Сингулярные псевдодифференциальные операторы Киприянова-Катрахова B-эллиптического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Рощупкин, Сергей Александрович

• Рощупкин, Сергей Александрович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Рощупкин, Сергей Александрович

Оглавление

Введение

1 Полное преобразование Фурье-Бесселя и многомерные

п.д.операторы Киприянова-Катрахова

1.1 Основные положения анализа Фурье-Бесселя

1.1.1 Многомерный смешанный обобщенный сдвиг и его свойства

1.1.2 у -Функции Бесселя

1.1.3 Многомерное смешанное преобразование Фурье-Бесселя-Киприянова-Катрахова

1.1.4 Ив -оператор Бесселя и его символ в образах Тв -преобразования

1.2 Основные пространства функций

1.3 Символ линейного сингулярного дифференциального

оператора Ь(х,Ов) с дв -оператором Бесселя

1.3.1 Символ Ь(х,Ов)

1.3.2 Оператор £*(:г;Дв), сопряженный оператору Ь{х\Ов) и его символ

2 Многомерные сингулярные псевдодифференциальные

операторы Киприянова-Катрахова

2.1 Весовые классы функций Соболева-Киприянова Н™ , порожденные Тв -преобразованием

2.2 Тв -с.п.д. операторы Киприянова-Катрахова с символами из Е™

2.2.1 Класс символов Е™

2.2.2 Класс сингулярных псевдодифференциальных операторов Е™

2.3 Порядок Тв -сингулярного псевдодифференциального оператора в шкале пространств Н^

2.4 Произведения и коммутаторы с.п. д. операторов

Киприянова-Катрахова

2.4.1 Произведение Тв -с.п.д. операторов и Тв -с.п.д.

оператор с символом, равным произведению символов сомножителей

3 Квазирегуляризаторы В-эллиптических Тв -с.п.д. операторов. Априорная оценка

3.1 В -эллиптические Тв -с.п.д. операторы Киприянова-Катрахова и квазирегуляризаторы

3.2 Неравенство типа неравенства Гординга

3.3 Некоторые неравенства. Вариант теоремы Гохберга о норме многомерного с.п.д. оператора Киприянова-Катрахова

3.4 Теорема о норме Тв -с.п.д.оператора

3.5 Априорная оценка

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сингулярные псевдодифференциальные операторы Киприянова-Катрахова B-эллиптического типа»

Введение

Актуальность темы диссертации. Псевдодифференциальные операторы или сингулярные интегродифференциальные операторы, впервые появились в работах С.Г. Михлина, А.Р. Кальдерона, А. Зигмунда, Р. Сили и др., как синтез сингулярных интегральных и дифференциальных операторов (сокращенно — СИД-операторы). Распространение эллиптической теории на эти операторы и их применение для изучения индекса принадлежит A.C. Дынину (1961 г.). М.С. Агранович (1965 г.) исследовал эллиптические СИД-операторы на многообразиях, использовал технику СИД-операторов для вычислении индекса эллиптических граничных задач. По видимому, A.C. Дынину принадлежит идея создания алгебры СИД-операторов. Дж. Кон и JI. Ниренберг в работе «Алгебра псевдодифференциальных операторов» (1965 г.) подошли к этим операторам с единой точки зрения, используя только технику преобразования Фурье. Именно эта работа и дала современное название теории СИД-операторов, построенных на основе интегралов Фурье. Дальнейшее развитие теории псевдодифференциальных операторов (п.д.о.) осуществлено многими математиками, в первую очередь JI. Хермандером. Отметим также работы советских математиков В.В. Грушина, Ю.В. Егорова, М.И. Вишика, JI.P. Волевича, В.П. Маслова,

Б.П. Панеях, Г.И. Эскина, М.А. Шубина и многих других. Интерес к теории п.д.операторов связан с тем, что в ее рамках решение линейного дифференциального уравнения сводится к проблеме деления образа Фурье распределения на полином, что является задачей классического операционного исчисления, поэтому решение практически всех задач линейных дифференциальных уравнений оказываются в рамках применения интегралов Фурье. Но для исследования задач дифференциальных уравнений, содержащих элементы сферической симметрии, преобразование Фурье ограничено тем, что не может учесть эту симметрию. Такую роль могло бы выполнить преобразование, полученное из преобразования Фурье сферическим преобразованием координат. Этим преобразованием является частный случай преобразования Ганкеля, ядром которого является ] -функция Бесселя j2=±{t) = С (и) ^^ , отвечающая целому-полуцелому порядку и > —1/2. Преобразование, основанное на у -функциях Бесселя любого (т.е. не обязательно целого-полуцелого) порядка и > —1/2, введено в 1951 г. Б.М. Левитаном, который назвал его «преобразованием Фурье-Ганкеля». Первое применение этого преобразования к исследованию сингулярных дифференциальных уравнений осуществлено Я.И. Житомирским (1955), который ввел преобразование Фурье-Бесселя, ядро которого состояло из произведений у -функций Бесселя одного порядка. И. А. Киприянов (1967) применил смешанное преобразование Фурье-Бесселя для описания весовых функциональных классов Соболева и для доказательств соответствующих теорем вложения.

