой многочлен, то полученная система также является системой многочленов (теоремы 2.2 и 2.3). Но существуют и полные системы, построенные по теореме 2.1, отличные от систем многочленов. Пример полной системы функций, отличной от системы многочленов дает теорема 2.4.

Теоремы 2.5 и 2.0 являю 1ся аналогами теоремы 2.1 для весовых пространств индуктивного и проективного типа соотвеютвенно.

§ 2.2. посвящен распространению на многомерный случай результатов А.Ф. Леонтьева [27] о разложении в ряды обобщенных экспонент произвольных целых функций одного комплексного переменного.

Фундаментальными трудами по теории рядов экспонент являкнся работы А.Ф. Леонтьева [27],[28],[29]. Вопрос о представлении функций рядами экспонент тесно связан также с теорией абсолютно предствля

Ю1ЦИХ сип ем и достаточных множеств. По указанному кругу вопросов следует огмегигь работы А.Ф. Леонтьева [28],[27], Ю.Ф. Коробейника [12],[15],[16], В.В. Напалкова [42],[43], В.П. Громова [6], В.В. Моржакова [35], Л.А. Айзенберга [2], A.B. Секерина [53],[51],[54], A.B. Абанина [1] и др. ос

Пусть f(s) = ^ aibk — целая функция порядка р, 0 < р < оо типа а ф 0, оо , причем «д, ф 0 (к = 0,1,2,.) и существует lim к1/р{/\^\ = (аер)1'р. к~>0о

Пусть L(А) = ~ целая с])ункция типа crj ф 0, оо при уточненк~>0о

ОС к=0 ном порядке Pi{r), p\{r) > р , F(s) = bf„sk — целая функция. Пусть A(L) — класс целых функций F(s) , для коюрых

EklfH + W h-2\ . . I л. — 1,1¿'оI л ^ , . . 4- 1/Г [7—7 < 00, |//| < 00. lk-2\ |Ö()| Обозначим через B(L) класс целых функций F(s), коэффициенты ^ коюрых таковы, что т— к1/р КДГ1 (аер)1**1 lim—г—У М < т^— , где (функция г = (ßi(t) — функция, обратная функции t = rp^r\ а pi = lim pi(r) . На функцию г = (f\(t) наложим условие г-> ос

1//> —>оо, £ —> оо.

VI (О

Последнее условие означает, что rPl(r) грцп р --у qq —^ оо.

В дальнейшем будем предполагать, что все нули A,„i/ = 1,2,. функции L(A) простые, причем 0 < |А„| t 00 • А.Ф. Леонтьевым в [27, гл.2, §4] установлены следующие результаты:

Сопоставим функции F{s) ряд

00

F(b)~Y,Q"fM> (2) и=\

ГТ1,С мА„, F) а"~ V(K) '

ОС / .

Ил(/1; F) = ( ^ + . + , „ 6 С.

Теорема 2.7 [27, с. 204]. Для того чтобы ряд (2) сходился равномерно внутри плоскости к своей функции F (s) ( какова бы ни была F (s) Е , необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий: од i(hs) ос

D/(A«) = £fr Л - An £'(А0 сходимость равномерная внутри плоскости ) ; 1

WT) и существуют окружности |А| = <7/„ "f оо такие, что

2) lim гJ-r ln oo, (3) 1 lim -= min ln |L(A)| = +oo. (4) л-»oo q'j |A|=%

Теорема 2.8 [27, с. 205]. Пусть F(s) — целая (функция. Имеется целая (функция Ь(А) со свойствами (3) и (4) такая, что F(ь) входит в класс В{Ь) .

Целью параграфа 2.2 является получение многомерного аналога теорем 2.7 и 2.8.