В 70-х годах по инициативе И.А. Киприянова сделана попытка создания теории сингулярных п.д.операторов (с.п.д.о.) на базе смешанного преобразования Фурье-Бесселя. Как оказалось такие операторы не обладают в полной мере свойствами обычных п.д.операторов. В част-

ности не удалось построить алгебру по модулю операторов истинного порядка —оо . Причина заключалась в том, что п.д.операторы, построены по классической схеме на базе смешанного преобразования Фурье-Бесселя не содержат дифференциальные операторы нечетного порядка (например первую производную). И.А. Киприянов и В.В. Катрахов в этой связи предприняли модернизацию преобразования Фурье-Бесселя, включив в ядро преобразования нечетную э -функцию Бесселя (равную производной от четной ] -функции Бесселя). Такой подход позволил воспользоваться теорией операторов преобразования, сведя проблему построения алгебры с.п.д.операторов к существующей алгебре классических п.д.операторов. Как выяснилось, методика операторов преобразования хорошо срабатывала только для одномерных с.п.д.операторов. Поэтому, существенно сужалась область применения новой теории к исследованию сингулярных дифференциальных уравнений. В 2012 г. В.В. Катрахов и Л.Н. Ляхов построили алгебру многомерных сингулярных п.д.операторов по классической схеме Кона-Ниренберга. Эта работа открыла путь для исследования сингулярных дифференциальных уравнений, содержащих оператор Бесселя, их степени и первую производную от степеней операторов Бесселя ( дв -операторы Бесселя).

Применение теории п.д.о. для изучения эллиптических граничных задач для вырождающихся и сингулярных дифференциальных операторов, удовлетворяющих условию Я.Б. Лопатинского, было проведено в ряде работ, среди которых отметим работы воронежских математиков В.П. Глушко, И.А. Киприянова, Л.А. Иванова, В.В. Катрахова, М.И. Ключанцева, Л.Н. Ляхова и др. Постановка граничных задач для рассмотренных ими уравнений восходит к известной работе М.В. Келдыша и играет важную роль в задачах с осевой симметрией механики сплошной среды, в теории малых изгибаний поверхностей вращения,

газовой динамики и т.д. Естественный интерес представляет применение многомерных псевдодифференциальных операторов Киприянова-Катрахова для построения современной эллиптической теории для рассматриваемых сингулярных и вырождающихся уравнений. Поэтому исследуемая тема, несомненно, актуальна.

Цель работы. Целью работы является:

1. Изучение классов основных функций и введения пространств функций и распределений наиболее приспособленных для работы с многомерным интегральным преобразованием Фурье-Бесселя-Киприянова-Катрахова (Тв -преобразования).

2. Представления действия линейного сингулярного дифференциального оператора с дв -оператором Бесселя и сопряженного ему в весовом скалярном произведении функций в образах прямого и обратного Тв -преобразований.

3. Ввести класс функций типа весового функционального пространства Соболева-Киприянова Я^(М^) на основе частных дв -производных и с помощью Тв -преобразования. Доказательство теоремы об эквивалентности норм при целых я .

4. Ввести класс многомерных сингулярных псевдодифференциальных (с.п.д.) операторов Киприянова-Катрахова с однородными символами а(:с;£), определенными в Мдг х {Мдг\{£=0}} > которые представляют собой гладкие функции, быстро убывающие при |ж| —» оо при фиксированных |£| = 1 и обладающими непрерывными первыми производными по ^ (ф 0) ПРИ фиксированном х .

5. Изучение В -эллиптического Тв -с.п.д.оператора с символом из Е™ и возможности существования априорной оценки решения В-эллиптического Тв -с.п.д. уравнения в Кдг и построение квазирегуля-ризатора этого оператора.

Научная новизна. Следующие результаты работы являются новыми.

1. Введено пространство основных функций представляющее собой подпространство пространства основных функций Шварца, наделенное топологией, порождаемой системой норм

/ \

яир

Н+|/зКк,

хаО%<р{х), зир ГГв{хаф))

|а| + |/3

\ хб®лГ ' хеКдГ ' /

к = 0,1,2,..., при этом выполнено условие одинаковой четности: о,1 + = 0,1,2, ... , г = 1,..., п, п < N . Доказано, что

инвариантно относительно Тв -преобразования. На основе вводятся пространства функций, исчезающих на сингулярных гиперплоскостях оператора Бесселя (типа пространства Лизоркина) и подклассы функций из , представленных в виде сумм четных и первых производных от четных функций по переменным х' = (а?1,..., хп) , п < N .

2. Введены функциональные классы Соболева-Киприянова построенные на основе Ив -дифференцирования, и на основе Тв -преобразования Фурье-Бесселя-Киприянова-Катрахова. Доказана эквивалентность норм в этих пространствах, если показатель гладкости функций й — целое число.

3. Рассмотрен класс символов Е™ , построенный по аналогии с символами М.С. Аграновича. Для а(я;£) Е Е™ при > + 1 доказаны основные теоремы теории многомерных (смешанного типа) сингулярных псевдодифференциальных операторов Киприянова-Катрахова ( Тв -с.п.д.операторов): теорема о норме, теорема о сопряженном операторе, теорема о произведении Тв -с.п.д.о. в шкале весовых пространств Соболева-Киприянова Н® .

4. Получены априорные оценки Б-эллиптических Тв -с.п.д. уравнений. Построены квазирегуляризаторы (левый, правый) Б-эллиптических Тв -с.п.д. операторов в евклидовом пространстве и полупространстве.

Методы исследования. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах научной школы И.А. Киприянова при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер и дает конструкции квазирегуляризатора В-эллиптического Тв -с.п.д.оператора. Доказаны априорные оценки решений Тв -с.п.д.уравнений из соответствующих функциональных классов. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при изучении задач математической физики с центральной и осевыми симметриями, в задачах теории функций и функционального анализа.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались в Воронежской зимней математической школе в 2014 г., в школе молодых ученых Липецкой области «Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания» в 2012 — 2013 гг., на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в г. Белгород в 2013 г., на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» Республика Башкортостан, г. Стерлитамак в 2013 г., на Международной конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики и анализа» в г. Новосибирск в 2012 г., на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздале в 2012 г. и 2014 г..

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [1] — [11]. В совместно опубликованных работах [1] - [5] Л.Н. Ляхову принадлежит постановка задач. Доказательства всех результатов получены лично автором.

Работы [1], [2] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрна-уки РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы, включающего 46 наименования. Общий объем диссертации 102 стр.

Краткое содержание диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы, приводится методика исследования и дан краткий обзор содержания диссертации по главам.

Нумерация приводимых ниже определений и утверждений совпадает с нумерацией в диссертации.

В первой главе содержатся 3 пункта.

В первом пункте первой главы дается определение многомерного смешанного интегрального преобразования Фурье-Бесселя-Киприянова-Катрахова.

Вводятся евклидовы пространства точек х — (х', х") е Мдг = Еп х Едг-п) х' = (#1,..., хп) £ Еп, а х" = (жп+1,... ,хм) £ Л£дг-тг или в его части = х Мдг-п? определенную неравенствами х\ > 0,..., хп > 0 . При этом числа п и N предполагаются фиксированными, 1 < п < N .

Пусть 7 = (71,..., 7П) , мультииндекс, состоящий из фиксированных положительных чисел. Каждому индексу 7г ставим в соответствие оператор Бесселя Ву. = + Ъ > 0.

Многомерный смешанный обобщенный сдвиг х = (х',у'),

У = у") £ х ^лг-п определяется в виде суперпозиции одномерных обобщенных и обычных сдвигов. По определению полагаем

та : /(*) ТУЦх) =

(Ч 7Г 7Г

1[ТХ1)/(х',х"-у")=С(>у) Л., f f{x'

г=1 J JQ {

А У' , х" - у") X

X J^sin^ 1 ^d^-.-dPn, i=1

/ / ( Pi Pn \

x ->y = (jri -V 2/1,... ,жп -4 2/nJ ,

/- n p Î2i±l)

Хг ^ Уг = y x\ - 2жг?/г COS A + yf , C(7) = ТГ-* Д Г / jU '

i=l V 2 )

Пусть a' и a" — целочисленные мультииндек-сы размерности п и N — п соответственно. Через D% = = ... д^ ... обозначим сингулярный

дифференциальный оператор порядка |а| = ai + ... + адг , составляющие которого определены следующим образом: дХг = -Д- , 1 ^ г ^ iV,

В^^2, с*г = 2к, 1 ^ г ^ п,

=< / (1.1.5)

дХгВС~1)/2, ai = 2/г + 1, £ = 0,1,2,...,

где .В7г — сингулярный дифференциальный оператор Бесселя.

Одномерные ^ -преобразования Киприянова-Катрахова строятся на основе ядра ^(¿г)—г 2(^+1) .7^+1 > — ГДе > так называемая, -функция Бесселя, связанная с функцией Бесселя первого рода Ju равенством = 2 ¿и^)-

Введем обозначение

3 = 1

¿V1 (з^) Т г зъ+1 (ж7е?) 2 2

Определение 1.1.1 Смешанным прямым и обратным преобразованиями Фурье-Бесселя-Киприянова-Катрахова (Тв -преобразованиями) функции и назовем соответственно выражения

ТвШ)=Щ)= I А+(х',е)е~г{х"'Пи(х) (х')^х,

Т^Ы(х) = = С(7) I А-(х',Ое{{х"' €"Ч0 (О7 #,

Кп

гы = (27г)1~та

^ 22(^+1) Г2(г/ + 1)' Как обычно, интегралы в этих выражениях понимаются в смысле главных значений. Интересно отметить, что поскольку функция — четная при любом и, то функция 2(^+1) ~ нечет-

ная и, следовательно, как и ядро классического преобразования Фурье, ядро Тв -преобразования состоит из четного и нечетного слагаемых. Несмотря на аналогию с классическим преобразованием Фурье, Тв -преобразование дифференциальных операций приспособлено только для четных функций. При этом для любой быстро убывающей, бесконечно дифференцируемой функции <р(х' ,х") , четной по каждой координате вектора х' и для любого целочисленного мультииндекса а — (а', а") = (с*!, ... , скдг) , справедливы формулы

Тв

<р (О = (г£)а (1-1.14)

д%,Тв Ы (О = Тв[{гх)а1р№ ■ (1.1.15)

Через ¿>(Млг) будем обозначать пространство Шварца основных функций, а через 5ег,(Едг) его подпространство состоящее из функций, четных по каждой из переменных х' — (#1, ... , жп) . Далее под

п

{х')1 понимается функция {х')1 = П ~~ четная по каждо-

му из своих аргументов х\, ... , хп . Множество функций для кото-

( \1/2

рых конечна норма ||/||ь7 = / 1/(ж)|2 (х')7 с1х \ будем обозначать

\Клг /

1/2 (Мдг) или Щ ег,(Млг) , если функции / предполагаются четными по

каждой координате п -мерного вектора х' . Рассмотренные выше Тв -преобразования являются взаимно обратными в ¿"(МдО (Катрахов, Ляхов) и в 1/2(М.лг) (Ляхов, Райхельгауз).