Пусть д(я, ш) е #с»(С х 52"-1). Тогда из определения класса IIсп (С х 52'1-1) вытекает, что она представляется в виде ш) =

ОС где Рк{ш) — голоморфный многочлен, однородный стек=о пени к . Обозначим через В(Ь, С х 52"-1) класс функций д(з, ги) € Яс"(€ х 52п1) , коэффициенты Р/Дм) которых таковы, что

Т— кЧР I-ГБТ^Т (аеРУ,П /сч lim —jjt и шах \Рк(ги </ . (5) h-íooip^k) V »"G52»-1 v л (o-^pi)1/^ w

На пространстве Н(Сп) рассмотрим оператор Л, который задается формулой (1). Введем класс Bj[(L) целых функций многих переменных G(z) таких, чю

AG]{sw) = g(s, w) е B(L, С х S2'1"1).

Согласно [52], верно G{z) = [1Z*g](z), где 1Z* — оператор дуального преобразования Радона.

Пусть G(z) € Ва{Ь) . Сопоставим функции g(s,iu) = [.4G](s, ш) ряд ос s, ш) z/=l где

W) = Щ К) ' (7) V flJL-l ак-2 «О /

Тогда функции будет соответствовать ряд оо «

1,= 152п-1

Во введеных обозначениях справедливы теоремы Теорема 2.9 Пусть выполнены следующие условия: 1 lim 7~т~ 1п к->ос IЛ л. | ^

Ь'М -оо, (10) и существуют окруэюности |А| = д^ | оо такие, что

П)

Тогда ряд (6) сходится к функции д(Б, ги) равномерно на компактах из Сх52п1 , и ряд (9) таксисе сходится к функции С(г) равномерно на компактах из С'1 .

Теорема 2.10 Пусть С(г) £ Н(Сп) . Найдется целая (функция ¿(А) €//(С) со свойствами (10) и (11) такая, что С{г) входит в класс Вд{Ь) .

Следующая теорема является следствием теорем 2.9 и 2.10.

Терема 2.11 Любую функцию Р(г) £ II (С") можно разлоэюить во всем Сп в ряд (9) при соответствуюгцем выборе функции Ь(А)

В § 2.3. введено определение преобразования Радона аналитических функционалов. Описан образ преобразования Радона сопряженного пространства к пространству всех целых функций многих переменных.

Для пространства Н(Сп) целых в С" функций в стандартной топологии равномерной сходимости на компактах через //'(€") будем обозначать пространство всех линейных непрерывных функционалов.

Назовем преобразованием Радона функционала р Е Н'(С") линейный функционал, заданный на Яс(С х 52"-1) , и определяемый соотношением

Теорема 2.12 Функционал Ир , задаваемый формулой (12), непрерывен в топологии IIс (С х 52"-1) .

Через //¿(С х 52"-1) будем обозначать пространство линейных непрерывных функционалов на Яс(С х 52'1"1). Так же как и для про

12) где <р е Яс(С х 52"-1). странства Я(С") , доказывается, что элементы пространства Н'с(С х 52"-1) могу г быть заданы комплексными мерами с компактным носителем, содержащимся в С х S2"-1 .

Пусть KevTl* — ядро операто1)а TV , то есть,

Ker7T = {ip е Яс(€ х S2'1-1) : [К*ф) = 0}.

Следующая теорема даег описание образа оператора К : Н'(Сп) -)• Н'с{С х S2"-1) .

Теорема 2.13 Пусть / е Н'с(С х 52"-1) . Для того чтобы функционал / был преобразованием Радона Иц некоторого функционала li Е Я'(С") , необходимо и достаточно, чтобы для произвольной функции ip 6 Кег7£* было выполнено условие: = о.

Описание ядра оператора 7Z* дает теорема 2.14.

Определяющим множеством функционала / 6 Я^(С х S2n~l) [2G, с.227] называется такое компактное подмножество К в С х 52'1-1 , чю для любой окрестности ш множества К существует такая постоянная Cw , что < С>ф|/(5,«/)|, V f(s,w) е Яс(С х 52"-1). и>

Следующая теорема являе1ся аналогом теоремы о носителе для преобразования Радона функций и распределений (см. [72], [60], [76], [77]).