Пространство основных функций, рассмотренных в работе обозначается представляющее собой подпространство пространства основных функций , наделенное топологией, порождаемой системой норм

/ \

И* {хаф))

1(^)1* = тах эир п0в ф) вир

7 н-нж*.

7

хёш'м )

(1.2.4)

к = 0,1, 2,... , при этом выполнено условие одинаковой четности:

с*г + &=24, ¿¿ = 0,1,2,..., г = 1 ,...,п, п ^ N. (1.2.5)

Теорема 1.2.1 При выполнении условия (1.2.5) Тв -преобразование осуществляет непрерывный (в обе стороны) изоморфизм пространства <9+, , т.е. для любого неотрицательного целого числа к

КЪШк^Шъ.

Рассмотрим классы функций

ф7(м+) = {Ф : Фе 5+ (к+), д>3ф(о) = о, V е £+},

Ф7(М+) = {у, : <р = , <ф Е Ф7(К£)} •

Теорема 1.2.2 Класс Ф7(М^) состоит из тех и только тех функций (р(х)€.Зеу(Шх) , которые ортогональны (в смысле весового скалярного произведения) всем многочленам:

ф)еЗеу(Ш+), ! хтф){х'у (1х'(1х"=о, <^еФ7(М+),

(1.2.6)

Для четного преобразования Фурье-Бесселя функции <р 6 Ф7 ортогональны (в смысле весового скалярного произведения) всем многочленам, четным по каждой из переменных х\,..., хп .

(р{:г)е5ег)(М+), 1{х')2тф)х^х=0, </?ЕФ7(М+), (1.2.7)

В третьем пункте первой главы рассматривается линейный сингулярный дифференциальный оператор с дв -оператором Бесселя

Цх]Ов)= (1-3.1)

|а| <т

где = д«: = ... д%п - сингулярный дифференциальный оператор порядка |ск( = 0:1 Ч- ... -Ь скдг , составляющие которого дв определены в (1.1.5).

Теорема 1.2.1 Пусть функция Е 5,е|^(Еп) . Действие сингулярного дифференциального оператора Ь{х,Вв)ф{х) в образах Тв ~ преобразования имеет вид

Цх,ОвЫх) = Тв[а(х:^)(р}(х), (1.3.2)

где а(ж,г£) = £ аЛх) •

|а|

Функцию а{х: £) будем называть символом сингулярного дифференциального оператора Ь(х,Ов) в образах Тв -преобразования.

Скалярное произведение функций задается весовой линейной формой

(и г>)7 = J и(х) у(х) (х')1 <1х. Оператор Ь*{х\Ов), сопряженный оператору Ь(х;Бв) имеет

вид

ЬЦх-^в) = ]Г • ) ,

|а| <ггг

где

п

(<& = Пга;,):,

г=1

[ В7г/2, аг = 2к, _

)*х = { 7\ ' я 1=1, п, /г=0,1,2,....

В образах Тв -преобразования этот оператор записывается в виде

V В в) = Тв1 [а* (х, -г£) .

Во второй главе мы рассматриваем с.п.д.операторы Киприянова-Катрахова, ( Тв -с.п.д. операторы).

Функциональные классы Соболева-Киприянова вводятся в первом пункте второй главы на основе скалярного произведения

{и,у)-, = ^ ^ 0%и{х) 0%у{х) ж7 ¿х , (2.1.4)

Н^т ^

которое порождает норму в пространстве Н™(П8) :

/ \ 1/2

МЦя-(^) =

\ Н^™ п

Лемма 2.1.1 Пространство Н™(0,3) , со скалярным произведением (2.1.4) является гильбертовым относительно нормы (2.1.3). Введем также норму

2- - /а + |е|2Г1/(0!2(07^. (2.1.5)

я7

lJV

Теорема 2.1.1 Пространство Н™(М.дг) можно определить либо с помощью соотношения (2.1.2), либо посредством равенства

H™(Rn) = {и: и € S'ev , (1 + |C|2)m/2 и G } ,

при этом норма (2.1.5) эквивалентна норме (2.1.3), т.е.

CilMltf^Rjv) ^ НМНя™(Клг) < СгЦ^Ця^склг)-

В пункте 2.2 мы вводим класс символов , состоящий из функций а(хт,£) , бесконечно дифференцируемых по х , определенных при всех х и £ ^ 0 , удовлетворяющих оценке |a(cc;f)| < С( 1 + |£|2)т/2 равномерно по i и следующим условиям:

для любого фиксированного х функция а(гс;£) по £ принадлежит пространству H^(Si(N)) см. [13]), где Si(N) — единичная сфера |£| = 1, q > + 1 , при этом

max ||a(z;-)||^(Sl(N)) <

х£К дг

на сфере S\(N) функция а(сс;£) имеет предел а(£) , когда х —> оо , такой, что функция

а*(ж;£) = а(я;0-аоо(0 (2-2.1)

и ее производная по £, как функции х принадлежит пространству S+(mN) равномерно по £.

Кроме того, выполняется условие "одинаковой четности "по каждой паре переменных (а^, г = 1,..., п : функция а{х\£)

или (1) четная и тогда а(ж;£)| _п = 0 , \к\ ^ 1;

^ I 3/1 —и

или (и) нечетная и тогда д£га(х,£)|ж =0 = 0 , к ^ 0.

Теорема 2.2.1 При 5 > + к, где к — целое положительное число, пространство Н® непрерывно вложено в пространство С^ функций непрерывных вместе с -производными порядка |а| < к .