Теорема 2.15 Пусть ц Е H'{Cn),K,t Е II'C{£ х S2""1) - npeotf-разование Радона функционала ¡i. Пусть К = {|б| < R} X 52"-1 — определяющее множество функционала 1ZIL . Тогда К = [\z\ < R} — определяющее мноэюеетво (функционала ц .

В § 2.4. рассматриваются применения преобразования Радона аналитических функционалов к изучению свойств решений многомерных уравнений свертки в классе целых функций многих переменных.

Важным мотивом для изучения преобразования Радона было его применение к дифференциальным уравнениям в частных производных. Так, например, Д. Людвиг [72] применял свои результаты при нахождении решения задачи Коши для гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных. В свою очередь работ [72] была стимулирована результатами Ф. Йона, П.Д. Лакса (см. [9]) и P.C. Фил-липса (см. [71]).

С. Хелгасон в монографии [60] рассматривал дифференциальные уравнения вида

Du = /, (13) где f(x) — заданная функция из пространства быстро убывающих функций на К" , D — некоторый дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Решение уравнения (13) сводилось им к решению уравнения

Dv = /ы, (14) где fu = f((x,w),w) — плоская волна в направлении w, / —преобразование Радона функции / . Другими словами функция fu постоянна на каждой гиперплоскости, перпендикулярной w . Плоская волна в направлении w является функцией одной переменной. Кроме того, если V — плоская волна в направлении w , то таковой же является и Dv . Тем самым уравнение (14) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение с посюянными коэффициентами. В [60] доказано, что если существует решение v уравнения (14), гладко зависящее от w , то решение и уравнения (13) получатся из v при помощи формулы обращения для преобразования Радона.

В данном параграфе рассмотрена аналогичная задача для уравнении в классах аналитических функций, но в более общей постановке. Для класса целых функций многих комплексных переменных будем рассматривать уравнения свертки вида ftj(z + t))=g(t), где (j{t) 6 Я (С") — заданная функция, р — некоторый аналитический функционал, действующий по переменной z . Частными случаями уравнений свертки являются линейные дифференциальные уравнения с частными производными, линейные разностные и дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами как конечною, так и бесконечного порядков, некоторые интегральные уравнения (см. [44]). В настоящей paöoie показано, что вопрос о разрешимости данного уравнения сводится к вопросу о разрешимости некоторого одномерного уравнения свертки. Вопрос о решении полученного уравнения в данной работе не ставится.

Уравнения свертки в комплексной области рассматривались в работах Б. Мальгранжа [73], JI. Эренпрайса [65],[67], А. Мартино [74], J1. Хермандера [70], И.Ф. Красичкова-Терновского [18],[19],[20], Ю.Ф. Коробейника [13],[14],[17], В.В. Напалкова [44], О.В. Епифанова [7], В.В. Моржакова [36],[37], A.C. Кривошеева [21],[22],[23], P.C. Юлму-хаметова [64] и др.

На пространстве Яс(€х52'г1) рассмотрим оператор #,'(0), р € N , который каждой функции f{s,w) е Яс(С х S2"'1) ставит в cooibct-ciBiie функцию ip(w) по следующему правилу: dp

ФН= ТТ^Д5'™) • аь 4=0

Пус1ь С(52"-1) — нормированное пространспю, состоящее из всех функций непрерывных на сфере 52" 1 с нормой шах \ф(и))\.

Из лемм 1.4 и 1.5 (глава 1) следует, »по ф(ги) £ С(52"-1) .

Далее на пространстве С(52"-1) рассмофим функционал И)\11022~-1и1\п , который каждой функции £ С(52"-1) ставит в соответствие комплексное число j \1)(1и)и)\1и)22.Ли};1пс1(т(1и).

52П-1

Тогда функционал 6^(0)ю'{Чи'2 .ли^п , заданный на //с(С х 52п1), предствляег собой композицию оператора ¿['''(О) и функционала 1у{1ш£2.ш£п . В лемме 2.0 показано, что ¿1*''(О)ш^1 ги\2.и^1 £ Н'с(С х 52"-1).

Самостоятельное значение имеет следующая теорема. Теорема 2.16 Преобразование Радона 71ц функционала ц £ Я'(С") представляется в виде ос = Е Е^п^р^1^2---^1, ш=0 |/,|=т б)е А: = (А*1 Д'2, •••Д») — мультииндекс, |/с| = к\ + к2 + . + = к\\к2\.кп\, С)А}2 1п = (ц,х\1212 , причем ряд стадится в сильной топологии пространства Н'с(С х б"2"-1) .

Па пространстве Яс(€х52"-1) рассмотрим опера юр Р = А°К* , где Л : Я(С,г) ЯС"(С х 52"-1) задается по правилу: для € Я (С") полагаем [Л^]^, ш) = , а оператор А задается формулой (1). Назовем оператор V : Яс(С х 52""1) -» Яс,.(С х 52"-1) оператором проектирования пространства Яс(Сх52,!1) на пространство

Яс»(С х 52"-1) .

Пусть /I £ //'(С") — некоторый аналитический функционал. Па пространстве Яс(С х 52"-1) рассмотрим оператор (7£/4),, который каждой функции <р(з,т) ставит в соответствие функцию ос тг„),и.,,и,)] = Е Е ¥>(«,»)>, (15)

7/1=0 \Ц=т где сИк2 кп = = к{\к2\.кп\.

Доказано (лемма 2.9), что оператор (7^),, задает непрерывное отображение пространства #с(С х 52'1-1) в пространство С(52"-1) . Рассмотрим в пространстве Я(С") уравнение свертки *)) = <#), (10) где /,д £ Я(С"), а /I некоторый аналитический функционал, действующий но переменной 2 .

Основным результатом данного параграфа являе1сн Теорема 2.17 Уравнение (10) разрешимо в классе функций /(г) Е Я(С") тогда и только тогда, когда в классе (функций ги) £ Яс»(С X 52п1) разрешимо уравнение

Т1((К11)а,1р(з + \,1и)}} = к(\,1п), (17) где Л(.9, ш) = [.Дд](бчш) ; (¿>(з, ш) = [Л/](йй)) , оператор Л определяется формулой (1) .

Как следует из теоремы 2.17, решения / и <р уравнений (10) и (17) существуют одновременно и связаны равенством I <р({г,и>),ю)<1а(и>). (18)

52н-1

Функция (р((г,ги},ги) представляет собой комплексную плоскую волну в направлении т , то есть, она постоянна на каждой гиперплоскости, перпендикулярной ш . Плоская волна в направлении ш являйся функцией одного комплексного неременного.

Таким образом, любое решение уравнения (16) предетвляеюя в виде шпеграла но сфере 52"-1 от плоской волны (18) , где (p(s,w) решение уравнения (17) (одномерного уравнения с параметром), непрерывно зависящее от w £ S2n~l .

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [81]—[92].

Совместные работы [89],[92] с научным руководителем Секериным A.B. содержат результант параграфов 2.3 и 2.4 главы 2. В [89] результаты о преобразовании Радона аналитических функционалов принадлежат Ломакину Д.Е., а Секерину A.B. — результаты о представлении функций разностью логарифмических потенциалов (не связанные с темой данной диссертации), а также определение преобразования Радона аналитического функционала. В [92] Секериным A.B. сделаны постановки основных задач и определены методы исследования, а автором доказательств основных результатов является Ломакин Д.Е.

Материалы неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры алгебры и математических методов в экономике Орловского государственного университета (руководитель — проф. Секерин A.B.), на научном семинаре лаборатории теории функций и функционального анализа Орловского государственного университета (руководитель — проф. Громов В.П.), на Воронежской зимней математической школе (2003, 2005 гг.), на Воронежской весенней математической школе (2004 г.), на семинаре кафедры математического анализа Ростовского государственного университета (руководитель — проф. Коробейник Ю.Ф., проф. Абанин A.B.)