Определение 2.2.1 Сингулярным псевдодифференциальным оператором Киприянова-Катрахова (далее, наряду с этим названием, используем сокращение — Тв -с.п.д. оператор) А = а{х\Ов) с символом а{х]£) € назовем оператор, действующий на функции класса ¿'¿(Мдг) по формуле

Тв[Аи}(0 = I Л+(®,0 а{х\£)и{х){хУбх, (2.2.2)

Кп

п

где под (х')7 понимается функция {х')1 = П (а;2)7/2 — четная по

г=1

каждому из своих аргументов Х\,..., хп .

В равной степени полезным является Тв -с.п.д. оператор заданный в виде

Аи(х) = Тв1 [а(®;0 -Ы^Ш (*)■ (2-2.3)

Далее для класса символов а(х;£) и класса отвечающих этим символам операторов А или А будем использовать одно и тоже обозначение — .

В третьем пункте гл.11 мы доказываем теоремы о порядке Тв -с.п.д. операторов в шкале пространств Н® .

Теорема 2.3.1 Пусть а(сс; £) Е Н™, тогда отвечающий этому символу по формуле (2.2.2) или (2.2.3) сингулярный псевдодифференциальный оператор А или А имеет порядок, равный т .

Теорема 2.3.2 Пусть а(х;£) Е Е™, и А, и Л отвечающие этому символу по формуле (2.2.2) и (2.2.3) соответственно Тв -с.п.д. операторы. Тогда оператор А — Л имеет порядок га — 1 в шкале пространств Н* .

Лемма 2.3.2 Пусть А Е Н™ . Для любой функции и Е Н® имеет место неравенство

|(Аи, п)71 = |(и, Аи)у| ^ const • ||и||ш)7. (2.3.3)

с константой, независящей от функции и .

В пункте 2.4 мы рассматриваем произведения и коммутаторы с.п.д. операторов Киприянова-Катрахова.

Теорема 2.4.1 Пусть ai(x;£) Е Е™1 , а2(ж;£) Е и Ах

и А<2 — соответствующие этим символам Тв -с.п.д. операторы Киприянова-Катрахова. Тогда оператор AiA% — А10А2 имеет порядок га 1 + 7712 — 1 в шкале пространств R^) .

Следствие 2.4.1 Пусть а\{х\£) Е Н™1 , а2(ж;£) Е Н™2 и А\ и А<2 — соответствующие этим символам Тв -с.п. д. операторы Киприянова-Катрахова. Тогда их коммутатор \А\А2] — А\А^ — А^А\ имеет порядок т\ + 777,2 — 1 в шкале пространств Н® .

Следствие 2.4.2 Пусть А Е Е™ и <р(х) — бесконечно дифференцируемая функция, четная по каэюдой координате вектора х' . Тогда оператор ipA — Aip имеет порядок, равный га — 1 в Н* .

Следствие 2.4.3 Пусть а(ж;£) Е Е™ , <р(х) и ф{х) — бесконечно дифференцируемые функции, четные по х', с не пересекающимися носителями. Тогда оператор срАф имеет порядок, равный га — 1 в Щ.

Следствие 2.4.4 Пусть А Е Е™ . Его коммутатор с оператором (1 — Ав)к^2 имеет порядок т к — 1 .

В третьей главе мы строим квазирегуляризаторы 5 -эллиптических Т7^ -с.п.д. операторов.

В пункте 3.1 мы рассматриваем конструкцию квазирегуляриза-торов для Тв -с.п.д. операторов, которая дается в следующей теореме. Теорема 3.1.1 Тв -с.п.д. оператор И с символом

Ф;0 = 1еГ(1 + |еГГ1а"1(®;0 (3.1.1)

является (левым и правым) квазирегуляризатором для В -эллиптического в Тв -с.п.д. оператора А с символом а(ж;£) Е Н™ ■

Теорема 3.2.1 Пусть А Е Е™ и пусть на единичной сфере 5"! = {£ : |£| = 1} символ Яе а{х\£() ограничен с низу некоторой константой с . Тогда для любого е > 0 существует константа с' = с'(е) такая, что для всех функций и Е ¿^(М^-)

Яе(Аи, и)^ + с'\\и\\2гп-1 ^ (с-е)И|т>7. (3.2.1)

2 > '

Теорема 3.3.1 Пусть А Е . Предположим, что

|а(£°;£°)| = Со т^ 0 . Тогда для любой окрестности П точки х° и для любых вещественных чисел < т и £ > 0 найдется бесконечно дифференцируемая функция и£(х) вида

и£(х) = А^' ) е

Ф), е = ки| = 1, (з.з.ю)

где А = Л£ — достаточно большое положительное число, а ^р четная по каждой из переменных х±,... ,хп, п ^ N, функция с носителем, содержащимся в П, такая, что для нее выполнены неравенства

и.

£П я.

5 — 771 I

^ £\\и.

£|1Я3 ' 1

ргбе||яв-т - со\\и

е|| Щ

^ £ \\и.

(3.3.11)

(3.3.12)

в которых

\и£\\Нв = max

I (1MZ\2Y \m\2) (tr dii , |M*.

Теорема 3.4.1 Пусть A 6 S™ . Предположим, что

max |а(я,01=# (3.4.1)

К < oo . Тогда имеет место равенство

K = inf|H + T||s,7, (3.4.2)

где справа || • ||S)7 — норма операторов в шкале Н^ и нижняя грань берется по всем операторам порядка т — 1 .

Теорема 3.4.2 Пусть A Е "Е™ . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

I. Символ оператора А тождественно равен нулю.

II. А = 0.

III. Для некоторого I < т оператор А имеет порядок I . Теорема 3.5.1 Пусть А — Тв -с.п.д. оператор в Мдг с

символом Е Е™ . Для того, чтобы оператор А был В-

эллиптическим в Мдг > необходимо и достаточно, чтобы для всех и Е H°{RN) выполнялось неравенство

< c(\\Au\\s

-т, 7 + IMIs-1,7 ) (3.5.1)

с константой с, не зависящей от функции и .

Теорема 3.5.2 Следующие утверждения эквивалентны

1. А — Тв -с.п. д. о. В -эллиптического типа с символом

2. Существует квазирегуляризатор оператора А .

3. Для функции и Е имеет место априорная оценка

-т, 7

Теорема 3.5.3 Пусть А — В-эллиптический Тв-с.п.д. оператор с символом а(х;£) Е Н™ . Тогда, если и Е яв-

ляется решением уравнения Аи = /, где / Е Н^~гп+а(Шм), то иеЩ+а(Шм).

Глава 1

Полное преобразование Фурье-Бесселя и многомерные п. д.операторы Киприянова-Катрахова

1.1 Основные положения анализа Фурье-Бесселя

Обозначим евклидово пространство

IRw = En х = x R/v—n-

Пусть натуральные числа п и N фиксированы и связаны условием п < N . Положим

ж = {х',х") 6Mw=KnX Rn-п,

где

х' = (xi, ... , Хп) Е Мп , а х" = (Хп+1 ,■■■ , Xjv) Е R/V-n ■ И.А. Киприянов изучал краевые задачи для уравнений содержащих следующий сингулярный дифференциальный оператор второго порядка

\г=1 г=п+1 / г

Этот оператор коммутирует с обобщенным сдвигом следующего вида: T»f(x) = I ^ J f(x А у) sin-1 /5d/3 ,

где

А

х

у = у/х2 — 2ху cos /3 + у2 .

Смешанный обобщенный сдвиг порождает соответствующую обобщенную (термин И.А. Киприянова, [12]) свертку функций

(и * и)7 = J и(х', х" - у") ь(у, у") (у')1 йу . (1-1-1)

t+

1.1.1 Многомерный смешанный обобщенный сдвиг и его свойства

Одномерный обобщенный сдвиг уже введен ранее. В этих исследованиях он действует по каждой из весовых переменных х\,..., хп .

Многомерный смешанный обобщенный сдвиг , х = (х',у') , У = {У',У") Е х Мдг-п определяется в виде суперпозиции одномерных

обобщенных и обычных сдвигов. По определению полагаем тух : f(x) T£f{x) = (f[Tx% ) f{x\x" -у") =

чг=1

7Г 7Г

= С(7) J..Jf(x,Ay,,x"-y")f[sm1*-1pidPi...dl3, (1.1.2)

п г» г=1

о о

/ 0' / ( /3

X

1 ^ у' = ^ У\, . . . , Хп ^ г/п) , Хг ^ Уг = \Аг ~ Ъхгуг СОБ /Зг + Уг2 ,

Свойства смешанного обобщенного сдвига порождены свойствами одномерных сдвигов (обобщенных и обычных, свойства которых совпадают). Для одномерных обобщенных сдвигов свойства (а) — (е) доказаны в [24] (см. также книгу [25]); свойство ограниченности в весовых лебеговских классах функций доказано в работе [16]. Приведем эти свойства.

(a) линейность и однородность:

Т%{аи(х) + Ъу(х)) = аТ^и(х) + ЪТ% «(ж);

(b) 22(1) = 1;

(c) перестановочность аргумента и шага:

ТУи(х)=Т£и(у)-

(с!) самосопряженность смешанного обобщенного сдвига : если /(х) — непрерывная функция, для которой

I \/(х)\(хУ(Ь < оо

rn

и д(х) — непрерывная, ограниченная функция для всех х Е функция, то

I Т»/(х) д{х) х2^х = I /(х)Т% 9{х) х2^х;

(е) переместительность смешанного обобщенного сдвига : для каждой непрерывной функции /(х) и любых точек у, г € имеет место равенство

(£) ограниченность смешанного обобщенного сдвига в весовых ле-беговских классах функций: для всех р > 1

/ \ 1/р

\\ТуДь2 =

I \ТУ/(х)\р (х'У йх

<

\

1/Р

£

Ту\}{х)\р{х'У(1х

€

\

1/р

\/(х)\р 0тУ<1х

Т 7 •

/

Неравенство

\\туЛ\ы < №\ы

(1.1.3)

обычно называют неравенством Киприянова-Ключанцева.

Пусть мультииндекс 7 = (71, ■уп) состоит из фиксированных положительных чисел. Введем обозначение

А±(х'>0 = П

5 = 1

з ъ -1 (х3 Ь) т г ^ 3 ъ+1 {х3 ) 2 7 I 1 2

Через 5(Едг) будем обозначать пространство Шварца основных функций, а через его подпространство состоящее из функций, четных по каждой из переменных х' = (£1, ... ,жп) • Множество функций для которых конечна норма

\ 1/2

т т Ь2

/

с1х

/

будем обозначать соответственно Ь^С^ы) и Ь^ ег,(Клг) • Здесь под (х')7 поп

нимается функция (х'У = П (х2 — четная по каждому из своих аргу-

3=1

ментов ... ,хп .