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору A.B. Секерину за постановку задачи, постоянное внимание к работе и полезное обсуждение результатов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ломакин, Денис Евгеньевич, 2006 год

1. Айзенберг Л. А., Юржаков А.П. Интегральные предеывления и вычеьы в многомерном комплексном анализе. — Новосибирск: Паука, 1979. 368 С.

2. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных неременных. М.: Наука, 1964. — 412 С.

3. Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физико-матемашческая литера1ура, 2000. — 400 С.

4. Гельфанд U.M., Граев М.И., Виленкин И.51. Обобщенные функции, вып. 5. Ишегральная геоме1рия и связанные с ней вопросы теории предегавленнй. — М.: Физматгнз, 1962. — 656 С., ил.

5. Громов В.П. О предегавлении целых функций двух комплексных переменных функциональными рядами типа рядов Дирихле // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1969. Т.ЗЗ. ДМ. С. 163-173.

6. Епифанов О.В. Об эпиморфизме сверпш в выпуклых облас1ях // Докл. АН СССР, 1974, 217, .VI, С 18-19.

7. Посида К. Функциональный анализ. М.: Мир,1967. — 624 С.

8. Ион Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частыми производными. М. ИЛ, 1958. 158 С.

9. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. — AI.: Физматгиз, 1959.

10. Колмогоров А.П., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1989. — 624 С.

11. Коробейник Ю.Ф. Индукшвные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие сисюмы // Изв. АН СССР. 1986. - Т. 50. .V3. - С. 539-565.

12. Коробейник Ю.Ф. О некоторых приложениях нетривиальных разложений нуля в теории операторов сверши // Докл. АН СССР. 1990. Т.313. .Y>6. С. 1324-1328.

13. Коробейник Ю.Ф. О решениях некоторых функциональных уравнений в классах функций, аналитических в выпуклых областях // Матем. сб., 1968, 75(117), .V2, С.225-234.

14. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1978. Т.42 Л"®2. С. 325-355.

15. Коробейник Ю.Ф. Предетвляющие системы // Успехи матем. наук. 1981. Т.36. -V°l. С. 73-126.

16. Коробейник Ю.Ф. Нетривиальные разложения нуля по абсолкмно представляющим системам. Приложения к опера юрам свертки // Матем. сб. 1991. Т.182. .V5. С.661-680.

17. Красичков-Терновский П.Ф. Инвариашные иодиросмранспт ана-лишческих (функций. I. Спектральный сип юз на выпуклых обла-С1ях // Maюм. сб. 1972. Т.87. ЛМ. С. 459-489.

18. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные поднросч ранет ва аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. Т.88. ЛМ. С. 3-30.

19. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные нодпросгране п?а аналитических функций. III. О распространении спектрального синтеза // Матем. сб. 1972. Т.88. .V3. С. 331-352.

20. Кривошеев A.C., Напалков В.В. Комплексный анализ и уравнения свертки // Успехи матем. наук. 1992. Т.47. Л"6. С. 3-5G.

21. Кривошеев A.C. Регулярноеib pocia сис1емы функций и сисюмы неоднородных уравнений сверши в выпуклых областях комплексной обласш // Изв. РАН Сер. Матем. 2000. Т.64. .V5. C.G9-132.

22. Кривошеев A.C. Кршерии разрешимости неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях пространства Сп // Изв. АН СССР Сер. матем. 1990. Т. 54. .V3. С.480-500.

23. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.2. — М.: Высшая школа, 1988. — 576 С., с ил.

24. Левин Б.Я. Распределение корней целых (функций. М : Госгехиздат, 1956. 632 С.

25. Лелон П., Груман Л. Целые функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1989. 348 С.

26. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. М.: Наука, 1981. — 320 С.

27. Леошьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1981. 384 С.

28. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1970. 536 С.

29. Леонтьев А. Ф. Целые (функции. Ряды экспонент — М.: Паука, Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 176 С.

30. Маркушевич А.И. Избранные главы теории аналитических функций. — М.: Наука, 1976.

31. Маркушевич А.И. О базисе в пространствах аналитических функций // Матем. сб. 17, 2. 1945.

32. Маркушевич А.II. Теория аналитических функций. Т.2 — М.: Наука, 1975.

33. Мерзляков С.Г. О возмущении линейных операторов в пространствах голоморфных функций // Матем. сб., 1995. Т.186 ЛХЗ, С. 103130

34. Моржаков В.В. Абсолютно представляющие сисюмы экспонент в пространстве аналитических функций многих переменных // Деп. в ВИНИТИ №245-81. Ростов-на-Дону, 1981. 31 С.

35. Моржаков В.В. Об уравнениях свертки в просгранпвах функций, голоморфных в Енлнуклых областях и на выпукл глх компактах в С" // Матем. заметки, 1974, 16, .УЗ, С.431-440

36. Моржаков В.В. Об эпиморфизме оператора свертки в выпуклых областях в С" // Матем. сб. 1987. Т. 132. Л«3. С.252-370

37. Мусин ИХ Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций. Авюреферат дисс. . докт. физ.-маг. наук. Уфа, 2001.

38. Мусин И.Х. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространс1ве бесконечно дифференцируемых функций // Матем. сб. 2000. Т.191, №10. С.57-86.

39. Мусин И.Х. Теорема Пэли-Винера для весового пространства бесконечно дифференцируемых функций // Изв. РАИ. Сер. матем. 2000. Т.64, .V6. С. 181-204.

40. Мусин И.Х. Сюръекшвность линейного дифференциального оператора в весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Матем. заметки 2002. Т.71(5). С.713-724.

41. Напалков В.В., Секерин Л.Б. Слабо достаточные множсчлва и представление аналитических функций многих переменных рядами Дирихле // Докл. АН СССР. 1982. T.2G0. .V3. С.535-539.

42. Напалков В.В. О сравнении топологий в некоторых пространствах целых функции // Докл. АН СССР. 1982. - Т.264, ЛЧ. - С 827830.

43. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространсшах.- М.: Паука, 1982.

44. Привалов И.II. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Высш. шк., 1999. 432 С.

45. Привалов II.И. Субгармонические функции. М.: Госюхиздат, 1937.- 200 С.

46. Роберт сон А. Роберюон В. Топологические векюрные пространства. М.: Мир, 1967. 258 С.

47. Ронкпн JI.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М.: Наука, 1971. 432 С.

48. Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. — 443 С.

49. Садовничий В.А. Теория операторов. — М.: Высшая школа, 1999.- 368 С.

50. Секерин A.B. О представлении аналитических функций многих переменных рядами экспонент // Известия РАН, сер. матем. — 1992.- Т.56, .V3. С.538-565.

51. Секерин A.B. Представление бесконечно дифференцируемых функций разностью шиорисубгармонических // Матем. заметки. 1986. Т.40, Л"°5. С. 598-607.

52. Секерин A.B. Представление функций кратными рядами экспонент. Дис. . канд. физ.-маг наук. У (фа. 1982.

53. Секерин A.B. Применения преобразования Радона в теории аппроксимации / ВИЦ УрО АН СССР. Уфа, 1991. 192 С.

54. Секерин A.B. Применения преобразования Радона к аинроксимаци-ониым задачам многомерного комплексного анализа. Дис. . докт. физ.-мат. наук / Уфа, 1992.

55. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. - 344 С.

56. Стейн И. Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. — М.: Мир, 1974. — 412 С.

57. Фихюнгольц Г.М. Курс дифференциального и интегральною исчисления. Т.1. М.: Физматгиз, 1962. - 607 С., с ил.

58. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. — М.: Мир, 1980. 304 С.6165