Пусть а' и а" — целочисленные мультииндексы размерности п и N — п соответственно. Введем обозначения

= д% , д£„ = а?1

'1

7п

п + 1

^ДГ

(1.1.4)

— сингулярный дифференциальный оператор порядка |а| = оц + ... + +ам , составляющие которого определены следующим образом

\ дх,В^-1)/2, аг = 2к + 1, к = 0,1,2,..., где В1г — сингулярный дифференциальный оператор Бесселя.

1.1.2 у -Функции Бесселя

Одномерные Тв -преобразования строятся на основе ядра

где ]ь>{£) — так называемая 3 -функция Бесселя, связанная с функцией Бесселя первого рода Л, равенством

] -Функция Бесселя удовлетворяет сингулярному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка

(¿ + 7 = С"-«)

и условиям

>(0) = 1, ^(0) = 0, (1.1.7)

При этом мы полагаем, что 7 > 0 или, что тоже самое, и > — | .

Отметим так же, что ] -функция Бесселя удовлетворяет следующему рекурентному соотношению

= ''" + !(*) ■ (1Л-8)

Еще отметим, что ] -функции Бесселя удовлетворяют следующей теореме сложения (Б.М. Левитан)

МХ£)Му£)=Т»МХ£), (1.1.9)

/-1

где и = , Тх — обобщенный сдвиг.

1.1.3 Многомерное смешанное преобразование Фурье-Бесселя-Киприянова-Катрахова

Определение 1.1.1 Смешанным прямым и обратным преобразованиями Фурье-Бесселя-Киприянова-Катрахова ( Тв -преобразованиями) функции и назовем соответственно выражения

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Рощупкин, Сергей Александрович, 2014 год

Литература

[1] Агранович M.С. Эллиптические сингулярные интегродифференциаль-ные операторы // УМН. — 1965. — Т. 20. — С. 3 — 120.

[2] Бремернам Г. Распределения, комплексные переменные и преобразование Фурье. — М.: Мир. — 1968. С. 276.

[3] Garding L. Dirichlet's problem for elliptic partial differential equations // Math.Scand.l. — 1953. — P. 53 — 72.

[4] Гохберг И.Ц. К теории многомерных сингулярных интегральных уравнений // ДАН СССР. - 1960. - Т. 136. № 3. — С. 1279 - 1282.

[5] Житомирский Я.И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальными операторами типа Бесселя // Матем. сб. — 1955. — Т. 36(78). — № 2. — С. 299 — 310.

[6] Calderón А.P., Zygmund A. Singular integral operators and differential equations // Amer. J. Math. — 1957. — T.79. — C. 901 — 921.

[7] Катрахов B.B. Задачи на собственные значения сингулярных эллиптических операторов // ДАН СССР. — 1972. — Т. 207. № 2. — С. 284 — 287.

[8] Катрахов В.В. Операторы преобразования и псевдодифференциальные операторы // Сибирский математ. журнал. — 1980. — T. XXI. № 1. — С. 87 — 97.

[9] Катрахов В.В., Ляхов Л.Н. Полное преобразование Фурье-Бесселя и алгебра сингулярных псевдодифференциальных операторов // Дифферент Уравнен. - 2011, Т. 47. № 5. - С. 681 - 695.

[10] Киприянов И.А. О неравенстве Гординга для вырождающихся эллиптических операторов и его приложениях // Тр. МИАН СССР. — 1969. Т. 105. — С. 77 — 88.

[11] Киприянов И.А. Об одном классе сингулярных эллиптических операторов 1 // Диф. ур. Т. 7. - 1971. - С. 2065 - 2077.

[12] Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. — М.: Наука, — 1997. — С. 199.

[13] Киприянов И.А., Богачев Б.М. О следах функции из весового пространства // ДАН СССР. - 1975. Т. 225, № - С. 756 - 758.

[14] Киприянов И.А., Богачов Б.М. О нормальной разрешимости некоторых сингулярных и вырождающихся уравнений // Сб. Применение методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики. Новосибирск. — 1978. — С. 104 — 110.

[15] Киприянов И.А., Катрахов В.В. Об одном классе одномерных сингулярных псевдодифференциальных операторов // Математ. сборн., 104, № 1,

— 1977.

[16] Киприянов И.А., Ключанцев М.И. О сингулярных интегралах, порожденных оператором обобщенного сдвига // Сиб.мат.журн. — 1970.— Т.11, № 5. — С. 1060 — 1082.

[17] Киприянов И.А., Ключанцев М.И. Об ограниченности одного класса сингулярных интегральных операторов // ДАН. — 1969.— Т. 186. — № 6.— С. 740 - 743.

[18] Киприянов И.А., Ключанцев М.И. Оценки поверхностных потенциалов, порожденных обобщенным сдвигом // ДАН. — 1969. — Т. 188. — № 5.

— С. 115 — 118.

[19] Киприянов И.А., Ключанцев М.И. О сингулярных интегралах, порожденных оператором обобщенного сдвига // Сиб. мат. журн.— 1970.— Т. 11. — № 5.— С. 1060 — 1082.

[20] Киприянов И.А., Кононенко В.И. О фундаментальных решениях некоторых сингулярных уравнений в частных производных // Дифференц. уравнения. — 1969. — Т. 5. - № 8. — С. 1470 - 1483.

[21] Киприянов И.А., Кононенко В.И. Фундаментальные решения В-эллиптических уравнений // Дифференц. уравнения. — 1967. — Т. 3.

- № 1 — С. 114 — 129.

[22] Киприянов И.А., Ляхов Л.Н. Об одном классе псевдодифференциальных операторов // ДАН СССР. — 1974. — Т. 218, № 2. — С. 278 — 280.

[23] Кон Дж., Ниренберг А. Алгебра псевдодифференциальных операторов // Сб. Псевдодифференциальные операторы. — М.: Мир. — 1967.

[24] Левитан Б.М. Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя // УМН. — 1951, Т. 6, - С. 102 — 143.

[25] Левитан Б.М. Операторы обобщенного сдвига и некоторые их приложения // М: ГИФМЛ. - 1962. - С. 323.

[26] Лизоркин П.И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложения классов дифференцируемых функций // Тр. МИАН. — 1969. — Т. 105. — С. 89 — 167.

[27] Ляхов Л.Н. О нормальной разрешимости некоторых сингулярных псевдодифференциальных уравнений // Труды конференции «Дифференциальные уравнения и вычислительная математика». Новосибирск. — 1980.

- С. 41 — 44.

[28] Ляхов Л.Н. Об априорной оценке одного класса эллиптических псевдодифференциальных уравнений // Сборник научн. работ «Корректные задачи для неклассических уравнений математической физики». Новосибирск. — 1980.

[29] Ляхов Л.Н. Однородные сингулярные псевдодифференциальные операторы // Сборник научн. работ «Математические исследования». АН Молд.СССР. - 1980. - С. 111 - 123.

[30] Ляхов Л.Н. В -гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию функциональных классов Киприянова и к интегральным уравнениям с -В -потенциальными ядрами // Липецк: ЛГПУ. — 2007. — С. 232

[31] Ляхов Л.Н. О радиальных функциях и классических стационарных уравнениях в евклидовых пространствах дробной размерности // Минск.

2012. издательский центр БГУ. Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений AMADE-2011. — С. 115 — 126.

[32] Lyakhov L.N., Roschupkin S.A. А Priori Estimates for Solutions of Singular В -Elliptic Pseudodifferential Equations with Bessel дв -Operators // Jornal Of Mathematical Sciences Volume 196, Number 4 January 28, — 2014. — C. 563 - 571.

[33] Ляхов Л.Н., Рощупкин С.А. Об априорной оценке решений сингулярных В -эллиптических псевдодифференциальных уравнений с дв оператором Бесселя // Проблемы математ. анализа, — Т. 74, декабрь 2013. — С. 109 — 116.

[34] Ляхов Л.Н., Рощупкин С.А. Полное преобразование Фурье-Бесселя некоторых основных функциональных классов // Журнал «НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ» Белгородского государственного университета № 11(154)

2013. Выпуск 31. Математика Физика. — С. 85 — 92.

[35] Ляхов Л.Н., Рощупкин С.А. Априорная оценка решений одного класса В -эллиптических уравнений / / Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль: М.: МИАН. — 2012. — С. 109 - 110.

[36] Ляхов Л.Н., Рощупкин С.А. Сингулярные псевдодифференциальные операторы Фурье-Бесселя в весовых классах Соболева-Киприянова в Н® // Обратные и некорректные задачи математической физики и анализа:

Тез. докл. научн. конф., Новосибирск, 5 — 12 августа 2012 г. — Новосибирск. — 2012. — С. 391.

[37] Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения // М.: ГИФМЛ. - 1962. С. 255.

[38] Pitre J. Elliptic partial differential equations of higer order // Lecture notes № 40. Univ. of Maryland, Inst, for Flide. Dinamics, — 1962.

[39] Райхельгауз Л.Б. Полное преобразование Фурье-Бесселя и сингулярные дифференциальные операторы с Db -оператором Бесселя // Диссерт. канд. физ.-мат. наук. Воронеж, ВГУ. — 2011. — С. 110.

[40] Рощупкин С.А. Представление сингулярных линейных Db -операторов в образах полного преобразования Фурье-Бесселя // Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания: материалы восьмой школы молодых ученых Липецкой области. 1Д Липецк: ЛГПУ. — 2012. — С. 127

— 139.

[41] Рощупкин С.А. Об одном неравенстве для свертки, порожденной смешанным обобщенным сдвигом функций вида |1 + Izl2^ // Актуальные проблемы естественных наук и их преподавание. Школа молодых ученых Липецкой области. — Липецк: ЛГПУ. Выпуск 1(4). — 2013. — С. 18

- 22.

[42] Рощупкин С.А. Классы основных функций для полного преобразования Фурье-Бесселя // Дифференциальные уравнения и их приложения: сб. материалов Международной конференции (Белгород, 26 — 31 мая 2013 г.). — Белгород: ИПК НИУ «БелГУ». — 2013. — С. 162 — 163.

[43] Рощупкин С.А. О сингулярных Fb -псевдодифференциальных операторах в полупространстве // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: сб. материалов Международной научной конференции (Республика Башкортостан, Стерлитамак, 26 — 30 июня 2013 г.). Ц Стерли-тамак: УФА РИЦ БашГУ. — 2013. — Т. 1. — С. 86 — 90.

[44] Рощупкин С.А. О многомерных псевдодифференциальных операторах Киприянова-Катрахова // Материалы международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна ВЗМШ — 2014», 26 — 31 января 2014 г. Научная книга. Воронеж. — 2014. — С. 266 — 272.

[45] Сили Р.Т. Интегро-дифференциальные операторы на векторных расслоениях // Сб. Математика. — 1967. — С. 57 — 97.

[46] Чернышев Г.Л. О задаче Коши с сингулярным гиперболическим оператором // Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Воронеж. — 1973. — С. 11.